hydrodynamik kontinuitatsgleichung¨ a2, rho2, v2 a1, rho1 ... · bernoulli 2.newton’sches...
TRANSCRIPT
Hydrodynamik
Kontinuitatsgleichung
A2, rho2, v2
A1, rho1, v1 Stromröhre
Massenerhaltung: ρ1v1A1︸ ︷︷ ︸m1
= ρ2v2A2︸ ︷︷ ︸m2
Massenfluss
inkompressibles Fluid: (ρ1 = ρ2 = konst)
Erhaltung des Volumenstroms : v1A1︸︷︷︸
Q1
= v2A2︸︷︷︸
Q2
Volumenstrom
1
Hydrodynamik
BeispielRohrstromung: A = konst
geschlossene Stromrohre
Wasserstrahl
m
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
3
m1
m2
geschlossenes Kontrollvolumenm1 = m2 + m3
2
Kontinuit at
WICHTIG: In der 1-dimensionalen Kontinuit atsgleichung ist ~vein Mittelwert der Geschwindigkeit. In Wirklichkeit ist ~v nichtkonstant wegen Reibungseffekten, Wirbeln, . . .!
x
y
h
Realitat~v = ~v(y)
~v ist konstantin der Kontinuitatsgleichung
Der Massenstrom muß der Gleiche sein
−→∫
ρv(y) dy = ρvh
3
Bernoulli
2.Newton’sches Gesetz:Masse × Beschleunigung = Summe der außeren Krafte
m · d~v
dt=∑
Fa
Bewegungsgleichung fur ein infinitesimales Element entlang einerStromlinie
sz
g
ρd~v
dt= −∂p
∂s− ρg
dz
ds− R‘
��
�
Tragheit
Druck
��
�
Gravitation
Reibung
4
Bernoulli
entlang einer Stromlinie: v = v(s, t)
d~v =∂~v
∂tdt +
∂~v
∂sds
−→ d~v
dt=
∂~v
∂t+
ds
dt
∂~v
∂s=
∂~v
∂t+ v
∂~v
∂s
totale
(substantielle)
Beschleunigung
eines Partikels
���������
lokale Beschleunigung
konvektive Beschleunigung
5
Beispiel
v(x)
A
v1(t) v2(t)
ρ
DiffusorRohrströmung
v0 = konst
A, ρ = konst
−→ v1(t) = v2(t)
nur lokale Beschleunigung nur konvektive Beschleunigung
6
Beispiel
Annahmen:
• inkompressibel (ρ = konst)
• reibungsfrei (R‘ = 0)
• stationar ∂∂t = 0
• konstante Gravitation (~g = konst)
ρ[∂v∂t + v∂v
∂s
]
= −∂p∂s − ρgdz
ds −R‘
= 0 = 0
f (s) −→ ∂∂s = d
ds
1
2ρ
dv2
ds= − dp
ds− ρg
dz
ds−→ ρ
2v2 + p + ρgz = konst
7
Druckmessung
statischer Druck: p (Index: 1, 2, a, ∞)
�������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������
��������������
p
p1
Totaldruck (Pitotrohr): p0, p01, p02, pt
p0 = p + 12ρv2 + ρgh
bei konstanter Hohe ∆h = 0
−→ p0 = p + 12ρv2
8
Druckmessung
Potentialdruck: ppot = ρgh
���������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������
h
dynamischer Druck: pdyn = 12ρv2
die kinetische Energie wird umgewandelt, wenn die Stromung auf~v = 0 verzogert wird
9
6.4
Aus einem großen Uberdruckbehalter stromt Wasser ins Freie. Zwi-schen den Querschnitten A1 und A2 wird die Druckdifferenz ∆p ge-messen.
A1 = 0, 3 m2, A2 = 0, 1 m2,A3 = 0, 2 m2, h = 1 m,ρ = 103 kg/m3, pa = 105 N/m2,∆p = 0, 64 · 105 N/m2 g = 10 m/s2
Bestimmen Siea) die Geschwindigkeiten v1, v2, v3,b) die Drucke p1, p2, p3 und den Druck p uber dem Wasserspiegel!
10
6.4
Druckbehalter mit Duse
z
12 3
pB h = konst.
gut gerundeter Einlass
Venturiduse
11
6.4
Erhaltung der Gesamtenergie entlang einer Stromlinie (qualitativ)p
p
s
pp
B
1 2
p3 = pa
rho g h
1/2 rho v1**2
1/2 rho v2**2
1/2 rho v3**2
Bernoulli: p0 = pB + ρgh = pi +1
2ρv2
i
12
6.4
Kontinuitat (Massenbilanz): =⇒ = m = ρQ = konst.
ρ = konst =⇒ v1A1 = v2A2 = v3A3 =⇒ A ↓ =⇒ v ↑ =⇒ p ↓
a) gemessen ∆p = p1 − p2 Bernoulli: p1 + ρ2v
21 = p2 + ρ
2v22
=⇒ ∆p = p1 − p2 =ρ
2(v2
2 − v21) > 0
v1 = v2A2
A1→ ∆p =
ρ
2
[
1 −A2
2
A21
]
v22 −→ v2 =
√√√√√
2
ρ
∆p(
1 −(
A2A1
)2) = 12
m
s
v1 = v2A2
A1= 4
m
sv3 = v2
A2
A3= 6
m
s
13
6.4
Die Venturiduse dient zur Massen- und Volumenstrommessun g!
Q = vA = v2A2
Prinzip:
• Messung von ∆p
• Berechnung von v2
• Berechnung von Massen- und Volumenstrom
14
6.4
b) Berechnung der Drucke pB, p1, . . . , p3
p0 stellt die Energie dar, die in kinetische Energie umgewandelt wer-den kann.
p0 = pB + ρgh = p1 +ρ
2v21 = p2 +
ρ
2v22 = p3 +
ρ
2v23
Wenn ein Druck bekannt ist, konnen die anderen mithilfe der Bernoulli-Gleichung berechnet werden.
p3 im Austrittsquerschnitt
Annahme: parallele Stromlinien amscharfkantigen Austritt
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
15
Bewegungsgleichung fur ein Element
������������������������������������������������
�����������������
�����������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
x z
p(x+dx)dA
������
������
���������������
���������������
���������������
���������������
p(x)dA
g
Bewegungsgleichung in x-Richtung fur ein mitbewegtes Kontrollvo-lumendAdx (enthalt immer die gleichen Partikel)
16
Bewegungsgleichung fur ein Element
mdudt = xρdAdx = p(x)dA − p(x + dx)dA
−→ xρdAdx = p(x)dA −(
p + ∂p∂xdx
)
dA −→ ρx = −∂p∂x
Annahme: parallele Stromlinien
−→ x = 0 Geschwindigkeit u = dxdt = x
−→ notwendige Bedingung: x = 0 −→ ∂p∂x = 0
=⇒ der Druck im Austrittsquerschnitt ist eine Funktion von y
Stromung in Luft:dp
dy= −ρg
Vern. der pot. Energie von Luft −→ pAustritt = pUmgebung = konst.
17
6.4
p3 = pa
Bemerkung:
Bernoulli: 0 −→ 3
pB + ρgh = pa + 12ρv2
3
−→ v3 =√
2ρ (pB − pa + ρgh)
offener Behalter pB = pa
−→ v3 =√
2gh 6= f (A3) Theorem von Torricelli (15.Okt. 1608 -25.Okt. 1647)
18
erweiterter Bernoulli
A Av1
2
rho = const.
Delta h ~ Delta p
2v
1
Verengung
Theoretischer Volumenstrom: Qth fur reibungsfreie Stromung
1. Bernoulli: p1 +ρ
2v21 = p2 +
ρ
2v22
2. Kontinuitat: v1A1 = v2A2
19
erweiterter Bernoulli
Verhaltnis der Querschnitte: m =A2
A1: −→ Konti v1 = v2m
−→ Bernoulli:p1
ρ+
1
2v22m
2 =p2
ρ+
1
2v22
−→ v22
(
1 − m2)
= 2p1 − p2
ρ= 2
∆p
ρ
−→ v2 =
√
2∆p
ρ(1 − m2)
−→ Qth = A2
√
2∆p
ρ(1 − m2)
20
erweiterter Bernoulli (Forts.)
In der Realitat entstehen Verluste durch Dissipation, Wirbel, . . .−→ Die Reibung muss berucksichtigt werden.
Die Verluste und die Kontraktion werden in derDurchflusszahl α zusammengefasst.
Wirbel, Dissipation
Qreal = αA2
√
2∆p
ρ
α aus Experimenten
Die Stromung in Rohren kann ebenfalls so bestimmt werden.
21
erweiterter Bernoulli (Forts.)
Druckverluste
• durch Rohrreibung (Durchmesser D, Lange L): ∆pv = λLD · 1
2ρv2
• in Einbauten (Krummer, Verengung, . . .): ∆pv = ζ · 12ρv2
Rohrreibungsbeiwert: λ =∆pv12ρv2
· D
L=
Druckverlustdynamischer Druck
· D
L
Verlustbeiwert: ζ =∆pv12ρv2
=Druckverlust
dynamischer Druck
−→ v =1√ζ
√
2∆p
ρ(1 − m2)=⇒ Q = v · A =
1√ζ
A
√
2∆p
ρ(1 − m2)
(Experimente, Standards −→ Katalog)
22
Hydrodynamik: unstetiger Bernoulli
rho
h(t)v
A
A
v
0
1
0
1
1
0
AnnahmeA1
A0≪ 1 −→ v0 ≪ v1
v0 ist vernachlassigbaraber h = h(t) und v1 = v1(t)
unstetiger Bernoulli von “0” nach “1”
pa +ρ
2v20(t) + ρgh(t) = pa +
ρ
2v21(t) +
1∫
0
ρ∂v
∂tds
Annahme v1(t) =√
2gh(t)
Kontinuitatsgleichung: v1(t)A1 = −dh
dtA0
−→ Differentialgleichung fur h(t)
23
Hydrodynamik: unstetiger Bernoulli
LD
v (t)
s
1
“gut gerundeter” Einlass
Annahme:
s < − D√8
: radiale Stromung mit Q = v · 2πs2
s ≥ − D√8
: v = v1
24
Hydrodynamik: unstetiger Bernoulli
Potentialstromung ohne Verluste −→ Bernoulligleichung
L∫
−∞
∂v
∂tds =
−D/√
8∫
−∞
∂v(s)
∂tds +
L∫
−D/√
8
∂v1
∂tds
=−D/
√8∫
−∞∂∂t
(
v1πD2
42πs2
)
ds +L∫
−D/√
8
∂v1∂t ds
=dv1(t)
dt
−D/√
8∫
−∞
D2
8s2ds +
dv1(t)
dt
L∫
−D/√
8
ds
25
Hydrodynamik: unstetiger Bernoulli
=
(D√
8+ L +
D√8
)
· dv1(t)
dt=
(D√
2+ L
)dv1(t)
dt︸ ︷︷ ︸
gut gerundeter Einlass
wenn L ≫ D −→L∫
−∞
∂v
∂tds = L · dv1(t)
dt
26
Beispiel: Rohr aus einem grossen Tank
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
s
z
h
g
h
L
D
AL
0 1
2 3
4
11
L = 20m ≫ D, L1 = 5m
h = 5m
ρ = 103 kgm3, g = 10m
s2
a) Zu welchem Zeitpunkt nach dem Offnen des Ventils erreicht dieStromung 99 % ihrer Endgeschwindigkeit?
b) Um wieviel unterscheidet sich dann der Druck im Punkt “A” vonseinem Endwert?
27
Beispiel: Rohr aus einem grossen Tank
a) Bernoulli 0 → 4: pa + ρg(h + s) = pa + ρgs +ρ
2v24 + ρ
s4∫
s0
∂v
∂tds
gut gerundeter Einlass:
s4∫
s0
∂v
∂tds = L
dv4
dt
−→ ρgh =ρ
2v24 + Lρ
dv4
dt−→
∫ T
0dt =
0.99ve∫
0
Ldv4
gh − v242
28
Beispiel: Rohr aus einem grossen Tank
Integration
T = 2L
0.99√
2gh∫
0
dv4
2gh − v24
=L√2gh
ln
√2gh + v4√2gh − v4
∣∣∣∣
0.99√
2gh
0= 10.6 s
29
Beispiel (Forts.)
Die beschleunigte Stromung ist abhangig von L,aber v4(t → ∞) ist unabhangig von L.
b)
pa = pA + ρgh1 +ρ
2v24 + ρL1
dv4
dt
t → ∞ : pa = pA,∞ + ρgh1 +ρ
22gh
aus a)dv4
dt=
1
L
(
gh −v24
2
)
=⇒ pA − pA,∞ = ρgh(
1 − 0.992)(
1 − L1
L
)
= 746N
m2
30
Beispiel: beweglicher Kolben
D
L
s g
1
P
pa
h
In einem Rohr bewegt sich ein Kolben sinusformig: s = s0 · sin ωt
pa = 1 bar L = 10m ≫ D h = 2m g = 10ms2
s0 = 0.1m ρ = 103 kgm3 pD = 2500 N
m2
Bei welcher Winkelgeschwindigkeit ω wird am Kolbenboden der Dampf-druck pD erreicht?
31
Beispiel: beweglicher Kolben
pa = pP + ρgh +ρ
2v2P + ρ
sP∫
s1
∂v
∂tds
s0 ≪ L −→sP∫
s1
∂v
∂tds = L
dvP
dt
pP = pa − ρgh + ρs0ω2(
L sin ωt − s0
2cos 2ωt
)
pP,min = pD
32
Beispiel: beweglicher Kolben
pD = pP,min bei cos ωt = 0 −→ dpP
dt= 0
=⇒ ω =
√
pa − pD − ρgh
ρs0L= 8.8 s−1
33
6.6
Die Klappe am Ende der Ausstromleitung (konstante Breite B) einesgroßen Behalters wird plotzlich geoffnet. Es stellt sich eine verlust-freie Stromung ein.
Gegeben: H, h1, h2, g, L ; L >> h1
34
6.6
Bestimmen Sie
a) die Differentialgleichung fur die Ausstromgeschwindigkeit v3b) - die lokale Beschleunigung
- die konvektive Beschleunigung- die substantielle Beschleunigung
an der Stelle x = L2 zu dem Zeitpunkt, an dem die Ausstromge-
schwindigkeit die Halfte des stationaren Endwertes erreicht hat!
Hinweis: Zur Losung der Aufgabe ist die Berechnung von v(t) nichterforderlich.
35
6.6
Bernoulli von ”0” nach ”3”
pa + ρ g H = p3 +ρ
2v23 +
3∫
0
ρ∂v
∂tds , p3 = pa
Aufspaltung des Integrals1∫
0
ρ∂v
∂tds ≈ 0(h1 << L)
2∫
1
ρ∂v
∂tds , v = v2
h2
h, h = h1 +
h2 − h1
Lx
36
6.6
⇒ ρdv2
dt
2∫
1
h2
h1 +h2 − h1
Lx
dx = ρdv2
dt
h2 L
h2 − h1ln
h2
h1= ρ
dv2
dtL
ρ
3∫
2
∂v
∂tds = ρ L
dv2
dt
in Bernoulli einsetzen
pa + ρ g H = pa + ρ2 v2
3 + ρ dv3dt (L + L)
dv3dt = 1
L + L
(
g H − v232
)
t → ∞ : g H − 12 v2
3e = 0 =⇒ v3e =√
2 g H
37
6.6
lokale Beschleunigung:
bl =∂v
∂t=
dv3
dt
h2
h, b
l (v3=12 v3e, x=L
2 )=
1
L + Lg H
3
4
2 h2
h1 + h2
konvektive Beschleunigung:
v = v2h2h
∂v∂x = −v2h2
1h2
dhdx
bk = v ∂v∂x = − v2
3h2
2h3
dhdx , dh
dx = h2−h1L
bk(v3=
12 v3e, x=L
2 )= 4 g H
Lh2
2 (h1−h2)
(h1+h2)3
38
6.6
substantielle Beschleunigung:
bs = bl + bk =3
2
g H
L + L
h2
h1 + h2+ 4
g H
L
h22 (h1 − h2)
(h1 + h2)3
39