Kansrekening DT 1415Les 7

Gerard van Alst Jan 2015

1

Doelen

• Benadering van binomiale door normale verdeling.

• Continuïteitscorrectie: X=18 wordt 17,5 ≤ Y ≤ 18,5

• Gebruik van waarschijnlijkheidspapier.• Controleren of data normaal verdeeld is

met behulp van waarschijnlijkheidspapier.

2

Huiswerk

• Zijn er vragen over het huiswerk?• Behandel de opgaven waar vragen over

zijn.

3

Rule of thumb: if np(1 – p) > 10, then the probability distribution will be approximately bell-shaped.

Section 7.4 The Normal Approximation to the Binomial Probability Distribution

𝜇𝑋=𝑛𝑝 and    𝜎 𝑋=√𝑛𝑝(1−𝑝)

Benadering van binomiaal door normaal.

• Dus als np(1-p)10 dan kunnen we de binomiale verdeling benaderen door de normale verdeling. Hierbij nemen we de verwachtingswaarde en variantie over:

• en .

5

𝑃 (𝑋=18 )≈𝑃 (17.5≤𝑌 ≤18.5)

7-6

𝑃 (𝑋 ≤18 )≈ 𝑃 (𝑌 ≤18.5)

7-7

EXERCISE

According to the Experian Automotive, 35% of all car-owning households have three or more cars.

Compute the required probabilities in part a) and b) both exact as well as using a suitable approximation.

a) In a random sample of 400 car-owning households, what is the probability that fewer than 150 have three or more cars?

b) In a random sample of 400 car-owning households, what is the probability that at least 160 have three or more cars?

Answers: a) 0.8404 and 0.8403, b) 0.0212 and 0.0205

7-8

Testen op normaliteit van data

Belang: veel statistische toetsen gaan uit van normaliteit.

Zijn mijn data normaal verdeeld?

• Bierviltje test: geldt de empirische regel?

• Grafische testen:• Histogram van data klokvormig?• Normaal waarschijnlijkheidspapier.

• Hypothese toets met : data is normaal verdeeld (vervolgcursus).

Normaal waarschijnlijkheidspapier

normaalkromme

Een normaalkromme zal op normaal waarschijnlijkheidspapier een rechte lijn opleveren.

Stappenplan

1) Zet de data om naar een frequentietabel met geschikte klassen (indien nog niet gedaan)

2) Bepaal de cumulatieve relatieve frequentie van iedere klasse

3) Geef de punten weer op normaal waarschijnlijkheidspapier

4) Onderzoek of de punten ongeveer op een rechte lijn liggen

Merk op: en zijn te berekenen uit de frequentieverdeling, maar zijn tevens af te lezen uit de tekening.

Opgave

Vogels die hun voedsel in bomen en struiken zoeken doen dat vaak bij voorkeur op een specifieke hoogte. Gedurende een winter zijn in een bos voedselzoekende vogels geobserveerd. In de tabel hieronder staat de verdeling over verschillende hoogtes van 400 waarnemingen bij pimpelmezen.a) Laat met normaal waarschijnlijkheidspapier zien dat de

waargenomen hoogtes bij benadering normaal verdeeld zijn.b) Lees uit je tekening af hoe groot het gemiddelde en de

standaardafwijking van deze verdeling zijn.

(uit: examen VWO Wiskunde A, 2002)

Hoogte in meters <1,5 1,5 - 3 3 - 5 5 - 7 7 - 10 10 - 15 >15

Aantal waarnemingen 24 26 51 72 122 92 13

Homework

• Study § 7.4 and document “normaal waarschijnlijkheidspapier”

• Exercises (4th ed):7.4: 15, 21, 25, 27Review 11Opgaven “normaal waarschijnlijkheidspapier”