区間解析に基づくシステムの　　　　大域的非線形最適化手法の開発

―感度解析に基づく軸選択―

F10-089 　和田　祐紀

2013年度環境工学科卒業研究発表会 2

研究背景

Minimize （総重量）Subject to （応力，変形量）システム要件を満たす範囲で，使用する総資源量を最小化

 

最適設計問題としての定式化

2013年度環境工学科卒業研究発表会 3

研究目的

• 従来のシステム最適化手法─ 局所解の高速探索には適するが大域的探索

に難がある数理計画法─ 大域的探索能力はあるが局所効率に難があ

る確率的アルゴリズム• ２つの欠点を克服して多次元多峰性関数

の大域最適解をすべて探索できるアルゴリズムの開発─ 区間解析と二分探索に基づくアルゴリズム

2013年度環境工学科卒業研究発表会 4

区間解析

区間の定義区間は上限と下限の間における実数の集合と書けば X は 1 から 2 までの実数の集合　

区間演算区間同士の演算結果は区間の元同士の演算

2013年度環境工学科卒業研究発表会 5

区間演算の例

とすると

最小値は のとき 最大値はのとき 　となり

最小値はのとき 最大値は のとき 　となり

同様にして乗算、除算を定義できるSIN,COS, 区間の整数乗に関しても実装している

2013年度環境工学科卒業研究発表会 6

二分探索区間を２分割しながら区間内に最適値があるかどうかを判定していく方法判定には次の２つの条件を用いるの最小化

微分条件がを含まなければ極小値をとらないはを含まないに最小値を持たない

比較条件を比べたときのときより明らかに小さいに最小値を持たない

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数値例（ 1 次元） Levy2 関数の最小化

𝑓 (𝑥 )=∑𝑖=1

5

𝑖cos [ (𝑖−1 ) 𝑥+𝑖 ] ,− 10<𝑥<10

X = [-7.08351,-7.08351]Y = [-14.508,-14.508]

X = [-0.800321,-0.800321]Y = [-14.508,-14.508]

X = [5.48286,5.48286]Y = [-14.508,-14.508]

Minimize.exe

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数値例（ 2 次元） Levy3 関数の最小化

𝑓 (𝑥1 , 𝑥2 )={∑𝑖=1

5

𝑖cos [ (𝑖− 1 )𝑥1+ 𝑖 ]}{∑𝑖=1

5

𝑖cos [ (𝑖+1 )𝑥2+𝑖 ]}, −10<𝑥1 ,𝑥2<10

Minimize.exe

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解析結果と等高線図の比較

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感度解析に基づく軸選択

• 多次元関数の最適化─ 次元の場合 1 度の分割で個の副領域につい

て組み合わせを評価しなければならない─ 組み合わせ爆発を起こして解析が終わらな

いそこで

• いくつかの軸だけ選んで分割─ 軸を選ぶとき番目以外の軸を区間の中点に

固定して関数を計算─ 幅の大きいものから優先的に分割

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の最適化計算時間

Time[sec] Number of split at once

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N

1 0.014

2 0.016 0.016

3 0.050 0.047 0.050

4 0.074 0.066 0.08 0.106

5 0.104 0.091 0.109 0.158 0.240

6 0.141 0.125 0.147 0.205 0.340 0.651

7 0.189 0.158 0.196 0.277 0.448 0.891 1.868

8 0.24 0.203 0.239 0.340 0.567 1.200 2.604 5.895

9 0.320 0.262 0.311 0.400 0.759 1.530 3.477 7.090 11.20

10 0.407 0.328 0.377 0.544 0.916 1.900 4.130 8.64 12.70 28.63

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𝑓 (𝑥1 , 𝑥2 ,⋯ ,𝑥𝑛)=∑𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖2→ 最小化

(best split) Time[sec] Boxes created fk (X) evaluated2 2 0.019 64 16

4 2 0.041 128 64

8 2 0.122 280 280

16 3 0.46 1152 768

32 4 2.646 4928 2464

64 4 16.814 10176 10176

128 5 105 42400 33920

256 5 723 88320 141312

512 6 5214 360192 480256

大次元問題に対する最適選択軸数

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まとめ

1. 区間解析と二分探索を用いて多数の大域的最適解をもれなく見出すことができるアルゴリズムを開発した

2. 感度解析に基づく少数の軸選択によって、多次元関数の最適化で起こる組み合わせ爆発を回避できることが分かった

3. 最適解の探索時間を最小化するための適切な選択軸数が存在することが明らかになった