II. Problems of First Chapter (Fluid

Properties)

2.1 Derive the Newton's law of viscosity using the figures in the textbook.뉴턴의 점성법칙모든 유체는 점성이 있다 . 유체가 유동할 때에 경우에 따라서 유속이 다른 층을 이루며 층류 유동(laminar flow) 을 하게 된다 . 그리하여 유체의 층과 층 사이에는 서로 다른 유속이 형성된다 . 유동하고 있는 유체의 층 사이에는 분명히 마찰력이나 전단력 (frictional or shearing force) 이 존재한다 . 이 전단력에 의하여 단위면적에 발생하는 응력을 전단응력이라 하여 τ로 표기하고 , 뉴턴은 이 전단응력을 상대적 변형(relative strain), 즉 du/dy 에 비례한다생각하여다음과가정하였다 .

τ ∝ du/dy 여기서 비례상수를 도입하여 τ = μ(du/dy) 로 표기하고 , 비례상수 μ 를 그 유체의 점성계수 (coefficient of viscosity) 로 정의하였다 . 이는 벽면으로부터 어느 한계유동을 내에서는 전단응력의 변화는 점성계수를 비례상수로 하여 직선적으로 변화하게 된다 . 이 식은 1968 년에 뉴턴이 처음으로 정립한 점성유체의 층류 유동에 대한 식이며 , 이를 점성계수 또는 뉴턴의 점성법칙 (Newton's law of viscosity) 이라 한다 . 이 식의 성립여부는 후에 많은 학자들의 실험을 통하여증명이 되었으며 , 현재는 경계층(boundary layer) 의 계산에 많이이용되고 있는 매우 중요한 식이다 .

dx×dy 평면에서 dy 만큼 떨어진 위층과 아래층 사이에 속도 차이가 du 일 때 dt 시간 동안 움직인 거리 차이 du dt 에 대한 각변형을 τ 라 하면 du dt = dy 로 쓸 수 있으므로 τ=μ(du/dyT)=μ(dΘ/dy) 의 관계가 성립하여 전단응력은 속도기울기와 각변형률에 비례함을 알 수 있다 . 때때로 유체유동의 운동방정식이나 계산에서 점성계수 μ 를 밀도 ρ 로 나누어 사용하는 경우가 그리하여 그 몫을 υ 로 표시하여 υ=μ/ρ 동점성 계수 (coefficient of kinematic viscosity) 또는 점성도 (kinematic viscosity) 라고 한다 .

여기서 층류 유동이란 ?유체입자들이 층을 이루면서 규칙 정연하게 흐르는 유동을 층류 유동이라 한다 . 서로 이웃하는 층 사이에는 유체의 미시적 혼합 ( 분자의 교환 ) 은 있으나 입자의 거시적 혼합 ( 유체의 큰 입자가 서로 교환 ) 은 없다 . 또 이웃하는 층과 층은 서로 원활하게 미끄러지면서 흐른다 . 유체가 뉴턴 유체라면 이들 층 사이에 생기는 마찰력은 Newton 의 점성법칙에 따른다 . 층류 유동하는 유체 속에 작은 구멍을 통하여 유동방향으로 물감( 유동유체와 밀도가 같고 용해되지 않는 ) 을 분출시키려면 물감은 하나의 선으로 나타날 뿐 유체입자사이로 확산되지 않는다 .

유체입자들이 극히 불규칙한 경로를 따라 회전하면서 불규칙하게 흐르는 유동을 난류유동( 난류 ) 이라 한다 . 난류유동을 하는 유체의 입자들은 불규칙한 운동을 하므로 속도도 불규칙하게 변동한다 . 난류에서는 거시적 혼합이 일어나므로 난류 속에 물감을 분축시키면 바로 유체전체에 확산한다 . 층류에서의 운동량운송은 다만 분자에 의하여 층과 층 사이에서 수송되나 난류에서는 분자적 운동량 수송과 입자의 불규칙운동에 의한 운동량 수송이 증첩되어 나타난다 .

점성계수란 ?점성계수 μ 의 특수단위로서 포아즈 (poise) 혹은 센티포아즈 (centpoise) 를 사용하기도 하는데

일 때 의 μ 로서 다음과 같이 표시된다 .

평판 경계면과 직접 접촉하고 있는 유체는 경계면과 동일한 속도로 운동을 한다 . 즉 , 경계면에서의 미끄럼은 없다 . 이 같은 사실은 여러 종류의 유체와 여러 재질의 경계면에 대해 많은 실험을 통하여 확인된 결과이다 . 면적 에 있던 유체는 새로운 위치 로 흐르게 되고 , 모든 유체입자는 평판에 평행한 운동을 하며 , 속도 는 고정판상에서 0 으로부터 위 평판상에서 까지 직선적으로 변한다 . 실험에 의하면 다른 물성값들이 일정할 때 는 비례하고 두께 에 반비례한다 .

이것을 식으로 표현하면 전단응력 ,

Angular velocity

여기서 , 는 비례상수이고 각 유체가 갖는 어떤 특성의 효과를 나타내는 값이다 . 전단응력 를 로 표기하면 ,

여기서 는 직선 의 각속도 또는 유체의 각 변형속도 (Rate of Angular Deformation), 즉 각 의 감소속도를 나타낸다 . 각속도는 로 표현할 수도 있다 . 왜냐하면 , 나 모두 변화가 일어나는 거리에 대한 속도의 변화율을 나타내기 때문이다 . 그러나 각속도와 전단응력이 높이 y 에 따라 변화하는 경우에도 적용할 수 있는 가 더 일반적으로 사용된다 . 속도구배 는 유체의 한 층이 인접층에 대하여 상대운동을 할 때 상대운동의 정도를 나타내는 척도로 생각할 수도 있다 .

유체의 일차원유동에서 전단응력과 각 변형속도 사이의 관계를 미분 형으로 표시하면 상기 식과 같으며 , 비례상수 를 유체의 점성계수(Viscosity) 라 하고 식 을 Newton 의 점성법칙 (Newton's law of viscosity) 이라 한다 .

2.2 Explain the principle, related equation and problems of surface tension and capillary phenomena using the detailed information data from internet.

표면장력표면에서 그 표면적이 작아지도록 작용하는 힘 . 물방울 ·비누방울의 입자가 둥근 것은 이 현상 때문이다 . 일반적으로 표면장력은 주어진 액체 내부 입자 사이에 작용하는 인력과 그 액체가 접한 기체 · 고체 · 액체에 의존한다 . 특히 기체 · 액체 , 기체 · 고체의 경계면을 표면 이라 하며 , 따라서 표면장력은 2 상 사이의 경계면에 생기는 면적을 축소하도록 작용하는 힘 , 즉 계면장력 ( 界面張力 ) 의 일종이다 .

표면장력이 생기는 것은 표면에서의 액체분자 분포와 배향 ( 配向 ) 이 상의 내부와 다르기 때문이다 . 액체 내 분자는 그 주위에 존재하는 분 자로부터 인력을 받고 있는데 , 표면의 분자는 그 주위 분자수가 내부 분자에 비해 절반이고 , 받는 인력도 절반이 된다 . 이 사실은 표면 분자가 내부 분자에 비하여 여분의 에너지를 가졌음을 의미한다 . 이같이 표면 분자상태가 표면장력을 결정하고 있다 . 면도날이 떠 있는 것은 이 표면장력 때문이다 . 표면장력은 단위면적당 에너지(dyn/ ㎝ =10-3 N/m) 로 나타낼 수 있으며 , 물의 표면장력은 20℃ 에서 72.75dyn/ ㎝이다 . 액체 표면이 늘어난 탄성막처럼 행동할 때 나타나는 성질 .

비누방울과 액체의 작은 방울이 거의 구형이 되는 것도 이 현상 때문이다 . 이 성질 때문에 어떤 곤충은 물의 표면에 서 있을 수 있다 . 면도날 역시 물의 표면장력으로 받쳐질 수 있다 . 면도날은 떠 있는 (floating) 것은 아니며 , 표면 밑으로 밀어 넣으면 물 속으로 가라앉게 된다 . 표면장력은 주로 주어진 액체 내부의 입자 사이에 작용하는 인력과 그 액체가 접한 기체 · 고체 · 액체에도 의존한다 . 예를 들어 물방울 내의 분자들은 서로 약하게 잡아당기고 있다 . 물방울 안에 있는 물 분자들은 주변의 분자들에 의해 모든 방향으로 균등하게 잡아당겨지고 있다고 생각되나 만약 표면 분자들을 표면으로부터 약간만 밖으로 이동시킬 수 있다면 , 그것들은 주변의 분자들에 의해 다시 잡아당겨질 것이다 .

표면장력 현상을 일으키는 에너지는 단위면적당 표층분자들을 제거하는 데 필요한 일이나 에너지와 거의 같다 . 따라서 표면장력은 단위면적당 에너지(J/㎡ ) 로 나타낼 수 있다 . 물의 표면장력은 20℃ 에서 0.07275J/ ㎡ 정도이다 . 수은은 물보다 표면장력이 크며 , 벤젠 · 알코올 같은 유기 용매들은 물보다 표면장력이 작다 . 온도가 증가하면 분자들 사이의 알짜 인력이 감소하므로 표면장력도 감소한다 . 표면장력은 또한 표면에서 작용하며 표면적을 최소화하려는 힘의 결과로 볼 수도 있다 . 이러한 입장에서 표면장력은 대개 단위길이의 선분에 수직인 표면에 작용하는 힘의 총합으로 표현되기도 한다 . 이 경우 단위는 N/m가 되며 , 이것은 J/㎡와 같다 .

정지해 있는 액체의 평형상태는 액체 내부의 이웃하는 분자들끼리의 인력에 의하여 유지되고 있으나 , 자유표면에서의 액체는 이웃분자와의 접촉이 없어 인력을 받지 않으므로 자체의 표면적을 최소한 작게 하려고 하는 장력 (tension surface tension) 이라고 한다 . 자유표면적을 최소화하는 데 필요한 힘을 이 작용한다 . 이것을 표면장력 자유표면에너지 (free surface energy) 또는 포텐셜에너지 (potential energy) 라 하고 , 감소된 단위표면적당의 자유표면에너지를 표면장력이라고 한다 .

원래의 표면적을 A, 감소된 후의 표면적을 B, 자유표면에너지를 라 하면 표면장력 은

가 되어 단위길이에 수직으로 작용하는 힘으로 표시된다 . 물방울이 풀잎 위에 동그랗게 맺혀있는 현상이나 . 빗방울이 구형이 되어 떨어지는 것은 모두 표면장력의 한 예이다 . 곡면의 반지름을 라 하고 , 각 방향으로 작용하는 장력을 라고 하면 , 미소면적 dxdy 에 작용하는 힘의 평형방정식은 다음과 같이 압력차 와 표면장력 로 쓸 수 있다 .

그런데 각 와 는 아주 작은 값이기 때문에

로 놓을 수 있으므로 , 윗 식은

이 된다 .

모세관현상의 원리 모세관현상은 액체의 표면장력에 의해 생기는 것으로 , 관벽을 이루는 고체와의 접촉각이 90˚보다 작아서 관벽을 적시는 경우에 액체는 관 속을 상승하며 , 90˚보다 커서 관벽을 적시지 않는 경우에는 하강한다 . 모세관내 액체의 표면은 곡면인데 , 이를 메니스커스라고 한다 . 액체면의 상승 · 하강은 이 메니스커스에 따라 작용하는 표면장력 때문이다 . 반지름 R 인 관을 상승하는 높이를 h, 표면장력을 r , 접촉각을 θ, 중력가속도를 g , 액체의 밀도를 ρ 라 할 때 , • H=2rcosθ/ρgR • 가 된다 . 이 식에서 R 는 h에 비해 충분히 작으며 , 이 관계는 표면장력의 값을 측정하는 데 사용된다 . 물과 친화력이 큰 물질로 구성된 관을 넣어주면 당연히 물은 위로 올라오게 되는 것이다 .

모세관현상은 액체의 응집력과 부착력의 합으로 인해서 나타나는 현상이다 . 액체가 응집력이 크면 잘 뭉쳐지게 되고 또한 , 액체가 관에 부착력이 크면 잘 달라붙게 된다 .유리관에는 물이 올라오게 된다 . 하지만 , 플라스틱 관에는 물이 아래로 내려가는

모세관현상을 갖게 되는 것이다 .

물과 유리관은 부착력이 강하기 때문에 물방울이 유리관 벽을 타고 올라간다 . 이에 표면적이 넓어지게 되는 것입니다 . 물은 표면장력이 크므로 표면적을 줄이기 위해서 물은 울라가게 되고 이에 곡면의 모양이 되는 것이다 . 그러면 표면적이 감소하게 된다 . 이 뿐만 아니라 플라스틱 빨대를 꽂으면 물이 빨대와 떨어지게 되고 이에 표면적은 넓어지게 된다 . 이 때문에 표면장력이 큰 물은 표면적을 줄이기 위해서 물이 떨어진 만큼 아래로 수위가 낮아지게 된다 .

그러면 물이 빨대와 떨어진 부분이 감소하고 이로 인해서 표면적이 작게 된다 .이에 유리관에서는 오목하게 올라가고 플라스틱빨대에서는 볼록하게 내려간다 .이렇게 모세관현상이 나타나는 이유는 궁극적으로 표면적을 줄이려는 액체의 성질 즉 , 표면 장력 때문에 나타나는 현상이다 . 모세관 현상은 응집력과 부착력뿐만 아니라 관의 굵기 , 액체의 온도 등에도 영향을 미치는 것입니다 . 이에 많이 올라가기 위해서는 액체간의 응집력과 액체와 모세관의 부착력 두 가지가 모두 클수록 더 많이 상승한다 .

아래와 같은 식으로 그 높이를 계산할 수 있다 . h= 4σcosβ/ γ d

여기서h: 모세관 상승 높이σ : 표면장력 (kg/m), β : 접촉각γ : 단위체적당비중량 (kg/ℓ) 물의 경우 1d : 모세관 직경 (m)

이에 모세관이 직경이 작으면 더 높이 올라가거나 더 많이 내려가게 된다 .