ដោយលមឹ សុវណ្ណ វចិិត្រ

23

ja

nv

ier

20

10

កណំត់ស្វ៊ីត 𝑎𝑛 𝑛≥0 មួយដោយ 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1 នងិ

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2

ចំដ ោះ 𝑛 ≥ 2 ។

ចំដ ោះគ្រប់ 𝑚 > 0 នងិ 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 ចូរបង្ហា ញថា 2𝑎𝑚 ចចកោច់ 𝑎𝑚+𝑗 + −1 𝑗𝑎𝑚−𝑗 ។

សនមតថា 𝑛 នងិ 𝑘 ជាចំននួរត់ធមមជាតចិែល 2𝑘 ចចកោច់ 𝑛 ។ ចូរបង្ហា ញថា 2𝑘 ចចកោច់ 𝑎𝑛 ។

(អូឡាំពិចគណិ្រវទិ្យាឥណ្ឌា )

ចដមលើយ

យ ើងស្រា បញ្ជា ក់តាមកំយ ើ ន។ 𝐴𝑗 = 𝑎𝑚+𝑗 + −1 𝑗𝑎𝑚−𝑗

ចំយ ោះ 𝑗 = 0 យ ើងទាញបាន 𝐴0 = 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚 = 2𝑎𝑚 ដយូចនោះចចកដាច់នងឹ 2𝑎𝑚 ។

ចំយ ោះ 𝑗 = 1 យ ើងទាញបាន 𝐴1 = 𝑎𝑚+1 − 𝑎𝑚−1 ។ យ ើងមាន 𝑎𝑚+1 = 2𝑎𝑚 + 𝑎𝑚−1 ⟹ 𝐴1 =

𝑎𝑚+1 − 𝑎𝑚−1 = 2𝑎𝑚 ។ ដយូចនោះ 𝐴1 ចចកដាច់នងឹ 2𝑎𝑚 ។

សនមតថាពតិរហូតដល់ 𝑗 = 𝑘 ។ យ ើងទាញបាន 𝐴𝑘 = 𝑎𝑚+𝑘 + −1 𝑘𝑎𝑚−𝑘 , 𝐴𝑘−1 = 𝑎𝑚+𝑘−1 +

−1 𝑘−1𝑎𝑚−𝑘+1 ចចកដាច់នងឹ 2𝑎𝑚។ យ ើងស្រតវូបង្ហា ញថា 𝐴𝑘+1 = 𝑎𝑚+𝑘+1 + −1 𝑘+1𝑎𝑚−𝑘−1 ចចកដាច់នងឹ 2𝑎𝑚។ យ ើងមាន

2𝐴𝑘 = 2𝑎𝑚+𝑘 + 2 −1 𝑘𝑎𝑚−𝑘

= 𝑎𝑚+𝑘+1 − 𝑎𝑚+𝑘−1 + −1 𝑘 𝑎𝑚−𝑘+1 − 𝑎𝑚−𝑘−1

= 𝑎𝑚+𝑘+1 + −1 𝑘+1𝑎𝑚−𝑘−1 − 𝑎𝑚+𝑘−1— 1 𝑘𝑎𝑚−𝑘+1

= 𝑎𝑚+𝑘+1 + −1 𝑘+1𝑎𝑚−𝑘−1 − 𝑎𝑚+𝑘−1 + −1 𝑘−1𝑎𝑚−𝑘+1

= 𝐴𝑘+1 − 𝐴𝑘−1

⟹ 𝐴𝑘+1 = 2𝐴𝑘 + 𝐴𝑘−1

យ ើងទាញបាន យដា 𝐴𝑘 , 𝐴𝑘−1 ចចកដាច់នងឹ 2𝑎𝑚 យ ោះ 𝐴𝑘+1កច៏ចកដាច់នងឹ 2𝑎𝑚 ចដរ។

តាមសំនរួទមួី យដា ក 𝑗 = 𝑚 យ ើងទាញបាន 𝑎2𝑚 + −1 𝑚𝑎0 = 𝑎2𝑚 (យស្រ ោះ 𝑎0 = 0)

ចចកដាច់នងឹ 2𝑎𝑚 ។ ដយូចនោះ 𝑎2𝑚 = 2𝛼𝑚𝑎𝑚 ចំយ ោះស្ររប់ 𝑚 ចដល 𝛼𝑚 ជាចំននួរត់ (*)។

យដា 2𝑘 ចចកដាច់ 𝑛 យ ោះ 𝑛 = 𝑝2𝑘 ចដល 𝑝 ជាចំននួរត់។ តាម (*) យ ើងទាញបាន

ដោយលមឹ សុវណ្ណ វចិិត្រ

23

ja

nv

ier

20

10

𝑎𝑛 = 𝑎𝑝2𝑘 = 21 𝛼𝑚1 𝑎𝑝2𝑘−1 = 22 𝛼𝑚1

𝛼𝑚2𝑎𝑝2𝑘−2 = ⋯ = 2𝑘𝛼𝑚1

𝛼𝑚2…𝛼𝑚𝑘

𝑎𝑝2𝑘−𝑘

= 2𝑘𝛼𝑚1𝛼𝑚2

…𝛼𝑚𝑘𝑎𝑝

ចដល 𝑚1 = 𝑝2𝑘−1, 𝑚2 = 𝑝2𝑘−2, …. ជាចំននួរត់។ យដា 𝛼𝑚1. 𝛼𝑚2

… . 𝛼𝑚𝑘 𝑎𝑝 ជាចំននួរត់ យ ោះ

𝑎𝑛 ជាពហុរ ុនន 2𝑘 ឬចចកដាច់នងឹ 2𝑘 ។