io2_p1-2015eprueba del diplomado
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MIRIAM RODRIGUEZASESORIATRANSCRIPT
FEV
FEV
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
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INVESTIGACION DE OPERACIONES II
PARTE 1
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
• Sistema de espera.
• Modelo de Poisson.• Modelos de nacimiento y muerte.• Colas especializadas.
• Redes de colas.• Modelos de Redes de Colas.• Análisis Operacional.• Leyes Operacionales.
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TEORIA DE COLAS
ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS
SERVIDOR
t1 ........ t2 ................ t3 ............... t4
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
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TEORIA DE COLAS
MODELOS DE POISSON
CARACTERISTICAS GENERALES.
POSTULADOS:
1 . Probabilidad de un evento:
2 . Probabilidad de dos eventos:
3 . Sigue distribución de Poisson con parámetro esto es:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
0a 0, to(t), at P(t)
0 to(t),P(t) eventos 2
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COLAS ESPECIALIZADASINVESTIGACION DE OPERACIONES II
0 1 2 n n+1
μ μ μ μ μ μ
(M,M,1:FIFO,∞,∞)
Caracteristicas:
Colas Simples: Nacimiento y Muerte
Independencia
Distribuciones de Probabilidad( a/b/c ):( d/e/f )
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TEORIA DE COLAS
MODELOS DE POISSON: nacimiento
POSTULADOS:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
0k ,0k)0/XX-P(X 3.
0h (h),o h 1k)0/XX-P(X 2.
0h (h),o h k)1/XX-P(X 1.
ttht
2.kkttht
1.kkttht
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TEORIA DE COLAS
MODELOS DE POISSON: nacimiento y muerte
POSTULADOS:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
3,.... 2, 1,i , 0 , ,0 , 0 4.
0i 0,h o(h), )h (1 (h)P 3.
0i 0,h o(h), h (h)P 2.
0i 0,h o(h), h (h)P 1.
ii00
iiji,
i1ji,
i1ji,
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MODELOS DE POISSON
ECUACIONES DE NACIMIENTO Y MUERTE
1212
1j1jjjj1-j1-j
01010011
p)/( p
(2) 0 p )p( p
(1) )p/(p p p
....... p)/( p 2323 1-nn1-nn p)/( p
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
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COLAS ESPECIALIZADAS NOMENCLATURA
W o r: Valor esperado del tiempo en el sistema.
Wq: Valor esperado del tiempo en la cola.
L: Valor esperado del número de clientes en el sistema.
q: Valor esperado del número de clientes en la cola.
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
: Tasa media de llegada (unidades/tiempo).
: Tasa media de servicio (unidades/tiempo).
n: Número de unidades en el sistema.
s: Número de servidores o canales de servicio.
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MODELOS CON UN SERVIDOR ( s=1)
LLEGADAS POISSON Y SERVICIO EXPONENCIALPROBABILIDADES:
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
01 PP 02
12 PPP 01 PPP nnn ; ;
Utilización:
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MODELOS CON UN SERVIDOR ( s=1)
LLEGADAS POISSON Y SERVICIO EXPONENCIAL
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
Valor esperado detrabajos en el sistema
n
innPL
1 1
2)1(][
nVar
Valor esperado detrabajos en espera (cola) )1(
2
Lq
Valor esperado detiempo en la cola
)1(
1
rWq
Valor esperado del tiempo promedio de respuesta
1
)1(
1LrW
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MODELOS CON UN SERVIDOR ( s=1)
LLEGADAS POISSON YSERVICIO EXPONENCIAL
(M/M/1):(FIFO/N/)
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
)p(1´con ´
qrWq
)p(1´con ´
LrW
)p(1Lq
1
)1(
1L
)1/()1(pp
con )1/()1(p
N
N
0
1
1
10n
10
N
N
Nnn
N
N
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MODELOS CON UN SERVIDOR ( s>1)
LLEGADAS POISSON YSERVICIO EXPONENCIAL
(M/M/s):(FIFO//)
s
n = 1,2,…., s
n > s0
0
!
)(!
)(
Pss
s
Pn
s
P
sn
n
n
n
1
0
0
)1(!
)(
!
)(
1s
n
sn
s
s
n
sP
1
sL
1)1(!
)(02P
s
sq
s
)1(
1
s
R
)1(
s
qWq
0)1(!
)(P
s
s s
Constante de Erlang
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
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MODELOS DE COLAS
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
EJERCICIOS
Estaciones de Servicio:
(a) (b) (c)
Modelos de Redes de Colas
Conceptos
Redes de Cola de Espera:
Fuente
Sumidero
Modelo de Colas Abiertas
Modelos de Redes de Colas
Conceptos
Modelo deColas Cerradas
Redes de Colas de Espera
CPU
DISCOS
(a) Iteractivo CPU
DISCOS
(b) Transaccional
Modelo de Servidor Central
Modelos de Redes de Colas
ANÁLISIS OPERACIONAL
Tasa de Llegada: i = Ai/T trabajos por unidad de tiempoProductividad: Xi = Ci/T trabajos por unidad de tiempoUtilización: Ui = Bi/T (sin unidades)Tiempo de Servicio: Si = Bi/Ci unidades de tiempo por trabajo
CONCEPTOS
El inverso de la tasa de llegadasse denomina tiempo entre llegadas: T/Ai
El inverso del tiempo de serviciose denomina tasa de servicio: μi=Ci/Bi
Modelos de Redes de Colas
Número de llegadas: Ai Número de terminaciones Ci
Tiempo total ocupado Bi Período de tiempo analizado T
Análisis Operacional
Modelos de Redes de Colas
TASA DE LLEGADAS PRODUCTIVIDAD UTILIZACIÓNTIEMPO DE SERVICIO
li Xi Ui Si
Solicitudes / tiempo Solicitudes / tiempo sin unidad tiempo /
solicitud
CONCEPTOS
Hipótesis del flujo equilibrado de trabajos (HFET):Supondremos que el sistema, durante el período de observación T, permanece en un estado estable o de equilibrio.
En este caso se cumple que el Nº de trabajos que entra es igual al Nº de trabajos que salen:
Tomando un período suficientemente grande se tiene que es muy pequeña comparada con y entonces
Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas
iCA ii ,
ii CA iC
Ley de la Utilización:
iii
iiii SX
CT
BC
T
BU
.
Esta expresión permite relacionar la productividadde un dispositivo con su tiempo de servicio.
Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas
Si se cumple la hipótesis de flujo equilibrado de trabajos, obtenemos:
Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas
Ley del Flujo Forzado:Relaciona X0 (sistema) con Xi (dispositivo)
Razón de Visitas al dispositivo i: Vi = Nº repeticiones o visitas al dispositivo i.
Si el flujo de trabajos está equilibrado, C0 (salen del sistema) y
Ci (salen del dispositivo i) están relacionados por:
00 / CCVVCC iiii
Productividad del dispositivo es:
TCX /00 Productividad del sistema X0 durante el período T es:
Leyes Operacionales
Modelos de Redes de Colas
Ley de Flujo Forzado:
Combinando la Ley del Flujo Forzado yla Ley de Utilización podemos obtener:
donde recibe el nombre de demanda de servicio en el dispositivo ien todas las visitas que un trabajo realiza.
iiiiii DSVXSXU 00 X
iii SVD
Leyes Operacionales
Modelos de Redes de Colas
Probabilidad de encadenamiento Pij
En particular tenemos:
K
jijij pCC
1
.
K
jijij pVV
1
.
Con K estaciones y se cumple la HFET
iijij CCp /
00 / AAp ojj 00 /CCp ioi
Leyes Operacionales
Modelos de Redes de Colas
Ley de Little:
Llamamos: Ni al número de trabajos en el sistema Ri tiempo de respuesta en la estación de servicio i
Definimos:
Si se cumple la hipótesis de flujo equilibrado de trabajos podemos
sustituir i por Xi tenemos:
iii RN
Leyes OperacionalesModelos de Redes de Colas
Ley General del Tiempo de Respuesta:
El número de trabajos en una red de colas kNNNN ........21
K
iiiKK RXRXRXRXRX
122110 ...
De acuerdo con la Ley de Little tenemos:
Ley del Tiempo de Respuesta Interactivo:Modelo de sistemas con carga interactiva: • Modelo del tiempo de reflexión (subsistema de terminales)• Los dispositivos físicos contemplados en el modelo (subsistema central)
N = (Z + R) X0
SUBSISTEMATERMINALES
SUBSISTEMACENTRAL
RZ
El tiempo de reflexión Z
Trabajos en los terminales = Z.X0
Trabajos en el sistema = R.X0
Leyes Operacionales
Modelos de Redes de Colas
ResumenLeyes Operacionales
Ley de la Utilización:
Ley del Flujo Forzado:
Probabilidades deencadenamiento Pij
K
jijij pCC
1
.
K
jijij pVV
1
.y
Ley de Little:
Ley General delTiempo de Respuesta:
K
iiiKK RVRVRVRVR
12211 ...
Ley del Tiempo deRespuesta Interactivo:
ZX
NR
0
Modelos de Redes de Colas
iiii SSXU i
iiii DXUVXX 00
iiiii RXRN