jercicios matematicos

DEL CLCULO MENTAL

Jos Enrique Fernndez del Campo

Madrid, junio 2004

DDeell ccllccuulloo mmeennttaallJos Enrique Fernndez del Campo.

Primera edicin: Madrid, 2004

De esta edicin: Organizacin Nacional de Ciegos Espaoles (ONCE) Direccin General. Direccin de Educacin. Calle del Prado, 24, 28014 Madrid

El autor

Coordinador: Javier Lpez del Rio

Diseo de la cubierta: ONCEDireccin de Comunicacin e Imagen, Gabinete de Diseo.

Realizacin de la edicin: ONCEDireccin de Cultura y Deporte. Departamento de Recursos Culturales.

La presente edicin ha estado al cuidado de Carmen Roig.

ISBN: 84-484-0148-4

D.L.:

Realizacin grfica: INFORNET SYSTEMS. S.L.

Impreso en Espaa Printed in Spain

Dedicatoria

A mi amigo Luis,

Compaero de estudios,

Que me ense a no calcular

Cuando as convena.

Gracias a l, aqu estoy.

7 NDICE

NDICE

Presentacin.................................................................... 11

1. EL CLCULO MENTAL EN EL CONTEXTO

EDUCATIVO................................................................ 15

1.1 El clculo y la resolucin de situaciones

problemticas......................................................... 15

1.2 Un tringulo de destrezas calculatorias bsicas......18

2. UN AMPLIO PANORAMA MOTIVACIONAL................... 21

2.1 Cotidianidad........................................................... 22

2.2 Empleo interdisciplinar............................................ 22

2.3 Valor instrumental en las Ciencias

Fsico-matemticas.............................................. 23

2.4 Variedad de situaciones didcticas para su cultivo... 23

2.5 Graduabilidad........................................................ 24

2.6 Comodidad y rapidez............................................. 24

2.7 Valor de consolidacin de los hechos numricos

elementales y destrezas bsicas...........................25

2.8 Fundamento de los algoritmos escritos.................. 25

2.9 Deteccin de errores en clculos efectuados

por otros medios....................................................25

2.10 Manifestacin y ejercitacin de aspectos

estructurales........................................................ 26

2.11 Familiarizacin con los nmeros, su combinacin,

sus relaciones...................................................... 27

2.12 Ocasin para ejercitar la creatividad e iniciativa

personal............................................................... 27

8 DEL CLCULO MENTAL

2.13 Ocasin para el desarrollo de estrategias de

pensamiento....................................................... 28

2.14 Desarrollo de la memoria inmediata.................... 29

2.15 Ejercitacin de la capacidad de concentracin... 30

2.16 Ocasin para el desarrollo de la atencin

y agilidad mental................................................ 31

2.17 Ocasin para el ejercicio de la flexibilidad

y apertura de mente........................................... 31

2.18 Prestigio social.................................................... 32

2.19 Prestacin social................................................. 32

2.20 Autosatisfaccin................................................. 33

3. DIFICULTADES DIDCTICAS...................................... 37

3.1 Caractersticas del alumno.................................... 37

3.2 Evaluacin del progreso en Clculo Mental........... 40

3.3 Formacin especfica del profesor......................... 45

3.4 Materiales............................................................. 48

4. TCNICAS Y ESTRATEGIAS..................................... 50

4.1 Tcnicas y estrategias para la adicin.................. 51

4.2 Tcnicas y estrategias para la sustraccin........... 59

4.3 Tcnicas y estrategias para la multiplicacin........ 65

4.4 Tcnicas y estrategias para la divisin.................. 73

4.5 Tcnicas y estrategias para el clculo de potencias.. 77

4.6 Tcnicas y estrategias para el clculo de races...... 79

5. ESTIMAR, APROXIMAR.............................................. 80

5.1 Consideraciones generales................................... 80

5.2 Tcnicas y estrategias.......................................... 82

6. GRADACIN Y PREVISIONES CURRICULARES... 87

6.1 Principios didcticos............................................. 87

6.2 Previsiones curriculares........................................ 92

7. PROPUESTA DE EJERCICIOS GRADUADOS............ 104

7.1 Conteos............................................................... 106

7.2 rdenes de unidades........................................... 106

7.3 Sumas..................................................................107

7.4 Descomposiciones aditivas.................................. 111

7.5 Restas.................................................................. 113

7.6 Descomposiciones sustractivas........................... 117

9 NDICE

7.7 Multiplicaciones................................................. 118

7.8 Descomposiciones en productos...................... 124

7.9 Divisiones.......................................................... 126

7.10 Descomposiciones en cocientes....................... 130

7.11 Potencias.......................................................... 130

7.12 Races cuadradas............................................. 132

8. PEQUEA LUDOTECA.............................................. 134

aa)) SSuucceessiioonneess............................................................ 138

1. Tropiezos.......................................................... 138

2. Pin.................................................................... 139

3. Despertando cucos........................................... 140

4. La escalera........................................................ 140

5. La pirmide....................................................... 141

BB)) CCoonnssttrruucccciinn ddee eexxpprreessiioonneess nnuummrriiccaass............... 141

6. Permutaciones................................................. 141

7. El nmero que crece....................................... 142

8. Crecer hecho un lo......................................... 143

9. Crecer cabeza abajo....................................... 143

10. El orden protegido........................................... 143

11. Muertos y heridos............................................ 144

CC)) CCoonnssttrruucccciinn ddee nnmmeerrooss mmeeddiiaannttee ooppeerraacciioonneess. 144

12. El prncipe que prohibi una cifra..................... 144

13. El prncipe que se enamor del 5.................... 145

14. Dos cincos...................................................... 146

15. Las dos cifras del destino................................ 146

16. Tresyds.......................................................... 147

17. Cincocincos..................................................... 147

18. La magia de un ao......................................... 148

19. La clave desintegradora................................... 148

20. El monolito....................................................... 150

21. Desvelar el secreto.......................................... 150

22. El nmero fantasma......................................... 151

23. La diana........................................................... 151

DD)) CCaaddeennaass................................................................ 152

24. Tenis matemtico............................................. 152

25. Ftbol matemtico........................................... 153

26. Ping-pong matemtico.................................... 154

27. Por despistado!............................................... 155

EE)) OOttrrooss jjuueeggooss.. AApprroovveecchhaammiieennttoo mmaarrggiinnaall.............. 156

28. Las torres de Hanoi.......................................... 156

10 DEL CLCULO MENTAL

29. Nim.................................................................. 157

30. Divide y vencers............................................. 157

31. Sol y sombra................................................... 158

32. Ladrones honrados.......................................... 159

33. Una a una........................................................ 159

11 PRESENTACIN

PRESENTACIN

El clculo es, ante todo, clculo mental. Su primera forma en la vida de cada hombre. La ms independiente, universal y estimada. La ms prxima al ser de la Matemtica.

Aparte de la preferencia por lo manipulativo en geometra, qu otros aspectos de la didctica de la matemtica son caractersticos de la enseanza de ciegos?

Esta pregunta, que entonces escuch ponindole un filtro de simple cortesa o curiosidad por parte de un colega con quien hablaba por primera vez, me abrira, sin saberlo, un horizonte de interrogantes e inquietudes que an no se ha cerrado. Los aos transcurridos desde aquel verano de 1989, en Cuenca, me han demostrado que la pregunta naca de un inters y aprecio verdaderos, y que llevaban el sello del investigador experimentado.

La educacin de ciegos, al ver mermada la comunicacin de soporte visual, tal vez podra resaltar dificultades y recursos invisibles a la luz. Algo as como senderos difuminados y an perdidos para el espectro visible, que slo se muestran a los rayos infrarrojos.

No poda eludir pregunta tan directa. En aquel Seminario, se supone era el nico representante presuntamente cualificado en Didctica de la Matemtica para ciegos. Y el atrevimiento puso palabras a un reflejo de imaginacin:


El clculo mental, quizs. Aunque la matemtica es accesible para una persona ciega en igualdad de condiciones que para una persona que ve; salvo en aspectos instrumentales y -muy escasamente- didcticos... Pero el recurso al clculo mental facilita sobremanera el trabajo, al dispensar con frecuencia del empleo de instrumental de clculo que, por lo general, es lento y fatigante...

Entonces, dedicaris tiempo a cultivarlo, no?... Segus algn mtodo especial?... Porque la literatura es muy escasa en ese terreno.

Mtodos. Programacin. Actividades.

Pese a que hayan transcurrido casi quince aos desde aquella conversacin, estas pginas pretenden una respuesta, aunque modesta. Bien que caera en la tentacin de mostrar anticipos en otros lugares.

La finalidad primordial es poner a disposicin de los educadores que tienen relacin con estudiantes ciegos de Primaria y Secundaria un material que pueda contribuir a desarrollar en ellos destrezas calculatorias... -no s decirlo de otra manera- ...aauuttnnoommaass. Esto es: prescindiendo de la escritura, la calculadora o cualquier instrumental especfico de clculo aritmtico.

Pero el trabajo no poda reducirse a un puado de actividades, o a fijar niveles mnimos a lo largo del currculo.

Tras un breve encuadre del papel del clculo mental en la escuela (Captulo 1), haba que intentar justificar la consideracin que merece, ms all de la simple comodidad instrumental. El Captulo 2 ofrece como un verdadero argumentario en favor del clculo mental, ya sean personas ciegas o videntes quienes de l se sirvan. La presentacin es en forma de motivaciones, con referencia a sus efectos benficos.

Y haba tambin que buscar justificacin a su ausencia en el quehacer de aula como forma individualizada en objetivos y tareas, o la carencia de sistematicidad. El captulo 3 inten

13 PRESENTACIN

ta mostrar un panel de dificultades didcticas, no fcilmente soslayables, pero que no alcanzan la categora de eximentes ni disculpas.

El captulo 4 -el de contenido ms claramente matemtico-intenta recopilar y clasificar tcnicas y estrategias aplicables con cada una de las operaciones aritmticas, prolongado en el captulo 5 por las tcnicas de aproximacin y estimacin. No todas son empleadas por los buenos calculistas, ni todas tienen igual grado de eficacia general; su utilidad depender de la situacin a resolver. En cualquier caso, se trata de un muestrario ejemplificado, al que puede acudirse en busca de sugerencias.

La parte ms propiamente didctica la constituyen los captulos 6 y 7. A una exposicin de Principios Didcticos, sigue una breve consideracin sobre objetivos terminales para las distintas etapas y an niveles educativos, que se plasmar en el captulo 7 con una coleccin graduada de ms de 260 situaciones numricas. Puede calificarse de gua didctica, con sealamiento de destrezas/objetivo por operaciones, niveles educativos y dominios numricos.

La inevitable pequea ludoteca del captulo 8 recoge algunas sugerencias para el diseo de situaciones dinmicas que pueden incitar al alumno al cultivo del clculo mental, al margen de contextos reglados, adaptadas a sus necesidades perceptivas; como es lgico, vlidas tambin para estudiantes sin problemas visuales. La matemtica recreativa es, sin duda, matemtica, y su acento dulce puede ayudar a mitigar el esfuerzo amargoso que exige siempre el quehacer abstracto.

Terminado el trabajo, me pregunto qu hay de especfico de la educacin de ciegos en estas pginas. Y no s si debo sonrojarme o alegrarme.

Slo una cosa: la intencin. Espero que sea de alguna utilidad, directa o indirectamente, a los estudiantes ciegos y deficientes visuales; que desarrollen antes, ms y mejor -como reza el adagio italiano- sus habilidades de clculo


mental; que sean ms giles, capaces y seguros al calcular de forma autnoma, sin recurso a medios materiales.

Por otra parte, no me extraa: la matemtica es la misma, con vista o sin ella. Y es tambin idntica la matemtica que tienen que aprender y usar en la escuela los estudiantes todos, tengan o no dificultades de visin.

15 EL CLCULO MENTAL EN EL CONTEXTO EDUCATIVO

1. EL CLCULO MENTAL EN EL CONTEXTO EDUCATIVO

1.1 El clculo y la resolucin de situaciones problemticas

Calcular es obtener nmeros nuevos a partir de otros dados, utilizando las operaciones aritmticas.

La adquisicin de tcnicas de clculo debe permitir resolver problemas y tambin aumentar y profundizar en el conocimiento de los nmeros y de las operaciones. Este conocimiento debe favorecer la flexibilidad y tambin la creacin de rutinas de clculo personal adaptadas a la neutralidad y a los conocimientos previos del alumnado.

Calcular responde a una necesidad de resolucin, la prctica sistemtica fuera de contexto acaba perdiendo sentido y no se logra ninguno de los objetivos.1

Pero el clculo no queda limitado en su valor instrumental. Por el contrario: toma un valor esencial en el campo educativo. Un problema no queda resuelto mientras no se alcance la solucin cuantitativa, si ste es el caso.

Al resolver situaciones problemticas, las etapas de comprensin del enunciado (o percepcin de la situacin), repre-sentacin/traduccin, abstraccin y razonamiento son, sin lugar a dudas, las ms profundas y complejas; y la solucin es imposible sin ellas. Pero quedaran estriles si no fuera posible alcanzar y expresar la respuesta correcta. En las situaciones de carcter cuantitativo, esta respuesta es un nmero, a calcular a partir de los datos.

Los clculos pueden efectuarse:

a) Con ayudas manipulativas. Sean los propios dedos, material general (cuentas, botones, legumbres, palillos, etc.) o especfico (bloques multibase, ciertos bacos, etc.).

1 ALSINA C., C. BURGUES, J. M. FORTUNY, J. GIMENEZ, M. TORRA (1996): Ensear Matemticas. Ed. Gra, Barcelona; pg. 113.


b) Con ayudas grficas. Que van desde simples colecciones de trazos, constelaciones de puntos, figuras diversas, hasta diagramas constructivos, bacos grficos, etc.

c) Mentalmente.

d) Con ayuda de escritura simblica (guarismos). Entre las que se encuentran los algoritmos tradicionales.

e) Con ayuda de instrumental especfico: electrnico o mecnico (calculadora, baco chino-japons, Tinkunako).

Ayudas o soportes calculatorios

Manipulativos Dedos

Material general Legumbres Botones Palillos...

Material especfico No estructurado Tira numrica Cuadro numrico

bacos de repres. Regletas Cousseniaire Bloques multibase

Grficos No estructurado Colecciones de trazos Constelaciones de puntos

Estructurado Diagramas constructivosbacos grficos...

Escritura simblica Simple Listados Tablas de hechos numricos

Compleja Algoritmos escritos

Instrumentos Mecnicos bacos especficos Calculadoras

manuales....

Electrnicos Calculadoras Programas informticos

Mental puro Inmediato o Evocacin de hechos numricos automatizado Evocacin de listados

Pensado (actuacin Verbalizacin sobre repres. Int. de situaciones)

Escritura simblica Fsicas Manipulativas Grficas

La eleccin de una u otra forma o soporte calculatorio viene condicionada por factores varios:

La tendencia: cmo se vienen realizando los clculos en situaciones anlogas inmediatas anteriores.


La va marcada o sugerida por la representacin interior de la situacin, que, a su vez, es fruto de la tendencia en la actividad representativa.

Disponibilidad del material o instrumental adecuado; incluido el de escritura/dibujo para procedimientos escritos o grficos.

La naturaleza de los datos: salvo una destreza notable en clculo mental o artificios muy determinados de clculo manipulativo o grfico, las cantidades de tamao grande (segn el nivel), las expresiones decimales y fraccionarias exigen el empleo de calculadora o algoritmos escritos.

La confianza del resolutor en cada una de las formas de clculo personal.

La condicin sealada, en su caso, por la demanda: mediante clculo mental..., ayudndote de... (baco, caja de aritmtica, material...), por escrito..., etc.

Lo que no significa que la ejecucin se realice necesariamente en una determinada forma: se inicia el camino por una de ellas, pero puede revocarse, para elegir otra que apunta como ms cmoda o segura; con independencia, incluso, de la condicin de demanda: ya se traducir, si es posible y necesario.

A mayor libertad de eleccin -a mayor nivel de destrezas en las diferentes formas de clculo-, mayores posibilidades de avanzar y culminar con xito -subjetivo, al menos- el proceso de solucin. Esto implica:

Capacidad para traducir la situacin a trminos del lenguaje operatorio. En ltima instancia:

Capacidad para traducir expresiones entre lenguajes operatorios.

Capacidad operatoria real en dicho lenguaje.

Aparece as toda una gama de destrezas calculatorias, verdaderos objetivos didcticos.


Como es obvio, en los itinerarios didcticos de iniciacin se aprovechan sinergias entre las diferentes destrezas: importan las traducciones entre los diferentes lenguajes o transformaciones, mucho ms que en la pura resolucin de problemas, donde stas son refuerzos o comprobaciones.

Al tratar de introducir el concepto de adicin, por ejemplo, carecera de sentido acudir a la escritura numrica, o al clculo mental de la suma directa. En cambio, pueden efectuarse sumas para valores pequeos -antes incluso de denominarlas sumas-, sirvindose de recuento de dedos u otros objetos, material diverso, recursos grficos, conteo mental o sus combinaciones.

Por el contrario, la introduccin de una determinada tcnica de clculo mental puede partir de la observacin de descomposiciones en clculo escrito, resultados por calculadora, etc. La confeccin de las tablas de hechos numricos se efecta por lo general mediante clculo mental o manipulacin fsica o grfica...

1.2 UN TRINGULO DE DESTREZAS CALCULATORIAS BSICAS

Secularmente, hablar de clculo aritmtico era sinnimo en la prctica de clculo escrito. Saber calcular equivala a saber aplicar algoritmos escritos de clculo.

Desde hace veinte o veinticinco aos, es creciente el inters por el clculo mental. Incluso por la aproximacin y estimacin como formas de clculo. En Espaa, ha llegado a plasmarse como verdadero objetivo curricular (vase: Elementos bsicos del currculo de Educacin Primaria, Ministerio de Educacin, Ciencia y Deporte, D.830/2003). Su expresin y control ms inmediatos son la verbalizacin de resultados.

La calculadora ha dejado de ser considerada como cmplice y encubridora de impericias calculatorias del alumno, para apreciarla como aalliiaaddaa ddiiddccttiiccaa. Es hoy un instrumen


to que hay que conocer y saber utilizar, alcanzando la categora tambin de objetivo curricular (ibd). E incluso como material de enseanza-aprendizaje del clculo en sus estadios ms elementales2.

Se configura as un Tringulo de Destrezas calculatorias: Clculo Escrito, Clculo Mental y Clculo por Calculadora. En esta ltima pueden considerarse incluidas las tcnicas que se sirven de artefactos o dispositivos, manuales o mecnicos, que reducen la operatoria de clculo a simples ejercicios dgito-manuales, conforme a reglas o normas de ejecucin (baco chino-japons, por ejemplo).

Esta terna de destrezas est presente en la vida toda -no slo escolar- de nuestros alumnos, tanto de Secundaria como de Primaria, y estamos persuadidos de que seguir creciendo en los prximos aos. El inters didctico se orienta en determinar el orden de aparicin, dimensiones y ritmo de desarrollo de cada uno de los vrtices y lados de este tringulo.

Cierto, que tradicionalmente no se ha tenido conciencia de tal tringulo. Incluso en numerosos ambientes, ni siquiera era posible. De cundo ac la calculadora? Acaso no se efectuaban -y efectan- clculos aritmticos por personas y poblaciones -civilizaciones enteras!- no alfabetizadas o carentes de instrumental especfico de clculo?

El clculo mental

Para qu fatigar la mente con prcticas que la calculadora resuelve sin esfuerzo?

En el fondo, tal pregunta trasluce un desconocimiento de la realidad cotidiana y de las posibilidades intelectuales ms elementales.

2 Vase, por ejemplo:

ALSINA, C. (1989): La calculadora en la escuela.

GRUPO 0 (Ismael Blasco y otros), (1997): Matemticas: materiales curricu

lares de Enseanza Primaria (6-12 aos): 1. Estructura y Materiales; 2.

Primer Ciclo; 3. Segundo Ciclo; 4. Tercer Ciclo. MEC. Edelvives, Valencia.


El desarrollo del clculo mental puede considerarse como el objetivo ltimo en el aprendizaje de las cuatro operaciones fundamentales3.

La afirmacin puede juzgarse un tanto maximalista. Pero no olvidemos que uno de los fines prioritarios de la educacin es cooperar en el desarrollo de la autonoma personal del alumno. Autonoma que -para el clculo aritmtico- llega a su culmen en el clculo mental, independiente de medios fsicos, por simples que sean, como lpiz y papel, tiza o arena (por no decir calculadoras).

Por otra parte, su marginacin -consciente o inconsciente-tiene efectos negativos. Es algo ms que parcialidad: es opinin general, como se advierte en el prestigioso y realista Informe Cockroff:

Creemos que la decadencia del trabajo oral y mental en las clases de Matemticas son consecuencia de la falta de reconocimiento y la importancia que el clculo mental tiene en esta asignatura; incluso los mtodos de clculo sobre papel utilizados tradicionalmente se basan en la realizacin mental de determinadas operaciones4.

El itinerario de aparicin de los vrtices de nuestro tringulo de destrezas calculatorias parece claro: clculo mental, escrito y por calculadora. Irn ubicndose cada uno con respecto a los otros, desarrollando y conformando la mayor o menor escalenidad, til y dinmica, en un juego de necesidades reales y conveniencias didcticas. Siempre con referencia a la realidad cotidiana y contextual; conforme a los datos a manejar, como recursos simultneamente disponibles, nunca excluyentes, prestndose mutuos servicios.

3 FERNNDEZ BAROJA F., LLOPIS PARED A., y DE PABLO MARCO C.

(1991): Matemticas Bsicas. Dificultades de aprendizaje y recuperacin.

Ed. Santillana, Madrid. Pg. 201.

4 COCKCROFT, W. S H. (1982): Mathematics counts. Report of the

Committee if Inquiry into the Teaching of Mathematics in Schools under

the Chairmansship of dr. W. H. Cockcroft. London, England: Her

Majestys Stationery office. Pg. 92.

21 UN AMPLIO PANORAMA MOTIVACIONAL

2. UN AMPLIO PANORAMA MOTIVACIONAL

Nos asisten razones de peso que justifican el anlisis que aqu se recoge acerca del clculo mental, su inters didctico y tcnicas concretas: la aplicacin en la enseanza de alumnos ciegos y el propsito de dotar a su profesorado de informacin especfica.

Las dificultades instrumentales para el clculo escrito y la mayor complejidad de uso de los instrumentos especficos de clculo, hacen del clculo mental la modalidad por excelencia para el alumno ciego. La motivacin de comodidad y rapidez lo convierten en prevalente, muy por encima de las otras dos formas. Los rangos numricos de clculo son, en general, muy superiores a los habituales para alumnos videntes del mismo nivel. o edad. (Aunque se carece de constatacin estadstica, basta una simple visita a un aula donde haya un alumno ciego para comprobarlo inmediatamente.)

Bueno ser recordar algunas de las aplicaciones ms palmarias, aceptadas y eficaces y, por ello, fuentes de contagiosa motivacin para el alumno -y para el profesor!-

Basta una simple reflexin para aflorar multitud de aplicaciones prcticas del clculo mental. Algunas de ellas revisten el carcter inmediato de estmulos motivacionales. Otras, lo adquieren con el uso habitual. Por ltimo, algunas de ellas escapan a la percepcin inmediata del alumno pero su valor didctico y formativo confieren dimensiones tal vez impensadas a esta forma de clculo, sobrepasando el carcter de pura destreza para tornarse medio de intervencin pedaggica.

Consideraremos cuatro grandes grupos de argumentos educacionales:

- proximidad de las situaciones de aplicacin - ventajas didcticas especficas- efectos didcticos generales- efectos psicolgicos y comportamentales.


2.1 Cotidianeidad

Cualquiera de nosotros, ya ha ejercitado a media maana una buena decena de veces su capacidad de clculo mental, si no directamente, al menos como elemento corrector o de aproximacin.

Y as, calcula exacta o aproximadamente los minutos que median entre la hora que marca su reloj digital y el comienzo o final de la clase, el importe de las consumiciones del grupo de compaeros en la cafetera, y las vueltas correctas, las pginas de un captulo, sin ms que mirar el ndice, la cuanta absoluta de la subida de sueldo o el anunciado incremento del precio de un servicio, la repercusin efectiva del descuento prometido en un escaparate, etc.

La vida corriente de un ciudadano no importa de qu edad o condicin est plagada de oportunidades para ejercitar el clculo mental en provecho propio y ajeno. Las ocasiones, por repentinas y frecuentes, apenas si dan tiempo -ni falta que hace- al uso del lpiz y el papel o la calculadora.

El alumno tal vez no se enfrente a las mismas situaciones cotidianas que un adulto para ejercitar el clculo mental (tampoco coincidirn para dos adultos); pero s con otras muchas anlogas. Situaciones de compra-venta, puntuaciones deportivas o de juegos, paginaciones, tiempos, previsiones de gasto, etc.

2.2 Empleo interdisciplinar

Y no slo en las reas ms propiamente fsico-matemticas. Desde la determinacin de los aos de vida que disfrut un rey, artista o personaje histrico de relieve, dadas sus fechas de nacimiento y muerte, hasta el tamao relativo de un pas respecto del nuestro, su densidad media, riqueza o producciones. Tal vez sea consecuencia de la creciente cuantificacin que padecen todos los dominios del saber, pero es innegable la abundancia de cifras que adornan cualquier manual o documento de uso en los estudios secundarios o superiores.


A fin de cuentas, es una proyeccin de las situaciones de vida diaria, concretadas a los campos del estudio y la cultura.

2.3 Valor instrumental en las ciencias fsico-matemticas

An ms especfico, mucho ms frecuente en estos mbitos, tambin.

Las primeras y ms importantes situaciones las proporciona la resolucin de problemas, sea como ensayo, estimacin o clculo efectivo. Pero, a medida que se progresa en el curriculum, ascendiendo de niveles educativos, la diversificacin en las reas experimentales multiplica las necesidades calculatorias, all donde la matemtica cobra un papel instrumental ms claro.

En la Educacin Secundaria es de uso permanente. Al margen de los tpicos ms estrechamente relacionados con el clculo: fracciones y proporciones, ecuaciones e inecuaciones, clculos geomtricos, polinomios, etc. La fsica y la qumica se ven forzadas al recurso al clculo aritmtico, facilitado o anticipado por el clculo mental; especialmente, si la astucia y pericia del profesor o autor de las situaciones problemticas propuestas as lo permiten, gracias a la sencillez de los datos. Y, en cualquier caso, como clculo comprobatorio por estimacin.

Estos tres grupos de situaciones o motivaciones surgen espontneamente: ni siquiera es preciso crearlas; son tan frecuentes y prximas, que basta su mencin para que sean aprovechadas como situaciones problemticas. En cuanto a la sensibilizacin en el ejercicio del clculo mental, toca al profesor advertir de su existencia, resaltndolas cuando surjan. Tal como la fotografa matemtica invita a descubrir formas geomtricas, las agencias de detectives y reporteros matemticos descubren situaciones de Clculo Mental en la vida corriente, dentro o fuera del aula.

2.4 Variedad de situaciones didcticas para su cultivo

Sean como unos minutos de precalentamiento -al inicio de cada clase- o las competiciones de clculo; sean como


ejercitaciones ocasionales en el transcurso de la resolucin de problemas -ensayo, estimacin o clculo efectivo-.

En especial, conviene recordar todo gnero de juegos y actividades propias de la matemtica recreativa con base en el Clculo. Desde los solitarios de programas informticos, hasta los juegos de pequeo o gran grupo, verbales, con material ordinario, tableros, fichas y tarjetas peculiares, etc., que cada da proliferan ms en las aulas y en el mercado.

2.5 Graduabilidad

En un triple sentido. Por una parte, consiste en un conjunto limitado de hechos numricos1. Por otra, pueden hacerse aparecer y tratarse mtodos relativamente sofisticados como compensacin, descomposicin, factorizacin, etc., incluso con combinaciones numricas muy sencillas2. Finalmente, la dificultad de los clculos es graduable por el tipo y tamao de las cantidades involucradas.

Todo ello permite adaptar el nivel de dificultad a las posibilidades, curriculum y adiestramiento del alumno. Haciendo asequible el xito, fomentando la seguridad en s mismo y alejando el riesgo de fracaso sistemtico.

2.6 Comodidad y rapidez

Puede parecer una futilidad: libra del esfuerzo de escribir, (Alsina y otros, 1996, 114) o de la tensin de acertar las teclas de la calculadora. Pero si se contempla bajo la perspectiva de la educacin de los ms pequeos o con problemas de motricidad dgito-manual, la observacin est ms que justificada. Y, dentro de los mrgenes de destreza personal -all donde est prescrito-, el clculo mental supera en velocidad incluso al logrado mediante el empleo de la calculadora.

1 GMEZ ALFONSO, B. (1988): Numeracin y Clculo. Ed. Sntesis,

Madrid. Pg. 65.

2 COCKCROFT, W. S H.: op. Cit., Pg. 114.


Otras aplicaciones no sern tan motivantes para el alumno, pero tienen un valor didctico innegable.

2.7 Valor de consolidacin de los hechos numricos elementales y destrezas bsicas

El clculo mental se basa en la continua aplicacin de resultados elementales; dicho de otra forma: evocacin -consciente y orientada- de las tablas de operaciones o hechos numricos. Pero no slo esto: requiere ciertas habilidades -conteos, recolocaciones, compensaciones, descomposiciones, redistribuciones, etc.-, buscando sustituir o alterar los datos iniciales para trabajar con otros ms cmodos, o ms fciles de calcular (Gmez, 1988, 65)

2.8 Fundamento de los algoritmos escritos

Incluso los mtodos de clculo sobre papel utilizados tradicionalmente se basan en la realizacin mental de determinadas operaciones3. Habra que invertir los papeles: el clculo escrito es una ampliacin y ayuda al clculo mental. Sin ste, aqul sera poco menos que inviable.

2.9 Deteccin de errores en clculos efectuados por otros medios

Con tres detectores principales: cifra de las unidades de menor orden, resultado entre las de orden mayor y estimacin global (por no mencionar las tradicionales pruebas del 9 u otras anlogas).

Si al multiplicar por calculadora 437x1898 el resultado que apareciera fuese 823732, est claro que algo falla: en la cifra de las unidades debiera aparecer un 6 -fruto de 7x8=56-; nunca un 2.

En otros casos, pueden ser las cifras correspondientes a rdenes mayores las que denuncien el error. Sera un tanto extrao que 283x5469 nos diera 981727: al multi

3 Cockcroft, W. S H.: op. Cit. pg. 92


plicar 2x5, por muchas unidades del orden anterior que debiramos aadir, nunca aparecera un 9... (tal vez se puls un 3 en lugar del 5 para 5469...)

Asimismo, si multiplicando 1248x3579 la respuesta fuese 43835592, en alguna parte nos hemos equivocado: mil y pico, por tres mil y pico andara entre tres millones y ocho millones, jams por los cuarenta y pico millones. (Obsrvese que aqu s parecen satisfacerse los criterios de las cifras extremas.)

2.10 Manifestacin y ejercitacin de aspectos estructurales

Al efectuar un clculo mental -tambin escrito, aunque encubiertamente- se aplican propiedades definitorias de la correspondiente estructura algebraica: conmutativa, asociativa, distributiva, etc.-; mostrando, a su vez, la proximidad prctica de stas: son algo ms que formalismos hueros. Es decir, se alimenta una motivacin recproca entre estructura y aplicabilidad.

As, al operar 12x37, podemos descomponer:

(4x3)x37 = 4x(3x37) = 4x111 = 444,

aplicando fructferamente la propiedad asociativa; adems, al efectuar 3x37 estamos empleando la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la adicin, junto con la asociatividad de la suma:

3x37 = 3x(30+7) = 3x30+3x7 = 90+21 = (90+20)+1 = 110+1 = 111,

Tcnica habitual para reducir cantidades mayores a menores o buscar operandos ms sencillos o familiares es la descomposicin:

12x37= (4x3)x37 3x37= 3x(30+7)

que algo o mucho tiene que ver con la propiedad asociativa en sentido inverso (propiedad disociativa), el primer


caso, o como paso intermedio de la propiedad distributiva, el segundo.

2.11 Familiarizacin con los nmeros, su combinacin, sus relaciones..

Como afirmara Mialaret, tras una experiencia de tres meses:

Hemos podido asistir a una especie de desarrollo de la imaginacin numrica que nos ha sorprendido grandemente. Los alumnos no solamente calculaban deprisa y bien, sino que no vacilaban en recurrir a combinaciones cada vez menos corrientes4.

Algunos autores (Sowder, 1990)5 hablan de un tratamiento holstico preferente de la operacin y de los operandos. Lo que implica en general un conocimiento en profundidad de la naturaleza y caractersticas de operaciones y cantidades, ms que de su expresin numeral o algortmica. En el origen de este comportamiento se halla la diversidad de situaciones y estrategias aplicables a cada una: para un mismo nmero, y segn el caso, se manejan nmeros contiguos, descomposiciones aditivas y factoriales varias, su doble o mitad, etc.

Tambin debe tenerse en cuenta otro grupo nada despreciable de motivaciones, de las que raramente se hace mencin. Son, es cierto, menos claras en su aceptacin generalizada, incluso en su valor didctico. quizs por la no inmediatez de sus efectos y la consiguiente dificultad de comprobacin objetiva.

22..1122 OOccaassiinn ppaarraa eejjeerrcciittaarr llaa ccrreeaattiivviiddaadd ee iinniicciiaattiivvaa ppeerrssoonnaall

Una operacin aritmtica efectuada mentalmente no tiene, por lo general, una nica va de clculo. Un sencillo ejemplo:

4 MIALARET, G. (1984): Las Matemticas: cmo se ensean, cmo se aprenden. Visor Aprendizaje Madrid. Pg. 59. 5 SOWDER (1990): Mental computation and number sense, Arithmetic Teacher. 37, 18-20.


7 + 5 = 7 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12 (con ayuda de representacin interior o fsica de recuento de dedos)

7 + 5 = (5 + 2) +5 = 5 + (2 + 5) = (5 + 5) + 2 = 10 + 2 = 12

7 + 5 = (2 + 5) + 5 = 2 + (5 + 5) = 2 + 10 = 12

7 + 5 = 5 + 7 = 5 + (5 + 2) = (5 + 5) + 2 = 10 + 2 = 12

7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 12

7 + 5 = 7 + (1 + 4) = (7 + 1) + 4 = 8 + 4 = 8 + (2 + 2) = (8 +2) + 2 = 10 + 2 = 12

7 + 5 = (6 + 1) + 5 = 6 + (1 + 5) = 6 + 6 = 6 x 2 = 12

Tal vez el lector tenga otras. Pero, lo que es ms importante: qu modelos de representacin se estn utilizando?, son tiles a otras operaciones?, a cules s, y a cules no?...

A poco que se reflexione, sorprende la variedad de enfoques posibles. Explorarlos, inspeccionar todas las posibilidades, optar por una de ellas, determinar el orden de actuacin, estudiar las transformaciones ms apropiadas, valorar el resultado, etc., convierte al clculo a secas en clculo pensado. Es un pequeo desafo, una labor inteligente, divertida, personal.6

2.13 Ocasin para el desarrollo de estrategias de pensamiento

Continuando con el ejemplo anterior: son las nicas vas?, cul es la mejor de todas?, por qu?

Estas cuestiones encierran todo un plan de investigacin situacional: anlisis de las cantidades involucradas, estrategias posibles de clculo, anlisis de dificultades, ventajas e

6 GMEZ ALFONSO, B. (1988): Numeracin y Clculo. Ed. Sntesis, Madrid. Pg. 87.


inconvenientes, eleccin, optimizacin, decisin, transferencia a situaciones anlogas, diseo de patrones o estrategias generalizables...

Poco a poco se va conformando en la mente del alumno un programa completo de estudio de situaciones problemticas. Que, si bien se circunscribe en principio al campo de lo numrico, pronto puede servir de matriz para esquemas ms generales y formativos.

Sowder (1990) seala una serie de caractersticas del clculo mental, que se orientan claramente a la formacin en estrategias del pensamiento:

Empleo de procedimientos constructivos. Ya que la obtencin del resultado es el objetivo nico, director y selector de estrategias y operaciones.

Empleo de procedimientos no uniformes; variables y flexibles. basta observar el ejemplo de 7 + 5, para comprender que la diversidad de situaciones es enorme, influidas por variables objetivas -operacin aritmtica, naturaleza y tamao de los operandos, finalidad del clculo- y subjetivas -tcnicas conocidas, recursos de memoria, soporte imaginativo, tensin, etc.-, diversificndose, al mismo tiempo, las tcnicas aplicables.

Empleo de procedimientos activos. Con un mayor control del mtodo utilizado en cada situacin. Debido, fundamentalmente, a la variedad de situaciones y la consiguiente variabilidad y flexibilidad de estrategias aplicables. Se aleja as el riesgo de rutina y memorizacin mecnica.

2.14 Desarrollo de la memoria inmediata

Al operar mentalmente se ponen en juego registros de memoria en los que se almacenan datos sencillos -o no tan sencillos- a recuperar en momentos inmediatos posteriores.

Basta un simple ejemplo. Al calcular 42+35, puedo muy bien marginar momentneamente el 2 y el 5, en espera de


calcular 40+30; retengo ahora el 70, y busco en los registros de memoria ocupados: hallo el 2, luego 70+2=72, busco despus: hallo el 5, luego 72+5=77. (Que nadie piense que el itinerario es nico: ni en el soporte ni en la estrategia.)

La limitacin natural de la capacidad de memoria incita incluso al diseo de estrategias de clculo que, a su vez, engendran tcnicas para una mejor gestin de los recursos de memoria (otra aportacin a las estrategias de pensamiento).

Y as, es frecuente que las operaciones se inicien por las unidades de mayor orden, acumulndose resultados sucesivos. Junto con ser una estrategia minimizadora de errores relativos, permite a la memoria verbal mantener buena parte del resultado acumulativo (en espaol, y en las lenguas latinas en general).

Calculistas famosos -como Jaime Garca Flores (1989)-llevan al extremo esta interrelacin entre memoria y clculo mental, reducindolo prcticamente a la localizacin y traduccin de valores en tablas icnicas o simblicas puras.

2.15 Ejercitacin de la capacidad de concentracin

Estrechamente relacionada con el aspecto anterior, un ejercicio mental abstracto favorece el aislamiento de los estmulos externos -en alguna medida, la inhibicin sensorial-, el ejercicio operativo de funciones mentales diversas -representacin, memoria inmediata, mediata (reglas y automatismos), combinatoria, etc.- y orientar la atencin hacia objetos predefinidos. En suma: preparar y ejercitar moderadamente un buen cmulo de funciones cognitivas, predisponindolas para ms duras tareas abstractas.

No en vano, los expertos en tcnicas de estudio -transversal, en el sistema educativo espaol- proponen como ejercicios de concentracin, previos a la sesin de estudio, la realizacin de clculos mentales sencillos: adiciones o sustracciones en iteracin, permutaciones de cifras y ordenaciones numricas, sustituciones, etc., que si no son clculo mental en sentido estricto, mucho se le parecen en las ope


raciones y procesos elementales: son un modo de precalentamiento para el deporte intelectual.

2.16 Ocasin para el desarrollo de la atencin y agilidad mental

En las actividades que se desarrollan de forma organizada, se exige del participante una orientacin de la atencin y una flexibilidad y prontitud de respuesta, comprobables inmediatamente por el propio sujeto y, en su caso, por los otros participantes, quienes, a su vez, se ven obligados a efectuar interiormente las operaciones y comparar sus resultados con las respuestas ajenas.

Esto, que podra predicarse de cualquier actividad, resalta especialmente en las que tienen como objeto el clculo mental, por la precisin de las respuestas, la mencionada inmediatez, la sucesin o encadenamiento, la posibilidad de variantes, etc. No se trata simplemente del aprovechamiento y cultivo de la sana competencia: es una llamada permanente a la propia superacin, tal como el atletismo reclama el esfuerzo continuado por mejorar los resultados personales, aqu fcilmente comprobables.

Por ltimo, un grupo de consecuencias de la prctica del clculo mental, teidas por el tinte de lo discutible -y an de lo inconfesable- de la apreciacin subjetiva. Los tcnicos -psicopedagogos-, de una parte, y la experiencia didctica del profesor y la propia de los alumnos, de otra, las avaloran como resortes educativos tiles, como autnticas motivaciones.

2.17 Ocasin para el ejercicio de la flexibilidad y apertura de mente

Conocida la diversidad de estrategias aplicables para un determinado clculo, cabe plantearse cul de ellas es preferible y por qu. Pero esto supone, cuanto menos, la aceptacin de esa pluralidad y su validez, previa a la controversia en busca de la mejor solucin; si es que existe: lo ms probable es que la declaracin de mejor estrategia quede en suspenso, como variedad de opciones personales.


Una sencilla y fructfera situacin de enseanza-aprendi-zaje para la discusin en grupo con alternativas todas ellas vlidas, ocasin para conocer y aceptar aportaciones diferentes de la propia, respetarlas, argumentar convenientemente la postura personal, etc.

2.18 Prestigio social

Tal vez suene presuntuoso afirmar que las matemticas despiertan admiracin. Pero es innegable que la mayora de la gente se admira -nos admiramos- de quienes efectan clculos a velocidades vertiginosas, sin error, y con una seguridad pasmosa, en ocasiones, desafiando a las calculadoras, anticipando resultados o corrigiendo errores de manipulacin.

Las matemticas tiles despiertan admiracin e inocente envidia, o no tan inocente: el desprecio que algunos hacen de la matemtica -y aun de los matemticos- parece traducir un gnero de impotencia, de rechazo a aquello que no se le somete, que le supera. Y los adolescentes -tambin los nios- son muy sensibles a los estmulos de la consideracin social.

2.19 Prestacin social

No faltan los errores al calcular mentalmente. Y, por fortuna, al exteriorizarlos, tampoco falta una voz o mano amiga que los corrija.

Arriba me he referido al movimiento de admiracin y posible repunte de pequea envidia o dolor de orgullo herido. Pero es ms natural el agradecimiento por el servicio prestado, y ms eficaz como motivacin la satisfaccin cuando se tiene la oportunidad de resolver un problema a alguien. Llmese prestacin o contribucin social, trabajo cooperativo, prctica del compaerismo o como se quiera: anhelo de prestar un servicio a los dems, deseo y realidad de ser til en beneficio de otros; despliegue de potencialidades de la persona en su dimensin social.


2.20 Autosatisfaccin

En la misma lnea, pero en plano bien diferente, no podemos olvidar la satisfaccin que produce el comprobar que toda una legin de entes -los nmeros- se nos estn sometidos. Desde el ya s sumar! o ya s dividir! de un escolar de Primaria, ingenuamente exteriorizado al llegar a casa, hasta el silencioso no hay integral que se me resista! -ms ingenua, por ignorante- de un universitario principiante.

Es una forma del placer intelectual que generan el conocimiento y la prctica de destrezas intelectuales, pero ahora con la posibilidad de ejercitarlas habitualmente, en servicio propio o ajeno. Adems, el mbito de este poder se encuentra casi perfectamente determinado en cada momento: qu operaciones, con qu tipo de nmeros -conjunto, tamao, etc.-, en qu tiempos, seguridad...

sta es sin duda tambin la motivacin en la que hunde sus races la satisfaccin del clculo por el clculo -no necesariamente mental- que algunos escolares experimentan, y que alcanza en ocasiones niveles enfermizos.

Un extrao fenmeno que los profesores nos tropezamos con frecuencia lo constituye aquellos alumnos que, arrastrando toda una historia personal de fracasos y rechazos hacia el estudio en general y la Matemtica en particular, se sienten atrados y motivados hasta la excitacin por las actividades en relacin con el clculo mental. Esto sirve para algo; esto es mucho ms divertido -esto mola, en argot-, ojal fuera as todo... observaciones de alumnos que invitan a considerar que

El clculo mental es motivante en s mismo

til para recabar atencin, predisponer al esfuerzo de matematizacin y, convenientemente graduado, regalo para el caminante fatigado de lo arduo y abstracto.

Recojamos en un panel todos estos argumentos


Del clculo mental: motivaciones, justificaciones y sugerencias

Proximidad

Ventajas didcticas especficas

Cotidianidad Empleo interdisciplinar Valor instrumental; en las ciencias fsico-matemticas

Ventajas didcticas especficas

minutos de precalentamiento

estimacinRegladas resolucin ensayode problemas

clculo efectivo

solitarios juegos de pequeo grupo juegos de gran grupo

juegos no competitivos juegos competitivos

Recreativasas verbales con lpiz y papel de tablero de calculadora informticos y electrnicos juegos de gran grupo

Variedad de situaciones didcticas para su cultivo

Graduabilidad

De las operaciones presentadas

Adicin Sustracin

Divisin Otras

Multiplicacin

Sustracin

Del tipo de cantidades Divisin Multiplicacin

Otras Comodidad y rpidez

Deteccin de errores en Revisin local (cifras extremas

clculos efectuados por otros medios

Revisin global (tamao de) cantidades


de los hechos numricos elementalesValor de consolacin

de las destrezas bsicas

Fundamento de los algoritmos escritos

Manifestacin y ejercitacin de aspectos estructurales

propiedad conmutativa

propiedad asociativa (ordinaria)

disociatividad (asociativa, en descomposicin)

propiedad distributiva

recurso al simtrico y elemento neutro

Familiarizacin con los nmeros, su combinacin, sus relaciones

Efectos didcticos Desarrollo de la creatividad e iniciativa personal

procedimientos constructivos Desarrollo de estrate variedad de estrategiasgias de pensamiento aplicacin flexible

gestin de los recursos de memoria

Desarrollo de la memoria inmediata

Desarrollo de la capacidad de concentracin

Desarrollo de la atencin y agilidad mental

autosatisfaccin Efectos psicolgicos y utilidad social y servicio comportamentales incremento del prestigio social

flexibilidad y apertura de pensamiento

Todas estas consideraciones motivacionales para el clculo mental son vlidas en toda su amplitud y profundidad para un alumno ciego o deficiente visual. Exceptuando, tal vez, dos puntos: una cierta menor cotidianidad y una limitacin en la variedad de situaciones didcticas accesibles.

Las oportunidades que a diario se ofrecen a la persona ciega o deficiente visual para el ejercicio del clculo mental son distintas en su presentacin y exigencia a las del que ve, y, es muy posible que menos frecuentes ya que al faltar


o reducirse la informacin visual, tambin se perdern muchas de las situaciones problemticas, en especial las que se refieran a mensajes visuales de la televisin, carteles, etiquetas o reclamos publicitarios, prensa, revistas, etc. Pero no olvidemos que la comunicacin interpersonal es, ante todo, de tipo oral, y que lo normal es que algunas de las informaciones sealadas le sean traducidas -ledas, incluso espontnea o semiconscientemente- por un compaero o familiar...

Ms grave puede ser la prdida de posibilidades de ejercitacin mediante actividades ldicas. (Ver Seccin 3.4)

Pero una motivacin de utilidad prctica supera todas ellas: poder prescindir en multitud de situaciones del recurso al instrumental de clculo, ya sea ste de escritura, dispositivo manual e incluso de la calculadora; precisados de disponibilidad, preparacin y expuestos al error por manipulacin o pulsacin. Las ventajas se perciben de modo inmediato, y lo hacen atractivo y gratificante, sin necesidad de ms argumentos.

El clculo mental facilita decisivamente el trabajo del estudiante ciego, al dispensarle en numerosas situaciones

numricas del recurso a medios instrumentales

37 DIFICULTADES DIDCTICAS

3. DIFICULTADES DIDCTICAS

Pero no todo son laureles. Como en cualquier actividad, y ms en las matemticas, el clculo mental conlleva dificultades e inconvenientes, sobre todo, de orden didctico.

3.1 Caractersticas del alumno

A) Exige unos niveles mnimos de desarrollo de ciertas aptitudes especficas. En particular: atencin, concentracin mental y recursos de memoria

Hope1, desde una ptica de anlisis de factores favorecedores del clculo mental, considera cuatro de ellos: concentracin, hbito, atencin e inters. Entiendo que el hbito guarda una estrecha relacin con la explotacin y aplicacin de los recursos de memoria, en cuanto al inters, se contempla a continuacin en forma ampliada.

Contrariamente a lo que pudiera pensarse no precisa, en principio, ni de memorizacin de hechos numricos bsicos -tablas- ni estrategias predefinidas. Su desconocimiento u olvido puede lentificar un clculo concreto, condicionarlo incluso, pero no impedirlo absolutamente salvo que provoque bloqueo.

Sin embargo, la automatizacin de hechos numricos elementales e incluso de ciertas estrategias estereotipadas favorece la agilidad y seguridad en los clculos. De otro modo, obliga al alumno a recurrir a procedimientos extremadamente rudimentarios (recuentos ascendentes o descendentes vase, pginas atrs, el ejemplo de 7 + 5, sumas reiteradas, etc.), propios de estadios iniciales, o al empleo sistemtico de imgenes de situaciones fsicas o manipulativas (dedos, trazos, materiales estructurados, algoritmos escritos, etc.) que, si bien son acreedores al ttulo de clculo pensado, pueden tornarlo lento y trabajoso. Sin olvidar

1 HOPE, J. A. (1985): Unraelling the Mysteries of Expert Mental Calculation. Educational Studies in Mathematics, vol. 16 (4), 355-374. Pg. 372.


que el uso de estrategias puede acabar en memorizacin de resultados, pero la memorizacin de resultados no slo no conduce al diseo de estrategias sino que las obstruye (Heege, 1985).

b) Exige un cierto nivel de comprensin de la situacin y destrezas aritmticas relacionadas con ella. En tres aspectos

Asimilacin de la operacin presentada. Que se extiende ms all de la mera interpretacin simblica del signo lingstico que la representa, ya que condiciona las estrategias aplicables.

Dominio de la estructura numrica y sus representaciones en los diferentes lenguajes; o, ms concretamente, en el universo de representaciones interiores del lenguaje operatorio. Tal vez sea esta destreza la que condiciona ms fuertemente el dominio numrico el paso de nmeros naturales a enteros, fraccionarios o decimales y el rango o tamao de operandos y resultado operandos de una, dos o ms cifras. Pinsese, por ejemplo, en el soporte imaginativo de la escalera o la recta numrica para la adicin de enteros, o en la aplicacin reiterada de la propiedad distributiva para la multiplicacin de nmeros de varias cifras en expresin decimal.

Naturaleza de las cantidades intervinientes; tanto de los operandos como del resultado. Que favorecen la seleccin de estrategias particulares y estimacin del resultado.

c) Fuerte influjo de los intereses personales del alumno y del contexto socio-familiar

Que, si bien pueden ser un estmulo positivo, tambin pueden actuar negativamente, debilitando no pocos de los valores antes apuntados.

Se incluyen en este grupo el conflicto provocado por el empleo irregular de instrumentos de clculo tales como calculadora, baco, etc., o del mismo clculo escrito.


Subryese el calificativo de irregular, por inadecuacin a la concreta situacin aritmtica o por la circunstancia de empleo. La actuacin pedaggica podra inducir entonces a un enfrentamiento que desorientara al alumno o que provocara su pasividad reactiva (estamos tratando, esencialmente, de los niveles elementales de enseanza).

Una adecuada intervencin didctica mediante el diseo de actividades y reglas de juego debe acabar por anular devaluar, al menos estas actitudes desviadas. Conviene no exagerar la importancia de tales carencias cognitivas, curriculares o actitudinales como decisivas. Ms bien son circunstancias personales o contextuales que inciden en un desarrollo del clculo mental, su aprecio, aprendizaje de tcnicas peculiares, eficacia y progreso. Pero son claramente modificables por prcticas y actuaciones didcticas oportunas.

d) Heterogeneidad en los niveles de destreza entre alumnos de un mismo grupo

Al inicio de la escolaridad o en sus primeros aos, es poco menos que impredecible el nivel de un alumno medio. Los conocimientos y destrezas adquiridos extraescolarmente son de origen bien variado: ambiente familiar, contexto cultural, medios de comunicacin, curiosidad y oportunidades personales, etc.

Junto con ello, las capacidades especficas de cada alumno para captar, retener y aplicar hechos y tcnicas. Mientras a algunos alumnos les basta una observacin o comprobacin de un determinado hecho numrico, otros precisarn de una veintena de oportunidades. Para unos la conmutatividad es evidente; para otros, exigir una comprobacin reiterada y casi exhaustiva de casos.

La consecuencia didctica es clara: se dificulta gravemente el diseo y aplicacin de actividades grupales. Se corre el riesgo de hacer imposible una participacin equilibrada -provechosa, por tanto- de todos ellos: lo que seran simplezas para unos, quedaran inaccesibles o sin posibilidad de xito para otros. Como de costumbre, los


grupos homogneos facilitan la intervencin didctica intensiva, que permite una mayor especificidad en las situaciones y objetivos a proponer, adecuados a todos sus miembros.

atencinNiveles mnimos de desarrollo

concentracin

Subjetivos (del alumno)

Niveles heterogneos entre alumnos de un mismo grupo

de aptitudes especficas

Nivel de asimilacin de los conceptos aritmticos

recursos de memoria

de la naturaleza de las cantidades intervinientes

de la estructura numrica y su representacin libre de la naturaleza de la operacin presentada

del alumnoActitud especfica

del contexto socio-familiar

con origen en diferencias individuales

para captar hechos o tcnicas

para retener hechos o tcnicas

para aplicar tcnicas o recursos especficos

de receptividad hacia los estmulos motivacionales

conocimientos previos de hechos con origen en y tcnicaslos contextos

prctica en la aplicacin desocio-familiares tcnicas o recursos especficos

3.2 Evaluacin del progreso en clculo mental

En el clculo mental pueden distinguirse variedad de aspectos a evaluar:


Tiempo invertido. Para ser exactos tiempo transcurrido entre la percepcin/interpretacin del clculo a realizar (con sus propias dificultades de determinacin del instante preciso) y momento de obtencin del resultado (que no debe confundirse con el momento de exteriorizacin -verbal, escrita...- o aparicin de indicios exteriorizados). Condicionado el primero por capacidades perceptivas; expresivas, el segundo.

Estrategia utilizada. Que slo puede observarse si media verbalizacin, manipulacin o relato inmediato, supuesto que el proceso sea consciente y pormenorizable en todos sus detalles.

Exactitud o aproximacin; segn se trate de clculo o estimacin de resultados. Pero, qu baremo adoptar para evaluar errores? importa slo el resultado o tambin deben considerarse aspectos procesuales?

Seguridad. Absoluta o relativa a la confianza general del alumno en s mismo? No estar ligada a la tensin situacional de repercusin del xito o fracaso? Debe penalizarse acaso la precaucin de verificar el proceso o el resultado difiriendo la respuesta?

Todo ello respecto de dominios o variables predefinidas:

Dominio de operadores que incluye tanto el campo numrico (naturales, enteros, fracciones, etc.) como el rango en el que se contienen operandos y resultado.

Operacin presentada que no debe confundirse con el mtodo o estrategia operatoria seguida en la resolucin. As, una multiplicacin puede tornarla suma el ejecutante, una divisin, resta, una adicin o sustraccin, conteo, etc.

Forma de presentacin de la situacin a resolver y forma expresiva exigida para la respuesta.

Carcter de la situacin propuesta: simple operacin


abstracta, contexto problemtico, complejidad de ste, etc.

Sin olvidar las inevitables variables personales:

Edad.

Nivel educativo.

Trayectoria curricular en clculo mental.

Capacidad y destreza interpretativa de la forma de presentacin de la situacin a resolver, ya que a su dificultad calculatoria intrnseca pueden agregarse otras, relacionadas con las capacidades perceptivas y destrezas lectoras del sujeto. De especial importancia en el caso de estudiantes ciegos y deficientes visuales.

No faltan entre personas quasi-analfabetas excelentes calculistas verbales (frecuente en el mundo mercantil), como tampoco faltan quienes, dotados de una gran destreza lectoescritora y capacidad de comprensin abstracta, carecen de estrategias y hbitos calculatorios. Asimismo, por idnticos motivos:

Forma expresiva exigida para la respuesta.

Recogemos en sendos cuadros esta retahila de inconvenientes:


Aspectos a evaluar en el clculo mental. Dificultades y condicionantes

Aspecto Complejidad Condicionantes

Tiempo aparente Percepcin/lectura Defic. perceptivas

Interpretacin Defic. curriculares

Exteriorizacin del Dific. expresivas resultado

Tiempo real Dificultad de determinacin

Resultado Exacto Tipo de error Condicionado a exteriorizacin del

Momento procesual proceso

Baremacin

Aproximado Determinacin Grado de aproximacin

Estrategia utlizada Control Simultnea Verbalizacin

Descripcin Recuerdo A posteriori Verbalizacin

Ausencia de escalas

Seguridad Objetiva Determinacin de Factores subjetiva sntomas situacionales

Control Calibrado Ausencia de escalas

Complejidad evaluatoria en el cculo mental. Variables

Objetivas De orden matemtico Operacin presentada Naturaleza de los operandos Tamao de los operandos Tamao del resultado

De orden didctico Complejidad calculatoria

Operacin simple Operacin compuesta

Carcter Abstracto Contexto problemtico

Forma expresiva De la presentacin Exigencia para el resultado

Subjetivas Edad del alumno (nivel madurativo)

Nivel curricular Conocimiento de hechos numricos Conocimiento de tcnicas y estrategias

Trayectoria curricular en Clculo Mental

Destrezas previas Prctica acumulada Hbito


Se deduce de todo ello que:

Deben emplearse metodologas del tipo de la entrevista clnica (entindase: en sus caractersticas, no en sus fines exploratorios de patologas). Lo que implica individualizacin y prolongado tiempo de aplicacin y, si no quieren perturbarse los resultados de la observacin, contextos de aula suficientemente ecolgicos.

Una posible evaluacin de eficacia calculatoria es de esperar se vea afectada por las caractersticas y dificultades perceptivas y expresivas del sujeto; especialmente, en lo referente a agilidad, funcin del tiempo de respuesta, que incluye tanto la toma de conciencia del clculo a realizar (fase perceptivo-interpretativa), su realizacin efectiva (fase calculatoria) y su exteriorizacin (fase expresiva). Grosso modo, se distinguiran:

Forma de presentacin Respuesta

Oral Oral Escrita

Icnica (ordenador) Opcin

Escrita Oral

Escrita

Teclado (calculadora)

Cierto que a lo largo del curriculum debern ejercitarse todas las combinaciones, que podran y deberan ser evaluadas convenientemente. Pero la evaluacin no lo sera del clculo mental en s mismo, sino referido al tipo de situacin y respuesta. Y aunque exista una cierta correlacin entre resultados evaluatorios, no debe esperarse que sean ni siquiera anlogos; sobre todo, si se trata de alumnos con dificultades perceptivas y/o expresivas -nuestro caso-.

Deben establecerse escalas o criterios de valoracin de las variables a evaluar, condicionadas a su vez a las caractersticas subjetivas y situacionales. Y ello, sin atentar a la flexibilidad y estrategias personales que tantos elogios merecen.


La evaluacin del clculo mental o pensado no es imposible. Pero poco menos que inviable en las condiciones ordinarias del contexto escolar. Conformmonos con apreciaciones o valoraciones parciales.

3.3 Formacin especfica del profesor

Este apartado nos remite a consideraciones de anlisis situacional.

En su dimensin matemtica es bien concreta:

Hay un nmero limitado de reglas, estrategias y caminos que facilitan la tarea. Lo que ocurre es que muchos maes

Formacin especfica del profesor

Formacin matemtica

Informacin didctica

Informacin sicopedggica

Experiencia docente

Conocimiento de los fundamentos del contenido a tratar Conocimiento de la proyeccin del contenido a tratar Conocimiento acerca de estructuras relacionadas, etc.

Relativa a metodos Relativa a material Relativa a situaciones de enseanza-aprendizaje Relativa a estrategias particulares Relativa a instrumentos de evaluacin, etc.

Relativa a las caractersticas generales presumibles en los alumnos Relativa a las necesidades de los alumnos respecto de los contenidos matemticos a tratar

Relativa al nivel curricular

Relativa al tipo general de alumnos

Relativa objetivos y cont. previstos

Relativa a los materiales disponibles

Relativa a las dificultades y facilitadores ms frecuentes, etc


En caso de Formacin atender en el especfica aula a algn del profesor alumno con

necesidades educativas especiales

Alumno con dificultades de orden perceptivo y/o psicomotor

Alumno con carencias curriculares

Alumno con trastornos afectivos o de personalidad

Informacin/formacin Afectados por transtornos anlogos

Para situacionesConfeccin de enseanza-y adapta- aprendizaje cin de materiales De actividades especficos De evaluacin

Experiencia docente con alumnos afectados por ese deficit

Deteccin de carencias

Conocimiento y diseo de frmulas de remediacin

Experiencia docente con alumnos afectados por carencias anlogas

Conocimiento de manifestaciones, hiptesis esti-mulo/respuesta, tratamientos habituales y coyunturales, etc (de tipo general) Experiencia docente con alumnos

tros y profesores no tienen ellos mismos consciencia de los procesos que aplican cuando calculan mentalmente, y nunca se han parado a analizarlos -sobre un papel- con la finalidad de enserselos a sus alumnos2.

A tal fin, y aunque pudiera entenderse como exceso en el marco del presente trabajo, se ha intentado recoger en la prxima Seccin un abanico -no exhaustivo- de tcnicas para el clculo mental de las cuatro operaciones aritmticas con nmeros enteros.

2 GMEZ ALFONSO, B. (1988): op. Cit., pg. 69.


No abundan las monografas sobre el tema. Es preciso espigar tcnicas y sugerencias incluidas en manuales de clculo aritmtico y su didctica. No obstante, en los ltimos aos se viene gestando un movimiento de aproximacin al tema (vase, por ejemplo: Gmez, 1988 Op. Cit.; Gimnez, 1989).

En particular, hay que destacar el ingente esfuerzo que se est realizando por desarrollar actividades y materiales especficos para la ejercitacin como son: domins, bingos y loteras, juegos de tablero, programas informticos, etc. Un buen repertorio de estos materiales y juegos puede encontrarse en las obras de Kamii (1986, 1988, 1991, existe versin espaola).

Como ejemplo de orientaciones didcticas para un desarrollo de tcnicas o estrategias de clculo mental, citar en esquema las propuestas del Grupo 0 (1997), dirigidas a alumnos entre 6 y 12 aos:

El profesor debe conocer los procedimientos-tipo ms usuales en clculo mental.

Es preciso disear una planificacin detallada y ajustada a los previsibles avances de los alumnos en la clase.

Han de anticiparse los puntos delicados, cmo y en qu momento abordarlos y tener previstas cuestiones de procedimiento.

Los algoritmos mentales se practicarn oralmente, sin ayuda de material.

Debe realizarse diariamente, en sesiones cortas (no ms de 10 minutos), por el considerable esfuerzo y atencin que requiere esta actividad. Unas veces dirigida a grupos pequeos de alumnos (6 7), otras a toda la clase.

Los ejercicios que se propongan debern estar cuidadosamente dosificados y en orden creciente de dificultad.


La actitud favorable por parte de los nios se conseguir con la forma de llevar la actividad, adecundose a su ritmo.

El profesor no tiene que decir las tcnicas que utiliza, sino que estar atento a las que utilizan los alumnos y a conocer sus dificultades concretas. En consecuencia:

Que cada alumno exprese cul es el nmero que corresponde a la propuesta que se le hace y tenga la oportunidad de explicar cmo lo ha calculado.

La discusin y el anlisis, con todo el grupo, de los procedimientos empleados por los alumnos, es imprescindible para ampliar su catlogo de estrategias de clculo mental y su conocimiento del significado y propiedades de las operaciones utilizadas, as como para evaluar los logros alcanzados y las dificultades que persisten.

En otra sesin diferente, que no debera ser consecutiva, se puede trabajar la generalizacin de una estrategia de clculo, utilizada en una operacin determinada, para operar con nmeros de la misma familia.

En ningn caso se pedir a los alumnos que formalicen sus respuestas.

Realizar una evaluacin continua.

3.4 Materiales

En el caso concreto de alumnos ciegos totales o afectados por una deficiencia visual grave, adems, existe una limitacin no pequea en el diseo de situaciones adecuadas a este dficit. Se manifiestan, especialmente, en las actividades ldico-matemticas:

Si el soporte es informtico, debe adecuarse a una presentacin accesible a su limitacin visual. Lo que condiciona el equipo preciso, el entorno informtico, la situacin incluso. As, las presentaciones grficas, figura


tivas y muchas bidimensionales sern de todo punto inaccesibles -e inadaptables- al alumno ciego total; en resumen: prcticamente todo el software actualmente disponible es inadecuado.

Si se trata de un juego con tablero, fichas o tarjetas, debe asegurarse la participacin en igualdad de condiciones, adaptando el material o fijando normas complementarias, verbalizando cuestiones, resultados o posiciones.

Si los datos o informacin de partida se presentan en forma visual (tablero del aula, panel, bandejas, tarjetas, etc.) puede ser suficiente el leerla o suministrarla en braille; esto ltimo implica el prerrequisito de que el alumno posea la suficiente destreza lectora para el sistema.

Si intervienen elementos generadores de azar -dados, ruleta, bolas, etc.- debe garantizarse asimismo el uso autnomo de stos (dados parlantes, fichas o naipes adaptados, etc.)

Las actividades de carcter verbal no sufrirn merma en absoluto (caso bien distinto del que afecta a alumnos sordos o hipoacsicos; vase: Nez, J. A., Rosich, N., y Fernndez del Campo, J. E. (1996): Matemtica y deficiencia sensorial. Ed. Sntesis Madrid.


4. TCNICAS Y ESTRATEGIAS

Como se adelantaba al comienzo, pueden distinguirse dos formas fundamentales de clculo mental: el inmediato o automatizado y el pensado. La diferenciacin, por extrao que parezca, no es sencilla.

Salvo que aceptemos las teoras asociacionistas en su formulacin ms radical, el clculo mental suele apoyarse en representaciones varias: situaciones fsicas, manipulativas o grficas, la propia verbalizacin, la escritura simblica imaginada. Es decir: el clculo se efecta en el nivel de representaciones interiores. Por esta razn, suele designarse como clculo pensado, cuando supone la mediacin de un ejercicio mental efectivo sobre imgenes, y que implica toma de decisiones y eleccin de estrategias.

La eleccin misma de la forma representativa ya tendra el carcter de una decisin o estrategia: elegir el mbito de imgenes/smbolos en el que el calculista se siente ms seguro, o en el que acumula mayor experiencia de eficacia y xito.

En contraposicin a este modo de proceder, se hallaran las respuestas inmediatas, sin mediar reflexin ni combinatoria representativa. Se ajustaran al esquema estmulo-respuesta del clculo mental automatizado o inmediato, y que es tpico de la memorizacin de las tablas, aunque no se restringe a los hechos numricos bsicos (operaciones con nmeros de una cifra, en escritura decimal): es frecuente en actividades mercantiles memorizar los mltiplos y fracciones de un cierto valor, sin recurrir a clculo alguno.

As pues, es preciso admitir relaciones mutuas:

El clculo pensado es la va ms segura para la automatizacin y aplicacin eficaz del clculo aritmtico

El clculo pensado es un recurso siempre disponible en el clculo automatizado

51 TCNICAS Y ESTRATEGIAS

Clculo automatizado -o inmediato- y clculo pensado son independientes en sus primeros estadios, pero se potencian y apoyan mutuamente

Ya que, sin la automatizacin de hechos numricos, el clculo pensado con cantidades de una cierta dimensin -nmeros de varias cifras, en escritura decimal- se vera reducido a rutinas tan sumamente elementales, que lo lentificaran y haran despreciable.

El clculo automatizado es el objetivo; el clculo pensado, la va ms segura para alcanzarlo.

Hasta el extremo de poder considerar como clculo automatizado la aplicacin mecnica -inmediata, por reiteracin- de estrategias o algoritmos del clculo pensado.

Los lmites del clculo automatizado vienen perfilados por las necesidades prcticas del alumno; los del clculo pensado, los decide el propio alumno.

He aqu un intento de descripcin de las tcnicas y estrategias ms frecuentes en el clculo pensado. Se toma como esquema general de clasificacin las operaciones aritmticas con nmeros naturales, aunque no faltarn las referencias a otros dominios numricos. Las subdivisiones siguen un supuesto orden de complejidad lgico-ope-ratoria.

4.1 TCNICAS Y ESTRATEGIAS PARA LA ADICIN

1. Conteos unidad a unidad

No podemos desdear tcnicas tan elementales como las basadas en el conteo o recuento en la sucesin numrica, propias de los primeros estadios de aprendizaje. Pero incluso en este nivel tan bajo, se han encontrado procedimientos varios:

1.1 Por recuento total. Propias de adiciones de nmeros


naturales. Se parte de la unidad, superponiendo en sucesin ambas cantidades-operandos:

5 + 7 = {1, 2..., (5 pasos)..., 5; 6, 7, 8, 9..., (7 pasos)} 12

1.2 Por recuento parcial. Se elude el recuento para uno de los sumandos. Con dos formas, no universales.

1.2.1 Con origen predeterminado por la presentacin.Partiendo de la cantidad enunciada en primer lugar, se prosigue el recuento conforme al segundo sumando:

5 + 7 = {5; 6, 7, 8..., (7 pasos)} 12

No es exclusiva de los ms jvenes, ni de operandos necesariamente ambos pequeos:

45 + 7 = {45; 46, 47..., (7 pasos)} 52

Incluso en niveles medios o superiores, cuando se trata de la adicin de nmeros enteros, siendo negativo el primero de ellos, se encuentran ejemplos de esta forma de proceder:

-3 + 5 = {-3; -2, -1, 0, 1} 2

1.2.2 Con estrategia de eleccin del origen. Se toma comopunto de partida para el recuento el sumando mayor:

5 + 7 = {7; 8, 9, 10..., (5 pasos)} 12

2. Permuta previa

O aplicacin de la propiedad conmutativa. Puede parecer una simpleza; pero todo apunta a sealar que resultan ms sencillas -mayor rapidez y frecuencia de xito- aquellas adiciones en las que el primer sumando supera al segundo; tanto entre nmeros inferiores a la decena -hechos elementales-, como entre aquellos otros superiores. La causa que explicara esta actitud generalizada no est clara.

5 + 8 = 8 + 5 = 13


En cualquier caso, la aplicacin de la tcnica conmutativa es general en las adiciones con nmeros superiores a la decena:

7 + 56 = 56 + 7 = 63

3. Descomposicin

Este grupo de tcnicas tienen como aspecto comn un dominio de la descomposicin de una cantidad en otras dos, por va exclusivamente aditiva o aditivo-sustractiva..

Dado que las descomposiciones posibles son mltiples, supone, a su vez, una capacidad de eleccin de la mejor. Eleccin que no tiene por qu ser universal: responder a estrategias personales, ms o menos desarrolladas o segn el nivel de prctica que se haya alcanzado.

3.1 Descomposicin aditiva. O mediante adicin de partes o cantidades; se entiende: no unitarias, ya que se reducira a una estrategia de recuento.

3.1.1 Descomposicin de uno de los sumandos en dos par-tes arbitrarias. Se aplica incluso en casos elementales:

6 + 7 = 6 + (4 + 3) = (6 + 4) + 3 = 10 + 3 = 13

6 + 7 = 6 + (6 + 1) = (6 + 6) + 1 = 12 + 1 = 13

(Se ha observado que las sumas del tipo doble 2+2, 3+3, 6+6, etc. son aprendidas por los nios con gran rapidez y firmeza.)

Precisamente en los dos ejemplos ofrecidos aparecen las dos descomposiciones ms frecuentes -aunque no sean las nicas-,

la que permite al primer sumando alcanzar la decena, y

la que le hace presente como parte del segundo sumando.


La generalizacin a casos en uno de cuyos nmeros supera la decena es inmediata:

79 + 8 = 79 + (1 + 7) = (79 + 1) + 7 = 80 + 7 = 87

Obsrvese cmo la estructura numrica decimal empieza a cobrar importancia. Lo que sugiere que no pocas estrategias del clculo pensado -las que aqu se describen y se emplean ms a menudo por nios y adultos- tal vez estn ligadas a dos soportes fundamentales:

Soporte verbal. Ya que la mayora de las nomenclaturas verbales de las cantidades responden a la estructura decimal: diec-i-sis, veint-i-cuatro, ciento - cuarenta y dos, etc.

Soporte de escritura simblica imaginada; con preponderancia en nuestra cultura de la escritura decimal.

La escritura/verbalizacin de cantidades en forma decimal -polinmica o posicional- abre un campo casi ilimitado de estrategias.

3.1.2 Por rdenes de unidades. Su referente comn es la descomposicin decimal, su campo de aplicacin, las sumas cuyos sumandos -uno, al menos- superan la decena. En cualquier caso exigen (estructuralmente) la aplicacin reiterada de las propiedades asociativa y conmutativa de la adicin.

3.1.2.1 Procediendo por rdenes descendentes. Es, sin duda, la tcnica ms fecunda en la adicin de nmeros de un cierto tamao mediante clculo pensado. Adems como en el proceso de clculo se van obteniendo resultados cada vez ms prximos al objetivo final, la convierte en tcnica de clculo aproximado.

En espaol, se corresponde con la lectura verbal de las cantidades. Por tanto, supone un ahorro -mejor gestin de recursos de memoria-. Pero los espacios de memoria de trabajo o memoria inmediata deben contener elementos indivisibles, es decir, trminos. De otro modo -si se acude a la representacin simblica- el esfuerzo de memoria se complica.


38 + 9 = (30 + 8) + 9 = 30 + (8 + 9) = 30 + 17 = 30 + (10 + 7) = (30 + 10) + 7 = 40 + 7 = 47

46 + 25 = (40 + 6) + (20 + 5) = (40 + 20) + (6 + 5) = 60 + (6 + 5) = 60 + 11 = 60 + (10 + 1) = (60 + 10) + 1 = 70+ 1 = 71

134 + 29 = (100 + 30 + 4) + (20 + 9) = 100 + (30 + 20) + (4 + 9) = 100 + 50 + (4 + 9) = 100 + 50 + 13 = 100 + 50 + 13 = 100 + 50 + (10 + 3) = 100 + (50 + 10) + 3 = 100 + 60 + 3 = 100 + 63 = 163

317 + 468 = (300+17) + (400+68) = 300+400 + (17+68) = 700 + (10+7 + 60+8) = 700 + (10+60) + 7+8 = 700 + 70 + 15 = 770 + (10+5) = (770+10) + 5 = 780 + 5 = 785

3.1.2.2 Procediendo por rdenes ascendentes. En realidad, es una versin verbalizada del algoritmo usual, ahora sin lpiz ni papel, muy posiblemente con recurso a la imagen escrita de aqul.

Compite en frecuencia con el anterior para la adicin de nmeros superiores a la decena, coincidiendo en apariencia, si uno de ellos es menor. Pero tanto los recursos de memoria como el esfuerzo de atencin son muy superiores aqu. Parece estar ligado a estilos de gestin de recursos por modalidad visual, ms que auditiva o verbal. (Con el orden en los trminos se pretende subrayar el foco atencional:)

38 + 9 = (8 + 30) + 9 = (8 + 9) + 30 = 17 + 30 = (7 + 10) + 30 = 7 + (10 + 30) = 7 + 40 = 47

46 + 25 = (6 + 40) + (5 + 20) = (6 + 5) + (40 + 20) = 11 + (40 + 20) = 11 + 60 = (1 + 10) + 60 = 1 + (10 + 60) =1 + 70 = 71

134 + 29 = (4 + 130) + (9 + 20) = (4 + 9) + 130 + 20 = 13 + 130 + 20 = 13 + (30 + 100) + 20 = 3 + 10 + (30 + 100)+ 20 = 3 + (10 + 30) + 100 + 20 = 3 + 40 + 20 + 100 = 3+ (40 + 20) + 100 = 3 + 60 + 100 = 163

-56 DEL CLCULO MENTAL

317 + 468 = (7+310) + (8+460) = (7+8) + (310+460) = 15 + (10+300 + 60+400) = 15 + (10+60) + (300+400) = 15+ 70 + (300+400) = 5 + 10 + 70 + (300+400) = 85 + (300+400) = 85 + 700 = 785

3.1.2.3 Procediendo sin secuencia estricta de rdenes de unida-des. Parece apoyarse en recursos de memoria verbal de muy escasa aplicacin en el rea cultural espaola o hispano-parlante.

46 + 25 = (40 + 6) + (5 + 20) = 40 + (6 + 5) + 20 = 40 + 11 + 20 = 40 + (11 + 20) = 40 + (1 + 10) + 20 = 40 + 1 + (10 + 20) = 40 + 1 + 30 = (40 + 30) + 1 = 70 + 1 = 71

134 + 29 = (4 + 130) + (9 + 20) = (4 + 9) + 130 + 20 = 13 + 130 + 20 = 13 + (30 + 100) + 20 = (13 + 30) + 100 + 20 = (10 + 3 + 30) + 100 + 20 = 3 + (10 + 30) + 100+ 20 = 3 + 40 + 100 + 20 = 143 + 20 = (140 + 3) + 20= (140 + 20) + 3 = 160 + 3 = 163

317 + 468 = (300+17) + (400+68) = 300+400 + (17+68) = 700 + (10+7) + (60+8) = 700 + (10+60) + (7+8) = 700 + (10+60) + 15 = 700 + (10+60) + (10+5) = 700 + (10+60+10) + 5 = 700 + 80 + 5 = 785

3.1.3 Descomposiciones para la aparicin reiterada de unsumando arbitrario. En algunos ambientes mercantiles es usual el clculo de cantidades como mltiplos de otra bien determinada, la docena, por ejemplo. Se tiende entonces a descomponer los nmeros en sumas reiteradas de dicha cantidad-base y sus restos.

Puede considerarse como generalizacin de la suma por duplicacin de un sumando, que se contemplaba en 3.1.1.2. Asimismo, tiene un cierto sabor de clculo en base no decimal.

38 + 27 = (12+12+12+2) + (12+12+3) = (12+12+ 12+12+12) + (2+3) = 60 + (2+3) = 60 + 5 = 65

3.2 Descomposiciones aditivo-sustractivas

Uno de los sumandos se descompone como sustraccin.


Por lo general, aparecen como minuendo decenas completas, facilitndose as la adicin. Es muy frecuente con sumandos que cuentan con 8 9 unidades:

Tiene un amplio campo de aplicacin: desde los hechos numricos elementales hasta cantidades importantes. Antes que clculo por sustraccin efectiva, parece proceder por recuento descendente (ver ms adelante), pues el sujeto calculista no parece servirse en ningn caso del algoritmo escrito imaginado.

4 + 9 = 4 + (10 - 1) = (4 + 10) - 1 = 14 - 1 = 13

73 + 9 = 73 + (10 - 1) = (73 + 10) - 1 = 83 - 1 = 82

73 + 28 = 73 + (30 - 2) = (73 + 30) - 2 = 103 - 2 = 101

282 + 89 = 282 + (90 - 1) = 282 + (100 - 10 - 1) = (282 + 100) - 10 - 1 = 382 - 10 - 1 = 372 - 1 = 371

4. Mediante representacin interior

La observacin y control externos del proceso calculatorio, como se indic pginas atrs, no son sencillos ni definitivos. Tres son las fuentes principales:

Observacin ecolgica de acciones en el sujeto-calculista. Por la que pueden detectarse recuentos de dedos, movimientos de labios e incluso verbalizaciones espontneas.

Verbalizacin solicitada. Por la que el sujeto-calculista describe en voz alta las operaciones que realiza.

Relato a posteriori. Anlogo al anterior, pero una vez obtenido el resultado, como descripcin introspectiva.

Se han obtenido as tres grupos de representaciones; por orden de frecuencia:

a) Representacin simblica grfica o de algoritmos escritos (no necesariamente el cannico).


b) Representacin de acciones sobre material manipulativo. Por lo general, aqul que le resulta ms familiar: regletas de Gategno, bloques multibase, bacos, etc.

c) Representacin de situaciones grficas. Sean puntos, trazos, etc.

Como frmula mixta, se encuentra la representacin de la tira numrica o sucesin de nmeros en forma simblica ordenados espacialmente. Debiera esperarse que dicha ordenacin tomara una configuracin de lnea recta; pero sta slo aparece en niveles muy elementales. Pronto -quizs al superarse la veintena- se desplaza en zig-zag, espiral, tabla bidimensional; tal vez en funcin de la experiencia manipulativa o representativa: cinta mtrica, calendario, paneles, etc.

En sentido estricto, esta forma de proceder por va imaginativa no debera merecer el ttulo de clculo pensado, ya que el esfuerzo de accin propiamente numrica y aplicacin de estrategias es casi inexistente. Sin embargo, es difcil asegurar que no se aplica alguna de estas caractersticas en un paso determinado, o si la misma eleccin de representaciones no es ya una estrategia adecuada a las posibilidades y hbitos del sujeto-calculista.

Estrategias o tcnicas para el clculo pensado de adiciones

Conteos Por recuento total Por recuento parcial Con origen predeterminado por presentacin

Con estrategia de elccin del origen

Premuta previa (aplicacin de la propiedad conmutativa)

Descomposicin Descomposicin aditiva (mediante adicin de partes)

De uno de los sumandos en dos partes arbitrarias

Alcance de la decena inmediata Generacin de dobles

En rdenes de unidades

Descendentes Ascendentes Sin secuencia estricta

Para la aparicin reiterada de un sumando arbitrario

Descomposiciones aditivo-sustractivas

Mediante representacin i nterior

Simblica grfica (de algoritmos escritos) De acciones sobre material manipulativo De situaciones grficas


4.2 TCNICAS PARA LA SUSTRACCIN

En razn de la estructura algebraica aditiva de grupo, y segn las teoras psicopedaggicas, la sustraccin es inseparable de la adicin, por ms que el algoritmo escrito las haya alejado formalmente. Es, pues, de esperar que sean paralelas o anlogas las estrategias empleadas en una y otra por el clculo pensado.

1 Recuentos

O conteos, mediante operacin unidad a unidad.

1.1 Recuento ascendente o de conversin aditiva. Partiendo de la cantidad sustraendo, se asciende por recuento hasta el minuendo:

12 - 7 = {7; 8, 9, 10..., (5 pasos)} 12

92 - 87 = {87; 88, 89..., (5 pasos)} 92

1.2 Descendente. Ciertamente, es menos frecuente que la primera, y mucho ms difcil: lenta, con tropiezos y errores, inseguridad manifiesta, etc. Pero es que el enunciado descendente de la serie numrica tambin lo es. Y es cierto asimismo que apenas se ejercita en el aula. No obstante, es muy utilizada para cantidades grandes.

Obsrvese que en estas tcnicas sustractivas el resultado no se verbaliza con la serie numrica: es fruto de un recuento ajeno a dicha serie, que puede ayudarse de refuerzos fsicos -dedos, golpes, representaciones interiores-.

12 - 7 = {12; 11, 10..., (5 pasos)} 7

92 - 87 = {92; 91, 90..., (5 pasos)} 87

2. Permuta previa

O reduccin al contrario. Se ha observado que la adicin de enteros de distinto signo se reduce, normalmente, a sus


traccin de naturales, identificada a la sustraccin de enteros positivos. Se sigue entonces uno de los procesos siguientes:

A) Primer sumando positivo y segundo negativo. Con dos situaciones:

a) Primer sumando mayor que el valor absoluto del segundo. Equivale a una resta posible y ordinaria entre naturales:1

+7 + -5 = 7 - 5 = 2 = +2

b) Primer sumando menor que el valor absoluto del segundo. Equivale a una sustraccin imposible entre naturales. La operacin se facilita mediante un doble paso a los contrarios: el contrario de la suma de contrarios; que devuelve, operatoriamente, a la situacin anterior:

+5 + -7 = -(7 + -5) = -(+7 + -5) = -(7 - 5) = -(2) = -2

B) Primer sumando negativo y segundo positivo. Asimismo, con dos situaciones:

jercicios matematicos

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