katedra za matematiku, fsb...katedra za matematiku, fsb zagreb, 2015 katedra za matematiku (fsb,...
TRANSCRIPT
Matematika 1Matrice-vrste, svojstva i primjene
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2015
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 1 / 19
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Mnozenje matrica kao kompozicija linearnih preslikavanjaNekomutativnost binarne operacijeDjelovanje matrice na bazi prostora-primjene u geometriji,stohasticka matrica
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 2 / 19
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 MatriceMnozenje matricaSvojstva mnozenja matrica
2 Neke primjeneMatrica rotacije u ravniniStohasticki proces
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 3 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
MNOZITI SE MOGU SAMO ULANCANE MATRICEAKO JE A = [ai ,j ] TIPA n×m, B = [bi ,j ] TIPA m×p, ONDA JEMATRICA
C = AB
TIPA n×p DEFINIRANA PO ELEMENTIMA, C = [ci ,j ], SA
ci ,j =m
∑k=1
ai ,kbk ,j
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 4 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.Izracunati produkt matrica: 2 3 1
0 1 23 0 2
1 20 11 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3
2 ·1+3 ·0+1 ·1 = 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 8
2 ·2+3 ·1+1 ·1 = 8
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 82
0 ·1+1 ·0+2 ·1 = 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 82 3
0 ·2+1 ·1+2 ·1 = 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 82 35
3 ·1+0 ·0+2 ·1 = 5
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Mnozenje matrica
Primjer 1.
2 3 10 1 23 0 2
1 20 11 1
=
3 82 35 8
3 ·2+0 ·1+2 ·1 = 8
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 5 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Zadatak 12.Pomnozi matrice
1
[2 1 13 0 1
] 3 12 11 0
2
[3 2 10 1 2
] 123
3
123
[ 1 2 3]
4[
1 2 3] −2
14
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 6 / 19
Matrice Mnozenje matrica
Rjesenje.
1
[9 310 3
]2
[108
]
3
1 2 32 4 63 6 9
4 [12]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 7 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Svojstva mnozenja matrica
1 A(BC) = (AB)C (ASOCIJATIVNOST )
2 A(B+C) = AB+AC, (DISRIBUTIVNOST )
3 kIA=kA
VAZNO: OpcenitoAB 6= BA
Na primjer: ako je matrica A tipa 2×3, B tipa 3×5 onda AB jedefinirano, a BA nije, pa prema tome ne vrijedi AB = BA.Drugi primjer:
A =
(0 10 0
),B =
(0 00 1
)⇒ AB =
(0 10 0
)6=(
0 00 0
)= BA
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 8 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Svojstva mnozenja matrica
Za matrice A i B za koje vrijedi
AB = BA
kazemo da komutiraju.
Primjer.Skalarna matrica tipa n×n komutira s bilo kojom kvadratnommatricom tipa n×n.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 9 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Svojstva mnozenja matrica
Ako je A 6= 0 i B 6= 0 iAB = 0
kazemo da su A i B djelitelji nule.
Primjer.
A =
(0 00 1
),B =
(0 10 0
)⇒ AB =
(0 00 0
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 10 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Svojstva mnozenja matrica
Ako je AB = AC ; B = C.
Primjer.
A =
(0 00 1
),B =
(0 10 0
),C =
(0 00 0
)⇒ AB = AC, ali B 6= C.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 11 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 14.
Zadane su matrice A =
1 3 12 0 41 2 3
,B =
2 1 01 −1 23 2 1
.
Izracunajte: a) AB b)BA.
Rjesenje.
a) AB =
8 0 716 10 413 5 7
, b) BA =
4 6 61 7 38 11 14
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 12 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 14.
Zadane su matrice A =
1 3 12 0 41 2 3
,B =
2 1 01 −1 23 2 1
.
Izracunajte: a) AB b)BA.
Rjesenje.
a) AB =
8 0 716 10 413 5 7
, b) BA =
4 6 61 7 38 11 14
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 12 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 15.Zadane su matrice
A =
(1 23 4
),B =
(0 −1 32 0 −2
),C =
0 12 1−1 0
.
Izracunajte ABC.
Rjesenje.
AB =
(−1 3−7 5
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 13 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 15.Zadane su matrice
A =
(1 23 4
),B =
(0 −1 32 0 −2
),C =
0 12 1−1 0
.
Izracunajte ABC.
Rjesenje.
AB =
(−1 3−7 5
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 13 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 16.
Zadane su matrice A =
(1 23 −1
),B =
(−1 02 1
),C =
(2 −11 0
).
Izracunajte AC +BC.
Rjesenje.
AC +BC =
(2 010 −5
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 14 / 19
Matrice Svojstva mnozenja matrica
Zadatak 16.
Zadane su matrice A =
(1 23 −1
),B =
(−1 02 1
),C =
(2 −11 0
).
Izracunajte AC +BC.
Rjesenje.
AC +BC =
(2 010 −5
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 14 / 19
Neke primjene
NEKE PRIMJENE
A~b =~c,
A je tipa m×n, ~b je tipa n×1, ~c je tipa m×1. Prema tome A jelinearna transformacija sa Rn u Rm.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 15 / 19
Neke primjene Matrica rotacije u ravnini
Matrica rotacije u ravnini
~i
~i′~j
~j′
~a
~a′
ϕ
ϕ
ϕ
A(
10
)=
(cosϕ
sinϕ
), A(
01
)=
(−sinϕ
cosϕ
)⇒ A = A
(1 00 1
)=
(cosϕ −sinϕ
sinϕ cosϕ
)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 16 / 19
Neke primjene Matrica rotacije u ravnini
Matrica rotacije u ravnini
Dakle, tocka T (a,b) nakon rotacije za kut ϕ ima koordinate(acosϕ−b sinϕ,asinϕ+b cosϕ) jer
A~rT =
(cosϕ −sinϕ
sinϕ cosϕ
)(ab
)=
(acosϕ−b sinϕ
asinϕ+b cosϕ
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 17 / 19
Neke primjene Stohasticki proces
Stohasticki proces
Pretpostavimo da je na pocetku promatranja razdioba koristenjajavnog prijevoza studenata FSBa:
p0 =ZET vlak ostalo( )0.3 0.2 0.5
Svakih godinu dana promjena koristenja javnog prijevoza dana jematricom prijelaza:
P =
ZET vlak ostalo( )0.8 0.1 0.1 ZET0.1 0.7 0.2 vlak0 0.1 0.9 ostalo
Kakva je distribucija koristenja javnog prijevoza nakon godinu dana?Poslije 2,3,....?Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 18 / 19
Neke primjene Stohasticki proces
Stohasticki proces
Nakon godinu dana distribucija koristenja javnog prijevoza je:
p0P =(
0.26 0.22 0.52).
Nakon 2 godine:
p0P2 =(
0.23 0.232 0.538).
Nakon 3 godine:
p0P3 =(
0.207 0.239 0.554).
Nakon n godina:p0Pn
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 23. listopada 2015. 19 / 19