iii' p=oolgas/dl/dl_4p_s4.pdf · 2015-09-22 · chemines reakcijos,˙ inovaciju˛ sklaida...

Matematiniai modeliai4 paskaita

Olga Štikoniene

Diferencialiniu lygciu ir skaiciavimo matematikos katedra, MIF VU

2015-10-01

Olga Štikoniene (FDM MIF VU) Matematiniai modeliai 2015-10-01 1 / 24

Turinys

1 Matematiniu modeliu pavyzdžiaiNormalaus dauginimosi lygtisSprogimo lygtisLogistine lygtisKvotu modelisSantykines kvotos


Matematiniu modeliu pavyzdžiai

Faziniai portretai ir dinamika

Taikymuose DL x = v(x) modeliuoja parametro x kitima priklausomainuo laiko t fizikineje sistemoje.Modelio busena x(t0) galima pavaizduoti ∀t0 kaip taška DL x = v(x)fazineje tieseje.Kai laikas keiciasi (↑), keiciasi ir sistemos busena, taškas x judafazineje tieseje greiciu x = v(x), t.y. fizikines sistemos dinamikavaizduojama kaip fazinio taško judejimas fazineje tieseje.Fazinis portretas fiksuoja tik fazinio taško greicio krypti⇒ tik kokybinisdinamikos vaizdas. Tokia kokybine informacija gali buti naudingatyrinejant modeli.



Pavyzdys.x = kx, x > 0, k > 0.

x > 0 ∀x > 0 ⇒ fazinis portretas rodo, kad populiacija auga (→∞). Šisavybe nera realistiška. ∀ populiacijai yra aplinkos apribojimai, ji negalineribotai teikti resursus auganciai populiacijai.Tarkime, kad aplinka gali palaikyti xa dydžio populiacija.Kaip reikia pakeisti DL, kad itraukti ši fakta? Akivaizdu, kad reikia sustabdytineribota augima. Viena iš galimybiu – ivesti atraktoriu xa.

12 Introduction

• • III'

p=o

(a)

.. .. . .p =0 p =p.

(b)

Fig. 1.22. Phase portraits for (a) p=ap and (b) p=pea - bp), P. =a/b. In both cases,we are interested only in the behaviour for non-negative populations (p ~ 0). The

equation in (b) is known as the logistic law of population growth.

qualitative information can be helpful when constructing models. Forexample, consider the model (1.16) of an isolated population. Observe thatp> 0, for all P> 0, the phase portrait, in Fig. 1.22(a), shows that the populationincreases indefinitely. This feature is clearly unrealistic; the environment inwhich the species live must have limits and could not support an ever-increasingpopulation.

Let us suppose that the environment can support a population P•. Thenhow could (1.16) be modified to take account of this? Obviously, the: indefiniteincrease ofPshould be interrupted. One possibility is to introduce an attractorat Pc as shown in Fig. 1.22(b). This means that populations greater than Pcdecline, while populations less than Pc increase. Finally, equilibrium is reachedat P = Pc' The fixed point at P = Pc' as well as p = 0, requires a non-linearX(P) in (1.16). The form

p= p(a-bp) (1.18)

has the advantage of reducing to (1.16) when b = 0; otherwise Pc == a/b. Thepopulation Pc is known as the carrying capacity of the environment.

Ofcourse, models of physical systems frequently involve more than a singlestate variable. If we are to be able to use qualitative ideas in modelling thesesystems, then we must examine autonomous equations involving more thanone variable.

1.3 AUTONOMOUS SYSTEMS IN THE PLANE

Consider the differential equation

X= ~; =X(x) (1.19)

where x = (Xl' X2) is a vector in 1R 2• This equation is equivalent to the system

of two coupled equations

(1.20)

where X(x)=(X l (X I ,X2)' X 2(X I,X2», because x=(X I ,X2 ). A solution to(1.19) consists ofa pair offunctions (Xl (t), X2(t», tel s; IR, which satisfy (1.20).In general, both Xl (t) and x 2 (t) involve an arbitrary constant so that thereis a two-parameter family of solutions.

Tadapopuliacija x > xa mažeja iki xa;x < xa auga iki xa ;x = xa – pusiausvyra.

Tam, kad ∃ du ramybes taškai,funkcija v(x) turi buti netiesine.

x = x(k − bx)

– logistinis populiacijos augimo desnis.Ši lygtis, kai b = 0, sutampa su x = kx.Kai b 6= 0 yra ramybes taškas x = k/b.



Normalaus dauginimosi lygtis

Dauguma populiaciju (bakterijos, žuvys ir t.t.) dauginasi pagal desni:populiacijos augimo greitis proporcingas individu skaiciui.Šis desnis teisingas, kai populiacija turi pakankamai maisto.Populiacijos didi žymesime x(t).Kadangi individu skaicius populiacijoje visada turi buti neneigiamas,todel šio uždavinio vienmate fazine erdve x ≥ 0.Pagal desni užrašome normalaus dauginimosi lygti (DL):

x = kx, (1)

cia k > 0 yra proporcingumo koeficientas.



Sprendžiamex = kx, k > 0

lygti:1 Braižome vektorinio lauko v(x) = kx(t) grafika.2 Ieškome ramybes tašku, t.y. sprendžiame lygti v(x) = 0. Iš grafiko

matome, kad ramybes taškas x = 0. Šiuo atveju, jis atitinkaišsigimusia situacija, kai populiacijos nera. Vektorinis laukas neturiramybes tašku, kai x > 0.

3 Braižome krypciu lauka.4 Braižome viena integraline kreive. Kitas integralines kreives

gautume postumiu.

Integralines kreivesprimena eksponenciugrafikus.



Surasime (1) lygties sprendiniu formule srityje x > 0. Kadangi v(x) > 0,tai pagal Barou formule∫ x

x0

dxkx

= t − t0 ⇔ ln x− ln x0 = k(t − t0) ⇔ x = x0ek(t−t0).

Atitinkama bendrojo sprendinio išraiška

x = ϕ(t,C) = Cekt, C > 0.

Iš gerai žinomu eksponentes savybiu galime padaryti išvada, kadintegralines kreives asimptotiškai arteja i ramybes taška x = 0, kait→ −∞, ir per baigtini laika nepasiekia x = +∞, t.y.

limt→+∞

ϕ(t,C) = +∞.



Chemines reakcijos I

Chemijoje dažnai reakcijos aprašomos tais pacais empiriniais desniais:Jei medžiagos A molekules suskyla i mažesnes molekules, tai šioskilimo greitis yra proporcingas likusios medžiagos kiekiui.

dXdt

= kX,

cia X(t) yra medžiagos A kiekis,k < 0, nes X mažeja.

Laikas t 3

Kon

cent

raci

ja

A

PA Chemijoje

A→ PArate = k[A]

Pavyzdys. Pirmos eiles chemines reakcijos

H2O2(l)→ H2O(l) + 12 O2(g)

SO2Cl2(l)→ SO2(g) + Cl2(g)2N2O5(g)→ 4NO2(g) + O2(g)



Sprogimo lygtis

Kai populiacijos augimo dydis proporcingas poru skaiciui, gauname DL

x = kx2, x ≥ 0, (2)

cia k > 0 yra proporcingumo koeficientas.Toks desnis dažnai sutinkamas aprašant chemines reakcijas, kaireakcijos greitis proporcingas abieju komponenciu koncentracijai.Dideliems x populiacijos augimas (arba reakcija) yra greitesnis,negu normalaus dauginimosi atveju, o mažiems x – letesnis.Toks dauginimasis budingas retoms gyvunu rušims, kuriomssunku rasti pora.

DL apibrežtas krypciu laukas labai panašus i nagrineta pirmajamepavyzdyje.



Ramybes taškas yra x = 0. Rasime sprendini, kai x > 0:

dxdt

= kx2 ⇒∫

dxkx2 = t−t0 ⇒

1x− 1

x0= −k(t−t0) ⇒ x =

x0

1− kx0(t − t0).

Gavome hiperboles lygti.Kaip rodo integralo

∫ x00

dxx2 divergavimas ir integralo

∫∞x0

dxx2

konvergavimas, integralines kreives i x = 0 arteja asimptotiškai, ox =∞ pasiekia per baigtini laika, kai t∞ = t0 + 1

kx0.



Cheminiuose modeliuose laikui artejant prie t∞ vyksta labaigreitas reakcijos produkto kiekio didejimas, kuris gali nutrukti, jeibaigiasi reakcijoje dalyvaujancios komponentes, todel DLx = kx2, x ≥ 0, vadinama sprogimo lygtimi.Biologiniuose modeliuose individu skaicius nebuna labai didelis,nes pradeda reikštis papildomi faktoriai (maisto trukumas, ligos),kitais atvejais turesime populiacijos demografini sprogima.



Chemines reakcijos II

Antros eiles reakcijos greitis dažniausiai proporcingas dviejureagentu koncentraciju sandaugai:

aA + bB→ Prate = k[A][B].

Pavyzdys. Antros eiles chemine reakcija

(CH3)Cl + NaOH→ (CH3)OH + NaCl.

Šiuo atveju reakcijos greitis proporcingas likusiu reagentu CH3Cl ir NaOH

koncentraciju sandaugai.

X - kiekis chemines medžiagos P, susidarusiajai per laika t,α medžiagos A pradinis kiekis (kai t = 0)β medžiagos B pradinis kiekis (kai t = 0)

Antros eiles chemine reakcija

dXdt

= k(α− X)(β − X), k = const.



Pavyzdys

Dvieju medžiagu chemine reakcija. Chemineje reakcijoje, kuriojereaguoja dvi medžiagos, o produktas momentaliai pasišalina (virstadujomis ar nuosedomis), reakcijos greitis yra proporcingas abiejumedžiagu koncentraciju a− x ir b− x sandaugai, cia a ir breaguojanciuju medžiagu pradines koncentracijos, x – produktokoncentracija.Nubraižyti integralines kreives, kai:

1 b > a;2 b = a.



Logistine lygtis

Bendresnis yra modelis, aprašantis populiacijos evoliucija, kaiatsižvelgiama i individu gimima ir mirti.

x(t) – populiacijos dydis laiko momentu t.Per laiko vieneta gimsta a(x) ir miršta b(x) populiacijos individu.Tada populiacijos kitimo greitis x(t) lygus a(x)− b(x), t.y. gaunameDL

x = a(x)− b(x), x ≥ 0. (3)

Jeigua(x) = ax, b(x) = bx,

cia a ir b yra teigiamos konstantos, tuomet(1) lygties sprendinys (1 pavyzdys) yra

x = x0e(a−b)(t−t0).

i Kai a > b, populiacija eksponentiškai auga,ii kai a < b, – populiacija eksponentiškai nyksta,iii kai a = b, tai populiacijos didis nekinta.



Jeigua(x) = ax, b(x) = bx2,

tuomet gaunamas modelis, kurismažiems x artimas normaliam dauginimuisi.Kai populiacijos didis pasiekia tam tikra skaiciu, individai pradedakonkuruoti tarpusavyje, tokiu budu stabdydami tolesni populiacijosaugima.Keisdami laiko ir populiacijos dydžio mastelius, (3) DL šiuo atvejugalime suvesti i logistine lygti

x = (1− x)x, x ≥ 0, (4)

nes vektorinis laukas apibrežtas logistine funkcija v(x) = (1− x)x.



Lygties (4) ramybes taškai yra x = 0 ir x = 1. Šie ramybes taškaiapibrežia stacionariuosius sprendinius x(t) ≡ 0 ir x(t) ≡ 1. Kituosefazines erdves taškuose x ∈ (0, 1) ∪ (1,+∞) vektorinis laukas v 6= 0, irgalime taikyti Barou formule

t + ln |C| =∫ dx

(1−x)x =∫ dx

x +∫ dx

1−x = ln x− ln |1− x|,C 6= 0

⇒ x1−x = Cet ⇒ x = Cet

1+Cet .

Jeigu x0 = x(t0), tuomet randame laisvaja konstanta C:

C =x0

1− x0e−t0 .

Tada Koši uždavinio sprendinys yra

x =

x01−x0

e−t0et

1 + x01−x0

e−t0et =x0

x0 + (1− x0)et0−t .



Tirkime integralu konvergavima ramybes tašku ir taško x = +∞aplinkose:∫ x0

0

dx(1− x)x

∼∫ x0

0

dxx

=∞,∫ 1

x0

dx(1− x)x

∼∫ 1

x0

dx1− x

=∞,

∫ ∞x0

dx(1− x)x

∼ −∫ ∞

x0

dxx2 <∞.

Integralines kreives arteja asimptotiškai i fazines erdves taškus x = 0 irx = 1, o integralines kreives fazines erdves dalyje x > 1 turi vertikaliaasimptote taške t∞ = t0 − ln x0

x0−1 , t.y. sprendinys per baigtini laika išx =∞ patenka i taška x0.Ramybes taškas x = 1 atitinka stabilia populiacijos busena:

jei populiacija padideja aukšciau ramybes taško, tai desnis verciapopuliacija sumažeti, t.y. grižti i pusiausvyros busena.Jei populiacija sumažeja žemiau pusiausvyros taško, tai tas patsdesnis vercia ja vel padideti iki tos pacios pusiausvyros padeties.



Logistine lygtis (Verhulst’o lygtis)

dxdt

= kx(1− x), k = const.

Informacijos (reklamos) pletimas (paskirstymas),Populiacijos augimas areale (ekologija),Makroekonomines dinamikos modeliai,Epidemiju dinamika,Chemines reakcijos,Inovaciju sklaida ekonomikoje,

Apibendrinimas: Time-varying carrying capacity (ekon. našumas, produktyvumas,praleidžiamasis pajegumas ) Konstanta r apibrežia augimo tempa ir k – keliamojigalia. Kai aplinkos salygos priklauso nuo laiko k = k(t) > 0

dPdt

= rP(

1− Pk

)⇒ dP

dt= rP

(1− P

k(t)

)bottleneck efektas

Ypac svarbus yra periodiškas atvejis k(t + T) = k(t).⇒ sprendinys P(t) bus periodinissu periodu T. Dažnai T = 1 metai ( k(t) atspindi metine oru kaita).



Ligos plitimas

n – gyventoju skaicius mažoje bendruomeneje,x(t) – užsikretusiu (pvz., gripu) žmoniu skaicius,y(t) – dar neužsikretusiu žmoniu skaicius.

dxdt

= kxy, k = const.

Tarkime vienas užkrestas asmuo pateko i šia bendruomene, tada x(t)ir y(t) yra susije x + y = n + 1.

Ligos plitimas

dxdt

= kx(n + 1− x), x(0) = 1.

Advanced search

Search the archives

About us Education Records Information management Shop online

Getting in touchContact usPress officeJobs and careers

Site helpFAQsA-Z indexAccessibility

About usTerms of useCookiesFreedom of information

WebsitesLegislationLabsDirectgov

MyPage (not signed in)

You are here: Home > Exhibitions > The Art of War > Propaganda > Home Front > Coughs and Sneezes Spread Diseases

"Coughs and Sneezes Spread Diseases" by Herbert Mayo Bateman, October 1942. Ink & gouache onpaper.

"Coughs and Sneezes Spread Diseases" by Herbert Mayo Bateman, October 1942Catalogue ref: INF 3/407J

A cartoon scene of man sneezing in crowded cinema, designed by Bateman – already well known for his ‘The Man Who' series. Thedesign was to be used in the series ‘Coughs and Sneezes Spread Diseases', launched by the Ministry of Health and the Ministry ofInformation.

Advertiser's Weekly noted the launch of the campaign on October 22 1942, the second winter health scheme – consisting of four ofBateman's designs, alongside a more serious diagrammatic poster. Publicity was designed to show how thoughtlessness helps tospread not only the common cold, but also many other diseases. The whole ‘coughs and sneezes' campaign was far more to withfighting absenteeism than concern about people catching a cold.

Previous | Next

The National Archives | Research and learning | Exhibitions | The Art ... https://www.nationalarchives.gov.uk/theartofwar/prop/home_front/IN...

1 iš 2 2011-08-27 01:43

http://www.nationalarchives.gov.uk/theartofwar/prop/home_front/INF3_0407J.htm

"Coughs and Sneezes Spread Diseases" by Herbert Mayo Bateman, October 1942.



Kvotu modelis

Iki šiol nagrinejome populiacija, kuri vystosi pagal savo vidiniusdesnius.Dalis populiacijos gali buti sunaikinama išoriniu veiksniu (pavyzdžiui,galime nagrineti žuvu tvenkinyje populiacija, kuria pastoviai gaudome).

Kvotu modelis

x = (1− x)x− k, x ≥ 0, (5)

cia k > 0 charakterizuoja kvotos dydi.

Priklausomai nuo kvotos dydžio gauname triju tipu kokybiškaiskirtingus krypciu laukus fazineje erdveje ir atitinkamai skirtinguspopuliacijos vystymosi scenarijus.



Jeik < 1/4

, tai lygtis tures du ramybes taškus:x0 = (1 +

√1− 4k)/2 ir x1 = (1−

√1− 4k)/2:

a) x0 – tai stabilus ramybes taškas, kuris yra tokio pattipo kaip ir logistiniame modelyje,

b) x1 – tai nestabilus ramybes taškas.Jei, del tam tikru salygu, populiacija atsidurs žemiau ramybestaško x1, tai per baigtini laika populiacija pasieks nuli ir išnyks.

Jeik = 1/4

, tai turesime tik viena ramybes taška ir jis busnestabilus, t.y. jei populiacija atsidurs žemiau šio taško, tai jiišnyks.

Jeik > 1/4

, tai ramybes tašku nera, ir su tokia kvota visuskarosus išgaudysim per baigtini laika (populiacija išnyks).





Santykines kvotos

Jeigu vietoje absoliuciosios kvotos bus ivesta santykine kvota−kx, k > 0, tuomet gauname lygti

x = (1− x)x− kx, x ≥ 0 (6)

(pabandykime gaudyti tuos pacius karosus proporcingai, t.y.atsižvelgdami i ju kieki).



Jeigu k ≥ 1, tuomet populiacija išnyksta.Jei 0 < k < 1, tuomet x = 1− k bus stabilus ramybes taškas, i kuriasimptotiškai artes integralines kreives.Taško x =∞ aplinkoje sprendiniai elgiasi panašai kaip ir logistineslygties atveju, o x = 0 aplinkoje kreives arteja i ši taškaasimptotiškai.


iii' p=oolgas/dl/dl_4p_s4.pdf · 2015-09-22 · chemines reakcijos,˙ inovaciju˛ sklaida...

Documents