integral rangkap (lipat)
TRANSCRIPT
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
1/25
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Didalam suatu perhitungan matematika yang bisa digunakan salah satunya dengan
menggunakan suatu metode perhitungan apa yang namanya integral , dimana suatu integral
ini dibagi menjadi beberapa bagian bagian yaitu integral tentu dan tak tentu, yang dimana
integral tersebut bisa digunakan untuk menghitung benda benda ruang yang ada didalam
kehidupan kita sehari hari dengan menggunakan metode integral tadi dengan menghitung
luas dan volumenya. Integral juga adalah salah satu bagian dari suatu kalkulus yang bisa
disebut juga sebagai anti differensial.
Dalam pembahasan integral akan di bicarakan tentang fungsi intergral yang continue
integral yang kita ketahui belum tentu dapat dipenuhi maksudnya, dalam definisi dari intergal
yang dikait kan dengan limit . sehingga apabila fungsi integral tertutup yang terbatas, sudah
jelas ada nya intergral selalu terjamin yang dimaksud dengan integral ganda / (multi integral)
dalam pembahasan ini meliputi : integral berulang , berulang,tripple yang akan di bahas
dalam bab ini.
1.2 Tujuan Materi
1. Mahasiswa dapat memahami dan mengenal apa itu integral rangkap 2 dan rangkap
3
2. Mahasiswa dapat menghitung luas dan volume suatu benda ruang dengan metode
integral
3. Mahasiswa dapat mengerti konsep integral rangkap 2 dan rangkap 3
4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan putar pada kurva.
5. Mahasiswa dapat menentukan nilai, bentuk integral, dan menggambar kurva untuk
luas bidang rata
1.3 Sistematika Penulisan
Kata Pengantar
Daftar Isi
Bab I. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
1.2 Tujuan Materi
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
2/25
2
1.3 Metodelogi Penulisan
1.4 Sistematika Penulisan
Bab II. Materi
2.1 Integral Rangkap 2
2.2 Aplikasi Integral Rangkap 2
Bab IV. Kesimpulan
Daftar Pustaka
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
3/25
3
BAB II
Materi
2.1 Integral Rangkap DuaJika 0),( yxf pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda
pejal dibawah permukaan gambar 1
V = R
dAyxf ),( , R = { },:),( dycbxayx .
Gambar 1.2
Iris :
Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 2a)
b
a
a b
R
Gb. 1
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
4/25
4
`
Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan A(y) y
Volume v dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh v A(y) y , diintegralkan ,
V = d
c
dyyA )( , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :
A(y) =
b
a
dxyxf ),( , sehingga : V =
d
c
b
a
dydxyxf ]),([ .. (2)
Dari (1) dan (2) :
R
dAyxf ),( = d
c
b
a
dydxyxf ]),([ begitu juga R
dAyxf ),( = b
a
d
c
dxdyyxf ]),([
LA(y)
yx
y
z
y
Gb. 1.3
Gb. 2b
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
5/25
5
2.1.1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang
Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk fungsi banyak
peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap. Pada
integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di
R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah fungsi tersebut
terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga
integral lipat tiga.
Gambar 1.1
Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat,
yakni misal : R : {(x,y) : ,bxa dxc }. Bentuk suatu partisi dengan cara membuat garis-
garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang kecil yang jumlahnya n
buah, yang ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan kx dan ky adalah panjang sisi-sisi kR dan
kA = kx . ky adalah luas. Pada kR ambil sebuah titik misal ),( kk yx dan bentuk penjumlahan
Riemannk
n
k
kk Ayxf
),(1
.
Definisi :
Integral lipat dua
Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R, jika :
x
b
a
dc
z
y
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
6/25
6
0lim
IpI k
n
k
kk Ayxf
),(1
ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut R
dAyxf ),( , yang
disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh
R
dAyxf ),( =0
limIpI
k
n
k
kk Ayxf
),(1
2.1.2 Sifat sifat Integral Lipat Dua :1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:
R R
dAyxfkdAyxkf ),(),(
R R R
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([
2. R R R
dAyxfdAyxfdAyxf
1 2
),(),(),(
3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R, maka :
R R
dAyxgdAyxf ),(),(
2.1.3 Perhitungan Integral Lipat dua
Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral lipat dua merupakan
luas R.
R R
dAyxfkdAyxkf ),(),(
= R
dAk 1
= k.A(R)
Contoh Soal
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
7/25
7
1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :
f(x,y) =
32,30,3
21,30,2
10,30,1
yx
yx
yx
hitung R
dAyxf ),( dengan R = { }30,30:),( yxyx
jawab :
misal persegi panjang R1, R2, R3
R1 = { }10,30:),( yxyx
R2 = { }21,30:),( yxyx
R3 = { }32,30:),( yxyx , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua, sehingga :
R dAyxf ),( 1 ),(R dAyxf + 2 ),(R dAyxf + 3 ),(R dAyxf
= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)
= 1.3 + 2.3 + 3.3
= 18
2. Hampiri R
dAyxf ),( dengan16
864),(
2yxyxf
,
R = { }80,40:),( yxyx . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan Riemann!
Jawab :
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
8/25
8
Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang sama dengan tiap-
tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang
berpadanan dari fungsi itu adalah :
),( 11 yx = (1,1), f ),( 11 yx =16
17
),( 22 yx = (1,3),f ),( 22 yx =16
65
),( 33 yx = (1,5), f ),( 33 yx =16
81
),( 44 yx = (1,7),f ),( 44 yx =16
105
),( 55 yx = (3,1),f ),( 55 yx =16
41
),( 66 yx = (3,3),f ),( 66 yx =16
49
),( 77 yx = (3,5),f ),( 77 yx =16
65
),( 88 yx = (3,7), f ),( 88 yx =16
89
Jadi karenak
A = 4,k
A =k
x ky = 2.2 = 4
R
dAyxf ),( k
k
kk Ayxf
),(8
1
4
8
(4,8)
(0,8,8)
(4,8,6)
(4,0,2)
(0,0,4)
y
z
x
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
9/25
9
= ),(48
1
k
kk yxf
= 16
89654941105816557(4
= 1383
2
2.1.4 Perhitungan Volume
Contoh soal :
Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 x2y dan dibawah persegi panjang
R = { }20,10:),( yxyx
Jawab :
Jawab :
V = R
dAyxf ),(
1
2
(1,2)
(0,0,4)
(1,0,3)
(1,2,1)
(0,2,2)
y
z
x
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
10/25
10
= R
dAyx )4( 2 = dxdyyx )4(
2
0
1
0
2
= dyyxxx ]]314[[ 103
2
0
= dyy)314(2
0
=3
16satuan volum
2.1.5 Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang
Gambar 2.1
Himpunan S terrtutup dan terbatas di bidang (Gb.1) keliling S oleh suatu persegi panjang R dan
sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gb.2). andai f(x,y) terdefinisi pada S dan didefinisikan
f(x,y)=0 pada bagian R diluar S (Gb.3), f dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada R.
S
dAyxf ),( = R
dAyxf ),(
2.1.6 Perhitungan Integral Lipat Dua Atas Himpunan-himpunan Umum
Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu 1 dan 2
pada [a,b] sedemikian sehingga :
Gb.1Gb.2
Gb.3
S S
f(x,y)=0
z = f(x,y)
S
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
11/25
11
}),()(:),{(: 21 bxaxyxyxS
Gb.2.2 Gb. 2.3
Sebuah himpunan y sederhana sebuah himpunan x sederhana
Bukan himpunan x sederhana
Atau y sederhana
Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu 1 dan 2
pada [a,b] sedemikian sehingga : }),()(:),{(: 21 bxaxyxyxS . Sedangkan suatu
himpunan S adalah x sederhana (gb.5) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu 1 dan 2 pada [c,d]
sedemikian sehingga : }),()(:),{(: 21 dycyxyyxS . Jika kita ingin menghintung
ba
Sc
d
x= )(1 y x= )(2 y
x
yy= 2 (x)
y= 1 (x)x
y
0
0
S
S
y= 2 (x)
y= 1 (x)
x
y
0
SR
xa b
Gb.2.4
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
12/25
12
integral lipat dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S yang y sederhana. Kita lingkungi S di
dalam suatu persegi panjang R (gb.6) dan membuat f(x,y)=0 di luar S, maka :
S dAyxf ),( = R dAyxf ),( =
b
a
d
cdxdyyxf ]),([
=
b
a
dxdyyxf ]),([2
1
, secara ringkas
S
dAyxf ),( =
b
a
x
x
dydxyxf
)(
)(
2
1
),(
Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Pengintegralan itu adalah sepanjang
garis tebal dari gambar 6. pengintegralan menghasilkan luas A(x) dari gambar tersebut, akhirnya A(x)
diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika himpunan S adalah x sederhana, maka
S
dAyxf ),( = d
c
y
y
dxdyyxf
)(
)(
2
1
),(
a
b
A(x)
z=f(x,y)
Gb.2.5
y= 1 (x)y= 2 (x)
x
z
y
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
13/25
13
2.1.7 Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub
Jika z = f(x,y) menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah kontinu dan tak
negatif, maka volume V dari benda pejal dibawah permukaan ini dan diatas R adalah
V = R
dAyxf ),( ...... (1)
Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk :
R = { },:),( brar
R
z=f(x,y)=F(r, )
x
y
z
r=a
r=b
R
Gb.2.6
Gb.2.7
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
14/25
14
Dengan 0 dan 2 . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai
z = f(x,y) = ),()sin,cos( rfrrf
Sehingga :
V = RR
rdrdrrfrdrdrf )sin,cos(),( ........ (2)
Dari (1) dan (2) :
R
dAyxf ),( = R
rdrdrrf )sin,cos(
Jika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita pelajari yang lalu kita
mengenal istilah himpunan x sederhana dan himpunan y sederhana, pada pengintegralan kutub ini,
kita mengenal istilah istilah himpunan r sederhana dan himpunan sederhana. Himpunan r
sederhana berbentuk }),()(:),{(: 21 rrS dan disebut sederhana jika
berbentuk :
Rk
Rk
R
k
Partisi R dalam persegi panjang kutub yang lebih
kecil R1, R2
, . Rn. dengan menggunakan suatu kisi kutub
pada gambar diatas luas A(Rk) dapat ditulis :
kkkk rrRA )( dengan kr adalah radius
rata-rata Rk. Jadi V kkkk
n
k rrrf ),(Gb.2.8
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
15/25
15
2.1.8 Penerapan Integral Dua
Penerapan integral dua selain untuk mencari volume benda pejal, penerapan lain yaitu
mencari massa, pusat massa dan momen inersia.
a. Massa
Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan (massa/ satuan luas)
di (x,y) dinyatakan oleh ),( yx . Partisikan s dalam persegi panjang kecil .21 ,..., kRRR Ambil
titik ( ), kk yx pada kR . Massa kR secara hampiran kARyx ),( dan massa total lamina
secara hampiran )(),(1
k
n
k
kk RAyxm
Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma partisi mendekati
nol, sehingga :
)(),(lim10
kkkk
n
PRAyx
Limit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2:
S
r= )(1
r= )(2
Gb.2.9
Himpunan r sederhana
S
= )(2 r
= )(1 r
r=a r=b
Gb.2.10
Him unan sederhana
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
16/25
16
s
dAyxm ),(
b. Pusat Massa
Jika nmmm ,..., 21 adalah kumpulan titik massa yang masing-masing ditempatkan di (
), 11 yx ,( ), 22 yx ,.......,( ), nn yx pada bidang maka momen total terhadap sumbu y dan
sumbu x.
n
k
kky mxM1
,
n
k
kkx myM1
. Koordinat ( ),yx dari pusat massa:
Koordinat ( ),yx dari pusat massa.
s
sy
dAyx
dAyxx
m
Mx
),(
),(
dan
s
sx
dAyx
dAyxy
m
My
),(
),(
Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak sama), tapi jika
kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa menjadi:
s
s
dA
xdA
x
dan
s
s
dA
ydA
y
c. Momen Inersia
Definisi:
Momen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat jarak
terpendek dari partikel terhadap sumbu. Jika m adalah massa dan r adalah jarak, sehingga :
n
k
kknn rmrmrmrmI1
222
22
2
11 ....
Suatu lamina tak homogen dengan kerapatan ),( yx yang mencakup suatu daerah s dari
bidang xy, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri momen inersia tiap keping kR , ambil
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
17/25
17
limit dan dbawa ke rumus diatas, sehingga momen inersia terhadap sumbu x, y dan z adalah
xI , yI , dan zI
n
k s
kkP
x dAyxyymI
1
22
0),(lim
n
k s
kkP
y dAyxxymI
1
22
0),(lim
s
yxz dAyxyxIII ),()(22
Cotoh soal:
Sebuah lamina dengan kerpatan xyyx ),( dibatas sumbu x, garis x =8 , kurva3/2
xy .
Tentukan :
a. Massa
b. Pusat massa
c. Momen inersia terhadap sumbu x, y dan z
Jawab :
a. s
dAyxm ),(
= 8
0 0
3/2x
xydydx
= dxxy 3/20
2
8
02
1
= dxx8
0
3/7
2
1
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
18/25
18
= 803/108
010
3
2
1x
2.2 Integral Rangkap Tiga
2.2.1 Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius
),,( kkk zyx
Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk balok B
dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Bentuk suatu partisi P dari B dengan meletakkn
bidang-bidang melalui B sejajar bidang koordinat, jadi memotong B ke dalam balok-balok bagian,
yaitu: nk BBBB ,....,....,, ,21 . Pada kB , ambil satu titik contoh ),,( kkk zyx dan dengan penjumlahan
Riemann diperoleh:
n
k
kkk zyxf1
),,( kV
y
x
z
y
z
x
B
BkGb. 3.1
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
19/25
19
Dengan kV = kkk zyx ,, adalah volum kB . Jika P adalah panjang diagonal terpanjang darisetiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut:
n
k
kkkk
BP
VzyxfdVzyxf1
0),,(lim),,(
Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat tiga mempunyai
urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua. Sehingga integral lipat di fungsi f(x,y,z)
atas daerah B ditulis sebagai berikut:
B
dVzyxf ),,( , misalnya kita tuliskan B
dxdydzzyxf ),,( , yang mempunyai arti:
a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z sebagai
konstanta
b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z sebagai konstanta
c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z.
Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan pengintegralannya
menyesuaikan. Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup maka
untuk menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali, demikian pula untuk
menghitung integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f kontinu. Sehingga bila B balok persegi
panjang yang dibatasi. fzedycbxazyxB ,,:),,{( }
x
z
y
b
dc
a
e
f
Gb. 3.2
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
20/25
20
Bila fzedycbxazyxB ,,:),,{( }, maka untuk menghitung integral lipat tiga
atas benda B adalah:
B
b
a
d
c
f
e
dxdydzzyxfdVzyxf })),,(({),,( }
Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga.
2.2.2 Penerapan Integral Rangkap 3
Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S. Andai S himpunan z sederhana
dan xyS adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy, untuk lebih jelasnya perhatikan
gambar berikut:
Sxy
x
y
z
Sxy
y
x
Gb. 3.3
Gb. 3.4
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
21/25
21
Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh:
S S
yxz
yxzxy
dAdzzyxfdVzyxf
),(
),(
2
1
]),,([),,(
Dimana adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy. Selanjutnya jika Sxy daerah pada
bidang xy yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar 3.4 . yang dibatai oleh:
}),()(:),{( 21 bxaxyyxyyxSxy , sehingga dengan integral berulang diperoleh:
S S
yxz
yxzxy
dAdzzyxfdVzyxf
),(
),(
2
1
]),,([),,(
= b
a
xy
xy
yxz
yxz
dxdydzzyxf
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
])),,(([
Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai dengan urutan-urutan
pengintegralannya.
Sxy
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
22/25
22
3.1.3 Kumpulan Soal
1. Hitunglah luas suatu daerah yang dibatasi oleh y = x2
+ 4x dan garis y = 2x + 6 menggunakan
integral yang dilakukan y terlebih dahulu kemudian ke-x.
Jawaban :
=
= + ( + )
= +
= [ + ]
= [ ( ) + ) ( ) [ ( ) + ( ) ( )
=[ , + ] [ + ]= ,
2. Hitunglah Volume suatu benda dengan fungsi f(x)= 4x2y + xy
2yang dibatasi oleh
y= 3x+2 dan garis y=x-3 dengan batas y=2 dan y=1?
= (4 + )
= 4
2
+1
2
3 + 2
3
= 2 +1
2
3 + 2
3
= 2 +1
2 . (3 + 2) ( 3)
= 2 +
1
2 . ( 3 + 7 6)
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
23/25
23
= 6 +31
2
1
2 3
= 6
5
+31
8
1
4
3
2
2
1
= 6
5(2) +
31
8 (2)
1
4(2) 2 (2)
6
5(1) +
31
8 (1)
1
4(1) 2(1)
= [(38 ,4+6228)] [(1,2+3,870,252)]
=[90,4 2,82]= 87,18
3. Tentukan massa dari suatu kubus yang rusuknya = 6, bila kerapatannya = 0,5 pada setiap
titiknya sebanding dengan kuadrat jarak titik itu kesalah satu rusuk kubus
= =
= +
= ( + )
=
= ( + )
= ( + )
= [ ]6
0( + )
= 6 ( + )
= 6 +3
6
0
= 6 6
3 +
6
3
6
0= . 6
6
3 +
6
3
6
0
= 0,5 6 6
3 +
6
3 = 3 [ 432 + 432]= 2592
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
24/25
24
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Integral dapat disimpulkan dalam beberapa kesimpulan, yaitu:
Hampir semua materi dalam matematika, langsung kita ketahui penerapannya dalam
kehidupan sehari-hari, seperti integral yang kegunaannya untuk menghitung luas daerah
Matematika Itu bersifat hirarkis,sama seperti menghitung integral,untuk menghitung
integral tingkat lanjut, kita harus memahami lebih jauh tentang integral-integral dasar
Dalam mengerjakan/menyelesaikan soal-soal integral yang tingkatannya tinggi, diharapkan
untuk terlebih dahulu memahami soal2 integral dasar.
Cara paling ampuh dan paling jitu agar kita dapat mengerjakan integral dengan cepat dan
baik adalah "banyak berlatih", karena integral itu mempunyai banyak "tipe" dan setiap tipe
hanya dapat dikerjakan dengan metode yang tertentu pula
-
7/22/2019 Integral Rangkap (Lipat)
25/25
Daftar Pustaka
Ayres, Jr. Frank ; 1964 ;Differential and Integral Calculus ;New York ; Schaums Outline
Series Mc Graw-Hill Book Company
Anonim. Integral. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14-riemann.pdf
Anonim. Notasi Sigma.http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdf
Ayres, Jr. Frank, Lea Prasetio; 1985 ;Teori dan Soal-soal Diferensial dan Integral Kalkulus ;
Jakarta ; Penerbit Erlangga