ies centre de tecnificaciÓ esportiva illes balears...

IES CENTRE DE TECNIFICACIÓ ESPORTIVA ILLES BALEARS

Departament de Matemàtiques

Programació del curs 2015-16

Professors del departament:

Munar Vallespir, Felip Bernal Garcías, José Luis

Martínez Tascones, Vicent Manuel

______________________________________________________________________________________________________ IES CTEIB Programació de Matemàtiques 2015-16 2/152

Índex

CAPÍTOL I. ORGANITZACIÓ DEL DEPARTAMENT ....................... ............................................... 5

1. Components i assignació de matèries ............. .......................................................................... 5

2. Reunions del departament de matemàtiques........ .................................................................... 5

3. Llibres de text ................................. .............................................................................................. 6

4. Normativa bàsica................................ .......................................................................................... 6

5. Dades de l’alumnat .............................. ......................................................................................... 7

CAPÍTOL II. ASPECTES DIDÀCTICS................................. .............................................................. 8

1. Metodologia didàctica........................... ....................................................................................... 8

2. Avaluació....................................... ................................................................................................ 9

3. Atenció a la diversitat......................... .......................................................................................... 9

4. Materials i recursos didàctics .................. ................................................................................. 10

5. Ús de les TIC ................................... ............................................................................................ 11

6. Activitats complementàries previstes ............ .......................................................................... 11

CAPÍTOL III. EDUCACIÓ SECUNDÀRIA OBLIGATÒRIA.................... ........................................... 13

1. Contribució de les matemàtiques als objectius ge nerals de la ESO ................................... . 13

2. Objectius generals de les matemàtiques en la ESO ............................................................... 13

3. Contribució de les matemàtiques a l’adquisició d e les competències bàsiques en l’ESO 14

4. Criteris de qualificació i promoció............. ............................................................................... 15

5. Criteris de recuperació d’assignatura pendent ... .................................................................... 17

6. Tercer d’ESO – Matemàtiques Orientades als Ensen yaments Acadèmics........................... 18

6.1. Temporalització i cronograma .............................................................................................. 18

6.2. Contribució de l’assignatura a les competències bàsiques.................................................. 19

6.3. Objectius específics ............................................................................................................. 19

6.4. Continguts, criteris d’avaluació i estàndards d’aprenentatge ............................................... 21 (3ESO - Acad.) Bloc1: Processos, mètodes i actituds en matemàtiques ............................. 21 (3ESO - Acad.) Bloc2: Nombres i àlgebra............................................................................. 24 (3ESO - Acad.) Bloc3: Geometria ......................................................................................... 26 (3ESO - Acad.) Bloc4: Funcions ........................................................................................... 28 (3ESO - Acad.) Bloc5: Estadística i probabilitat .................................................................... 29

7. Tercer d’ESO – Matemàtiques Orientades als Ensen yaments Aplicats................................ 31




7.4. Continguts, criteris d’avaluació i estàndards d’aprenentatge ............................................... 34 (3ESO - Aplic.) Bloc1: Processos, mètodes i actituds en matemàtiques.............................. 34 (3ESO - Aplic.) Bloc2: Nombres i àlgebra ............................................................................. 37 (3ESO - Aplic.) Bloc3: Geometria.......................................................................................... 39 (3ESO - Aplic.) Bloc4: Funcions............................................................................................ 40 (3ESO - Aplic.) Bloc5: Estadística i probabilitat..................................................................... 41


8. Quart d’ESO – Opc A............................. ..................................................................................... 42


8.2. Seqüenciació per unitats ...................................................................................................... 43 (4ESO - Opc. A) Unitat 1: Geometria .................................................................................... 44 (4ESO - Opc. A) Unitat 2: Nombres decimals....................................................................... 46 (4ESO - Opc. A) Unitat 3: Nombres reals ............................................................................. 48 (4ESO - Opc. A) Unitat 4: Problemes aritmètics ................................................................... 50 (4ESO - Opc. A) Unitat 5: Funcions lineals ........................................................................... 52 (4ESO - Opc. A) Unitat 6: Altres funcions elementals........................................................... 54 (4ESO - Opc. A) Unitat 7: Equacions .................................................................................... 56 (4ESO - Opc. A) Unitat 8: Sistemes d’equacions.................................................................. 58 (4ESO - Opc. A) Unitat 9: Estadística ................................................................................... 60 (4ESO - Opc. A) Unitat 10: Probabilitat ................................................................................. 62

9. Quart d’ESO – Opc B............................. ..................................................................................... 64


9.2. Seqüenciació per unitats ...................................................................................................... 65 (4ESO - Opc. B) Unitat 1: Nombres reals ............................................................................. 65 (4ESO - Opc. B) Unitat 2: Polinomis i fraccions algebraiques .............................................. 67 (4ESO - Opc. B) Unitat 3: Equacions, inequacions i sistemes.............................................. 69 (4ESO - Opc. B) Unitat 4: Funcions. Característiques.......................................................... 71 (4ESO - Opc. B) Unitat 5: Funcions elementals.................................................................... 73 (4ESO - Opc. B) Unitat 6: La semblança i les seves aplicacions.......................................... 75 (4ESO - Opc. B) Unitat 7: Trigonometria............................................................................... 77 (4ESO - Opc. B) Unitat 8: Geometria analítica...................................................................... 79 (4ESO - Opc. B) Unitat 9: Estadística ................................................................................... 81 (4ESO - Opc. B) Unitat 10: Càlcul de probabilitats ............................................................... 83 (4ESO - Opc. B) Unitat 11: Combinatòria ............................................................................. 85

CAPÍTOL IV. BATXILLERAT........................................ .................................................................... 87

1. Contribució de les matemàtiques als objectius ge nerals del batxillerat ............................. . 87

2. Objectius generals de les matemàtiques en el BCT ............................................................... 87

3. Objectius generals de les matemàtiques en el BHC S............................................................. 88

4. Criteris de qualificació i promoció............. ............................................................................... 88

5. Criteris de recuperació d’assignatura pendent ... .................................................................... 90

6. Matemàtiques I.................................. .......................................................................................... 91




6.4. Continguts, criteris d’avaluació i estàndards d’aprenentatge ............................................... 94 (Mat I) Bloc 1: Processos, mètodes i actituds en matemàtiques .......................................... 94 (Mat I) Bloc 2: Nombres i àlgebra.......................................................................................... 98 (Mat I) Bloc 3: Geometria ...................................................................................................... 99 (Mat I) Bloc 4: Anàlisi........................................................................................................... 100 (Mat I) Bloc 5: Estadística i probabilitat ............................................................................... 101

7. Matemàtiques II................................. ........................................................................................ 102

7.1. Temporalització i cronograma ............................................................................................ 102

7.2. Seqüenciació per unitats .................................................................................................... 103 (Mat II) Unitat 1: Sistemes d’equacions............................................................................... 103 (Mat II) Unitat 2: Àlgebra de matrius ................................................................................... 104 (Mat II) Unitat 3: Determinants ............................................................................................ 105 (Mat II) Unitat 4: Resolució de sistemes mitjançant determinants ...................................... 106


(Mat II) Unitat 5: Vectors en l’espai ..................................................................................... 107 (Mat II) Unitat 6: Punts, rectes i plans en l’espai ................................................................. 108 (Mat II) Unitat 7: Problemes mètrics.................................................................................... 109 (Mat II) Unitat 8: Límits de funcions. Continuïtat ................................................................. 110 (Mat II) Unitat 9: Derivades. Tècniques de derivació .......................................................... 111 (Mat II) Unitat 10: Aplicacions de les derivades .................................................................. 112 (Mat II) Unitat 11: Representació de funcions ..................................................................... 113 (Mat II) Unitat 12: Càlcul de primitives ................................................................................ 114 (Mat II) Unitat 13: La integral definida. Aplicacions ............................................................. 115

8. Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials I . ................................................................ 116


8.2. Contribució de l’assignatura a les competències bàsiques................................................ 117

8.3. Objectius específics ........................................................................................................... 117

8.4. Continguts, criteris d’avaluació i estàndards d’aprenentatge ............................................. 119 (Macs I) Bloc 1: Processos, mètodes i actituds en matemàtiques...................................... 119 (Macs I) Bloc 2: Nombres i àlgebra ..................................................................................... 122 (Macs I) Bloc 3: Anàlisi ........................................................................................................ 123 (Macs I) Bloc 4: Estadística i probabilitat ............................................................................ 124

9. Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II ................................................................ 126


9.2. Seqüenciació per unitats .................................................................................................... 127 (Macs II) Unitat 1: Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss ............................................. 127 (Macs II) Unitat 2: Àlgebra de Matrius................................................................................. 128 (Macs II) Unitat 3: Resolució de sistemes mitjançant determinants ................................... 129 (Macs II) Unitat 4: Programació lineal ................................................................................. 130 (Macs II) Unitat 5: Límits de funcions. Continuïtat............................................................... 131 (Macs II) Unitat 6: Derivades. Tècniques de derivació........................................................ 132 (Macs II) Unitat 7: Aplicacions de les derivades.................................................................. 133 (Macs II) Unitat 8: Representació de funcions .................................................................... 134 (Macs II) Unitat 9: Càlcul de probabilitats............................................................................ 135 (Macs II) Unitat 10: Les mostres estadístiques ................................................................... 136 (Macs II) Unitat 11: Inferència estadística. Estimació de la mitjana.................................... 137 (Macs II) Unitat 12: Inferència estadística. Estimació d’una proporció ............................... 138 (Macs II) Unitat 13: Inferència estadística. Contrast d’hipòtesis ......................................... 139

10. Ampliació de matemàtiques ...................... ............................................................................ 140

10.1. Objectius........................................................................................................................... 140

10.2. Actituds generals .............................................................................................................. 141

10.3. Continguts ........................................................................................................................ 141

10.4. Criteris d’avaluació ........................................................................................................... 144

10.5. Orientacions metodològiques ........................................................................................... 146

10.6. Orientacions per a l’avaluació .......................................................................................... 150

10.7. Temporalització ................................................................................................................ 151

10.8. Materials i recursos didàctics ........................................................................................... 151

CAPÍTOL V. Diligència d’aprovació de la programació ........... ................................................. 152


CAPÍTOL I. ORGANITZACIÓ DEL DEPARTAMENT

1. Components i assignació de matèries

En el present curs el departament de Matemàtiques està integrat per:

− Felip Munar Vallespir, professor de Matemàtiques i Enginyer Industrial, − José Luis Bernal Garcías, professor de Matemàtiques i llicenciat en Matemàtiques, qui

exerceix a més com a cap del departament. − Vicent Manuel Martínez Tascones, professor interí i llicenciat en Química.

També imparteix docència de Matemàtiques Juan Carlos Sánchez Crespillo, professor de l’àmbit científicotecnològic del departament d'Orientació i llicenciat en Matemàtiques.

La distribució de matèries i grups entre els integrants del departament de matemàtiques és la següent:

Matèria N. Grups Sessions Professor

Matemàtiques Acadèmiques 3ESO 2 8 V. Martínez

Matemàtiques Aplicades 3 ESO 1 4 J.C. Sánchez

Matemàtiques 4 – Opc. B 1 4 F. Munar

Matemàtiques 4 – Opc. B 1 4 V. Martínez

Matemàtiques 4 – Opc. A 1 4 J.C. Sánchez

Matemàtiques I - BC 1 4 J.L. Bernal

Matemàtiques I - BC 1 4 V. Martínez

Matemàtiques II - BCT 2 8 J.L. Bernal

Ampliació de Matemàtiques - BCT 1 4 J.L. Bernal

MACS I - BHCS 2 8 F. Munar

MACS II - BHCS 1 4 F. Munar

Reforç Matemàtiques - BCT 1 1 V. Martínez

2. Reunions del departament de matemàtiques

La reunió setmanal dels membres del departament de matemàtiques queda fixada els dimarts a les 10:45, una vegada finalitzat l’horari lectiu del matí. Després de cada reunió el cap de departament redactarà l’acta corresponent on s’inclouran els temes tractats i les decisions preses.

Periòdicament el departament revisarà la programació didàctica amb l’objectiu de millorar-la. Es posarà especial esment en els següents punts:

- Grau d’adequació de la programació a la realitat del centre i dels alumnes.

- Grau d’assoliment dels objectius per part dels alumnes.

- Grau de compliment de la programació.

Altres temes que també es tractaran en les reunions de departaments seran:

- Estudi i valoració dels resultats acadèmics dels alumnes a les avaluacions.

- Seguiment i avaluació dels alumnes que segueixen plans de recuperació de matèries pendents.

- Seguiment i coordinació de les mesures d’atenció a la diversitat del departament, especialment les sessions de tutoria de matèria.


- Informació i participació en la Comissió de Coordinació Pedagògica.

- Organització i participació en activitats extraescolars, especialment en les Proves Cangur.

- Adquisició de material didàctic.

- Discussió i intercanvi d’opinions sobre temes relacionats amb el centre i el departament.

3. Llibres de text

Els llibres de text que s’empraran durant el present curs acadèmic són:

Matèria Títol Editorial ISBN 3 ESO Matem. Acadèmiques Matem. Orient. als Enseny. Acadèmics 3 Anaya 978-84-678-5317-9

3 ESO Matemàt. Aplicades Matem. Orient. als Enseny. Aplicats 3 Sense llibre

4 ESO – Opc. A Matemàtiques 4. Opció A Sense llibre

4 ESO – Opc. B Matemàtiques 4. Opció B Anaya 978-84-678-2564-0

1 BC Matemàtiques I Anaya 978-84-678-2794-1

2 BCT Matemàtiques II Anaya 978-84-667-8363-7

1 BHCS Matemàtiques aplic. a les ciències socials I Anaya 978-84-678-2797-2

2 BHCS Matemàtiques aplic. a les ciències socials II Anaya 978-84-667-8366-8

4. Normativa bàsica

El departament de matemàtiques disposarà d’un arxiu, que pot ser en format electrònic, de la normativa legal bàsica a aplicar. El cap de departament serà l’encarregat de mantenir-lo i actualitzar-lo.

Per al curs actual, aquesta normativa està constituïda per:

1. Normativa LOE

- Llei orgànica 2/2006, de 3 de maig, d’educació (LOE).

ESO - Normativa estatal

- Reial decret 1631/2006, de 29 de desembre, pel qual s’estableixen els ensenyaments mínims de l’educació secundària obligatòria.

ESO - Normativa Illes Balears

- Decret 67/2008, de 6 de juny, pel qual s’estableix l’ordenació general dels ensenyaments de l’educació infantil, l’educació primària i l’educació secundària obligatòria a les Illes Balears.

- Decret 73/2008, de 27 de juny, pel qual s’estableix el currículum de l’educació secundària obligatòria a les Illes Balears.

- Decret 95/2010, de 30 de juliol, pel qual es modifica el Decret 73/2008, de 27 de juny, que estableix el currículum de l’educació secundària obligatòria a les Illes Balears.

- Ordre de la consellera d’Educació i Cultura de 22 de desembre de 2008, sobre l’avaluació de l’aprenentatge de l’alumnat d’educació secundària obligatòria a les Illes Balears.

- Ordre de la consellera d’Educació i Cultura de dia 27 d’abril de 2009, sobre el desenvolupament de l’educació secundària obligatòria a les Illes Balears.

- Ordre del conseller d’Educació i Cultura de 30 de juliol de 2010, per la qual es modifica l’Ordre de la consellera d’Educació i Cultura de 22 de desembre de 2008, sobre l’avaluació de l’aprenentatge de l’alumnat d’educació secundària obligatòria a les Illes Balears.

Batxillerat - Normativa estatal

- Reial decret 1467/2007, de 2 de novembre, pel qual s’estableix l’estructura del batxillerat i es fixen els seus ensenyaments mínims.


Batxillerat - Normativa Illes Balears

- Decret 82/2008, de 25 de juliol, pel qual s’estableix l’estructura i el currículum del batxillerat a les Illes Balears.

- Ordre de la consellera d’Educació i Cultura de dia 27 d’abril de 2009, sobre el desenvolupament del batxillerat a les Illes Balears.

- Ordre de la consellera d’Educació i Cultura de 2 de febrer de 2009 sobre l’avaluació de l’aprenentatge de l’alumnat de batxillerat a les Illes Balears.

2. Normativa LOMQE

Normativa estatal

- Llei orgànica 8/2013, de 9 de desembre, de 3 de maig, per a la millora de la qualitat educativa (LOMQE).

- Reial Decret 1105/2014, de 26 de desembre, pel qual s’estableix el currículum bàsic de l’Educació Secundària Obligatòria i del Batxillerat.

ESO - Normativa Illes Balears

- Decret 34/2015, de 15 de maig, pel qual s’estableix el currículum de l’educació secundària obligatòria a les Illes Balears

- Ordre de la consellera d’Educació, Cultura i Universitats de 20 de maig per la qual es desplega el currículum de l’educació secundària obligatòria a les Illes Balears.

Batxillerat - Normativa Illes Balears

- Decret 35/2015, de 15 de maig, pel qual s’estableix el currículum del batxillerat a les Illes Balears.

- Ordre de la consellera d’Educació, Cultura i Universitats de 20 de maig de 2015 per la qual es desplega el currículum del batxillerat a les Illes Balears.

- Correcció d’errades advertides en la publicació de l’Ordre de la consellera d’Educació, Cultura i Universitats de 20 de maig de 2015 per la qual es desplega el currículum del batxillerat a les Illes Balears.

3. Normativa genèrica

- Decret 120/2002, de 27 de setembre, pel qual s’aprova el reglament orgànic dels instituts d’educació secundària.

- Decret 121/2010, de 10 de desembre, pel qual s’estableixen els drets i deures dels alumnes i les normes de convivència.

- Instruccions d’organització i funcionament dels IES, corresponent al curs actual.

5. Dades de l’alumnat

A principi de curs cada professor del departament recollirà i analitzarà les dades més significatives dels seus alumnes. Aquestes dades, individualitzades per alumne, inclouran com a mínim:

- El centre de procedència.

- Si repeteix curs o no.

- Si te pendent d’avaluació positiva alguna matèria de matemàtiques de cursos anteriors al que cursa actualment.

- Altres matèries de cursos anteriors pendents d’avaluació positiva.

- Els resultats obtinguts en matemàtiques en cursos anteriors de la mateixa etapa.

- L’esport que practica.


CAPÍTOL II. ASPECTES DIDÀCTICS

1. Metodologia didàctica

Els criteris que han d’orientar les actuacions del professorat del departament de matemàtiques s’emmarquen en la concepció constructivista de l’aprenentatge, la qual es pot resumir així:

Qui aprèn ho fa amb la construcció sobre el que ja domina

En altres paraules, cada nou element d’aprenentatge, ha d’engranar, tant pel seu grau de dificultat com per la seva oportunitat, amb el nivell de coneixements de qui aprèn.

Concretant un poc més, els principis que han de guiar la intervenció educativa del professorat del departament de matemàtiques són:

- Partir del nivell de desenvolupament de l’alumnat.

- Assegurar la construcció d’aprenentatges significatius.

- Fer que l’alumnat construeixi aprenentatges significatius per si mateix.

- Fer que l’alumnat modifiqui progressivament els seus esquemes de coneixement.

- Incrementar l’activitat manipuladora i mental de l’alumnat.

Assegurar un aprenentatge significatiu suposa que:

- El contingut ha d’esser potencialment significatiu, tant des del punt de vista de l’estructura lògica de la matemàtica com pel que fa a l’estructura psicològica de l’alumnat.

- El procés d’ensenyament-aprenentatge ha de connectar amb les necessitats, interessos, capacitats i experiències de la vida quotidiana dels alumnes. En aquest sentit, la informació que rep l’alumne ha d’esser lògica, comprensible i, sobre tot, funcional.

- Cal potenciar les relacions entre els aprenentatges previs i els nous.

- Els alumnes han de procurar una actitud favorable per aprendre significativament. Així doncs, han d’estar motivats per relacionar els continguts nous amb els que han adquirit prèviament.

- Les interaccions de professorat i alumnat i d’alumnes amb alumnes faciliten la construcció d’aprenentatges significatius i al mateix temps afavoreixen els processos de socialització entre l’alumnat.

- És important que els continguts escolars s’agrupin al voltant de nuclis d’interès per a l’alumnat i que s’abordin en contextos de col·laboració i des d’òptiques amb un caràcter clarament interdisciplinari.

En l’etapa d’ESO, l’adquisició dels conceptes s’ha de fer de forma intuïtiva. El rigor l’anirà adquirint cada alumne a mesura que avança.

La resolució de problemes (en el seu sentit més ampli) es contemplarà com la columna vertebral de la metodologia a aplicar i s’integrarà en el dia a dia de l’aprenentatge de les matemàtiques.

No obstant, també s’han de treballar les destreses bàsiques de tipus numèric, algebraic, analític o geomètric, de forma que l’alumnat aconsegueixi expressar-se, oralment i per escrit, amb un vocabulari específic de termes i notacions matemàtiques.

La selecció i diversitat de les activitats permeten arribar a més alumnes i que alumnes molt diferents aprenguin simultàniament. Aquestes activitats poden consistir entre d’altres en:

- Exercicis d’adquisició o millora de destreses.

- Activitats destinades a la comprensió de conceptes.

- Activitats d’ampliació.

- Activitats de resolució de problemes.

- Treballs de cerca d’informació i utilització de les TIC.

- Treballs de camp.


Les diferents formes d’agrupar els alumnes en classe (individual, en petit grup o en gran grup) permeten disposar en moments específics per atendre individualment als alumnes. En especial, la resolució de problemes en grup estimulen la curiositat i la reflexió de l’alumnat, ja que els permet desenvolupar estratègies de defensa dels seus arguments enfront als dels seus companys i seleccionar-hi la resposta més adequada a la situació plantejada.

2. Avaluació

Entenem l’avaluació didàctica com el component del procés d’ensenyament-aprenentatge que té per funció principal contribuir a la millora de les accions educatives, amb el fi d’ajudar a cada alumne o alumna a superar les dificultats i aprendre millor. És per tant un element curricular fonamental, inseparable de la pràctica educativa, integrat en el quefer diari de l’aula i del centre educatiu, que té per finalitat la recollida permanent d’informació per tal d’ajustar els processos educatius i contribuir a millorar la qualitat de l’ensenyament

L’avaluació dels aprenentatges dels alumnes és un dels objectius de l’avaluació educativa però també ho són les avaluacions dels processos d’ensenyament, de la pràctica docent i dels projectes curriculars.

L’avaluació dels aprenentatges dels alumnes serà:

- Contínua. Perquè està immersa en el procés d’ensenyament i aprenentatge amb el fi de detectar les dificultats en el moment que apareixen, esbrinar-ne les causes i, en conseqüència, adaptar les activitats d’ensenyament i aprenentatge.

- Integradora. Perquè ha de tenir en compte les capacitats generals establertes en els objectius de l’etapa, a través de les expressades en els objectius de la matèria de matemàtiques.

- Formativa. Perquè acompanya tot el procés de creixement i maduració dels alumnes, adequant la intervenció pedagògica del professorat.

- Contextualitzada. Perquè està vinculada a l’entorn i a un procés concret d’ensenyament i aprenentatge.

- Orientativa: Perquè proporciona informació al professorat, als alumnes i a les famílies.

L’avaluació de cada procés d’ensenyament-aprenentatge concret contemplarà tres etapes:

- L’avaluació inicial: Permet conèixer el grau de maduresa i el bagatge de coneixements previs de l’alumne a l’inici del procés.

- L’avaluació formativa: Es realitza durant tot el procés i permet introduir canvis i millores a mesura que es van detectant dificultats.

- L’avaluació sumativa o final: Permet conèixer el grau l’assoliment, per part del professor i dels alumnes, dels objectius a aconseguir en el procés.

3. Atenció a la diversitat

És un fet evident que cada alumne presenta diferents interessos, estils d’aprenentatge, coneixements previs, ritmes de treball, experiències, etc. Per altre banda, la LOE estableix que tot l’alumnat té dret a assolir el màxim desenvolupament personal, intel·lectual, social i emocional, així com una educació bàsica adequada a les seves necessitats i característiques. Conseqüentment, el professorat del departament tindrà especial cura en educar en i per a la diversitat.

Com que la diversitat és un fenomen intrínsec a la persona, l’atenció a la diversitat no ha de fer referència a un determinat tipus d’alumnat (alumnat problemàtic, alumnat amb deficiències físiques psíquiques o sensorials, etc.), sinó a la totalitat dels alumnes.

El concepte d’adaptació curricular esdevé fonamental per a l’atenció a la diversitat perquè el currículum ha de ser comú per a tots els alumnes però adaptable a les necessitats de cadascú, de forma que cada alumne individual aconsegueixi, dins de l’únic i mateix sistema educatiu, els objectius establerts amb caràcter general per a tot l’alumnat.

En el departament de matemàtiques, ens plantejam l’atenció a la diversitat a diferents nivells:


1. Des de la mateixa metodologia didàctica, procurant:

− Diversificar les activitats proposades − Diversificar els procediments d’avaluació − Potenciar el treball en classe − Potenciar el treball en grup − Potenciar els treballs d’investigació

2. Mesures de reforç educatiu, dirigides a l’alumnat que presenti dificultats per a l’assoliment de les competències bàsiques i els objectius del currículum. Es poden adoptar en qualsevol moment del curs, tan aviat com es detectin les dificultats, i podran ser individuals o col·lectius. Consistiran en:

− Proporcionar materials i activitats complementaris − Dedicar una major atenció als alumnes amb dificultats − Organitzar suports individuals o col·lectius fora de l’horari habitual de classe

3. Flexibilització del currículum mitjançant adaptacions curriculars no significatives, d’acord a les necessitats del moment i de l’alumnat.

4. Les adaptacions curriculars, significatives o no, adreçades especialment a l’alumnat amb necessitat específica de suport educatiu (NESE), es a dir:

− L’alumnat amb necessitats educatives especials (NEE), que requereix, durant un període d’escolarització o durant tota l’escolarització, determinats suports i atencions educatives específiques derivades d’una discapacitat, de trastorns greus de conducta o emocionals o de trastorns generalitzats de desenvolupament.

− L’alumnat amb dificultats específiques d’aprenentatge, causades per trastorns de l’aprenentatge, trastorns per dèficit d’atenció amb o sense hiperactivitat i trastorns greus del llenguatge (alumnat

− L’alumnat amb altes capacitats intel·lectuals. − L’alumnat amb un desfasament curricular de dos o més cursos per condicions personals

greus de salut o derivades de factors socials, econòmics, culturals, geogràfics o ètnics. − L’alumnat d’incorporació tardana al sistema educatiu. L’atenció d’aquests alumnes es farà sempre en col·laboració del departament d’orientació de l’institut. En qualsevol cas, aquestes adaptacions curriculars es realitzaran cercant el màxim desenvolupament possible de les competències bàsiques i dels objectius corresponents al nivell educatiu. L’avaluació prendrà com a referent els criteris d’avaluació fixats en aquestes adaptacions.

5. L’oferta de matèries optatives. Per al curs actual està previst impartir Ampliació de Matemàtiques, en el 2n curs del batxillerat de Ciències i Tecnologia i es proposarà implantar per a propers cursos Taller de Matemàtiques en tercer o quart d’ESO.

6. Assenyalar també que el propi currículum oficial de l’ESO incorpora una mesura d’atenció a la diversitat en el quart curs, permetent que cada alumne elegeixi entre dues opcions de matemàtiques: l’opció A, amb un caràcter més terminal, i l’opció B dirigida a aquells alumnes que volen prosseguir els seus estudis, tant en batxillerat com en cicles formatius.

4. Materials i recursos didàctics

El material general a emprar serà:

- Llibre de text i calculadora científica (obligatori per a tots els alumnes)

- Material fotocopiat aportat pel professor

En certs temes serà precís l’ús de materials específics com són:

- Eines de dibuix (regle, compàs, escaires, transportador d’angles, ...)

- Paper quadriculat, mil·limetrat, etc.

Per l’especificitat de l’alumnat de l'IES CTEIB, es potenciarà l’ús de l’entorn Moodle, de forma que es faciliti l'accés als materials des de qualsevol lloc mitjançant un ordinador connectat a Internet.


5. Ús de les TIC

El terme Tecnologies de la Informació i la Comunicació (TIC), aplicat a l’ensenyament de les Matemàtiques, pot suggerir coses diferents: una simple calculadora, una calculadora gràfica, un ordinador, programes concrets, sistemes multimèdia... No obstant, la nostra anàlisi es centrarà en el tàndem ordinadors/Internet.

Les possibilitats educatives de les TIC en general, i dels ordinadors en particular, són molt grans, de forma que la seva incidència en l’ensenyament de les matemàtiques és clarament positiva, però volem fer una petita anàlisi sobre les conseqüències del seu ús.

Entre els avantatges de l’ús de les TIC destacam:

- La possibilitat d’experimentar amb les matemàtiques.

- Estimula la reflexió i l’anàlisi dels resultats, perquè s’ha de dedicar menys temps a la realització de càlculs rutinaris.

- Permeten un treball autònom de l’alumne, adequant el seu ritme de treball a la seva situació personal. A més afavoreix el treball en equip.

- Augmenten la motivació de l’alumne, fomentant el caràcter lúdic del procés d’aprenentatge i allunyant la rutina i la passivitat.

Entre els desavantatges o perills indicam:

- El propi atractiu de la eina pot centrar més l’atenció de l’alumne en el tàndem ordinador/programa que en el problema matemàtic que s’està resolent.

- El temps emprat en aprendre a usar l’eina es temps perdut en fer matemàtiques.

- La pèrdua de destreses bàsiques. Els exercicis de càlcul que es realitzen en un curs de matemàtiques permeten el desenvolupament de capacitats mentals que es veuen mermades amb un ús inadequat de les TIC.

- La pèrdua del sentit de la dificultat. Si la màquina ho fa tot i a més molt més ràpid, es pot arribar a convertir les matemàtiques en qualque cosa màgica que s’empra sense saber com funciona.

- La pèrdua del sentit crític. L’alumne sol tenir una confiança cega en la màquina.

No podem negar la realitat d’aquests riscos, però els avantatges són molt superiors als inconvenients. El que hem de fer és ser conscients de la seva existència i aprendre d’experiències anteriors, com va ser la introducció de la calculadora en l’aula.

Conseqüentment, proposam un replantejament dels objectius docents, reflexionant sobre aspectes que adquireixen una especial importància baix la llum de les TIC:

- La capacitat d’estimar resultats.

- La capacitat de reconèixer expressions equivalents.

- La capacitat d’aproximar nombres.

- La capacitat per modelitzar i simular problemes i interpretar-ne els resultats.

El departament de matemàtiques es fixa com a objectius prioritaris per al present curs:

- L’ús de l’entorn d’aprenentatge MOODLE, com a suport per a l’estudi dels alumnes, especialment quan no poden assistir a classe perquè es troben competint.

- El desenvolupament d’activitats d’aprenentatge desenvolupades amb el programa GEOGEBRA.

6. Activitats complementàries previstes

El departament de matemàtiques fomentarà el coneixement i la participació dels alumnes en les proves Cangur i si escau en l’olimpíada matemàtica.


S’estudiarà també la participació en les activitats i propostes didàctiques del CenMat (Centre d'Aprenentatge Cientificomatemàtic).


CAPÍTOL III. EDUCACIÓ SECUNDÀRIA OBLIGATÒRIA

Encara que en l’IES CTEIB no s’imparteixen els cursos de primer i segon d’ESO, s’inclouen en la programació didàctica en per tal de servir de referència per a la recuperació d’alumnes amb la matèria de matemàtiques pendent d’avaluació positiva.

1. Contribució de les matemàtiques als objectius ge nerals de la ESO

D’entre els objectius generals de l’educació secundària obligatòria, les matemàtiques contribueixen de forma especial a desenvolupar les capacitats que permeten a l’alumnat:

- Desenvolupar i consolidar hàbits de disciplina, estudi i treball individual i en equip com una condició necessària per a la realització eficaç de les tasques de l’aprenentatge i com a mitjà per al desenvolupament personal

- Desenvolupar destreses bàsiques en la utilització de les fonts d’informació per adquirir, amb sentit crític, nous coneixements i trametre’ls als altres de manera organitzada i intel·ligible.

- Concebre el coneixement científic com un saber integrat que s’estructura en distintes disciplines, i conèixer i aplicar els mètodes per identificar els problemes en els diversos camps del coneixement i de l’experiència, per resoldre’ls i per prendre decisions.

- Desenvolupar l’esperit creatiu i emprenedor i, a la vegada, desenvolupar actituds de confiança en un mateix, de participació, de sentit crític, d’iniciativa personal i la capacitat per aprendre a aprendre, planificar, prendre decisions i assumir responsabilitats.

- Interpretar i produir amb propietat, autonomia i creativitat missatges que utilitzin codis científics i tècnics amb la finalitat d’enriquir les possibilitats de comunicació i d’expressió.

- Desenvolupar habilitats bàsiques en la utilització de les font d’informació per assolir nous coneixements amb sentit crític. Adquirir una preparació bàsica en el camp de les tecnologies de la informació i la comunicació.

2. Objectius generals de les matemàtiques en la ESO

L’ensenyament de les matemàtiques en l’etapa d’ESO té com a objectiu el desenvolupament en els alumnes de les capacitats següents:

1. Millorar la capacitat de pensament reflexiu i incorporar al llenguatge i a les maneres d’argumentació les formes d’expressió i raonament matemàtic, tant en els processos matemàtics o científics com en els diferents àmbits de l’activitat humana, a fi de comunicar-se de manera clara, concisa i precisa.

2. Aplicar amb facilitat i adequadament les eines matemàtiques adquirides a situacions de la vida diària.

3. Reconèixer i plantejar situacions susceptibles de ser formulades en termes matemàtics, elaborar i utilitzar diferents estratègies per abordar-les i analitzar-ne els resultats utilitzant els recursos més apropiats.

4. Detectar els aspectes de la realitat que siguin quantificables i que permetin interpretar-la millor. Utilitzar tècniques de recollida d’informació i procediments de mesura i realitzar l’anàlisi de les dades mitjançant l’ús de diferents classes de nombres i la selecció dels càlculs apropiats a cada situació.

5. Identificar els elements matemàtics (dades estadístiques, geomètriques, gràfics, càlculs, etc.) presents en els mitjans de comunicació, Internet, publicitat o altres fonts d’informació, en especial de les Illes Balears; analitzar críticament les funcions que exerceixen aquests elements matemàtics i valorar la seva aportació per a una millor comprensió dels missatges.

6. Identificar les formes planes o espacials que es presenten en la vida diària i analitzar les propietats i les relacions geomètriques que hi ha entre elles; adquirir una sensibilitat progressiva davant la bellesa que generen, al mateix temps que estimulen la creativitat i la imaginació.


7. Utilitzar de forma adequada els diferents mitjans tecnològics (calculadores, ordinadors, etc.) tant per realitzar càlculs com per cercar, tractar i representar informacions d’índole diversa i també com a ajuda per a l’aprenentatge.

8. Actuar davant els problemes que es plantegen en la vida quotidiana d’acord amb les maneres pròpies de l’activitat matemàtica, com ara l’exploració sistemàtica d’alternatives, la precisió en el llenguatge, la flexibilitat per modificar el punt de vista o la perseverança en la recerca de solucions.

9. Elaborar estratègies personals per a l’anàlisi de situacions concretes i la identificació i resolució de problemes, utilitzant diferents recursos i instruments i valorant la conveniència de les estratègies utilitzades en funció de l’anàlisi dels resultats i del seu caràcter exacte o aproximat.

10. Manifestar una actitud positiva davant la resolució de problemes i mostrar confiança en la pròpia capacitat per enfrontar-s’hi amb èxit; adquirir un nivell d’autoestima adequat, que permeti gaudir dels aspectes creatius, manipulatius, estètics i utilitaris de les matemàtiques.

11. Integrar els coneixements matemàtics al conjunt de sabers que es van adquirint des de les diferents matèries, de manera que puguin emprar-se de forma creativa, analítica i crítica.

12. Valorar les matemàtiques com a part integrant de la nostra cultura, tant des d’un punt de vista històric com des de la perspectiva del seu paper en la societat actual; aplicar les competències matemàtiques adquirides per analitzar i valorar fenòmens socials, en especial de les Illes Balears, com la diversitat cultural, el respecte al medi ambient, la salut, el consum, la igualtat entre els sexes o la convivència pacífica.

3. Contribució de les matemàtiques a l’adquisició d e les competències bàsiques en l’ESO

S’entén per competència la capacitat d’utilitzar els coneixements i les habilitats, de manera transversal i interactiva, en contextos i situacions que requereixen la intervenció de coneixements vinculats a diferents sabers.

Per la seva part, les competències bàsiques són les que han de permetre a l’alumnat assolir la seva realització personal, exercir la ciutadania activa, incorporar-se a la vida adulta de manera satisfactòria i ser capaç de desenvolupar un aprenentatge permanent al llarg de la vida.

La contribució de les matemàtiques a l’adquisició de cada una de les competències bàsiques que l’alumnat ha de treballar en l’educació secundària obligatòria consisteix en:

CB1. Competència en comunicació lingüística

Les matemàtiques contribueixen a la competència en comunicació lingüística ja que són concebudes com una àrea d’expressió que utilitza contínuament l’expressió oral i escrita en la formulació i expressió de les idees. Per això, en totes les relacions d’ensenyament i aprenentatge de les matemàtiques, en particular en la resolució de problemes, adquireix importància especial l’expressió tant oral com escrita dels processos realitzats i dels raonaments seguits, ja que ajuden a formalitzar el pensament. El propi llenguatge matemàtic és, per ell mateix, un vehicle de comunicació d’idees que destaca per la precisió en els seus termes i per la gran capacitat per transmetre conjectures gràcies a un lèxic propi de caràcter sintètic, simbòlic i abstracte.

CB2. Competència matemàtica

A nivell general, pot entendre’s que tot el currículum de la matèria contribueix a l’adquisició de la competència matemàtica, ja que la capacitat per utilitzar diferents formes de pensament matemàtic, per tal d’interpretar i descriure la realitat i actuar-hi, forma part del propi objecte d’aprenentatge. Tots els blocs de continguts estan orientats a aplicar les destreses i actituds que permeten raonar matemàticament, comprendre una argumentació matemàtica i expressar-se i comunicar-se amb el llenguatge matemàtic, mitjançant les eines adequades, i integrant el coneixement matemàtic amb altres tipus de coneixement per obtenir conclusions, reduir la incertesa i per enfrontar-se a situacions quotidianes de diferent grau de complexitat.

CB3. Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic

La discriminació de formes, relacions i estructures geomètriques, especialment amb el desenvolupament de la visió espacial i la capacitat per transferir formes i representacions entre el pla i l’espai, contribueix a aprofundir la competència en el coneixement i la interacció amb el món físic. La


modelització constitueix un altre referent en aquesta mateixa direcció. Elaborar models exigeix identificar i seleccionar les característiques rellevants d’una situació real, representar-la simbòlicament i determinar pautes de comportament, regularitats i invariants, a partir de les quals poder fer prediccions sobre l’evolució, la precisió i les limitacions del model.

CB4. Competència en el tractament de la informació i competència digital

Per la seva part, la incorporació d’eines tecnològiques com a recurs didàctic per a l’aprenentatge i per a la resolució de problemes, contribueix a millorar el tractament de la informació i la competència digital dels estudiants, de la mateixa manera que la utilització dels llenguatges gràfic i estadístic ajuda a interpretar millor la realitat expressada pels mitjans de comunicació. No menys important resulta la interacció entre els diferents tipus de llenguatge: natural, numèric, gràfic, geomètric i algebraic com a forma de lligar el tractament de la informació amb l’experiència de l’alumnat.

CB5. Competència social i ciutadana

La utilització de les matemàtiques per descriure fenòmens socials, fonamentalment mitjançant l’anàlisi funcional i l’estadística, contribueix a la competència social i ciutadana, i aporta criteris científics per predir i prendre decisions. També es contribueix a aquesta competència enfocant els errors comesos en els processos de resolució de problemes amb esperit constructiu, la qual cosa permet, de passada, valorar els punts de vista aliens en pla d’igualtat amb els propis com a formes alternatives d’afrontar una situació.

CB6. Competència cultural i artística

Les matemàtiques contribueixen a la competència cultural i artística perquè el mateix coneixement matemàtic és expressió universal de la cultura i és, en particular, la geometria part integral de l’expressió artística de la humanitat, que ofereix mitjans per descriure i comprendre el món que ens envolta i per apreciar la bellesa de les estructures que ha creat. Cultivar la sensibilitat i la creativitat, el pensament divergent, l’autonomia i l’apassionament estètic són objectius d’aquesta matèria.

CB7. Competència per aprendre a aprendre

Les tècniques heurístiques desenvolupades en la resolució de problemes consoliden l’adquisició de destreses involucrades en la competència d’aprendre a aprendre tals com l’autonomia, la perseverança, la sistematització, la reflexió crítica i l’habilitat per comunicar amb eficàcia els resultats del propi treball.

CB8. Autonomia i iniciativa personal

Els mateixos processos de resolució de problemes contribueixen especialment a fomentar l’autonomia i iniciativa personal perquè s’utilitzen per planificar estratègies i assumir reptes; a més contribueixen a conviure amb la incertesa i a controlar els processos de presa de decisions.

4. Criteris de qualificació i promoció

Qualificació de cada avaluació

La qualificació dels alumnes en cada període d’avaluació contemplarà tres aspectes:

a) Les proves escrites : Normalment es farà una prova escrita per tema, que no eliminarà matèria i opcionalment una prova global al final de cada bloc.

b) El treball diari a classe i a casa : Es durà control diari de deures, es farà un seguiment del quadern de l’alumne, es valorarà l’entrega puntual, correcta i ben presentada dels treballs encomanats, tant individuals com en grup.

c) L’actitud general de l’alumne :

- Mantenir una actitud positiva cap a l’assignatura.

- Assistir a classe regular i puntualment, i amb el material i l’equipament necessaris.

- Participar activament en les activitats formatives proposades pel professor.

- Fer l’esforç necessari per comprendre i assimilar els continguts de la matèria.

- Respectar el professor i els seus companys.


- Tenir cura de les instal·lacions i el material del centre.

- Mantenir nets i ordenats els espais comuns del centre i, especialment, la seva aula.

La nota de cada avaluació es calcularà aplicant la següent ponderació:

Recuperació d’avaluacions suspeses i nota final de juny.

Si un l’alumne suspèn al llarg de tot el curs una única avaluació amb una nota igual o superior a 4, podrà recuperar-la, sempre a criteri del professor, quan la nota mitjana de totes les avaluacions sigui igual o superior a 5 i el treball i actitud de l’alumne hagi estat positiu.

No obstant el punt anterior, el professor, amb la finalitat d’ajudar a l’alumne a assolir els objectius i continguts no superats, podrà proposar-li treballs individuals i/o proves escrites.

La nota final de l’alumne en la convocatòria de juny dels alumnes que hagin aprovat o recuperat totes les avaluacions del curs serà igual a la mitjana aritmètica de les notes de cada avaluació.

La resta d’alumnes es podran presentar a un examen de recuperació final, en el qual seran avaluats dels temes corresponents a les avaluacions suspeses.

Recuperació de setembre.

Els alumnes que no aprovin l’assignatura en la convocatòria de juny, podran presentar-se a la prova extraordinària de setembre. Aquests alumnes hauran de presentar els treballs encomanats pel professor corresponent i realitzar una prova de caràcter global, que inclourà la totalitat dels continguts del curs. Excepcionalment i a proposta del professor corresponent, el departament de matemàtiques podrà autoritzar que un alumne pugui recuperar només una part de la matèria.

Material necessari

L’alumne ha de dur obligatòriament a totes les classes el llibre de text, el quadern de l’assignatura i una calculadora científica, a més del material normal d’escriptura i qualsevol altre material específic que el professor hagi indicat.

Qualsevol calculadora científica serveix. Si qualque alumne ha de comprar-ne una, pot demanar al seu professor consell sobre el tipus de calculadora més adient. En cap cas es permetrà emprar les funcions de calculadora dels telèfons mòbils.

En els exàmens, cada alumne emprarà el seu propi material.

Faltes d’assistència.

L’assistència a classe és obligatòria. Per tant, i com a regla general, només es consideraran com a justificades les faltes per motiu de competició o de malaltia, convenientment justificades davant el professor de l’assignatura, que es qui, en darrera instància, valida o no la justificació presentada.

Quan un alumne hagi de faltar a classe perquè ha de sortir de competició, ho comunicarà de paraula al professor de l’assignatura tan aviat com sigui possible, i sempre abans d’absentar-se. Aquestes faltes tindran el caràcter de justificades sempre que es segueixi el protocol establert per l’institut.

En cas de malaltia, el justificant haurà de ser mostrat per l’alumne quan es reincorpori a classe.

Canvis de data d’exàmens.

Quan un alumne no es pugui presentar a un examen i sempre que l’absència estigui justificada en els termes dels paràgrafs anteriors, serà convocat a examen en una nova data que serà acordada entre l’alumne i el professor. Quan l’absència no sigui justificable, l’examen serà valorat amb un zero.

Pèrdua d’avaluació contínua.

Proves escrites: 80%.

Treball diari: 10%.

Actitud general: 10%.


Quan un alumne, per reiteració de faltes no justificades, hagi perdut el seu dret a ser avaluat de forma continuada, serà convocat a un examen global extraordinari en el mes de juny. Si no aprovés en aquesta convocatòria té dret a un nou examen en el mes de setembre. En ambdós casos, la nota de l’examen, arrodonida a l’enter més pròxim, serà la que constarà a l’acta d’avaluació corresponent. De no presentar-se a algun d’aquests exàmens serà avaluat amb un NP (No presentat) en la convocatòria corresponent. Per a la pèrdua del dret d’avaluació contínua es seguiran les disposicions regulades per l'institut.

Penalització de conductes inadequades.

Quan un alumne copiï en un examen, o en qualsevol altre tasca encomanada pel professor, serà automàticament puntuat amb un zero en aquesta activitat, a més de poder ser sancionat amb una falta, segons especifica el decret de drets i deures dels alumnes.

L’alumne que faciliti la còpia d’un altre company també pot ser sancionat de la mateixa manera.

Ús d’aparells electrònics.

Com a norma general, en classe no està permès l’ús d’aparells electrònics, llevat de la calculadora. No obstant, el professor podrà autoritzar, sempre per motius didàctics, l’ús d’altres dispositius.

5. Criteris de recuperació d’assignatura pendent

Els alumnes d'ESO que tenen pendent d’avaluació positiva la matèria de Matemàtiques de qualque curs anterior hauran de seguir un procés de recuperació, del qual serà responsable el professor de matemàtiques actual de l’alumne, i estarà supervisat pel departament de Matemàtiques.

Per tal de facilitar aquest procés, el departament estableix dos procediments no excloents entre si:

a) Seguint un programa de recuperació específic al llarg del curs actual, a desenvolupar durant els dos primers trimestres del curs. En ell el contingut de la matèria a recuperar es dividirà en blocs de continguts. Per a cada bloc, l’alumne realitzarà un treball i un examen que contemplarà els continguts mínims del curs. El departament de Matemàtiques procurarà que tots els alumnes amb matèries pendents segueixin aquest procediment perquè és el que presenta major probabilitat d’èxit.

b) Si l’alumne aprova les dues primeres avaluacions de l’assignatura de matemàtiques que està cursant actualment, automàticament tindrà recuperades les matèries de Matemàtiques que dugués pendents.

L’alumne que pel primer procediment aprovi tots els blocs tindrà recuperada l'assignatura pendent, i la nota final serà igual a la mitjana de les notes de cada bloc. Quan un alumne recuperés pel segon procediment la nota final serà igual a la mitjana de les notes de les dues primeres avaluacions del curs actual.

Quan un alumne no hagi recuperat per cap dels dos procediments del paràgraf anterior, i sempre que hagi realitzat totes les tasques encomanades, podrà presentar-se a un examen global de l'assignatura que es realitzarà abans de la finalització del període de classes.

Els alumnes que finalment no aprovin l’assignatura en la convocatòria de juny podran presentar-se a un nou examen global en el mes de setembre.

No obstant els punts anteriors, quan un alumne aprova, pel procediment que sigui, la matèria de matemàtiques d'un curs, automàticament aprova també les matemàtiques de cursos anteriors que pugui tenir pendents.


6. Tercer d’ESO – Matemàtiques Orientades als Ense nyaments Acadèmics

6.1. Temporalització i cronograma

Temporalització

Bloc Tema Setmanes

1. Aritmètica 1. Fraccions i Decimals

2. Potències i arrels

3. Fraccions i decimals

4. Progressions

3

2

3

1

2. Àlgebra 5. Llenguatge algebraic

6. Equacions

7. Sistemes d’equacions

1

3

3

3. Funcions 8. Funcions i gràfics

9. Funcions lineals i quadràtiques

1

3

4. Geometria 10. Problemes mètrics en el pla

11. Cossos geomètrics

12. Transformacions geomètriques

2

1

3

5. Estadística i atzar 13. Estadística

14. Atzar i probabilitat

3

2

31 setmanes

120 sessions

Cronograma

Setembre

Octubre

Novembre

Desembre

Gener

Febrer

Març

Abril

Maig

Juny

1

3

6

8

10

11

13

14

2

3

6

7

9

10

12

13

1

2

4

6

7

9

12

13

1

3

5

7

9

12

14


6.2. Contribució de l’assignatura a les competèncie s bàsiques

La matèria de matemàtiques orientades als ensenyaments acadèmics contribueix especialment al desenvolupament de la competència matemàtica, reconeguda per la Unió Europea com una competència clau. Aquesta s’entén com l’habilitat per desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb l’objectiu de resoldre diversos problemes en situacions quotidianes; en concret, seguint la classificació del marc teòric de PISA, engloba les capacitats següents: comunicar, matematitzar, representar, raonar i argumentar, idear estratègies per resoldre problemes, emprar eines matemàtiques i utilitzar el llenguatge simbòlic, formal i tècnic i les operacions. A més, el desenvolupament matemàtic ajuda a adquirir la resta de competències.

Per tant, les matemàtiques dins el currículum afavoreixen el progrés en l’adquisició de la competència matemàtica a partir del coneixement dels continguts i el seu ampli conjunt de procediments de càlcul, anàlisi, mesura i estimació dels fenòmens de la realitat i de les seves relacions, com a instrument imprescindible en el desenvolupament dels individus i component essencial de comprensió, la modelització i la transformació dels fenòmens de la realitat. D’altra banda, les matemàtiques contribueixen a la formació intel·lectual dels alumnes, la qual cosa els permetrà millorar tant en l’àmbit personal com en el social.

Convé assenyalar que no totes les maneres d’ensenyar matemàtiques contribueixen igualment a adquirir la competència matemàtica: l’èmfasi en la funcionalitat dels aprenentatges, la seva utilitat per comprendre el món que ens envolta o la mateixa selecció d’estratègies per resoldre un problema determinen la possibilitat real d’aplicar les matemàtiques en diferents camps de coneixement o en diferents situacions de la vida quotidiana.

La resolució de problemes i els projectes d’investigació constitueixen eixos fonamentals en el procés d’ensenyament-aprenentatge de les matemàtiques. L’habilitat de formular, plantejar, interpretar i resoldre problemes és una de les capacitats essencials de l’activitat matemàtica, perquè permet a les persones emprar els processos cognitius per abordar i resoldre situacions multidisciplinàries reals, fet que resulta de màxim interès per al desenvolupament de la creativitat i el pensament lògic. Per tant, les tècniques heurístiques que desenvolupa la resolució de problemes constitueixen models generals de tractament de la informació i de raonament i consoliden l’adquisició de destreses involucrades en la competència d’aprendre a aprendre, com ara l’autonomia, la perseverança, la sistematització, la reflexió crítica i l’habilitat per comunicar amb eficàcia els resultats del propi treball.

La incorporació d’eines tecnològiques com a recurs didàctic per aprendre i per resoldre problemes contribueix a millorar la competència digital dels alumnes, de la mateixa manera que la utilització dels llenguatges gràfic i estadístic ajuda a interpretar millor la realitat expressada pels mitjans de comunicació. No és menys important la interacció entre els diferents tipus de llenguatge: natural, numèric, gràfic, geomètric i algebraic com a forma de lligar el tractament de la informació amb l’experiència dels alumnes.

D’altra banda, les matemàtiques contribueixen a la competència de consciència i expressions culturals, perquè el mateix coneixement matemàtic és expressió universal de la cultura; en particular, la geometria és part integral de l’expressió artística de la humanitat, que ofereix mitjans per descriure i comprendre el món que ens envolta i per apreciar la bellesa de les estructures que ha creat.

La matèria també contribueix a la competència en comunicació lingüística, quan es llegeixen de forma comprensiva els enunciats i s’expressen tant oralment com per escrit els processos duits a terme i els raonaments seguits, la qual cosa ajuda a formalitzar el pensament. El mateix llenguatge matemàtic és, per ell mateix, un vehicle de comunicació d’idees que destaca per la precisió en els termes i per la gran capacitat per transmetre conjectures gràcies a un lèxic propi de caràcter sintètic, simbòlic i abstracte.

En els processos de resolució i investigació s’involucren altres competències, com per exemple el sentit d’iniciativa i esperit emprenedor, quan s’estableix un pla de feina en revisió i modificació contínua a mesura que es va resolent el problema; i les competències socials i cíviques, quan s’implica una actitud oberta enfront d’opinions i resolucions diferents.

6.3. Objectius específics

1. Reconèixer i valorar el paper que les matemàtiques tenen com a part integrant de la cultura i, mitjançant les competències matemàtiques, analitzar tot tipus de fenòmens relacionats amb la


diversitat cultural, el medi, la salut, la justícia social, el consum i altres, i actuar sempre de manera reflexiva, compromesa i crítica en tots els àmbits de la vida.

2. Progressar en l’adquisició d’habilitats de pensament matemàtic, com analitzar i investigar, interpretar, formular i comunicar de manera matemàtica, usant les representacions adequades, fenòmens i problemes en diferents contextos.

3. Identificar la possibilitat de matematització de situacions problemàtiques de la realitat, plantejar i resoldre el problema mitjançant l’ús de les eines i els models matemàtics adients, i interpretar les solucions en el context original.

4. Desenvolupar, en la manera d’afrontar els problemes de la vida quotidiana, actituds i maneres inherents a l’activitat matemàtica, com la feina sistemàtica, la constància, la reflexió sobre les decisions preses i els errors comesos o la capacitat de canviar el punt de vista.

5. Desenvolupar una actitud positiva davant la resolució de problemes i les situacions desconegudes, augmentar l’autoestima i la confiança en les pròpies capacitats, i superar bloqueigs i inseguretats.

6. Emprar les eines tecnològiques adequades tant per fer diferents tipus de càlculs, representacions i simulacions, com per cercar, analitzar i seleccionar informació, elaborar documents propis i exposar-los o compartir-los, si és el cas, ja sigui per resoldre situacions problemàtiques o per al mateix procés d’aprenentatge.

7. Adquirir i millorar tècniques de resolució de problemes, des de la lectura comprensiva de l’enunciat i les estratègies de resolució fins a la revisió del procés seguit, i incorporar al llenguatge les formes d’expressió que permetin explicar raonadament aquest procés de manera clara i precisa.

8. Conèixer i emprar diferents tipus de nombres i les relacions i les operacions entre ells per tractar aspectes de la realitat que siguin quantificables: recollir, transformar i intercanviar informació i resoldre problemes de la vida diària, triant el tipus de càlcul i l’estratègia adequats.

9. Valorar la importància de la mesura tant en la vida quotidiana com en l’àmbit científic, i aplicar procediments (instruments, fórmules o algun altre) per obtenir mesures de manera directa o indirecta i fer estimacions en diferents contextos.

10. Identificar, representar i analitzar situacions de canvi i de relacions, numèriques o geomètriques, i reconèixer els patrons i les lleis generals que les regeixen, usant diferents llenguatges: verbal, numèric, algebraic, gràfic i geomètric.

11. Reconèixer, descriure i analitzar figures planes i cossos geomètrics, identificar les que són presents en l’entorn i emprar les seves propietats i relacions per interpretar millor aquest entorn, resoldre problemes, gaudir de la bellesa que generen i desenvolupar la creativitat i la imaginació.

12. Fer servir tècniques de recollida d’informació i emprar les eines o els mètodes estadístics apropiats per organitzar, analitzar i presentar aquestes dades o les que hi hagi presents en diferents mitjans de comunicació, a fi de poder interpretar millor els missatges, o donar les respostes adequades sobre les característiques d’una població.

13. Reconèixer situacions d’incertesa, i valorar i usar la probabilitat com a mesura d’aquesta incertesa i per superar prejudicis habitualment associats a algunes d’aquestes situacions.

14. Incorporar al vocabulari propi elements del llenguatge matemàtic per expressar-se oralment i per escrit en contextos en què és necessària una comunicació correcta.


6.4. Continguts, criteris d’avaluació i estàndards d’aprenentatge

(3ESO - Acad.) Bloc1: Processos, mètodes i actituds e n matemàtiques

CONTINGUTS

Planificació del procés de resolució de problemes.

Estratègies i procediments posats en pràctica: ús del llenguatge apropiat (gràfic, numèric, algebraic), reformulació del problema, resolució de subproblemes, recompte exhaustiu, inici per casos particulars senzills, recerca de regularitats i lleis.

Reflexió sobre els resultats: revisió de les operacions utilitzades, assignació d’unitats als resultats, comprovació i interpretació de les solucions en el context de la situació, recerca d’altres formes de resolució, etc.

Plantejament d’investigacions matemàtiques escolars en contextos numèrics, geomètrics, funcionals, estadístics i probabilístics.

Pràctica dels processos de matematització i modelització en contextos de la realitat i en contextos matemàtics.

Confiança en les pròpies capacitats per desenvolupar actituds adequades i afrontar les dificultats pròpies del treball científic.

Utilització de mitjans tecnològics en el procés d’aprenentatge per:

a) Recollir dades de forma ordenada i organitzar-les.

b) Elaborar i crear representacions gràfiques de dades numèriques, funcionals o estadístiques.

c) Facilitar la comprensió de propietats geomètriques o funcionals i la realització de càlculs de tipus numèric, algebraic o estadístic.

d) Dissenyar simulacions i elaborar prediccions sobre situacions matemàtiques diverses.

e) Elaborar informes i documents sobre els processos duits a terme i els resultats i conclusions obtinguts; comunicar i compartir, en entorns apropiats, la informació i les idees matemàtiques.

CRITERIS D’AVALUACIÓ ESTÀNDARDS CURRICULARS

1. Expressar verbalment, de forma raonada, el procés seguit en la resolució d’un problema.

1.1. Expressa verbalment, de forma raonada, el procés seguit en la resolució d’un problema, amb el rigor i la precisió adequats.

2. Utilitzar processos de raonament i estratègies de resolució de problemes, fent els càlculs necessaris i comprovant les solucions obtingudes.

2.1. Analitza i comprèn l’enunciat dels problemes (dades, relacions entre les dades, context del problema).

2.2. Valora la informació d’un enunciat i la relaciona amb el nombre de solucions del problema.

2.3. Fa estimacions i elabora conjectures sobre els resultats dels problemes que s’han de resoldre, i en valora la utilitat i l’eficàcia.

2.4. Fa servir estratègies heurístiques i processos de raonament en la resolució de problemes, i reflexiona sobre el procés de resolució de problemes.

3. Descriure i analitzar situacions de canvi per trobar patrons, regularitats i lleis matemàtiques en contextos numèrics, geomètrics, funcionals, estadístics i probabilístics, i valorar-ne la utilitat per fer prediccions.

3.1. Identifica patrons, regularitats i lleis matemàtiques en situacions de canvi en contextos numèrics, geomètrics, funcionals, estadístics i probabilístics.

3.2. Empra les lleis matemàtiques trobades per fer simulacions i prediccions sobre els resultats possibles, i en valora l’eficàcia i la idoneïtat.

4. Aprofundir en problemes resolts plantejant petites 4.1. Aprofundeix en els problemes una vegada


variacions en les dades, altres preguntes i altres contextos.

resolts: revisant el procés de resolució i les passes i les idees importants, analitzant la coherència de la solució o cercant altres formes de resolució.

4.2. Es planteja nous problemes, a partir d’un de resolt: variant les dades, proposant noves preguntes, resolent altres problemes semblants, plantejant casos particulars o més generals d’interès, establint connexions entre el problema i la realitat.

5. Elaborar i presentar informes sobre el procés, els resultats i les conclusions obtingudes en els processos d’investigació.

5.1. Exposa i defensa el procés seguit, a més de les conclusions obtingudes, utilitzant diferents llenguatges: algebraic, gràfic, geomètric i estadisticoprobabilístic.

6. Desenvolupar processos de matematització en contextos de la realitat quotidiana (numèrics, geomètrics, funcionals, estadístics o probabilístics) a partir de la identificació de problemes en situacions problemàtiques de la realitat.

6.1. Identifica situacions problemàtiques de la realitat, susceptibles de contenir problemes d’interès. 6.2. Estableix connexions entre un problema del món real i el món matemàtic identificant els problemes matemàtics subjacents i els coneixements matemàtics necessaris. 6.3. Usa, elabora o construeix models matemàtics senzills que permetin la resolució de problemes dins el camp de les matemàtiques. 6.4. Interpreta la solució matemàtica del problema en el context de la realitat. 6.5. Fa simulacions i prediccions, en el context real, per valorar l’adequació i les limitacions dels models i proposa millores que n’augmentin l’eficàcia.

7. Valorar la modelització matemàtica com un recurs per resoldre problemes de la realitat quotidiana i avaluar l’eficàcia i les limitacions dels models emprats o construïts.

7.1. Reflexiona sobre el procés i obté conclusions sobre aquest i sobre els resultats.

8. Desenvolupar i conrear les actituds personals inherents a la tasca matemàtica.

8.1. Desenvolupa actituds adequades per al treball en matemàtiques: esforç, perseverança, flexibilitat i acceptació de la crítica raonada. 8.2. Es planteja la resolució de reptes i problemes amb la precisió, la cura i l’interès adequats al nivell educatiu i a la dificultat de la situació. 8.3. Distingeix entre problemes i exercicis, i adopta l’actitud adequada per a cada cas.

8.4. Desenvolupa actituds de curiositat i indagació, i hàbits de plantejar preguntes i cercar respostes adequades, tant en l’estudi dels conceptes com en la resolució de problemes.

9. Superar bloqueigs i inseguretats davant la resolució de situacions desconegudes.

9.1. Pren decisions en els processos de resolució de problemes, d’investigació i de matematització o de modelització, i en valora les conseqüències i la conveniència per la senzillesa i la utilitat.

10. Reflexionar sobre les decisions preses i aprendre’n per a situacions futures similars.

10.1. Reflexiona sobre els problemes resolts i els processos desenvolupats, valora la potència i la senzillesa de les idees clau i n’aprèn per a situacions futures similars.

11. Emprar les eines tecnològiques adequades, de forma autònoma, fent càlculs numèrics, algebraics o estadístics, elaborant representacions gràfiques, recreant situacions matemàtiques mitjançant simulacions o analitzant amb sentit crític situacions diverses que ajudin a comprendre conceptes matemàtics o a resoldre problemes.

11.1. Selecciona eines tecnològiques adequades i les utilitza per dur a terme càlculs numèrics, algebraics o estadístics quan la dificultat d’aquests impedeix o no aconsella fer-los manualment.

11.2. Empra mitjans tecnològics per fer representacions gràfiques de funcions amb expressions algebraiques complexes i n’extreu


informació qualitativa i quantitativa.

11.3. Dissenya representacions gràfiques per explicar el procés seguit en la resolució de problemes, mitjançant la utilització de mitjans tecnològics.

11.4. Recrea entorns i objectes geomètrics amb eines tecnològiques interactives per mostrar, analitzar i comprendre propietats geomètriques.

12. Fer servir les tecnologies de la informació i la comunicació de manera habitual en el procés d’aprenentatge, cercant, analitzant i seleccionant informació rellevant a Internet o a altres fonts, elaborant documents propis, fent-ne exposicions i argumentacions i compartint-los en entorns apropiats per facilitar la interacció.

12.1. Elabora documents digitals propis (text, presentació, imatge, vídeo, so...), com a resultat del procés de recerca, anàlisi i selecció d’informació rellevant, amb l’eina tecnològica adequada i els comparteix per discutir-los o difondre’ls.

12.2. Empra els recursos creats per fonamentar l’exposició oral dels continguts treballats a l’aula.

12.3. Usa adequadament els mitjans tecnològics per estructurar i millorar el seu procés d’aprenentatge recollint la informació de les activitats, analitzant punts forts i febles del seu procés acadèmic i establint pautes de millora.


(3ESO - Acad.) Bloc2: Nombres i àlgebra

CONTINGUTS

Potències de nombres racionals amb exponent enter. Significat i ús.

Potències de base 10. Aplicació per a l’expressió de nombres molt petits. Operacions amb nombres expressats en notació científica.

Arrels quadrades. Arrels no exactes. Expressió decimal. Expressions radicals: transformació i operacions.

Jerarquia de les operacions.

Nombres decimals i racionals. Transformació de fraccions en decimals i viceversa. Nombres decimals exactes i periòdics. Fracció generatriu.

Operacions amb fraccions i decimals. Càlcul aproximat i arrodoniment. Xifres significatives. Error absolut i relatiu.

Investigació de regularitats, relacions i propietats que apareixen en conjunts de nombres. Expressió usant llenguatge algebraic.

Successions numèriques. Successions recurrents Progressions aritmètiques i geomètriques.

Equacions de segon grau amb una incògnita. Resolució (mètode algebraic i gràfic).

Transformació d’expressions algebraiques. Igualtats notables. Operacions elementals amb polinomis.

Resolució d’equacions senzilles de grau superior a dos.

Resolució de problemes mitjançant la utilització d’equacions i sistemes d’equacions.


1. Utilitzar les propietats dels nombres racionals per operar-hi, emprant la forma de càlcul i de notació adequada, per resoldre problemes de la vida quotidiana, i presentant els resultats amb la precisió requerida.

1.1. Reconeix els diferents tipus de nombres (naturals, enters, racionals), indica el criteri usat per distingir-los i els fa servir per representar i interpretar adequadament informació quantitativa.

1.2. Distingeix, en trobar el decimal equivalent a una fracció, entre decimals finits i decimals infinits periòdics, i en aquest cas indica el grup de decimals que es repeteixen o formen període.

1.3. Troba la fracció generatriu corresponent a un decimal exacte o periòdic.

1.4. Expressa nombres molt grans i molt petits en notació científica, hi opera, amb calculadora i sense, i els empra en problemes contextualitzats.

1.5. Factoritza expressions numèriques senzilles que contenguin arrels, hi opera i simplifica els resultats.

1.6. Distingeix i empra tècniques adequades per fer aproximacions per defecte i per excés d’un nombre en problemes contextualitzats, i justifica els procediments.

1.7. Aplica adequadament tècniques de truncament i arrodoniment en problemes contextualitzats, i reconeix els errors d’aproximació en cada cas per determinar el procediment més adequat.

1.8. Expressa el resultat d’un problema, utilitzant la unitat de mesura adequada, en forma de nombre decimal i l’arrodoneix si és necessari amb el marge d’error o de precisió requerit, d’acord amb la naturalesa de les dades.

1.9. Calcula el valor d’expressions numèriques de nombres enters, decimals i fraccionaris mitjançant les operacions elementals i les potències d’exponent enter aplicant correctament la jerarquia de les operacions.

1.10. Empra nombres racionals per resoldre


problemes de la vida quotidiana i analitza la coherència de la solució.

2. Obtenir i manipular expressions simbòliques que descriguin successions numèriques, i observar regularitats en casos senzills que incloguin patrons recursius.

2.1. Calcula termes d’una successió numèrica recurrent usant la llei de formació a partir de termes anteriors.

2.2. Obté una llei de formació o fórmula per al terme general d’una successió senzilla de nombres enters o fraccionaris.

2.3. Identifica progressions aritmètiques i geomètriques, n’expressa el terme general, calcula la suma dels “n” primers termes, i les empra per resoldre problemes.

2.4. Valora i identifica la presència recurrent de les successions en la naturalesa i resol problemes associats.

3. Utilitzar el llenguatge algebraic per expressar una propietat o relació donada mitjançant un enunciat, extreure’n la informació rellevant i transformar-la.

3.1. Fa operacions amb polinomis i els empra en exemples de la vida quotidiana.

3.2. Coneix i fa servir les identitats notables corresponents al quadrat d’un binomi i una suma per diferència, i les aplica en un context adequat.

3.3. Factoritza polinomis de grau 4 amb arrels enteres mitjançant l’ús combinat de la regla de Ruffini, identitats notables i extracció del factor comú.

4. Resoldre problemes de la vida quotidiana en els quals es necessiti el plantejament i la resolució d’equacions de primer i segon grau, equacions senzilles de grau superior a dos i sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites, aplicant tècniques de manipulació algebraiques, gràfics o recursos tecnològics, i valorar i contrastar els resultats obtinguts.

4.1. Formula algebraicament una situació de la vida quotidiana mitjançant equacions i sistemes d’equacions, les resol i interpreta críticament el resultat obtingut.


(3ESO - Acad.) Bloc3: Geometria

CONTINGUTS

Geometria del pla.

Lloc geomètric.

Teorema de Tales. Divisió d’un segment en parts proporcionals a altres. Aplicació a la resolució de problemes.

Translacions, girs i simetries en el pla.

Geometria de l’espai. Plans de simetria en els políedres.

L’esfera. Interseccions de plans i esferes.

El globus terraqüi. Coordenades geogràfiques i fusos horaris. Longitud i latitud d’un punt.

Ús d’eines tecnològiques per estudiar formes, configuracions i relacions geomètriques.


1. Reconèixer i descriure els elements i les propietats característiques de les figures planes, els cossos geomètrics elementals i les seves configuracions geomètriques.

1.1. Coneix les propietats dels punts de la mediatriu d’un segment i de la bisectriu d’un angle, i les empra per resoldre problemes geomètrics senzills.

1.2. Tracta les relacions entre angles definits per rectes que es tallen o per paral·leles tallades per una secant i resol problemes geomètrics senzills.

1.3. Calcula el perímetre i l’àrea de polígons i de figures circulars en problemes contextualitzats aplicant fórmules i tècniques adequades.

2. Utilitzar el teorema de Tales i les fórmules usuals per fer mesures indirectes d’elements inaccessibles i per obtenir les mesures de longituds, àrees i volums dels cossos elementals, d’exemples presos de la vida real, de representacions artístiques com pintura o arquitectura o de la resolució de problemes geomètrics.

2.1. Divideix un segment en parts proporcionals a altres donats i estableix relacions de proporcionalitat entre els elements homòlegs de dos polígons semblants.

2.2. Reconeix triangles semblants i, en situacions de semblança, empra el teorema de Tales per al càlcul indirecte de longituds en contextos diversos.

3. Calcular (ampliació o reducció) les dimensions reals de figures donades en mapes o plans, coneixent-ne l’escala.

3.1. Calcula dimensions reals de mesures de longituds i de superfícies en situacions de semblança: plans, mapes, fotos aèries.

4. Reconèixer les transformacions que duen d’una figura a una altra mitjançant moviments en el pla, aplicar aquests moviments i analitzar dissenys quotidians, obres d’art i configuracions presents en la naturalesa.

4.1. Identifica els elements més característics dels moviments en el pla presents en la naturalesa, en dissenys quotidians o en obres d’art.

4.2. Genera creacions pròpies mitjançant la composició de moviments, emprant eines tecnològiques quan sigui necessari.

5. Identificar centres, eixos i plans de simetria de figures planes i políedres.

5.1. Identifica els principals políedres i cossos de revolució, i utilitza el llenguatge amb propietat per referir-se als elements principals.

5.2. Calcula àrees i volums de políedres, cilindres, cons i esferes, i els aplica per resoldre problemes contextualitzats.

5.3. Identifica centres, eixos i plans de simetria en figures planes o políedres i en la naturalesa, en l’art i en construccions humanes.

6. Interpretar el sentit de les coordenades geogràfiques i com s’apliquen en la localització de

6.1. Situa sobre el globus terraqüi equador, pols, meridians i paral·lels, i és capaç d’ubicar un punt sobre el globus terraqüi coneixent-ne la longitud i la


punts. latitud.


(3ESO - Acad.) Bloc4: Funcions

CONTINGUTS

Anàlisi i descripció qualitativa de gràfiques que representen fenòmens de l’entorn quotidià i d’altres matèries.

Anàlisi d’una situació a partir de l’estudi de les característiques locals i globals de la gràfica corresponent.

Anàlisi i comparació de situacions de dependència funcional donades mitjançant taules i enunciats.

Ús de models lineals per estudiar situacions provinents dels diferents àmbits de coneixement i de la vida quotidiana, mitjançant la confecció de la taula, la representació gràfica i l’obtenció de l’expressió algebraica.

Expressions de l’equació de la recta.

Funcions quadràtiques. Representació gràfica. Utilització per representar situacions de la vida quotidiana.


1. Conèixer els elements que intervenen en l’estudi de les funcions i la seva representació gràfica.

1.1. Interpreta el comportament d’una funció donada gràficament i associa enunciats de problemes contextualitzats a gràfiques.

1.2. Identifica les característiques més rellevants d’una gràfica i les interpreta dins el seu context.

1.3. Construeix una gràfica a partir d’un enunciat contextualitzat i descriu el fenomen exposat.

1.4. Associa raonadament expressions analítiques a funcions donades gràficament.

2. Identificar relacions de la vida quotidiana i d’altres matèries que es poden modelitzar mitjançant una funció lineal i valorar la utilitat de la descripció d’aquest model i dels seus paràmetres per descriure el fenomen analitzat.

2.1. Determina les diferents formes d’expressió de l’equació de la recta a partir d’una de donada (equació punt-pendent, general, explícita i per dos punts), n’identifica punts de tall i pendent, i la representa gràficament.

2.2. Obté l’expressió analítica de la funció lineal associada a un enunciat i la representa.

2.3. Formula conjectures sobre el comportament del fenomen que representa una gràfica i la seva expressió algebraica.

3. Reconèixer situacions de relació funcional que necessiten ser descrites mitjançant funcions quadràtiques i calcular-ne els paràmetres i les característiques.

3.1. Calcula els elements característics d’una funció polinòmica de grau dos i la representa gràficament.

3.2. Identifica i descriu situacions de la vida quotidiana que puguin ser modelitzades mitjançant funcions quadràtiques, les estudia i les representa amb mitjans tecnològics quan sigui necessari.


(3ESO - Acad.) Bloc5: Estadística i probabilitat

CONTINGUTS

Fases i tasques d’un estudi estadístic. Població, mostra. Variables estadístiques: qualitatives, discretes i contínues.

Mètodes de selecció d’una mostra estadística. Representativitat d’una mostra.

Freqüències absolutes, relatives i acumulades. Agrupació de dades en intervals.

Gràfics estadístics.

Paràmetres de posició. Càlcul, interpretació i propietats.

Paràmetres de dispersió.

Diagrama de caixa i bigotis.

Interpretació conjunta de la mitjana i la desviació típica.

Experiències aleatòries. Esdeveniments i espai mostral.

Càlcul de probabilitats mitjançant la regla de Laplace. Diagrames d’arbre senzills. Permutacions, factorial d’un nombre.

Utilització de la probabilitat per prendre decisions fonamentades en diferents contextos.


1. Elaborar informacions estadístiques per descriure un conjunt de dades mitjançant taules i gràfics adequats a la situació analitzada, i justificar si les conclusions són representatives per a la població estudiada.

1.1. Distingeix població i mostra, i justifica les diferències en problemes contextualitzats.

1.2. Valora la representativitat d’una mostra a través del procediment de selecció, en casos senzills.

1.3. Distingeix entre variable qualitativa, variable quantitativa discreta i variable quantitativa contínua, i en posa exemples.

1.4. Elabora taules de freqüències, relaciona els diferents tipus de freqüències i obté informació de la taula elaborada.

1.5. Construeix, amb l’ajuda d’eines tecnològiques si fos necessari, gràfics estadístics adequats a diferents situacions relacionades amb variables associades a problemes socials, econòmics i de la vida quotidiana.

2. Calcular i interpretar els paràmetres de posició i de dispersió d’una variable estadística per resumir les dades i comparar distribucions estadístiques.

2.1. Calcula i interpreta les mesures de posició (mitjana, moda, mediana i quartils) d’una variable estadística per proporcionar un resum de les dades.

2.2. Calcula els paràmetres de dispersió (rang, recorregut interquartílic i desviació típica; càlcul i interpretació) d’una variable estadística (amb calculadora i amb full de càlcul) per comparar la representativitat de la mitjana i descriure les dades.

3. Analitzar i interpretar la informació estadística que apareix en els mitjans de comunicació, i valorar-ne la representativitat i la fiabilitat.

3.1. Utilitza un vocabulari adequat per descriure, analitzar i interpretar informació estadística dels mitjans de comunicació.

3.2. Empra la calculadora i mitjans tecnològics per organitzar les dades, generar gràfics estadístics i calcular paràmetres de tendència central i dispersió.

3.3. Usa mitjans tecnològics per comunicar informació resumida i rellevant sobre una variable estadística analitzada.

4. Estimar la possibilitat que passi un esdeveniment associat a un experiment aleatori senzill, calculant-ne la probabilitat a partir de la freqüència relativa, la

4.1. Identifica els experiments aleatoris i els distingeix dels deterministes.

4.2. Empra el vocabulari adequat per descriure i


regla de Laplace o els diagrames d’arbre, i identificar els elements associats a l’experiment.

quantificar situacions relacionades amb l’atzar.

4.3. Assigna probabilitats a esdeveniments en experiments aleatoris senzills els resultats dels quals són equiprobables, mitjançant la regla de Laplace, enumerant els esdeveniments elementals, amb taules o arbres o altres estratègies personals.

4.4. Pren la decisió correcta tenint en compte les probabilitats de les diferents opcions en situacions d’incertesa.


7. Tercer d’ESO – Matemàtiques Orientades als Ensen yaments Aplicats


Temporalització

Bloc Tema Setmanes

1. Nombres i àlgebra 1. Potències i notació científica

2. Nombres decimals, fraccions i errors

3. Successions

4. Equacions


3

3

3

3

3

2. Geometria 6. Geometria del pla

7. Geometria de l’espai

4

2

3. Funcions 8. Funcions lineals

9. Funcions quadràtiques

4

2

4. Estadística i probabilitat

10. Estadística 3

30 setmanes

120 sessions

Cronograma

Setembre

Octubre

Novembre

Desembre

Gener

Febrer

Març

Abril

Maig

Juny

1

2

4

6

7

8

9

10

1

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

8

10

1

2

3

5

6

8

10



La matèria de matemàtiques orientades als ensenyaments aplicats contribueix especialment al desenvolupament de la competència matemàtica, reconeguda per la Unió Europea com una competència clau. Aquesta s’entén com l’habilitat per desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb l’objectiu de resoldre diversos problemes en situacions quotidianes; en concret, seguint la classificació del marc teòric de PISA, engloba les capacitats següents: comunicar, matematitzar, representar, raonar i argumentar, idear estratègies per resoldre problemes, emprar eines matemàtiques i utilitzar el llenguatge simbòlic, formal i tècnic i les operacions. A més, el desenvolupament matemàtic ajuda a adquirir la resta de competències.









1. Reconèixer i valorar el paper que les matemàtiques tenen com a part integrant de la cultura i, mitjançant les competències matemàtiques, analitzar tot tipus de fenòmens relacionats amb la


diversitat cultural, el medi, la salut, la justícia social, el consum i altres, i actuar sempre de manera reflexiva, compromesa i crítica en tots els àmbits de la vida.

2. Progressar en l’adquisició d’habilitats de pensament matemàtic, com analitzar i investigar, interpretar, formular i comunicar de manera matemàtica, usant les representacions adequades, fenòmens i problemes en diferents contextos.


4. Desenvolupar, en la manera d’afrontar els problemes de la vida quotidiana, actituds i maneres inherents a l’activitat matemàtica, com la feina sistemàtica, la constància, la reflexió sobre les decisions preses i els errors comesos o la capacitat de canviar el punt de vista.




8. Conèixer i emprar diferents tipus de nombres i les relacions i les operacions entre ells per tractar aspectes de la realitat que siguin quantificables: recollir, transformar i intercanviar informació i resoldre problemes de la vida diària, triant el tipus de càlcul i l’estratègia adequats.

9. Valorar la importància de la mesura tant en la vida quotidiana com en l’àmbit científic, i aplicar procediments (instruments, fórmules o algun altre) per obtenir mesures de manera directa o indirecta i fer estimacions en diferents contextos.

10. Identificar, representar i analitzar situacions de canvi i de relacions, numèriques o geomètriques, i reconèixer els patrons i les lleis generals que les regeixen, usant diferents llenguatges: verbal, numèric, algebraic, gràfic i geomètric.

11. Reconèixer, descriure i analitzar figures planes i cossos geomètrics, identificar les que són presents en l’entorn i emprar les seves propietats i relacions per interpretar millor aquest entorn, resoldre problemes, gaudir de la bellesa que generen i desenvolupar la creativitat i la imaginació.

12. Fer servir tècniques de recollida d’informació i emprar les eines o els mètodes estadístics apropiats per organitzar, analitzar i presentar aquestes dades o les que hi hagi presents en diferents mitjans de comunicació, a fi de poder interpretar millor els missatges, o donar les respostes adequades sobre les característiques d’una població.

13. Reconèixer situacions d’incertesa, i valorar i usar la probabilitat com a mesura d’aquesta incertesa i per superar prejudicis habitualment associats a algunes d’aquestes situacions.

14. Incorporar al vocabulari propi elements del llenguatge matemàtic per expressar-se oralment i per escrit en contextos en què és necessària una comunicació correcta.



(3ESO - Aplic.) Bloc1: Processos, mètodes i actituds en matemàtiques

CONTINGUTS


Estratègies i procediments posats en pràctica: ús del llenguatge apropiat (gràfic, numèric, algebraic), reformulació del problema, resolució de subproblemes, recompte exhaustiu, inici per casos particulars senzills, recerca de regularitats i lleis.

Reflexió sobre els resultats: revisió de les operacions utilitzades, assignació d’unitats als resultats, comprovació i interpretació de les solucions en el context de la situació, recerca d’altres formes de resolució, etc.

Plantejament d’investigacions matemàtiques escolars en contextos numèrics, geomètrics, funcionals, estadístics i probabilístics.

Pràctica dels processos de matematització i modelització en contextos de la realitat i en contextos matemàtics.







e) Elaborar informes i documents sobre els processos duits a terme i els resultats i conclusions obtinguts; comunicar i compartir, en entorns apropiats, la informació i les idees matemàtiques.









3. Descriure i analitzar situacions de canvi per trobar patrons, regularitats i lleis matemàtiques en contextos numèrics, geomètrics, funcionals, estadístics i probabilístics, i valorar-ne la utilitat per fer prediccions.

3.1. Identifica patrons, regularitats i lleis matemàtiques en situacions de canvi en contextos numèrics, geomètrics, funcionals, estadístics i probabilístics.

3.2. Empra les lleis matemàtiques trobades per fer simulacions i prediccions sobre els resultats possibles, i en valora l’eficàcia i la idoneïtat.

4. Aprofundir en problemes resolts plantejant petites 4.1. Aprofundeix en els problemes una vegada


variacions en les dades, altres preguntes i altres contextos.

resolts: revisant el procés de resolució i les passes i les idees importants, analitzant la coherència de la solució o cercant altres formes de resolució.

4.2. Es planteja nous problemes, a partir d’un de resolt: variant les dades, proposant noves preguntes, resolent altres problemes semblants, plantejant casos particulars o més generals d’interès, establint connexions entre el problema i la realitat.

5. Elaborar i presentar informes sobre el procés, els resultats i les conclusions obtingudes en els processos d’investigació.

5.1. Exposa i defensa el procés seguit, a més de les conclusions obtingudes, utilitzant diferents llenguatges: algebraic, gràfic, geomètric i estadisticoprobabilístic.


6.1. Identifica situacions problemàtiques de la realitat, susceptibles de contenir problemes d’interès. 6.2. Estableix connexions entre un problema del món real i el món matemàtic identificant els problemes matemàtics subjacents i els coneixements matemàtics necessaris. 6.3. Usa, elabora o construeix models matemàtics senzills que permetin la resolució de problemes dins el camp de les matemàtiques. 6.4. Interpreta la solució matemàtica del problema en el context de la realitat. 6.5. Fa simulacions i prediccions, en el context real, per valorar l’adequació i les limitacions dels models i proposa millores que n’augmentin l’eficàcia.



8. Desenvolupar i concretar les actituds personals inherents a la tasca matemàtica.

8.1. Desenvolupa actituds adequades per al treball en matemàtiques: esforç, perseverança, flexibilitat i acceptació de la crítica raonada. 8.2. Es planteja la resolució de reptes i problemes amb la precisió, la cura i l’interès adequats al nivell educatiu i a la dificultat de la situació. 8.3. Distingeix entre problemes i exercicis, i adopta l’actitud adequada per a cada cas.

8.4. Desenvolupa actituds de curiositat i indagació, i hàbits de plantejar preguntes i cercar respostes adequades, tant en l’estudi dels conceptes com en la resolució de problemes.




10.1. Reflexiona sobre els problemes resolts i els processos desenvolupats, valora la potència i la senzillesa de les idees clau i n’aprèn per a situacions futures similars.



11.2. Empra mitjans tecnològics per fer representacions gràfiques de funcions amb expressions algebraiques complexes i n’extreu


informació qualitativa i quantitativa.








(3ESO - Aplic.) Bloc2: Nombres i àlgebra

CONTINGUTS

Potències de nombres naturals amb exponent enter. Significat i ús.

Potències de base 10. Aplicació per a l’expressió de nombres molt petits.

Operacions amb nombres expressats en notació científica.

Jerarquia de les operacions.

Nombres decimals i racionals. Transformació de fraccions en decimals i viceversa.

Nombres decimals exactes i periòdics.

Operacions amb fraccions i decimals. Càlcul aproximat i arrodoniment. Error comès.

Investigació de regularitats, relacions i propietats que apareixen en conjunts de nombres. Expressió usant llenguatge algebraic.

Successions numèriques. Successions recurrents. Progressions aritmètiques i geomètriques.

Transformació d’expressions algebraiques amb una d’indeterminada. Igualtats notables.

Equacions de segon grau amb una incògnita. Resolució (mètode algebraic i gràfic).

Resolució de problemes mitjançant la utilització d’equacions i sistemes d’equacions.


1. Utilitzar les propietats dels nombres racionals i decimals per operar-hi, emprant la forma de càlcul i de notació adequada, per resoldre problemes, i presentant els resultats amb la precisió requerida.

1.1. Aplica les propietats de les potències per simplificar fraccions en què els numeradors i els denominadors són productes de potències.

1.2. Distingeix, en trobar el decimal equivalent a una fracció, entre decimals finits i decimals infinits periòdics, i en aquest cas indica el grup de decimals que es repeteixen o formen període.

1.3. Expressa certs nombres molt grans i molt petits en notació científica, hi opera, amb calculadora i sense, i els utilitza en problemes contextualitzats.

1.4. Distingeix i empra tècniques adequades per fer aproximacions per defecte i per excés d’un nombres en problemes contextualitzats, i justifica els procediments.

1.5. Aplica adequadament tècniques de truncament i arrodoniment en problemes contextualitzats, i reconeix els errors d’aproximació en cada cas per determinar el procediment més adequat.

1.6. Expressa el resultat d’un problema, utilitzant la unitat de mesura adequada, en forma de nombre decimal i l’arrodoneix si és necessari amb el marge d’error o de precisió requerit, d’acord amb la naturalesa de les dades.

1.7. Calcula el valor d’expressions numèriques de nombres enters, decimals i fraccionaris mitjançant les operacions elementals i les potències de nombres naturals i exponent enter aplicant correctament la jerarquia de les operacions.

1.8. Empra nombres racionals i decimals per resoldre problemes de la vida quotidiana i analitza la coherència de la solució.

2. Obtenir i manipular expressions simbòliques que descriguin successions numèriques, i observar regularitats en casos senzills que incloguin patrons recursius.

2.1. Calcula termes d’una successió numèrica recurrent usant la llei de formació a partir de termes anteriors.

2.2. Obté una llei de formació o fórmula per al terme general d’una successió senzilla de nombres enters o


fraccionaris.

2.3. Valora i identifica la presència recurrent de les successions en la naturalesa i resol problemes associats.

3. Utilitzar el llenguatge algebraic per expressar una propietat o relació donada mitjançant un enunciat, extreure’n la informació rellevant i transformar-la.

3.1. Suma, resta i multiplica polinomis i expressa el resultat en forma de polinomi ordenat, i els aplica a exemples de la vida quotidiana.

3.2. Coneix i fa servir les identitats notables corresponents al quadrat d’un binomi i una suma

per diferència, i les aplica en un context adequat.

4. Resoldre problemes de la vida quotidiana en els quals es necessiti el plantejament i la resolució d’equacions de primer i segon grau, sistemes lineals de dues equacions amb dues incògnites, aplicant tècniques de manipulació algebraiques, gràfics o recursos tecnològics, i valorar i contrastar els resultats obtinguts.

4.1. Resol equacions de segon grau completes i incompletes mitjançant procediments algebraics i gràfics.

4.2. Resol sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites mitjançant procediments algebraics o gràfics.

4.3. Formula algebraicament una situació de la vida quotidiana mitjançant equacions de primer i segon grau i sistemes lineals de dues equacions amb dues incògnites, les resol i interpreta críticament el resultat obtingut.


(3ESO - Aplic.) Bloc3: Geometria

CONTINGUTS

Mediatriu, bisectriu, angles. Relacions, perímetre i àrea. Propietats.

Teorema de Tales. Divisió d’un segment en parts proporcionals a altres. Aplicació a la resolució de problemes.

Translacions, girs i simetries en el pla.

Geometria de l’espai: àrees i volums.

El globus terraqüi. Coordenades geogràfiques. Longitud i latitud d’un punt.


1. Reconèixer i descriure els elements i les propietats característiques de les figures planes, els cossos geomètrics elementals i les seves configuracions geomètriques.

1.1. Coneix les propietats dels punts de la mediatriu d’un segment i de la bisectriu d’un angle.

1.2. Utilitza les propietats de la mediatriu i la bisectriu per resoldre problemes geomètrics senzills.

1.3. Tracta les relacions entre angles definits per rectes que es tallen o per paral·leles tallades per una secant i resol problemes geomètrics senzills en què intervenen angles.

1.4. Calcula el perímetre de polígons, la longitud de circumferències i l’àrea de polígons i de figures circulars en problemes contextualitzats aplicant fórmules i tècniques adequades.

2. Utilitzar el teorema de Tales i les fórmules usuals per fer mesures indirectes d’elements inaccessibles i per obtenir les mesures de longituds d’exemples presos de la vida real, de representacions artístiques com pintura o arquitectura o de la resolució de problemes geomètrics.

2.1. Divideix un segment en parts proporcionals a altres donats i estableix relacions de proporcionalitat entre els elements homòlegs de dos polígons semblants.

2.2. Reconeix triangles semblants, i en situacions de semblança, empra el teorema de Tales per al càlcul indirecte de longituds.

3. Calcular (ampliació o reducció) les dimensions reals de figures donades en mapes o plans, coneixent-ne l’escala.

3.1. Calcula dimensions reals de mesures de longituds en situacions de semblança: plans, mapes, fotos aèries.

4. Reconèixer les transformacions que duen d’una figura a una altra mitjançant moviments en el pla, aplicar aquests moviments i analitzar dissenys quotidians, obres d’art i configuracions presents en la naturalesa.

4.1. Identifica els elements més característics dels moviments en el pla presents en la naturalesa, en dissenys quotidians o en obres d’art.

4.2. Genera creacions pròpies mitjançant la composició de moviments, emprant eines tecnològiques quan sigui necessari.

5. Interpretar el sentit de les coordenades geogràfiques i com s’apliquen en la localització de punts.

5.1. Situa sobre el globus terraqüi equador, pols, meridians i paral·lels, i és capaç d’ubicar un punt sobre el globus terraqüi coneixent-ne la longitud i la latitud.


(3ESO - Aplic.) Bloc4: Funcions

CONTINGUTS

Anàlisi i descripció qualitativa de gràfiques que representen fenòmens de l’entorn quotidià i d’altres matèries.

Anàlisi d’una situació a partir de l’estudi de les característiques locals i globals de la gràfica corresponent.

Anàlisi i comparació de situacions de dependència funcional donades mitjançant taules i enunciats.

Ús de models lineals per estudiar situacions provinents dels diferents àmbits de coneixement i de la vida quotidiana, mitjançant la confecció de la taula, la representació gràfica i l’obtenció de l’expressió algebraica.

Expressions de l’equació de la recta.

Funcions quadràtiques. Representació gràfica. Utilització per representar situacions de la vida quotidiana.


1. Conèixer els elements que intervenen en l’estudi de les funcions i la seva representació gràfica.

1.1. Interpreta el comportament d’una funció donada gràficament i associa enunciats de problemes contextualitzats a gràfiques.

1.2. Identifica les característiques més rellevants d’una gràfica i les interpreta dins el seu context.

1.3. Construeix una gràfica a partir d’un enunciat contextualitzat i descriu el fenomen exposat.

1.4. Associa raonadament expressions analítiques senzilles a funcions donades gràficament.

2. Identificar relacions de la vida quotidiana i d’altres matèries que es poden modelitzar mitjançant una funció lineal i valora la utilitat de la descripció d’aquest model i dels seus paràmetres per descriure el fenomen analitzat.

2.1. Determina les diferents formes d’expressió de l’equació de la recta a partir d’una de donada (equació punt-pendent, general, explícita i per dos punts), n’identifica punts de tall i pendent, i les representa gràficament.

2.2. Obté l’expressió analítica de la funció lineal associada a un enunciat i la representa.

3. Reconèixer situacions de relació funcional que necessiten ser descrites mitjançant funcions quadràtiques i calcular-ne els paràmetres i les característiques.

3.1. Representa gràficament una funció polinòmica de grau dos i en descriu les característiques.

3.2. Identifica i descriu situacions de la vida quotidiana que puguin ser modelitzades mitjançant funcions quadràtiques, les estudia i les representa amb mitjans tecnològics quan sigui necessari.


(3ESO - Aplic.) Bloc5: Estadística i probabilitat

CONTINGUTS

Fases i tasques d’un estudi estadístic. Població, mostra. Variables estadístiques: qualitatives, discretes i contínues.

Mètodes de selecció d’una mostra estadística. Representativitat d’una mostra.

Freqüències absolutes, relatives i acumulades. Agrupació de dades en intervals.

Gràfics estadístics.

Paràmetres de posició: mitjana, moda, mediana i quartils. Càlcul, interpretació i propietats.

Paràmetres de dispersió: rang, recorregut interquartílic i desviació típica. Càlcul i interpretació.

Diagrama de caixa i bigotis.

Interpretació conjunta de la mitjana i la desviació típica.


1. Elaborar informacions estadístiques per descriure un conjunt de dades mitjançant taules i gràfics adequats a la situació analitzada, i justificar si les conclusions són representatives per a la població estudiada.

1.1. Distingeix població i mostra, i justifica les diferències en problemes contextualitzats.

1.2. Valora la representativitat d’una mostra a través del procediment de selecció, en casos senzills.

1.3. Distingeix entre variable qualitativa, variable quantitativa discreta i variable quantitativa contínua, i en posa exemples.

1.4. Elabora taules de freqüències, relaciona els diferents tipus de freqüències i obté informació de la taula elaborada.

1.5. Construeix, amb l’ajuda d’eines tecnològiques si fos necessari, gràfics estadístics adequats a diferents situacions relacionades amb variables associades a problemes socials, econòmics i de la vida quotidiana.

2. Calcular i interpretar els paràmetres de posició i de dispersió d’una variable estadística per resumir les dades i comparar distribucions estadístiques.

2.1. Calcula i interpreta les mesures de posició d’una variable estadística per proporcionar un resum de les dades.

2.2. Calcula els paràmetres de dispersió d’una variable estadística (amb calculadora i amb full de càlcul) per comparar la representativitat de la mitjana i descriure les dades.

3. Analitzar i interpretar la informació estadística que apareix en els mitjans de comunicació, i valorar-ne la representativitat i la fiabilitat.

3.1. Utilitza un vocabulari adequat per descriure, analitzar i interpretar informació estadística en els mitjans de comunicació.

3.2. Empra la calculadora i mitjans tecnològics per organitzar les dades, generar gràfics estadístics i calcular paràmetres de tendència central i dispersió.

3.3. Usa mitjans tecnològics per comunicar informació resumida i rellevant sobre una variable estadística que analitzada.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ IES CTEIB Programació de Matemàtiques 2015-16 42/152

8. Quart d’ESO – Opc A


Temporalització

Bloc Tema Setmanes

1. Geometria 1. Geometria 4

2. Nombres 2. Nombres decimals

3. Nombres reals

4. Problemes aritmètics

3

3

3

3. Funcions i gràfics 5. Funcions lineals

6. Altres funcions elementals

4

3

4. Àlgebra 7. Equacions


3

3

5. Estadística i probabilitat 9. Estadística

10. Probabilitat

3

3

32 setmanes

128 sessions

Cronograma

Setembre

Octubre

Novembre

Desembre

Gener

Febrer

Març

Abril

Maig

Juny

1

2

4

5

7

9

10

1

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

5

6

8

10


8.2. Seqüenciació per unitats

A les diferents unitats es treballaran els següents continguts, comuns a totes elles:

- Planificació i utilització de processos de raonament i estratègies de resolució de problemes, com ara l’emissió i justificació d’hipòtesis o la generalització.

- Expressió verbal d’argumentacions, relacions quantitatives i espacials i procediments de resolució amb la precisió i rigor adequats a la situació.

- Interpretació de missatges que contenguin argumentacions o informacions de caràcter quantitatiu o sobre elements o relacions espacials.

- Confiança en les pròpies capacitats per afrontar problemes, comprendre les relacions matemàtiques i prendre decisions a partir d’aquestes relacions.

- Perseverança i flexibilitat en la recerca de solucions als problemes i en la millora de les trobades.

- Utilització d’eines tecnològiques per facilitar els càlculs de tipus numèric, algebraic o estadístic, les representacions funcionals i la comprensió de propietats geomètriques.

- Aplicació de les matemàtiques per analitzar i valorar fenòmens socials i activitats econòmiques de la comunitat de les Illes Balears.

L’avaluació d’aquests continguts tindrà en compte si els alumnes són capaços de

- Planificar i utilitzar processos de raonament i estratègies diverses útils per a la resolució de problemes.

- Expressar verbalment i amb precisió raonaments, relacions quantitatives i informacions que incorporin elements matemàtics (valorant la utilitat i simplicitat del llenguatge matemàtic per a això).

Es tracta d’avaluar la capacitat de planificar el camí cap a la resolució d’un problema, comprendre les relacions matemàtiques que hi intervenen i triar i aplicar estratègies i tècniques de resolució apreses en els cursos anteriors, confiant en la seva pròpia capacitat i intuïció. Així mateix, es tracta de valorar la precisió del llenguatge utilitzat per expressar tot tipus d’informacions que continguin quantitats, mesures, relacions, numèriques i espacials, així com estratègies i raonaments utilitzats en la resolució d’un problema.


(4ESO - Opc. A) Unitat 1: Geometria

OBJECTIUS CRITERIS D’AVALUACIÓ COMPETÈNCIES BÀSIQUES

Aplicar els conceptes bàsics de la semblança de triangles i el teorema de Pitàgores per a la obtenció indirecta de mesures

Resoldre problemes geomètrics freqüents en la vida quotidiana

Utilitzar altres coneixements geomètrics en la resolució de problemes del món físic: mesura i càlcul de longituds, àrees i volums.

Aplica, de manera immediata, la semblança de triangles per resoldre problemes d’enunciat (trobar algunes longituds...).

Utilitza el teorema de Pitàgores per calcular distàncies desconegudes en triangles rectangles.

Utilitza instruments, fórmules i tècniques apropiades per obtenir mesures directes i indirectes en situacions reals.

Desenvolupa estratègies per calcular magnituds desconegudes a partir d’altres de conegudes, utilitzant els instruments de mesura disponibles, aplicant les fórmules apropiades i desenvolupant les tècniques i destreses adequades per fer el mesurament proposat.

1. Comunicació lingüística

Extreu informació d’un text donat.

Entén els enunciats dels exercicis.

Expressa procediments matemàtics d’una forma clara i concisa.

2. Matemàtica

Reconeix figures semblants i les relacions entre elles.

Reconeix el rectangle auri.

Domina la semblança de triangles i la utilitza per resoldre problemes.

Utilitza correctament les semblances per resoldre problemes geomètrics.

3. Coneixement i interacció amb el món físic

Reconeix semblances en el seu entorn.

Reconeix l’ajuda de la semblança per entendre certs aspectes del món físic.

4. Tractament de la informació i competència digita l

Sap utilitzar Internet per reforçar, ampliar i avançar en l’aprenentatge.

5. Social i ciutadana

Pren consciència de la utilitat de la geometria en multitud de tasques humanes.

6. Cultural i artística

Valora l’aportació d’altres cultures al desenvolupament de la geometria.

Valora l’aportació de la geometria a altres disciplines, com l’arquitectura.

7. Aprendre a aprendre

Domina els continguts fonamentals de la unitat.

Valora l’aprenentatge de raonaments matemàtics com a font de coneixements futurs.

Autoavalua els seus coneixements sobre semblança.

8. Autonomia i iniciativa personal

Utilitza els seus coneixements matemàtics per resoldre problemes.


(4ESO – Opc A) Unitat 1: Geometria (continuació)

CONTINGUTS MÍNIMS EXIGIBLES

Figures semblants

Similitud de formes. Raó de semblança.

Propietats de les figures semblants: igualtat d’angles i proporcionalitat de segments.

Relació de semblança entre triangles. Relacions de proporcionalitat en els triangles.

Aplicacions de la semblança

Problemes de càlcul d’altures, de distàncies, etc.

Mesurament d’altures d’edificis utilitzant-ne l’ombra.

Relació entre les àrees i els volums de dues figures semblants.

Cerca de magnituds desconegudes, inaccessibles, etc.

Triangles rectangles

Criteris de semblança. Teorema de Pitàgores.

Utilització d’altres coneixements geomètrics en la resolució de problemes del món físic

Mesura i càlcul de longituds, àrees i volums.

Reconeix figures semblants i extreu conseqüències d’aquesta semblança.

Aplica la semblança de triangles i el teorema de Pitàgores per calcular longituds, àrees o volums.


(4ESO - Opc. A) Unitat 2: Nombres decimals


Manejar amb desimboltura l’expressió d’un nombre i fer aproximacions, així com conèixer i controlar els errors comesos.

Conèixer la notació científica i efectuar operacions amb ajuda de la calculadora.

Utilitza els diferents tipus de nombres i operacions, juntament amb les seves propietats, per recollir, transformar i intercanviar informació i resoldre problemes relacionats amb la vida diària.

Aplica correctament les regles de prioritat, fent un ús adequat de signes i parèntesis.

Elegeix la forma de càlcul apropiada: mental, escrita o amb calculadora, i estima la coherència i precisió dels resultats obtinguts.

Domina l’expressió decimal d’un nombre o d’una quantitat, i calcula o fita els errors absolut i relatiu en una aproximació.

Interpreta i escriu nombres en notació científica i hi opera.

Usa la calculadora per anotar i operar amb quantitats donades en notació científica i relaciona els errors amb les xifres significatives utilitzades.




Expressa procediments d’una forma clara i concisa.

2. Matemàtica

Coneix els diferents tipus de nombres decimals i la relació entre aquests i les fraccions.

Aproxima nombres com a ajuda per explicar fenòmens i entén la magnitud de l’error comès.

Opera amb diferents tipus de nombres.


Entén el sistema de numeració decimal i n’aprecia els avantatges.

Utilitza els nombres decimals per descriure fenòmens de la realitat.

Domina la notació científica per descriure fenòmens de grandària microscòpica i fenòmens relatius a l’univers.


Utilitza Internet per avançar en l’aprenentatge.

Usa la calculadora com a eina que facilita els càlculs.


Valora l’aportació d’altres cultures al desenvolupament de les matemàtiques.

Reconeix la utilitat dels nombres decimals en la descripció de fenòmens reals.


Contempla els nombres i els sistemes de numeració com una conquesta cultural de la humanitat.


Utilitza fraccions i decimals per descriure fenòmens del seu entorn.

És conscient del desenvolupament del seu propi aprenentatge.

És conscient de les carències en els coneixements adquirits en aquesta unitat.


Utilitza els coneixements numèrics adquirits per resoldre problemes aritmètics.

Tria el procediment més adequat per resoldre problemes.


(4ESO – Opc A) Unitat 2: Nombres decimals (continuació)


Expressió decimal dels nombres aproximats

Error absolut i error relatiu. Fites.

Arrodoniment i truncament de nombres.

Assignació d’un nombre de xifres d’acord amb la precisió dels càlculs i amb el que estigui expressant.

Relació entre error relatiu i el nombre de xifres significatives utilitzades.

La notació científica

Lectura i escriptura de nombres en notació científica. Nombres molt grans i molt petits

Maneig de la calculadora per a la notació científica.

Interpretació i utilització dels nombres

Ús dels nombres i de les operacions en diferents contextos, elegint la notació i la precisió més adequades en cada cas.

Maneja hàbilment els nombres decimals: càlcul mental i manual, comparació, potències de base 10, i operatòria.

Realitza l’expressió aproximada d’un nombre i en calcula la fita d’error.

Coneix la notació científica: lectura, escriptura, interpretació i comparació de nombres en notació científica, manualment i amb calculadora.


(4ESO - Opc. A) Unitat 3: Nombres reals


Conèixer els nombres reals, els diferents conjunts de nombres i els intervals sobre la recta real.

Conèixer el concepte d’arrel d’un nombre, així com algunes propietats de les arrels.

Utilitza els diferents tipus de nombres i operacions, juntament amb les seves propietats, per recollir, transformar i intercanviar informació i resoldre problemes relacionats amb la vida diària.

Aplica correctament les regles de prioritat, fent un ús adequat de signes i parèntesis.

Elegeix la forma de càlcul apropiada: mental, escrita o amb calculadora, i estima la coherència i precisió dels resultats obtinguts.

Classifica nombres de diferents tipus.

Coneix i utilitza les diferents notacions per als intervals i la seva representació gràfica.

Utilitza la calculadora per al càlcul numèric amb arrels i potències.


Extreu informació numèrica d’un text donat.

Coneix la relació entre els diferents conjunts de nombres i l’explica de forma clara i concisa.

Entén enunciats per resoldre exercicis i expressa procediments matemàtics d’una forma clara i concisa.

2. Matemàtica

Reconeix els diferents conjunts de nombres i, entre aquests, els irracionals.

Comprèn les relacions entre potències i radicals.

Opera amb potències i amb radicals sense dificultat.

Opera amb nombres reals per resoldre diferents tipus de problemes.




Sap utilitzar Internet per avançar en l’aprenentatge.





Reconeix el component artístic de les matemàtiques.


Utilitza la representació d’irracionals en la recta real per entendre’ls millor.



Analitza processos matemàtics relacionats amb nombres.

Decideix quin procediment dels apresos és més vàlid davant un problema plantejat.


(4ESO – Opc A) Unitat 3: Nombres reals (continuació)


Nombres no racionals

Expressió decimal.

Reconeixement d’alguns irracionals (√2, π, ...).

Els nombres reals

La recta real.

Representació exacta o aproximada de nombres de diferents tipus sobre la recta real.

Intervals i semirectes. Nomenclatura.

Expressió d’intervals o semirectes amb la notació adequada.

Arrel enèsima d’un nombre

Potències d’exponent fraccionari i algunes propietats.

Utilització de la calculadora per obtenir potències i arrels qualssevol.

Reconeix nombres racionals i irracionals. Classifica nombres de qualsevol tipus escrits en qualsevol de les seves expressions.

Representa de manera aproximada un nombre qualsevol sobre la recta real.

Maneja hàbilment intervals i semirectes. Utilitza les nomenclatures adequades.

Interpreta radicals. Càlcul mental.

Utilitza la forma exponencial dels radicals.

Utilitza hàbilment la calculadora per operar amb potències i arrels.


(4ESO - Opc. A) Unitat 4: Problemes aritmètics


Aplicar procediments específics per resoldre problemes relacionats amb la proporcionalitat.

Aplica percentatges i taxes a la resolució de problemes quotidians i financers.

Valora l’oportunitat d’utilitzar el full de càlcul en funció de la quantitat i la complexitat dels nombres.

Resol problemes relacionats amb la proporcionalitat simple i composta (directa i inversa)



Extreu, de l’enunciat d’un problema, la informació matemàtica necessària per resoldre’l.

Expressa els procediments matemàtics utilitzats de forma clara i concisa.

2. Matemàtica

Resol problemes de proporcionalitat simple i composta.

Resol amb desimboltura diferents tipus de problemes de percentatges i d’interès simple.


Recorre a la proporcionalitat simple per resoldre problemes que podrien sorgir-li en la vida quotidiana.

Aplica la proporcionalitat en analitzar i resoldre situacions quotidianes.

Reconeix la utilitat de les matemàtiques per resoldre situacions quotidianes.




Valora de forma crítica diferents elements des del punt de vista del consumidor.


Constata l’evolució dels mètodes de resolució de problemes aritmètics en la història.


Resol raonadament problemes de proporcionalitat composta i de repartiments proporcionals.



Decideix dels quin procediment apresos és més vàlid davant un problema plantejat.


(4ESO – Opc A) Unitat 4: Problemes aritmètics (continuació)


Magnituds directament i inversament proporcionals

Identificació de les relacions de proporcionalitat.

Resolució de problemes de proporcionalitat directa i inversa.

Mètode de reducció a la unitat i regla de tres.

Proporcionalitat composta

Resolució de problemes de proporcionalitat composta.

Percentatges

Càlcul de percentatges.

Resolució de problemes de percentatges.

Càlcul d’augments i de disminucions percentuals.

Interès bancari simple i compost

Resolució de problemes senzills d'interès simple i d’interès compost.

Altres problemes aritmètics

Resolució de problemes de diverses operacions, relacionats amb situacions quotidianes (pressuposts, ompliment i buidatge, consum, velocitats i temps, mescles, repartiments proporcionals, etc.).

Full de càlcul

Ús del full de càlcul en funció de la complexitat i quantitat dels nombres.

Planteja i resol problemes relacionats amb la proporcionalitat simple i composta (directa i inversa).


(4ESO - Opc. A) Unitat 5: Funcions lineals


Manejar amb desimboltura les funcions lineals.

Identifica relacions quantitatives en una situació i determina el tipus de funció que les pot representar.

Extreu conclusions raonables de la situació associada a un fenomen lineal.

Representa una funció lineal a partir de la seva expressió analítica.

Obté l’expressió analítica d’una funció lineal coneixent-ne el gràfic o alguna de les característiques.

Representa una funció lineal donada mitjançant un enunciat.


Extreu d’un text la informació necessària per modelitzar la situació que es proposa amb una funció lineal.

Domina el llenguatge de les desigualtats per treballar amb les funcions definides a trossos.

2. Matemàtica

Sap què implica la linealitat d’una funció entenent-la com una modelització de la realitat.

Coneix diferents mètodes per trobar el pendent d’una recta.

Domina els diferents tipus de funcions estudiats en la unitat i coneix les situacions que modelitzen.

Resol problemes relacionats amb funcions.


Reconeix l’existència de funcions lineals en el seu món quotidià.

Reconeix la utilitat de les funcions per modelitzar i estudiar fenòmens de la vida quotidiana.


Utilitza Internet per repassar els seus coneixements.



Reconeix la importància d’altres cultures en el desenvolupament de l’estudi de les funcions.



Utilitza els seus coneixements per resoldre les activitats plantejades.


Autoavalua els coneixements adquirits sobre funcions.




(4ESO – Opc A) Unitat 9: Funcions lineals (continuació)


La relació funcional

Interpretació d’una funció descrita mitjançant un enunciat, taula, gràfic o expressió algebraica.

Anàlisi de resultats utilitzant el llenguatge matemàtic adequat.

Funció lineal

Funció lineal. Pendent d’una recta.

Tipus de funcions lineals. Funció de proporcionalitat i funció constant.

Obtenció d’informació a partir de dues o més funcions referides a fenòmens relacionats entre si.

Ús de les tecnologies de la informació per a l’anàlisi de les funcions lineals.

Maneja hàbilment la funció de proporcionalitat y = mx: representació gràfica, obtenció de l’equació, càlcul i significat del pendent.

Maneja hàbilment la funció y = mx + n: representació gràfica i significat dels coeficients.

Resol problemes amb enunciats on s’utilitzen relacions funcionals lineals.

Representa amb destresa qualsevol funció lineal i dóna l’expressió analítica de qualsevol recta.


(4ESO - Opc. A) Unitat 6: Altres funcions elementa ls


Conèixer altres tipus de funcions (quadràtica i exponencial), associant el gràfic amb l’expressió analítica.

Conèixer com estudiar el creixement de les funcions.

Ús de les tecnologies de la informació per a l’anàlisi d’aquest tipus de funcions

Analitza taules i gràfiques que representen relacions funcionals associades a situacions reals per obtenir informació sobre el seu comportament.

Representa una paràbola a partir de l’equació quadràtica corresponent.

Associa corbes a les expressions analítiques corresponents.

Maneja i representa de forma aproximada les funcions exponencials.

Calcula i interpreta les taxes de variació a partir de dades gràfiques o numèriques.

Resol problemes d’enunciat relacionats amb diferents tipus de funcions i extreu conclusions sobre el fenomen estudiat.


Extreu d’un text la informació necessària per modelitzar la situació, si escau, mitjançant una funció de les estudiades.

2. Matemàtica

Coneix i domina les característiques dels diferents tipus de funcions estudiats (quadràtiques, exponencials…). En dibuixa els gràfics correctament.

Entén les funcions estudiades com a modelitzacions de la realitat.


Reconeix l’existència de funcions (quadràtiques, exponencials…) en el seu entorn quotidià.

Reconeix la utilitat de les funcions per modelitzar i estudiar fenòmens de la naturalesa, econòmics i altres.

Reconeix la utilitat de les matemàtiques en l’evolució del nostre món.


Utilitza amb desimboltura les TIC per estudiar funcions.


Reconeix la utilitat de les funcions per modelitzar i estudiar fenòmens quotidians (naturals, econòmics…).




És conscient de la utilitat dels seus coneixements per treballar amb funcions.

Domina els diferents tipus de funcions estudiats en la unitat i les situacions que modelitzen.





(4ESO – Opc A) Unitat 6: Altres funcions elementals (continuació)


Funcions quadràtiques

Representació gràfica de funcions quadràtiques. Obtenció de l’abscissa del vèrtex i d’alguns punts pròxims al vèrtex. Mètodes senzills per representar paràboles.

Funcions exponencials

Aplicacions de les funcions exponencials.

Identificació de situacions que es poden resoldre, utilitzant funcions exponencials per descriure-les.

Creixement i taxa de variació mitjana

Mesura de la variació d’una funció en un interval.

Anàlisi de diferents formes de creixement en taules, gràfics i enunciats verbals.

Ús de les TIC per a l'anàlisi de les funcions

Coneix la funció quadràtica: relació entre la forma de la corba i el coeficient de x2. Situació del vèrtex.

Representa una funció quadràtica qualsevol.

Representa funcions exponencials de base major que 1.

Associa funcions elementals als gràfics corresponents.

Calcula la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.


(4ESO - Opc. A) Unitat 7: Equacions


Resoldre amb destresa equacions de primer i segon grau i aplicar-les a la resolució de problemes.

Interpretar i resoldre inequacions i sistemes d’inequacions de primer grau i aplicar-ho a la resolució de problemes.

Resol equacions de primer grau.

Resol equacions de segon grau senzilles.

Resol equacions de segon grau més complexes.

Resol equacions per tempteig.

Planteja i resol problemes mitjançant equacions.


Extreu dels enunciats dels problemes la informació matemàtica essencial per resoldre’ls.

Entén el llenguatge algebraic com un llenguatge amb estructures i característiques pròpies.

Expressa procediments matemàtics de forma clara i concisa.

2. Matemàtica

Diferencia entre igualtat i equació i troba solucions per tempteig.

Resol amb desimboltura problemes i equacions de primer grau.

Classifica i troba la solucions de diferents tipus d’equacions de segon grau.


Aplica els seus coneixements d’equacions per resoldre problemes quotidians.

Aplica els seus coneixements d’inequacions per resoldre problemes reals.


Utilitza la calculadora amb desimboltura.

Utilitza Internet per reforçar, ampliar i avançar en l’aprenentatge.




Constata l’evolució dels mètodes de resolució d’equacions al llarg de la història.


És conscient de la utilitat dels seus coneixements per resoldre equacions.

Valora l’aprenentatge de raonaments matemàtics.

Autoavalua els coneixements adquirits sobre equacions.


Decideix quin dels procediment apresos és més vàlid davant un problema plantejat.

Utilitza els seus coneixements matemàtics per resoldre els problemes.


(4ESO – Opc A) Unitat 6: Equacions (continuació)


Equacions de primer i segon grau

Resolució d’equacions de primer i segon grau: per tempteig, per mètodes algebraics, per aproximacions successives, ...

Resolució de problemes

Resolució de problemes mitjançant equacions de primer i segon grau.

Ús de mitjans tecnològics per a la resolució d’equa cions i sistemes

Comprèn els conceptes d’equació i de solució.

Planteja i resol problemes mitjançant equacions de primer grau i segon grau.


(4ESO - Opc. A) Unitat 8: Sistemes d’equacions


Resoldre amb destresa sistemes d’equacions i aplicar-los a la resolució de problemes.

Resol gràficament sistemes lineals 2 × 2, molt senzills, i relaciona el tipus de solució amb la posició relativa de les rectes.

Resol un sistema lineal 2 × 2 mitjançant qualque mètode algebraic.

Resol un sistema lineal 2 × 2 que requereixi transformacions prèvies.

Planteja i resol problemes mitjançant sistemes d’equacions lineals.



Descriu amb coherència els mètodes seguits en resoldre sistemes.

Tradueix l’enunciat dels problemes al llenguatge matemàtic per resoldre’ls mitjançant sistemes d’equacions.

2. Matemàtica

Representa equacions lineals amb dues incògnites i hi troba solucions.

Entén els casos possibles en el nombre de solucions en resoldre un sistema.

Domina els diferents mètodes de resolució de sistemes d’equacions lineals.

Resol sistemes d’equacions lineals i certs sistemes d’equacions no lineals.


Aplica els seus coneixements de sistemes d’equacions per resoldre problemes quotidians.


Utilitza Internet per reforçar els seus coneixements i així avançar en l’aprenentatge.




Constata l’evolució dels mètodes de resolució d’equacions i sistemes al llarg de la història.


És conscient de la utilitat dels seus coneixements per resoldre sistemes d’equacions.


Autoavalua els seus coneixements sobre sistemes d’equacions.


Decideix, davant un sistema d’equacions donat, el millor mètode de resolució.



(4ESO – Opc A) Unitat 8: Sistemes d’equacions (continuació)


Equació lineal amb dues incògnites

Solució. Interpretació gràfica.

Representació gràfica d’una equació lineal amb dues incògnites i identificació dels punts de la recta com a solució de l’equació.

Sistemes d’equacions lineals

Sistemes d’equacions lineals:

Compatibles (determinats i indeterminats).

Incompatibles.

Interpretació gràfica de sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites i de les solucions.

Resolució algebraica de sistemes lineals pels mètodes de substitució, d’igualació i de reducció.


Resolució de problemes mitjançant sistemes d’equacions.

Reconeix, soluciona i representa gràficament equacions lineals amb dues incògnites.

Comprèn què és un sistema d’equacions lineals i la seva interpretació gràfica i sap que un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites pot tenir més d’una solució.

Resol sistemes d’equacions lineals amb dues incògnites per qualque mètode algebraic.

Formula i resol problemes utilitzant sistemes d’equacions lineals.


(4ESO - Opc. A) Unitat 9: Estadística


Resumir en una taula de freqüències una sèrie de dades estadístiques i fer el gràfic adequat per visualitzar-les.

Conèixer els paràmetres estadístics ẋ i σ, calcular-los a partir d’una taula de freqüències i interpretar-ne el significat.

Conèixer i utilitzar les mesures de posició.

Conèixer el paper del mostratge i distingir-ne algunes de les seves passes.

Construeix una taula de freqüències de dades aïllades i els representa mitjançant un diagrama de barres.

Donat un conjunt de dades i el suggeriment que els agrupi en intervals, determina una possible partició del recorregut, construeix la taula i representa gràficament la distribució.

Donat un conjunt de dades, reconeix la necessitat d’agrupar-los en intervals i, en conseqüència, determina una possible partició del recorregut, construeix la taula i representa gràficament la distribució.

Obté el valor de ẋ i σ a partir d’una taula de freqüències (de dades aïllades o agrupades) i les utilitza per analitzar característiques de la distribució.

Coneix el coeficient de variació i l’usa per comparar les dispersions de dues distribucions.

A partir d’una taula de freqüències de dades aïllades, construeix la taula de freqüències acumulades, n’obté mesures de posició (mediana, quartils, centils).

Construeix el diagrama de caixes i bigots corresponent a una distribució estadística.

Interpreta un diagrama de caixes i bigots dins un context.

Reconeix processos de mostratge correctes i identifica errors en altres on n’hi hagi.


- Extreu informació d’un text donat.

- Utilitza la terminologia estadística amb propietat.

- Entén els enunciats dels exercicis.

- Expressa procediments matemàtics d’una forma clara i concisa.

2. Matemàtica

- Domina els conceptes bàsics relatius a l’estadística.

- Coneix els diferents paràmetres estadístics i els calcula a partir d’unes dades donades.

- És conscient de la importància de la bona elecció d’una mostra.

- Analitza i treu conclusions d’un conjunt de dades referents a una variable estadística.


Valora l’estadística com a mitjà per descriure i analitzar multitud de processos del món físic.


- Utilitza Internet per repassar, reforçar i ampliar els seus coneixements.

- Mostra interès per utilitzar informàtiques que permeten treballar amb dades estadístiques.


Domina els conceptes de l’estadística com a mitjà per analitzar críticament la informació que rebem.


Reconeix la importància d’altres cultures en el desenvolupament de l’estudi de l’estadística.


- Domina els continguts fonamentals de la unitat.

- Valora l’aprenentatge de raonaments matemàtics com a font de coneixements futurs.


- Valora els coneixements estadístics adquirits com a mitjà per interpretar la realitat.

- Utilitza els seus coneixements matemàtics per resoldre problemes.


(4ESO – Opc A) Unitat 9: Estadística (continuació)


Estadística. Nocions generals

Individu, població, mostra, caràcters, variables (qualitatives, quantitatives, discretes, contínues).

Estadística descriptiva i estadística inferencial.

Taules de freqüències

Elaboració de taules de freqüències.

Amb dades aïllades.

Amb dades agrupades sabent triar els intervals.

Paràmetres estadístics

Mitjana, desviació típica i coeficient de variació.

Càlcul de ẋ, σ i del coeficient de variació per a una distribució donada per una taula (en el cas de dades agrupades, a partir de les marques de classe), amb ajuda de la calculadora o del full de càlcul.

Mesures de posició: mediana, quartils i centils.

Obtenció de les mesures de posició en taules amb dades aïllades.

Representació gràfica d’una distribució a partir de les seves mesures de posició: diagrama de caixes i bigots.

Nocions d’estadística inferencial

Mostra: aleatorietat, grandària.

Tipus de conclusions que s’obtenen a partir d’una mostra i la seva representativitat.

Ús del full de càlcul i de la calculadora

Comprèn conceptes bàsics d’estadística: població i mostra, variables estadístiques, estadística descriptiva, estadística inferencial.

Sap fer i interpretar gràfics estadístics: diagrama de barres i histograma (gràfic adequat a cada tipus de variable).

Sap elaborar i interpretar taules de freqüències per a dades aïllades i per a dades agrupades en intervals.

Troba paràmetres estadístics: mitjana i desviació típica.

Calcula mesures de posició per a dades aïllades. Diagrama de caixa.

Usa la calculadora i el full de càlcul per introduir dades i per obtenir el valor dels paràmetres estadístics.


(4ESO - Opc. A) Unitat 10: Probabilitat


Conèixer les característiques bàsiques dels esdeveniments i de les regles per assignar probabilitats.

Interpretar i resoldre problemes de probabilitat simple i composta, utilitzant en cada cas les tècniques més adequades.

Identifica l’espai mostral en experiències simples i en experiències compostes senzilles.

Calcula probabilitats usant la regla de Laplace.

Calcula probabilitats usant taules de contingència i diagrames d’arbre.

Interpreta taules de contingència i les utilitza per calcular probabilitats.

Utilitza els resultats obtinguts del càlcul de probabilitats per prendre decisions raonables en el context del problema



Utilitza amb propietat la terminologia referent a la probabilitat.



2. Matemàtica

Domina els conceptes bàsics d’experiència aleatòria, espai mostral i succés.

Domina les relacions i les operacions amb successos, que utilitza per calcular correctament probabilitats.

Domina les tècniques de la probabilitat com a mitjà per resoldre problemes.

Analitza i obté conclusions d’un conjunt de dades referents a dues o més variables.


Utilitza les tècniques de la probabilitat per descriure fenòmens del món físic.

Valora la probabilitat com a mitjà per descriure i analitzar diferents situacions del món físic.


Utilitza Internet per repassar, reforçar, ampliar i avançar en l’aprenentatge.

Mostra interès per utilitzar eines informàtiques que permeten treballar amb taules de contingència.


Domina els conceptes de la probabilitat com a mitjà per analitzar críticament la informació que rebem.


Valora les aportacions de cultures passades al desenvolupament de la probabilitat.



Autoavalua els seus coneixements sobre probabilitat.





(4ESO – Opc A) Unitat 10: Probabilitat (continuació)


Successos aleatoris

Relacions i operacions amb successos.

Experiències aleatòries i probabilitats

Freqüència i probabilitat d’un succés.

Llei de Laplace.

Experiències compostes

Extraccions amb reemplaçament i sense.

Composició d’experiències. Càlcul de probabilitats mitjançant taules de contingència i diagrames d'arbre.

Utilització del vocabulari adequat per descriure i quantificar situacions

relacionades amb l’atzar

Freqüència, probabilitat, aleatori, equiprobable, espai mostral, etc.

Resolució de problemes i presa de decisions

Reconeix que els fenòmens d’atzar estan sotmesos a regularitats i a lleis.

Distingeix successos segurs, probables i improbables.

Distingeix entre successos equiprobables i d’altres que no ho són.

Aplica amb eficàcia la llei de Laplace.

Reconeix l’espai mostral d’una experiència aleatòria.

Calcula probabilitats en experiències compostes senzilles utilitzant un diagrama d’arbre o una taula de contingència.


9. Quart d’ESO – Opc B


Temporalització

Bloc Tema Setmanes

1. Aritmètica i àlgebra 1. Nombres reals

2. Polinomis i fraccions algebraiques

3. Equacions, inequacions i sistemes

3

3

5

2. Funcions 4 Funcions. Característiques

5. Funcions elementals

2

4

3. Geometria 6. La semblança i les seves aplicacions

7. Trigonometria

8. Geometria analítica

2

3

2


10. Càlcul de probabilitats

11. Combinatòria

3

3

2

32 setmanes

128 sessions

Cronograma

Setembre

Octubre

Novembre

Desembre

Gener

Febrer

Març

Abril

Maig

Juny

1

3

3

5

7

8

9

11

2

3

4

5

6

7

8

10

11

1

2

3

4

5

6

9

10

1

2

3

5

7

9

10



(4ESO - Opc. B) Unitat 1: Nombres reals


Manejar amb destresa l’expressió decimal d’un nombre i la notació científica, i fer aproximacions, així com conèixer i controlar els errors comesos.

Conèixer els nombres reals, els diferents conjunts de nombres i els intervals sobre la recta real.

Conèixer el concepte d’arrel d’un nombre, així com les propietats de les arrels, i aplicar-los en l’operatòria amb radicals.

Manejar expressions irracionals en resoldre problemes.

Domina l’expressió decimal d’un nombre o una quantitat i calcula o fita els errors absolut i relatiu en una aproximació.

Realitza operacions amb quantitats donades en notació científica i controla els errors comesos (sense calculadora).

Usa la calculadora per anotar i operar amb quantitats donades en notació científica, i controla els errors comesos.

Classifica nombres de diferents tipus.

Coneix i utilitza les diferents notacions per als intervals i la seva representació gràfica.

Utilitza la calculadora per al càlcul numèric amb potències i arrels.

Interpreta i simplifica radicals.

Opera amb radicals.

Racionalitza denominadors.

Maneja amb destresa expressions irracionals que sorgeixin en resoldre problemes.


Extreu informació numèrica d’un text donat.

Coneix la relació entre els diferents conjunts de nombres i l’explica.

Entén enunciats per resoldre exercicis i expressa procediments matemàtics d’una forma clara i concisa.

2. Matemàtica

Reconeix els diferents conjunts de nombres.

Aproxima nombres com a ajuda per explicar fenòmens.

Opera amb nombres reals per resoldre diferents tipus de problemes.


Identifica diferents tipus de nombres i l’ús quotidià que en feim.

Domina la notació científica i el maneig d’errors per descriure fenòmens reals.

Reconeix la presència de les matemàtiques en la naturalesa.









Utilitza la representació d’irracionals en la recta real per entendre’ls millor.

És conscient del desenvolupament del seu aprenentatge.


Analitza processos matemàtics relacionats amb nombres.

Decideix quin procediment dels apresos és més vàlid davant un problema.


(4ESO – Opc B) Unitat 1: Nombres reals (continuació)


Nombres decimals

Expressió decimal dels nombres aproximats. Xifres significatives.

Arrodoniment de nombres.

Assignació d’un nombre de xifres d’acord amb la precisió dels càlculs i amb el que expressi.

Error absolut i error relatiu.

Càlcul d’una fita de l’error absolut i de l’error relatiu comesos.

Relació entre error relatiu i el nombre de xifres significatives utilitzades.

La notació científica

Lectura i escriptura de nombres en notació científica.

Maneig de la calculadora per a la notació científica.

Nombres no racionals. Expressió decimal

Reconeixement d’alguns irracionals. Justificació de la irracionalitat de √2, √3,...

Els nombres reals. La recta real

Representació exacta o aproximada de nombres de diferents tipus sobre la recta real.

Intervals i semirectes. Nomenclatura.

Arrel enèsima d’un nombre. Radicals

Propietats.

Expressió d’arrels en forma exponencial, i viceversa.

Utilització de la calculadora per obtenir potències i arrels qualssevol.

Propietats dels radicals. Simplificació. Racionalització de denominadors.

Reconeix nombres racionals i irracionals.

Representa un nombre qualsevol sobre la recta real de manera aproximada.

Maneja adequadament intervals i semirectes.

Interpreta radicals. Càlcul mental.

Utilitza la forma exponencial dels radicals.

Utilitza adequadament la calculadora per operar amb potències i arrels.

Coneix les propietats dels radicals.

Racionalitza denominadors en casos senzills.

Utilitza de forma raonada els nombres aproximats en la seva expressió decimal. Truncaments i arrodoniments. Relaciona l’error comès (absolut o relatiu) amb les xifres significatives utilitzades.

Escriu i interpreta nombres en notació científica. Utilitza la calculadora per operar-hi.


(4ESO - Opc. B) Unitat 2: Polinomis i fraccions al gebraiques


Dominar el maneig de polinomis i les seves operacions.

Dominar el maneig de les fraccions algebraiques i les seves operacions.

Traduir enunciats al llenguatge algebraic.

Realitza sumes, restes i multiplicacions de polinomis.

Divideix polinomis, i pot utilitzar la regla de Ruffini, si escau.

Resol problemes utilitzant el teorema del residu.

Factoritza un polinomi amb unes quantes arrels enteres.

Simplifica fraccions algebraiques.

Opera amb fraccions algebraiques.

Expressa algebraicament un enunciat que doni lloc a un polinomi o a una fracció algebraica.




Entén enunciats per resoldre exercicis.


2. Matemàtica

Opera amb polinomis sense dificultat, i explica amb claredat els nous processos apresos.

Entén, quant a divisibilitat, la similitud entre polinomis i nombres enters.

Opera amb fraccions algebraiques sense dificultat.

Domina l’ús del llenguatge algebraic per modelitzar situacions matemàtiques.


Utilitza el llenguatge algebraic per modelitzar situacions del món físic.


Utilitza Internet per reforçar l’aprenentatge i avançar-hi.

Maneja la calculadora per treballar amb polinomis.




Reconeix la importància d’altres cultures en el desenvolupament del llenguatge algebraic.

Descobreix el component lúdic de les matemàtiques.


Utilitza els seus coneixements de geometria per entendre millor certes relacions algebraiques.


Valora l’aprenentatge de raonaments matemàtics com a font de coneixements futurs. Autoavalua els seus coneixements.


Decideix, davant un problema plantejat, quin dels procediment apresos és el més vàlid.

Utilitza els coneixements matemàtics per resoldre els problemes plantejats.


(4ESO – Opc B) Unitat 2: Polinomis i fraccions algebraiques (continuació)


Polinomis

Terminologia bàsica per a l’estudi de polinomis.

Operacions amb monomis i polinomis

Suma, resta i multiplicació.

Divisió de polinomis. Divisió entera i divisió exacta.

Tècnica per dividir polinomis.

Regla de Ruffini.

El teorema del residu i les seves aplicacions.

Factorització de polinomis

Factorització de polinomis. Arrels.

Aplicació reiterada de la regla de Ruffini per factoritzar un polinomi localitzant les arrels enteres entre els divisors del terme independent.

Divisibilitat de polinomis

Divisibilitat de polinomis. Polinomis irreductibles, descomposició factorial, màxim comú divisor i mínim comú múltiple.

Màxim comú divisor i mínim comú múltiple de polinomis.

FRACCIONS ALGEBRAIQUES

Fraccions algebraiques. Simplificació. Fraccions equivalents.

Obtenció de fraccions algebraiques equivalents a altres de donades amb el mateix denominador, per reducció a comú denominador.

Operacions (suma, resta, multiplicació i divisió) de fraccions algebraiques.

Domina la nomenclatura bàsica de l’àlgebra.

Maneja adequadament les igualtats notables. Reconeix expressions que hi donen lloc.

Opera amb polinomis. Quocient de polinomis.

Utilitza la regla de Ruffini per efectuar una divisió, i n’obté quocient i residu, i per trobar el valor d’un polinomi quan x = a.

Expressa un quocient en les formes D = d·c + r i D/d = c + c/d.

Factoritza polinomis utilitzant la regla de Ruffini, identifica igualtats notables i resol equacions per obtenir algunes arrels o per constatar que no n’hi ha.

Reconeix polinomis irreductibles, i la relació de divisibilitat entre dos polinomis.

Opera amb fraccions algebraiques senzilles.

Tradueix un enunciat al llenguatge algebraic.


(4ESO - Opc. B) Unitat 3: Equacions, inequacions i sistemes


Resoldre amb destresa equacions de diferents tipus i aplicar-les a la resolució de problemes.

Resoldre amb destresa sistemes d’equacions i aplicar-los a la resolució de problemes.

Interpretar i resoldre inequacions i sistemes d’inequacions.

Resol equacions de segon grau i biquadrades.

Resol equacions amb radicals i equacions amb la incògnita en el denominador.

Reconeix la factorització com a recurs per resoldre equacions.

Formula i resol problemes mitjançant equacions.

Resol sistemes d’equacions lineals.

Resol sistemes d’equacions no lineals.

Formula i resol problemes mitjançant sistemes d’equacions.

Resol i interpreta gràficament inequacions i sistemes d’inequacions lineals amb una incògnita.

Resol i interpreta inequacions no lineals amb una incògnita.

Formula i resol problemes mitjançant inequacions o sistemes d’inequacions.




Entén els enunciats dels problemes.


2. Matemàtica

Classifica i troba les solucions de diferents tipus d’equacions.

Resol, sense dificultat, sistemes d’equacions no lineals.

Resol, sense dificultat, sistemes d’inequacions.

Domina els diferents mètodes de resolució de sistemes d’equacions i inequacions.


Aplica els coneixements sobre sistemes d’equacions i inequacions per resoldre problemes quotidians.






Reconeix la importància d’altres cultures en el desenvolupament del llenguatge algebraic.


Utilitza els seus coneixements per resoldre els problemes plantejats.

És conscient de la utilitat dels seus coneixements per resoldre equacions.

Valora l’aprenentatge de raonaments matemàtics com a font de coneixements futurs. Autoavalua els coneixements adquirits sobre llenguatge algebraic.


Tria, davant un sistema d’equacions donat, el millor mètode de resolució.

Utilitza els coneixements matemàtics per resoldre els problemes plantejats.


(4ESO – Opc B) Unitat 3: Equacions, inequacions i sistemes (continuació)


Equacions

Equacions de segon grau completes i incompletes. Resolució.

Equacions biquadrades. Resolució.

Equacions amb la x en el denominador. Resolució.

Equacions amb radicals. Resolució.

Sistemes d’equacions

Resolució de sistemes d’equacions amb els mètodes de substitució, igualació i reducció.

Sistemes de primer grau.

Sistemes de segon grau.

Sistemes amb radicals.

Sistemes amb variables en el denominador.

Inequacions

Inequacions amb una incògnita.

Resolució algebraica i gràfica. Interpretació de les solucions d’una inequació.

Sistemes d’inequacions.

Resolució de sistemes d’inequacions.

Representació de les solucions d’inequacions per mitjà d’intervals.


Resolució de problemes per procediments algebraics.

Identifica els tipus d’equacions de segon grau, les resol i les discuteix.

Reconeix i resol altres tipus d’equacions: biquadrades, amb la incògnita en el denominador, amb radicals...

Resol sistemes d’equacions lineals.

Resol sistemes d’equacions de diferents tipus.

Resol gràficament i algebraicament inequacions amb una incògnita.

Resol sistemes d’inequacions amb una incògnita.

Aplica les equacions, les inequacions i els sistemes a problemes amb enunciats.


(4ESO - Opc. B) Unitat 4: Funcions. Característiqu es


Dominar el concepte de funció, conèixer-ne les característiques més rellevants i les diferents formes d’expressar les funcions.

Donada una funció representada pel gràfic, n’estudia les característiques més rellevants (domini de definició, recorregut, creixement i decreixement, màxims i mínims, continuïtat...).

Representa una funció de la qual es donen algunes característiques especialment rellevants.

Associa un enunciat amb un gràfic.

Representa una funció donada per l’expressió analítica i n’obté, prèviament, una taula de valors.

Troba la TVM en un interval d’una funció donada gràficament, o bé mitjançant l’expressió analítica.

Respon preguntes concretes relacionades amb la continuïtat, la tendència, la periodicitat, el creixement... d’una funció.



Utilitza els termes apropiats en treballar en l’anàlisi de funcions.

Entén un text a fi de poder resumir-ne la informació mitjançant una funció i el seu gràfic.

2. Matemàtica

Coneix els elements que intervenen en l’estudi de les funcions i la seva representació gràfica.

Interpreta funcions donades en forma de taula o en la seva expressió analítica.

Domina tots els elements que intervenen en l’estudi de les funcions i la seva representació gràfica (domini, continuïtat, creixement…).


Extreu tota la informació present en una funció.

Aplica els seus coneixements de funcions per entendre i resoldre problemes quotidians.

Reconeix la presència de les funcions en el seu món quotidià.


Utilitza Internet per reforçar, ampliar i avançar en els seus coneixements.



Analitza fenòmens de la vida real mitjançant la seva representació gràfica.

Domina les representacions gràfiques per entendre informacions donades d’aquesta manera.




Utilitza els seus coneixements per resoldre problemes.

És conscient de la utilitat dels seus coneixements per treballar amb funcions.


Utilitza la lògica i els seus coneixements matemàtics per analitzar gràfics de fenòmens de la vida real.

Analitza fenòmens físics mitjançant la seva representació gràfica.

Resol un problema donat creant una funció que el descrigui.


(4ESO – Opc B) Unitat 4: Funcions. Característiques (continuació)


Concepte de funció

Diferents formes de presentar una funció: representació gràfica, taula de valors i expressió analítica o fórmula.

Relació d’expressions gràfiques i analítiques de funcions.

Domini de definició

Domini de definició d’una funció. Restriccions al domini d’una funció.

Càlcul del domini de definició de diverses funcions.

Discontinuïtat i continuïtat

Discontinuïtat i continuïtat d’una funció. Raons per les quals una funció pot ser discontínua.

Construcció de discontinuïtats.

Creixement

Creixement, decreixement, màxims i mínims.

Reconeixement de màxims i mínims.

Taxa de variació mitjana

Taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.

Obtenció sobre la representació gràfica i a partir de l’expressió analítica.

Significat de la TVM en una funció espai-temps.

Tendències i periodicitat

Reconeixement de tendències i periodicitats.

Interpreta funcions donades mitjançant gràfics.

Interpreta funcions donades mitjançant taules de valors.

Representa gràficament una funció donada per un enunciat.

Reconeix les característiques més importants en la descripció d’un gràfic.

Obté el domini de definició d’una funció donada gràficament o mitjançant una expressió analítica senzilla.

Reconeix la continuïtat d’una funció.

Descriu els intervals de creixement d’una funció.

Estudia la tendència i la periodicitat d’una funció.

Calcula la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.


(4ESO - Opc. B) Unitat 5: Funcions elementals


Manejar amb destresa les funcions lineals.

Conèixer i manejar amb desimboltura les funcions quadràtiques.

Conèixer altres tipus de funcions, associant-ne el gràfic amb l’expressió analítica.

Conèixer la definició de logaritme i relacionar-la amb les potències i les seves propietats.

Representa una funció lineal a partir de l’expressió analítica.

Obté l’expressió analítica d’una funció lineal coneixent-ne el gràfic o alguna de les característiques.

Representa funcions definides a trossos.

Dóna l’expressió analítica d’una funció definida a trossos donada gràficament.

Representa una paràbola a partir de l’equació quadràtica corresponent.

Associa corbes de funcions quadràtiques a les seves expressions analítiques.

Escriu l’equació d’una paràbola coneixent-ne la representació gràfica en casos senzills.

Estudia conjuntament les funcions lineals i les quadràtiques (funcions definides a trossos, intersecció de rectes i paràboles).

Associa corbes a expressions analítiques (proporcionalitat inversa, radicals, exponencials i logaritmes).

Maneja amb desimboltura les funcions de proporcionalitat inversa i les radicals.

Maneja amb desimboltura les funcions exponencials i les logarítmiques.

Resol problemes d’enunciat relacionats amb diferents tipus de funcions.

Calcula logaritmes a partir de la definició i de les propietats de les potències.



Entén els enunciats dels exercicis. Expressa procediments matemàtics d’una forma clara i concisa.

2. Matemàtica

Comprèn què implica la linealitat d’una funció entenent-la com una modelització de la realitat.

Domina els diferents tipus de funcions estudiats en la unitat (quadràtiques, de proporcionalitat inversa, radicals, exponencials i logarítmiques), els gràfics corresponents i les situacions que modelitzen.


Aplica els coneixements de funcions per entendre i resoldre problemes quotidians.


Maneja la calculadora amb desimboltura per comprovar dades.

Utilitza Internet per posar al dia els seus coneixements.


Reconeix la utilitat de les funcions per modelitzar i estudiar fenòmens de la vida quotidiana (naturals, econòmics…).






Utilitza els seus coneixements per assimilar i reforçar continguts nous.


Utilitza els coneixements matemàtics per resoldre problemes.

Tria el procediment més adequat per resoldre els exercicis plantejats.

Resol problemes seleccionant les funcions adequades.


(4ESO – Opc B) Unitat 5: Funcions elementals (continuació)


Funció lineal

Funció lineal. Pendent d’una recta.

Tipus de funcions lineals. Funció de proporcionalitat i funció constant.

Obtenció d’informació a partir de dues o més funcions lineals referides a fenòmens relacionats entre si.

Expressió de l’equació d’una recta coneguts un punt i el pendent.

Funcions definides a trossos

Funcions definides mitjançant trossos de rectes. Representació.

Obtenció de l’equació corresponent a un gràfic format per trossos de rectes.

Funcions quadràtiques

Representació de funcions quadràtiques. Obtenció de l’abscissa del vèrtex i d’alguns punts pròxims al vèrtex. Mètodes senzills per representar paràboles.

Estudi conjunt de rectes i paràboles.

Interpretació dels punts de tall entre una funció lineal i una de quadràtica.

Funcions radicals

Funcions de proporcionalitat inversa

La hipèrbola.

Funcions exponencials

Funcions logarítmiques

Obtenció de funcions logarítmiques a partir de funcions exponencials.

Noció de logaritme

Càlcul de logaritmes a partir de la seva definició.

Associa el creixement o el decreixement d’una recta amb el signe del seu pendent.

Representa qualsevol funció lineal i obté l’expressió analítica de qualsevol recta.

Representa una funció donada mitjançant trams de funcions lineals.

Assigna una equació a una funció donada per trossos de rectes.

La funció quadràtica. Relaciona la forma de la corba i el coeficient de x2. Hi situa el vèrtex.

Representa una funció quadràtica qualsevol.

Troba la intersecció de rectes i paràboles.

Representa funcions definides a trossos, amb participació de rectes i paràboles.

Representa funcions de la família y = 1/x.

Representa funcions radicals.

Representa funcions exponencials i logarítmiques.

Associa funcions elementals als gràfics corresponents.

Entén la noció de logaritme d’un nombre. Obté un logaritme a partir de la definició o amb l’ajuda de la calculadora.


(4ESO - Opc. B) Unitat 6: La semblança i les seves aplicacions


Conèixer els conceptes bàsics de la semblança i aplicar-los a la resolució de problemes.

Maneja els plans, els mapes i les maquetes (inclosa la relació entre àrees i volums de figures semblants).

Aplica les propietats de la semblança en resoldre problemes en què intervinguin cossos geomètrics.

Aplica els teoremes del catet i de l’altura en resoldre problemes.



Comprèn els enunciats dels problemes i n’extreu la informació necessària per resoldre’ls.


2. Matemàtica

Reconeix figures semblants i les relacions que s’hi estableixen.

Domina la semblança de triangles i la utilitza per resoldre problemes.

Comprèn la semblança de triangles en l’espai i la utilitza per resoldre problemes.

Entén l’homotècia com a procediment per construir figures semblants.


Reconeix semblances en el seu entorn.

Reconeix l’ajuda de la semblança de triangles en l’espai per moure’s en el món físic.

Reconeix la utilitat de les semblances per resoldre problemes de la vida quotidiana.


Utilitza Internet per posar al dia els seus coneixements i avançar en l’aprenentatge.


Pren consciència de la utilitat de la geometria en multitud de tasques humanes.


Valora l’aportació d’altres cultures al desenvolupament de la geometria.


Valora allò que ha après com a ajuda per adquirir coneixements futurs.



Autoavalua els seus coneixements sobre semblança.




(4ESO – Opc B) Unitat 6: La semblança i les seves aplicacions (continuació)


Figures semblants

Similitud de formes. Raó de semblança.

La semblança en ampliacions i reduccions. Escales. Càlcul de distàncies en plans i mapes.

Propietats de les figures semblants: igualtat d’angles i proporcionalitat de segments.

Rectangles de proporcions interessants

Fulls de paper A4.

Rectangles auris.

Semblança de triangles

Relació de semblança. Relacions de proporcionalitat en els triangles. Teorema de Tales.

Triangles en posició de Tales.

Criteris de semblança de triangles.

Semblança de triangles rectangles

Criteris de semblança.

Aplicacions de la semblança

Teoremes del catet i de l’altura.

Problemes de càlcul d’altures, distàncies, etc.

Mesurament d’altures d’edificis fent servir l’ombra.

Relació entre les àrees i els volums de dues figures semblants.

Figures homotètiques

Homotècia i semblança.

Reconeix figures semblants i extreu conseqüències d’aquesta semblança.

Obté la raó de semblança entre dues figures.

A partir d’un pla, un mapa o una maqueta, amb la seva escala, obté mesures reals.

Justifica la semblança de dos triangles aplicant-hi un criteri.

Aplica la semblança de triangles per calcular longituds, àrees o volums.

Aplica els teoremes del catet i de l’altura.


(4ESO - Opc. B) Unitat 7: Trigonometria


Manejar amb desimboltura les raons trigonomètriques i les relacions que s’hi estableixen.

Resoldre triangles.

Obté les raons trigonomètriques d’un angle agut d’un triangle rectangle, coneixent ne els costats.

Coneix les raons trigonomètriques (sinus, cosinus i tangent) dels angles més significatius (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).

Obté una raó trigonomètrica d’un angle agut a partir d’una altra, aplicant-hi les relacions fonamentals.

Obté una raó trigonomètrica d’un angle qualsevol coneixent-ne una altra i una dada addicional.

Obté les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol dibuixant-lo en la circumferència goniomètrica i relacionant-lo amb algun del primer quadrant.

Resol triangles rectangles.

Resol triangles obliquangles mitjançant l’estratègia de l’altura.


Aprèn els nous termes referents a la trigonometria.

Utilitza correctament els termes trigonomètrics apresos.

Extreu la informació trigonomètrica implícita en els enunciats dels problemes.

2. Matemàtica

Raona els passos que condueixen a establir les relacions trigonomètriques fonamentals.

Calcula les raons trigonomètriques d’un angle i utilitza les relacions trigonomètriques fonamentals, quan és necessari.

Resol amb desimboltura tot tipus de triangles.

Utilitza correctament la trigonometria per resoldre problemes geomètrics.


Reconeix la utilitat de la trigonometria per resoldre problemes en diversos àmbits.

És conscient de la contribució de la geometria al desenvolupament d’altres ciències.

Reconeix l’ajuda de la trigonometria per entendre fenòmens naturals, com els eclipsis.


Utilitza amb agilitat la calculadora per obtenir raons o angles.

Utilitza Internet per avançar en l’aprenentatge.


Utilitza la trigonometria per resoldre problemes de la vida quotidiana.


Valora l’aportació d’altres cultures al desenvolupament de la trigonometria.


Utilitza la semblança i el teorema de Pitàgores per comprovar i entendre certes relacions.

S’interessa en ampliar els seus coneixements en la matèria.


Autoavalua els coneixements adquirits.




(4ESO – Opc B) Unitat 7: Trigonometria (continuació)


Raons trigonomètriques

Raons trigonomètriques d’un angle agut: sinus, cosinus i tangent.

Càlcul gràfic de les raons trigonomètriques d’un angle agut en un triangle rectangle.

Raons trigonomètriques d’angles qualssevol. Circumferència goniomètrica.

Relacions

Relació entre les raons trigonomètriques del mateix angle (relacions fonamentals).

Raons trigonomètriques dels angles més freqüents (30°, 45° i 60°).

Aplicació de les relacions fonamentals per calcular, a partir d’una de les raons trigonomètriques d’un angle, les dues restants.

Calculadora

Obtenció de les raons trigonomètriques d’un angle amb algoritmes o amb una calculadora científica.

Ús de les tecles trigonomètriques de la calculadora científica per calcular les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol, per conèixer l’angle a partir d’una de les raons trigonomètriques o per obtenir una raó trigonomètrica coneixent-ne ja una altra.

Resolució de triangles rectangles

Diferents casos de resolució de triangles rectangles.

Càlcul de distàncies i angles.

Estratègia de l’altura

Estratègia de l’altura per resoldre triangles no rectangles.

Defineix les raons trigonomètriques d’un angle. Les obté gràficament (mesurant els segments sobre un triangle rectangle) i sobre el quadrant goniomètric.

Aplica les relacions fonamentals per obtenir una raó trigonomètrica coneguda una altra.

Obté les raons trigonomètriques de 30°, 45° i 60°.

Domina el maneig de la calculadora per obtenir raons trigonomètriques d’un angle, i viceversa.

Resol triangles rectangles.


(4ESO - Opc. B) Unitat 8: Geometria analítica


Utilitzar els vectors per resoldre problemes de geometria analítica.

Manejar amb desimboltura les diferents formes de l’equació d’una recta i resoldre amb aquestes problemes d’intersecció, paral·lelisme i perpendicularitat.

Troba el punt mitjà d’un segment.

Troba el simètric d’un punt respecte d’un altre.

Troba la distància entre dos punts.

Relaciona una circumferència (centre i radi) amb la seva equació.

Obté la intersecció de dues rectes definides en algunes de les seves múltiples formes.

Resol problemes de paral·lelisme i perpendicularitat.



Entén i utilitza amb propietat els nous termes referents a la geometria analítica.



2. Matemàtica

Opera gràficament i analíticament amb vectors sense dificultat.

Troba l’equació d’una recta i domina els conceptes de paral·lelisme i perpendicularitat.

Entén i troba les possibles posicions de dues rectes.

Entén la definició de la circumferència com a lloc geomètric.

Utilitza els conceptes, els procediments i la terminologia de la geometria analítica amb propietat.


Reconeix la utilitat de les matemàtiques per modelitzar i estudiar fenòmens de la vida quotidiana i com a eina per treballar en altres camps.


Utilitza Internet per ampliar els coneixements.



Reconeix la importància d’altres cultures en el desenvolupament de l’estudi de la geometria.




Autoavalua els coneixements adquirits sobre geometria analítica.



S’adapta a usar diferents mètodes per aprendre els continguts geomètrics.


(4ESO – Opc B) Unitat 8: Geometria analítica (continuació)


Vectors en el pla

Operacions.

Vectors que representen punts.

Relacions analítiques entre punts alineats

Punt mitjà d’un segment.

Simètric d’un punt respecte d’un altre.

Alineació de punts.

Equacions de rectes

Equacions de rectes sota un punt de vista geomètric.

Forma general de l’equació d’una recta.

Resolució de problemes d’incidència (pertany un punt a una recta?), intersecció (punt de tall de dues rectes), paral·lelisme i perpendicularitat.

Distància entre dos punts

Càlcul de la distància entre dos punts.

Equació d’una circumferència

Obtenció de l’equació d’una circumferència a partir del centre i el radi.

Identificació del centre i del radi d’una circumferència donada per la seva equació.

Regions en el pla

Identificació de regions planes a partir de sistemes d’inequacions.

Maneja gràficament els vectors plans i les seves operacions (producte per un nombre, suma i diferència).

Maneja analíticament (mitjançant coordenades) els vectors i les seves operacions.

Troba el punt mitjà d’un segment.

Troba el simètric d’un punt respecte d’un altre.

Comprova si tres punts estan alineats.

Estableix les condicions de paral·lelisme i perpendicularitat de rectes. Aplicacions.

Obté el punt d’intersecció de dues rectes.

Troba les equacions de rectes paral·leles als eixos de coordenades.

Calcula la distància entre dos punts.

Coneix i maneja amb desimboltura l’equació d’una circumferència.


(4ESO - Opc. B) Unitat 9: Estadística


Resumir en una taula de freqüències una sèrie de dades estadístiques i fer-ne un gràfic adequat per visualitzar-la.

Conèixer els paràmetres estadístics ẋ i σ, calcular-los a partir d’una taula de freqüències i interpretar-ne el significat.

Conèixer i utilitzar les mesures de posició.

Conèixer el paper del mostratge i distingir-ne alguns dels passos.

Construeix una taula de freqüències de dades aïllades i les representa amb un diagrama de barres.

Donat un conjunt de dades i el suggeriment que les agrupi en intervals, determina una possible partició del recorregut, en construeix la taula i representa gràficament la distribució.

Donat un conjunt de dades, reconeix la necessitat d’agrupar-les en intervals i, en conseqüència, determina una possible partició del recorregut, en construeix la taula i representa gràficament la distribució.

Obté els valors de ẋ i σ, a partir d’una taula de freqüències (de dades aïllades o agrupades) i els utilitza per analitzar característiques de la distribució.

Coneix el coeficient de variació i se’n val per comparar les dispersions de dues distribucions.

A partir d’una taula de freqüències de dades aïllades, construeix la taula de freqüències acumulades i, amb aquesta, obté mesures de posició (mitjana, quartils, centils).

Construeix el diagrama de caixa i bigots corresponent a una distribució estadística.

Interpreta un diagrama de caixa i bigots dins un context.

Reconeix processos de mostratge correctes i identifica errors en altres, si n’hi ha.



Utilitza la terminologia estadística amb propietat.



2. Matemàtica

Coneix els paràmetres estadístics i els calcula.

Interpreta i representa diagrames de caixa.

És conscient de la importància en l’elecció d’una mostra.

Analitza i treu conclusions d’un conjunt de dades referents a una variable estadística.


Valora l’estadística com a mitjà per descriure i analitzar multitud de processos del món físic.


Utilitza Internet per revisar, reforçar i ampliar els seus coneixements.

Mostra interès per utilitzar eines informàtiques que permeten treballar amb dades estadístiques.


Domina els conceptes de l’estadística com a mitjà per analitzar críticament la informació que rebem.


Reconeix la importància d’altres cultures en el desenvolupament de l’estudi de l’estadística.






Valora els coneixements estadístics adquirits com a mitjà per interpretar la realitat.


(4ESO – Opc B) Unitat 9: Estadística (continuació)


Estadística. Nocions generals

Individu, població, mostra, caràcters, variables (qualitatives, quantitatives, discretes, contínues).

Estadística descriptiva i estadística inferencial.

Gràfics estadístics

Identificació i elaboració de gràfics estadístics.

Taules de freqüències

Elaboració de taules de freqüències.

Amb dades aïllades.

Amb dades agrupades sabent triar els intervals.

PARÀMETRES ESTADÍSTICS

Mitjana, desviació típica i coeficient de variació.

Càlcul de ẋ i σ, i coeficient de variació per a una distribució donada per una taula (en el cas de dades agrupades, a partir de les marques de classe), amb ajuda de la calculadora amb tractament SD i sense.

Mesures de posició: mitjana, quartils i centils.

Obtenció de les mesures de posició en taules amb dades aïllades.

Diagrames de caixa

Representació gràfica d’una distribució a partir de les seves mesures de posició: diagrama de caixa i bigots.

Nocions d’estadística inferencial

Mostra: aleatorietat, grandària.

Tipus de conclusions que s’obtenen a partir d’una mostra.

Comprèn conceptes bàsics d’estadística: població i mostra, variables estadístiques, estadística descriptiva i inferencial.

Sap fer i interpretar gràfics estadístics: diagrama de barres i histograma (gràfic adequat a cada tipus de variable).

Elabora i interpreta taules de freqüències per a dades aïllades i per a dades agrupades en intervals.

Troba paràmetres estadístics: mitjana, variància, desviació típica i coeficient de variació.

Obté mesures de posició per a dades aïllades i elabora diagrames de caixa.

Usa la calculadora per introduir dades i per obtenir el valor dels paràmetres estadístics.


(4ESO - Opc. B) Unitat 10: Càlcul de probabilitats


Conèixer les característiques bàsiques dels successos i de les regles per assignar probabilitats.

Resoldre problemes de probabilitat composta, utilitzant el diagrama en arbre quan convingui.

Aplica les propietats dels successos i de les probabilitats.

Calcula probabilitats en experiències independents.

Calcula probabilitats en experiències dependents.

Interpreta taules de contingència i les utilitza per calcular probabilitats.

Resol altres problemes de probabilitat.



Utilitza amb propietat la terminologia referent a la probabilitat.



2. Matemàtica

Coneix les tècniques bàsiques de la probabilitat i les utilitza per resoldre problemes.

Domina les relacions i les operacions amb successos.

Analitza i treu conclusions d’un conjunt de dades referents a dues o més variables.


Utilitza les tècniques de la probabilitat per descriure fenòmens del món físic.

Valora la probabilitat com a mitjà per descriure i analitzar diferents situacions del món físic.


Mostra interès per utilitzar eines informàtiques que permeten treballar amb taules de contingència.



Domina els conceptes de la probabilitat com a mitjà per analitzar críticament la informació que rebem.


Valora les aportacions de cultures passades al desenvolupament de la probabilitat.


És conscient del desenvolupament del seu aprenentatge sobre procediments matemàtics.


Valora el seu aprenentatge com a font de coneixements futurs.

Autoavalua els seus coneixements sobre probabilitat.


Aprèn procediments matemàtics que es poden adaptar a diferents problemes.



(4ESO – Opc B) Unitat 10: Càlcul de probabilitats (continuació)


Successos aleatoris

Relacions i operacions amb successos.

Probabilitats

Probabilitat d’un succés.

Propietats de les probabilitats.

Experiències aleatòries

Experiències irregulars.

Experiències regulars.

Llei de Laplace.

Experiències compostes

Extraccions amb reemplaçament i sense.

Composició d’experiències independents. Càlcul de probabilitats.

Composició d’experiències dependents. Càlcul de probabilitats.

Taules de contingència

Reconeix que els fenòmens d’atzar estan sotmesos a regularitats i lleis.

Assigna probabilitat a successos elementals d’experiències regulars i irregulars.

Coneix i interpreta la llei dels grans nombres.

Distingeix successos segurs, probable i improbables. Distingeix entre successos equiprobables i d’altres que no ho són.

Aplica la llei de Laplace amb eficàcia.

Reconeix l’espai mostral d’una experiència aleatòria.

Coneix la diferència entre successos elementals i altres successos.

Calcula probabilitats en experiències compostes senzilles utilitzant un diagrama en arbre.


(4ESO - Opc. B) Unitat 11: Combinatòria


Conèixer els agrupaments combinatoris clàssics (variacions, permutacions, combinacions) i les fórmules per calcular-ne el nombre, i aplicar-los a la resolució de problemes combinatoris.

Utilitzar estratègies de recompte no necessàriament relacionades amb els agrupaments clàssics.

Aplicar la combinatòria al càlcul de probabilitats.

Resol problemes de variacions (amb repetició o sense).

Resol problemes de permutacions.

Resol problemes de combinacions.

Resol problemes de combinatòria en els quals, a més d’aplicar una fórmula, ha de realitzar algun raonament addicional.

Resol problemes en què convé utilitzar un diagrama en arbre.

Resol problemes en què convé utilitzar l’estratègia del producte.

Resol altres tipus de problemes de combinatòria.

Aplica la combinatòria per resoldre problemes de probabilitats senzills.

Aplica la combinatòria per resoldre problemes de probabilitat més complexos.



Utilitza amb propietat els nous termes referents a la combinatòria.



2. Matemàtica

Soluciona problemes utilitzant correctament diagrames en arbre.

Generalitza l’estratègia del producte partint de casos senzills.

Utilitza la combinatòria com a eina per resoldre problemes de probabilitat.

Domina les tècniques de la combinatòria com a mitjà per resoldre problemes.


Utilitza les tècniques de la combinatòria per descriure fenòmens del món físic.

Utilitza els diagrames en arbre per descriure situacions del món quotidià.

Valora la combinatòria com a mitjà per descriure i analitzar diferents situacions del món físic.




Domina els conceptes de la combinatòria com a mitjà per analitzar la informació críticament.


Valora les aportacions de cultures passades al desenvolupament de la combinatòria.


És conscient del desenvolupament del seu aprenentatge de procediments matemàtics.



Autoavalua els seus coneixements.


Aprèn procediments matemàtics que es poden adaptar a diferents problemes.



(4ESO – Opc B) Unitat 11: Combinatòria (continuació)


La combinatòria

Situacions de combinatòria.

Estratègies per enfocar i resoldre problemes de combinatòria.

Generalització per obtenir el nombre total de possibilitats en les situacions de combinatòria.

El diagrama en arbre

Diagrames en arbre per calcular les possibilitats combinatòries de diferents situacions problemàtiques.

Variacions amb repetició i sense

Variacions amb repetició. Identificació i fórmula.

Variacions ordinàries. Identificació i fórmula.

Permutacions

Permutacions ordinàries com a variacions de n elements presos de n en n.

Combinacions

Identificació de situacions problemàtiques que es poden resoldre per mitjà de combinacions. Fórmula.

Resolució de problemes combinatoris

Resolució de problemes combinatoris per qualsevol dels mètodes descrits o altres propis de l’estudiant.

Aplicació de la combinatòria al càlcul de probabilitats.

Aplica estratègies basades en el producte per resoldre problemes de combinatòria.

Elabora diagrames en arbre per resoldre problemes de probabilitat.

Resol problemes de variacions (amb repetició o sense), de permutacions i de combinacions.

Resol problemes combinatoris que no s’ajusten a models clàssics mitjançant diagrames en arbre o un altre mètode.

Resol problemes combinatoris que s’ajusten als models clàssics.


CAPÍTOL IV. BATXILLERAT

1. Contribució de les matemàtiques als objectius ge nerals del batxillerat

Els objectius generals són les capacitats que, per mitjà de les matèries comunes, de modalitat i optatives, hauran d’aconseguir els alumnes i les alumnes de Batxillerat. Són, per tant, interdisciplinaris i d’àmbits educatius plurals: cognoscitius, afectius i psicosocials. Els cognoscitius hauran d’aconseguir-se mitjançant l’ensenyament i l’aprenentatge de la matèria impartida pel professor de cada matèria; els altres, mitjançant la contribució unànime del professorat.

D’entre els objectius generals del batxillerat, les matemàtiques contribueixen de forma especial a desenvolupar les capacitats que permeten a l’alumnat:

- Consolidar una maduresa personal i social que els permeti actuar de forma responsable i autònoma i desenvolupar-ne l’esperit crític. Preveure i resoldre pacíficament els conflictes personals, familiars i socials.

- Refermar els hàbits de lectura, estudi i disciplina, com a condicions necessàries per a l’eficaç aprofitament de l’aprenentatge, i com a mitjà de desenvolupament personal.

- Utilitzar amb solvència i responsabilitat les tecnologies de la informació i la comunicació.

- Accedir als coneixements científics i tecnològics fonamentals i dominar les habilitats bàsiques pròpies de la modalitat triada.

- Comprendre els elements i procediments fonamentals de la investigació i dels mètodes científics. Conèixer i valorar de forma crítica la contribució de la ciència i la tecnologia en el canvi de les condicions de vida, així com refermar la sensibilitat i el respecte cap al medi ambient.

- Refermar l’esperit emprenedor amb actituds de creativitat, flexibilitat, iniciativa, treball en equip, confiança en si mateix i sentit crític.

2. Objectius generals de les matemàtiques en el BCT

L’ensenyament de les matemàtiques en el batxillerat de científic i tecnològic té com a finalitat el desenvolupament de les capacitats següents:

1. Comprendre i aplicar els conceptes i procediments matemàtics a situacions diverses que permetin avançar en l’estudi de les matemàtiques i d’altres ciències, així com en la resolució raonada de problemes procedents d’activitats quotidianes i de diferents àmbits del saber..

2. Considerar les argumentacions raonades i l’existència de demostracions rigoroses sobre les quals se sustenta l’avanç de la ciència i la tecnologia, mostrant una actitud flexible, oberta i crítica davant altres judicis i raonaments.

3. Utilitzar les estratègies característiques de la investigació científica i les destreses pròpies de les matemàtiques (plantejament de problemes, planificació i assaig, experimentació, aplicació de la inducció i deducció, formulació i acceptació o rebuig de les conjectures i comprovació dels resultats obtinguts) per realitzar investigacions i en general explorar noves situacions i nous fenòmens.

4. Apreciar el desenvolupament de les matemàtiques com un procés canviant i dinàmic, amb abundants connexions internes íntimament relacionat amb el d’altres àrees del saber.

5. Emprar els recursos aportats per les tecnologies actuals per obtenir i processar informació, facilitar la comprensió de fenòmens dinàmics, estalviar temps en els càlculs i servir com a eina en la resolució de problemes.

6. Aplicar els coneixements matemàtics de manera creativa, és a dir, no mimètica ni repetitiva, a fi que siguin útils per afrontar situacions noves i no tan sols aquelles que són pràcticament idèntiques a les que ja s’han treballat amb anterioritat.


7. Utilitzar el discurs racional per plantejar acertadament els problemes, justificar procediments, encadenar coherentment els arguments, comunicar-se amb eficàcia i precisió, detectar incorreccions lògiques i qüestionar afirmacions sense rigor científic.

8. Mostrar actituds associades al treball científic i a la investigació matemàtica, com la visió crítica, la necessitat de verificació, la valoració de la precisió, l’interès pel treball cooperatiu i els diferents tipus de raonament, el qüestionament de les apreciacions intuïtives i l’obertura a noves idees.

9. Expressar-se verbalment i per escrit en situacions susceptibles de ser tractades matemàticament, comprenent i fent servir termes, notacions i representacions matemàtiques.

3. Objectius generals de les matemàtiques en el BHC S

L’ensenyament de les matemàtiques aplicades a les ciències socials en el batxillerat té com a finalitat el desenvolupament de les capacitats següents:

1. Aplicar a situacions diverses els continguts matemàtics per analitzar, interpretar i valorar fenòmens socials, per tal de comprendre els reptes que planteja la societat actual.

2. Adoptar actituds pròpies de l’activitat matemàtica com la visió analítica o la necessitat de verificació. Assumir la precisió com un criteri subordinat al context, les apreciacions intuïtives com un argument a contrastar i l’obertura a noves idees com un repte.

3. Elaborar judicis i formar criteris propis sobre fenòmens socials i econòmics, utilitzant tractaments matemàtics. Expressar i interpretar dades i missatges, argumentant amb precisió i rigor, acceptant discrepàncies i punts de vista diferents com un factor d’enriquiment.

4. Formular hipòtesis, dissenyar, utilitzar i contrastar estratègies diverses per a la resolució de problemes que permetin enfrontar-se a situacions noves amb autonomia, eficàcia, autoconfiança i creativitat.

5. Utilitzar un discurs racional com a mètode per abordar els problemes: justificar procediments, encadenar una línia argumental correcta, aportar rigor als raonaments i detectar inconsistències lògiques.

6. Fer ús de recursos variats, inclosos els informàtics, en la recerca selectiva i el tractament de la informació gràfica, estadística i algebraica en les seves categories financera, humanística o d’altres, i interpretar amb correcció i profunditat els resultats obtinguts d’aquest tractament.

7. Adquirir i emprar amb fluïdesa un vocabulari específic de termes i notacions matemàtiques. Incorporar amb naturalitat el llenguatge tècnic i gràfic a situacions susceptibles de ser tractades matemàticament.

8. Utilitzar el coneixement matemàtic per interpretar i comprendre la realitat, establir relacions entre les matemàtiques i l’entorn social, cultural o econòmic i valorar el seu lloc, actual i històric, com a part de la nostra cultura.

4. Criteris de qualificació i promoció

Qualificació de cada avaluació

La qualificació dels alumnes en cada període d’avaluació contemplarà tres aspectes:

a) Les proves escrites : Normalment es farà una prova escrita per tema, que no eliminarà matèria i opcionalment una prova global al final de cada bloc.

b) El treball diari a classe i a casa : Es valorarà el treball diari i l’entrega puntual, correcta i ben presentada dels treballs encomanats, tant individuals com en grup.

c) L’actitud general de l’alumne :

- Mantenir una actitud positiva cap a l’assignatura.

- Assistir a classe regular i puntualment, i amb el material i l’equipament necessaris.

- Participar activament en les activitats formatives proposades pel professor.


- Fer l’esforç necessari per comprendre i assimilar els continguts de la matèria.

- Respectar el professor i els seus companys.

- Tenir cura de les instal·lacions i el material del centre.

- Mantenir nets i ordenats els espais comuns del centre i, especialment, la seva aula.

La nota de cada avaluació es calcularà aplicant la següent ponderació:

Recuperació d’avaluacions suspeses i nota final de juny.

Si un l’alumne suspèn una o més avaluacions es podrà presentar en el mes de juny a un examen de recuperació final, en el qual serà avaluat dels temes corresponents a les avaluacions suspeses.

No obstant el punt anterior, el professor, amb la finalitat d’ajudar a l’alumne a assolir els objectius i continguts no superats, podrà proposar-li treballs individuals o proves escrites.

La nota final de l’alumne en la convocatòria de juny dels alumnes que hagin aprovat o recuperat totes les avaluacions del curs serà igual a la mitjana aritmètica de les notes de cada avaluació.

La resta d’alumnes es podran presentar a un examen de recuperació final, en el qual seran avaluats dels temes corresponents a les avaluacions suspeses.

Recuperació de setembre.

Els alumnes que no aprovin l’assignatura en la convocatòria de juny, podran presentar-se a la prova extraordinària de setembre que inclourà la totalitat dels continguts del curs.

Material necessari

L’alumne ha de dur obligatòriament a totes les classes el llibre de text, el quadern de l’assignatura i una calculadora científica, a més del material normal d’escriptura i qualsevol altre material específic que el professor hagi indicat.

Qualsevol calculadora científica serveix. Si qualque alumne ha de comprar-ne una, pot demanar al seu professor consell sobre el tipus de calculadora més adient. En cap cas es permetrà emprar les funcions de calculadora dels telèfons mòbils.

En els exàmens, cada alumne emprarà el seu propi material.

Faltes d’assistència.

L’assistència a classe és obligatòria. Per tant, i com a regla general, només es consideraran com a justificades les faltes per motiu de competició o de malaltia, convenientment justificades davant el professor de l’assignatura, que es qui, en darrera instància, valida o no la justificació presentada.

Quan un alumne hagi de faltar a classe perquè ha de sortir de competició, ho comunicarà de paraula al professor de l’assignatura tan aviat com sigui possible, i sempre abans d’absentar-se. Aquestes faltes tindran el caràcter de justificades sempre que es segueixi el protocol establert per l’institut.

En cas de malaltia, el justificant haurà de ser mostrat per l’alumne quan es reincorpori a classe.

Canvis de data d’exàmens.

Quan un alumne no es pugui presentar a un examen i sempre que l’absència estigui justificada en els termes dels paràgrafs anteriors, serà convocat a examen en una nova data que serà acordada entre l’alumne i el professor. Quan l’absència no sigui justificable, l’examen serà valorat amb un zero.

Pèrdua d’avaluació contínua.

Quan un alumne, per reiteració de faltes no justificades, hagi perdut el seu dret a ser avaluat de forma continuada, serà convocat a un examen global extraordinari en el mes de juny. Si no aprovés en aquesta convocatòria té dret a un nou examen en el mes de setembre. En ambdós

Proves escrites: 90%.

Treball diari i actitud: 10%.


casos, la nota de l’examen, arrodonida a l’enter més pròxim, serà la que constarà a l’acta d’avaluació corresponent. De no presentar-se a algun d’aquests exàmens serà avaluat amb un NP (No presentat) en la convocatòria corresponent. Per a la pèrdua del dret d’avaluació contínua es seguiran les disposicions regulades per l'institut.

Penalització de conductes inadequades.

Quan un alumne copiï en un examen, o en qualsevol altre tasca encomanada pel professor, serà automàticament puntuat amb un zero en aquesta activitat, a més de poder ser sancionat amb una falta, segons especifica el decret de drets i deures dels alumnes.

L’alumne que faciliti la còpia d’un altre company també pot ser sancionat de la mateixa manera.

Ús d’aparells electrònics.

Com a norma general en classe no està permès l’ús d’aparells electrònics, llevat de la calculadora. No obstant, el professor podrà autoritzar, sempre per motius didàctics, l’ús d’altres dispositius.

5. Criteris de recuperació d’assignatura pendent

Els alumnes de 2n de Batxillerat que tenen pendent d’avaluació positiva la matèria de primer hauran de seguir un procés de recuperació, del qual serà responsable el professor de matemàtiques actual de l’alumne i estarà supervisat pel departament de Matemàtiques.

El procés de recuperació es farà de forma diferenciada per blocs de continguts al llarg dels dos primers trimestres del curs. Per a cada bloc, l’alumne haurà de realitzar un treball i un examen. El treball consistirà en la realització d’exercicis i problemes i seran entregats al professor corresponent al començament de l’examen corresponent al bloc. Els exercicis proposats, tant en els treballs com en els exàmens, es correspondran amb els continguts mínims de l’assignatura realment impartits els curs anterior.

Per aprovar la matèria pendent, l’alumne haurà d’obtenir una nota igual o superior a 5 en cada un dels blocs.

La qualificació dels alumnes que segons el paràgraf anterior hagin superat el procés de recuperació serà igual a la nota mitjana de les notes de cada un dels blocs avaluats.

Els alumnes que no aprovessin pel procediment anterior, sempre que hagin realitzat totes les tasques encomanades, podran presentar-se a un examen global de l’assignatura que es realitzarà abans de la finalització del període de classes.

Els alumnes que finalment no aprovin l’assignatura en la convocatòria de juny podran presentar-se en el més de setembre a un nou examen global de la matèria.

Cal recordar que per aprovar les matemàtiques de segon curs, es necessari que prèviament s’hagin aprovat les matemàtiques de primer, de forma que tot el procés d’avaluació corresponent al segon curs està condicionat a què es recuperi la matèria de primer.


6. Matemàtiques I


Temporalització

Bloc Tema Setmanes

1. Aritmètica i Àlgebra 1. Nombres reals

2. Successions

3. Àlgebra

2

1

6

2. Geometria 4. Resolució de triangles

5. Funcions i fórmules trigonomètriques

6. Nombres complexos

7. Vectors

8. Geometria analítica del pla

9. Llocs geomètrics. Còniques

3

3

1

3

2

1

3. Anàlisi 10. Funcions elementals

11. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites

12. Iniciació al càlcul de derivades. Aplicacions

3

3

3

4. Estadística 13. Estadística bidimensional 1

32 setmanes

128 sessions

Cronograma

Setembre

Octubre

Novembre

Desembre

Gener

Febrer

Març

Abril

Maig

Juny

2

3

4

7

8

10

11

12

3

3

4

5

7

9

10

11

13

1

3

3

5

5

7

10

12

1

3

4

6

8

11

12



La matèria de matemàtiques contribueix especialment al desenvolupament de la competència matemàtica, reconeguda per la Unió Europea com una competència clau. Aquesta s’entén com l’habilitat per desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb l’objectiu de resoldre diversos problemes en situacions quotidianes; en concret, seguint la classificació del marc teòric de PISA, engloba les capacitats següents: comunicar, matematitzar, representar, raonar i argumentar, idear estratègies per resoldre problemes, emprar eines matemàtiques i utilitzar el llenguatge simbòlic, formal i tècnic i les operacions. A més, el desenvolupament matemàtic ajuda a adquirir la resta de competències.










1. Aprofundir en l’adquisició d’habilitats de pensament matemàtic, com analitzar i investigar, interpretar, formular i comunicar de manera matemàtica, usant les representacions adequades, fenòmens i problemes en diferents contextos que facin palesa la interconnectivitat de les diferents parts de les matemàtiques, així com la seva relació amb altres disciplines.


3. Desenvolupar, en la forma d’afrontar els problemes de la vida quotidiana, actituds i maneres inherents a l’activitat matemàtica, com la feina sistemàtica, la constància, la reflexió sobre les decisions preses i els errors comesos o la capacitat de canviar el punt de vista.




7. Planificar processos d’investigació, practicar les estratègies de la investigació científica per dur-los endavant, com l’experimentació, l’aplicació de la inducció i la deducció, la formulació i l’acceptació o el rebuig de conjectures o la comprovació de resultats, i elaborar l’informe científic corresponent amb el rigor i la precisió adequats.

8. Conèixer diferents tipus de raonaments i mètodes de demostració, com la inducció, la deducció, l’analogia, la reducció a l’absurd o els contraexemples, i mostrar una actitud oberta i crítica davant qualsevol argumentació.

9. Emprar diferents tipus de nombres i les eines algebraiques adequades per recollir, transformar i intercanviar informació, fer estimacions raonables, i plantejar i resoldre problemes en contextos reals, un cop traduïdes les situacions expressades en llenguatge usual al llenguatge algebraic o al gràfic.

10. Identificar, analitzar i representar diferents tipus de funcions donades mitjançant enunciats, gràfiques, taules o expressions algebraiques, que descriguin situacions reals, i conèixer i usar diverses eines com els límits, les derivades, les integrals, les raons trigonomètriques i els vectors i les seves operacions per resoldre problemes o estudiar fenòmens naturals, socials, geomètrics o tecnològics.

11. Descriure i comparar conjunts de dades procedents de contextos científics o de l’entorn, interpretar la possible relació entre ells mitjançant els paràmetres i les eines estadístiques corresponents, i interpretar amb actitud crítica informacions estadístiques dels mitjans de comunicació, la publicitat i altres àmbits.

12. Reconèixer situacions d’incertesa i fenòmens que es poden modelitzar mitjançant les distribucions binomial i normal, i valorar i usar la probabilitat com a mesura d’aquesta incertesa i per superar prejudicis habitualment associats a algunes d’aquestes situacions.

13. Incorporar al vocabulari propi elements del llenguatge matemàtic per expressar-se oralment i per escrit en contextos en què és necessària una comunicació científica correcta.



(Mat I) Bloc 1: Processos, mètodes i actituds en ma temàtiques

CONTINGUTS


Estratègies i procediments posats en pràctica: relació amb altres problemes coneguts, modificació de variables, suposar el problema resolt.

Solucions i/o resultats obtinguts: coherència de les solucions amb la situació, revisió sistemàtica del procés, altres formes de resolució, problemes semblants, generalitzacions i particularitzacions interessants.

Iniciació a la demostració en matemàtiques: mètodes, raonaments, llenguatges.

Mètodes de demostració: reducció a l’absurd, mètode d’inducció, contraexemples, raonaments encadenats.

Raonament deductiu i inductiu.

Llenguatge gràfic, algebraic, altres formes de representació d’arguments.

Elaboració i presentació oral i/o escrita d’informes científics sobre el procés seguit en la resolució d’un problema o en la demostració d’un resultat matemàtic.

Realització d’investigacions matemàtiques a partir de contextos de la realitat o contextos del món de les matemàtiques.

Elaboració i presentació d’un informe científic sobre el procés, resultats i conclusions del procés d’investigació desenvolupat.

Pràctica dels processos de matematització i modelització, en contextos de la realitat i en contextos matemàtics.







e) Elaborar informes i documents sobre els processos duits a terme i els resultats i conclusions obtingudes.

f) Comunicar i compartir, en entorns apropiats, la informació i les idees matemàtiques.








2.4. Utilitza estratègies heurístiques i processos de raonament en la resolució de problemes.

2.5. Reflexiona sobre el procés de resolució de problemes.

3. Realitzar demostracions senzilles de propietats o 3.1. Utilitza diferents mètodes de demostració en


teoremes relatius a continguts algebraics, geomètrics, funcionals, estadístics i probabilístics.

funció del context matemàtic.

3.2. Reflexiona sobre el procés de demostració (estructura, mètode, llenguatge i símbols, passes clau).

4. Elaborar un informe científic escrit que serveixi per comunicar les idees matemàtiques sorgides en la resolució d’un problema o en una demostració, amb el rigor i la precisió adequats.

4.1. Usa el llenguatge, la notació i els símbols matemàtics adequats al context i a la situació.

4.2. Utilitza arguments, justificacions, explicacions i raonaments explícits i coherents.

4.3. Empra les eines tecnològiques adequades al tipus de problema, situació a resoldre o propietat o teorema a demostrar, tant en la recerca de resultats com per a la millora de l’eficàcia en la comunicació de les idees matemàtiques.

5. Planificar adequadament el procés d’investigació, tenint en compte el context en el qual es desenvolupa i el problema d’investigació plantejat.

5.1. Coneix l’estructura del procés d’elaboració d’una investigació matemàtica: problema d’investigació, estat de la qüestió, objectius, hipòtesi, metodologia, resultats, conclusions.

5.2. Planifica adequadament el procés d’investigació, tenint en compte el context en el qual es desenvolupa i el problema d’investigació plantejat.

5.3. Aprofundeix en la resolució d’alguns problemes, plantejant noves preguntes, generalitzant la situació o els resultats.

6. Practicar estratègies per a la generació d’investigacions matemàtiques, a partir de: a) la resolució d’un problema i l’aprofundiment posterior; b) la generalització de propietats i lleis matemàtiques, i c) l’aprofundiment en algun moment de la història de les matemàtiques; concretant tot això en contextos numèrics, algebraics, geomètrics, funcionals, estadístics o probabilístics.

6.1. Generalitza i demostra propietats de contextos matemàtics numèrics, algebraics, geomètrics, funcionals, estadístics o probabilístics.

6.2. Busca connexions entre contextos de la realitat i del món de les matemàtiques (la història de la humanitat i la història de les matemàtiques; art i matemàtiques; tecnologies i matemàtiques, ciències experimentals i matemàtiques, economia i matemàtiques) i entre contextos matemàtics (numèrics i geomètrics, geomètrics i funcionals, geomètrics i probabilístics, discrets i continus, finits i infinits).

7. Elaborar un informe científic escrit que reculli el procés d’investigació realitzat, amb el rigor i la precisió adequats.

7.1. Consulta les fonts d’informació adequades al problema d’investigació.

7.2. Usa el llenguatge, la notació i els símbols matemàtics adequats al context del problema d’investigació.


7.4. Empra les eines tecnològiques adequades al tipus de problema d’investigació.

7.5. Transmet certesa i seguretat en la comunicació de les idees, així com domini del tema d’investigació.

7.6. Reflexiona sobre el procés d’investigació i elabora conclusions sobre el nivell de: a) resolució del problema d’investigació i b) consecució d’objectius. Així mateix, planteja possibles continuacions de la investigació; analitza els punts forts i febles del procés i fa explícites les seves impressions personals sobre l’experiència.

8. Desenvolupar processos de matematització en contextos de la realitat quotidiana (numèrics, geomètrics, funcionals, estadístics o probabilístics) a partir de la identificació de problemes en situacions

8.1. Identifica situacions problemàtiques de la realitat, susceptibles de contenir problemes d’interès.

8.2. Estableix connexions entre un problema del món real i el món matemàtic identificant els problemes


problemàtiques de la realitat. matemàtics subjacents i els coneixements matemàtics necessaris.

8.3. Usa, elabora o construeix models matemàtics adequats que permetin la resolució de problemes dins el camp de les matemàtiques.

8.4. Interpreta la solució matemàtica del problema en el context de la realitat.

8.5. Fa simulacions i prediccions, en el context real, per valorar l’adequació i les limitacions dels models i proposa millores que n’augmentin l’eficàcia.




10.1. Desenvolupa actituds adequades per al treball en matemàtiques: esforç, perseverança, flexibilitat per acceptar la crítica raonada, convivència amb la incertesa, tolerància de la frustració, autoanàlisi continu, autocrítica constant.

10.2. Es planteja la resolució de reptes i problemes amb la precisió, la cura i l’interès adequats al nivell educatiu i a la dificultat de la situació.

10.3. Desenvolupa actituds de curiositat i indagació,i hàbits de plantejar preguntes i cercar respostes adequades; revisar de forma crítica els resultats trobats.



12. Reflexionar sobre les decisions preses, valorant la seva eficàcia i aprendre’n per a situacions futures similars.

12.1. Reflexiona sobre els processos desenvolupats, pren consciència de les seves estructures; valora la potència, senzillesa i bellesa dels mètodes i idees utilitzats; aprèn per a situacions futures similars.



13.2. Empra mitjans tecnològics per fer representacions gràfiques de funcions amb expressions algebraiques complexes i n’extreu informació qualitativa i quantitativa.







(Mat I) Bloc 2: Nombres i àlgebra

CONTINGUTS

Nombres reals: necessitat del seu estudi per a la comprensió de la realitat. Valor absolut. Desigualtats. Distàncies en la recta real. Intervals i entorns. Aproximació i errors. Notació científica.

Nombres complexos. Forma binomial i polar. Representacions gràfiques. Operacions elementals. Fórmula de Moivre.

Successions numèriques: terme general, monotonia i acotació. El nombre e.

Logaritmes decimals i neperians. Equacions logarítmiques i exponencials.

Plantejament i resolució de problemes de la vida quotidiana mitjançant equacions i inequacions. Interpretació gràfica.

Resolució d’equacions no algebraiques senzilles.

Mètode de Gauss per a la resolució i interpretació de sistemes d’equacions lineals.


1. Utilitzar els nombres reals, les seves operacions i propietats, per recollir, transformar i intercanviar informació, estimant, valorant i representant els resultats en contextos de resolució de problemes.

1.1. Reconeix els diferents tipus de nombres (reals i complexos) i els utilitza per representar i interpretar adequadament informació quantitativa.

1.2. Realitza operacions numèriques amb eficàcia, emprant càlcul mental, algoritmes de llapis i paper, calculadora o eines informàtiques.

1.3. Utilitza la notació numèrica més adequada a cada context i justifica la seva idoneïtat.

1.4. Obté fites d’error i estimacions en els càlculs aproximats que realitza valorant i justificant la necessitat d’estratègies adequades per minimitzar-les.

1.5. Coneix i aplica el concepte de valor absolut per calcular distàncies i tractar desigualtats.

1.6. Resol problemes en què intervenen nombres reals i la seva representació i interpretació en la recta real.

2. Conèixer els nombres complexos com a extensió dels nombres reals, utilitzant-los per obtenir solucions d’algunes equacions algebraiques.

2.1. Valora els nombres complexos com a ampliació del concepte de nombre real i els utilitza per obtenir la solució d’equacions de segon grau amb coeficients reals sense solució real.

2.2. Opera amb nombres complexos, i els representa gràficament, i utilitza la fórmula de Moivre en el cas de les potències.

3. Valorar les aplicacions del nombre e i dels logaritmes utilitzant les seves propietats en la resolució de problemes extrets de contextos reals.

3.1. Aplica correctament les propietats per calcular logaritmes senzills en funció d’altres coneguts.

3.2. Resol problemes associats a fenòmens físics, biològics o econòmics mitjançant l’ús de logaritmes i les seves propietats.

4. Analitzar, representar i resoldre problemes plantejats en contextos reals, utilitzant recursos algebraics (equacions, inequacions i sistemes) i interpretant críticament els resultats.

4.1. Formula algebraicament les restriccions indicades en una situació de la vida real, estudia i classifica un sistema d’equacions lineals plantejat (com a màxim de tres equacions i tres incògnites), el resol mitjançant el mètode de Gauss, en els casos que sigui possible, i l’aplica per resoldre problemes.

4.2. Resol problemes en els quals es necessiti el plantejament i resolució d’equacions (algebraiques i no algebraiques) i inequacions (primer i segon grau), i interpreta els resultats en el context del problema.


(Mat I) Bloc 3: Geometria

CONTINGUTS

Mesura d’un angle en radiants.

Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol. Raons trigonomètriques dels angles suma i diferència d’altres dos, doble i meitat. Fórmules de transformacions trigonomètriques.

Teoremes. Resolució d’equacions trigonomètriques senzilles.

Resolució de triangles. Resolució de problemes geomètrics diversos.

Vectors lliures en el pla. Operacions geomètriques.

Producte escalar. Mòdul d’un vector. Angle de dos vectors.

Bases ortogonals i ortonormals.

Geometria mètrica plana. Equacions de la recta. Posicions relatives de rectes. Distàncies i angles. Resolució de problemes.

Llocs geomètrics en el pla.

Còniques. Circumferència, el·lipse, hipèrbola i paràbola. Equació i elements.


1. Reconèixer i treballar amb els angles en radiants tractant amb facilitat les raons trigonomètriques d’un angle, del seu doble i meitat, així com les transformacions trigonomètriques usuals.

1.1. Coneix les raons trigonomètriques d’un angle,el seu doble i meitat, així com les de l’angle suma i diferència d’uns altres dos.

2. Utilitzar els teoremes del sinus, cosinus i tangent i les fórmules trigonomètriques usuals per resoldre equacions trigonomètriques, així com aplicar-les en la resolució de triangles directament o com a conseqüència de la resolució de problemes geomètrics del món natural, geomètric o tecnològic.

2.1. Resol problemes geomètrics del món natural, geomètric o tecnològic, utilitzant els teoremes del sinus, del cosinus i de la tangent i les fórmules trigonomètriques usuals.

3. Fer servir l’operació del producte escalar i les seves conseqüències. Entendre els conceptes de base ortogonal i ortonormal. Distingir i manejar-se amb precisió en el pla euclidià i en el pla mètric, utilitzant en ambdós casos les seves eines i propietats.

3.1. Empra amb assiduïtat les conseqüències de la definició de producte escalar per normalitzar vectors, calcular el cosinus d’un angle, estudiar l’ortogonalitat de dos vectors o la projecció d’un vector sobre un altre.

3.2. Calcula l’expressió analítica del producte escalar, del mòdul i del cosinus de l’angle.

4. Interpretar analíticament diferents situacions de la geometria plana elemental, obtenint les equacions de rectes i utilitzar-les, per resoldre problemes d’incidència i càlcul de distàncies.

4.1. Calcula distàncies entre punts i d’un punt a una recta, així com angles entre dues rectes.

4.2. Obté l’equació d’una recta en les seves diverses formes, identificant en cada cas els seus elements característics.

4.3. Reconeix i diferencia analíticament les posicions relatives de les rectes.

5. Tractar el concepte de lloc geomètric en el pla. Identificar les formes corresponents a alguns llocs geomètrics usuals, estudiant les seves equacions reduïdes i analitzant les seves propietats mètriques.

5.1. Coneix el significat de lloc geomètric, identificant els llocs més usuals en geometria plana així com les seves característiques.

5.2. Fa investigacions utilitzant programes informàtics específics en els quals cal seleccionar, estudiar posicions relatives i fer interseccions entre rectes i les diferents còniques estudiades.


(Mat I) Bloc 4: Anàlisi

CONTINGUTS

Funcions reals de variable real.

Funcions bàsiques: polinòmiques, racionals senzilles, valor absolut, arrel, trigonomètriques i les seves inverses, exponencials, logarítmiques i funcions definides a trossos.

Operacions i composició de funcions. Funció inversa. Funcions d’oferta i demanda.

Concepte de límit d’una funció en un punt i en l’infinit. Càlcul de límits. Límits laterals. Indeterminacions.

Continuïtat d’una funció. Estudi de discontinuïtats.

Derivada d’una funció en un punt. Interpretació geomètrica de la derivada de la funció en un punt. Recta tangent i normal.

Funció derivada. Càlcul de funcions derivades. Regla de la cadena.

Representació gràfica de funcions.


1. Identificar funcions elementals, donades a través d’enunciats, taules o expressions algebraiques, que descriguin una situació real, i analitzar, qualitativament i quantitativament, les seves propietats, per representar-les gràficament i extreure informació pràctica que ajudi a interpretar el fenomen de què es deriven.

1.1. Reconeix analíticament i gràficament les funcions reals de variable real elementals.

1.2. Selecciona de manera adequada i raonada eixos, unitats, domini i escales, i reconeix i identifica els errors d’interpretació derivats d’una mala elecció.

1.3. Interpreta les propietats globals i locals de les funcions, comprovant els resultats amb l’ajuda de mitjans tecnològics en activitats abstractes i problemes contextualitzats.

1.4. Extrau i identifica informacions derivades de l’estudi i anàlisi de funcions en contextos reals.

2. Utilitzar els conceptes de límit i continuïtat d’una funció i aplicar-los en el càlcul de límits i l’estudi de la continuïtat d’una funció en un punt o un interval.

2.1. Comprèn el concepte de límit, fa les operacions elementals per calcular-lo, i aplica els processos per resoldre indeterminacions.

2.2. Determina la continuïtat d’una funció en un punt a partir de l’estudi del seu límit i del valor de la funció, per extreure conclusions en situacions reals.

2.3. Coneix les propietats de les funcions contínues, i representa la funció en un entorn dels punts de discontinuïtat.

3. Aplicar el concepte de derivada d’una funció en un punt, la seva interpretació geomètrica i el càlcul de derivades a l’estudi de fenòmens naturals, socials o tecnològics i a la resolució de problemes geomètrics.

3.1. Calcula la derivada d’una funció usant els mètodes adequats i l’empra per estudiar situacions reals i resoldre problemes.

3.2. Deriva funcions que són composició de diverses funcions elementals mitjançant la regla de la cadena.

3.3. Determina el valor de paràmetres perquè es verifiquin les condicions de continuïtat i derivabilitat d’una funció en un punt.

4. Estudiar i representar gràficament funcions obtenint informació a partir de les seves propietats i extraient informació sobre el seu comportament local o global.

4.1. Representa gràficament funcions, després d’un estudi complet de les seves característiques mitjançant les eines bàsiques de l’anàlisi.

4.2. Utilitza mitjans tecnològics adequats per representar i analitzar el comportament local i global de les funcions.


(Mat I) Bloc 5: Estadística i probabilitat

CONTINGUTS

Estadística descriptiva bidimensional:

Taules de contingència.

Distribució conjunta i distribucions marginals.

Mitjanes i desviacions típiques marginals.

Distribucions condicionades.

Independència de variables estadístiques.

Estudi de la dependència de dues variables estadístiques. Representació gràfica: Núvol de punts.

Dependència lineal de dues variables estadístiques. Covariància i correlació: Càlcul i interpretació del coeficient de correlació lineal.

Regressió lineal. Estimació. Prediccions estadístiques i fiabilitat de les mateixes.


1. Descriure i comparar conjunts de dades de distribucions bidimensionals, amb variables discretes o contínues, procedents de contextos relacionats amb el món científic i obtenir els paràmetres estadístics més usuals, mitjançant els mitjans més adequats (llapis i paper, calculadora, full de càlcul) i valorant la dependència entre les variables.

1.1. Elabora taules bidimensionals de freqüències a partir de les dades d’un estudi estadístic, amb variables discretes i contínues.

1.2. Calcula i interpreta els paràmetres estadístics més usuals en variables bidimensionals.

1.3. Calcula les distribucions marginals i diferents distribucions condicionades a partir d’una taula de contingència, així com els seus paràmetres (mitjana, variància i desviació típica).

1.4. Decideix si dues variables estadístiques són o no dependents a partir de les seves distribucions condicionades i marginals.

1.5. Usa adequadament mitjans tecnològics per organitzar i analitzar dades des del punt de vista estadístic, calcular paràmetres i generar gràfics estadístics.

2. Interpretar la possible relació entre dues variables i quantificar la relació lineal entre elles mitjançant el coeficient de correlació, valorant la pertinència d’ajustar una recta de regressió i, en el seu cas, la conveniència de realitzar prediccions, avaluant la fiabilitat de les mateixes en un context de resolució de problemes relacionats amb fenòmens científics.

2.1. Distingeix la dependència funcional de la dependència estadística i estima si dues variables són o no estadísticament dependents mitjançant la representació del núvol de punts.

2.2. Quantifica el grau i sentit de la dependència lineal entre dues variables mitjançant el càlcul i interpretació del coeficient de correlació lineal.

2.3. Calcula les rectes de regressió de dues variables i obté prediccions a partir d’elles.

2.4. Avalua la fiabilitat de les prediccions obtingudes a partir de la recta de regressió mitjançant el coeficient de correlació lineal.

3. Utilitzar el vocabulari adequat per a la descripció de situacions relacionades amb l’estadística, analitzant un conjunt de dades o interpretant de forma crítica informacions estadístiques presents en els mitjans de comunicació, la publicitat i altres àmbits, detectant possibles errors i manipulacions tant en la presentació de les dades com de les conclusions.

3.1. Descriu situacions relacionades amb l’estadística utilitzant un vocabulari adequat.


7. Matemàtiques II


Temporalització

Bloc Tema Setmanes

1. Àlgebra 1. Sistemes d’equacions

2. Àlgebra de matrius

3. Determinants

4. Resolució de sistemes mitjançant determinants

3

2

2

2

2. Geometria 5. Vectors en l’espai

6. Punts, rectes i plans

7. Problemes mètrics

2

2

2

4. Anàlisi 8. Límits de funcions. Continuïtat

9. Derivades. Tècniques de derivació

10. Aplicacions de les derivades

11. Representació de funcions

12. Càlcul de primitives

13. La integral definida. Aplicacions

2

2

2

2

3

2

28 setmanes

112 sessions

Cronograma

Setembre

Octubre

Novembre

Desembre

Gener

Febrer

Març

Abril

Maig

9

11

12

2

4

7

9

11

13

1

2

4

5

7

8

10

12

13

1

3

5

8

10

12

1

3

6



(Mat II) Unitat 1: Sistemes d’equacions

OBJECTIUS CRITERIS D’AVALUACIÓ

Dominar els conceptes i la nomenclatura associats als sistemes d’equacions i les seves solucions (compatible, incompatible, determinat, indeterminat…), i interpretar-los geomètricament per a 2 i 3 incògnites.

Coneix el que significa que un sistema sigui incompatible o compatible, determinat o indeterminat, i aplica aquest coneixement per formar un sistema d’un cert tipus o per a reconèixer-lo.

Interpreta geomètricament sistemes lineals de 2, 3 o 4 equacions amb 2 o 3 incògnites

Conèixer i aplicar el mètode de Gauss per estudiar i resoldre sistemes d’equacions lineals.

Resol sistemes d’equacions lineals pel mètode de Gauss.

Discuteix sistemes d’equacions lineals dependents d’un paràmetre pel mètode de Gauss.

Resoldre problemes algebraics mitjançant sistemes d’equacions.

Expressa algebraicament un enunciat mitjançant un sistema d’equacions, el resol i interpreta la solució dins el context de l’enunciat.

CONTINGUTS


Sistemes equivalents.

Transformacions que mantenen l’equivalència.

Sistema compatible, incompatible, determinat, indeterminat.

Interpretació geomètrica d’un sistema d’equacions amb dues o tres incògnites segons sigui compatible o incompatible, determinat o indeterminat.

Sistemes escalonats

Transformació d’un sistema en un altre d’equivalent escalonat.

Mètode de Gauss

Estudi i resolució de sistemes pel mètode de Gauss.

Sistema d’equacions dependents d’un paràmetre

Concepte de discussió d’un sistema d’equacions.

Aplicació del mètode de Gauss a la discussió de sistemes dependents d’un paràmetre.

Resolució de problemes mitjançant equacions

Traducció a sistema d’equacions d’un problema, resolució i interpretació de la solució.


(Mat II) Unitat 2: Àlgebra de matrius


Conèixer i utilitzar eficaçment les matrius, les seves operacions i les seves propietats.

Realitza operacions combinades amb matrius (elementals).

Realitza operacions combinades amb matrius (complexes).

Conèixer el significat de rang d’una matriu i calcular-lo mitjançant el mètode de Gauss.

Calcula el rang d’una matriu numèrica.

Relaciona el rang d’una matriu amb la dependència lineal de les seves files o les seves columnes.

Resoldre problemes algebraics mitjançant matrius i les seves operacions.

Expressa un enunciat mitjançant una relació matricial i, en aquest cas, el resol i interpreta la solució dins del context de l’enunciat.

CONTINGUTS

Matrius

Conceptes bàsics: vector fila, vector columna, dimensió, matriu quadrada, transposició, simètrica, triangular...

Operacions amb matrius

Suma, producte per un nombre, producte. Propietats.

Matrius quadrades

Matriu unitat.

Matriu inversa d’una altra.

Obtenció de la inversa d’una matriu pel mètode de Gauss.

Resolució d’equacions matricials.

Dependència i independència lineal

Dependència i independència lineal. Propietat fonamental.

Obtenció d’una combinació lineal d’altres.

Constatació de si un conjunt de n-uples són L.D. o L.I.

Rang d’una matriu

Obtenció del rang d’una matriu per observació dels seus elements (en casos evidents).

Càlcul del rang d’una matriu pel mètode de Gauss.

Discussió del rang d’una matriu dependent d’un paràmetre.


(Mat II) Unitat 3: Determinants


Dominar l’automatisme per al càlcul de determinants. Calcula el valor d’un determinant numèric o obté l’expressió d’un determinant 3 × 3 amb alguna lletra.

Conèixer les propietats dels determinants i aplicar-les per al càlcul d’aquests.

Obté el desenvolupament (o el valor) d’un determinant en el qual intervenen lletres, fent ús raonat de les propietats dels determinants.

Reconeix les propietats que s’utilitzen en les igualtats entre determinants.

Conèixer la caracterització del rang d’una matriu per l’ordre dels seus menors, i aplicar-la a casos concrets.

Troba el rang d’una matriu numèrica mitjançant determinants.

Discuteix el valor del rang d’una matriu en la qual intervé un paràmetre.

CONTINGUTS

Determinants d’ordre 2 i 3

Determinants d’ordre 2. Propietats.

Determinants d’ordre 3. Propietats.

Càlcul de determinants d’ordre tres per la regla de Sarrus.

Determinants d’ordre n

Menor d’una matriu. Menor complementari i adjunt d’un element d’una matriu quadrada. Propietats.

Desenvolupament d’un determinant pels elements d’una línia.

Càlcul d’un determinant fent zeros en una de les seves línies.

Aplicacions de les propietats dels determinants en el càlcul d’aquests i en la comprovació d’identitats.

Rang d’una matriu mitjançant determinants

El rang d’una matriu com el màxim ordre dels seus menors no nuls.

Determinació del rang d’una matriu a partir dels seus menors.


(Mat II) Unitat 4: Resolució de sistemes mitjançant determinants


Calcular la inversa d’una matriu mitjançant determinants. Aplicar-ho a la resolució matricial de sistemes amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites.

Reconeix l’existència o no de la inversa d’una matriu i la calcula si és el cas.

Expressa matricialment un sistema d’equacions i, si és possible, el resol trobant la inversa de la matriu dels coeficients.

Conèixer el teorema de Rouché i la regla de Cramer i utilitzar-los per a la discussió i resolució de sistemes d’equacions.

Aplica el teorema de Rouché per discutir un sistema d’equacions lineals.

Aplica la regla de Cramer per resoldre un sistema d’equacions lineals, 2 × 2 o 3 × 3.

Discuteix i resol un sistema d’equacions dependent d’un paràmetre.

CONTINGUTS

Teorema de Rouché

Aplicació del teorema de Rouché a la discussió de sistemes d’equacions.

Regla de Cramer

Aplicació de la regla de Cramer a la resolució de sistemes determinats.

Aplicació de la regla de Cramer a la resolució de sistemes indeterminats.

Sistemes homogenis

Resolució de sistemes homogenis.

Discussió de sistemes

Aplicació del teorema de Rouché i de la regla de Cramer a la discussió i resolució de sistemes dependents d’un o més paràmetres.

Càlcul de la inversa d’una matriu

Expressió de la inversa d’una matriu a partir dels adjunts dels seus elements.

Càlcul de la inversa d’una matriu mitjançant determinants.

Expressió matricial d’un sistema d’equacions

Resolució de sistemes d’equacions mitjançant la forma matricial.


(Mat II) Unitat 5: Vectors en l’espai


Conèixer els vectors de l’espai tridimensional i les seves operacions, i utilitzar-los per a la resolució de problemes geomètrics.

Realitza operacions elementals (suma i producte per un nombre) amb vectors, donats mitjançant les seves coordenades, comprenent i manejant correctament els conceptes de dependència i independència lineal, com també el de base.

Domina el producte escalar de dos vectors, el seu significat geomètric, l’expressió analítica i les propietats, i ho aplica a la resolució de problemes geomètrics (mòdul d’un vector, angle de dos vectors, vector projecció d’un vector sobre un altre, perpendicularitat de vectors).

Domina el producte vectorial de dos vectors, el seu significat geomètric, l’expressió analítica i les propietats, i ho aplica a la resolució de problemes geomètrics (vector perpendicular a altres dos, àrea del paral·lelogram determinat per dos vectors).

Domina el producte mixt de tres vectors, el seu significat geomètric, l’expressió analítica i les propietats, i ho aplica a la resolució de problemes geomètrics (volum del paral·lelepípede determinat per tres vectors, decisió de si tres vectors són linealment independents).

CONTINGUTS

Vectors en l’espai

Operacions. Interpretació gràfica.

Combinació lineal.

Dependència i independència lineal.

Base. Coordenades.

Producte escalar de vectors

Propietats.

Expressió analítica.

Càlcul del mòdul d’un vector.

Obtenció d’un vector amb la direcció d’un altre i mòdul predeterminat.

Obtenció de l’angle format per dos vectors.

Identificació de la perpendicularitat de dos vectors.

Càlcul del vector projecció d’un vector sobre la direcció d’un altre.

Producte vectorial de vectors

Propietats.


Obtenció d’un vector perpendicular a altres dos.

Càlcul de l’àrea del paral·lelogram determinat per dos vectors.

Producte mixt de tres vectors

Propietats.


Càlcul del volum d’un paral·lelepípede determinat per tres vectors.

Identificació de si tres vectors són linealment independents mitjançant el producte mixt.


(Mat II) Unitat 6: Punts, rectes i plans en l’espai


Utilitzar un sistema de referència ortonormal en l’espai i, en aquest, resoldre problemes geomètrics fent ús dels vectors quan convingui.

Representa punts de coordenades senzilles en un sistema de referència ortonormal.

Utilitza els vectors per a resoldre alguns problemes geomètrics: punts de divisió d’un segment en parts iguals, comprovació de punts alineats, simètric d’un punt respecte a un altre...

Dominar les diferents formes d’equacions de rectes i de plans i utilitzar-les per a resoldre problemes afins: pertinença de punts a rectes o a plans, posicions relatives de dues rectes, de recta i pla, de dos o tres plans...

Resol problemes afins entre rectes (pertinença de punts, paral·lelisme, posicions relatives) utilitzant qualsevol de les expressions (paramètriques, implícita, contínua...).

Resol problemes afins entre plans (pertinença de punts, paral·lelisme...) utilitzant qualsevol de les seves expressions (implícita o paramètriques).

Resol problemes afins entre rectes i plans.

CONTINGUTS

Sistema de referència en l’espai

Coordenades d’un punt.

Representació de punts en un sistema de referència ortonormal.

Aplicació dels vectors a problemes geomètrics

Punt que divideix un segment en una raó donada.

Simètric d’un punt respecte a un altre.

Comprovació de si tres o més punts estan alineats.

Obtenció raonada del punt que divideix un segment en una raó donada.

Equacions d’una recta

Equacions vectorial, paramètriques i contínua de la recta.

Estudi de les posicions relatives de dues rectes.

Equacions d’un pla

Equacions vectorial, paramètriques i implícita d’un pla. Vector normal.

Estudi de la posició relativa de dos o més plans.

Estudi de la posició relativa d’un pla i una recta.


(Mat II) Unitat 7: Problemes mètrics


Obtenir l’angle que formen dues rectes, una recta i un pla o dos plans.

Calcula els angles entre rectes i plans. Obté una recta o un pla coneixent, com una de les dades, l’angle que forma amb una figura (recta o pla).

Trobar la distància entre dos punts, d’un punt a una recta, d’un punt a un pla o entre dues rectes que s’encreuen.

Troba la distància entre dos punts o d’un punt a un pla.

Troba la distància d’un punt a una recta mitjançant el pla perpendicular a la recta que passa pel punt, o bé fent ús del producte vectorial.

Troba la distància entre dues rectes que s’encreuen, justificant el procés seguit.

Trobar àrees i volums utilitzant el producte vectorial o el producte mixt de vectors.

Troba l’àrea d’un paral·lelogram o d’un triangle.

Troba el volum d’un paral·lelepípede o d’una piràmide triangular.

Resoldre problemes mètrics variats. Troba el simètric d’un punt respecte d’una recta o d’un pla.

Resol problemes geomètrics en el qual intervenen perpendicularitats, distàncies, angles, incidència, paral·lelisme...

CONTINGUTS

Angles de rectes i plans

Vector direcció d’una recta i vector normal a un pla.

Obtenció de l’angle de dues rectes, de dos plans o de l’angle entre recta i pla.

Distància entre punts, rectes i plans

Càlcul de la distància entre dos punts.

Càlcul de la distància d’un punt a una recta per diversos procediments.

Distància d’un punt a un pla mitjançant la fórmula.

Càlcul de la distància entre dues rectes per diversos procediments.

Àrea d’un triangle i volum d’un paral·lelepípede

Càlcul de l’àrea d’un paral·lelogram i d’un triangle.

Càlcul del volum d’un paral·lelepípede i d’una piràmide triangular.


(Mat II) Unitat 8: Límits de funcions. Continuïtat


Dominar el concepte de límit en les seves diferents versions, coneixent-ne la interpretació gràfica i l’enunciat precís.

A partir d’una expressió del tipus lím x → α f(x)=β, on

α = ±∞, a–, a+, a i β = ±∞, l.

Calcular límits de qualsevol tipus. Calcula límits immediats que només requereixen conèixer els resultats operatius i comparar infinits.

Calcula límits (x → ±∞) de quocients (k/0 i 0/0), de diferències (∞ - ∞) i de potències (1∞).

Calcula límits (x → c) de quocients, distingint, si el cas ho exigeix, quan x → c+ i quan x → c–.

Calcula límits (x → c) de potències.

Conèixer el concepte de continuïtat en un punt i els diferents tipus de discontinuïtats.

Reconeix si una funció és contínua en un punt o el tipus de discontinuïtat que hi presenta.

Determina el valor d’un o dos paràmetres perquè una funció definida “a trossos” sigui contínua en el punt (o punts) d’entroncament.

Conèixer el teorema de Bolzano i aplicar-lo per provar l’existència d’arrels d’una funció.

Enuncia el teorema de Bolzano en un cas concret i l’aplica a la separació d’arrels d’una funció.

CONTINGUTS

Successions

Límit d’una successió.

El nombre e.

Límit d’una funció

Límit d’una funció quan x → ±∞ o x → a. Representació gràfica.

Límits laterals.

Operacions amb límits finits.

Expressions infinites

Infinits del mateix ordre.

Infinit d’ordre superior a un altre.

Operacions amb expressions infinites.

Càlcul de límits

Càlcul de límits immediats (operacions amb límits finits evidents o comparació d’infinits de diferent ordre).

Indeterminació. Expressions indeterminades.

Càlcul de límits quan x → ±∞: Quocients de polinomis o d’altres expressions infinites; diferència d’expressions infinites; Potències:. El nombre e.

Càlcul de límits quan x → a–, x → a+, x → a: Quocients, diferències i potències.

Continuïtat. Discontinuïtats

Continuïtat en un punt. Tipus de discontinuïtat.

Continuïtat en un interval

Teoremes de Bolzano, Darboux i Weierstrass.

Aplicació del teorema de Bolzano per a detectar l’existència d’arrels i per a separar-les.


(Mat II) Unitat 9: Derivades. Tècniques de derivació


Dominar els conceptes associats a la derivada d’una funció: derivada en un punt, derivades laterals, funció derivada...

Associa el gràfic d’una funció al de la seva funció derivada.

Troba la derivada d’una funció en un punt a partir de la definició.

Estudia la derivabilitat d’una funció definida “a trossos”, recorrent a les derivades laterals en el “punt d’entroncament”.

Conèixer les regles de derivació i utilitzar-les per a trobar la funció derivada d’una altra.

Troba les derivades de funcions no trivials.

Utilitza la derivació logarítmica per a trobar la derivada d’una funció que ho requereixi.

Troba la derivada d’una funció implícita.

Troba la derivada d’una funció coneixent-ne la de la inversa.

CONTINGUTS

Derivada d’una funció en un punt

Taxa de variació mitjana.

Derivada d’una funció en un punt. Interpretació. Derivades laterals.

Obtenció de la derivada d’una funció en un punt a partir de la definició.

Funció derivada

Derivades successives.

Representació gràfica aproximada de la funció derivada d’una altra donada pel seu gràfic.

Estudi de la derivabilitat d’una funció en un punt estudiant les derivades laterals.

Regles de derivació

Regles de derivació de les funcions elementals i dels resultats operatius.

Derivada d’una funció implícita.

Derivada de la funció inversa d’una altra.

Derivació logarítmica.

Diferencial d’una funció

Concepte de diferencial d’una funció.

Aplicacions.


(Mat II) Unitat 10: Aplicacions de les derivades


Trobar l’equació de la recta tangent a una corba en un dels seus punts.

Donada una funció explícita o implícita, troba l’equació de la recta tangent en un dels seus punts.

Conèixer les propietats que permeten estudiar creixements, decreixements, màxims i mínims relatius, tipus de curvatura, etc., i saber-les aplicar en casos concrets.

Donada una funció, sap decidir si és creixent o decreixent, còncava o convexa, en un punt o en un interval, obté els màxims i mínims relatius i els punts d’inflexió.

Dominar les estratègies necessàries per a optimitzar una funció.

Donada una funció mitjançant l’expressió analítica o mitjançant un enunciat, troba en quin cas presenta un màxim o un mínim.

Conèixer la regla de l’Hôpital i aplicar-la al càlcul de límits.

Calcula límits aplicant-hi la regla de l’Hôpital.

Conèixer els teoremes de Rolle i del valor mitjà i aplicar-los a casos concrets.

Aplica el teorema de Rolle o el del valor mitjà a funcions concretes, provant si compleix o no les hipòtesis i esbrinant, si és el cas, on es compleix la tesi.

CONTINGUTS

Aplicacions de la primera derivada

Obtenció de la tangent a una corba en un dels seus punts.

Identificació de punts o intervals en els quals la funció és creixent o decreixent.

Obtenció de màxims i mínims relatius.

Resolució de problemes d’optimització.

Aplicacions de la segona derivada

Identificació de punts o intervals en els quals la funció és còncava o convexa.

Obtenció de punts d’inflexió.

Regla de l’Hôpital

Aplicació de la regla de l’Hôpital al càlcul de límits.

Teoremes de Rolle i del valor mitjà

Constatació de si una funció compleix o no les hipòtesis del teorema del valor mitjà (o del teorema de Rolle) i obtenció del punt on compleix (si és el cas) la tesi.

Aplicació del teorema del valor mitjà a la demostració de diverses propietats.


(Mat II) Unitat 11: Representació de funcions


Conèixer el paper que exerceixen les eines bàsiques de l’anàlisi (límits, derivades...) en la representació de funcions i dominar la representació sistemàtica de funcions polinòmiques, racionals, trigonomètriques, amb radicals, exponencials, logarítmiques...

Representa funcions polinòmiques.

Representa funcions racionals.

Representa funcions trigonomètriques.

Representa funcions exponencials.

Representa funcions en les quals intervé el valor absolut.

Representa altres tipus de funcions.

CONTINGUTS

Eines bàsiques per a la construcció de corbes

Domini de definició, simetries, periodicitat.

Branques infinites: asímptotes i branques parabòliques.

Punts singulars, punts d’inflexió, talls amb els eixos...

Representació de funcions

Representació de funcions polinòmiques.

Representació de funcions racionals.

Representació de funcions qualssevol.


(Mat II) Unitat 12: Càlcul de primitives


Conèixer el concepte de primitiva d’una funció i obtenir primitives de les funcions elementals.

Troba la primitiva d’una funció elemental o d’una funció que, mitjançant simplificacions adequades, es transformi en elemental des de l’òptica de la integració.

Dominar els mètodes bàsics per a l’obtenció de primitives de funcions: substitució, per parts, racionals.

Troba la primitiva d’una funció utilitzant el mètode de substitució.

Troba la primitiva d’una funció mitjançant la integració per parts.

Troba la primitiva d’una funció racional el denominador de la qual no té arrels imaginàries.

CONTINGUTS

Primitiva d’una funció

Obtenció de primitives de funcions elementals.

Obtenció de primitives immediates.

Canvi de variables davall el signe integral

Obtenció de primitives mitjançant canvi de variables: integració per substitució.

Integració per parts

Càlcul d’integrals per parts.

Integral de funcions racionals

Càlcul de la integral d’una funció racional descomponent-la en fraccions elementals.


(Mat II) Unitat 13: La integral definida. Aplicacions


Conèixer el concepte, la terminologia, les propietats i la interpretació geomètrica de la integral definida.

Troba la integral definida d’una funció, reconeixent el recinte definit en l’interval [a, b] entre el gràfic de la funció i les rectes x = a i x = b, trobant-ne les dimensions i calculant-ne l’àrea mitjançant procediments geomètrics elementals

Comprendre el teorema fonamental del càlcul i la seva importància per a relacionar l’àrea davall una corba amb una primitiva de la funció corresponent.

Respon a problemes teòrics relacionats amb el teorema fonamental del càlcul.

Conèixer i aplicar la regla de Barrow per al càlcul d’àrees.

Calcula l’àrea davall una corba entre dues abscisses.

Calcula l’àrea entre dues corbes.

Conèixer i aplicar la fórmula per trobar el volum d’un cos de revolució.

Troba el volum del cos que s’obté en girar un arc de corba al voltant de l’eix X.

Utilitzar el càlcul integral per a trobar àrees o volums de figures o cossos coneguts a partir de les seves dimensions, o bé per a deduir les fórmules corresponents.

Troba l’àrea d’una figura plana coneguda obtenint l’expressió analítica de la corba que la determina i integrant entre els límits adequats. O bé, dedueix la fórmula de l’àrea mitjançant el mateix procediment.

Troba el volum d’un cos de revolució conegut.

CONTINGUTS

Integral definida

Concepte d’integral definida. Propietats.

Expressió de l’àrea d’una figura plana coneguda, mitjançant una integral.

Relació de la integral amb la derivada

Teorema fonamental del càlcul.

Regla de Barrow.

Càlcul d’àrees i volums mitjançant integrals

Càlcul de l’àrea entre una corba i l’eix X.

Càlcul de l’àrea delimitada entre dues corbes.

Càlcul del volum del cos de revolució que s’obté en girar un arc de corba al voltant de l’eix X.


8. Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials I


Temporalització

Bloc Tema Setmanes

1. Aritmètica i Àlgebra 1. Nombres reals

2. Aritmètica mercantil

3. Àlgebra

2

3

4

2. Anàlisi 4. Funcions elementals

5. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques

6. Límits de funcions. Continuïtat i branques infinites

7. Iniciació al càlcul de derivades. Aplicacions

3

3

3

3


9. Distribucions bidimensionals

10. Distribucions de probabilitat discretes

11. Distribucions de probabilitat contínues

2

3

3

3

32 setmanes

128 sessions

Cronograma

Setembre

Octubre

Novembre

Desembre

Gener

Febrer

Març

Abril

Maig

Juny

2

3

4

6

7

10

11

2

3

4

5

6

8

9

10

11

1

2

3

5

5

7

8

9

10

1

3

4

6

7

9

11



La matèria de matemàtiques aplicades a les ciències socials contribueix especialment al desenvolupament de la competència matemàtica, reconeguda per la Unió Europea com una competència clau. Aquesta s’entén com l’habilitat per desenvolupar i aplicar el raonament matemàtic amb l’objectiu de resoldre diversos problemes en situacions quotidianes; en concret, seguint la classificació del marc teòric de PISA, engloba les capacitats següents: comunicar, matematitzar, representar, raonar i argumentar, idear estratègies per resoldre problemes, emprar eines matemàtiques i utilitzar el llenguatge simbòlic, formal i tècnic i les operacions. A més, el desenvolupament matemàtic ajuda a adquirir la resta de competències.










1. Aprofundir en l’adquisició d’habilitats de pensament matemàtic, com analitzar i investigar, interpretar, formular i comunicar de manera matemàtica, usant les representacions adequades, fenòmens i problemes en diferents contextos que facin palesa la interconnectivitat de les diferents parts de les matemàtiques, així com la seva relació amb les ciències socials.


3. Desenvolupar, en la forma d’afrontar els problemes de la vida quotidiana, actituds i maneres inherents a l’activitat matemàtica, com la feina sistemàtica, la constància, la reflexió sobre les decisions preses i els errors comesos o la capacitat de canviar el punt de vista.


5. Emprar les eines tecnològiques adequades tant per fer diferents tipus de càlculs, representacions i simulacions, com per cercar, analitzar i seleccionar informació, elaborar documents propis i exposar-los o compartir-los, si és el cas, ja sigui per resoldre situacions problemàtiques o per al propi procés d’aprenentatge.


7. Planificar processos d’investigació a partir de contextos de tipus social, econòmic, històric, geogràfic, artístic o altres; practicar les estratègies de la investigació científica per dur-los endavant, com l’experimentació, la formulació i l’acceptació o el rebuig de conjectures o la comprovació de resultats, i elaborar l’informe científic corresponent amb el rigor i la precisió adequats.

8. Usar diverses eines matemàtiques per interpretar dades, seleccionar els elements fonamentals, analitzar-los, obtenir conclusions raonables, formar criteris propis sobre els fenòmens socials i econòmics que representen i ser capaç de fer argumentacions precises i rigoroses.

9. Emprar diferents tipus de nombres i les eines algebraiques adequades per recollir, transformar i intercanviar informació, fer estimacions raonables, i plantejar i resoldre problemes en contextos reals, un cop traduïdes les situacions expressades en llenguatge usual al llenguatge algebraic o gràfic.

10. Identificar, analitzar i representar diferents tipus de funcions donades mitjançant enunciats, gràfiques, taules o expressions algebraiques, que descriguin situacions reals, i conèixer i usar diverses eines com la interpolació, els límits, les derivades, les integrals i altres per resoldre problemes o estudiar fenòmens de les ciències socials.

11. Descriure i comparar conjunts de dades procedents de contextos relacionats amb l’economia i altres fenòmens socials, interpretar la possible relació entre ells mitjançant els paràmetres i les eines estadístiques corresponents, interpretar amb actitud crítica informacions estadístiques dels mitjans de comunicació, la publicitat i altres àmbits, i i estimar paràmetres desconeguts d’una població usant la inferència estadística.

12. Reconèixer situacions d’incertesa i fenòmens que es poden modelitzar mitjançant les distribucions binomial i normal, i valorar i usar la probabilitat com a mesura d’aquesta incertesa i per superar prejudicis habitualment associats a algunes d’aquestes situacions.

13. Incorporar al vocabulari propi elements del llenguatge matemàtic per expressar-se oralment i per escrit en contextos en què és necessària una comunicació científica correcta.



(Macs I) Bloc 1: Processos, mètodes i actituds en matemàtiques

CONTINGUTS


Estratègies i procediments posats en pràctica: relació amb altres problemes coneguts, modificació de variables, suposar el problema resolt, etc.

Anàlisi dels resultats obtinguts: coherència de les solucions amb la situació, revisió sistemàtica del procés, altres formes de resolució, problemes semblants.

Elaboració i presentació oral i/o escrita d’informes científics escrits sobre el procés seguit en la resolució d’un problema

Realització d’investigacions matemàtiques a partir de contextos de la realitat

Elaboració i presentació d’un informe científic sobre el procés, resultats i conclusions del procés d’investigació desenvolupat.

Pràctica dels processos de matematització i modelització, en contextos de la realitat.







e) Elaborar informes i documents sobre els processos duits a terme i els resultats i conclusions obtingudes.

f) Comunicar i compartir, en entorns apropiats, la informació i les idees matemàtiques.








3. Elaborar un informe científic escrit que serveixi per comunicar les idees matemàtiques sorgides en la resolució d’un problema, amb el rigor i la precisió adequats.

3.1. Usa el llenguatge, la notació i els símbols matemàtics adequats al context i a la situació.


3.3. Empra les eines tecnològiques adequades al tipus de problema, situació a resoldre o propietat o teorema a demostrar.

4. Planificar adequadament el procés d’investigació, tenint en compte el context en el qual es

4.1. Coneix i descriu l’estructura del procés d’elaboració d’una investigació matemàtica: problema


desenvolupa i el problema d’investigació plantejat. d’investigació, estat de la qüestió, objectius, hipòtesi, metodologia, resultats, conclusions.

4.2. Planifica adequadament el procés d’investigació, tenint en compte el context en el qual es desenvolupa i el problema d’investigació plantejat.

5. Practicar estratègies per a la generació d’investigacions matemàtiques, a partir de: a) la resolució d’un problema i l’aprofundiment posterior; b) la generalització de propietats i lleis matemàtiques, i c) l’aprofundiment en algun moment de la història de les matemàtiques; concretant tot això en contextos numèrics, algebraics, geomètrics, funcionals, estadístics o probabilístics.

5.1. Aprofundeix en la resolució d’alguns problemes plantejant noves preguntes, generalitzant la situació o els resultats.

5.2. Busca connexions entre contextos de la realitat i del món de les matemàtiques (la història de la humanitat i la història de les matemàtiques; art i matemàtiques; ciències socials i matemàtiques.)

6. Elaborar un informe científic escrit que reculli el procés d’investigació realitzat, amb el rigor i la precisió adequats.

6.1. Consulta les fonts d’informació adequades al problema d’investigació.

6.2. Usa el llenguatge, la notació i els símbols matemàtics adequats al context del problema d’investigació.


6.4. Empra les eines tecnològiques adequades al tipus de problema d’investigació, tant en la recerca de solucions com per millorar l’eficàcia en la comunicació de les idees matemàtiques.

6.5. Transmet certesa i seguretat en la comunicació de les idees, així com domini del tema d’investigació.

6.6. Reflexiona sobre el procés d’investigació i elabora conclusions sobre el nivell de: a) resolució del problema d’investigació i b) consecució d’objectius. Així mateix, planteja possibles continuacions de la investigació; analitza els punts forts i febles del procés i fa explícites les seves impressions personals sobre l’experiència.


7.1. Identifica situacions problemàtiques de la realitat, susceptibles de contenir problemes d’interès.

7.2. Estableix connexions entre el problema del món real i el món matemàtic: identificant el problema o problemes matemàtics que subjacents en ell, així com els coneixements matemàtics necessaris.

7.3. Usa, elabora o construeix models matemàtics adequats que permetin la resolució del problema o problemes dins el camp de les matemàtiques.

7.4. Interpreta la solució matemàtica del problema en el context de la realitat.

7.5. Realitza simulacions i prediccions, en el context real, per valorar l’adequació i les limitacions dels models, proposant millores que augmentin la seva eficàcia.




9.1. Desenvolupa actituds adequades per al treball en matemàtiques: esforç, perseverança, flexibilitat i acceptació de la crítica raonada, convivència amb la incertesa, tolerància de la frustració, autoanàlisi continu.

9.2. Es planteja la resolució de reptes i problemes


amb la precisió, cura i interès adequats al nivell educatiu i a la dificultat de la situació.

9.3. Desenvolupa actituds de curiositat i indagació, junt amb hàbits de plantejar-se preguntes i cercar respostes adequades; revisar de forma crítica els resultats trobats.




11.1. Reflexiona sobre els processos desenvolupats, prenent consciència de les seves estructures; valorant la potència, senzillesa i bellesa dels mètodes i idees utilitzats; aprenent d’això per a situacions futures.


12.1. Selecciona eines tecnològiques adequades i les utilitza per dur a terme càlculs numèrics, algebraics o estadístics quan la dificultat d’aquests impedeix o no aconsella fer-los manualment

12.2. Empra mitjans tecnològics per fer representacions gràfiques de funcions amb expressions algebraiques complexes i n’extreu informació qualitativa i quantitativa.

12.3. Dissenya representacions gràfiques per explicar el procés seguit en la resolució de problemes, mitjançant la utilització de mitjans tecnològics







(Macs I) Bloc 2: Nombres i àlgebra

CONTINGUTS

Nombres racionals i irracionals. El nombre real. Representació en la recta real. Intervals.

Aproximació decimal d’un nombre real. Estimació, arrodoniment i errors.

Operacions amb nombres reals. Potències i radicals. La notació científica.

Operacions amb capitals financers. Augments i disminucions percentuals. Taxes i interessos bancaris. Capitalització i amortització simple i composta.

Utilització de recursos tecnològics per a la realització de càlculs financers i mercantils.

Polinomis. Operacions. Descomposició en factors.

Equacions lineals, quadràtiques i reductibles a elles, exponencials i logarítmiques. Aplicacions.

Sistemes d’equacions de primer i segon grau amb dues incògnites. Classificació. Aplicacions. Interpretació geomètrica.

Sistemes d’equacions lineals amb tres incògnites: mètode de Gauss.


1. Utilitzar els nombres reals i les seves operacions per presentar i intercanviar informació, controlant i ajustant el marge d’error exigible en cada situació, en situacions de la vida real.

1.1. Reconeix els diferents tipus de nombres reals (racionals i irracionals) i els utilitza per representar i interpretar adequadament informació quantitativa.

1.2. Representa correctament informació quantitativa mitjançant intervals de nombres reals.

1.3. Compara, ordena, classifica i representa gràficament, qualsevol nombre real.

1.4. Realitza operacions numèriques amb eficàcia, emprant càlcul mental, algoritmes de llapis i paper, calculadora o programes informàtics, utilitzant la notació més adequada i controlant l’error quan aproxima.

2. Resoldre problemes de capitalització i amortització simple i composta utilitzant paràmetres d’aritmètica mercantil emprant mètodes de càlcul o els recursos tecnològics més adequats.

2.1. Interpreta i contextualitza correctament paràmetres d’aritmètica mercantil per resoldre problemes de l’àmbit de la matemàtica financera (capitalització i amortització simple i composta) mitjançant els mètodes de càlcul o recursos tecnològics apropiats.

3. Transcriure a llenguatge algebraic o gràfic situacions relatives a les ciències socials i utilitzar tècniques matemàtiques i eines tecnològiques apropiades per resoldre problemes reals, donant una interpretació de les solucions obtingudes en contextos particulars.

3.1. Utilitza de manera eficaç el llenguatge algebraic per representar situacions plantejades en contextos reals.

3.2. Resol problemes relatius a les ciències socials mitjançant la utilització d’equacions o sistemes d’equacions.

3.3 Realitza una interpretació contextualitzada dels resultats obtinguts i els exposa amb claredat.


(Macs I) Bloc 3: Anàlisi

CONTINGUTS

Resolució de problemes i interpretació de fenòmens socials i econòmics mitjançant funcions.

Funcions reals de variable real. Expressió d’una funció en forma algebraica, per mitjà de taules o de gràfiques. Característiques d’una funció.

Interpolació i extrapolació lineal i quadràtica. Aplicació a problemes reals.

Identificació de l’expressió analítica i gràfica de les funcions reals de variable real: polinòmiques, exponencial i logarítmica, valor absolut, part sencera, racionals i irracionals senzilles a partir de les seves característiques. Les funcions definides a trossos.

Idea intuïtiva de límit d’una funció en un punt. Càlcul de límits senzills. El límit com a eina per a l’estudi de la continuïtat d’una funció. Aplicació a l’estudi de les asímptotes.

Taxa de variació mitjana i taxa de variació instantània. Aplicació a l’estudi de fenòmens econòmics i socials. Derivada d’una funció en un punt. Interpretació geomètrica. Recta tangent a una funció en un punt.

Funció derivada. Regles de derivació de funcions elementals senzilles que siguin suma, producte, quocient i composició de funcions polinòmiques, exponencials i logarítmiques.


1. Interpretar i representar gràfiques de funcions reals tenint en compte les seves característiques i la seva relació amb fenòmens socials.

1.1. Analitza funcions expressades en forma algebraica, per mitjà de taules o gràficament, i les relaciona amb fenòmens quotidians, econòmics, socials i científics extraient i replicant models.

1.2. Selecciona de manera adequada i raonadament eixos, unitats i escales reconeixent i identificant els errors d’interpretació derivats d’una mala elecció, per realitzar representacions gràfiques de funcions.

1.3. Estudia i interpreta gràficament les característiques d’una funció comprovant els resultats amb l’ajuda de mitjans tecnològics en activitats abstractes i problemes contextualitzats.

2. Interpolar i extrapolar valors de funcions a partir de taules i conèixer la utilitat en casos reals.

2.1. Obté valors desconeguts mitjançant interpolació o extrapolació a partir de taules o dades i els interpreta en un context.

3. Calcular límits finits i infinits d’una funció en un punt o en l’infinit per estimar les tendències.

3.1. Calcula límits finits i infinits d’una funció en un punt o en l’infinit per estimar les tendències d’una funció.

3.2. Calcula, representa i interpreta les asímptotes d’una funció en problemes de les ciències socials.

4. Conèixer el concepte de continuïtat i estudiar la continuïtat en un punt en funcions polinòmiques, racionals, logarítmiques i exponencials.

4.1. Examina, analitza i determina la continuïtat d’una funció en un punt per extreure conclusions en situacions reals.

5. Conèixer i interpretar geomètricament la taxa de variació mitjana en un interval i en un punt com a aproximació al concepte de derivada i utilitzar les regla de derivació per obtenir la funció derivada de funcions senzilles i de les seves operacions.

5.1. Calcula la taxa de variació mitjana en un interval i la taxa de variació instantània, les interpreta geomètricament i les empra per resoldre problemes i situacions extretes de la vida real.

5.2. Aplica les regles de derivació per calcular la funció derivada d’una funció i obtenir la recta tangent a una funció en un punt donat.


(Macs I) Bloc 4: Estadística i probabilitat

CONTINGUTS

Estadística descriptiva bidimensional:

Taules de contingència.

Distribució conjunta i distribucions marginals.

Distribucions condicionades.

Mitjanes i desviacions típiques marginals i condicionades.

Independència de variables estadístiques.

Dependència de dues variables estadístiques. Representació gràfica: Núvol de punts.

Dependència lineal de dues variables estadístiques. Covariància i correlació: Càlcul i interpretació del coeficient de correlació lineal.

Regressió lineal. Prediccions estadístiques i fiabilitat de les mateixes. Coeficient de determinació.

Esdeveniments. Assignació de probabilitats a esdeveniments mitjançant la regla de Laplace i a partir de la seva freqüència relativa. Axiomàtica de Kolmogorov.

Aplicació de la combinatòria al càlcul de probabilitats.

Experiments simples i compostos. Probabilitat condicionada. Dependència i independència d’esdeveniments.

Variables aleatòries discretes. Distribució de probabilitat. Mitjana, variància i desviació típica.

Distribució binomial. Caracterització i identificació del model. Càlcul de probabilitats.

Variables aleatòries contínues. Funció de densitat i de distribució. Interpretació de la mitjana, variància i desviació típica.

Distribució normal. Tipificació de la distribució normal. Assignació de probabilitats en una distribució normal.

Càlcul de probabilitats mitjançant l’aproximació de la distribució binomial per la normal.


1. Descriure i comparar conjunts de dades de distribucions bidimensionals, amb variables discretes o contínues, procedents de contextos relacionats amb l’economia i altres fenòmens socials i obtenir els paràmetres estadístics més usuals mitjançant els mitjans més adequats (llapis i paper, calculadora, full de càlcul) i valorant la dependència entre les variables.

1.1. Elabora i interpreta taules bidimensionals de freqüències a partir de les dades d’un estudi estadístic, amb variables discretes i contínues.

1.2. Calcula i interpreta els paràmetres estadístics més usuals en variables bidimensionals per aplicar-los en situacions de la vida real.

1.3. Troba les distribucions marginals i diferents distribucions condicionades a partir d’una taula de contingència, així com els seus paràmetres per aplicar-los en situacions de la vida real.

1.4. Decideix si dues variables estadístiques són o no estadísticament dependents a partir de les seves distribucions condicionades i marginals per poder formular conjectures.

1.5. Usa adequadament mitjans tecnològics per organitzar i analitzar dades des del punt de vista estadístic, calcular paràmetres i generar gràfics estadístics.

2. Interpretar la possible relació entre dues variables i quantificar la relació lineal entre elles mitjançant el coeficient de correlació, valorant la conveniència d’ajustar una recta de regressió i de realitzar prediccions a partir seu, avaluant la fiabilitat de les mateixes en un context de resolució de problemes relacionats amb fenòmens econòmics i socials.

2.1. Distingeix la dependència funcional de la dependència estadística i estima si dues variables són o no estadísticament dependents mitjançant la representació del núvol de punts en contextos quotidians.

2.2. Quantifica el grau i sentit de la dependència lineal entre dues variables mitjançant el càlcul i interpretació del coeficient de correlació lineal per poder obtenir conclusions.

2.3. Calcula les rectes de regressió de dues variables i obté prediccions a partir d’elles.


2.4. Avalua la fiabilitat de les prediccions obtingudes a partir de la recta de regressió mitjançant el coeficient de determinació lineal en contextos relacionats amb fenòmens econòmics i socials.

3. Assignar probabilitats a esdeveniments aleatoris en experiments simples i compostos, utilitzant la regla de Laplace en combinació amb diferents tècniques de recompte i l’axiomàtica de la probabilitat, emprant els resultats numèrics obtinguts a la presa de decisions en contextos relacionats amb les ciències socials.

3.1. Calcula la probabilitat d’esdeveniments en experiments simples i compostos mitjançant la regla de Laplace, les fórmules derivades de l’axiomàtica de Kolmogorov i diferents tècniques de recompte.

3.2. Construeix la funció de probabilitat d’una variable discreta associada a un fenomen senzill i calcula els seus paràmetres i algunes probabilitats associades.

3.3. Construeix la funció de densitat d’una variable contínua associada a un fenomen senzill i calcula els seus paràmetres i algunes probabilitats associades.

4. Identificar els fenòmens que poden modelitzar-se mitjançant les distribucions de probabilitat binomial i normal calculant els seus paràmetres i determinant la probabilitat de diferents esdeveniments associats.

4.1. Identifica fenòmens que poden modelitzar-se mitjançant la distribució binomial, obté els seus paràmetres i calcula la seva mitjana i desviació típica.

4.2. Calcula probabilitats associades a una distribució binomial a partir de la seva funció de probabilitat, de la taula de la distribució o mitjançant calculadora, full de càlcul o una altra eina tecnològica i les aplica en diverses situacions.

4.3. Distingeix fenòmens que poden modelitzar-se mitjançant una distribució normal, i valora la seva importància en les ciències socials.

4.4. Calcula probabilitats d’esdeveniments associats a fenòmens que poden modelitzar-se mitjançant la distribució normal a partir de la taula de la distribució o mitjançant calculadora, full de càlcul o una altra eina tecnològica, i les aplica en diverses situacions.

4.5. Calcula probabilitats d’esdeveniments associats a fenòmens que poden modelitzar-se mitjançant la distribució binomial a partir de la seva aproximació per la normal valorant si es donen les condicions necessàries perquè sigui vàlida.

5. Utilitzar el vocabulari adequat per a la descripció de situacions relacionades amb l’atzar i l’estadística, analitzant un conjunt de dades o interpretant de forma crítica informacions estadístiques presents en els mitjans de comunicació, la publicitat i altres àmbits, detectant possibles errors i manipulacions tant en la presentació de les dades com de les conclusions.

5.1. Utilitza un vocabulari adequat per descriure situacions relacionades amb l’atzar i l’estadística.

5.2. Raona i argumenta la interpretació d’informacions estadístiques o relacionades amb l’atzar presents en la vida quotidiana.


9. Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II


Temporalització

Bloc Tema Setmanes

1. Àlgebra 1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

2. Àlgebra de matrius

3. Resolució de sistemes mitjançant determinants

4. Programació lineal

3

2

3

3

2. Anàlisi 5. Límits de funcions. Continuïtat

6. Derivades. Tècniques de derivació

7. Aplicacions de les derivades

8. Representació de funcions

2

2

2

1

3. Estadística i probabilitat 9. Càlcul de probabilitats

10. Les mostres estadístiques

11. Inferència estadística. Estimació de la mitjana

12. Inferència estadística. Estimació de la proporció

13. Inferència estadística. Contrast d’hipòtesi

3

1

3

1

2

28 setmanes

112 sessions

Cronograma

Setembre

Octubre

Novembre

Desembre

Gener

Febrer

Març

Abril

Maig

9

11

1

3

4

7

10

12

1

2

3

5

6

8

9

11

13

1

2

4

5

6

9

11

13

3

4

7



(Macs II) Unitat 1: Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss


Dominar els conceptes i la nomenclatura associats als sistemes d’equacions i les seves solucions (compatible, incompatible, determinat, indeterminat…), i interpretar-los geomètricament per a 2 i 3 incògnites.

Reconeix si un sistema és incompatible o compatible i, en aquest cas, si és determinat o indeterminat.

Interpreta geomètricament sistemes lineals de 2, 3 o 4 equacions amb 2 o 3 incògnites

Conèixer i aplicar el mètode de Gauss per estudiar i resoldre sistemes d’equacions lineals.

Resol sistemes d’equacions lineals pel mètode de Gauss.

Discuteix sistemes d’equacions lineals dependents d’un paràmetre pel mètode de Gauss.

Resoldre problemes algebraics mitjançant sistemes d’equacions.

Expressa algebraicament un enunciat mitjançant un sistema d’equacions, el resol i interpreta la solució dins el context de l’enunciat.

CONTINGUTS


Sistemes equivalents.

Transformacions que mantenen l’equivalència.

Sistema compatible, incompatible, determinat, indeterminat.

Interpretació geomètrica d’un sistema d’equacions amb dues o tres incògnites segons sigui compatible o incompatible, determinat o indeterminat.

Sistemes escalonats

Transformació d’un sistema en un altre d’equivalent escalonat.

Mètode de Gauss

Estudi i resolució de sistemes pel mètode de Gauss.

Sistema d’equacions dependents d’un paràmetre

Concepte de discussió d’un sistema d’equacions.

Aplicació del mètode de Gauss a la discussió de sistemes dependents d’un paràmetre.

Resolució de problemes mitjançant equacions

Traducció a sistema d’equacions d’un problema, resolució i interpretació de la solució.


(Macs II) Unitat 2: Àlgebra de Matrius


Conèixer i utilitzar eficaçment les matrius, les seves operacions i les seves propietats.

Realitza operacions combinades amb matrius (elementals).

Calcula la inversa d’una matriu pel mètode de Gauss.

Resol equacions matricials.

Conèixer el significat de rang d’una matriu i calcular-lo mitjançant el mètode de Gauss.

Calcula el rang d’una matriu numèrica.

Calcula el rang d’una matriu que depèn d’un paràmetre.

Relaciona el rang d’una matriu amb la dependència lineal de les seves files o les seves columnes.

Resoldre problemes algebraics mitjançant matrius i les seves operacions.

Expressa un enunciat mitjançant una relació matricial i, en aquest cas, el resol i interpreta la solució dins del context de l’enunciat.

CONTINGUTS

Matrius

Conceptes bàsics: vector fila, vector columna, dimensió, matriu quadrada, transposició, simètrica, triangular...

Operacions amb matrius

Suma, producte per un nombre, producte. Propietats.

Matrius quadrades

Matriu unitat.

Matriu inversa d’una altra.

Obtenció de la inversa d’una matriu pel mètode de Gauss.

Resolució d’equacions matricials.

Dependència i independència lineal

Dependència i independència lineal. Propietat fonamental.

Obtenció d’una combinació lineal d’altres.

Constatació de si un conjunt de n-uples són L.D. o L.I.

Rang d’una matriu

Obtenció del rang d’una matriu per observació dels seus elements (en casos evidents).

Càlcul del rang d’una matriu pel mètode de Gauss.


(Macs II) Unitat 3: Resolució de sistemes mitjançant determinants


Conèixer els determinants, el seu càlcul i la seva aplicació a l’obtenció del rang d’una matriu.

Calcula determinants d’ordre 2 o 3.

Reconeix les propietats que s’utilitzen en igualtats entre determinants (casos senzills).

Calcula el rang d’una matriu (3 × 4 com a màxim).

Discuteix el rang d’una matriu dependent d’un paràmetre.

Calcular la inversa d’una matriu mitjançant determinants. Aplicar-ho a la resolució matricial de sistemes n × n.

Reconeix l’existència o no de la inversa d’una matriu i la calcula si és el cas.

Expressa matricialment un sistema d’equacions i, si és possible, el resol trobant la inversa de la matriu dels coeficients.

Conèixer el teorema de Rouché i la regla de Cramer i utilitzar-los per a la discussió i resolució de sistemes d’equacions.

Aplica el teorema de Rouché per dilucidar com és un sistema d’equacions lineals amb coeficients numèrics.

Aplica la regla de Cramer per resoldre un sistema d’equacions lineals, 2 × 2 o 3 × 3, amb solució única.

Estudia i resol, si és el cas, un sistema d’equacions lineals amb coeficients numèrics.

Discuteix i resol un sistema d’equacions dependent d’un paràmetre.

CONTINGUTS

Determinants d’ordres dos i tres

Determinants d’ordre dos i d’ordre tres. Propietats.

Càlcul de determinants d’ordre tres per la regla de Sarrus.

Determinants d’ordre quatre

Menor d’una matriu. Menor complementari i adjunt d’un element d’una matriu quadrada. Propietats.

Desenvolupament d’un determinant d’ordre quatre pels elements d’una línia.

Rang d’una matriu mitjançant determinants

El rang d’una matriu com el màxim ordre dels seus menors no nuls.

Determinació del rang d’una matriu a partir dels seus menors.

Teorema de Rouché

Aplicació del teorema de Rouché a la discussió de sistemes d’equacions de tres incògnites, com a màxim.

Regla de Cramer

Aplicació de la regla de Cramer a la resolució de sistemes determinats 3 × 3

Aplicació de la regla de Cramer a la resolució de sistemes indeterminats.

Sistemes homogenis

Resolució de sistemes homogenis.

Discussió de sistemes

Aplicació del teorema de Rouché i de la regla de Cramer a la discussió i resolució de sistemes dependents d’un paràmetre.

Càlcul de la inversa d’una matriu

Expressió de la inversa d’una matriu a partir dels adjunts dels seus elements. Càlcul.


(Macs II) Unitat 4: Programació lineal


Donats un sistema d’inequacions lineals i una funció objectiu G, representar el recinte de solucions factibles i optimitzar G.

Representa el semiplà de solucions d’una inequació lineal o identifica la inequació que correspon a un semiplà.

A partir d’un sistema d’inequacions, construeix el recinte de solucions i les interpreta com a tals.

Resol un problema de programació lineal amb dues incògnites descrit de forma merament algebraica.

Resoldre problemes de programació lineal donats mitjançant un enunciat, emmarcant la solució dins d’aquest.

Resol problemes de programació lineal donats mitjançant un enunciat.

CONTINGUTS

Elements bàsics

Funció objectiu.

Definició de restriccions.

Regió de validesa.

Representació gràfica d’un problema de programació lineal

Representació gràfica de les restriccions mitjançant semiplans.

Representació gràfica del recinte de validesa mitjançant intersecció de semiplans.

Situació de la funció objectiu sobre el recinte de validesa per a trobar la solució òptima.

Àlgebra i programació lineal

Traducció al llenguatge algebraic d’enunciats susceptibles de ser interpretats com a problemes de programació lineal i la seva resolució.


(Macs II) Unitat 5: Límits de funcions. Continuïtat


Comprendre el concepte de límit en les seves diferents versions de manera que s’associï a cada un una representació gràfica adequada.

Representa gràficament límits descrits analíticament.

Representa analíticament límits de funcions donades gràficament.

Calcular límits de diversos tipus a partir de l’expressió analítica de la funció.

Calcula límits immediats que només requereixen conèixer els resultats operatius i comparar infinits.

Calcula límits (x → ±∞) de quocients (k/0 i 0/0), de diferències (∞ - ∞) i de potències (1∞).

Calcula límits (x → c) de quocients, de diferències i de potències distingint, si el cas ho exigeix, quan x → c+ i quan x → c–.

Conèixer el concepte de continuïtat en un punt, relacionant-lo amb la idea de límit, i identificar la causa de la discontinuïtat. Estendre el concepte a la continuïtat en un interval.

Reconeix si una funció és contínua en un punt o el tipus de discontinuïtat que hi presenta.

Determina el valor d’un paràmetre perquè una funció definida a trossos sigui contínua en el punt (o punts) d’entroncament.

CONTINGUTS

Límit d’una funció

Límit d’una funció quan x → ±∞ o x → a. Representació gràfica.

Límits laterals.

Operacions amb límits finits.

Expressions infinites

Infinits del mateix ordre.

Infinit d’ordre superior a un altre.

Operacions amb expressions infinites.

Càlcul de límits

Càlcul de límits immediats (operacions amb límits finits evidents o comparació d’infinits de diferent ordre).

Indeterminació. Expressions indeterminades.

Càlcul de límits quan x → ±∞: Quocients de polinomis o d’altres expressions infinites; diferència d’expressions infinites; Potències.

Càlcul de límits quan x → a–, x → a+, x → a: Quocients, diferències i potències.

Continuïtat. Discontinuïtats

Continuïtat en un punt. Tipus de discontinuïtat.

Continuïtat en un interval.


(Macs II) Unitat 6: Derivades. Tècniques de derivació


Dominar els conceptes associats a la derivada d’una funció: derivada en un punt, derivades laterals, funció derivada...

Associa el gràfic d’una funció al de la seva funció derivada.

Troba la derivada d’una funció en un punt a partir de la definició.

Estudia la derivabilitat d’una funció definida “a trossos”, recorrent a les derivades laterals en el punt d’entroncament.

Conèixer les regles de derivació i utilitzar-les per a trobar la funció derivada d’una altra.

Troba la derivada d’una funció en la qual intervenen potències, productes i quocients.

Troba la derivada d’una funció composta.

CONTINGUTS

Derivada d’una funció en un punt

Taxa de variació mitjana.

Derivada d’una funció en un punt. Interpretació. Derivades laterals.

Obtenció de la derivada d’una funció en un punt a partir de la definició.

Funció derivada

Derivades successives.

Representació gràfica aproximada de la funció derivada d’una altra donada pel seu gràfic.

Estudi de la derivabilitat d’una funció en un punt estudiant les derivades laterals.

Regles de derivació

Regles de derivació de les funcions elementals i dels resultats operatius.

Derivabilitat de les funcions definides a trossos

Estudi de la derivabilitat d’una funció definida a trossos en el punt d’entroncament.

Obtenció de la seva funció derivada a partir de les derivades laterals.


(Macs II) Unitat 7: Aplicacions de les derivades


Trobar l’equació de la recta tangent a una corba en un dels seus punts.

Donada una funció explícita o implícita, troba l’equació de la recta tangent en un dels seus punts.

Conèixer les propietats que permeten estudiar creixements, decreixements, màxims i mínims relatius, tipus de curvatura, etc., i saber-les aplicar en casos concrets.

Donada una funció, sap decidir si és creixent o decreixent, còncava o convexa, en un punt o en un interval, obté els màxims i mínims relatius i els punts d’inflexió.

Dominar les estratègies necessàries per a optimitzar una funció.

Donada una funció mitjançant l’expressió analítica o mitjançant un enunciat, troba en quin cas presenta un màxim o un mínim.

CONTINGUTS

Aplicacions de la primera derivada

Obtenció de la tangent a una corba en un dels seus punts.

Identificació de punts o intervals en els quals la funció és creixent o decreixent.

Obtenció de màxims i mínims relatius.

Aplicacions de la segona derivada

Identificació de punts o intervals en els quals la funció és còncava o convexa.

Obtenció de punts d’inflexió.

Optimització de funcions

Càlcul dels extrems d’una funció en un interval.

Optimització de funcions definides mitjançant un enunciat.


(Macs II) Unitat 8: Representació de funcions


Conèixer el paper que exerceixen les eines bàsiques de l’anàlisi (límits, derivades...) en la representació de funcions i dominar la representació sistemàtica de funcions polinòmiques, racionals, amb radicals, exponencials, logarítmiques...

Representa funcions polinòmiques.

Representa funcions racionals.

Representa funcions trigonomètriques.

Representa funcions exponencials.

Representa altres tipus de funcions.

CONTINGUTS

Eines bàsiques per a la construcció de corbes

Domini de definició, simetries, periodicitat.

Branques infinites: asímptotes i branques parabòliques.

Punts singulars, punts d’inflexió, talls amb els eixos...

Representació de funcions

Representació de funcions polinòmiques.

Representació de funcions racionals.

Representació de funcions qualssevol.


(Macs II) Unitat 9: Càlcul de probabilitats


Conèixer i aplicar el llenguatge dels successos i la probabilitat associada a quests, com també les seves operacions i propietats.

Expressa un enunciat mitjançant operacions amb successos.

Aplica les lleis de la probabilitat per a obtenir la probabilitat d’un succés a partir de les probabilitats d’altres.

Conèixer els conceptes de probabilitat condicionada, dependència i independència de successos, probabilitat composta, probabilitat total i probabilitat a posteriori, i utilitzar-los per a calcular probabilitats.

Aplica els conceptes de probabilitat condicionada i independència de successos per a trobar relacions teòriques entre ells.

Calcula probabilitats d’experiències compostes descrites mitjançant un enunciat.

Calcula probabilitats plantejades mitjançant enunciats que poden donar lloc a una taula de contingència.

Calcula probabilitats totals o a posteriori utilitzant un diagrama en arbre o les fórmules corresponents.

CONTINGUTS

Successos

Operacions i propietats.

Reconeixement i obtenció de successos complementaris, incompatibles, unió de successos, intersecció de successos...

Propietats de les operacions amb successos. Lleis de De Morgan.

Llei dels grans nombres

Freqüència absoluta i freqüència relativa d’un succés.

Freqüència i probabilitat. Llei dels grans nombres.

Propietats de la probabilitat.

Justificació de les propietats de la probabilitat.

Llei de Laplace

Aplicació de la llei de Laplace per al càlcul de probabilitats senzilles.

Reconeixement d’experiències en què no es pot aplicar la llei de Laplace.

Probabilitat condicionada

Dependència i independència de dos successos.

Càlcul de probabilitats condicionades.

Fórmula de probabilitat total

Càlcul de probabilitats totals.

Fórmula de Bayes

Càlcul de probabilitats a posteriori.

Taules de contingència

Possibilitat de visualitzar gràficament processos i relacions probabilístics: taules de contingència.

Maneig i interpretació de les taules de contingència per a plantejar i resoldre alguns tipus de problemes de probabilitat.

Diagrama en arbre

Possibilitat de visualitzar gràficament processos i relacions probabilístics.

Utilització del diagrama en arbre per a descriure el procés de resolució de problemes amb experiències compostes. Càlcul de probabilitats totals i probabilitats “a posteriori”.


(Macs II) Unitat 10: Les mostres estadístiques


Conèixer el paper de les mostres, les seves característiques, el procés del mostratge i algunes de les diferents maneres d’obtenir mostres aleatòries (sorteig, sistemàtic, estratificat).

Identifica quan un col·lectiu és població o és mostra, raona per què s’ha de recórrer a una mostra en una circumstància concreta, comprèn que una mostra ha de ser aleatòria i d’una grandària adequada a les circumstàncies de l’experiència.

Descriu, calculant els elements bàsics, el procés per a realitzar un mostratge per sorteig, sistemàtic o estratificat.

CONTINGUTS

Població i mostra

El paper de les mostres.

Per què es recorr a les mostres: identificació, en cada cas, dels motius pels quals un estudi s’analitza a partir d’una mostra en compte de sobre la població.

Característiques rellevants d’una mostra

Grandària

Constatació del paper que juga la grandària de la mostra.

Aleatorietat

Distinció de mostres aleatòries d’altres que no ho són.

Mostratge. Tipus de mostratge aleatori

Mostratge aleatori simple.

Mostratge aleatori sistemàtic.

Mostratge aleatori estratificat.

Utilització dels nombres aleatoris per a obtenir a l’atzar un nombre d’entre N.


(Macs II) Unitat 11: Inferència estadística. Estimació de la mitjana


Conèixer les característiques de la distribució normal, interpretar-ne els paràmetres i utilitzar-la per a calcular probabilitats amb ajuda de les taules.

Calcula probabilitats en una distribució N( µ, σ).

Obté l’interval característic ( µ ± kσ) corresponent a una certa probabilitat.

Conèixer i aplicar el teorema central del límit per descriure el comportament de les mitjanes de les mostres d’una certa grandària extreta d’una població de característiques conegudes.

Descriu la distribució de les mitjanes mostrals corresponents a una població coneguda (amb n ≥ 30 o bé amb la població normal), i calcula probabilitats relatives a aquestes.

Troba l’interval característic corresponent a les mitjanes d’una certa grandària extreta d’una certa població i corresponent a una probabilitat.

Conèixer, comprendre i aplicar la relació que existeix entre la grandària de la mostra, el nivell de confiança i l’error màxim admissible en la construcció d’intervals de confiança per a la mitjana.

Construeix un interval de confiança per a la mitjana coneixent la mitjana mostral, la grandària de la mostra i el nivell de confiança.

Calcula la grandària de la mostra o el nivell de confiança quan es coneixen els altres elements de l’interval.

CONTINGUTS

Distribució normal

Maneig destre de la distribució normal.

Obtenció d’intervals característics.

Teorema central del límit

Comportament de les mitjanes de les mostres de grandària n: teorema central del límit.

Aplicació del teorema central del límit per a l’obtenció d’intervals característics per a les mitjanes mostrals.

Estadística inferencial

Estimació puntual i estimació per interval.

Interval de confiança.

Nivell de confiança.

Descripció de com influeix la grandària de la mostra en una estimació: com varien l’interval de confiança i el nivell de confiança.

Interval de confiança per a la mitjana

Obtenció d’intervals de confiança per a la mitjana.

Relació entre la grandària de la mostra, el nivell de confiança i la fita d’error

Càlcul de la grandària de la mostra que s’ha d’utilitzar per a realitzar una inferència amb certes condicions d’error i de nivell de confiança.


(Macs II) Unitat 12: Inferència estadística. Estimació d’una proporció


1. Conèixer les característiques de la distribució binomial B (n, p), l’obtenció dels paràmetres µ, σ i la seva relació amb la distribució normal sempre que n·p ≥ 5 i n·q ≥ 5.

1.1. Donada una distribució binomial, reconeix la possibilitat d’aproximar-la per una normal, n’obté els paràmetres i calcula probabilitats a partir d’aquesta.

2. Conèixer, comprendre i aplicar les característiques de la distribució de les proporcions mostrals i calcular probabilitats relatives a aquestes.

2.1. Descriu la distribució de les proporcions mostrals corresponent a una població coneguda i calcula probabilitats relatives a aquesta.

2.2. Per a una certa probabilitat, troba l’interval característic corresponent de les proporcions en mostres d’una certa grandària.

3. Conèixer, comprendre i aplicar la relació que existeix entre la grandària de la mostra, el nivell de confiança i l’error màxim admissible en la construcció d’intervals de confiança per a proporcions i probabilitats.

3.1. Construeix un interval de confiança per a la proporció (o la probabilitat) coneixent una proporció mostral, la grandària de la mostra i el nivell de confiança.

3.2. Calcula la grandària de la mostra o el nivell de confiança quan es coneixen els altres elements de l’interval.

CONTINGUTS

Distribució binomial

Aproximació a la normal.

Càlcul de probabilitats en una distribució binomial mitjançant la seva aproximació a la normal corresponent.

Distribució de proporcions mostrals

Obtenció d’intervals característics per a les proporcions mostrals.

Interval de confiança per a una proporció

Obtenció d’intervals de confiança per a la proporció.

Càlcul de la grandària de la mostra que s’ha d’utilitzar per a realitzar una inferència sobre una proporció amb certes condicions d’error màxim admissible i de nivell de confiança.


(Macs II) Unitat 13: Inferència estadística. Contrast d’hipòtesis


Conèixer, comprendre i aplicar tests d’hipòtesis. Enuncia i contrasta hipòtesi per a una mitjana.

Enuncia i contrasta hipòtesi per a una proporció o una probabilitat.

Identifica possibles errors (de tipus I o de tipus II) en el contrast d’una hipòtesi estadística.

CONTINGUTS

Hipòtesi estadística

Hipòtesi nul·la.

Hipòtesi alternativa.

Comprensió del paper que juguen els diferents elements d’un test estadístic.

Test d’hipòtesis

Nivell de significació.

Zona d’acceptació.

Verificació.

Decisió.

Enunciació de tests relatius a una mitjana i a una proporció.

Influència de la grandària de la mostra i del nivell de significació sobre l’acceptació o el rebuig de la hipòtesi nul·la.

Contrastos unilaterals i bilaterals

Realització de contrastos d’hipòtesis d’una mitjana.

Realització de contrastos d’hipòtesis d’una proporció.

Tipus d’errors

Tipus d’errors que es poden cometre en la realització d’un test estadístic: error de tipus I i error de tipus II.

Identificació del tipus d’error que es pot cometre en una situació concreta. Comprensió del paper que exerceix la grandària de la mostra en la possibilitat de cometre error d’un o altre tipus.


10. Ampliació de matemàtiques

A la modalitat del batxillerat científic i tecnològic les assignatures Matemàtiques I i Matemàtiques II tenen un caràcter propedèutic ben marcat; en efecte, els seus continguts són necessaris per a la totalitat dels estudis universitaris de caràcter científic o tècnic, però és una opinió general la seva insuficiència per continuar determinats estudis, ja que el salt qualitatiu i quantitatiu és massa gran. Aproximar els dos extrems (final del batxillerat i inici d’estudis tècnics i científics) és l’objectiu d’aquesta assignatura.

Naturalment, no es tracta de fer un primer curs universitari, però sí de pal·liar les mancances, tant formatives com informatives, que tenen els futurs alumnes de determinats estudis universitaris.

Així, els alumnes que finalitzen els seus estudis de batxillerat científic i tecnològic coneixen els diferents conjunts numèrics, els polinomis, les matrius, etc., i les operacions amb aquests; però no tenen una visió global de les seves estructures i propietats comunes. Es tracta ara de fer més enrere el punt de partida, ampliar el camp de visió i analitzar els conceptes de conjunts, relacions binàries, operacions, estructures algebraiques..., amb independència dels elements que hi intervenen. D’aquesta manera per una part s’incrementa la capacitat d’abstracció dels alumnes i per l’altra es dóna una base teòrica al càlcul matricial i a l’estudi dels sistemes d’equacions.

Els continguts d’anàlisi són una continuació lògica dels que apareixen a les Matemàtiques II, i tenen diferents objectius. Per una banda, es tracta de practicar les de vegades menyspreades habilitats per al càlcul formal; per una altra d’aplicar els coneixements a càlculs numèrics essencials; un tercer caire és iniciar els alumnes en les línies futures d’estudi de la matemàtica aplicada, tant en referència a les equacions diferencials com a l’estudi de corbes i superfícies. Naturalment, en aquest bloc, la càrrega conceptual nova és mínima, i la intenció és utilitària i informativa.

Hi ha diferents motius per als continguts de Càlcul de probabilitats i estadística. Un és el comú a tota l’assignatura, és a dir, ampliar els coneixements necessaris per a estudis superiors, tenint en compte a més que aquests continguts no apareixen a Matemàtiques II, encara que sí a les matemàtiques aplicades a les Ciències socials II. L’altre és continuar el currículum de Matemàtiques I sobre aquestes qüestions, continguts que són minsos per limitacions temporals.

10.1. Objectius

Els objectius generals de l’assignatura són:

1. Ampliar els coneixements matemàtics, utilitzant-los en la interpretació de les ciències i en la tècnica.

2. Iniciar procediments de càlcul superior emprant els ginys de càlcul a l’abast i interpretant els resultats.

3. Iniciar procediments de càlcul algebraic abstracte per emprar-los en altres procediments matemàtics més complexos.

4. Actuar en la resolució de problemes, d’acord amb els mètodes propis de l’activitat matemàtica, tal com ara l’exploració sistemàtica d’alternatives, la precisió en el llenguatge, la flexibilitat per modificar els punts de vista o la perseverança a l’hora de cercar solucions, tendint a l’optimització dels processos.

5. Matematitzar situacions, plantejades en l’àmbit de la ciència i de la tècnica, emprant diferents estratègies des de la intuïció fins a algorismes per a l’anàlisi de situacions concretes, i reconèixer i justificar l’aplicació dels models matemàtics estudiats en aquestes situacions.

6. Emprar amb fluïdesa i familiaritat els mitjans tecnològics que faciliten les tasques de càlcul i de representació, amb actitud crítica i de manera adequada a la complexitat de la situació.

7. Aprofitar la informació facilitada per les noves tecnologies, seleccionant el que pugui ser més útil per resoldre els problemes plantejats.

8. Aplicar els coneixements matemàtics de manera creativa, és a dir, no mimètica ni repetitiva, a fi que siguin útils per afrontar situacions noves i no tan sols aquelles que són pràcticament idèntiques a les que ja s’han treballat amb anterioritat.

9. Valorar el caràcter instrumental de la matemàtica en altres camps del coneixement.


10. Adquirir i manejar un vocabulari específic de notacions i termes matemàtics per poder expressar-se de forma oral, escrita i gràfica en situacions que puguin ser tractades matemàticament.

11. Situar històricament els principals fets i esdeveniments de l’evolució de la matemàtica i reconèixer el lligam d’aquesta evolució amb altres aspectes del context científic, tècnic i cultural general.

10.2. Actituds generals

1. Disposició a la revisió i millora dels procediments de treball assolits en etapes anteriors.

2. Interès per l’aplicació dels continguts de l’àrea en els àmbits científic, tecnològic, històric i

3. cultural.

4. Observació de les normes sistemàtiques i de precisió dels procediments matemàtics del càlcul estadístic, funcional, geomètric i algebraic i de representacions gràfiques.

5. Valoració de la constància i sistemàtica en els procediments d’inducció i deducció, disposició als processos d’abstracció i confiança en l’assoliment dels continguts.

6. Continuïtat i perseverança en el treball personal.

7. Participació en els processos que impliquen treball col·lectiu, disposició a la col·laboració i valoració dels resultats que se’n deriven.

8. Actitud positiva i crítica davant les correccions, disposició a l’autoavaluació i autoexigència en la consolidació dels continguts.

9. Ordre i sistemàtica a l’hora d’elaborar els propis materials d’estudi i consciència del seu valor en el procés d’aprenentatge present i futur.

10. Sensibilitat als aspectes formals d’elaboració i presentació dels treballs.

11. Acceptació de les normes de convivència, interès a aprendre i satisfacció pel treball ben fet.

10.3. Continguts

Conceptes Procediments

Probabilitat i estadística

Experiments aleatoris. Espai mostral. Esdeveniments. Àlgebra d’esdeveniments. Sistema complet d’esdeveniments.

Probabilitat: concepte clàssic i concepte axiomàtic. Propietats de la probabilitat. Probabilitat de la unió d’esdeveniments.

Probabilitat condicionada. Esdeveniments independents. Probabilitat composta o de la intersecció d’esdeveniments. Probabilitat total. Probabilitats a posteriori.

Inferència estadística. Mostra i població. Tipus de mostreigs. Distribució d’una proporció en el mostreig.

Distribució de les mitjanes mostrals. Teorema central del límit.

Estimació per intervals de confiança. Nivell de confiança i de significació. Intervals de confiança per a la mitjana o la proporció poblacional. Volum de les mostres.

Decisió estadística. Contrasts d’hipòtesis bilaterals i unilaterals per a la mitjana i la proporció. Errors de tipus I i II.

Obtenció dels espais mostrals associats a experiments aleatoris simples i composts. Obtenció de nous esdeveniments mitjançant les operacions definides (unió, intersecció, diferència).

Utilització de la llei dels grans nombres per arribar a la definició clàssica de probabilitat de Laplace. Utilització de la definició axiomàtica de la probabilitat de Kolmogorov per obtenir propietats necessàries per al càlcul de probabilitats.

3. Càlcul de probabilitats d’esdeveniments associats a experiments simples i composts. Càlcul de probabilitats condicionades. Utilització del teorema de la probabilitat total per al càlcul de la probabilitat d’un esdeveniment a partir de les probabilitats a priori i de les versemblances corresponents.

Utilització del teorema de Bayes per al càlcul de probabilitats a posteriori a partir de les probabilitats a priori i de les versemblances corresponents.

Per al càlcul de probabilitats en aquest curs s’utilitzaran els mètodes més adequats en cada cas: taules de contingència, diagrames en arbre, tècniques combinatòries o qualsevol altre.

Obtenció de distints tipus de mostreigs aleatoris


(simple, sistemàtic, estratificat i per conglomerats) mitjançant extracció amb devolució i sense o mitjançant la generació de nombres aleatoris.

Utilització del teorema central del límit per obtenir les distribucions de mitjanes i proporcions mostrals. Càlcul de probabilitats en aquestes distribucions mitjançant la taula de la distribució normal.

Estimació de la mitjana o la proporció en una població a partir d’una mostra aleatòria de volum n i nivell de confiança determinat.

Obtenció del volum mínim que ha de tenir una mostra perquè l’error màxim admissible i el nivell de confiança siguin els predeterminats.

Aplicació de la inferència estadística a la interpretació i comprovació de la fitxa tècnica d’una enquesta i al disseny de gràfics de control de qualitat en la indústria.

Formulació de les hipòtesis nul·la i alternativa a partir d’un enunciat on es demani una decisió, amb un determinat nivell de significació, sobre una mitjana d’una població normal o una proporció en una distribució binomial.

Utilització, segons convingui, d’un contrast bilateral o unilateral per decidir sobre la validesa de la hipòtesi nul·la: obtenció de la regió crítica. Acceptació o rebuig de la hipòtesi nul·la i interpretació d’aquesta decisió mitjançant l’estudi dels errors dels tipus I i II.

Aproximació de funcions derivables

Polinomis de Taylor.

Fórmula de Taylor.

Fórmula de McLaurin.

Aproximació de funcions.

Residu o terme complementari: fórmules de Lagrange i Cauchy.

Sèrie numèrica. Sumes parcials. Sèries convergents.

Condició necessària i suficient per a l’existència de màxims i mínims relatius.

Concavitat i convexitat. Punts d’inflexió.

Desenvolupament d’un polinomi en potències de (x-a).

Desenvolupament de funcions utilitzant les fórmules de Taylor i McLaurin.

Determinació de valors numèrics aproximats de funcions desenvolupables.

Fitació de l’error.

Càlcul de valors numèrics notables: pi, e...

Càlcul de límits de funcions utilitzant-ne el desenvolupament.

Determinació de màxims, mínims i punts d’inflexió.

Estudi de la concavitat i convexitat.

Ampliació del càlcul integral

Longitud d’una línia. Corbes rectificables.

Àrea d’una superfície plana.

Volum d’un cos.

Integral impròpia.

Família de corbes dependent d’un paràmetre.

Equació diferencial. Solució general i solucions particulars.

Equació diferencial de variables separables.

Factor integrant. Equacions diferencials homogènies.

Càlcul de primitives de funcions racionals de qualsevol tipus.

Càlcul de primitives de funcions trigonomètriques. Canvis de variable estàndard.

Càlcul de primitives de funcions irracionals. Canvis de variable estàndard.

Càlcul d’àrees planes de recintes tancats.

Càlcul de volums de cossos de revolució.

Càlcul de volums per seccions.

Càlcul de longituds d’arcs de corbes.

Càlcul d’àrees de superfícies de revolució.

Càlcul per integrals de sumes de sèries numèriques.

Integració en intervals infinits.

Integració de funcions no acotades en un interval.


Determinació de l’equació diferencial d’una família de corbes.

Integració d’equacions diferencials de variables separables.

Integració d’equacions diferencials homogènies

Corbes i superfícies

Equació implícita d’una corba plana.

Equació paramètrica d’una corba plana.

Funcions hiperbòliques.

Coordenades polars.

Equació d’una corba plana en coordenades polars.

Coordenades cilíndriques a l’espai.

Coordenades esfèriques a l’espai.

Corbes a l’espai. Equacions.

Superfícies. Equacions.

Superfícies de revolució. Equacions.

Determinació de les equacions paramètriques de les còniques.

Diferents expressions de l’equació d’una corba. Transformacions.

Estudi de corbes planes en paramètriques: domini, simetries, talls amb els eixos, vector tangent, màxims i mínims, punts de retrocés, asímptotes.

Representació gràfica de corbes planes en paramètriques.

Estudi de corbes planes en coordenades polars: domini, simetries i periodicitat.

Representació raonada de corbes planes en coordenades polars.

Càlcul d’àrees de recintes determinats per corbes en paramètriques.

Càlcul d’àrees de recintes determinats per corbes en coordenades polars.

Relacions entre coordenades cartesianes, cilíndriques i esfèriques a l’espai. Transformacions.

Identificació de corbes i superfícies a l’espai amb les seves equacions expressades de diferents formes.

Àlgebra de conjunts

Conjunts. Operacions. Símbols lògics.

Correspondències i aplicacions entre conjunts.

Relacions binàries: equivalència i ordre.

Lleis de composició interna i externa.

Homomorfisme. Isomorfisme.

Determinació de la terminologia específica dels conjunts: relacions de pertinença, inclusió, subconjunt, parts, conjunts iguals, conjunts disjunts, implicació, equivalència lògica, quantificadors, negació.

Operacions amb conjunts: intersecció, unió, diferència, partició, conjunt producte.

Determinació d’imatges, antecedents i graf d’una aplicació entre conjunts.

Estudi dels tipus d’aplicació entre conjunts.

Determinació de la imatge recíproca d’una aplicació.

Estudi de la composició d’aplicacions.

Estudi de la relació binària i determinació de les seves propietats més interessants.

Caracterització de la relació d’equivalència. Obtenció del conjunt quocient i de la descomposició canònica d’una aplicació.

Caracterització de la relació d’ordre. Estudi dels conjunts ordenats. Càlcul dels elements notables d’un conjunt ordenat.

Estudi dels conjunts ben ordenats. Iniciació al mètode de la inducció completa.

Estudi de les operacions internes en un conjunt. Determinació de les seves propietats.

Estudi d’operacions externes sobre un conjunt per a un domini d’operadors. Determinació de les seves propietats.

Estudi d’homomorfismes i isomorfismes entre


conjunts. Determinació de les seves propietats.

Estructures algebraiques: grups, anells i cossos.

Estructura de grup. Subgrup. Descomposició d’un grup en classes. Grup quocient. Homomorfisme i isomorfisme de grups. Grups especials.

Estructura d’anell. Subanell. Ideal. Anell quocient. Homomorfisme i isomorfisme entre anells.

Estructura de cos. Isomorfisme de cossos

Determinació dels axiomes que caracteritzen l’estructura de grup i estudi de les propietats generals a què donen lloc.

Estudi dels subgrups, de les classes d’equivalència determinades per un subgrup, dels subgrups invariants i del grup quocient.

Estudi dels homomorfismes i isomorfismes de grups.

Estudi de grups especials: monògens, finits i cíclics.

Determinació dels axiomes que determinen l’estructura d’anell i estudi de les propietats generals a què donen lloc.

Estudi de l’estructura d’anell d’integritat, subanell, ideal i anell quocient.

Determinació d’homomorfismes i isomorfismes entre anells i estudi de les seves propietats.

Determinació de l’estructura de cos, a partir de la d’anell, i estudi de les seves propietats generals.

Determinació de l’estructura de subcòs.

Estudi d’isomorfismes entre cossos.

Espais vectorials

Estructura d’espai vectorial.

Dependència lineal.

Espais vectorials de dimensió finita. Base i dimensió.

Subespais vectorials.

Aplicacions lineals. Isomorfisme. Formes lineals.

Valors i vectors propis d’un endomorfisme.

Determinació dels axiomes que determinen l’estructura d’espai vectorial i estudi de les propietats generals a què donen lloc.

Estudi de la dependència lineal de vectors i dels sistemes lliures i lligats.

Estudi dels espais vectorials de dimensió finita: sistemes de generadors, bases, dimensió. Components d’un vector en una base. Canvi de base.

Estudi dels subespais vectorials i de les operacions entre aquests.

Estudi de les aplicacions lineals entre espais vectorials a partir dels dos axiomes de linealitat.

Determinació del nucli i la imatge d’una aplicació lineal i estudi de les seves característiques.

Determinació d’una aplicació lineal segons les bases considerades. Determinació de la matriu d’una aplicació lineal.

Estudi dels canvis de base, del nucli, de la imatge i de les operacions amb aplicacions lineals, mitjançant el càlcul matricial.

Determinació de les formes lineals.

Estudi dels valors i vectors propis d’un endomorfisme. Iniciació a la diagonalització de matrius.

10.4. Criteris d’avaluació

1. Calcular i interpretar probabilitats d’esdeveniments associats a experiments aleatoris simples i composts, així com probabilitats condicionades.

Aquest criteri pretén avaluar la capacitat de l’alumne per determinar els esdeveniments associats a un experiment aleatori, simple o compost, per calcular les seves probabilitats mitjançant la llei de Laplace, les fórmules de la probabilitat composta i condicionada i els teoremes de la probabilitat total i Bayes, i


per prendre decisions davant situacions que exigeixen un estudi probabilístic. Per als càlculs es farà servir qualsevol tècnica de comptar: combinatòria, diagrames en arbre, taules de contingència...

2. Estimar mitjanes i proporcions poblacionals a partir dels resultats obtinguts en mostres ben seleccionades amb nivells de confiança determinats. Fitar l’error comès i determinar el volum de la mostra necessari segons el nivell de confiança establert.

Es pretén comprovar si els alumnes són capaços de treure conclusions sobre aspectes determinants d’una població a partir dels resultats d’una mostra i de determinar la validesa d’aquestes conclusions.

3. Prendre decisions sobre una població a partir dels resultats d’una mostra mitjançant el contrast entre la hipòtesi nul·la i la hipòtesi alternativa amb nivells de significació determinats.

Es pretén comprovar si l’alumne sap utilitzar la tècnica “H0 versus H1” per contrastar una afirmació sobre una característica d’una població mitjançant l’anàlisi d’una mostra aleatòria, determinant també la probabilitat de cometre un error en prendre una decisió.

4. Saber desenvolupar funcions indefinidament derivables utilitzant les fórmules de Taylor i McLaurin, determinar-ne de forma aproximada els valors numèrics i acotar l’error comès.

5. Utilitzar les fórmules d’aproximació de funcions per al càlcul de límits i per a l’estudi de punts notables de les funcions.

Amb aquests criteris es pretén avaluar si els alumnes saben calcular desenvolupaments finits i aproximats de les funcions usuals i utilitzar aquests desenvolupaments per a diferents aplicacions.

6. Conèixer els mètodes estàndards de càlcul de primitives i aconseguir una certa soltesa en el seu càlcul i iniciar-se en la resolució d’equacions diferencials senzilles.

7. Utilitzar el càlcul de primitives per determinar longituds, àrees i volums, en recintes tancats i oberts, així com la determinació de sumes de sèries per integració.

Es pretén avaluar l’habilitat en el càlcul formal de derivades i primitives i el coneixement de les aplicacions pràctiques.

8. Conèixer els diferents tipus de coordenades, tant al pla com a l’espai, valorant-ne la utilitat en els diferents casos i relacionar corbes i superfícies amb les seves equacions.

9. Saber fer l’estudi i la representació gràfica de corbes planes, tant en coordenades paramètriques com polars, determinant-ne les característiques i els punts notables.

L’objectiu d’aquests criteris és avaluar la capacitat dels alumnes per situar punts al pla i a l’espai, estudiar i representar corbes planes i relacionar corbes i superfícies elementals a l’espai amb les seves equacions.

10. Comprendre i utilitzar amb rigor el llenguatge algebraic propi dels conjunts, analitzar relacions binàries entre els elements d’un conjunt i utilitzar el mètode d’inducció completa.

Amb aquest criteri es pretén comprovar si l’alumne és capaç d’utilitzar amb soltesa i rigor els símbols lògics, les operacions entre conjunts, les aplicacions, les lleis de composició interna i externa, els homomorfismes i isomorfismes i distingir les relacions d’equivalència i ordre,classificant o ordenant els elements del conjunt, determinant les classes d’equivalència o els elements notables d’un conjunt ordenat, així com fer senzilles demostracions pel mètode d’inducció.

11. Comprendre i utilitzar amb rigor el llenguatge algebraic propi de l’estructura de grup i analitzar diferents situacions que es presenten en aquesta estructura.

Es pretén comprovar si l’alumne sap determinar si un conjunt amb una operació interna té estructura de grup i la seva capacitat per realitzar comprovacions i demostracions senzilles sobre subgrups, grups quocients, homomorfismes i isomorfismes de grups, grups monògens, finits i cíclics.

12. Comprendre i utilitzar amb rigor el llenguatge algebraic propi de les estructures d’anells i cossos i analitzar diferents situacions que es produeixen dins aquestes estructures.

Amb aquest criteri es pretén avaluar si l’alumne sap determinar si un conjunt amb dues operacions internes té estructura d’anell o de cos i si és capaç de realitzar comprovacions i demostracions senzilles sobre subanells, ideals, anell quocient, divisors de zero, subcossos i homomorfismes i isomorfismes entre anells i cossos.

13. Comprendre i utilitzar amb rigor el llenguatge algebraic propi de l’estructura d’espai vectorial i analitzar diferents situacions que es produeixen dins aquestes estructures.


Es tracta de comprovar si l’alumne és capaç de determinar si un conjunt amb una operació interna i una altra d’externa té estructura d’espai vectorial i sap realitzar comprovacions i demostracions senzilles sobre dependència lineal, canvis de base i operacions amb subespais vectorials.

14. Definir i utilitzar aplicacions lineals (homomorfismes) entre espais vectorials.

15. Relacionar les matrius, les seves operacions i els sistemes d’equacions amb les aplicacions lineals.

Amb aquests dos criteris es pretén avaluar si l’alumne sap comprovar si una aplicació entre espais vectorials és lineal i determinar-ne el nucli i la imatge i si és capaç d’obtenir matrius d’aplicacions lineals i de relacionar l’estudi de les matrius i dels sistemes d’equacions lineals fet a Matemàtiques II amb les aplicacions lineals.

16. Valorar els processos inductius i deductius com a eines bàsiques en el treball matemàtic i emprar-los amb la complexitat adequada a cada situació.

Es pretén avaluar si l’alumne és capaç d’utilitzar el raonament logicodeductiu quan sigui necessari i si és capaç d’inferir propietats generals a partir de fets particulars.

17. Tenir cura de la qualitat dels treballs realitzats, disposició a l’autocorrecció de manera crítica i interès a sol·licitar l’ajut necessari.

Per a l’avaluació de l’alumne, el professor valorarà no tan sols els coneixements, sinó també la seva actitud davant les matemàtiques.

10.5. Orientacions metodològiques

Els continguts d’aquesta assignatura i els seus objectius obliguen a una coordinació temporal amb les Matemàtiques II per a aquells alumnes que cursin les dues assignatures.

Com que a Matemàtiques II, la seqüenciació a seguir és Anàlisi, Àlgebra i Geometria, la seqüenciació d’ampliació de matemàtiques serà:

1. Àlgebra de conjunts (primer tema del bloc d’àlgebra)

2. Probabilitat i estadística,

3. Anàlisi.

4. Àlgebra.

5. Corbes i superfícies a l’espai.

D’aquesta manera el bloc d’anàlisi seria una continuació del bloc corresponent a Matemàtiques II, l’estudi dels espais vectorials es relacionaria amb el bloc d’àlgebra de Matemàtiques II i l’estudi de les corbes i superfícies a l’espai seria simultani amb el bloc de Geometria a l’espai.

En qualsevol cas, cada Departament determinarà la seqüenciació que consideri més adequada per als seus alumnes.

Com ja s’ha assenyalat a la introducció, el principal motiu de l’aparició del bloc de continguts relatius al Càlcul de probabilitats i a l’estadística en aquesta assignatura és el fet que aquesta part de les matemàtiques apareix en nombroses diplomatures i llicenciatures i els alumnes d’aquestes modalitats del batxillerat en tenen uns coneixements molt magres, mentre que cada vegada són més necessaris.

Així, d’una banda, s’ha d’aprofundir en l’estudi del càlcul de probabilitats iniciat a l’ESO i al curs anterior i, d’altra banda, s’introdueix el concepte d’inferència estadística i mostreig. Finalment, es farà una aproximació al contrast d’hipòtesis basat en la distribució gaussiana.

Pel que fa al Càlcul de probabilitats, se’n farà un estudi força exhaustiu, i, ja que per al desenvolupament d’aquests conceptes s’utilitzaran tècniques de comptar, s’hauria de començar per estudiar aquests procediments (combinatòria, diagrames en arbre, taules de contingència...). Després, s’introduiran els experiments aleatoris i els seus esdeveniments associats i caldrà estudiar l’àlgebra d’esdeveniments mitjançant la interpretació de les seves operacions (unió, intersecció, diferència).

Quant a la probabilitat pròpiament dita, es pot començar a partir de la llei dels grans nombres i de la definició empírica de von Mises com el límit de les freqüències relatives, que, malgrat la seva poca funcionalitat, té un alt valor educatiu. Per al càlcul de probabilitats, caldrà recordar del curs anterior i utilitzar la definició clàssica del marquès de Laplace; després, es comentaran els axiomes de


Kolmogorov per obtenir propietats de la probabilitat i poder calcular probabilitats d’operacions d’esdeveniments. Finalment, es raonaran els conceptes de probabilitat condicionada i d’independència d’esdeveniments i s’utilitzaran els teoremes de la probabilitat total i de Bayes per al càlcul de probabilitats en casos més complexos.

Pel que fa a l’estudi de l’Estadística, sembla imprescindible recordar allò que es va estudiar el curs passat respecte a la distribució normal, ja que tots els continguts d’aquest curs es basen en aquesta distribució de probabilitat. S’haurà de començar aquest bloc de continguts exposant, mitjançant exemples, la necessitat de les mostres per a l’estudi d’una població, els avantatges del mostreig aleatori (n’hi ha famosos exemples històrics) i els diferents tipus d’aquests mostreigs. Després, s’haurà d’estudiar, sempre utilitzant exemples reals, el teorema central del límit de Laplace-Liapounov per justificar que les distribucions de mitjanes i proporcions mostrals s’aproximen a una normal a mesura que creix el volum de la mostra. Posteriorment, s’hauria de passar a “l’estadística pràctica”, és a dir, inferir la informació sobre una població a partir de la informació continguda en una mostra, que, naturalment, és molt més interessant des del punt de vista pràctic. Amb exemples, es farà veure als alumnes els avantatges de l’estimació per intervals sobre l’estimació puntual i, després, introduint el concepte de nivell de confiança, es pot justificar la construcció d’intervals de confiança per a l’estimació de la mitjana i la proporció poblacional. I després d’haver comprovat que un procediment per augmentar la confiança pot ser augmentar el volum de la mostra, es pot, com una conseqüència lògica, calcular aquest volum perquè el nivell de confiança i l’error màxim comès en l’estimació siguin els prèviament establerts.

A més de l’estimació per paràmetres, un altre mètode per inferir informació sobre una població a partir dels resultats d’una mostra és el contrast d’hipòtesis: es proposaran als alumnes situacions reals on hagin de decidir si es pot considerar certa una afirmació sobre una població. Hi ha moltes situacions relacionades amb les ciències, l’economia i la tècnica que es poden plantejar i resoldre mitjançant el contrast d’hipòtesi, tant unilateral com bilateral, tenint sempre en compte la probabilitat de cometre un error en la decisió presa.

Una constant al llarg del bloc d’Anàlisi és la d’avançar una passa més respecte al que han estudiat en el bloc corresponent de Matemàtiques II, i les referències seran contínues i obligades, així com a les qüestions que queden pendents i que previsiblement es trobaran en un futur.

La “màgia” de la calculadora que informa sobre els valors de les funcions trigonomètriques, exponencials i logarítmiques pot ser el detall motivador de la fórmula de Taylor i servir per a la comprovació dels resultats obtinguts en els càlculs. És important fer observar que el desenvolupament té una infinitat de termes i que, a efectes pràctics, és necessari aturar-se en algun lloc; això implica un error, impossible de conèixer amb exactitud, però sí fitable per determinats procediments. Cada problema físic o tècnic requereix un determinat nivell d’aproximació, condicionat a la precisió dels instruments de mesura. Les antigues taules de logaritmes i funcions trigonomètriques poden ser documents per explicar la història del càlcul numèric.

L’ús de programes informàtics o material visual adient pot servir per comparar les gràfiques de les funcions bàsiques (p. e., logarítmica, exponencial i trigonomètriques), amb les gràfiques dels diferents desenvolupaments, il·lustrant així els diferents nivells d’aproximació i els valors de la variable per als quals és acceptable el seu càlcul.

La idea de sèrie numèrica es pot introduir abans o després del desenvolupament de les funcions i ha de tenir un caràcter simplement informatiu, així com el concepte de convergència. Exemples com les progressions geomètriques, el nombre e o la sèrie harmònica poden il·lustrar les diferents situacions i fer entendre la importància del seu coneixement, informant de l’existència de criteris de convergència. Tots aquests conceptes es podran transferir a les sèries funcionals més corrents, informant sobre els radis de convergència, naturalment sense justificació teòrica.

Exemples de límits de càlcul laboriós mitjançant la regla de L’Hôpital podran donar una altra utilitat al desenvolupament de funcions i les condicions de màxim i mínim relatius i de punts d’inflexió, normalment ja conegudes pels alumnes, tendran ara una més completa justificació.

L’ampliació del càlcul integral ha de tenir un caràcter essencialment pràctic. Els alumnes ja saben calcular primitives immediates, per parts, racionals senzilles i coneixen les tècniques del canvi de variable. Es tracta ara de generalitzar la descomposició de funcions racionals en totes les situacions i de practicar de forma més intensa els canvis de variable considerats generals per a determinats tipus de primitives, amb l’objectiu de perfeccionar les tècniques de càlcul i millorar la visió intuïtiva del que convé fer en diferents situacions.


Un altre caire del tema són les aplicacions numèriques i pràctiques. La suma de determinades sèries numèriques (amb el factor 1/n) pot servir per incidir en el concepte d’integral. El càlcul d’àrees i volums es pot ampliar a les altres situacions indicades en els procediments, sempre dins el nivell de primitives considerat, deduint-ne també algunes fórmules clàssiques d’àrees i volums. També seria convenient interpretar geomètricament alguns canvis de variable (p. e. a l’àrea del cercle) i, si la situació ho permet, fer menció dels teoremes de Guldin.

Les integrals impròpies es faran en un nivell d’iniciació, presentant diferents situacions de convergència. Algunes paradoxes poden despertar la curiositat i ser motius de debat constructiu.

Convé informar als alumnes que les equacions diferencials seran previsiblement una de les qüestions presents al llarg dels seus estudis futurs. Començant per rectes paral·leles, corbes amb la mateixa forma o els diferents canvis produïts per algun coeficient, fins a problemes físics simples, es podrà arribar a diferents equacions diferencials i generalitzar el concepte. La dificultat de trobar les solucions i la relació amb la solució de problemes tècnics, amb algunes referències històriques o de problemes no resolts encara, poden ser motiu d’interès per als alumnes, que només resoldran equacions simples com a complement del càlcul de primitives, amb alguna interpretació geomètrica. Les equacions diferencials homogènies serviran per parlar dels factors integrants, sense generalitzacions.

Els alumnes ja coneixen les equacions implícites de rectes i còniques i les equacions paramètriques de rectes i plans. Es tracta ara de generalitzar aquests conceptes i procediments de càlcul. Les equacions en forma paramètrica de la circumferència centrada a l’origen és un bon punt de partida i permet interpretar geomètricament el paràmetre; el mateix es pot dir de l’el·lipse. La hipèrbola permetrà definir les funcions hiperbòliques, comprovant-ne les propietats bàsiques. L’eliminació del paràmetre permetrà la determinació de l’equació en forma implícita i el procés invers en casos simples completarà aquest estudi global.

Un aspecte motivador de l’estudi de corbes (planes i a l’espai) és l’anàlisi de trajectòries de punts sotmesos a determinades condicions. Per tant, les referències a la física i les qüestions tècniques han de ser presents al llarg del tema.

L’estudi i la representació de corbes planes en forma paramètrica ha de tenir un caràcter iniciàtic, informatiu i, en molts aspectes, intuïtiu. Partint de la representació de corbes en forma explícita, es generalitzaran els conceptes coneguts i es definiran els nous, fent els càlculs i la representació de corbes senzilles i clàssiques.

La referència als nombres complexos servirà per recordar les coordenades polars i la seva relació amb les coordenades cartesianes. Començant per corbes simples (rectes per l’origen, circumferència) se’n raonarà la utilitat per a l’estudi de determinades corbes i, fent l’estudi de les simetries i periodicitat, es representaran de forma raonada algunes corbes clàssiques i se’n donaran a conèixer els noms genèrics.

Les diferents formes de determinar la posició d’un punt a l’espai han de servir per explicar els tipus de coordenades més convenients a cada situació i la necessitat de les transformacions. L’esfera, les diferents quàdriques i algunes superfícies d’equació senzilla, la construcció material d’algunes superfícies reglades, seccions planes, algunes interseccions de superfícies i alguns moviments a l’espai en general o sobre l’esfera en particular, poden servir per despertar la “imaginació espacial” dels alumnes, donant a més un cert caràcter lúdic. Algunes referències arquitectòniques completaran el tema.

És del tot evident que l’ús de material adient (visual, informàtic, etc.), facilitarà el treball dels alumnes.

Els continguts de l’àlgebra són totalment nous per a aquests alumnes i, per això, és convenient donar més importància als conceptes que a la resta. Com ja s’ha assenyalat a la introducció, i malgrat que amb la relació de continguts es pot pensar el contrari, no es tracta d’impartir un primer curs universitari d’àlgebra sinó de donar als alumnes una idea del que es trobaran al començament dels seus propers estudis.

Pel que fa al primer tema d’àlgebra, Àlgebra de conjunts, és evident que no es poden fer matemàtiques de nivell superior sense conèixer-lo bé. No es tracta de fer-ne un estudi exhaustiu, però sí que els alumnes comencin a utilitzar amb cert rigor els símbols de pertinença, inclusió, implicació, equivalència, quantificadors..., a realitzar algunes comprovacions i demostracions sobre operacions amb conjunts: unió, intersecció, diferència, complementari, lleis de Morgan, etc., que es podran relacionar amb la lògica matemàtica estudiada a Filosofia i utilitzar en l’estudi de la probabilitat. Es parlarà de conjunt producte (coordenades, fraccions...), correspondències, tipus d’aplicacions..., amb exemples que s’utilitzaran en els temes següents.


Capítol important d’aquest primer tema és l’estudi de les relacions binàries que permeten classificar o ordenar els elements d’un conjunt. Convé utilitzar exemples numèrics (dins Z o Q, p. e.) que apareixeran més endavant en l’estudi de les estructures. Quant a les operacions externes i internes, es tracta d’establir clarament aquests conceptes i estudiar les propietats que apareixen en casos particulars (estabilitat, associativitat, commutativitat, elements regulars, neutres, simètrics, distributivitat), aprofitant les operacions conegudes dins els conjunts numèrics usuals, encara que es podran introduir altres maneres de “sumar” o “multiplicar”, amb exemples clàssics com els de les resistències elèctriques. Finalment, respecte als homomorfismes i isomorfismes, es tracta d’establir aquests conceptes de forma general, comprovar que una aplicació ho és i demostrar relacions entre aquests conceptes i les operacions definides en els conjunts corresponents. Més endavant, en cada tipus d’estructura, es treballarà amb més detall.

Pel que fa al segon tema d’àlgebra, Estructures algebraiques: grups, anells i cossos, s’haurà de començar per establir de forma general i amb exemples els axiomes que determinen l’estructura de grup, tot i aprofitant l’estudi general de les operacions internes que s’ha fet al tema anterior, raonant a més algunes de les propietats que es deriven d’aquests axiomes. La idea de grup dins un altre introduirà el concepte de subgrup, deduint-ne després una condició necessària i suficient que determina el que un subconjunt d’un grup sigui un subgrup. Els exemples podran ser nombrosos, començant pels conjunts numèrics coneguts i amb les operacions usuals, però també convindria analitzar grups finits.

S’estudiaran després les relacions d’equivalència compatibles amb l’estructura de grup i les seves conseqüències: classes determinades per un subgrup, subgrups invariants i grup quocient, sempre amb molts d’exemples.

Els homomorfismes de grups s’estudiaran a partir de la seva definició i, si es creu convenient, es pot raonar l’estructura de la imatge i del nucli. Convindrà també establir la caracterització d’isomorfisme de grups, amb exemples de tot tipus i en particular de grups finits. Finalment, i com un resum, es podran analitzar grups monògens, finits i cíclics i les seves propietats més immediates.

Per a l’estudi dels anells serveixen les mateixes pautes que s’utilitzen per als grups, amb l’afegit dels conceptes de divisor de zero, domini d’integritat i ideal. No és necessari parlar gaire dels subanells, però sí que convé estudiar més a fons els ideals, ja que són determinants en l’estudi de les relacions d’equivalència compatibles amb l’estructura d’anell, de l’anell quocient i dels homomorfismes entre anells, fent observar que els ideals fan ara el mateix paper que els subgrups respecte als grups. Naturalment, tot aquest estudi es farà amb anells commutatius, encara que es posaran altres exemples com el de les matrius.

L’exemple referencial d’aquesta estructura podrà ser el conjunt Z, els seus ideals, i els anells quocients, alguns dels quals seran útils per explicar l’estructura de cos. A més, l’aplicació a la deducció dels criteris de divisibilitat pot donar un caire pràctic a la teoria.

Els cossos es poden tractar com a casos particulars dels anells, amb els models Q, R i C. Els conjunts Z/pZ seran els exemples de cossos finits, estudiant-ne les propietats més característiques: no existència de divisors de zero, solució única de ax=b, l’estructura d’un domini d’integritat finit, els ideals possibles, cossos isomorfs... És convenient insistir que el principal objectiu del tema ha de ser que els alumnes assimilin el concepte d’estructura algebraica, fent-ne l’estudi general dels diferents tipus. Els exemples i problemes s’han de fer utilitzant principalment els conjunts Z, nZ, Q, R, C, Z/nZ, polinomis i matrius, malgrat que es puguin estendre, de forma puntual, a d’altres conjunts si les circumstàncies ho permeten.

Quant al tercer tema d’àlgebra, Espais vectorials, s’haurà de començar per establir de forma general i amb exemples els axiomes que determinen l’estructura d’espai vectorial, aprofitant naturalment l’estudi de l’estructura de grup i de les operacions externes que s’ha fet als temes anteriors, i es raonaran les propietats immediates que es deriven d’aquests axiomes.

Les idees de dependència i independència lineal són bàsiques per poder continuar amb l’estudi dels conceptes més importants dels espais vectorials de dimensió finita, com són els sistemes de generadors, bases, canvis de bases i dimensió. La comparança amb les mateixes idees referides a matrius, equacions i determinants serà útil i constant al llarg del tema.

L’estudi dels subespais vectorials seguirà la mateixa pauta de les altres estructures: a partir de la definició s’establirà la condició necessària i suficient que determina que un subconjunt d’un espai vectorial sigui un subespai, determinant-ne, amb exemples simples, diferents bases, així com la dimensió, que es podrà associar als graus de llibertat dels components dels vectors del subespai.


Exemples de sumes i intersecció de subespais podrien servir per fer menció d’aquestes operacions, sense gaire detalls.

Capítol a part mereix l’estudi de les aplicacions lineals entre espais vectorials, ja que és el punt de convergència amb l’àlgebra de Matemàtiques II. Es pot seguir el mateix camí que ja s’ha fet en els homomorfismes de grups i anells del tema anterior (definició, condició necessària i suficient, imatge, nucli...), amb exemples que serviran per introduir el concepte de matriu associada. I, a partir d’aquí, es relacionaran els tipus de matrius amb les dimensions dels espais, i les operacions amb aplicacions (suma, composició...), donaran sentit als conceptes i a les operacions amb matrius que ja s’hauran fet a Matemàtiques II.

Els continguts assenyalats s’han de desenvolupar tenint en compte que el cos de referència ha de ser R i que, malgrat que els conceptes han de referir-se a espais vectorials en general, els exemples i exercicis es referiran sobretot als espais Rn, (n<5), i, eventualment, a matrius i polinomis.

10.6. Orientacions per a l’avaluació

L’aprenentatge de les matemàtiques és un procés acumulatiu i el que es pretén amb l’avaluació és aconseguir una imatge, vàlida i fiable en cada moment, de l’adquisició de les estructures conceptuals, de l’assoliment de les destreses procedimentals i de les actituds dels alumnes. L’avaluació ha de servir per conèixer l’evolució dels alumnes i per introduir, si cal, modificacions en la planificació del procés d’ensenyament.

En referència als conceptes, s’ha d’avaluar la capacitat dels alumnes per diferenciar els aspectes importants dels secundaris, per seleccionar models vàlids i per representar conceptes de diferents formes; això fa que es consideri negativa una simple memorització de les definicions.

L’avaluació del coneixement procedimental no s’ha de limitar a la valoració de la soltesa amb la qual els alumnes executen procediments; a més han de saber quan, com i per quin motiu cal aplicar-los, com s’han de verificar les respostes que donen, com també entendre els conceptes en què es basen i la lògica que els sustenta.

Els instruments d’avaluació són, globalment, de tres tipus: observació dels alumnes a classe, l’anàlisi del treball dels alumnes i les proves de qualificació. Tots els mecanismes utilitzats han de donar al professor informació sobre la situació dels alumnes dins el procés d’aprenentatge. Les preguntes que fan, l’interès pel treball, la iniciativa, etc., proporcionen molta informació sobre la seva actitud, però també sobre la idoneïtat del procediment d’ensenyament.

És important que l’alumne desenvolupi una actitud crítica sincera sobre el seu propi aprenentatge. En aquest sentit és important incorporar al procés d’aprenentatge procediments d’autoavaluació.

En general, en cada bloc de continguts l’avaluació es podrà fer en tres fases: la primera, de caràcter inicial, servirà per avaluar el nivell de coneixements dels alumnes i modificar eventualment la programació inicial; la segona, anomenada formativa, al llarg del desenvolupament dels continguts, per mesurar el seu grau de consecució i regular i orientar el procés d’aprenentatge; la fase final, l’avaluació sumativa, servirà d’anàlisi de la consecució dels objectius i d’avaluació del mateix procés d’ensenyament i d’avaluació.

En particular, en el bloc d’anàlisi serà essencial el nivell de coneixements assolit per cada alumne al bloc d’anàlisi de Matemàtiques II. Una informació sobre aquest nivell serà important per afinar el desenvolupament dels continguts; per altra banda, el que es faci a l’assignatura optativa servirà de reforç als continguts bàsics i influirà en el seu grau de comprensió.

El mateix es pot dir del tema referit a espais vectorials i aplicacions lineals i de la seva relació directa amb els temes sobre matrius i sistemes d’equacions lineals de Matemàtiques II.

Els instruments d’avaluació depenen molt de cada situació concreta (per exemple, si el professor coneix els alumnes de cursos anteriors, del seu nombre...), però, com una orientació general, per a l’avaluació inicial semblen adequades les proves objectives i els diàlegs pregunta / resposta individuals o col·lectius; per a l’avaluació formativa, l’observació dels alumnes a classe i l’anàlisi dels seus treballs individuals o en grup; i per a la sumativa, les clàssiques proves de control en totes les seves variants.

Un aspecte socialment important de l’avaluació és el seu component certificador i qualificador del grau d’assoliment dels objectius d’acord amb els criteris d’avaluació fixats. Correspondrà a cada departament determinar, de la manera més objectiva possible, els procediments i els criteris de qualificació.


10.7. Temporalització

El calendari escolar estableix que el curs acadèmic constarà de 175 dies lectius, equivalents aproximadament a 35 setmanes. Com que en el cas de 2n de batxillerat, les classes finalitzen unes 4 setmanes abans per tal de preparar la prova d’accés a la universitat, queden només 31 setmanes, equivalents a 124 sessions de classe.

S’ha programat un nombre menor de sessions per tal de preveure dies d’exàmens, dies sense classe per assistència de l’alumnat a activitats extraescolars, etc

Avaluació Continguts Sessions

1a Avaluació Activitats introductòries

Àlgebra de conjunts

Probabilitat i estadística

8 sessions

18 sessions

18 sessions

2a Avaluació Estructures algebraiques: grups, anells i cossos

Espais vectorials

18 sessions

18 sessions

3a Avaluació Aproximació de funcions derivables

Ampliació de càlcul integral

Corbes i superfícies

14 sessions

14 sessions

8 sessions

10.8. Materials i recursos didàctics

No hi ha llibre de text de l’assignatura, llevat del tema de probabilitat i estadística on es pot emprar el llibre de Matemàtiques I.

El recurs més adient el trobarem en la pàgina web http://pepblai.eresmas.net/amx/ dedicada a la impartició de la matèria en xarxa. El fet de disposar dels materials del curs en Internet, condiciona el fet d’intentar que l’assignatura es faci a l’aula d’informàtica.

Per ampliacions, tant teòriques com pràctiques, es farà servir material fotocopiat.


CAPÍTOL V. Diligència d’aprovació de la programació

La present programació fou aprovada en la reunió de departament del dia 13 d’octubre de 2015 a la que varen assistir tots els membres del departament, a més de Juan Carlos Sánchez Crespillo del departament d’Orientació.

Palma, 13 d’octubre de 2015.

El cap de departament

El professor

José Luis Bernal Garcías Felip Munar Vallespir

El professor

El professor

Vicent M. Martínez Tascones

Juan Carlos Sánchez Crespillo

ies centre de tecnificaciÓ esportiva illes balears...

Documents