impedância e admitancia

Impedância e Admitância de Elementos Passivos Simples e Associados.

CLÁUDIO SANTOS PINTO, EleEng-MSc

Instituto Superior de Ttecnologias de Informação e Comunicação

CURSO DE TELECOMUNICAÇÕES

Disciplina de

Circuitos Eléctricos II

TEMA DA AULA

IMPEDÂNCIA (Z)• Define-se impedância (Z) pela relação entre os fasores da tensão (E) e

da corrente (I), expressa da seguinte forma:

Z = E / I (1)

• A impedância Z representa a dificuldade total oferecida aoestabelecimento da corrente por uma associação que envolvaelementos R, L e C (associações dos tipos RL, RC e RLC), contendo ainda,informação sobre a defasagem entre a tensão e a corrente sobre simesma. No caso de R puro, a impedância Z é a própria resistência (R),enquanto no caso de L ou C puros, a impedância Z é a própria reatância(XL ou XC), conforme veremos mais à frente. A impedância é, pois,expressa na forma de um número complexo (impedância complexa), jáque é uma relação entre dois números deste tipo, contendo um móduloe um argumento, onde o módulo representa a sua intensidade e oargumento representa o ângulo de defasagem entre a tensão e acorrente nela própria. Sua unidade é também OHM [].


(2) ][ / Z /I

E

β/ I

α/ E ZZ Z

I

E Z

podemos escrever:

Convertendo (2) da forma polar para a retangular obtém-se:Z = Z.cosφ + j.Z.senφ (3)

onde: Z.cosφ = R e Z.senφ = X (4)

Assim, Z = Z / φ [] também pode ser escrita como: Z = R + j.X [] (5)

Considerando primeiramente a expressão geral (5), sua parte real será sempre positiva, pois representa uma resistência enquanto sua parte imaginária poderá ser positiva, para o caso de representar reatância indutiva (XL), ou negativa, para o caso de representar reatância capacitiva (XC). Assim:

Z = R + j.XL [] (6) e Z = R - j.XC [] (7)

As expressões (3) e (4) podem assumir também as seguintes formas:

a) Z = R = R / 00 [] (8) para o caso de XL (equação 3) ou XC (equação 4) ser zero. Zterá característica de uma resistência pura.b) Z = j.XL = XL / 900 [] (9) para o caso de R ser zero (equação 3). Z terá característica de uma reatância indutiva pura.c) Z = -j.XC = XC / -900 [] (10) para o caso de R ser zero (equação 4). Z terá característica de uma reatância capacitiva pura.

Isto significa que Z pode englobar a resistência total de vários componentes resistivos (R) e a reatância total de vários componentes reativos (L e C). Então, ela representa a impedância total daquela associação de componentes.

• Conforme já mostrado, no caso da expressão (2) temos que:φ = arctg (X / R) (11)

• OBS.: X deve ser usado com sinal negativo quando se tiver Z = R - j.X

De (11) podemos concluir: se X = 0, tem-se φ = 00, conforme mostra a expressão (8); se R = 0, tem-se φ = 900, sendo + 900 para X = XL e -900 para X = XC, conforme mostram as expressões (9) e (10). Mas, e se nem X e nem R forem zero? Se lembrarmos que Z / φ ao ser convertido para a forma retangular tem que resultar em (6) ou (7), com R sempre positivo, então podemos afirmar que φ será sempre um ângulo do 10. ou 40. quadrantes. Logo, φ poderá variar de -900 a 00 e de 00 a +900, ou seja:

-900 ≤ φ ≤ 900 (12)


Para φ = 00, φ = 900 e φ = -900, já sabemos que informações sobre Z podem ser obtidas, de acordo com (8), (9) e (10) e as observações à frente de cada expressão. Mas, e para os outros valores possíveis de φ? Por exemplo: se tivermos φ = 600 ou φ = -450, o que podemos concluir sobre Z ? Do exposto anteriormente, neste caso Z representará uma impedância que não possui nem R e nem X igual a zero, ou seja, que possui resistência R e reatância X, conforme veremos a seguir

•Graficamente podemos representar uma impedância das seguintes formas:

Ainda, podemos representar uma impedância através de um triângulodenominado TRIÂNGULO DE IMPEDÂNCIA. Tomemos como ponto departida, as representações polar e retangular sobre um mesmo sistema deeixos:

ADMITÂNCIAÉ definida como sendo o inverso da impedância. É representada por Y

e tem por unidade o SIEMENS [S]. O uso da admitância é departicular importância quando se trabalha com associaçãoparalela, conforme veremos. É o mesmo caso estudado para oinverso da resistência, que denominamos de condutância (G), eque vimos nas aulas referentes a associações de resistores. Assim:

(13) [S] j.B G

.R

R

j.X R

1

1

2222

Y

YYZ

YXR

Xj

X

Para a dedução acima, consideramos as hipóteses de Z = R + j.X e Z = R - j.X, além do procedimento para se efetuar a divisão de números complexo na forma retangular.

Em (13) temos que:

(15) [S] B e (14) [S] R

R G

2222 XR

X

X

G e B são as partes da admitância Y correspondente à impedância Z, onde G corresponde àCONDUTÂNCIA [S} e B corresponde à denominada SUSCEPTÂNCIA [S], inverso da reatância. Aadmitância Y é expressa por um número complexo, enquanto G e B são números reais (semelhante aoque ocorre com Z, que é um número complexo e com R e X, que são números reais).


Para uma resistência R isoladamente é correto se calcular sua condutância por:

G = 1 / R [S] (16)

Da mesma forma, para uma reatância X isoladamente, é correto se calcular sua susceptância por:

B = 1 / X [S] (17)

Entretanto, para a impedância Z = R j.X a admitância Y correspondente (Y = G j.B) não pode ser calculada fazendo-se G = 1 / R e B = 1 / X. A admitância Y deverá ser calculada a partir de 1 / Z , ou seja:

Y = 1 / (R j.X) .

Assim, é importante se fazer bem a distinção entre como se calcula G de uma resistência e B de uma reatância, ambas isoladamente, e como se calcula G e B presentes na admitância Y correspondente a certa impedância Z.


EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.

1. A certa impedância se aplicou a tensão E = 200 / 800 [V], resultando nela uma corrente I = 4 / 43,130 [A]. Pede-se calcular:

a) A impedância e a admitância correspondente.b) A resistência e a reatância que compõem a impedância.c) A condutância e a susceptância que compõem a admitância.d) A condutância e a susceptância, considerando a resistência e a reatância isoladamente.e) Represente Z na forma polar e na forma retangular.


SOLUÇÃO:

a) Z = E / I Z = 200 / 800 / 4 / 43,130 Resposta: Z = 50 / 36,870 [].

Y = 1 / Z Y = 1 / (50 / 36,870 ) Resposta: Y = 0,02 / - 36,870 [S].

b) Os valores de Z e Y calculados no item “a” estão expressos na forma polar. Transformando-os para a forma retangular encontraremos as grandezas pedidas neste item “b”. Assim:

Z = R + j.X Z = 50 / 36,870 ≈ 40 + j.30 *] Resposta: R = 40 [] e X = 30[].

c) Y = G + j.B Y = 0,02 / - 36,870 ≈ 0,016 - j.0,012 [S] Resposta: G = 0,016 [S] e B = 0,012 [S].

d) Isoladamente temos: G = 1 / R G = 1 / 40 = 0,025 [S] Resposta: G = 0,0125 [S].

B = 1 / X B = 1 / 30 = 0,0333 [S] Resposta: B = 0,0333 [S].

NOTA: A diferença entre os valores para G e os valores para B encontrados nos itens “c” e “d” se deve ao fato de que em “c” foram calculados com base no resultado da associação entre uma resistência R e uma reatância X, ou seja, com base em Z ou Y, enquanto em “d” foram calculados para os elementos R e X isoladamente. Para que esta diferença fique mais clara, compare com o seguinte caso, que é similar:

Dois resistores de 20 estão em série. A resistência total da associação é de 40 []. A condutância G de cada um isoladamente é de 1 / 20 = 0,05 [S], mas a condutância da associação é de 1 / 40 = 0,025 [S]. Note que a condutância total para esta associação não é a soma das condutâncias calculadas isoladamente ou individualmente, tal como acontece com a resistência total. A condutância total só é a soma das condutâncias para o caso de uma associação paralela.

e) Representações de Z nas formas polar e rectangular

ASSOCIAÇÃO DE IMPEDANCIA E ADMITANCIA

• ASSOCIAÇÕES DE IMPEDÂNCIAS.

As associações de impedâncias têm as mesmas características das associações deresistores. Aliás, as associações de reatâncias também. Isto significa que elaspodem ser associadas em série, paralelo, mista ou nenhuma destas (ESTRELA ETRIANGULO). Os cálculos de impedância equivalente ou impedância total de umaassociação são feitos da mesma forma que fazemos os cálculos para associaçõesde resistores e valem as mesmas regras de divisor de tensão, de divisor decorrente etc.. Como já estudamos as características das associações de resistores eelas valem também para impedâncias e reatâncias.

• A GRANDE DIFERENÇA NO ASPECTO DOS CÁLCULOS QUANDO O ASSUNTO ÉIMPEDÂNCIA, É QUE TRABALHAMOS COM NÚMEROS COMPLEXOS, ONDE ASOPERAÇÕES MATEMÁTICAS SÃO FEITAS DE FORMA DIFERENTE DAQUELAS QUEENVOLVEM SOMENTE NÚMEROS REAIS (como é o caso de associações só deresistores).

• Vê-se pois, que quem não souber operar bem com números complexos, terásérios problemas em análise de circuitos de corrente alternada senoidal,contendo elementos armazenadores de energia, operando no regimepermanente e fazendo a análise no domínio da freqüência (usando fasores).


ASSOCIAÇÃO SÉRIEConforme já mencionado, valem as mesmas considerações sobre associação série de

resistores.

ZT = Z1 + Z2 + Z3 + .... + Zn (1)

Entretanto, devemos nos lembrar que para impedância, a soma é de números complexos.

Exemplos:

1) Z1 = 120 + j.80 [] ; Z2 = 25 - j.30 [] ; Z3 = 40 + j.60 [] ; Z4 = 15 - j.35 [].

ZT = (120 + j.80) + (25 - j.30) + (40 +j.60) + (15 - j.35) = (120 + 25 + 40 + 15) + j.(80 - 30 + 60 -35) = 200 + j.75 [].

2)

Como regra geral para associação série de impedância, podemos escrever:

ZT = ∑R’s + j. ∑X’s = RT + j.XT [] (2)


ou seja, a impedância total (ZT) terá como resistência total (RT) a soma das resistências da associação ( ∑R’s ) e terá como reatância total (XT) a soma algébrica das reatâncias da associação ( ∑X’s ). Veja no exemplo E.1 acima, onde RT = 200 e XT = 75 , e no exemplo E.2, onde RT = 300 e XT = 250 .

• Como ∑X’s é obtido se somando todas as reatâncias indutivas (XL’s) e se subtraindo todas as reatâncias capacitivas (XC’s), concluímos que ∑X’s poderá ter valor zero (∑XL’s = ∑XC’s), valor positivo (∑XL’s ∑XC’s) ou valor negativo (∑XL’s < ∑XC’s).

• Se Z = R, sua característica é resistiva pura. Se Z = R + j.X, sua característica é indutiva. Se Z = R - j.X, sua característica é capacitiva. Se Z estiver expressa na forma polar, identificamos a característica resistiva pura quando φ = 00, a característica indutivaquando φ positivo e a característica capacitiva quando φ negativo.

• Concluindo:• φ = 00, característica resistiva pura (R) e Z = R / 00 = R (3)

• φ = 900, característica indutiva pura (L) e Z = XL / 900 = j.XL (4)

• φ = - 900, característica capacitiva pura (C) e Z = XC / -900 = - j.XC (5)

• 00 < φ < 900, característica indutiva (RL) e Z = Z / 00 < φ < 900 = R + j.XL (6)

• -900 < φ < 00, característica capacitiva (RC) e Z = Z / -900 < φ < 00 = R - j.XC (7)


• Deve-se notar a diferença entre se dizer “característica indutiva pura” ou apenas“característica indutiva”. Com “característica indutiva pura” fica subentendido que Z secomporta como um indutor puro. Com “característica indutiva” apenas, Z se comportacomo uma associação RL. O mesmo se aplica a “capacitiva pura” e “capacitiva” apenas.Por outro lado, Z se comportando como RL não significa necessariamente que aassociação só contenha resistor e indutor. Pode possuir resistor, indutor e capacitor,porém, tem-se XL XC. Da mesma forma, Z se comportando como RC não significanecessariamente que a associação só contenha resistor e capacitor. Pode contertambém indutor, só que XC XL. Ainda, ao se comportar como resistor puro, tambémpode possuir indutor e capacitor, só que XL = XC. Ao se comportar como indutor puro,pode possuir capacitor, só que XL XC. Ao se comportar como capacitiva pura, podepossuir indutor, só que XC XL.

• Observe no exemplo 1, que as quatro impedâncias possuem resistências, sendo que Z1 eZ3 também possuem indutâncias, enquanto Z2 e Z4 também possuem capacitâncias.Porém, a impedância total da associação é ZT = 200 + j.75 [] ou ZT = 213,6 / 20,5560

[], mostrando, segundo vimos, se tratar de uma impedância com característicaindutiva (onde a tensão está adiantada da corrente de 20,5560, ou seja, 00 < φ < 900 ).

• Ainda, no exemplo 2 a impedância total é correspondente a uma associação RLC, tendovalor ZT = 300 - j.250 [] ou ZT = 390,51 / - 39,80 [], mostrando, segundo tambémvimos, se tratar de uma impedância com característica capacitiva (onde a tensão estáatrasada da corrente de 39,80, ou seja, -900 < φ < 00). Lembrar que φ = - , onde =fase da tensão e = fase da corrente. Logo, se φ = ângulo positivo é porque e atensão está adiantada da corrente e se φ = ângulo negativo é porque e a tensãoestá atrasada da corrente.


3) Considere as quatro impedâncias do exemplo 1 em série. Considere ainda, que a tensão total aplicada sobre elas seja ET = 500 / -150 [V]. Calcular:

a) A corrente I que circula pelas impedâncias.b) A tensão E2 em Z2.c) A tensão E3 em Z3.

SOLUÇÃO:

a) I = ET / ZT I = 500 / -150 / 213,6 / 20,5560 I = 2,34 / -35,5560 [A] (veja como φ é positivo).

b) E2 = Z2.I E2 = 39,05 / -50,190 . 2,34 / -35,5560 E2 = 91,377 / - 85,7460

[V] (faça uma análise da defasagem entre a tensão e a corrente em Z2 e verifique se atende ao que foi exposto anteriormente para uma impedância do tipo de Z2).

c) Resolva, usando a expressão:


T

4321

33 E .

ZZZZ

ZE

De onde saiu esta expressão? Lembra-se ? (Resposta: E3 = 168,737 / 20,7440 [V])

Faça uma análise da defasagem entre a tensão e a corrente em Z3 e veja se está de acordo com o que era de se esperar.

ASSOCIAÇÃO PARALELA

Conforme já mencionado, valem as mesmas considerações sobre associação paralela de resistores.

1 / ZT = 1 / Z1 + 1 / Z2 + 1 / Z3 + ....... + 1 / Zn (8)

Vemos nesta expressão, que após se resolver o seu segundo membro obtém-se o valor de 1 / ZT e não o valor de ZT. Assim, será necessário se inverter cada Z da associação e ainda se inverter o resultado, para se obter o valor de ZT. Isto mostra como será mais simples se, para associação paralela, trabalharmos com os valores das ADMITÂNCIAS no lugar das impedâncias. Ou seja, se tivermos Y1, Y2, Y3 etc., no lugar de Z1, Z2, Z3 etc., apenas fazemos a soma desta admitâncias, obtendo YT, e invertemos o resultado para encontrarmos ZT.

Aqui também se deve tomar cuidado, porque se está operando com números complexos. De resto, valem as mesmas considerações de associação paralela de resistores.


EXEMPLOS:

4) Calcular a impedância equivalente para a associação paralela entre Z1 = 300 / 600 [] eZ2 = 150 / -300 [].


].[ j.8,036 - 133,927 ou ][ 3,434 -/ 134,168

][ 434,3/168,134434,33/4,335

30/45000

8,184.9,279

30/45000

)75.9,129()8,259.150(

30-/ 150./60 300

0

0

0

0000

T T

T

21

21T

ZZ

Z ZZ

.ZZZ

jjj

ASSOCIAÇÕES DE ADMITÂNCIAS

Sendo a admitância o inverso da impedância, temos:

a) SÉRIE: 1 / YT = 1 / Y1 + 1 / Y2 + .... + 1 / Yn , expressão semelhante àquela usada para impedâncias em paralelo.

b) PARALELA: YT = Y1 +Y2 + ... + Yn , expressão semelhante àquela usada para impedâncias em série.

Conforme já mostrado, não há, em princípio, conveniência em se trabalhar com as admitâncias em associações séries. Já na associação paralela, em princípio isto é bastante conveniente, desde que os dados já sejam as admitâncias.


impedância e admitancia

Documents