ina_agustina.staff.gunadarma.ac.idina_agustina.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/46739/... ·...
TRANSCRIPT
Aplikasi Integral Tak Tentu Dalam Bidang Ekonomi
Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi ekonomiyang
merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya. Mencari fungsi biaya
total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal,
fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan
marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi.
Fungsi Biaya Total (C)
Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya
biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.
Fungsi Penerimaan Total (R)
Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan
sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan
total.
Fungsi Konsumsi (C)
Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan
sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.
Fungsi Tabungan (S)
Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan
sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan.
C=∫ MC dq
R=∫ MC dq
C=∫ MPC dy
S=∫ MPS dy
Fungsi Model (K)
Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan
integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan
turunan pertama dari fungsi kapital.
Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi
marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat membedakan
konsumsi (C), biaya total (C) dengan tetapan/konstanta integrasi (C), khusus dalam
integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan
dengan K.
10.1. Penerapan Ekonomi Integral Tak Tentu
Integral tak tentu dapat diterapkan untuk mancari persamaan fungsi total dari suatu
variable ekonomi jika fungsi marginalnya diketahui.
Fungsi marginal merupakan turunan dari fungsi total, maka proses sebaliknyaFungsi marginal merupakan turunan dari fungsi total, maka proses sebaliknya
merupakan proses integrasi (integral).merupakan proses integrasi (integral).
A.A. FUNGSI BIAYAFUNGSI BIAYA
Biaya total Biaya total
Biaya Marginal Biaya Marginal
biaya total adalah integral dari biaya marginal biaya total adalah integral dari biaya marginal
Contoh : Contoh :
Biaya Marginal suatu perusahaan adalahBiaya Marginal suatu perusahaan adalah
Kt=∫ I(t) dt
Hitung persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya ?Hitung persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya ?
Jawab : Biaya total Jawab : Biaya total
Biaya Rata-rata Biaya Rata-rata
Dimana Dimana = = besarnya biaya tetapbesarnya biaya tetap ( fix cost ) ( fix cost )
B.B. FUNGSI PENERIMAANFUNGSI PENERIMAAN
Penerimaan Total Penerimaan Total
Penerimaan Marginal Penerimaan Marginal
Maka Maka Penerimaan total Penerimaan total
Contoh :Contoh : Carilah persamaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika Carilah persamaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika
penerimaan marginalnya penerimaan marginalnya
Jawab :Jawab : penerimaan total penerimaan total
Penerimaan rata-rata Penerimaan rata-rata
Dalam persamaan penerimaan, Dalam persamaan penerimaan, sebab penerimaan tidak ada jika tidak ada barang sebab penerimaan tidak ada jika tidak ada barang
yang dihasilkan / dijual.yang dihasilkan / dijual.
10.2. Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable bebasnya
memiliki batas-batas tertentu.
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area suatu fungsi.Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area suatu fungsi.
Dalam integral tak tentu Dalam integral tak tentu
Maka dalam integral tertentu untuk Maka dalam integral tertentu untuk dan dan ; ; < <
Dimana Dimana àà = batas bawah integrasi= batas bawah integrasi
= batas atas integrasi= batas atas integrasi
Kaidah-Kaidah Integrasi TertentuKaidah-Kaidah Integrasi Tertentu
(1).(1).
(2).(2).
(3).(3).
(4).(4).
(5).(5).
(6).(6).
Latihan : 4 ; 6 ; 7 ; 11 Latihan : 4 ; 6 ; 7 ; 11
10.3. Penerapan Ekonomi Integral Tertentu
A.A. SURPLUS KONSUMENSURPLUS KONSUMEN
Surplus konsumen adalah keuntungan lebih yang dinikmati oleh konsumen tertentu, pada Surplus konsumen adalah keuntungan lebih yang dinikmati oleh konsumen tertentu, pada
tingkat harga pasar suatu barang.tingkat harga pasar suatu barang.
Surplus konsumen Surplus konsumen
Besarnya surplus konsumen Besarnya surplus konsumen
Jika fungsi perminataan Jika fungsi perminataan ; maka :; maka :
Besarnya surplus konsumen Besarnya surplus konsumen
Contoh : Contoh :
00
PePe
PPSurplus Konsumen (Cs)Surplus Konsumen (Cs)
QQQeQe
Fungsi permintaan Fungsi permintaan , berapakah surplus konsumen jika harga pasar, berapakah surplus konsumen jika harga pasar
Jawab:Jawab:
àà
Jika Jika
Maka surplus konsumen :Maka surplus konsumen :
00 QQ
EE
PP
B.B. SURPLUS PRODUSENSURPLUS PRODUSEN
Adalah keuntungan lebih yang dinikmati produsen tertentu pada tingkat harga pasar dari Adalah keuntungan lebih yang dinikmati produsen tertentu pada tingkat harga pasar dari
barang yang ditawarkan.barang yang ditawarkan.
Surplus produsen Surplus produsen adalah adalah
Besarnya Besarnya surplus produsensurplus produsen
Jika fungsi penawaran Jika fungsi penawaran
Jika fungsi penawaran berbentuk Jika fungsi penawaran berbentuk
Maka surplus produsen Maka surplus produsen
Contoh :Contoh :
Fungsi penawaran Fungsi penawaran . .
00 QeQe QQ
PePe
PPFungsiFungsi
penawaranpenawaran
SurplusSurplus produsenprodusen
Berapakah surplus produsen, jika tingkat harga keseimbangan pasar Berapakah surplus produsen, jika tingkat harga keseimbangan pasar ??
Jawab :Jawab :
JikaJika
Aplikasi dalam keteknikan
Integral tentu digunakan untuk menentukan luas daerah dan volume benda putar.
a. Luas Daerah
Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu – Sumbu Koordinat
Untuk menentukan luas daerah di antara kurva dengan sumbu – sumbu koordinat,
ada beberapa kemungkinan, yaitu:
00 QQ
SurplusSurplus PodusenPodusen
PP
1. Jika (Kurvanya di atas sumbu x)
y
y=f(x)
0 a b x
2. Jika (Kurvanya di atas sumbu x)
y
0 a b x
y=f(x)
3. Jika dan (Kurvanya sebagian di bawah sumbu x dan
sebagian lainnya di atas sumbu x)
y
y=f(x)
0 a c b x
4. Jika (Kurvanya di sebelah kanan sumbu y)
y
d
c x=g(y)
0 x
5. Jika (Kurvanya di sebelah kanan sumbu y)
y
d
x=g(y) c
x 0
6. Jika dan (Kurvanya sebagian di sebelah kiri sumbu y dan
sebagian lainnya di sebelah kanan sumbu y)
y
d x=g(y)
e
c
0 x
Contoh:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu
dan !
Jawab:
satuan luas
Luas Daerah Antara Dua Kurva
Untuk menghitung luas daerah antara dua kurva, luas daerah yang dibatasi oleh
kurva dan pada interval [a, b] dengan adalah
1. Luas daerah antara dua kurva di atas sumbu x
y
y=f(x)
y=g(x)
0 a b x
2. Luas daerah antara dua kurva di bawah sumbu x
y
0 a b x
y=f(x)
Contoh:
Tentukan luas daerah antara kurva dan !
Jawab:
Þ
Þ
Þ
y
-2 1
0 x
b. Volume Benda Putar
Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva , garis – garis x = a, x = b
dan sumbu x yang diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah:
y = f(x)
0 a b x
Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu y
Sama seperti menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu x, volume
benda putar yang dibatasi oleh kurva , garis – garis y = c, y = d dan
sumbu y yang diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah:
Volume Benda Putar Antara Dua Kurva
1. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva
dan dalam interval diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 3600 adalah:
y
y=f(x)
y=g(x)
0 a b x
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva
dan dalam interval diputar mengelilingi
sumbu y sejauh 3600 adalah:
y
a
y=g(x)
x=f(x)
b
0 a b x
Berikut adalah contoh penggunaan integral tentu dalan perhitungan volume benda
putar, yaitu:
Daerah yang dibatasi oleh kurva , , dan sumbu y diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Berapakah volume benda putar yang terjadi?
Jawab:
Maka:
DAFTAR PUSTAKA
Budnick,S. Frank . applied matemathics for business, economics, and the sosial science. Ed ke -4, Singapore : Mcraw – Hill, 1993. Bab 19
Chiang,C . alpha fundamental methods of mathematical economics. Ed. Ke -3, new york : Mc Graw – Hill , 1984. Bab 13
Dowling, Edward T. matemathical for economists. Singapore : McGraw – Hill , 1980. Bab 17