Inkompressible Fluid Simulation und verbesserteOberflachenbehandlung mit SPH

Barbara Solenthaler

Universitat Zurich

Abstract: Diese Arbeit konzentriert sich auf die Hauptprobleme der Methode Smoo-thed Particle Hydrodynamics (SPH), welche oft zur Simulation von Flussigkeiten undGasen im Bereich der Computer Graphik verwendet wird. In der Dissertation prasen-tieren wir ein neues, inkompressibles Verfahren basierend auf SPH, welches Inkom-pressibilitat durch eine Pradiktor-Korrektor Methode erzwingt. Mit unserem Ansatzkonnen die Berechnungskosten pro Simulationsschritt niedrig gehalten und gleichzei-tig kann ein grosser Simulationszeitschritt verwendet werden. Die Berechnung einerSimulation kann somit um einen Faktor von bis zu 55 verschnellert werden. Des Wei-teren gehen wir auf die Probleme ein, welche an den Zwischenflachen von mehrerenFluiden mit unterschiedlicher Dichte entstehen. Wir stellen ein modifiziertes Verfahrenvor, welches Diskontinuitaten an den Zwischenflachen von mehreren Fluiden korrektbehandelt und dadurch die Probleme und Artefakte des Grundmodells vermeidet. Da-nach prasentieren wir ein einheitliches, partikelbasiertes Modell fur die Simulation vonFluiden und festen Objekten um die Interaktion zwischen unterschiedlichen Materia-lien zu erleichtern und neue Simulationseffekte zu erzielen. Zum Abschluss stellen wireine neue, effiziente Partikel-Verfeinerungsmethode und Oberflachenrekonstruktionvor um eine bessere visuelle Qualitat beim Rendering zu erreichen.

1 Einfuhrung und verwandte Arbeiten

In den letzten Jahren haben partikelbasierte Methoden zur Simulation von Gasen undFlussigkeiten in der Computer Graphik an Wichtigkeit gewonnen. Dies, da die Reprasen-tation des Fluids durch Partikel die Behandlung von freien Oberflachen, Spritzer, Tropfenund komplexen Interaktionen zwischen Objekten erleichtert. Partikelbasierte Methodenweisen jedoch auch Nachteile auf, welche das physikalische Verhalten eines Fluids undsomit das resultierende visuelle Resultat beeintrachtigen. In diesem Kapitel werden wirdie Hauptprobleme der partikelbasierten Methode SPH kurz diskutieren und auf verwand-te Arbeiten eingehen. In Kapitel 2 wird dann ein Uberblick uber die in der Dissertationvorgestellten Losungen fur die jeweiligen Probleme gegeben.

1. InkompressibilitatsbedingungIm grundlegenden SPH Modell (z.B. [Mon92, MCG03]) werden die Druckwerte miteiner weichen Zustandsgleichung berechnet, was zu ungewunschten Kompressions-artefakten fuhrt. Obwohl Inkompressibilitat erzwungen werden kann, reprasentiertdies den berechenmassig teuersten Teil der ganzen Simulation, was einer der Haupt-

grunde ist, warum partikelbasierte Methoden seltener eingesetzt werden als Gitter-methoden um hochwertige und photorealistische Animationen von Wasser zu er-stellen. In der Literatur werden zwei unterschiedliche Strategien verwendet um In-kompressibilitat zu erzwingen. Erstens, die weakly compressible SPH (WCSPH)Methode, wo Druckwerte mit einer steifen Zustandsgleichung berechnet werden(z.B. [Mon05, BT07, BTT09]), und zweitens, die incompressible SPH (ISPH) Me-thode, wo durch Losen eines Gleichungssystems die Druckwerte bestimmt werden(z.B. [CR99, Sha06, HA07]). Obwohl mit beiden Methoden Inkompressibilitat er-zwungen werden kann, sind die Berechnungskosten zu hoch um hochauflosende Si-mulationen zu berechnen. Der Grund dafur ist bei WCSPH der kleine Simulations-zeitschritt welcher verwendet werden muss, und bei ISPH die hohen Kosten um dasGleichungssystem aufzustellen und zu losen.

2. Zwischenflachen von mehreren FluidenIm grundlegenden SPH Modell haben die Partikel einen Nachbarbereich uber wel-chen die Partikeleigenschaften mittels eines Kernels verteilt werden [Mon92]. Diesfuhrt nun zu Problemen an Grenzflachen zwischen mehreren Fluiden welche eineunterschiedliche Dichte besitzen. Das Resultat sind inkorrekt berechnete Werte wiefalsche Dichte- und Druckwerte und inkorrekte Krafte, welche das physikalischeVerhalten verfalschen [Hoo98, CL02, AMS+06]. Als Folge davon entstehen Arte-fakte wie unphysikalische Zwischenflachenspannungskrafte und starke numerischeInstabilitaten, welche die Simulation stark beeintrachtigen sowie bei grossen Dich-teunterschieden sogar verunmoglichen.

3. Komplexe Interaktionen von Fluiden und festen ObjektenIn bestehenden Simulationsumgebungen werden Flussigkeiten und feste Objekte oftdurch unterschiedliche Modelle diskretisiert, was die Interaktionen zwischen denMaterialien erschwert und limitiert (z.B. [TPF89, CD97, MST+04]). Um komplexeInteraktionen zu ermoglichen, ist es von Vorteil, wenn ein einheitliches Modell furalle Materialien verwendet wird [MKN+04, KAG+05]. Solche Interaktionseffektesind zum Beispiel das Schmelzen und Erstarren von Objekten und Flussigkeiten,die Vereinigung von mehreren schmelzenden Objekten zu einem Objekt, sowie dieTrennung von Objekten in einzelne Teile. Des Weiteren ist es von Vorteil, wenn dasSimulationsmodell mit koplanaren sowie mit unterabgetasteten Partikelkonfigura-tionen umgehen kann, da diese Situationen oft von Phasenanderungen resultieren.

4. Rekonstruktion von glatten OberflachenEine weitere Schwierigkeit mit partikelbasierten Methoden ist es eine glatte Ober-flache von den Partikeldaten zu berechnen. Vor allem Echtzeit-Simulationen leidenunter unglatten Oberflachen, da die Partikelanzahl niedrig gehalten werden mussund somit die Oberflache nur durch wenige Punkte gegeben ist. Obwohl die color-field-Methode von [MCG03] glattere Resultate liefert als die Standardmethode blob-bies [Bli82], konnen in Situationen wo Partikel unregelmassig angeordnet sind kei-ne hochwertigen Oberflachen rekonstruiert werden. [ZB05] hat daher vorgeschla-gen, den Schwerpunkt der Partikel in die Rekonstruktion miteinzubeziehen. DieseMethode fuhrt zu besseren Resultaten, hat jedoch das Problem von Artefakten inkonkaven Regionen was in diesen Situationen zu falschen Oberflachen fuhrt.

2 Forschungsbeitrag der Dissertation

In der Dissertation konzentrieren wir uns auf die Losung der Hauptprobleme von SPH undstellen die unten aufgelisteten neuen Methoden vor. In Kapitel 4 und 5 werden wir danngenauer auf die ersten zwei Losungen eingehen.

1. Inkompressibilitatsbedingung:Pradiktor-Korrektor SPH Methode (PCISPH)Wir prasentieren eine neue Methode basierend auf SPH um inkompressible Flussig-keiten effizient zu simulieren. Unser Modell verwendet eine Pradiktor-KorrektorMethode um die Druckwerte der Partikel zu bestimmen. Dabei werden Informa-tionen uber Dichteanderungen aktiv durch das Fluid propagiert und Druckwerteangepasst, bis alle Partikel den gewunschten Dichtewert besitzen. Mit diesem An-satz vermeiden wir das Losen eines Gleichungssystems und konnen gleichzeitigeinen grossen Simulationszeitschritt verwenden. Unsere Resultate zeigen, dass un-sere Pradiktor-Korrektor Methode (predictive-corrective incompressible SPH oderPCISPH) bis zu einem Faktor 55 schneller ist als die ublicherweise verwendeteWCSPH Methode, wobei die erzielten visuellen Resultate mit denen von WCSPHubereinstimmen.

2. Zwischenflachen von mehreren Fluiden:Adaptiertes SPH fur Fluide mit grossen DichteunterschiedenUm die Probleme des Standard SPH Modells zu vermeiden, stellen wir eine neueMethode basierend auf SPH vor, welche Diskontinuitaten an Zwischenflachen vonmehreren Fluiden mit Dichteunterschied korrekt behandeln kann ohne die Berech-nungskosten zu erhohen. Die Grundidee dabei ist es, die Grosse der Partikeldichtein die Herleitung der Gleichungen miteinzubeziehen, was zu adaptierten Gleichun-gen fur Dichte, Druck, und Krafte fuhrt. Unsere modifizierten SPH Gleichungenfuhren zu korrekten Werten an Zwischenflachen und vermeiden somit ungewoll-te, unphysikalische Artefakte sowie numerische Instabilitaten. Dies ermoglicht eseinem Benutzer, mehrere Fluide mit grossen Dichteunterschieden stabil zu simulie-ren und erlaubt die vollstandige Kontrolle uber das Verhalten und die Interaktionenmehrerer Fluide.

3. Komplexe Interaktionen von Fluiden und festen Objekten:Einheitliches Modell fur die Simulation von Fluiden, festen Objekten und Pha-senubergangenDie Dissertation verwendet eine neue, einheitliche Methode um Fluide sowie elas-tische und starre Objekte zu simulieren. Dadurch erubrigt sich die Definition einerSchnittstelle zwischen den unterschiedlichen Modellen, was komplexe Interaktio-nen zwischen den Objekten ermoglicht. In unserem Modell kann die Objektdefini-tion auf einfache Art geandert werden indem die Partikelattribute angepasst werden.Dies ermoglicht die Simulation von neuen Effekten wie Schmelzen und Erstarrenvon Objekten und Flussigkeiten, sowie das Zusammenschmelzen von mehreren Ob-jektteilen und die Aufteilung in einzelne Objekte.

4. Rekonstruktion von glatten Oberflachen:Partikelverfeinerung und Oberflachenrekonstruktion fur eine verbesserte vi-suelle QualitatUm glatte Oberflachen von den Partikeldaten zu rekonstruieren verwenden wir ei-ne neue Methode, welche die Initial-Punktmenge solange verfeinert bis eine ge-wunschte Auflosung erreicht ist. Bei unserem Interpolationsalgorithmus haben wirdarauf geachtet dass komplexe Geometrien wie zum Beispiel Spritzer korrekt be-handelt werden und Kanten und Ecken erhalten bleiben. Im Weiteren haben wir eineneue Oberflachenrekonstruktionsmethode entwickelt, welche den Partikelschwer-punkt verwendet um glatte Oberflachen zu erhalten, jedoch gleichzeitig Artefaktein konkaven Regionen vermeidet.

3 Standard SPH

In SPH wird ein Fluid durch eine Menge von Partikeln diskretisiert, wobei das Fluid zwi-schen den Elementen durch einen Kernel geglattet wird. Jede physikalische Grosse einesPartikels i wird daher durch eine Summation uber alle Nachbarpartikel j des umliegendenBereichs berechnet [GM77, Luc77, Mon92]. Nach Anwendung des SPH Formalismus er-gibt sich die folgende Formel fur die Berechnung der Dichte ρ fur ein Partikel i

ρi =∑j

mjW (xij , h), (1)

wobei m die Masse des Partikels ist, W der Glattungskernel mit Radius h, xij = xi − xjund xi die Position des Partikels i ist. Der Druck p eines Partikels ergibt sich aus derZustandsgleichung (EOS) von [Bat67] als

pi =kρ0

γ((ρiρ0

)γ − 1), (2)

wobei k die Steifigkeit des Fluids bestimmt, ρ0 die Referenzdichte des Fluids ist und γoft den Wert 7 erhalt. Die Druck- und Viskositatskrafte werden direkt von den Navier-Stokes Gleichungen abgeleitet und konnen mit SPH folgendermassen formuliert werden([Mon92, MCG03]):

Fpressurei = −∑j

mimj(piρ2i

+pjρ2j

)∇W (xij , h) (3)

Fviscosityi =mi

ρi

∑j

µi + µj2

mj

ρj(vj − vi) ∇2W (rij , h), (4)

wobei µ die Starke der Viskositat bestimmt. Die Krafte werden dann in der Zeitintegrationverwendet um die neuen Geschwindigkeiten und Positionen der Partikel zu bestimmen.

ISPH

grosser Zeitschritt kleiner Zeitschritt grosser Zeitschritt

hohe Kosten/Schritt tiefe Kosten/Schritt tiefe Kosten/Schritt

WCSPH PCISPH

Lösen eines linearen Gleichungssystems

Steife Zustandsgleichung

Prädiktor-Korrektor Schema

Abbildung 1: Vergleich von inkompressiblen SPH Methoden. Unsere PCISPH Methode vereint dieEigenschaften von ISPH und WCSPH: niedrige Berechnungskosten pro Simulationsschritt sowiegrosse Zeitschritte.

4 Inkompressible PCISPH Methode

In der Dissertation prasentieren wir eine neue, partikelbasierte Methode basierend aufSPH, welche die Simulation von inkompressiblen Fluiden ermoglicht. Unsere Methodevereinigt die Vorteile von WCSPH und ISPH in einem Modell, namlich niedrige Be-rechnungskosten pro Zeitschritt und grosse Simulationszeitschritte (Abbildung 1). Um dieZeitschrittbegrenzung von WCSPH zu umgehen verwendet unsere Methode ein Pradiktor-Korrektor Schema. Dabei werden die Geschwindigkeiten und Positionen temporar zeitlichintegriert und die neuen Dichtewerte berechnet. Mit diesen Werten wird dann die Abwei-chung von der Referenzdichte vorhergesagt. Mit diesen Abweichungswerten werden dieDruckwerte angepasst und die Druckkrafte neu berechnet. Dieser Prozess wird solangewiederholt bis die Werte konvergieren, d.h. bis alle Dichteabweichungen kleiner sind alsein vom Benutzer vordefinierter Wert η (z.B. 1%). Wenn dies erreicht ist, werden die Ge-schwindigkeiten und Positionen des nachsten Zeitschrittes bestimmt.

Wir haben mehrere Simulationsdurchgange mit unterschiedlichen Partikelauflosungen (10Kund 100K) und unterschiedlichen Dichteabweichungen η (1% und 0.1%) auf einem IntelCore2 2.66 GHz CPU durchgefuhrt. Der Simulationszeitschritt wurde mit der CFL Metho-de ([Mon92]) bestimmt. Im Gegensatz zu WCSPH, wo die Grosse des Zeitschritts durchdie Steifigkeit k des Fluids bestimmt wird, ist bei PCISPH der Zeitschritt durch die Grosseder Druckkrafte gegeben, was dazu fuhrt, dass mit unserer Methode grossere Zeitschritteverwendet werden konnen. In unseren Testsimulationen konnten wir mit PCISPH Zeit-schritte verwenden welche um einen Faktor von 35-151 grosser sind als jene von WCSPH,der Berechnungsaufwand pro Zeitschritt ist mit PCISPH jedoch ein wenig grosser als mitWCSPH. Fur die Berechnung der ganzen Simulation ist unsere PCISPH Methode umeinen Faktor von ungefahr 15 schneller als WCSPH fur η = 1% und einen Faktor 55schneller fur η = 0.1% (Abbildung 2). Das visuelle Resultat stimmt dabei gut mit denenvon WCSPH uberein. Hochauflosende Simulationen sind in Abbildung 3 (700K Partikel)und 4 (2M Partikel) zu sehen.

0

1'000

2'000

3'000

4'000

5'000

10k, μ=1% 100k, μ=1% 10k, μ=0.1%

24298

9

1'328

4'942

142

15 16 55speed-up

[s]Performance Comparison of WCSPH and PCISPH

WCSPH

PCISPH

Abbildung 2: Laufzeitvergleich von WCSPH und PCISPH. Im Vergleich zu WCSPH ist mit PCISPHdie Berechnung der Simulation um einen Faktor von 15 und 16 schneller bei einem η = 1% und umeinen Faktor von 55 bei η = 0.1%.

Abbildung 3: PCISPH Resultat eines simulierten Wellentanks mit 700K Partikel.

Abbildung 4: PCISPH Simulation von 2M Partikel welche mit zylindrischen Hindernissen intera-gieren.

)b(ρ

1000 0

)d( )e(ρ

2diulFρ0= 001

1diulFρ0= 0001

h

)a(ρ derised

1000 0 0

p

1000 0

)c(p

0

~ ~

Abbildung 5: Links, 1D Beispiel: Standard SPH kann gewunschte Dichtediskontinuitaten (a) nichtdarstellen da sie uber die Zwischenflache geglattet werden (b). Das Resultat sind falsche Druck-werte an diesen Stellen (c). Unsere adaptierten Gleichungen erzielen die gewunschten Dichte- undDruckprofile (d und e). Rechts: Die Gleichungen von Standard SPH fuhren zu unphysikalischenSpannungskraften an den Zwischenflachen zweier Fluide.

5 Zwischenflachen von mehreren Fluiden

In SPH werden die physikalischen Grossen uber einen bestimmten Bereich mit einemKernel verteilt. Wenn nun Partikel von mehreren Fluiden mit unterschiedlicher Dichteinnerhalb dieses Bereichs liegen, fuhrt die Verwendung der SPH Gleichungen zu Proble-men und Artefakten (Abbildung 5). Dies sind zum Beispiel unphysikalische Spannungs-krafte an den Zwischenflachen sowie numerische Instabilitaten, welche die Simulationverunmoglichen. Um das gewunschte Dichteprofil zwischen den Fluiden zu erhalten er-setzen wir die Dichtegleichung durch ein Mass der Partikeldichte. Die Idee dabei ist es,dass ein Partikel seine Nachbarn so behandelt als ob sie zum selben Fluid gehoren wurdenwie das Partikel selber. Um nun die adaptierte Dichte ρi eines Partikels zu berechnen,multiplizieren wir die Partikeldichte δi =

∑jW (xij , h) mit der Masse des Partikels:

ρi = miδi. (5)

Der Druck verwendet die neue Grosse und berechnet sich in unserem Modell nun folgen-dermassen:

pi =kρ0

γ((ρiρ0

)γ − 1). (6)

Des Weiteren haben wir adaptierte Gleichungen fur die Krafte hergeleitet. In der Herlei-tung haben wir konsequent die diskontinuierlichen Grossen durch kontinuierliche ersetztund erhielten nach Umformung die folgenden Gleichungen fur Druckkrafte und Visko-sitatskrafte

Fpressurei = −∑j

(pj

δj2 +

pi

δi2 )∇W (xij , h), (7)

(a) (b) (c)

Abbildung 6: Rayleigh-Taylor Instabilitat von zwei Flussigkeiten mit Dichteunterschied. Wahrendmit Standard SPH unphysikalische Spannungskrafte zu sehen sind (a), sind diese Artefakte mit un-serer Methode eliminiert (b). Nun ist es moglich eine physikalische Spannungskraft mit kontrollier-barer Starke hinzuzufugen (c).

Fviscosityi =1δi

∑j

µi + µj2

1δj

(vj − vi) ∇2W (xij , h). (8)

Mit unseren adaptierten SPH Gleichungen werden die Artefakte und Instabilitaten, welchein der Standard SPH Methode sichtbar sind (Abbildung 5 (rechts) und 6 (a)), vollstandigeliminiert. Dies ermoglicht es, Fluide mit grossen Dichteunterschieden stabil und ohne Ar-tefakte zu simulieren (Abbildung 6 (b)). Zudem kann ein Benutzer nun das Verhalten unddie Interaktion von mehreren Fluiden kontrollieren, zum Beispiel durch das Hinzufugeneiner physikalischen Spannungskraft zwischen den Fluiden (Abbildung 6 (c)). Die modifi-zierten Gleichungen fur diese Spannungskraft haben wir analog zu den Druckkraften undViskositatskraften hergeleitet. Unser Resultat einer Simulation mit 3 Fluiden mit Dich-teunterschied diskretisiert mit 1M Partikel ist in Abbildung 7 zu sehen. Die Simulationdieses Szenarios ist mit der Standard SPH Methode nicht moglich da die grossen Dicht-eunterschiede zu Instabilitaten fuhren. Obwohl mit unserem adaptierten SPH Modell dieArtefakte und Instabilitaten von der Standard Methode verhindert werden, bleibt der to-tale Berechnungsaufwand gleich gross wie bei der ursprunglichen Methode. Wichtig zuerwahnen ist dass unsere Gleichungen bei der Simulation eines einzelnen Fluids denenvon Standard SPH entsprechen. Erst bei mehreren Fluiden resultiert ein Unterschied inden berechneten Grossen an den Zwischenflachen was Artefakte und Instabilitaten ver-meidet.

6 Zusammenfassung und Schlussfolgerung

In dieser Dissertation wurden neue Methoden prasentiert, welche effektiv und effizienteinige der Hauptprobleme der partikelbasierten Fluid Methode SPH losen. Mit unserenMethoden kann das physikalische Verhalten der Fluide sowie die resultierende visuelleQualitat verbessert werden, was partikelbasierte Ansatze attraktiver fur Graphikanwen-

Abbildung 7: Rayleigh-Taylor Instabilitat von drei Flussigkeiten simuliert mit unseren adaptiertenGleichungen. Im Gegensatz zu unserer Methode kann diese Szene mit Standard SPH aufgrund vonnumerischen Instabilitaten nicht simuliert werden.

dungen macht. Jedoch existieren immer noch offene Pobleme, welche in Zukunft behan-delt werden mussen. Beispiele dafur sind die Effizienz von hochauflosenden Simulationenmit mehreren Millionen Partikel, sowie ein ausfuhrlicher Vergleich von Partikelmethodenund Gittermethoden damit fur eine bestimmte Anwendung die geeignete Simulationsme-thode besser evaluiert werden kann.

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Barbara Solenthaler erhielt den M. Sc. ETH in Informatik vonder Eidgenossischen Technischen Hochschule (ETH) Zurich in2005. In 2010 erhielt sie den Dr. sc. in Informatik von der Univer-sitat Zurich. Ihre Dissertation wurde mit dem Fritz-Kutter Preis2009 ausgezeichnet. Seit 2010 arbeitet sie als Postdoktorand imComputer Graphics Laboratory an der ETH Zurich. Ihre For-schungsinteressen beinhalten physikalisch basierte Animationen,agentenbasierte Modellierung und Simulation, virtuelle Umge-bungen und Visualisierungen.