SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONESAlejandro Camblor FernndezDepartamento de MatemticasIES Rey PelayoCangas de Ons

NDICEInecuaciones lineales de dos incgnitas ............................Sistemas de inecuaciones lineales ......................................Problemas textualesde sistemas de inecuaciones (1 bachillerato) ...........de programacin lineal (2 bachillerato) ..................

La solucin de una inecuacin de dos incgnitas es un semiplano.Los pasos a seguir para resolverla son:1er paso:representar la recta (cambiamos el smbolo por un igual)2 paso:elegir un punto del plano (que no est en la recta anterior) y estudiar cmo responde a la inecuacin.3er paso:colorear el semiplano solucin.1 / 4

Resuelve la inecuacin:Represento la recta:Despejo la variable y:Tabla de valores:Elijo el punto (0,0), que no est en la recta, y estudio cmo responde la inecuacin:Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est es la solucin.2 / 4

xy1-13-6

Algunas inecuaciones son sencillas:Si la inecuacin tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes.Asocia cada inecuacin con su solucinbacde3 / 4

Resuelve las inecuaciones:Asocia cada inecuacin con su solucinbacd4 / 4

La solucin de un sistema de inecuaciones de dos incgnitas es una regin (si existe).Los pasos a seguir para resolverla son:1er paso:representar la recta (cambiamos el smbolo por un igual)2 paso:elegir un punto del plano (que no est en la recta anterior) y estudiar cmo responde a la inecuacin.3er paso:colorear el semiplano solucin.1 / 5

Resuelve el sistema de inecuaciones:Represento la recta:Despejo la variable y:Tabla de valores:Elijo el punto (2,2), que no est en la recta, y estudio cmo responde la inecuacin:Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est NO ES LA SOLUCIN.1er paso: Busco el semiplano solucin de la primera inecuacin2 / 5

xy14-2-5

Resuelve el sistema de inecuaciones:Represento la recta:Despejo la variable y:Tabla de valores:Elijo el punto (0,0), que no est en la recta, y estudio cmo responde la inecuacin:Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est NO ES LA SOLUCIN.2 paso: Busco el semiplano solucin de la segunda inecuacin1er paso: Tengo el semiplano solucin de la primera inecuacin3 / 5

xy21-23

Resuelve el sistema de inecuaciones:2 paso: Tengo el semiplano solucin de la segunda inecuacin1er paso: Tengo el semiplano solucin de la primera inecuacin3er paso: Busco la interseccin de los dos semiplanos anteriores4 / 5

Resuelve los sistemas de inecuaciones:Asocia cada sistema con su solucinbacd5 / 5

Problemas de texto con inecuacionesLos pasos a seguir para resolverlo son:1er paso:plantear el sistema de inecuaciones.2 paso:resolver el sistema dibujando la regin solucin.3er paso:resolver el problema, dando la solucin con una frase si es posible.1 / 9

Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azcar, qu cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones 2 paso: Busco el semiplano solucin de la primera inecuacinRepresento la recta:Despejo la variable y:Tabla de valores:Elijo el punto (0,0), que no est en la recta, y estudio cmo responde la inecuacin:Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est ES LA SOLUCIN.2 / 9

xy2866

3er paso: Busco el semiplano solucin de la segunda inecuacinRepresento la recta:Despejo la variable y:Tabla de valores:Elijo el punto (0,0), que no est en la recta, y estudio cmo responde la inecuacin:Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est ES LA SOLUCIN.4 paso: Busco los semiplano solucin de las ltimas inecuaciones3 / 9

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5 paso: Busco la regin solucin del sistema como interseccin de los semiplanos anterioresLa solucin del sistema y del problema est representado en esta regin. Realmente, slo valen los valores x e y no decimales (los puntos de interseccin de las cuadrculas)4 / 9

Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, cuntas puede fabricar de cada tipo?Una panadera fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, cuntos bollos de cada tipo puede elaborar?Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaa llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. Cuntas puede fabricar de cada tipo?ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y slo tiene 6 conductores. Cuntos vehculos de cada tipo puede utilizar?Resuelve los problemas:cbad5 / 9

Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, cuntas puede fabricar de cada tipo?Definimos las incgnitas:Planteamos las inecuaciones:Hallamos y representamos los semiplanos solucin de cada inecuacin, y la regin solucin del sistema:6 / 9

Una panadera fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, cuntos bollos de cada tipo puede elaborar?Definimos las incgnitas:Planteamos las inecuaciones:Hallamos y representamos los semiplanos solucin de cada inecuacin, y la regin solucin del sistema:7 / 9

Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaa llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. Cuntas puede fabricar de cada tipo?Definimos las incgnitas:Planteamos las inecuaciones:Hallamos y representamos los semiplanos solucin de cada inecuacin, y la regin solucin del sistema:8 / 9

ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y slo tiene 6 conductores. Cuntos vehculos de cada tipo puede utilizar?Definimos las incgnitas:Planteamos las inecuaciones:Hallamos y representamos los semiplanos solucin de cada inecuacin, y la regin solucin del sistema:9 / 9

Problemas de programacin linealLos pasos a seguir para resolverlo son:1er paso:plantear el sistema de inecuaciones e identificar la funcin objetivo.2 paso:resolver el sistema de inecuaciones dibujando la regin solucin.3er paso:dibujar el vector de la funcin objetivo, y buscar el punto de la regin solucin que la optimiza.4 paso:escribir la solucin con una frase si es posible.1 / 6

Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 y la de manzana a 15 . Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azcar, qu cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea mxima?1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones 2 / 6La funcin objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor posible:

2 paso: Busco el semiplano solucin de la primera inecuacinRepresento la recta:Despejo la variable y:Tabla de valores:Elijo el punto (0,0), que no est en la recta, y estudio cmo responde la inecuacin:Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est ES LA SOLUCIN.3 / 63er paso: Busco el semiplano solucin de la segunda inecuacinRepresento la recta:Despejo la variable y:Tabla de valores:Elijo el punto (0,0), que no est en la recta, y estudio cmo responde la inecuacin:Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuacin, el semiplano en el que est ES LA SOLUCIN.

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4 paso: Busco los semiplano solucin de las ltimas inecuaciones4 / 66 paso: Dibujo el vector de la funcin objetivo5 paso: Busco la regin solucin del sistema como interseccin de los semiplanos anterioresLa solucin del problema est en esta regin. Realmente, slo valen los valores x e y no decimales (los puntos de interseccin de las cuadrculas). El vector de la funcin objetivo es:Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

5 / 67 paso: Trazo paralelas al vector de la funcin objetivo, sobre la regin factible, y observo cul est ms alejado.Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la funcin objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la funcin objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la funcin objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la regin factible ms alejados estn los valores ptimos: mximo y mnimo.Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la funcin objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema.SOLUCIN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se obtienen 147 .

Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, cuntas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio?Una panadera fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 119 el tipo A y a 089 el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, cuntos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta?Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaa llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 y la de montaa a 90 . Cuntas debe fabricar de cada tipo?ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y slo tiene 6 conductores. El microbs se alquila a 250 y el autobs a 375 . Cuntos vehculos de cada tipo debe utilizar?Resuelve los problemas:6 / 6a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 .b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 5940 .c) 20 bicis de paseo y 30 de montaa, que reportan de beneficio de 5.100 .d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 .