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Universidade Federal do Espírito SantoPrograma de Pós–Graduação em Engenharia Civil
Departamento de Estruturas e Edificações
Dissertação de Mestrado
Interação Flambagem Global – Flambagem Local emPilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos
Sob Compressão Uniforme
Dissertação de mestrado apresentada aoPrograma de Pós–Graduação em EngenhariaCivil do Centro Tecnológico da UniversidadeFederal do Espírito Santo, como requisitoparcial para obtenção do Grau de Mestre emEngenharia Civil
MestrandoWarlley Soares Santos
OrientadorLuiz Herkenhoff Coelho
Vitória, 13 de setembro de 2002
Livros Grátis
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Warlley Soares Santos
Interação Flambagem Global – Flambagem Local emPilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos
Sob Compressão Uniforme
COMISSÃO EXAMINADORA
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Prof. Dr. Ing. Luiz Herkenhoff Coelho, UFES (Prof. Orientador)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Prof. D. Sc. Walnório Graça Ferreira, UFES (Prof. Examinador Interno)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Prof. D. Sc. Francisco Carlos Rodrigues, UFMG (Prof. ExaminadorExterno)
Vitória, 13 de setembro de 2002
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)
Santos, Warlley Soares, 1977-S237i Interação flambagem global – flambagem local em pilares metálicos deseção I duplamente simétricos sob compressão uniforme / Warlley Soares Santos. – 2002.
120 f. : il.
Orientador: Luiz Herkenhoff Coelho.Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Espírito Santo, Centro
Tecnológico.
1. Flambagem (Mecânica). 2. Estabilidade estrutural. I. Coelho, LuizHerkenhoff. II. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro Tecnológico.III. Título.
CDU: 624___________________________________________________________________________
Dedico este trabalho aos meus pais José
Soares dos Santos e Maria de Fátima
Araújo dos Santos, que sempre me
incentivaram.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer a Deus por tudo. Aos meus pais José Soares dos
Santos e Maria de Fátima Araújo dos Santos, a meus dois irmãos Welington e
Welcius que sempre me apoiaram. Ao meu orientador Luiz H. Coelho, aos
professores, especialmente Fernando Musso e Walnório Graça Ferreira. Ao NEXEM
(Núcleo de Excelência em Estruturas Metálicas e Mistas – Convênio UFES/CST)
pelo incentivo financeiro e aos meus amigos que sempre estiveram ao meu lado.
Gostaria de agradecer também ao Sr. Virgílio S. Prates e ao Sr. Antônio Carlos B.
Vieira pelo estágio na HEC HANDLE no qual pude obter precioso aprendizado sobre
engenharia e principalmente sobre o programa ANSYS. Agradeço à Fátima
Nogueira e a todos da Softec por sempre esclarecer as dúvidas relativas ao
programa ANSYS.
Ao professor Pedro Augusto Cezar Oliveira de Sá um agradecimento especial pelas
horas dispensadas neste trabalho e pelo amigo sincero que sempre foi e será.
Ora, é indiscutível: é o inferior que recebe
a bênção do que é superior. (Heb 7,7)
i
Sumário
LISTA DE TABELAS.......................................................................................................................................... II
LISTA DE FIGURAS......................................................................................................................................... III
RESUMO .............................................................................................................................................................. V
ABSTRACT .........................................................................................................................................................VI
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 1
CAPÍTULO 2 ESTADO DO CONHECIMENTO.............................................................................................. 3
2.1 INSTABILIDADE DE PILARES METÁLICOS....................................................................................................... 3Introdução...................................................................................................................................................... 3As propriedades dos aços .............................................................................................................................. 4Dimensionamento .......................................................................................................................................... 6Flambagem por flexão ................................................................................................................................... 7Flambagem por torção ................................................................................................................................ 15Flambagem por flexão e torção................................................................................................................... 16Flambagem lateral....................................................................................................................................... 17Flambagem Local ........................................................................................................................................ 20Distorção da seção ...................................................................................................................................... 27
2.2 INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM LOCAL E GLOBAL .................................................................................... 29Introdução.................................................................................................................................................... 29Classificação das instabilidades acopladas................................................................................................. 31Métodos de Análise ...................................................................................................................................... 34
CAPÍTULO 3 MODELO NUMÉRICO ............................................................................................................ 39
3.1 CURVA DE FLAMBAGEM ALTERNATIVA ...................................................................................................... 393.2 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES DO MODELO NUMÉRICO .......................................................................... 433.3 ESCOLHA DA MALHA .................................................................................................................................. 46
Alguns casos estudados................................................................................................................................ 493.4 ESCOLHA DO MATERIAL .......................................................................................................................... 61
Alguns casos estudados................................................................................................................................ 62
CAPÍTULO 4 PERFIS LONGOS...................................................................................................................... 65
FLAMBAGEM GLOBAL ....................................................................................................................................... 65
CAPÍTULO 5 PERFIS CURTOS ...................................................................................................................... 68
5.1 FLAMBAGEM NA ALMA................................................................................................................................ 695.2 FLAMBAGEM NAS MESAS............................................................................................................................. 715.3 INTERAÇÃO FLAMBAGEM NA ALMA E MESA................................................................................................. 73
CAPÍTULO 6 PERFIS INTERMEDIÁRIOS................................................................................................... 77
6.1 INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA ............................................................ 776.2 INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS ......................................................... 816.3 INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA E NAS MESAS....................................... 84
CAPÍTULO 7 MÉTODO ALTERNATIVO ..................................................................................................... 94
Um exemplo ilustrativo ................................................................................................................................ 94
CAPÍTULO 8 CONCLUSÕES........................................................................................................................... 96
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................................. 100
ANEXO: ARQUIVO PARA PARAMETRIZAÇÃO ..................................................................................... 106
ii
Lista de Tabelas
Capítulo 4
TABELA 4.1 – COMPRIMENTOS, CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DOS PERFIS LONGOS..................................................................................................................................................................... 65
Capítulo 5
TABELA 5.1 – ESPESSURA DA ALMA E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS A FLAMBAGEM NA ALMA ..... 69TABELA 5.2 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À
FLAMBAGEM NA ALMA REFERIDOS NA TABELA 5.1 ...................................................................................... 70TABELA 5.3 – ESPESSURA DA ALMA E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NA ALMA
CUJOS ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DA ALMA ESTÃO ENTRE 0.8 E 1.8................................................... 71TABELA 5.4 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À
FLAMBAGEM NA ALMA REFERIDOS NA TABELA 5.3 ...................................................................................... 71TABELA 5.5 – ESPESSURA DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NAS MESAS72TABELA 5.6 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À
FLAMBAGEM NAS MESAS .............................................................................................................................. 72TABELA 5.7 – ESPESSURA DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NAS MESAS
CUJOS ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DAS MESAS ESTÃO ENTRE 0.8 E 1.8................................................ 73TABELA 5.8 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À
FLAMBAGEM NAS MESAS REFERIDOS NA TABELA 5.7 ................................................................................... 73TABELA 5.9 – ESPESSURAS DA ALMA E DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À INTERAÇÃO
ENTRE FLAMBAGEM NA ALMA E NAS MESAS ................................................................................................. 74TABELA 5.10 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À
INTERAÇÃO DE FLAMBAGEM NA ALMA E NAS MESAS .................................................................................... 75
Capítulo 6
TABELA 6.1 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS PERFIS SUJEITOS À INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL EFLAMBAGEM LOCAL NA ALMA ...................................................................................................................... 77
TABELA 6.2 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS INTERMEDIÁRIOSSUJEITOS À INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA ................................ 78
TABELA 6.3 – REGRESSÃO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.2 SEGUNDO A EQUAÇÃO (3.3) ................................... 80TABELA 6.4 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS PERFIS SUJEITOS À INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E
FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS ................................................................................................................... 81TABELA 6.5 – CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS INTERMEDIÁRIOS
SUJEITOS À INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS ............................. 82TABELA 6.6 – REGRESSÃO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.5 SEGUNDO A EQUAÇÃO (3.3) ................................... 83TABELA 6.7 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS, ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS E RESISTÊNCIA ÚLTIMA
RELATIVA DOS PERFIS SUJEITOS À INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA E NASMESAS........................................................................................................................................................... 85
TABELA 6.8 – REGRESSÃO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.7 SEGUNDO A EQUAÇÃO (3.3) ................................... 90
Capítulo 8
TABELA 8.1 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS PERFIS PARA COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOSNUMERICAMENTE E OS DA NORMA NBR 8800/86......................................................................................... 96
TABELA 8.2 – COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS NUMERICAMENTE E OS DA NORMA NBR 8800/86 96
iii
Lista de Figuras
Capítulo 2
FIGURA 2.1. GRÁFICO σ - ε PARA AÇOS NÃO TEMPERADOS.................................................................................. 4FIGURA 2.2. DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES RESIDUAIS EM SEÇÕES DO TIPO I: 1. W 14X730 [KSI] 2. WW 23X681
[KIPS/IN²] ........................................................................................................................................................ 5FIGURA 2.3. CURVA δ−P DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO LINEAR
CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS ..................................................... 8FIGURA 2.4. CURVA δ−P DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO NÃO LINEAR
CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS ..................................................... 8FIGURA 2.5. CURVA δ−P DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO LINEAR
CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E GRANDES DESLOCAMENTOS ....................................................... 9FIGURA 2.6. CURVA δ−P DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO NÃO LINEAR
CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E GRANDES DESLOCAMENTOS ....................................................... 9FIGURA 2.7. CURVA δ−P DE PILARES COM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COMPORTAMENTO LINEAR
CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS ..................................................... 9FIGURA 2.8. CURVA δ−P DE PILARES COM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COMPORTAMENTO NÃO LINEAR .............. 9FIGURA 2.9. CURVA λχ − TÍPICA ....................................................................................................................... 12
FIGURA 2.10. BANDA DE CURVAS λχ − ............................................................................................................. 12FIGURA 2.11. FENÔMENO DA FLAMBAGEM LOCAL................................................................................................ 20FIGURA 2.12. COMPORTAMENTO DE CHAPAS COM E SEM IMPERFEIÇÕES INICIAIS .................................................. 22FIGURA 2.13. CURVA εσ − ANTES E DEPOIS DA FLAMBAGEM LOCAL................................................................. 23FIGURA 2.14. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES APÓS FLAMBAGEM LOCAL EM CHAPAS APOIADA – APOIADA................. 23FIGURA 2.15. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES APÓS FLAMBAGEM LOCAL EM CHAPAS APOIADA – LIVRE...................... 23FIGURA 2.16. CONCEITO DE LARGURA EFETIVA ...................................................................................................... 24FIGURA 2.17. MODO DE INSTABILIDADE POR DISTORÇÃO EM PERFIS U ENRIJECIDOS E PERFIS RACKS. ................. 28FIGURA 2.18. EROSÃO PRIMITIVA E EROSÃO DERIVADA – INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL (1º MODO) –
FLAMBAGEM LOCAL (2º MODO) ................................................................................................................... 32
Capítulo 3
FIGURA 3.1. MALHAS CONSIDERADAS NOS CORPOS DE PROVA DE CHAPAS APOIADA – LIVRE E SEUS
CORRESPONDENTES GRÁFICOS δ−P ......................................................................................................... 47FIGURA 3.2. MALHAS CONSIDERADAS NOS CORPOS DE PROVA DE CHAPAS APOIADA – APOIADA E SEUS
CORRESPONDENTES GRÁFICOS δ−P ......................................................................................................... 48FIGURA 3.3. PERFIL CURTO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E
DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA .......................................................................................... 50FIGURA 3.4. GRÁFICOS δ−P DOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM NA ALMA) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES
INICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS......................................... 50FIGURA 3.5. PERFIL CURTO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E
DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS....................................................................................... 51FIGURA 3.6. GRÁFICOS δ−P DOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM NAS MESAS) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES
INICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS......................................... 52FIGURA 3.7. PERFIL LONGO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E
DEFORMADA DE FLAMBAGEM POR FLEXÃO ................................................................................................. 53FIGURA 3.8. GRÁFICOS δ−P DOS PERFIS LONGOS (FLAMBAGEM POR FLEXÃO) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES
INICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS......................................... 53FIGURA 3.9. PERFIL INTERMEDIÁRIO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO,
SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA .......................... 54
iv
FIGURA 3.10. GRÁFICOS δ−P DOS PERFIS INTERMEDIÁRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NAALMA) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS. 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAISCONSIDERÁVEIS ............................................................................................................................................ 55
FIGURA 3.11. PERFIL INTERMEDIÁRIO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO,SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS ....................... 56
FIGURA 3.12. GRÁFICOS δ−P DOS PERFIS INTERMEDIÁRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NASMESAS) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAISCONSIDERÁVEIS ............................................................................................................................................ 57
FIGURA 3.13. PERFIL CURTO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO EDEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS................................... 58
FIGURA 3.14. GRÁFICOS δ−P DOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA – FLAMBAGEM LOCAL NASMESAS) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS 2. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAISCONSIDERÁVEIS ............................................................................................................................................ 59
FIGURA 3.15. PERFIL INTERMEDIÁRIO – MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO,SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS –FLAMBAGEM GLOBAL .................................................................................................................................. 60
FIGURA 3.16. GRÁFICOS δ−P DOS PERFIS INTERMEDIÁRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NAALMA – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS) – 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS 2. PERFILCOM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS .............................................................................................. 60
FIGURA 3.17. CURVA εσ − DE AÇOS CARBONO.................................................................................................. 61FIGURA 3.18. CURVA σ - ε DO AÇO CARBONO COM MPaf 230
0=ε E N = 12 .................................................... 62
FIGURA 3.19. GRÁFICOS δ−P DOS PERFIS LONGOS (FLAMBAGEM GLOBAL) – 1. PERFIL COM IMPERFEIÇÕESFÍSICAS 2. PERFIL SEM IMPERFEIÇÕES FÍSICAS .............................................................................................. 64
Capítulo 4
FIGURA 4.1. CURVA DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS............................................ 66
Capítulo 5
FIGURA 5.1. TUBO CURTO – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO – 1. TENSÕES NA DIREÇÃODA APLICAÇÃO DA CARGA [KN/CM²] 2. TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES [KN/CM²] ............................ 68
Capítulo 6
FIGURA 6.1. CURVAS DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS – INTERAÇÃO FLAMBAGEMGLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA ................................................................................................... 80
FIGURA 6.2. CURVAS DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS – INTERAÇÃO FLAMBAGEMGLOBAL – FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS ................................................................................................ 84
FIGURA 6.3. VARIAÇÃO DO PARÂMETRO α ............................................................................................................ 91FIGURA 6.4. VARIAÇÃO DO PARÂMETRO β............................................................................................................. 92FIGURA 6.5. VARIAÇÃO DO PARÂMETRO rλ ......................................................................................................... 92
v
Resumo
SANTOS, Warlley Soares. Interação Flambagem Global – Flambagem Local emPilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos Sob CompressãoUniforme. 2002. 120 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Universidade
Federal do Espírito Santo.
Os perfis metálicos comprimidos podem submeter-se à flambagem global, à
flambagem das chapas componentes (flambagem local) ou, ainda, à interação entre
os dois modos de flambagem. Nos códigos modernos, esta interação é considerada
através do método da largura efetiva. Na verificação da barra à flambagem global,
sua esbeltez relativa e sua resistência são determinadas com base no conceito de
largura efetiva de chapas. Este conceito, no entanto, não representa perfeitamente a
influência da flambagem local na resistência da barra.
O propósito do estudo apresentado é demonstrar a possibilidade de se tratar o
problema da interação flambagem global – flambagem local em perfis metálicos
comprimidos de forma alternativa, dispensando-se a utilização do conceito de
largura efetiva.
É apresentado um estudo numérico, baseado no método dos elementos finitos, de
perfis metálicos tipo I, duplamente simétricos, sujeitos ao fenômeno da interação
flambagem global – flambagem local na compressão. É destacada a influência desta
interação na resistência do perfil para diversas relações entre as esbeltezes do perfil
e de suas chapas componentes.
Palavras-chaves: instabilidade; flambagem; instabilidades acopladas; perfismetálicos.
vi
Abstract
SANTOS, Warlley Soares. Overall – Local Interaction Buckling on CompressedDouble Simetrics I Steel Profile. 2002. 120 p. Dissertation (Master Degree in Civil
Engineering) – Federal University of Espírito Santo.
Compressed steel profiles can undergo overall buckling, local buckling or interaction
buckling (coupled instability). Modern codes consider this interaction by the effective
width method. Bar strength and slenderness are affected by effective width concept
in the overall buckling verification. This concept, however, does not represents the
local buckling phenomenon perfectly.
The purpose of this work is to show the possibility of the treatment of the interaction
buckling by an alternative way, without the effective width concept.
A numeric analysis, by FEM, is present in order to verify the behavior of compressed
I steel profile under interaction buckling.
The influence of this interaction in the profile strength for several bar slenderness –
plate slenderness rates is pointed out.
Key words: instability; buckling; coupled instabilities; steel profile.
Capítulo 1 Introdução
Na maior parte das estruturas, os pilares são elementos de fundamental
importância. A resistência dos pilares na estrutura que os contêm, pode ser
determinista no colapso da mesma como um todo.
Em estruturas metálicas, em geral, o colapso dos pilares ocorre basicamente em
condições de instabilidade.
Em 1744, Euler apresentou uma solução do problema de instabilidade de pilares
esbeltos constituídos de material infinitamente elástico, simplesmente apoiados
(bi–articulados) nas extremidades, de seção constante, sem imperfeições
geométricas e físicas, submetidos a compressão simples.
Desde então, muitos estudos têm sido desenvolvidos buscando uma melhor
compreensão do problema de instabilidade assim como uma formulação de
soluções considerando todos os fatores que afetam o fenômeno.
A instabilidade estrutural pode manifestar-se de distintas formas, denominadas
modos de instabilidade. Assim, em pilares podem ocorrer fenômenos de
instabilidade por flexão, torção, ou flexo–torção das peças como um todo
(flambagem global), por distorção da seção, por flexão localizada das chapas
componentes do pilar (flambagem local) e inclusive por interação entre dois ou
mais modos de instabilidade.
Em determinados modos de instabilidade, o pilar pode apresentar uma
resistência pós–crítica, fazendo com que o colapso ocorra sob tensões
superiores à tensão crítica. As tensões superiores ao valor crítico, nestes casos,
ocorrem por que, após a flambagem, há uma redistribuição das tensões, o que
confere resistência pós–crítica à peça.
A interação entre dois modos de instabilidade pode ocorrer quando suas tensões
críticas são coincidentes, ou com valores suficientemente próximos.
Capítulo 1 - Introdução 2
Pesquisadores, visando otimizar o dimensionamento, formularam o Principio das
Instabilidades Simultâneas, que consistia em escolher as dimensões da peça de
tal maneira que os possíveis e distintos modos de instabilidade tivessem a
mesma tensão crítica sob mesmo esforço solicitante.
Entretanto, este principio somente se aplica a estruturas ideais, ou seja,
estruturas que não apresentam imperfeições iniciais. Tais estruturas são
inexistentes na prática das construções. Por esta razão, tal principio foi
denominado Principio Ingênuo de Otimização.
Nas estruturas reais sabe-se que a interação entre dois modos de instabilidade
provoca um novo modo de instabilidade que corresponde a uma carga de
colapso geralmente inferior a que se obteria considerando isoladamente os
possíveis modos de instabilidade.
Recentemente, o tema da interação tem sido estudado com maior freqüência e
contemplado nas versões mais atuais das normas.
A proposta deste trabalho é estudar a instabilidade de pilares metálicos tendo em
vista a interação entre flambagem global – flambagem local, utilizando o método
dos elementos finitos.
Serão considerados:
• Pilares submetidos a compressão centrada
• Seções do tipo I duplamente simétrica
• Aços carbono comum de média resistência sem tratamento térmico
• Imperfeições geométricas iniciais (deformações iniciais)
• Imperfeições mecânicas (tensões residuais).
Como resultado deste estudo, pretende-se desenvolver procedimentos
alternativo para dimensionamento de pilares metálicos suscetíveis à interação
entre os modos de flambagem local e o modo de flambagem global.
Capítulo 2 Estado do Conhecimento
2.1 Instabilidade de Pilares Metálicos
Introdução
A flambagem estrutural é caracterizada pelo aparecimento, nos elementos
estruturais submetidos a tensões de compressão, de grandes
deformações decorrentes de pequenas variações do carregamento.
Existem vários tipos de instabilidade, dependendo do tipo da estrutura, do
tipo da solicitação a que está submetida e de suas condições iniciais.
Os pilares e chapas, em condições ideais, perdem estabilidade por troca
repentina do modo de deformação, caracterizando, assim, o fenômeno
conhecido por bifurcação do equilíbrio. O novo modo de deformação não
parece, em princípio, compatível com as solicitações. Em condições reais,
ou seja, com imperfeições iniciais, não há mudança repentina de modo de
deformação e sim uma significativa ampliação das deformações sob
pequenos incrementos do valor da carga.
O aparecimento das grandes deformações caracteriza a chamada fase
pós–crítica do comportamento mecânico do pilar ou das chapas. Se a
carga que a peça pode suportar após o inicio da fase pós–crítica cresce
com as deformações, a estrutura tem um comportamento pós–crítico
estável. Se ocorre o contrário, apresenta um comportamento pós–crítico
instável (Galambos, 1998).
Os fatores que influenciam o modo de instabilidade e a carga crítica são
as relações geométricas do elemento estrutural, suas condições de apoio,
suas imperfeições iniciais e as características mecânicas do material.
Além do que, as estruturas em regime elástico–linear se comportam de
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 4
forma distinta das estruturas em regime plástico ou não linear, com
relação à instabilidade.
As propriedades dos aços
As características mecânicas dos materiais podem ser obtidas por meio
do tradicional ensaio de tração ou de compressão. Os aços carbono
comuns apresentam diagramas tensão–deformação idealizados como o
que é mostrado na Figura 2.1 (Galambos, 1998).
Figura 2.1. Gráfico σ - ε para aços não temperados
Na Figura 2.1 acima apresenta-se somente a parte inicial dos diagramas,
onde σ é a tensão normal, ε é sua correspondente deformação linear e
yf é o limite de escoamento do aço. A linha com traço descontinuo de cor
vermelha representa a alteração que pode sofrer o gráfico quando corpos
de prova ensaiados possuem tensões residuais.
As tensões residuais surgem nos perfis metálicos como conseqüência do
esfriamento irregular, ou por algum aquecimento localizado que possam
sofrer estes perfis durante o processo de sua fabricação, ou mesmo
durante o processo de conformação a frio.
Na Figura 2.2 mostra-se a distribuição de tensões residuais na seções de
dois perfis tipo I, o primeiro laminado e o segundo soldado (Galambos
1998).
σ
ε
yf
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 5
Figura 2.2. Distribuição das tensões residuais em seções dotipo I: 1. W 14x730 [ksi] 2. WW 23x681 [kips/in²]
Os aços carbono com tensões residuais diferem dos aços carbono sem
tensões residuais por apresentar uma relação tensão–deformação não
linear (Galambos, 1998; Olsson, 1998). As relações tensão–deformação
destes aços são representadas analiticamente pela fórmula de Ramberg –
Osgood (1941), modificada por Hill (1944) e por van der Merwe (1987)
(Arnedo et al., 1998; Bredenkamp et al., 1998):
n
o fE
+=
0
0ε
σεσε(2.1)
ε é a deformação linear especifica, σ é a tensão axial, oE é o módulo de
elasticidade inicial do aço, 0εf é a tensão limite de escoamento
convencional, tal que gera uma deformação residual 0ε . Geralmente
%2.00 =ε e, portanto, 2.00ff =ε .
O parâmetro n caracteriza o grau de não–linearidade da relação εσ − do
aço. Valores distintos de n permitem representar esta relação para outros
tipos de metais, por exemplo aço inoxidável (Rasmussen e Rondal, 1998;
Rondal, 1998).
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 6
O módulo tangente, utilizado, como se verá adiante, para determinar
resistência de peças solicitadas, pode determinar-se mediante a seguinte
expressão, obtida a partir da derivada da tensão σ em relação a
deformação ε da equação (2.1) (Bredenkamp et al., 1998; Rondal, 1998)
1
00
0
0
−
+
= n
o
ot
fnEf
EfE
εε
ε
σε
(2.2)
Dimensionamento
O processo analítico tradicional de dimensionamento de pilares metálicos
toma em conta a expressão (Galambos, 1998; Richard Liew et al., 1992)
1≤++yu
y
xu
x
u MM
MM
PP (2.3)
onde P , xM e yM são, respectivamente, o esforço axial de compressão
e os momentos fletores relativos aos eixos principais da seção ( x e y ),
calculados por análise de segunda ordem. Os valores uP , xuM e yuM são
as respectivas resistências.
Os valores das resistências são esforços limites que, na maioria dos
casos práticos, são os esforços críticos de instabilidade.
Os pilares metálicos flexo–comprimidos podem estar sujeitos a modos de
instabilidade de três naturezas distintas: a flambagem global, a
flambagem local e a distorção da seção (flambagem por distorção).
Os tipos de flambagem global são: flambagem por flexão, por torção e por
flexo–torção, devidas à compressão, e a flambagem lateral por flexão e
torção, devida à flexão.
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 7
Flambagem por flexão
A flambagem por flexão na compressão ocorre, em geral, nos pilares
longos duplamente simétricos.
A carga crítica no regime elástico linear, obtida por Euler (1744) para
pilares prismáticos ideais é a menor das cargas (Bjorhovde, 1992;
Galambos, 1998; Timoshenko e Gere, 1961):
2
2
xcrx
EAPλ
π= e 2
2
ycry
EAPλ
π=(2.4)
onde x e y são os eixos principais da seção, E é o módulo de
elasticidade do material, A é a área da seção do pilar e xλ e yλ são os
parâmetros de esbeltez do pilar em relação aos eixos x e y ,
respectivamente, determinados por
x
xxx r
Lk=λ e
y
yyy r
Lk=λ
(2.5)
Os coeficientes xk e yk são os coeficientes de flambagem, que
dependem das condições de apoio do pilar nos planos zy − e zx − ,
respectivamente, xL e yL são os comprimentos destravados do pilar
nestes planos, ou seja, distâncias entre duas seções consecutivas que
têm impedida sua translação em cada plano e xr e yr , os raios de giração
da seção com relação aos seus eixos principais. O eixo z é o lugar
geométrico dos centros de gravidade das seções do pilar.
Se o pilar tem comportamento não linear, seja pela existência de tensões
residuais, seja pelo fato do material entrar no regime plástico, a carga
crítica, obtida por Engesser (1898) e confirmada por Shanley (1947), é a
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 8
menor das seguintes (Bjorhovde, 1992; Galambos, 1998; Timoshenko e
Gere, 1961):
2
2
x
tcrx
AEP
λπ
= e 2
2
y
tcry
AEP
λπ
=(2.6)
onde tE é o módulo tangente do material.
As curvas δ−P representativas dos comportamentos linear e não linear
do pilar são as mostradas nas Figura 2.3 e Figura 2.4, respectivamente,
considerando grandes deformações e pequenos deslocamentos. Nestes
gráficos, P é o esforço axial de compressão, δ é o deslocamento lateral
máximo de flexão das seções do pilar e crP é a carga crítica de
flambagem.
Figura 2.3. Curva δ−P depilares sem deformações
iniciais e com comportamentolinear considerando grandes
deformações e pequenosdeslocamentos
Figura 2.4. Curva δ−P depilares sem deformações
iniciais e comcomportamento não linear
considerando grandesdeformações e pequenos
deslocamentos
As curvas δ−P representativas dos comportamentos linear e não linear
do pilar são as mostradas nas Figura 2.5 e Figura 2.6, considerando,
grandes deformações e grandes deslocamentos.
δ δ
P P
crP crP
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 9
Figura 2.5. Curva δ−P depilares sem deformações
iniciais e comcomportamento linearconsiderando grandes
deformações e grandesdeslocamentos
Figura 2.6. Curva δ−P depilares sem deformações
iniciais e comcomportamento não linear
considerando grandesdeformações e grandes
deslocamentos
Considerando agora, grandes deformações apenas e as deformações
iniciais, as curvas δ−P são mostradas nas Figura 2.7 e Figura 2.8 por
meio de linha sólida, onde ie é o máximo deslocamento lateral inicial.
Figura 2.7. Curva δ−P depilares com deformaçõesiniciais e comportamento
linear considerando grandesdeformações e pequenos
deslocamentos
Figura 2.8. Curva δ−P depilares com deformaçõesiniciais e comportamento
não linearconsiderando grandes
deformações e pequenosdeslocamentos
As deformações iniciais, portanto, diminuem a resistência à flambagem
por flexão de pilares e a resistência a qualquer outro modo de
instabilidade.
Sabendo que as deformações iniciais e as tensões residuais tornam difícil
a obtenção de uma solução analítica, a carga de dimensionamento de
P
δ
crPmáxP
P
δ
crP
P
δ
P
δ
crP crP
ie ie
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 10
pilares prismáticos comprimidos requer fórmulas empíricas. Existem,
essencialmente, quatro processos para obtenção destas fórmulas
(Bjorhovde, 1992; Galambos, 1998):
a) o processo baseado em fórmulas empíricas obtidas a partir de
testes em colunas de dimensões e material usuais, que é muito
limitado, pois os resultados somente são aplicáveis aos pilares que
tenham as mesmas características dos pilares ensaiados
b) o processo baseado no estado limite de plastificação, que
determina a resistência de um pilar comprimido como sendo a carga
que produz uma tensão igual ao limite de escoamento do material,
considerando a flexão elástica do pilar com deformações iniciais
submetido a cargas centradas ou excêntricas
c) o processo baseado na teoria do módulo tangente, que
considera o comportamento não linear do pilar, entretanto sem levar
em conta, de forma explícita, as deformações iniciais e tampouco as
eventuais excentricidades da carga
d) o processo baseado na máxima resistência, que consiste em
obter fórmulas que são ajustes numéricos de curvas λ−uP obtidas
por meio de análises numéricas e/ou experimental, da carga última uP
de uma amostra representativa de pilares, geometricamente
imperfeitos e contendo tensões residuais; a carga última uP é o
carregamento crítico real de flambagem, se supõe-se que o colapso
ocorre em condições de instabilidade.
O processo de dimensionamento baseado na máxima resistência é o mais
atual e utilizado pelas versões mais recentes das normas. Mesmo assim,
pode-se recorrer, em muitos casos, aos demais processos, com
resultados satisfatórios.
O processo baseado no estado limite de plastificação foi originado pela
obtenção da Curva de Perry, uma curva λ−uP obtida por meio da
consideração de um pilar com comportamento elástico–linear, comprimido
de forma centrada e com uma imperfeição geométrica senóidal, e a Curva
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 11
da Secante, que considera o pilar carregado excentricamente (Bjorhovde,
1992). Ambas as curvas foram utilizadas durante muitos anos no
processo de dimensionamento de pilares metálicos comprimidos. Em
determinadas condições, a fórmula da secante pode ser utilizada
adequadamente para perfis formados a frio comprimidos.
A teoria do módulo tangente determina a resistência do pilar com base na
aplicação da expressão (2.6) mencionada anteriormente. Este processo é
recomendado para pilares de aço inoxidável (Berg, 1998; Bredenkamp et
al., 1998; Galambos, 1998). Por outro lado, os estudos experimentais
realizados com o propósito de provar a validade deste procedimento,
foram desenvolvidos sobre peças que haviam sido tratadas previamente
com o objeto de reduzir as imperfeições geométricas iniciais e as tensões
residuais. Evidentemente, tal forma de proceder dá lugar à obtenção de
resultados experimentais muito próximos dos teóricos. A norma norte–
americana ANSI/ASCE-8-90, para aços inoxidáveis, utiliza a teoria do
módulo tangente, com base no comportamento não linear do material e
em resultados experimentais. Por outro lado, o Eurocódigo 3 (ENV 1993-
1-1, 1996) utiliza uma curva obtida a partir do processo baseado na
máxima resistência.
Em geral, a curva λ−uP é substituída por outra equivalente, do tipo
λχ − , onde
y
u
y
u
fPP σ
χ ==(2.7)
é a resistência ultima relativa (adimensional) do pilar, e
e
y
e
y fPP
σλ ==
(2.8)
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 12
é sua esbeltez relativa. Nestas expressões, yP é a carga limite de
escoamento do pilar, uσ é a tensão última ou tensão crítica real de
flambagem e eP e eσ são, respectivamente, a carga e a tensão críticas do
pilar ideal (regime elástico linear).
Para aços carbono, esta curva tem o aspeto mostrado na Figura 2.9 e
muitas são as fórmulas que tem sido enunciadas para representá-la.
Figura 2.9. Curva λχ − típica
Beer e Schultz (1970) e Bjorhovde (1972) demonstram que a influência
das imperfeições iniciais é distinta para distintos tipos de seções e de
aços, fazendo-se, então, necessário várias curvas λχ − para representar
toda a gama de possibilidades práticas.
Estas curvas estão dentro de uma banda, como se mostra na Figura 2.10.
Figura 2.10. Banda de curvas λχ −
1
χ
λ0
Curva de Euler
rλ
0χ
χ
λ0
Curvas limites da banda
0χ
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 13
Para fins práticos, são escolhidas algumas curvas representativas de
partes da banda, com o propósito de determinar a carga crítica de
dimensionamento dos pilares correspondentes.
As mais importantes fórmulas representativas destas curvas são as que
foram desenvolvidas por Bjorhovde (1972), conhecidas como as curvas
do SSRC – Structural Stability Research Council, e as que foram
desenvolvidas por Beer, Schultz, Jacquet e Sfintesco (1970), conhecidas
como as curvas do ECCS – European Convention for Constructional
Steelwork (Bjorhovde, 1992; Galambos, 1998).
As curvas do SSRC podem ser representadas pela expressão
−−= 222 4
21 λββλ
χ (2.9)
onde ( ) 215.01 λλαβ +−+= (2.10)
e α é o parâmetro de imperfeição, um coeficiente numérico que define
três curvas representativas de partes da banda.
Uma expressão equivalente à (2.9) é utilizada pela norma canadense
CSA Standard S16.1-94. As normas norte-americanas AISC-1993 e AISI-
1996 utilizam uma fórmula distinta, mas, também baseada na expressão
do SSRC.
Com base na formulação do ECCS, o Eurocódigo 3 (ENV 1993-1-1, 1996)
utiliza a expressão
22
1
λφφχ
−+= (2.11)
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 14
onde ( )[ ]22.01
21 λλαφ +−+= (2.12)
e α é, também, um parâmetro de imperfeição, diferente para cada uma
das curvas de flambagem consideradas.
Rondal e Maquoi (1978, 1979) demonstraram que as curvas do ECCS e
do SSRC podem ser consideradas como uma curva de Perry, por meio da
escolha adequada do parâmetro de imperfeição (Gioncu, 1998; Rondal,
1998). De fato, a curva de Perry, escrita em função das variáveis χ e λ
pode ser representada pela expressão
( )( ) ηχχλχ =−− 211 (2.13)
onde η é um parâmetro que leva em contas as imperfeições do pilar.
Escolhendo-se adequadamente o parâmetro η , esta expressão dá origem
a expressão do SSRC.
Rasmussen e Rondal (Rasmussen e Rondal, 1998) propõem uma
formulação geral para todos os tipos de pilares metálicos, considerando a
geometria, seus processos de fabricação e os materiais que os
constituem (aços de todo tipo, alumínio, etc.). A formulação se baseia na
expressão (2.1), de Ramberg – Osgood, e na expressão (2.11),
entretanto, generalizando os valores de φ e de λ por meio das seguintes
expressões
( )2121 ληφ ++= (2.14)
oE
yfσ
λ =(2.15)
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 15
onde ( )[ ]oλλλαη β −−= 1 (2.16)
O parâmetro η é o parâmetro geral de imperfeição, oEσ é a tensão crítica
do pilar ideal obtida trocando E por oE e α , β , oλ e 1λ são valores que
dependem do tipo de material metálico e que são definidos pelos
parâmetros 0εf , oE e n da expressão (2.1) de Ramberg – Osgood. Em
suma, o parâmetro η é função de 0εf , oE e n .
Flambagem por torção
A flambagem por torção em peças metálicas submetidas à compressão
ocorre com maior freqüência em perfis abertos duplamente simétricos,
com as mesas largas e com baixa rigidez à torção.
Neste caso, a carga crítica em regime elástico linear, obtida por Wagner
(1929) para pilares prismáticos ideais é (Rhodes, 1992; Timoshenko e
Gere, 1961)
( )
+= 2
2
zzT
ocrz Lk
ECGI
IAP ωπ (2.17)
onde oI é o momento polar de inércia da seção relativo ao seu centro de
cisalhamento, G é o módulo de elasticidade transversal do material, ou
seja ( )ν+= 12EG , ν é o coeficiente de Poisson, TI é o módulo de torção
(Saint Venant) da seção, ωC é sua constante de empenamento, zk é o
parâmetro de flambagem por torção do pilar, que depende de suas
condições de apoio, e zL é seu comprimento.
Para pilares prismáticos com imperfeições iniciais, a carga crítica pode ser
determinada mediante curvas do tipo λχ − , considerando crze PP = na
expressão (2.8).
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 16
Flambagem por flexão e torção
A flambagem por flexão e torção em peças submetidas a compressão
ocorre em perfis abertos com baixa rigidez à torção, assimétricos ou
monossimétricos, nos quais o centro de gravidade não coincide com o
centro de cisalhamento (perfis formados a frio).
A carga crítica em regime elástico linear, obtida por Kappus (1937), é a
menor dentre as soluções da equação (Rhodes, 1992; Timoshenko e
Gere, 1961)
( )( )( ) ( ) ( )[ ] 0222 =−+−−−−− ocrycrocrxcrcrcrzcrcrycrcrxcro xPPyPPPPPPPPP
AI (2.18)
onde ox e oy são as coordenadas do centro de cisalhamento da seção
em relação aos eixos principais centrais, crP é a carga crítica de
flambagem por flexão e torção, e crxP , cryP e crzP são as cargas críticas
indicadas em (2.4) e (2.17).
Por outro lado, em determinadas estruturas metálicas, perfis formados a
frio monossimétricos podem estar submetidos a compressão excêntrica. A
carga crítica de flambagem, neste caso, é a solução da equação
(Timoshenko e Gere, 1961)
( )( ) ( ) ( )
++−−− xyyxcr
ocrzcrcrycrcrxcr eeP
AIPPPPPP ββ
( )( ) ( )( )[ ] 0222 =−−+−−− xocrycryocrxcrcr exPPeyPPP (2.19)
na qual xe e ye são as excentricidades da carga nas direções x e y ,
respectivamente, e xβ e yβ são obtidos por meio das seguintes
expressões
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 17
( ) oAx
x ydAyxyI
21 22 −+= ∫β (2.20)
( ) oAy
y xdAyxxI
21 22 −+= ∫β (2.21)
Observa-se que a equação (2.18) é um caso particular da equação (2.19),
fazendo-se 0== yx ee .
Para pilares prismáticos com imperfeições iniciais, a carga crítica pode ser
determinada mediante curvas do tipo λχ − , considerando, na expressão
(2.8), um valor de eP igual à solução da equação (2.18) ou (2.19). Este é
o procedimento habitual das principais normas de estruturas metálicas.
Flambagem lateral
As peças fletidas ao redor de seu eixo de maior inércia podem estar
sujeitas a um modo de flambagem por flexão e torção caracterizado por
uma torção associada a uma flexão lateral na direção normal ao plano das
cargas.
O momento fletor crítico ideal em regime elástico linear de uma barra
prismática bi–rotulada, submetida a momento fletor constante segundo o
eixo principal de maior inércia (eixo x ) e com rigidez no plano de flexão
muito superior a rigidez no plano normal é (Timoshenko e Gere, 1961):
=+
±
−= crzcry
oxcryxcrycrx PP
AIPP
M2
22ββ
++
±−= 2
2
2
2
2
22λ
πββ
λπ ω
EAGI
ICEA T
y
xx (2.22)
onde yr
L=λ (2.23)
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 18
L é comprimento de barra compreendido entre seções impedidas de
deslocar-se na direção normal ao plano das cargas e yr é o raio de
giração da seção em relação ao eixo de menor inércia y .
Para numerosas seções transversais de peças metálicas submetidas a
flexão em torno do eixo de maior inércia x , tem-se que 0=xβ . Nestes
casos (Nethercot, 1992),
+±= 2
2
1λ
πλπ ω
yTTcrx IGI
EACEAGIM (2.24)
Se as condições de carregamento e apoio são gerais, pode-se utilizar a
seguinte fórmula aproximada (Galambos, 1998):
++
±−= 2
2
22
2
2
22λ
πββ
λπ ω
EAGI
ICkEACM T
y
yzxxbcrx (2.25)
onde bC é um coeficiente que leva em conta a variação da carga e dos
momentos fletores ao longo do comprimento da barra,
z
yyz k
kk = e
y
y
rLk
=λ(2.26) e (2.27)
Em regime não linear, o momento fletor crítico pode ser calculado
substituindo-se, na fórmula (2.25), E por tE e G por ( )[ ]ν+= 12tt EG .
Este é um procedimento aproximado, pois, em geral, a rigidez longitudinal
AEt (ou yt IE ) varia de forma distinta da rigidez à torção Tt IG e, portanto,
o valor de tE não é o mesmo para o cálculo da rigidez (Timoshenko e
Gere, 1961).
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 19
O procedimento baseado na utilização do módulo tangente, para obter o
momento crítico mediante a expressão (2.25), substituindo E por tE , é
recomendado para dimensionamento de vigas de todo tipo de aço
(Galambos, 1998; Bredenkamp et al., 1998).
Algumas normas, no entanto, utilizam curvas do tipo sugeridas por SSRC
e por ECCS, que consideram as imperfeições iniciais. Os parâmetros χ e
λ são determinados por meio das expressões
p
u
MM
=χ e e
p
MM
=λ(2.28) e (2.29)
onde uM é o momento fletor último ou momento fletor crítico real de
flambagem, pM é o momento de plastificação total da seção, e eM é o
momento fletor crítico da peça ideal (regime elástico linear).
O código AISC-1993 utiliza a equação (2.25) para determinar o momento
crítico em regime elástico e a seguinte reta para determinar o momento
crítico em regime plástico (Galambos, 1998):
( ) ( )( )
−−
−−=pr
prppbcrx MMMCM
λλλλ
, (2.30)
onde rM é o momento limite de flambagem elástica da seção,
determinado com base na tensão residual máxima de compressão que
supostamente atua na seção, pλ é o parâmetro de flambagem no qual a
seção mais solicitada da viga plastifica antes da flambagem e rλ é o
parâmetro de flambagem determinado a partir da condição re MM = ,
onde eM é o momento crítico elástico determinado por (2.25).
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 20
Os resultados experimentais indicam que o procedimento sugerido pelo
AISC é o que oferece melhores resultados. A não consideração de
deformações iniciais é compensada pelo conservadorismo das hipóteses
do processo (Galambos, 1998).
Flambagem Local
A flambagem local é o fenômeno de instabilidade de elementos estruturais
bidimensionais, como as chapas componentes dos pilares metálicos.
Ocorre, em geral, em pilares curtos comprimidos, fletidos ou flexo–
comprimidos. Os elementos submetidos a este modo de instabilidade
sofrem translações normais ao seu plano médio, como mostra a Figura
2.11.
Figura 2.11. Fenômeno da Flambagem Local
Os esforços normais e os momentos fletores críticos em regime elástico
linear em pilares ideais podem ser obtidos a partir da tensão crítica
elástica de flambagem local em chapas comprimidas. Esta tensão e o
modo de deformação das chapas dependem da geometria da chapa e de
suas condições de apoio.
A tensão crítica elástica de flambagem local, obtida por Bryan (1891),
para chapa apoiada – apoiada, e por Timoshenko (1907), para chapa
apoiada – livre, pode ser escrita de forma similar à expressão de Euler
(Dubas e Gehri, 1986; Galambos, 1998; Kalyanaraman et al., 1977;
Rhodes, 1992; Timoshenko e Gere, 1961):
( ) 2
2
22
2
2
2
112 eqchcr
EEktbDk
λπ
λνππσ =−
== (2.31)
a
b
x
y
x
y
w
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 21
onde k é o coeficiente de flambagem local, que depende, basicamente,
da relação ba da chapa, das condições de apoio e do tipo de solicitação.
Nesta expressão, ν é o coeficiente de Poisson, a o comprimento da
chapa, b sua largura e t sua espessura.
( )2
3
112 ν−= EtD
(2.32)
é a rigidez à flexão da chapa,
tb
ch =λ e ( )kcheq
2112 νλλ −=(2.33) e (2.34)
são, respectivamente, sua esbeltez e seu parâmetro equivalente de
esbeltez ou esbeltez reduzida.
Em regime não linear, a obtenção da tensão crítica de flambagem local
não é simples, pois a substituição, na expressão (2.31), do módulo E pelo
módulo tangente tE , obtido em um ensaio de tração, não é correto
porque o estado tensional na chapa não é igual ao estado tensional a que
se submete um corpo de prova ensaiado à tração (Timoshenko e Gere,
1961). No primeiro caso, tem-se um estado biaxial de tensão em lugar do
estado simples tensão.
Bleich (1952) propôs substituir, na fórmula (2.31), o módulo E por ηE ,
para chapas submetidas a compressão uniforme, onde
EEt=η
(2.35)
sendo tE o módulo tangente obtido no ensaio à tração. Este
procedimento consiste em uma aproximação conservadora (Galambos,
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 22
1998). Outros valores de η são sugeridos, sempre em função do módulo
tangente e/ou do módulo secante (Dubina, 1996; Rondal, 1998).
A expressão (2.31) pode, portanto, ser generalizada para placas em
regime linear ou não linear, como
( ) 2
2
22
2
2
2
112 eqchcr
EEktb
Dkλ
ηπλνηπηπ
σ =−
== (2.36)
As chapas têm um comportamento pós–crítico distinto do comportamento
pós–crítico das barras prismáticas. As curvas qualitativas δ−P , com e
sem deformações iniciais, são mostradas na Figura 2.12 (Dubas e Gehri,
1986). A linha contínua indica o comportamento da chapa com
deformações iniciais e a descontínua, seu comportamento sem estas
deformações.
Figura 2.12. Comportamento de chapas com e sem imperfeições iniciais
Como se pode observar na Figura 2.12, as chapas possuem resistência
pós–crítica. Seu comportamento pós–crítico, por outro lado, é
caracterizado também por uma perda de rigidez e por uma redistribuição
de tensões.
Ensaios de compressão em materiais elástico – lineares mostram tal
perda de rigidez por meio do chamado módulo aparente de elasticidade
apE , como mostrado na Figura 2.13.
δie
P
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 23
Figura 2.13. Curva εσ − antes e depois da flambagem local
A nova distribuição de tensões pode ser obtida do estudo da flambagem
local a partir da hipótese das grandes deformações (Timoshenko e Gere,
1961). As tensões não mais se distribuem uniformemente na seção,
podendo, inclusive, surgir tensões de tração em alguns pontos. As
máximas tensões de compressão ocorrem nas bordas apoiadas. Em
geral, a nova distribuição de tensões tem o aspecto mostrado na Figura
2.14, para chapa apoiada - apoiada, e na Figura 2.15, para chapa apoiada
– livre, onde b é a largura da chapa e máx,yσ é a máxima tensão de
compressão na seção, na direção da carga aplicada (Kalyanaraman et al.,
1977; Rhodes, 1992).
Figura 2.14. Distribuição detensões após flambagem
local em chapas apoiada –apoiada
Figura 2.15. Distribuição detensões após flambagem
local em chapas apoiada –livre
Devido a esta redistribuição de tensões, uma carga aplicada crPP ≥ é igual
à resultante das tensões equivalentes de von Mises e maior, portanto, que
a resultante da componente de tensão yσ na sua direção.
1tgθ=E
2tgθ=apE
1θ
2θcrσ
σ
crε ε
máx,yσ
y
b
x
máx,yσ
y
b
x
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 24
Logo, supondo yσ constante ao longo da espessura, a força resultante na
direção da carga aplicada, na seção crítica da chapa sob flambagem é
PtdxR n
b
y βσ == ∫0
(2.37)
onde 1≤nβ é um fator, função de PPcr , que representa a perda relativa
de resistência à compressão da chapa em conseqüência da flambagem
local (Queiroz, 1993; Timoshenko e Gere, 1961).
Supondo-se a tensão yσ constante e igual ao seu máximo valor máxy,σ ,
medido nas bordas apoiadas da chapa, porém atuando somente em
trechos próximos a estas bordas, conforme indica a Figura 2.16, pode-se
escrever
máxyeftbR ,σ= (2.38)
onde efb é a chamada largura efetiva da chapa, dada por
máxy
nef t
Pb,σ
β=
(2.39)
expressão esta obtida das expressões (2.37) e (2.38).
Figura 2.16. Conceito de Largura Efetiva
Admitindo-se o colapso da chapa sob a ação da carga P , máxy,σ passa a
ser a sua tensão última. Situação eqüivalente se obteria se a chapa não se
máxy,σmáxy,σ
2efb
2efb
máxy,σmáxy,σ
efbchapa bi–apoiada
chapa com umaborda apoiada e
outra livre
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 25
submetesse à flambagem sob tensão constante e igual à tensão última
máxy,σ . Nestas circunstâncias, se teria o estado simples de tensão e
máxymáxy btAP ,, σσ == (2.40)
Comparando-se (2.40) com (2.39), obtém-se
bb nef β= (2.41)
que representa, portanto, a largura que deveria ter a chapa para não
flambar sob tensão constante e inferior a máxy,σ .
Do conceito de largura efetiva surgiu o chamado Método da Área Efetiva,
que consiste em se determinar a resistência relativa da peça comprimida
de acordo com a expressão (2.7), yu PP=χ , com
máxyefu AP ,σ= (2.42)
onde
( )∑=seção
efef tbA (2.43)
é a área efetiva efA da seção transversal, ou seja, a área calculada com
base nas larguras efetivas das chapas componentes da peça e yy AfP = .
Isto é,
y
máxyef
fAA .σ
χ =(2.44)
Em pilares curtos submetidos somente à flambagem local, o colapso da
chapa corresponde à plastificação da seção efetiva, isto é, se realiza
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 26
quando ymáxy f=,σ . Nestas circunstâncias, tem-se, de acordo com a
expressão (2.44),
AAef=χ
(2.45)
von Kármán (1932) sugeriu a seguinte fórmula para determinar a largura
efetiva (Galambos, 1998; Kalyanaraman et al., 1977; Rhodes, 1992)
( ) btEkby
cr
yef
=
−=
máx,máx,2
2
112 σσ
σνπ (2.46)
Estudos posteriores foram desenvolvidos com base na teoria das grandes
deformações resultando em fórmulas mais eficientes para o
dimensionamento. Jombock e Clark (1962) enumeraram algumas delas
(Galambos, 1998).
Winter (1947) formulou uma expressão para determinar a largura efetiva
para chapa apoiada – apoiada, que considera imperfeições iniciais. Após
sofrer pequenas modificações para todo tipo de chapas, tal expressão
ficou uma generalização (Galambos, 1998)
tkEkEbmáxymáxy
ef
−=
,,
209.0195.0σσ
(2.47)
Esta fórmula é utilizada por AISI –1996.
A norma brasileira NBR 8800/86 usa uma equação semelhante à (2.47)
mudando apenas os coeficientes numéricos.
Outro conceito que se pode enunciar a partir da observação da
redistribuição de tensões na chapa é o conceito de tensão média, que
consiste em considerar-se a tensão
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 27
máx,yef
m bb
σσ =(2.48)
constante ao longo de toda largura efetiva da chapa (Galambos, 1998).
Em geral, o dimensionamento de peças comprimidas e fletidas sujeitas à
flambagem local de seus elementos se baseia na determinação de
resistências relativas
AA
PP
Q ef
y
u == ou p
ef
p
u
WW
MM
Q ==(2.49) e (2.50)
Nestas expressões, efA é a área efetiva da seção, efW é seu módulo
resistente elástico efetivo à flexão, ambos determinados a partir das
larguras efetivas de suas chapas componentes, e pW é seu módulo
resistente plástico à flexão (Rhodes, 1992). Nas expressões (2.49) e
(2.50) se considera yy f=máx,σ .
Curvas λ−Q , com λ definido por (2.8) ou por (2.29), poderiam ser
usadas para dimensionamento.
Distorção da seção
A distorção da seção é um modo de instabilidade que pode ocorrer tanto
na compressão como na flexão de perfis de paredes finas com seções
abertas (por exemplo: os perfis formados a frio usuais), principalmente
aqueles de aço de altas resistência (Galambos, 1998; Hancock, 1998).
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 28
Este modo de instabilidade se caracteriza por uma distorção da seção, ou
seja, por movimentos relativos entre as mesas e a alma (Davies e Jiang,
1996; Davies e Jiang, 1998). A Figura 2.17 ilustra este modo de
instabilidade.
Figura 2.17. Modo de Instabilidade por distorção em perfis U enrijecidos eperfis Racks.
Os primeiros estudos relativos à distorção foram desenvolvidos por
Desmond, Peköz e Winter (1981), que propuseram considerá-la, no
dimensionamento, por meio da verificação da flambagem local com
redução do parâmetro k da equação (2.31). Este método foi incorporado
pela norma AISI-1986 (Galambos, 1998; Hancock, 1998).
Lau e Hancock (1987), para seções comprimidas e Hancock (1995), para
seções fletidas, apresentaram fórmulas para determinação da tensão
crítica elástica de distorção, com base em modelos onde a mesa é tratada
como um elemento comprimido, restringido por molas e apoios simples
que representam a rigidez da alma e submetido à flambagem por flexo–
torção (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998; Galambos, 1998;
Hancock, 1998). Estas fórmulas lhes permitiram sugerir um procedimento
de dimensionamento baseado em uma curva do tipo λχ − , conhecida
como parábola de Johnson, e em uma expressão derivada de (2.47), que
é utilizado na norma australiana (Galambos, 1998; Hancock, 1998).
Algumas alterações às fórmulas de Hancock e Lau foram propostas por
Charnvarnichbonkarn e Polyzois (1992) e por Davies e Jiang (1996), com
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 29
o objetivo de generalizá-la ou obter mais precisão nos resultados (Davies
e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998; Galambos, 1998).
As seções submetidas à distorção apresentam resistência pós–crítica,
entretanto os procedimentos até agora propostos não a consideram
(Galambos, 1998; Hancock, 1998).
Este tipo de instabilidade, diferente de todos os outros, pode ser analisado
com mais precisão pela Teoria Geral de Vigas (Davies, 1998; Davies e
Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998) mas sua utilização prática para o
dimensionamento de peças com modos de instabilidade por distorção não
foi ainda implementada (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998).
2.2 Interação entre Flambagem Local e Global
Introdução
O início da chamada Teoria Geral da Estabilidade Elástica é creditado a
Koiter (1945). Esta teoria explica o comportamento de sistemas
mecânicos contínuos do ponto de vista da estabilidade, incluindo a fase
pós–crítica e a interação entre distintos modos de instabilidade.
A partir do trabalho inicial de Koiter, foram desenvolvidos outros trabalhos,
destacando a formulação de Budiansky (1974), baseada na energia
potencial de deformação, associando o equilíbrio da estrutura a valores
estacionários do funcional da energia, e associando a teoria geral de
estabilidade elástica à Teoria do Caos, estabelecida por Thom (1975)
(Pignataro, 1996).
A Teoria do Caos proporciona um método matemático universal de estudo
das descontinuidades, das mudanças bruscas e das súbitas trocas
qualitativas em sistemas evolutivos, o que inclui, portanto, as
instabilidades estruturais, tanto simples quanto acopladas (Gioncu, 1998).
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 30
Entretanto, a complexidade de muitos dos problemas de estabilidade
impedem, até o momento, alcançar uma solução teórica geral. Deste
modo, deve-se recorrer a outros métodos de análise a fim de obter
soluções para problemas práticos. Adiante, os principais métodos serão
abordados.
Na primeira metade do século XX, a principal preocupação dos
pesquisadores foi a influência das imperfeições na instabilidade. As
soluções eram, em muitos casos, difíceis de serem alcançadas devido à
ocorrência simultânea de dois ou mais modos de instabilidade.
Inicialmente, se pensava que a escolha de parâmetros mecânicos e
geométricos que permitissem a ocorrência simultânea de vários modos de
instabilidade era um critério adequado de otimização. Baseando-se nesta
idéia, Bleich (1952) e Shanley (1967) formularam e difundiram o chamado
Principio das Instabilidades Simultâneas (Gioncu, 1998).
Koiter e Skaloud (1962) questionaram este critério mostrando que modos
de instabilidade acoplados podem apresentar grande sensibilidade às
imperfeições geométricas iniciais (Pignataro, 1996). Além do mais, se dois
ou mais modos de instabilidade ocorrem simultaneamente, o
comportamento pós–crítico pode ser instável, mesmo que o
comportamento de cada um dos modos isoladamente seja estável
(Gioncu, 1998; Pignataro, 1998). O principio das instabilidades
simultâneas somente se aplica nas estruturas ideais. Por esta razão,
Thompson (1972) o chamou princípio ingênuo de otimização. Sua
utilização nas estruturas reais incrementa a influência desfavorável das
imperfeições geométricas (Gioncu, 1998).
Na segunda metade do século XX, a principal preocupação dos
pesquisadores foi a interação dos modos de instabilidade em peças com
imperfeições. Como foi dito anteriormente, o problema é muito complexo e
ainda se busca soluções consistentes (Gioncu, 1998; Pignataro, 1996).
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 31
Como a distribuição das imperfeições é aleatória, o estudo da
instabilidade requer um abordagem estatística. Por outro lado, aspectos
estatísticos da interação entre modos de instabilidade não foram
investigados suficientemente. A principal dificuldade é, justamente, a
aleatoriedade das imperfeições (Pignataro, 1996).
A maioria dos estudos considerou apenas interações simples (um modo
de flambagem global com um modo de flambagem local). Entretanto, é
necessário investigar também as interações múltiplas (Pignataro, 1998).
Classificação das instabilidades acopladas
Algumas maneiras de classificar as instabilidades acopladas têm sido
sugeridas por diferentes pesquisadores (Gioncu, 1998; Dubina, 1996;
Dubina, 1998). Entretanto, o tipo de interação que interessa, do ponto de
vista do dimensionamento, é a chamada interação não linear de
dimensionamento, ou seja, a interação entre dois modos distintos de
instabilidade, provocada pela escolha de dimensões apropriadas e
levando em conta a influência das imperfeições iniciais.
Existem outros tipos de interação como as chamadas interação natural e
interação linear inata. A primeira pode ocorrer, por exemplo, em chapas
retangulares comprimidas. Estas chapas podem submeter-se a cargas
superiores à carga crítica de flambagem local elástica, devido ao seu
comportamento pós–crítico estável que lhe confere resistência pós–
crítica. Para um determinado valor da carga ocorre uma mudança
repentina de deformada (troca de número de ondas) provocada pela
interação do primeiro modo com o segundo modo de instabilidade.
A segunda é a interação produzida quando dois modos de instabilidade se
acoplam na origem, independentemente da existência de imperfeições
iniciais. É o caso da flambagem por flexo–torção em peças
monossimétricas comprimidas. Trata-se de uma interação entre
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 32
flambagem por flexão e flambagem por torção, que pode ocorrer
normalmente sem deformações iniciais.
Tal como foi exposto anteriormente, uma estrutura sem imperfeições
iniciais perde sua estabilidade pela bifurcação do equilíbrio e uma
estrutura com imperfeições perde a estabilidade quando a carga alcança
um valor limite correspondente a uma tangente horizontal na curva δ−P .
A diferença entre a carga crítica de bifurcação e a carga limite representa
a chamada erosão da carga crítica.
Existe a erosão primitiva, que é conseqüência dos efeitos das
imperfeições nos modos de instabilidade tomados isoladamente, e a
erosão derivada, resultante da interação entre vários modos de
instabilidade, (Gioncu, 1998). A Figura 2.18 ilustra estes conceitos.
Figura 2.18. Erosão Primitiva e Erosão Derivada – Interação FlambagemGlobal (1º modo) – Flambagem Local (2º modo)
Numa coluna sem imperfeições sujeita somente à flambagem global, o
colapso se dá por bifurcação do equilíbrio quando a carga de compressãoatinge o valor Pcr,Euler indicado na Figura 2.18. Se a coluna está sujeita à
flambagem local, surge deslocamentos laterais a partir da carga de valorPcr,Bryan, também indicado na Figura 2.18, que crescem com o acréscimo
da carga até um valor limite.
1º modo
2º modo
interação
sem imperfeições com imperfeições
erosão primitiva
erosão derivada
P
δ
uP
Pcr,Bryan
Pcr,Euler
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 33
Na coluna com imperfeições, os deslocamentos laterais existem desde o
inicio do carregamento, crescendo consideravelmente quando a carga seaproxima do valor crítico Pcr,Euler ou Pcr,Bryan, conforme esteja sujeitas à
flambagem global ou local, respectivamente.
Se estas cargas críticas são suficientemente próximas, ocorre a interação,
que se caracteriza pelo surgimento de grandes deslocamentos lateraissob carga significativamente inferior a estas (Pu).
Assim, pode-se compreender que a interação não linear não existe sem
imperfeições iniciais.
Esta interação faz com que a estrutura seja mais sensível às
imperfeições. A erosão é máxima se as cargas críticas dos modos de
instabilidade são iguais (Gioncu, 1998).
Para peças comprimidas, se uP é a carga última, nas quais ocorre o
colapso por modos simultâneos de instabilidade, e crP é a carga crítica
ideal, igual para os dois modos, pode-se escrever que
( ) cru PP ψ−= 1 (2.51)
onde ψ é o fator de erosão. Este parâmetro foi introduzido como uma
medida da erosão (Dubina, 1996; Dubina, 1998).
Segundo a intensidade da erosão, Gioncu (1994) sugeriu a seguinte
classificação das interações (Gioncu, 1998; Dubina, 1996; Dubina, 1998):
• Interação fraca, se 1.0≤ψ ,
• Interação moderada, se 3.01.0 ≤<ψ ,
• Interação forte, se 5.03.0 ≤<ψ e
• Interação muito forte, se 5.0>ψ .
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 34
Esta classificação, segundo Gioncu, deve ser utilizada na escolha do
método de dimensionamento da estrutura. Interações fracas podem ser
consideradas simplesmente por meio de adequados parâmetros de
segurança no dimensionamento. As moderadas podem ser tratadas com
métodos simples utilizados no dimensionamento de estruturas submetidas
a modos de instabilidade não acoplados e as fortes e muito fortes
requerem métodos especiais.
O uso da classificação de Gioncu não é simples por que são muitos os
fatores dos quais depende a intensidade da erosão. Entretanto, em geral,
as interações comuns às barras comprimidas e/ou fletidas estão incluídas
na categoria de interações fortes a muito fortes, exigindo, portanto,
métodos especiais de dimensionamento.
Métodos de Análise
Uma interessante classificação dos métodos de análise da interação entre
modos de instabilidade foi proposta por Dubina (Dubina, 1996). Segundo
esta classificação, os métodos podem ser:
• Teóricos ou analíticos: Aqueles que se baseiam na teoria do
comportamento pós–crítico da peça; buscam soluções exatas e, em
geral, não geram fórmulas práticas para dimensionamento.
• Semi – analíticos: Aqueles em que a simulação da instabilidade da
peça é feita por meio das equações clássicas não lineares da
mecânica estrutural e a flambagem local é considerada utilizando o
conceito de largura efetiva da chapa.
• Semi – empíricos: Aqueles em que a consideração da interação é
obtida da modificação das curvas λχ − por meio da utilização das
propriedades geométricas reduzidas das seções; estas propriedades
reduzidas são obtidas a partir das larguras efetivas das chapas.
• Numéricos: Aqueles realizados a partir de uma discretização
completa em elementos da estrutura ou das chapas componentes das
peças; estão entre eles:
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 35
a) O método dos elementos finitos, que é o mais potente e
adequado para análise de todo tipo de estrutura
b) O método das faixas finitas (Hancock, 1998; Pignataro, 1996;
Pignataro, 1998), que é similar ao método dos elementos finitos,
mas com a diferencia de que os elementos são faixas rigidamente
conectadas por linhas como nós e com apoios contínuos nas
extremidades; é particularmente adequado para pesquisar a
interação flambagem global – flambagem local em perfis
submetidos a cargas nas extremidades.
Classificações similares foram propostas por outros pesquisadores
(Pignataro, 1996; Rasmussen, 1996), mas esta é a que melhor especifica
os distintos tipos de análise.
Os métodos numéricos são, indubitavelmente, ferramentas muito potentes
para a análise do comportamento das estruturas, mas na prática não
podem ser utilizados como métodos de dimensionamento. Os métodos
semi – empíricos são os que vêm sendo utilizados, atualmente, nas
normas. Não são tão eficientes como os métodos numéricos, mas são
mais práticos e, portanto, mais apropriados.
O colapso por interação flambagem global – flambagem local geralmente
está associado a um mecanismo plástico localizado. A menor eficiência
dos métodos semi – empíricos perante os métodos numéricos está em
sua incapacidade de modelar corretamente a interação entre flambagem
global elástica e flambagem local plástica (Dubina, 1996).
Segundo Dubina, a simulação não linear por elementos finitos ou por
faixas finitas parece ser o único recurso conveniente para estudar a
interação flambagem global – flambagem local levando em conta uma
formulação apropriada do comportamento do material e dos efeitos das
imperfeições.
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 36
Os métodos mais utilizados nos estudos atuais são:
• Os chamados modelos mecânicos que abordam o fenômeno da
instabilidade, que são, em verdade, alternativas à teoria geral da
estabilidade e, portanto, métodos analíticos mais simples (Augusti et
al., 1998; Gioncu, 1998).
• A Teoria Geral de Vigas (Davies, 1998; Davies e Jiang, 1996;
Davies e Jiang, 1998), que permite a análise de qualquer tipo de
interação de modos de instabilidade, mas para estrutura ideal, ou seja,
sem imperfeições (Dubina, 1996).
• Os métodos baseados no chamado fator Q , que são métodos semi
– empíricos amplamente utilizados nas atuais versões das normas.
Os métodos baseados no fator Q contemplam a interação a partir da
aplicação do Método da Área Efetiva à curva de Perry, com a modificação
de Batista – Rondal (Dubina, 1998) e consideraram os esforços limites,
nas curvas de flambagem, multiplicados pela resistência relativa à
flambagem local, ou seja,
y
u
QPP
=χ , e
y
PQP
=λ e A
AQ ef=
(2.52), (2.53) e (2.54)
para barras comprimidas e
p
u
QMM
=χ , e
p
MQM
=λ e W
WQ ef=
(2.55), (2.56) e (2.57)
para barras fletidas (Kalyanaraman et al., 1977; Dubina, 1998).
Dentre os métodos que tomam por base o fator Q , um dos mais utilizados
e estudados, atualmente, é a Teoria da Erosão da Carga Crítica. Esta
teoria utiliza a curva de Perry, determinando o parâmetro de imperfeição
em função do fator de erosão ψ . O fator de erosão pode ser determinado
por processos numéricos e/ou experimentais, tal como se obtém o
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 37
parâmetro de imperfeição das curvas do SSRC e do ECCS (Dubina, 1998;
Dubina et al., 1998; Dubina, Mazzolani et al., 1996).
Kalyanaraman et al. propõem um processo iterativo para a determinação
da resistência de uma barra sob interação flambagem global – flambagem
local, que envolve a evolução da seção efetiva e da correspondente
resistência à flambagem da barra iterativamente, até que se alcance a
convergência entre a resistência da flambagem local e a correspondente
resistência à flambagem global (Kalyanaraman e Srinivasa Rao, 1998;
Kalyanaraman et al., 1977).
Rondal propõe, também com base no fator Q , que se utilize o conceito de
largura efetiva da seguinte forma: para cada valor da deformação, em
pequenos intervalos desde o valor zero até o valor correspondente à
máxima tensão considerada, se determine a correspondente tensão
mediante a fórmula de Ramberg – Osgood e a conseqüente largura
efetiva; com este valor, se obtenha a resistência última e se construa
curvas λχ − , considerando, na expressão (2.8), cre AP σ= , com crσ dada
pela expressão (2.36). Como são sugeridas várias expressões para o
parâmetro η que aparece nesta expressão, todas em função do módulo
tangente e/ou do módulo secante do material (Dubina, 1996; Rondal,
1998), Rondal propõe que, por meios de experimentos, se escolha uma
expressão adequada a cada tipo de problema.
Usami e Ge apresentam um estudo da interação flambagem global por
flexão – flambagem local baseado na curva de Perry, onde o parâmetro
de imperfeição é obtido a partir de uma análise elasto–plástica por
elementos finitos, em função das imperfeições geométricas e das tensões
residuais (Usami, 1997; Usami e Ge, 1996)
A forma com que Scheer e Böhm (1978) abordam o problema, modificada
por Nölke (1980), se baseia em determinar a resistência por meio de um
gráfico chp λλ − , onde pλ e chλ são, respectivamente, os parâmetros de
Capítulo 2 - Estado do Conhecimento 38
esbeltez relativa cryf σ do pilar e da chapa. Este gráfico define quatro
áreas de comportamento: plastificação, flambagem global, flambagem
local e interação flambagem global – flambagem local, proporcionando
uma visão tanto quantitativa como qualitativa da interação. Este gráfico foi
construído a partir de análises numéricas não lineares considerando
deformações iniciais e tensões residuais. Entretanto, parece que esta
forma de abordar o problema não foi suficientemente explorada. Não
obstante, foi adotada pela versão de 1978 da norma alemã (Dubas e
Gehri, 1986).
Capítulo 3 Modelo Numérico
3.1 Curva de Flambagem Alternativa
Na fase pós–crítica, o estado de tensões nos pontos das chapas comprimidas
sob flambagem deixa de ser um estado simples com a máxima tensão normal
AP=σ constante em todos os pontos e passa a ser um estado duplo, com
componentes xσ , atuando no plano da seção transversal, e yσ , na direção
normal a este plano, variando ponto a ponto.
As tensões nos pontos das chapas variam de forma significativa ao longo de
suas espessuras, devido à flexão a que se submetem.
Estes fatores não são considerados na formulação do Método da Largura
Efetiva.
Devido ao surgimento do estado plano de tensões, seria mais conveniente
tomar como referência, no projeto, a tensão equivalente de von Mises do que
a componente yσ medida na direção do carregamento, como propõe o
conceito de largura efetiva.
Além disso, comparando a curva de flambagem de uma chapa simplesmente
apoiada com curvas de flambagem de perfis curtos constituídos da mesma
chapa e submetidos apenas à flambagem local desta chapa, todas obtidas
pelo mesmo processo, conclui-se que, devido às diferentes condições de
apoio das chapas, estas curvas têm aspecto distinto e a distribuição da
componente yσ ao longo de uma seção qualquer da chapa difere caso a caso
(Sá et al., 2001).
Daí se conclui que os resultados obtidos no estudo da flambagem em chapas
isoladas podem não ser a melhor referência ao estudo da flambagem local das
chapas componentes dos perfis.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 40
Tudo isto sugere que os métodos baseados no fator Q , apesar de utilizados
com relativo sucesso nas versões mais recentes das normas técnicas, podem
não ser os mais indicados para representar adequadamente o fenômeno da
interação entre flambagem global e flambagem local.
Assim, Santos e Sá (Santos e Sá, 2002) propõem um método alternativo
baseado na representação dos parâmetros de imperfeição das curvas de
flambagem λχ − como função explícita da relação entre as esbeltezes da
barra e das chapas componentes do perfil. Estes parâmetros de imperfeição
podem ser determinados por meio de regressões não lineares obtidas a partir
de resultados numéricos ou experimentais, como nos mais importantes
métodos ultimamente propostos.
Uma das formas de se obter estas expressões é tomar por base a curva de
Perry com o parâmetro de imperfeição representado pela expressão geral
proposta por Rasmussen e Rondal (Rasmussen e Rondal, 1998), ou similar.
No desenvolvimento desta pesquisa, tentativas de se obter estas expressões
por este processo barraram em dificuldades de se encontrar parâmetros
satisfatórios por regressão não linear.
A alternativa encontrada foi propor uma nova curva de flambagem λχ − que
levasse em conta o seu aspecto geral (Figura 2.9), o qual indica:
• a resistência relativa tende a oχ com 10 ≤< oχ , quando a esbeltez relativa
tende a zero pela direita e tende a zero quando a esbeltez relativa tende ao
infinito, ou seja,
( )+→
→0λ
χλχ o com 10 ≤< oχ , e ( )∞→→
λλχ 0 ;
• a primeira derivada da resistência relativa é sempre negativa e tende a
zero quando a esbeltez relativa tende a zero pela direita e quando tende
ao infinito, ou seja,
Capítulo 3 - Modelo Numérico 41
( ) 0 ,0 ≥∀≤ λλλχ
dd ; ( ) 0
0
→+→λλ
λχd
d e ( ) 0→∞→λλ
λχd
d e
• a segunda derivada da resistência relativa é nula no ponto de inflexão
rλλ = , negativa quando rλλ < , positiva quando rλλ > e tende a zero
quando a esbeltez relativa tende a zero pela direita e ao infinito, ou seja,
( ) 02
2
== rd
d
λλλλχ ; ( )
r
dd λλ
λλχ <∀< ,02
2
; ( )r
dd λλ
λλχ >∀> ,02
2
;
( ) 00
2
2
→+→λλ
λχd
d e ( ) 02
2
→∞→λλ
λχd
d .
A resistência relativa foi, então, obtida a partir da expressão
( ) ( )( )βλ
λλλαλ
λχ1
2
2
+
−= r
dd (3.1)
a qual atende às condições relativas à sua segunda derivada, se 0>α e 2>β .
Os parâmetros α , β e rλ devem ser obtidos por regressão não linear. O
parâmetro α é utilizado para garantir a condição da resistência relativa tender
a oχ quando a esbeltez relativa tende a zero pela direita e o parâmetro β é
utilizado para garantir que a segunda derivada da resistência tenda a zero
quando a esbeltez relativa tende ao infinito.
Integrando devidamente a expressão (3.1), obtém-se
( ) ( ) ( )[ ]( )( )( )( ) 1
222
1321
23232423−
+−−−
++−++−−−+−−= βλβββ
λλβλλβλβλβλββαλλχ rrrrr
dd (3.2)
donde se conclui que ( ) ( )( )( )( )321
23
0−−−
−−→+→
βββλλβα
λλχ
λ
rr
dd , e integrando novamente
Capítulo 3 - Modelo Numérico 42
( ) ( ) ( )[ ]( )( )( )( )( ) 2
222
14321
682444523−
+−−−−
++−++−−−+−= βλββββ
λλβλλβλβλβλββαλχ rrrrr (3.3)
donde se conclui que ( ) ( )( )( )( )( )4321
3420 −−−−
−−−→+→ ββββ
λλβαλχλ
rr .
Da condição ( )∞→→
λλχ 0 , conclui-se, aplicando-se o teorema de L’Hospital, que
4>β e, das condições 0>α , 4>β e ( )+→
→0λ
χλχ o com 0>oχ , conclui-se que
rλβ 34 +< .
Da condição ( ) 0→∞→λλ
λχd
d , conclui-se, também aplicando-se o teorema de
L’Hospital, que 3>β e, das condições ( ) 0 ,0 ≥∀≤ λλλχ
dd e ( ) 0
0
→+→λλ
λχd
d ,
conclui-se que rλ
β 23 +≤ . Logo,
rλβ 234 +≤< (3.4)
Em suma, a expressão (3.3), que fornece a resistência relativa do pilar, pode
ser escrita na forma
( ) ( ) 232
21
1−
+
++= βλ
αλαλαλχ(3.5)
onde 1α , 2α e 3α são funções dos parâmetros α , β e rλ obtidos por
regressão não linear. A seguir as equações de 1α , 2α e 3α .
Capítulo 3 - Modelo Numérico 43
( )( )431 −−=
ββαα (3.6)
( )( )( )( )( )4321
44452
2 −−−−++−−−=
ββββλβλβλβαα rrr (3.7)
( )( )( )( )( )4321
6823 −−−−
−−−=ββββ
λλβαα rr (3.8)
3.2 Considerações Preliminares do Modelo Numérico
O objetivo que persegue o presente trabalho é estudar os perfis tipo I
duplamente simétricos, sob compressão centrada e uniforme, com
imperfeições geométricas correspondentes a uma forma senoidal, material
não linear e considerando a interação flambagem global – flambagem local
em análises não lineares por elementos finitos.
O fenômeno da instabilidade, seja local ou global de toda a estrutura, está
relacionado, como foi visto, com a aparição de grandes deformações e com o
conseqüente comportamento não linear geométrico próximo ao colapso.
Os pilares metálicos, por outro lado, sempre apresentam imperfeições iniciais,
geométricas e mecânicas, devido aos processos construtivos ou de
fabricação do material. Por isto, o modelo de análise a se utilizar para estudar
tal fenômeno deverá contemplar os aspectos da não–linearidade geométrica e
física.
O programa escolhido foi o ANSYS, com elementos do tipo casca de quatro
nós e seis graus de liberdade por nó, com integração reduzida ou completa
(SHELL 181), que pode ter dimensões variáveis, degeneração para elemento
triangular e cargas normais e paralelas ao seu plano médio.
Para análise não linear (grandes deformações, pequenos deslocamentos e
efeitos de segunda ordem) foi utilizando o método de convergência de
Capítulo 3 - Modelo Numérico 44
Newton–Raphson e adotado um modelo constitutivo de material multilinear e
isotrópico para o aço, baseado no critério de plastificação de von Mises.
A magnitude da imperfeição geométrica global é limitada pela especificação
do aço (e.g., ASTM A6 nos Estados Unidos; CSA G40.20 no Canada) e é
normalmente expressa como uma fração do comprimento da barra. Paraperfis I o desvio máximo é L/960, o qual é usualmente dado por L/1000 por
conveniência (Galambos, 1998). Já as imperfeições geométricas locais
também são representadas por uma fração da largura da chapa, umaaproximação usual é b/200 para elementos enrijecidos e b/100 para elementos
não enrijecidos (Kala, J. et. al., 2000).
As imperfeições geométricas globais, então, foram consideradas segundouma senóide de amplitude igual a L/1000, as imperfeições locais de elementos
não enrijecidos segundo uma senóide de amplitude igual a b/100 e as
imperfeições locais de elementos enrijecidos segundo uma senóide deamplitude igual a b/200. As imperfeições físicas foram consideradas
escolhendo parâmetros adequados, segundo a equação (2.1).
A carga última foi perseguida segundo análise não linear tendo como objetivoum erro inferior a 1% para menos (100 passos e no máximo 25 iterações em
cada passo). Assim sendo, a peça é carregada lentamente, inicialmente até a
menor entre a carga de instabilidade elástica global e a carga de plastificação
da seção. Como a peça modelada não é perfeita o colapso se dá sob uma
carga inferior (erosão). Faz-se, então, uma nova análise com a carga que
convergiu na análise anterior. Procedendo-se desta maneira até que o erroseja menor que 1% para menos.
A malha foi escolhida comparando resultados numéricos com resultados
analíticos mediante as fórmulas de Euler e de Bryan. Neste ponto, foi
considerada uma deformação inicial quase nula, no qual se espera uma
erosão muito pequena e, portanto, a carga obtida numericamente deve ser
muito próxima da carga teórica. Estas deformações são obtidas com o próprio
ANSYS a partir de análises de instabilidade linear (ou de bifurcação do
Capítulo 3 - Modelo Numérico 45
equilíbrio) do pilar ou das chapas componentes. Observando o aspecto da
deformada das chapas que constituem os pilares, se conclui, rapidamente,
que é necessário dispor de pelo menos quatro elementos nas duas direções
de cada chapa.
Sabendo disto, a malha mais “pobre” possível deve conter, em cada módulo,
quatro elementos na alma, quatro elementos em cada mesa e quatro
elementos na direção do carregamento.
O comprimento de cada módulo é calculado seguindo o seguinte critério:
deve-se ter um número inteiro de ondas para a flambagem local na chapa
cuja carga crítica é a menor, entre a alma e a mesa. Sendo assim, o
comprimento de um módulo deve ser igual ao comprimento de uma meia
onda da flambagem local (seja da alma ou da mesa), na qual a carga crítica
de flambagem local é mínima.
Foi considerada ainda uma deformação inicial significativa, com o objetivo de
mostrar sua influência no comportamento do pilar.
As condições de apoio de todos modelos foram de apoios simples nas
extremidades (bi–rotulados).
Os modelos ensaiados possuíam índices de esbeltez relativos para os
elementos componentes da seção entre λ mínimo≈0,8 e λ máximo≈1,8 e para a
peça entre λ mínimo≈0,4 e λ máximo≈1,8.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 46
3.3 Escolha da Malha
Para verificar a eficácia do modelo e também para possibilitar a escolha da
malha satisfatória, foram estudados diversos casos de flambagem global e de
flambagem local de perfis tipo I duplamente simétricos comprimidos, de aço
com comportamento elasto–plástico bilinear.
A escolha da malha de elementos finitos foi feita a partir da consideração da
deformada de uma chapa quadrada, apoiada – apoiada e apoiada – livre,
sujeita à flambagem local. Desta maneira, foram testadas várias malhas
contendo quatro ou mais elementos em cada direção. Ao dispor mais
elementos ao longo do comprimento, na direção de introdução da carga, não
foi observada melhora dos resultados quando em chapas apoiada – apoiada,
mas em chapas apoiada – livre a melhora foi significativa.
Na Figura 3.1 são mostradas quatro malhas distintas para chapa 200x2 mm
apoiada – livre, de comprimento igual a 200 mm, com deformação inicial
máxima igual a 100000b (deformação quase nula), sendo b a largura da
chapa, e constituída de aço carbono com comportamento bilinear e limite de
escoamento MPaf y 250= , módulo de elasticidade igual a 205 GPa e
coeficiente de Poisson 0.3. Ao lado, seus correspondentes gráficos δ−P .
Com a fórmula de Bryan (2.31) se obtém a tensão crítica elástica deflambagem local da chapa e seu correspondente esforço normal crítico Ncr =
10.7 kN. Se espera, portanto, que este valor seja também obtido no gráfico
δ−P , visto que as deformações iniciais são quase nulas.
Como mostra a Figura 3.1, as duas primeiras malhas que contêm quatro
elementos ao longo do comprimento apresentam um gráfico δ−P onde se
pode notar que a carga crítica de flambagem local é aproximadamente 19 kN
não representativo do comportamento teórico da chapa. Os demais
apresentam resultados praticamente idênticos ao resultado teórico, sendo queo erro para a malha de 3x6 foi de 1.869%.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 47
Figura 3.1. Malhas consideradas nos corpos de prova de chapas apoiada– livre e seus correspondentes gráficos δ−P
Capítulo 3 - Modelo Numérico 48
Tendo em vista a necessidade de seis elementos ao longo do comprimento,
visto que os resultados para chapa apoiada – livre demonstraram isto, o
número mínimo de elementos ao longo do comprimento em chapa apoiada –
apoiada deverá ser também seis para a formação do perfil I.
Na Figura 3.2, são mostradas duas malhas distintas para chapa 200x2 mm
simplesmente apoiada, de comprimento igual a 200 mm, com deformação
inicial máxima igual a 100000b (deformação quase nula), sendo b a largura
da chapa, e constituída de aço carbono com comportamento bilinear e limite
de escoamento MPaf y 250= . Ao lado, seus correspondentes gráficos δ−P .
Figura 3.2. Malhas consideradas nos corpos de prova de chapas apoiada– apoiada e seus correspondentes gráficos δ−P
Com a fórmula de Bryan se obtém a tensão crítica elástica de flambagemlocal da chapa e seu correspondente esforço normal crítico Ncr = 29.645 kN. Se
espera, portanto, que este valor seja também obtido no gráfico δ−P , já que
as deformações iniciais são quase nulas.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 49
Como mostra a Figura 3.2, a primeira malha contém quatro elementos ao
longo da largura e apresenta um gráfico δ−P onde se pode notar uma carga
crítica de flambagem local Pcr = 31.672 kN não representativa do
comportamento teórico da chapa. Já a malha que contém seis elementos aolongo da largura apresenta carga crítica de Pcr = 29.672 kN resultado este
praticamente idêntico ao resultado teórico.
Portanto, todos os perfis estudados foram discretizados com base nos
seguintes princípios:
• Seis elementos ao longo da largura de cada chapa componente
• Seis elementos ao longo de cada módulo, cujo comprimento foi obtido
variando-se o comprimento do perfil de dois módulos até que se consiga
um mínimo para carga de flambagem local.
Alguns casos estudados
Os casos apresentados a seguir demonstram a eficácia do modelo escolhido
e a influência das imperfeições iniciais na flambagem local, na flambagem
global e em caso de interação flambagem global – flambagem local.
Caso 1: Perfil curto sujeito à flambagem local na alma
• Perfil I 200x100x5x2 (comprimento = 192 mm, altura = 200 mm, largura das
mesas = 100 mm, espessuras das mesas = 5 mm e da alma = 2 mm)
• Limite de escoamento do material: MPaf y 250=
• Deformações iniciais máximas, normais ao plano das chapas
componentes: mmxi3102 −=δ (deformações iniciais quase nulas) e
mmi 2.0=δ (deformações iniciais consideráveis)
• Índice de esbeltez relativo da alma igual a 1.38.
• Índice de esbeltez da alma igual a 95.
A malha utilizada, as condições de contorno (ou de apoio), a solicitação e a
conseqüente deformada do perfil são mostradas na Figura 3.3.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 50
Figura 3.3. Perfil Curto – Malha de Elementos Finitos, Condições deContorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Local na Alma
O esforço crítico elástico de flambagem local da alma, obtido com base nafórmula de Bryan (2.31) e considerando k = 4 (simplesmente apoiado) foi Ncr =
113.3 kN e considerando k = 6.97 (engastado) foi Ncr = 197.5 kN. Com as
deformações iniciais quase nulas, o valor obtido no modelo foi 180.5 kN, o que
remete a um valor de k = 6.37, como era de se esperar, pois, em perfis do tipo
I a alma não está perfeitamente apoiada nem perfeitamente engastada e sim
ligada elasticamente às mesas.
Estes resultados são mostrados na Figura 3.4, onde podem ser vistos os
gráficos δ−P de as ambas situações: com deformações iniciais quase nulas
e com deformações iniciais consideráveis.
Os perfis foram solicitados até o colapso. Pode-se notar no primeiro gráfico o
ponto de bifurcação do equilíbrio, o que não acontece no segundo gráfico.
Figura 3.4. Gráficos δ−P dos perfis curtos (flambagem na alma) – 1. Perfil comdeformações iniciais quase nulas. 2. Perfil com deformações iniciais consideráveis
Capítulo 3 - Modelo Numérico 51
Caso 2: Perfil curto sujeito à flambagem local nas mesas
• Perfil I 200x191.7x2.15x8 (comprimento = 161.2 mm, altura = 200 mm,
largura das mesa = 191.7 mm, espessuras das mesas = 2.15 mm e da alma
= 8 mm)
• Limite de escoamento do material: MPaf y 250=
• Deformações iniciais máximas, normais ao plano das chapas
componentes: mmxi3102 −=δ (deformações iniciais quase nulas) e
mmi 2.0=δ (deformações iniciais consideráveis)
• Índice de esbeltez relativo da mesa igual a 1.38.
• Índice de esbeltez da mesa igual a 44.58.
A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente
deformada do perfil são mostradas na Figura 3.5.
Figura 3.5. Perfil Curto – Malha de Elementos Finitos, Condições deContorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Local nas Mesas
O esforço crítico elástico de flambagem local das mesas, obtido baseado nafórmula de Bryan (2.31) e considerando k = 1.14 (simplesmente apoiado) foi
Ncr = 252.87 kN e considerando k = 1.47 (engastado) foi Ncr = 327.51 kN. Com
as deformações iniciais quase nulas, o valor obtido no modelo foi 314.65 kN, o
que remete a um valor de k = 1.41, como era de se esperar, pois, em perfis do
tipo I, novamente, as mesas não estão perfeitamente apoiadas nem
perfeitamente engastadas e sim ligadas elasticamente à alma.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 52
Estes resultados são mostrados na Figura 3.6, onde se pode ver os gráficos
δ−P de ambas situações: com deformações iniciais quase nulas e com
deformações iniciais consideráveis.
Figura 3.6. Gráficos δ−P dos perfis curtos (flambagem nas mesas) – 1.Perfil com deformações iniciais quase nulas. 2. Perfil com deformações
iniciais consideráveis
Os perfis foram solicitados até o colapso. Para um mesmo esforço axial, as
deformações δ do perfil com deformações iniciais consideráveis são maiores
que aqueles do perfil com deformações quase nulas, sobretudo quando os
esforços axiais são inferiores ao esforço crítico elástico de flambagem local.
Esta perda de rigidez corresponde a erosão primitiva definida pela Teoria da
Erosão da Carga Crítica.
Caso 3: Perfil longo sujeito à flambagem por flexão
• Perfil I 210x150x9x5 (comprimento = 4250 mm, altura = 210 mm, largura das
mesas = 150 mm, espessuras das mesas = 9 mm e da alma = 5 mm)
• Limite de escoamento do material: MPaf y 250=
• Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia:
mmxLi310667.5750000 −==δ (deformações iniciais quase nulas) e
mmLi 25.41000 ==δ (deformações iniciais consideráveis), onde L é o
comprimento do perfil.
• Área da seção transversal de 36.6 cm² e índice de esbeltez relativo global
em relação ao eixo de menor inércia de 1.27.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 53
A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente
deformada do perfil são mostradas na Figura 3.7.
Figura 3.7. Perfil Longo – Malha de Elementos Finitos, Condições deContorno, Solicitação e Deformada de Flambagem por Flexão
O esforço crítico elástico de flambagem, obtido com a fórmula de Euler (2.4),vale Ncr = 567.3 kN.
A flambagem por flexão é um modo de instabilidade com comportamento
pós–crítico instável e, portanto, não apresenta resistência pós–crítica. Desta
maneira, o perfil com deformações iniciais quase nulas deverá flambar sob acarga crítica de Euler. No modelo foi obtida a carga última Nu = 549.1 kN, que
corresponde a 97% da carga crítica de Euler. A pequena erosão observada é
devida ao fato de que as deformações iniciais não são exatamente nulas.
Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.8, onde se vê os
gráficos δ−P das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e
com deformações iniciais consideráveis.
Figura 3.8. Gráficos δ−P dos Perfis longos (flambagem por flexão) –1. Perfil com deformações iniciais quase nulas. 2. Perfil com
deformações iniciais consideráveis
Capítulo 3 - Modelo Numérico 54
Como mostra a Figura 3.8, também no caso do perfil com deformações
iniciais consideráveis se percebe uma perda de rigidez correspondente àerosão primitiva da carga crítica. A carga última obtida foi Nu = 447.5 kN, que
corresponde a 78.9% da carga crítica de Euler.
Caso 4: Perfil intermediário sujeito à interação flambagem global por flexão –
flambagem local da alma
• Perfil I 150x75x3x1.5 (comprimento = 2120 mm, altura = 150 mm, largura
das mesas = 75 mm, espessuras das mesas = 3 mm e da alma = 1.5 mm)
• Limite de escoamento do material: MPaf y 250=
• Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia:
mmxLi3108267.2750000 −==δ (deformações iniciais quase nulas) e
mmLi 12.21000 ==δ (deformações iniciais consideráveis), onde L é o
comprimento do perfil.
A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente
deformada do perfil são mostradas na Figura 3.9.
Figura 3.9. Perfil Intermediário – Malha de Elementos Finitos, Condiçõesde Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Global –
Flambagem Local na Alma
Na Figura 3.9, nota-se, na peça deformada, que há tanto a deformação
relativa à flambagem global como a relativa à flambagem local da alma.
O esforço crítico elástico de flambagem, obtido com a fórmula de Euler (2.4),vale Ncr,Euler = 94.98 kN e o esforço crítico elástico de flambagem local, obtido
com base na fórmula de Bryan (2.31), vale Ncr,Bryan = 91.31 kN. Estes valores
Capítulo 3 - Modelo Numérico 55
são suficientemente próximos para produzir interação flambagem global –
flambagem local.
Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.10, onde se vê
os gráficos δ−P das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e
com deformações iniciais consideráveis.
Para o perfil intermediário com as deformações iniciais quase nulas, foi obtidoa carga última Nu = 91.0 kN, que correspondente a 96% da carga crítica de
Euler. Para o perfil com deformações consideráveis, a carga última obtida foiNu = 75 kN, que corresponde a 79% da carga de Euler.
Figura 3.10. Gráficos δ−P dos perfis intermediários (flambagem global –flambagem local na alma) – 1. Perfil com deformações iniciais quase
nulas. 2. Perfil com deformações iniciais consideráveis
Caso 5: Perfil intermediário sujeito à interação flambagem global – flambagem
local nas mesas.
• Perfil I 240x240x3x9.5 (comprimento = 4975 mm, altura = largura das
mesas = 240 mm, espessuras das mesas = 3 mm e da alma = 9.5 mm)
• Limite de escoamento do material: MPaf y 250=
• Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia:
mmxLi31088.21730000 −==δ (deformações iniciais quase nulas) e
mmLi 975.41000 ==δ (deformações iniciais consideráveis), onde L é o
comprimento do perfil.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 56
• Área de 36.6 cm² e índice de esbeltez relativo global em relação ao eixo de
menor inércia de 1.27 e o índice de esbeltez relativo das mesas igual a
1.24.
A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente
deformada do perfil são mostradas na Figura 3.11.
Figura 3.11. Perfil Intermediário – Malha de Elementos Finitos, Condiçõesde Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Global –
Flambagem Local nas Mesas
O esforço crítico elástico de flambagem, obtido a fórmula de Euler (2.4), vale
kNN Eulercr 566, = e o esforço crítico elástico de flambagem local, obtido com
base na fórmula de Bryan (2.31), vale kNN Bryancr 598, = . Estes valores são
suficientemente próximos para produzir interação flambagem global –
flambagem local.
As dimensões destes perfis foram escolhidas com o objetivo de se ter os
valores dos índices de esbeltez suficientemente próximos aos do perfil longo
(caso 3). Desta maneira, pode-se comparar os resultados obtidos nos
modelos, tendo em vista a influência da interação flambagem global –
flambagem local na erosão da carga crítica (erosão derivada). Se não há
influência da interação na erosão, são iguais (ou quase iguais) as resistências
relativas de ambos perfis, quando estão sujeitos a deformações iniciais
consideráveis.
Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.12, onde se vê
os gráficos δ−P das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e
com deformações iniciais consideráveis.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 57
Figura 3.12. Gráficos δ−P dos Perfis intermediários (flambagem global –flambagem local nas mesas) – 1. Perfil com deformações iniciais quase
nulas 2. Perfil com deformações iniciais consideráveis
Para o perfil intermediário com deformações iniciais quase nulas, foi obtido a
carga última kNNu 1.539= , correspondente a 95% da carga crítica de Euler.
Para o perfil com deformações consideráveis, a carga última obtida foi
kNNu 342= , que corresponde a 60% da carga de Euler.
Comparando estes resultados com os resultados obtidos para o perfil longo,
pode-se perceber a influência da interação na erosão. A diferença entre as
cargas críticas de Euler é aproximadamente nula entre os dois perfis
enquanto a diferença entre as cargas últimas, nos perfis com deformaçõesiniciais consideráveis, é de 105.5 kN (18.6% em relação a carga crítica de
Euler). Esta diferença cresce se crescem as imperfeições iniciais.
Caso 6: Perfil curto sujeito à interação flambagem local na alma – flambagem
local nas mesas.
• Perfil I 240x240x2.65x2.47 (Comprimento = 341 mm, altura = largura das
mesas = 240 mm, espessuras das mesas = 2.65 mm e da alma = 2.47 mm)
• Limite de escoamento do material: MPaf y 250=
• Deformações iniciais máximas, normais ao plano das chapas
componentes: mmi 0024.0=δ (deformações iniciais quase nulas) e
mmi 24.0=δ (deformações iniciais consideráveis).
• O índice de esbeltez da alma é 95 (como no caso 1) e o das mesas iguala 44.58 (como no caso 2). Considerando kalma = 6.37 e kmesa = 1.41 tem-se
Capítulo 3 - Modelo Numérico 58
22mesa
mesa
alma
alma kkλλ
≅ , o que remete, praticamente, a uma mesma tensão crítica,
tanto da alma quanto da mesa.
A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente
deformada do perfil são mostradas na Figura 3.13.
Figura 3.13. Perfil Curto – Malha de Elementos Finitos, Condições deContorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Local na Alma –
Flambagem Local nas Mesas
O esforço crítico elástico de flambagem, obtido com base na fórmula de
Bryan (2.31), vale kNN Bryancr 05.242, = para alma e kNN Bryancr 91.235, = para
mesa. Estes valores são suficientemente próximos para produzir interação
flambagem local da alma – flambagem local das mesas.
As dimensões destes perfis foram escolhidas com o objetivo de se ter os
valores dos índices de esbeltez suficientemente próximos aos dos perfis
curtos (casos 1 e 2). Desta maneira, pode-se comparar os resultados obtidos
no modelo, tendo em vista a influência da interação flambagem local da alma
– flambagem local nas mesas na erosão da carga crítica (erosão derivada).
Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.14, onde se vê
os gráficos δ−P das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e
com deformações iniciais consideráveis.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 59
Figura 3.14. Gráficos δ−P dos Perfis Curtos (flambagem local na alma –flambagem local nas mesas) – 1. Perfil com deformações iniciais quase
nulas 2. Perfil com deformações iniciais consideráveis
Para o perfil curto com deformações iniciais quase nulas, foi obtida a carga
crítica de bifurcação do equilíbrio de kNNcr 88.113= , correspondente a 48%
da carga crítica obtida com base na fórmula de Bryan (2.31) nas mesas.
Comparando estes resultados com os resultados obtidos para os perfis curtos
nos casos 1 e 2, se pode perceber a influência da interação na erosão. Este
tipo de interação é classificada como interação inata, pois, não depende das
imperfeições iniciais.
Caso 7: Perfil intermediário sujeito à interação flambagem global – flambagem
local na alma – flambagem local nas mesas.
• Perfil I 240x240x2.65x2.473 (Comprimento = 1056.56 mm, altura = largura
das mesas = 240 mm, espessuras das mesas = 2.65 mm e da alma de
2.473 mm)
• Limite de escoamento do material: MPaf y 250=
• Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia:
mmLi 00141.0750000 ==δ (deformações iniciais quase nulas) e
mmLi 056.11000 ==δ (deformações iniciais consideráveis).
• O índice de esbeltez na alma é 95 (como no caso 1) e o das mesas igual a
44.58 (como no caso 2), de tal sorte que 22mesa
mesa
alma
alma kkλλ
≅ .
Capítulo 3 - Modelo Numérico 60
A malha utilizada, as condições de apoio, a solicitação e a conseqüente
deformada do perfil são mostradas na Figura 3.15.
Figura 3.15. Perfil Intermediário – Malha de Elementos Finitos, Condiçõesde Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Local na Alma –
Flambagem Local nas Mesas – Flambagem Global
O esforço crítico elástico de flambagem, obtido com a fórmula de Euler (2.4),
vale kNN Eulercr 67.110, = e o esforço crítico elástico, obtido com base na
fórmula de Bryan (2.31), vale kNN Bryancr 8.107, = , tanto para a alma quanto
para a mesa.
Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.16, onde se vê
os gráficos δ−P das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e
com deformações iniciais consideráveis. Para o perfil intermediário com
deformações iniciais quase nulas, foi obtida a carga última de kNNcr 24.106= ,
correspondente a 96% da carga crítica de Euler. Já para o perfil com
deformações consideráveis foi obtida uma carga última de kNNcr 62.78= , que
corresponde a 71% da carga crítica de Euler.
Figura 3.16. Gráficos δ−P dos Perfis Intermediários (flambagem global –flambagem local na alma – flambagem local nas mesas) – 1. Perfil com
deformações iniciais quase nulas 2. Perfil com deformações iniciaisconsideráveis
Capítulo 3 - Modelo Numérico 61
3.4 Escolha do Material
Por razões históricas, praticamente todas as equações e curvas λχ −
utilizadas para o dimensionamento de estruturas metálicas em normas se
baseiam em diagramas idealizados εσ − correspondentes a aços carbono, ou
seja, com comportamento elasto–plástico, como mostra a Figura 3.17.
Figura 3.17. Curva εσ − de aços carbono
Isto se justifica ante ao uso quase único deste tipo de aço como elemento
estrutural nas estruturas metálicas. Atualmente, o crescimento do uso de
outros materiais aponta uma necessidade de se considerar comportamento
não linear de outros aços e ligas.
Além disso, os elementos de aço carbono com tensões residuais também
apresentam comportamento não linear. A relação σ - ε destes materiais pode
ser representada, como dito anteriormente, pela equação (2.1) de Ramberg –
Osgood.
Neste estudo, foi considerado um aço carbono, com limite de escoamento de250 MPa e módulo de elasticidade longitudinal igual a 205 GPa, com
imperfeições físicas representadas por meio dessa equação.
Segundo Landolfo (Landolfo, 2000) o parâmetro n da equação (2.1) pode ser
assumido variando de 8 a 15 para aços comuns não tratados termicamente e
de 20 a 40 para aços comuns tratados termicamente. Para aços inoxidáveis, n
vária tipicamente entre 3 e 10.
σ
yf
ε
Capítulo 3 - Modelo Numérico 62
Foram estudados diversos casos de perfis longos com diferentes parâmetros
n (variando de 8 a 15) e fε0 comparando os esforços últimos obtidos no modelo
numérico com o esforço último obtido com base na fórmula de Engesser (2.6).
Nos perfis estudados foi introduzida uma imperfeição geométrica quase nula.
O material base escolhido tem como parâmetros: MPaf y 250= , MPaf 2300
=ε
e n = 12.
Alguns casos estudados
Caso 1: Perfil longo sujeito à flambagem por flexão
• Perfil I 200x100x6x5 (comprimento = 1957 mm, altura = 200 mm, largura de
mesas = 100 mm, espessuras das mesas = 6 mm e da alma = 5 mm)
• Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia:
mmLi 00261.0750000 ==δ (quase nulas), onde L é o comprimento do
perfil.
A curva σ - ε do material é mostrada na Figura 3.18, em azul, o material
bilinear e em vermelho, o material com imperfeições físicas.
Figura 3.18. Curva σ - ε do aço carbono com MPaf 2300
=ε e n = 12
Capítulo 3 - Modelo Numérico 63
O esforço crítico de flambagem, obtido com base na fórmula de Engesser(2.6) vale Ncr = 365.2 kN. No modelo com imperfeições físicas e da
geométricas (quase nulas), foi obtida a carga última Nu = 362.7 kN, que
corresponde a 99.32% da carga obtida com a fórmula de Engesser.
A pequena erosão é devida ao fato de que as imperfeições geométricas não
são exatamente nulas.
Caso 2: Perfil longo sujeito à flambagem por flexão
• Perfil I 200x100x6x5 (comprimento = 1957 mm, altura = 200 mm, largura de
mesas = 100 mm, espessuras das mesas = 6 mm e da alma = 5 mm)
• Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia:
mmLi 957.11000 ==δ , onde L é o comprimento do perfil.
O esforço crítico de flambagem, obtido no modelo considerando apenas
imperfeições geométricas ( mmLi 957.11000 ==δ ), vale Ncr = 354.9 kN.
Com base na norma NBR 8800/86 para o perfil descrito acima tem-se umaresistência à carga de compressão de Nn = 290.8 kN.
No modelo com imperfeições físicas e geométricas, foi obtido a carga últimaNu = 303.8 kN, que corresponde a 1.0447 vezes a carga obtida na norma NBR
8800/86.
Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.19, onde se vê
os gráficos δ−P das duas situações: sem imperfeições físicas e com
imperfeições físicas.
Como mostra a Figura 3.19, no caso do perfil com imperfeições físicas se
percebe uma perda de rigidez maior que no perfil sem imperfeições físicas.
Capítulo 3 - Modelo Numérico 64
Figura 3.19. Gráficos δ−P dos Perfis Longos (flambagem global) – 1.Perfil com imperfeições físicas 2. Perfil sem imperfeições físicas
Baseado neste estudo, foram escolhidas as características do aço carbono aser introduzido nos perfis. Tal aço possui o limite de escoamento de 250 MPa,
módulo de elasticidade longitudinal inicial de 205 GPa, MPaf 2300
=ε , n = 12 e
coeficiente de Poisson ν = 0.3.
Capítulo 4 Perfis Longos
O objetivo desta etapa é analisar perfis de seção I duplamente simétricos,
submetidos à compressão centrada, com base no modelo numérico desenvolvido
nas etapas anteriores.
Para se ter uma noção de quão intensa é a erosão em um perfil, antes, é
necessário saber qual a carga relativa (χ) sem interação alguma entre modos de
flambagem.
De acordo com que foi dito, foi estudado o comportamento de uma série de perfis
longos comprimidos.
Flambagem Global
• Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento
MPaf y 250= , MPaf 2300
=ε e n = 12.
• Módulo de elasticidade inicial MPaE 2050000 = .
• Máximo deslocamento segundo o eixo de menor inércia 1000/Li =δ .
• Altura dos perfis 21 cm, largura das mesas 15 cm, espessura das mesas 0.9 cm
e espessura das almas 0.5 cm.
A seguir, na Tabela 4.1, os comprimentos e índices de esbeltez relativos dos
perfis juntamente com os resultados:
Tabela 4.1 – Comprimentos, carga última relativa e índices de esbeltez relativosdos perfis longos
Perfil L (cm) λ χχχχ
1 42.12 0.13 0.992022 61.84 0.18 0.972283 82.73 0.25 0.943314 104.84 0.31 0.91525 128.54 0.38 0.878876 133.86 0.40 0.87127 134.33 0.4014 0.86848 135.7 0.4055 0.8689 155.05 0.46 0.84398
Capítulo 4 - Perfis Longos 66
10 200.79 0.6 0.7762411 201.49 0.6021 0.77412 203.59 0.6083 0.775513 267.72 0.80 0.6910214 268.6488 0.802787 0.6910115 271.4036 0.811019 0.69116 330.6351 0.988017 0.5938517 334.65 1.00 0.5938418 345.7522 1.033190 0.593819 393.9489 1.177214 0.5148120 401.57 1.20 0.4968421 409.1326 1.222586 0.493222 465.0018 1.389537 0.4108523 466.9386 1.395325 0.40624 468.50 1.40 0.400625 525.6352 1.570724 0.33726 533.6089 1.594551 0.3300127 535.43 1.60 0.3251128 602.36 1.80 0.2656129 604.6051 1.806705 0.265630 607.1532 1.814319 0.26559
Na figura 4.1, onde são representadas as curvas λχ − (carga última relativa –
esbeltez relativa), em azul estão os pontos relativos à Tabela 4.1 e em vermelho
os relativos à regressão segundo a equação (3.3) cujos parâmetros α, β e rλ
regredidos são 111.39, 6.829, 0.613, respectivamente, e o erro dessa regressão é
de 1.4% ( ( )( )∑=
−=N
nnnErro
1
2χλχ , N = 30).
Figura 4.1. Curva de Flambagem de Perfis Tipo I com ImperfeiçõesIniciais
χ
gλ
Capítulo 4 - Perfis Longos 67
As cargas últimas relativas e as esbeltezes relativas são obtidas mediante as
expressões (2.7) e (2.8), onde eσ é a tensão crítica de Euler (2.4).
Deste estudo se conclui que a curva λχ − obtida tem aspecto similar ao das
curvas de flambagem do SSRC e do ECCS.
Considerando apenas os perfis cujos índices de esbeltez relativos são 0.4, 0.6,
0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6 e 1.8 (para comparação posterior) tem-se para α, β, rλ e para
o erro os seguintes valores, respectivamente, 266.732, 7.342, 0.789 e 0.1266%.
Considerando agora os perfis cujos índices de esbeltez relativos são 0.8, 1.0, 1.2,
1.4, 1.6 e 1.8 e fazendo-se a regressão para obtenção do parâmetro α da NBR
8800/86, obtém-se um valor igual a 0.258 ( ( )∑=
−×=∆−=N
iiiXErro
1
42 10268.4 , N =
6), valor este situado entre a curva a que corresponde a α = 0.158 e a curva b
que corresponde a α = 0.281. Fazendo o mesmo em relação ao Eurocódigo 3
tem-se um α regredido igual a 0.34, exatamente o valor usado pela mesma
norma para curva b.
Capítulo 5 Perfis Curtos
Atualmente, as normas utilizam o conceito de largura efetiva para calcular a
resistência de pilares metálicos sujeitos à flambagem local e à interação
flambagem global – flambagem local. O presente estudo desenvolvido tem o
objetivo de propor um procedimento alternativo de cálculo da resistência de
pilares curtos comprimidos sujeitos à flambagem local.
O procedimento baseado no conceito de largura efetiva não considera de forma
precisa a interação entre as chapas componentes do perfil.
Um tubo metálico comprimido, de seção retangular ou quadrada, submetido a
flambagem local apresenta duas chapas fletidas de forma côncava e as outras
duas fletidas de forma convexa. O primeiro grupo apresenta distribuição de
tensões distinta da que apresenta o segundo grupo. Este fenômeno não é
considerado nas expressões utilizadas na determinação da largura efetiva.
A Figura 5.1 mostra a distribuição de tensões, em colapso, de um tubo de seção
quadrada constituído de material não linear.
Figura 5.1. Tubo Curto – Distribuição de Tensões no Estado Limite Último – 1.Tensões na direção da aplicação da carga [kN/cm²] 2. Tensão equivalente de
von Mises [kN/cm²]
Capítulo 5 - Perfis Curtos 69
Na fase pós–crítica aparecem tensões na direção normal à direção da carga de
compressão. Por outro lado, com imperfeições iniciais, estas tensões existem sob
qualquer solicitação. Portanto, para o cálculo da resistência destes perfis, é mais
correto utilizar o critério de plastificação de von Mises que utilizar somente a
componente de tensão medida na direção da carga de compressão, como se faz
no conceito da largura efetiva.
Com base nestas observações, foi estudado o comportamento de uma série de
perfis curtos comprimidos, cujos comprimentos são de um módulo.
5.1 Flambagem na alma
• Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento
MPaf y 250= , MPaf 2300
=ε e n = 12.
• Módulo de elasticidade inicial MPaE 2050000 = .
• Máximo deslocamento normal ao plano da chapa 200/hi =δ .
• Altura dos perfis 40 cm, largura das mesas 20 cm, espessura das mesas 1.1
cm.
• Índice de esbeltez relativo das mesas menor que 0.3.
A seguir, na Tabela 5.1, as demais características dos perfis:
Tabela 5.1 – Espessura da alma e comprimento dos perfis curtos sujeitos aflambagem na alma
Perfil tw (cm) L (cm)1 0.76 19.62 0.72 20.33 0.68 21.04 0.64 21.75 0.60 22.46 0.56 23.07 0.52 23.78 0.48 24.49 0.44 25.010 0.40 25.711 0.36 26.312 0.32 27.013 0.28 27.6
Capítulo 5 - Perfis Curtos 70
Os resultados desta análise são mostrados na Tabela 5.2. As cargas últimas
relativas e as esbeltezes relativas são obtidas mediante as expressões (2.7) e
(2.8), onde eσ é a tensão crítica de Bryan (2.31) para a alma.
Tabela 5.2 – Carga última relativa e índice de esbeltez relativo para perfis curtossujeitos à flambagem na alma referidos na Tabela 5.1
Perfil Bryan (kN) ka aλ χχχχ
1 3755.5773 6.89 0.70 0.7222 3228.2893 6.74 0.74 0.7063 2768.0692 6.62 0.79 0.7054 2364.9379 6.53 0.85 0.6885 2010.7838 6.46 0.91 0.6726 1702.2359 6.42 0.98 0.6567 1426.4028 6.39 1.06 0.6458 1183.5567 6.37 1.15 0.6239 970.75165 6.38 1.25 0.61810 783.36055 6.39 1.37 0.60911 620.23916 6.41 1.52 0.59512 479.27109 6.43 1.71 0.57513 358.85514 6.47 1.95 0.544
Desse estudo foi feito uma regressão polinomial na qual pode-se ter umaaproximação do fator k de flambagem local em função do índice de esbeltez da
alma (λa = h/tw). O polinômio regredido segundo os dados da Tabela 5.2 é
ka(λa) = 1.011×10-7λa4-4.145×10-5λa
3+6.279×10-3λa2-0.415λa+16.462 (5.1)
para um erro de 0.597% ( ∑=
−=
N
i real
regredidoreal
kkk
NE
1
1 , N = 13).
Ao se fazer a regressão segundo a equação (3.3) dos parâmetros α, β e rλ tem-
se 0.065, 4.145, -33.311, respectivamente, par um erro de 0.05%
( ( )( )∑=
−=N
nnnErro
1
2χλχ , N = 13), sendo aλ o termo independente da equação
(3.3).
A partir do estudo do parâmetro de flambagem local k foram estudados mais seis
perfis cujos índices de esbeltez variam aproximadamente de 0.8 a 1.8 com
incremento de 0.2, com as mesmas características gerais dos perfis estudados
Capítulo 5 - Perfis Curtos 71
anteriormente. A seguir, na Tabela 5.3, são apresentadas as demais
características dos perfis:
Tabela 5.3 – Espessura da alma e comprimento dos perfis curtos sujeitos àflambagem na alma cujos índices de esbeltez relativos da alma estão entre 0.8 e1.8
Perfil tw (cm) L (cm)1 0.3044 27.2462 0.3425 26.6333 0.3919 25.8304 0.4584 24.7345 0.5489 23.2196 0.6742 21.083
Os resultados desta análises são mostrados na Tabela 5.4:
Tabela 5.4 – Carga última relativa e índice de esbeltez relativo para perfis curtossujeitos à flambagem na alma referidos na Tabela 5.3
Perfil Bryan (kN) Ka aλ χχχχ
1 2707.9253 6.6118 0.8009 0.686872 1621.4352 6.4097 0.9992 0.636773 1065.2269 6.3746 1.1997 0.618884 748.46505 6.3899 1.4016 0.606525 555.92748 6.4177 1.6003 0.582936 429.94402 6.4466 1.7965 0.56331
5.2 Flambagem nas mesas
• Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento
MPaf y 250= , MPaf 2300
=ε e n = 12.
• Módulo de elasticidade inicial MPaE 2050000 = .
• Máximo deslocamento normal ao plano da chapa 200/bfi =δ .
• Altura dos perfis 20 cm, largura das mesas 20 cm, espessura das almas 0.8 cm.
• Índice de esbeltez relativo da alma menor que 0.3.
A seguir, na Tabela 5.5, as demais características dos perfis:
Capítulo 5 - Perfis Curtos 72
Tabela 5.5 – Espessura das mesas e comprimento dos perfis curtos sujeitos àflambagem nas mesas
Perfil tf (cm) L (cm)1 0.90 24.592 0.80 23.773 0.70 22.874 0.60 21.895 0.50 20.786 0.40 19.517 0.385 19.338 0.30 18.019 0.257 17.2710 0.221 16.5911 0.193 16.0112 0.172 15.56
Os resultados desta análise são mostrados na Tabela 5.6.
Tabela 5.6 – Carga última relativa e índice de esbeltez relativo para perfis curtossujeitos à flambagem nas mesas
Perfil Bryan (kN) km mλ χχχχ
1 5223.9715 0.69 0.49 0.9732 4105.6532 0.74 0.53 0.9533 3173.4706 0.82 0.58 0.9144 2394.3718 0.92 0.64 0.8825 1726.4883 1.06 0.71 0.8316 1131.4531 1.22 0.83 0.7517 1048.0701 1.24 0.86 0.7328 618.12180 1.35 1.05 0.6049 438.35739 1.38 1.22 0.52110 312.21568 1.41 1.40 0.45211 230.27398 1.43 1.59 0.40412 178.064756 1.44 1.80 0.363
Também nesse estudo foi feita uma regressão polinomial na qual pode-se teruma aproximação do fator k de flambagem local em função do índice de esbeltez
da mesa (λm = bf/2tf). O polinômio regredido segundo os dados da Tabela 5.4 é
km(λm) = 1.628×10-5λm3-2.294×10-3λm
2+0.109λm-0.33 (5.2)
para um erro de 1.316% ( ∑=
−=
N
i real
regredidoreal
kkk
NE
1
1 , N = 12).
Ao se fazer a regressão segundo a equação (3.3) dos parâmetros α, β e rλ tem-
se 100.108, 6.711, 0.482, respectivamente, par um erro de 0.14%
Capítulo 5 - Perfis Curtos 73
( ( )( )∑=
−=N
nnnErro
1
2χλχ , N = 12), sendo mλ o termo independente da equação
(3.3).
Da mesma forma feita no item anterior foram estudados mais seis perfis cujosíndices de esbeltez variam aproximadamente de 0.8 a 1.8 com incremento de 0.2,
com as mesmas características gerais dos perfis estudados acima.
A seguir, na Tabela 5.7, as demais características dos perfis:
Tabela 5.7 – Espessura das mesas e comprimento dos perfis curtos sujeitos àflambagem nas mesas cujos índices de esbeltez relativos das mesas estão entre0.8 e 1.8
Perfil tf (cm) L (cm)1 0.4226 19.8182 0.3178 18.3003 0.2593 17.3094 0.2206 16.5795 0.1923 16.0006 0.17 15.512
Os resultados desta análise são mostrados na Tabela 5.8.
Tabela 5.8 – Carga última relativa e índice de esbeltez relativo para perfis curtossujeitos à flambagem nas mesas referidos na Tabela 5.7
Perfil Bryan (kN) Km mλ χχχχ
1 1260.28760 1.1818 0.7996 0.779942 700.87190 1.3280 1.0030 0.635313 447.19020 1.3829 1.2046 0.523114 310.93535 1.4092 1.4027 0.450615 228.40212 1.4256 1.5999 0.398396 173.49462 1.4383 1.8017 0.35884
5.3 Interação flambagem na alma e mesa
Foram calculados 36 pilares curtos com índices de esbeltez relativos doscomponentes do perfil variando de 0.8 a 1.8 com incremento de 0.2aproximadamente.
• Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento
MPaf y 250= , MPaf 2300
=ε e n = 12.
Capítulo 5 - Perfis Curtos 74
• Módulo de elasticidade inicial MPaE 2050000 = .
• Máximo deslocamento normal ao plano da chapa 200/bi =δ .
• Altura dos perfis 38 cm, largura das mesas 35 cm.
A seguir, na Tabela 5.9, as demais características dos perfis:
Tabela 5.9 – Espessuras da alma e das mesas e comprimento dos perfis curtossujeitos à interação entre flambagem na alma e nas mesas
Perfil tw (cm) tf (cm) L (cm)1 0.3012 0.2953 52.022 0.3381 0.2953 50.903 0.386 0.2953 49.534 0.4499 0.2953 47.815 0.5357 0.2953 45.696 0.6515 0.2953 43.077 0.3012 0.3365 52.958 0.3381 0.3365 51.869 0.386 0.3365 50.5110 0.4499 0.3365 48.8211 0.5357 0.3365 46.7012 0.6515 0.3365 44.0813 0.3012 0.3862 53.9314 0.3381 0.3862 52.8615 0.386 0.3862 51.5516 0.4499 0.3862 49.8817 0.5357 0.3862 47.7918 0.6515 0.3862 45.1819 0.3012 0.4534 55.0520 0.3381 0.4534 54.0321 0.386 0.4534 52.7522 0.4499 0.4534 51.1323 0.5357 0.4534 49.0824 0.6515 0.4534 46.5025 0.3012 0.5562 56.4626 0.3381 0.5562 55.5027 0.386 0.5562 54.2928 0.4499 0.5562 52.7329 0.5357 0.5562 50.7530 0.6515 0.5562 48.2231 0.3012 0.7396 58.4432 0.3381 0.7396 57.5633 0.386 0.7396 56.4434 0.4499 0.7396 54.9935 0.5357 0.7396 53.1236 0.6515 0.7396 50.71
Capítulo 5 - Perfis Curtos 75
Os resultados são mostrados na Tabela 5.10. As cargas últimas relativas e as
esbeltezes relativas são obtidas mediante as expressões (2.7) e (2.8), onde eσ é
a tensão crítica de Bryan com o valor de k segundo as equações (5.1) e (5.2).
Tabela 5.10 – Carga última relativa e índices de esbeltez relativos para perfiscurtos sujeitos à interação de flambagem na alma e nas mesasPerfil Bryan
alma(F)
Bryanmesa
(F)
Bryan (A) k alma k mesa λ
almaλ
mesa
χχχχ
1 246 246 116.4542 6.4208 1.4614 1.800 1.801 0.343352 324 257 133.7568 6.4200 1.4614 1.604 1.801 0.347273 444 271 159.4425 6.4059 1.4614 1.407 1.801 0.357944 640 289 197.8732 6.3708 1.4614 1.210 1.801 0.372745 988 314 251.9096 6.3903 1.4614 1.015 1.801 0.392196 1667 347 318.1421 6.5867 1.4614 0.822 1.801 0.421447 270 339 150.2894 6.4205 1.4241 1.797 1.601 0.362798 353 353 169.4548 6.4200 1.4241 1.601 1.601 0.369099 482 370 198.3268 6.4055 1.4241 1.404 1.601 0.3777910 692 394 243.1288 6.3704 1.4241 1.207 1.601 0.3893911 1062 425 310.6946 6.3913 1.4241 1.012 1.601 0.4097112 1781 467 402.6787 6.5902 1.4241 0.820 1.601 0.44513 298 488 201.1515 6.4201 1.4136 1.792 1.400 0.3867714 389 505 222.5425 6.4200 1.4136 1.596 1.400 0.3907215 528 528 254.7389 6.4049 1.4136 1.400 1.400 0.3986516 755 558 305.6311 6.3700 1.4136 1.204 1.400 0.4071517 1152 599 386.2427 6.3926 1.4136 1.010 1.400 0.428418 1919 654 506.7731 6.5945 1.4136 0.817 1.400 0.4603519 337 745 289.3657 6.4196 1.3957 1.785 1.200 0.4181120 438 769 314.4110 6.4200 1.3957 1.591 1.200 0.4181121 592 799 351.1692 6.4041 1.3957 1.395 1.200 0.4223322 841 841 409.0837 6.3695 1.3957 1.200 1.200 0.435323 1275 896 503.3081 6.3944 1.3957 1.006 1.200 0.4506524 2109 970 654.9411 6.6003 1.3957 0.814 1.200 0.4791625 397 1251 404.0792 6.4191 1.3357 1.776 1.000 0.5498926 514 1285 504.9346 6.4199 1.3357 1.582 1.000 0.4609127 691 1329 551.2133 6.4028 1.3357 1.387 1.000 0.4636428 975 1388 620.5252 6.3687 1.3357 1.193 1.000 0.4701829 1467 1467 732.0447 6.3974 1.3357 1.000 1.000 0.486630 2405 1574 918.6084 6.6094 1.3357 0.809 1.000 0.5153731 508 2452 533.5783 6.4184 1.1804 1.758 0.800 0.6913532 654 2505 677.6161 6.4197 1.1804 1.566 0.800 0.6903533 873 2573 889.6477 6.4005 1.1804 1.374 0.800 0.6866934 1221 2664 1190.307 6.3675 1.1804 1.182 0.800 0.5617535 1821 2787 1339.471 6.4030 1.1804 0.990 0.800 0.5766736 2952 2952 1577.823 6.6262 1.1804 0.800 0.800 0.61407
Capítulo 5 - Perfis Curtos 76
Na Tabela 5.10, a segunda e a terceira coluna (Bryan (F)) representa o valor da
carga de instabilidade local da chapa calculada segundo a equação de Bryan
(2.31); e a quarta coluna (Bryan (A)) representa a carga de instabilidade local
gerada pela análise do programa (menor autovalor).
Ao se fazer uma regressão polinomial da resistência relativa segundo os índices
de esbeltez relativos dos componentes das seções e considerando-se um
polinômio de duas variáveis ( almaλ e mesaλ ) e de terceiro grau tem-se:
( ) 2232116.0901.0823.2283.2628.0387.0, amammmmamma λλλλλλλλλλλχ −−−+−=
32147.0855.0608.0169.2 aaa λλλ −+−+ (5.3)
Vale notar que há uma erosão inata da carga de instabilidade local. Ao se
comparar as resistências relativas da Tabela 5.10 com as da Tabela 5.3 e as da
Tabela 5.8, pode-se notar a erosão derivada.
Capítulo 6 Perfis Intermediários
No presente capítulo, pretende-se medir quão intensa é a erosão devida à
interação entre dois ou três modos de instabilidade.
6.1 Interação flambagem global e flambagem local na alma
• Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento
MPaf y 250= , MPaf 2300
=ε e n = 12.
• Módulo de elasticidade inicial MPaE 2050000 = .
• Máximo deslocamento segundo o eixo de menor inércia 1000/Li =δ .
• Índice de esbeltez relativo das mesas próximo de 0.3.
A seguir, na Tabela 6.1, as características geométricas dos perfis:
Tabela 6.1 – Características geométricas dos perfis sujeitos à interaçãoflambagem global e flambagem local na alma
Perfil d (cm) bf (cm) tf (cm) tw (cm) L (cm)1 34.48 19 1.1 0.2599 180.75412 34.48 19 1.1 0.2599 271.13123 34.48 19 1.1 0.2599 361.50834 40.902 21.5 1.2 0.31 519.91465 49.366 25.5 1.4 0.375 698.84066 58.114 29.5 1.55 0.443 949.89687 66.491 33.5 1.85 0.5056 1219.37298 76 38 2.2 0.5744 1597.32979 34.774 19 1.1 0.2951 178.592810 34.774 19 1.1 0.2951 267.889211 34.774 19 1.1 0.2951 357.185712 41.205 21.5 1.2 0.3516 513.074813 49.708 25.5 1.4 0.425 689.323314 58.474 29.5 1.55 0.5017 936.238815 67 33.5 1.85 0.5842 1199.321116 76.543 38 2.2 0.6536 1574.909217 35.176 19 1.1 0.3418 175.780018 35.176 19 1.1 0.3418 263.670019 35.176 19 1.1 0.3418 351.560020 41.625 21.5 1.2 0.4066 504.258921 50.187 25.5 1.4 0.4912 677.069722 59 29.5 1.55 0.5815 918.230623 67.541 33.5 1.85 0.6618 1180.247724 77.277 38 2.2 0.7555 1546.693825 35.76 19 1.1 0.407 171.9615
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 78
26 35.76 19 1.1 0.407 257.942227 35.76 19 1.1 0.407 343.923028 42.244 21.5 1.2 0.4832 492.379929 51 25.5 1.4 0.596 658.388930 59.759 29.5 1.55 0.6872 895.361931 68.463 33.5 1.85 0.7855 1150.852032 78.367 38 2.2 0.8971 1508.869433 36.634 19 1.1 0.5 166.705234 36.634 19 1.1 0.5 250.057835 36.634 19 1.1 0.5 333.410536 43 21.5 1.2 0.5713 479.229037 51.994 25.5 1.4 0.7142 638.372538 60.966 29.5 1.55 0.8403 863.906139 69.89 33.5 1.85 0.9612 1111.140040 80.048 38 2.2 1.0986 1457.662141 38 19 1.1 0.6366 159.377742 38 19 1.1 0.6366 239.066643 38 19 1.1 0.6366 318.755444 44.71 21.5 1.2 0.7547 453.460645 53.784 25.5 1.4 0.9094 607.288546 62.969 29.5 1.55 1.0679 820.443347 72.239 33.5 1.85 1.2225 1056.096048 82.793 38 2.2 1.3983 1386.4285
Na Tabela 6.2, os índices de esbeltez relativos dos perfis juntamente com os
resultados:
Tabela 6.2 – Carga última relativa e índices de esbeltez relativos para perfisintermediários sujeitos à interação entre flambagem global e flambagem local naalma
Perfil λ alma λ global χχχχ
1 1.8022 0.4014 0.502792 1.8022 0.6021 0.502793 1.8022 0.8028 0.498964 1.7993 1.0332 0.49825 1.7978 1.1773 0.46986 1.7964 1.3953 0.377227 1.7971 1.5708 0.318178 1.8045 1.8067 0.262589 1.6022 0.4014 0.5469810 1.6022 0.6021 0.5464811 1.6022 0.8028 0.5452112 1.6010 1.0333 0.5385613 1.6007 1.1773 0.4745514 1.6003 1.3953 0.3807415 1.5716 1.5707 0.3161616 1.6008 1.8069 0.2518517 1.4002 0.4014 0.6029118 1.4002 0.6021 0.6048919 1.4002 0.8028 0.6012320 1.4011 1.0333 0.5434621 1.4015 1.1773 0.4767322 1.3976 1.3953 0.37677
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 79
23 1.4019 1.5708 0.3169624 1.4017 1.8069 0.2490225 1.1951 0.4014 0.6905326 1.1951 0.6021 0.683127 1.1951 0.8028 0.66528 1.1983 1.0333 0.5448829 1.1766 1.1772 0.4761830 1.2018 1.3954 0.3794631 1.2007 1.5708 0.3132832 1.2000 1.8069 0.2483933 0.9936 0.4014 0.8016134 0.9936 0.6021 0.7603235 0.9936 0.8028 0.6650136 1.0315 1.0332 0.5440337 1.0014 1.1773 0.4759438 1.0051 1.3953 0.3739139 1.0032 1.5708 0.3119540 1.0017 1.8069 0.2496541 0.8006 0.4014 0.850542 0.8006 0.6021 0.7761643 0.8006 0.8028 0.6683644 0.8053 1.0329 0.5461945 0.8085 1.1772 0.4686746 0.8136 1.3953 0.3717747 0.8112 1.5708 0.3100348 0.8091 1.8069 0.2476
Comparando estes resultados com os da Tabela 4.1 pode-se perceber a erosão.
As cargas últimas relativas e a esbeltez relativas são obtidas mediante as
expressões (2.7) e (2.8), onde eσ é a tensão crítica de Euler (2.4).
Na Figura 6.1, em vermelho estão os pontos relativos à flambagem global (sem
interação), em azul escuro, os pontos relativos aos pilares cujos índices deesbeltez relativos da alma são próximos a 0.8, em verde claro, próximos a 1.0, em
rosa, próximos a 1.2, em azul claro, próximos a 1.4, em verde escuro, próximos a
1.6 e em preto, próximos a 1.8.
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 80
Figura 6.1. Curvas de Flambagem de Perfis Tipo I com ImperfeiçõesIniciais – Interação Flambagem Global – Flambagem Local na Alma
Ao se fazer a regressão destas curvas segundo a equação (3.3) tem-se:
Tabela 6.3 – Regressão dos resultados da Tabela 6.2 segundo a equação (3.3)λ alma αααα ββββ rλ Erro
1.8 116.932 6.774 1.142 0.0052921.6 192.265 7.082 1.08 0.0062911.4 286.831 7.351 1.014 0.0035931.2 420.514 7.626 0.94 0.0018891.0 394.163 7.625 0.84 0.00018890.8 354.321 7.577 0.785 0.0001866
Regredindo os valores de α, β e rλ da Figura 6.3 em função do índice deesbeltez relativo da alma ( aλ ) tem-se:
543214710972412149531698719434746715 aaaaa λλλλλα −+−+−= (6.1)
5432823.21245.144208.373393.470289.288308.76 aaaaa λλλλλβ −+−+−= (6.2)
5432682.2411.18766.49014.66455.42318.11 aaaaar λλλλλλ −+−+−= (6.3)
para um erro praticamente nulo, para qualquer dos parâmetros.
( ∑=
−=
N
i real
regredidoreal
xxx
NE
1
1 , N = 6), onde rxxx λβα === ou ou .
χ
gλ
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 81
6.2 Interação flambagem global e flambagem local nas mesas
• Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento
MPaf y 250= , MPaf 2300
=ε e n = 12.
• Módulo de elasticidade inicial MPaE 2050000 = .
• Máximo deslocamento segundo o eixo de menor inércia 1000/Li =δ .
• Índice de esbeltez relativo da alma próximo de 0.3.
A seguir, na Tabela 6.4, as características geométricas dos perfis:
Tabela 6.4 – Características geométricas dos perfis sujeitos à interaçãoflambagem global e flambagem local nas mesas
Perfil d (cm) bf (cm) tf (cm) tw (cm) L (cm)1 15 15.438 0.1303 0.65 88.60512 15 15.438 0.1303 0.65 132.90763 15 15.438 0.1303 0.65 177.21014 20 20.661 0.1744 0.9 285.90825 25 24.64 0.2079 1.15 404.69816 30 30.682 0.2589 1.36 591.38737 35 35.437 0.2965 1.6 774.15968 36 36 0.3009 1.65 884.80229 15 15.255 0.1467 0.65 90.900010 15 15.255 0.1467 0.65 136.350011 15 15.255 0.1467 0.65 181.800012 20 20.425 0.1964 0.9 293.617213 25 24.31 0.2338 1.15 414.795514 30 30.318 0.2915 1.36 607.115815 35 35 0.3378 1.6 797.055016 36 35.496 0.3414 1.65 908.935117 15 15.098 0.1664 0.65 93.579018 15 15.098 0.1664 0.65 140.368519 15 15.098 0.1664 0.65 187.158020 20 20.226 0.2231 0.9 302.743721 25 24.018 0.265 1.15 426.671122 30 30 0.3335 1.36 626.967623 35 34.63 0.382 1.6 820.359724 36 35.093 0.3872 1.65 935.646825 15 14.966 0.1937 0.65 97.189026 15 14.966 0.1937 0.65 145.783527 15 14.966 0.1937 0.65 194.378028 20 20.066 0.2599 0.9 314.994429 25 25 0.3175 1.15 478.239830 30 29.752 0.3854 1.36 650.689831 35 34.314 0.4445 1.6 852.647432 36 34.74 0.45 1.65 971.360633 15 14.893 0.235 0.65 102.465134 15 14.893 0.235 0.65 153.697635 15 14.893 0.235 0.65 204.9302
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 82
36 20 20 0.3224 0.9 335.156437 25 23.564 0.373 1.15 466.074938 30 29.622 0.4707 1.36 688.687239 35 34.131 0.5424 1.6 901.736940 36 34.505 0.5483 1.65 1025.657141 15 15 0.311 0.65 111.755542 15 15 0.311 0.65 167.633343 15 15 0.311 0.65 223.511044 20 20.224 0.4271 0.9 367.539145 25 23.626 0.4992 1.15 509.925646 30 29.906 0.6319 1.36 757.642047 35 34.402 0.7269 1.6 990.750548 36 34.685 0.7329 1.65 1123.7967
Na Tabela 6.5, os índices de esbeltez relativos dos perfis com os resultados:
Tabela 6.5 – Carga última relativa e índices de esbeltez relativos para perfisintermediários sujeitos à interação entre flambagem global e flambagem local nasmesasNúmero do Perfil λ mesa λ global χχχχ
1 1.7980 0.4055 0.3922 1.7980 0.6083 0.3923 1.7980 0.8111 0.377484 1.7865 0.9880 0.304615 1.7825 1.2226 0.282156 1.7851 1.3898 0.24077 1.7971 1.5962 0.224638 1.7987 1.8143 0.194319 1.5887 0.4055 0.3910510 1.5887 0.6083 0.3920411 1.5887 0.8110 0.4022712 1.5806 0.9880 0.3603913 1.5762 1.2226 0.292514 1.5792 1.3898 0.2781115 1.5717 1.5946 0.2449716 1.5766 1.8146 0.2318517 1.3957 0.4055 0.5227218 1.3957 0.6083 0.5174919 1.3957 0.8111 0.4573720 1.3888 0.9880 0.3808221 1.3844 1.2226 0.346122 1.3772 1.3895 0.3360223 1.3857 1.5949 0.2918824 1.3850 1.8146 0.2356325 1.1992 0.4055 0.658326 1.1992 0.6083 0.5727227 1.1992 0.8111 0.5413528 1.1942 0.9881 0.5135229 1.2131 1.2226 0.4347930 1.1926 1.3898 0.3611531 1.1911 1.5949 0.291432 1.1904 1.8146 0.2353633 0.9991 0.4055 0.7350834 0.9991 0.6083 0.69862
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 83
35 0.9991 0.8111 0.6566736 0.9765 0.9880 0.5642937 0.9861 1.2226 0.4371638 0.9873 1.3898 0.3655839 0.9854 1.5949 0.29740 0.9840 1.8146 0.2395641 0.7943 0.4055 0.8445242 0.7943 0.6083 0.7761643 0.7943 0.8110 0.6633844 0.7777 0.9881 0.5624345 0.7648 1.2226 0.4411146 0.7741 1.3898 0.3703247 0.7708 1.5949 0.2986748 0.7677 1.8146 0.24057
Na Figura 6.2, são representadas as curvas λχ − (carga última relativa –
esbeltez relativa).
As cargas últimas relativas e as esbeltezes relativas são obtidas mediante as
expressões (2.7) e (2.8), onde eσ é a tensão crítica de Euler (2.4).
Ao se fazer a regressão destas curvas segundo a equação (3.3) tem-se:
Tabela 6.6 – Regressão dos resultados da Tabela 6.5 segundo a equação (3.3)λ mesa αααα ββββ rλ Erro
1.8 67.429 6.732 0.987 0.00093231.6 62.984 6.594 1.104 0.0011211.4 53.004 6.478 0.882 0.0017481.2 124.31 6.914 0.877 0.004371.0 430.316 7.681 0.891 0.0015540.8 399.614 7.666 0.792 0.0000466
Na Figura 6.2, em vermelho estão os pontos relativos à flambagem global (sem
interação), em azul escuro, os pontos relativos aos pilares cujos índices deesbeltez relativos da alma são próximos a 0.8, em verde claro, próximo a 1.0, em
rosa, próximo a 1.2, em azul claro, próximo a 1.4, em verde escuro, próximo a 1.6
e em preto, próximo a 1.8.
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 84
Figura 6.2. Curvas de Flambagem de Perfis Tipo I com ImperfeiçõesIniciais – Interação Flambagem Global – Flambagem Local nas Mesas
Regredindo os valores de α, β e rλ da Tabela 6.6 em função do índice deesbeltez relativo da alma ( aλ ) tem-se:
54322061014253438761651636933531484206 mmmmm λλλλλα +−+−+−= (6.4)
5432672.326.45536.177465.306788.23959.61 mmmmm λλλλλβ +−+−+−= (6.5)
5432354.21844.129042.308269.356682.200856.44 mmmmmr λλλλλλ −+−+−= (6.6)
para um erro praticamente nulo, para qualquer dos parâmetros.
( ∑=
−=
N
i real
regredidoreal
xxx
NE
1
1 , N = 6), onde rxxx λβα === ou ou .
6.3 Interação flambagem global e flambagem local na alma e nas mesas
• Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento
MPaf y 250= , MPaf 2300
=ε e n = 12.
• Módulo de elasticidade inicial MPaE 2050000 = .
• Máximo deslocamento segundo o eixo de menor inércia 1000/Li =δ .
• Altura do perfil igual a d = 38 cm.
χ
gλ
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 85
• Largura da mesa do perfil igual a bf = 35 cm.
A seguir, na Tabela 6.7, são apresentadas as características geométricas dos
perfis e os índices de esbeltez relativos dos perfis, juntamente com os resultados:
Tabela 6.7 – Características geométricas, índices de esbeltez relativos eresistência última relativa dos perfis sujeitos à interação flambagem global eflambagem local na alma e nas mesas
Perfil tf (cm) tw (cm) L (cm) λ alma λ mesa λ global χχχχ
1 0.7396 0.3012 330.19 1.7580 0.8000 0.4000 0.62372 0.7396 0.3012 495.28 1.7580 0.8000 0.6000 0.629563 0.7396 0.3012 660.35 1.7580 0.8000 0.8000 0.61314 0.7396 0.3012 816.93 1.7580 0.8000 0.9896 0.57635 0.7396 0.3012 975.43 1.7580 0.8000 1.1817 0.493876 0.7396 0.3012 1133.97 1.7580 0.8000 1.3737 0.409867 0.7396 0.3012 1292.69 1.7580 0.8000 1.5660 0.3378 0.7396 0.3012 1451.20 1.7580 0.8000 1.7580 0.2769 0.7396 0.3381 326.70 1.5660 0.8000 0.4000 0.6306310 0.7396 0.3381 490.05 1.5660 0.8000 0.6000 0.6368111 0.7396 0.3381 653.38 1.5660 0.8000 0.8000 0.6079212 0.7396 0.3381 808.30 1.5660 0.8000 0.9896 0.5820213 0.7396 0.3381 965.13 1.5660 0.8000 1.1817 0.4990614 0.7396 0.3381 1122.00 1.5660 0.8000 1.3737 0.4108515 0.7396 0.3381 1279.03 1.5660 0.8000 1.5660 0.3366316 0.7396 0.3381 1435.88 1.5660 0.8000 1.7580 0.2742317 0.7396 0.386 322.34 1.3737 0.8000 0.4000 0.63718 0.7396 0.386 483.50 1.3737 0.8000 0.6000 0.63719 0.7396 0.386 644.65 1.3737 0.8000 0.8000 0.6267320 0.7396 0.386 797.50 1.3737 0.8000 0.9896 0.5820221 0.7396 0.386 952.23 1.3737 0.8000 1.1817 0.5148122 0.7396 0.386 1107.01 1.3737 0.8000 1.3737 0.4098823 0.7396 0.386 1261.94 1.3737 0.8000 1.5660 0.3331724 0.7396 0.386 1416.69 1.3737 0.8000 1.7580 0.27525 0.7396 0.4499 316.78 1.1817 0.8000 0.4000 0.6459826 0.7396 0.4499 475.16 1.1817 0.8000 0.6000 0.6459827 0.7396 0.4499 633.53 1.1817 0.8000 0.8000 0.6459728 0.7396 0.4499 783.74 1.1817 0.8000 0.9896 0.587929 0.7396 0.4499 935.80 1.1817 0.8000 1.1817 0.4994730 0.7396 0.4499 1087.91 1.1817 0.8000 1.3737 0.4098631 0.7396 0.4499 1240.18 1.1817 0.8000 1.5660 0.3329732 0.7396 0.4499 1392.25 1.1817 0.8000 1.7580 0.2749733 0.7396 0.5357 309.75 0.9896 0.8000 0.4000 0.6756834 0.7396 0.5357 464.62 0.9896 0.8000 0.6000 0.6688535 0.7396 0.5357 619.47 0.9896 0.8000 0.8000 0.6583636 0.7396 0.5357 766.35 0.9896 0.8000 0.9896 0.5938437 0.7396 0.5357 915.04 0.9896 0.8000 1.1817 0.4986238 0.7396 0.5357 1063.77 0.9896 0.8000 1.3737 0.4099839 0.7396 0.5357 1212.65 0.9896 0.8000 1.5660 0.3330740 0.7396 0.5357 1361.36 0.9896 0.8000 1.7580 0.2739741 0.7396 0.6515 300.96 0.7999 0.8000 0.4000 0.712842 0.7396 0.6515 451.45 0.7999 0.8000 0.6000 0.7056743 0.7396 0.6515 601.91 0.7999 0.8000 0.8000 0.66886
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 86
44 0.7396 0.6515 744.62 0.7999 0.8000 0.9896 0.5938445 0.7396 0.6515 889.09 0.7999 0.8000 1.1817 0.4989646 0.7396 0.6515 1033.61 0.7999 0.8000 1.3737 0.40647 0.7396 0.6515 1178.27 0.7999 0.8000 1.5660 0.3336348 0.7396 0.6515 1322.76 0.7999 0.8000 1.7580 0.2732449 0.5562 0.3012 320.69 1.7756 1.0000 0.4000 0.4550 0.5562 0.3012 481.03 1.7756 1.0000 0.6000 0.4850151 0.5562 0.3012 648.58 1.7756 1.0000 0.8090 0.4351252 0.5562 0.3012 801.75 1.7756 1.0000 1.0000 0.4606753 0.5562 0.3012 956.79 1.7756 1.0000 1.1934 0.4195854 0.5562 0.3012 1112.21 1.7756 1.0000 1.3873 0.367655 0.5562 0.3012 1268.09 1.7756 1.0000 1.5817 0.316856 0.5562 0.3012 1423.54 1.7756 1.0000 1.7756 0.2663157 0.5562 0.3381 316.42 1.5817 1.0000 0.4000 0.5009458 0.5562 0.3381 474.63 1.5817 1.0000 0.6000 0.4908759 0.5562 0.3381 639.94 1.5817 1.0000 0.8090 0.485160 0.5562 0.3381 791.07 1.5817 1.0000 1.0000 0.4682761 0.5562 0.3381 944.04 1.5817 1.0000 1.1934 0.4234462 0.5562 0.3381 1097.39 1.5817 1.0000 1.3873 0.367663 0.5562 0.3381 1251.19 1.5817 1.0000 1.5817 0.3156464 0.5562 0.3381 1404.57 1.5817 1.0000 1.7756 0.2682965 0.5562 0.386 311.12 1.3873 1.0000 0.4000 0.5059366 0.5562 0.386 466.68 1.3873 1.0000 0.6000 0.4957667 0.5562 0.386 629.22 1.3873 1.0000 0.8090 0.4921668 0.5562 0.386 777.82 1.3873 1.0000 1.0000 0.477669 0.5562 0.386 928.23 1.3873 1.0000 1.1934 0.4235770 0.5562 0.386 1079.01 1.3873 1.0000 1.3873 0.3751471 0.5562 0.386 1230.24 1.3873 1.0000 1.5817 0.3188672 0.5562 0.386 1381.05 1.3873 1.0000 1.7756 0.2665973 0.5562 0.4499 304.45 1.1934 1.0000 0.4000 0.5227274 0.5562 0.4499 456.67 1.1934 1.0000 0.6000 0.5122275 0.5562 0.4499 615.73 1.1934 1.0000 0.8090 0.505276 0.5562 0.4499 761.14 1.1934 1.0000 1.0000 0.475277 0.5562 0.4499 908.33 1.1934 1.0000 1.1934 0.4324378 0.5562 0.4499 1055.88 1.1934 1.0000 1.3873 0.3828379 0.5562 0.4499 1203.86 1.1934 1.0000 1.5817 0.3221180 0.5562 0.4499 1351.43 1.1934 1.0000 1.7756 0.2665881 0.5562 0.5357 296.13 1.0000 1.0000 0.4000 0.5469882 0.5562 0.5357 444.20 1.0000 1.0000 0.6000 0.5414583 0.5562 0.5357 598.92 1.0000 1.0000 0.8090 0.5340184 0.5562 0.5357 740.35 1.0000 1.0000 1.0000 0.4758285 0.5562 0.5357 883.52 1.0000 1.0000 1.1934 0.4513186 0.5562 0.5357 1027.04 1.0000 1.0000 1.3873 0.3908487 0.5562 0.5357 1170.98 1.0000 1.0000 1.5817 0.3221188 0.5562 0.5357 1314.53 1.0000 1.0000 1.7756 0.2663489 0.5562 0.6515 285.92 0.8090 1.0000 0.4000 0.6048990 0.5562 0.6515 428.89 0.8090 1.0000 0.6000 0.5927391 0.5562 0.6515 578.27 0.8090 1.0000 0.8090 0.5665892 0.5562 0.6515 714.83 0.8090 1.0000 1.0000 0.5251893 0.5562 0.6515 853.07 0.8090 1.0000 1.1934 0.4604794 0.5562 0.6515 991.64 0.8090 1.0000 1.3873 0.3949595 0.5562 0.6515 1130.62 0.8090 1.0000 1.5817 0.3254996 0.5562 0.6515 1269.21 0.8090 1.0000 1.7756 0.2664297 0.4534 0.3012 312.69 1.7854 1.2001 0.4000 0.425798 0.4534 0.3012 469.03 1.7854 1.2001 0.6000 0.4340599 0.4534 0.3012 636.36 1.7854 1.2001 0.8141 0.42405100 0.4534 0.3012 786.27 1.7854 1.2001 1.0058 0.40095
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 87
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Capítulo 6 - Perfis Intermediários 88
158 0.3862 0.3381 1051.03 1.5963 1.4000 1.3998 0.25851159 0.3862 0.3381 1198.52 1.5963 1.4000 1.5963 0.22939160 0.3862 0.3381 1345.34 1.5963 1.4000 1.7918 0.20473161 0.3862 0.386 293.79 1.3998 1.4000 0.4000 0.432162 0.3862 0.386 440.69 1.3998 1.4000 0.6000 0.41468163 0.3862 0.386 600.34 1.3998 1.4000 0.8174 0.40651164 0.3862 0.386 741.55 1.3998 1.4000 1.0096 0.35479165 0.3862 0.386 884.54 1.3998 1.4000 1.2043 0.30955166 0.3862 0.386 1028.16 1.3998 1.4000 1.3998 0.26746167 0.3862 0.386 1172.44 1.3998 1.4000 1.5963 0.23405168 0.3862 0.386 1316.07 1.3998 1.4000 1.7918 0.21102169 0.3862 0.4499 285.71 1.2043 1.4000 0.4000 0.4455170 0.3862 0.4499 428.56 1.2043 1.4000 0.6000 0.43659171 0.3862 0.4499 583.82 1.2043 1.4000 0.8174 0.419172 0.3862 0.4499 721.14 1.2043 1.4000 1.0096 0.35479173 0.3862 0.4499 860.19 1.2043 1.4000 1.2043 0.31268174 0.3862 0.4499 999.86 1.2043 1.4000 1.3998 0.27128175 0.3862 0.4499 1140.16 1.2043 1.4000 1.5963 0.24373176 0.3862 0.4499 1279.84 1.2043 1.4000 1.7918 0.2175177 0.3862 0.5357 275.83 1.0096 1.4000 0.4000 0.4752178 0.3862 0.5357 413.75 1.0096 1.4000 0.6000 0.46094179 0.3862 0.5357 563.64 1.0096 1.4000 0.8174 0.42323180 0.3862 0.5357 696.22 1.0096 1.4000 1.0096 0.3733181 0.3862 0.5357 830.46 1.0096 1.4000 1.2043 0.32228182 0.3862 0.5357 965.30 1.0096 1.4000 1.3998 0.28844183 0.3862 0.5357 1100.76 1.0096 1.4000 1.5963 0.25645184 0.3862 0.5357 1235.60 1.0096 1.4000 1.7918 0.22418185 0.3862 0.6515 264.00 0.8174 1.4000 0.4000 0.51945186 0.3862 0.6515 396.01 0.8174 1.4000 0.6000 0.50382187 0.3862 0.6515 539.47 0.8174 1.4000 0.8174 0.44681188 0.3862 0.6515 666.36 0.8174 1.4000 1.0096 0.38088189 0.3862 0.6515 794.85 0.8174 1.4000 1.2043 0.3391190 0.3862 0.6515 923.90 0.8174 1.4000 1.3998 0.30036191 0.3862 0.6515 1053.55 0.8174 1.4000 1.5963 0.26433192 0.3862 0.6515 1182.62 0.8174 1.4000 1.7918 0.22873193 0.3365 0.3012 299.13 1.7966 1.6008 0.4000 0.38313194 0.3365 0.3012 448.70 1.7966 1.6008 0.6000 0.37171195 0.3365 0.3012 613.08 1.7966 1.6008 0.8198 0.37464196 0.3365 0.3012 757.13 1.7966 1.6008 1.0124 0.31442197 0.3365 0.3012 902.99 1.7966 1.6008 1.2075 0.26801198 0.3365 0.3012 1049.60 1.7966 1.6008 1.4035 0.22542199 0.3365 0.3012 1196.94 1.7966 1.6008 1.6005 0.1975200 0.3365 0.3012 1343.53 1.7966 1.6008 1.7966 0.17502201 0.3365 0.3381 293.39 1.6005 1.6008 0.4000 0.36977202 0.3365 0.3381 440.08 1.6005 1.6008 0.6000 0.37657203 0.3365 0.3381 601.30 1.6005 1.6008 0.8198 0.37842204 0.3365 0.3381 742.58 1.6005 1.6008 1.0124 0.31906205 0.3365 0.3381 885.64 1.6005 1.6008 1.2075 0.27072206 0.3365 0.3381 1029.43 1.6005 1.6008 1.4035 0.2281207 0.3365 0.3381 1173.94 1.6005 1.6008 1.6005 0.19751208 0.3365 0.3381 1317.71 1.6005 1.6008 1.7966 0.17857209 0.3365 0.386 286.40 1.4035 1.6008 0.4000 0.40531210 0.3365 0.386 429.60 1.4035 1.6008 0.6000 0.39311211 0.3365 0.386 586.98 1.4035 1.6008 0.8198 0.39004212 0.3365 0.386 724.89 1.4035 1.6008 1.0124 0.31594213 0.3365 0.386 864.54 1.4035 1.6008 1.2075 0.27345214 0.3365 0.386 1004.91 1.4035 1.6008 1.4035 0.23529
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 89
215 0.3365 0.386 1145.98 1.4035 1.6008 1.6005 0.20313216 0.3365 0.386 1286.32 1.4035 1.6008 1.7966 0.18405217 0.3365 0.4499 277.81 1.2075 1.6008 0.4000 0.43273218 0.3365 0.4499 416.72 1.2075 1.6008 0.6000 0.42395219 0.3365 0.4499 569.38 1.2075 1.6008 0.8198 0.40202220 0.3365 0.4499 703.15 1.2075 1.6008 1.0124 0.32564221 0.3365 0.4499 838.62 1.2075 1.6008 1.2075 0.27621222 0.3365 0.4499 974.77 1.2075 1.6008 1.4035 0.23335223 0.3365 0.4499 1111.61 1.2075 1.6008 1.6005 0.21373224 0.3365 0.4499 1247.75 1.2075 1.6008 1.7966 0.19166225 0.3365 0.5357 267.41 1.0124 1.6008 0.4000 0.45144226 0.3365 0.5357 401.12 1.0124 1.6008 0.6000 0.44236227 0.3365 0.5357 548.07 1.0124 1.6008 0.8198 0.41018228 0.3365 0.5357 676.83 1.0124 1.6008 1.0124 0.3391229 0.3365 0.5357 807.23 1.0124 1.6008 1.2075 0.28583230 0.3365 0.5357 938.28 1.0124 1.6008 1.4035 0.24811231 0.3365 0.5357 1070.00 1.0124 1.6008 1.6005 0.22257232 0.3365 0.5357 1201.05 1.0124 1.6008 1.7966 0.19755233 0.3365 0.6515 255.07 0.8198 1.6008 0.4000 0.495234 0.3365 0.6515 382.61 0.8198 1.6008 0.6000 0.48015235 0.3365 0.6515 522.78 0.8198 1.6008 0.8198 0.44077236 0.3365 0.6515 645.60 0.8198 1.6008 1.0124 0.35319237 0.3365 0.6515 769.99 0.8198 1.6008 1.2075 0.29637238 0.3365 0.6515 895.00 0.8198 1.6008 1.4035 0.25837239 0.3365 0.6515 1020.64 0.8198 1.6008 1.6005 0.23177240 0.3365 0.6515 1145.63 0.8198 1.6008 1.7966 0.20156241 0.2953 0.3012 292.50 1.8005 1.8007 0.4000 0.36036242 0.2953 0.3012 438.75 1.8005 1.8007 0.6000 0.34591243 0.2953 0.3012 600.97 1.8005 1.8007 0.8218 0.33803244 0.2953 0.3012 742.03 1.8005 1.8007 1.0147 0.28875245 0.2953 0.3012 884.89 1.8005 1.8007 1.2101 0.24309246 0.2953 0.3012 1028.54 1.8005 1.8007 1.4066 0.20265247 0.2953 0.3012 1172.97 1.8005 1.8007 1.6041 0.17268248 0.2953 0.3012 1316.59 1.8005 1.8007 1.8005 0.14075249 0.2953 0.3381 286.38 1.6041 1.8007 0.4000 0.37224250 0.2953 0.3381 429.57 1.6041 1.8007 0.6000 0.35731251 0.2953 0.3381 588.39 1.6041 1.8007 0.8218 0.34489252 0.2953 0.3381 726.50 1.6041 1.8007 1.0147 0.27778253 0.2953 0.3381 866.37 1.6041 1.8007 1.2101 0.24309254 0.2953 0.3381 1007.02 1.6041 1.8007 1.4066 0.20676255 0.2953 0.3381 1148.43 1.6041 1.8007 1.6041 0.17619256 0.2953 0.3381 1289.04 1.6041 1.8007 1.8005 0.15612257 0.2953 0.386 278.98 1.4066 1.8007 0.4000 0.38412258 0.2953 0.386 418.47 1.4066 1.8007 0.6000 0.37228259 0.2953 0.386 573.19 1.4066 1.8007 0.8218 0.35548260 0.2953 0.386 707.73 1.4066 1.8007 1.0147 0.29535261 0.2953 0.386 843.98 1.4066 1.8007 1.2101 0.24555262 0.2953 0.386 981.00 1.4066 1.8007 1.4066 0.20885263 0.2953 0.386 1118.75 1.4066 1.8007 1.6041 0.17977264 0.2953 0.386 1255.73 1.4066 1.8007 1.8005 0.16257265 0.2953 0.4499 269.95 1.2101 1.8007 0.4000 0.40333266 0.2953 0.4499 404.92 1.2101 1.8007 0.6000 0.39119267 0.2953 0.4499 554.63 1.2101 1.8007 0.8218 0.3664268 0.2953 0.4499 684.82 1.2101 1.8007 1.0147 0.31076269 0.2953 0.4499 816.66 1.2101 1.8007 1.2101 0.2557270 0.2953 0.4499 949.24 1.2101 1.8007 1.4066 0.21527271 0.2953 0.4499 1082.54 1.2101 1.8007 1.6041 0.1872
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 90
272 0.2953 0.4499 1215.08 1.2101 1.8007 1.8005 0.16756273 0.2953 0.5357 259.10 1.0147 1.8007 0.4000 0.43214274 0.2953 0.5357 388.65 1.0147 1.8007 0.6000 0.42345275 0.2953 0.5357 532.34 1.0147 1.8007 0.8218 0.38958276 0.2953 0.5357 657.30 1.0147 1.8007 1.0147 0.32698277 0.2953 0.5357 783.84 1.0147 1.8007 1.2101 0.26627278 0.2953 0.5357 911.10 1.0147 1.8007 1.4066 0.22188279 0.2953 0.5357 1039.04 1.0147 1.8007 1.6041 0.19295280 0.2953 0.5357 1166.25 1.0147 1.8007 1.8005 0.17271281 0.2953 0.6515 246.35 0.8218 1.8007 0.4000 0.47045282 0.2953 0.6515 369.52 0.8218 1.8007 0.6000 0.44217283 0.2953 0.6515 506.14 0.8218 1.8007 0.8218 0.42395284 0.2953 0.6515 624.95 0.8218 1.8007 1.0147 0.34049285 0.2953 0.6515 745.27 0.8218 1.8007 1.2101 0.27445286 0.2953 0.6515 866.25 0.8218 1.8007 1.4066 0.22869287 0.2953 0.6515 987.90 0.8218 1.8007 1.6041 0.19687288 0.2953 0.6515 1108.86 0.8218 1.8007 1.8005 0.17622
Ao se fazer a regressão destas curvas segundo a equação (3.3) tem-se:
Tabela 6.8 – Regressão dos resultados da Tabela 6.7 segundo a equação (3.3)λλλλ alma λλλλ mesa αααα ββββ rλ Erro
1.7580 0.8000 257.947 7.252 1.021 0.0029821.5660 0.8000 257.754 7.252 1.016 0.0034591.3737 0.8000 279.536 7.299 1.015 0.0043581.1817 0.8000 317.276 7.386 1.004 0.0035880.9896 0.8000 338.156 7.435 0.979 0.0031290.7999 0.8000 370.582 7.509 0.945 0.0017161.7756 1.0000 76.146 6.546 1.187 0.0028111.5817 1.0000 82.143 6.601 1.115 0.0017831.3873 1.0000 88.659 6.64 1.115 0.0020861.1934 1.0000 92.363 6.663 1.094 0.0018471.0000 1.0000 117.491 6.801 1.066 0.0020610.8090 1.0000 166.499 7.011 1.012 0.0018931.7854 1.2001 86.33 6.726 1.105 0.00045021.5905 1.2001 69.783 6.612 1.055 0.000811.3949 1.2001 74.094 6.642 1.046 0.00045261.2000 1.2001 80.667 6.678 1.045 0.00056251.0058 1.2001 84.348 6.689 1.027 0.00032820.8141 1.2001 83.962 6.672 0.985 0.00080081.7918 1.4000 76.947 6.771 1.001 0.0005441.5963 1.4000 85.932 6.833 1.004 0.00043121.3998 1.4000 79.688 6.776 0.995 0.00044651.2043 1.4000 83.136 6.793 0.98 0.00038951.0096 1.4000 69.107 6.67 0.941 0.000083440.8174 1.4000 77.26 6.731 0.882 0.00021631.7966 1.6008 119 7.114 0.987 0.00081691.6005 1.6008 145.004 7.221 1.016 0.00068611.4035 1.6008 115.981 7.087 0.963 0.00086861.2075 1.6008 124.359 7.127 0.927 0.00089491.0124 1.6008 117.197 7.067 0.919 0.00056410.8198 1.6008 142.963 7.179 0.884 0.00090271.8005 1.8007 138.192 7.296 0.953 0.0005606
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 91
1.6041 1.8007 110.212 7.149 0.93 0.00049651.4066 1.8007 128.891 7.23 0.931 0.00047791.2101 1.8007 136.105 7.244 0.923 0.00037191.0147 1.8007 176.015 7.39 0.909 0.00040660.8218 1.8007 201.191 7.464 0.883 0.0012
Na Figura 6.3, mostra-se a variação de α para as seções estudadas.
Figura 6.3. Variação do parâmetro α
α
aλ
mλ
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 92
Na Figura 6.4, mostra-se a variação de β para as seções estudadas.
Figura 6.4. Variação do parâmetro β
Na Figura 6.5, mostra-se a variação de rλ para as seções estudadas.
Figura 6.5. Variação do parâmetro rλ
β
aλ
mλ
aλ
mλ
rλ
Capítulo 6 - Perfis Intermediários 93
Pode-se ainda fazer uma regressão polinomial dos parâmetros α, β e rλ
segundo os índices de esbeltez relativos dos componentes das seções.
Considerando-se um polinômio de duas variáveis ( almaλ e mesaλ ) e de terceiro
grau tem-se
• para o parâmetro α pode-se usar a equação
( ) 2232313.191082833153051065651.409, amammmmamma λλλλλλλλλλλα ++−+−−=
32497.31098.17110584450 aaa λλλ −+−+ (6.7)
para um erro de 0.115 ( ∑=
−=
N
i
regredido
NE
1
1α
αα, N = 288).
• para o parâmetro β pode-se usar a equação
( ) 2232146.0838.2511.30166.20142.4147.1, amammmmamma λλλλλλλλλλλβ ++−+−−=
32183.0786.0332.3156.22 aaa λλλ −+−+ (6.8)
para um erro de 0.008 ( ∑=
−=
N
i
regredido
NE
1
1β
ββ, N = 288).
• para o parâmetro rλ pode-se usar a equação
( ) 2232014.0558.0216.5337.4125.1207.0, amammmmammar λλλλλλλλλλλλ −++−+−=
32189.0792.0864.055.1 aaa λλλ +−+− (6.9)
para um erro de 0.015 ( ∑=
−=
N
i r
rr regredido
NE
1
1λ
λλ, N = 288).
onde aλ e mλ são os índices de esbeltez relativos da alma e das mesas
respectivamente.
Capítulo 7 Método Alternativo
Com base no que foi visto nos capítulos anteriores pode-se propor uma
abordagem alternativa à adotada pelas normas para o problema da interação
entre modos distintos de flambagem em perfis I comprimidos.
Escolhendo-se as dimensões de um perfil tipo I duplamente simétrico, calculam-
se os índices de esbeltez da alma, das mesas e da peça como um todo(equações (2.5) e (2.33)) e, em seguida, os parâmetros k de flambagem local
tanto para alma quanto para as mesas (equações (5.1) e (5.2)). Feito isto,
calculam-se os respectivos índices de esbeltez relativos tanto dos componentes
quanto da peça (equação (2.8)). De posse dos índices de esbeltez relativos dos
componentes da seção, calculam-se os parâmetros α, β e rλ . Aplicando-se estes
três últimos parâmetros na equação (3.3), tem-se uma curva que representa a
resistência relativa, função do índice de esbeltez relativo global, de uma série de
pilares de mesma seção e comprimentos variados. Introduzindo-se o índice de
esbeltez relativo global nesta última equação, tem-se a resistência relativa do
pilar.
Um exemplo ilustrativo
Perfil bi–rotulado sujeito à interação flambagem global – flambagem local na
alma – flambagem local nas mesas.
• Perfil I 380x350x7.396x3.012 (L = 3301.9 mm, d = 380 mm, bf = 350 mm, tf =
7.396 mm e tw = 3.012 mm)
• Material: MPaf y 250= , MPaf 2300
=ε , E = 205 GPa, ν = 0.3 e n = 12.
• Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia:
mmLi 056.11000 ==δ .
1. Calculando-se os índices de esbeltez da alma, das mesas e da peça como um
todo (equações (2.5) e (2.33)), tem-se:
Capítulo 7 - Método Alternativo 95
251.121=aλ , 661.23=mλ e 985.35=gλ
2. Calculando-se os parâmetros k de flambagem local tanto para alma quanto para
as mesas (equações (5.1) e (5.2)), tem-se:
418.6=ak e 18.1=mk
3. Calculando-se os índices de esbeltez relativos tanto dos componentes quanto da
peça (equação (2.8)), tem-se:
758.1=aλ , 8.0=mλ e 4.0=gλ
4. Calculando-se os parâmetros α, β e rλ (equações (6.7), (6.8) e (6.9)), tem-se:
962.240=α , 172.7=β e 038.1=rλ
5. Aplicando-se estes três últimos parâmetros na equação (3.3), tem-se, após
simplificação:
( ) 172.5
2
1
335.0486.2209.18
+
−+=g
gg
λλλχ
6. Introduzindo o índice de esbeltez relativo global nesta última equação tem-se a
resistência relativa do pilar:
627.0=χ
Comparando-se este resultado com o resultado do perfil 1 da Tabela 6.7
( 6237.0=χ ), pode-se comprovar a eficácia do método.
Capítulo 8 Conclusões
Neste estudo, foi proposta uma abordagem alternativa à adotada pelas normas
para o problema da interação entre modos distintos de flambagem em perfis I.
Foi adotada a seguinte metodologia:
• Estudar os perfis tipo I comprimidos sujeitos a flambagem local somente
• Estudar os perfis tipo I comprimidos sujeitos a interação flambagem global
– flambagem local
Para uma simples comparação com os resultados obtidos através do programa
ANSYS calculou-se algumas resistências relativas de perfil tipo I usando a norma
NBR 8800/86. A seguir, na Tabela 8.1, as características geométricas dos perfis:
Tabela 8.1 – Características geométricas dos perfis para comparação entre osresultados obtidos numericamente e os da norma NBR 8800/86
Perfil Tipo de Interação d (cm) bf (cm) tf (cm) tw (cm) L (cm)
1 Nenhuma 21.0 15.0 0.9000 0.5000 465.000
2 Nenhuma 40.0 20.0 1.1000 0.3919 25.830
3 Nenhuma 20.0 20.0 0.2206 0.8000 16.579
4 Alma Mesa 38.0 35.0 0.3862 0.3860 51.550
5 Global Alma 59.0 29.5 1.5500 0.5815 918.231
6 Global Mesa 30.0 30.0 0.3335 1.3600 626.968
7 Global Alma Mesa 38.0 35.0 0.3862 0.3860 1028.16
Na Tabela 8.2, os resultados com esta comparação:
Tabela 8.2 – Comparação entre os resultados obtidos numericamente e os danorma NBR 8800/86
Perfil λ Global λ Alma λ Mesa NBR 8800 ANSYS Método Proposto
1 1.38954 0.5097 0.4677 0.332 0.411 0.409
2 0.0575 1.4000 0.4802 0.753 0.607 0.601
3 0.0531 0.2914 1.4001 0.127 0.451 0.464
4 0.0702 1.3998 1.4000 0.178 0.400 0.395
5 1.3953 1.3976 0.4878 0.329 0.377 0.385
6 1.3895 0.2501 1.3772 0.106 0.336 0.325
7 1.3998 1.3998 1.4000 0.138 0.267 0.262
Capítulo 8 - Conclusões 97
De acordo com a Tabela 8.2 acima, os valores em verde das resistências
segundo a norma NBR 8800/86 são bastante conservadores, se comparados
com os resultados gerados numericamente, enquanto o valor em vermelho
mostra o oposto. Isto se deve, em parte, às possíveis diferenças entre
pressupostos na geração das curvas de flambagem.
A norma brasileira de perfis formados a frio (chapas finas) e outras normasinternacionais propõem que para elementos enrijecidos seja tomado o fator k
para a equação (2.31) igual a 4, que é um valor na maioria das seções
conservador, pois que 4 seria se houvesse uma ligação perfeitamente apoiada
como uma chapa simplesmente apoiada, mas o que há, na realidade, é algo
entre o engastamento perfeito e o apoio simples. O mesmo para os elementos
não enrijecidos.
Neste trabalho, foi feito um estudo simplificado para avaliar superficialmente ocomportamento do parâmetro k da equação (2.31), visto que este não foi o seu
objetivo principal, mas fundamental para sua conclusão. Para esta análise,
adotou-se o seguinte critério: considerou-se uma chapa para as mesas
relativamente grossa e estudou-se o comportamento da flambagem local elástica
na alma, o mesmo para as mesas considerando a chapa da alma relativamente
grossa. Não foi considerado o caso da espessura da chapa da alma e das mesas
com a mesma ordem de grandeza.
Assim foi possível, por meio das tabelas apresentadas nos capítulos
precedentes, um dimensionamento simples e rápido. Caso o índice de esbeltezda alma for menor que 45 e o da mesa for menor que 8.5 pode-se usar a Tabela
4.1 ou ainda usar os valores de α, β e rλ obtidos por regressão no Capítulo 4 .
Caso o índice de esbeltez relativo da mesa seja relativamente baixo (menor que0.3), o da alma entre 0.8 e 1.8 e o global entre 0.4 e 1.8 pode-se usar a Tabela 6.2
ou os valores de α, β e rλ obtidos por regressão na Tabela 6.3, tendo os índices
relativos da alma entre 0.8 e 1.8. Da mesma forma, se o índice de esbeltez
relativo da alma for relativamente baixo (menor que 0.3), o da mesa entre 0.8 e
1.8 e o global entre 0.4 e 1.8, pode-se usar a Tabela 6.5 ou os valores de α, β e
Capítulo 8 - Conclusões 98
rλ obtidos por regressão na Tabela 6.6, tendo os índices relativos da mesa entre
0.8 e 1.8.
Se os índices de esbeltez relativos, tanto da alma quanto da mesa, estiverementre 0.8 e 1.8 e o índice de esbeltez relativo global estiver entre 0.4 e 1.8 pode-se
usar a Tabela 6.7 ou os valores de α, β e rλ obtidos por regressão na Tabela
6.8. Ou ainda usar o método alternativo apresentado no Capítulo 7 .
Nenhum dos valores regredidos de β e rλ nos capítulos precedentes obedecem
à restrição (3.4). Isto significa que para valores pequenos de λ a derivada
primeira de χ é positiva, com o incremento de λ esta logo torna a ser negativa. A
primeira derivada mesmo sendo positiva assume valores pequenos, tornando a
curva quase horizontal nesta região. Tais resultados não comprometem o
trabalho, visto que valores pequenos de λ são pouco usados.
No presente estudo, mostra-se o estado do conhecimento de instabilidade de
pilares e da interação entre dois ou mais modos de instabilidade.
Foi visto que os métodos numéricos são mais eficientes que os demais métodos
utilizados em análises do comportamento estrutural, porém pouco práticos, o que
faz com que as normas recomendem métodos semi-empíricos.
Demonstrou-se também que o planejamento usualmente recomendado nas
pesquisas do comportamento estrutural de pilares se baseia na generalização de
procedimentos a partir da expressão de Ramberg – Osgood para modelação do
comportamento tenso–deformacional dos materiais e das curvas do tipo λχ −
obtidas de análises não lineares por elementos finitos ou outro método numérico
de igual eficácia.
Por outro lado, o método de análise da interação entre modos de instabilidade
mais estudado atualmente é a Teoria da Erosão da Carga Crítica, que utiliza
curvas do tipo λχ − , com o parâmetro de imperfeição determinado em função do
Capítulo 8 - Conclusões 99
fator de erosão que também pode ser determinado por procedimentos
numéricos.
Foi proposta uma abordagem alternativa para a obtenção das resistências à
compressão simples de pilares metálicos de seção do tipo I duplamente simétrica
para perfis com tensões residuais e imperfeições geométricas, abordagem esta,
que tem como fundamento uma equação baseada apenas em conceitos
matemáticos e não físicos como até então se fazia.
Como sugestões para trabalhos futuros propõe-se:
• Aumentar a quantidade de perfis a ensaiar numericamente para se
conseguir uma regressão melhor.
• Generalizar este estudo para diferentes materiais, diferentes tipos de
seções e diferentes tipos de carregamento.
• Comprovar, através de ensaios, alguns resultados obtidos numericamente.
• Utilizar resultados experimentais para calibrar a metodologia proposta.
100
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106
Anexo: Arquivo para parametrização
A seguir, o arquivo de leitura para parametrização dos pilares do tipo I duplamente
simétricos com imperfeições geométricas e físicas no programa ANSYS calculados
neste trabalho:
*ASK,D,DIGITE A ALTURA DO PERFIL,38*ASK,BF,DIGITE A LARGURA DO PERFIL,35*ASK,TF,DIGITE A ESPESSURA DAS MESAS DO PERFIL,0.7396*ASK,TW,DIGITE A ESPESSURA DA ALMA DO PERFIL EM,0.6515*ASK,L,DIGITE O COMPRIMENTO DO PERFIL,1178.27*ASK,N,DIGITE O NÙMERO DE MÒDULOS DO PERFIL,23*ASK,F,DIGITE O FATOR QUE MULTIPLICARÁ PY, 0.337*ASK,FY,DIGITE A TENSÃO DE ESCOAMENTO DO MATERIAL,25*ASK,E,DIGITE O MÒDULO DE ELASTICIDADE DO MATERIAL,20500.205*ASK,V,DIGITE O COEFICIENTE DE POISSON DO MATERIAL, 0.3*ASK,NE,DIGITE O COEFICIENTE DE IMPERFEICAO N DO MATERIAL,12*ASK,TR,DIGITE O VALOR DA TENSÃO RESIDUAL DO MATERIAL,2G=E/(2*(1+V))PI=ACOS(-1)TC=3*N+1TN=19*TCM=L/NDL=D-TFH=D-2*TFA=H*TW+2*BF*TFKEYW,PR_SET,1KEYW,PR_STRUC,1KEYW,PR_THERM,0KEYW,PR_FLUID,0KEYW,PR_ELMAG,0KEYW,MAGNOD,0KEYW,MAGEDG,0KEYW,MAGHFE,0KEYW,MAGELC,0KEYW,PR_MULTI,0KEYW,PR_CFD,0/PREP7ET,1,181*IF,TF,LT,TW,THENR,1,TFMESA=1R,2,TWALMA=2*ELSER,1,TWALMA=1R,2,TFMESA=2*ENDIF*DIM,GRUPO,ARRAY,TN*DIM,X,ARRAY,TN*DIM,Y,ARRAY,TN*DIM,Z,ARRAY,TN*DIM,DY,ARRAY,TN
107
*DO,J,1,TN,1AX=J/19*IF,MOD(J,19),NE,0,THEN*IF,AX-NINT(AX),GE,0,THENAX=NINT(AX)+1*ELSEAX=NINT(AX)*ENDIF*ELSEAX=NINT(AX)*ENDIFGRUPO(J)=AXX(J)=(GRUPO(J)-1)*M/6-L/2DY(J)=(L/1000)*SIN(PI*X(J)/L)*IF,(GRUPO(J)-1)*19+1,LE,J,THEN*IF,(GRUPO(J)-1)*19+7,GE,J,THENY(J)=(BF/6)*(18-(GRUPO(J)*19-J))-BF/2+DY(J)Z(J)=-1*DL/2AX=1*ELSEAX=0*ENDIF*ENDIF*IF,AX,EQ,0,THEN*IF,(GRUPO(J)-1)*19+8,LE,J,THEN*IF,(GRUPO(J)-1)*19+14,GE,J,THENY(J)=(BF/6)*(11-(GRUPO(J)*19-J))-BF/2+DY(J)Z(J)=DL/2*ELSEY(J)=DY(J)Z(J)=(DL/6)*(J-GRUPO(J)*19+5)-DL/2*ENDIF*ENDIF*ENDIFN,J,X(J),Y(J),Z(J)*ENDDOREAL,MESAEN,1,1,20,21,2EGEN,6,1,ALLEGEN,2,7,ALLREAL,ALMAEN,13,4,23,34,15EN,14,15,34,35,16EGEN,4,1,-1EN,18,19,38,30,11EGEN,TC-1,19,ALLNSEL,,,,TN-18,TNDSYM,SYMM,X,0NSEL,,,,1,19D,ALL,UY,0D,ALL,UZ,0D,ALL,ROTX,0NSEL,ALLUIMP,1,EX,,,EUIMP,1,NUXY,,,VUIMP,1,GXY,,,GTB,MISO,1,1,37,,TBTEM,0,1*DIM,SG,ARRAY,37*DIM,EP,ARRAY,37
108
*DO,J,1,37,1SG(J)=7+(J-1)/2EP(J)=(SG(J)+(FY-TR)*(SG(J)/(FY-TR))**NE)/ETBPT,DEFI,EP(J),SG(J)*ENDDOF,1,FX,F*FY*BF*TF/12F,2,FX,F*FY*BF*TF/6F,3,FX,F*FY*BF*TF/6F,4,FX,F*FY*A/12F,5,FX,F*FY*BF*TF/6F,6,FX,F*FY*BF*TF/6F,7,FX,F*FY*BF*TF/12F,8,FX,F*FY*BF*TF/12F,9,FX,F*FY*BF*TF/6F,10,FX,F*FY*BF*TF/6F,11,FX,F*FY*A/12F,12,FX,F*FY*BF*TF/6F,13,FX,F*FY*BF*TF/6F,14,FX,F*FY*BF*TF/12F,15,FX,F*FY*H*TW/6F,16,FX,F*FY*H*TW/6F,17,FX,F*FY*H*TW/6F,18,FX,F*FY*H*TW/6F,19,FX,F*FY*H*TW/6/TITLE,PERFIL I/SOLUNLGEOM,1SSTIF,ONTIME,1AUTOTS,0NSUBST,100,,,1KBC,0TSRES,ERASENEQIT,25OUTRES,ALL,ALL/REPSAVESOLVE
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