matematika i - fsb.unizg.hr · matematika i racun trigonometrijskih funkcijaˇ katedra za...
TRANSCRIPT
Matematika IKatedra za matematiku, FSB
Racun trigonometrijskih funkcija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 1 / 88
Sadrzaj
Sadrzaj:1 Uvodna ponavljanja
1.1 Mjerenje kutova∗
1.2 Trigonometrijske funkcije kutova∗
1.3 Realne trigonometrijske funkcije ∗
1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗
1.5 sin i cos kao koordinate tocke koja jednoliko kruzi1.6 Limesi trigonometrijskih funkcija
2 Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija2.1 Derivacije trigonometrijskih funkcija2.2 Integriranje trigonometrijskih funkcija2.3 sin i cos su ”beskonacni polinomi” ∗
3 Arkus funkcije3.1 Inverzne funkcije (ponavljanje)3.2 Deriviranje inverzne funkcije3.3 Arkussinus i arkuskosinus3.4 Arkustangens i arkuskotangens
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 2 / 88
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafova
Primjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 3 / 88
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integrala
Naucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 3 / 88
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinome
Naucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 3 / 88
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkciju
Definirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 3 / 88
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcije
Izracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 3 / 88
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 3 / 88
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 3 / 88
Uvodna ponavljanja 1.1 Mjerenje kutova∗
RACUN TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
1. UVODNA PONAVLJANJA1.1 MJERENJE KUTOVA∗
U STUPNJEVIMA:
PUNI KUT IMA 360◦
(Babilonska konvencija)12
PUNOG KUTA =12
360◦ = 180◦
16
PUNOG KUTA =16
360◦ = 60◦
itd.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 4 / 88
Uvodna ponavljanja 1.1 Mjerenje kutova∗
U RADIJANIMA:
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 5 / 88
Uvodna ponavljanja 1.1 Mjerenje kutova∗
DAKLE:
0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 270◦ 360◦
0π
6π
4π
3π
22π
33π
45π
6π
3π
22π
VEZA STUPNJEVA I RADIJANA
x◦ = y (rad) ⇐⇒ x◦
y=
180◦
π
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 6 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
PRIMJER 1.
Koliko je stupnjeva7π
5?
Rjesenje:
x◦ =7π
5⇐⇒ x◦
7π/5=
180◦
π
5x◦
7π=
180◦
π
5x◦�π = 180◦ ·7�π
x◦ = 36◦ ·7 = 252◦���
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 7 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
PRIMJER 1.
Koliko je stupnjeva7π
5?
Rjesenje:
x◦ =7π
5⇐⇒ x◦
7π/5=
180◦
π
5x◦
7π=
180◦
π
5x◦�π = 180◦ ·7�π
x◦ = 36◦ ·7 = 252◦���
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 7 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 1.Izraziti u stupnjevima:
a)5π
9b) −7π
12c) 3.2 d) −7.22
ZADATAK 2.Izraziti u radijanima:
a) 27◦ b) 150◦ c) −300◦ d) 480◦
Rjesenje 1:
a) 100◦ b) −105◦ c) 183.35◦ d) −413.68◦
Rjesenje 2:
a)3π
20≈ 0.47 b)
5π
6≈ 2.62 c) − 5π
3≈−5.24 d)
8π
3≈ 8.38
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 8 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 1.Izraziti u stupnjevima:
a)5π
9b) −7π
12c) 3.2 d) −7.22
ZADATAK 2.Izraziti u radijanima:
a) 27◦ b) 150◦ c) −300◦ d) 480◦
Rjesenje 1:
a) 100◦ b) −105◦ c) 183.35◦ d) −413.68◦
Rjesenje 2:
a)3π
20≈ 0.47 b)
5π
6≈ 2.62 c) − 5π
3≈−5.24 d)
8π
3≈ 8.38
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 8 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 1.Izraziti u stupnjevima:
a)5π
9b) −7π
12c) 3.2 d) −7.22
ZADATAK 2.Izraziti u radijanima:
a) 27◦ b) 150◦ c) −300◦ d) 480◦
Rjesenje 1:
a) 100◦ b) −105◦ c) 183.35◦ d) −413.68◦
Rjesenje 2:
a)3π
20≈ 0.47 b)
5π
6≈ 2.62 c) − 5π
3≈−5.24 d)
8π
3≈ 8.38
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 8 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 1.Izraziti u stupnjevima:
a)5π
9b) −7π
12c) 3.2 d) −7.22
ZADATAK 2.Izraziti u radijanima:
a) 27◦ b) 150◦ c) −300◦ d) 480◦
Rjesenje 1:
a) 100◦ b) −105◦ c) 183.35◦ d) −413.68◦
Rjesenje 2:
a)3π
20≈ 0.47 b)
5π
6≈ 2.62 c) − 5π
3≈−5.24 d)
8π
3≈ 8.38
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 8 / 88
Uvodna ponavljanja Duljina luka i povrsina isjecka∗
DULJINA LUKA KRUZNICE I POVRSINA KRUZNOG ISJECKA∗
x = α (u radijanima):
l = rα P =12
r2α
x = β◦ (u stupnjevima):
l =π
180rβ P =
π
360r2
β
Kada koristimo radijansku mjeru, formule su jednostavnije.
Zato cemo od sada koristiti samo radijane!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 9 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 3.Koliki sredisnji kut razapinje kruzni luk duljine 16m, na kruzniciradijusa 4m. Kolika je povrsina pripadnog isjecka?
ZADATAK 4.
Kolika je duljina kruznog luka, za kut α =π
4(radijana) na kruznici
radijusa 8m? Kolika je povrsina pripadnog isjecka?
Rjesenje 3:α = 4 Pα = 32m2
Rjesenje 4:
lα = 2πm ≈ 6.28m Pα = 8πm2 ≈ 25.13m2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 10 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 3.Koliki sredisnji kut razapinje kruzni luk duljine 16m, na kruzniciradijusa 4m. Kolika je povrsina pripadnog isjecka?
ZADATAK 4.
Kolika je duljina kruznog luka, za kut α =π
4(radijana) na kruznici
radijusa 8m? Kolika je povrsina pripadnog isjecka?
Rjesenje 3:α = 4 Pα = 32m2
Rjesenje 4:
lα = 2πm ≈ 6.28m Pα = 8πm2 ≈ 25.13m2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 10 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 3.Koliki sredisnji kut razapinje kruzni luk duljine 16m, na kruzniciradijusa 4m. Kolika je povrsina pripadnog isjecka?
ZADATAK 4.
Kolika je duljina kruznog luka, za kut α =π
4(radijana) na kruznici
radijusa 8m? Kolika je povrsina pripadnog isjecka?
Rjesenje 3:α = 4 Pα = 32m2
Rjesenje 4:
lα = 2πm ≈ 6.28m Pα = 8πm2 ≈ 25.13m2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 10 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 3.Koliki sredisnji kut razapinje kruzni luk duljine 16m, na kruzniciradijusa 4m. Kolika je povrsina pripadnog isjecka?
ZADATAK 4.
Kolika je duljina kruznog luka, za kut α =π
4(radijana) na kruznici
radijusa 8m? Kolika je povrsina pripadnog isjecka?
Rjesenje 3:α = 4 Pα = 32m2
Rjesenje 4:
lα = 2πm ≈ 6.28m Pα = 8πm2 ≈ 25.13m2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 10 / 88
Uvodna ponavljanja 1.2 Trigonometrijske funkcije kutova∗
1.2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE KUTOVA∗
h (hipotenuza)
s (suprotna kateta)
p (prilezeca kateta)
sinα =sh
cosα =ph
tgα =sp
ctgα =ps
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 11 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
PRIMJER 2.
Dokazimo sinα = cos(
π
2−α
)i cosα = sin
(π
2−α
)
Rjesenje:
sinα =bc
= cos(
π
2−α
)cosα =
ac
= sin(
π
2−α
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 12 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
PRIMJER 2.
Dokazimo sinα = cos(
π
2−α
)i cosα = sin
(π
2−α
)
Rjesenje:
sinα =bc
= cos(
π
2−α
)cosα =
ac
= sin(
π
2−α
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 12 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 5.Izracunati:
a) sinπ
4, sin
π
3, sin
π
6
b) cosπ
4, cos
π
3, cos
π
6
Rjesenje 5: Iz trokuta
vidimo:a)
√2
2,
√3
2,
12
b)√
22
,12,
√3
2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 13 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 5.Izracunati:
a) sinπ
4, sin
π
3, sin
π
6
b) cosπ
4, cos
π
3, cos
π
6
Rjesenje 5: Iz trokuta
vidimo:a)
√2
2,
√3
2,
12
b)√
22
,12,
√3
2Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 13 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
DAKLE:
α0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
0 π/6 π/4 π/3 π/2
sinα
√0
2
√1
2
√2
2
√3
2
√4
2
cosα
√4
2
√3
2
√2
2
√1
2
√0
2
Naravno:√
02
= 0,√
12
=12
,√
42
= 1
α0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
0 π/6 π/4 π/3 π/2
tgα 01√3
1√
3 ∞
ctgα ∞√
3 11√3
0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 14 / 88
Uvodna ponavljanja 1.3 Realne trigonometrijske funkcije ∗
1.3 REALNE TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE(definirane ”radijanski”, tj. na jedinicnoj kruznici)∗
sin i cos
sto je u skladu s predhodnim:
cosϕ =x1
sinϕ =y1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 15 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
PRIMJER 3.Dokazimo: sin(−ϕ) =−sinϕ i cos(−ϕ) = cosϕ
Rjesenje:
x = cosϕ = cos(−ϕ)
y = sinϕ
−y = sin(−ϕ)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 16 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
PRIMJER 3.Dokazimo: sin(−ϕ) =−sinϕ i cos(−ϕ) = cosϕ
Rjesenje:
x = cosϕ = cos(−ϕ)
y = sinϕ
−y = sin(−ϕ)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 16 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 6.Izraziti
a) sin(ϕ + 2π), sin(ϕ−2π), sin(ϕ + 4π), sin(ϕ−4π)
b) cos(ϕ + 2π), cos(ϕ−2π), cos(ϕ + 4π), cos(ϕ−4π)
pomocu sinϕ, cosϕ .
ZADATAK 7.Izraziti
a) sin(ϕ + π), sin(ϕ−π), sin(
ϕ +π
2
), sin
(ϕ− π
2
)b) cos(ϕ + π), cos(ϕ−π), cos
(ϕ +
π
2
), cos
(ϕ− π
2
)pomocu sinϕ, cosϕ .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 17 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 8.Izraziti
a) sin(27π), b) cos(
26π
3
), c) cos(−π) d) sin
(−π
6
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 18 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 8.Izraziti
a) sin(27π), b) cos(
26π
3
), c) cos(−π) d) sin
(−π
6
).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 18 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
Rjesenje 6: Iz trigonometrijske kruznice (dane gore) vidimo:
a) sinϕ
b) cosϕ
Rjesenje 7: Iz trigonometrijske kruznice (dane gore) vidimo:
a) −sinϕ, −sinϕ, cosϕ, −cosϕ
b) −cosϕ, −cosϕ, −sinϕ, sinϕ
Rjesenje 8:
a) 0 b) −12
c) −1 d) −12
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 19 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
Rjesenje 6: Iz trigonometrijske kruznice (dane gore) vidimo:
a) sinϕ
b) cosϕ
Rjesenje 7: Iz trigonometrijske kruznice (dane gore) vidimo:
a) −sinϕ, −sinϕ, cosϕ, −cosϕ
b) −cosϕ, −cosϕ, −sinϕ, sinϕ
Rjesenje 8:
a) 0 b) −12
c) −1 d) −12
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 19 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
Rjesenje 6: Iz trigonometrijske kruznice (dane gore) vidimo:
a) sinϕ
b) cosϕ
Rjesenje 7: Iz trigonometrijske kruznice (dane gore) vidimo:
a) −sinϕ, −sinϕ, cosϕ, −cosϕ
b) −cosϕ, −cosϕ, −sinϕ, sinϕ
Rjesenje 8:
a) 0 b) −12
c) −1 d) −12
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 19 / 88
Uvodna ponavljanja Jednolika kruzna gibanja opisujemo pomocu sin i cos
Jednolika kruzna gibanja opisujemo pomocu funkcija sin i cos
PRIMJER 4.Opisimo jednoliko kruzno gibanje po kruznici radijusa r = 3 brzinomv = 2.
Rjesenje:
x = 3 cos2t3
y = 3 sin2t3
vr
:= ω
x = r cosvr
t
y = r sinvr
t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 20 / 88
Uvodna ponavljanja Jednolika kruzna gibanja opisujemo pomocu sin i cos
Jednolika kruzna gibanja opisujemo pomocu funkcija sin i cos
PRIMJER 4.Opisimo jednoliko kruzno gibanje po kruznici radijusa r = 3 brzinomv = 2.
Rjesenje:
x = 3 cos2t3
y = 3 sin2t3
vr
:= ω
x = r cosvr
t
y = r sinvr
t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 20 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 9.
a) Tocka se giba po jedinicnoj kruznici, prelazeci u jedinicivremena 3 jedinice puta. Prikazi koordinate tocke kaofunkciju vremena.
b) Tocka se po kruznici radijusa 4 giba jedinicnom brzinom(tj. jedinicu puta prevaljuje u jedinici vremena). Prikazikoordinate tocke kao funkciju vremena.
c) Tocka se giba po kruznici radijusa 2, prelazeci u jedinicivremena 3 jedinice puta. Prikazi koordinate tocke kaofunkciju vremena.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 21 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 9.
a) Tocka se giba po jedinicnoj kruznici, prelazeci u jedinicivremena 3 jedinice puta. Prikazi koordinate tocke kaofunkciju vremena.
b) Tocka se po kruznici radijusa 4 giba jedinicnom brzinom(tj. jedinicu puta prevaljuje u jedinici vremena). Prikazikoordinate tocke kao funkciju vremena.
c) Tocka se giba po kruznici radijusa 2, prelazeci u jedinicivremena 3 jedinice puta. Prikazi koordinate tocke kaofunkciju vremena.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 21 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 9.
a) Tocka se giba po jedinicnoj kruznici, prelazeci u jedinicivremena 3 jedinice puta. Prikazi koordinate tocke kaofunkciju vremena.
b) Tocka se po kruznici radijusa 4 giba jedinicnom brzinom(tj. jedinicu puta prevaljuje u jedinici vremena). Prikazikoordinate tocke kao funkciju vremena.
c) Tocka se giba po kruznici radijusa 2, prelazeci u jedinicivremena 3 jedinice puta. Prikazi koordinate tocke kaofunkciju vremena.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 21 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
Rjesenje:
a) x = cos(3t), y = sin(3t)
b) r = 4, ω =vr
=14
; x = 4 cos t4 , y = 4 sin t
4
c) r = 2, ω =32
; x = 2 cos 3t2 , y = 2 sin 3t
2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 22 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
Realne funkcije tg i ctg∗
tgϕ =sinϕ
cosϕctgϕ =
cosϕ
sinϕ
Na jedinicnoj kruznici:
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 23 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
PRIMJER 5.
Popunimo tablicu:
α 0π
4π
23π
4π
5π
43π
27π
42π
tgα
ctgα
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 24 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
Rjesenje:
α 0π
4π
23π
4π
5π
43π
27π
42π
tgα 0 1 ±∞ −1 0 1 ±∞ −1 0ctgα ±∞ 1 0 −1 ±∞ 1 0 −1 ±∞
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 25 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 10.Izracunati:
a) tg0, tgπ
6, tg
π
4, tg
π
3tg
π
2
b) ctg0, ctgπ
6, ctg
π
4, ctg
π
3ctg
π
2
po formulama: tgϕ =sinϕ
cosϕ, ctgϕ =
cosϕ
sinϕ
Rjesenje:
a) 0,1√3, 1,
√3 ±∞
b) ±∞,√
3, 1,1√3, 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 26 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 10.Izracunati:
a) tg0, tgπ
6, tg
π
4, tg
π
3tg
π
2
b) ctg0, ctgπ
6, ctg
π
4, ctg
π
3ctg
π
2
po formulama: tgϕ =sinϕ
cosϕ, ctgϕ =
cosϕ
sinϕ
Rjesenje:
a) 0,1√3, 1,
√3 ±∞
b) ±∞,√
3, 1,1√3, 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 26 / 88
Uvodna ponavljanja 1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗
1.4 GRAFOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA∗
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 27 / 88
Uvodna ponavljanja 1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗
PERIODICKI SE PONAVLJA
PERIODICKI SE PONAVLJA
PERIOD FUNKCIJA sin I cos JE 2π
Sjeti se kruznice!Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 28 / 88
Uvodna ponavljanja 1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗
PERIOD FUNKCIJA tg I ctg JE π
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 29 / 88
Uvodna ponavljanja 1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗
Funkcija f(t) je periodicna ako postoji broj T(6= 0) takav da:
f(t + T) = f(t) .
Najmanji takav T > 0 zove se period funkcije f .
PRIMJER 6.Koliki je period funkcije f(t) = 3sin(4t)?
Rjesenje:
f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )
)= 3sin(4t)
=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)
petiod sinusa je 2π =⇒ 4T = 2π, T = π/2���
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 30 / 88
Uvodna ponavljanja 1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗
Funkcija f(t) je periodicna ako postoji broj T(6= 0) takav da:
f(t + T) = f(t) .
Najmanji takav T > 0 zove se period funkcije f .
PRIMJER 6.Koliki je period funkcije f(t) = 3sin(4t)?
Rjesenje:
f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )
)= 3sin(4t)
=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)
petiod sinusa je 2π =⇒ 4T = 2π, T = π/2���
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 30 / 88
Uvodna ponavljanja 1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗
Funkcija f(t) je periodicna ako postoji broj T(6= 0) takav da:
f(t + T) = f(t) .
Najmanji takav T > 0 zove se period funkcije f .
PRIMJER 6.Koliki je period funkcije f(t) = 3sin(4t)?
Rjesenje:
f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )
)= 3sin(4t)
=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)
petiod sinusa je 2π =⇒ 4T = 2π, T = π/2���
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 30 / 88
Uvodna ponavljanja 1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗
Funkcija f(t) je periodicna ako postoji broj T(6= 0) takav da:
f(t + T) = f(t) .
Najmanji takav T > 0 zove se period funkcije f .
PRIMJER 6.Koliki je period funkcije f(t) = 3sin(4t)?
Rjesenje:
f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )
)= 3sin(4t)
=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)
petiod sinusa je 2π =⇒ 4T = 2π, T = π/2���
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 30 / 88
Uvodna ponavljanja 1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗
Funkcija f(t) je periodicna ako postoji broj T(6= 0) takav da:
f(t + T) = f(t) .
Najmanji takav T > 0 zove se period funkcije f .
PRIMJER 6.Koliki je period funkcije f(t) = 3sin(4t)?
Rjesenje:
f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )
)= 3sin(4t)
=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)
petiod sinusa je 2π =⇒ 4T = 2π, T = π/2���
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 30 / 88
Uvodna ponavljanja 1.5 sin i cos kao koordinate tocke koja jednoliko kruzi
1.6 sin I cos KAO KOORDINATE TOCKEKOJA JEDNOLIKO KRUZI
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 31 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
PRIMJER 7.Koje jednoliko kruzno gibanje opisuje x = 3cos(4t), y = 3sin(4t)?
Rjesenje:Koordinate tocke koja se jednoliko kruzno giba po kruznici radijusa r skutnom brzinom ω opisane su jednadzbama:
x = r cos(ω t), y = r sin
(ω t).
Dakle, radi se o gibanju po kruznici radijusa r = 3 s kutnom brzinomω = 4.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Period gibanja je vrijeme T opotrebno za jedan krug:
ωT = 2π =⇒ T = 2π/ω.Dakle, period naseg gibanja je T = 2π/4 = π/2.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Frekvencija gibanja je broj okreta ν u jedinici vremena:
ν = 1/T .Dakle, frekvencija naseg gibanja je ν = 2/π.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 32 / 88
Uvodna ponavljanja Primjer
PRIMJER 7.Koje jednoliko kruzno gibanje opisuje x = 3cos(4t), y = 3sin(4t)?
Rjesenje:Koordinate tocke koja se jednoliko kruzno giba po kruznici radijusa r skutnom brzinom ω opisane su jednadzbama:
x = r cos(ω t), y = r sin
(ω t).
Dakle, radi se o gibanju po kruznici radijusa r = 3 s kutnom brzinomω = 4.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Period gibanja je vrijeme T opotrebno za jedan krug:
ωT = 2π =⇒ T = 2π/ω.Dakle, period naseg gibanja je T = 2π/4 = π/2.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Frekvencija gibanja je broj okreta ν u jedinici vremena:
ν = 1/T .Dakle, frekvencija naseg gibanja je ν = 2/π.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 32 / 88
Uvodna ponavljanja Jednoliko kruzno gibanje
JEDNOLIKO KRUZNO GIBANJE
Ako se tocka (x ,y) giba po kruznici radijusa r s kutnom brzinom ω
onda je:x = r cos
(ω t), y = r sin
(ω t)
Vrijeme jednog okreta T , tj. period kruznog gibanja je:
T = 2π/ω
Frekvencija ν tog gibanja, tj. broj okreta u jedinici vremena je:
ν = 1/T
Brzina gibanja v je:v = ω r
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 33 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 8. a)Skicirajmo graf funkcije y = 3sin(4t).
Rjesenje:
Period: T =2π
4=
π
2Amplituda: A = 3, tj. −3≤ y ≤ 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 34 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 8. a)Skicirajmo graf funkcije y = 3sin(4t).
Rjesenje:
Period: T =2π
4=
π
2Amplituda: A = 3, tj. −3≤ y ≤ 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 34 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 9. b)Skicirajmo graf funkcije y =−3sin(4t).
Rjesenje:
Period: T =π
2; Amplituda: A = 3, tj. −3≤ y ≤ 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 35 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 9. b)Skicirajmo graf funkcije y =−3sin(4t).
Rjesenje:
Period: T =π
2; Amplituda: A = 3, tj. −3≤ y ≤ 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 35 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 10. c)Skicirajmo graf funkcije y =−2cos(3t).
Rjesenje:
Period: T =2π
3; Amplituda: A = 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 36 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 10. c)Skicirajmo graf funkcije y =−2cos(3t).
Rjesenje:
Period: T =2π
3; Amplituda: A = 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 36 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 11. d)
Skicirajmo graf funkcije y =13
sin(
t− π
4
).
Rjesenje:
Period: T = 2π; Amplituda: A =13
Fazni pomak, tj. pocetak vala: t− π
4= 0 ⇒ t =
π
4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 37 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 11. d)
Skicirajmo graf funkcije y =13
sin(
t− π
4
).
Rjesenje:
Period: T = 2π; Amplituda: A =13
Fazni pomak, tj. pocetak vala: t− π
4= 0 ⇒ t =
π
4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 37 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 12. e)
Skicirajmo graf funkcije y = cos(
2t +π
4
).
Rjesenje:
Period: T =2π
2= π; Amplituda: A = 1
Fazni pomak, tj. pocetak vala: t =−π
8
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 38 / 88
Uvodna ponavljanja Primjeri
PRIMJER 12. e)
Skicirajmo graf funkcije y = cos(
2t +π
4
).
Rjesenje:
Period: T =2π
2= π; Amplituda: A = 1
Fazni pomak, tj. pocetak vala: t =−π
8
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 38 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
ZADATAK 11.Skicirati grafove:
a) y = cos(
2t +π
2
),
b) y =−12
sin(3t−π) ,
c) y =−tg(
t2
),
d) y = 2ctg (2t−π) .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 39 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
Rjesenja:a)
b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 40 / 88
Uvodna ponavljanja Zadaci
c)
d)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 41 / 88
Uvodna ponavljanja Neki trigonometrijski identiteti
NEKI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI (ponavljanje)
sin(−t) =−sin t cos(−t) = cos ttg(−t) =−tg t ctg(−t) =−ctg t
cos t = sin(
π
2 − t)
sin t = cos(
π
2 − t)
ctg t = tg(
π
2 − t)
tg t = ctg(
π
2 − t)
sin(u±v) = sinu cosv ±cosu sinvcos(u±v) = cosu cosv ∓sinu sinv
tg (u±v) =tgu± tgv
1∓ tgu tgvctg (u±v) =
ctgu ctgv ∓1ctgu±ctgv
sin2t = 2sin t cos tcos2t = cos2 t−sin2 t = 2cos2 t−1 = 1−2sin2 t
sinu±sinv = 2 sin(u±v
2
)·cos
(u∓v2
)cosu + cosv = 2 cos
(u+v2
)·cos
(u−v2
)cosu−cosv =−2 sin
(u+v2
)·sin
(u−v2
)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 42 / 88
Uvodna ponavljanja 1.6 Limesi trigonometrijskih funkcija
1.6 LIMESI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJAMoze se pokazati da je
limx→0
sinxx
= 1
U skladu sa slikom a) dobivamo da je cos(x) < sin(x)x < 1, za −π
2 < x < π
2 ,x 6= 0. Kako je lim
x→0cos(x) = 1, primjenom teorema o sendvicu slijedi gornji
limes.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 43 / 88
Uvodna ponavljanja 1.6 Limesi trigonometrijskih funkcija
PRIMJER 13.
Izracunajmo: a) limx→0
sin5xsin2x
, b) limx→0
1−cosxx2 , c) lim
t→0
(sin2t
t
)t+3
.
Rjesenje
a) limx→0
sin5xsin2x = lim
x→0
sin5x5x
sin2x2x· 5
2 = 11 ·
52 = 5
2 ,
b) limx→0
1−cosxx2 = lim
x→0
1−(1−2sin2 x2 )
x2
= 2 limx→0
sin2 x2
4·( x2 )
2 = 12
(sin x
2x2
)2= 1
2 ·1 = 12 ,
c) limt→0
(sin2t
t
)t+3=
(limt→0
sin2tt
) limt→0
t+3
= (2 ·1)0+3 = 8.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 44 / 88
Uvodna ponavljanja 1.6 Limesi trigonometrijskih funkcija
ZADATAK 12.Izracunajte:
a) limx→0
cos(2x)−cos(3x)x2 , [R : 5/2]
b) limx→0
cos(2x)−cos(3x)x , [R : 0]
c) limt→0
t · ctgt , [R : 1]
d) limt→0
tg t−sin tt3 , [R : 1/2]
e) limx→ π
2
(π
2 −x)· tgx , [R : 1].
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 45 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.1 Derivacije trigonometrijskih funkcija
2. DERIVIRANJE I INTEGRIRANJETRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
2.1 DERIVACIJE
x = cos t y = sin td sin t
d t=
dyd t
=x1
= cos t
d cos td t
=dxd t
=−y1
=−sin t
d sin td t
= lim∆t→0
sin(t + ∆t)−sin t∆t
= lim∆t→0
2 cos( t+∆t+t2 ) ·sin( t+∆t−t
2 )
∆t
= lim∆t→0
cos(
t +∆t2
)· lim
∆t→0
sin( ∆t2 )
∆t2
= cos(t) ·1 = cos t
d cos td t
=d sin( π
2 − t)d t
=−sin t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 46 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.1 Derivacije trigonometrijskih funkcija
PRIMJER 14.
Izracunajmod tg td t
,dctg t
d t.
Rjesenje:
d tg td t
=dd t
(sin tcos t
)=
cos t cos t + sin t sin tcos2 t
=1
cos2 t
dctg td t
=dd t
(cos tsin t
)= · · ·=− 1
sin2 t
Dakle: <<
y sin t cos t tg t ctg t
dyd t
cos t −sin t1
cos2 t− 1
sin2 t
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 47 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
ZADATAK 13.
Derivirati: a) y = sin2 t , b) y = sin t ·cos t ,
c) y = cos3t , d) y =sin2tcos3t
.
ZADATAK 14.
Derivirati: a) sin∗ t = sin(
π
180t),
b) cos∗ t = cos(
π
180t).
ZADATAK 15.
Derivirati: a) y = cos2 t ·sin t , b) y = sin3 3t ,
c) y =sinx
cosx−1, d) y =
sin√
t1 +√
t.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 48 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
ZADATAK 13.
Derivirati: a) y = sin2 t , b) y = sin t ·cos t ,
c) y = cos3t , d) y =sin2tcos3t
.
ZADATAK 14.
Derivirati: a) sin∗ t = sin(
π
180t),
b) cos∗ t = cos(
π
180t).
ZADATAK 15.
Derivirati: a) y = cos2 t ·sin t , b) y = sin3 3t ,
c) y =sinx
cosx−1, d) y =
sin√
t1 +√
t.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 48 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
ZADATAK 13.
Derivirati: a) y = sin2 t , b) y = sin t ·cos t ,
c) y = cos3t , d) y =sin2tcos3t
.
ZADATAK 14.
Derivirati: a) sin∗ t = sin(
π
180t),
b) cos∗ t = cos(
π
180t).
ZADATAK 15.
Derivirati: a) y = cos2 t ·sin t , b) y = sin3 3t ,
c) y =sinx
cosx−1, d) y =
sin√
t1 +√
t.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 48 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
ZADATAK 16.Derivirati:
a) y = tg2x ,
b) y = tg√
x ,
c) y = tg(sin√
x).
ZADATAK 17.Pod koji kutem graf funkcije
a) sinx b) tgx
sijece os x u ishodistu?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 49 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
ZADATAK 16.Derivirati:
a) y = tg2x ,
b) y = tg√
x ,
c) y = tg(sin√
x).
ZADATAK 17.Pod koji kutem graf funkcije
a) sinx b) tgx
sijece os x u ishodistu?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 49 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
Rjesenje 13:
a)dydt
= 2 sin t cos t = sin2t
b)dydt
= cos2 t−sin2 t = cos2t
c)dydt
=−3sin3t
d)dydt
=2 cos(2t) cos(3t) + 3sin(2t) sin(3t)
(cos3t)2
Rjesenje 14:
a)ddt
(sin∗ t) =π
180cos∗ t
b)ddt
(cos∗ t) =− π
180sin∗ t
tj. derivacija ”stupnjevima definirane” funkcije sin∗ nije cos∗
cos∗ nije −sin∗
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 50 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
Rjesenje 15:
a)dydt
=−2 cos t sin2 t + cos3 t
b)dydx
= 9 sin2(3x) cos(3x)
c)dydx
=cosx · (cosx−1) + sin2 x
(cosx−1)2 =1
1−cosx
d)dydt
=cos√
t · (1 +√
t)−sin√
t2√
t (1 +√
t)2
Rjesenje 16:
a)dydx
=2
cos2 2t
b)dydx
=1
2√
x cos2√
x
c)dydx
=cos√
x2√
x cos2(sin√
x)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 51 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
Rjesenje 17:
a)dsinx
dx
∣∣∣∣x=0
= cos0 = 1 ⇒ ϕ =π
4
b)d tgx
dx
∣∣∣∣x=0
=1
cos2 0= 1 ⇒ ϕ =
π
4
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Brzina gibanja
PRIMJER 15.Promatrac je 100m udaljen od mjesta pustanja balona sa zemlje. Kutpod kojim promatrac vidi balon raste brzinom 1/100rad/s. Kojom sebrzinom balon udaljava od Zemlje u trenutku kada ga promatrac vidipod 45◦?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 52 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
Rjesenje 17:
a)dsinx
dx
∣∣∣∣x=0
= cos0 = 1 ⇒ ϕ =π
4
b)d tgx
dx
∣∣∣∣x=0
=1
cos2 0= 1 ⇒ ϕ =
π
4
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Brzina gibanja
PRIMJER 15.Promatrac je 100m udaljen od mjesta pustanja balona sa zemlje. Kutpod kojim promatrac vidi balon raste brzinom 1/100rad/s. Kojom sebrzinom balon udaljava od Zemlje u trenutku kada ga promatrac vidipod 45◦?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 52 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
Rjesenje:
tgϕ =y
100
tj. y = 100tgϕ
dϕ
dt=
1100
=⇒ dydt
=dydϕ· dϕ
dt=
ddϕ
(100tgϕ) · dϕ
dt
= 100 · 1cos2 ϕ
· 1100
=1
cos2 ϕ
dydt
∣∣∣∣ϕ= π
4
=1
(cos π
4)2 =1
(√
22 )2
= 2(m/s)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 53 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.2 Integriranje trigonometrijskih funkcija
2.2 INTEGRALI
Iz tablice derivacija lako dolazimo do odgovarajuce
TABLICE NEODREDENIH INTEGRALA:
∫cos t dt = sin t + C
∫sin t dt =−cos t + C∫ dt
cos2 t= tg t + C
∫ dtsin2 t
=−ctg t + C
PRIMJER 16.
Izracunajmo povrsinu osjencanog lika na slici:
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 54 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.2 Integriranje trigonometrijskih funkcija
2.2 INTEGRALI
Iz tablice derivacija lako dolazimo do odgovarajuce
TABLICE NEODREDENIH INTEGRALA:
∫cos t dt = sin t + C
∫sin t dt =−cos t + C∫ dt
cos2 t= tg t + C
∫ dtsin2 t
=−ctg t + C
PRIMJER 16.
Izracunajmo povrsinu osjencanog lika na slici:
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 54 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
Rjesenje:
P =
π∫0
sin t dt =−cos t∣∣∣π0
=−cosπ + cos0 =−(−1) + 1 = 2
ZADATAK 18.Izracunati:
a)∫
cos3t dt , b)∫
2 sin4x dx ,
c)∫ (
sin t +√
t)
dt , d)∫ sin2 x + 2cos2 x
cos2 xdx .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 55 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
Rjesenje:
P =
π∫0
sin t dt =−cos t∣∣∣π0
=−cosπ + cos0 =−(−1) + 1 = 2
ZADATAK 18.Izracunati:
a)∫
cos3t dt , b)∫
2 sin4x dx ,
c)∫ (
sin t +√
t)
dt , d)∫ sin2 x + 2cos2 x
cos2 xdx .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 55 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
ZADATAK 19.Izracunati:
a)
π/2∫0
(cos t + t2)dt , b)
π/2∫π/4
sinx dx ,
c)
π/3∫π/6
( 1cos2 x
− 1sin2 x
)dx .
ZADATAK 20.
a) Izracunati povrsinu koju jedan luk sinusoide y = 3 sin(x/2)zatvara s osi x .b) Izracunati povrsinu koja je omedena grafovima y = sinx i
y = x−π nad intervalom [0,π].c) Izracunati povrsinu lika koji je omeden s y = sinx i y = x2−πx.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 56 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
ZADATAK 19.Izracunati:
a)
π/2∫0
(cos t + t2)dt , b)
π/2∫π/4
sinx dx ,
c)
π/3∫π/6
( 1cos2 x
− 1sin2 x
)dx .
ZADATAK 20.
a) Izracunati povrsinu koju jedan luk sinusoide y = 3 sin(x/2)zatvara s osi x .b) Izracunati povrsinu koja je omedena grafovima y = sinx i
y = x−π nad intervalom [0,π].c) Izracunati povrsinu lika koji je omeden s y = sinx i y = x2−πx.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 56 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
Rjesenje 18:
a)12
sin3t + C b) − 12
cos4x + C
c) −cos t +23
t2/3 + C d) tgx + x + C
Rjesenje 19:
a) 1 +π3
24b)
√2
2c) 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 57 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
Rjesenje 20 :
a)
P =
2π∫0
3 sinx2
dx = . . . = 12
b)
P =
π∫0
(sinx−x + π
)dx = . . . = 2 +
π2
2
c)
P =
π∫0
(sinx−x2 +πx
)dx = . . . = 2 +
π3
6
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 58 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.3 sin i cos su ”beskonacni polinomi” ∗
2.3 sin I cos SU ”BESKONACNI POLINOMI”: ∗
cosx ≤ 1∫ x
0
sinx ≤ x∫ x
0 ⇐= sinx−sin0≤ x
−cosx + cos0≤ x2
2 =⇒ cosx ≥ 1− x2
2∫ x
0
sinx ≥ x− x3
2 ·3∫ x
0 ⇐= sinx−sin0≥ x− x3
2·3
−cosx + cos0≥ x2
2 −x4
2·3·4 =⇒ cosx ≤ 1− x2
2+
x4
2 ·3 ·4∫ x
0
sinx ≤ x− x3
2 ·3+
x5
2 ·3 ·4 ·5∫ x
0 ⇐= sinx−sin0≥ x− x3
2·3 + x5
2·3·4·5
......
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 59 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.3 sin i cos su ”beskonacni polinomi” ∗
sinx = x− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+
x9
9!− x11
11!+ · · ·
POGRESKA KOJU CINIMO UPOTREBOM SAMO KONACNOG
POCETNOG KOMADA POLINOMA MANJA JE OD APSOLUTNEVRIJEDNOSTI PRVOG NEUPOTREBLJENOG CLANA.
cosx = 1− x2
2!+
x4
4!− x6
6!+
x8
8!− x10
10!+ · · ·
POGRESKA KOJU CINIMO UPOTREBOM SAMO KONACNOG
POCETNOG KOMADA POLINOMA MANJA JE OD APSOLUTNEVRIJEDNOSTI PRVOG NEUPOTREBLJENOG CLANA.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 60 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.3 sin i cos su ”beskonacni polinomi” ∗
sinx = x− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+
x9
9!− x11
11!+ · · ·
POGRESKA KOJU CINIMO UPOTREBOM SAMO KONACNOG
POCETNOG KOMADA POLINOMA MANJA JE OD APSOLUTNEVRIJEDNOSTI PRVOG NEUPOTREBLJENOG CLANA.
cosx = 1− x2
2!+
x4
4!− x6
6!+
x8
8!− x10
10!+ · · ·
POGRESKA KOJU CINIMO UPOTREBOM SAMO KONACNOG
POCETNOG KOMADA POLINOMA MANJA JE OD APSOLUTNEVRIJEDNOSTI PRVOG NEUPOTREBLJENOG CLANA.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 60 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Primjer
PRIMJER 17.
Izracunajmo cos0.2 s greskom manjom od 10−5.
Rjesenje:
cos0.2 = 1− 0.22
2!+
0.24
4!− 0.26
6!+
0.28
8!− 0.210
10!+ · · · .
Uzmimo u obzir samo prva tri clana:
cos0.2=1− 0.22
2!+
0.24
4!=0.98007 .
Greska koju time cinimo manjaje od apsolutne vrijednosti sljedecegclana, tj. :
G = |cos0.2−0.98007|< 0.26
6!=
0.000064720
< 0.00000009 ,
pa je nasa aproksimacija trazene tocnosti.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 61 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Primjer
PRIMJER 17.
Izracunajmo cos0.2 s greskom manjom od 10−5.
Rjesenje:
cos0.2 = 1− 0.22
2!+
0.24
4!− 0.26
6!+
0.28
8!− 0.210
10!+ · · · .
Uzmimo u obzir samo prva tri clana:
cos0.2=1− 0.22
2!+
0.24
4!=0.98007 .
Greska koju time cinimo manjaje od apsolutne vrijednosti sljedecegclana, tj. :
G = |cos0.2−0.98007|< 0.26
6!=
0.000064720
< 0.00000009 ,
pa je nasa aproksimacija trazene tocnosti.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 61 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
ZADATAK 21.Izracunati:
a) sin0.1 b) cos0.1
s greskom manjom od 10−3.
Rjesenje:
a) sin0.1=0.1− 0.13
3!= 0.0998
G <0.15
5!< 0.15 = 0.00001
b) cos0.1=1− 0.12
2!= 0.0995
G <0.14
4!< 0.14 = 0.0001
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 62 / 88
Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci
ZADATAK 21.Izracunati:
a) sin0.1 b) cos0.1
s greskom manjom od 10−3.
Rjesenje:
a) sin0.1=0.1− 0.13
3!= 0.0998
G <0.15
5!< 0.15 = 0.00001
b) cos0.1=1− 0.12
2!= 0.0995
G <0.14
4!< 0.14 = 0.0001
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 62 / 88
Arkus funkcije 3.1 Inverzne funkcije (ponavljanje)
3. ARKUS FUNKCIJE(INVERZNE FUNKCIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA)
3.1 INVERZNE FUNKCIJE (PONAVLJANJE)
Funkcije f i g medusobno su inverzne ako je:y = f(x) ⇐⇒ x = g(y)
(Dakle, graf od y = f (x) i x = g(y) je isti!)Inverznu funkciju of f oznacavamo s f−1.(Dakle, g = f−1 i f = g−1!)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 63 / 88
Arkus funkcije Primjer
PRIMJER 18.
Izracunajmo f−1 ako je f(x) =−2x + 2.
Rjesenje:
y =−2x + 2
⇐⇒ 2x = 2−y
⇐⇒ x = 1− y2.
Dakle:
f−1(y) = 1− y2
ili f−1(x) = 1− x2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 64 / 88
Arkus funkcije Primjer
PRIMJER 18.
Izracunajmo f−1 ako je f(x) =−2x + 2.
Rjesenje:
y =−2x + 2
⇐⇒ 2x = 2−y
⇐⇒ x = 1− y2.
Dakle:
f−1(y) = 1− y2
ili f−1(x) = 1− x2.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 64 / 88
Arkus funkcije Primjer
Nema svaka funkcija inverznu (sto se lijepo vidi na slici):
Funkcija y = f(x) nema inverz jer jednom y-u odgovara vise x-ova!
Suzenjem domene funkcije mozemo doci do funkcije koja ima inverz.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 65 / 88
Arkus funkcije Kriterij invertibilnosti
SUZENJE DOMENE OMOGUCAVA INVERTIRANJE:Ako se ogranicimo na interval [a,b] na kojem funkcija raste, ili nainterval [b,c] na kojem funkcija pada, onda dolazimo do funkcijekoja ima inverz (u svakom od tih slucajeva):
KRITERIJ INVERTIBILNOSTI:Ako funkcija y = f (x) raste (resp. pada) na nekom intervalu [m,M]i derivabilna je, tj. ako je f ′(x) > 0 (resp. f ′(x) < 0) na [m,M],onda funkcija ima inverz x = f−1(y) koji je definiran na intervalu[f (m), f (M)] (resp. [f (M), f (m)]) s vrijednostima u [m,M].
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 66 / 88
Arkus funkcije 3.2 Deriviranje inverzne funkcije
3.2 DERIVIRANJE INVERZNE FUNKCIJE
Derivacija inverzne funkcije f−1 u tocki y reciprocna je vrijednostiderivacije od f u tocki x = f−1(y):
(f−1)′(y) =
1f′(x)
ili u Leibnizovoj notaciji:dxdy
=1dydx
PRIMJER 19.
Izracunajmod
dx√
x primjenom gornjeg pravila.
Rjesenje:
y =√
x ⇐⇒ x = y2 (za y ≥ 0)
d√
xdx
=dydx
=1dxdy
=1
d(y2)dy
=1
2y=
12√
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 67 / 88
Arkus funkcije 3.2 Deriviranje inverzne funkcije
3.2 DERIVIRANJE INVERZNE FUNKCIJE
Derivacija inverzne funkcije f−1 u tocki y reciprocna je vrijednostiderivacije od f u tocki x = f−1(y):
(f−1)′(y) =
1f′(x)
ili u Leibnizovoj notaciji:dxdy
=1dydx
PRIMJER 19.
Izracunajmod
dx√
x primjenom gornjeg pravila.
Rjesenje:
y =√
x ⇐⇒ x = y2 (za y ≥ 0)
d√
xdx
=dydx
=1dxdy
=1
d(y2)dy
=1
2y=
12√
x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 67 / 88
Arkus funkcije 3.3 Arkussinus i arkuskosinus
3.3 ARKUSSINUS I ARKUSKOSINUS
Opca znanja o inverznim funkcijama i njihovim derivacijama primijenitcemo na inverzne funkcije trigonometrijskih funkcija.
ARKUSSINUS (arcsin)Funkcija y = sinx raste na intervalu [−π/2,π/2], pa na tom
intervalu ima inverz koji zovemo arkussinus:
y = sin x ⇐⇒ x = arcsiny· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Kliknite na sliku za graf y = sinxili y = arcsinx ili oba−→
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 68 / 88
Arkus funkcije 3.3 Arkussinus i arkuskosinus
ARKUSKOSINUS (arccos)
Funkcija y = cosx pada na intervalu [0,π], pa na tom intervalu imainverz koji zovemo arkuskosinus:
y = cos x ⇐⇒ x = arccosy
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Kliknite na sliku za graf y = cosxili y = arccosx ili oba−→
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 69 / 88
Arkus funkcije Arkus funkcije na jedinicnoj kruznici
FUNKCIJE arcsin I arccos NA JEDINICNOJ KRUZNICI
x = cos t ⇐⇒ t = arccosx(”t” je luk ciji kosinus iznosi ”x”)
y = sin t ⇐⇒ t = arcsiny(”t” je luk ciji sinus iznosi ”y ”)
PRIMJER 20.
a) Koliko je arcsin12
?
b) Koliko je arccos√
22
?
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 70 / 88
Arkus funkcije Arkus funkcije na jedinicnoj kruznici
Rjesenje a):
Na jedinicnoj kruznici trazimo tocku (i pripadni luk)cija je ordinata 1
2 .
Ogranicimo se na tocku na desnoj polukruznici, tj. na brojeve−π
2 ≤ t ≤ π
2 .
t ∈[−π
2,
π
2
]
Medu njima je samo jedan ciji je sinus 12 . To je π
6 .
Dakle: arcsin12
=π
6
(⇐⇒ sin
π
6=
12
)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 71 / 88
Arkus funkcije Arkus funkcije na jedinicnoj kruznici
Rjesenje b):
Na jedinicnoj kruznici trazimo tocku (i pripadni luk) s apscisom√
22 .
Ogranicimo se na tocku na gornjoj polukruznici, tj. na brojeve0≤ t ≤ π.
t ∈ [0,π]
Medu njima je samo jedan ciji je sinus√
22 . To je π
4 .
Dakle: arccos√
22
=π
4
(⇐⇒ cos
π
4=
√2
2
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 72 / 88
Arkus funkcije Primjer
PRIMJER 21.
Izracunajmo arcsin1, arcsin√
22
, arcsin(−1), arcsin0.
Rjesenje:
arcsin1 =π
2arcsin
√2
2=
π
4arcsin(−1) =−π
2arcsin0 = 0
(sin
π
2= 1
) (sin
π
4=
√2
2
) (sin(−π
2)
=−1)
(sin0 = 0)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 73 / 88
Arkus funkcije Primjer
PRIMJER 21.
Izracunajmo arcsin1, arcsin√
22
, arcsin(−1), arcsin0.
Rjesenje:
arcsin1 =π
2arcsin
√2
2=
π
4arcsin(−1) =−π
2arcsin0 = 0
(sin
π
2= 1
) (sin
π
4=
√2
2
) (sin(−π
2)
=−1)
(sin0 = 0)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 73 / 88
Arkus funkcije Zadatak
ZADATAK 22.Izracunati:
a) arccos1, arccos√
22
, arccos
(−√
22
), arccos0
b) arcsin(−1
2
)+ arccos
(−1
2
)c) arcsin
√2
2+ arccos
(−√
22
)
Rjesenje: Iz trigonometrijske kruznice dobivamo
a) 0,π
4,
3π
4,
π
2
b)π
2
c) π
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 74 / 88
Arkus funkcije Zadatak
ZADATAK 22.Izracunati:
a) arccos1, arccos√
22
, arccos
(−√
22
), arccos0
b) arcsin(−1
2
)+ arccos
(−1
2
)c) arcsin
√2
2+ arccos
(−√
22
)
Rjesenje: Iz trigonometrijske kruznice dobivamo
a) 0,π
4,
3π
4,
π
2
b)π
2
c) π
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 74 / 88
Arkus funkcije Primjeri
PRIMJER 22.d
dxarcsinx =?
Rjesenje: y = arcsinx ⇐⇒ x = siny
ddx
arcsinx =dydx
=1dxdy
=1
cosy=
1√1−sin2 y
=1√
1−x2
PRIMJER 23.Pojednostavimo izraz: tg (arcsinw) =?
Rjesenje: v = arcsinw ⇐⇒ w = sinv
tg (arcsinw) = tgv =w√
1−w2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 75 / 88
Arkus funkcije Primjeri
PRIMJER 22.d
dxarcsinx =?
Rjesenje: y = arcsinx ⇐⇒ x = siny
ddx
arcsinx =dydx
=1dxdy
=1
cosy=
1√1−sin2 y
=1√
1−x2
PRIMJER 23.Pojednostavimo izraz: tg (arcsinw) =?
Rjesenje: v = arcsinw ⇐⇒ w = sinv
tg (arcsinw) = tgv =w√
1−w2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 75 / 88
Arkus funkcije Primjeri
PRIMJER 22.d
dxarcsinx =?
Rjesenje: y = arcsinx ⇐⇒ x = siny
ddx
arcsinx =dydx
=1dxdy
=1
cosy=
1√1−sin2 y
=1√
1−x2
PRIMJER 23.Pojednostavimo izraz: tg (arcsinw) =?
Rjesenje: v = arcsinw ⇐⇒ w = sinv
tg (arcsinw) = tgv =w√
1−w2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 75 / 88
Arkus funkcije Primjeri
PRIMJER 22.d
dxarcsinx =?
Rjesenje: y = arcsinx ⇐⇒ x = siny
ddx
arcsinx =dydx
=1dxdy
=1
cosy=
1√1−sin2 y
=1√
1−x2
PRIMJER 23.Pojednostavimo izraz: tg (arcsinw) =?
Rjesenje: v = arcsinw ⇐⇒ w = sinv
tg (arcsinw) = tgv =w√
1−w2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 75 / 88
Arkus funkcije Zadaci
ZADATAK 23.d
dxarccosx =?
ZADATAK 24.Izracunati:
a)d
dyarcsin (2
√y)
b)d
dx
√arcsin2x
c)d
dxarccos2 (3x + 1)
Rjesenje 23: y = arccosx ⇐⇒ x = cosyd
dxarccosx =
dydx
=1dxdy
=1
−siny=− 1√
1−cos2 y= − 1√
1−x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 76 / 88
Arkus funkcije Zadaci
ZADATAK 23.d
dxarccosx =?
ZADATAK 24.Izracunati:
a)d
dyarcsin (2
√y)
b)d
dx
√arcsin2x
c)d
dxarccos2 (3x + 1)
Rjesenje 23: y = arccosx ⇐⇒ x = cosyd
dxarccosx =
dydx
=1dxdy
=1
−siny=− 1√
1−cos2 y= − 1√
1−x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 76 / 88
Arkus funkcije Zadaci
Rjesenje 24:
a)1√
1−4y· 1√
y
b)1√
arcsin2x· 1√
1−4x2
c) −6 ·arccos(3x + 1) · 1√1− (3x + 1)2
ZADATAK 25.Izracunati:
a) arcsin(
sinπ
6
)b) arccos
(cos
2π
3
)c) arcsin
(sin
3π
4
)d) sin
(arcsin
(−1
2
))e) cos
(arccos
√3
2
)c) arccos
(cos
(−π
6
))
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 77 / 88
Arkus funkcije Zadaci
Rjesenje 24:
a)1√
1−4y· 1√
y
b)1√
arcsin2x· 1√
1−4x2
c) −6 ·arccos(3x + 1) · 1√1− (3x + 1)2
ZADATAK 25.Izracunati:
a) arcsin(
sinπ
6
)b) arccos
(cos
2π
3
)c) arcsin
(sin
3π
4
)d) sin
(arcsin
(−1
2
))e) cos
(arccos
√3
2
)c) arccos
(cos
(−π
6
))Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 77 / 88
Arkus funkcije Zadaci
Rjesenje 25:
a)π
6b)
2π
3c)
π
4
d) −12
e)
√3
2f)
π
6
ZADATAK 26.Izracunati:
a) cos(arcsin t) b) ctg(arccosv)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 78 / 88
Arkus funkcije Zadaci
Rjesenje 25:
a)π
6b)
2π
3c)
π
4
d) −12
e)
√3
2f)
π
6
ZADATAK 26.Izracunati:
a) cos(arcsin t) b) ctg(arccosv)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 78 / 88
Arkus funkcije Zadaci
Rjesenje 26: Obavezno skiciraj trokut!
a) cos(arcsin t) =√
1− t2
b) ctg(arccosv) =v√
1−v2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 79 / 88
Arkus funkcije 3.4 Arkustangens i arkuskotangens
3.4 ARKUSTANGENS I ARKUSKOTANGENS
ARKUSTANGENS (arctg)
Funkcija y = tgx raste na intervalu⟨−π
2 ,π
2
⟩, pa na tom intervalu
ima inverz koji zovemo arkustangens:y = tgx ⇐⇒ x = arctgy
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Kliknite na sliku za graf y = tgx iliy = arctgx ili oba−→
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 80 / 88
Arkus funkcije 3.4 Arkustangens i arkuskotangens
ARKUSKOTANGENS (arcctg)
Funkcija y = tgx pada na intervalu 〈0,π〉, pa na tom intervalu imainverz koji zovemo arkuskotangens:
y = ctgx ⇐⇒ x = arcctgy
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Kliknite na sliku za graf y = ctgxili y = arcctgx ili oba−→
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 81 / 88
Arkus funkcije Arkus funkcije na jedinicnoj kruznici
FUNKCIJE arctg I arcctg NA JEDINICNOJ KRUZNICI
y = tg t ⇐⇒ t = arctgy
t ∈⟨−π
2 ,π
2
⟩y ∈ 〈−∞,+∞〉
x = ctg t ⇐⇒ t = arcctgx
t ∈ 〈0,π〉
x ∈ 〈−∞,+∞〉
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 82 / 88
Arkus funkcije Arkus funkcije na jedinicnoj kruznici
Dakle:
PRIMJER 24.
Izracunajmo arctg1, arctg(−1), arctg(±∞), arctg0.
Rjesenje:
arctg1 = π/4 arctg(−1) =−π/4 arctg(±∞)
=±π/2 arctg0 = 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 83 / 88
Arkus funkcije Arkus funkcije na jedinicnoj kruznici
Dakle:
PRIMJER 24.
Izracunajmo arctg1, arctg(−1), arctg(±∞), arctg0.
Rjesenje:
arctg1 = π/4 arctg(−1) =−π/4 arctg(±∞)
=±π/2 arctg0 = 0Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 83 / 88
Arkus funkcije Zadatak
ZADATAK 27.Izracunati:
a) arcctg0, arcctg1, arcctg (−1) , arcctg (±∞)
b) arctg(−√
3)
+ arcctg√
3
c) arctg(− 1√
3
)−arcctg
(−√
3)
Rjesenje: Iz trigonometrijske kruznice dobivamo
a)π
2,
π
4,
3π
4, 0
b) −π
6
c) −π
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 84 / 88
Arkus funkcije Zadatak
ZADATAK 27.Izracunati:
a) arcctg0, arcctg1, arcctg (−1) , arcctg (±∞)
b) arctg(−√
3)
+ arcctg√
3
c) arctg(− 1√
3
)−arcctg
(−√
3)
Rjesenje: Iz trigonometrijske kruznice dobivamo
a)π
2,
π
4,
3π
4, 0
b) −π
6
c) −π
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 84 / 88
Arkus funkcije Primjer
PRIMJER 25.d
dxarctgx =?
Rjesenje: y = arctgx ⇐⇒ x = tgy
ddx
arctgx =dydx
=1dxdy
=11
cos2 y
=1
sin2 y+cos2 ycos2 y
=1
tg2 y + 1=
1x2 + 1
ZADATAK 28.d
dxarcctgx =?
Rjesenje Slicno gornjem dobivamo:d
dxarcctgx = − 1
x2 + 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 85 / 88
Arkus funkcije Primjer
PRIMJER 25.d
dxarctgx =?
Rjesenje: y = arctgx ⇐⇒ x = tgy
ddx
arctgx =dydx
=1dxdy
=11
cos2 y
=1
sin2 y+cos2 ycos2 y
=1
tg2 y + 1=
1x2 + 1
ZADATAK 28.d
dxarcctgx =?
Rjesenje Slicno gornjem dobivamo:d
dxarcctgx = − 1
x2 + 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 85 / 88
Arkus funkcije Primjer
PRIMJER 25.d
dxarctgx =?
Rjesenje: y = arctgx ⇐⇒ x = tgy
ddx
arctgx =dydx
=1dxdy
=11
cos2 y
=1
sin2 y+cos2 ycos2 y
=1
tg2 y + 1=
1x2 + 1
ZADATAK 28.d
dxarcctgx =?
Rjesenje Slicno gornjem dobivamo:d
dxarcctgx = − 1
x2 + 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 85 / 88
Arkus funkcije Primjer
PRIMJER 25.d
dxarctgx =?
Rjesenje: y = arctgx ⇐⇒ x = tgy
ddx
arctgx =dydx
=1dxdy
=11
cos2 y
=1
sin2 y+cos2 ycos2 y
=1
tg2 y + 1=
1x2 + 1
ZADATAK 28.d
dxarcctgx =?
Rjesenje Slicno gornjem dobivamo:d
dxarcctgx = − 1
x2 + 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 85 / 88
Arkus funkcije Primjer
Dakle:
DERIVACIJE ARKUS FUNKCIJA
y arcsinx arccosx arctgx arcctgx
dydx
1√1−x2 − 1√
1−x2
11 + x2 − 1
1 + x2
ODGOVARAJUCI INTEGRALI
∫ dx√1−x2
= arcsinx + C∫ dx1 + x2 = arctgx + C
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 86 / 88
Arkus funkcije Zadacik
ZADATAK 29.Izracunati:
a)d
dx
(arctg
x√3
)b)
ddx
(√arcctg
x2
)
c)∫ 1−x2
1 + x2 dx d)
1∫0
1√1−x2
dx
e)
1∫0
x2
1 + x2 dx f )
∞∫0
dx1 + x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 87 / 88
Arkus funkcije Zadacik
Rjesenje:
a)1
1 + x2
3
· 1√3
b)1
2√
arcctg x2
· −1
1 + x2
4
· 12
c) −x + 2arctgx + C
d)π
2e) 1− π
4f)
π
2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 88 / 88