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IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS UTILIZANDO APENAS AS
RESPOSTAS DE VIBRAÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO
Martin Andre Alburqueque Castillo
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Engenharia Oceânica,
COPPE, da Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Mestre em Engenharia
Oceânica.
Orientador: Severino Fonseca da Silva Neto
Rio de Janeiro
Julho de 2016
IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS UTILIZANDO APENAS AS
RESPOSTAS DE VIBRAÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO
Martin Andre Alburqueque Castillo
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.
Examinada por:
_____________________________________________
Prof. Severino Fonseca da Silva Neto, D. Sc.
_______________________________________________
Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.-Ing.
____________________________________________
Prof. Luiz Antonio Vaz Pinto, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL.
JULHO DE 2016
iii
Castillo, Martin Andre Alburqueque
Identificação de Parâmetros Modais Utilizando Apenas
as Respostas de Vibração no Domínio do Tempo / Martin
Andre Alburqueque Castillo.– Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE,
2016.
IX, 64 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Severino Fonseca da Silva Neto
Dissertação (mestrado) – UFRJ/COPPE/ Programa de
Engenharia Oceânica, 2016.
Referências Bibliográficas: p. 61-64.
1. Análise Modal. 2. Identificação de Parâmetros
Modais. 3. Métodos no Domínio do Tempo. I. Silva Neto,
Severino Fonseca da. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Oceânica. III.
Título.
iv
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M. Sc.)
IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS MODAIS UTILIZANDO APENAS AS
RESPOSTAS DE VIBRAÇÃO NO DOMÍNIO DO TEMPO
Martin Andre Alburqueque Castillo
Julho/2016
Orientador: Severino Fonseca da Silva Neto
Programa: Engenharia Oceânica
O objetivo deste trabalho consiste na identificação dos parâmetros modais
(frequências naturais, taxas de amortecimento e modos de vibração) de estruturas e
equipamentos excitados através de forças de impactos, mas utilizando apenas as
respostas de vibração na análise.
Três métodos no domínio do tempo foram implementados em LabVIEW®:
Least Square Complex Exponential (LSCE), Ibrahim Time Domain (ITD) e
Eigensystem Realization Algorithm (ERA). O software foi testado utilizando-se sinais
simulados de resposta de vibração livre com e sem contaminação com ruído branco
gaussiano.
O software desenvolvido foi utilizado para identificar os parâmetros modais em
três casos: (1) a partir da resposta de vibração torcional de um modelo dinâmico de um
motor diesel; (2) a partir da resposta de vibração de um teste de impacto de uma haste
vertical de um rotor kit e, (3) a partir das respostas de vibração de um teste de impacto
realizado numa bomba centrífuga submersa (BCS) instalada num poço de teste. Em
todos os casos, os parâmetros modais foram identificados corretamente.
v
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
IDENTIFICATION OF MODAL PARAMETERS USING ONLY OUTPUT
RESPONSES IN TIME DOMAIN
Martin Andre Alburqueque Castillo
July/2016
Advisor: Severino Fonseca da Silva Neto
Department: Ocean Engineering
The aim of this work is about a identification of the modal parameters (natural
frequencies, damping ratios and shape modes) of structures and machines excited by
impact forces, but using only the vibration responses in the analysis.
Three methods in time domain were implemented in LabVIEW®: Least Square
Complex Exponential (LSCE), Ibrahim Time Domain (ITD) e Eigensystem Realization
Algorithm (ERA). The software was tested using simulated signals of free vibration
responses with and without Gaussian White Noise contamination.
The software developed was used to indentify the modal parameters in three
cases: (1) from torsional vibration response of a dynamic model of a diesel engine; (2)
from vibration response of an impact test of a vertical rod of a rotor kit and, (3) from
vibration responses of an impact test made to a Submerged Centrifugal Pump (BCS)
instaled in a well of test. In all cases, the modal parameters were correctly identified.
vi
SUMÁRIO
1. Introdução ..................................................................................................................... 1
2. Revisão Bibliográfica ................................................................................................... 3
3. Fundamentos Teóricos .................................................................................................. 7
3.1. Least Square Complex Exponential (LSCE) ......................................................... 7
3.2. Ibrahim Time Domain (ITD) ............................................................................... 14
3.2.1. Single Station Time Domain - SIMO.............................................................18
3.2.2. Estações Transformadas .................................................................................19
3.3. Eigensystem Realisation Algorithm (ERA) ......................................................... 20
4. Desenvolvimento e avaliação do software ................................................................. 24
4.1. Implementação do Método LSCE ........................................................................ 24
4.2. Implementação do Método ITD ........................................................................... 28
4.3. Implementação do Método ERA ......................................................................... 33
4.4. Avaliação do software ......................................................................................... 35
5. Casos de Estudo .......................................................................................................... 39
5.1. Haste Vertical do Sistema de Controle de um Rotor Kit ..................................... 39
5.1.1. Aparato experimental .....................................................................................39
5.1.2. Procedimento experimental ............................................................................40
5.1.3. Resultados obtidos .........................................................................................41
5.2. Identificação dos Parâmetros Modais a partir da Resposta de Vibração Torcional
de um Motor Diesel .................................................................................................... 45
5.2.1. Formulação do Problema ...............................................................................47
5.2.2. Solução da Equação do Movimento pelo Método da Formulação de Estado 47
5.2.3. Resultados ......................................................................................................49
5.3. Teste de Impacto numa Bomba Centrífuga Submersa (BCS) Instalada num Poço
Falso ............................................................................................................................ 53
5.3.1. Procedimento experimental ............................................................................55
5.3.2. Resultados Obtidos.........................................................................................57
6. Conclusões e Recomendações .................................................................................... 60
7. Referências Bibliográficas .......................................................................................... 61
vii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1. Classificação dos métodos de análise modal [6]. ........................................... 9
Figura 2.2. Classificação dos métodos do domínio do tempo [6]. ................................. 10
Figura 2.3. Classificação dos métodos no domínio da frequência [6]. ........................... 10
Figura 4.1. Software utilizado para a programação ........................................................ 24
Figura 4.2. SubVI que monta a matriz ℎ𝑖 e o vetor ℎ′𝑖 de cada sinal. ............................ 25
Figura 4.3. Forma de montar a matriz de sinais Y. ........................................................ 25
Figura 4.4. SubVI que monta a matriz hG e o vetor h′G globais do LSCE. ................... 25
Figura 4.5. SubVI que calcula os coeficientes do polinômio de Prony. ......................... 26
Figura 4.6. SubVI que calcula as frequências e amortecimentos dos β.......................... 26
Figura 4.7. Fluxograma do método LSCE ...................................................................... 27
Figura 4.8. SubVI que monta as matrizes parciais 𝑋𝑖 e 𝑋𝑖 do método SSTD-SIMO. ... 28
Figura 4.9. SubVI que monta as matrizes globais 𝑋 e 𝑋 do método SSTD-SIMO. ....... 28
Figura 4.10. SubVI que monta as matrizes globais 𝑋 e 𝑋 do Estações Transformadas. 29
Figura 4.11. SubVI que calcula a matriz [𝐴] no método do ITD ................................... 29
Figura 4.12. SubVI que calcula as frequências e amortecimentos dos autovalores de [𝐴].
........................................................................................................................................ 30
Figura 4.13. Fluxograma do método SSTD-SIMO. ....................................................... 31
Figura 4.14. Fluxograma do método Estações Transformadas. ..................................... 32
Figura 4.15. SubVI que monta as matrizes de Hankel do método ERA. ....................... 33
Figura 4.16. SubVI que calcula a matriz [𝐴] e seus autovalores no ERA ...................... 33
Figura 4.17. Fluxograma do método ERA ..................................................................... 34
Figura 4.18. Series temporais simulando respostas de vibração. ................................... 35
Figura 4.19. Diagrama de Estabilização para o LSCE dos sinais simulados ................. 36
Figura 4.20. Diagrama de Estabilização para o ITD dos sinais simulados. ................... 37
Figura 4.21. Diagrama de Estabilização para o ERA dos sinais simulados. .................. 37
Figura 5.1. Martelo de impacto tipo 8200 ...................................................................... 39
Figura 5.2. Acelerômetro resistivo modelo 4810B-12 ................................................... 39
Figura 5.3. Conversor de sinal A/D da National Instruments modelo NI 9234. ............ 40
Figura 5.4. Local do Rotor Kit onde foi realizado o teste de impacto............................ 40
Figura 5.5. Sinal dos Impactos aplicados na haste vertical do rotor kit ......................... 41
Figura 5.7 Diagrama de Estabilização para o LSCE. ..................................................... 42
Figura 5.8. Diagrama de Estabilização para o ITD. ....................................................... 42
viii
Figura 5.9. Diagrama de Estabilização para o ERA. ...................................................... 43
Figura 5.10. Motor MWM Acteon 6.12TCE .................................................................. 45
Figura 5.11. Árvore de Manivelas do Motor MWM Acteon 6.12TCE .......................... 46
Figura 5.12. Modelo Equivalente da Árvore de Manivelas. ........................................... 46
Figura 5.13. Sinal de resposta ao impulso próximo do volante. ..................................... 50
Figura 5.14. Diagrama de Estabilização para o LSCE usando o sinal do volante.......... 50
Figura 5.15. Diagrama de Estabilização para o ITD usando o sinal do volante. ............ 51
Figura 5.16. Diagrama de Estabilização para o ERA usando o sinal do volante. .......... 51
Figura 5.17. Instrumentos de medição: (a) placa A/D NI® (b) acelerômetro
piezoelétrico (c) transdutor de Pressão (d) transdutor de vazão. .................................... 53
Figura 5.19. Distribuição dos acelerômetros ao longo dos componentes da BCS ......... 54
Figura 5.20. Circuito do poço de teste. ........................................................................... 55
Figura 5.21. Local de aplicação do impacto. .................................................................. 55
Figura 5.22. Dimensões e local da aplicação dos impactos na BCS. ............................. 56
Figura 5.23. Resposta a um impacto obtida no acelerômetro # 8. .................................. 56
Figura 5.24. Diagrama de estabilização para o LSCE da BCS....................................... 57
Figura 5.25 Diagrama de estabilização para o ITD da BCS. .......................................... 57
Figura 5.26. Diagrama de estabilização para o ERA da BCS. ....................................... 58
ix
LISTA DE TABELA
Tabela 4.1. Frequências e amortecimentos simulados. .................................................. 35
Tabela 4.2. Frequências e amortecimentos identificados em cada método. ................... 38
Tabela 5.1. Parâmetros modais identificados da haste do rotor kit. ............................... 43
Tabela 5.2. Especificações Técnicas do Motor MWM Acteon 6.12TCE ...................... 45
Tabela 5.3. Parâmetros modais da árvore de manivelas ................................................. 49
Tabela 5.4. Parâmetros modais identificados usando o sinal do volante. ...................... 52
Tabela 5.5. Parâmetros modais da BCS. ........................................................................ 59
1
1. INTRODUÇÃO
O objetivo do presente trabalho é desenvolver um software utilizando métodos
de identificação modal que permitam identificar as frequências naturais, taxas de
amortecimentos e formas modais de sistemas dinâmicos submetidos a uma excitação na
forma de uma força de impacto, utilizando apenas os sinais de resposta.
A identificação destes parâmetros modais na engenharia naval pode ter várias
aplicações como, por exemplo, desenvolver um modelo matemático do comportamento
dinâmico de uma máquina ou estrutura de interesse que permita prever as respostas de
vibração quando esta for submetida a alguma força de excitação, identificar a influência
de outros equipamentos na vibração do navío, identificar defeitos ou condições não
favoráveis, evitar falhas prematuras, fazer modificações estruturais em plataformas
marinhas, detectar instabilidade operacional de turbomáquinas, etc. [1]
Foram implementados 03 métodos de identificação modal do domínio do tempo:
Least Square Complex Exponential (LSCE), Ibrahim Time Doimain (ITD) e
Eigensystem Realization Algorithm (ERA). Esses métodos são baseados em sinais de
decaimento exponencial e lidam tanto com os sinais de vibração (aceleração, velocidade
ou deslocamento) quanto com a função de resposta ao impulso (IRF), obtida ao aplicar a
transformada inversa de Fourier (IFT) da função de resposta em frequência (FRF) dos
sinais de excitação e resposta do sistema.
A partir dos métodos implementados pode-se estender a análise para sistemas
em condições reais de carregamento ou de operação (Análise Modal Operacional -
OMA), desde que se obtenha uma série temporal de resposta de vibração com um
padrão de decaimento logarítmico. Por exemplo, se estiver disponível apenas as
respostas de vibração devidas à excitação ambiental, podem-se obter funções de
correlação, e se tiver influência de harmônicos de outros equipamentos esses
componentes poderiam ser retirados [2] [3] [4], e dessa forma aplicar os métodos
implementados neste trabalho.
O presente trabalho está dividido em sete capítulos:
O primeiro apresenta o objetivo da dissertação, dá uma breve contextualização
da identificação de parâmetros através da análise modal.
No segundo capítulo, será apresentado uma revisão bibliográfica que mostra a
evolução das técnicas de análise modal, mostra também as três categorias de análise
2
modal: teórico, experimental e operacional/utilizando apenas as respostas e a
classificação dos métodos dependendo do domínio (tempo ou frequência) e do tipo de
teste utilizado (SISO, SIMO e MIMO).
O capítulo três, corresponde aos fundamentos teóricos, apresenta a formulação
matemática dos métodos implementados neste trabalho: Least Square Complex
Exponential (LSCE), Ibrahim Time Domain (ITD) e o Eigensystem Realization
Algorithm (ERA), utilizados para o cálculo dos parâmetros modais de um sistema. Além
disso, são mostradas duas variações do método ITD que, na prática, apresentaram
resultados parecidos ao LSCE e ao ERA.
O capítulo quatro mostra os fluxogramas utilizados para implementar os
métodos em LabVIEW. Além disso, fez-se uma avaliação dos métodos utilizando sinais
simulados com frequências naturais e taxas de amortecimentos conhecidos e incluindo
também ruído branco gaussiano.
No capítulo cinco são apresentados 03 casos de estudo. No primeiro, são
comparados os resultados obtidos por um modelo dinâmico analítico de um motor
diesel utilizando o método da formulação de estado com os resultados obtidos pelos três
métodos implementados. Os outros dois casos são aplicações reais de testes de
impactos: na haste de sustentação do controle do motor eléctrico de um rotor kit, e de
uma bomba centrífuga submersa de 58 estágios instalada num poço de teste da
Petrobras.
O capítulo seis apresenta as conclusões da dissertação e os trabalhos futuros que
podem ser desenvolvidos. No capítulo sete estão listadas as referências bibliográficas
utilizadas.
3
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Em 1970, F. Spitznogle [5] desenvolveu um método no domínio do tempo
chamado Complex Exponential (CE) capaz de calcular parâmetros modais usando uma
única função de resposta ao impulso (IRF) por vez, ou seja, relacionava uma só
excitação e uma só resposta (método SISO). A principal desvantagem deste método é
sua sensibilidade ao ruído. Em 1979 foi introduzido o método Least-Squares Complex
Exponential (LSCE) por D. L. Brown et al [6] que é uma extensão do CE capaz de
processar várias IRFs simultaneamente, excitando a estrutura em um único ponto e
medindo as respostas em varias posições (método SIMO). O problema associado com a
estimação do número correto de modos ainda permanece. A extensão do LSCE que
permite processar informação não só de varias respostas, mas também de vários pontos
de excitação é o Polyreference Complex Exponential (PRCE). Este método resolve o
problema que às vezes ocorre, quando um modo de vibração não pode ser excitado
porque a excitação pode estar localizada perto de um nó da estrutura. O CE, LSCE e
PRCE são todos baseados na Teoria de Prony e formam uma extensão natural de
métodos SISO para o SIMO e, finalmente, para o MIMO respectivamente [7].
Outro método que foi introduzido nos anos 70 foi o Ibrahim Time Domain
(ITD), desenvolvido por S. Ibrahim que usa os dados da resposta de vibração livre ao
invés de IRFs [8]. Este é um método SIMO que originalmente era só capaz de calcular
tantos modos quanto à metade de acelerômetros eram usados no teste. Depois surgiram
outras variações do ITD para tirar a limitação dos números de modos, mas essas
técnicas originavam a presença de modos não reais ou chamados também de
computacionais. O mesmo autor introduziu depois um indicador modal chamado de
Modal Confidence Factor (MCF) [9] que permite separar os modos computacionais dos
reais.
Juntamente com o PRCE, outros algoritmos de identificação modal no domínio
do tempo como o Extended Ibrahim Time Domain (EITD) e o Eigensystem Realization
Algorithm (ERA) foram desenvolvidos na década dos 80, onde os parâmetros modais
são identificados usando o IRF a partir da transformada inversa da FRF (Frequency
Response Function) [10], estes métodos lidam com o problema de identificação de
modos próximos.
Todos os algoritmos no domínio do tempo têm um mesmo problema: a
determinação da ordem do modelo. Lingmi Zhang et al [10], em 2001 propõem um
4
novo indicador chamado Modal Participation Indicator (MPI) e implementam os
algoritmos PRCE, EITD e ERA com os indicadores MCF, Modal Amplitude Coherence
(MAmC) e o MPI. Chegaram à conclusão que o MCF precisa do dobro de dados e
consume mais tempo e memória computacional, com o MAmC algumas vezes é difícil
separar os modos estruturais dos computacionais, e o MPI tem melhor desempenho que
os outros dois indicadores.
Em 2004, J. Lardies et al [11] conferem a precisão de uma técnica no domínio
do tempo aplicada às medições da vibração ambiental de uma ponte excitada pelo
trânsito. Em linhas gerais, o método mostra a aplicação de uma excitação aleatória a um
sistema, e através de Funções de Decremento Randômico separa as respostas aleatórias
das respostas de vibração livres para logo aplicar a Transformada de Wavelet das
respostas livres e calcular os parâmetros modais. No mesmo ano, T. Le e P. Argoul [12]
apresentaram um procedimento completo para a identificação modal a partir das
respostas livres baseado na Transformada de Wavelet Continua. O método tem
melhores resultados quando o sistema tem baixo amortecimento e foram destacadas
duas dificuldades: o efeito de borda e a escolha da localização tempo-frequência da
Transformada de Wavelet. Destes dois trabalhos poderia se resgatar o calculo das
respostas livres (obtidas da excitação aleatória) para analisa-las com outro método de
identificação modal diferente.
Em 2005, B. Kim et al [13] propuseram outro método de análise modal
ambiental, baseado na extração das formas modais não amortecidas utilizando o
Singular Value Decomposition (SVD) da matriz de correlação da energia das respostas
com respeito às localizações dos sensores. O método proposto é eficiente quando se
requer uma alta resolução da forma modal. Mas como é baseado numa abordagem
SDOF, a identificação de modos próximos, fica prejudicada.
Em 2007, Z. Lu e S. Law [14] apresentaram um método baseado na
sensibilidade dos sinais das respostas para identificar os parâmetros modais e a força de
excitação da estrutura. Duas simulações numéricas e um ensaio de laboratório foram
apresentados para demonstrar a validade do método. Foram utilizados dois tipos de
forças: senoidal e impulsiva. Uma das desvantagens que apresentou o método foi que só
pode ser usado quando se conhece o ponto de aplicação da força de excitação.
Em 2008 W. Zhou e D. Chelidze [7] desenvolveram uma formulação única
baseada na decomposição de autovalor generalizada que mostra a relação existente entre
5
os métodos ITD, LSCE e o ERA e generaliza a extensão desses métodos desde a versão
SIMO para MIMO. Este artigo é importante porque comprova a semelhança entre os
resultados obtidos com ITD e os obtidos com os outros dois métodos nesta tese.
Em 2008, F. Magalhães et al [15] apresentaram resultados obtidos da aplicação
de diferentes métodos de identificação modal a dados coletados em testes dinâmicos de
um teto em balanço do Estádio Esportivo de Braga, comparando os resultados
experimentais com os de um modelo em elementos finitos. Os fatores de amortecimento
foram estimados a partir dos dados fornecidos pelos testes de vibração livre, forçada e
ambiental. Usaram dois métodos de identificação baseados no subespaço estocástico: o
SSI-DATA e o SSI-COV. Os resultados mostraram que mesmo capturando sinais de
baixa amplitude, nos testes de vibração ambiental, os métodos de identificação
estocástica fornecem bons resultados para as frequências naturais e modos. Os métodos
de análise modal desenvolvidos para os testes de vibração livre e ambiental fornecem
estimações de fatores de amortecimentos não muito precisos. Além, a dificuldade de
isolar a contribuição dos modos com frequências próximas, ainda permaneceu. Uma
alternativa sugerida pelos autores é usar os dados da resposta ao impulso, que são
proporcionais às respostas ao ruído branco, no método SSI-COV.
Os mesmos autores [16], em 2010, analisaram a qualidade das estimativas dos
fatores de amortecimento em testes de vibração livre e ambiental usando os dados
coletados de uma ponte estaiada, o teto de um estádio e uma passarela. Nos testes de
vibração ambiental utilizaram o método de decomposição no domínio da frequência e os
métodos de subespaço estocástico (no domínio do tempo). Em tanto que os decaimentos
livres medidos e numericamente simulados foram analisados com um método simples
baseado em filtros e ajustes de decaimentos exponenciais e modelos de subespaços. Os
resultados obtidos dos decaimentos livres são próximos aos estimados pelos testes
ambientais, mas a vantagem é que os decaimentos livres têm pouca influência do ruído,
e não é necessário fazer suposições quanto ao carregamento da estrutura (nos testes de
vibração ambiental assume-se ruído branco estacionário).
A. Malekjafarian et al. [17], em 2010, fizeram uma revisão do método ITD
clássico e modificaram levemente a formulação na construção da matriz de Hankel, para
ser capaz de lidar com sistemas com modos próximos. O método mostra um melhor
desempenho na identificação dos modos próximos e permite a análise de um sistema
SIMO ou MIMO.
6
Em 2012, Filipe Magalhães et al [18] comparam os dados obtidos do teste de
vibração ambiental com resultados de modelagem numérica e com dados de teste de
vibração livre realizados no Millau Viaduct, ao sul da França. Utilizaram um método no
domínio do tempo, SSI-COV, e um no domínio da frequência, o polyrefence Least
Square Frequency Domain Method (p-LSCF). A concordância entre os resultados das
diferentes técnicas de identificação é muito boa, sendo que as frequências naturais e os
modos são muito similares. As maiores discrepâncias são observadas nos fatores de
amortecimento.
Outros métodos baseados apenas nas respostas (output-only) foram
desenvolvidos como o Sparse Component Analysis (SCA) baseado no Blind Source
Separation (BSS). Esses métodos além de exigir que o número mínimo de sensores seja
igual ao número das fontes (modos ativos), lida também com problemas indeterminados
onde o número de sensores pode ser altamente limitado em comparação com o números
de modos ativos.
Em 2014, G. Zhang et al [19] propuseram um novo critério chamado Modal
Similarity Index (MSI) para medir a confiabilidade dos modos de vibração obtido pelo
ERA. Também introduzem o Mode Energy Level (MEL) para medir a contribuição de
energia de cada modo, o qual pode ser usado para indicar os modos dominantes. Os
resultados mostraram que o processo de identificação automatizado fornece uma
ferramenta precisa na estimativa de parâmetros modais.
Com esta revisão, vemos que existe uma grande quantidade de métodos de
identificação modal divididos entre os domínios do tempo e da frequência, aqui só
foram revisados alguns deles, e cada um apresentou seus pros e contras. Também se viu
que existem alguns fatores de confiabilidade modal que reduzem a limitação que
apresentam os métodos no domínio do tempo, em não ter a informação do número de
modos que uma estrutura apresenta e, também, não conseguindo separar os modos reais
dos computacionais. É por isso queneste trabalho, foram escolhidos três principais
métodos do domínio do tempo LSCE, ITD e ERA, e também os fatores de
confiabilidade MCF e MAC para distinguir entre os modos reais e os modos
computacionais.
7
3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
O interesse em entender o comportamento dinâmico das estruturas começou na
década de 1930. Colocavam-se vários excitadores de vibração, e um dispositivo que
registrava a vibração nas pontas das asas de uma aeronave. Com o objetivo de encontrar
cada frequência de ressonância e o correspondente modo, fazia-se vibrar a estrutura
desde uma frequência mínima até uma máxima, e esse teste era conhecido como teste de
modo normal. Durante os 1960s foi desenvolvido o algoritmo da Transformada Rápida
de Fourier que permitiu a conversão dos sinais para o domínio da frequência e logo
voltar para o domínio do tempo com mais eficiência, isto, mais a vantagem do uso dos
computadores digitais constituiu um avanço significativo para a análise dinâmica de
estruturas [20]. A partir dali e nos 1980s surgiram muitos métodos de análise modal.
Nos fins do século passado, a análise modal tornou-se uma ferramenta
importante na busca pela otimização das características dinâmicas das estruturas de
engenharia [21]. Não só tem sido reconhecido em engenharia mecânica e aeronáutica,
mas a análise modal também descobriu aplicações profundas para estruturas civis e de
construção, problemas biomecânicos, estruturas espaciais e navais, instrumentos
acústicos, transporte e plantas nucleares; onde permite determinar, por exemplo,
condições seguras de operação, comportamento dinâmico, dano do material ou realizar
um controle de vibração ativo do sistema [11].
Análise modal é o processo de determinação das características dinâmicas
inerentes de um sistema na forma dos seus parâmetros modais, e usá-los para formular
um modelo matemático. A análise modal baseia-se no fato que a resposta de vibração de
um sistema dinâmico linear invariante no tempo pode ser expressa como a combinação
linear de um conjunto de movimentos harmónicos simples chamados modos naturais de
vibração. Os modos naturais de vibração são inerentes a um sistema dinâmico e são
determinados completamente por suas propriedades físicas (massa, rigidez,
amortecimento) e sua distribuição espacial. Cada modo é descrito em termos de seus
parâmetros modais: frequência natural, fator de amortecimento e padrão de
deslocamento característico, chamado de forma modal. O grau de participação de cada
modo natural na vibração do sistema é determinado tanto pelas propriedades da fonte de
excitação quanto pelas formas modais do sistema [21].
A análise modal compreende técnicas teóricas e experimentais. A análise modal
teórica é sustentada num modelo físico de um sistema dinâmico composto pelas suas
8
propriedades de massa, rigidez e amortecimento em termos das suas distribuições
espaciais, ou seja, em forma matricial. Estas matrizes são incorporadas num conjunto de
equações diferenciais de movimento. O princípio de superposição de um sistema
dinâmico linear permite transformar estas equações em um problema típico de autovalor
cuja solução fornece os parâmetros modais do sistema. Por outro lado, a análise
experimental identifica as propriedades dinâmicas de um sistema através do problema
inverso: isto é, dadas as excitações e/ou as respostas, obtidas a partir de medições,
procura-se estimar as propriedades dinâmicas.
O conceito da análise modal experimental é baseado na relação entre a resposta
de vibração num ponto e a excitação no mesmo ou em outro ponto, ambas em função da
frequência de excitação. Esta relação, que é muitas vezes uma função matemática
complexa, é conhecida como função de resposta em frequência (FRF). Combinações de
excitação e resposta em diferentes locais conduzem a um conjunto completo de FRFs
que pode ser representado por uma matriz de FRF do sistema. [21].
Em resumo, a análise modal experimental envolve três fases: preparação do
teste, medições das excitações e respostas em frequência e identificação dos parâmetros
modais [22]. Contudo, a medição das forças de excitação num sistema real nem sempre
é possível, e isso levou ao desenvolvimento de outro tipo de técnica chamada Analise
Modal Operacional (OMA) que permite ensaiar uma estrutura sob excitação ambiental
ou em suas próprias condições de operação e a identificação dos parâmetros modais é
baseada apenas nas respostas da estrutura. Desde que a força de excitação é
desconhecida, a FRF entre os sinais de força e a resposta não podem ser calculados. Em
vez disso, a análise baseia-se em funções de correlação e funções de densidade
espectral, estimadas a partir das respostas. [23]
Os métodos de análise modal podem ser separados em duas categorias
principais: métodos no domínio do tempo e métodos no domínio da frequência.
Inicialmente, os métodos no domínio da frequência eram os mais utilizados, mas
problemas associados com a resolução em frequência e o “leakage” inerente ao processo
do FFT e as altas densidades modais fizeram com que se começasse a olhar os métodos
do domínio do tempo como uma alternativa viável. Em termos gerais, os métodos no
domínio do tempo tendem a dar melhores resultados para uma ampla faixa de
frequência ou para uma alta densidade modal, enquanto que os métodos no domínio da
9
frequência tendem a dar melhores resultados quando a faixa de frequência de interesse é
limitada e o número de modos é relativamente pequeno [20].
Os métodos nos domínios do tempo e da frequência podem ainda ser
subdivididos em indiretos e diretos (Figura 3.1). Nos métodos indiretos a identificação
da FRF é baseada no modelo modal, ou seja, nos parâmetros modais. Nos métodos
diretos a identificação é diretamente baseada no espaço modal, ou seja, na equação de
equilíbrio, que é a equação primitiva da qual todos os métodos são derivados [8]. Uma
divisão adicional considera o número de modos que uma estrutura pode ser analisada ao
mesmo tempo: um grau de liberdade (SDOF) ou múltiplos graus de liberdade (MDOF).
Quando uma estrutura é testada, usualmente se tem à disposição um conjunto de
funções de resposta em frequência (FRFs). Estes FRFs são o resultado de se excitar a
estrutura em cada ponto selecionado e medir as respostas em outros pontos ao longo da
estrutura. Alguns métodos podem ser aplicados a uma FRF por vez, chamados de
métodos SISO (single-input-single-output). Outros métodos permitem analisar
simultaneamente várias FRFs com respostas tomadas em vários pontos da estrutura,
mas usando só um ponto de excitação, chamados de métodos SIMO (single-input-multi-
output) e, finalmente, existem métodos que podem processar todos os FRFs disponíveis
simultaneamente, a partir de vários pontos de excitação e resposta. Estes métodos são
chamados de MIMO (multi-input-multi-output). Situações de MISO (multi-input-single-
output) também são possíveis na prática [8].
Figura 3.1. Classificação dos métodos de análise modal [21].
10
As Figuras 3.2 e 3.3 mostram os principais métodos de identificação modal nos
domínios do tempo e da frequência.
Figura 3.2. Classificação dos métodos do domínio do tempo [21].
Figura 2.3. Classificação dos métodos no domínio da frequência [21].
11
3.1. Least Square Complex Exponential (LSCE)
O LSCE é uma extensão da versão SISO (single-input-single-output) para a
versão SIMO (single-input-multi-output) do método Complex Exponential (CE). Estes
métodos trabalham com as funções de resposta ao impulso (IRFs), obtidas aplicando a
transformada inversa de Fourier (IFT) de cada função de resposta em frequência (FRF)
dada pelos sinais temporais de entrada e saída [8]. A IRF num ponto 𝑗 devido a uma
força em 𝑘, de um sistema de 𝑁 graus de liberdade, é dada por:
ℎ𝑗𝑘(𝑡) =∑( 𝐴𝑟 𝑗𝑘𝑒𝑠𝑟𝑡 + 𝐴𝑟 𝑗𝑘
∗ 𝑒𝑠𝑟∗𝑡) =∑ 𝐴𝑟 𝑗𝑘𝑒
𝑠𝑟𝑡
2𝑁
𝑟=1
𝑁
𝑟=1
(3.1)
Sendo que:
𝐴𝑟 𝑗𝑘|𝑟>𝑁 = 𝐴𝑟−𝑁 𝑗𝑘∗
(3.2) 𝑠𝑟|𝑟>𝑁 = 𝑠𝑟−𝑁
∗
Onde, as raízes do sistema são dados por:
𝑠𝑟 , 𝑠𝑟
∗ = 𝜎𝑟 ± 𝑖𝜔𝑑𝑟 = −𝜔𝑟𝜉𝑟 ± 𝑖𝜔𝑟√1 − 𝜉𝑟2 (3.3)
Onde:
Ajkr é o resíduo no modo r;
σr é o fator de amortecimento do sistema no modo r;
ωr é a frequência natural no modo r;
ξr é a taxa de amortecimento no modo r;
ωdr é a frequência natural amortecida no modo r.
Se a IRF for amostrada numa série de intervalos de tempo igualmente espaçados
t = n∆ (n= 0, 1, 2,..., L), tem-se um conjunto de amostras da IRF dados pela equação
(3.4), e omitindo os subscritos j e k:
ℎ(𝑛∆) =∑𝐴𝑟𝑒𝑠𝑟𝑛∆
2𝑁
𝑟=1
(3.4)
ou:
ℎ𝑛 =∑𝐴𝑟𝑉𝑟𝑛
2𝑁
𝑟=1
(3.5)
sendo que,
12
𝑉𝑟𝑛 = 𝑒𝑠𝑟𝑛∆ (3.6)
A estimativa dos resíduos Ar e das raízes sr a partir dos dados amostrados faz
uso de uma técnica conhecida como Método de Prony, onde os Vr são as raízes de um
polinômio com coeficientes reais, dado por:
∑𝛽𝑗𝑉𝑟𝑗
𝐿
𝑗=0
= β0 + β1Vr + β2Vr2 +⋯+ βL−1Vr
L−1 + βLVrL = 0 (3.7)
A equação (3.5) é válida para uma amostra. Logo são necessárias L + 1
equações para representar o conjunto de amostras. Multiplicando cada equação pelo
coeficiente βj correspondente, obtém-se a equação:
∑𝛽𝑗ℎ𝑗
𝐿
𝑗=0
=∑(𝛽𝑗∑𝐴𝑟
2𝑁
𝑟=1
𝑉𝑟𝑗)
𝐿
𝑗=0
=∑(𝐴𝑟∑𝛽𝑗𝑉𝑟𝑗
𝐿
𝑗=0
)
2𝑁
𝑟=1
(3.8)
Observando que o segundo somatório do último termo da Equação (3.8) é a
soma dos coeficientes do polinômio da Equação (3.7), tem-se que, para cada Vr:
∑𝛽𝑗ℎ𝑗 = 0
𝐿
𝑗=0
(3.9)
Pode-se utilizar a Equação (3.9) para se estimar os coeficientes βj. Para isso,
considere L = 2N, por conveniência [8]. Logo, tomando-se 2N amostras da IRF hj é
formada uma equação linear para β. Portanto, tomando-se 2N conjuntos de 2N amostras
da IRF, cada uma deslocada um intervalo de tempo, e fazendo β2N = 1, chega-se a:
[
ℎ0 ℎ1 ℎ2 ⋯ ℎ2𝑁−1ℎ1 ℎ2 ℎ3 ⋯ ℎ2𝑁⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
ℎ2𝑁−1 ℎ2𝑁 ℎ2𝑁+1 ⋯ ℎ4𝑁−2
] {
𝛽0𝛽1⋮
𝛽2𝑁−1
} = −{
ℎ2𝑁ℎ2𝑁+1⋮
ℎ4𝑁−1
} (3.10)
Que pode ser reescrita na forma:
[ℎ1]{𝛽} = {ℎ′1} (3.11)
A matriz com esse arranjo é denominada matriz de Hankel. Observe que não há
duas linhas com os mesmos elementos hj. A solução desse sistema de equações é dada
pela inversão da matriz quadrada [h1]:
{𝛽} = [ℎ1]−1{ℎ′1} (3.12)
O número de linhas da equação (3.12) pode ser maior que o número de
coeficientes β, o que leva a uma solução por mínimos quadrados. Essa pode ser
13
utilizada quando há mais amostras de uma única IRF e/ou quando há IRF’s de vários
sensores.
A extensão da equação (3.12) para o caso de haver p IRF´s (para p sensores) é
dada pela equação:
[ [ℎ]1[ℎ]2⋮
[ℎ]𝑝] {𝛽} =
{
{ℎ′}1{ℎ′}2⋮
{ℎ′}𝑝}
(3.13)
Esta é a variação para o sistema SIMO, e pode ser reescrita na forma:
[ℎ𝐺]{𝛽} = {ℎ′𝐺} (3.14)
A solução por mínimos quadrados pode ser obtida utilizando-se a técnica da
pseudo-inversa para inverter a matriz retangular [hG]:
{𝛽} = ([ℎ𝐺]𝑇[ℎ𝐺])
−1[ℎ𝐺]𝑇{ℎ′𝐺} (3.15)
Com os coeficientes β conhecidos através das equações (3.12) ou (3.15), a
equação (3.7) pode ser utilizada para calcular as raízes Vr. Essas raízes estão
relacionadas com as frequências naturais complexas do sistema [21] através da equação
(3.6). Assim, a frequência natural e a taxa de amortecimento do modo r são dadas por:
𝜔𝑟 =
1
∆√𝑙𝑛𝑉𝑟 ∙ 𝑙𝑛𝑉𝑟∗ (3.16)
e
𝜉𝑟 = −
𝑙𝑛(𝑉𝑟 ∙ 𝑉𝑟∗)
2𝜔𝑟∆ (3.17)
Para calcular as formas modais, os valores de Vr são substituídos na equação
(3.5), para assim obter os resíduos Ai. O sistema de equações obtido será da forma:
[
1 1 1 ⋯ 1𝑉1 𝑉1 𝑉1 ⋯ 𝑉2𝑁𝑉12 𝑉2
2 𝑉32 ⋯ 𝑉2𝑁
2
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑉12𝑁−1 𝑉2
2𝑁−1 𝑉32𝑁−1 ⋯ 𝑉2𝑁
2𝑁−1]
{
𝐴1𝐴2𝐴3⋮𝐴2𝑁}
= −
{
ℎ0ℎ1ℎ2⋮
ℎ2𝑁−1}
(3.18)
A matriz da esquerda da equação (3.18) é conhecida como matriz de Van der
Monde, onde os termos de cada linha estão em progressão geométrica. Para obter uma
matriz quadrada, foi utilizado 2N − 1 valores de hj. Contudo, podem-se calcular os
resíduos Ai, utilizando-se uma solução baseada nos mínimos quadrados, semelhante à
equação (3.13).
14
A análise desenvolvida acima descreve o método LSCE original e sua execução.
Este método pode ser melhorado usando mais amostras de IRFs nas equações (3.10) e
(3.18), com técnicas numéricas mais sofisticadas para resolver as equações lineares
simultâneas.
3.2. Ibrahim Time Domain (ITD)
Originalmente o método ITD usava as IRFs do deslocamento e velocidade de
vibração do sistema, derivados da integração dos sinais de aceleração, para construir o
problema de autovalor de cuja solução se identifica os parâmetros modais. Esta técnica
foi melhorada permitindo usar diretamente, além dos IRFs, as respostas de vibração
livre ou os decaimentos obtidos no processamento dos sinais das respostas aleatórias
[21].
A equação de movimento de um sistema de N graus de liberdade é:
[𝑀]{��} + [𝐶]{��} + [𝐾]{𝑥} = {0} (3.19)
Onde as matrizes [M], [C] e [K] são de ordem N × N. Podemos definir um novo
vetor variável {y}:
{𝑦} = {𝑥��}2𝑁×1
(3.20)
E a equação (3.19) pode ser transformada a um novo problema de autovalor:
{��} = [𝐴]{𝑦} (3.21)
onde:
[𝐴] = [
[0] [𝐼]
−[𝑀]−1[𝐾] −[𝑀]−1[𝐶]]2𝑁×2𝑁
(3.22)
A matriz quadrada [A] (chamada de matriz do sistema) não é conhecida, mas é
possível estimá-la a partir dos dados das respostas. Assumindo que tem-se as respostas
de vibração livre em forma de deslocamento, velocidade e aceleração, pode-se formar
duas matrizes:
[𝑌] = [
𝑥(𝑡1) 𝑥(𝑡2) … 𝑥(𝑡2𝑁)
��(𝑡1) ��(𝑡2) … ��(𝑡2𝑁)] (3.23)
e
[𝑌] = [
��(𝑡1) ��(𝑡2) … ��(𝑡2𝑁)
��(𝑡1) ��(𝑡2) … ��(𝑡2𝑁)] (3.24)
15
Assim com a equação 3.21, cada coluna de [Y] e a correspondente coluna [Y]
seguem a equação (3.21)
[𝑌] = [𝐴][𝑌] (3.25)
Se a reposta à vibração livre x(t) contém informação para N modos de vibração,
então [Y] é não-singular. Como resultado, pode-se derivar a matriz [A] a partir dos
dados da resposta:
[𝐴] = [𝑌] [𝑌]−1 (3.26)
Uma vez que a matriz [A] seja calculada, pode-se usar a equação (3.21) para
resolver o problema de autovalor e obter os parâmetros modais do sistema.
Se a estrutura apresenta um comportamento modal, é razoável assumir que
existe um modelo teórico de N graus de liberdade que descreve as características
dinâmicas da estrutura. A resposta de qualquer ponto de medição da estrutura deveria
ter a contribuição de todos os modos de vibração. Por simplicidade, assumiu-se que o
número de pontos de medição coincide com o número de graus de liberdade. Para o i-
ésimo ponto de medição, a resposta pode ser amostrada para obter 2N pontos: {x(t1),
x(t2), … , x(t2N)}T. Se a mesma amostragem é realizada nos dados de todos os N
pontos de medição, a matriz de vibração livre amostrada pode ser formada como [21]:
[𝑋] = [
𝑥1(𝑡1) 𝑥1(𝑡2) … 𝑥1(𝑡2𝑁)𝑥2(𝑡1)⋮
𝑥𝑁(𝑡1)
𝑥2(𝑡2)⋮
𝑥𝑁(𝑡2)
…⋮…
𝑥2(𝑡2𝑁)⋮
𝑥𝑁(𝑡2𝑁)
]
𝑁×2𝑁
(3.27)
Cada ponto é expresso como a soma das respostas individuais de cada modo:
𝑥𝑖(𝑡𝑗) =∑𝜑𝑖𝑟𝑒𝑠𝑟𝑡𝑗
2𝑁
𝑟=1
(3.28)
Onde φir é o i-ésimo componente do autovetor {φr} (geralmente complexo). E
cada coluna de [X] pode ser escrita em forma matricial:
{𝑋(𝑡𝑗)} = [ {𝜑}1, {𝜑}2⋯ {𝜑}2𝑁] {
𝑒𝑠1𝑡𝑗
𝑒𝑠2𝑡𝑗⋮
𝑒𝑠2𝑁𝑡𝑗
} (3.29)
A matriz [X] pode ser escrita da seguinte forma:
[𝑥1(𝑡1) ⋯ 𝑥1(𝑡2𝑁)⋮ ⋱ ⋮
𝑥𝑁(𝑡1) ⋯ 𝑥𝑁(𝑡2𝑁)] = [ {𝜑}1⋯ {𝜑}2𝑁] [
𝑒𝑠1𝑡1 ⋯ 𝑒𝑠1𝑡2𝑁
⋮ ⋱ ⋮𝑒𝑠2𝑁𝑡1 ⋯ 𝑒𝑠2𝑁𝑡2𝑁
] (3.30)
16
ou simplesmente:
[𝑋] = [Ψ][Λ] (3.31)
Considerando outro conjunto de pontos, deslocados um intervalo ∆t com
respeito ao primeiro, segue que:
𝑥𝑖(𝑡𝑗 + ∆𝑡) =∑𝜑𝑖𝑟𝑒𝑠𝑟(𝑡𝑗+∆𝑡)
2𝑁
𝑟=1
=∑(𝜑𝑖𝑟𝑒𝑠𝑟∆𝑡)𝑒𝑠𝑟𝑡𝑗
2𝑁
𝑟=1
(3.32)
Definindo yi(tj) = xi(tj + ∆t) e φir = φiresr∆t, temos que:
𝑦𝑖(𝑡𝑗) =∑(��𝑖𝑟)𝑒𝑠𝑟𝑡𝑗
2𝑁
𝑟=1
(3.33)
e portanto, podemos escrever uma expressão similar à equação (3.31):
[𝑌] = [Ψ][Λ] (3.34)
Se o sistema tem frequências naturais únicas, então os vetores
{φi1, φi2, … , φi2N}T e {φi1e
s1∆t, φi2es2∆t, … , φi2Ne
s2N∆t}T são linearmente
independentes um do outro. Isto significa que deslocando o intervalo de tempo ∆t e
amostrando um conjunto de 2N valores, temos efetivamente ‘criado’ mais pontos de
medição.
Assim como deslocamos um intervalo ∆t, podemos também deslocar um
intervalo de 2∆t e amostrar novamente outro conjunto de 2N valores:
𝑥𝑖(𝑡𝑗 + 2∆𝑡) =∑𝜑𝑖𝑟𝑒𝑠𝑟(𝑡𝑗+2∆𝑡)
2𝑁
𝑟=1
=∑(𝜑𝑖𝑟𝑒𝑠𝑟2∆𝑡)𝑒𝑠𝑟𝑡𝑗
2𝑁
𝑟=1
(3.35)
Definindo zi(tj) = xi(tj + 2∆t) e φir = φiresr2∆t, temos que:
𝑧𝑖(𝑡𝑗) =∑(��𝑖𝑟)𝑒𝑠𝑟𝑡𝑗
2𝑁
𝑟=1
(3.36)
e portanto, podemos escrever em forma matricial:
[𝑍] = [Ψ] [Λ] (3.37)
A matriz do sistema [A] pode ser formada então da seguinte maneira [9]:
[𝐴] = [
𝑌𝑍] [𝑋𝑌]−1
(3.38)
Os autovetores da matriz [A] são os vetores modais e os autovalores podem ser
convertidos em frequências naturais e amortecimentos [21]. Assumindo que o r-ésimo
autovalor é da forma:
17
𝑒𝑠𝑟∆𝑡 = 𝛼𝑟 + 𝑗𝛽𝑟 (3.39)
e sabendo que cada sr é da forma:
𝑠𝑟 = −𝑛𝑟 + 𝑗𝜔𝑑𝑟 (3.40)
combinando estas duas equações (3.39) e (3.40) formam:
𝑛𝑟 = −
1
2Δ𝑡ln (𝛼2 + 𝛽2)
(3.41)
𝜔𝑑𝑟 =
1
Δ𝑡tan−1
𝛽𝑟𝛼𝑟
(3.42)
Destas soluções, podemos derivar a frequência natural não amortecida e o fator
de amortecimento:
𝜔𝑟 = √𝜔𝑑𝑟2 + 𝑛𝑟2 (3.43)
𝜁𝑟 =𝑛𝑟𝜔𝑟
(3.44)
A técnica foi originalmente desenvolvida de forma que a ordem da matriz [A]
deveria ser igual a duas vezes o número de acelerômetros, o que permitia calcular só um
número limitado de modos, e por utilizar poucas amostras o nível de ruído é elevado.
Muitos métodos foram propostos na literatura para reduzir esses efeitos e melhorar a
precisão da identificação dos dados modais. Um dos métodos é fazer melhor uso dos
dados existentes ao introduzir mais amostras na análise. Se escolhermos m pontos
(m > 2N), então mais informação do sistema será usado. Vamos falar de duas variantes
do ITD para melhorar a análise: utilizando o Single Station Time Domain (que
originalmente é um método SISO) para analisar sistemas SIMO [3] e utilizando
Estações Transformadas [9].
Para distinguir os modos genuínos dos modos numéricos, um fator de confiança
chamado Modal Confidence Factor (MCF) é definido [21]. Para um ponto de medição
selecionado, se a constante modal do i-ésimo modo identificado é φi e para o mesmo
ponto, com um intervalo de tempo deslocado Δt, é identificado φi temos:
��𝑖 = 𝜑𝑖𝑒𝑠𝑟∆𝑡 (3.45)
Quando o modo identificado não é um modo genuíno, esta relação não cumpre.
Por tanto, o MCF pode ser definido como:
18
𝑀𝐶𝐹 = |
��𝑖𝜑𝑖𝑒𝑠𝑟∆𝑡
| (3.46)
Se o modo é genuíno, MCF será próximo da unidade, pelo contrario, é provável
que seja um modo numérico.
3.2.1. Single Station Time Domain (SSTD- SIMO)
Este método utiliza uma combinação dos métodos Ibrahim Time Domain (ITD)
para obter um algoritmo SIMO e o Single Station Time Domain (SSTD) onde muitos
intervalos de tempo por respostas são usados [3].
Ao utilizar um sinal de acelerômetro só, o método SSTD [24] monta a matriz de
Hankel [X] da equação 3.27 de forma diferente:
[𝑋]1 = [
𝑥(𝑡1) 𝑥(𝑡2) … 𝑥(𝑡𝐿)
𝑥(𝑡2)⋮
𝑥(𝑡2𝑁)
𝑥(𝑡3)⋮
𝑥(𝑡2𝑁+1)
…⋱…
𝑥(𝑡𝐿+1)⋮
𝑥(𝑡𝐿+2𝑁−1)
]
2𝑁×𝐿
(3.47)
E da mesma forma, cada ponto é expresso como a soma das respostas
individuais de cada modo, então os autovetores da equação 3.28 passam ter uma só
componente:
𝑥(𝑡𝑗) =∑𝑎𝑟𝑒𝑠𝑟𝑡𝑗
2𝑁
𝑟=1
(3.48)
Onde ∆t = tj+1 − tj. Então a matriz [X]1 pode ser escrita da seguinte forma:
[𝑋]1 = [Κ][Λ] (3.49)
Onde:
[𝐾] = [
𝑎1 𝑎2 … 𝑎2𝑁
𝑎1𝑒𝑠1∆𝑡 𝑎2𝑒
𝑠2∆𝑡 … 𝑎2𝑁𝑒𝑠2𝑁∆𝑡
⋮𝑎1𝑒
𝑠1(2𝑁−1)∆𝑡⋮
𝑎2𝑒𝑠2(2𝑁−1)∆𝑡
⋮…
⋮𝑎2𝑁𝑒
𝑠2𝑁(2𝑁−1)∆𝑡
] (3.50)
e
[Λ] = [
𝑒𝑠1𝑡1 𝑒𝑠1𝑡2 … 𝑒𝑠1𝑡𝐿
𝑒𝑠2𝑡1 𝑒𝑠2𝑡2 … 𝑒𝑠2𝑡𝐿⋮
𝑒𝑠2𝑁𝑡1⋮
𝑒𝑠2𝑁𝑡2⋱…
⋮𝑒𝑠2𝑁𝑡𝐿
] (3.50)
Considerando outro conjunto de pontos, sua respectiva matriz [X]1 deslocada um
∆t fica:
19
[��]1= [
𝑥(𝑡2) 𝑥(𝑡3) … 𝑥(𝑡𝐿+1)
𝑥(𝑡3)⋮
𝑥(𝑡2𝑁+1)
𝑥(𝑡4)⋮
𝑥(𝑡2𝑁+2)
…⋮…
𝑥(𝑡𝐿+2)⋮
𝑥(𝑡𝐿+2𝑁)
]
2𝑁×𝐿
(3.52
Utilizando a equação 3.49, a matriz [X]1 pode também ser escrita da seguinte
forma:
[��]1= [Κ][Λ] (3.53)
Onde as matrizes [X]1 e [X]1, equivalentemente à equação 3.25, cumprem:
[��]1= [𝐴][𝑋]1 (3.54)
Até agora só utilizou-se um sinal de saída devido a um sinal de entrada, isto
corresponde ao método SSTD, que é similar ao ITD. Para encontrar uma variante SIMO
do SSTD, deve-se perceber que a matriz [A] é independente dos pontos de medição
então a equação 3.52 permanece valida para qualquer combinação SISO.
Consequentemente os valores de [A] podem também ser obtidos considerando varias
respostas devidas a uma entrada e satisfazendo a equação 3.51 em um sentido de
mínimos quadrados. Então a equação 3.52 para p sensores devido a um impulso (SIMO)
poder ser reescrita com matrizes globais como segue:
[[��]1 [��]2
… [��]𝑝]2𝑁×𝐿𝑝
= [𝐴][[𝑋]1 [𝑋]2 … [𝑋]𝑝]2𝑁×𝐿𝑝 (3.55)
Com a técnica da pseudoinversa, é possível calcular a matriz do sistema [A], e
para calcular os parâmetros modais voltamos nas equações 3.39 até 3.44.
3.2.2. Estações Transformadas(ITD-ET)
Essa técnica é uma extensão do ITD que consiste apenas em ‘criar’ mais
números de amostras da vibração, deslocando um intervalo de tempo τ diferente às
amostras já existentes [21]. Assim obtemos o seguinte conjunto de dados:
{𝑋(𝑡𝑗)′} = {𝑋(𝑡𝑗 + 𝜏)} = [ {𝜑}1𝑒
𝑠1𝜏,⋯ , {𝜑}2𝑁𝑒𝑠2𝑁𝜏] {
𝑒𝑠1𝑡𝑗
𝑒𝑠2𝑁𝑡𝑗⋮
𝑒𝑠2𝑁𝑡𝑗
} (3.56)
Esse conjunto de dados é uma pseudo-medição que pode ser adicionada na data
real para formar um novo conjunto de dados:
{��(𝑡𝑗)} = {
𝑋(𝑡𝑗)
𝑋(𝑡𝑗)′} (3.57)
20
Usando os dados de {X(tj)} para substituir {X(tj)} na análise descrita desde a
equação 3.29 até 3.44 permitirão a identificação de mais modos de vibração, entre reais
e computacionais, que depois usando o MCF podermos identificar os modos reais.
3.3. Eigensystem Realisation Algorithm (ERA)
A ideia básica do ERA é usar o conceito de realização mínima, da teoria de
controle, para identificar as propriedades modais da estrutura a partir dos dados de
resposta ao impulso.
A essência do ERA é aplicar o SVD (Single Value Decomposition) nas respostas
de vibração livre medidas, para determinar o número de graus de liberdade mínima da
estrutura (número de modos de vibração) e para determinar a matriz do sistema [A], a
matriz de entrada [B] e a matriz de saída [C] na representação de espaço-estado. A
matriz do sistema estimada pode ser utilizada no problema de autovalor e assim
determinar os parâmetros modais. Quando as dimensões de [A], [B] e [C] são mínimas,
a realização mínima tem sido alcançada.
Um sistema de N graus de liberdade com P forças de excitação é governado pela
seguinte equação diferencial:
[𝑀]𝑁×𝑁{��}𝑁×1 + [𝐷]𝑁×𝑁{��}𝑁×1 + [𝐾]𝑁×𝑁{𝑥}𝑁×1 = {𝐹}𝑃×1 (3.58)
Onde as matrizes [𝑀], [𝐷] e [𝐾] são as matrizes globais de massa,
amortecimento e rigidez respectivamente, e o vetor {𝐹} é o vetor de forças de excitação.
Combinando a equação com uma identidade {x} = [I]{x} e definindo a variável espaço-
estado {X} = {{x}
{x}}, podemos formar a seguinte equação:
{��} = [[0] [𝐼]
−[𝑀]−1[𝐾] −[𝑀]−1[𝐷]]2𝑁×2𝑁
{𝑋}2𝑁×1 + [[0]
−[𝑀]−1]2𝑁×𝑃
{𝐹}𝑃×1 (3.59)
ou:
{��} = [𝐴]{𝑋} + [𝐵]{𝐹} (3.60)
Se o sistema tem L pontos de saída, o vetor de saída {Y} é relacionado à variável
de estado a través de uma matriz de saída [C]:
{𝑌}𝐿×1 = [𝐶]𝐿×2𝑁{𝑋}2𝑁×1 (3.61)
21
Da teoria de controle, para as respostas de vibração livres devido a um impulso,
iterando no tempo o sistema de equações 3.60 e 3.61 desde as condições iniciais, obtem-
se a matriz de reposta ao impulso expressa como a combinação das matrizes [𝐴], [𝐵] e
[C]:
[��(𝑘)] = [𝐶][𝐴]𝑘−1[𝐵] (3.62)
Na prática, a matriz de resposta ao impulso pode ser derivada aplicando a
transformada inversa de Laplace às funções de transferência. Amostrando a função de
resposta ao impulso h(t), temos uma serie no tempo para a função h(k) (onde k =
1, 2, …). A matriz de resposta ao impulso considerando todas as medições é dada por:
[��(𝑘)] = [
ℎ11(𝑘) ⋯ ℎ1𝑃(𝑘)⋮ ⋱ ⋮
ℎ𝐿1(𝑘) ⋯ ℎ𝐿𝑃(𝑘)]
𝐿×𝑃
(3.63)
A realização mínima torna-se uma tarefa matemática para encontrar as matrizes
[A], [B] e [C] a partir de [H(k)] de modo que a ordem das matrizes seja mínima.
A mínima realização das respostas ao impulso começa da matriz de Hankel
particionada. A matriz de Hankel é construída com os dados medidos da resposta ao
impulso:
[��(𝑘 − 1)] =
[
��(𝑘) ��(𝑘 + 1) ⋯ ��(𝑘 + 𝛽 − 1)
��(𝑘 + 1) ��(𝑘 + 2) ⋯ ��(𝑘 + 𝛽) ⋮
��(𝑘 + 𝛼 − 1)⋮
��(𝑘 + 𝛼)⋱ ⋮ ⋯ ��(𝑘 + 𝛼 + 𝛽 − 2)]
𝐿𝛼×𝑃𝛽
(3.64)
Teoricamente, a ordem da matriz [H(k − 1)] é uma constante igual à ordem do
sistema. Devido ao ruído, o tamanho da matriz varia com α e β que são números
inteiros positivos arbitrários [21] (Neste trabalho o α considerou-se igual ao número de
graus de liberdade, e o β escolhou-se tal que sejam usados todos os pontos da série
temporal). Da mesma forma a matriz de Hankel deslocada um tempo consecutivo é:
[��(𝑘)] =
[ ��(𝑘 + 1) ��(𝑘 + 2) ⋯ ��(𝑘 + 𝛽)
��(𝑘 + 2) ��(𝑘 + 3) ⋯ ��(𝑘 + 𝛽 + 1) ⋮
��(𝑘 + 𝛼)⋮
��(𝑘 + 𝛼 + 1)⋱ ⋮ ⋯ ��(𝑘 + 𝛼 + 𝛽 − 1) ]
𝐿𝛼×𝑃𝛽
(3.65)
Da equação (3.52), substituindo na equação (3.54), podemos decompor a matriz
de Hankel [H(k − 1)] da seguinte forma:
[��(𝑘 − 1)] = [𝑄]𝐿𝛼×2𝑁[𝐴]𝑘−1[𝑊]2𝑁×𝑃𝛽 (3.66)
22
Onde a matriz [Q] é chamada matriz de observabilidade e [W] matriz de
controlabilidade:
[𝑄] =
[
[𝐶]
[𝐶][𝐴]
[𝐶][𝐴]2
⋮[𝐶][𝐴]𝛼−1]
(3.67)
[𝑊] = [[𝐵] [𝐴][𝐵] [𝐴]2[𝐵] ⋯ [𝐴]𝛽−1[𝐵]] (3.68)
Quando A derivação do algoritmo pode começar com a equação (3.56) com a
matriz de resposta ao impulso inicial:
[��(0)] = [𝑄][𝑊] (3.69)
Usando o Single Value Decomposition (SVD), temos:
[��(0)] = [𝑈][Σ]2[𝑉]𝑇 (3.70)
Então temos:
[𝑄] = [U][Σ] (3.71)
[𝑊] = [Σ][𝑉]𝑇 (3.72)
Sabendo a forma das matrizes das equações (3.57) e (3.58), podemos obter [C] e
[B]. Mas a decomposição da equação (3.59) não é única, por isso, usamos a matriz
deslocada para avaliar outra decomposição:
[��(1)] = [𝑄][𝐴][𝑊] (3.73)
Então da equação (3.63) podemos calcular [A]:
[𝐴] = [𝑄]−1[��(1)][𝑊]−1 (3.74)
Da solução do problema de autovalor com a matriz [A] e usando as equações
(3.40), (3.41), (3.42), (3.44) e (3.45) podemos calcular as frequências naturais e
amortecimentos, a matriz dos modos de vibração [φ] é obtida multiplicando-se a matriz
[C] com os autovetores [Ψ], conforme a equação abaixo:
[𝜑] = [𝐶][Ψ] (3.75)
O fator de confiança utilizado no método ERA para distinguir os modos reais
dos modos numéricos, chama-se Modal Assurance Criterion (MAC) [25]. O valor do
MAC é usado para determinar a similaridade (linearidade) de uma forma modal quando
é comparada com outro modo de referência. Esse valor vai de zero a um, zero
23
corresponde a modos não consistentes, e um corresponde a modos consistentes. O valor
do MAC é calculado da seguinte equação [26]:
𝑀𝐴𝐶𝑎,𝑏 ={∑ ∅𝑎,𝑗∅𝑏,𝑗
𝑛𝑗=1 }
2
{∑ (∅𝑎,𝑗)2𝑛
𝑗=1 } {∑ (∅𝑏,𝑗)2𝑛
𝑗=1 } (3.76)
Onde ∅a,j é a j-th coordenada da forma modal a.
Como os modos reais não são conhecidos, MAC é usado para comparar os
modos identificados a cada iteração do diagrama de estabilização, em uma frequência
particular. O resultado desta operação é um vetor indicando quais modos são similares
ao modo de referência.
3.4. Estimação do número de modos de vibração
Na identificação modal de um sistema dinâmico onde apenas se tem a
informação de saída, a determinação do número de ordem correto do sistema é sempre
um problema. Para resolver este problema, costuma-se predefinir uma ordem do modelo
(modos de vibração) bem maior do que o esperado. Durante a estimativa dos parâmetros
modais, essa elevada ordem do sistema leva ao aparecimento de modos computacionais
ou numéricos juntamente com os modos reais [27].
Uma das técnicas utilizadas para separar os modos reais dos computacionais é
através da utilização do diagrama de estabilização. É sabido que os modos reais
permanecem estáveis quando se muda a ordem do sistema, enquanto que os modos
espúrios variam consideravelmente. Se os parâmetros modais não variam muito, dentro
de uma tolerância preestabelecida, quando se varia a ordem do modelo, então o modo é
considerado estável, portanto considerado como real. Se, pelo contrário, a variação dos
modos fica fora da faixa de tolerância, então o modo é considerado espúrio ou
computacional.
Neste trabalho, foi utilizado o diagrama de estabilização das frequências naturais
em função da ordem do modelo e, superposto no diagrama foi plotado a curva do
ANPSD (Average Normalized Power Spectrum Density) [27], que é a média dos
espectros de potência normalizados, dos sinais de vibração utilizados na análise modal.
Se no gráfico da amplitude do ANPSD aparecer um pico, é provável que naquela
frequência haja um modo de vibração.
24
4. DESENVOLVIMENTO E AVALIAÇÃO DO SOFTWARE
A ferramenta de programação utilizada para implementar os métodos de análise
modal no domínio do tempo LSCE, ITD e ERA foi o LabVIEW (Figura 4.1).
O LabVIEW é um ambiente gráfico de desenvolvimento de sistemas cujos
programas são chamados de Virtual Instruments ou VIs, cada VI tem duas janelas, o
painel frontal que é a interface do usuário, e o diagrama de blocos que é onde se
encontra a programação. Alguns VIs principais precisam de outros subprogramas, e
estes são chamados de subVIs. Essas nomenclaturas,será utilizada ao longo deste
capítulo.
Figura 4.1. Software utilizado para a programação
4.1. Implementação do Método LSCE
Os sinais utilizados no método LSCE, como observado no capítulo anterior, são
as funções de resposta ao impulso (IRF) ou os sinais temporais de vibração livre (de
decaimento exponencial). Para isso foi criado um subVI que monta a matriz de Hankel
[hi] e o vetor {h′i} da equação (3.11), para cada sinal do acelerômetro. O sinal vem na
forma discreta, em função da taxa de aquisição e número de pontos e são guardados
num vetor chamado “Sinal”, e o espaçamento dt entre cada ponto que é a inversa da
frequência de amostragem. Com o vetor “Sinal” e o número de ordem selecionado se
entra no subVI da Figura 4.2:
25
Figura 4.2. SubVI que monta a matriz [ℎ𝑖] e o vetor {ℎ′𝑖} de cada sinal.
Quando se tem mais de um acelerômetro, o vetor “Sinal” é substituído pela
matriz Y, com os sinais montados da forma mostrada na Figura 4.3.
Sinal 1 y1(t0) y1(t1) y1(t2) ... y1(tn)
Sinal 2 y2(t0) y2(t1) y2(t2) ... y2(tn)
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Figura 4.3. Forma de montar a matriz de sinais Y.
Essa matriz Y dos sinais dos acelerômetros é entrada para o programa principal,
onde se concatenam a matriz [h1] e vetor {h′1} de cada sinal de resposta, como
mostrado no diagrama de blocos da Figura 4.4, para formar a matriz global [hG] e o
vetor global {h′G} da equação (3.13).
Figura 4.4. SubVI que monta a matriz [hG] e o vetor {h′G} globais do LSCE.
A matriz global [ℎ𝐺] e vetor global {ℎ′𝐺} são as entradas de outro subVI que
calcula os valores dos coeficientes 𝛽 do polinômio do método de Prony. Note-se que
[ℎ𝐺] não é uma matriz quadrada, pelo que para calcular os coeficientes 𝛽, faz-se uso da
pseudo-inversa. A Figura 4.5 representa o diagrama de blocos da equação (3.14), que
26
serve para calcular os coeficientes 𝛽, tendo em conta que o ultimo coeficiente 𝛽2𝑁 deve
ser igual à unidade.
Figura 4.5. SubVI que calcula os coeficientes do polinômio de Prony.
Com os valores dos 𝛽, construímos o polinômio de Prony para calcular as raízes
𝑉𝑟 conforme a equação (3.7) e logo substituir 𝑉𝑟 e 𝑉𝑟∗ nas equações (3.16) e (3.17) para
calcular os valores da frequência natural e amortecimento para cada modo. A Figura 4.6
mostra tal procedimento como também a parte onde ordena os modos desde a
frequência menor até a maior.
Figura 4.6. SubVI que calcula as frequências e amortecimentos dos β.
A Figura 4.7 mostra o fluxograma do software do método LSCE.
27
Figura 4.7. Fluxograma do método LSCE
Entrada de séries temporais e número de ordem do
modelo
Montagem da matriz de Hankel [ℎ] e vetor {ℎ′} para
cada série. (Eq 3.11)
Montagem da matriz [ℎ] global e vetor {ℎ} global.
(Eq 3.14)
Cálculo dos coeficientes β. (Eq 3.25)
Cálculo das raízes 𝑉𝑟. (Eq 3.7)
Cálculo das frequências, amortecimentos e modos
(Eq 3.16, 3.17 e 3.18)
Cálculo do Diagrama de Estabilização
28
4.2. Implementação do Método ITD
A diferença das duas variações do método ITD está na construção das matrizes
globais [𝑋] e [��]. Colocou-se um botão para escolher entre as duas opções. A primeira
é o SSTD-SIMO que começa montando as matrizes parciais [𝑋]𝑖 e [��]𝑖 da equação
(3.54) para cada série temporal, como mostra a Figura 4.8.
Figura 4.8. SubVI que monta as matrizes parciais [𝑋]𝑖 e [��]𝑖 do método SSTD-SIMO.
Essas matrizes parciais de cada acelerômetro, diferentemente do método LSCE,
devem ser concatenadas uma do lado da outra para formar as matrizes [𝑋] e [��] globais
da equação (3.55), tal como se mostra na Figura 4.9.
Figura 4.9. SubVI que monta as matrizes globais [𝑋] e [��] do método SSTD-SIMO.
A segunda opção é o método de Estações Transformadas que monta as matrizes
globais [X] e [X] da equação (3.55) de forma um pouco diferente da primeira opção,
conforme mostra a Figura 4.10:
29
Figura 4.10. SubVI que monta as matrizes globais [𝑋] e [��] do Estações
Transformadas.
Depois foi implementado outro subVI (Figura 4.11) para calcular, de duas
formas diferentes, a matriz [𝐴] do sistema: a primeira utilizando o método da pseudo-
inversa, e a outra fazendo uma média da pós-multiplicação da equação (3.54) com [𝑋] e
com [��], com o objetivo de se avaliar qual dos métodos apresenta os melhores
resultados.
Figura 4.11. SubVI que calcula a matriz [𝐴] no método do ITD
A melhor forma de calcular a matriz do sistema [𝐴] da equação (3.54) foi a
través da pseudo-inversa porque os parâmetros modais foram mais consistentes. As
frequências naturais e amortecimentos de cada modo podem ser calculados através do
problema de autovalor da matriz [𝐴], e substituir os autovalores nas equações (3.39) até
(3.44).
A Figura 4.12 mostra o subVI que calcula as frequências naturais e
amortecimentos a partir dos autovalores da matriz [𝐴], onde utiliza-se também o 𝑑𝑡, que
é a inversa da taxa de aquisição do sinal, e equivale ao espaçamento entre cada amostra.
Este 𝑑𝑡 deve ser igual para todos os sinais.
30
Figura 4.12. SubVI que calcula as frequências e amortecimentos dos autovalores de [𝐴].
A Figura 4.13 mostra o fluxograma do software do método SSTD-SIMO, e a Figura 4.14
mostra o fluxograma do método das Estações Transformadas (ITD-ET).
31
Figura 4.13. Fluxograma do método SSTD-SIMO.
Entrada de séries temporais e número de
ordem do Modelo
Montagem da matriz de Hankel [𝑋]1 e [��]1 para cada
série. (Eq 3.47 e 3.52)
Montagem das matrizes globais [𝑋] e [��] (Eq 3.55)
Cálculo da matriz do sistema [𝐴]
Cálculo dos autovetores e autovalores da matriz [𝐴].
Cálculo das frequências, amortecimentos e modos.
(Eq 3.39 a 3.44)
Cálculo do MCF
Cálculo do Diagrama de Estabilização
32
Figura 4.14. Fluxograma do método Estações Transformadas (ITD-ET).
Entrada de séries temporais e número de ordem do Modelo
Montagem das matrizes [𝑋], [𝑌] e [𝑍] (Eq 3.27,
3.34 e 3.37)
Escolha de novo conjunto de dados
deslocados (Eq 3.56)
Atualização das matrizes [𝑋], [𝑌] e [𝑍]
conforme a Eq 3.57
Calculo da matriz do sistema [𝐴] aplicando a pseudoinversa (Eq 3.38)
Calculo dos autovetores e autovalores da matriz
[𝐴].
Calculo das frequências , amortecimentos e
modos. (Eq 3.39 a 3.44)
Calculo do MCF
Diagrama de Estabilização de
frequências
33
4.3. Implementação do Método ERA
Como se está interessado num método SIMO, já que o objetivo final é estimar os
parâmetros modais de um sistema submetido a impactos num único ponto da estrutura,
o número 𝑃 do método ERA será igual à unidade. Logo, as matrizes [��(𝑘)] da equação
(3.63) passarão a ser vetores de ordem 𝐿 × 1, sendo 𝐿 o número de sinais.
O subVI que monta as matrizes de Hankel [��(0)] e [��(1)] das equações (3.64)
e (3.65), respectivamente, está na Figura 4.15.
Figura 4.15. SubVI que monta as matrizes de Hankel do método ERA.
Com base nas matrizes de Hankel e no método de decomposição em valores
singulares (SVD) se calcula a matriz [𝐴] do sistema para, em seguida, se calcular os
autovalores e autovetores (Figura 4.16) que. substituidos nas equações (3.39) até (3.44),
dão como resultado as frequências naturais e amortecimentos (utilizando o mesmo
subVI mostrado na Figura 4.12).
Figura 4.16. SubVI que calcula a matriz [𝐴] e seus autovalores no ERA
A Figura 4.17 mostra o fluxograma do método do ERA.
34
Figura 4.17. Fluxograma do método ERA
Entrada de séries temporais e número de ordem do Modelo
Montagem da matriz ��(k). (Eq 3.63)
Montagem das matrizes de Hankel ��(0) e ��(1). (Eq 3.64 e 3.65)
Decomposição SVD da matriz �� 0 e cálculo das matrizes [𝑄] e [𝑊]. (Eq 3.70 a 3.72)
Cálculo da matriz do sistema 𝐴 e da matriz [𝐶] (Eq 3.74 e 3.67)
Cálculo dos autovetores e autovalores da matriz [𝐴].
Calculo das frequências naturais, amortecimentos e modos. (Eq 3.39 a 3.44 e
3.75)
Calculo do MAC
Cálculo do Diagrama de Estabilização
35
4.4. Avaliação do software
Para a avaliação do software, foram criadas funções temporais de decaimento
exponencial com frequências e amortecimentos conhecidos, que simulam a resposta de
um sistema quando submetida a uma força excitadora de impacto.
Tentou-se representar situações críticas onde os sinais incluem os casos de
frequências naturais iguais, frequências naturais próximas, e também quando esses
sinais são contaminados por ruído branco ou por harmônicos de outras máquinas em
operação.
A frequência de amostragem para representar esses sinais foi de 1 KHz num
tempo de aquisição de 1segundo. Os valores das frequências naturais e taxas de
amortecimentos são mostrados na Tabela 4.1.
Tabela 4.1. Frequências naturais e amortecimentos simulados.
Sinal
Frequência
Natural
f(Hz)
Taxa de
Amortecimento
𝜻(%)
1 5 1,2
2 5,1 1,8
3 10 0,8
4 10 2,5
5 16 0,0
Sabe-se que num sinal de vibração pode conter informação de várias frequências
naturais, então se realizou uma superposição dos sinais simulados de forma que se
obtivessem três séries temporais (simulando aquisição de dados de três acelerômetros),
depois se adicionou um ruído branco gaussiano de forma que a razão sinal-ruído (SNR)
seja -20 dB (Figura 4.18) sendo, a linha preta a soma dos sinais 4 e 5, a linha vermelha a
soma dos sinais 2 e 3, e a linha azul representando o sinal 1.
Figura 4.18. Séries temporais simulando respostas de vibração livre.
36
Estes sinais são os dados de entrada para cada método, onde se deve escolher
antecipadamente o número de modos com que se deseja avaliar os sinais. Tendo em
conta que, quanto maior o número de modos, melhor é a capacidade de identificar as
frequências naturais contidas, porém requer de mais tempo computacional e pode criar
frequências fictícias ou computacionais.
As Figuras 4.19, 4.20 e 4.21 mostram os diagramas de estabilização de
frequências para os métodos LSCE, ITD e ERA. A linha vermelha representa a média
da densidade espectral de potencia normalizada (ANPSD) dos sinais de entrada. Tentou-
se fazer uma ampliação nos eixos de ordem e frequência para centralizar os resultados
na faixa desejada.
Os critérios de estabilização que foram adotados são:
A frequência deve estar dentro de uma faixa de ± 0,1 Hz da frequência calculada
na última iteração (ordem mais alta).
O limite de amortecimento ≤ 5%.
O número de frequências naturais que devem cumprir os requisitos anteriores
tem que ser maior ou igual a 20.
Figura 4.19. Diagrama de Estabilização para o LSCE dos sinais simulados
37
.
Figura 4.20. Diagrama de Estabilização para o ITD dos sinais simulados.
Figura 4.21. Diagrama de Estabilização para o ERA dos sinais simulados.
Os valores das frequências e amortecimentos encontrados em cada método são
mostrados na Tabela 4.2. Pode se perceber que as frequências identificadas pelos
métodos LSCE e ITD, mesmo sendo só três das cinco frequências naturais, tiveram uma
boa precisão. Enquanto o ERA por ser um método mais sofisticado conseguiu
identificar todas as cinco frequências e também com boa precisão. Isso indica que os
dois primeiros métodos não são capazes de identificar parâmetros modais quando o
sistema apresenta frequências naturais próximas ou iguais.
38
Tabela 4.2. Frequências e amortecimentos identificados em cada método.
LSCE ITD ERA
Modo 𝒇 (Hz) 𝜻(%) 𝒇 (Hz) 𝜻(%) 𝒇 (Hz) 𝜻(%)
1 5,07 1,36 5,07 1,36 4,95 2,41
2 10,00 1,30 10,00 1,30 5,12 1,86
3 16,00 0,02 16,00 0,02 10,02 0,89
4 - - - - 10,02 2,75
5 - - - - 16,00 0,02
Os fatores de amortecimentos são os que não apresentaram muita “precisão”,
devido à influência do ruído, o que já é esperado, inclusive, sendo comentado na
literatura, mas tendo em conta que essas discrepâncias são pequenas, então se pode
considerar os resultados como sendo bons.
A variação utilizada para o ITD neste exemplo foi o SSTD-SIMO, e é esta
variação do método que será utilizada nos casos de estudo.
39
5. CASOS DE ESTUDO
5.1. Haste Vertical do Sistema de Controle de um Rotor Kit
5.1.1. Aparato experimental
Para se realizar as medições, os seguintes equipamentos foram necessários: um
excitador de vibração, que impõe uma força conhecida ao sistema, um transdutor, que
converte o movimento físico do sistema em um sinal elétrico mensurável, um conversor
de sinal para amplificar o sinal emitido pelo transdutor e um analisador para processar
os dados adquiridos.
O excitador usado foi um martelo de impacto (Figura 5.1) instrumentado, que
vem com um sensor de força embutido e, diferentemente do vibrador eletromagnético,
não causa o problema de modificar a massa do sistema a ser testado. A força provocada
pelo martelo é medida pelo sensor e a resposta total do sistema é composta pelas
excitações em cada uma das frequências naturais do sistema.
Figura 5.1. Martelo de impacto tipo 8200
O transdutor utilizado no experimento foi do tipo resistivo (Figura 5.2),
composto por extensômetros, que transforma a deformação em um sinal elétrico
proporcional à vibração.
Figura 5.2. Acelerômetro resistivo modelo 4810B-12
40
Conversores de sinal fazem a ligação entre o transdutor e o analisador. Como o
sinal elétrico produzido pelo transdutor é muito pequeno, o conversor de sinal, que pode
ser um amplificador de voltagem, é utilizado para adequar o sinal de saída do transdutor
ao de entrada do analisador. O conversor utilizado para o nosso teste (Figura 5.3)
também digitaliza o sinal, que pode ser transferido para um computador através de uma
porta USB.
Figura 5.3. Conversor de sinal A/D da National Instruments modelo NI 9234.
5.1.2. Procedimento experimental
O ensaio consistiu em aplicar pancadas na haste do sistema de controle de um
rotor kit, utilizado para simular máquinas rotativas (Figura 5.4), instalado no laboratório
de Ensaios Dinâmicos e Análise de Vibração (LEDAV), com um martelo de impacto e
os sinais de impacto (Figura 5.5) foram obtidos com o transdutor de força instalado no
martelo e as respostas do sistema (Figura 5.6) foram adquiridas com um acelerômetro.
Figura 5.4. Local do Rotor Kit onde foi realizado o teste de impacto.
41
Figura 5.5. Sinal dos Impactos aplicados na haste vertical do rotor kit
Figura 5.6. Sinal de resposta na haste vertical do rotor kit
5.1.3. Resultados obtidos
Os sinais foram adquiridos originalmente com uma taxa de 51,2 kHz, e como
parte do pré-processamento foram reamostrados para uma taxa de 1 kHz. Como nesse
teste foram medidos o sinal de entrada e o sinal de saída, ambos permitiram calcular a
função de resposta ao impulso (FRF) representada pela linha vermelha nas Figuras 5.7,
5.8 e 5.9.
O sinal de resposta apresenta quatro decaimentos, que foram separados em
quatro sinais contendo um decaimento cada. Esses sinais foram utilizados como entrada
no software desenvolvido, e utilizou-se uma ordem do modelo de 60 nos cálculos. As
42
frequências e amortecimentos dos modos naturais identificados pelos métodos são
mostrados na Tabela 5.1.
Figura 5.7 Diagrama de Estabilização para o LSCE.
Figura 5.8. Diagrama de Estabilização para o ITD.
43
Figura 5.9. Diagrama de Estabilização para o ERA.
Os critérios de estabilização que foram adotados são:
A frequência deve estar dentro de uma faixa de ± 1.5 Hz da frequência calculada
na última iteração (ordem mais alta).
O limite de amortecimento ≤ 10%.
O MCF deve ser maior a 0,7%. (Só válido para o ITD)
O MAC deve ser maior a 0,7%. (Só válido para o ERA)
O número de frequências que cumpriram os requisitos anteriores deve ser maior
ou igual a 20.
Tabela 5.1. Parâmetros modais identificados da haste do rotor kit.
LSCE ITD ERA
Modo 𝒇 (Hz) 𝜻(%) 𝒇 (Hz) 𝜻(%) 𝒇 (Hz) 𝜻(%)
1 26,04 1,27 26,04 1,27 25,92 0,99
2 59,99 0,03 59,99 0,03 26,15 0,71
3 103,87 0,80 103,87 0,80 59,99 0,02
4 110,97 3,56 110,97 3,56 104,16 0,67
5 120,93 2,62 120,93 2,62 111,13 2,00
6 121,02 3,00
Os três métodos LSCE, ITD e ERA conseguiram identificar as frequências
naturais que a FRF (linha vermelha das figuras 5.7, 5.8 e 5.9) mostra através dos picos.
44
Porém no método ERA podemos ver que existem duas frequências próximas, uma de
25,92 Hz e outra de 26,15 Hz que não foram identificadas pela FRF nem foram
identificadas pelos outros dois métodos. Isso confere mais uma vez (além dos resultados
do exemplo dos sinais simulados) que os métodos LSCE e ITD são incapacez de
identificar modos próximos ou acoplados na presença de ruído.
Outros picos pequenos da FRF aparecem devido ao ruído do teste, mas não são
frequências naturais.
45
5.2. Identificação dos Parâmetros Modais a partir da Resposta de Vibração
Torcional de um Motor Diesel
Como caso de estudo, foi analisada a dinâmica da árvore de manivelas do motor
Diesel modelo MWM Acteon 6.12TCE [28]. A Figura 5.10 mostra uma foto do motor
estudado e a Tabela 5.2 apresenta as respectivas especificações técnicas. Além disso, a
Figura 5.11 apresenta o sistema dinâmico analisado e a Figura 5.12 apresenta o modelo
dinâmico de parâmetros concentrados equivalente de acordo com a bibliografia [29]
[28] [30]:
Figura 5.10. Motor MWM Acteon 6.12TCE
Tabela 5.2. Especificações Técnicas do Motor MWM Acteon 6.12TCE
Cilindros 6 em Linha
Comando de Válvulas; Válvulas por Cilindro. No cabeçote, 2 válvulas
Diâmetro do Cilindro 105 mm
Curso do Pistão 137 mm
Comprimento da Biela 207 mm
Cilindrada Total 7,118 litros
Razão de Compressão 16,8:1
Ângulo de Fechamento da Válvula de Admissão 203º
Ângulo de Abertura da Válvula de Escape 507º
Potência Máxima 191 kW
Torque 900 N-m
Ordem de Ignição 1 – 5 – 3 – 6 – 2 – 4
Sentido de Rotação Anti-horário (visto pela volante)
Pressão no Rail 350 a 1400 bar
Temperatura da Água de Arrefecimento 80 – 100 ºC
46
Figura 5.11. Árvore de Manivelas do Motor MWM Acteon 6.12TCE
Figura 5.12. Modelo Equivalente da Árvore de Manivelas.
47
5.2.1. Formulação do Problema
Aplicando a segunda Lei de Newton para cada componente do modelo
equivalente da Figura 5.13, obtém-se a equação do movimento do sistema dinâmico
analisado e é expresso na equação (5.1):
[𝐽]{��(𝑡)} + [𝐶]{��(𝑡)} + [𝐾]{𝜃(𝑡)} = {𝑀(𝑡)} (5.1)
Onde:
[J]: Matriz de inércia;
[C]: Matriz de amortecimento torcional;
[K]: Matriz de rigidez torcional;
{𝑀(𝑡)}: Vetor de torques externos;
{𝜃(𝑡)}: Vetor de deslocamentos angulares;
{��(𝑡)}: Vetor de velocidades angulares;
{��(𝑡)}: Vetor de acelerações angulares;
5.2.2. Solução da Equação do Movimento pelo Método da Formulação de Estado
A equação (5.1) governa o comportamento dinâmico da árvore de manivelas,
assim, para conhecer a resposta de vibração devido às excitações externas é preciso
resolver a equação do movimento.
Foi utilizada a metodologia da formulação de estado para calcular os parâmetros
modais e a resposta de vibração da árvore de manivelas [29] [28] [31] [30]. As respostas
obtidas após a resolução da equação do movimento servirão como indicadores da saúde
do motor. Aplicando o método de resolução adotado, a equação (5.1) pode ser
rearranjada da seguinte forma:
{��(𝑡)} = [𝐽]−1({𝑀(𝑡)} − [𝐶]{��(𝑡)} − [𝐾]{𝜃(𝑡)}) (5.8)
Levando em conta que os deslocamentos e as velocidades são desconhecidos,
pode-se definir o seguinte vetor:
{Θ(𝑡)} = {{𝜃(𝑡)}
{��(𝑡)}} (5.9)
Onde:
48
{Θ(𝑡)}: Vetor de estado;
Fazendo a primeira derivada do vetor de estado tem-se:
{Θ(𝑡)} = {{��(𝑡)}
{��(𝑡)}} = {
{��(𝑡)}
[𝐽]−1({𝑀(𝑡)} − [𝐶]{��(𝑡)} − [𝐾]{𝜃(𝑡)})} (5.10)
A equação (5.10) pode ser rearranjada da forma seguinte:
{Θ(𝑡)} = [[0] [𝐼]
−[𝐽]−1[𝐾] −[𝐽]−1[𝐶]] {{𝜃(𝑡)}
{��(𝑡)}} + {
{0}
[𝐽]−1{𝑀(𝑡)}} (5.11)
Da equação (5.11) tem-se:
[𝐴] = [[0] [𝐼]
−[𝐽]−1[𝐾] −[𝐽]−1[𝐶]] (5.12)
Onde,
[A]: Matriz de estado;
A matriz de estado carrega todas as informações dinâmicas do sistema, tais
como inércia, rigidez e amortecimento. Além disso, ela possui de forma implícita as
informações dos parâmetros modais tais como frequências naturais e amortecimentos
modais os quais são resultado do cálculo dos autovalores e autovetores (na forma
complexa):
([𝐴] − 𝜆[𝐼]){𝑣} = 0 (5.13)
Onde:
λ: Autovalores da matriz de estado;
{v}: Autovetores da matriz de estado;
E,
𝜆 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝑖√1 − 𝜁2𝜔𝑛 (5.14)
Onde:
ωn: Frequência natural (rad/s);
ς: Taxa de amortecimento;
Por outro lado, a resposta de vibração do sistema resulta da solução da equação
(5.11) a qual pode ser feita de forma numérica.
49
5.2.3. Resultados
Os parâmetros modais calculados pelo modelo desenvolvido foram comparados
com os resultados publicados por Mendes [28]. A Tabela 5.3 apresenta os resultados
obtidos:
Tabela 5.3. Parâmetros modais da árvore de manivelas
Modo Frequência Natural Torcional (Hz) Amortecimento Modal
(%) Calculado Mendes (2005) Diferença (%)
1 112,66 112,23 0,38 5,0
2 229,63 229,37 0,11 13,0
3 382,53 ------ ------ 21,0
4 595,14 ------ ------ 18,0
5 881,58 ------ ------ 17,0
6 1084,32 ------ ------ 15,0
7 1331,08 ------ ------ 16,0
8 1646,26 ------ ------ 19,0
9 1737,27 ------ ------ 20,0
10 2355,88 ------ ------ 26,0
Na Tabela 5.3 pode-se observar que os valores das frequências naturais
calculadas pelo modelo desenvolvido, possuem diferenças menores a 10% quando
comparadas com os resultados obtidos por Mendes [28], nas duas primeiras frequências.
Estes resultados demonstram que o modelo desenvolvido representa de forma válida o
sistema dinâmico analisado.
Por outro lado, com o objetivo de identificar de putra forma os parâmetros desse
motor Diesel, simulou-se um teste de impacto na árvore de manivelas. Assim, aplicou-
se um impulso de 1000 N.m [32] no cilindro 6 e calculou-se a resposta de vibração
torcional no eixo, próximo do volante. Utilizou-se o método de integração numérica
Runge Kutta de 4º ordem para resolver a equação de movimento (5.11).
A Figura 5.13 mostra o sinal de resposta obtido próximo do volante do motor, a
amplitude está em radianes e o tempo em segundos.
50
Figura 5.13. Sinal de resposta ao impulso próximo do volante do motor.
O sinal foi “adquirido” com uma taxa de aquisição de 10 kHz e durante um
tempo de 0,2 segundos. Escolheu-se uma ordem igual a 50 para identificar os
parâmetros modais.
Os diagramas de estabilização dos métodos LSCE, ITD e ERA estão mostrados
nas figuras 5.14, 5.15 e 5.16 respectivamente, onde a linha vermelha representa o
ANPSD dos onze sinais.
Os critérios de estabilização que foram adotados são:
A frequência deve estar dentro de uma faixa de ± 1 Hz da frequência calculada
na última iteração (ordem mais alta).
O limite de amortecimento ≤ 30%.
O MCF deve ser maior a 0,8%. (Só válido para o ITD)
O MAC deve ser maior a 0,7%. (Só válido para o ERA)
O número de frequências que cumpriram os requisitos anteriores deve ser maior
ou igual a 25.
Figura 5.14. Diagrama de Estabilização para o LSCE usando o sinal do volante.
51
Figura 5.15. Diagrama de Estabilização para o ITD usando o sinal do volante.
Figura 5.16. Diagrama de Estabilização para o ERA usando o sinal do volante.
Os valores das frequências e amortecimentos identificados pelos três métodos
são praticamente idênticos (Tabela 5.4); e em comparação com os resultados obtidos
pela formulação de estado, os três primeiros modos foram idênticos, sendo que os erros
vão aumentando até um máximo de 2% até o último modo, conforme as frequências
naturais também aumentam.
52
A linha vermelha representa a Densidad Espectral de Potência (PSD) do sinal de
resposta da Figura 5.13, e dá uma ideia da energia excitada de cada modo. Percebe-se
que o PSD só mostra de forma correta as duas primeiras frequências naturais que
coincidem com os resultados obtidos pelos métodos de identificação modal. Mas as
outras frequências naturais não foram excitadas devido a que a energia do impacto não
foi sufucientemente alta para excitar de forma eficiente as frequências mais altas, como
é o caso onde a PSD não mostra os picos.
O problema da falta de energia para excitar frequências mais altas foi percebido
nos métodos de identificação modal no domínio do tempo só a partir da última
frequência, onde o modo encontrado nos diagramas de estabilização não está muito bem
alinhado.
Tabela 5.4. Parâmetros modais identificados usando o sinal de vibração torcional do
eixo do motor Diesel.
LSCE ITD ERA
Modo 𝒇 (Hz) 𝜻(%) 𝒇 (Hz) 𝜻(%) 𝒇 (Hz) 𝜻(%)
1 112,66 5,02 112,66 5,02 112,66 5,02
2 229,63 12,86 229,63 12,86 229,63 12,86
3 382,53 21,07 382,53 21,07 382,53 21,07
4 595,05 18,13 595,05 18,13 595,05 18,13
5 880,86 17,41 880,86 17,41 880,86 17,41
6 1082,22 14,60 1082,22 14,60 1082,22 14,60
7 1325,08 15,63 1325,08 15,63 1325,08 15,63
8 1628,26 19,04 1628,26 19,04 1628,44 19,01
9 1712,98 19,94 1712,98 19,94 1712,70 19,92
10 2305,60 1,87 2305,60 1,87 2305,30 1,72
53
5.3. Teste de Impacto numa Bomba Centrífuga Submersa (BCS) Instalada num
Poço Falso
A instrumentação do poço de teste conta com um transdutor de vazão tipo
Coriolis, uma válvula de controle de vazão e um transdutor de pressão na cabeça do
poço, além de conversores de frequência para controle da rotação, transformadores
elétricos e cabos de potência.
Para a aquisição dos sinais, foi utilizado um sistema de aquisição de dados
(DAQ) Modelo NI-9178 com placas USB NI-9233 (Fabricante National Instruments®)
e com software LabVIEW® 8.0. O DAQ conta com um conversor analógico digital de
24 bits com taxa de amostragem de até 50 kHz por canal e com 32 canais disponíveis
para medição. Os acelerômetros usados são da PCB, modelos 624B11, com
sensibilidade de 100 mV/g, faixa de aquisição de 2 Hz até 10 kHz e à prova d´água. A
Figura 5.17 mostra o tipo de instrumentação disponível para os testes de integração.
[27]
Figura 5.17. Instrumentos de medição: (a) placa A/D NI® (b) acelerômetro
piezoelétrico (c) transdutor de Pressão (d) transdutor de vazão.
Os conjuntos testados ainda contavam com um sensor de fundo, que é capaz de
monitorar a pressão de fundo, a pressão de sucção, a temperatura do motor e
acelerômetros nas direções radiais da BCS na seção inferior do motor. Este sensor é
instalado em alguns poços produtores e envia os dados medidos através de um sinal
54
modulado e multiplexado no próprio cabo de alimentação. Ele tem limitações na taxa de
aquisição dos sinais e tem um custo muito elevado, por essa razão é usado somente em
poços considerados críticos.
Figura 5.181. Instalação da BCS instrumentada no poço de teste e a marcação do local
para a instalação dos acelerômetros.
Foram instalados três acelerômetros no selo/protetor e no motor, e dois
acelerômetros na bomba, todos na mesma direção, resultando em oito pontos de
medição. A distribuição dos sensores ao longo da BCS está mostrada na Figura 5.19.
A fixação dos acelerômetros foi feita através de uma cinta metálica que, por
compressão fixa uma pequena placa de aço inoxidável na carcaça da bomba, conforme a
Figura 5.18.
Figura 5.19. Distribuição dos acelerômetros ao longo dos componentes da BCS
55
5.3.1. Procedimento experimental
Os testes de integração (string tests), que incluem os testes do sistema elétrico de
desempenho e de vibração, foram realizados em bancadas para testes de bombas, teste
de motores e um poço falso para testes de conjuntos completos de BCS’s. Esse poço
tem cerca de 35 metros de profundidade e 10 polegadas de diâmetro e está ligado a um
circuito fechado e instrumentado, conforme mostra a Figura 5.20.
Figura 5.20. Circuito do poço de teste.
Foi realizado um teste de impacto a uma BCS de 58 estágios fora de operação
utilizando um martelo de impacto. Por se tratar de um equipamento que opera submerso
e em espaço confinado, o único local acessível para aplicar os impactos fica próximo do
ponto onde a BCS é suportada, na cabeça do poço (Figura 5.21).
Figura 5.21. Local de aplicação do impacto.
56
Foram efetuados cerca de 30 impactos na BCS, e os sinais foram adquiridos com
uma taxa de aquisição de 25 kHz, durante 3 segundos por impacto. Os dados de
vibração dos oito acelerômetros foram adquiridos simultaneamente, utilizando-se oito
canais de aquisição. Os sinais devido aos impactos não foram adquiridos. A Figura 5.22
mostra as dimensões e o local da aplicação dos impactos na BCS.
Figura 5.22. Dimensões e local da aplicação dos impactos na BCS.
A figura 5.23 mostra a resposta a um impacto obtida pelo acelerômetro # 8. O
sinal adquirido foi reamostrado para 2 kHz e filtrado com um filtro passa-baixa, com
frequência de corte de 100 Hz, que foi a frequência máxima de interesse para a análise
de vibração da BCS.
Figura 5.23. Resposta a um impacto obtida no acelerômetro # 8.
57
5.3.2. Resultados Obtidos
Usando os sinais das respostas ao impacto, obtidos pelos acelerômetros e com
uma ordem de 95, foram utilizados os três métodos para identificar os parâmetros
modais da BCS. As figuras 5.24, 5.25 e 5.26 mostram o diagrama de estabilização e a
linha vermelha representa o ANPSD dos sinais.
Figura 5.24. Diagrama de estabilização para o LSCE da BCS.
Figura 5.25 Diagrama de estabilização para o ITD da BCS.
58
Figura 5.26. Diagrama de estabilização para o ERA da BCS.
Os critérios de estabilização que foram adotados são:
A frequência deve estar dentro de uma faixa de ± 2 Hz da frequência calculada
na última iteração (ordem mais alta).
O limite de amortecimento ≤ 20%.
O MCF deve ser maior a 0,6%. (Só válido para o ITD)
O MAC deve ser maior a 0,6%. (Só válido para o ERA)
O número de frequências que cumpriram os requisitos anteriores deve ser maior
ou igual a 20.
Pode ser observado que, o método ERA conseguiu identificar mais modos do
que os outros dois métodos, mesmo assim nenhum deles apresentou uma estabilização
de frequências bem definidas (Figura 5.24, 5.25 e 5.26), além o ANPSD dos sinais não
mostrou picos (modos identificados) bem definidos. Isto é devido ao impacto que por
ser próximo do ponto de apoio da BCS não conseguiu transmitir eficientemente a
energia necessária para excitar corretamente os modos estruturais.
Neste exemplo podemos ver que a energia de excitação cumpre um papel muito
importante na identificação modal. A energia transmitida na BCS foi tão pequena que se
confundiu um pouco com o ruído da aquisição, mas isso representou uma deficiência do
teste e não dos métodos de identificação, por não ter outro local de impacto disponível.
Os valores das frequências e amortecimentos identificados em cada método
estão mostrados na Tabela 5.5.
59
Tabela 5.5. Parâmetros modais da BCS.
LSCE ITD ERA
Modo 𝒇 (Hz) 𝜻(%) 𝒇 (Hz) 𝜻(%) 𝒇 (Hz) 𝜻(%)
1 17,1 4,97 17,1 4,97 6,86 5,62
2 22,82 5,36 22,82 5,36 10,49 4,37
3 34,2 3,86 34,2 3,86 16,11 5,06
4 42,27 4,23 42,27 4,23 23,15 7,32
5 46 9,83 46 9,83 28,68 7,42
6 59,13 2,12 59,13 2,12 42,07 2,22
7 62,72 3,77 62,72 3,77 46,63 6,51
8 69,5 3,78 69,5 3,78 53,65 1,08
9 76,1 3,03 76,1 3,03 58,32 3,11
10 81,88 1,03 81,88 1,03 61,72 2,47
11 96,65 6,27 96,65 6,27 66,91 2,2
12 100,78 3,27 100,78 3,27 71,01 4,22
13 - - - - 77,33 2,56
14 - - - - 81,44 1,28
15 - - - - 87,48 2,23
16 - - - - 93,95 2,63
17 - - - - 99,52 1,24
60
6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
O método do SSTD-SIMO (1a variação do ITD) mostrou os mesmos resultados
que o método LSCE com as frequências naturais e taxas de amortecimento sendo
exatamente iguais, por outro lado os resultados do método das Estações Transformadas,
ITD-ET, (2a variação do ITD) são extamente iguais aos do método ERA. Isto ocorre
porque existe uma semelhança na montagem das matrizes do sistema.
Se não fossem considerados os criterios de estabilização, os diagramas
mostrariam modos reais e computacionais misturados, além de que o método ERA
mostraria mais “pontos” numa mesma faixa de frequência (densidade modal alta), do
que os outros métodos. É por isso que é considerado como mais sofisticado em
comparação com os métodos LSCE e ITD, porque consegue calcular mais modos em
menos iterações, o que o torna mais preciso no cálculo dos parâmetros modais na
presença de modos próximos e, inclusive, de modos com frequências iguais.
É possível identificar os parâmetros modais de um sistema dinâmico fazendo uso
apenas dos sinais de resposta à vibração num teste de impacto, porque as respostas de
vibração livre seguem o mesmo padrão que as funções de resposta ao impulso (IRF) que
contém as propriedades dinâmicas do sistema. Além, os métodos do domínio do tempo
não apresentam problemas com a resolução em frequência devido ao tempo de
aquisição do sinal, o que acontece com os métodos do domínio da frequência.
A partir dos resultados apresentados neste trabalho, pode-se ampliar a
formulação do ERA para incluir os casos onde a excitação é devido ao ambiente
operacional da estrutura ou equipamento, isto é, o ERA pode ser transformado num
método OMA. Basta, para isso, converter as informações obtidas numa serie temporal
com um padrão de decaimento logarítmico. Por exemplo, se se tiver só a resposta de
uma vibração ambiental podem-se obter funções de correlação, e se o sinal de vibração
tiver influência de harmônicos da rotação, estes podem ser removidos para depois
analizá-los através das funções de correlação.
As taxas de amortecimento são os parâmetros que mais erros apresentam na
presença de ruído e, conforme a literatura, ainda não existe um método seguro que as
calculem corretamente, porém os amortecimentos baixos são melhor identificados.
Recomenda-se que exista uma simultaneadade de aquisição dos sinais por cada
teste. E provar os métodos com ordens altos tal que se consiga ver uma estabilidade nos
modos identificados do diagrama de estabilização.
61
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] KERSCHEN, G., GOLINVAL J. C., Experimental Modal Analysis, Structural
Dynamics Research Group. Disponível em:
<http://www.ltas-vis.ulg.ac.be/cmsms/uploads/File/Mvibr_notes.pdf> Acesso em:
12 fev. 2015, 10:25:30.
[2] MOHANTY, P., RIXEN D. J., 2004, "Operational Modal Analysis in the Presence
of Harmonic Excitation", Journal of Sound and Vibration, v. 270, n. 1, pp. 93-109.
[3] MOHANTY, P., RIXEN D. J., 2004, "A Modified Ibrahim Time Domain
Algorithm for Operational Modal Analysis Including Harmonic Excitation",
Journal of Sound and Vibration, v. 275, n. 1, pp. 375-390.
[4] MOHANTY, P., RIXEN D. J., 2006, "Modified ERA Method for Operational
Modal Analysis in the Presence of Harmonic Excitations", Mechanical Systems
and Signal Processing, v. 20, n. 1, pp. 114-130.
[5] SPITZNOGLE F. R., QUAZI, A. H., 1970, "Representation and Analysis of Time-
Limited Signals Using a Complex Exponential Algorithm", The Journal of the
Acoustical Society of America, v. 47, n. 5A, pp. 1150-1155.
[6] BROWN D. L., ALLEMANG, R. J., ZIMMERMAN, R., MERGEAY, M., 1979,
"Parameter Estimation Techniques for Modal Analysis," SAE Technical Paper
790221, pp. 828-846.
[7] ZHOU, W., CHELIDZE, D., 2008, "Generalized Eigenvalue Decomposition in
Time Domain Modal Parameter Identification", Journal of Vibration and
Acoustics, v. 130, n. 1 (Fev), p. 011001.
[8] MAIA, N. M. M., SILVA, J. M. M., 1997, Theoretical and Experimental Modal
Analysis, 1 ed. Taunton, Research Studies Press.
[9] IBRAHIM, S. R., 1978, "Modal Confidence Factor in Vibration Testing", Journal
of Spacecraft and Rockets, v. 15, n. 5, pp. 313-316.
[10] ZHANG, L., BRINCKER, R., ANDERSEN, P., 2001, "Modal Indicators for
Operational Modal Identification", 19th International Modal Analysis Conference
(IMAC), Kissimmee, Florida, Fev.
[11] LARDIES, J., TA, M. N., BERTHILLIER, M., 2004, "Modal Parameter
Estimation Based on the Wavelet Transform of Output Data", Archive of Applied
Mechanics, v. 73, n. 9-10, pp. 718-733.
62
[12] LE T. P., ARGOUL, P., 2004, "Continuous Wavelet Transform for Modal
Identification Using Free Decay Response", Journal of Sound and Vibration, v.
277, n. 1, pp. 73-100.
[13] KIMA, B. H., STUBBSB, N., PARKA, T., 2005, "A New Method to Extract
Modal Parameters Using Output-Only Responses", Journal of Sound and
Vibration, v. 282, n. 1, pp. 215-230.
[14] LU Z., LAW, S. S., 2007, "Identification of system parameters and input force
from output only", Mechanical Systems and Signal Processing, v. 21, n. 5, pp.
2099-2111.
[15] MAGALHÃES, F., CAETANO E., CUNHA, A., 2008, "Operational Modal
Analysis and Finite Element Model Correlation of the Braga Stadium Suspended
Roof", Engineering Structures, v. 30, n. 6, pp. 1688-1698.
[16] MAGALHÃES, F., CUNHA, A., CAETANO, E., BRINCKER, R., 2010,
"Damping Estimation Using Free Decays and Ambient Vibration Tests",
Mechanical Systems and Signal Processing, v. 24, n. 5, pp. 1274-1290.
[17] MALEKJAFARIAN, A., BRINCKER, R., ASHORY, M. R., KHITIBI, M. M.,
2010, "Identification of Closely Spaced Modes Using Ibrahim Time Domain
Method", In: Proceedings of the 4th
IOMAC, p. 443-449.
[18] MAGALHÃES, F., CUNHA, A., CAETANO, Flamand, O,. Grillaud, G., 2012,
"Ambient and Free Vibration Tests of the Millau Viaduct: Evaluation of
Alternative Processing Strategies", Engineering Structures, v. 45, pp. 372-384.
[19] ZHANG, G., MA, J., CHEN, Z., WANG,R,. 2014, "Automated Eigensystem
Realisation Algorithm for Operational Modal Analysis", Journal of Sound and
Vibration, v. 333, n. 15, pp. 3550-3563.
[20] MAIA, N. M. M., SILVA, J. M. M., 2001, "Modal Analysis Identification
Techniques", Philosophical Transactions of the Royal Society of London A:
Mathematical, Physical and Engineering Sciences, v. 359, n. 1778, pp. 29-40.
[21] HE J., FU Z. F., 2001, Modal Analysis. 1 ed. Oxford, Butterworth-Heinemann.
[22] FREITAS, T. C. D., 2008, Identificação de Parâmetros Modais Utilizando Apenas
as Repostas da Estrutura, Dissertação de M.Sc., Universidade Estadual Paulista,
SP, Brasil.
[23] BRINCKER R., VENTURA C., 2015, Introduction to Operational Modal
Analysis, 1 ed. West Sussex, John Wiley and Sons.
63
[24] ZAGHLOOL, S. A., 1980, "Single Station Time-Domain (SSTD) Vibration
Testing Technique: Theory and Application", Journal of Sound and Vibration, v.
72, n. 2, pp. 205-234.
[25] JUANG, J. N., PAPPA, R. S., 1985, "An Eigensystem Realization Algorithm for
Modal Parameter Identification and Model Reduction", Journal of guidance,
control, and dynamics, v. 8, n. 5, pp. 620-627.
[26] CAICEDO, J. M., 2011, "Practical Guidelines for the Natural Excitation Technique
(NexT) and the Eigensystem Realization Algorithm (ERA) for Modal
Identification Using Ambient Vibration", Experimental Techniques, v. 35, n. 4, pp.
52-58.
[27] MINETTE, R. S., 2014, Análise Modal de Bombas Centrífugas Submersas,
Dissertação de M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ.
[28] MENDES, A. S., 2005, Desenvolvimento e Validação de Metodologia para
Analise de Vibrações Torcionais em Motores de Combustão Interna, Dissertação
de M.Sc., Universidade Estadual de Campinas, SP, Brasil.
[29] INMAN, D. J., SINGH, R. C., 2001, Engineering Vibration, Upper Saddle River:
Prentice Hall.
[30] RAO, S., 2011, Mechanical Vibration, 5th Prentice Hall.
[31] RIPPER, A. P., 2007, Vibrações Mecânicas, E-Papers Serviços Editoriais.
[32] BOYSAL, A., RAHNEJAT, H., 1997, "Torsional Vibration Analysis of a Multi-
Body Single Cylinder Internal Combustion Engine Model", Applied Mathematical
Modelling, v. 21, n. 8, pp. 481-493
[33] LEE, J. K., PARK, Y. S., 1994, "The Complex Envelope Signal and an Application
to Structural Modal Parameter Estimation", Mechanical Systems and Signal
Processing, v. 8, n. 2, pp. 129-144.
[34] AGNENI, A., 1992, "Modal Parameter Estimates from Autocorrelation Functions
of Highly Noisy Impulse Responses", International Journal of Analytical and
Experimental Modal Analysis, v. 7, n. 4, pp. 285-297.
[35] LARDIES, J., 1997, "Modal Parameter Identification From Output-Only
Measurements", Mechanics Research Communications, v. 24, n. 5, pp. 521-528.
[36] BRINCKER, R., ZHANG, L., ANDERSEN, P., 2001, "Modal Identification of
Output-Only Systems Using Frequency Domain Decomposition," Smart materials
and structures, v. 10, n. 3, pp. 441-445.
64
[37] LARDIES, J., TA, M. N., 2011, "Modal Parameter Identification of Stay Cables
from Output-Only Measurements", Mechanical systems and signal processing, v.
25, n. 1, pp. 133-150.