integrales y areas

INTEGRALES

ANTIDERIVADA

Ejercicios 1. Encuentra tres antiderivadas, F1(x), F2(x) y F3(x), y la antiderivada más general la siguiente función. Verifícala derivando.

f(x) = 4x 2. Encuentra tres antiderivadas, F1(x), F2(x)

y F3(x), y la antiderivada más general la siguiente función. Verifícala derivando. f(x) = sec² x

3. Encuentra tres antiderivadas, F1(x), F2(x) y F3(x), y la antiderivada más general la siguiente función. Verifícala derivando.

f(x) = cos 2x 4. Calcula la siguiente integral indefinida y

verifica su resultado derivando. ò4x³ dx

5. Calcula la siguiente integral indefinida y verifica su resultado derivando.

ò(4x + 7) dx

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejercicios

1. Evalúa la siguiente integral: ò(2x + 3)² dx

2. Evalúa la siguiente integral: òx² (3x - 2)² dx

3. Evalúa la siguiente integral: ò(3 - x ) dx

4. Evalúa la siguiente integral: ò(3/x²) dx

5. Evalúa la siguiente integral:

wwww.siresistemas.com/clases Ing. Oscar Restrepo

www.siresistemas.com/clases www.siresistemas.com www.fundacionsire.org

ò(x - 1)(x + 2)(2x -3) dx

EJERCICIOS:

1. ( )dxxxx∫ +++ 523423

11. ( ) dxxx 233∫ +

2. ( )dxxx∫ −−2

23 12. ( ) dxx2

31∫ −

3. ( )dxxx∫ +−3

32 13. ( ) dxxx 22

34∫ −

4. dxx

xx∫

+−

2

2

1 14. ( ) 2

23

1 xx∫ −

5. ( ) dxxa3

∫ + 15. dxx∫ −13

6. ( ) dxx2

3

2∫ − 16. ∫ − dxx32

7. ∫ 3x

dx 17. ( ) dxx

31

232∫ +

8. ( )∫ − xdxx2

1 18. ( ) xdxx2

41∫ −

9. ( ) xdxx∫ −12

19. ( )( ) dxxxx 122

−−∫

10. ( ) dxx∫ −22

1 20. ( )( ) dxxx −−∫ 223

PROBLEMAS

1. Hallar el área limitada por la curva 2xy = el eje x y las ordenadas en los puntos

3,1 == xx

y

2

3

1

3

33

1

2

3

26

3

1

3

27

3

3

mx

xdxxA

=−=

== ∫

x 1 3

2. Hallar el área comprendida entre el eje x y la parábola 2

4 xxy −=

La curva dada corta el eje x en los puntos 0=x y 4=x que serán los límites de integración.

y



( )

( )( )

03

4042

32

4

44

3

2

4

0

34

0

2

4

0

4

0

24

0

2

−−−=

−

−=−= ∫ ∫∫

xx

dxxxdxdxxxA

2

3

32

3

6432 m=−=

0 1 2 3 4 x

3. Hallar el área comprendida entre la parábola 2

28 yyx −+= , el eje y y las rectas 3,1 =−= yy en este caso dividimos el área

en franjas horizontales por lo tanto al área pedida será: y

( )

] ] 2

3

1

33

1

23

1

3

1

3

23

1

2

3

92

38

3828

my

yy

yyydyyyA

=

−+

−+=−+=

−

−−

−−∫

3

-1 x

4. Hallar el área limitada por la parábola 672

+−= xxy , el eje x y las rectas

2=x y 6=x

El área pedida es

( )

2

6

2

236

2

2

3

56

62

7

367

m

xxx

dyxxA

=

+−−=+−−= ∫

y 1 2 6 x

5. Hallar el área comprendida entre la curva xxxy 8623

+−= y el eje x la

curva corta el eje x .



4,2,0 === xxx y

( ) ( )

4

2

23

42

0

23

4

234

2

2

0

23

424

424

8686

+−−

+−=

+−−++−= ∫∫

xxx

xxx

dxxxxdxxxxA

0 2 4 x

2

844 mA =+=

6. Hallar el área comprendida entre la parábola 2

4 yx −= y el eje y

la parábola corta el eje x en el punto (4,0) y al eje y en los puntos (0,2) y (0,-2).

y Empleando franjas horizontales hay simetría en las 2 áreas debido al corte en

0 4 x

-2

( ) ( )

2

2

0

3

2

0

22

2

2

3

32

342

424

my

y

dyydyy

=

−=

−=− ∫∫−

7. Hallar el área comprendida entre la parábola xy 42

= y la recta 42 −= xy la recta corta

a la parábola en los puntos (1,-2) y (4,4) y

2

4

2

32

4

2

9124

2

4

1

2

12

myy

y

dyyA

=

−+=

−+=

−

−∫ 4 (4,4)

1

0 4 x -2 (1,-2)



8. Hallar el área comprendida entre las parábolas 2

6 xxy −= e xxy 22

−= ; las parábolas

se cortan en los puntos (0,0) y (4,8) El área perdida es: y

( ) ( )xxxx 2622

−−−

xxy 22

−=

8 (4,8)

( ) 2

4

0

324

0

2

3

64

3

2428 mxxdxxx =

−=−∫ (0,0)

26 xxy −=

4 x

EJERCICIOS Hallar el área limitada por las curvas y rectas que se indican:

1. 2xy = si, ,0=y ,2=x 5=x

2. 3xy = si, ,0=y ,1=x 3=x

3. 2

4 xxy −= si, ,0=y ,1=x 3=x

4. 2

1 yx += si, 10=x

5. yyx 432

+= si, 0=x

6. 2

9 xx −= si, 3+= xy

7. ( ) dxx∫ +2

12

8. ( ) dxx∫ −−

1

13

9. dxx∫1

0

2

10. ( ) dxxx∫ −−5

0

21

11. ( )dxxx∫−−

1

1

2

12. ( )dxxx∫ −−−

4

1

2432

13. ( ) dxxx∫ −−−

2

2

2524

14. ( ) dxx∫ −−

3

3

25

2

22

28

26

xx

xxxx

−=

+−−=



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