integral lipat - spada.uns.ac.id
TRANSCRIPT
Integral Lipat
Integral Rangkap
Indikator Pencapaian Hasil Belajar Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menjelaskan pengertian integral rangkap atas persegi panjang 2. Menghitung integral rangkap atas persegi panjang dengan menggunakan integral
lipat 3. Menjelaskan pengertian integral rangkap atas daerah bukan persegi panjang 4. Menghitung integral rangkap atas daerah bukan persegi panjang dengan
menggunakan integral lipat 5. Menjelaskan pengertian integral rangkap dalam koordinat kutub 6. Menghitung integral rangkap dengan menggunakan integral lipat dalam koordinat
kutub
Materi Ajar
Integral Rangkap atas Persegi Panjang
Misal R persegi panjang dengan sisi-sisi yang sejajar dengan sumbu-sumbu
koordinat, yakni
Bentuk suatu partisi P dari R yang terdiri dari garis-garis yang sejajar dengan sumbu- x
dan sumbu- y . Persegi panjang R terbagi atas berhingga persegi panjang–persegi
panjang bagian, katakan ada n persegi panjang bagian , yang dinyatakan dengan
nkRk ,...,2,1, = . Misal kx dan ky panjang sisi dari kR dan misal kkk yxA = adalah
luasnya. Pada setiap kR , ambil sebarang titik sampel ),( kk yx . Sebagai ilustrasi dapat dilihat
seperti pada gambar berikut :
Selanjutnya bentuk jumlah Riemann
Jika 0),( yxf untuk setiap Ryx ),( , maka jumlah Riemann bisa diinterpretasi secara
geometris sebagai jumlah dari n volume balok . Lihat gambar berikut :
Norm dari partisi P , dinotasikan dengan P , didefinisikan sebagai panjang
diagonal terpanjang dari persegi panjang-persegi panjang bagian . Selanjutnya definisi
formal dari integral rangkap atas persegi panjang diberikan sebagai berikut :
Definisi
Misal f adalah fungsi dua variabel yang didefinisikan pada persegi panjang tertutup R .
Jika
ada, kita katakan bahwa f terintegralkan pada R . Lebih lanjut
disebut integral rangkap dari f atas R , dan diberikan sebagai
Latihan :
Misal
Hitung jumlah Riemann yang diperoleh dengan membagi R atas delapan persegi yang
sama luasnya dan menggunakan titik tengah persegi-persegi tersebut sebagai titik
sampel.
Jika 0),( yxf , maka
merepresentasikan volume dari benda pejal yang terletak di di bawah permukaan
),( yxfz = di atas persegi panjang R .
Tidak semua fungsi terintegralkan atas persegi panjang. Fungsi yang tidak terbatas
pada R tidak terintegralkan. Teorema berikut membantu kita menentukan kelas fungsi
yang terintegralkan.
Teorema
Jika f terbatas pada persegi panjang tutup R dan kontinu di R kecuali diberhingga kurva
mulus maka f terintegralkan pada R . Khususnya jika f kontinu pada semua titik di R ,
maka f terintegralkan pada R .
Latihan
Berikan pendapatmu tentang keterintegralan fungsi-fungsi berikut
Berikut adalah sifat-sifat dari integral rangkap, yang serupa dengan integral fungsi
satu peubah riil
1. Integral rangkap bersifat linier
2. Integral rangkap bersifat aditif atas persegi panjang yang berimpit hanya pada
suatu ruas garis
3. Berlaku sifat pembandingan, yakni jika ),(),( yxgyxf untuk setiap Ryx ),(
maka
Catatan :
Jika 1),( =yxf untuk semua Ryx ),( , maka integral rangkap atas R sama dengan luas
R , sehingga
Latihan :
Misal
Hitung
dengan
Menghitung Integral Rangkap atas Persegi Panjang
Berikut ini kita akan mebicarakan tentang bagaimana cara menghitung integral
rangkap, meski tidak analitik tapi paling tidak secara intuitif masuk akal. Misal 0),( yxf
pada R , dengan
maka kita dapat menginterpretasikan integral rangkap atas R sebagai volume benda
pejal di bawah permukaan ),( yxfz = di atas R ,
Iris benda pejal dengan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang- xz , sehingga
benda pejal terbagi atas lempengan-lempengan tipis. Tipikal lempengan tersebut dapat
diilustrasikan sebagai berikut :
Luas permukaan lempengan bergantung pada berapa jauh lempengan tersebut dari
bidang , selanjutnya kita notasikan luas lempengan tersebut dengan )(yA . Volume
lempengan V diaproksimasi dengan
Terapkan “iris, aproksimasi dan integralkan”, kita peroleh
Sementara itu untuk y ( tetap ) , kita dapat menghitung )(yA menggunakan integral satu
peubah
Sehingga kita dapat menghitung volume benda pejal tersebut dengan
Integral ini disebut sebagai integral lipat
Jika kita memulai dengan mengiris benda pejal dengan bidang-bidang yang sejajar
dengan bidang- yz , kita memperoleh integral lipat dengan urutan yang ditukar. Sekarang
kita memiliki rumus
Luas )(yA
Catatan :
(i) Meski rumus yang kita peroleh di atas berdasarkan asumsi f non negatif, tapi hal
tersebut berlaku secara umum.
Jika ),( yxf negatif maka integral rangkap
diinterpretasikan sebagai negatif dari volume benda pejal diantara permukaan
dengan persegi panjang R .
(ii) Rumus integral lipat di tidak dapat digunakan jika masing-masing integral integral
tidak dapat di hitung. Tapi untungnya integral lipat biasanya tidak terlalu sulit untuk
dihitung.
Latihan :
1. Hitung integral lipat berikut :
2. Hitung volume benda pejal yang terletak di bawah permukaan yxz −−= 24 di atas
persegi panjang
Integral Rangkap atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Tinjau daerah tutup dan terbatas S di bidang. Tutup S dengan persegi panjang R
yang sisinya sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat.
Misal ),( yxf terdefinisi pada S dan definisikan 0),( =yxf pada bagian dari R yang
terletak di luar S
Dikatakan f terintegralkan pada S jika f terintegralkan pada R , dan ditulis
Integral rangkap pada sebarang himpunan tutup dan terbatas S memenuhi sifat (1)
linier, (2) aditif pada himpunan yang berimpit hanya pada suatu kurva mulus dan
memenuhi sifat pembandingan
Menghitung Integral Rangkap atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Himpunan yang dibatasi oleh kurva tutup dapat sangat rumit bentuknya. Untuk
keperluan kita, karenanya kita akan mulai dari himpunan yang lebih sederhana yang di
namakan himpunan −x sederhana dan himpunan −y sederhana.
Himpunan S dikatakan −y sederhana jika terdapat fungsi 1 dan 2 pada ],[ ba
sedemikian sehingga
Kita dapat memeriksa dengan cepat suatu himpunan adalah −y sederhana dengan
melihat apakah garis dalam arah y memotong himpunan tersebut dalam suatu ruas
garis, satu titik atau tidak sama sekali.
Himpunan S dikatakan −x sederhana jika terdapat fungsi 1 dan 2 pada ],[ dc
sedemikian sehingga
Kita dapat memeriksa dengan cepat suatu himpunan adalah −x sederhana dengan
melihat apakah garis dalam arah x memotong himpunan tersebut dalam suatu ruas
garis, satu titik atau tidak sama sekali.
Gambar berikut adalah contoh himpunan yang bukan himpunan himpunan −x
sederhana dan bukan himpunan −y sederhana.
Sekarang misal kita akan menghitung integral rangkap fungsi ),( yxf atas
himpunan S yang merupakan himpunan −y sederhana. Kita menutupi S dengan persegi
panjang R ( lihat Gambar 5 )dan definisikan 0),( =yxf di luar S
Pertama x dibuat tetap, integral sepanjang garis yang ditebalkan pada Gambar 5
menunjukkan )(xA yaitu luas penampang ( lihat Gambar 6 ) .
Selanjutnya )(xA dihitung dengan integral dari a ke b , sehingga kita punyai
Jadi untuk menghitung integral f atas himpunan −y sederhana
Kita gunakan rumus :
Dengan cara yang serupa kita dapat menghitung integral atas himpunan −x
sederhana
dengan rumus
Jika S bukan himpunan −x sederhana dan bukan himpunan −y sederhana,
biasanya dapat ditinjau sebagai gabungan dari himpunan himpunan −x sederhana atau
−y sederhana . Sebagai contoh annulus pada Gambar 7 berikut ini bukan himpunan −x
sederhana dan bukan himpunan −y sederhana, tetapi dapat dipandang sebagai
gabungan dua himpunan −y sederhana 1S dan 2S . Integral pada himpunan ini dapat
dihitung dengan menjumlahkan satu sama lain untuk mendapatkan integral atas R.
Latihan :
1. Hitung integral lipat berikut
2. Gunakan integral rangkap untuk menentukan volume tetrahedron yang dibatasi
oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 012463 =−++ zyx
3. Cari volume benda pejal pada oktan pertama ) 0,0,0 ( zyx yang dibatasi oleh
paraboloid 22 yxz += , silinder 422 =+ yx dan bidang-bidang koordinat.
4. Dengan menukar urutan pengintegralan hitung
Integral Rangkap atas Persegi Panjang Kutub
Kurva-kurva tertentu seperti lingkaran, cardioid dan mawar lebih mudah
dideskripsikan dalam koordinat kutub daripada dengan koordinat Cartesius. Sehingga
wajar jika kita berharap integral rangkap atas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
tersebut juga akan lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.
Misal R daerah seperti pada Gambar 1 yang kita sebut sebagai persegi panjang
kutub.
Misal ),( yxfz = adalah permukaan yang terletak di atas R dan misal f kontinu
dan non negatif seperti yang diilustrasikan Gambar 2 berikut.
Maka volume benda pejal di bawah permukaan dan di atas R diberikan dengan
Dalam koordianat kutub, kita menyatakan persegi panjang kutub sebagai himpunan
dengan 0a dan 2− , dan permukaan sebagai
Buat partisi pada R menggunakan garis-garis kutub, sehingga diperoleh persegi
panjang kutub bagian 1R , 2R , ... , nR dan misal kr dan ks menyatakan ukuran dari
persegi panjang kutub bagian kR , seperti yang ditunjukkan Gambar 3 berikut
Luas )( kRA adalah
dengan kr adalah radius rata-rata dari kR . Jadi
Jika kita menarik imit dengan norm dari partisi mendekati nol maka kita memperoleh
volume dari benda pejal yang terletak di atas R dan di bawah permukaan ),( yxfz = .
Limit ini adalah integral rangkap
sehingga
Hasil yang ada pada kotak diperoleh dari asumsi f kontinu dan non negatif , tetapi
sesungguhnya ini benar untuk semua fungsi kontinu.
Latihan :
Cari volume benda pejal di atas persegi panjang kutub /40 ,1 ),( = rrR
dan di bawah permukaan 22 yxez +=
Integral Rangkap atas Daerah yang Bukan Persegi Panjang Kutub
Kita melakukan hal yang serupa dengan yang kita lakukan pada integral rangkap
pada koordinat Cartesius kecuali bahwa kita bekerja pada koordinat kutub sekarang. Kita
tetapkan himpunan himpunan −r sederhana
dan − sederhana
Latihan :
1. Hitung :
jika S adalah daerah pada kuadran pertama yang terletak di luar lingkaran 2=r
dan di dalam kardioid ) cos1 (2 +=r
2. Cari volume benda pejal di bawah permukaan 22 yxz += di atas bidang- xy dan di
dalam silinder yyx 222 =+
3. Cari luas daerah yang terletak di dalam lingkaran 𝑟 = 4 cos 𝜃 dan di luar lingkaran
𝑟 = 2