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8/3/2019 Http Ubuntuone

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P r o p e r t i e s O f T r i a n g l e s

T r i g o n o m e t r y

V i d y a l a n k a r C l a s s e s

R a n k e r s B a t c h , I I T J E E 2 0 1 3

S a c h i n G a d k a r , @ V i d y a l a n k a r P r o p e r t i e s O f T r i a n g l e s
http://goforward/http://find/http://goback/


2/54

P r e - r e q u i s i t e s f o r P r o p e r t i e s o f T r i a n g l e

O u t l i n e

http://find/http://goback/


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W h y s t u d y T r i g o n o m e t r y ?

W h y P l a n e t r i g o n o m e t r y ?

C o m p o u n d A n g l e s , D o u b l e / T r i p l e a n g l e

O u t l i n e

1







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Q u e s t i o n s

W h a t ' s s o s p e c i a l a b o u t t h e t r i g o n o m e t r i c r a t i o s , w h i c h r e s u l t e d i n

n a m i n g t h e m a n d d e n i n g t h e m i n s i d e a r i g h t t r i a n g l e ?

W e c a n s e e f r o m s i m i l a r i t y t h a t t h e s e r a t i o s

a l w a y s r e m a i n c o n s t a n t d u e t o s i m i l a r i t y o f

t r i a n g l e s . A n d h e n c e w e s e e p r i n c i p l e o f

i n v a r i a n c e p l a y i n g a v i t a l r o l e i n n e e d t o d e n e

a n d s t u d y t h e i r c h a r a c t e r i s t i c s f o r f u r t h e r u s e i n

o t h e r b r a n c h e s .



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R i g h t T r i a n g l e

I n a r i g h t t r i a n g l e

T r i g o n o m e t r y i n s i d e a r i g h t t r i a n g l e i s d e n e d a s

s i n =o p p

h y p

=A B

A C

c o s=

a d j

h y p

=B C

A C

t a n=

o p p

a d j

=A B

B C

s e c=

1

c o s

c o s e c =

1

s i n

c o t =1

t a n

P y t h o g o r a s g i v e s u s

s i n

2 +c o s

2 =1

s e c

2

t a n

2 = 1c s c

2

c o t 2 = 1S a c h i n G a d k a r , @ V i d y a l a n k a r P r o p e r t i e s O f T r i a n g l e s


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O u t l i n e

1







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R i g h t T r i a n g l e T r i g o t o P l a n e t r i g o

M a t h e m a t i c i a n s n e e d t o g e t t h e

c o m p o n e n t s a l o n g w i t h t h e i r

d i r e c t i o n i n d i c a t o r s ( s i g n s ) w h i l e

P h y s i c i s t s a r e h a p p y t o w o r k

t h e m a s r i g h t t r i a n g l e i n a n y

g i v e n o r i e n t a t i o n . B u t l a t e r , w h e n

s i t u a t i o n g e t s m o r e c o m p l i c a t e d

t h e i d e a o f v e c t o r s c o m e s a n d

h e l p s p h y s i c i s t s w h i c h u s e s t h i s

p l a n e t r i g o n o m e t r y i d e a , c r e a t e d

b y m a t h e m a t i c i a n s .



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A n g l e M e a s u r e

D e n i t i o n

R a d i a n M e a s u r e o f A n g l e

O n e r a d i a n i s t h e a n g l e m a d e b y a n a r c

a t t h e c e n t e r s u c h t h a t a r c l e n g t h e q u a l s

r a d i u s o f t h i s s e c t o r

C o r o l l a r y

T h e r e f o r e

A r c l e n g t h ( s ) = R a d i u s ( R ) A n g l e ( )

c 1 8 0



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C o n v e n t i o n s i n P l a n e t r i g o

N e e d t o h a v e c o n v e n t i o n s

I n r e a l l i f e a n d s a m e w i t h M a t h e m a t i c s , w e a l w a y s a r e i n t e r e s t e d i n

g e t t i n g u n i q u e s o l u t i o n t o a l l o u r p r o b l e m s , s a y A p e r s o n w e i g h i n g h i s

w e i g h t w i l l e x p e c t a s i n g l e a n s w e r f r o m t h e m a c h i n e , t h e m a c h i n e c a n n o t

s a y i t s 4 0 o r 3 0 o r b o t h . A n d t h i s r e s u l t s t o d e n i n g t h e c o n v e n t i o n s i n

p l a n e t r i g o n o m e t r y .

C o n v e n t i o n s

1

A x i s a r e d i v i d e d a s p o s i t i v e a n d n e g a t i v e

2

A n g l e s a r e m e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o p o s i t i v e x

a x i s

3

A n t i - c l o c k w i s e r o t a t i o n i s p o s i t i v e a n d c l o c k w i s e r o t a t i o n i s n e g a t i v e

b y c o n v e n t i o n



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C o n v e n t i o n s i n P l a n e t r i g o

N e e d t o h a v e c o n v e n t i o n s

I n r e a l l i f e a n d s a m e w i t h M a t h e m a t i c s , w e a l w a y s a r e i n t e r e s t e d i n

g e t t i n g u n i q u e s o l u t i o n t o a l l o u r p r o b l e m s , s a y A p e r s o n w e i g h i n g h i s

w e i g h t w i l l e x p e c t a s i n g l e a n s w e r f r o m t h e m a c h i n e , t h e m a c h i n e c a n n o t

s a y i t s 4 0 o r 3 0 o r b o t h . A n d t h i s r e s u l t s t o d e n i n g t h e c o n v e n t i o n s i n

p l a n e t r i g o n o m e t r y .

C o n v e n t i o n s

1

A x i s a r e d i v i d e d a s p o s i t i v e a n d n e g a t i v e

2

A n g l e s a r e m e a s u r e d w i t h r e s p e c t t o p o s i t i v e x

a x i s

3

A n t i - c l o c k w i s e r o t a t i o n i s p o s i t i v e a n d c l o c k w i s e r o t a t i o n i s n e g a t i v e

b y c o n v e n t i o n



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W o r k i n g R u l e - P l a n e T r i g o

1

F o r m a t : R a t i o ( P i v o t A n g l e

A c u t e A n g l e )

2

P i v o t A n g l e c a n t a k e a n y v a l u e o n x o r y

a x i s . e . g 1 8 0

,9 0

,6 3 0

3

T h e a n s w e r c o m p r i s e s o f t w o p a r t s

1

S i g n : a s k w h i c h q u a d r a n t d o e s

P i v o t A n g l e A c u t e A n g l e l i e 2

T r i g - R a t i o : a s k w h i c h a x i s d o e s

P i v o t A n g l e l i e

4

C h a n g e r e s u l t s i n

s i n

c o s,

t a n

c o t,

s e c

c s c



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E x a m p l e s

I m p o r t a n t e x a m p l e s t o r e m e m b e r

s i n() = s i n

c o s() =

c o s

t a n(

) =

t a n

c o s() =

c o s

E x a m p l e

s i n(

3

) =

s i n

c o s ( 3 ) = c o s t a n

(+) =t a n

c o s(

2) =

c o s

c o s(

3

2 ) =

s i n

t a n(/

2+) =

c o t

s i n ([ 2 n + 1 ]/2 +) = (1 )n + 1 c o s c o s

([4 n

+3

]/2) =

s i n

s e c(

n+) =?



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O u t l i n e

1







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C o m p o u n d A n g l e s

W h a t a b o u t p r o b l e m s i n (/

3+)

?

T h e p r e v i o u s m e t h o d f a i l s a n d w e n e e d t o g e t t o c o m p o u n d a n g l e s .

U s i n g d i a g r a m

s i n(

A+

B) =

s i n A c o s B+

c o s A s i n B

U s i n g t r a n s f o r m a t i o n s

s i n(

A B ) = s i n A c o s B c o s A s i n Bc o s

(A

+B

) =c o s A c o s B

s i n A s i n B

c o s(

A

B) =

c o s A c o s B+

s i n A s i n B



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D o u b l e a n d t r i p l e a n g l e

s i n 2 =

2 s i n

c o s=

2 t a n

1+

t a n

2

c o s 2 = c o s 2 s i n 2 = 2 c o s 2 1 = 1 2 s i n 2 = 1 t a n

2

1

+t a n

2

t a n 2 =

2 t a n

1 t a n 2 s i n 3 x

=3 s i n x

4 s i n

3

x

c o s 3 x=

4 c o s

3

x 3 c o s x

t a n 3 x=

3 t a n x t a n 3 x1

3 t a n

2

x

1+

c o s 2 =

2 c o s

2

1 c o s 2 = 2 s i n 2



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I n t r o d u c t i o n

I d e n t i t i e s

C e n t r e s o f T r i a n g l e

S o l u t i o n o f T r i a n g l e s

F a c t o r i s a t i o n f o r m u l a e - e i t h e r d i r e c t i o n

D e n i t i o n

s i n C+

s i n D=

2 s i n

C+

D

2

c o s

C D2

s i n C s i n D = 2 c o s C

+D

2

s i n

C

D

2

c o s C+

c o s D=

2 c o s

C+

D

2

c o s

C

D

2

c o s C c o s D = 2 s i n C + D2

s i n

D C2

2 s i n A c o s B = s i n (A + B ) + s i n (A B )2 c o s A s i n B

=s i n

(A

+B

) s i n (A B )2 c o s A c o s B

=c o s

(A

+B

) +c o s

(A

B)

2 s i n A s i n B=

c o s(

A

B)

c o s(

A+

B)



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I n t r o d u c t i o n

I d e n t i t i e s

C e n t r e s o f T r i a n g l e

S o l u t i o n o f T r i a n g l e s

T r i a n g l e

I n a

A B C , w e d e n o t e m e a s u r e s o f t h e a n g l e s A,

B,

C w i t h t h e s a m e

l e t t e r s . A n d s i d e l e n g t h s o p p o s i t e t o A

,B a n d C w i t h a

,b

,c r e s p e c t i v e l y

T r i g o n o m e t r y u n d e r t h e c o n s t r a i n t o f

A =

a n d

0

c

a

b b t h e n N o t r i a n g l e c a n b e c o n s t r u c t e d

i f a s i n A=

b t h e n A s i n g l e r i g h t t r i a n g l e c a n b e c o n s t r u c t e d

i f a s i n A a t h e n O n l y o n e t r i a n g l e c a n b e c o n s t r u c t e d


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