1

Kansrekening DT 1415Les 4

Gerard van Alst

2

Doelen

• Discreet en continu• Kansverdeling • Gemiddelde en verwachtingswaarde• Variantie (vanuit een frequentieverdeling

van de gehele populatie)• De binomiale verdeling.• Verwachtingswaarde en variantie bij de

binomiale verdeling.

3

Huiswerk en andere vragen?

• Zijn er nog vragen over huiswerk of andere vragen?

4

Discreet en continu• Een kansvariabele is discreet als de mogelijke

uitkomsten losse punten vormen op de getallenlijn.• Een kansvariabele is continu als de mogelijke

uitkomsten een interval (evt. meerdere intervallen) vormen op de getallenlijn.

• De lengte van een persoon is een continue variabele. In principe vormen de uitkomsten een interval (hoewel we meestal afronden).

• Ook leeftijd is een continue variabele.• Het aantal keer zes dat ik gooi met een dobbelsteen

als ik 100 keer gooi, is een discrete variabele.

5

6

7

Kansverdeling

• Bij een kansverdeling is de som van alle kansen gelijk aan 1.

• Stel we gooien met een dobbelsteen: 60 keer. Er doet zich de volgende verdeling voor:

• Het gemid-

delde is

dan: 3,45

Aantal ogen Frequentie Totaal aantal ogen

1 12 12

2 8 16

3 11 33

4 10 40

5 8 40

6 11 66

8

Kansverdeling en theoretisch gemiddelde

• Hoeveel gooi je theoretisch gezien, gemiddeld met een (zuivere) dobbelsteen?

• Kansverdeling: Aantal ogen

Kans

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

9

Kansverdeling en theoretisch gemiddelde

• Stel in een vaas zitten balletjes met een nummer erop: 4 balletjes met een 1, 9 balletjes met een 2 en 7 balletjes met een 3.

• Ik trek één balletje.• Wat is theoretisch gemiddelde in dit geval?• Theor. gem.= = = 2,15• We zien hier:

10

11

Expected value heet in het Nederlands: verwachtingswaarde.

12

Variantie en standaardafwijking:

13

De binomiale verdeling

• Bijvoorbeeld: het aantal zessen bij 100 worpen met een dobbelsteen.

• Er is een vaste kans op een zes (nl. 1/6) en er zijn 100 onafhankelijke pogingen.

14

Binomiale verdeling (2)

• Bijvoorbeeld: X is het aantal zessen bij 100 worpen met een dobbelsteen: dan is

0 ≤ X ≤ 100.

15

Binomiale verdeling (3)

16

17

Uitleg (bin. verdeling 4)

• X = aantal vluchten dat op tijd ging.• T = op tijd, kans 0,8• L = niet op tijd, kans 0,2.• P(X=4) = (0,8)4

• P(X=3) = 4·(0,8)3·(0,2)• Tel het aantal uiteinden

met drie L en één L.

18

Uitleg binomiale verdeling (5)

• P(X=2) = 6 ·(0,8)2·(0,2)2

• Het aantal mogelijkheden met twee keer L en twee keer T:

• LLTT, LTLT, LTTL, TLLT, TLTL, TTLL.• We zien dat we twee plaatsen van de vier

moeten kiezen voor de L: hiervoor zijn mogelijkheden.

• We zien: P(X=k) = (0,8)k·(0,2)4-k ,voor k=0,1,2,3,4.

19

Uitleg binomiale verdeling (6)

• De verwachtingswaarde X = np kunnen we begrijpen: 80% van de vliegtuigen komt op tijd. Bij 4 vluchten is de verwachtingswaarde dus 4 x 0,8 = 3,2.

• De variantie (en standaardafwijking) is moeilijk te begrijpen.

20

Oefening.

21

22

23

24

Opmerking• Vraag b is alleen met meer kennis “hard” te

beantwoorden:• Bij dit aantal (n=4) kunnen we bij benadering

de normale verdeling toepassen (Bell). Bij de normale verdeling geldt: binnen van liggen ongeveer 68% van de waarden, binnen 2 van liggen ongeveer 95% van de waarden.

• We hebben hier = 140 en =9,54, dus de waarde van 162 ligt meer dan 2 af van en dat is onwaarschijnlijk.

25

Binomiale verdeling met de TI-84• Binompdf(n,p,k)= P(X=k) waarbij X

binomiaal verdeeld is (n,p)• Binomcdf(n,p,k)= P(X≤k) waarbij X

binomiaal verdeeld is (n,p)• Op TI 84:

• Ga naar beneden totdat je Binompdf of Binomcdf verschijnt.

• Nu geeft Binompdf(4,0.8,2) = 0.1536.

26