infÖr nationella provet

INFÖR NATIONELLA PROVET

1

Versionsdatum: 2015-05-04

MATEMATIK 1MATEMATIK 1

Funderingar under pågående prov

2

• Koordinater (x,y) (a,b)• Skriva tal i annan bas än 10, exempelvis basen 7• Ordet: ”villkor”• Ordet: ”förhållande”• Hur visar man förhållande i diagram• Vad betyder förhållande i diagram

E-prov uppgift 1

3

Johan Falk

E-prov uppgift 2

4

Johan Falk

E-prov uppgift 3

5

Johan Falk

E-prov uppgift 4

6

Johan Falk

E-prov uppgift 5

7

Johan Falk

E-prov uppgift 6

8

Johan Falk

E-prov uppgift 7

9

Johan Falk

E-prov uppgift 8

10

Johan Falk

E-prov uppgift 9

11

Johan Falk

MATMAT01 – UPPGIFT 1

15

bbbbbbb

Förenkla så långt som möjligt

bb

25

25

5,2


16


17

0,2 0,4 0,6 0,81,0


18

x = -3y = 4( -3, 4 )

( -3, 4 )

3

4


19


20

933

9003030

36006060

90000300300

193600440440


21

73000


22

Halverat värde (50 000 kr)

≈2,3 år


24

Blå linjer = 2bRöda linjer = 4a


25

0,3 liter = 300 ml

15 ml × 2 = 30 ml (Dos varje dag)

103

3030300

10


26

152

x

12 2

25

5 5x Multiplicera båda sidor med 2

5Varför?

251 x

25

x

25

x


27

1ab

ba

0,0 ba


28

15,0

3,0

x0,3 1

( 0,5)( 0,5) ( 0,5)

xx x

5,03,0 xx8,0

8,0x

0,8

Vad hände här?


29

Petter = p kg

Simon = väger 12% mer än p kg

Simon väger med andra ord 1 × p kg + 0,12 × p kg

Detta kan skrivas: Simon väger 1,12 × p kg

Simons vikt är s kg

Detta ger formeln s = 1,12 p

s 1,12p

Petter väger p kg och Simon väger s kg.Skriv en formel som visar att Simon väger12 % mer än Petter.


30

x + 2 Om den långa sidan är 4 cm längre än denkorta sidan. Då är den korta sidan 4 cm kortareän den långa.

Den långa sidan är (x + 2) cm Den korta sidan är då (x + 2) - 4 cm

242 xx

x - 2

x - 2


31

0,00583001,083,51083,5 3

00563,000583,0

?

0,00020 (0,0002)


32


33

Personer Mörk choklad6 100 g3 50g

Hur många gånger skall man ta 3 för att få 15?5 × 3 = 15

Då måste vi även multiplicera 50g med 5 vilket är lika med 250g


34

Antal invånare med Internet:

7290000900000081,0

Antal invånare fast uppkoppling: 6779700729000093,0

Med en enda uträkning: 6779700000000993,081,0


35


36

stolpar (n) brädor (y)2 33 64 95 12

Med ord: Antalet brädor är tre gånger antalet stolpar minus tre.Med matematiska symboler:

33 ny

a) Till ett staket med 10 stolpar behövs 3 × 10 - 3 = 27 brädorb) Sambandet kan skrivas y = 3n – 3, y är antalet brädor och n är antalet stolpar.


37

Chicago ligger 7 h efter Stockholm.När planet startar i Chicago är klockan 16.25 + 7h i Stockholm = 23.25Flygtiden är den tid som går mellan 23.25 och 08.20 (båda Sthlm)

23.25 00.00 = 35 minuter00.00 08.00 = 8 timmar (h)08.00 08.20 = 20 minuter

Hela flygtiden är: 8 h + 35 min. + 20 min. = 8 h 55 min


38


39

x

x

x x

2x

2x

A

B

C

Hela kvadratens area: 2422 xxx

Area triangel A:22

2xxx

Area triangel B: 22

22

22 xxxx

Area triangel C: 22

22

22 xxxx


40

x

x

x x

2x

2x

A

B

C

Hela kvadratens area: 24x

Area triangel A:2

2x

Area triangel B: 2xArea triangel C: 2x

Den gröna triangelns area = Hela kvadratens area – triangel A – triangel B – triangel C

2222222

2

235,15,24

24 xxxxxxxx

Gröna triangelns area är alltså:2

23 x

232x


41

x

x

x x

2x

2x

A

B

C

Hela kvadratens area: 24x

Hur stor del av hela kvadraten är färgad grön?

Gröna triangelns area: 2

23 x

2

2

3 3 3delen 3 1 32 2 2

4hela kvadratens agrön area

rea 4 4 2 4 81

x

x

Svar: 3/8 av kvadratens area är grönfärgad

2

23 x

( 3 / 8 0,375 38% )


42


43

168 = 30000,056


44

Årsräntan i kronor: 4500 = 37512

Årsräntan i procent (%) : %1505,130004500

Kommentar:Man får alltså betala 4500 kronor för att låna 3000 kronor!!?!


45

336 2 25,5 cm

12V


46

336 2 25,5 cm

12V

1 liter = 100 cl 1 dm3 = 1000 cm3

1 cl 10 cm3

2 cl 20 cm3

Svar: Ja, mjölken ryms i förpackningen.


47

VAD MÅSTE MAN VETA FÖR ATT KUNNA LÖSA DENNA UPPGIFT?

http://www.google.se/url?sa=i&rct=j&q=liter+mj%C3%B6lk&source=images&cd=&cad=rja&docid=uI_GneSBrFk3yM&tbnid=ybQzlUtywIJw0M:&ved=0CAUQjRw&url=http%3A%2F%2Fmedlem.norrmejerier.se%2Fproduktkatalog%3Fvisa%3Dproduktkategorier%26pk%3D1%26product%3D228&ei=2h2SUf6PHsmFO5eqgZAB&bvm=bv.46471029,d.bGE&psig=AFQjCNHcih-Dhy40VCkP5Q8MQERyVGOU6g&ust=1368616775242547

http://www.google.se/url?sa=i&rct=j&q=kubikdecimeter&source=images&cd=&cad=rja&docid=gS8kN93o_Q-E_M&tbnid=sTF2d8w2nL2WzM:&ved=0CAUQjRw&url=http%3A%2F%2Fwebbmatte.se%2Fdisplay_page.php%3Fid%3D85%26on_menu%3D488%26page_id_to_fetch%3D1192%26lang%3Darabic%26no_cache%3D4237842&ei=UR6SUdbOMISwOfuegNAN&bvm=bv.46471029,d.bGE&psig=AFQjCNGTX2WexZHQ4r2SWqciP4yRA_9Mgw&ust=1368616908261241


48

VAD MÅSTE MAN VETA FÖR ATT KUNNA LÖSA DENNA UPPGIFT?

1 Liter 31 dm


49

20 + 100 × 0,24 = 4420 + 500 × 0,24 = 140

100 × 0,36 = 36 500 × 0,36 = 180


50

24,020320 xx24,020320

x24,0300

125024,0

300 xx

Svar: 1250 kopior


51

Kostnad = 20 kronor + 24 öre per kopiaKostnad = y kronor

Antal kopior = x styckeny = 20 + 0,24x

Jämför!


52

xx 36,024,020

xx 24,036,020

x12,020

167x

Digitaltryckeriet Tryckservice AB=


53


54

3,7 = 165,2-168,915 = 435-450

25,0153,7

Mannens längd ändras med c:a 0,25 cm om lårbenet ändras 1 mm.Då bör en man med lårbenet 425 mm ha längden 165,2 – (10 × 0,25)= 162,7

Svar: Ungefär 163 cm


55

Lårbenets längd Ungefärlig längd på en man

420

425

435 165,2

450 168,9

465 172,6

480 176,3

Ett annat sätt att lösa denna:

(Lös denna på whiteboard.)

Differens?

Differens?Differens?

Differens?

Differens?

Differens?

Differens?


56

Lårbenets längd Ungefärlig längd på en man

420

425

430

435 165,2

Ett annat sätt att lösa denna:

(Lös denna på whiteboard.)


57


58

DISKUSSION!


59

DISKUSSION!


60

1 4 6 9b) 1 + 4 + 6 + 9 = 20

Om x = 5 blir både medelvärde och median desamma


61

Bob hade ett telefonabonnemang med följande villkor:•Månadsavgift 65 kr•Öppningsavgift 69 öre per samtal [0,69 kr]•Samtalen kostar 69 öre per minut [0,69 kr]

Hur mycket fick Bob betala en månad då han hade ringt 96 samtal påSammanlagt 4h 25 minuter?

Från Matematik 4000 Kurs A, Grön bok, uppgift 16, sidan 70

4h 25 minuter = 4 × 60 + 25 minuter = 265 minuter

Kostnaden = 65 + 96 × 0,69 + 265 × 0,69 = 314,09 kronor

Svar: 314 kronor


62


En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick han en räkning på 267,86 kr.Beräkna den totala samtalstiden?


Kostnaden kan beräknas med denna ekvation:Kostanden = 65 kronor + antal samtal × 0,69 kronor + antal minuter × 0,69 kronor.

Vi vet att kostnaden är 267,86 kr och vi vet att antal samtal är 84.Vi villveta hur många minuter – Det kallar vi x.

Vi får då denna ekvation:69,069,0846586,267 x

x69,096,576586,267


63


En månad då Bob hade ringt 84 samtal fick han en räkning på 267,86 kr.Beräkna den totala samtalstiden?


69,069,0846586,267 xx69,096,576586,267

x69,096,12286,267

x69,090,144

21069,090,144

xx

RÄKNEORDNING

1. parenteser ()2. potenser 34 = 3 × 3 × 3 × 3

3. multiplikation & division × /4. addition & subtraktion + -

64

RÄKNEORDNING

65

3 × 2 + 5 – 2/2 = 10

3 × (2 + 5) – 2/2 =20

3 × 2 + (5 – 2)/2 =7,5

3 × 2 + (5 – 2/2) =10

PRIMTAL

66

Positiva heltal som bara går att dela med 1 och sig själva kallas primtal.

Exempel:2, 3, 5, 7, 11, och 13

PRIMTALSFAKTORISERING

67

30 = 5 × 6 = 5 × 3 × 2

60 = 10 × 6 = 5 × 2 × 3 × 2

100 = 10 × 10 = 5 × 2 × 5 × 2

1000 = 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2

PRIMTALSFAKTORISERING

68

240

TAL I DECIMALFORM

69

TAL I DECIMALFORM

70

C D

SUBTRAKTION AV NEGATIVA TAL

71

Vad är differensen av +3 och -6?

3 – (-6) = 9

”Två minustecken intill varandra ersätts med ett plustecken.”+

ADDITION OCH SUBTRAKTION MED NEGATIVA TAL

• (-4) + (-6) = -10• (-4) - (-6) = 2

72

+

-

PRIORITERINGSREGLERNA

(2+2) + 23 + 4*2 - 2 = 4 + 23 + 4*2 - 2 = (parenteser) 4 + 8 + 4*2 - 2 = (potenser) 4 + 8 + 8 - 2 = (mult.) 4 + 8 + 8 - 2 = 18 (add/sub.)

73

Fungerande strategi

MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL

74

• (-4)×(-3) = 12• 4×(-3) = -12• (-24)/3 = -8• (-24)/(-3)= 8

”lika tecken” ger plus”olika tecken” ger minus

OBS!

(-4)×(-4) = 16-4 - (-4) = 0-4 - 4 = -8

75

TAL I BRÅKFORM

76

411

45

512

511

FÖRLÄNGNING

77

=

84

21 =

FÖRLÄNGNING

78

FÖRKORTNING

79

=

21

84 =

FÖRKORTNING

80

ADDITION AV BRÅK

81

7143...0,8571428576

72

74

286...1,14285714711

78

74

74

RÄKNA MED BRÅK

82

247

83

127

21

2412

247

249

2414

VAD SKA VI GÖRA NU?

2414

127

249

83

VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ…

HÄR FÖRKORTAR VI

MULTIPLIKATION AV BRÅK

83

498

72

74

1411

4233

63

711

63

741

Samma värde

ATT INVERTERA ETT BRÅK

84

2332

DIVISION AV BRÅK

85

72/

74

HUR SKALL VI GÖRA NU?

27

74

VAD HAR VI GJORT?

”DIVISION MED 2/7 BLIR MULTIPLIKATION MED 7/2”

POTENSER

86

5444444 5 stycken

54bas

exponent

POTENSER PÅ RÄKNAREN

87

TIOPOTENSER

88

10 Tio

100 Ett hundra

1 000 Ett tusen

10 000 Tio tusen

1000 000 En miljon

1000 000 000 En miljard

110210310410610910

10 × 10

10 × 10 × 10 × 10

TIOPOTENSER

89

310210110010

110

210

310

101

1001

10001

Potenslagarna

90

75252 3333

105252 33)3(

3525

2

3333

333 43)43(

GRUNDPOTENSFORM

91

100 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105200 000 = 2 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 2 · 105

200 000 = 2 · 105

101 x Potens med basen 10

AVRUNDNING

92

1196 a) 41196 b) 91197 a) 51197 b) 61198 a) 4,81198 b) 8,91199 a) 3,21199 b) 9,11200 a) 1,371200 b) 5,09

Hur avrundas 8,97 till en decimal?

9,0

Hur avrundas 5,097 till två decimaler?

5,10

VAD ÄR PROCENT?

93

HUR MÅNGA PROCENT ÄR…

94

Blå?

%2020,051

102

Röda?

%5050,021

105

Gula?

%4545,0209

PROCENT I DECIMALFORM

95

05,0100

5%5 procentform

bråkform

decimalform

VI SÖKER PROCENTSATSEN

96

I klass 9A går det 25 elever.Av dessa var 19 närvarande.Hur stor var närvaron i procent?

%7676,02519

SPROCENTSATHELADETDEL

Hur stor var frånvaron i procent?

%2424,0256

VI VET PROCENTSATSEN

97

Hur mycket är 8% av 3500?Två olika sätt att lösa denna uppgift:

1% av 3500 är 358% av 3500 är då 8 × 35 = 280

0,08 × 3500 = 280

Vilket sätt tycker Du är bäst?

%38%5,37375,083

PROCENT

98

Hur stor andel av figuren är färgad?

PROCENT

99

0, 0 0 0 0 0 03% 0, 0 3 0 0 0 0

3,50% 0, 0 3 5 0 0 00,35% 0, 0 0 3 5 0 0

30% 0, 3 0 0 0 0 0PROCENT

PROMILLE

100

0, 0 0 0 0 0 03% 0, 0 3 0 0 0 0

3,50% 0, 0 3 5 0 0 00,35% 0, 0 0 3 5 0 0

30% 0, 3 0 0 0 0 0PROMILLE

PPM

101

0, 0 0 0 0 0 03% 0, 0 3 0 0 0 0

3,50% 0, 0 3 5 0 0 00,35% 0, 0 0 3 5 0 0

30% 0, 3 0 0 0 0 0PPM

Förändringsfaktor

102

Nya värdetGamla värdet

= Förändringsfaktor

Några exempel210 kronor200 kronor

= 1,05

Ökning med 5 %

Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet

1,05 × 200 kronor = 210 kronor Ökning med 5 %

Räknaren:

Räknaren:

Flera procentuella förändringar

103

Uppgift 2220, sidan 101William köper en ny bil för 450 000 kronor. Den beräknas sjunka i värdeMed 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år?

38250045000085,0 Efter 1 år:

32512545000085,085,0 Efter 2 år:

25,27635645000085,085,085,0 Efter 3 år:

8125,23490245000085,085,085,085,0 Efter 4 år:

3906,19966745000085,085,085,085,085,0 Efter 5 år:

Svar: Efter 5 år är bilen värd c:a 200 000 kronor

Procentenheter

104

Priset på en vara höjdes från 4 kronor till 5 kronor.

a) Hur många kronor höjdes priset?

b) Hur många % höjdes priset?

Svar: 1 krona

25,041

Svar: 25 %

Index

105

År 1980 1990 2010

KPI 100 229 273

Tabellen visar KPI för livsmedel

År 1990 kostade 500 g kaffe 21,70 kr.Vilket var priset år 2010 om priset utvecklades enligt KPI?

229273

19902010

ÅrÅr 19,1

229273

(Förändringsfaktor)

90,2570,2119,1 Svar: Priset var 25,90 kr år 2010 om priset utvecklades enligt KPI.

13542 EKVATIONEkvation betyder LIKHET

106

FÖRENKLING AV UTTRYCK

107

xxx 235

yyy 54

ssss 167

763102832108 xxxxx

b)

a)

d)

c)

ADDITION AV UTTRYCK

108

)97()53( xx)97()53( xx

9753 xx

1410 x

SUBTRAKTION AV UTTRYCK

109

)97()53( xx)97()53( xx

9753 xx

44 x

STÄLLA UPP FORMLER

Ställ upp en formel för y då

a)y är summan av a och x

b)y är differensen av a och x

c)y är produkten av a och x

d)y är kvoten av a och x

110

xay

xay

axxay

xay

Att lösa ekvationer

111

1025

x

xx

x 210252

x205

2020

205 x

205

205

xx

41x

Multiplicera båda leden med 2x

Dividera båda leden med 20

Förkorta med 5

Potensekvationer

112

164442

24 252 x 25x51 x 51 x

Ekvationen xn = a

113

53 x5 xxx

3 5x 31

5x

OBS!

114

)2( 5x 21

5x3 5x 3

1

5x4 5x 4

1

5x

Lös ut y

062 xy

115

xy 62

26

22 xy

xy 3

Multiplicera in

)3(2 x

116

62 x

Multiplicera in

)36(5 y

117

y1530

Faktorisera

)3(2 x118

62 x

EXEMPELUPPGIFT

119

EXEMPELUPPGIFT

120

3,2 × 0,8 = 2,56

(3,2 × 1,1)/2 = 1,76

1,76 + 2,56 = 4,32

Triangel

Rektangel

Totalt

Svar: Tältets framsida har arean 4,32 m²

2hb

hb

EXEMPELUPPGIFT

121

Tältets fram- och baksida har arean 2 × 4,32 m²2 × 4,32 = 8,64 m²

Tältets långsidor har arean 2 × 3,2 × 0,8 m²

Tältets tak har arean 2 × 3,2 × 1,9 m²2 × 3,2 × 0,8 = 5,12 m²

2 × 3,2 × 1,9 = 12,16 m²

Summan av alla areor: (8,64 + 5,12 + 12,16) m²

2625,92 = 12,16 + 5,12 + 8,64 m²

AREAENHETER

122

1 dm²1 cm²

1 dm² = 100 cm²1 cm² = 100 mm²

1 m² = 100 dm²

CIRKELN

123

cirkelrand

Omkrets:

Area:

d r2eller

rr 2reller

π (pi)

124

dO

VOLYMENHETER

125

1 dm³ 1 cm³

1 dm³ = 1000 cm³1 cm³ = 1000 mm³

1 m³ = 1000 dm³

VINKLAR OCH VINKELSUMMOR

127

uu 387 u287 u5,43 5,43u

u3180 5,433180

5,49

87° + 43,5° + 49,5° = 180°Kontroll:

PYTHAGORAS SATS

128

SKALA

129

SKALA BILD : VERKLIGHET

SKALA 1 : 200

”I verkligheten är alla sträckor200 gånger längre än på bilden.”

21 mm

15 mm

a) Längd: 200 × 21 mm = 4200 mm = 420 cm = 42 dm = 4,2 m Bredd: 200 × 15 mm = 3000 mm = 300 cm = 30 dm = 3,0 m

Mät med linjal…

SKALA

130

SKALA BILD : VERKLIGHET

SKALA 1 : 200

”I verkligheten är alla sträckor200 gånger längre än på bilden.”

21 mm

15 mm

Längd: 4,2 mBredd: 3,0 m

b) Area: 4,2 m × 3,0 m = 12,6 m²

SYMMETRI

131Symmetrilinje

SPEGLING

132

ATT KASTA 2 TÄRNINGAR

133

T 1 T2

Vad är sannolikheten att få summan 7 vid kast med 2 st. tärningar?

6 olika utfall36 möjliga utfall

17,061

366)7( P

ATT KASTA 2 TÄRNINGAR

134

T 1 T2

Vad är sannolikheten att INTE få summan 7 vid kast med 2 st tärningar?

6 olika utfall som ger 7

83,065

611)7( EjP

Detta kallas komplementhändelse.

61)7( P

TRÄDDIAGRAM

135

Dra en kula ur urna 1 och lägg den i urna 2. Dra sedan en kula ur urna 2. Hur stor är sannolikheten att den sista kulan är en röd kula?

RÖD BLÅ63

63

64

62

63

63

31

3612

64

63

61

366

62

63

41

369

63

63

41

369

63

63

58,0127

123

124

41

31

Sannolikheten att sista kulan är röd är:

R B R B

U1

U2

Observera:

141

41

61

31

Typvärde

Typvärde (kallas även modalvärde) i ett statistiskt datamaterial det värde som förekommer flest gånger.

136

Medelvärde

Ett medelvärde är ett värde som används för att representera ett genomsnitt för en mängd värden.

137

1,67

8749852

M

På räknaren slår man (2+5+8+9+4+7+8)/7 = 6,14285714286…

MEDIAN

Medianen är det tal i en mängd som storleksmässigt ligger i mitten. Av talen

1, 7, 9, 10 och 17 är

9 medianen (medan 8,8 är medelvärdet). För mängder med ett jämnt antal tal definieras medianen som medelvärdet av de två tal som ligger i mitten.

138

MEDIANFöljande värden är givna:

6 7 0 4 127 18 2 2

Bestäm medianen

139

4 2 0 2 6 7 7 12 18

Svar: Medianen till dessa tal är 6

MEDIANFöljande värden är givna:

7 0 4 127 18 2 2

Bestäm medianen

140

4 2 0 2 7 7 12 18

Svar: Medianen till dessa tal är 4,5

5,42

72

4,5?

KOORDINATSYSTEM

141

y

x

X = 2Y = 3

(2,3)

X = 5Y = 6

(5,6)

•

•

2

3

•

X = -5Y = -4

(-5,-4)

Värdetabell

•

•

•

•

•

•

0 3

1 52 73 9-2 -1-3 -3

VÄRDE OCH DEFINITION

143

y

x

X = 2Y = 3

(2,3)

X = 5Y = 6

(5,6)

•

•

2

3

När x är 2, så är y 3När x är 5, så är y 6

RÄTA LINJENS EKVATION(2)

144

mkxy k = linjens lutningm = var linjen skär y-axeln


145

mkxy k = linjens lutningm = var linjen skär y-axeln


146

Linjens lutning

kxy

2

12

Linjens ekvation

32 xy

Några punkter på linjenx 2x+3 (y)-1 10 31 5

••

•

mkxy

VAD HETER DENNA LINJE?

147

223

xy

25,1 xy

∆y = 3

∆x = 2

•

•

23

xyk

2m

Funktionsmaskin

148

IN = 1 UT = 3IN = 2 UT = 5IN = 3 UT = 7IN = 4 UT = 9IN = 5 UT = 11

Vad gör funktionsmaskinen?Vilken funktion har den?Hur kan man skriva funktionen?

JO!

UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ettf(x) = 2x + 1

f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1 Med andra ord y = f(x)

x

F(x) = y

2x + 1

x F(x) = y

NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X

149

y

x

X = 2Y = 3

(2,3)

X = 5Y = 6

(5,6)

•

•

2

3

f(x)

VÄRDE OCH DEFINITION

150

y

x

X = 2Y = 3

(2,3)

X = 5Y = 6

(5,6)

•

•

2

3

När definitionen är 2, så är värdet 3När definitionen är 5, så är värdet 6

Definitionsaxel

Värdeaxel

Proportionalitet

151

Proportionell

Direkt proportionell

OrigO = (0,0)

Grafritande räknare

152

infÖr nationella provet

Documents