kalkulus 3 (perminyakan)

I

KALKULUS 3INTEGRAL LIPAT DUA KOORDINAT POLAR

Gambar 1:Kaitan Koordinat Cartesian & Polar

1.1 Definisi Koordinat Polar:

x = r cos dan y = r sin 0 2( arah berlawanan dg arah jarum jam, = 0o adalah sumbu x positif) dan r = .

Maka

1.2 Beberapa Grafik yang Berhubungan dengan Koordinat Polar

Koordinat KartesianKoordinat Polar

Lingkaran : x2 + y2 = a2Pusat (0,0) dan jari2 : a

r2cos2 + r2 sin2 = a2r = a

Lingkaran : x2 + y2 2ax = 0

(x a)2 + y2 = a2Pusat (a,0) dan jari2 : a

r2cos2 + r2 sin2 2a r cos = 0

r = 2a cos

Lingkaran : x2 + y2 2ay = 0

x2 + (y a)2 = a2Pusat (0,a) dan jari2 : a

r2cos2 + r2 sin2 2a r sin = 0

r = 2a sin

Latihan :1. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4, y=x, y=0 dikuadran I. Tentukan .2. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 9, y=x, y=-x dan di atas sumbu x. Tentukan .3. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 4x = 0. Tentukan .4. Diketahui D daerah yang terletak diluar x2 + y2 = 1 dan didalam x2 + y2 2y = 0. Tentukan .5. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 + 6y = 0 dan di sebelah kanan sumbu y. Tentukan .

1.4 APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA1. Luas Daerah

Jika D daerah pada bidang xy maka luas D adalah :

L =

2. Titik Pusat Massa

Jika D daerah pada bidang xy dan (x,y) rapat massa disetiap titik pada D, maka :

Massa D = m =

Momen terhadap sumbu x = Mx =

Momen terhadap sumbu y = My =

Titik Pusat massa = ( ) = (

3. Momen Inersia

Momen Inersia terhadap sumbu x = Ix =

Momen Inersia terhadap sumbu y = Iy =

1.5 Latihan 1. Diketahui D daerah yang dibatasi y = , di atas sumbu x. Tentukan :

a. Luas daerah D.

b. Titik pusat massa D, jika rapat massa (x,y) = ,

k konstanta.

2. Diketahui D daerah yang dibatasi x2 + y2 8y = 0, dikuadran I. Tentukan:

a. Titik pusat massa D, jika rapat massa (x,y) = kx, k konstanta.

b. Momen Inersia terhadap sumbu x dan sumbu y.

3. Diketahui D daerah yang terletak diluar x2 + y2 = 4 dan didalam

x2 + y2 4x= 0. Tentukan Titik pusat massa D, jika rapat massa

(x,y) = ky, k konstanta.

INTEGRAL LIPAT TIGA

A. INTEGRAL LIPAT TIGA KOORDINAT CARTESIAN

1. Definisi Jika B benda yang dibatasi beberapa permukaan pada ruang kartesian xyz, misalkan F(x,y,z) fungsi yang terdefinisi pada B. Maka Integral Lipat Tiga dari fungsi F(x,y,z) pada daerah B adalah :

, dengan dV : Diferensial elemen volume (dx dy dz)

Gambar 6: Ruang B pada sumbu Cartesian xyz2. Sifat Integral Lipat Tiga

1.

2.

3. Tafsiran Integral Lipat Tiga

Gambar 7: Tafsiran I Integral lipat tigaJika B benda yang dibatasi p1(y) x p2(y), c y d, dan

g1 (x,y) z g2(x.y) maka,

Gambar 8: Tafsiran II Integral lipat tiga

Jika B benda yang dibatasi a x b, q1(x) y q2(x), dan

g1(x,y) z g2(x.y) maka,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Gambar Bidang di Ruang tiga Dimensi1. Limas ax + by + cz = d, dimana a,b,c dan d 0.

Cara menggambar:

Perpotongan dengan sumbu x y = z= 0ax =d koordinatnya

Perpotongan dengan sumbu yx = z= 0by =d koordinatnya

Perpotongan dengan sumbu z x = y= 0cz =d koordinatnya

Gambar 1. Limas Segitiga2.Paraboloida

Cara menggambar:

mis

EMBED Equation.3 ( di bidang YOZ, berbentuk parabola)

mis

EMBED Equation.3 ( di bidang XOZ, berbentuk parabola)

Gambar 2. Paraboloida

3.Silinder / Tabung

Gambar 3. Tabung / silinder

4. Kerucut Tegak

Gambar 4 . Kerucut 5. Bola

Gambar 5. Bola4. Latihan

1. Jika B benda yang dibatasi 1 x 6, 2 y 7, 0 z 4. Tentukan

2. Jika B benda yang dibatasi 2x + 3y + 6z = 12, bidang x = 0, y = 0, z = 0.

Tentukan

3. Jika B benda yang dibatasi silinder parabolik y = x2, z = 0, z = 4, dan y =6

Tentukan

B. INTEGRAL LIPAT TIGA KOORDINAT SILINDER (TABUNG)

1. Definisi

Koordinatnya (r, , z ), dimana:x = r cos y = r sin

z = z

0 2 (arah belawanan arah jarum jam, = 0o sumbu x pos) . r = .

Maka

Gambar 9 : Kaitan koordinat kartesian dan koordinat silinder

2. Latihan

1. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2 dan bidang z = 4 Tentukan

2. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2 dan z = 4 x2 y2. Tentukan

3. Jika B benda yang dibatasi z = dan z = 2 x2 y2. Tentukan

4. Jika B benda yang dibatasi diluar x2 + y2 = 4,di dalam z = 9 x2 y2 dan di atas bidang

Z = 0. Tentukan

5. Jika B benda yang dibatasi z = 4 x2 y2, x2 + y2 2x = 0, di atas z= 0. Tentukan

6. Jika B benda yang dibatasi z = x2 + y2, x2 + y2 = 1, z = 4.

Tentukan

C. APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA

1. Volume

Jika B benda pada ruang xyz maka Volume B adalah :

V =

2. Titik Pusat Massa

Jika B benda pada ruang xyz dan (x,y,z) rapat massa disetiap titik pada B, maka :

Massa B = m =

Momen terhadap bidang xy = Mxy =

Momen terhadap bidang yz = Myz =

Momen terhadap bidang xz = Mxz =

Titik Pusat massa = ( , ) = (

3. Momen Inersia

Momen Inersia terhadap sumbu x = Ix =

Momen Inersia terhadap sumbu y = Iy =

Momen Inersia terhadap sumbu z = Iz =

4. Latihan

1. Jika B benda yang dibatasi x2 + y2 = 4, bidang z = 0 dan z = 6. Tentukan

a. Volume B

b. Titik pusat massa B jika rapat massa B adalah (x,y,z) = kz,

k konstanta.

2. Jika B benda yang dibatasi z = 12 - x2 - y2 , x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4 dan z = 0. Jika rapat massa k (x2 + y2 ) Tentukan:a. Titik pusat Massab. Momen Inersia terhadap sumbu z.

3. Jika B benda yang terletak diluar z = , didalam x2 + y2=1, dan bidang z=0. Tentukan momen terhadap bidang xz, = k y, konstanta.

KALKULUS VEKTOR3.1. Diferensial Vektor

Jika F(u) = F1(u) i + F2(u) j + F3(u) k suatu fungsi vektor maka

Diferensial vektor F(u) adalah :

Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p) dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi n .Fungsi ini disebut medan vektor .

Contoh :1. F(x,y) = -2 x i + 3/2 y j , dalam ruang berdimensi 2

2. F(x,y,z) = x i - y j + 4z k, dalam ruang berdimensi 3.

Secara umum medan vektor dalam ruang 3 dimensi ditulis

F(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k

3.2. Gradien, Divergensi dan Curl

a. Operator Diferensial vektor Del

Notasi:

Definisi:

b. Gradien

Notasi: , dengan f (x, y ,z) suatu fungsi skalar

Definisi:

c. Divergensi F / Div F di titik p

Adalah kecenderungan fluida meninggalkan titik p ( div.F > 0) atau mengumpul menuju p (div.F < 0). Notasi:

dan F(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k medan vektor.

Definisi:

EMBED Equation.3 (suatu fungsi scalar)

d. Curl F/ Sirkulasi / RotasiNotasi:

Menyatakan arah sumbu dimana fluida berotasi (melingkar) paling cepat. Arah rotasi mengikuti aturan tangan kanan.

CurlF===

Latihan:

1. Tentukan div.F dan curl F dari :

a.

b.

2. Tentukan dari: a. b.

3. Diketahui fungsi vektor dan

fungsi skalar . Tentukan :

a. Curl Grad

b.

c. Div Curl [ - V(x,y,z) ]


. Tentukan :

a.

b.

c.


fungsi skalar . Tentukan :

a. Curl Grad

b.

c. Div Curl [ - V(x,y,z) ]


dan fungsi scalar .

Tentukan :

a.

b.

c. Div Curl [ V(x,y,z) + F(x,y,z) ]

INTEGRAL GARIS4.1.Definisi

Jika F(x,y) = M(x,y) i + N(x,y) j suatu medan vektor dan C suatu lintasan terbuka dari titik A ke B maka Intergral vektor F(u) terhadap lintasan C atau disebut Integral Garis, yaitu :

dengan dX = dx i + dy j B

A

= .Contoh 1:

Hitunglah integral garis di sepanjang lintasan yang menghubungkan titik (0,2), (3,2) dan (3,5).

Jawab:

Pada garis, y = 2 maka dy = 0

Sehingga = 18

Pada garis, x= 3 maka dx = 0

Sehingga = 117.

Jadi = 135.

Jika C adalah busur lengkungan dari A ke B , maka integral garis adalah

Perhitungannya menggunakan parameter t, dimana dan sehingga dt , maka

EMBED Equation.3 dt.

Contoh 2:

Hitunglah jika C lengkungan persamaan parameter , ,

Jawab:

= = 27

4.2. Aplikasi

a. Massa (m)

Jika rapat massa , maka m = .

b. Momen massa ( M )

Terhadap sumbu x :

EMBED Equation.3

Terhadap sumbu y :

EMBED Equation.3 .

c.Titik pusat massa =

4.3. Tak Tergantung Lintasan ( Bebas Lintasan)

Definisi :

Untuk setiap C lengkungan dari titik A ke B. Nilai tetap harganya maka dikatakan tidak tergantung lintasan dari A ke B.

=

Artinya tidak tergantung lintasan dari titik A ke B melalui C1 atau C2.Teorema 1 :

Jika C lengkungan licin dari titik A ke B. fungsi f(x) terdefinisi dan kontinu pada daerah terbuka yang memuat C, maka :

Teorema 2 :

Jika f(x) medan vector yang kontinu pada daerah tersambung sederhana. Maka tidak tergantung lintasan dari A ke B jika dan hanya jika terdapat medan konservatif F sehingga

Untuk menunjukkan F medan konservatif :1. Jika maka F konservatif jika memenuhi

2. Jika maka F konservatif jika atau

Langkah langkah menunjukkan tidak tergantung lintasan dari titik A ke B adalah :

1. Tunjukkan F konservatif.

2. Tentukan f agar .3.

Latihan Soal.

1. Tentukan apakah konservatif, dan jika ya tentukan fungsi f .

2. Hitunglah

EMBED Equation.3 , dimana C adalah sebarang lintasan dari (0,0) ke (1,2).3. Jika F(x,y,z)=

Hitunglah integral garis sepanjang lintasan C yg menghubungkan titik (1,1.2) ke (2.-3,1)

4. Jika F(x,y,z)=

Apakah F konservatif, jika ya tentukan f(x,y,z)

4.4. Teorema Green pada Bidang

Teorema Green :

Jika C lengkungan tertutup sederhana yang merupakan batas daerah D dan suatu medan vector . M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan parsial pada D dan C. Maka :

atau

Note : arah positif C adalah berlawanan arah jarum jam.Latihan Soal:

1. Misalkan C adalah batas segitiga dengan titik-titk (0,0), (1,2) dan (0,2), hitunglah

dengan menggunakan metode langsung dan Teorema Green.

2. Dengan Teorema Green dari jika C adalah lengkungan yang dibatasi oleh di luar dan di dalam .3. Buktikan kebenaran Teorema Green dari jika C adalah lintasan yang dibatasi oleh di kuadran I yang dilanjutkan segmen garis dari (2,0) ke (4,4) dan kembali ke titik asal. (272/15)4. Buktikan kebenaran Teorema Green dari jika C adalah lintasan yang dibatasi oleh di kuadran I yang dilanjutkan dengan di kuadran IV 4.5. Fluks dan Sirkulasia. Fluks (Teorema Divergensi Gauss)

Fluks: jumlah (neto) fluida yang meninggalkan D per satuan waktu dari medan vektor F yang menyeberangi kurva C ke arah luar .. Jika n vektor normal satuan yang tegak lurus terhadap D , maka

Fluks yang menyeberangi C =

= =

b. Sirkulasi (Teorema Stokes)Adalah Sirkulasi / kecenderungan fluida untuk berputar pada titik . Jika Curl F = 0 pada D, maka aliran fluida dikatakan tidak dapat berputar.

= =

Contoh:

Diketahui Medan vektor adalah medan kecepatan dari roda stabil yang berlawanan dengan arah jarum jam terhadap sumbu z..Hitunglah Fluks dan Sirkulasinya.Jawab:a. Fluks = = = = 0

b. Sirkulasi = Curl F = = = = Luas A.Latihan soal:

1. Hitunglah Fluks medan vektor dari F= -yi+4x j yang menyeberangi lintasan di kuadran I yang dilanjutkan ke titik (0,0) dan kembali ke titik asal. 2. Jiika adalah medan vector ,tentukanlah Fluks dan sirkulasi F jika C berbentuk lintasan:a. Lingkaran di kuadran Ib. Titik-titik (2,2),(6,2) ,(6,8) kembali ke titik asal.

INTEGRAL PERMUKAAN

5.1 Definisi

Misalkan S bagian dari permukaan dimana (x,y) berada dalam D pada bidang XY . Jika f mmpunyai turunan parsial orde pertama yang kontinu dan

EMBED Equation.3 kontinu pada D , maka Integral Permukaan dari pada S adalah:

EMBED Equation.3

Dimana dS adalah elemen diferensial luas permukaan

dan D adalah proyeksi S terhadap bidang XY.

5.2 Aplikasi

a. Luas Permukaan

Jika =1 , maka adalah luas permukaan.

b. Massa = m

Jika rapat massa diketahui maka m=

Contoh:

Hitunglah dimana S bagian dari permukaan .

Jawab:

Proyeksi S terhadap bidang XY adalah D yang melalui titik (3,0) dan (0,6).

Sehingga permukaan

dan =

EMBED Equation.3 1/3

Jadi =

=

diselesaikan dengan menggunakan integral lipat 2.

Latihan:

1. Hitunglah dimana S bagian dari permukaan di antara z = 1 dan z = 9.

2. Tentukan luas permukaan dari S bagian permukaan pada soal no.2.

5.3. Fluks Medan Vektor yang Melalui Permukaan

Pada permukaan yang bersisi dua seperti layar, dan andaikan terdapat fluida yang dapat mengalir melalui permukaan tersebut dari satu sisi ke sisi yang lain. Andaikan juga permukaan tersebut licin yang berarti mempunyai normal satuan n arah ke atas yang berubah-ubah secara kontinu..Jika S adalah permukaan yang bersisi dua seperti definisi di atas dan diasumsikan S dicelupkan ke dalam fluida dengan medan kecepatan kontinu F(x,y,z). . Maka :

Fluks yang menyeberangi S adalah =

Contoh: Tentukan fluks arah ke atas dari yang menyeberangi bagian dari permukaan bola S yang dibentuk oleh

=

,

Jawab:

Medan F adalah arus rotasi yang mengalir pada arah sumbu z positif.

Persamaan dari permukaan dapat ditulis sbb:

= =

= =

= =

Maka fluks F yang menyeberangi S dinyatakan dengan

=

=

= = =36satuan kubik.

Teorema

Misalkan S adalah permukaan mulus bersisi dua yang dibentuk oleh , dimana (x,y ) ada di dalam D, dan misalkan n melambangkan normal satuan k arah atas pada S. Jika f mempunyai turunan parsial orde pertama yang kontinu dan adalah medan vektor kontinu , maka fluks F yang menyeberangi S dapat dinyatakan dengan:

Fluks F = =

Contoh :

Hitunglah fluks medan vektor yang menyeberangi S bagian dari paraboloida yang terletak di atas bidang xy, dengan n vektor normal ke arah atas.

Jawab:

EMBED Equation.3 , ,

EMBED Equation.3 =

EMBED Equation.3

=

= = =

Soal:

1. Hitunglah fluks F medan vektor yang menyeberangi S bagian dari pemukaan , dengan menggunakan teorema.

2. Hitunglah fluks F medan vektor yang menyeberangi S bagian dari permukaan , yang berada di dalam silinder .

3. Hitunglah Fluks medan vektor dari F= -yi+xj+12k yang menyeberangi bagian permukaan bola dan .5.4. Teorema Divergensi Gauss

Misalkan adalah medan vektor sedemikian rupa sehingga M, N dan P mempunyai turunan-turunan parsial orde pertama yang kontinu pada benda padat S yang mempunyai batas .. Jika n melambangkan n normal satuan luar yang tegak lurus terhadap , maka

Fluks F = =

=

Contoh:

1. Hitunglah fluks dari medan vektor yang menyeberangi

S = dengan menggunakan Teorema Gauss.

Jawab:

Karena div F = 3, maka fluks F = = 3=

EMBED Equation.3 .

2. Misalkan S adalah silinder padat yang dibatasi oleh , z = 0 dan z = 3. Jika n adalah normal satuan luar tehadap batas . Mis . Tentukan fluks yang menyeberangi .

Jawab:

Div F =

Fluks F = = 3

= =

y

(r,)

r

0 x

y

a

- 0 x

-a a

-a

y

2a x

y

2a

x

z

B

B bras

y

0

x

z z = g2( x,y)

B

z = g1(x,y)

c d y

x = p1(y)

x = p2(y) D x

EMBED Equation.3

z g2(x,y)

B

g1(x,y)

0 y

q1(x) q2(x)

a

D

b D

x

y

x

z

EMBED Equation.3

z

(r,,z)

z

y

r

x

(3,5)

C2

(0,2) C1 (3,2)

C1 B

A

C2

D D D

C

n

D D

D

C

C

S

z= f(x,y)

D

(0,6)

(3,0)

n

n

PAGE 20

_1342420995.unknown

_1343411402.unknown

_1343413405.unknown

_1343737858.unknown

_1447657081.unknown

_1448265031.unknown

_1472453093.unknown

_1472453120.unknown

_1472454888.unknown

_1456564719.unknown

_1448262202.unknown

_1448263173.unknown

_1448263208.unknown

_1448262812.unknown

_1448262352.unknown

_1448261251.unknown

_1448261921.unknown

_1448262011.unknown

_1448261294.unknown

_1447659617.unknown

_1378626900.unknown

_1447653816.unknown

_1447655834.unknown

_1379838055.unknown

_1343737888.unknown

_1343737947.unknown

_1343737903.unknown

_1343737870.unknown

_1343737880.unknown

_1343737862.unknown

_1343413512.unknown

_1343413565.unknown

_1343413617.unknown

_1343413646.unknown

_1343413654.unknown

_1343737849.unknown

_1343413660.unknown

_1343413650.unknown

_1343413622.unknown

_1343413575.unknown

_1343413613.unknown

_1343413571.unknown

_1343413535.unknown

_1343413543.unknown

_1343413559.unknown

_1343413540.unknown

_1343413526.unknown

_1343413530.unknown

_1343413515.unknown

_1343413519.unknown

_1343413446.unknown

_1343413483.unknown

_1343413508.unknown

_1343413450.unknown

_1343413413.unknown

_1343413440.unknown

_1343413410.unknown

_1343412498.unknown

_1343413305.unknown

_1343413371.unknown

_1343413379.unknown

_1343413402.unknown

_1343413374.unknown

_1343413354.unknown

_1343413363.unknown

_1343413367.unknown

_1343413359.unknown

_1343413351.unknown

_1343412601.unknown

_1343412611.unknown

_1343412615.unknown

_1343412605.unknown

_1343412540.unknown

_1343412544.unknown

_1343412536.unknown

_1343412301.unknown

_1343412442.unknown

_1343412484.unknown

_1343412494.unknown

_1343412451.unknown

_1343412403.unknown

_1343412410.unknown

_1343412314.unknown

_1343412058.unknown

_1343412192.unknown

_1343412196.unknown

_1343412188.unknown

_1343411412.unknown

_1343411606.unknown

_1343411616.unknown

_1343411602.unknown

_1343411406.unknown

_1343033194.unknown

_1343036001.unknown

_1343037334.unknown

_1343037798.unknown

_1343037825.unknown

_1343037790.unknown

_1343036031.unknown

_1343037312.unknown

_1343036024.unknown

_1343035932.unknown

_1343035956.unknown

_1343035964.unknown

_1343035943.unknown

_1343035905.unknown

_1343035919.unknown

_1343035881.unknown

_1342952382.unknown

_1343032416.unknown

_1343033142.unknown

_1343033169.unknown

_1343033132.unknown

_1343033138.unknown

_1343032944.unknown

_1343032976.unknown

_1342952406.unknown

_1343032273.unknown

_1342952387.unknown

_1342471769.unknown

_1342475379.unknown

_1342947964.unknown

_1342947996.unknown

_1342952378.unknown

_1342475883.unknown

_1342475898.unknown

_1342471855.unknown

_1342471863.unknown

_1342471797.unknown

_1342421219.unknown

_1342471644.unknown

_1342421118.unknown

_1307609393.unknown

_1324234412.unknown

_1342420299.unknown

_1342420922.unknown

_1342420978.unknown

_1342420426.unknown

_1342420785.unknown

_1342420897.unknown

_1342420619.unknown

_1342420310.unknown

_1342419801.unknown

_1342419923.unknown

_1342420244.unknown

_1342420274.unknown

_1342419970.unknown

_1342419882.unknown

_1342419856.unknown

_1324234886.unknown

_1328414605.unknown

_1328414844.unknown

_1328414899.unknown

_1328415216.unknown

_1328414674.unknown

_1324234900.unknown

_1324234796.unknown

_1324234837.unknown

_1324234718.unknown

_1307611276.unknown

_1307611977.unknown

_1307698545.unknown

_1307701003.unknown

_1324234322.unknown

_1324234382.unknown

_1324234256.unknown

_1307701037.unknown

_1307699668.unknown

_1307700023.unknown

_1307699316.unknown

_1307698972.unknown

_1307612098.unknown

_1307612763.unknown

_1307697869.unknown

_1307697891.unknown

_1307612784.unknown

_1307612370.unknown

_1307612031.unknown

_1307611784.unknown

_1307611924.unknown

_1307611414.unknown

_1307609971.unknown

_1307610727.unknown

_1307610807.unknown

_1307610839.unknown

_1307610859.unknown

_1307610176.unknown

_1307610000.unknown

_1307609601.unknown

_1307609845.unknown

_1307609551.unknown

_1305792288.unknown

_1306602178.unknown

_1307118043.unknown

_1307122225.unknown

_1307449645.unknown

_1307608449.unknown

_1307607871.unknown

_1307608360.unknown

_1307449210.unknown

_1307449354.unknown

_1307122364.unknown

_1307449147.unknown

_1307122526.unknown

_1307122322.unknown

_1307121277.unknown

_1307121751.unknown

_1307121882.unknown

_1307121354.unknown

_1307118797.unknown

_1307118852.unknown

_1307118733.unknown

_1307118277.unknown

_1306603969.unknown

_1306651627.unknown

_1306651910.unknown

_1306652331.unknown

_1306651651.unknown

_1306605433.unknown

_1306651424.unknown

_1306605553.unknown

_1306605290.unknown

_1306602792.unknown

_1306603902.unknown

_1306603929.unknown

_1306603788.unknown

_1306602362.unknown

_1306602474.unknown

_1306602255.unknown

_1305794271.unknown

_1305794659.unknown

_1306601991.unknown

_1306602080.unknown

_1305794775.unknown

_1306601840.unknown

_1305794718.unknown

_1305794546.unknown

_1305794616.unknown

_1305794415.unknown

_1305794178.unknown

_1305794228.unknown

_1305792666.unknown

_1305794100.unknown

_1305792469.unknown

_1246300347.unknown

_1285948030.unknown

_1296231076.unknown

_1305789511.unknown

_1305791638.unknown

_1296231244.unknown

_1296231390.unknown

_1296230773.unknown

_1296230916.unknown

_1287376189.unknown

_1285948283.unknown

_1282891120.unknown

_1282899998.unknown

_1285947779.unknown

_1282899912.unknown

_1246302865.unknown

_1282890931.unknown

_1246302052.unknown

_1246285565.unknown

_1246288551.unknown

_1246289767.unknown

_1246288037.unknown

_1245780206.unknown

_1245780313.unknown

_1245780530.unknown

_1245773667.unknown

kalkulus 3 (perminyakan)

Documents