karmasik sayilar nazlı dalbaşı
TRANSCRIPT
![Page 1: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/1.jpg)
KARMAŞIKSAYILAR
Nazlı Dalbaşı10/A 655
![Page 2: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/2.jpg)
A. TanımA. Tanımax2 + bx + c = 0 denkleminin < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önce ortaya koymuştuk. Mesela x2 + 1= 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü (x2 + 1 = 0 x2 = -1 ) karesi -1 olan reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız.
a ve b birer reel sayı ve i = olmak üzere z = a + bi şeklinde ifade edilen
z sayısına karmaşık ( kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C =
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel) kısmı, b ye
karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z)=b şeklinde gösterilir.
1
.1,;: diriveRbabiazz .)11( 2 dirii
Örnek ...1izziziz 3,2,2,32 4321
sayıları birer karmaşık sayıdır.
Re(z1) = 2 ve İm(z1) = -3 tür.
Re(z2) = ve İm(z2) = -1 dir.
Re(z3) = -2 ve İm(z3) = 0 dır.
Re(z4) = 0 ve İm(z4) = 3 tür.
iz 321
iz 22 2
23 z
iz 34
![Page 3: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/3.jpg)
B. i nin Kuvvetleri B. i nin Kuvvetleri i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = -i
i4 = 1
i5 = i
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, -i değerlerinden birine eşit olmaktadır.
n N olmak üzere
i4n = 1
i4n+1 = i
i4n+2 = -1
i4n+3 = -i dir.
Örnek ...2 84 = 4.21 olduğu için i84 = 1,
61 = 4.15 + 1 olduğu için i61 = i,
98 = 4.24 + 2 olduğu için i98 = -1
47 = 4.11 + 3 olduğu için i47 = -i dir. Örnek ...3
i2 = -1 olmak üzere
(1+ i20). (1+ i21). (1+ i22)
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) -i B) -1 C) 0 D) 1 E) i
Çözüm
i20= (i4)5 = 1 , i21= (i4)5.i = i ve
i22= (i4)5.i2 = 1.(-1) = -1 olduğu için,
(1+ i20). (1+ i21). (1+ i22) = (1 + 1). (1 + i). (1 – 1)
= 2. (1 + i). 0
= 0 olur.Cevap C
![Page 4: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/4.jpg)
C. İki Karmaşık Sayının EşitliğiC. İki Karmaşık Sayının EşitliğiReel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.
.. 212
1 dirdbvecazzolsundiczbiaz
Örnek ...4
Çözüm
kaçtır?bagöre,olduğuna32
32
21
2
1
zzaibiazibiaz
A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 5
olur.3)2(5,göreBuna.2513513
,5322.13322
göre,olduğunave).()32(
).13()2(
21
2
1
badirbbbaveabb
aaadırabbveaa
zziabaz
ibaz
Cevap D
![Page 5: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/5.jpg)
D. Bir Karmaşık Sayının EşleniğiD. Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
.' denireşleniğininzsayısınabiaziçinsayısıkarmaşıkbiaz
Örnek ...5
.53:eşleniğisayısının53.5
.3:eşleniğisayısının3.4
.5:eşleniğisayısının5.3
.32:eşleniğisayısının32.2
.4:eşleniğisayısının41
55
44
33
22
11
diriziz
diriziz
tirzz
türiziz
diriziz.
Reel katsayılı ax2+bx+c=0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri z=m+ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan z=m-ni sayısıdır.
Örnek ...6
x2 - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
.21,21.2121
212162
1.2162
2
,165.1.424
21
2
2,1
22
diriiÇdirixveixise
iia
bx
acb
![Page 6: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/6.jpg)
E. Karmaşık Sayılarda Dört İşlemE. Karmaşık Sayılarda Dört İşlem1. Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ya da çıkarılırken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ya da çıkarılır.
diczbiaz
2
1
.)()()()(
21
21
diridbcazzveidbcazz
Örnek ...7
.55)4())3(2()43()2(31)4()32()43()2(
göre,olduğuna432
21
21
21
diriiiiizziiiiizz
izveiz
2. ÇarpmaKarmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
.21 olsundiczvebiaz
)).((. 21 dicbiazz
dbcibdiacaidibcibdiaca
....)1(,.... 22
221111
21
.)).((.
)()(.
bazzbiabiazz
ibcadbdaczz
![Page 7: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/7.jpg)
Örnek ...8
Örnek ...9
?hangisidirerdenaşağıdakilsonucuçarpımının)2.()2( 33 ii
A) 125 B) 64 C) 27 D) 8i E) 4i
Çözüm
.1255
)14()12(
)2).(2()2.()2(
3
3322
333
tir
iiii
Cevap A
yapalım.iişlemlerin..
,göreolduğuna2212
11121
21
zzzzz
izveiz
1. 2. 3.
Çözüm
)2).(21(. 21 iizz
ii
iiii
5)1(252
)1(,242 22
1.
541)21)(21(. 11 iizz2.
.43)1(441441
)2(2.1.21)21(2
2221
oluriiii
iiiz
3.
![Page 8: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/8.jpg)
3. BölmeKarmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılmasıyla sonuçlandırılır.
.21 olsundiczvebiaz
222
1 )()())(())((
dciadbcbdac
dicdicdicbia
dicbia
zz
Örnek ...10
olur.55
41)1(252
21242
)21)(21()21)(2(
212
göre,olduğuna21ve2
22
2
2
1
21
iii
iiiiiii
ii
zz
iziz
z=a+bi sayısının,
toplama işlemine göre tersi : -z = - a – bi
çarpma işlemine göre tersi :
.1122 dir
babia
biaz
Örnek ...11
kaçtır? kısmı imajinern eşleniğinitersinin göre,çarpmayasayısının
3
(sanal)
i
Çözüm
dur.101- kısmıimajiner sayının Bu
dur.1010
3eşleniğibunun için olduğu
10103
193
133
)3)(3(3
31
tersi;göre çarpmayasayısının 3
22
i
iiiii
ii
i
![Page 9: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/9.jpg)
ÇÖZÜMLÜ SORULARSoru ...1
Çözüm
kaçtır? kısmı iner)sanal(imajn eşleniğinisayısının karmaşık zsağlayan eşitliğini
12342 iziz
1312
135
135
1312 1A) B) C) D) E)
tür.135)zİm(
: kısmı sanalsayısının 135
1312
için,olduğu 13
51232
6496)32)(32()32)(23(
3223
23)32(12342
22
2
iz
iz
iiiiiii
iiz
iiziziz
Cevap B
Soru ...2
?hangisidirerden aşağıdakilsonucu çarpımının)3.()3( 1110 ii
202 )3(220 i )3(220 i
)3(210 i )3(210 iE)
A) B) C)
D)
Çözüm
olur.)3(2
)3.()13(
)3.()3)(3(
)3.()3.()3()3.()3(
20
10
10
10101110
i
i
iii
iiiii
Cevap C
![Page 10: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/10.jpg)
Soru ...5 Soru ...6
kaçtır? toplamı göre olduğuna 3 birin köklerinden denklemini
0
üzere,olmak ,,2
cbai-
cbxax
IRcba
A) 5 B) 9 C) 11 D) 15 E) 17
Çözüm
olur.171061 halde, Odır.0106010)6(x
denklemi; 0 göre, Buna
101)3()3)(3(x.x
6)3(3xxdir. 3olan eşleniği
bununkökü diğer ise 3 birin köklerinden denklemini0 katsayılı Reel
22
2
2221
21
2
cbaxxx
cbxax
-i-i
-i-i-i-
i cbxax
Cevap E
kaçtır?z göre, olduğuna
431-
iz
51
52
53
54 1A) B) C) D) E)
Çözüm
olur.515z
için,olduğu 5)4(343
111-
22
z
ziz
Cevap A
![Page 11: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/11.jpg)
Soru ...7 Soru ...8
?hangisidirerden aşağıdakil
eşiti ifadesinin z-z
göre, olduğuna
22
zz
iz
A) –4i B) –2i C) -2 D) -4 E) 4
Çözüm
olur.
zz
için, olduğu
41
442
24
)2(222
22
2
2
222
ii
iiiii
zz
iziz
Cevap D
?hangisidirerden aşağıdakil eşiti ifadesinin11
üzereolmak 150
2
ii
i
Çözüm
.1i-1i1
için,olduğu 2
21)1)(1()1)(1(
11
25050
2
dirii
iiiiiii
ii
Cevap B
A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i
![Page 12: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: Karmasik sayilar nazlı dalbaşı](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062302/587e9da71a28ab2a4a8b4d0d/html5/thumbnails/16.jpg)
5.