Jednostka modułowa 311[07]O1 Jm. 4/1

Badanie obwodów prądu przemiennego

Opracowanie: A. Wiktor; Z. Zelek

t (s)

U(V)

Mechanizm powstawania SEM sinusoidalnie zmiennej

E = Emax * sin1 kratka = 1[V]

º E = 10*0,707 =7,07[V]

Charakterystyczne wielkości związane z prądem przemiennym

Amplituda (wartość maksymalna) Wartość międzyszczytowa

Współczynniki obliczeniowe dla wartości: skutecznej, średniej międzyszczytowej

najbardziej popularnych przebiegów przemiennych

Ilustracja przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegami przemiennymi

Przebieg B opóźnia się za przebiegiem A o kąt 45° przebiegi są względem siebie przesunięte w fazie.

A=+45°

Przebieg A wyprzedza B o 90°Przebieg B wyprzedza

A o 90°

Przebieg A przesunięty względem B o 180°

Przebieg A w fazie z przebiegiem B przesunięcie 0°

Przedstawianie wielkości w obwodach prądu przemiennego przy pomocy wektorów

Wielkości w obwodach prądu przemiennego można przedstawić za pomocą wektorów, których długość (moduł) zależy od amplitudy, a kąty określające

zwroty wektorów uzależnione są od kątów przesunięcia pomiędzy przebiegami czyli od faz poszczególnych przebiegów.

Przedstawienie wektorów przy pomocy liczb zespolonych (urojonych),postać algebraiczna

Re

Im(2 + j3) – postać algebraiczna

Liczbą zespoloną będziemy nazywać obiekt zapisywany jako (x+jy), gdzie j jest naszą liczbą urojoną, x i y są zwykłymi liczbami rzeczywistymi. 1j 12 j

Płaszczyzna zespolonaOś rzeczywistych

Oś urojonych

Część rzeczywista, rzut modułu na oś rzeczywistych

Część urojona, rzut modułu na oś urojonych.

Moduł wektora (jego długość)

Liczba zespolona i odpowiadający jej wektor wodzący mogą znajdować się w każdym miejscu płaszczyzny

zespolonej, w zależności od wartości oraz znaku części rzeczywistej i urojonej.

Przedstawienie wektorów przy pomocy liczb zespolonych (urojonych),postać wykładnicza

Re

Im

Liczbę zespoloną można przedstawić również w tzw. postaci wykładniczej która jest równoważna postaci algebraicznej.

modułu wektora

erz j

Liczba e – podstawa logarytmu naturalnego e ≈ 2,71828

Argument to kąt o jaki moduł przesunięty jest względem

dodatniej osi liczb rzeczywistych.

ez j 576,3Przykładowo dla wektora z

rysunku boModuł: 6,332 2222 imrez

Argument: 57;5,12

3 re

imtg

Zamiana postaci algebraicznej w wykładniczą

Im

Aby przekształcić zapis algebraiczny do równoważnego zapisu wykładniczego należy: 1.policzyć moduł wektora, 2.policzyć argument czyli kąt ,3.zapisać liczbę w postaci wykładniczej

Zapis algebraiczny liczby z

)34( jz Część rzeczywista

Argument to kąt o jaki moduł przesunięty jest względem dodatniej osi liczb rzeczywistych. Obliczymy

go z wykorzystaniem funkcji tangens kąta

ez j 375

Zapis liczby z w postaci wykładniczej

52534 2222 imrez

37;75,04

3 re

imtg

Część UrojonaCzęść rzeczywista i urojona to przyprostokątne trójkąta prostokątnego a moduł to przeciwprostokątna, stąd jego

długość obliczymy z twierdzenia Pitagorasa

Zamiana postaci wykładniczej w algebraiczną

Postać trygonometryczna

Aby przekształcić zapis wykładniczy do równoważnego zapisu algebraicznego należy skorzystać z zapisu trygonometrycznego: 1.wstawić odpowiednio dane do postaci trygonometrycznej , 2.policzyć i zapisać liczbę w postaci algebraicznej Zapis wykładniczy liczby z

)34( jz

Funkcja cosinus argumentu z uwzględnieniem znaku (przebieg zmienności) dająca część rzeczywistą. Funkcja

sinus argumentu z uwzględnieniem znaku (przebieg zmienności) dająca część urojoną zapisu algebraicznego

Zapis liczby z w postaci algebraicznej

)34()6,08,0(5)37sin37(cos5 jjjz

Moduł wektora

ez j 375

)sincos( jzz

Działania na liczbach zespolonych (dodawanie i odejmowanie)(możliwe jedynie w postaci algebraicznej)

Suma dwu liczb zespolonych z1=(a1+jb1) i z2=(a2+jb2) jest liczbą zespoloną z3, której część rzeczywista jest sumą części rzeczywistych obydwu liczb a część urojona sumą części urojonych liczb z1 i z2 .

)41();83( 21 jzjz

)44()48()13()41()83(21 jjjjzz

Różnica dwu liczb zespolonych z1=(a1+jb1) i z2=(a2+jb2) jest liczbą zespoloną z4, której część rzeczywista jest różnicą części rzeczywistych obydwu liczb a część urojona różnicą części urojonych liczb z1 i z2 .

)41();83( 21 jzjz

)122()48()13()41()83(21 jjjjzz

Działania na liczbach zespolonych (mnożenie)(możliwe w postaci algebraicznej i wykładniczej)

Mnożenie dwu liczb zespolonych z1=(a1+jb1) i z2=(a2+jb2) (postać algebraiczna) wykonujemy jak mnożenie dwumianów w zwykłej algebrze.

)41();83( 21 jzjz

))4(818)4(313()41()83(21 jjjjjjzz

Moduł iloczynu dwu liczb zespolonych z1= r1ej1° i z2= r2ej2° jest równy iloczynowi modułów poszczególnych liczb zespolonych a argument jest sumą argumentów poszczególnych liczb zespolonych.

ezez jj 502

251 4;2

eezz jj 75)5025(21 8)42(

)435())128()323(()328123( 2 jjjjjj

Działania na liczbach zespolonych (dzielenie)(możliwe w postaci algebraicznej i wykładniczej)

Dzielenie dwu liczb zespolonych z1=(a1+jb1) i z2=(a2+jb2) (postać algebraiczna), wykonujemy poprzez działanie eliminujące niewymierność w mianowniku. W tym celu pomnożymy licznik i mianownik ilorazu obydwu liczb przez liczbę sprzężoną do mianownika czyli liczby z2

)41(*);41();83( 221 jzjzjz

))44()14()41()11((

))48()18()43()13((

)41()41(

)41()83(

)41(

)83(

2

1

jjjj

jjjj

jj

jj

j

j

z

z

Moduł ilorazu dwu liczb zespolonych z1= r1ej1 i z2= r2ej2 jest równy ilorazowi modułów poszczególnych liczb zespolonych a argument jest różnicą argumentów poszczególnych liczb zespolonych.

ezez jj 502

251 4;2 ee

e

e

z

z jjj

j

25)5025(50

25

2

1 5,04

2

4

2

Liczba sprzężona do z2

)18,117,1(17

)2029(

)16441(

)328123(2

2

jj

jjj

jjj