metoda symboliczna analizy obwodów prądu sinusoidalnego

Metoda symboliczna analizy obwodów prądu sinusoidalnego

Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki

Paweł Jabłoński

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

2

Co było do tej pory?

W zakresie prądów stałych: Poznaliśmy podstawy teorii obwodów liniowych

i nieliniowych prądu stałego.W zakresie prądów sinusoidalnie zmiennych: Wprowadziliśmy pojęcia wartości skutecznej,

wskazu, impedancji, kąta fazowego. Znamy związki między wskazami prądu i

napięcia na elementach RLC. Umiemy rozwiązywać proste obwody. Brakuje nam: ogólnej metody rozwiązywania

obwodów prądu sinusoidalnego.

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

3

Na tym wykładzie

Cel: Zapoznanie się z symboliczną metodą analizy obwodów prądu sinusoidalnego.

Zakres: Liczby zespolone (przypomnienie), Fazory Prawa Ohma i Kirchhoffa w postaci zespolonej Impedancja zespolona, zespolona moc

pozorna Wybrane zagadnienia

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

4

Liczby zespolone

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a, b).

Liczby rzeczywiste a i b stanowią odpowiednio część rzeczywistą oraz urojoną liczby zespolonej (a, b).

Liczbę zespoloną z = (a, b) zapisujemy zwykle w postaci kanonicznej

gdzie

jest jednostką urojoną (w matematyce stosujemy symbol i, ale w elektrotechnice i oznacza prąd, dlatego używamy wyjątkowo j).

1Liczby zespolone (przypomnienie)

baz j

1j

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

5

Działania arytmetyczne

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych wykonuje się tak samo, jak na liczbach rzeczywistych z uwzględnieniem, że j2 = −1:

jj

1

)j()(

)j)(j(

)j)(j(

j

j

)j()()j)(j(

)j()()j()j(

)j()()j()j(

22

dc

adbcbdac

dcdc

dcba

dc

ba

adbcbdacdcba

dbcadcba

dbcadcba

Liczby zespolone

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

6

Interpretacja geometryczna

Część rzeczywistą liczby zespolonej z oznaczamy Rez, zaś część urojoną Imz.

Jeżeli w układzie współrzędnych (x, y) będziemy na osi Ox odkładać części rzeczywiste, zaś na osi Oy – części urojone, to otrzymamy tzw. płaszczyznę zespoloną.

Liczbę zespoloną (a, b) interpretuje się geometrycznie jako punkt na płaszczyźnie zespolonej.

Rez

Imz

b

a

a + jb

Liczby zespolone

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

7

Moduł liczby zespolonej

Długość odcinka pomiędzy punktem (a, b) a początkiem układu współrzędnych nazywamy modułem liczby zespolonej a + jb i oznaczamy |a + jb|.

Z rysunku wynika, że

22j babaz

Rez

Imz

b

a

a + jb

|a + jb

|

Liczby zespolone

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

8

Argument liczby zespolonej

Kąt α pomiędzy odcinkiem łączącym punkt (a, b) z początkiem układu współrzędnych a osią rzeczywistą nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczamy arg(a + jb).

Umownie argument przyjmuje wartości z przedziału od −π do π.

Z rysunku otrzymujemy

a

bα

z

bα

z

aα tgsincos

Rez

Imz

b

a

a + jb

|a + jb

|

α

Liczby zespolone

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

9

Zapis trygonometryczny i wykładniczy

Z powyższego wynika, że liczbę zespoloną z = a + jb można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej

gdzie α = arg(a + jb). Korzystając ze wzoru Eulera,

dostajemy postać wykładniczą liczby zespolonej

)sinj(cos ααzz

Rez

Imz

b

a

a + jb

|a + jb

|

α

αeαα jsinjcos

αezz jWzór Eulera

Liczby zespolone

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

10

Działania na liczbach zespolonych

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych najwygodniej przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je w postaci kanonicznej:

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych najwygodniej przeprowadza się, jeżeli zapiszemy je w postaci wykładniczej:

)j()()j()j(

)j()()j()j(

21

21

dbcadcbazz

dbcadcbazz

)j(

2

1j

2

j1

2

1

)j(21

j2

j121

21

2

1

2121

ααα

α

αααα

ez

z

ez

ez

z

z

ezzezezzz

Liczby zespolone

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

11

Operator obrotu

Liczbę zespoloną

nazywamy operatorem obrotu o kąt ψ, gdyż w wyniku mnożenia liczby |z|ejα przez ejψ dostajemy liczbę niezmienionym module lecz argumencie α + ψ, czyli obróconą o kąt ψ.

Wnioski: ponieważ j = ej90°, to– Liczba j jest operatorem obrotu o 90°, zaś

liczba –j jest operatorem obrotu o −90°.– Mnożenie przez j obraca liczbę o 90°,– Dzielenie przez j obraca liczbę o −90°.

ψe j

Rez

Imz

z|z|

α

zejψ

ψ

Rez

Imz

z

α

jz

−jz

Liczby zespolone

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

12

Sprzężenie zespolone

Sprzężeniem zespolonym nazywamy zmianę znaku części urojonej.

Operację sprzężenia oznaczamy gwiazdką:

Liczby zespolone wzajemnie sprzężone mają jednakowe części rzeczywiste i moduły, ale ich części urojone oraz argumenty są przeciwnego znaku.

αα ezez

babajj )(

j)j(

Rez

Imz

b

a

a + jb

|a + jb

|

αα

−b a – jb

z

z*

Liczby zespolone

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

13

Pomocne zależności

Następujące zależności okazują się bardzo przydatne w operowaniu na liczbach zespolonych:

)90j()90j(

90j90j

20j2jj2

jj

jj

1j

bo

j2)()( boImj2

2)()( boRe2

)(

αα

αα

ezzezz

ee

zezezezzzz

bjbajbazzz

ajbajbazzz

zz

Liczby zespolone

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

14

Przebieg sinusoidalny a liczba zespolona

Każdemu przebiegowi sinusoidalnemu o postaci

odpowiada wskaz, który może być rozpatrywany jako odcinek łączący początek układu współrzędnych z pewnym punktem płaszczyzny.

Płaszczyznę tę możemy rozpatrywać jako płaszczyznę zespoloną.

Każdemu punktowi na tej płaszczyźnie odpowiada pewna liczba zespolona.

Wniosek: każdemu przebiegowi sinusoidalnemu odpowiada pewna liczba zespolona.

2Fazory

)sin(2)( ψtωAta ωt

a(t)–ψ

AmA

ψ

A

Re

ImA = Aejψ

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

15

Tę liczbę zespoloną nazywa się zespoloną wartością skuteczną albo fazorem.

Fazor przebiegu

ma postać

Wielkości zespolone podkreślamy. Uwaga: Należy odróżniać A i A, gdyż A

to fazor przebiegu a(t), zaś A to wartość skuteczna (moduł fazora), tzn. A = |A|.

Fazor

)sin(2)( ψtωAta

ωta(t)

–ψ

AmA

ψ

A

Re

ImA = AejψψAeA j

Fazory

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

16

Przejście od fazora do wartości chwilowej

Mając fazor A, możemy otrzymać wartość chwilową a(t) jako

Wyprowadzenie:

]2Im[)( j tωeAta

]2Im[]2Im[

]Im[2

)]sin(j)Im[cos(2

)sin(2)(

jjj

)j(

tωtω

A

α

αtω

eAeAe

eA

αtωαtωA

αtωAta

Fazory

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

17

Fazor pochodnej i całki

Jeżeli przebieg sinusoidalny a(t) ma fazor A, to pochodna czasowa tego przebiegu ma fazor jωA, zaś całka z a(t) ma fazor A/jω.

Wyprowadzenie:

ω

AAe

ωee

ω

Aψtω

ω

Aψtω

ω

Atta

AωAeωeeωAψtωωAψtωωAt

ta

AeAψtωAta

A

ψψ

A

ψψ

ψ

j

1)90sin(

2)cos(

2d)(

j)90sin(2)cos(2d

)(d

)sin(2)(

j

j

1j

90j)90j(

j

j

90j)90j(

j

Fazory

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

18

Wnioski

Różniczkowanie i całkowanie w dziedzinie czasu zostaje sprowadzone do mnożenia i dzielenia w dziedzinie fazorów.

Równania różniczkowo-całkowe opisujące obwody elektryczne stają się równaniami algebraicznymi w dziedzinie fazorów, np.

Zaleta: nie musimy rozwiązywać równań różniczkowo-całkowych, a tylko algebraiczne!

Cena: obliczenia trzeba wykonywać na liczbach zespolonych.

αUeω

I

CIRIωLαtωUti

CRi

t

iL j

j

1j)sin(2d

1

d

d

Fazory

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

19

Uwagi ogólne

Zakładamy, że wszystkie źródła napięciowe i prądowe mają jednakową częstotliwość, chociaż mogą mieć różne fazy.

Jednakowa częstotliwość oznacza, że ich wskazy wirują z tą samą prędkością kątową, zatem pozostają one względem siebie w ustalonej pozycji.

Zakładamy też, że wszystkie elementy są liniowe – tylko wtedy sinusoidalne napięcia powodują przepływ sinusoidalnego prądu.

3Fazory dla elementów obwodu

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

20

Źródło napięcia

Każdemu źródłu napięcia o przebiegu

przyporządkowujemy fazor

Na schemacie elektrycznym źródło zaznaczamy zazwyczaj tylko wartość skuteczną, pamiętając, że źródło to ma pewien kąt fazowy α.

)sin(2)( αtωEte

αEeE j

e(t)

E

E

Fazory dla elementów obwodu

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

21

Źródło prądu

Każdemu źródłu prądu o przebiegu

przyporządkowujemy fazor

Na schemacie elektrycznym źródło zaznaczamy zazwyczaj tylko wartość skuteczną, pamiętając, że źródło to ma pewien kąt fazowy β.

)sin(2)( βtωJtj

βJeJ j

J

J

j(t)


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

22

Fazorowe prawo Ohma dla rezystora

Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla rezystora liniowego zachodzi zależność

Jeżeli sinusoidalny prąd i(t) ma fazor I, zaś sinusoidalne napięcie u(t) ma fazor U, to

Na schemacie dla fazorów rezystor zaznacza się tak samo, jak dla prądów stałych.

Riu u

i R

IRU U

I R

U

I R


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

23

Fazorowe prawo Ohma dla cewki

Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla cewki liniowej zachodzi zależność


Na schemacie dla fazorów cewkę zaznacza się jako reaktancję XL.

t

iLu

d

d

IXU Lj

u

i L

U

I jXL

ILωIωLU

LX

j)(j

U

I XL


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

24

U

I –jXC

u

i C

Fazorowe prawo Ohma dla kondensatora

Niezależnie od kształtu przebiegu czasowego prądu i napięcia, dla kondensatora liniowego zachodzi zależność


Na schemacie dla fazorów kondensator zaznacza się jako reaktancję XC.

tiC

u d1

IXU Cj

I

Cωω

I

CU

CX

1j

j

1

U

I XC


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

25

Elementy RLC – podsumowanie

R L C

LωX L CωXC

1

IXU LjIRU IXU Cj

LXj CXjR

I

U

I

U I

U


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

26

Pierwsze prawo Kirchhoffa

Pierwsze prawo Kirchhoffa dla fazorów przyjmuje postać

tzn. sumujemy algebraicznie fazory prądów w węźle z uwzględnieniem, czy prąd wpływa czy wypływa.

Uwagi: Pamiętamy, że nie wolno dodawać wartości skutecznych, lecz tylko wskazy. Ale fazory, to nic innego, jak algebraiczne oznaczenia wskazów. Dlatego dodawanie algebraiczne fazorów jest równoważne geometrycznemu dodawaniu wskazów.

4Prawa Kirchhoffa dla fazorów

0)( k

kII1 I2

I3I4

I5

054321 IIIII

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

27

Wyprowadzenie

Pierwsze prawo Kirchhoffa dla wartości chwilowych:

Wyrażamy wartości chwilowe przez fazory:

Równania (*) i (**) są częściami urojonymi równania (***)

Jeżeli równanie (***) jest spełnione, to spełnione jest i równanie (*), zatem możemy rozpatrywać to ostanie. Po uproszczeniu

0)( ki

]2Im[]2Im[]Im[2)sin(2)( jjj)j( tωk

tω

I

αk

αtωkkkk eIeeIeIαtωIti

k

kk

0)]2(Im[ j tωkeI

0)2( j tωkeI

0)( kI

(**)

(***)

(*)

Prawa Kirchhoffa dla fazorów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

28

Drugie prawo Kirchhoffa

Drugie prawo Kirchhoffa dla fazorów przyjmuje postać

tzn. sumujemy algebraicznie fazory napięć i sił elektromotorycznych w oczku z uwzględnieniem, zgodności zwrotów strzałek.

Wyprowadzenie tego równania jest analogiczne jak w przypadku pierwszego prawa Kirchhoffa dla fazorów.

0),( k

kk EU

0124321 UEUUUE

E1

U1

U2

U3

U4

E2


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

29

II prawo Kirchhoffa – c.d.

Zapisując równanie wg drugiego prawa Kirchhoffa, korzystamy często od razu z ze związków pomiędzy fazorami prądu i napięcia na poszczególnych elementach.

0)j(j 1123433221 IREIXIRIXE

E1

R1

X2

R3

X4

E2

I1

I2

I3

I4


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

30

Przykład

Obliczyć prąd w obwodzie

nF250

μH9

Ω35

s

rad10

V)45sin(250)(

6

C

L

R

ω

tωte

e

i R

L

C


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

31

Przykład

Obliczamy potrzebne wielkości

Rysujemy schemat dla wartości skutecznych (lub dla fazorów).

Ω4250

10

1025010

11

Ω910910

V50

3

96

66

45j

CωX

LωX

eE

C

L

UR

ULUC

XC

XL

RI

E

e

i R

L

C


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

32

Przykład

Układamy równania (tutaj jest tylko jedno)

Wyznaczamy z niego fazor prądu

Wartość chwilowa wynosi

UR

ULUC

XC

XL

RI

E

A510

50

105)35(5j35

5j35

50

)49j(35

50

)j(

0)j(j

15j30j

45j

30j35

5jarctg

22

45j45j

ee

eI

ee

ee

XXR

EI

IXIXIRE

CL

CL

0 CLR UUUE

A)15sin(25)( tωti


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

33

Impedancja zespolona

Impedancją (zespoloną) dwójnika pasywnego nazywamy iloraz fazorów napięcia na jego zaciskach i pobieranego przez niego prądu:

Jednostką impedancji zespolonej jest om. Impedancja jest liczbą zespoloną

charakteryzującą właściwości dwójnika dla prądu sinusoidalnego.

Uwaga: Z nie jest fazorem, ale podkreślamy ten symbol dla odróżnienia od Z = |Z|.

5Impedancja zespolona

I

UZ

def

Dwójnikpasywny

I

U

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

34

Moduł i kąt fazowy impedancji

W ogólności

czyli

Moduł impedancji Z = |Z| jest zatem ilorazem wartości skutecznych napięcia i prądu dwójnika.

Kąt fazowy impedancji φ = argZ jest różnicą pomiędzy kątami fazowymi napięcia i prądu, czyli jest kątem fazowym dwójnika.

Zespolona impedancja Z łączy obydwie wielkości Z i φ, które dotychczas były rozpatrywane niezależnie.

iu ψψ IeIUeU jj

φψψ

Z

ψ

ψ

ZeeI

U

Ie

UeZ

φ

iu

i

uj)j(

j

j

Dwójnikpasywny

I

U


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

35

Admitancja zespolona

Admitancją zespoloną nazywamy odwrotność impedancji zespolonej:

Zachodzą oczywiste związki

ZY

1def

φφφ

YeeZZeU

IY jj

j

11


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

36

Elementy RLC – impedancja

R L C

LωX L CωXC

1

IXU LjIRU IXU Cj

LXj CXjR

I

U

I

U I

U

LL

L

BX

Y

XZ

jj

1

j

GR

Y

RZ

1

CC

C

BX

Z

XZ

jj

1

j


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

37

Prawo Ohma dla fazorów

Z określenia impedancji wynika prawo Ohma dla fazorów

IZU

UYZ

UI


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

38

Połączenie szeregowe

Połączeniem szeregowym dwójników nazywamy takie ich połączenie, w którym przez wszystkie płynie jeden i ten sam prąd.

Naszym celem jest wyznaczenie impedancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n szeregowo połączonych dwójników o impedancjach Z1, Z2, …, Zn za pomocą jednej tylko impedancji Z.

Z1

Z2

Zn

Z


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

39

Impedancja zastępcza p. szeregowego

Z prawa koła napięć

Z prawa Ohma dla i-tej impedancji mamy Ui = ZiI; uwzględniwszy to w poprzednim wzorze

Impedancja z definicji wynosi U/I, czyli

Impedancja zastępcza szeregowego połączenia równa się sumie impedancji.

nUUUU 21

IZIZIZU n 21

n

iin ZZZZZ

121

Z1

Z2

Zn

U1

U2

Un

U

IA

B

ZUI

A

B


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

40

Połączenie równoległe

Połączeniem równoległym dwójników nazywamy takie ich połączenie, w którym na zaciskach wszystkich dwójników występuje jedno i to samo napięcie.

Do zaznaczenia, że dwójniki o impedancjach Z1, Z2, …, Zn połączone są równolegle stosujemy czasem zapis

Naszym celem jest wyznaczenie impedancji zastępczej, tj. zastąpienie grupy n równolegle połączonych dwójników o impedancjach Z1, Z2, …, Zn za pomocą jednego tylko impedancji Z.

Z1 Z2 Zn

Z

nZZZ |||||| 21


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

41

Impedancja zastępcza p. równoległego

Z pierwszego prawa Kirchhoffa

Z prawa Ohma dla i-tej impedancji mamy Ii = U/Zi, stąd ostatni wzór przyjmuje postać

Impedancja z definicji wynosi U/I, czyli

Odwrotność impedancji zastępczej równoległego połączenia dwójników równa się sumie odwrotności ich impedancji.

nIIII 21

nZ

U

Z

U

Z

UI

21

n

i in ZZZZZ 121

11111

ZUI

A

B

Z1 Z2 ZnU

I1 I2In

A

B

I


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

42

Połączenie równoległe dwóch impedancji

W przypadku dwóch impedancji połączonych równolegle

Po przekształceniu

Z1 Z221

111

ZZZ

21

21

ZZ

ZZZ


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

43

Redukcja impedancji

Wniosek: Impedancję zastępczą dowolnego połączenia dwójników wyznacza się za pomocą zależności analogicznych do tych, które poznaliśmy przy redukcji połączeń rezystorów.

Zatem: Cewkę przedstawiamy jako jXL, a kondensator jako –jXC, Dla połączenia szeregowego sumujemy impedancje, Dla połączenia równoległego sumujemy admitancje, Stosujemy ewentualnie wzory na zamianę trójkąt-

gwiazda i gwiazda-trójkąt.


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

44

Przykłady

R

XC

XL

R

XXZφ

XXRZZ

XXRXXRZ

CL

CL

CLCL

arctgarg

)(

)j()j(j

22

RXCXL

CL

LCLC

LC

LCCL

XX

XXR

R

XXYφ

XXRYY

XXRXXRY

)(arctg

1

11

arctgarg

111

11j

1

j

1

j

11

2

2


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

45

Przykład

9j310

13j30

13

j)3j(30

j3

j30

10j30

10j3010j||30

22

6j4)3j1()9j3(

Ω6j94

24j36

)6j()6j4(

)6j()6j4()6j(||)6j4(

61 3

30 10

3j1

6

1 – j3

3 + j9

6 4 + j6

(Wartości rezystancji i reaktancji w omach)


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

46

Przykład

22

22 jj

j

jjj||j

L

LLC

L

LCLC

XR

XRRXX

XR

RXXXRXZ

2

222

2

r

2222

2222

22222

2

1

0

000Im

R

LLC

CL

LR

CR

ω

C

R

C

LLRω

Cω

Lω

Cω

RLRω

XXXRXRXR

XRXZ CLCL

L

LC

Wyznaczyć pulsację rezonansowąR

CL


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

47

Zespolona moc pozorna

Zespoloną mocą pozorną nazywamy iloczyn fazora napięcia i sprzężonego fazora prądu:

Zwróćmy uwagę na to, że fazor prądu jest sprzężony.

6Zespolona moc pozorna

IUSdef

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

48

Związek z mocą czynną i bierną

W ogólności fazory napięcia i prądu mają postać

czyli

gdzie φ jest kątem fazowym odbiornika, Ale UIcosφ = P (moc czynna) oraz UIsinφ = Q (moc

bierna), zatem

iu ψψ IeIUeU jj

QPS j

φUIφUIUIeUIeIeUeS φψψψψ iuiu sinjcosj)j(jj


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

49

Związek z impedancją

Ponieważ

to

czyli

Mamy też

IZU

2IZS

2)( IZIIZS

22

UYZ

U

Z

UUS


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

50

Moc – podsumowanie

Mamy zatem

Zespolona moc pozorna jest jedną wielkością, która łączy w sobie trzy wielkości: moc czynną, moc bierną i moc pozorną.

Zespolona moc pozorna jest wielkością addytywną – można sumować zespolone moce pozorne różnych elementów, gdyż wykonujemy wtedy w istocie sumowanie mocy czynnych i biernych.

QPIZIUS j2

SQPZIUIS 222

SRIφUIP Recos 2

SXIφUIQ Imsin 2


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

51

Bilans mocy

Bilans mocy polega na sprawdzeniu, czy moc oddana do obwodu przez źródła równa się mocy pobranej przez odbiorniki:

Moc odbiornika obliczamy jako

Moc źródła obliczamy jakoi bierzemy ze znakiem plus, jeżeli strzałki napięcia i prądu są zgodne, a ze znakiem minus, jeżeli są one przeciwne.

źr

źrodb

odb )(SS

2odb IZS

IUS źr


Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

52

Ogólne uwagi

Wszystkie metody poznane podczas omawiania liniowych obwodów prądu stałego po niewielkich zmianach znajdują zastosowanie w analizie obwodów prądu sinusoidalnego.

Najważniejsze zmiany:– Używamy wartości skutecznych i fazorów, czyli liczb

zespolonych, a nie rzeczywistych,– Pojęcie rezystancji (R = U/I) jest uogólnione na impedancję

(Z = U/I, moduł impedancji Z = U/I),– Oprócz rezystancji R występuje reaktancja X,– Znany wzór na moc UI określa moc pozorną, oprócz tego

występuje moc czynna UIcosφ, bierna UIsinφ, oraz zespolona pozorna UI*.

7Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

53

Metody

Używa się następujących znanych już metod:– Metoda równań Kirchhoffa,– Metoda oczkowa,– Metoda potencjałów węzłówych,– Metoda superpozycji.

Prawdziwe są znane twierdzenia Thevenina, Nortona, o zamianie źródła rzeczywistego, o włączaniu dodatkowych źródeł, o wzajemności, o kompensacji.

Należy pamiętać, że równania zapisujemy zawsze dla fazorów, a zamiast rezystancji występuje w ogólności impedancja.

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

54

Przykład

Rozwiązać podany obwód:

a) Metodą równań Kirchhoffa,

b) Metodą oczkową,

c) Metodą węzłową,

d) Metodą superpozycji,

Przeprowadzić bilans mocy.

μF500

mH3

Ω1s

rad1000

Acos102)(

V)45sin(40)(

C

L

R

ω

tωtj

tωte

e(t)j(t)

R C

L

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

55

Co mamy obliczyć?

Mamy obliczyć wszystkie prądy i wszystkie napięcia na elementach.

R

e(t)j(t)

C

L

i1(t) i2(t)

i3(t)uR(t)uL(t)

uC(t) uj(t)

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

56

Obwód dla fazorów

Obliczamy fazory elementów źródłowych:

Obliczamy reaktancje:

R

EJ

XC

XL

I1 I2

I3UR

UL

UC UJ

V)20j20()j(2

40)45sinj45(cos

2

40

2

40

V)45sin(40)(

21

2145j

eE

tωte

A10j10

A)90sin(210cos210)(90j

eJ

tωtωtj

Ω25,0

1

105001000

11

Ω31031000

6

3

CωX

LωX

C

L

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

57

Metoda równań Kirchhoffa

Układamy równania:

Po rozwiązaniu:

R

EJ

XC

XL

I1 I2

I3UR

UL

UC UJ

Ω3

Ω2

Ω1

A10j

V20j20

L

C

X

X

R

J

E

0j)j(

0j

A10j

32

31

321

2

IXIXU

IXIRE

III

JI

LCJ

L

V)33j29(A)3j11(

A10jA)13j11(

3

21

JUI

II

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

58

Wartości chwilowe prądów i napięć

Prądy:

Napięcia:

A)15sin(24,11)(A4,11A)3j11(

Acos210)()(A1010j

A)50sin(217)(A0,17A)13j11(

315j

3

290j

2

150j

1

tωtieI

tωtjtieI

tωtieI

V)75sin(22,34)(V2,34j

Vsin220)(V20j

V)50sin(217)(V17

V)49sin(29,43)(V9,43V)33j29(

75j3

2

50j1

49j

tωtueIXU

tωtuIXU

tωtueIRU

tωtueU

LLL

CCC

RR

jJ

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

59

Metoda oczkowa


Po rozwiązaniu:Ω3

Ω2

Ω1

A10j

V20j20

L

C

X

X

R

J

E

JLCL

LL

UXIXXI

EXIXRI

II

JI

j)j(j

j)j(

A10j

A10j

III

III

2II

2

V)33j29(A10jA)13j11( III JUII

R

EJ

XC

XL

I1 I2

I3

UJII III

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

60

Metoda węzłowa


Po rozwiązaniu:Ω3

Ω2

Ω1

A10j

V20j20

L

C

X

X

R

J

E

JR

EXR

V

JI

LA

1

j

11

A10j2

V)33j29(A)3j11(

A)13j11(V)33j9(

3

1

J

A

UI

IV

R

EJ

XC

XL

I1 I2

I3

UJ

A

B

JXVU

X

VI

R

VEI

CAJ

L

AA

)j(

j31

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

61

Metoda superpozycji

Wyznaczamy prądy składowe:

Po rozwiązaniu:

R

E

XC

XL

I′1 I′2I′3

Ω3

Ω2

Ω1

A10j

V20j20

L

C

X

X

R

J

E

Aj)3(j

A)9j3(j

j

A10j

A)4j8(j

0

3

1

2

31

2

JXR

RI

JXR

XI

JI

XR

EII

I

L

L

L

L

V)33j29(A)3j11(

A10jA)13j11(

3

21

JUI

II

R

J

XC

XL

I″1 I″2

I″3

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

62

Bilans mocy

Mamy:

Moc źródeł:

Moc odbiorników:

R

EJ

XC

XL

I1 I2

I3UR

UL

UC UJ

Ω3

Ω2

Ω1

A10j

V20j20

L

C

X

X

R

J

E

VA)190j290(330290j260j220j260220

)10j)(33j29()13j11)(20j20(1źr

JUIES J

V)33j29(A)3j11(

A10jA)13j11(

3

21

JUI

II

VA)190j290()9121(3j200j169121

)311(3j)10(2j)1311(1j)j( 2222223

22

21odb

IXIXRIS LC

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

63

Twierdzenie Thevenina

Dwójnik aktywny można zastąpić rzeczywistym źródłem napięcia (E0, Zw).

Napięcie źródłowe E0 wyznacza się jako równe napięciu na jego zaciskach w stanie jałowym.

Impedancję wewnętrzną Zw wyznacza się jako równą impedancji zastępczej dwójnika widzianej z jego zacisków po usunięciu z niego wszystkich źródeł (zwarciu źródeł napięciowych i rozwarciu źródeł prądowych).

Dwójnikaktywny

A

B

A

B

ZwE0

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

64

Rzeczywiste źródła napięcia i prądu

Rzeczywiste źródło napięcia o SEM równej E i impedancji wewnętrznej Zw jest równoważne (w stosunku do pozostałej części obwodu) rzeczywistemu źródłu prądowemu o wydajności J i takiej samej impedancji wewnętrznej, przy czym

Rozpływ prądów i rozkład napięć w pozostałej części obwodu nie ulegnie przy tym zmianie.

JZEZ

EJ w

w

E

I

U

Zw

UJ

I

Zw

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

65

Stan dopasowania energetycznego

Stanem dopasowania energetycznego nazywamy stan, w którym na odbiorniku wydziela się maksymalna moc czynna przy stałych parametrach źródła zasilania.

Zachodzi to wtedy, gdy

Moc czynna wydzielana na odbiorniku wynosi wtedy

Taka sama moc czynna wydziela się na rezystancji wewnętrznej.

maxPP I

Z=Zw*

Zw

E0U

w

20

max Re4 Z

EP

wZZ

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

66 w

20

w

20

2ww

2ww

20

wmax

w22w

2w

w2

w2

w20

w22w

2w

w20

max

2w

2w

20

2

2w

2w

0

w

0

Re44)()(

0])()[(

)(2)()(

0])()[(

)(2

0d

d,0

d

d

)()(

)()(

w Z

E

R

E

XXRR

ERPP

RRXXRR

RRRXXRRE

XXXXRR

XXRE

R

P

X

PPP

XXRR

RERIP

XXRR

E

ZZ

EI

ZZ

Stan dopasowania – wyprowadzenie

I

ZZw

E0

Analiza obwodów

Paw

eł J

abło

ński

, Pod

staw

y el

ektr

otec

hnik

i i e

lekt

roni

ki

67

Czego się nauczyliśmy?

Poznaliśmy bardzo wygodną i ogólną metodę analizy liniowych obwodów prądu sinusoidalnego.

Metoda symboliczna jest algebraicznym zapisem tego, co można zrobić na wskazach (geometrycznie).

Wiemy, co to jest fazor, zespolona impedancja, zespolona moc pozorna.

Wszystkie znane już metody analizy obwodów prądu stałego prawie bez zmian stosuje się do analizy obwodów prądu sinusoidalnego, z tym, że obliczenia wykonuje się na fazorach (liczbach zespolonych).

Podsumowanie

metoda symboliczna analizy obwodów prądu sinusoidalnego

Documents