instituciÓn educativa departamental antonio nariÑo

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Guía 001 Matemáticas Grado Decimo

INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEPARTAMENTAL ANTONIO NARIÑO

GUÍA No.: 001 AÑO: 2016

ÁREA: Matemáticas ASIGNATURA: Trigonometría

GRADO: Decimo PERIODO: Primero

TIEMPO ESTIMADO: Primer Periodo TIEMPO DE INICIO: Enero 20

DOCENTE: Juan Carlos Perea

FRASE DE REFLEXIÓN:

El trabajo de equipo es importante en el proceso de socialización y ofrece elementos para desarrollar otras cualidades como el pensamiento lógico. Aprender a trabajar con los

demás es esencial en todas las instancias de la vida.

COMPETENCIAS:

Resolución de Problemas

El Razonamiento

La Comunicación

La Modelación

Ejercitación de Procedimientos

ESTÁNDAR:

PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requiera grados de precisión específicos

TÓPICO GENERATIVO:

Sabías que Tales de Mileto calculo la altura de la gran pirámide de Egipto con la sombra que su bastón produjo ¿Cómo explicarías esto?

EVALUACION DIAGNÓSTICA

¿Qué es un transportador? ¿Para qué sirve eltransportador?

¿Qué es ángulo? cita un ejemplo

Dibuja 3 ángulos de diferentes medidas:30° ; 90° y 120°

¿Qué es ángulo recto?

¿Qué es ángulo obtuso?

¿Qué nombre recibe el ángulo que mide 180°? ¿Qué es triangulo?

Nombra las clases de triángulos que conoce y realiza un ejemplo de cada uno.

Mide con el transportador cada uno de los ángulos de cada triangulo, luego suma

las medidas de los tres ángulos de cada triangulo y escribe que se puede concluir.

2


MARCO CONCEPTUAL:

GRADOS Y RADIANES

La trigonometría se origino antes de la era cristiana cuando lo agrimensores y los

astrónomos empezaron a desarrollar medios eficaces para utilizar las propiedades de los

triángulos semejantes, e la determinación de distancias que no se podían medir

directamente. Tales de Mileto, uno de los fundadores de la geometría griega, midió no solo la altura de las columnas griegas sino la altura de las pirámides mediante el principio

de los triángulos semejantes. Aristarco de Samos, científico, músico, astrónomo y

geómetra griego hallo la distancia de la Tierra al Sol y a la Luna. Eratóstenes de Cirene,

calculo el diámetro de la Tierra. Hiparco de Nicea, considerado el padre de la

trigonometría, elaboro las primeras tablas trigonométricas par a la función seno y las

evaluó en intervalos de medio grado. Pero es con Claudio Ptolomeo, que la trigonometría

empieza a tomar cuerpo, en su obra Almagesto considerada el trabajo más importante de astronomía matemática de la antigüedad, desarrollad la trigonometría en los capítulos 10

y 11. En Europa, Johann Müller, más conocido como Regiomontanus o Regiomontano, al

traducir al latín los trabajos griegos relacionados con el tema, sistematizo todos los

conocimientos de la trigonometría como ciencia independiente de la astronomía.

Las aplicaciones de la trigonometría son muy variadas, estas van desde la resolución de triángulos hasta su uso en algunas ciencias modernas como las comunicaciones, la

topología, la mecánica y otras. Los usos más comunes son el cálculo de longitudes, el

cálculo de ángulos, rumbos y direcciones de móviles.

Los ángulos y su medida

Un rayo o semirrecta es la parte de la recta que tiene principio y se prolonga de manera

indefinida en una dirección. El punto de partida se llama origen.

Dos rayos unidos por su origen forman un ángulo, los dos rayos reciben el nombre de lados de ángulo, uno de los rayos del ángulo es el lado inicial y el otro es el lado final

terminal.

Si se parte del lado inicial y se gira en sentido contrario al movimiento de las manecillas

del reloj hasta llegar al lado final, se dice que la medida del ángulo es de signo positivo,

pero si el giro es el mismo sentido del movimiento de las manecillas del reloj, se

determina que la medida del ángulo es negativa.

3


Cuando en dos ángulos coinciden su lado inicial y el lado terminal se les denomina

coterminales, así como lo muestra la figura

Cuando el ángulo se encuentra en un sistema de coordenadas y además el vértice

coincide con el origen del sistema y el lado inicial coincide con el semieje positivo de x, se dice que el ángulo esta en posición normar o estándar.

Unidades Para Medir Ángulos

Recordemos que un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que

tienen un origen común. Las unidades que más frecuentemente se utilizan para medir

ángulos son el grado y el radián.

El grado sexagesimal es la medida de cada uno de los ángulos que resultan

al dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

El grado tiene dos submúltiplos: • El minuto, que equivale a la sexagésima parte del grado (1º = 60’)

• El segundo, que equivale a la sexagésima parte del minuto (1’ = 60”).

Por tanto: 1º = 60’ = 3.600”

Un instrumento que permite hallar la medida de un ángulo (amplitud) es el

transportador.

4


Un grado sexagesimal se puede expresar en forma decimal o en forma de grados

minutos y segundos, veamos ejemplos de dichas formas

Convirtamos 38°8’43’’ a forma decimal

Recordemos que 1°=60’ es decir 1′ = (1

60)

o

1°=3600’’ es decir 1′′ = (1

3600)

o

Entonces

38°8′43′′ = 38° + 8 × 1′ + 43 × 1′′

38°8′43′′ = 38° + 8 × (1

60)

𝑜

+ 43 × (1

3600)

𝑜

38°8′43′′ = 38° + (8

60)

𝑜

+ (43

3600)

𝑜

38°8′43′′ ≈ 38° + 0,133° + 0,011°

38°8′43′′ ≈ 38,144°

Para verificar nuestra respuesta, utilicemos la calculadora científica

Para ingresar en la calculadora el ángulo, se expresa así:

38°8’43’’→ 38°8°4” =→°’’’ 38.134

Cuaderno Calculadora Ahora convirtamos 25,341° a forma de grados, minutos y segundos

25,341° = 25° + 0,341°

25,341° = 25° + 0,341 × 1°

25,341° = 25° + 0,341 × 60′

25,341° = 25° + 20,46′

25,341° = 25° + 20′ + 0,46′

25,341° = 25° + 20′ + 0,46 × 1′

25,341° = 25° + 20′ + 0,46 × 60′′

25,341° = 25° + 20′ + 27,6′′= 25°20′27,6′′

También podemos verificar nuestro proceso con la calculadora, de la siguiente forma

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25,341° → 25.341 =→°’’’ 25°20°27,6

Cuaderno Calculadora

(Resuelve la actividad 1)

El radián es el ángulo plano que teniendo su

vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre

la circunferencia de ese círculo un arco de

longitud igual al radio. Es decir, un radián es la

medida de un ángulo central cuyo arco mide un

radio. Su símbolo es rad. Si a mide un radián, el arco

AB mide un radio.

El radián es independiente del radio de la circunferencia:

Si el radio de la circunferencia es 2 cm, el arco correspondiente al radián mide 2

cm. Si el radio de otra circunferencia concéntrica es 4 cm, el arco correspondiente al

radián medirá 4 cm.

Los sectores son semejantes y, por tanto, el ángulo central igual.

El ángulo completo, 360º, abarca toda la circunferencia, luego su media es 2 radianes,

que es precisamente la medida de la circunferencia cuando se toma como unidad el

radio. Por tanto, para pasar de grados a radianes, o al revés, basta con recordar que

360° grados = 2 radianes, y con una sencilla regla de tres es suficiente:

𝑎

360°=

𝑛

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

Donde a es la amplitud en grados y n es

radianes.

Veamos el manejo de la formula para convertir.

Convertir 243° a radianes

Solución

Como el ángulo es sexagesimal entonces 𝑎 = 243° y debemos encontrar a n

Utilizamos la formula de la siguiente manera 𝑎

360°=

𝑛

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

243°

360°=

𝑛

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

27

40=

𝑛

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

27×2𝜋 𝑟𝑎𝑑

40= 𝑛

54𝜋 𝑟𝑎𝑑

40= 𝑛

27

20𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 𝑛

6


243° =27

20𝜋 𝑟𝑎𝑑

Convertir 2

3𝜋 𝑟𝑎𝑑 a grados sexagesimal

Solución

Como el ángulo dado es en radianes entonces 𝑛 =2

3𝜋 𝑟𝑎𝑑 y debemos hallar la letra a,

utilizando la formula:

𝑎

360°=

𝑛

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝑎

360°=

2

3𝜋 𝑟𝑎𝑑

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝑎

360°=

2

6

𝑎 =2 × 360°

6= 120°

2

3𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 120°

Visita la pagina

www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/razones_trigonometrica/Radi1.ht

m


Triángulos

Un triangulo, es la figura geométrica delimitada por tres segmentos llamados lados del

triangulo, que a la vez tiene tres vértices o puntos donde se unen los lados.

Matemáticamente los vértices de un triangulo se nombran con letras mayúsculas y los

lados con letras minúsculas; dichas letras a la ves representan el nombre del triangulo que va acompañado con el icono de un triangulo, así como lo muestra la figura.

Recordemos las clases de triángulos que se presentan

NOMBRE CARACTERÍSTICAS EJEMPLO

http://www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/razones_trigonometrica/Radi1.htm


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Equilátero Presenta todos sus lados y

ángulos internos iguales (60°)

Isósceles Presenta dos de sus lados y

ángulos internos iguales.

Escaleno Ninguno de sus lados es igual.

Rectángulo Presenta un ángulo recto (90°)

en sus ángulos internos.

Acutángulo Todos sus ángulos internos son

agudos.

Obtusángulo Uno de sus ángulos internos es

obtuso.

ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN TRIANGULO

8


El triangulo determina dos regiones, una interior y otra exterior. El interior de un

triangulo es la intersección de tres semiplanos, como lo muestra la figura con distintos colores cada uno, si observamos con atención cada semiplano esta delimitado por un

lado del triangulo y por el vértice que no esta en ese lado. Es de suponer que el exterior

es la región del plano que no es el interior

Al realizar con el transportador la medida de los ángulos del interior, se determina que la

suma de los tres es siempre igual a 180°, es decir, A+B+C=180°. Mientras si medimos

los ángulos del exterior siempre al sumar dichos ángulos el resultado es 360°.

ÁREA DE UN TRIANGULO. FORMULA DE HERÓN

Si se conoce la base y la altura de un triangulo se puede determinar que el área del

triangulo es

𝐴∆ =𝑏 × ℎ

2

Donde b es la longitud de la base y h es la longitud de la altura.

¿Pueden existir varios triángulos que tengan la misma base y la misma altura? Si existen

¿Cómo son sus áreas?

Para poder responder y aclarar esta respuesta observa la siguiente grafica

Recuerda que en un triangulo se pueden trazar tres alturas; por lo tanto para cada altura

con su correspondiente base, el valor del área es la misma.

La formula del área de triangulo depende de dos datos, la altura y la base o lado; pero

para aquellos triángulos en los cuales se conoce la medida de sus lados, dicha formula

quede inservible y para ello se debe recurrir a otro método.

Teorema de Herón.

Herón de Alejandría, matemático del siglo I dic., desarrollo un método para hallar el área

de un triangulo cuando se conoce la longitud de sus lados. Este proceso determina la

llamada formula de Herón, la cual dice que en cualquier triangulo ∆ABC, si a, b, c son la longitudes de sus lados entonces

9


𝐴∆ = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

Donde S es el semiperímetro es decir:

𝑆 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐

2

Ejemplo: calcular el área del triangulo cuyos lados mide 3, 5 y 6 cm respectivamente.

Solución:

Para aplicar la formula de Herón hay que hallar el semiperímetro s

𝑆 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐

2=

3 + 5 + 6

2=

14

2= 7

Ahora se halla el área del triangulo

𝐴∆ = √7(7 − 3)(7 − 5)(7 − 6) = √7(4)(2)(1) = √56 ≈ 7,48


ELEMENTOS DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

Recordemos que un triangulo que tiene un ángulo interno recto, se llama triangulo

rectángulo; estos clase de triángulos son los que dan el inicio a la rama de la

trigonometría.

Todo triangulo rectángulo tiene un lado mas largo que los otros dos, dicho lado se

encuentra en frente del ángulo recto o es el lado opuesto al ángulo de 90°, el cual recibe

el nombre de hipotenusa y los dos lado que forman el ángulo recto son denominados

catetos, así como lo muestra la figura.

TEOREMA DE PITÁGORAS.

Uno de los teoremas más importantes de las matemáticas es el de Pitágoras, cual ha sido enunciado y demostrado de diferentes y variadas formas. Dicho teorema se establece

como:

El cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de

los catetos, es decir (𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2

La siguiente figura, muestra una demostración grafica del teorema de Pitágoras

10


Como se establece el cuadrado tanto de la hipotenusa, como de los catetos,

geométricamente se obtienen son cuadrados de dicha medida. Ahora si cuentas el número de cuadrados pequeños que tiene la hipotenusa y lo comparas con el número

total de cuadros pequeños entre los dos catetos, vas a observar que son iguales.

(Inténtalo)

Aplicar el teorema de Pitágoras es sencillo y además permite encontrar el dato faltante

de un triangulo rectángulo.

Ejemplo 1. Verificar que el triangulo de medidas 12, 16 y 20 cm es un triangulo

rectángulo.

Aplicamos el teorema de Pitágoras para confirmar. Donde el lado mas largo es la

hipotenusa, es decir 20 cm y las otras dos medidas son los catetos para este ejercicio 12

y 16 cm. Comprobemos

(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2 (20)2 = (12)2 + (16)2

400 = 144 + 256

400 = 400

Como observamos, ambos extremos dieron el mismo resultado por lo tanto el triangulo

es un triangulo rectángulo.

Ejemplo 2. Si un triangulo rectángulo sus catetos miden 15 y 20 cm respectivamente

¿Cuál será la longitud de la hipotenusa?

Solución: aplicaremos el teorema de Pitágoras, remplazando los valores conocidos, así:

(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 1)2 + (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 2)2

(𝑥)2 = (15)2 + (20)2

𝑥2 = 225 + 400

𝑥2 = 625

Para determinar el valor final, extraemos la raíz cuadrada a ambos extremos,

recordando que la operación inversa de la potenciación es la radicación.

𝑥2 = 625

𝑥 = √625 = 25

Finalmente el valor de la hipotenusa es de 25 cm

Ejemplo 3. Si al dibujar un triangulo rectángulo se conoce que la hipotenusa tiene una

longitud de 30 cm y uno de sus catetos es de 18 cm ¿Cuál deberá ser la medida del cateto faltante?

Solución.

11


Apliquemos el teorema de Pitágoras y remplazamos valores


(30)2 = (18)2 + (𝑥)2

900 = 324 + 𝑥2

Ahora trabajo dicha formula como una ecuación, despejando la letra x

900 = 324 + 𝑥2

900 − 324 = 𝑥2

576 = 𝑥2

𝑥 = √576 = 24

Es decir que el cateto faltante es de 24 cm

(Realiza la actividad 4)

TRIÁNGULOS ESPECIALES

Existen triángulos rectángulos especiales, para los cuales es posible hallar las longitudes de dos de los tres lados cuando se da la longitud uno cualquiera de ellos. Las relaciones

existen entre los lados de estos dos tipos especiales de triángulos rectángulos, se

deducen del Teorema de Pitágoras.

Triangulo especial 30°-60°-90°

Aparece de la división de un triangulo equilátero por una bisectriz y se caracteriza por tener sus ángulos internos de medidas 30°-60°-90°, asi como lo muestra la figura.

Al observar el triangulo de color rojo, denotamos que la

hipotenusa es el doble de uno de sus catetos y para hallar el

cateto faltante utilizamos el teorema de Pitágoras


(𝑥)2 = (𝑥

2)

2

+ (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2

𝑥2 =𝑥2

4+ (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2

𝑥2 −𝑥2

4= (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2

3

4𝑥2 = (𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜)2

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = √3

4𝑥2 =

√3

2𝑥

El cateto faltante mide √3

2𝑥

Triangulo especial 45°-45°-90°

Aparece de la división de forma diagonal de un cuadrado y

se caracteriza por tener sus ángulos internos de medidas

45°-45°-90°, así como se observa en la figura.

Si notamos el triangulo rectángulo, denotamos que los

catetos tienen igual medida y que además el lado faltante es la hipotenusa, la cual se

determina con el teorema de Pitágoras.

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(𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = (𝑥)2 + (𝑥)2 (𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 = 2𝑥2

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √2𝑥2 = 𝑥√2

Por lo tanto el lado faltante del triangulo es 𝑥√2

Ejemplo 1. Encontrar la medida de un lado de un triangulo equilátero cuya altura es de 5

cm.

Como es un triangulo equilátero, relacionamos el triangulo especial 30°-60°-90°,

aplicando, así sus características:

Si x es la medida del lado del triangulo equilátero, a la ves es la medida de la hipotenusa

del rectángulo, y la altura es√3

2𝑥, pero como conocemos dicha medida obtenemos

√3

2𝑥 = 5

𝑥 =5 × 2

√3=

10

√3=

10√3

3

Ejemplo 2. Encontrar la medida de un cateto de un triangulo rectángulo isósceles cuya

hipotenusa mide 7 cm

Dicha información establece un triangulo rectángulo especial 45°-45°-90°, por lo cual la

media de la hipotenusa es √2𝑥 , para el ejercicio ya tiene un valor es decir que el cateto

mide

√2𝑥 = 7

𝑥 =7

√2=

7√2

2


RELACIONES DE CONGRUENCIA Y SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS 30 - 60 - 90 Y

45 - 45 – 90

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Compara los triángulos rectángulos ABC y DEF, ¿son congruentes?

Es indudable que lo primero que se debe hacer es considerar los triángulos como

triángulos rectángulos especiales 30 - 60 - 90, por tanto, si conoces un lado puedes

conocer los otros dos. Así, si en el ∆ABC reconoces que el cateto menor AC mide 3 cm, lo

mismo que el cateto DF en el triángulo especial 30 - 60 – 90 DEF, por tanto, ∆ABC ≅

∆DEF.

En términos generales, dos triángulos rectángulos especiales 30 - 60 – 90 o dos

triángulos rectángulos especiales 45 - 45 - 90 son congruentes si tienen al menos un

lado correspondiente congruente.

Esto se afirma ya que si los triángulos rectángulos no fueran especiales, al menos se

tendría el ángulo recto congruente y faltaría verificar que los elementos correspondientes

(mínimo otros dos, que no sean los otros ángulos) fueran congruentes.

En este caso, los triángulos son congruentes si:

La hipotenusa y un ángulo agudo son congruentes.

Un cateto y un ángulo agudo son congruentes.

Dos catetos son congruentes.

La hipotenusa y un cateto son congruentes.

Piensa ahora si la siguiente afirmación es cierta o falsa: Si tienes dos triángulos

rectángulos 30 - 60 - 90, puedes afirmar que estos triángulos siempre son, congruentes.

La respuesta es, no siempre. Ya se sabe que se necesita al menos tener un la

correspondiente congruente; de lo contrario, los triángulos serían semejantes (dos o más

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figuras son semejantes si los ángulos correspondientes miden lo mismo y los lados son

proporcionales).

¿Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes?

Por supuesto, para la relación de semejanza la situación es todavía más sencilla, ya que

el hecho de tener dos triángulos especiales, ya sea 30 - 60 - 90 o 45 - 45 - 90 hace que éstos también sean semejantes por el criterio AA.

El hecho es pensar cómo es la razón entre la hipotenusa y el cateto menor de un

triángulo rectángulo para que sea semejante a otro triángulo rectángulo y que valor

tendría para que estos triángulos sean especiales 30 - 60 - 90.

Es natural pensar en que la razón debe ser la misma para que estos triángulos

rectángulos sean semejantes.

k es llamada constante de proporcionalidad.

Los triángulos son semejantes porque la razón entre los lados correspondientes es la

misma, es decir, son proporcionales.

Para determinar el valor de esta razón que hace que los triángulos sean 30 – 60 - 90 hay

que recurrir a la condición de que la longitud de la hipotenusa es el doble de la longitud del cateto menor. Por tanto, esta razón debe ser siempre dos (2).

Es decir, si se tienen dos triángulos rectángulos y la razón entre las hipotenusas y los

catetos menores, respectivamente es dos, entonces los triángulos además de ser

semejantes son 30 - 60 - 90.


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Razones Trigonométricas Se utilizará el triángulo rectángulo ABC, para trabajar las razones trigonométricas.

Recuerda que en un triángulo rectángulo el lado que se opone al ángulo recto recibe el

nombre de hipotenusa y los otros dos se llaman catetos.

Además que:

El ángulo C mide 90°.

Los ángulos agudos A y B son complementarios.

El lado AB es la hipotenusa.

El lado AC es el cateto opuesto al ángulo B y el adyacente al ángulo A.

El lado BC es el cateto opuesto al ángulo A y adyacente al ángulo B.

Observa la siguiente figura, en cada uno de los triángulos 30 - 60 - 90 se evidencia que

la constante de proporcionalidad k (razón constante) entre la longitud del cateto menor y

la longitud de la hipotenusa de cada triángulo rectángulo es 1

2

Esta situación ¿puede ser usada en otra clase de triángulos que no sean 30 - 60 - 90? Claro que sí, ya que los triángulos son semejantes y la razón entre cualquier pareja de

lados correspondientes es la misma (constante de proporcionalidad).

Considera otros triángulos rectángulos semejantes que no sean especiales en los que la

razón entre el cateto menor y la hipotenusa de cada triángulo es siempre la misma; en

este caso es 1

3, lo mismo sucede para cada triángulo de la figura con la razón entre el

cateto mayor y la hipotenusa, la cual es aproximadamente 0,94. Para verificarlo halla la

longitud del cateto mayor y aplica el Teorema de Pitágoras.

¿Cuántas y cuáles razones se pueden formar con los tres lados de un triángulo

rectángulo cualquiera?

16


Como una razón es el cociente entre dos cantidades entonces con los tres lados se puede

construir seis razones, que reciben el nombre de razones trigonométricas.

Las seis razones trigonométricas son: seno, coseno y tangente son llamadas

razones trigonométricas fundamentales, y cosecante, secante y cotangente

llamadas razones recíprocas de las fundamentales, en su orden.

En el triángulo rectángulo ABC, para el ángulo agudo α., se definen las seis razones

trigonométricas así:

Estas razones trigonométricas usualmente se escriben:

Ejemplo 1. Encontrar el valor de las seis razones trigonométricas para el ángulo agudo α,

a partir del siguiente triángulo rectángulo

Primero hay que hallar la longitud de la hipotenusa AC. Se puede hacer con el Teorema

de Pitágoras.

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Recuerda que un resultado como 3

√5 se convierte en una razón sin radical en el

denominador; por tanto, se racionaliza y se obtiene 3√5

5. Piensa la racionalización de

2

√5

Si cos 𝛼 =3

4 dibuja, un triángulo rectángulo con un ángulo agudo α y determina las otras

cinco razones trigonométricas de α.

En vista de que cosα se define como la razón del cateto adyacente y la hipotenusa, se

dibuja un triángulo con la hipotenusa de longitud 4 y un cateto de longitud 3 adyacente a α. Si el cateto opuesto es x; entonces por el Teorema de Pitágoras:

ℎ2 = 𝑐 𝑜𝑝2 + 𝑐 𝑎𝑑2

42 = 𝑥2 + 32

16 = 𝑥2 + 9

𝑥2 = 16 − 9 = 7

𝑥 = √7

Utiliza entonces el triángulo de la figura para determinar las razones trigonométricas.


RAZONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. CONFUSIONES

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto. Puesto

que la suma de los ángulos agudos de cualquier triángulo es 180°,se infiere que en un

triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios.

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En la figura, se ha nombrado el ángulo opuesto al cateto b como β y el angulo opuesto al

cateto a como α. Observa que el cateto b es adyacente al ángulo α y e el cateto a es

adyacente al ángulo β.

Debido a estas relaciones, las funciones seno y coseno, tangente y cotangente, y secante

y cosecante se llaman cofunciones una de la otra.

Ejemplo:

En términos generales, el prefijo "co" que acompaña a las razones coseno, cotangente y

cosecante se debe a que corresponde al seno, la tangente y a la secante del ángulo que es su complemento.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES

Debido al uso frecuente de los triángulos rectángulos especiales, es necesario establecer

los valores de las razones trigonométricas para sus ángulos agudos.

A partir de la información que se presenta en la figura, en la que se muestran dos

triángulos especiales, uno 45 - 45 - 90 Y el otro 30 - 60 - 90,se determina el valor de las

razones trigonométricas, éstas se presentan en la siguiente tabla.

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Para determinar los valores de las razones trigonométricas para otros ángulos, se utiliza

una calculadora. Los métodos matemáticos utilizados en la determinación de las razones

trigonométricas están directamente programados en las calculadoras científicas. Por

ejemplo, cuando se oprime la tecla SIN, la calculadora hace una aproximación al valor

del seno del ángulo dado.

Las calculadoras dan los valores de seno, coseno y tangente; las demás razones se

pueden calcular con facilidad mediante las siguientes razones recíprocas:

Estas razones se obtienen de manera inmediata a partir de las definiciones de las

razones trigonométricas.

Recuerda que un ángulo puede medirse en grados o en radianes; por tanto se debe tener

en cuenta esta situación para operar la calculadora, por ejemplo si desea calcular el seno

de un ángulo que mide un radián, el modo de la calculadora debe estar en radianes, y así

obtener el siguiente resultado.

Visita la pagina www.librosvivos.net entra en la sección de matemáticas y

revisa el material de apoyo del libro Gauss 4, opción b, relacionado con las

razones trigonométricas.


ACTIVIDADES DE COMPETENCIAS

ACTIVIDAD 1.

a) Ejercitación de Procedimientos

1. Realiza las siguientes conversiones de ángulos sexagesimales, de forma de grados,

minutos y segundos a forma decimal. Verifica la respuesta con la calculadora

a. 84°46'54" d. 149°32'75"

b. 72°27'18". e. 255°58'69"

2. Halla la conversión de los siguientes ángulos en forma de grados, minutos y segundo.

Comprueba el resultado con la calculadora.

a. 37,146° c. 65,473°

b. 128,542° d. 49,326°

3. Realiza las siguientes operaciones con los ángulos y expresa la respuesta en las dos

formas de escritura

a. 248°51’34’’ + 84°25’79’’ c. 49,125°+58,378° b. 327,654°- 63,284° d. 82°35’44’’ – 46°72’20’’

http://www.librosvivos.net/

20


ACTIVIDAD 2.

a) Ejercitación de Procedimientos 1. Expresa las medidas de los siguientes ángulos en radianes.

a. 170° b. 405°

c. 278 ° d. 65°

2. Realiza la conversión de los siguientes grados

a. 2

7 b.

𝜋

17

b. 2𝜋

9 d.

8𝜋

20

3. Expresa la medida de los siguientes ángulos en radianes, expresa la respuesta en forma decimal redondeando la cifra a dos decimas.

a. 42° b. 268°

c. 76° d. 194°

4. Complementa el siguiente diagrama.

b) La modelación.

Grados 154 225 18 35

Radianes 𝜋

6

𝜋

2

𝜋

4

5. Ejercitemonos para el icfes

El suplemento de un ángulo que mide 120° 15’ 45’’ es: a. 60° 45’’ 15’’ b. 59° 45’ 15’’ c. 59° 44’ 15’’ d. 60° 44’ 15’’ Al convertir 5π/6 rad en grados y 235° en radianes respectivamente se obtiene: a. 150° y 3π/2 rad

b. 150° y 3π/4 rad

c. 140° y 3π/4 rad

d. 140° y 3π/2 rad

Las preguntas 3 y 4 se responden con base en la siguiente gráfica: C β

D E 40° r1 r1 // r2

85° θ A B r2

r4 r3

Con base en la gráfica anterior se puede determinar que el valor de θ es: a. 135°

b. 150°

21


c. 140°

d. 130°

Con base en la gráfica anterior se puede determinar que el valor de β es: a. 135°

b. 150°

c. 140°

d. 130°

Con base en la gráfica anterior se puede determinar que el valor del ángulo ACB es: a. 40°

b. 50°

c. 45°

d. 35°

ACTIVIDAD 3.

a) El Razonamiento

1. A continuación se dan la longitudes de los lados de varios triángulos para cada uno de

ellos verificar si para esas medidas se puede construir un triangulo, en caso afirmativo

calcular el área, aplicando la formula de Herón.

a. a=12 b=8 c=14 b. a=18 b=22 c=15 d. a=6 b=8 c=10 d. a=24 b=18 c=16

2. Calcula el dato que se pide en cada triangulo.

ACTIVIDAD 4.

c) El Razonamiento

1. Halla el dato que se pide en cada triangulo rectángulo.

22


2. Determina el lado faltante de cada triangulo rectángulo.

a. Hipotenusa: 15 cm

Cateto opuesto: 12 cm

Cateto adyacente: x

b. Hipotenusa: x Cateto opuesto: 8 cm

Cateto adyacente: 6 cm

c. Hipotenusa: 12 cm

Cateto opuesto: x

Cateto adyacente: 8 cm

3. Practiquemos para el icfes

Las preguntas del 1 al 6 se responden con base en la información de la siguiente gráfica

A3

C B A2

A

A1

Si A mide 30cm y B mide 40cm la medida de C es: a. 30cm

b. 40cm

c. 50cm

d. 60cm

Si B mide 40cm y C mide 50cm el área A1 equivale a: a. 900cm2

b. 600cm2

c. 1600cm2

d. 1200cm2

Si A mide 20m y C mide 25m la medida de B es:

23


a. 15m

b. 20m

c. 10m

d. 25m

Si A mide 20cm y B mide 15cm el área A3 equivale a: a. 125m2

b. 225m2

c. 425m2

d. 625m2

Si A mide 6cm y B mide 8cm la medida de C es: a. 8cm

b.9cm

c.10cm

d.12cm

Si B mide 300Km y C mide 500Km el valor de A es: a. 100Km

b.200Km

c. 300Km

d. 400Km

ACTIVIDAD 5.

a) Solución De Problemas

Resuelve cada uno de los siguientes problemas.

1. Encontrar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que mide

6cm de cateto

2. Hallar la medida de un cateto de un triangulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa

mide 12cm

3. Determinar la altura de un triangulo equilátero, si sus lados tiene una medida de 8cm

4. Si un rectángulo mide 8cm de base y 6cm de altura ¿Cuál es la medida de la

diagonal del rectángulo?

5. Resuelve el siguiente diagrama

ACTIVIDAD 6.

a) El Razonamiento 1. Determina si cada pareja de triángulos rectángulos son o no congruentes. Argumenta

la respuesta.

24


2. Determina si cada pareja de triángulos rectángulos son o no semejantes. Argumenta

la respuesta.

ACTIVIDAD 7.

a) El Razonamiento 1. Determina las razones trigonométricas al ángulo agudo α de los siguientes triángulos

rectángulos.

2. Determinar las razones trigonométricas faltantes, a partir de la razón dada.

a. sin 𝛼 =3

5

b. cos 𝛽 =6

9

25


c. tan 𝜃 =3

5

3. Practiquemos para el icfes

Las preguntas 1-2 y 3 se responden con base en la siguiente información:

“Las razones trigonométricas me relacionan los lados en cualquier triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos así: Seno θ = Cateto Opuesto / Hipotenusa Coseno θ = Cateto Adyacente/Hipotenusa Tangenteθ=CatetoOpuesto/CatetoAdyacente”

Θ A B

C 1.La razón trigonométrica senθ es

a. A/B. b. B/C. c. C/B. d. C/A

2.Si conocemos cuanto miden B y θ y necesitamos determinar el valor de C utilizamos la razón trigonométrica

a. senθ

b. cosθ

c. tanθ

d. secθ

3.si Si conocemos cuanto miden C y θ y necesitamos determinar el valor de A utilizamos la razón trigonométrica

a. senθ

b. cosθ

c. tanθ

d. secθ

“EXITOS”

ACTIVIDAD DE TRABAJO DE PROYECTO PERSONAL DE SINTESIS

1. Busca en el colegio en las estructuras de la planta física 5 situaciones donde se

puedan determinar sus medidas por medio de triángulos rectángulos, representa

un dibujo de cada una de ellas y por medio de los conocimientos estudiados aplícalos y halla la medida de sus ángulos y lados. Para ello debes utilizar un

decámetro.

26


2. Halla las razones trigonométricas para los ángulos agudos en cada una de los

triángulos que representan dicha situación.

3. Presenta el trabajo al profesor y susténtalo.

CRONOGRAMA:

ACTIVIDAD FECHA EVALUACIÓN

AUTOEVALUACIÓN COEVALUACIÓN HETEROEVALUACIÓN

Actividad 1

Actividad 2

Evaluación 1

Actividad 3

Actividad 4

Actividad 5

Evaluación 2

Actividad 6

Actividad 7

Evaluación 3

Proyecto

Síntesis

DIRECCIONES SITIOS WEB DE INTERES: www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/razones_trigonometrica/Radi1.htm www.librosvivos.net

Conversiones entre grados sexagesimales

http://www.youtube.com/watch?v=twq-7y682Kw http://www.youtube.com/watch?v=UVdAQrjnTUw&feature=fvwrel

Conversiones de grados a radianes y viceversa

http://www.youtube.com/watch?v=sSw6wvxUiTY

http://www.youtube.com/watch?v=-AR42voyFuQ&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=g6DGniHARPE&feature=fvwrel

http://www.youtube.com/watch?v=BLTmA3z5D1s&feature=related

Teorema de Pitágoras

http://www.youtube.com/watch?v=ek_IzL1lIZE

http://www.youtube.com/watch?v=Pm_ncQVCWlA&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=Y2CW0oNzsTA&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=mPzmP7I_yWQ&feature=related

Razones trigonométricas

http://www.youtube.com/watch?v=-fNkaIF1o6k

http://www.youtube.com/watch?v=wi3ykAxNXCw http://www.youtube.com/watch?v=xvY0Xw9UM4M

BIBLIOGRAFIA


http://www.librosvivos.net/

http://www.youtube.com/watch?v=twq-7y682Kw

http://www.youtube.com/watch?v=UVdAQrjnTUw&feature=fvwrel

http://www.youtube.com/watch?v=sSw6wvxUiTY

http://www.youtube.com/watch?v=-AR42voyFuQ&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=g6DGniHARPE&feature=fvwrel

http://www.youtube.com/watch?v=BLTmA3z5D1s&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=ek_IzL1lIZE

http://www.youtube.com/watch?v=Pm_ncQVCWlA&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=Y2CW0oNzsTA&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=mPzmP7I_yWQ&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=-fNkaIF1o6k

http://www.youtube.com/watch?v=wi3ykAxNXCw

http://www.youtube.com/watch?v=xvY0Xw9UM4M

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Fernando Gómez Onzaga, Neila Edith Bello Mantilla y Olga Lucia Niño Peña.

Matemáticas activa Pitágoras 10. Editorial Ediciones P.E.I. Ltda. Bogotá año 2005

Víctor Hernando Ardila Gutiérrez. Olimpiadas matemáticas 10. Editorial Voluntad

S.A. Santa fe de Bogotá año 1999

Víctor Hernando Ardila Gutiérrez y Mauricio Villegas Rodríguez. Matemáticas Nova 10.

Editorial Voluntad S.A. Santa fe de Bogotá año 1998

instituciÓn educativa departamental antonio nariÑo

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