予定 （川口担当分）

（１）４月１３日 量子力学・固体の性質の復習

（２）４月２０日 自由電子モデル

（３）４月２７日 結晶中の電子

（４）５月１１日 半導体

（５）５月１８日 輸送現象・金属絶縁体転移

（６）５月２５日 磁性の基礎

（７）６月１日 物性におけるトポロジー

今日（６/１）の内容磁性の基礎

• 交換相互作用

物性物理におけるトポロジー

• トポロジーとは？

• ホモトピー群

• 量子力学におけるトポロジー

• TKNN理論

磁性

•原子の磁気モーメント

•結晶中の磁性イオン

•局在モーメントが示す磁性

•交換相互作用

強磁性・反強磁性

常磁性状態 強磁性状態 反強磁性状態

交換相互作用

の起源？

→ パウリ原理に基づくクーロン相互作用のスピン依存性

A B

e

e

スピン状態

交換相互作用

A B

e

e

３重項（スピンの入れ替えに対して対称）

スピン状態

１重項（スピンの入れ替えに対して反対称）

軌道は反対称 軌道は対称

クーロン相互作用

A B

e

e

交換相互作用

量子論固有の効果

交換相互作用

スピン３重項

スピン１重項

エネルギーは、

J >0 スピン間の相互作用は強磁性的

J <0 スピン間の相互作用は反強磁性的

スピン３重項

スピン１重項

レポート１１

1. 大きさが１/２の２個のスピンS1, S2の間の等方的な相互作用は一般に

と書けて、 （nは2以上の整数）のような項は存在しない。この理由を説明せよ。

2. 上記の議論を拡張して、大きさが１のスピン間に働く等方的な相互作用の一般形を導きなさい。

物性におけるトポロジー

トポロジカル絶縁体

m

周期境界条件

トポロジカル絶縁体

m

開放端境界条件

edge state

絶縁体の種類

（１）バンド絶縁体

（２）アンダーソン絶縁体

（３）パイエルス絶縁体

（４）モット絶縁体

（５）電荷秩序絶縁体（モット絶縁体の仲間）

（６）トポロジカル絶縁体

トポロジー（位相幾何学）とは？

•ものの「形」を分類する数学

ボール マグカップ～ドーナツ

https://ja.wikipedia.org/wiki/位相幾何学

トポロジー（位相幾何学）とは？

•ものの「形」を分類する数学

メビウスの輪ふつうの輪

トポロジカル不変量の例

オイラーの定理

c=(頂点の数）－(辺の数）＋(面の数）

4面体 6面体 ８面体

多様体

局所的にユークリッド空間(座標系を導入できる）と見なせる空間

例）

n次元球面：

S1 ：輪 S2 ：球面

一般の多様体Mを分類するには？

ホモトピー群による分類SnからMへの写像を考え、連続変形で移り変われないものを数え上げる

基本群：π1(M)

S1からMへの写像の分類＝閉経路

π1(M)：M上の連続変形で移り変われない閉経路の集合

例1) M=S1

巻き付き数（winding number）

基本群：π1(M)

S1からMへの写像の分類＝閉経路

π1(M)：M上の連続変形で移り変われない閉経路の集合

例2) M=S2

連続変形で一点に縮む

基本群の応用

写像

欠陥

閉経路

閉経路上のスピン分布を調べることで欠陥を分類できる

例）スピンの空間分布

２次元空間における点欠陥３次元空間における線欠陥

を分類

２次元スピン（ＸＹ模型）

Ｎ＝１ Ｎ＝０

ホモトピー群による分類

３次元スピン（ハイゼンベルグ模型）

基本群：π1(M)

S1からMへの写像の分類＝閉経路

π1(M)：M上の連続変形で移り変われない閉経路の集合

例3) M=T2 （トーラス）

図の２つの輪に対し各々何回巻き付くか

レポート問題１２

1. ホモトピー群、ホモトピーとはどういうものかを調べて、具体例をあげて説明しなさい。

2. トポロジーが工学に応用されている例を調べてまとめなさい。

レポート問題１３

1. マゼラン世界一周を行った。しかしマゼランは本当に地球が球形であることを証明したことになるだろうか。どうしたら、地球は球形であることを示されるであろうか論じなさい。（宇宙から観察することはできないとする。）

2. 宇宙の外に出ないで宇宙の形を知るにはどのような仮想的実験ができると良いか論じなさい。

3. 現在宇宙の形の候補としてどのようなものがあるか調べてまとめなさい。（サーストンの業績より幾何化予想）

高次のホモトピー群

第２ホモトピー群 π2(M)

３次元空間における点欠陥

２次元空間（＋境界条件）における欠陥のない構造を分類

モノポール↔スカーミオン

http://www.christophschuette.com/physics/skyrmions.php

量子力学のトポロジー

波動関数の「形」が連続変形でつながるか

例）超伝導体の中の磁束の量子化

プランク定数

電子の電荷

超伝導渦の磁束量子

ホログラフィー電子顕微鏡による磁束量子の観察

@日立

磁場x 面積 磁束渦

磁束渦あり磁束渦なし

超伝導体状態の巨視的波動関数(クーパー対)

磁束の量子化

渦の中心から十分離れた領域では

超伝導電流

したがって

位相変化が2πN磁束

Stokesの定理

磁束がとびとびの値(N=0,1,2…)をとる

ベクトルポテンシャル

波数空間におけるトポロジカル不変量

ブロッホ波動関数を分類

≃

量子ホール系

強磁場下の半導体

最初に知られたトポロジカル量子系

• 半導体‐絶縁体界面、半導体のヘテロ接合などで実現される。2次元電子系に対し強い磁場（強磁場）を印加すると、電子の軌道運動が量子化され、エネルギー準位が離散的な値に縮退し、ランダウ準位が形成される。その結果、ホール係数が量子化される。

TKNN公式

チャーン数 (トポロジカル不変量)

占有バンドのベリー位相

運動量空間での”ベクトルポテンシャル”

線形応答理論

Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs

TKNN不変量

ベクトルan(k) がBrillouinゾーン内の全域で正則な

（一価関数としてなめらかに変化している）場合

= 0

これが非ゼロになるのは特異点がある場合のみ。すなわち、(あるひとつのゲージであたえられる) an(k)が定義できない点がBrillouin ゾーンに存在する場合のみ。

TKNN不変量

RI

RII

RI とRIIの重なり

重なり部分で

＝整数

36

占有バンドのトポロジー

占有バンドの状態ベクトル

チャーン数 1 チャーン数 0

チャーン数は保存量 量子化

バルク・エッジ対応

量子ホール状態では、バルクにはエネルギーギャップがある。

バルクの状態は絶縁体と考えるべき。

量子ホール状態

ギャップレス状態

量子ホール状態

真空

トポロジカルに非自明な波動関数は、ギャップを開けたまま真空の波動関数につながらない。 （金属状態の発現）

H

レポート１４

1. 量子ホール効果とはどういう現象か詳しく説明しなさい。これまでどのような研究が行われたのか歴史的背景についてもまとめなさい。（普通のホール効果との違いにも言及せよ。）

2. トポロジカル絶縁体にはどのような種類のものがあるのか詳しく調べてまとめなさい。またどのような性質機能が期待されているのかをまとめなさい。