Hållfasthetslära 7,5 högskolepoäng

Strength of Materials 7.5 Credits

Provmoment: Tentamen

Ladokkod: TM091B

Tentamen ges för: Maskiningenjör - Produktutveckling

Tentamensdatum: 12 januari 2018

Tid: 9.00 – 13.00

Hjälpmedel:

Tore Dahlbergs formelsamling

TeFyMa eller annan liknande formelsamling inom fysik och matematik

Valfri miniräknare

Passare och linjal

Total antal poäng på tentamen : 50 poäng

För att få respektive betyg krävs:

För betyg 3 krävs 20 poäng

För betyg 4 krävs 30 poäng

För betyg 5 krävs 40 poäng

Rättningstiden är i normalfall tre veckor

Viktigt! Glöm inte att skriva namn på alla blad du lämnar in

Lycka till!

Ansvarig lärare:

Telefonnummer:

Frågor

Questions

1. Bestäm E-modul och Poissons tal för en metallstång som är 30 cm lång, 4 cm bred och 4 cm tjock

när stången utsätts för en axiell kompressiv belastning på 400 kN. Minskningen i längd är 0,075

cm och ökningen i bredd 0,003 cm. (2 poäng)

Determine the E-modulus and Poisson’s ratio of a metallic bar of length 30 cm, breadth 4 cm and

depth 4 cm when the bar is subjected to an axial compressive load of 400 kN. The decrease in

length is given as 0.075 cm and increase in breadth is 0.003 cm (2 points)

2. Ett element utsätts för spänningar enligt figur. Bestäm normalspänning och skjuvspänning längs

45°. (5 poäng)

A point in a strained material is subjected to stresses shown in figure. Determine the normal and

shear stresses along 45°. (5 points)

3. Beskriv hur man ritar Mohr’s cirkel och hur man hittar maximal skjuvspänning? (5 poäng)

How to draw Mohr’s circle and find maximum shear stress? (5 points)

4. Rita en 3D kub och rita ut spänningstensorn matrix som uttrycker bade normal- och

skjuvspänning (2 poäng)

Draw a 3D cube and write the stress tensor matrix expressing both normal and shear stress. (2

points)

5. Det är lättare att svänga hammaren om du håller den i huvudet än om du håller den i skaftet.

Förklara varför. (2 poäng)

It is easier to swing the hammer if you hold the head than if you hold by handle. Why? (2 points)

6. Beräkna tröghetsmomentet för tvärsnittet i den horisontella axeln som går genom sektionens (se

figuren nedan) tyngdpunkt. (5 poäng)

Find the moment of inertia of the section about the horizontal axis passing through the centre of

gravity of the section (5 points)

7. Om vridmomentet ökar, kommer förvridningsvinkeln att öka eller minska? Svaret skall motiveras.

(2 poäng)

If torque increases, will angle of twist increase or decrease? Motivate (2 points)

8. En solid axel överför 515 kW vid 100 rpm. Beräkna vridmomentet som överförs av axeln. (2

poäng)

A solid shaft is to transmit 515 kW at 100 rpm. Find the torque transmitted by the shaft. (2

points)

9. En solid axel med 20 mm diameter överför en effekt vid 600 rpm. Den maximala skjuvspänningen

är 50 N/mm2. Beräkna den överförda effekten. (2 poäng)

A solid shaft of 20 mm diameter transmits power 600 rpm. The maximum shear stress is 50

N/mm2. Calculate power transmitted (2 points)

10. Axeln BC är ihålig med en inre diameter på 90 mm och en yttre diameter på 129 mm. Axlarna AB

och CD är solida med diametern d. Beräkna

(i) den största och den minsta skjuvspänningen i axeln BC (3 poäng)

(ii) den minsta diameter d för axlarna AB och CD som krävs för att skjuvspänningen i axlarna

i axlarna inte ska överstiga 65 MPa (3 poäng)

Shaft BC is hollow with inner and outer diameters of 90 mm and 129 mm, respectively. Shafts AB

and CD are solid of diameter d. For the loading shown, determine

(i) The maximum and minimum shearing stress in shaft BC (3 points)

(ii) The required diameter d of shafts AB and CD if the allowable shearing stress in the shafts

is 65 MPa (3 points)

11. En konsolbalk (se nedan) med längden 1,5 m utsätts för belastningar. Rita diagram för skjuvkraft

och för böjmoment. (5 poäng)

A cantilever beam of length 1.5 m carries loads. Draw the shear force and bending moment

diagrams (5 points)

12. En konsolbalk med 2 m längd bär en jämnt varierande last av 25 kN/m vid den fria änden och 75

kN/m vid den fasta änden. Om E = 1*105 N/mm2 och I = 1*108 mm4, bestäm

(i) Lutningen vid den fria änden (3 poäng)

(ii) Utböjningen vid den fria änden. (3 poäng)

A cantilever of length 2 m carries a uniformly varying load of 25 kN/m at the free end to 75 kN/m

at the fixed end. If E = 1*10^5 N/mm2 and I = 10^8 mm4. Determine

(i) Slope at the free end (3 points)

(ii) Deflection at the free end (3 points)

13. Vad är skillnaden mellan knäckning och böjning? (2 poäng)

What is the difference between buckling and bending? (2 point)

14. Vad innebär det att använda FEM? (1 poäng)

What is the use of FEM? (1 point)

15. Hur hjälper FEM till att lösa ett givet problem? Skriv steg för steg. (3 poäng)

How the FEM helps to solve the given problem? Write step by step (3 points)

Name Formula Unit Notes

Area of a rod Area of a cylindrical rod

= π

4𝐷2

mm2, cm2, m2 Solid rod

Area of a hollow rod

Area of hollow cylinder

=𝜋

4(𝐷2 − 𝑑2)

mm2, cm2, m2 Tubes are example

Area of a rectangular bar

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑜𝑓 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑏𝑎𝑟 = 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ ∗ 𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑡ℎ

mm2, cm2, m2 When you calculate stress at a particular area; one should be careful to choose which is length and breadth

Volume of cylinder V=πr2L

mm3, cm3, m3 Check the unit

Volume of rectangular bar

V=L*b*t mm3, cm3, m3 Check the unit

Factor of safety (FoS)

𝐹𝑜𝑆 =𝑈𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠

𝑊𝑜𝑟𝑘𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠

No unit See stress-strain curve

Stress, σ 𝜎 =

𝐿𝑜𝑎𝑑

𝐴𝑟𝑒𝑎=

𝑃

𝐴

N/m2 (or) Pa And variations like N/mm2, MPa, GPa etc.

This suits for all stresses such as tensile, compresssive, etc.

Strain, ε 휀 =

𝑆𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠

𝐸 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑢𝑠=

𝜎

𝐸

휀 = 𝐶ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ

𝑂𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑡ℎ=

𝛿𝐿

𝐿

No unit Check the formula for E modulus formula. G (shear modulus) has similar expression

Elongation, δL 𝛿𝐿 = 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛 ∗ 𝐿 = 휀 ∗ 𝐿 mm, cm, m Compare it with strain formula. If it is % elongation, then the value should be multiplied by 100

Longitudinal strain

No unit This is along the applied force

Lateral strain

No unit Perpendicular to the applied force

Poisson’s ratio

𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛′𝑠 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜, = 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛

𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛

No unit Necessary to understand what are lateral and longitudinal strains

Stress Concentration

No unit Stress near the hole – sigma max

Stress for viscoelastic material

σ(t) = E ε(t) + η d ε d t

N/m2 (or) Pa And variations like N/mm2, MPa, Gpa etc.

You have elastic and viscous parts

Relation between E, G and υ

N/m2 (or) Pa; and variations like above

E, G and Poisson’s ratio calculated

Condition Sketch Formula

Varying sections

Tapering circular rod

Tapering rectangular rod

Composite bar

Thermal stresses

(alpha is co-efficient of linear expansion and T is temperature rise)

(NOTE: if the support expands then the actual expansion of the material – expansion of the support gives actual expansion)

Thermal stresses in composite bars

Volumetric strain of rectangular bar

𝑒𝑣 =𝑐ℎ𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑖𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒=

𝛿𝑉

𝑉

= δLbd + δbLd + δdLb

L ∗ b ∗ d=

𝛿𝐿

𝐿+

𝛿𝑏

𝑏+

𝛿𝑑

𝑑

𝑒𝑣 = (𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛) + 2 (𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛)

𝑒𝑣 = (𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛)

+2 (−𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛′𝑠 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 ∗ 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛)

𝑒𝑣 = longitudinal strain (1-2μ)

𝒆𝒗 = 𝜹𝑳

𝑳(𝟏 − 𝟐𝝁)

Volumetric strain of rectangular bar subjected to 3 forces

Volumetric strain of cylindrical rod

General state of stress – stress at a point

Normal stresses and shear stresses are denoted as showed.

Stress tensor - matrix

Six stress components

Equality of cross-shear

τ yx = τ xy τ xz = τ zx τ yz = τ zy

Differential equations of equilibrium – stress

Transformation of plane stress

Principal stress and principal angle (maximum and minimum normal stress)

Maximum shear stress

Relation between principal and maximum shear

Trignometric Identities and values

Different Types of Forces

TORSION

Condition Formula Diagram

Torsional shearing stress

J-polar moment of inertia

Polar moment of inertia

Angle of twist

This is always in radians, degree should be

converted into radians

Power transmitted

f – is in seconds; you could have rotations in minute, then the formula is divided by 60

Shear strain

𝛾𝑚𝑎𝑥 =𝑟𝛷

𝐿

By Hooke’s law in the elastic range, Strain=shear stress/shear modulus

Stress concentration

Polar moment of inertia

Polar moment of inertia changes

So the shear stress also changes: Thin walled,

, r is average Thick walled, J in the above equation is substituted from the table

Arbitrary cross section

Torque, T = 2 τ(s) t(s) A

Shear stress, 𝜏(𝑠) =𝑇

2𝐴𝑡(𝑠)

A = area

Angle of twist

CENTRE OF GRAVITY AND MOMENT OF INERTIA

Condition Formula Diagram

First moment of inertia

Centroid/Centre of gravity

Area moment of inertia (Second moment of inertia)

Mass moment of inertia

I = m1 r12 + m2 r22+…

Parallel Axis Theorem

M – mass/area R – distance from center axis to new axis

Rotated axis Moment of inertia of the new axis

Principal axes and corresponding moment of

inertia

BENDING MOMENT AND SHEAR FORCE DIAGRAMS