hidrolik ders notları c

Ercan Kahya

Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul

1

BÖLÜM 11

AÇIK KANALLARDA AKIM:

UNIFORM AKIM

Hidrolik - ITU, Ercan Kahya


191

düzlemi

Enerjiçizgisi

düzlemi

(a) (b)

1

Enerjir- çizgisi---_._-..--..--..

___ düzlemi

Enerji.

11.2

Boru içerisindeki akımda bu enerjiyi temin eden, ya s su seviyesidir; ya da bir P pompasıdır.

✪ Üstü hava ile temasta olan sıvı akım: Açık kanal akımı ✪ Akışkan, enerjisi büyük olan noktadan küçük olan noktaya doğru akar.

GİRİŞ


191

düzlemi

Enerjiçizgisi

düzlemi

(a) (b)

1

Enerjir- çizgisi---_._-..--..--..

___ düzlemi

Enerji.

11.2

Açık kanal içerisindeki akım halinde ise bu enerjiyi temin eden daima H enerji seviyesidir.

GİRİŞ


İki çeşit akım:

a) üniform akım, b) üniform olmayan akım

192

y:;tf(x)

ünifonnx

11.3

xünifonn olmayan

Biz bu bölümde, kanal içerisinde ünifonn konusunu

11.1. DAGILIMI

de kesik-kesik çizgilerle kesitte bulmak is-

tiyoruz. Bunun için bu kesit üzerinde dh x 1 x 1 hacminde bir Bu

n için hareket denklemi:

kanal içerisinde ünifonn göre, çizgileri düzgün ve birbirine

paraleldir. §6.2 de gibi, böyle hallerde ivmesi olur. O halde:

LFo =(p + dp) . 1 - P . 1 - (ydh . 1 . 1) cosa =O

Buradan integrasyonla ve h =O da p =Po kullanarak

GİRİŞ


11.1. BIR KESITTE BASINÇ DAGILIMI

193

h+1

11.4

P =Po + cos<x

bulunur. kanal çok büyük , cos <x == 1

p =Po +

elde edilir. O halde üniform kanal kesit içerisinde, hidrostatik

na uygun olarak bunun için bir kere daha be-

Iirtelim: a) Kanal içerisindeki üniform (ya da üniform ve b) kanal

çok büyük gerekir.

1) Pratikte % 1 den büyük kanallara nadiren

192

y:;tf(x)

ünifonnx

11.3

xünifonn olmayan


11.1. DAGILIMI








Kesit üzerinde dh x 1 x 1 hacminde bir parçayı düşünelim:

� Açık kanal akımı üniform

è akım çizgileri düzgün & paralel an = 0

192

y:;tf(x)

ünifonnx

11.3

xünifonn olmayan


11.1. DAGILIMI









BIR KESITTE BASINÇ DAGILIMI

İntegrasyonla ve h =0 da p =po sınır koşulunu kullanarak

193

h+1

11.4

P =Po + cos<x


p =Po +






193

h+1

11.4

P =Po + cos<x


p =Po +






193

h+1

11.4

P =Po + cos<x


p =Po +






★  Üniform açık kanal akımında basınç kesit içerisinde hidrostatik kanunlarına göre değişir.

w Şu şartların sağlanması gerekir: a)  Kanal içerisindeki akımın üniform (ya da üniform akıma yakın oİması) b)  Kanal eğiminin çok büyük olmaması gerekir.


BIR KESITTE BASINÇ DAGILIMI

194

üniform olmaktan çok uzak ise, çizgileri düzgün ve paralel olamayacak-

lar ve "L Fn =m . denklemindeki Bu ise bize hid-

rostatik bir verecektir. 11.5 de çizgile-

rinin bir niçin bu

'YYçizgileria) çizgileri düzgün

ve paralelb) Taban çokbüyük

'YY

11.5


11.2. ENERJI KAYBI

195

11.2. KAYBI

kanal enerji meydana gelme sebebi, borulardakinin Bu

mekanizmaya bir kere daha bakmak

Boru kesiti üzerinde olan Böylece elde çizgi-

ye çizgisi diyoruz. çizgilerinden boru eksenine paralelolarak geçen yüzeyleri dü-

yüzeyleri). Bu yüzeyler dairesel kesitli boru halinde iç içe yer silindirik

yüzeylerdir 11.6). bu yüzeyler ile

enerjisinin bir çevrilir; bu ise bizim kaybolan enerjidir ki buna biz

enerji diyorduk.

bir kanal yüzeylerini çizsek, bunlar kanal he-

men hemen paralel yüzeyler olarak belireceklerdir 11.6). bu yüzeyler olu-

sürtünmeler, kanal borudakine benzer enerji

çizgileri çizgileri

'to 't

11.6

1) Sürtünmelerin ekseninden, cidara laminer halinde viskozite özel-

halinde ise viskoz olma ilaveten kayma geril-

melerinin daha önceki bölümlerden biliyoruz.

196

yA!1x •

11.7

böyle bir kanal 11.7 de gösterilen !1x

dilimi için hareket denklemini Bu hareketini kuvvet,

tabana paralelolan Bu yA !1x.sina Taban daima çok kü-

çüktür ve sina == taban (=Jo) O halde bu yA!1x Jo dir. Harekete mani

olmaya kuvvet ise cidar boyunca etkiyen sürtünme kuvvetidir, yani -to U !1x. Burada U,temasta 'to sürtünmesinin cidar biz buna

lak çevre Bu iki kuvvetin haricinde, bir de, her iki yüzüne etkiyen birer

kuvveti Bir önceki bölümde en kesit içerisinde hidrostatik kural-

göre yani su yüzünde atmosfer olup tabana

artar. göre, bir yüzündeki

yüzüne gelenin o halde bu olan kuvvetle-

ri prizmatik enkesit için birbirini götürür. O halde hareket denklemi:

yA !1x Jo - 'to U !1x = Kütle x

196

yA!1x •

11.7













196

yA!1x •

11.7














ENERJI KAYBI

Uniform Akım à a = 0

197

üniform kesit A, boyunca ile sü-

reklilik denkleminden, da Yani ivmesi O halde

denklemden, §10.5 de R =AlU hidrolik da

bulunur. Bu denkleme biraz sonra tekrar

FEnerji çizgisi--------..:----- -- -------

V2 --- h- --___ k2g V2 Serbest yüzey =-ii piyezometre çizgisi

\

____-L- --''--_-''-__

düzlemi

11.8

(LLL)

11.7 deki boyuna kesitini ve 11.8 de gösterelim. 1

kesitinden birim zamanda geçen birim enerjisi:

v2 Atm.- + + (y +2g 'y

(l1.2)

197





FEnerji çizgisi--------..:----- -- -------


\

____-L- --''--_-''-__

düzlemi

11.8

(LLL)



v2 Atm.- + + (y +2g 'y

(l1.2)

1 nolu kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın enerjisi:

197





FEnerji çizgisi--------..:----- -- -------


\

____-L- --''--_-''-__

düzlemi

11.8

(LLL)



v2 Atm.- + + (y +2g 'y

(l1.2)


ENERJI KAYBI

2 nolu kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın enerjisi:

198

2 kesitinden birim zamanda geçen birim enerjisi:

Atm.- + -----+ (y +2g y (11.3)

o halde kanal içerisinde üniform halinde 1 ve 2 kesitleri

enerji

(11.4)

Birim kanal boyundaki yani hidrolik J:

denklemindeki - Z2) / Ax - Z2) / Ax = sina a çok küçük

dan sina = taban (= Jo) yazabiliriz. O halde:

(11.5)

taraftan, üniform 11.8 de, enerji çizgisinin tabana

görülür. Enerji çizgisinin de Je ile gösterirsek (11.5) den:

(11.6)

yani, bir kanal içerisindeki üniform hidrolik taban çizgisi

mi ve yine 11.8 den, su yüzü birbirine

1 ve 2 nolu kesitleri arasındaki enerji kaybı:

198


Atm.- + -----+ (y +2g y (11.3)


enerji

(11.4)




(11.5)



(11.6)



Birim kanal boyundaki kayıp, yani hidrolik eğim J:

198


Atm.- + -----+ (y +2g y (11.3)


enerji

(11.4)




(11.5)



(11.6)



198


Atm.- + -----+ (y +2g y (11.3)


enerji

(11.4)




(11.5)



(11.6)



198


Atm.- + -----+ (y +2g y (11.3)


enerji

(11.4)




(11.5)



(11.6)



198


Atm.- + -----+ (y +2g y (11.3)


enerji

(11.4)




(11.5)



(11.6)




ENERJI KAYBI

198


Atm.- + -----+ (y +2g y (11.3)


enerji

(11.4)




(11.5)



(11.6)



Akım üniform à enerji çizgisi // taban:

199

(11.1) denklemine dönebiliriz. (11.1) deki Jo m paragraf

zamanda hidrolik göz önüne kanal için elde edilen (11.1)

denkleminin, boru için elde edilen (10.46) denkleminin görülür. (10.46)

denkleminden hareketle, (1O.37a) denklemine (Tablo 10.4, (2) kolonu).

O halde (11.1) denkleminden de hareketle Tablo 11.1 de (2) kolonundaki (11.7) denklemleri-

ne

TABLO Enerji

(1O.42a) i

Burada: Burada:

(i 1.1) i

(10.37a) (11.7)

Re = V . (4R)v

Re = V . (4R)v

f sürtünme yine Moody diyagrammdan hesaplanabilir; bu diyagramda D

(boru yere 4R koymak gerekir.f : Moody diyagramdan; yalnız bu diyagramda D (boru çapı) gördüğümüz yere 4R koymak gerekir.


11.3. ÜNİFORM AKIMIN HESABI İÇİN FORMÜLLER

11.3.1. Chezy Denklemi

(11.7) denkleminden V yi çekersek:

200

11.3. ÜNiFORM içiN PRATiK BiR FORMÜL


(11.7) denkleminden V yi çekersek;

yada

(11.8)

diyecek olursak,

(11.9)

bulunur. Bu denklem Chezy denklemi olarak bilinir. Tablo 10.4 e bizi götüren analiz 1940 la-

ra Chezy denklemi (11.9) denklemindeki ile 19. son

bu yana Hidrolik pür ampirik elde

denklemdir. Onun için Chezy için bir çok ampirik ifade C,

(11.8) f hesaplanarak sözü edilen bu ampirik ifadelerden

de hesaplanabilir).

1) Chezy denkleminde boyut yoktur; C, boyutlu bir ile C nin boyutu ne ise, denklemde

de o boyutlara uygun boyutlar

2) Bu ifadeler için bkz.: K. Çeçen, Hidrolik C. II., sf 18, T. Ü, Kütüphanesi, 765, 1969.

200




yada

(11.8)

diyecek olursak,

(11.9)






de hesaplanabilir).




200




yada

(11.8)

diyecek olursak,

(11.9)






de hesaplanabilir).




w  Chezy denkleminde boyut homojenliği yoktur w  C boyutlu bir katsayıdır. w  C nin boyutu ne ise, denklemde de o boyutlara uygun boyutlar

kullanılmalıdır.


11.3.2. Manning-Strickler Denklemi

C için verilen ampirik ifadelerden bir tanesi şudur:

201


C için verilen amprik ifadelerden bir tanesi

c =k RI/6

Burada k, kaplayan malzemenin cinsine bir

(11.9) ve (11.10) dan:

i V = k R213

(11.10)

(11.11)

elde edilir. Bu denklem literatürde Gauckler-Strickler denklemi olarak bilinir ve Hidrolik Mü-

çok Bu denklem, n=l/k olmak üzere

v = 1 R 2/3 J1/2on

de Bu ise Manning denklemi olarak bilinir.

(11.11a)

Tekrar k ya dönecek olursak; bu kanal cinsine olarak tablolar-

la Bir fikir versin diye, bu çelik yüzeylerde 90-100, iyi beton

yüzeyli kanallarda 60-70, kafa bloklarla kanallarda 25-30

ni k için bu takdirde R, m olarak ve V ise m/s olarak (11. 11) de yerine

Son olarak hususa edelim. (11.7) enerji denklemi, kanallarda, ya (11.9)

denklemi ya da (11.11) veya (11.11.a) denklemi formunda

k: kanalı kaplayan malzemenin cinsine bağlı bir katsayı

201



c =k RI/6


(11.9) ve (11.10) dan:

i V = k R213

(11.10)

(11.11)



v = 1 R 2/3 J1/2on


(11.11a)







201



c =k RI/6


(11.9) ve (11.10) dan:

i V = k R213

(11.10)

(11.11)



v = 1 R 2/3 J1/2on


(11.11a)







201



c =k RI/6


(11.9) ve (11.10) dan:

i V = k R213

(11.10)

(11.11)



v = 1 R 2/3 J1/2on


(11.11a)







Gauckler-Strickler denklemi

Manning denklemi

k katsayısı: çelik yüzeylerde 90-100 iyi kalıplanmış beton yüzeyli kanallarda 60-70

kafa büyüklüğündeki taş bloklarla kaplı kanallarda 25-30

10-15 Slide from Dr. Isaac

Manning Equation


11.5. EN UYGUN KESIT KAVRAMI

AMAÇ: Kanalın Q debisini geçirecek bir en küçük A kesit alanı var mıdır?

min A à hafriyat masrafı en küçük à kanal enkesitini ekonomik

“sabit bir A kesit alanı à min U (ıslak çevre)”

Aynı bir alana sahip kesitlerden ıslak çevresi en küçük olana en uygun kesit denir. Böyle bir ekstremum problemini sağlayan kesit şekli yarım dairedir.


EN UYGUN KESIT

205

kündür. Gerçekten de (11.12) süreklilik denklemine göre en küçük A için Q belli gö-re V en büyük (11.11) Strickler denklemine göre Max V için, n ve Jo belliiçin R en büyük ve R =AlU dan Max R için U en küçük

bir alana sahip kesitlerden çevresi en küçük olana biz, en uygun kesit diyoruz.Bu durumda kaplama ve da daha ekonomi biraz daha artar.

i1 10

Böyle bir ekstremum problemini kesit dairedir. Fakat kesitlimiz, "trapez kesit" ile ise, bu takdirde bu trapez kesitlerden en uygunu han-gisidir? Bunun için 1 lO'a A kesit ve U çevresini; y , b ve 8 mnfonksiyonu olarak yazabiliriz. Bu iki fonksiyondan b yok edilirse

U =fonk (A, y, 8) (1 18)

bir denklem elde ederiz. Bu denklemin ifadesini burada A =Sa-bit için U = en küçük bu denklemden

A =y2 (2 cosec 8 - cot 8), ve

U =Min U =2y (2 cosec 8 - cot 8)

bulunur. ile bu denklemlerden en uygun kesitin

205

kündür. Gerçekten de (11.12) süreklilik denklemine göre en küçük A için Q belli gö-re V en büyük (11.11) Strickler denklemine göre Max V için, n ve Jo belliiçin R en büyük ve R =AlU dan Max R için U en küçük

bir alana sahip kesitlerden çevresi en küçük olana biz, en uygun kesit diyoruz.Bu durumda kaplama ve da daha ekonomi biraz daha artar.

i1 10

Böyle bir ekstremum problemini kesit dairedir. Fakat kesitlimiz, "trapez kesit" ile ise, bu takdirde bu trapez kesitlerden en uygunu han-gisidir? Bunun için 1 lO'a A kesit ve U çevresini; y , b ve 8 mnfonksiyonu olarak yazabiliriz. Bu iki fonksiyondan b yok edilirse

U =fonk (A, y, 8) (1 18)

bir denklem elde ederiz. Bu denklemin ifadesini burada A =Sa-bit için U = en küçük bu denklemden

A =y2 (2 cosec 8 - cot 8), ve

U =Min U =2y (2 cosec 8 - cot 8)

bulunur. ile bu denklemlerden en uygun kesitin

A =Sabit için U = en küçük şartı:

206

R A Y= -U 2

b 2y etan -2

(11.19)

(11.20)

olarak elde edilir. Not: (11.19) ve (11.20) bir trapezin içine, kenarlaraolan bir çember çizilebilir.

özel halolarak kesit dikdörtgen ise, denklemlerden, e =90°için, en uygun kesit b =2y ve R =y/2 olarak bulunur. O halde dikdörtgen kesitli ka-nallarda kesit olarak tutulursa, kesit ekonomik olarak boyut-

olur!).

BÖLÜM 11 EK: Üniform Olmayan Chezy Denklemi

§11.2 de üniform için

(11.1)

elde üniform halinde bu ifadenin incelenecek-tir. Bu amaçla 11.11 deki su hacmine LF =m . a hareket denklemi Buhalde dilime tesir eden kuvvetler 'Y .Adx . Jo -'to' U. dxcidardaki sürtünme kuvveti; - 'Y .A . dy - 'Y . dA . kuvvetidir. Çok iyi birla bu son kuvvet - 'Y .A . dy ye kabul edilebilir. Bunlara göre;

1) Pratikte çok büyük veya çok küçük debiler halinde en uygun kesit ile yüksek büyükderinlikler veya tersine çökelmelere sebep olacak kadar küçük ve küçük derinlikler ve derinlikler ar-zulanan en uygun kesit Pratikte böyle durumlarda ampirik

Ünsal).

Bu şartlarını sağlayan bir trapezin içine, kenarlara teğet olan bir çember çizilebilir.

Özel hal: Dikdörtgen kesit θ=90° à en uygun kesit boyutları b =2y ve R =y/2

“akım derinliği, kesit genişliğinin yarısı”

10-18

Channel Efficiency

- Capacity (efficiency) varies inversely with the wetted perimeter (P). - Energy losses are less in channels with smaller P & vice versa. - 4 options to excavate a rectangular section with an area of 20m2 : - P: (a) 22; (b) 14; (c) 13; and (d) 14m → Choice is “c”

Channel Efficiency

- For Max. Capacity Hydraulic Efficiency → Min. wetted perimeter (P). - That section is called “most efficient” or “best hydraulic” section. -  It reduces the cost of lining.

-  For a given cross-sectional area: the best hydraulic section has min P -  For a given perimeter: the best hydraulic section has max A (area).

For trapezoidal sections:

Area → Wetted perimeter →

Channel Efficiency

Determine the relation btw b & y to minimize P for a fixed cross-sectional area & side slope

Substitute into wetted perimeter eq.:

To minimize P w.r.t. y:

yields

Note that this eq. leads to impractical design, such as very deep & narrow channel.

Channel Efficiency

- Alternatively “b” equation can be written as:

This implies that B (Top width) = 2L (side length)

Referring this figure

Channel Efficiency

- Substitute the final form of ‘b’ equation into OQ relation:

Moreover minimization w.r.t. ‘t” of side slope yields

This corresponds to a slope angle of 60 degree But this slope is often too steep for natural channels

- Substitute this again into the final form of ‘b’ equation :

This defines the trapezoidal section of greatest possible efficiency

Channel Efficiency

- Even if we further substitute into R equation of trapezoidal section:

reduces to

The most efficient rectangular channel is one in which the depth is one-half of the width.

hidrolik ders notları c

Documents