matematika ii (perminyakan) 2015

8/18/2019 Matematika II (Perminyakan) 2015

1/31

MATERI KULIAH

MATEMATIKA II

Disusun oleh :

Dra. Mustamina Maulani, MT

Teknik Perminyakan

FTKE U!AKTI

1


2/31

MATERI MATEMATIKA II

1. Integral TakTentu

2. Integral Tertentu

3. Aplikasi Integral UT! "materi #,$,%&

4. Integral LipatDuaKoordinatKartesian

5. PersamaanDiferensialOrdeatu UA! "materi %,',(&

Re)erensi :

1. Kalkulus II! Pur"ell

2. Kalkulus II! Koko #artono! IT$

3. %al"ulus! Leit&old

2


3/31

*A* I

I+TERAL TAK TE+TU

I. De)inisi :

Integral tak tentu dari fungsi f'()dituliskanf ' x )dx

C

∫ ! didefinisikanse*agai +

∫ += C x F dx x f )')'

Dimana+ ,'() suatufungsidengan)'

)' x f

dx

xdF =

','() dise*uta-uga anti turunan

Dari f'() dan % suatukonstantapengintegralan

II. !i)at Inte-ral Tak Tentu

1. ∫ ∫ ∫ +=+ dx x g dx x f dx x g x f )')'))')'' ,'() / 0'()

2. ∫ ∫ = dx x f k dx x f k )'))'' k ,'()! k konstanta ang tidaknol

III. Tael Inte-ral)"/& ∫ dx x f )'

k! konstanta k(

(n 11

1 +

+n

xn

e( e(

in ( "os (

%os ( in (1!! ≠aa x

a

a x

ln

e"2( tg (

%s"2 ( "tg (

se" ( tg ( se" (

"s" ( "tg ( "tg (

X

1

1

1− x 2

ln x

sin

−1

xatau− "os−1

x

3


4/31

1

1+ x 2tg−1 xatau− "tg−1 x

Latihan :Tentukan inte-ral erikut :

1. ∫ −+− dx xe x x )se"3' 2

2. ∫ −+− dx x xtg x x )24se"2' 23

3. ∫ −− dx x x )1sin2'

I0. Meto1aInte-rasi

#. Meto1a!utiusi

∫ dx x f )' dengan su*stitusi )' xuu = dan integral men-adi ∫ duu f )' angdapat diselesaikan.

Latihan :

1. ∫ dx x)4'sin 4. ∫ + dx x x )12'"os4 2

2. ∫ dxe x x"os2sin

5. ∫ − dx x x 3 32 162

3. ∫ ++ dx x x x )'se")12' 22

7.∫ +− dx x

x x )

)2sin1'

2"os' 2

5

$. Inte-ral Parsial

8ika u u'() dan 9 9'() maka dari aturan diferensial

dx

dvu

dx

duvvu

dx

d +=)'

dx

duvvu

dx

d

dx

dvu −= )'

:ntukmasingmasingruasdiintegralkanter&adap 9aria*le ( didapat +

4


5/31

∫ ∫ −= duvvudvu ;umus Integral Parsial

Latihan :

1. ∫ dx x x 2sin 3. ∫ + dx x x )13'ln2

2. ∫ −++ dx x x x )32'ln)1'

22

4. ∫

+ dxe x x )' 132

RUMU! RUMU! :

•

C

au

au

aau

du+

+

−=

−∫ ln

2

122

•

∫ +=+ C

a

utg arc

aua

du 122

•

C auu

au

du+±+=

±∫ 22

22

ln

∫ +=−

C a

uarc

ua

dusin

22

%. Inte-ral

∫ ++ )

)'

2cbxax

dx x P n

, =)' x P n Polinom1era2at n

Penyelesaian :

Tuliskan*entuk +

∫ ++ )

)'

2cbxax

dx x P n

3

∫ ++

+++− dxcbxax

cbxax xQn

2

2

1 )'

λ

Dideferensialkan

Latihan :

5


6/31

1.

∫ ++

−+dx

x x

x x

54

32

2

2

3.

∫ +−

−+dx

x x

x x

57

142

2

3

2. ∫ −−−−−+dx

x x

x x x

52

12

2

23

4. ∫ ++−−−dx

x x

x x


7/31

#aka )'......)')'

)'

)'

)'

1

2

n

n

n

n

d xd xcbxax

x P

xQ

x P

−−++=

)'.......

)')' 1

1

2

n

n

d x

C

d x

C

cbxax

B Ax

−++

−+

+++

Latihan :

1.∫ −−+

−+dx

x x x

x x

22

3223

2

3.∫ +−+

−+dx

x x x

x x

2

3223

2

2.

∫ +−−+dx

x x

x x

23

243

23

4.

∫ −−+−++

dx x x x

x x x

1243

5423

23

5.∫ ++++

−++dx

x x x x

x x x

4164

2234

23

(. Inte-ral Tri-onometri yan-memuat

22 xa −

,

22 xa +

,

22a x −

Penyelesaian :

0unakansu*stitusi +

:ntuk

22 xa −

sutitusi θ sina x = atau θ "osa x =

:ntuk

22 xa +

sutitusi θ tg a x = atau θ ctg a x =

:ntuk

22a x −

sutitusi θ se"a x = atau θ "s"a x =

Latihan :

1. ∫ − dx x26

3.dx x x∫ −

21

2.

dx x

∫ +

3

4 2


8/31

Rumus$ tri-onometri :

1sin"os 22 =+ θ θ θ θ θ "ossin22sin =

θ θ 2"os2

1

2

1"os

2 +=θ θ θ 22 sin"os2"os −=

θ θ 2"os2

1

2

1sin

2 −=θ

θ θ

θ sin

1"s"!

"os

1se" == n

θ θ 22se"1 =+ tg

θ θ 22 se"1 cctg =+

∫ ++= C xtg xdx x se"lnse"

, ∫ ++= C xctg xdx x "s"ln"s"

∫ ∫ +−+−= −−

C dx xn xtg xn

dx x nnn 22

se")2''se"1

1se"

∫ ∫ +−+−−= −−

C dx xn xctg xn

dx x nnn 22

"s")2'"s"'1

1"s"

7. Inte-ral∫ +++ cbxaxk hx

dx

n 2)'

Penyelesaian :gunakansu*stitusi k hxu +=−1

6ontoh :

1.

∫ +++ 1)2'

22

x x x

dx

3.

∫ −++ 42)4'

22

x x x

dx

2.

∫ ++ x x x

dx

4)7' 23 4.

∫ +−+ 32)72' 22 x x x

dx

. Inte-ral ∫ + dxbax x q

p

nm )'


9/31

a. 8ika

Bulat Bilangann

m=

+1

! untuk penelesaian gunakan

su*stitusibaxu nq +=

*. 8ika Bulat Bilangan

n

m≠

+1

!

tetapi

Bulat Bilanganq

p

n

m=++1

!

untukpenelesaiangunakansu*stitusi

bax xu nnq +=

Latihan :

1

∫ − 443 x x

dx

. 2.

∫ + 45 x x

dx

3. ∫ −64


10/31

Latihan :

1.∫ ++ x xdx

"ossin13.∫ + xdx x

"os1

"os

2.∫ +− x xdx

"ossin14.∫ + xdx xctg

sin1

*A* II

I+TERAL TERTE+TU

I. De)inisi :

Integral tertentudarifungsif'() adala& +

∫ −=b

a

a F b F dx x f )')')'

Dengan)' x f dx

dF

=

Latihan +Tentukan Integral tertentu *erikut +

1.∫ −3

1

2 542 dx x x

2.∫ +π 2

2 )12'sin dx x x

3.∫

++

+3

12

124

52dx

x x

x

1


11/31

>

g'()

D f'()

a*?

?

*A* III

APLIKA!I I+TERAL

I. LUA! DAERAH

D adala& daera& ang di*atasi )')'! x g y x f b xa ≤≤≤≤

Luasdaera& D adala& +∫ −=b

a

D dx x f x g L ))')''

11


12/31

>

( p') ( @')

d

D

"

?

D daera& ang di*atasi d yc yq x y p ≤≤≤≤ !)')'

Luasdaera& D adala& +∫ −=d

c

D dy y p yq L ))')''

Latihan :Tentukan luas daera& D

1. D daera& ang di*atasi

2A x y x y ==

.

2. D daera& ang di*atasi !!22

==+−= y x y x y di kuadran pertama.

3. D daera& ang di*atasi 14A44 22 −+−=+−= x x y x x y

.

II. 0olume *en1a Putar

#. Meto1a6akram

12


13/31

D

dr1

r2

k

um*u putar

k

daera& D diputar ter&adap garis k ter*entuk +

Bolume Bolume silinder *esar C Bolume silinder ke"il

d r d r )')'

2

1

2

2 π π − d r r )' 2

1

2

2 −π

8ika diterapkan pada daera& D ang di*atasi f'()! g'()! ( a! dan ( *

Diputarter&adapgaris k ! maka 9olume ang ter*entukadala& +

∫ −=b

a

dxr r V )' 2

1

2

2π

Ilustrasi :1. 8ika D diputarter&adapgaris

13


14/31

>

g'()

D r2 f'()

r1

a * ?

>

g'()

D f'()

a * (r1 r2 p

∫ −=b

adxr r V )'

2

1

2

2π !

)'

)'

2

1

x g r

x f r

=

=

∫ −=b

a

dx x f x g V D))''))'E' 22π

2. 8ika D diputarter&adapgaris p

∫ −=b

a

dxr r V )' 2

1

2

2π

! p x g p x g r

p x f p x f r

+=−−=

+=−−=

)')')'

)')')'

2

1

14


15/31

t r1 g'()

D r2

f'()

a * (

∫ +−+=b

a

dx p x f p x g V D))''))'E' 22π

3. 8ika D diputarter&adapgaris t

∫ −=

b

adxr r V )'

2

1

2

2π !

)'

)'

2

1

x f t r

x g t r

−=

−=

∫ −−−=b

a

dx x g t x f t V D))''))'E' 22π

Latihan :

1. D daera& ang di*atasi (2 / 1! garis ( dan 5. dikuadran I.

Tentukan Bolume D -ikadiputarter&adap +

a. 0aris .

*. 0aris 3.

". 0aris .

2. D daera& ang di*atasi (! ( / 4! dan . Tentukan Bolume D

-ikadiputarter&adap +

a. 0aris .

15


16/31

k

*. 0aris 5.

". 0aris


17/31

>

g'()

Dr f'()

* ((

t d rd r d rd r D44E 2222 −+−++π

d r t π 2

8ika diterapkan pada daera& D ang di*atasi f'()! g'()! ( a! dan ( *

Diputarter&adapgaris k ! maka 9olume ang ter*entukadala& +

∫ =b

a

dxt r V )'2π

Ilustrasi :"amil / 2araksumu y ke-aristen-ah D&

1. 8ika D diputarter&adapgaris (

∫ =b

a

dxt r V )'2π

!)')' x f x g t

xr

−=

=

∫ −=b

a

dx x f x g xV ))')''2π

1


18/31

>

g'()

D r

f'()

a * ( f

2. 8ika D diputar ter&adap garis ( s

∫ =b

a

dxt r V )'2π

!)')'

)'

x f x g t

x xr

−=

+=−−=

∫ −+=b

a

dx x f x g xV ))')'')'2π

3. 8ika D diputarter&adapgaris ( f

∫ =b

a

dxt r V )'2π !

)')' x f x g t x f r −=

−=

>

g'()

D

r f'()

a *

s (

1


19/31

∆

∫ −−=b

a

dx x f x g x f V ))')'')'2π

Latihan :

1. D daera& ang di*atasi (3! garis ( dan


20/31

∆

xd xd

yd !

b

a

2

1

+= ∫

Latihan :

1. Tentukan pan-ang *usur lengkungan2

3

x y = diantara ( dan

( 1.

2. Tentukan pan-ang *usur lengkungan 25 += x y diantara ( 2

dan ( 7.

I0. LUA! PERMUKAA+ *E+DA PUTAR

Lengkungan f'() diantara ( a dan ( *! diputar ter&adap sum*u (!

*agaimana menentukan luas permukaan ang ter-adiF

Karena ∆ "ukup ke"il maka luas permukaan ke"il dari *enda putar ang

ter-adi adala& +

2


21/31

f'()

! ∆

)'2 x f π

permukaanlua∆

)'2 x f π ∆

)'2 x f π

x x

y∆

∆∆

+ .12

8ika

→∆ xmaka

permukaanluad

xd xd

yd 2

1

+

e&ingga Luas Permukaan *enda ang ter-adi adala& +

xd xd

yd x f !

b

a

2

1)'2

+= ∫ π

Latihan :

1. Tentukan luas permukaan *enda putar ang ter-adi apa*ila

lengkungan x y = diantara ( dan ( 2 diputar ter&adap

sum*u (.

2. Tentukan luas permukaan *enda putar ang ter-adi apa*ila

lengkungan12 += x y diantara ( 1 dan ( 4 diputar ter&adap

garis 1.

21


22/31

g2'()

Dg1'()

a * (

*A* I0

I+TERAL LIPAT DUA KRDI+AT 6ARTE!IA+

I. De)inisi

8ika D daera& ang di*atasi *e*erapa lengkungan pada *idang kartesian (. Dan

,'(!) fungsi ang terdefinisi pada D. #aka Integral Lipat Dua dari fungsi

,'(!) pada daera& D adala& +

∫∫ D dA y x F ).' ! dengan dA + Diferensial elemen luas 'd( d atau d d( )0am*ar 1 + Integral Lipat Dua ,'(!) pada D

II. !i)at Inte-ral Li;at Dua

1.∫∫ ∫∫ ∫∫ +=+ D D D

dA y x"dA y x F dA y x" F )!')!')!')'

2.∫∫ ∫∫ = D D

dA y x F dA y x F )!')!')' α α

III. Ta)siran Inte-ral Li;at1ua

22


23/31

g2'()

D

g1'()

a * (

d

D

"

(p1') (p2')

(

0am*ar 2 + Tafsiran I Integral Lipat Dua

8ika D daera& ang di*atasi a G ( G * f'(!) G G g'(!). #aka

∫∫ ∫ ∫ = D

b

a

x g

x g

dxdy y x F dA y x F )'

)'

2

1

)!')!'

0am*ar 3 + Tafsiran II Integral Lipat Dua

8ika D daera& ang di*atasi p1') G ( G p2') " G G d. #aka

∫∫ ∫ ∫ = Dd

c

y p

y pdydx y x F dA y x F

)'

)'

2

1

)!')!'

23


24/31

g2'() g3'()

I D II

g1'()

a * " (

0am*ar 4 + Tafsiran III Integral Lipat Dua

8ika D DI : DII.Dimana DI di*atasi a G ( G * g1'() G G g2'() dan DII

di*atasi * G ( G " g1'() G G g3'(). #aka

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

+=

+=

b

a

x g

x g

c

b

x g

x g

D D D

dA y x F dA y x F

dA y x F dA y x F dA y x F

# ##

)'

)'

)'

)'

2

1

3

1

)!')!'

)!')!')!'

I0. Latihan:

1. Diketa&ui D daera& ang di*atasi 2! 3 ( 3! ( 5.

Tentukan∫∫ − D

dA x xy )73'

.

2. Diketa&ui D daera& ang di*atasi (2! 6 ( dikuadran I.

Tentukan∫∫ + D

dA y x y .)3' 2

3. Diketa&ui Ddaera& ang di*atasi (3! < ( dikuadran III.

Tentukan∫∫ − D

dA y xy )54' 3

.

4. Diketa&ui∫ ∫

−

+2

< 2

2

)3'

x

x

dxdy y xy

.

a. 0am*arkan daera& integrasi D.

*. :*a&la& urutan *atas inegrasi dan &itung.

24


25/31

5. Diketa&ui∫ ∫

−

+3

7

)3'

y

y

dydx y xy

.

a. 0am*arkan daera& integrasi D.

*. :*a&la& urutan *atas inegrasi dan &itung.

*A* 0

PER!AMAA+ DIFERE+!IAL RDE !ATU

I. De)inisi

Persamaan Diferensial orde 1'PD Orde 1) adala& suatu fungsi ang memuat

9aria*le (! dan dd(.

tak$nk k dx

dy y x F tan!)!!' =

6ontohentuk PD r1e# :

1.

)2'sin4 x y xdxdy =+

25


26/31

2. 2)' 22 =++ dy y xdx y x

3. )14'

)153'

+−

−+=

y x

y x

dx

dy

II. Masalah PD r1e!atu

#enentukan penelesaian umum persamaan diferensial! aitu

C y x f =)!'atau

)' x f y =

III. Ti;e < Ti;e PD r1e!atu

#. PD 0ariaelTer;isah

$entuk:mum +

)!')!' =+ dy y x % dx y x &

Dengan #'(!) dan H'(!) fungsi dalam 9aria*le ( dan

Penyelesaian :

)!')!' =+ dy y x % dx y x &

dy y x % dx y x & )!')!' −=

Dengan opersi al-a*ar dy yQdx x P )')' =

dy yQdx x P )')' ∫ ∫ =Penelesaian umum

C y x f =)!'

27


27/31

Latihan: Tentukan penelesaian umum PD

1. 4)52' 2523 =−+ dy ydx y x y x

2.

)' 223 =−+ dy ydx y x x ye x

3. y

x y x y

dx

dy

<

)3' 434 +−=

$. PD Hmo-en

$entuk umum +

PD )!')!' =+ dy y x % dx y x & dise*ut PD omogen -ika #'(!) dan

H'(!) fungi h$m$gen dera-at sama.

De)inisi )un-si homo-en :

,ungsi f'(!) dise*ut fungsi &omogen dera-at n -ika)!')!' y x f k kykx f

n=

%onto& +

•

222)!' y x y x f += suatu fungsi &omogen dera-at 2 karena

)2'2)')'2)!' 222222222 y xk yk xk kykxkykx f +=+=+=

• y x y x f += 24)!'

*ukan suatu fungsi &omogen karena

)4'4)')'4)!' 2222

y xk yk xk kykxkykx f n

+≠+=+=

Penyelesaian :

u*stitusi dv xdxvdy xv y +== A

dan

PD)!')!' =+ dy y x % dx y x &

akan men-adi PD 9aria*le terpisa&

dalam 9 dan (.

2


28/31

Latihan :Tentukan penelesaian umum PD

a. 4)2' 22 =−+ dy x ydx y x

*. 3)'

233 =−+ dy xydx x y

". )' =++−

−

dy xdxe x y x y

%. PD Eksak

$entukumum +

PD)!')!' =+ dy y x % dx y x &

dise*ut PD Jksak -ika x

%

y

&

∂

∂=∂

∂

Penyelesaian :

,ungsi f'(!) % diperole& dari &u*ungan

& x

f =

∂

∂

dan

% y

f =

∂

∂

%ara1 + dari

& x

f =

∂

∂

∫ += )')!' yC dx & y x f

Dan %') diperole& dari &u*ungan

% y

f =

∂

∂

%ara2 + dari

% y

f =

∂

∂

∫ += )')!' xC dy % y x f

Dan %'() diperole& dari &u*ungan

& x

f =

∂

∂

Latihan: Tentukan penelesaian umum PD

1. )2')' =++ dy ye xdxe y y

2


29/31

$. 2)2' 22 =−++ dy y xdx x y x

%. y x

y x

e x y

e y

dx

dy

−+

=3

)3'

'. PD Ti1ak Eksak

$entuk umum +

PD)!')!' =+ dy y x % dx y x &

dise*ut PD tidak Jksak -ika

x

%

y

&

∂

∂

≠∂

∂

Dan suatu fungsi µ

ang mengaki*atkan PD

)!')!' =+ dy y x % dx y x & µ µ men-adi PD Jksak dise*ut ,aktor

Integrasi.

Penyelesaian :

a. Tun-ukkan x

%

y

&

∂

∂≠

∂

∂

.

*. Tentukan fa"tor integrasi µ dengan menggunakan rumus

x

%

y

&

y &

x %

∂∂

−∂

∂∂∂

−∂∂

=

µ µ

µ

dengan )' ( µ µ =

dan )!' y x ( ( =

". elesaikan PD)!')!' =+ dy y x % dx y x & µ µ

26


30/31

Denganpenelesaian PD Jksak.


1. )'

23

=−− dy xdx y x x dengan fa"tor integrasi )' x µ µ = .

2. )2')2'

3233223 2

=−++ dy y x y xdx y x y xdengan fa"tor

integrasi )' y x µ µ =

3. )2')2'

3422 =−+++ dy y x y x xdx y y xdengan fa"tor

integrasi

)1

' xy

µ µ =

5. PD Linier r1e !atu

$entuk umum +

)')' xq y x p

dx

dy=+

Penyelesaian :

D)'E)')'

C dxe xqe ydx x pdx x p

+∫ ∫ = ∫ −


1.

)14' 23 +−=+ x x

x

y

dx

dy

2.

323)32' x y x

dx

dy x =−+

3.)ln1'

2 x x

y

dx

dy

+=+

3


31/31

=. PD *ernoulli

$entuk umum +

α y xq y x pdx

dy)')' =+

α konstanta tidak nol

Penyelesaian :

u*stitusiα −= 1 y (

dan PD *eru*a& men-adi PD linier orde satu

Dalam dan (.


1.

42)2' y x x

x

y

dx

dy−−=+

2.

73 y x ydxdy x =+

3.

43."os)

matematika ii (perminyakan) 2015

Documents