Integrali

Vjezbe 10

12.5.2015.

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - racunanje povrsine

Zadatak 1.

Nadite povrsinu lika omedenog parabolom y = x2, pravcimax = −1, x = 2 i osi x .

H-1,1L

H2,4L

x

y

x=-1 x=2

x2

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - racunanje povrsine

Zadatak 2.

Nadite povrsinu lika omedenog parabolom y = −x2 + 2x i pravcemy = −x .

H0,0L

H3,-3L

x

y

-xx2

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - racunanje povrsine

Zadatak 3.

Izracunajte povrsinu lika omedenog krivuljama x2 + y2 = 2 iy = x2.

H-1,1L H1,1L

- 2 2x

y

x2

2 - x2

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - racunanje povrsine

Zadatak 4.

Izracunajte povrsinu lika omedenog sinusoidom y = sin x i osi x zax ∈ [0, 2π].

Π 2 Πx

-1

1y

sinHxL

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - racunanje povrsine

Zadatak 5.

Izracunajte povrsinu omedenu krivuljama y = 4x − x2 iy = 2x2 − 5x .

H0,0L

H3,3L

x

y

4 x - x2

2 x2- 5 x

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - racunanje povrsine

Zadatak 6.

Izracunajte povrsinu lika omedenog elipsomx2

a2+

y2

b2= 1.

x

y

-a a

-b

b

b2 1 -

x2

a2

- b2 1 -

x2

a2

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - duljina luka krivulje

Duljina luka krivulje

Neka je krivulja zadana jednadzbom y = f (x). Duljina luka krivuljeizmedu tocaka s apscisama x = a i x = b dana je integralom

s =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx

Neka je krivulja zadana parametarskim jednadzbama x = ϕ(t),y = ψ(t), α ≤ t ≤ β. Duljina luka krivulje izmedu tocaka sapscisama x = a = ϕ(α) i x = b = ϕ(β) dana je integralom

s =

∫ β

α

√(ϕ′(t))2 + (ψ′(t))2dt

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - duljina luka krivulje

Zadatak 7.

Nadite duljinu luka krivulje y2 = (x − 1)3 izmedu tocakaA = (2,−1) i B = (5,−8).

A=H2,-1L

B=H5,-8L

1x

y

Hx - 1L3

- Hx - 1L3

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - duljina luka krivulje

Zadatak 8.

Izracunajte duljinu luka krivulje y = ln x od x =√

3 do x =√

5.

AB

1x

ylnHxL

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - duljina luka krivulje

Zadatak 9.

Izracunajte duljinu luka astroide zadane parametarski sx = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ [0, 2π〉.

x

y

-a a

-a

a

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - duljina luka krivulje

Zadatak 10.

Izracunajte duljinu luka krivulje zadane parametarski

x =1

3t3 − t, y = t2 + 2 od t = 0 do t = 3

A=H0,2L

B=H6,11L

x

y

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - volumeni rotacijskih tijela

Rotacija oko osi x

Volumen tijela koje nastaje rotacijom pseudotrapeza omedenoggrafom funkcije y = f (x), osi x i pravcima x = a i x = b oko osi xracunamo kao

Vx = π

∫ b

ay2dx

Rotacija oko osi y

Volumen tijela koje nastaje rotacijom pseudotrapeza omedenoggrafom funkcije x = g(y), osi y i pravcima y = c i y = d oko osi yracunamo kao

Vy = π

∫ d

cx2dy

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - volumeni rotacijskih tijela

Funkcija zadana parametarskix = ϕ(t)

y = ψ(t)

Vx = π

∫ t2

t1

(y(t))2x ′(t)dt

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - volumeni rotacijskih tijela

Zadatak 11.

Nadite volumen tijela koje nastaje rotacijom parabole

y = ax − x2, a > 0

oko osi x .

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - volumeni rotacijskih tijela

Zadatak 12.

Izracunajte volumen elipsoida nastalog rotacijom elipse

x2

a2+

y2

b2= 1 oko:

a) osi x b) osi y

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - volumeni rotacijskih tijela

Zadatak 13.

Nadite volumen tijela koje nastaje rotacijom jednog svoda cikloidezadane parametarski s

x = a(t − sin t)

y = a(1− cos t), t ∈ [0, 2π]

oko osi x .

Vjezbe 10 Integrali

Primjene odredenog integrala - volumeni rotacijskih tijela

Zadatak 14.

Nadite volumen torusa koji nastaje rotacijom kruznice

x2 + (y − 3)2 = 1

oko osi x .

Vjezbe 10 Integrali