historia da modelagem matemática.docx
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ANHANGUERA EDUCACIONAL – FAST
Curso: Matemática
Disciplina: TCC
Profº:Turma: 5ª/A Período: 5ºsem/2013
TCC – MODELAGEM MATEMÁTICA
RA:2505063414
ALUNO(A):Cleidson Silveira
Taguatinga, JUNHO/2013
Introdução
Neste pré projeto venho aqui mostra minha ideia para meu trabalho de conclusão de
curso que vem falar de modelagem matemática, que vem sendo muito pesquisada nestes
últimos 30 anos, mesmo sabendo que modelamos bem antes mesmo de sabermos o que
é a matemática. Quero neste trabalho mostra as técnicas que profissionais na área
utilizam, e que esses conhecimentos irão servi como ferramenta para atividades dentro
de sala de aula, não quero aqui da exemplos de atividades mais sim buscar mais meios
para poder executar estas atividades que ainda muitos professores ignoram as vezes por
falta de técnica e por vezes pelo grande trabalho que terá para promover tais atividades,
irei ter como base três livros e mais pesquisas da internet começarei falando um pouco
da historia passando por técnicas de modelagem e por final a inserção da modelagem
nas salas de aula.
Historia da modelagem matemática
A invenção da roda pelos sumérios no ano 3000 a.C. foi um dos primeiros
modelos matemáticos produzidos pela humanidade, observando um tronco de árvore
rolando por um declive tiveram a ideia de transportar cargas pesadas colocando-as sobre
objetos rolantes. Assim aconteceu em todas as épocas, da pré historia até os dias de
hoje, a matemática utilitária vem resolvendo problemas reais. Desta forma cientistas
vem ao longo da historia modelando. Como por exemplo, filosofo grego Tales de
Mileto (639 – 568 a.C.), que descobriu uma relação entre triângulos semelhantes e as
alturas das pirâmides, Pitágoras (570 – 500 a.C.), filosofo grego que fez uma relação do
comprimento das cordas vibratórias que formam sons em mútua harmonia, Arquimedes
(287 – 212 a.C), matemático e físico grego que criou um modelo que combina as
deduções matemáticas com resultados das experiências que podemos citar o principio
da alavanca e da balança, que hoje são leis fundamentais da estatística, René Descartes
(1596 - 1650), físico, matemático e filósofo Francês que criou vario modelos no qual
reconhece as relações entre as equações algébricas e os lugares geométricos, não
podemos esquecer de Issac Newton (1642 - 1726), matemático e filósofo inglês que foi
um dos primeiros a trabalhar cálculo diferencial, e também nas suas teorias da
gravitação universal, com esses exemplos venho mostrar alguns cientistas que ajudaram
a matemática evoluir mais também acima disso, queremos mostrar que estes e outros
não citados faziam modelagem matemática, porem o termo modelo matemático somente
foi introduzido no século XIX, por Lobachewsky (1792 - 1856), matemático russo e
Riemann (1826 – 1866), matemático alemão, que criaram os modelos propostos pela
geometrias não-euclidianas .
Surgimento da modelagem no Brasil
Aristides Barreto e Rodney Bassanezi foram os primeiros a implantar a
modelagem na educação brasileira. Barreto representou o Brasil em grandes encontros
sobre a modelagem juntamente com Bassanezi onde realizaram grandes cursos de Pós –
Graduação em estados brasileiros. Através das pesquisas realizadas se viu um grande
aproveitamento, onde muitos professores começaram a se inspirar em Barretos e
Bassanezi e passaram a procurar novos conhecimentos. Segundo Bassanezi (2002),
modelagem, em princípio, foi trabalhada em biomatemática, na década de 80. Nesse
momento, os estudos envolviam modelos de crescimento de processos cancerígenos. A
seguir, realizou-se uma experiência com a modelagem, com turma regular de
Engenharia de Alimentos, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, obtendo-se
resultados satisfatórios, e também temos nomes de D’Ambrosio e Veronez grandes
pensadores e pesquisadores matemáticos que contribuem para o avanço da modelagem
matemática no Brasil.
Modelagem Matemática
Modelagem é o processo de aproximar ou transformar problemas concretos do
mundo real em modelos de problemas que simulem de forma ótima o objetivo de estudo
e assim póder resolvê-lo para interpretar suas soluções de forma clara.
Interpretação
Processo de modelagem
Modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo que
tenta descrever matematicamente um fenômeno da nossa realidade para tentar
compreende-lo, criando hipóteses e reflexões sobre tais fenômenos.
Etapas da modelagem
Primeira etapa, consiste em reconhecer a existência de um problema real, no
sentido de ser significativo, isto é determinar a situação do problema a se
modelado, quer dizer, determinar o fator de impacto no mundo.
Segunda etapa, designando o problema, na segunda etapa devemos conhecer o
problema e simplificá-lo, não simplificando o problema real e sim introduzimos
hipóteses que simplificam sua abordagem.
Terceira etapa, que consiste na resolução do modelo decorrente através de
diversas áreas do conhecimento, nessa etapa é muito importante a aproximação
do modelo a considerar.
Problema original
Solução exata
Processo cognitivo
Modelo
Solução aproximada
Quarta etapa, temos a avaliação das soluções encontradas na etapa anterior de
acordo com a questão real do problema a modelar.
Quinta etapa e ultima etapa da modelagem, que devemos ter em consideração é
definir a tomada de decisão com base nos resultados obtidos.
Exemplo: desejamos combater biologicamente uma praga de insetos em uma plantação
sem o uso de substancias agroquímico, fazer uma modelagem do problema.
A estratégia a utilizar é a seguinte, controlamos a população de insetos fazendo
uma plantação inicial da planta atacada com o objetivo de atrair os insetos a serem
combatido, para posteriormente serem recolhidos.
No caso possível de obter resultados positivos, teremos determinado na verdade
o fator impacto do problema, pois , sem o uso de substâncias químicas, o custo
econômico resulta ser muito confortável, determinando dessa forma a situação problema
da primeira etapa.
A B
D C
Hipótese de simplificação Problema
concretoProblema matemático
Tomada de decisão
Resolução aproximada do problema matemático
Validação da solução
E F
I g
Supondo que a região da plantação tenha uma área retangular e que a produção
da plantação seja igual a área plantada, estamos na verdade simplificando as hipóteses
da segunda etapa.
A obtenção e resolução do modelo matemático seja x a largura da faixa ao redor
do campo retangular EFGH. Considerando um campo retangular de dimensões u=90 e
N=45 dados em metro, com um porcentual Maximo de perda p=5% as dimensões do
retângulo interior EFGH são 90-2x e 45-2x metros.
Depois desse exemplo e dessas definições de modelagem matemática vamos
citar algumas técnicas que ajudar uma modelagem mais precisa, técnicas estas mais
utilizadas por pesquisadores, matemáticos, estatísticos, são conhecimentos que os
professores que desejam aplicar atividade de modelagem, devem ter para o
enriquecimento, pois atividades como essas sempre aparecem algumas situações não
previstas então venho mostrar que não bastar somente ter conhecimentos básicos
matemática e didática mais um pouco da matemática do ensino superior.
Método dos mínimos quadrados
Métodos mínimos quadrados
Ajustes de curvas é um conjunto de técnicas numéricas que tem por objetivo
expressar algumas tendências da relação de duas grandezas. Então ela fornece uma
relação funcional de uma variável dependente y quando relacionada com a variável
independente x. desta forma quando queremos manipular, uma função complicada
y=f (x )=cos ( ecot 2x ) que estabelece uma relação entre as grandezas x e y, ou então
quando queremos encontrar uma aproximação para a função que nem são conhecidas, o
mais recomendável é fazer uma aproximação através de um ajuste de curvas.
Ajuste linear
Ajuste linear para modelo exponencial
Ajuste linear para o modelo geométrico
Ajuste quadrático
O método consiste na obtenção da curva de regressão ou ajuste de curva que
aproxime um conjunto de dados predefinidos ou valores de uma função que admite:
A={(y1, x1), (y2,x2),..., (yn,xn)} (1)
seja uma função f : R k+1 → R , y (x)=f (x ;α 1 , α 2 , ... , αk)onde α 1 , α 2 , ..., αk
são os parâmetros desconhecidos. O método dos mínimos quadrados consiste em
determinar esses parâmetros de modo que minimize o valor de
S(x; α1,α2,...,αk)=∑[j (x; α1,α2,...,αk)-1/i]² (2)
A soma consiste em minimizar a soma dos quadrados de
ε=f (x ;α 1, α 2, …, αn)−1i
(3) entre os diversos valores de Yi observados e os valores
ajustados y(xi)=f(x;α1,α2,...,αn) os valores ԑi são chamados de desvios que nada mais é
que os valores errados.
* *
* *
*
x
Definição de ajuste linear
Suponhamos que as grandezas x e y, cujas medidas são dadas por (1) se
relacionam linearmente. Um ajuste de curva é denominado linear, se a função f : R³→ R
é definida por f (x, a,b)= ax+b.
Em outras palvras, um ajuste é linear se é definida pela equação da reta
y(x)=f(x,a,b)=ax+b.
Devido a erros de medida, os valores (xi, yi) não necessariamente satisfazem a
equação (3), isto é, yi≈axi+b; para que essa equação se torne numa igualdade, devemos
levar em conta os erros ou desvios ԑ cometidos nas medidas assim ,
Yi=(axi+b)+ԑi
Portanto ԑi também depende d a e b:
ԑi(a,b)=Yi – (axi+b)
A soma dos quadrados dos desvios é dada por:
S(a,b)=∑[Yi-axi-b]²
x1 x2 x3 xn
y
yn
y3
y2
y1
Aplicando o método dos mínimos quadrados, temos que os melhores valores
para a e b ( e portanto a melhor reta) são aqueles que minimizam S(a,b).
*
* *
* * *
Como S é uma função de duas quantidades a e b, escrevemos essas condições
necessárias de mínimos comuns como:
∂ s∂ a
=0 e∂ s∂ B
=0 ou seja:
−2 ∑(xiyi−ax ² i−bxi)=0 ,−2∑(Yi−axi−b)=0
De onde obtemos as camadas equações normais.
∑xiyi=∑(bxi+ax²i)
∑yi=∑(axi+b)
a=[∑
i=1
n
xi ]❑
[∑i=1
n
yi ]−n[∑i=1
n
x iyi❑][∑
i=1
n
xi ]²−n[∑n=1
n
x ² i]
b=[∑
i=1
n
xiyi]❑
[∑i=1
n
xi ]−[∑i=1
n
x i2] [ ]∑i=1
n
yi
[∑i=1
n
xi ]²−n [∑n=1
n
x ² i ]
Exemplo: foram obtidos os seguintes dados do peso e o comprimento médio de uma
família de atuns em relação a sua idade t:
Idade Comprimento (cm) Peso (gr)
Yn
Y5
Y4
Y3
Y2
Y1
X1 x2 x3 x4 x5 xn
(t)
2 163,9 0,68
3 170,0 0,91
4 176,1 1,0
5 182,3 1,2
6 188,3 1,38
7 195,4 1,48
8 203,2 1,69
9 210,0 1,8
10 212,7 2,3
Queremos investigar a tendência deo crescimento em relação ao peso de uma família de
atuns no período de dez anos.
Soluça:
Então podemos estabelecer uma relação de dependência entre as grandezas t=idade e
y=peso do atum relacionado às grandezas, através dos pares ordenados (ti, yi),
i=1,2,...,9. De acordo com a equação () e (), n=9, devemos calcular as somas de ti, yi,
tiyi, t²i.
ti Yi tiyi t²i
2 0,68 1,36 4
3 0,91 2,73 9
4 1,0 4,00 16
5 1,2 6,00 25
6 1,38 8,28 36
7 1,48 10,36 49
8 1,69 13,52 64
9 1,8 16,20 81
10 2,3 23,0 100
∑i=1
9
ti=54 ∑i=1
9
yi=12,44 ∑i=1
9
tiyi=85,45 ∑i=1
9
t ² i=384
a=(54 ) (12,44 )−(9 )(85,45)
(54 )2−(9 )(384 )=
−9729−1309,05
=0,074
b=(85,45 ) (54 )− (384 )(12,44)
(54 )²−9 (384)=0,301
Portanto a equação que defini a reta no sentido dos mínimos quadrados é dado
por;
y (t )=0,074 ti+0,301
Esta equação define uma reta que passa pelos seguintes pontos corrigidos:
Ti y (ti )=0,074 ti+361,4
2 0,449
3 0,523
4 0,597
5 0,670
6 0,745
7 0,819
8 0,893
9 0,967
10 1,041
Ajuste linear para o modelo exponencial
Suponhamos que a formulação de um modelo matemático é definido por meio
de uma função de tipo exponencial.
y(x)=β eαx , β>0 (9)
Fazendo a mudança de variável z=lny com objetivo de transformar a equação
que define o modelo (9) na forma de uma equação de uma reta, obtemos ao tomar
logaritimo em (9).
z (x )=lny=αx+lnβ (10)
Desta forma, podemos fazer um ajuste linear para o modelo exponencial, pois é
mais fácil lidar com (10) do que com equação (9). Tomando a=α e b=ln β , a equação da
reta ajustada ou equação auxiliar é z=ax+b→f(x,a,b).
Exemplo: aumento de células cancerosas num tumor por unidade de tempo t, supondo o
tempo de duplicação das células constantes é dado através dos seguintes dados
experimentais:
Tempo (dias) Numero de Células (miles)
1,5 1,778
2,5 2,611
4,0 4,642
5,0 6,813
6,5 12,11
Com estes dados determine a dependência funcional do número de células N(x)
do tumor em relação ao tempo t mediante de um ajuste linear.
Através do gráfico de dispersão de dados (ti, Ni), i=1,...,5.
1 2 3 4 5 6 70
2
4
6
8
10
12
14
Vemos que a relação funcional procurada N(x) é da forma: N(x)=βе^(αt) β>0, α<0.
Utilizando a mudança de variável y(t)=lnN(t), obtemos (11) a expressão linear nas
novas variáveis utilizando os dados da tabelas, obtemos os dados auxiliares.
∑i=1
5
ti=9,5∑i=1
5
yi=7,481∑i=1
5
t ² i=91,75∑i=1
5
tiyi=35,201
Nas equações (7) e (8) obtemos:
a=(19,5 ) (7,481 )−(5 )(35,201)
(19,5 )2−5(91,75)=0,383
b=(32,201 ) (19,5 )−(91,75 )(7,481)
(19,5 )2−5(91,75)
Portanto, obtemos a equação da reta ajustada (reta auxilia):
y=lnN=0,383t-0,00048
Como a=α e b=lnβ obtemos β=eb=e−0,00048=0,9995a função exponencial é
N (t )=0,383 e0,9995t , ∀ t ≥ 0
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1
0
1
2
3
4
5y=0,383t-0,00048
Ajuste da reta y=0,383t-0,00048 aos pontos (t,lnt).
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
50
100
150
200
250N(t)=0,383e^0,995t
Ajuste linear para modelo geométrico
Suponhamos que a formulação do modelo matemático é definido através de um
modelo de tipo geométrico, isto é:
Y(x)αx^β, α>0 e β>0 (12)
Tomando o logaritmo neperiano na equação (12) transformando o problema na
forma.
Lny=lnα+βlnx1 (13)
Fazendo a mudança de variável.
Y=lny e x=lnx (14)
Obtemos em (13):
Y=a+βx onde a=lnα (15)
Tomando b=β a equação da reta ajustada ou equação auxilia é
Y=a+bx (16)
Com os dados do exemplo 1da relação do peso (gr) e comprimento (cm) dos
atuns; determinar a dependência funcional do peso dos atuns y(x) em relação ao
comprimento x mediante um ajuste linear como vimos no exemplo 1, a relação
funcional que modela o problema é formulada pela função potencial:
y ( x )=α x β
Onde α é a taxa de metabolismo e β dá informações em termos matemáticos da
forma do atum. A teta ajustada da por (15) é
y=a+bx
Devemos encontrar os parâmetros a e b por meio de um ajuste:
{(xi,yi)}={(163,9;0,68),(170,0;0,91),(176,1;1,0),(182,1;1,2),(188,3;1,38),(195,4;1,38),
(200,3;1,68),(210,0;1,8),(212,7;2,3)}
Xi=lnxi Yi=lnyi xiyi X²i
5,099 -0,385 -1,963 25,999
5,135 -0,094 -0,482 26,368
5,171 0 0 26,739
5,205 0,182 0,947 27,092
5,238 0,322 1,686 27,436
5,275 0,392 2,067 27,825
5,314 0,524 2,784 28,238
5,347 0,587 3,138 28,590
5,359 0,832 4,438 28,718
∑i=1
9
xi=47,143 ∑i=1
9
yi=2,36 ∑i=1
9
xiyi=12,615 ∑i=1
9
x ² i=247,005
Aplicando o método dos mínimos quadrados para estimar os parâmetros.
a=(47,143 )−9(12,615)
(47,143 )2−9(247,005)=3,907
b=(12,615 ) ( 47,143 )− (247,005 )(2,36)
(47,143 )2−9(247,005)=20,2
Portanto, y=3,907x+20,2
Sendo a=lnα, temos que α=ea=e3,907 ≅ 49,749.Assim, obtemos y=49,749 x20,2
150 160 170 180 190 200 210 2200.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
ajuste geometrico relação peso com-primento dos atuns
Ajuste quadrático
Seja x,y duas grandezas cujas medidas são dadas por (1). Um ajuste de curvas é
denominado ajuste quadrático, se a função que relaciona as grandezas é definido por f:
f : R4 →R f ( x ;a , b , c )=a+bx+cx ², isto é, um ajuste quadratico é definido pela equação
de uma parábola.
y ( x )=f ( x ;a , b , c )=a+bx+cx ²(17)
Aplicando o método dos mínimos quadrado, determinamos os parâmetros a,b e c
minimizando a função;
S (a , b e c )=∑i=1
n
[¿ f ( x ;a ,b , c )− yi ] ²=∑i=1
n
[a+bx+c x2− yi ] ² ¿
As condições necessárias de mínimos são dadas pelas equações:
∂ S∂ a
=0∂ S∂ b
=0∂ S∂ c
=0
Isto é:
{ ∑i=1
n
¿na+b∑i=1
n
xi+c∑i=1
n
xi ²
∑i=1
n
¿a∑i=1
n
xi+b∑i=1
n
x ²i+c∑i=1
n
x4 i
∑i=1
n
¿a∑i=1
n
x ² i+b∑i=1
n
x ³ i+c∑i=1
n
x4 i
(18)
Ajustar uma parábola de mínimos quadrados da forma y(x)=a+bx+cx² para os
dados da tabela seguintes.
x 1,2 1,8 3,1 4,9 5,7 7,1 8,6 9,8
y 4,5 5,9 7 7,8 7,2 6,8 4,5 2,7
Devemos utilizar a equação (18)
x²i x³i x4 i xiyi x²iyi
1,44 1,73 2,08 5,40 6,48
3,24 5,83 10,49 10,62 19,12
9,61 29,79 92,35 21,70 67,27
4,01 117,65 576,48 38,22 187,28
32,42 185,19 1055,58 41,04 233,93
50,41 357,91 2541,12 48,28 342,79
73,04 636,06 5470,12 38,70 332,82
96,04 941,19 9223,66 26,46 259,31
∑i=1
8
x ² i=291,2 ∑i=1
8
x ³ i=42,2 ∑i=1
8
x4 i=18,9792 ∑i=1
8
xiyi=230,42 ∑i=1
8
x ² iyi=1449
∑i=1
8
xi=42,2 ,∑i=1
8
yi=46,4
Para n=8, as equações normais (18) são:
{ 8 a+42,2 b+291,20 c=46,442,2 a+291,20 b+2275,35 c=23042
291,20+2275,35 b+18971,92 c=1449
Resolvendo o problema algébrico anterior, obtemos a=2,588, b=2,065, c=-
0,2110, daí, a parábola requerida pelo método dos mínimos quadrados tem a equação:
Y=2,588 +2,065b-0,2110x².
Equações diferenciais
Variações Discretas: uma variável discreta é uma variável que toma valores
variados e isolados, ou seja não admite valores intermediários entre dois valores
específicos. O conjunto formado por valores de uma variável discreta é chamado
de conjunto discreto. Desta forma uma sequencia finita de números reais
{x1,x2,x3,...,xn} cada elemento da sequencia é chamado de valor discreto, e a
variável x recebe o nome de variável x recebe o nome de variável discreta. O
conjunto finito {x1,x2,x3,...,xn}, formandos por valores de uma variável discreta
x é denominada conjunto discreto. Em outras palavras, um conjunto é discreto se
existe uma correspondência objetiva entre os elementos de um conjunto em um
subconjunto dos números naturais {1,2,3,...,n}.
Se desejarmos encontrar um numero de um numero capturados em uma empresa
pesqueira em cada mês n durante um ano devemos usar uma sequencia finita xn
para representar o numero de peixes capturado no mês n, isto é {x1,x2,x3,...,xn}
é o conjunto discreto e o numero de peixes x é a variável discreta.
Variações continuas: seja D={y1,y2,y3,...,yn} um conjunto, a variável discreta y
está é uma relação á grandeza x através da função f: AcR→R, isto é y=f(x), ∇ x
ϵ A subconjunto próprio de R. uma variação discreta se os valores da imagem da
função f, isto é, y=f(x) pertence ao conjunto discreto D. E por sua vez a variação
total ou as vezes chamadas de y=f(x)ϵD em relação ao intervalo [x1,x2] é
definido por
∆y=y2-y1=f(x2)-f(x1) (1)
∆y também é chamado de incremento de y. Se ∆y>0 o se ∆y<o, então a função f
aumenta e diminui em tamanho respectivamente. Se ∆y=0, a função permanece
inalterada.
Inserção da modelagem no ensino
Ao percorrer do século XXI, grandes avanços tecnológicos foram surgindo e
trazendo inúmeras facilidades na vida dos seres humanos. Com esses avanços sente-se
a necessidade de melhorar o Ensino da Matemática, que se faz presente nos avanços
tecnológicos. Assim surge a Modelagem Matemática, trazendo uma melhor forma de
ensino e aprendizagem. Aristides Barreto e Rodney Bassanezi foram os primeiros a
implantar a modelagem na educação brasileira, Bassanezi afirma que, a modelagem
consiste em pegar situações do dia-a-dia e transformar em situações matemáticas,
resolvendo da forma mais usual e que depois possam ajudar em outras situações. Já
Veronez diz que é um processo que parte do real, passa pela obtenção de um modelo e
vai para o analise e interpretação da solução. Burok explica que é algo que vai ajudar o
homem a resolver, matematicamente, os problemas do cotidiano. E D’Ambrosio coloca
que deve associar a realidade com o conteúdo e que não deve ser apenas uma solução
sem sentido, mas sim algo que tenha uma finalidade. Podemos concluir que ela veio
para melhorar, trazer um modelo que ajude a resolver problemas que se possa usar de
várias formas.
BASSANEZI (2002) mostra a importância da metodologia da modelagem matemática
da seguinte maneira:
Arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos, resolvê-los e,
então interpretar suas soluções na linguagem do mundo real, é um processo dinâmico e
atraente. Uma modelagem eficiente permite fazer previsões, tomar decisões, explicar e
entender, enfim, participar do mundo real com capacidade de influenciar em suas
mudanças. (BASSANEZI, 2002, pág.16. ).
A ciência é uma atividade desenvolvida pelo homem com a finalidade de compreender a
natureza por meio de teorias adequadas e mesmo que a natureza continue existindo sem
essas teorias, o homem necessita utilizá-las para avançar em seus conhecimentos e
tomar futuras decisões corretamente. É um fenômeno cumulativo natural e este depende
de codificações e símbolos associados a representações orais ou visuais. (BASSANEZI,
2002, pág.17).
Ainda sobre a modelagem matemática, diz Ubiratan D’Ambrosio que:
A modelagem matemática é matemática por excelência. As origens das ideias centrais
da matemática são o resultado de um processo que procura entender e explicar fatos e
fenômenos observados na realidade. O desenvolvimento dessas ideias e sua
organização intelectual dão-se a partir de elaborações sobre representações do real. A
linguagem desde a natural, até a mais específica e formal, permite compartilhar
socialmente essas ideias, estruturando-as como teoria. (BASSANEZI, 2002, prefácio).
Para Burak,
A modelagem matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é
construir um paralelo para tentar explicar matematicamente os fenômenos do qual o
homem vive e seu cotidiano, o ajudando a fazer predições e a tomar decisões. (BURAK,
1987, p. 22).
Ela traz benefícios aos alunos desenvolvendo o pensamento lógico-matemático,
tornando mais rico o processo de ensino-aprendizagem e contribuindo de forma
significativa, para a formação do hábito da investigação. (BURAK, 2000).
A maior dificuldade que notamos para a adoção do processo de modelagem, pela
maioria dos professores de matemática, é a transposição naturalmente criada pelo
ensino tradicional onde o objeto de estudo apresenta-se quase sempre bem delineada,
obedecendo a uma sequencia de pré-requisitos e que vislumbra um horizonte claro de
chegada – tal horizonte é muitas vezes o cumprimento do programa da disciplina.
( BASSANEZI, 2002, pág.43. ).