BUDAPESTI MŰSZAKI és GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

Közlekedésmérnöki Kar

J Á R M Ű R E N D S Z E R - D I A G N O S Z T I K A

2. A járműrendszer-diagnosztika mérési gyakorlata és a

rendszerdinamika felhasználási lehetőségei

Oktatási segédlet

(II. rész, 2.5 fejezet)

Készítette::

Dr. Zobory István egyetemi tanár

Dr. Benedek Teofil

egyetemi docens

Dr. Győri József egyetemi docens

B U D A P E S T 2 0 0 7

2.37

Az eddig készült oktatási segédletek:

1. A járműrendszer-diagnosztika elméleti alapjai

2./a A járműrendszer-diagnosztika mérési gyakorlata és a rendszerdinamika felhasználási lehetőségei (I. rész)

2./b A járműrendszer-diagnosztika mérési gyakorlata és a rendszerdinamika felhasználási lehetőségei (II. rész)

3. A metrológia a járműrendszer-diagnosztikában. Méréstechnika

4. A metrológia a járműrendszer-diagnosztikában. Méréselmélet

5. A futóműdiagnosztikai mérések fejlesztési lehetőségei, a Vasúti Járművek Tanszéken fejlesz tés alatt álló futóműdiagnosztikai próbapad

6. A járműüzem szimulációjának néhány alkalmazási lehetősége a futómű- diagnosztikában (készítés alatt)

7. A DB (Német Vasutak) ICE motorvonatainak üzemében alkalma- zott karbantartási-javítási rendszer

8. Számpéldák a Járműrendszer-diagnosztika tárgy Oktatási Segédleteihez

2.38

2. A járműrendszer-diagnosztika mérési gyakorlata és a rendszerdinamika felhasználási lehetőségei

(II. rész)

Tartalom: 2.5 A járműüzem komplex szimulációjának alkalmazása a járműrendszer-diagnosztikában

2.5.1 A járműüzem komplex szimulációjának alkalmazási területei 2.5.2 A jármű- és pályaadatok felhasználása a járműüzem komplex szimulációjában

2.6 A járműdinamikai modell 2.6.1 A járműdinamikai modell felépítése 2.6.2 A dinamikai modell mozgásegyenleteinek megoldása során felmerülő hibák 2.6.3 A dinamikai modell mozgásegyenleteinek megoldási lehetőségei

2.6.3.1 Másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, inhomogén differenciálegyenletek analítikus megoldása 2.6.3.2 Közönséges, másodrendű, inhomogén differenciálegyenletek numerikus megoldása

2.7 A járműüzem szimulációjának néhány típusfeladata 2.7.1 Vasúti jármű (vagy vonat) dinamikai modelljének felépítése megadott pályaszaka- szon való végigfutása szimulálására

2.7.1.1 A mozgásegyenletek megoldása numerikus módszerrel 2.7.1.2 A mozgásegyenletek megoldása zárt alakban

2.7.2 Kéttengelyes vasúti jármű dinamikai modellje adott függőleges pályahibákon való végigfutásának szimulálására (lineáris változat) 2.7.3 Kéttengelyes vasúti jármű dinamikai modellje adott függőleges pályahibákon való végigfutásának szimulálására (nemlineáris változat) 2.7.4 Kéttengelyes vasúti jármű dinamikai modellje adott keresztirányú pályahibákon való végigfutásának szimulálására (lineáris változat) 2.7.5 Kéttengelyes vasúti jármű dinamikai modellje adott keresztirányú pályahibákon való végigfutásának szimulálására (nemlineáris változat)

2.8 A számított eredmények megjelenési formája és további felhasználási lehetőségei

2.39

Felhasznált irodalom:

1. Dr. Zobori I.: A pálya-jármű rendszer diagnosztikája a járműgépész szemével. V. Nemzetközi „Pálya-Jármű Rendszer”. KTE Konferencia, Velem, 1993.

2. Dr. Benedek T.: Futóműdiagnosztika kialakítása dinamikai szimulációval létrehozott adatbank felhasználásával. VIII. Országos Vasúti Futástechnikai Konferencia. Pécs, 1997. május.

3. Görbicz S. – Sasi I. – Vadászy P.: Vasúti járművek minősítő mérései. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1983.

4. Thamm - Ludwig - Huszár - Szántó: A szilárdságtan kísérleti módszerei. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1968.

5. Hottinger Baldwin Messtechnik. Product Catalogue 1999. Magyarországi képviselet: 2101. Gödöllő, Remsey krt. 9. Pf: 81.

6. Dr. Sostarics Gy., Dr. Balogh V.: Vasúti járművek. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991.

7. Tfirst Gy.: A vasúti járművek futásminősítésének időszerű kérdései. Járművek, Mezőgazdasági Gépek. 30. évfolyam 1983. 10. szám.

8. Dr. Ambrózy András – Jávor András: Mérésadatok kiértékelése. Műszaki Könyv-kiadó, Budapest, 1976.

9. Gabor C. Temes – Sanjit K. Mitra: Modern Filter Design and Theory. John Wiley, New York, 1973.

10. Dr. Horváth Károly: Mérnöki Fizika. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest, 1989.

11. Korn, G.A., Korn, T.M.: Matematikai Kézikönyv Műszakiaknak. Műszaki Könyv-kiadó, Budapest, 1975.

12. RM/FORTRAN. Installation Supplement. Version 2 (DOS). 1986.

13. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástechnikai Alkalmazási Központ. Tudományos szubrutin csomag. Tájékoztató füzetek, 24. szám.

14. Obádovics J. Gyula: Matematika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974.

2.40

2. A járműrendszer-diagnosztika mérési gyakorlata és a rendszerdinamika felhasználási lehetőségei

2.5 A járműüzem komplex szimulációjának alkalmazása a járműrendszer-diagnosztikában

Amint azt az előző fejezetekben kifejtettük, a vasúti jármű üzemét úgy szimulálhatjuk, hogy a rendszerdinamika segítségével határozzuk meg a jármű üzemének (mozgásának) kere-sett jellemzőit. A rendszerdinamika alkalmazása azt jelenti, hogy a járművet és a pályát egyet-len összefüggő rendszernek tekintve, felépítjük a jármű és a pálya dinamikai modelljét, majd megoldjuk a modellhez tartozó mozgásegyenleteket (differenciálegyenleteket). A megoldásul kapott mozgásfüggvények írják le a vizsgált járművek mozgását az idő függvényében. Ez a műveletsor alkotja a járműüzem komplex szimulációját. A szimulációt legtöbbször a vasúti járművek tervezése, a járművek üzemének megtervezése, illetve korszerűsítése, valamint a diagnosztikai feladatok megoldása terén alkalmazhatjuk.

2.5.1 A járműüzem komplex szimulációjának alkalmazási területei a/ A vasúti járművek tervezése. A vasúti járműveket úgy kell megtervezni, hogy bizo-

nyos előírt üzemkészségi feltételeknek (kritériumoknak) eleget tegyenek, pl. hogy a kisiklás-sal szembeni biztonságuk, a járművek futásának minősége, stb. megfelelőek legyenek. Ezeket a kritériumokat a 2.4.4 pontban az ú. n. összetett kritériumok közé soroltuk, mert ezek általá-ban olyanok, hogy belőlük a vasúti járművek tervezése során a teljesítendő kritériumokból kiindulva nem lehet közvetlen számítással meghatározni a járművek adatait, hanem csak pró-bálkozással, a korábbi, már elkészült járművek adatai alapján becsült értékek felvételével le-hetett eddig megtervezni a járművet. Most viszont ezekkel a becsült adatokkal végrehajthatjuk a jármű üzemének szimulációját, vagyis meghatározhatjuk a járműnek a pályán való végigfu-tását leíró összes időfüggvényt, majd az eredményül kapott időfüggvények feldolgozásával kiválaszthatjuk a tervezés szempontjából optimális számértéket a becsléssel felvett adatok kö-zül, hogy az előírt üzemkészségi kritériumok (futásminőség, stb.) teljesítve legyenek. Meg kell említeni, hogy néhány vezető vasúti járműtervező-gyártó cégnél már egy-két évtizeddel ezelőtt használtak – többek között – olyan szoftvert, amellyel a tervezés közben meg lehetett határozni pl. a vasúti jármű kritikus sebességét a tervezés adott pillanatában érvényes jármű-adatokból. Így többféle adatváltozatot is össze tudtak hasonlítani.

b/ A járművek üzemének megtervezése, illetve korszerűsítése. A vasúti járművek üze-mének bizonyos folyamatait (pl. tehervonatok rendezése, átállítása, áruk átrakodása, stb.) csak úgy lehet elfogadhatóan gazdaságos módon végrehajtani, ha ki tudjuk választani a néhány kí-nálkozó változat közül a viszonylag leggazdaságosabb változatot. Ehhez az szükséges, hogy az összes végrehajtható üzemváltozatot számítással szimuláljuk, így előállíthatjuk a járművek mozgásának minden szükséges időfüggvényét. Ezek birtokában készíthetünk gazdaságossági értékelést és választhatjuk ki az optimális járműüzem-változatot.

c/ A járműrendszerdiagnosztikai feladatok megoldása. A járműrendszerdiagnosztikai feladatok abból állnak, hogy meg kell állapítanunk, hogy a járművek üzemkészek-e vagy sem. Ehhez az üzemkészségi kritériumok teljesítését kell időről-időre ellenőrizni. De még a mérés-sel ellenőrizhető egyszerűbb kritériumoknak az ellenőrzése is sokszor igen nehézkes, idő- és költségigényes a szükséges szétszerelési munkák miatt Azok a mérések, amelyek szétszerelést igényelnek (többnyire javítóműhelyben), általában az alkatrészek kopásának mértékét állapít-ják meg (pl. járműkerekek futófelülete), vagy hegesztett vázszerkezetek vetemedésének mér-tékét határozzák meg (pl. kerékpárok vezetési szöghibái), illetve bizonyos rugótípusok (pl.

2.41

gumirugók), vagy lengéscsillapítók jelleggörbéinek az öregedés során bekövetkezett kedve-zőtlen változását adják meg. Ezeknek az alkatrészeknek, illetve járműelemeknek az üzem fo-lyamán bekövetkezett változását azonban számítással, a járműüzem megfelelő szimulációjá-val is meg lehet határozni, de főleg a változási tendencia mértékét kaphatjuk meg ilyen mó-don. Megfelelő számítási módszer birtokában pl. a járműkerekek futófelületének kopása is meghatározható, ahogyan a profilalak az időben változik. A kerékprofil időbeli kopásának mértékét megadó adatsornak a birtokában olyan további, összetettebb kritériumoknak az idő-beli változása is meghatározható, amelyeket az aktuális kerékprofillal futó járművek eredmé-nyeznek, pl. a keresztirányú futásjósági (futáskényelmi) szám változása az időben.

2.5.2 A jármű- és pályaadatok felhasználása a vasúti járműüzem komplex szimulációjában

A vasúti járművek komplex szimulációjához felhasznált adatok többnyire olyanok, hogy a járműmenet egy konkrét szimulációja során gyakorlatilag nem változnak. Ilyenek a geomet-riai adatok, a jármű saját tömege, a hajtás jellemzői (sebesség-vonóerő jelleggörbe sereg, stb.), a rugók, lengéscsillapítők jelleggörbéi, stb. Ezeket az adatokat a szimuláció során nem kell változtatni.

Az adatok között viszont vannak olyanok, hogy a hosszabb járműüzem során már változ-nak, mint pl. a gumirugók rugómerevségének növekedése a gumianyag öregedése miatt, a lengéscsillapítók szelepeinek elhasználódása, a vonóerő-sebesség jelleggörbe-sereg vonóerő-értékeinek lecsökkenése a kopások, elhasználódások miatt, stb. Ezeket a változásokat az időről-időre végrehajtott szimulációkban vehetjük figyelembe.

Az alábbiakban néhány ilyen adatfajta felhasználási módját részletesebben is ismertetjük.

a/ Rugók, csillapítók, stb. jelleggörbéje. Ha egy rugóerőnek, vagy csillapítóerőnek a kép-lete nem lineáris függvény, hanem valamilyen magasabbrendű algebrai függvény, vagy csak egyszerűen abszcissza-ordináta párok sorával van megadva (pl. mérési eredmény), akkor fon-tos, hogy ez a függvény a járműüzem szimulációs programja számára megfelelő módon meg-adható egyen. Igaz, hogy így a legtöbb esetben a mozgásegyenlet(rendszer) nem lesz lineáris, de megmarad közönséges differenciálegyenlet(rendszer)nek, ami numerikus módszerrel meg-oldható. Ez nem külön hátrány, mert a gyakorlatban előforduló méretű differenciálegyenlet-rendszereket amúgy is csak numerikus módszerrel lehet megoldani.

Így megvan annak is a lehetősége, hogy ha egy rugónak, csillapítónak, stb. a jelleggörbéje az idő folyamán változik, akár a természetes elöregedés következtében, mint pl. egy gumirugó anyagának felkeményedése (2.18 ábra, a/ rész), akár törés, vagy valami hasonló üzemzavar következtében, pl. egy duplex csavarrugó belső rugórészének törése, akkor a megváltozott jel-leggörbének a futásra gyakorolt hatását szimulálni lehet.

gyártási állapot

mm

A gumirugó öregedése:

a/Fr

N

A csillapító öregedése

fm/s

v

Fcs Nb/ gyártási

állapot:

2.18 ábra

2.42

A lengéscsillapító szelepeinek zárása is romlik az idő függvényében, aminek következté-ben a csillapító erő görbéje egyre alacsonyabban helyezkedik el (2.18 ábra, b/ rész).

A jelleggörbék ilyen változását úgy lehet figyelembe venni, hogy a mozgásegyenletrend-szerben a rugóerőt nem az s rugómerevséggel és a rugó f összenyomódásával vesszük figye-lembe (Frugó=s.f), valamint a csillapító erőt sem a d csillapítási együtthatóval és a lengés-csillapító bekötési pontjai közötti vrel relatív sebességgel vesszük számításba (Fcs=d.vrel), hanem a jelleggörbéket az f összenyomódás, illetve vrel relatív sebesség megfelelő algebrai függvényével (esetleg a görbe elegendő számú abszcissza-ordináta értékpárjával) vesszük tekintetbe:

)( ffF rr = és )( relcscs vfF =

ahol az fr és fcs függvények akár olyan szerkezetű algebrai függvények, amelyet megfelelő görbeillesztési módszerrel kaphatunk meg, akár abszcissza-ordináta párok halmazát használó függvények. E módszer hátránya, hogy elvész a mozgásegyenlet lineáris jellege, sem a D csil-lapítási, sem az S merevségi mátrix nem lesz értelmezhető (így a dinamikai modellnek nem lesznek meghatározott értékű sajátkörfrekvenciái sem), előnye viszont, hogy a mozgásegyen-letek megmaradnak közönséges differenciálegyenleteknek, így a programkönyvtárakban hozzáférhető numerikus megoldási módszerek mind használhatók maradnak. A mozgás-egyenleteket megoldó programot úgy lehet felépíteni, hogy a rugóerőt, illetve csillapító erőt egy-egy függvény, vagy szubrutin határozza meg, amely szubprogramokban az fr, illetve fcs függvény adatai a szubprogramok beépített, vagy beolvasott értékei lesznek. Így a jelleggör-bék változását úgy vehetjük figyelembe, hogy a jármű üzemét más és más beolvasott jelleg-görbékkel újra szimuláljuk. Fontos tudni, hogy egy-egy ilyen aktuális jelleggörbe egy megha-tározott pályaszámú jármű meghatározott rugójához, illetve csillapítójához is tartozhat.

b/ A vontatójárművek vonóerő-sebesség jelleggörbe-serege. A vontatójárművek vezér-lése általában úgy van felépítve, hogy a vontatási teljesítmény Pmax maximális értékén kívül számos (akár 15 – 20, vagy több) Prész részteljesítmény-érték is megvalósítható 0 és Pmax kö-zött. Minden egyes Prész részteljesítményhez külön vonóerő-sebesség jelleggörbe tartozik. A 2.19 ábra egy villamosmozdony vonóerő-sebesség jelleggörbe-seregét mutatja be. (Az ábrázo-lás egyszerűsítése érdekében a teljes gerjesztéshez tartozó 40 teljesítményfokozat közül csak kilenc görbe van az ábrán feltüntetve.) A jelleggörbe-sereg ismeretében a vonat felgyorsulásá-nak teljes folyamatát szimulálhatjuk.

A felgyorsítás során az egyes részteljesítmény-értékeket bizonyos sebesség-tartományban kapcsolják be, majd valamelyik nagyobb részteljesítményre kapcsolnak át. Automatikus ve-zérlés esetén a teljesítmény-fokozatok kapcsolási sorrendje és az átkapcsolási műveletek vég-rehajtása meg van szabva, ennek híján a járművezető szubjektív megítélésétől függ, hogy mi-lyen járműsebességen melyik nagyobb teljesítményfokozatba kapcsol át, tehát hogy milyen a vezetési stílusa. A 2.19 ábrán feltüntettünk egy lehetséges teljesítményfokozat-átkapcsolási sorrendet, tételezzük fel, hogy a járművezető ennek megfelelően gyorsítja fel a vonatot. A jár-művezető a „2” sebességfokozattal indul, és kb. 4 km/h sebességnél átkapcsol az „5” fokozat-ba. Ezzel kb. 10 km/h sebességig gyorsul, itt átkapcsol a „10” fokozatba, majd 20 km/h-nál a „15” fokozatba, és így tovább. Az ábrából látható, hogy elvileg tetszőleges teljesítményfoko-zat-kombinációkkal lehet a vonatot felgyorsítani. Mivel a vonóerő a mozgásegyenlet jobbol-dalán a „gerjesztések” között szerepel, itt lehet megfelelő szubprogramot behívni, amely beé-pített, vagy beolvasott formában tárolja az összes vonóerő-görbének vagy a görbére illesztett függvény algebrai képletét, vagy egyszerűen csak a görbe megfelelő mennyiségű v – Fv érték-párját. Megadva bemenő adatként a fokozatátkapcsolásokhoz tartozó sebességértékeket, vala-mint az alkalmazandó teljesítményfokozat sorszámát, a program ennek megfelelően fogja szi-

2.43

mulálni a vonat felgyorsulását. Így akár az egyes járművezetők egyéni vezetési stílusa is mo-dellezhető. A dinamikai modell felépítéséről további részleteket a 2.6 fejezetben találhatunk.

2.19 ábra

A fékezőerő-sebesség görbesereg a vonóerő-sebesség görbékhez hasonlóan vehető figye-lembe.

c/ A járművek alapellenálláserő-adatainak figyelembe vétele. A menetellenálláserő képletét a számításokban a következő alakban alkalmazzák:

( ) kNNp

kNpee

kNNkNe swvwGFFvwGF /

0,0,/ )()(.)(. +=+==

ahol GkN a jármű súlyereje kN-ban, w(v) a fajlagos ellenálláserő, w0(v) a fajlagos alapellenál-lás, wp(s) pedig a fajlagos pályaellenállás. A w0(v) fajlagos alapellenállás képlete a mérési eredményekre illesztett másodfokú parabola:

kNNkNkNNkNe vcvbaGvwGF /2/

00, )..()(. ++==

A w0(v) fajlagos alapellenállás képletének számadatai általában járműtípushoz tartoznak, így pl. a MÁV által négytengelyű személykocsikra használt képlet számértékei a következők:

képletben. aebben 0b mivel , 10

.025.08.1..)(2

20 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=++=

vvcvbavw

Ha a szimulációs modell mozgásegyenletrendszerét úgy építjük fel, hogy az alapellenállás-erő képletét egy külön szubprogram tartalmazza, és az beolvashat minden szükséges adatot, akkor tetszésszerinti jármű alapellenálláserejét is figyelembe tudjuk venni, mégha a képlet adatai egy alkalmi ellenőrző mérés eredményein is alapulnak.

2.44

f/ A menetrend adatainak figyelembe vétele. A menetrend általában csak a tind indulási és térk érkezési időpontot, valamint az engedélyezett vmax maximális sebességet adja meg (2.20 ábra, a/ részlet), emellett az engedélyezett sebesség bizonyos útszakaszok esetében kü-lönböző is lehet (2.20 ábra, b/ részlet).

-

12v

tind

fékezés

gyorsítás t

érkt 1s

va/

maxv v34

fékezés

gyorsítás

2s s3

s

4s

b/23v

v

2.20 ábra

A valóságos menetábra v(t), illetve v(s) függvényeit főleg a vontatójármű gépezete, vala-mint a járművezető vezetési stílusa szabja meg, a fékezések diagramjait hasonlóan a fékberen-dezés és a járművezető fékezési stílusa határozza meg. A vontatójármű gépezetének, a fékbe-rendezésnek, valamint járművezető vezetési, ill. fékezési stílusának tulajdonságait a vonóerő-sebeség, ill. fékezőerő-sebesség jelleggörbesereg megfelelő alkalmazásával vehetjük figye-lembe, pl. az egyes vonóerő-fokozatok váltásához tartozó sebességhatárok felvétele, stb. (En-nek részleteit a 2.6 fejezetben láthatjuk.). Ezenkívül szimulálhatjuk a sebességi előírások megváltoztatásának hatását is, pl. ha felemelik a vmax sebességkorlátot, megvizsgálhatjuk, hogy a vizsgált vontatójármű fel tud-e gyorsulni erre a sebességre ?

g/ A járművek geometriai és egyéb adatainak az előírttól való eltérésének figyelembe vétele. Ide tartoznak pl. a hegesztéssel elkészített alváz megengedett (és valóságos) tűrései. Ilyen lehet a csapágyvezetés hibája által okozott kerékpár-ferdeség, az egy kerékpárhoz tartozó kerekek gördülőkör-sugarai közötti eltérés, a kerékprofil kopott alakja, stb. Ezek számításba vételének részleteivel a 6. Oktatási Segédletben foglalkozunk.

Ezen felsorolt adatok olyan jellegűek voltak, amelyek a jármű menetének szimulációja során gyakorlatilag nem változtak. Egy másik adatcsoportba olyan adatok tartoznak, amelyek a megtett út során számottevően megváltozhatnak. Ide tartozik – többek között – a jármű hasznos terhelése, illetve a szállított utasok tömege, valamint a pályaellenállási erő összete-vői: a pálya emelkedéséből és a pályaívből eredő pályaellenállási erő.

a/ A jármű tömegének változása. A járművek össztömegében a hasznos tömegrész válto-zását végig követhetjük a járműnek a pályaszakaszon való mozgása során. (Dízelmozdoyok gázolajtartályában a a gázolaj tömegének változása általában elhanyagolható a mozdony össz-tömegéhez képest.) A járművek hasznos tömegének változása általában a megtett út függvé-nye, ahogy bizonyos állomásokon a szállított áru egy részét be-, vagy kirakják, vagy ahogy az utasok egy része leszáll, illetve felszáll. Ezért a járműtömeg függvénye az alábbi alakú (2.21 ábra):

mh,2

s10

0

mü

m h,1

s2

m

m h,4

s3 s4

h,3

s

m

2.21 ábra

2.45

Tehát a járművek (vonat) össztömege:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

•••

≤≤≤≤≤≤

+== 323,212,

11,

s ha , s ha , 0 ha ,

)( ssmssmssm

msmm hhh

ü

vagy rövidebben: mjjjhü Njsssmmm ,....,1 és ha , 1, =≤≤+= −

Ezt a tömegfüggvényt úgy vehetjük figyelembe a mozgásegyenlet integrálása során, hogy ∆t időlépésenkint meghatározva a ti aktuális időponthoz tartozó a(ti), v(ti) és s(ti) értékeket, folyamatosan ellenőrizzük, hogy a megtett út aktuális s(ti) értéke a tömegfüggvény melyik [ ]ii ss ,1− út-tartományba esik, és ennek megfelelő jhü mmm ,+= tömegértéket helyettesí-tünk be az m tömeg helyébe.

Ezzel az eszközzel vizsgálni lehet pl. az utasforgalom változását munkanapokon, illetve munkaszüneti napokon, továbbá különböző időszakos utasterheléási csúcsok (pl. rendezvé-nyek) hatását a járműforgalomra.

e/ A vasúti pálya emelkedési-, valamint pályaívsugár-adatainak figyelembe vétele. Az emelkedések – lejtők, valamint az egyenes – íves pályaszakaszok ívsugarai a pályahossz függvényében az úgynevezett „hosszszelvény”-en találhatók meg, amelyet a vasút minden használt pályaszakaszára elkészítenek. A 2.22 ábra a budapesti Metro kelet-nyugati vonalán a Blaha- Lujza téri megálló közvetlen környezetének hosszszelvényét mutatja be.

Em 1.5 %o ; 276.3 m

52+

16.2

30

52+

83.8

50

54+

00.0

76.7

83

Blaha Lujzatéri állomás

53

76.4

3552

+83

.35

52

76.0

97

54+

03.6

5

Egyenes, 320.354 m54 55

Em 5 %o

67.62 mEm 3 %o116.15 m

56+

76.3

0077

.197

56

2.22 ábra

A hosszszelvény bemutatja a pálya egyenes és íves szakaszainak hosszúságát (alulról az első sor), az emelkedők (lejtők) hosszúságát (legfelső sor), valamint az egyes ú. n. műtárgyak (pl. a Blaha Lujza téri állomás peronja) elhelyezkedését. Ennek figyelembe vételével a jármű-üzem szimulációját egy megadott valóságos pályára végezhetjük el, számításba véve az egymást követő emelkedéseket és íveket.

Az emelkedőket és pályaíveket a pályaellenálláserő számításba vételében használjuk fel bemenő adatként. Amint a d/ pontban is említettük, a pályaellenálláserő a menetellenállás egyik összetevője és a következő módon számíthatjuk ki:

2.46

)(,)(.,,, RwGewGFFF RemRpemppe +=+=

ahol a pályaellenállás Fp,em emelkedési összetevőjének képletében a wem fajlagos emelkedési ellenállás egyenlő az emelkedő előjeles értékével:

00/0/ )( eew kNNem = [N/kN]

míg a pályaellenállás Fp,R pályaív-összetevőjének képletében a wR fajlagos ellenállás a mérési eredményekre illesztett alkalmas képlet, a MÁV által használt összefüggés a következő:

55

520)( /

−=

mkNN

RR

Rw [N/kN]

A hosszszelvény adatainak felhasználási módját részletesen a 2.6 fejezetben találhatjuk meg.

2.47

2.6 A járműdinamikai modell

Ebben a fejezetben a járműüzem szimulációjához használt dinamikai modellek általános jellemzőit vizsgáljuk. Mindenekelőtt a modell felépítésének általános szabályait vesszük sor-ra. Ezt követően a dinamikai modell mozgásegyenleteinek megoldását tárgyaljuk, mindenek-előtt a megoldás során felmerülő hibákat vesszük sorra, végül a mozgásegyenletek megoldási lehetőségeit mutatjuk be.

2.6.1 A járműdinamikai modell felépítése

A járműdinamikai modell általában tömegekből, valamint a tömegeket összekapcsoló ru-galmas és disszipatív elemekből (pl. rugókból és lengéscsillapítókból) áll. A tömegek pont-szerű, vagy véges méretű tömegelemek lehetnek, attól függően, hogy a tömegelemnek csupán egy, vagy több koordinátatengely-irányú elmozdulását modellezzük, vagy egy, vagy több ko-ordinátatengely-körüli szögelfordulását kell szimulálni. Az első esetre példa az a modell, ame-lyet egy vonatnak (járműnek) egy megadott pályaszakaszon való végighaladásának szimulá-ciójához készül, és kizárólag a pályán való haladást (tehát egyetlen koordináta-irányú moz-gást) modellezi. Ilyen modell van részletesen tárgyalva a 2.6.2 fejezetben.

A második esetre példa a kocsiszekrény támolygó, kígyózó és bólintó szögelfordulását is modellező tömegelem, amely rendszerint homogén tömegeloszlású téglatest. (Forgóvázas jár-műveknél természetesen az egyes forgóvázakat külön-külön tömegelem képviseli.) Ilyen mo-dellek vannak részletesen bemutatva a 2.6.3 – 2.6.6 fejezetekben.

A dinamikai modellben a tömegelemeket összekapcsoló rugalmas és disszipatív elemek nem tartoznak mindig valóságos rugókhoz, vagy lengéscsillapítókhoz. Két tömeget összekötő kapcsolatot akkor is megadott rugómerevségű rugalmas elemmel kell modellezni, ha az nem a mindennapi értelemben vett rugó, hanem egy összekötő elem. Pl. egy kerékpár keresztirányú szitáló és függőleges tengely körüli kígyózó mozgásának leírásához a csapágyvezetés hossz- és keresztirányú rugómerevségére szükség van, még ha a csapágyvezetés egy viszonylag me-rev felépítésű csapágyvillával van is megoldva – legfeljebb a modellben megadott rugómerev-ség viszonylag nagy számérték (vagy nagy ordinátájú rugókarakterisztika) lesz. (Egy villás csapágyvezetés erő-deformáció jelleggörbéjében a csapágytok és a villa közötti beépítési hé-zagot is figyelembe kell venni!). Egy másik tipikus eset a különféle ingás felfüggesztések mo-dellezése. A forgóváz-kereszthimba ingás felfüggesztése, vagy a lemezes hordrugók ingás fel-függesztése esetében a himbára, illetve a kocsiszekrényre ható visszatérítő erő kis kitérések esetén jó közelítéssel arányos a kitéréssel, tehát helyettesíteni lehet egy állandó rugómerevsé-gű rugóval, ha fontos, hogy a mozgásegyenlet lineáris maradjon. De megadható az ingás fel-függesztés teljes visszatérítő erő – kitérés jelleggörbéje is, ha a mozgásegyenlet közönséges differenciálegyenlet is lehet.

A tömegek közötti disszipatív kapcsolatokban sok esetben az összekötő elem anyagcsil-lapítása vehető csak számításba. Pl. egy gumirugó mellé nem szoktak külön lengéscsillapítót beépíteni, a dinamikai modellben a gumianyag csillapítási adataiból határozhatunk meg meg-felelő helyettesítő csillapítási együtthatót.

A következőkben vázlatosan összefoglaljuk a dinamikai modell felépítésének egyes lépé-seit, a bemutatott típusfeladatokban ezek a lépések részletesebben is láthatók lesznek.

2.48

1. lépés: a modellezendő jármű (vagy vonat) meghatározása Mindenekelőtt rögzíteni kell, hogy milyen típusú járművet (vagy szerelvényt) kell model-

lezni. Meg kell határozni, hogy a típusadatokkal, vagy a modellezendő jármű(vek) mért ada-taival kell-e végrehajtani a szimulációt. Ha bizonyos adatok nem állnak rendelkezésre (pl. a tehetetlenségi nyomatékok számértékei igen ritkán ismertek), akkor vagy bizonyos egyszerű-sítő feltételezésekkel számítani kell ezeket (pl. kocsiszekrény tehetetlenségi nyomatékának számításakor szokás a szekrényt egyenletes tömegeloszlásúnak feltételezni), vagy ha mód van rá, méréssel meghatározni ezeket.

2. lépés: a modellezendő szabadságfokok számának megállapítása. Itt számba kell ven-ni, hogy milyen irányú elmozdulásokat és milyen tengely körüli szögelfordulásokat kell a szi-mulációs feladatban modellezni. Ebből az is következik, hogy a dinamikai modell tömegele-mei pontszerűek lesznek-e (csak elmozdulásokat kell modellezni, pl. a 2.6.2 fejezetben tárgyalt modellek), vagy megadott méretű téglatestek, amelyek a tömegük mellett meg-határozott tehetetlenségi nyomatékokkal rendelkeznek (pl. a 2.6.3 – 2.6.6 fejezetek modelljei). Fontos a használt koordinátarendszer rögzítése is: szokás az x-tengelyt a vizsgált jármű (vonat) mozgásának irányában felvenni, a z-tengely természetesen felfelé mutat, az y-tengelyre így a vízszintesen balra mutató irány marad (jobbsodrású rendszer esetén).

3. lépés: a koordinátavektor meghatározása. Miután rögzítettük a modell szabadságfoka számértékét, valamint a szabadságfokból és a tömegek alakjából következő elmozdulásokat és szögelfordulásokat, ezekre a koordinátákra rögzíteni kell egy meghatározott jelölési rendszert és koordináta-sorrendet. Ennek a kitűzése és betartása azért célszerű, mert a gyakorlatban elő-forduló üzemszimulációs feladatokhoz tartozó dinamikai modellek szabadságfoka meglehető-sen nagy (a következőkben tárgyalt típusfeladatokéhoz képest sokkal nagyobbak, a típusfela-datok korlátozott méretét a jelen Segédletben a bemutathatóság is indokolta), a mozgásegyen-letrendszer meglehetősen sok egyenletből (esetenkint 20 – 30-nál is több) áll, ezért az átte-kinthetőség (és főleg az esetleges hibakeresések) megkönnyítése is megköveteli egy alkalmas változó-jelölési rendszert alkalmazását. Ennek a részleteit az egyes típusfeladatoknál ismertet-jük.

A koordináták megállapítása után a hozzájuk tartozó sebességeket is fel kell venni, majd a koordinátavektor rögzítése után a szokásos módon az állapotvektort is meg kell határozni.

4. lépés: a tömegelemek kapcsolódási pontjainak elmozdulásai és sebességei. A tömegekre ható erők ismeretéhez meg kell határozni a kapcsolati pontok elmozdulásait és sebességeit, hogy ezekkel a rugalmas és disszipatív erőket meghatározzuk. Fontos, hogy ezeket az elmozdulásokat és sebességeket az állapotvektor összetevőinek függvényében írjuk fel, mert a modell differenciálegyenleteiben csak ezek az ismeretlenek maradhatnak.

5. lépés: a tömegeket összekapcsoló erők meghatározása. A 4. lépésben meghatározott elmozdulásokkal és sebességekkel (valamint a rugalmas és disszipatív kapcsolatokhoz tartozó valóságos, vagy helyettesítő rugómerevségek és csillapítási együtthatók, illetve karakteriszti-kák) segítségével összeállíthatjuk az erők között ható minden kapcsolati erő képletét.

6. lépés: a mozgásegyenletek összeállítása. A tehetetlenségi erők és a kapcsolati erők is-meretében minden tömegelem minden figyelembe vett elmozdulására, illetve szögelfordulásá-ra felírhatjuk a dinamikus erőegyensúlyt Newton II. törvénye segítségével.

A következőkben a dinamikai modell mozgásegyenleteinek megoldása során felmerülő hibákkal foglalkozunk.

2.49

2.6.2 A dinamikai modell mozgásegyenleteinek megoldása során felmerülő hibák

A dinamikai modell mozgásegyenletei általában másodrendű differenciálegyenletek, ame-lyek független változója a t idő. Ezek a másodrendű differenciálegyenletek lehetnek állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek, vagy egyszerűen csak közönséges differenciál-egyenletek. Akármelyik típusú differenciálegyenlet is tartozzék a vizsgált dinamikai modell-hez, a megoldás igen sok számítási munkával jár, mivel a dinamikai modellek szabadságfoka általában elég nagy, ennek megfelelően a differenciálegyenletek száma is az. A sok számítás során (természetesen ezt már csak gépesítve lehet végrehajtani) sok számítási hiba is felme-rülhet, amelynek nagysága elég ritkán becsülhető megbízhatóan, az esetek nagy többségében még használható hibabecslési módszer sem áll rendelkezésre.

A alábbiakban először áttekintjük a felmerülő hibák általános tulajdonságait, a további fejezetben az alkalmazható megoldási módszerek tárgyalása során részletesen is kitérünk a felmerülő hibák típusaira és azok becslési lehetőségeire.

A felmerülő hibák legfontosabb fajtái: a kezdeti hibák (adathibák, a kezdeti feltételek hibái), a számábrázolási hibák (kerekítési hibák) és a képlethibák (csonkítási hibák).

a/ A kezdeti hibák. Ide tartoznak a dinamikai modell számadatai által hordozott hibák (tö-megek, tehetetlenségi nyomatékok, geometriai adatok, jelleggörbék, stb.), valamint közéjük tartoznak a kezdeti feltételek is. Ha egy meghatározott járműhöz kell modellt készíteni, a jár-mű adatai általában mérési eredmények, amelyeknek a mérési hibái nagyon eltérhetnek. Egy tömegnek (súlyerőnek) vagy egy geometriai adatnak a mérési relatív hibája gondos méréssel akár 1 ‰-re is csökkenthető, de a tehetetlenségi nyomatékok mérése már sokszor nagyság-renddel nagyobb hibával hajtható csak végre. Sok esetben a nehezen megszervezhető és vég-rehajtható mérés helyett különböző közelítő számításokat kénytelenek alkalmazni (pl. egy ko-csiszekrény tehetetlenségi nyomatéka), ekkor a számított eredmény a valóságos tehetetlenségi nyomatéktól akár 30 ~ 100 %-kal is eltérhet.

A különböző jelleggörbék (vonóerő-sebesség görbesereg, rugók és lengéscsillapítók jelleg-görbéje, stb.) összetett eredetű hibákat hordozhatnak. A görbék meghatározásához minden egyes görbéhez minél több pontot kell méréssel meghatározni, minden egyes mért pont hor-dozza a maga relatív hibáját. Amikor a mért pontokra görbét illesztenek, e görbéknek az egyes mért pontoktól mérhető eltérése elég tág határok között változhat, így a görbe által kép-viselt hiba még a görbe mentén is jelentősen változhat.

b/ A számábrázolási hibák. A számábrázolási hibák ([11]-641. oldalon ezt a hibát kere-kítési hibának nevezik) onnan erednek, hogy a számolás során hány értékes jegyet veszünk fi-gyelembe (akár kézi számítás esetén, akár zsebszámológép, PC, stb. használata esetén). A fi-gyelembe vett értékes jegyek száma emiatt erősen eltérhet. Egyszerű zsebszámológépek számábrázolása 7-8 jegyű, fejlettebb programozható zsebszámológépek 10-11 jeggyel ábrá-zolják a számokat. Személyi számítógépek a byte-szervezésű memóriában az alapváltozatban 4 byte-on ábrázolnak egy valós számot exponenciális alakban, így a törtrész többnyire 23 biten van ábrázolva és kb 8 jegyet tartalmaz, a kitevő pedig 8 bites alakban -126-tól +127-ig terjed. A programban beállítható duplapontos változatban a valós szám 8 byte-on van ábrázol-va, és így a törtrész 52 bit segítségével kb 16 decimális jegyet tartalmaz, a kitevő 11 bit segít-ségével -1022-től +1023-ig terjed.

(Ezek a számadatok a [12] forrásműből származnak. Az idézett „körülbelül” szó nincs a leírásban részletezve, valószínűleg azt jelenti, hogy a 8., illetve a 16. jegy már kerekített.)

c/ A képlethibák. ([11].-641. oldalon ezt a hibát – talán kissé félreérthetően – csonkítási hibának nevezik, tehát nem a számábrázolással függ össze.) Ezek a hibák akkor merülnek fel,

2.50

ha az ú. n. „pontos” érték ismeretének hiányában olyan számítási eljárást alkalmazunk, amely a „pontos” értéket csak közelítőleg adja meg. Ilyen eset pl. a szögfüggvények értékének meg-határozása, akár a végtelen sorával számolunk és csak bizonyos számú értékes számjegyig vé-gezzük el a számítást, akár függvénytáblázatot, akár számológépet alkalmazunk. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása során minden egyes diszkrét függvényérték meghatározásánál felmerül ilyen hiba. Az egyes numerikus módszerek ismertetése során a szóbanforgó módszerre jellemző képlethibát a módszer bemutatása során fogjuk tárgyalni.

2.6.3 A dinamikai modell mozgásegyenleteinek megoldási lehetőségei

Amint azt más korábban elmondtuk, a vasúti járművek üzemszimulációs modelljeinek mozgásegyenletei általában másodrendű, inhomogén differenciálegyenletek, amelyek lehet-nek lineárisak és állandó együtthatósak, ha a rugalmas és disszipatív erőkapcsolatok jelleggör-béi lineárisak, továbbá a kerék-sín gördülő érintkezéséhez tartozó kapcsolati erőket szintén li-neáris összefüggések írják le; míg más esetekben a differenciálegyenletek egyszerűen csak „közönségesek”.

Előfordulhatnak bizonyos esetekben olyan dinamikai modellek (pl. rugalmas távvezeték lengéseit leíró modell), amelyek nem lineárisak, és nem állandó együtthatósak, sőt a közönsé-ges differenciálegyenletekre vonatkozó kritériumokat sem elégítik ki. Ezekkel a modellekkel ezen Oktatási Segédletben nem foglalkozunk. Ezekre az esetekre pl. a [11] forrásmű adhat se-gítséget.

Az Oktatási Segédletben tárgyalt dinamikai modellek egyik részének a mozgásegyenletei állandó együtthatós, lineáris inhomogén differenciálegyenletek, amelyeknél meg lehet kí-sérelni az analítikus megoldást. Ebben az esetben az inhomogén differenciálegyenlet y(t) általános megoldása a homogén egyenlet Y(t)hom, ált. általános megoldásából és az inhomogén egyenlet egyik partikuláris megoldásából tevődik össze ([11].-256. o., [14].-748. o.):

partált tytYty )()()( ..,hom +=

(Ez egyenletrendszerekre is értelemszerűen vonatkozik.) A megoldási módszerekről, azok lépéseiről bővebbet a [11].-256. oldalán, valamint a [14].- 752. oldalán, továbbá a 2.6.3.1 feje-zetben találhatunk.

Itt meg kell még jegyezni, hogy a szimulációs feladatban megfogalmazott problémától füg-gően kell eldönteni, hogy csak az Y(t)hom, ált. általános megoldást, csak az y(t)part partikuláris megoldást, vagy mindkettőt kell-e meghatározni. Ha a dinamikai modell külső erők hatására végbement (mégha rövid ideig is tartó) indítási folyamatot szimulál, akkor mindkettőt meg kell határozni. Ha egy hosszú időtartamú (többnyire periódikus) gerjesztésre adott állandósult választ kell modellezni, elegendő az y(t)part partikuláris megoldást meghatározni. Ha egy adott kezdeti feltétellel (elmozdulással és sebességgel) elindított jármű (vonat) szabad mozgá-sát kell szimulálni, akkor elegendő a homogén egyenlet(ek) Y(t)hom, ált. általános megoldását meghatározni.

Ha az említett állandó együtthatós, lineáris (homogén, vagy inhomogén) differenciálegyen-letek analítikus megoldása valamilyen oknál fogva nem jöhet szóba, vagy a differenciálegyen-letek csak a közönséges differenciálegyenletekre vonatkozó feltételeket elégítik ki (tehát sem nem állandó együtthatósak, sem nem lineárisak), akkor ezekben az esetekben az a leg-egyszerűbb, ha egy alkalmas numerikus megoldási módszert választunk. Ennek a részleteit a 2.6.3.2 fejezetben mutatjuk be. A dinamikai modelljeinkben akkor fordulnak elő ilyen közön-séges differenciálegyenletek, ha a rugalmas és disszipatív erőkapcsolatok jelleggörbéit vagy alkalmas magasabb fokszámú polinómok adják meg, vagy méréssel meghatározott számérté-

2.51

kek pontsorát, illetve e pontokat összekötő egyenes szakaszok sorát használjuk a jelleggörbék helyett. Ide tarozik még a kerék-sín gördülő érintkezésének olyan esete is, amikor a kapcsolati erőket valamilyen nemlineáris eljárással (pl. FASTSIM) határozzuk meg. A szóba jöhető nu-merikus módszereket [11].-639. oldalán találhatjuk meg, ezzel a 2.6.3.2 fejezetben foglalko-zunk.

2.6.3.1 Másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, inhomogén differenciálegyenletek analítikus megoldása

A tárgyalt dinamikai modellek mozgásegyenletei akkor oldhatók meg analítikusan, ha a differenciálegyenletek lineárisak és állandó együtthatósak. Ennek a feltételeit az előzőkben soroltuk fel. Amint az rövidesen ki fog derülni, az analítikus megoldási módszer mellett bizo-nyos részlépések (pl. a sajátértékek meghatározása, a gerjesztésre adott állandósult válasz meghatározása) numerikus módszer használatát is igénylik. Látni fogjuk, hogy mindezeken túl még olyan más megoldási nehézségek is felmerülnek, amik miatt ezen differenciálegyen-letek megoldására általában nem alkalmaznak analítikus módszereket. Az analítikus módszer részleteit azért mutatjuk be, mert a megoldás algebrai függvény. Ez azt jelenti, hogy a teljes vizsgált időtartam folyamán ugyanazt a képletet használjuk, bármelyik időpillanathoz tartozó függvényértéket határozunk is meg, mégha a megoldás algebrai képlete esetenkint nagymére-tű és bonyolult szerkezetű is. Ebből következik, hogy nem kell tartani az egyes ∆t időlépések során halmozódó tovaterjedő hibáktól, mert a függvényegyütthatókat ugyanaz a számítási hi-ba terheli, a független változó (az idő) értékétől függetlenül. Ez az előny adott esetben indo-kolttá teheti, hogy vállaljuk az analítikus módszer alkalmazásának nyilvánvaló nehézségeit.

A megoldás levezetését kétszabadságfokú dinamikai modell példáján mutatjuk be, hogy a levezetés még áttekinthető méretű legyen. Ez a modell egy vasúti jármű függőleges mozgását szimulálja a pályahibák gerjesztő hatása következtében. A kocsiszekrényt egyetlen pontszerű tömeg, a kerékpárok egyesített tömegét is egyetlen pontszerű tömeg képviseli (2.23 ábra):

m s kocsiszekrény

felfüggesztés

kerékpárok

pálya

z p(t)

m zk

sp

k

dp

sh dh

pályagerjesztés

zs

2.23 ábra

Legyen a pályaalaktól származó gerjesztés egyszerű harmónikus függvény:

tztz p .sin.)( 0 ω=

2.52

A dinamikai modell mozgásegyenletei a következők:

0..... =−−++ khkhshshss zszdzszdzm &&&&

tzstzdzsszszddzdzm ppkphshkphshkk .sin...cos...).(.).(.. 00 ωωω +=++−++− &&&&

A modell szabadságfoka 2, a zs és zk elmozdulásokból alkotott koordinátavektor:

[ ]Tks zzz ;=

a sebességvektor: [ ] [ ] vvvzzz Tks

Tks === ;; &&&

és a gyorsulásvektor: [ ] [ ] vvvzzz Tks

Tks &&&&&&&&& === ,;

[Az új változók bevezetése (pl. sz& helyett sv& ) azért célszerű, mert amikor az A rendszer-mátrixot bevezetjük, az elsőrendűvé transzformált differenciálegyenletrendszer áttekinthetőbb lesz. A „T” felső index az oszlopvektoroknak sorvektorokká való transzpozícióját jelzi a ké-nyelmesebb írásmód érdekében.]

Tegyük fel, hogy a tárgyalt szimulációs feladatban a bekapcsolási folyamatok modellezése is szükséges, így mind az Y(t)hom, ált. , mind az y(t)part függvényét meg kell határozni. Először az Y(t)hom, ált általános megoldást kell levezetni. Ehhez az differenciálegyenletrendszer homogén része szükséges, amit a már bemutatott mátrix-vektoros alakban használunk fel:

0... =++ zSzDzM &&&

ahol a tömegmátrix: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ks

mm

M0

0 ; a csillapítási mátrix: ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−=

phhhhddd

ddD

és a merevségi mátrix: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−=

phhhhsss

ssS

Ezek a mátrixok 2x2 méretűek, összhangban az n = 2 szabadságfokkal.

Most ki kell fejezni z&& értékét, ehhez át kell alakítani a mátrix-vektoros alakot:

0...... 111 =++ −−− zSMzDMzMM &&&

Ebből: zSMzDMz .... 11 −− −−= &&&

Most bevezethetjük az állapotvektort: [ ] [ ]TksksT zzvvzvy ,,,; ==

Az állapotvektornak így 2.n = 4 eleme van.

Ezzel a mozgásegyenletrendszer homogén részének újabb alakja:

yAzv

ESMDM

zv

y ..0

.. 11=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−

&

&&

2.53

ahol A négyzetes, 2nx2n méretű mátrix, E egységmátrix (a főátló elemei 1.0, minden többi

zérus), továbbá:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−=− −

k

ph

kh

sh

sh

m

dd

md

md

md

DM .1 ; és

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−=− −

k

ph

kh

sh

sh

m

ss

ms

ms

ms

SM .1

Az yA. mátrix-vektor szorzat kifejtve olyan 2.n méretű oszlopvektor, amelynek egy-egy eleme az eredeti másodrendű differenciálegyenletek elsőrendűvé transzformált alakjában egy-egy egyenlet együtthatóit adja meg. Így a kapott négy elsőrendű differenciálegyenlet:

ksh

ssh

ksh

ssh

s zms

zms

vmd

vmd

v .... +−+−=&

kk

phs

kh

kk

phs

kh

k zm

ssz

ms

vm

ddv

md

v ....+

−++

−=&

ss vz =&

kk vz =&

A differenciálegyenletrendszer egy-egy egyenletének megoldását exponenciális függvény

alakjában keressük, összhangban az előző fejezetben említett ∑=

=n

i

ti ieCty

.2

1

..)( λ függvényösz-

szeggel:

tehy .. λ=

ahol λ az ismeretlen kitevő és h a függvény ismeretlen együtthatója. Mivel 2.n db egyenlet van: tehy .

11 . λ=

tehy .22 . λ=

tehy .33 . λ=

tehy .44 . λ=

amelyek az egyszerűbb írásmód kedvéért vektoros alakba is írhatók:

tehy .. λ=

Ezt behelyettesíthetjük a differenciálegyenletrendszer yAy .=& mátrix-vektoros alakjába.

Mivel tehty ...)( λλ=& , ezért tt ehAeh .. .... λλλ = .Mivel 0. ≠teλ , ezért hAh .. =λ , átrendez-ve:

( ) 0.. =− hEA λ

Ez a mátrix-vektor szorzat olyan 2.n db homogén, lineáris algebrai egyenletből álló egyenletrendszert képvisel, amelynek az együtthatóit az ( )EA .λ− mátrix tartalmazza, az ismeretlenjei pedig a h vektor elemei. Ismert dolog, hogy a homogén, lineáris, algebrai

2.54

egyenletrendszer ismeretlenjei csak akkor különböznek az ú. n. „triviális” megoldástól (hi = 0, i = 1,...,2.n), ha az együttható-mátrixhoz tartozó determináns kifejtésének értéke zérus. Ha ki-fejtjük ezt a determinánst, 2.n fokszámú polinómot kapunk λ-ra. Ezt a polinómot karakterisz-tikus polinómnak nevezik, amelynek 2.n db gyöke van. Ez a 2.n db λ érték az A mátrix sajátértékei. Ezeket meghatározva és sorban behelyettesítve a homogén egyenletrendszerbe, 2.n db h vektort kapunk, minden sajátértékhez egyet. Ezeket a h vektorokat az A mátrix sajátvektorainak nevezik.

A tárgyalt modell esetében a szabadságfokok száma n = 2, tehát 2.n = 2.2 = 4 változónk van (vs, vk, zs és zk), a karakterisztikus polinóm 4-edfokú, amelynek 4 gyöke van, továbbá 4 db, egyenkint 4 elemű h sajátvektort kapunk. Így a megoldásfüggvényeik alakja:

tttt ehehehehty .4

.3

.2

.1 4321 ....)( λλλλ +++=

Az egyes egyenletekre ezt az összefüggést úgy részletezhetjük, hogy a sajátvektorok ele-meit kettős indexszel látjuk el, az első index megegyezik a λ sajátérték indexével, a második az egyes változók indexe. Ekkor a 4 megoldásfüggvény:

tttts ehehehehtv .

41.

31.

21.

11 4321 ....)( λλλλ +++=

ttttk ehehehehtv .

42.

32.

22.

12 4321 ....)( λλλλ +++=

tttts ehehehehtz .

43.

33.

23.

13 4321 ....)( λλλλ +++=

ttttk ehehehehtz .

44.

34.

24.

14 4321 ....)( λλλλ +++=

A megoldások meghatározásának első részfeladata tehát az, hogy határozzuk meg a λ1, λ2,

λ3 és λ4 sajátértékeket, majd a második részfeladatban mindegyik λi sajátértékhez meg kell határozni a λi gyökhöz tartozó hi sajátvektor elemeit:

Az első részfeladatban a λ sajátértékek meghatározásához meg kell határozni a karakte-risztikus polinómot. Ehhez ki kell fejteni az ( )EA .λ− együttható-mátrixhoz tartozó determi-nánst:

==− 0).det( EA λ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−+

−

−−

=

0000010000100001

.

00100001

det λk

ph

kh

k

ph

kh

sh

sh

sh

sh

m

ss

ms

m

dd

md

ms

ms

md

md

2.55

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+−−

+−

−−−

=

λλ

λ

λ

010001

detk

ph

kh

k

ph

kh

sh

sh

sh

sh

m

ss

ms

m

dd

md

ms

ms

md

md

−−

−

+−

−−

−

+−−

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

λλ

λλ

λ

λ00

01.01

00.k

ph

kh

kh

shk

ph

kh

k

ph

sh

m

ss

ms

md

mdm

ss

ms

m

dd

md

=−

−+

−

−−

+−−

+−

−010

01.10

001. λ

λ

λ

λkh

k

ph

kh

shk

ph

k

ph

kh

sh

ms

m

dd

md

msm

ss

m

dd

md

ms

( )

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+−

++

++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++= 2

234 .

..

.. λλλ

sh

ksh

k

ph

ks

phh

sh

k

phms

mm

d

m

ss

mm

ddd

md

m

dd

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

++−

++ λ.

.

..

).(

..

.

).(

kshh

ks

phh

kshh

ks

phhmmds

mm

dds

mmsd

mm

ssd

0..

).( 2=−

++

ksh

ks

phhmm

s

mm

sss

Negyedfokú polinóm gyökeinek meghatározása csak numerikus módszerrel lehetséges. Fi-gyelemre méltó, hogy már kétszabadságfokú modell esetében is csak numerikus módszer használható, tehát ha a legegyszerűbb, egyszabadságfokú modellektől eltekintünk, kimondha-tó, hogy minden, a műszaki gyakorlatban számbajöhető dinamikai modell esetében a karakte-risztikus polinóm gyökeinek – tehát az A rendszermátrix sajátértékeinek – meghatározása csak numerikus módszer alkalmazásával lehetséges. Erre a célra elterjedten használják a Bairstowe módszert ([11]-645.o.), amely a polinóm gyökeit másodfokú gyöktényező-polinó-mokra történő szétbontással határozza meg. Komplett, kidolgozott számítógépi programokhoz is hozzájuthatunk, [13]-9. oldalán az SSP programcsomag PRBM, illetve DPRBM nevű szub-rutinjai vannak megemlítve.

A gyakorlatban előforduló polinómok gyökei 2n darab páronként konjugált komplex mennyiség, ha a modell nem végez haladó mozgást. Más esetben az egyik gyökpár valós mennyiség, ha a modell haladó mozgást is végez. A tárgyalt mintapélda dinamikai modelljé-nek esetében 2n = 4, így a gyökök:

2.56

111 .bja +−=λ

112 .bja −−=λ

223 .bja +−=λ

224 .bja −−=λ

Ha a karakterisztikus polinóm gyökei (az A rendszermátrix sajátértékei) ismertek, a máso-dik részfeladat kerülhet sorra, amely a sajátvektorok meghatározását tűzte ki célul. Ennek so-rán ki kell számítanunk az ( ) 0.. =− hEA λ mátrix-vektor szorzat által képviselt homogén line-áris algebrai egyenletrendszer hi,j ismeretlenjeit minden egyes λi sajátértékre. Így 2n x 2n da-rab számértéket kapunk, amelyet a már említett i, j kettős indexszel láthatunk el:

indexe)]elemeinek tor állapotvek az( 2,....,1), ( 2,....,1[,, njindexenih ji == λ

A homogén, lineáris, algebrai egyenletrendszerek megoldása során mindenekelőtt azt kell tisztázni, hogy létezik-e a triviálistól eltérő megoldás. Ez az előbbiekben megtörtént, kiderült, hogy 2.n = 4 darab λ sajátérték esetében van a triválistól eltérő megoldás.

A következő lépés annak eldöntése, hogy a homogén algebrai egyenletrendszer együttha-tóinak ).det( EA λ− determinánsában van-e olyan elem, amelyhez zérus értékű aldetermináns tartozik. Viszonylag könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a vizsgált ).det( EA λ− determi-nánsban nincs ilyen elem, bármelyik elemhez tartozó aldetermináns értéke zérustól különbözik. Ebből következik, hogy (lásd [14].-171. o.) az egyenletrendszer egyenletei között van következmény-egyenlet, amelyet elhagyhatunk. Ha van következmény-egyenlet, az az egyenletek bármelyike lehet, mert a 2.n darab egyenlet közül bármelyiket elő lehet állítani a megmaradt 2.n-1 egyenlet lineáris kombinációjával.

A például választott dinamikai modell esetében ez az algebrai egyenletrendszert:

( ) 0.. =− hEA λ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+−−

+−

−−−

0000

.

010001 4

321

hhhh

m

ss

ms

m

dd

md

ms

ms

md

md

k

ph

kh

k

ph

kh

sh

sh

sh

sh

λλ

λ

λ

Ebből a négy algebrai egyenlet:

0.... 4321 =+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− h

ms

hms

hmd

hmd

sh

sh

sh

sh λ

0.... 4321 =+

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

+− h

m

ssh

ms

hm

ddh

md

k

ph

kh

k

ph

kh λ

0. 31 =− hh λ

0. 42 =− hh λ

2.57

A négy algebrai egyenlet közül az egyik elhagyható, legyen ez a második. Ekkor az egyenletrendszer:

0.... 4321 =+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− h

ms

hms

hmd

hmd

sh

sh

sh

sh λ

0. 31 =− hh λ

0. 42 =− hh λ

Ekkor az egyik ismeretlen, pl. a h4 függvényében előállíthatjuk h1 , h2 és h3 értékeit.Ezt mind a négy λ sajátértékre meg kell tennünk. Legyen először λ = λ1, ekkor az ismeretlenek h1, h2, h3 és h4 lesznek.

0.... 141312111 =+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− h

ms

hms

hmd

hmd

sh

sh

sh

sh λ

0. 13111 =− hh λ

0. 14112 =− hh λ

Mint említettük, homogén algebrai egyenletrendszer esetében az egyik ismeretlen értéke felvehető. Esetünkben h14 kínálkozik erre a célra. Ekkor a harmadik egyenletből:

14112 .hh λ=

Ezt behelyettesítve a többi három egyenletbe, kapjuk:

0..... 1413141111 =+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− h

ms

hms

hmd

hmd

sh

sh

sh

sh λλ

0. 13111 =− hh λ

A második egyenletből:

13111 .hh λ=

Ezt is behelyettesítve a következő egyenletet kapjuk:

0...... 14131411311 =+−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− h

ms

hms

hmd

hmd

sh

sh

sh

sh λλλ

Összevonások után:

0.... 1411311 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− h

ms

md

hms

md

sh

sh

sh

sh λλλ

Innen:

14

11

113 .

.

.h

ms

md

ms

md

h

sh

sh

sh

sh

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

λλ

λ

Így végül h11, h12 és h13 értékét megkaptuk h4 függvényében:

2.58

141

11

113111 ..

.

.. h

ms

md

ms

md

hh

sh

sh

sh

sh

λλλ

λλ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+==

14112 .hh λ=

14

11

113 .

.

.h

ms

md

ms

md

h

sh

sh

sh

sh

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

λλ

λ

Bevezetve a ( ) hshhh

sh

sh

sh

sh

smdsd

ms

md

ms

md

K++

+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

111

11

11 ..

.

.

.

λλλ

λλ

λ jelölést, a sajátvektor-

elemek: 141111 .. hKh λ=

14112 .hh λ=

14113 .hKh =

Természetesen a többi három sajátértékhez (λ1, λ2 és λ3) tartozó h21, h22, h23, h31, h32, h33, h41, h42, h43 sajátvektor-elemet is meg kell határozni. Így a négy keresett megoldásfüggvény a következő lesz

=+++= tttts ehehehehtv .

41.

31.

21.

11 4321 ....)( λλλλ

tttt ehKehKehKehK .4444

.3433

.2422

.1411 4321 ............ λλλλ λλλλ +++=

=+++= ttttk ehehehehtv .

42.

32.

22.

12 4321 ....)( λλλλ

tttt eheheheh .444

.343

.242

.141 4321 ........ λλλλ λλλλ +++=

=+++= tttts ehehehehtz .

43.

33.

23.

13 4321 ....)( λλλλ

tttt ehKehKehKehK .444

.343

.242

.141 4321 ........ λλλλ +++=

ttttk ehehehehtz .

44.

34.

24.

14 4321 ....)( λλλλ +++=

Látható, hogy mind a négy megoldásfüggvény ugyanannak a h14, h24, h34 és h44 sajátvektor-elemnek a függvénye, tehát ezek értékeit mi vehetjük fel úgy, hogy a megadott kezdeti feltéte-leknek megfeleljenek a megoldásfüggvények. Ezek szerepe ugyanaz, mint az integrálási ál-landóké: adott kezdeti feltételhez kell meghatározni az értékeiket. Legyenek a kezdeti feltéte-lek az alábbiak:

ha t = t0 = 0, akkor vs(t0) = vs0; vk(t0) = vk0; zs(t0) = zs0 és zk(t0) = zk0. Ekkor:

44443433242214110 ........ hKhKhKhKvs λλλλ +++=

2.59

4443432421410 .... hhhhvk λλλλ +++=

4443432421410 .... hKhKhKhKzs +++=

443424140 hhhhzk +++=

Meghatározva K1, K2, K3 és K4 értékét és behelyettesítve a sajátértékek λ1, λ2, λ3 és λ4 számértékét, négy lineáris, inhomogén algebrai egyenletek kapunk, amelyekből az ismeretlen h14, h24, h34 és h44 sajátvektor-elem meghatározható. A megoldásfüggvények végső alakjának meghatározásakor természetesen az exponenciális függvényeket szögfüggvénnyé kell átalakí-tani az Euler-formula alapján: tjte t .sin..cos. λλλ += .

Ha megkaptuk az inhomogén, lineáris, állandó együtthatós differenciálegyenletrendszer homogén részének áltkáltsáltkálts tztztvtv hom,hom,hom,hom, )( és )( ,)( ,)( általános meg-oldását, az inhomogén differenciálegyenletrendszer partikuláris megoldását kell meghatároz-ni. Mivel a műszaki gyakorlatban a mozgásegyenletek jobboldalán legtöbbször exponenciális, illetve harmónikus függvény, ritkábban az idő hatványfüggvénye áll, az ú. n. kísérletező mód-szert alkalmazhatjuk, amelynek a részleteit pl. [14].-752. oldalán találhatjuk meg. Mivel a je-len számpéldában is harmónikus függvény képviseli a gerjesztést, a kísérletező módszer sze-rint a partikuláris megoldást tBtAty part .cos..sin.)( ωω += alakban kell keresni. Tekintve, hogy a kísérletező módszert a szakirodalom a mozgásegyenletek másodrendű alakjából kiin-dulva mutatja be, ezért a mozgásegyenleteink másodrendű alakját kell felidéznünk:

0..... =−−++ khkhshshss zszdzszdzm &&&&

tzstzdzsszszddzdzm ppkphshkphshkk .sin...cos...).(.).(.. 00 ωωω +=++−++− &&&&

Ekkor a partikuláris megoldások alakja:

tBtAtz ssparts .sin.cos.)( ωω +=

tBtAtz kkpartk .sin.cos.)( ωω +=

Képezzük ezek deriváltjait:

tBtAtzdtd

ssparts .cos..sin..)( ωωωω +−=

tBtAtzdtd

kkpartk .cos..sin..)( ωωωω +−=

Továbbá:

tBtAtzdt

dssparts .sin..cos..)( 22

2

2ωωωω −−=

tBtAtzdt

dkkpartk .sin..cos..)( 22

2

2ωωωω −−=

Behelyettesítve a deriváltakat és szétbontva az egyenleteket a színuszos és koszinuszos ta-gokat tartalmazó egyenletekre, kapjuk:

2.60

0.......2 =−++−− khkhshshss BsAdBsAdBm ωωω

0........ 2 =−−++− khkhshshss AsBdAsBdAm ωωω

( ) ( ) 02 ......... zsBssBsAddAdBm pkphshkphshkk =++−+−+− ωωω

( ) ( ) ωωωω .......... 02 zdAssAsBddBdAm pkphshkphshkk =++−++−−

Összevonások után:

0.....).( 2 =−+−− khkhshssh BsAdAdBms ωωω

0.....)..( 2 =−−+− khkhshssh AsBdBdAms ωωω

( ) 02 ......)..( zsBsAddAdBmss pshkphshkkph =−+−+−+ ωωω

( ) ωωωω .......)..( 02 zdAsBddBdAmss pshkphshkkph =−++−−+

Ez négy egyenletből álló lineáris, inhomogén, algebrai egyenletrendszer, amelynek az ismeretlenjei: As, Ak, Bs és Bk. Ezekre megoldva az algebrai egyenletrendszert, megkaphatjuk az inhomogén differenciálegyenletrendszer egy partikuláris megoldását:

tBtAtv ssparts .cos..sin..)( ωωωω +−= (ez parts tz )( deriváltja)

tBtAtv kkpartk .cos..sin..)( ωωωω +−= (ez partk tz )( deriváltja)

tBtAtz ssparts .sin.cos.)( ωω +=

tBtAtz kkpartk .sin.cos.)( ωω +=

Látható mindezekből. hogy még egy ilyen szerény méretű (2 szabadságfokú) dinamikai modell esetében is milyen nagy mennyiségű számítási munkát kell végrehajtani. Könnyen be-látható, hogy a szabadságfokoknak nem túl nagy mértékű megnövekedése esetén a szükséges számítási munka könnyen áttekinthetetlenül naggyá nőhet. Érthető, hogy emiatt még az állan-dó együtthatós, lineáris differenciálegyenletrendszerek integrálására is általában numerikus megoldási módszert alkalmaznak. Jelen esetben is csak a teljesség kedvéért mutattuk be az analítikus megoldási módszert.

2.6.3.2 Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása

Mozgásegyenletek: 1./ állandó együtthatós, 2. rendű, lineáris, inhomogén differenciál egyenletek

2./ 2. rendű, inhomogén, közönséges diffeenciálegyenletek

Megoldás: a/ zárt alakú megoldás, de a sajátkörfrekvenciákat csak numerikusan kaphatjuk meg;

b/ numerikus megoldás: elég, ha differenciálegyenletek „közönségesek”, megfelel mind az 1.-nek, mind a 2.-nek. Irodalom: Ralston, Korn & Korn.

Numerikus megoldási módszerek:

2.61

Szukcesszív approximáció: zárt, viszonylag kis intervallumon belül, a megoldás folytonos függvény, jól becsülhető az elkövetett hiba.

Törtvonalas módszer: a megoldás csak diszkrét (ti, yi) értékpárok halmaza, az időköz ∆t = ti-1 - ti = áll, de lehet változó is. ha ti < t < ti-1 : mi van a ∆t-n belül ?

yi

it

y

t

t

A megoldás hibái:

1. Kezdeti hibák: főleg adatok (mérési eredmények!) kezdeti értékek

2. Kerekítési hibák (számábrázolási hibák): egyszeres pontosság duplapontos számábrázolás

3. Képlethibák („csonkítási” hibák): a numerikus megoldás mennyire közelíti meg a pontos megoldást

A numerikus megoldásai módszer stabilitása: a módszer stabilis, ha a kezdeti és a kerekítési hibákat nem növeli tovább (gyakorlati definíció). Az elméleti vizsgálat gyakran messzire vezet.

Törtvonalas módszerek.

1. Euler-Cauchy módszer.

adott: ( )ytfdxdyy ,==′

és a kezdeti feltételek: ha t = to akkor:: y = yo

'

"pontos" (ismeretlen) görbe

y0

0t t

t

y'

y

py

t

h y

2.62

Mivel ( ) pytytfyyyy ≠∆+=∆+=′ ., 0000 ;

a képlethiba („csonkítási” hiba): pyyh −′= : ez mindig ismeretlen. Nincs becslési módszer.

A módszer előnyei: y′ kiszámításához elég 1 behelyettesítés a differenciálegyenletbe (ezért viszonylag gyors);

önállóan meg tud indulni

hátrányai: h értékét nem tudjuk megbecsülni, így a hiba tovaterjedését sem tudjuk ellenőrizni. A hiba ∆t csökkentésével csökkenthető, de ekkor a lépések száma nő.

2. Runge-Kutta típusú módszerek.

Általános jellemző: egynél több y′ értéket határoznak meg, majd ezek súlyozott átlagát képezik. Elterjedt változat: 4 függvényérték. („negyedrendű” módszer)

y0

t0

tt/2

1f

y

f2

t

k 2/2

k 1

2k

(Készítés alatt)

2.63

2.7 A járműüzem szimulációjának néhány típusfeladata

A járműüzem szimulációját sokféleképpen hajthatjuk végre. Ebben a fejezetben a szimulá-ciónak néhány egyszerű alaptípusát mutatjuk be: egy járműnek (vagy vonatnak) egy megadott valóságos pályaszakaszon történő végigfutását szimuláljuk, majd egy adott vasúti jármű moz-gását modellezzük, amint az egy magadott pályaszakasznak méréssel regisztrált kereszt- és függőleges pályaalakján fut végig. Áttekintjük a szimulációhoz kidolgozott dinamikai model-lek mozgásegyenleteinek (differenciálegyenleteinek) megoldási lehetőségeit, végül a mozgás-egyenletek megoldásával kapott mozgásfüggvények megjelenési formáját, illetve felhasználá-si lehetőségeit vesszük sorra.

2.7.1 Vasúti jármű (vagy vonat) dinamikai modelljének felépítése megadott pálya- szakaszon való végigfutása szimulálására A fejezetben tárgyalt üzemszimulációs feladat úgy szól, hogy adva van egy megadott típu-

sú vasúti jármű, vagy egy megadott összetételű vonat (adott típusú mozdony, adott számú és típusú kocsi), és ennek a járműnek, vagy vonatnak végig kell futnia egy megadott hosszszel-vényű pályaszakaszon. Ezt a végigfutást kell az üzemszimulációs számítással végigkövetni, és a jármű(vek) jellemző mozgásfüggvényeit [s(t), v(t), a(t)] meghatározni. Ezekkel a számított függvényekkel ellenőrizni lehet az előírt menetrend betartását, illetve betarthatóságát, meg le-het határozni az energiafogyasztást, a gépberendezés egyes elemeinek igénybevételére bizo-nyos statisztikai paramétereket kaphatunk meg ( várható érték, empirikus szórás, sűrűségfügg-vény), stb.

Ehhez a szimulációs számításhoz szükség van a mozdony vonóerő-sebesség görbeseregére, az egyes járművek fékezőerő-sebesség görbeseregére, az egyes járművek alapellenálláserő- -sebesség görbéjére, valamint a jármű (vagy vonat) hasznos terhelésének változására az út-hossz függvényében (utasok száma, áruk ki- és berakodása, stb.), végül az adott pályaszakasz hosszszelvényének adataira, tehát az emelkedőknek és pályaívsugaraknak, valamint a hozzá-juk tartozó pályaszakaszok hosszának számértékeire az út függvényében.

A felsorolt adatok lehetnek a járműtípusra nézve általános érvényű típusadatok, vagy egy- -egy konkrét jármű mért adatai, akár minden egyes járműre külön-külön megadva. Ilyen lehet pl. egy mozdonytípus gyárilag megadott vonóerő-sebesség görbeserege, vagy egy konkrét pá-lyaszámú mozdony egyedileg megmért vonóerő-sebesség görbeserege. A pályaszakasz hossz-szelvényének minden egyes emelkedő, illetve pályaívsugár adata a szimulációs számításnak bemenő adata kell, hogy legyen. Néha ugyan alkalmaznak olyan egyszerűsítéseket, hogy kis úthosszúságú íveket (pl. kitérők ívei) elhanyagolnak, mindenesetre a számítási algoritmusnak készen kell lennie arra, hogy minden egyes, a legrövidebb úthosszúságú emelkedő, vagy pályaív is bemenő adat lehessen. Ilyen adatbeviteli feltételek teljesülése esetén lehet kimondani, hogy a járműüzem szimulációja „testre szabott”.

A járműdinamikai modell felépítésére a gyakorlatban kialakultak bizonyos szabályok, eze-ket célszerű lépésről-lépésre betartani, hogy a modell a célnak megfelelő felépítésű legyen. A felépítés folyamatának egyes lépéseit általánosságban már bemutattuk az előző (2.6.1) fejezet-ben. Itt most a konkrét feladat szempontjából részletezzük ezeket:

1. lépés: a modellezendő járműtípus megválasztása. Jelen esetben a modellezendő jármű egy adott típusú mozdonnyal vontatott Nk db adott típusú kocsiból álló vonat, vagy egyetlen jármű (a szabadságfokkal foglalkozó 2. lépésben kiderül, hogy mindegy, hogy jármű, vagy vonat). Ebben a dinamikai modellben a mozdonyra nézve csak annyi megkötést teszünk, hogy hidrodinamikus, vagy villamos erőátvitelű dízelmozdony, vagy villamos mozdony legyen.

2.64

(Ezeknél a mozdonyoknál a vonóerő-sebesség görbékben nincsenek olyan szakadási helyek, mint pl. a mechanikus nyomatékváltó esetében a fokozatváltások helyein.) A vontatott jármű-vek a szokásos két, vagy négytengelyes személy-, vagy teherkocsik lehetnek.

2. lépés: a modellezendő szabadságfokok száma. Mivel csak a végigfutást kell modellez-ni, a pályamenti haladó mozgást tekinthetjük a modell főmozgásának. A jármű(vek) egyéb mozgásainak vizsgálatára itt nincs szükség, tehát a mellékmozgásokat elhanyagolhatjuk. Így végül a szabadságfokok száma 1 lesz. Ebből az következik, hogy még a vonatot is egyetlen tömegnek (mv) tekinthetjük, és mivel a vonat hosszirányú mérete általában elhanyagolható a megtett úthoz képest, ez az egyetlen tömeg pontszerű lehet (2.23 ábra). A szimulációhoz szükséges koordinátarendszert a szokásos módon vettük fel, az ábrán látható módon.

a(t), v(t), s(t)

mv xC

zy

2.23 ábra

Ennek nem fog ellentmondani az, hogy a modellben lehetőséget biztosítunk arra, hogy bi-zonyos mennyiségeket (pl. a menetellenállási erőt) akár járművenkint külön-külön lehessen megadni (különböző karbantartási állapotú, bár azonos típusú kocsik menetellenállási ereje között számottevő eltérések lehetnek).

Meg kell még azt is jegyezni, hogy lehetnek olyan szimulációs feladatok, amelyekben más, a jelenleg tárgyalt dinamikai modellben a mellékmozgások közé sorolt mozgástípusok lesznek a főmozgások. Ilyen eset lehet pl. a járművek keresztirányú mozgásai (szitálás és kígyózás), vagy a járművek függőleges mozgásai (rázás és bólintás). ítt a haladó mozgás is mellékmoz-gás lesz. Ezt a két esetet és a dinamikai modell felépítését a 2.6.3 - 2.6.6 fejezetekben mutat-juk be. Lehet olyan feladat is, hogy a vonat minden egyes kocsijának mozgását külön-külön kell meghatározni, pl. esetleges indítási, vagy fékezési rángatások vizsgálatához; ilyenkor minden egyes jármű mozgásához külön szabadságfok fog tartozni.

3. lépés: a koordinátavektor meghatározása. Miután a modellnek egyetlen szabadságfo-ka van, az egyetlen koordináta x, a sebesség xv &= , tehát nincs koordinátavektor, de van álla-potvektor: [ ]Txvq ;= .

4. lépés: a tömegelemek kapcsolati pontjainak elmozdulása és sebessége. Mivel a dina-mikai modell egyetlen tömegelemből áll, ezért kapcsolati pontok sincsenek a tömegelemek között.

5. lépés: a tömegelemek kapcsolati pontjaira ható kapcsolati erők. A fentiekből követ-kezően nincsenek kapcsolati erők sem.

6. lépés: Az egyes tömegelemek mozgásegyenlete. Egyetlen tömegelem lévén, elég csak a külső erőket figyelembe venni. Ezek a következők: az Fv vonóerő, az Ff fékezőerő és az Fe menetellenálláserő (2.24 ábra):

2.65

a(t), v(t), x(t)

Fe

Ff mv

yC Fv x

z

2.24 ábra

Mivel az ábrán feltüntetett Fv vonóerő és Ff fékezőerő egyidőben nem hat (feltételezve természetesen a vezérlési rendszer hibátlan működését), külön-külön kell tárgyalnunk a felgyorsítás, illetve sebességtartás esetét, valamint a fékezés esetét:

a/ felgyorsítás esete: )(. tamFF gvev =− ; ahol a gyorsulás: 0)( >tag ;

b/ fékezés esete: )(. tamFF fvef =−− ; ahol a gyorsulás 0)( <ta f (tehát lassulás).

Az Fv vonóerőt általában a haladási sebesség függvényében adják meg )(vfFv = alakban, de grafikus alakban, a fékpadi, vagy vonali mérések eredményeire illesztett, hiperbola-alakú görbék formájában. A vontatójármű vezérlése által megvalósított minden egyes, állandóan ki-fejthető részteljesítményre külön-külön vonóerő-sebesség görbét adnak meg (2.25 ábra), hasonlóan a 2.19 ábrához:

max

rész, i

P

Fv

P

v

2.25 ábra

Az ábrán NP darab részteljesítmény-értékhez van vonóerőgörbe feltüntetve. Mivel a görbéket leíró algebrai függvény nem ismert, az Prész,i részteljesítményhez tartozó görbéket elegendően sok (v, Fv) koordinátapárral adhatjuk meg, amelyeket olyan sűrűn célszerű felvenni, hogy a szomszédos pontokra fektetett egyenesszakasz elhanyagolható mértékben térjen el a grafikus alakban közölt görbétől. Ahogyan a járművezető a felgyorsítás folyamán fokozatosan növeli a gépezet teljesítményét (a 2.19 ábrán bemutatott módhoz hasonlóan), megadhatunk sorban olyan NF darab (v, Fv) értékpárt, amelyeken végigmenve gyorsítja fel a járművezető a járművet, illetve a vonatot. Tegyük fel, hogy a 2.25 ábrán bemutatott vonóerő görbesereg egyes vonóerő-görbéin az alábbi módon halad végig a járművezető a felgyorsítás folyamán (2.26 ábra):

2.66

v8

Fv1 F F

2v1 v

Fv2

v3

v3 v4

FFv4

v5

Fv6

Fv

Fv7

v5

v

2.26 ábra

Így az alkalmazott (v, Fv) értékpárok a következők: (v1, Fv1), (v2, Fv2), (v2, Fv3), (v3, Fv4), (v3, Fv5), (v4, Fv6), (v4, Fv7), (v5, Fv8) lesznek; általános alakban: [ ]Fvii NiFv ,....,1),,( = .

Ezt a részteljesítmény-átkapcsolási rendet természetesen más sebességeken, más résztelje-sítmény-fokozatok felhasználásával is meg lehet valósítani, így az egyes járművezetők vezeté-si stílusát is modellezni lehet (pl. az egyik finom fokozatokban gyorsít, a másik nagyobb, dur-vább lépésekkel). Meg kell még azt is jegyezni, hogy itt az egyszerűség kedvéért ugrásszerű teljesítmény-átkapcsolást (v2, v3 és v4 sebességeknél) tételeztünk fel. A valóságban a vezérlési rendszertől függően folytonos, az időtől és a sebességtől is függő Fv(t, v) görbével történik meg a teljesítmény-fokozatok váltása, ezt is lehet modellezni, ha ismerjük a vezérlési rendszer működését. Továbbá egy meghatározott részteljesítményhez tartozó Fv(v) görbén nemcsak a két végpontot szoktak felvenni (vi, Fi) pontként, hanem közötte is annyit, hogy két szomszé-dos pontra illesztett egyenesnek a mért Fv(v) görbétől való eltérése minél kisebb legyen. Álta-lános esetben a 2.26 ábrán látható felgyorsítást a 2.27 ábrán bemutatott pontsorhoz hasonló módon modellezik:

1v vi

F

1F

v

Fi

NF

Nvv

2.27 ábra

Az Fe menetellenálláserő két összetevőből áll: az Fe,0 alapellenálláserőből és az Fe,p pálya-ellenálláserőből:

2.67

peee FFF ,0, +=

ahol az Fe,0 alapellenálláserő függvényét szintén a mért számértékekre illesztett függvény-görbével adják meg, amely a szokás szerint másodfokú polinóm:

( )20, ... vcvbaGF vonate ++= , illetve ( )2

0, .. vcaGF vonate += (2.27 ábra):

A kétféle képletnek az az oka, hogy mivel mért pontokra történő görbeillesztésről van szó, az adott mérési (v,Fe) pontpár-halmazra vagy a lineáris tagot is tartalmazó képlet, vagy a lineáris tagot nem tartalmazó képlet ad jobb közelítést a mérési pontokra. Így ez bizonyos mértékig a mérésnek is függvénye.

v

F .(a + b.vonate,0 G + c.vv 2)

v

.(a + c.vvonatG

Fe,0

)2

2.28 ábra

A képletekben GvonatkN a vonat, vagy a jármű súlya kN-ban. A görbeillesztést úgy hajtják

végre, hogy az alkalmazott a, b és c együtthatókkal az Fe,0 alapellenállási erő értékét N-ban kapják meg, ha a sebességet km/h-ban helyettesítjük be. A vonat súlya helyett az egyes ko-csik súlyát külön-külön is figyelembe vehetjük, ez főleg akkor célszerű, ha az egyes kocsik-nak más és más az alapellenállási képletben az a, b és c együtthatóik. Szokás, hogy az ellenál-lási erőknek a fajlagos w értékét alkalmazzák, ezzel az alapellenállási erő:

( ) kNNe

kNvonat

kNvonat

Ne wGvcvbaGF /

0,2

0, .... =++=

A pályaellenálláserőnek is két összetevője van, az emelkedések (lejtések) által okozott elő-jeles Fp,em emelkedési ellenálláserő és a pályaívek által okozott Fp,ív kanyarulati ellenállási erő:

kNNív

kNvonat

kNNem

kNvonatívpemppe wGwGFFF //

,,, .. +=+=

A fajlagos wemN/kN emelkedési ellenálláserő számszerűen megegyezik az 0/00-ben kifeje-

zett e0/00 lejtéssel:

00/0/, .. eGwGF kK

vonatkNN

emkNvonat

Nemp ==

A fajlagos wívN/kN ívellenálláserő elsősorban az R pályaívsugártól függ; a mérési eredmé-

nyekre illesztett tapasztalati függvények közül a hazai gyakorlatban legismertebb a Röckl-féle képlet:

( ) [ ]N/kN 55

650/

−=

mkNN

ív RRw

2.68

A vasúti pályát úgy építik, hogy bizonyos, a hosszszelvényben megadott pályaszakaszokon belül az emelkedés (lejtés), illetve a pályaívsugár állandó értékű, így mind a wp,em , mind a wp,ív(R) lépcsős függvény:

x

egyenes

xx"0 "1

p, emw N/kN

p, ívw N/kNR12

0x'

01e12

'1x sík

e

egyenes x"

x"2 "x 3 4x"

e

34

e23

R

x'2 34sík 4x'

'3 e'5x

45

x'

2.29 ábra

tehát az Fe, p pályaellenálláserő az x úthossznak is függvénye.

Mivel a pályaszakaszok hosszszelvényében az emelkedők és a pályaívek egyes pályaszaka-szainak kezdő- és végpontjai sohasem egyeznek meg, a gyakorlati számításokhoz célszerű egyesíteni a hosszszelvény kétféle útszakasz-értékhalmazát úgy, hogy egy meghatározott pá-lyaszakaszon belül az emelkedők és a pályaívek állandók legyenek (2.30 ábra).

x

0 1

(x)pw

x x1 2

e12

p, ívwR

x

egyenes

x" "

12

N/kN

0x' x'1

p, emw N/kNe01

2 3 4

p, em, j

x j

p, jw w=

x

p, ív, j+ w

e34'2 x'3 x'

34

egyenes

"x "x

R

e23

x'4

x"

x"

x'5

45e

2.30 ábra

Ekkor a menetellenállás függvénye az alábbi szerkezetű lesz:

[ ] =+++== ∑ )(.)..(),()(

2 xwGvcvbaGvxFF pvonatvonat

ee

[ ] [ ] [ ] =+++= ∑∑∑ )(.....)(

2

)()(xwGvcGvbGaG pvonat

vonatvonatvonat

2.69

)()()( 2vDvCxBA +++=

ahol A az alapellenálláserő állandó tagja, B(x) tartalmazza a pályaellenálláserőt, C(v) és D(v2) az alapellenálláserő lineáris és másodfokú tagját jelenti. Itt is emlékeztetünk arra, hogy az „egész vonatra” történő összegzés azt jelenti, hogy a vonatot alkotó különböző típusú kocsik alapellenálláserejét összegezhetjük, akár minden egyes kocsira.

Végül ne felejtkezzünk meg arról sem, hogy a jármű (vonat) mv tömege is változhat az x megtett út függvényében, amint azt a 2.5.2 fejezetben a 2.21 ábrán már bemutattuk, az utaslét-szám, vagy az áruteher változásának érzékeltetésére, tehát

1, ha ;)( +≤≤= kkkvv xxxmxm

Végeredményben ha az Fe menetellenálláserő függvényét az egyesített wp(x) fajlagos pá-lyaellenállási tényezővel írjuk fel, továbbá feltüntetjük az m(x) vonattömegnek a lehetséges változását is az x út függvényében, a képlet a következő alakú lesz:

)(.).()(.).( 0,0, xwgxmvwgxmFFF ppeee +=+= ;

nem felejtkezve meg arról, hogy szükség esetén összegezni kell a különböző járműtípusok alapellenálláserejét. Ebben a képletben w0(v) függvénye algebrai képlet alakjában áll rendelkezésre, wp(x) függvénye viszont szakaszonkint állandó érték.

Most már rátérhetünk a mozgásegyenlet megoldására. A felgyorsítás (illetve sebességtar-tás) esetében a vonatra az Fv vonóerő és az Fe menetellenálláserő hat, így a mozgásegyenlet:

)(. tamFF gvev =− ;

behelyettesítve: 2

20 ).()(.).()(.).()(

dt

xdxmxwgxmvwgxmvF vpvvv =−−

Kifejezve a legmagasabb (a második) deriváltat:

)(.)(.)()(

02

2xwgvwg

xmvF

dt

xdp

vv −−=

A mozgásegyenlet jobboldalának az az érdekessége, hogy az Fv(v) és w0(v) mennyiségek a járműsebességnek folytonos függvényei. Ezek közül az w0(v) függvényt akár algebrai függ-vény alakjában lehet használni és abba v behelyettesítésével a függvényértéket megkapni, akár egyenes szakaszokkal is lehet közelíteni és a lineáris függvénybe kell a sebességet behe-lyettesíteni. A vonóerő Fv(v) függvénye csak a ráfektetett egyenes szakaszokkal használható. Az mv(x) és wp(x) mennyiségek viszont olyan lépcsős függvények, amelyek állandó értékűek egy-egy meghatározott xi – xi+1 pályaszakaszon belül. Ez azt jelenti, hogy egy ilyen xi – xi+1 pályaszakaszon belül az mv(x) és wp(x) mennyiségek állandó értékűek. A mozgásegyenletet úgy oldhatjuk meg, hogy behelyettesítjük ezt az állandó értéket és a megoldás során ellenőriz-zük a modell szimulált megtett x útját, és ha elértük a kérdéses pályaszakasz határát, új mv(x), illetve wp(x) mennyiséget kell meghatározni és ezen új számértékekkel folytatni a mozgás-egyenlet megoldását. Numerikus megoldási módot alkalmazva ennek nincs akadálya.

Ez a tény viszont lehetőséget ad zárt alakú megoldás meghatározására is, tehát olyanra, amely nem diszkrét számértékek sorát határozza meg megoldásként, hanem megadja a megol-dás algebrai függvényét. Ugyanis ha az mv(x) és wp(x) mennyiségek állandó értékűek egy bi-zonyos xi – xi+1 pályaszakaszon belül, akkor a mozgásegyenlet a következő alakba is írható:

2.70

jpiv

v wgvwgm

vFdtdv

dt

xd,0

,2

2.)(.

)(−−== ;

ahol mv,i = állandó, ha xi ≤ x ≤ xi+1 , valamint wp,j = állandó, ha xj ≤ x ≤ xj+1 . Így a mozgás-egyenlet olyan elsőrendű differenciálegyenlet lett, amelyben – ha az Fv(v) és w0(v) mennyisé-geket egyenes szakaszokkal (tehát lineáris függvényekkel) közelítjük, elsőrendű, állandó együtthatós, lineáris, inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely zárt alakban megoldha-tó. Az alábbiakban mindkét megoldási módot vázoljuk.

2.6.2.1 A mozgásegyenletek megoldása numerikus módszerrel A differenciálegyenletek numerikus megoldási módszereit bővebben a 2.7 fejezetben tár-

gyaljuk, itt röviden csak annyit említünk meg, hogy az elterjedten használt numerikus mód-szerek diszkrét t1, t2, ...., ti, .... , tN időértékekhez (független változó-értékekhez) diszkrét x1, x2, ...., xi, .... , xN , valamint v1, v2, ...., vi, .... , vN függvényértékeket határoznak meg. A moz-gásegyenlet másodrendű alakjából kell kiindulnunk (az előbb levezetett elsőrendű differen-ciálegyenletre alkalmazva a numerikus megoldást, nem kapjuk meg a megtett útra az x1, ...., xi, .... , xN függvényérték-sort!). A programkönyvtári programok algoritmusai gyakorlatilag kivétel nélkül elsőrendű differenciálegyenletekre vannak kidolgozva, ezért a másodrendű dif-ferenciálegyenletet át kell alakítanunk elsőrendű egyenletekké megfelelő új változó bevezeté-sével:

az eredeti egyenlet: )(.)(.)()(

02

2xwgvwg

xmvF

dt

xdp

vv −−=

Legyen az új változó a sebesség: vdtdx

= ; ezzel a gyorsulás: dtdv

dt

xda ==2

2 ;

így a két elsőrendű differenciálegyenlet:

)(.)(.)()(

0 xwgvwgxmvF

dtdv

pvv −−= ;

vdtdx

=

Mivel a könyvtári programok általában szubrutin-alakban állnak rendelkezésre, ezért egy alkalmas keret-programot kell összeállítani, amely végrehajtja az adatbeolvasást és behívja a differenciálegyenletrendszert megoldó szubrutint, valamint végrehajt minden szükséges egyéb kiegészítő számítást. Erre a keretprogramra mutat egy lehetséges megoldást a 2.31 ábrán látható folyamatábra:

2.71

(v )wv

Numerikus megoldás:képzése, új t, x, v meghatározása

t, x, v

A d

iffer

enci

áleg

yenl

et n

umer

ikus

in

tegr

álás

a:

folytatás

dxdtdt

dv és

VÉGE

benne van

Vége ?

ellenőrzéseszakaszának

x kilépett

benne van

, v

szakaszánakv

ellenőrzése

, x0t 0

kilépett

0

0 0 0

"v " szakaszának kiválasztása:

"x " szakaszának kiválasztása:

Induló értékek: t

ADATBEOLVASÁS

Elők

észí

tő sz

akas

z:

0

0 0(x )m

(v )vF 0

(x ) és wv 0 p

0, x0

KEZDET

, v0

2.31 ábra

A differenciálegyenlet numerikus megoldása azzal kezdődik, hogy a szükséges adatok be-olvasása, valamint a (t0, x0, v0) kezdeti értékek beolvasása után az „Előkészítő szakaszban” meg kell keresni, hogy egyrészt a megadott, illetve éppen érvényes x0 út a vonattömeg mv(x) lépcsős függvényében melyik (xk, xk+1) tartományba (2.31 ábra), valamint a fajlagos pálya-ellenállás wp(x) lépcsős függvényének melyik (xi, xi+1) tartományába (2.30 ábra) esik bele, mert így kapjuk meg az aktuális mv(x0) és wp(x0) értékeket, másrészt hogy az éppen érvényes v0 sebességhez melyik Fv(v0) vonóerő és w0(v0) fajlagos alapellenálláserő tartozik. Ezt a négy

számértéket behelyettesítve a dtdv és

dtdx differenciálegyenletekbe indulhat a numerikus meg-

oldás.

A megoldás algoritmusának központi része a megjelölt „A differenciálegyenlet numerikus megoldása” szakasz. Ebben a szakaszban az idő t0 értékét ∆t-vel léptetve, és behelyettesítve a

dtdv és

dtdx differenciálegyenletekbe, új t, x, v értékhármast kapunk. Ezt a léptetést mindaddig

folytatja a program, amíg vagy az időkorlátot el nem éri (adott idejű mozgás szimulációja), vagy a megteendő út végére nem ér (megadott úton való végigfutás szimulációja). Az idő léptetése során folyamatosan ellenőrizni kell a numerikus megoldás során elkövetett

2.72

képlethibát, a felmerülő számítási hibák ellenőrzési lehetőségeivel és a hibák csökkentési lehetőségeivel a 2.7 fejezetben részletesen is foglalkozunk.

A t idő léptetése során azonban minden lépésben ellenőrizni kell, hogy a számított t, x, v értékhármasban a megtett x út, vagy az elért v sebesség még az előzőkben kiválasztott x, illetve v tartományokon belül maradt-e. Ha bármelyikből kilépett, a folyamatábrán látható módon vissza kell lépni az „Előkészítő szakaszba” új mv(x0) tömeg és wp(x0) fajlagos pályaellenálláserő értékek, illetve Fv(v0) vonóerő és w0(v0) fajlagos alapellenálláserő értékek meghatározása céljából. Ezután újból kezdődhet a megoldási szakasz.

2.6.2.2 A mozgásegyenlet megoldása zárt alakban A 2.6.2 fejezetben levezettük a jármű (vonat) mozgásegyenletét:

)(.)(.)()(

02

2xwgvwg

xmvF

dt

xdp

vv −−=

ahol az Fv(v) vonóerő és a w0(v) fajlagos alapellenálláserő a v sebesség folytonos függvénye (az Fv(v) vonóerő csak akkor, ha az egyes részteljesítmények közötti átkapcsolás is egyenes szakasszal van közelítve), míg az mv(x) jármű (vonat) tömeg és a wp(x) fajlagos pályaellenál-láserő a megtett x út lépcsős függvénye, amelyek meghatározott útszakaszokon belül állandó értékű. Amint arra már céloztunk, ez lehetőséget ad arra, hogy a mozgásegyenletben csak a v sebességet tekintsük változónak a t idő függvényében. Ekkor az a(t) gyorsulást a v(t) sebes-ségfüggvény első deriváltjával vehetjük figyelembe:

)(.)(.)()(

02

2xwgvwg

xmvF

dtdv

dt

xdp

vv −−==

Ha most kihasználjuk, hogy az mv(x) és a wp(x) függvények egy-egy megadott útszaka-szon belül állandó értékűek, írhatjuk:

BvwgvFAdtdv

v −−= )(.)(. 0

ahol A és B állandók, mert mv(x) = áll, ha a megtett x útra 1+≤≤ jj xxx és wp(x) = áll, ha a

megtett x útra 1+≤≤ kk xxx , miután az mv(x) járműtömeg az ),( , jvj mx , mvNj ,....,1= ér-

tékpár-halmazzal, a wp(x) fajlagos pályaellenállás az ),( ,kpk wx , wpNk ,....,1= értékpár-halmazzal van megadva.

Alakítsuk át most az Fv(v) és a w0(v) függvényt lineáris függvénnyé olymódon, hogy egye-nes szakaszokat fektetünk mind az Fv(v), mind a w0(v) függvénygörbére (2.32 ábra):

2.73

0,i+1w

w0,i

F

w (v)0

v,i+1

i+1vi v

v

v

F (v)v

v,iF

2.32 ábra

Itt felhasználhatjuk a vontatójárműre megadott vonóerő-jelleggörbe seregnek a 2.27 ábrán bemutatott diszkrét (vi, Fv,i) pontsorral végrehajtott közelítését és egyenes szakaszokkal való közelítését. A w0(v) fajlagos alapellenálláserő függvényére úgy illeszthetünk egyeneseket, hogy egy elvileg tetszőleges v1, .... , vj, .... , vNw diszkrét sebességértékeken kiszámítjuk a jár-műre használt w0(v) függvény értékeit. Viszont számítástechnikailag célszerű ugyanazt a v1, .... , vi, .... , vNF sebesség-sort alkalmazni nemcsak az Fv(v), de a w0(v) görbének egyenes sza-kaszokkal való közelítésére is.

Ekkor a 1+≤≤ ii vvv sebességintervallumra a vonóerő-görbe közelítő egyenes szakasza a hasonló háromszögekből:

i

ivv

ii

ivivvvFF

vvFF

−

−=

−

−

+

+ ,

1

,1,

innen: ( ) ivii

ivivi

ii

ivivivi

ii

ivivv F

vvFF

vvvFF

vFvvvvFF

F ,1

,1,

1

,1,,

1

,1, ... +−

−−

−

−=+−

−

−=

+

+

+

+

+

+

így: bvavFv += .)( , ha 1+≤≤ ii vvv

ahol ii

ivivvvFF

a−

−=

+

+

1

,1, (általában negatív) és ii

iviviiv vv

FFvFb

−

−−=

+

+

1

,1,, .

Hasonlóan a fajlagos alapellenálláserő közelítő egyenesének képlete:

dvcwvvvww

vvvww

vw iiii

ii

ii

ii +=+−

−−

−

−=

+

+

+

+ ...)( ,01

,01,0

1

,01,00 ha 1+≤≤ ii vvv

ahol ii

iivvww

c−

−=

+

+

1

,01,0 és iii

iii v

vvww

wd .1

,01,0,0 −

−−=

+

+

Most behelyettesíthetjük a mozgásegyenletbe az Fv(v) vonóerő-görbe és a w0(v) fajlagos alapellenállás-görbe közelítő egyeneseinek Fv(v) = a.v + b és w0(v) = c.v + d képleteit:

2.74

( ) ( ) =−+−+=−−= BdvcgbvaABvwgvFAdtdv

v ....)(.)(. 0

( ) ( )BdgbAvcgAa −−+−= .....

Most legyen cgAaC .. −= és BdgbAD −−= .. ; ezekkel:

DvCdtdv

+= . ;

illetve a szokásos módon átrendezve:

DvCdtdv

=− .

ahol C és D állandó számértékek egy-egy meghatározott 1+≤≤ ii vvv , illetve 1+≤≤ jj xxx

és 1+≤≤ kk xxx sebesség-, illetve megtett út-intervallumon belül.

Így tehát egy elsőrendű, lineáris, állandó együtthatós, inhomogén differenciálegyenletet kaptunk, amely zárt alakban megoldható. és a keresett v(t) görbére viszonylag egyszerű, al-gebrai függvényt kapunk. Mivel a differenciálegyenletben nem szerepel a megtett út x válto-zója, így a v(t) megoldásfüggvény sem tartalmazza. A megtett út x(t) függvényét a sebesség v(t) függvényének integrálásával kaphatjuk meg:

∫= dttvtx ).()(

Az inhomogén differenciálegyenletek általános megoldása két tagból áll: a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összegéből:

partináltált tvtVtv hom,hom, )()()( +=

A differenciálegyenlet homogén része:

0. =− vCdtdv

Ennek a differenciálegyenletnek az általános megoldását a változók szétválasztásával kap-hatjuk meg. Ekkor:

a homogén egyenlet: 0. =− vCdtdv

Ebből:

vCdtdv .=

Innen: dtCvdv .= .

Mivel így mindkét oldalon csak egyféle változó van, a bal- és a jobboldalt külön-külön integrálhatjuk:

∫ ∫= dtCdtv

..1

2.75

1.ln KtCv += (ahol K1 integrálási állandó)

Mindkét oldalt átírhatjuk exponenciális függvény alakúvá:

2...ln .. 11 Keeeeve tCKtCKtCv ==== +

Így a homogén differenciálegyenlet általános megoldása:

tCált eKtV .

2hom, .)( =

ahol K2 integrálási állandó, C pedig a közelítő egyenes szakaszok adataiból számított érték.

Az inhomogén differenciálegyenlet v(t)inhom, part partikuláris megoldását a Lagrange-féle, az „állandók variálásának” nevezett módszerrel kaphatjuk meg, amely egyúttal az inhomogén differenciálegyenlet v(t)ált általános megoldást is megadja. Ekkor a K2 integrálási állandót az idő függvényének tekintjük. Így a differenciálegyenllet:

tCált etKtV .

hom, ).()( =

Ezt be kell helyettesíteni az inhomogén differenciálegyenletbe, amihez képezni kell az első deriváltat:

tCtC eCtKetKdtdtV

dtd .. .).().()( +=

Az inhomogén differenciálegyenlet az alábbi volt:

DvCdtdv

=− .

Behelyettesítés után:

DetKCeCtKetKdtd tCtCtC =+− ... ).(..).().(

Innen: DetKdtd tC =.).( , illetve: tCeDtK

dtd ..)( −=

Így: 0.. ...)( Ke

CDdteDtK tCtC +−== ∫ −−

Végül az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása:

tCtCtCtCált eKee

CDetKtv .

0... ...).()( +−== −

ahol K0 integrálási állandó, amelyet a kezdeti feltételekből kaphatunk meg. Ha t = t0, és v = = v0, ezekkel:

0.00 . tCeK

CDv +−=

Innen: 0.00 . tCe

CDvK −⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

Így végül a differenciálegyenlet általános megoldása:

2.76

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−=+−= −− tCtCtCtCtC

ált eeCDv

CDeKee

CDtv ..

0.

0.. .....)( 0

).(0 0. ttCe

CDv

CD −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−=

Ennek a függvénynek az általános jellegét az álló helyzetből történő indításhoz tartozó megoldással mutathatjuk be, ahol t0 = 0 és v0 = 0, valamint az Fv(v) vonóerő-görbe és a w0(v) fajlagos alapellenállásgörbe egyetlen egyenes szakasz :

tCvt e

CD

CDtv .

0,0 .)(00

+−===

Az Fv(v) vonóerő-görbét és a w0(v) fajlagos alapellenállásgörbét, valamint a hozzájuk tar-tozó 0,0 00

)( == vttv megoldásfüggvényt pedig a 2.33 ábra mutatja be:

0

00

CD

v(t)

w

s(t)

t

v(t)

(v)v

F

(v)Fv (v)w0

(v)v

2.33 ábra

A megtett út s(t) görbéjének függvényét a v(t) függvény integrálásával kaphatjuk meg:

∫ ∫ ∫∫ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−== −− dte

CDvdt

CDdte

CDv

CDdttvts ttCttC .....).()( ).(

0).(

0 00

sttC Ke

CDv

Ct

CD

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−= − ).(

0 0..1.

2.77

Itt Ks integrálási állandó, amelyet a kezdeti feltételekből kaphatunk meg: ha t = t0, és s = = s0, ezekkel:

ssttC K

CDv

Ct

CDKe

CDv

Ct

CDs +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++−=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++−= −

00).(

000 .1...1. 00

Innen Ks kifejezve:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+=

CDv

Ct

CDsKs 000 .1.

Behelyettesítve:

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++−= −

CDv

Ct

CDse

CDv

Ct

CDts ttC

000).(

0 .1...1.)( 0

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−−= − ).(

000 0.1..1).( ttCeCDv

Ctt

CDs

A megtett út s(t) görbéjének általános jellegét a v(t) görbéhez hasonlóan az álló helyzetből végrehajtott indítás esetére mutatjuk be, ugyancsak a 2.33 ábrán.

2.78

2.6.3 Kéttengelyes vasúti jármű dinamikai modellje adott függőleges pályahibákon való végigfutásának szimulálására (lineáris változat)

A dinamikai modellt egy Gbgs sorozatú fedett, kéttengelyes teherkocsi mozgásának szi-mulációjához építjük fel. A kocsi jellegrajzát a 2.41 ábra mutatja be. A modell segítségével szimulálhatjuk a jármű végigfutását megadott függőleges pályahibákon.

2.41 ábra

A dinamikai modell magában foglalja egyrészt a teherkocsit, másrészt a pályát is, mivel a járműmozgás szimulációjában nem célszerű szétválasztani a járművet és a környezetét, vagyis a pályát. A pálya tömegét közelítő, egyenértékű pályatömeggel, a pálya függőleges rugalmas-ságát és energiaelnyelő képességét a tömeget és az alépítményt összekapcsoló egyenértékű ru-gómerevséggel és csillapítási együtthatóval vesszük figyelembe. A függőleges pályahibákat a regisztrált pályahiba-út görbével vesszük figyelembe mind a jobb, mind a bal sínszál eseté-ben, mintha az egyenértékű rugónak és csillapítónak a pályatömeggel szemközti pontja függő-leges helyzetét adnák meg. Feltételezzük, hogy a végiggördülő jármű kerékpárjainak mozgó terhelése nem befolyásolja számottevően a mért pályahiba-görbéket.

Vegyük sorra a következőkben a vizsgált jármű dinamikai modellje felépítésének egyes lépéseit.

1. lépés: a modellezendő jármű megválasztása. A Gbgs sorozatú fedett teherkocsit azért választottuk ki, hogy a dinamikai modell viszony-

lag egyszerű és kisméretű legyen, mert így a Segédlet keretébe viszonylag egyszerűen belefér.

2. lépés: a modell tömegelemeinek meghatározása A modell tömegelemeinek meghatározásában azt az alapelvet használjuk fel, hogy a kivá-

lasztott tömegelemet merev, diszkrét tömegnek lehessen tekinteni, tehát a tömegelem defor-mációja (pl. a kocsiszekrény függőleges behajlása) elhanyagolható legyen a tömeg elmozdulá-

2.79

sához képest (pl. a kocsiszekrény függőleges lengése). Ezért a modellünk tömegelemei a kö-vetkezők lesznek:

a/ kocsiszekrény: a valóságos szekrénnyel azonos főméretű és tömegű, homogén tömeg-eloszlású téglatest, amely a szekrényen kívül tartalmazza a rugózásnak a szekrényhez kapcso-lódó elemeit, valamint a laprugók tömegének egyharmad részét. A szükséges tehetetlenségi nyomaték-értékeket a tömegből és a főméretekből határozzuk meg;

b/ kerékpár (menetirány szerint első): az eredeti kerékpárhoz hasonló, de egyszerűsített ala-kú forgástest, az eredeti kerékpárral megegyező tömeggel és tehetetlenségi nyomatékokkal, tartalmazza még a rugóbekötéseknek a csapágytokhoz kapcsolódó elemeit, valamint a lapru-gók tömegének egyharmadát;

c/ kerékpár (menetirány szerint második): az eredeti kerékpárhoz hasonló, de egyszerűsített alakú forgástest, az eredeti kerékpárral megegyező tömeggel és tehetetlenségi nyomatékokkal, tartalmazza még a rugóbekötéseknek a csapágytokhoz kapcsolódó elemeit, valamint a lapru-gók tömegének egyharmadát.

d/ egyenértékű pályatömegek (mindegyik kerék alatt): értéküket a szakirodalomban található ajánlások alapján vehetjük fel.

A 2.42 ábra vázlatosan mutatja be a dinamikai modell tömegeit, valamint rugalmas és disszipációs elemeit.

x

uzpj(s )2

zpb(su )2

uzpj(s )1

uzpb(s )1

s

sp

mm

k

2

l

zp dzp

zs dzs

l

xsys

ms z

baljobb

bal

jobb

aa

2

1

d

1 bal jobb

szp

b b

szs

hvy

z

mk

zp

mp

dzs

2.42 ábra

3. lépés: a modell tömegelemeinek szabadságfoka, a figyelembe vett mozgások Mindenekelőtt a koordinátarendszert kell felvenni, hogy az egyes mozgásfajták iránya és

értelme, stb. rögzíthető legyen. Az x tengelyt rendszerint a vh haladási sebesség irányában szokták felvenni, a z tengely függőleges irányú, az y tengely pedig balra vízszintesen van felvéve, hogy a koordináta-rendszer jobbsodrású legyen.

Minden tömegelemnek legfeljebb hat szabadságfoka van: az x-, y- és z-irányú elmozdulás (ux, uy és uz), valamint az ugyanezen tengelyek körüli szögelfordulások (φx, φy és φz). Mivel a vizsgált járműnek a mért függőleges pályaprofilon való végighaladását kívánjuk szimulálni,

2.80

ezért a pálya és a kerekek, illetve a kerekek és a kocsiszekrény között ébredő függőleges erő-ket kell meghatározni, amelyekhez a hozzájuk tartozó függőleges relatív elmozdulások meg-határozása szükséges. Ezek segítségével lehet felírni az egyes tömegelemekre a mozgásegyen-leteket.

Az egyes tömegelemek szabadságfokaihoz a tömegközéppontok x-, y- és z-irányú elmoz-dulásait, valamint a tömegközéppontokon átmenő x-, y- és z-tengelyek körüli szögelfordulá-sokat kapcsoljuk. Így a mozgásegyenletekben az említett irányú elmozdulások, sebességek és gyorsulások, illetve e tengelyek körüli szögelfordulások, szögsebességek és szöggyorsulások lesznek a változók, ezek könnyebb megkülönböztethetősége érdekében az alábbi jelölési és indexelési rendszert alkalmazzuk:

Változók:

- elmozdulások: u

- szögelfordulások: φ

- sebességek: v

- szögsebességek: ω

- gyorsulások: a

- szöggyorsulások: ε

Mivel a tömegelemek közötti kapcsolati erők meghatározásához nem a tömegek középpontjához tartozó mozgásjellemzőket, hanem a kapcsolati pontok elmozdulásait és sebességeit, ezért e pontok mozgásjellemzőinek jelölésére a jobb áttekinthetőség érdekében az alábbi indexelési rendszert alkalmazzuk:

Az első index az elmozdulások, szögelfordulások, stb. irányát jelzi, tehát pl. uz füg-gőleges elmozdulást, φx x-tengely körüli szögelfordulást jelent.

A második index utal a megfelelő tömegelemre: „s” a szekrény, „k” a kerékpár, „p” a pálya. Így pl. uzs a kocsiszekrény függőleges elmozdulása, ωxk az egyik kerékpár x-körüli szögsebessége.

A harmadik index a kerékpárok sorszáma: a menetirány szerinti az első. Így pl. φxk1 az 1. kerékpár x-körüli szögelfordulását, azk2 a 2. kerékpár z-irányú gyorsulását je-lenti.

A negyedik index segítségével a menetirányba nézve bal- és jobboldali jellemzőket különböztethetjük meg. Így pl. uzs1b a kocsiszekrénynek az 1. kerékpárral kapcsolódó baloldali pontjában (a hordrugó névleges bekötési pontjában) a kocsiszekrény elmoz-dulását jelenti. Kiegészítésül a kerékpárokon belül a kerék és a pálya érintkezési pontjának jellemzőit egy ötödik indexszel jelöljük. Így például uzk1ba az 1. kerékpár baloldali érintkezési pontjának függőleges elmozdulását jelöli.

Ezek után az egyes tömegelemek figyelembe vett szabadságfokai a következők:

a/ kocsiszekrény: függőleges z-irányú elmozdulás: uzs

x-tengely körüli támolygás: φxs

y-tengely körüli bólintás: φys

Első közelítésben hanyagoljuk el a kocsiszekrény tömegközéppontjának a rugóbe-kötési pontok síkjától mért magasságát, és tekintsük a kocsiszekrényt olyan egyenletes

2.81

tömegeloszlású síklemeznek, amelynek van az x-tengely körül Θxs, valamint az y-ten-gely körül Θys tehetetlenségi nyomatéka. Ekkor a kocsiszekrény térbeli kimozdult helyzetét – pozitív elmozdulásokat feltételezve – a 2.43 ábra szemlélteti. Az ábr a/ része a jármű előlnézetét (y irányában nézve),a b/ része az oldalnézetet (x irányában nézve) mutatja be :

uzs

l l

a/ részlet

ysy

uzs

b b

xs

x

b/ részlet

z

2.43 ábra

b/ 1. kerékpár: A tömegelemek felsorolásánál megemlítettük, hogy a pályát olyan egyenértékű mp

tömeggel vesszük figyelembe, amely mindig érintkezve kapcsolódik a kerékhez, attól el nem válik. A jármű mozgásának szimulációjában nem vesszük figyelembe se a ke-rékabroncs rugalmasságát, se azt, hogy a futófelület esetleges sérülése megzavarhatja a kerék és a sín gördülő érintkezését. Így a bal- és jobboldali pálya helyettesítő egyenér-tékű mp tömegeit egyszerűen hozzáadhatjuk a kerékpár eredeti mk tömegéhez, így kap-juk a kerékpár kiegészített mkp tömegét, a kerékpár eredeti Θxk tehetetlenségi nyomaté-kához pedig a két mp tömegnek az „a” karral számított tehetetlenségi nyomatékát ad-juk hozzá, ez lesz a kiegészített Θxkp tehetetlenségi nyomaték:

pkkp mmm .2+=

pxkxkp ma ..2 2+Θ=Θ

Így a pályatömegeknek nem lesz külön szabadságfoka. A gördülő mozgás miatt az y-körüli bólintás vizsgálatának nincs értelme, így a kerékpár szabadságfokai:

függőleges z-irányú elmozdulás: uzk1

x-körüli támolygás: φxk1

c/ 2. kerékpár: A kerékpár tömegét és tehetetlenségi nyomatékát az 1. kerékpárhoz hasonlóan

egészítjük ki. Így a szabadságfokok:

függőleges z-irányú elmozdulás: uzk2

x-körüli támolygás: φxk2

A két kerékpár kimozdult helyzetét a 2.44 ábrán láthatjuk:

2.82

u

xk1

u

ab

zk1

ab

1. kerékpár

z

ab

zk2

ba

xk2

yx

2. kerékpár

2.44 ábra

A szabadságfokokhoz tartozó koordinátákat az y koordinátavektorba foglalhatjuk össze:

[ ]Txkzkxkzkysxszs uuuy 2211 ,,,,,, ϕϕϕϕ=

Az y koordinátavektor összetevői az egyes szabadságfokok; ezek statikus mennyiségek, mert azok változásának sem a jellegére, sem azok mértékére nem adnak felvilágosítást. Erre az y koordinátavektor idő szerinti első deriváltja alkalmas:

[ ]Txkzkxkzkysxszs vvvyydtd

2211 ,,,,,, ωωωω== &

A gyakorlati számítások céljára célszerű az y és y& vektorokat egy hipervektorba össze-foglalni, ez az állapotvektor :

[ ]Txkzkxkzkysxszsxkzkxkzkysxszs uuuvvvyy

q 22112211 ,,,,,,,,,,,,, ϕϕϕϕωωωω=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

&

4. lépés: a tömegelemek kapcsolati pontjainak elmozdulásai és sebességei.

A tömegelemek mozgásegyenleteinek felírásához a tömegeket összekötő erőkre (az ú. n. kapcsolati erőkre) van szükségünk. Ezek a rugalmas elemek (rugók) deformáció erőiből, és a disszipatív elemek (lengéscsillapítók) csillapító erőiből tevődnek össze. Ezek meghatározásá-hoz minden egyes tömegelem esetében meg kell határozni a kapcsoló pontok elmozdulását és sebességét a tömegelemek szabadságfokai, valamint ezek idő szerinti első deriváltjainak függ-vényében, tehát az állapotvektor összetevőinek függvényében.

a/ a kocsiszekrény kapcsolati pontjai: A négy kapcsolati pont (a 2.45 ábrán felülnézetben) az 1b, 1j, 2b és 2j.

2.83

zsxuuu

2j

2b

l

1j

1b

l bb

zs2b

u zs2j

zs1jzs1b

ys

u xsy

z

2.45 ábra

A kocsiszekrény tömegközéppontjának uzs elmozdulását és vzs sebességét mindegyik kap-csolati pont elmozdulása és sebessége tartalmazza. Az x és y tengelyek körüli φxs és φys szög-elfordulásokból, illetve ωxs és ωys szögsebességekből eredő összetevők számításánál kihasz-náljuk azt, hogy a φxs és φys szögelfordulások annyira kicsik, hogy ezekre a szögekre érvénye-sek az alábbi közelítések:

xsxs ϕϕ ≅sin és 0,1cos ≅xsϕ ; illetve:

ysys ϕϕ ≅sin és 0,1cos ≅ysϕ

Ezek felhasználásával a négy kapcsolati pont elmozdulása és sebessége a következők:

lbuu ysxszsbzs ..1 ϕϕ −+=

lbuu ysxszsjzs ..1 ϕϕ −−=

lbuu ysxszsbzs ..2 ϕϕ ++=

lbuu ysxszsjzs ..2 ϕϕ +−=

lbvv ysxszsbzs ..1 ωω −+=

lbvv ysxszsjzs ..1 ωω −−=

lbvv ysxszsbzs ..2 ωω ++=

lbvv ysxszsjzs ..2 ωω +−=

b/ az 1. kerékpár kapcsolati pontjai: A négy kapcsolati pont: a hordrugók kapcsolódási pontjai (1b és 1a), továbbá a kerék-sín

érintkezési pontjai (1ba és 1ja) a 2.46 ábrán látható elrendezésben láthatók. A kis elmozdulá-sok és szögelfordulások következtében a kapcsolati pontok elmozdulásainak meghatározásá-ban alkalmazhatjuk az ábra jobboldalán látható egyszerűsített alakot:

2.84

xk1

zk1u

ab

ab

1. kerékpár:

uy

x

zzk1bauzk1b

ab

ab

uu zk1 zk1ja u zk1jxk1

egyszerűsített alak:

2.46 ábra

A hordrugók kapcsoló pontjainak elmozdulása és sebessége:

buu xkzkbzk .111 ϕ+=

buu xkzkjzk .111 ϕ−=

bvv xkzkbzk .111 ω+=

bvv xkzkjzk .111 ω−=

A kerék-pálya érintkezési pontjainak elmozdulása és sebessége:

auu xkzkbazk .111 ϕ+=

auu xkzkjazk .111 ϕ−=

avav xkzkbzk .111 ω+=

avv xkzkjazk .111 ω−=

c/ a 2. kerékpár kapcsolati pontjai: A 2. kerékpár kapcsolati pontjainak elmozdulását és sebességét hasonló összefüggések

írják le, mint amilyeneket a 2.46 ábrából le lehet vonni. Így ezek értelemszerűen a következők:

A hordrugók kapcsoló pontjainak elmozdulása és sebessége:

buu xkzkbzk .222 ϕ+=

buu xkzkjzk .222 ϕ−=

bvv xkzkbzk .222 ω+=

bvv xkzkjzk .222 ω−=

A kerék-pálya érintkezési pontjainak elmozdulása és sebessége:

auu xkzkbazk .222 ϕ+=

auu xkzkjazk .222 ϕ−=

avav xkzkbzk .222 ω+=

avv xkzkjazk .222 ω−=

2.85

5. lépés: az egyes tömegelemek kapcsolati pontjaira ható kapcsolati erők. A tömegeleneket összekapcsoló erők belső erők, egy kapcsolati pontban a két elemre ható

erő egyenlő nagyságú, de ellentétes értelmű, a rugők deformáció-erejéből és a csillapító erőből tevődik össze.

a/ A kocsiszekrény és a hordrugók közötti erők:

( ) ( )bzkbzszsbzkbzszsbzs vvduusF 11111 .. −−−−=

(Mivel Fzs1b a a kocsiszekrényre ható rugó- és csillapító erőt jelenti, ezért a kocsiszekrény kapcsoló pontjának uzs1b elmozdulása és vzs1b sebessége pozitív, míg a kerékpár uzk1b elmozdulása és vzk1b sebessége negatív.)

( ) ( )jzkjzszsjzkjzszsjzs vvduusF 11111 .. −−−−=

( ) ( )bzkbzszsbzkbzszsbzs vvduusF 22222 .. −−−−=

( ) ( )jzkjzszsjzkjzszsjzs vvduusF 22222 .. −−−−=

b/ Az 1.kerékpárra ható hordrugó- és csillapító erők:

( ) ( )bzsbzkzsbzsbzkzsbzk vvduusF 11111 .. −−−−=

( ) ( )jzsjzkzsjzsjzkzsjzk vvduusF 11111 .. −−−−=

c/ Az 1.kerékpárra ható pálya-erők: A kerék-sín érintkezésnél a kerékre ható függőleges kapcsolati erők meghatározása során

kell figyelembe venni a pálya regisztrált, függőleges pályaszint-hibák görbéit. Amikor a vizs-gált jármű végiggördül a meghatározott rugalmasságú és disszipatív képességű pályán. defor-málja a pályát, ezzel megszabva a pályadeformáció erőket. Amikor a mérőkocsi végiggördül a mérendő pályán, az is deformálja egy bizonyos mértékig a pályát, végülis a mérőkocsi nem a terheletlen pályának az elméleti vízszintes síktól mért eltéréseit regisztrálja, hanem egy bizo-nyos mértékig deformált pálya szinthiba-görbéit rögzítik. Mivel a mérőkocsi a terheletlen pá-lyaalakot nem tudja regisztrálni, kénytelenek vagyunk azzal a közelítéssel élni, hogy a mérő-kocsi által deformált és regisztrált pályaalakot terheletlen pályaszint-görbének tekintjük. Ek-kor úgy építhetjük fel a pálya szimulációs modelljét, hogy – a 2.42 ábrán bemutatott módon – az egyenértékű pályatömeget alátámasztó szp merevségű rugónak és a dzp együtthatójú csilla-pítónak a kerékkel szemközti végpontját a regisztrált uzp(s) pályaszint-görbén végiggördülő-nek tekintjük (2.47 ábra):

2.86

1. kerékpár

(s

szp

2. kerékpár

zpju )(s2 uzpj

l

mk

zpdpm

(suzpb 2)l

km

zpd

uzpb

mk

zpdm

zp

p

s

mk

zpd

jobb sínszál

)1)

(suzpj

zps

bal sínszál)

m

zp

p

s

(s1)uzpb(s

pm

2.47 ábra

A bal- és jobboldali sínszálhoz természetesen külön-külön regisztrált pályaszint-görbe tartozik: uzpb(s) és uzpj(s). A A kerekek nem egyidőben gördülnek rá a pályahi-bákra, ha a haladási sebesség vh (tételezzük fel, hogy állandó értékű), és a fél tengely-táv l, akkor a jármű tömegközéppontjának megtett útja:

)(. tstvs h == ,

így az 1. kerékpár útja: ltvlss h +=+= )(1 ;

és a 2. kerékpár útja: ltvlss h −=−= .2

Ekkor az egyes kerekek alatt a pályaszint-görbék aktuális értékei az alábbiak: 1. kerékpár, bal: )).()( 1 ltvusu hzpbzpb +=

1. kerékpár, jobb: )).()( 1 ltvusu hzpjzpj +=

2. kerékpár, bal: )).()( 2 ltvusu hzpbzpb −=

2. kerékpár, jobb: )).()( 2 ltvusu hzpjzpj −=

Ezek birtokában felírhatjuk az 1. kerékpár kerekeire a sínről átadódó függőleges erőket, de csak a rugalmas pályadeformációk értékét határozhatjuk meg, a pálya len-géscsillapító hatásából eredő erőt nem, mert ehhez szükség volna a pályaszint-görbén végigfutó pont sebessége függőleges összetevőjére a megtett út, illetve az idő függvé-nyében, mivel az ébredő erő képlete:

( )[ ] ( )[ ]1111,,1 .. svvdsuusFFF zpbbazkzpzpbbazkzpcsillapítózrugalmaszbazk −−−−=+=

2.87

ahonnan látható, hogy míg az Fz,rugalmas összetevő számításához rendelkezünk az uzpb(s) regisztrált függvénnyel, addig az Fz,csillapító csillapító összetevőhöz szükség van a vzpb(s) függvényre, amit deriválással kaphatnánk meg az uzpb(s) függvényből:

).(.)( tvudtdvsv hzpbhzpb =

viszont ezt a függvényt a pályamérőkocsik nem határozzák meg a pályaszint-görbéből. De kihasználhatjuk azt a tényt, hogy a pályaszint-görbék ordinátái általában eléggé csekélyek, továbbá a hosszmenti változásuk igen lassú, ezért élhetünk azzal a közelítéssel, hogy a pálya függőleges lengéscsillapító képletében elhanyagoljuk a vzpb(s) függvényt. Ekkor az 1. kerékpár kerekeire ható függőleges pályaerők:

( )[ ] bazkzpzpbbazkzpcsillapítózrugalmaszbazk vdsuusFFF 111,,1 .. −−−≅+= ;

és ( )[ ] bazkzpzpjjazkzpjazk vdsuusF 1111 .. −−−≅

d/ A 2. kerékpárra ható hordmű- és pálya-erők:

A b/ és c/ pontokban ismertetett összefüggéseket értelemszerűen alkalmazhatjuk a 2. kerékpárra ható erők képletében, így ezek a következők lesznek:

( ) ( )bzsbzkzsbzsbzkzsbzk vvduusF 22222 .. −−−−=

( ) ( )jzsjzkzsjzsjzkzsjzk vvduusF 22222 .. −−−−=

( )[ ] bazkzpzpbbazkzpbazk vdsuusF 2222 .. −−−≅ ;

és ( )[ ] bazkzpzpjjazkzpjazk vdsuusF 2222 .. −−−≅

6. lépés: az egyes tömegelemek mozgásegyenletei.

A modell minden elemének minden szabadságfokára fel kell írnunk Newton II. tör-vényét.

a/ a kocsiszekrény mozgásegyenletei: A kocsiszekrényre ható függőleges erőket a 2.48 ábra foglalja össze: α/ függőleges rázás: uzs, vzs

A függőleges irányú erők egyensúlya: ∑ = zssz amF .

Behelyettesítve: zssjzsjzsbzs amFbFzsFF .2 211 =+++

vu

Fzs2b

bb

2

y y

Fzs1bzs2jF

x

F

balszsz

1

l

l

zx

zs1j

jobb

2.48 ábra

2.88

Behelyettesítve az erőknek az 5/a pontban levezetett képleteit, kapjuk:

( ) ( ) ( ) ( )−−−−−−−−− jzkjzszsjzkjzszsbzkbzszsbzkbzszs vvduusvvduus 11111111 ....

( ) ( ) ( ) ( ) zsjzkjzszsjzkjzszsbzkbzszsbzkbzszs avvduusvvduus .m.... s22222222 =−−−−−−−−

Behelyettesítve a kapcsoló pontok elmozdulásának és sebességének képleteit, kapjuk:

( )−−−−+− bulbus xkzkysxszszs .... 11 ϕϕϕ

( )−−−−+− bvlbvd xkzkysxszszs .... 11 ωωω

( )−+−−−− bulbus xkzkysxszszs .... 11 ϕϕϕ

( )−+−−−− bvlbvd xkzkysxszszs .... 11 ωωω

( )−−−++− bulbus xkzkysxszszs .... 22 ϕϕϕ

( )−−−++− bvlbvd xkzkysxszszs .... 22 ωωω

( )−+−+−− bulbus xkzkysxszszs .... 22 ϕϕϕ

( ) zsxkzkysxszszs abvlbvd .m.... s22 =+−+−− ωωω

Összevonások és átrendezés után a mozgásegyenlet a következő: 0..2..2..4..2..2..4. 2121 =−−+−−+ zkzszkzszszszkzszkzszszszss usususvdvdvdam

β/ támolygás x-körül: φxs, ωxs

Az x-tengely körül forgató nyomatékok egyensúlya:

∑ Θ= xsxsxM ϕ&&.

A 2.48 ábra alapján a függőleges erők nyomatéka:

( ) ( ) xsxsjzsjzsbzsbzs bFFbFF ε... 2121 Θ=+−+

Behelyettesítve az erők képletét, kapjuk:

( ) ( )[ ] +−−−− bvvduus bzkbzszsbzkbzszs ... 1111

( ) ( )[ ] xsxsbzkbzszsbzkbzszs bvvduus ε.... 2222 Θ=−−−−+

Behelyettesítve az elmozdulások és sebességek képleteit, a mozgásegyenlet a következő lesz:

( )[ ] −+−−+− bbulbus xkzkysxszszs .].[... 11 ϕϕϕ

( )[ ] −+−−+− bbvlbvd xkzkysxszszs .].[.. 11 ωωω

( )[ ] −+−++− bbulbus xkzkysxszszs .].[... 22 ϕϕϕ

( )[ ] xsxsxkzkysxszszs bbvlbvd εωωω ..].[... 22 Θ=+−++−

2.89

Összevonások és átrendezés után a mozgásegyenlet a következő:

+−−+Θ 22

122 ...2...2...4. xkzsxkzsxszsxsxs bdbdbd ωωωε

0...2...2...4 22

122 =−−+ xkzsxkzsxszs bsbsbs ϕϕϕ

γ/ bólintás y-körül: φys, ωys

Az y-tengely körül forgató nyomatékok egyensúlya:

∑ Θ= ysyM

Felhasználva a 2.48 ábrát, a függőleges erők nyomatékai:

( ) ( ) ysjzsbzsjzsbzs lFFlFF Θ=+−+ .. 1122

Behelyettesítve az erők képletét, kapjuk:

( ) ( )[ ] +−−−− lvvduus bzkbzszsbzkbzszs ... 2222

( ) ( )[ ] −−−−−+ lvvduus jzkjzszsjzkjzszs ... 2222

( ) ( )[ ] −−−−−− lvvduus bzkbzszsbzkbzszs ... 1111

( ) ( )[ ] ysysjzkjzszsjzkjzszs lvvduus ϕ&&.... 1111 Θ=−−−−−

Behelyettesítve az elmozdulások és sebességek összefüggéseit, az egyenlet alakja:

( )[ ] ++−++− lbulbus xkzkysxszszs .].[... 22 ϕϕϕ

( )[ ] ++−++−+ lbvlbvd xkzkysxszszs .].[... 22 ωωω

( )[ ] +−−+−−+ lbulbus xkzkysxszszs .].[... 22 ϕϕϕ

( )[ ] −−−+−−+ lbvlbvd xkzkysxszszs .].[... 22 ωωω

( )[ ] −+−−+−− lbulbus xkzkysxszszs .].[.. 11 ϕϕϕ

( )[ ] −+−−+−− lbvlbvd xkzkysxszszs .].[.. 11 ωωω

( )[ ] −−−−−−− lbvlbus xkzkysxszszs .].[.. 11 ωϕϕ

( )[ ] ysysxkzkysxszszs lbvlbvd ϕωωω &&..].[... 11 Θ=−−−−−−

Összevonások és átrendezés után a mozgásegyenlet a következő:

++++Θ 212 ...2...2...4. zkzszkzsyszsysys vldvldld ωε

0...2...2...4 212 =−++ zkzszkzsyszs ulsulsls ϕ

b/ az 1. kerékpár mozgásegyenletei: Az 1. kerékpárra ható függőleges erőket a 2.49 ábra foglalja össze:

2.90

zk1ba

zk1bF

F

ab

F

Fzk1ja

zk1j

ua

b

z

yx

zk1

xk1xk1, zk1, v

2.49 ábra

α/ függőleges rázás: uzk1, vzk1

∑ = 1. zkkz amF

Behelyettesítve: 11111 . zkkjzkjazkbazkbzk amFFFF =+++

Behelyettesítve az 5/a és 5/b pontokban az erőkre kapott képleteket, kapjuk

( ) ( ) −−−−− bzsbzkzsbzsbzkzs vvduus 1111 ..

( )[ ] −−−− bazkzpzpbbazkzp vdsuus 111 ..

( )[ ] −−−− jazkzpzpjjazkzp vdsuus 111 ..

( ) ( ) 11111 ... zkkjzsjzkzsjzsjzkzs amvvduus =−−−−

Behelyettesítve a kapcsoló pontok elmozdulásait és sebességeit, kapjuk:

( )−−+−+− ]..[.. 11 lbubus ysxszsxkzkzs ϕϕϕ

( )−−+−+− ]..[.. 11 lbvbvd ysxszsxkzkzs ωωω

( )[ ] ( ) −+−−+− avdsuaus xkzkzpzpbxkzkzp .... 11111 ωϕ

( )[ ] ( ) −−−−−− avdsuaus xkzkzpzpjxkzkzp ... 11111 ωϕ

( )−−−−−− ]..[.. 11 lbubus ysxszsxkzkzs ϕϕϕ

( ) 111 .]..[.. zkkysxszsxkzkzs amlbvbvd =−−−−− ωωω

Összevonás és átrendezés után kapjuk:

−+++− 11 )..(2...2..2. zkzpzsyszszszszkk vddldvdam ω

=+++− 1)..(2...2..2 zkzpzsyszszszs usslsus ϕ

[ ]).().( ltvulthus hzpjhzpbzp +++=

β/ támolygás x-körül: φzk1, ωzk1

Az x-tengely körül forgató nyomatékok egyensúlya:

∑ Θ= 1. xkxkxM ε

2.91

Behelyettesítve az erőket a 2.49 ábra felhasználásával:

11111 ..... xkxkjzkjazkbazkbzk bFaFaFbF εΘ=−−+

Felhasználva az erőkre levezetett képleteket, az alábbi egyenletet kapjuk:

( ) ( )[ ] +−−−− bvvduus bzsbzkzsbzsbzkzs ... 1111

( )[ ]{ } −−−−+ avdsuus bazkzpzpbbazkzp ... 111

( )[ ]{ } −−−−− avdsuus jazkzpzpjjazkzp ... 111

( ) ( )[ ] 11111 .... xkxkjzsjzkzsjzsjzkzs bvvduus εΘ=−−−−−

Behelyettesítve az elmozdulások és sebességek összefüggéseit, az egyenlet alakja:

( )[ ] +−+−+− blbubus ysxszsxkzkzs .]..[.. 11 ϕϕϕ

( )[ ] +−+−+−+ blbvbvd ysxszsxkzkzs .]..[.. 11 ωωω

( )[ ] ( ){ } −+−−+−+ aavdsuaus xkzkzpzpbxkzkzp ..... 11111 ωϕ

( )[ ] ( ){ } −−−−−−− aavdsuaus xkzkzpzpjxkzkzp ..... 11111 ωϕ

( )[ ] −−−−−−− blbubus ysxszsxkzkzs .]..[.. 11 ϕϕϕ

( )[ ] 111 ..]..[.. xkxkysxszsxkzkzs blbvbvd εωωω Θ=−−−−−−

Összevonások és átrendezés után a mozgásegyenlet alakja:

−++−Θ 1222

1 )....(2...2. xkzpzsxszsxkxk adbdbd ωωε

=++− 1222 )....(2...2 xkzpzsxszs asbsbs ϕϕ

[ ]).().(.. lzvultvuas hzpjhzpbzp +−+=

c/ a 2. kerékpár mozgásegyenletei: A 2. kerékpárra ható függőleges erőkre a 2.49 ábra jelöléseit értelemszerűen alkal-

mazhatjuk. A mozgásegyenletek összeállítása az egyes szabadságfokokra: α/ függőleges rázás: uzk2, vzk2

∑ = 2. zkkz amF

Behelyettesítve: 22222 . zkkjzkjazkbazkbzk amFFFF =+++

Behelyettesítve az 5/a és 5/b pontokban az erőkre kapott képleteket, kapjuk

( ) ( ) −−−−− bzsbzkzsbzsbzkzs vvduus 2222 ..

( )[ ] −−−− bazkzpzpbbazkzp vdsuus 222 ..

( )[ ] −−−− jazkzpzpjjazkzp vdsuus 222 ..

( ) ( ) 22222 ... zkkjzsjzkzsjzsjzkzs amvvduus =−−−−

2.92

Behelyettesítve a kapcsoló pontok elmozdulásait és sebességeit, kapjuk:

( )−−+−+− ]..[.. 22 lbubus ysxszsxkzkzs ϕϕϕ

( )−−+−+− ]..[.. 22 lbvbvd ysxszsxkzkzs ωωω

( )[ ] ( ) −+−−+− avdsuaus xkzkzpzpbxkzkzp .... 12221 ωϕ

( )[ ] ( ) −−−−−− avdsuaus xkzkzpzpjxkzkzp ... 22222 ωϕ

( )−−−−−− ]..[.. 22 lbubus ysxszsxkzkzs ϕϕϕ

( ) 222 .]..[.. zkkysxszsxkzkzs amlbvbvd =−−−−− ωωω

Összevonás és átrendezés után kapjuk:

−+++− 22 )..(2...2..2. zkzpzsyszszszszkk vddldvdam ω

=+++− 2)..(2...2..2 zkzpzsyszszszs usslsus ϕ

[ ]).().( ltvulthus hzpjhzpbzp +++=

β/ támolygás x-körül: φzk2, ωzk2

Az x-tengely körül forgató nyomatékok egyensúlya:

∑ Θ= 2. xkxkxM ε

Behelyettesítve az erőket a 2.49 ábra felhasználásával:

22222 ..... xkxkjzkjazkbazkbzk bFaFaFbF εΘ=−−+

Felhasználva az erőkre levezetett képleteket, az alábbi egyenletet kapjuk:

( ) ( )[ ] +−−−− bvvduus bzsbzkzsbzsbzkzs ... 2222

( )[ ]{ } −−−−+ avdsuus bazkzpzpbbazkzp ... 222

( )[ ]{ } −−−−− avdsuus jazkzpzpjjazkzp ... 222

( ) ( )[ ] 22222 .... xkxkjzsjzkzsjzsjzkzs bvvduus εΘ=−−−−−

Behelyettesítve az elmozdulások és sebességek összefüggéseit, az egyenlet alakja:

( )[ ] +−+−+− blbubus ysxszsxkzkzs .]..[.. 22 ϕϕϕ

( )[ ] +−+−+−+ blbvbvd ysxszsxkzkzs .]..[.. 22 ωωω

( )[ ] ( ){ } −+−−+−+ aavdsuaus xkzkzpzpbxkzkzp ..... 22222 ωϕ

( )[ ] ( ){ } −−−−−−− aavdsuaus xkzkzpzpjxkzkzp ..... 22222 ωϕ

( )[ ] −−−−−−− blbubus ysxszsxkzkzs .]..[.. 22 ϕϕϕ

( )[ ] 222 ..]..[.. xkxkysxszsxkzkzs blbvbvd εωωω Θ=−−−−−−

Összevonások és átrendezés után a mozgásegyenlet alakja:

2.93

−++−Θ 2222

2 )....(2...2. xkzpzsxszsxkxk adbdbd ωωε

=++− 2222 )....(2...2 xkzpzsxszs asbsbs ϕϕ

[ ]).().(.. ltvultvuas hzpjhzpbzp −−−=

Végül összefoglalva a kapott egyenleteket, a modell differenciálegyenletrendszere:

0..2..2..4..2..2..4. 2121 =−−+−−+ zkzszkzszszszkzszkzszszszss usususvdvdvdam

+−−+Θ 22

122 ...2...2...4. xkzsxkzsxszsxsxs bdbdbd ωωωε

0...2...2...4 22

122 =−−+ xkzsxkzsxszs bsbsbs ϕϕϕ

++++Θ 212 ...2...2...4. zkzszkzsyszsysys vldvldld ωε

0...2...2...4 212 =−++ zkzszkzsyszs ulsulsls ϕ

−+++− 11 )..(2...2..2. zkzpzsyszszszszkk vddldvdam ω

=+++− 1)..(2...2..2 zkzpzsyszszszs usslsus ϕ

[ ]).().( ltvulthus hzpjhzpbzp +++=

−++−Θ 1222

1 )....(2...2. xkzpzsxszsxkxk adbdbd ωωε

=++− 1222 )....(2...2 xkzpzsxszs asbsbs ϕϕ

[ ]).().(.. lzvultvuas hzpjhzpbzp +−+=

−+++− 22 )..(2...2..2. zkzpzsyszszszszkk vddldvdam ω

=+++− 2)..(2...2..2 zkzpzsyszszszs usslsus ϕ

[ ]).().( ltvulthus hzpjhzpbzp +++=

−++−Θ 2222

2 )....(2...2. xkzpzsxszsxkxk adbdbd ωωε

=++− 2222 )....(2...2 xkzpzsxszs asbsbs ϕϕ

[ ]).().(.. ltvultvuas hzpjhzpbzp −−−=

Mivel a hét differenciálegyenlet lineáris, definiálhatjuk az alábbi mátrixokat. Az M tömeg-mátrix:

2.94

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Θ

Θ

ΘΘ

=

xkk

xkk

ysxs

s

m

m

m

M

000000000000000000000000000000000000000000

a D csillapítási mátrix:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−−+−

+−−

−−

−−

=

)...(20000..20

0).(200..20.200)...(200..20

000).(2..20.20..20..2..400

..20..200..400.20.200.4

222

222

2

222

adbdbd

ddlddadbdbd

ddlddldldld

bdbdbdddd

D

zpzszs

zpzszszszpzszs

zpzszszszszszs

zszszs

zszszs

és végül az S merevségi mátrix a következő:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−−+−

+−−

−−

−−

=

)...(20000..20

0).(200..20.200)...(200..20

000).(2..20.20..20..2..400

..20..200..400.20.200.4

222

222

2

222

asbsbs

sslssasbsbs

sslsslslsbs

bsbsbssss

S

zpzszs

zpzszszs

zpzszs

zpzszszszszszs

zszszs

zszszs

Emlékeztetőül az y koordinátavektor:

[ ]Txkzkxkzkysxszs uuuy 2211 ,,,,,, ϕϕϕϕ=

Ennek az időszerinti deriváltjai:

[ ] [ ]TxkzkxkzkysxszsT

xkzkxkzkysxszs vvvuuuy 22112211 ,,,,,,,,,,,, ωωωωϕϕϕϕ == &&&&&&&&

és [ ] [ ]TxkzkxkzkysxszsT

xkzkxkzkysxszs aaauuuy 22112211 ,,,,,,,,,,,, εεεεϕϕϕϕ == &&&&&&&&&&&&&&&&

Végül az egyenletek jobboldalán a pályahibák okozta függőleges lengésgerjesztések osz-lopvektora:

2.95

[ ][ ][ ][ ]⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−++++−++++=

).().(..).().().().(..

).().(000

ltvultvuasltvulthuslzvultvuas

ltvulthusg

hzpjhzpbzphzpjhzpbzphzpjhzpbzp

hzpjhzpbzp

Az M, D és S mátrixok, valamint az y , y& , y&& és g vektorok segítségével a mozgásegyen-letrendszert az alábbi mátrix-vektoros alakba foglalhatjuk össze:

gySyDyM =++ ... &&&

A mozgásegyenletrendszer homogén része:

0... =++ ySyDyM &&&

A homogén mozgásegyenletrendszert még tömörebb formába foglalhatjuk össze, ha az y és y& vektorokat a q állapotvektor hipervektorába foglaljuk össze:

[ ]Txkzkxkzkysxszsxkzkxkzkysxszs uuuvvvyy

q 22112211 ,,,,,,,,,,,,, ϕϕϕϕωωωω=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

&

Ekkor írható:

qAqE

SMDMyy

q ..0

.. 11=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−&&

ahol q& az állapotvektor deriváltja, A a rendszermátrix, E az egységmátrix és 0 a zérus-mátrix.

2.96

2.6.4 Kéttengelyes vasúti jármű dinamikai modellje adott függőleges pályahibákon való végigfutásának szimulálására (nemlineáris változat) (Készítés alatt)

2.97

2.6.5 Kéttengelyes vasúti jármű dinamikai modellje adott keresztirányú pályahibá- kon való végigfutásának szimulálására (lineáris változat) (Készítés alatt)

2.98

2.6.6 Kéttengelyes vasúti jármű dinamikai modellje adott keresztirányú pályahibá- kon való végigfutásának szimulálására (nemlineáris változat) (Készítés alatt)

2.99

2.8 A számított eredmények megjelenési formája és további felhasználási lehetőségei

b/ a szimuláció x(t) mozgásfüggvény-halmazának közvetlen felhasználása, illetve az ebből

számítható kapcsolódó eredmények. Itt jegyezzük meg, hogy mivel az N egyenletből álló mozgásegyenlet-rendszer általában csak numerikusan oldható meg, ezért az egyes i-ik (i=1,...,N) számított mozgásfüggvény diszkrét (tj, xij) értékpárok (általában) nagyméretű, M értékből álló halmaza alakjában áll rendelkezésre (2.31 ábra):

x

t

N

t

j

x

x

1 1,j

xt2 j 2,j

t

t

xx , ahol

i=1,...,N

j=1,...,M

i,j

2.31 ábra

Megjegyzés: az x1j, x2,j,...,xNj , j=1,...M halmazok mellett a mozgásfüggvények megoldása szolgáltatja az M1,...,j ,,...,, ,,2,1 =jNjj xxx &&& sebességfüggvény-értékek halmazait is.

A fontosabb alkalmazási lehetőségek az alábbiak lehetnek:

- a )()( txtv ii &= sebességfüggvényekkel ellenőrizhető, hogy teljesíthető-e az előírt menetrend, el tudja-e érni a jármű a megengedett sebessége, stb.,

- a vi(t) sebességfüggvényből ki lehet számítani a hajtómotor ni(t) fordulatszám-idő függvényét, és így a hatásfok ηi(t) függvény is meghatározható.

- a vi(t) sebességfüggvényből ellenőrizhetők a nyomatékváltó átkapcsolási folyamatai;

- stb.