makalah integral lipat 3
DESCRIPTION
Makalah integral lipat 3TRANSCRIPT
BAB IPEMBAHASAN
1. Integral Lipat TigaSama seperti kita mendefinisikan integral tunggal untuk fungsi suatu
variable dan integral lipat dua variable, kita dapat mendefinisikan integral lipat-
iga untuk fungsi tiga variable. Pertama-tama marilah kita menangani kasus paling
sederhana di mana f didefinisikan pada kotak segiempat :
Langkah pertama adalah
membagi B menjadi kotak-kotak
bagian. Kita lakukan ini dengan
membagi selang [ a , b ] menjadi l
selang-bagian [ x i−1 , x i ]berlebar
sama ∆ x, membagi [ c , d ] menjadi
m selang-bagian berlebar sama ∆ y
dan membagi [ r , s ] menjadi n
selang-bagian berlebar sama ∆ z.
Bidang-bidang yang melalui titik
ujung selangbagian-selangbagian
ini yang sejajar terhadap bidang-bidang kordinat membagi kotak B menjadi lmn
kotak-bagian.
Bijk= [x i−1 , x i ] × [ y j−1 , y j ] × [ zk−1 , yk ]
Yang diperlihatkan dalam Gambar 1. Masing-masing kotak bagian mempunyai
volume ∆ V =∆ x ∆ y ∆ z
Kemudian kita bentuk jumlah Riemann rangkap-tiga
B= {(x, y, z ) ∣ ɑ ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s }
∑i=1
l
∑j=1
m
∑k=1
n
f ( x ijk¿ , y ijk ,
¿ z ijk¿ )∆ V
1
2
dengan titik sampel ( x ijk¿ , y ijk ,
¿ zijk¿ ) terletak pada Bijk. Berdasarkan analogi
dengan definisi integral lipat-dua (16.1 .5 ), kita definisikan integral lipat-tiga
sebagai limit dari jumlah Riemann rangkap-tiga dalam (2 ) .
Sekali lagi, integral lipat-tiga selalu ada jika f kontinu. Kita dapat memilih
titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi jika kita memilih
titik sampel ini sebagai titik (x¿¿ i , y j , zk)¿ kita peroleh ekspresi yang kelihatan
lebih sederhana untuk integral lipat-tiga :
Sama seperti untuk integral lipat-dua, metode praktis untuk penghitungan
integral lipat-tiga adalah menyatakannya sebagai integral berulang sebagai
berikut.
Definisi Integral lipat-tiga dari f pada kotak B adalah
∭B
f (x , y , z ) dV= liml , m,n → ∞
∑i=1
l
∑j=1
m
∑k=1
n
f ( x ijk¿ , yijk ,
¿ zijk¿ )∆ V
Jika limit ini ada
∭B
f (x , y , z ) dV= liml , m,n → ∞
∑i=1
l
∑j=1
m
∑k=1
n
f ( x i , y j , zk ) ∆ V
Teorema Fubini untuk Integral Lipat-Tiga jika f kontinu pada kotak
B=[ a , b ] × [b , c ] × [ r , s ], maka
∭B
f (x , y , z ) dV=∫a
b
∫r
s
∫c
d
f ( x , y , z ) dy dzdx
3
4
Integral berulang pada ruas kanan Teorema Fubini bermakna bahwa pertama
kita mengintegralkan terhadap x (dengan mempertahankan y dan z tetap),
kemudian kita integralkan terhadap y (dengan mempertahankan z tetap), dan
akhirnya kita integralkan terhadap z. Terdapat lima kemungkinan urutan lain yang
dapat kita lakukan dalam mengintegralkan, semuanya memberikan nilai sama.
Misalnya, jika kita integralkan terhadap y, kemudian z, dan kemudian x, kita
mempunyai
∭B
f (x , y , z ) dV=∫a
b
∫r
s
∫c
d
f ( x , y , z ) dy dzdx
CONTOH 1
Hitunglah integral lipat-tiga ∭B
xyz2 dV , dengan B adalah kotak segiempat yang
diberikan oleh
B= {(x , y , z ) ∣0 ≤ x ≤1 ,−1≤ y ≤ 2 , 0≤ z ≤3 }
PENYELESAIAN
Kita dapat menggunakan salah satu dari enam urutan pengintegralan yang
mungkin. Jika kita memilih untuk mengintegralkan terhadap x, kemudian y, dan
kemudian z, kita peroleh
∭B
xyz2 dV=∫0
3
∫−1
2
∫0
1
xyz2 dx dy dz
¿∫0
3
∫−1
2
[ x2 yz2
2 ]x=0
x=1
dy dz
¿∫0
3
∫−1
2 yz2
2dy dz
¿∫0
3
[ y2 z2
4 ]y=−1
y=2
dz
¿∫0
3 3 z2
4dz
¿z3
4 ]0
3
¿ 274
Sekarang kita definisikan integral lipat-tiga pada daerah umum terbatas E
dalam ruang tiga dimensi (benda pejal) dengan prosedur yang hampir sama seperti
yang kita gunakan untuk integral lipat-dua. Kita lingkupi E dalam sebuah kotak
B yang berjenis sama seperti persamaan 1. Kemudian kita definisikan fungsi F
agar fungsi ini sesuai dengan f pada E tetapi bernilai 0 untuk titik-titik pada B
yang diluar E. Menurut definisi,
∭E
f (x , y , z ) dV=∭B
F (x , y , z ) dV
Integral ini ada jika f kontinu dan perbatasan E adalah “dapat
dikatakan mulus”. Integral lipat-tiga mempunyai sifat yang pada dasarnya
sama seperti integral lipat-dua
Kita batasi perhatian kita pada fungsi kontinu f dan pada jenis daerah
sederhana yang tertentu. Daerah pejal E dikatakan sebagai berjenis 1 jika
daerah ini terletak diantara grafik dua fungsi kontinu x dan y, dengan kata lain
dengan D adalah proyeksi E pada bidang-xy seperti diperlihatkan dalam
Gambar 2. Perhatikan bahwa perbatasan atas benda pejal E adalah permukaan
dengan persamaan z=u2 ( x , y ), sedangkan perbatasan bawah adalah permukaan
z=u1 ( x , y ).
E={( x , y , z )∣ ( x , y )∈D ,u1 ( x , y ) ≤ z ≤u2 ( x , y ) }5
Berdasarkan jenis argumentasi yang sama yang menghasilkan , dapat
diperlihatkan bahwa jika E adalah daerah jenis I yang diberikan oleh
persamaan 5, maka
Makna dari integral sebelah dalam pada ruas kanan persamaan 6 adalah
bahwa x dan y dipegang tetap, dan karenanya u1 ( x , y ) dan u2 ( x , y ) dipandang
sebagai konstanta, selama f ( x , y , z ) diintegralkan terhadap z.
Khususnya, jika proyeksi D dari E pada bidang-xy adalah daerha bidang jenis
1 (seperti dalam gambar 3)
Maka,
E={( x , y , z )∨a≤ x≤ b , g1 ( x )≤ y ≤ g2 ( x ) ,u1 ( x , y ) ≤ z ≤u2 ( x , y ) }
dan persamaan 6 menjadi
∭E
f (x , y , z ) dV=∬D [ ∫
u1 ( x, y )
u2 (x , y )
f ( x , y , z ) dz ]dA6
∭E
f (x , y , z ) dV=∫a
b
∫g1( x )
g2( x )
∫u1 ( x, y )
u2 ( x, y )
f (x , y , z ) dz dy dx7
Sebaliknya, jika D adalah daerah bidang II (seperti dalam gambar 4)
Maka,
E={( x , y , z )∨c ≤ y ≤ d , h1 ( y )≤ x≤ h2 ( y ) ,u1 ( x , y ) ≤ z ≤u2 ( x , y ) }
dan persamaan 6 menjadi
CONTOH 2
Hitunglah ∭E
z dV , dengan Eadalah bidang empat (tetrahedron) pejal yang dibatasi
oleh empat bidang x=0 , y=0 , z=0 , dan x+ y+z=¿
∭E
f (x , y , z ) dV=∫c
d
∫h1 ( y )
h2 ( y )
∫u1 ( x, y )
u2 ( x, y )
f (x , y , z ) dz dxdy8
PENYELESAIAN
Ketika kita menyusun integral lipat-tiga adalah bijaksana untuk menggambar dua
diagram yaitu satu berupa daerah pejal E (lihat gambar 5) dan 1 adalah proyeksi D
pada bidang-xy (lihat gambar 6). Batas bawah bidang-empat adalah bidang z=0 dan
batas atasnya bidang + y+z=1 atau ( z=1−x− y ) ,sehingga kita gunakan u1 ( x , y )=0
dan u2 ( x , y )=1−x− y dalam rumus 7. Perhatikan bahwa bidang-bidang x+ y+z=1
dan z=0 berpotongan pada garis x+ y=1 atau ( y=1−x ) di bidang-xy. Sehingga
proyeksi E adalah daerh segitiga yang diperlihatkan dalam gambar 6, dan kita
mempunyai
E={( x , y , z )∨0 ≤ x ≤1 ,0 ≤ y ≤ 1−x ,0≤ z≤ 1−x− y }
Pendeskripsian E sebagai daerah jenis 1 ini membuat kita bisa menghitung integral
sebagai berikut :
∭E
z dV=¿∫0
1
∫0
1− x
∫0
1− x− y
zdz dy dx¿
¿∫0
1
∫0
1−x
[ z2
2 ]z=0
z=1− x− y
dy dx
¿ 12∫0
1
∫0
1−x
(1−x− y )2dy dx
¿ 12∫0
1
¿¿¿
¿ 16∫0
1
(1−x )3 dx
¿ 16 [−(1−x ) 4
4 ]0
1
9
¿ 124
Daerah pejal E adalah jenis 2 jika berbentuk
E={( x , y , z )∨( y , z )∈D ,u1 ( y , z )≤ x≤ u2 ( y , z ) }
kali ini dengan D adalah proyeksi E pada bidang-yz (lihat gambar 7). Permukaan
belakang adalah x=u1 ( y , z ) dan permukaan depan adalah u2 ( y , z ) dan kita mempunyai
Akhirnya daerah jenis 3 berbentuk
E={( x , y , z )∨( x , z )∈D ,u1 ( x , z ) ≤ x ≤u2 ( x , z ) }
∭E
f (x , y , z ) dV=∬D [ ∫
u2 ( y , z )
u2 ( y , z )
f ( x , y , z )]dA10
dengan D adalah proyeksi E pada bidang-xz, y=u1 ( y , z ) adalah permukaan kiri dan
y=u2 ( y , z ) adalah permukaan kanan (lihat gambar 8). Untuk daerah jenis ini kita
mempunyai
Dalam masing- masing persamaan 10 dan 11 boleh jadi terdapat dua ekspresi
yang mungkin untuk integral tersebut tergantung pada apakah D daerah bidang
berjenis 1 atau jenis 2 (dan berpadanan terhadap persamaan 7 dan 8).
CONTOH 3
Hitung ∭E
√ x2+z2 dV , dengan E adalah daerah yang dibatasi oleh paraboloid
y=x2+z2 dan bidang y=4
PENYELESAIAN :
Benda pejal Ediperlihatkan dalam gambar 9. Jika kita pandang benda sebagai daerah
jenis 1, maka kita perlu meninjau proyeksi D ke bidang−xy, yang berupa daerah
parabola dalam gambar 10 (jejak dari y=x2+z2 di bidang z=0 adalah parabola y=x2)
Dari y=x2+z2kita dapatkan z=±√ y−x2, sehingga permukaan perbatasan bawah dari
E adalah z=−√ y− x2 dan permukaan atasnya adalah z=√ y−x2. Karena itu
penjabaran E sebagai daerah jenis 1 adalah
11∭
Ef (x , y , z )=∬
D [ ∫u1 ( x ,z )
u2 ( x ,z )
f ( x , y , z ) dy ]dA
E={( x , y , z )∨−2 ≤ x ≤2 , x2≤ y≤ 4 ,−√ y−x2 ≤ z ≤√ y−x2 }
Sehingga kita peroleh
∭E
√ x2+z2 dV=∫−2
2
∫x2
4
∫−√ y− x2
√ y−x2
√x2+z2dz dy dx
Walaupun ekspresi ini benar, ekspresi ini sagat sukar untuk dihitung. Sebagai g antinya marilah kita meninjau E sebagai daerah jenis 3. Dengan demikian proyeksinya D3 ke dalam bidang −xz berupa cakram x2+ z2 ≤ 4 yang diperlihatkan pada gambar 11.
Maka perbatasan kiri dari E adalah paraboloid y=x2+z2 dan perbatasan kanan adalah bidang y=4, sehingga dengan mengambil u1 ( x , z )=x2+ z2 dan u2 ( x , z )=4 dalam persamaan 11, kita mempunyai
∭E
√ x2+z2 dV=∬D 3
[ ∫x2+z 2
4
√x2+z2dy ]dA
¿∬D3
( 4−x2−z2 )√x2+z2dA
Walaupun integral ini dapat dituliskan sebagai
∫−2
2
∫−√4− x2
√4−x2
( 4−x2−z2 )√x2+z2dz dx
Adalah lebih mudah untuk beralih ke kordinat polar di bidang-xz : x=r cos θ. Ini memberikan
∭E
√ x2+z2 dV=∬D 3
( 4−x2−z2 )√ x2+z2 dA
¿∫0
2 π
∫0
2
(4−r2 )r r dr dθ=∫0
2π
dθ∫0
2
( 4 r2−r 4 ) dr
¿2 π [ 4 r3
3 −r 5
5 ]0
2
=128 π
15
a. Penerapan Integral Lipat Tiga
Ingat bahwa jika f ( x ) ≥ 0, maka integral tunggal ∫a
b
f ( x )dx menyatakan luas
dibawah kurva y=f (x ) mulai dari a ke b, dan jika f ( x , y )≥ 0 maka integral lipat dua
∬D
f ( x , y ) dA menyatakan volume di bawah permukaan z=f (x , y ) dan di atas D.
Penafsiran integral lipat-tiga ∭E
❑
f (x , y , z ) dV yang terkait, dengan f ( x , y , z )≥ 0
tidaklah terlalu berguna karena aka berupa “hipervolume” dari beda empat dimensi, dan tentu saja amat sukar untuk divisualisasikan. (ingat bahwa E hanyalah daerah asal (domain) fungsi f ; grafik f terletak diruang empat dimensi.) meskipun demikian,
integral lipat-tiga∭E
❑
( x , y , z ) dV dapat ditafsirkan dalam cara yang berbeda dalam
situasi fisis yang berlainan, tergantung pada penafsiran fisis dari x , y , z dan f ( x , y , z ).
Marilah kita mulai dengan kasus khusus di mana f ( x , y , z )=1 untuk semua titik dalam E. Maka integral lipat-tiga memang enyatakan volume E
V ( E )=∭E
dV12
Sebagai contoh, anda dapat melihat ini pada kasus daerah jenis 1 dengan meletakkan f ( x , y , z )=1 dalam rumus 6:
∭E
1 dV=∬D [ ∫
u1 ( x , y )
u2 ( x , y )
dz ]dA=∬D
[u2 ( x , y )−u1 ( x , y ) ]dA
dan dari materi sebelumnya kita mengetahui bahwa ini menyatakan volume yang terletak di antara permukaan-permukaan z=u1 ( x , y ) dan z=u2 ( x , y ).
CONTOH 4
Gunakan integral lipat-tiga untuk mencari volume bidang=empat T yang dibatasi oleh bidang-bidang x+2 y+2 z=2, x=2 y , x=0, dan z=0.
PENYELESAIAN
Bidang-empat T dan proyeksinya D pada bidang xy diperlihatkan dalam gambar 12 dan 13. Perbatasan bawah T adalah bidang z=0 dan perbatasan atas adalah bidang x+2 y+2 z=2, yaitu z=2−x−2 y. Karena itu, kita mempunyai
V (T )=∭T
dV
¿∫0
1
∫x2
1− x2
∫0
2−x−2 y
dz dy dx
¿∫0
1
∫x2
1− x2
(2−x−2 y ) dy dx
¿ 13
Perhatikan bahwa kita tidak perlu menggunakanintegral lipat-tiga untuk menghitung volume. Integral ini hanyalah metode alternatif untuk penyusunan perhitungan
Semua penerapan integral lipat-dua dapat langsung dipeluas ke integral lipat-tiga. Misalnya, jika fungsi kerapatan dari benda pejal yang menempati daerah E adalah ρ(x , y , z ), dalam satuan massa tiap satuan volume, di sembarang titik (x , y , z) yang diberikan, maka massa-nya adalah
Dan momen-nya terhadap tiga bidang koordinat adalah
Pusat massanya terletak di titik ( x , y , z ), dengan
Jika kerapatannya konstan, pusat massa benda pejal disebut sentroid dari E. Momen inersia terhadap tiga bidang koordinat adalah
Muatan listrik total pada suatu benda pejal yang menempati daerah E dan mempunyai kerapatan muatan σ (x , y , z ) adalah
x= Myzm y=
M xz
m z= M xy
m
I x=⨌E ( y2+z2 ) ρ ( x , y , z ) dV
I y=⨌ E ( x2+z2) ρ ( x , y , z )dV
I z=⨌E ( x2+ y2 ) ρ ( x , y , z ) dV
m=∭E
ρ ( x , y , z )dV
M yz=∭E
xρ ( x , y , z ) dV M xz=∭E
yρ ( x , y , z ) dV
M xy=∭E
zρ (x , y , z ) dV
13
14
15
16
Jika kita mempunyai tiga variabel acak kontinu X,Y,dan Z , fungsi kerapatan bersama mereka adalah fungsi tiga variabel sedemikian rupa sehingga peluang bahwa (X, Y, Z) terletak dalam E adalah
P ( ( X , Y , Z )∈ E )=∭E
f (x¿, y , z )dV ¿
Khususnya,
P (a ≤ X ≤ b , c ≤Y ≤ d ,r ≤ Z ≤ s )=∫a
b
∫c
d
∫r
s
f ( x , y , z )dz dy dx
Fungsi kerapatan bersamanya memenuhi
f ( x , y , z )≥ 0 ∫−∞
∞
∫−∞
∞
∫−∞
∞
f ( x , y , z ) dz dy dx=1
CONTOH 5
Carilah pusat massa dari sebuah benda pejal berkerapatan konstan yang dibatasi oleh silinder parabolik x= y2 dan bidang bidang x=z , z=0 dan x=1
PENYELESAIAN
Benda pejal E dan proyeksinya pada bidang-xy diperlihatkan dalam Gambar 14. Permukaan bawah dan atas dari E adalah bidang bidang z=0 dan z=x, sehingga kita katakan Esebagai daerah jenis 1:
E={( x , y , z )|−1≤ y≤ 1 , y2≤ x≤ 1,0≤ z≤ x }
Maka, jika kerapatan adalah ρ ( x , y , z )=ρ, massanya adalah
Q=∭E
σ (x , y , z ) dV
m=∭E
ρ dV =∫−1
1
∫y2
1
∫0
x
ρ dz dx dy
¿ ρ∫−1
1
∫y2
1
x dxdy=ρ∫−1
1
[ x2
2 ]x= y2
x=1
dy`
¿ ρ2∫−1
1
(1− y4 ) dy= ρ∫0
1
(1− y4 ) dy
¿ ρ [ y− y5
5 ]0
1
=4 ρ5
Karena kesimetrisan E dan ρ terhadap bidang-xz , kita segera dapat mengatakan bahwa M xz=0 , dan karena itu, y=0. Momen lainnya adalah
M yz=⨌E xρ dV =∫−1
1
∫y2
1
∫0
x
xρ dzdx dy
¿ ρ∫−1
1
∫y2
1
x2dx dy= ρ∫−1
1
[ x3
3 ]x= y2
x=1
dy
¿2ρ3 ∫
0
1
(1− y6 ) dy=2 ρ3 [ y−
y7
7 ]0
1
=4 ρ7
M xy=⨌E zρ dV =∫−1
1
∫y2
1
∫0
x
zρ dz dx dy
¿ ρ∫−1
1
∫y2
1
[ z2
2 ]z=0
z= x
dx dy= ρ2∫−1
1
∫y2
1
x2 dxdy
¿ ρ3∫0
1
(1− y6 ) dy=2 ρ7
Karena itu, pusat massanya adalah
( x , y , z )=( M yz
m,M xz
m,
M xy
m )=( 57
,0 , 514 )
2. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bolaa. Koordinat Silinder
Koordinat silinder dari titik P adalah (r , θ , z), dengan r , θ dan z
diperlihatkan dalam gambar 1. Andaikan Eadalah daerah jenis 1 yang proyeksinya
D pada bidang-xy digambarkan dengan mudah dalam koordinat polar (lihat
Gambar 2). Khususnya , andaikan bahwa f kontinu dan
E={(x , y , z )∨( x , y )∈D , u1 (x , y )≤ z≤ u2 ( x , y ) }
Dengan Ddiberikan dalam koordinat polar oleh
D={(r , θ )∨( x , y )α ≤ θ ≤ β ,h1(θ)≤r ≤ h2(θ)}
Kita mengetahui bahwa
Tetapi kita juga mengetahui bagaimana menghitung integral lipat-dua dalam
koordinat polar dalam materi sebelumnya
∭E
f (x , y , z ) dV=∬ D [ ∫u1(x , y)
u2 (x, y)
f (x , y , z )]dA1
Rumus 2 adalah rumus untuk pengintegralan lipat-tiga dalam koordinat
silinder. Rumus ini mengatakan bahwa kita mengalaihkan integral lipat-tiga dari
koordinat siku-siku ke koordinat silinder dengan menuliskan x=r cosθ , y=r sin θ ,
membiarkan z apa adanya, dengan mengunakan limit-limit pengintegralan yang
sesuai untuk z ,r dan θ, serta dengan menggantikan dV oleh r dz dr dθ . (Gambar 3
memperlihatkan bagaimana menghafalkan ini). Adalah menguntungkan untuk
menggunakan rumus ini ketika E adalah daerah pejal yang secara mudah
dideskripsikan dalam koordinat silnder, dan tertuma ketika fungsi f ( x , y , z )
melibatkan ekpresi x2+ y2 .
CONTOH 1
Benda pejal E terletak didalam silinder x2+ y2=1, dibawah bidang z=4,dan di
atas paraboloid z=1−x2− y2(lihat gambar 4). Kerapatan disebarang titik
sebanding terhadap jaraknya dari sumbu silinder. Carilah massa E.
∬ E f ( x , y , z )dV
¿∫α
β
∫h1(θ)
h2(θ)
∫u1 ¿ ¿
¿¿¿
2
PENYELESAIAN
Dalam koordinat silinder, persamaan silinder adalah r=1 dan paraboloid
adalah z=1−r2, sehingga kita dapat menuliskan
E={(r , θ , Z )∨0 ≤ θ ≤2 π , 0≤ r ≤1 , 1−r 2≤ z≤ 4 }
Karena kerapatan ( x , y , z ) sebanding terhadap jarak dari sumbu-z, maka fungsi
kerapatan adalah
f ( x , y , z )=K √ x2+ y2=Kr
dengan K adalah konstanta kesebandingan. Karena itu, dari Rum 16.7.13,
massa E adalah
m=∭E
K √ x2+ y2 dV
¿∫0
2π
∫0
1
∫1−r2
4
( Kr )r dz dr dθ
¿∫0
2 π
∫0
1
K r2 [ 4−(1−r2) ]dr dθ
¿ K∫0
2 π
dθ∫0
1
(3 r2+r 4)dr
¿2πK [r 3+r5
5 ]0
1
¿ 12 πK5
CONTOH 2
Hitunglah ∫−2
2
∫−√4−x2
√4−x2
∫√x2+ y2
2
( x2+ y2 ) dz dy dx
PENYELESAIAN
Integral berulang ini adalah integral lipat tiga pada daerah pejal
E={( x , y , z )∨−2≤ x ≤2 ,−√4−x2≤ y≤√4−x2 ,√ x2+ y2≤ z≤ 2}
dan proyeksi E pada bidang−xy adalah cakram x2+ y2≤ 4. Permukaan bawah E
adalah kerucut z=√ x2+ y2 dan permukaan atasnya adalah bidang z=2 (lihat gambar
5). Daerah ini mempunyai penjabaran yang jauh lebih sederhana dalam koordinat
silinder:
E={(r , θ , z )∨0≤ θ ≤ 2π , 0 ≤r ≤ 2 ,r ≤ z≤ 2 }
Karena itu, kita mempunyai
∫−2
2
∫−√4−x2
√4−x2
∫√x 2+ y2
2
( x2+ y2 ) dz dy dx=∭E
( x2+ y2 ) dV
¿∫0
2 π
∫0
2
∫r
2
r2 r dz dr dθ
¿∫0
2 π
dθ∫0
2
r3 (2−r )dr
¿2 π [12
r 4−15
r5]0
2
=16 π5
b. Koordinat Bola
Definisikan koordinat bola
(ρ , θ , ϕ) dari sebuah titik (lihat
gambar 6) dan kita melihat kaitan
berikut antara koordinat siku-siku
dan koordinat bola :
Dalam system koordinat ini mitra dari kotak persegi panjang adalah baji bola (spherical wedge)
E={( ρ ,θ , ϕ )∨a≤ ρ≤ b ,α ≤ θ ≤ β , c≤ ϕ ≤ d }
dengan a ≥ 0 , β−α ≤ 2π , dan d−c≤ π . Walaupun kita definisikan integral lipat tiga dengan membagi benda pejal menjadi kotak-kotak kecil, dapat diperlihatkan bahwa pembagian benda pejal menjadi baji-baji bola kecil selalu memberikan hasil sama. Sehingga kita bagi E menjadi baji bola yang lebih kecil Eijk dengan menggunakan bola berjarak sama ρ=ρi, setengah bidang θ=θ j, dan setengah kerucut ϕ=ϕk. Gambar 7 memperlihatkan bahwa Eijk hampir berupa kotak persegi panjang dengan ukuran ∆ ρ , ρi ∆ ϕ (busur
x=ρ sin ϕ cosθ y=ρ sin ϕ cosθ z=ρ cos ϕ3
lingkaran dengan jari-jari ρi, sudut ∆ ϕ¿, dan ρi sin ϕk ∆ θ (busur lingkaran dengan jari-jari ρi sin ϕk , sudut ∆ θ ¿. Sehingga hampiran terhadap volume Eijk diberikan oleh
∆ V ijk={ (∆ ρ ) ( ρi ∆ ϕ ) ( ρi sin ϕk ∆ θ )= ρi2sin ϕk ∆ ρ ∆ θ ∆ ϕ }
Faktanya, dapat diperlihatkan dengan bantuan Teorema Nilai Rata-rata (soal latihan 39), bahwa volume Eijk secara eksak diberikan oleh
∆ V ijk=~ρi2 sin~ϕk ∆ ρ ∆ θ ∆ ϕ
dengan (~pi ,~θ j ,
~ϕk ) adalah suatu titik di dalam Eijk . Misalkan (x ijk¿ , y ijk
¿ , zijk¿ ,) adalah
koordinat siku-siku dari titik ini. Maka :
∭E
f (x , y , z)dV= liml ,m,n → ∞
∑i=1
l
∑j=1
m
∑k=1
n
f (x ijk¿ , y ijk
¿ , z ijk¿ , ) ∆ V ijk
¿ liml ,m ,n →∞
∑i=1
l
∑j=1
m
∑k=1
n
f ¿
sin ~ϕk sin~θ j ,~pi cos~ϕk ¿~ρi2sin ~ϕk ∆ ρi ∆ θ j ∆ ϕk
Tetapi jumlah ini adalah jumlah Riemann untuk fungsi
F ( ρ , θ , ϕ )=ρ2 sin ϕf ¿
Akibatnya, kita sampai pada rumus untuk pengintegralan lipat tiga dalam koordinat bola
∭E
f (x , y , z ) dV=∫c
d
∫α
β
∫a
b
f ¿¿¿¿¿
Dengan E adalah baji bola yang diberikan oleh
E={ ( ρ , θ , ϕ )∨a ≤ ρ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d }
4
Rumus 4 mengatakan bahwa kita mengkonversi integral lipat tiga dari koordinat siku-siku ke koordinat bola dengan cara menuliskan
x=ρ sin ϕ cosθ y=¿ ρ sin ϕ sin θ z=ρ cosϕ ¿
dengan limit pengintegralan yang sesuai, dan mengganti dV dengan ρ2 sin ϕ dρ dθ dϕ. Ini diilustrasikan dalam gambar 8
Rumus ini dapat diperluas untuk mencakup daerah bola yang lebih umum seperti :
E={( ρ , θ ,∅ )|α ≤θ ≤ β ,c ≤∅ ≤ d , g1 (θ ,∅ ) ≤ ρ ≤ g2 (θ ,∅ ) }
Dalam kasus ini rumus sama seperti dalam (4) kecuali bahwa limit pengintergralan untuk ρ adalah g1 (θ ,∅ ) dan g2 (θ ,∅ ).
Biasanya koordinat bola digunakan dalam integral lipat – tiga ketika permukaan seperti kerucut dan bola membentuk perbatasan dari daerah pengintegralan.
CONTOH 3
Hitung ⨌B e ( x2+ y2 +z2 )32
dV , dengan B adalah bola satuan:
B= {( x , y , z )|x2+ y2+z2 ≤1 }
PENYELESAIAN
Karena perbatasan B adalah bola, kita gunakan koordinat bola:
B= {( ρ ,θ ,∅ )|0 ≤ ρ ≤ 1 ,0 ≤ θ ≤2 π ,0≤∅ ≤ π }
Sebagai tambahan, koordinat bola adalah tepat karena
x2+ y2+z2=ρ2
Jadi, (4) memberikan
∭B
e ( x2+ y2+z2 )32
dV=∫0
π
∫0
2 π
∫0
1
e ( ρ2)32
ρ2 sin∅ dρ dθ d∅
= ∫0
π
sin∅ d∅∫0
2π
dθ∫0
1
ρ2 eρ3
dρ
= [−cos∅ ]0π (2 π )[1
3eρ3]0
1
¿ 4 π3
(e−1)
CATATAN
Akan sangat janggal untuk menghitung integral dalam Contoh 3 tanpa koordinat bola. Dalam koordinat siku-siku integral berulang ini mungkin akan berupa
∫−1
1
∫−√1−x2
√1− x2
∫−√1− x2− y2
√1−x2− y2
e( x2+ y2+z 2)32
CONTOH 4
Gunakan koordinat bola untuk mencari volume benda pejal yang terletak di atas kerucut z=√ x2+ y2 dan di bawah bola x2+ y2+z2=z. (Lihat Gambar 9.)
PENYELESAIAN
Perhatikan bahwa bola melalui titik asal dan mempunyai pusat (0,0 , 12 ) .
Kita tuliskan persamaan bola dalam koordinat bola sebagai
ρ2=ρcos∅ atau ρ=cos∅
Kerucut dapat dituliskan sebagai
ρ cos∅=√ρ2 sin2∅ cos2θ+ρ2 sin2∅ sin2 θ= ρsin∅
Ini memberikan sin∅=cos∅ , atau ∅=π4 . Karena itu pendeskripsian benda pejal E
dalam koordinat bola adalah
E={( ρ, θ ,∅ )|0≤θ ≤ 2 π , 0≤∅ ≤ π4
,0 ≤ ρ≤ cos∅ }
Gambar 11 memperlihatkan bagaimana E tersapu jika kita mengintegralkan mula-mula terhadap ρ, kemudian ∅ , dan kemudian θ. Volume E adalah
V ( E )=∭E
dV=∫0
2 π
∫0
π4
∫0
cos∅
ρ2 sin∅ dρ d ∅ dθ
= ∫0
2 π
dθ∫0
π4
sin∅ [ ρ3
3 ]ρ=0
ρ=cos∅
d∅
= 2 π3 ∫
0
π4
sin∅ cos3∅ d∅=2 π3 [−cos4∅
4 ]0
π4 =π
8
DAFTAR ISI
BAB I.........................................................................................................................PEMBAHASAN......................................................................................................................................
1. Integral Lipat Tiga.....................................................................................................................
a. Penerapan Integral Lipat Tiga............................................................................................
2. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder dan Koordinat Bola.....................................
a. Koordinat Silinder................................................................................................................
b. Koordinat Bola......................................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA