VISOKA TEHNIČKA ŠKOLA STRUKOVNIH STUDIJA U NIŠU

studijski programi:

DRUMSKI SAOBRAĆAJ, INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO

MEHANIKA 2 (KINEMATIKA I DINAMIKA)

KINEMATIKA: PREDAVANJE BR.2

Predavač: mr Boban Cvetanović

2

SADRŽAJ PREDAVANJA:

1. Krivolinijsko kretanje tačke1.1. Brzina krivolinijskog kretanja tačke1.2. Ubrzanje krivolinijskog kretanja tačke

2. Kružno kretanje tačke2.1. Ugaona brzina 2.2. Jednoliko kružno kretanje tačke2.3. Ugaono ubrzanje2.4. Jednakoubrzano kružno kretanje tačke2.5. Jednakousporeno kružno kretanje tačke2.6. Tangencijalno, normalno i totalno ubrzanje kružnog kretanja

tačke2.7. Harmonijsko oscilatorno kretanje tačke2.8. Složeno kretanje tačke2.8.1. Brzina složenog kretanja2.8.2. Ubrzanje složenog kretanja

3

KINEMATIKA TAČKE

1. Krivolinijsko kretanje tačke

1.1. Brzina krivolinijskog kretanja tačkePri pravolinijskom kretanju tačke vektor brzine se poklapa sa

pravcem pravolinijske putanje. Pri krivolinijskom kretanju putanja stalno menja pravac pa se i pravac brzine stalno menja.

Pri krivolinijskom kretanju tačke brzina uvek ima pravac tangente na putanju u posmatranoj tački, a smer je isti kao i smer kretanja.

Da bi se znala brzina u posmatranoj tački mora se znati putanja (za pravac brzine) i zakon brzine (za intenzitet brzine).

Zakon brzine je jednačina koja uspostavlja vezu između brzine i proteklog vremena.

Putanja (trajektorija) pokretne tačke određena je krajevima vektora položaja pokretne tačke tj. hodografom vektora položaja tačke (sl.1)

4

slika 1 slika 2

Potpuno analogno moguće je konstruisati i hodograf vektora brzine posmatrane tačke.

Hodograf vektora brzina tačke je kriva linija koju određuju

krajevi vektora brzina nacrtani tako da imaju isti početak (sl.2)

Ako su za neko kretanje poznati hodografi vektora položaja i vektora brzina moguće je odrediti intenzitet brzine tačke u svakom

njenom položaju na putanji.

5

1.2. Ubrzanje krivolinijskog kretanja tačkeVeličina ubrzanja u bilo kojoj u bilo kojoj tački može se odrediti

pomoću krive linije –

velocide.Velocida je kriva koju određuju krajevi vektora brzina

nacrtani u odgovarajućim tačkama putanje pokretne tačke.Da bi se odredio intenzitet ubrzanja neophodno je nacrtati i hodograf

vektora brzina.

6

2. Kružno kretanje tačkeTo je jedno od najčešćih i najvažnijih, a istovremeno najprostije

krivolinijsko kretanje. Ako je brzina stalna u toku kretanja radi se o jednolikom, a ukoliko se menja onda je u pitanju promenljivo (jednakoubrzano ili jednakousporeno) kružno kretanje.

Pojmovi koji su karakteristični za ovo kretanje su: ugaona brzina i ugaono ubrzanje.

2.1. Ugaona brzinaPosmatra se kružno kretanja tačke A oko ose koja prolazi kroz tačku O. Posle

vremena t1

ona opisuje centralni ugao φ1

, a posle vremena t2

ugao φ2

odnosno za vremenski period ∆t=t2

-t1

prelazi se centralni ugao ∆φ=φ2

-φ1

.

7

Srednja ugaona brzina je odnos pređenog centralnog ugla ∆φ

i odgovarajućeg vremenskog perioda ∆t:

ωsr

= ∆φ

/ ∆tAko vremenski period ∆t teži nuli dobija se granična veličina koja se

naziva trenutna ugaona brzina

ili samo ugaona brzina (ω).Ugaona brzina jednolikog kružnog kretanja tačke je pređeni

centralni ugao u jedinici vremena: ω

= φ

/ t

Pređeni centralni ugao meri se radijanima (slika 2).Jedan radijan je centralni ugao koji zatvara luk dužine

poluprečnika. Veza između ugla u radijanima i ugla u stepenima je:

φo= (180/π) .

φili 1rad=57,2958o

Ugaona brzina je vektorska veličina , a jedinica joj je rad/s ili s-1.

U tehnici se često ugaona brzina zamenjuje brojem obrtaja (n) i jedinicom o/min.

8

2.2. Jednoliko kružno kretanje tačkeTo je kretanje tačke po putanji oblika kružnice pri čemu u

jednakim vremenskim intervalima tačka prelazi jednake puteve.

Brzina tačke koja se kreće jednoliko je stalna tokom kretanja i iznosi: v=s/t. Pri kružnom kretanju tačka prelazi lučne puteve s=R.φ

pa je v=R.φ

/ t →

v = R

.

ω.Obimna brzina jednaka je proizvodu poluprečnika krućne

putanje R i ugaone brzine ω.

9

Veza između obimne brzine (v) i broja obrtaja u minuti (n):v=2Rπ.n / 60=Rπ.n / 30

Veza između ugaone brzine (ω) i broja obrtaja u minuti (n):ω=π.n / 30

Pri opisivanju kružnog kretanja koristi se i period rotacije (T), a to je vreme za koje tačka izvrši jedan obrtaj:

ω

= φ

/ t →

t = φ

/ ω

Tačka pri jednom obrtaju pređe ugao 2π

za vreme T pa je:T= 2π

/ ω

= 60 / n

Recipročna vrednost perioda rotacije naziva se frekvencija

ili učestalost:

f = 1 / T = ω

/ 2π

10

2.3. Ugaono ubrzanjeNeka u trenutku t1 tačka ima ugaonu brzinu ω1, a u trenutku t2 ugaonu

brzinu ω2. Ako je ω2>ω1 onda je u toku vremenskog perioda ∆t=t2-t1 priraštaj ugaone brzine ∆ω=ω2-ω1.

Srednje ugaono ubrzanje je odnos priraštaja brzine ∆ω

i odgovarajućeg vremenskog perioda ∆t:

αsr =∆ω

/ ∆t Ako vremenski interval ∆t teži nuli

dobija se granična vrednost srednjeg ugaonog ubrzanja koje se zove trenutno ugaono

ubrzanje (ili samo ugaono ubrzanje).

Ugaono ubrzanje je vektorska veličina, a jedinica je rad/s2

ili s-2.

Na osnovu ugaonog ubrzanja može se zaključiti o kakvom kretanju je reč:

•

α=0 →

jednoliko kružno•

α=const.

→

jednakopromenljivo kružno (jednakoubrzano ili jedankousporeno)

•

α≠const. →

nejednakopromenljivo kružno

11

2.4. Jednakoubrzano kružno kretanje tačkeTo je kretanje tačke po kružnici pri čemu se ugaona brzina

tačke povećava u svakoj sledećoj jedinici vremena uvek za istu vrednost.

Vrednost za koju se ugaona brzina povećava je ugaono ubrzanje α

(pri čemu je α=const.).

Ovo kretanje može biti sa početnom brzinom ili bez nje.Opšti obrazac za izračunavanje ugaone brzine ovog kretanja:

ω=ω0

+αtIz ove j-ne mogu se odrediti ω, ω0

, α

i t ako su poznate ostale tri veličine:

Početna ugaona brzina: ω0

=ω-αtVreme kretanja tačke: t=(ω-ω0

)/αUgaono ubrzanje tačke: α=(ω-ω0

)/t

Srednja ugaona brzina dobija se kao aritmetička sredina:ωsr

=(ω0

+ω)/2Centralni ugao φ

koji je tačka prešla u toku vremena t:φ=ωsr

.

t

12

Kombinacijom j-na dobija se:φ=ω0

.t+(α.t2)/2

Ako je φ0

≠0 onda je pređeni centralni ugao φ:φ=φ0

+ω0.t+(α.t2)/2

Razlika kvadrata ugaonih brzina:ω2-ω0

2=2.α.φ

Pređeni put: s=R.φ=R(ω0.t+α.t2/2)

Obimna brzina: v=R.ω=R(ω0

+α.t)

Ako tačka kreće iz stanja mirovanja (ω0

=0) osnovne kinematičke j-

ne dobijaju oblik:

ω=α.t , φ=α.t2/2, ω2=2.α.φ, s=R.α.t2/2, v=R.α.t

13

2.5. Jednakousporeno kružno kretanje tačkeTo je kretanje tačke po kružnici pri čemu se ugaona brzina

tačke smanjuje u svakoj sledećoj jedinici vremena uvek za istu vrednost.

Vrednost za koju se ugaona brzina povećava je ugaono usporenje α

(pri čemu je α=const.).

Ovo kretanje mora biti sa početnom ugaonom

brzinom.Kinematičke j-ne jednakousporenog kretanja razlikuju se od j-na

jednakoubrzanog kretanja samo u znaku -. ω=ω0

-αtφ=ω0

.t-(α.t2)/2v=R(ω0

-α.t)s=R(ω0

.t-α.t2/2) ω0

2-ω2=2.α.φKada se tačka kreće jednakousporeno zaustaviće se posle tk

sekundi (vreme zaustavljanja ili kočenja): tk

=ω0

/αUgao zaustavljanja:

φk

=ω02/2.α

(rad)Broj obrtaja do zaustavljanja: Nk

=φk

/2π

(obrt)Pređeni put do zaustavljanja: sk

=R.ω02/2.α

14

2.6. Tangencijalno, normalno i totalno ubrzanje kružnog kretanja tačke

Ubrzanje krivolinijskog kretanja može se odrediti određivanjem komponenata ubrzanja. Vektor ubrzanja razlaže se u prirodnom koordinatnom sistemu na pravac tangente T (tangencijalno

ubrzanje aT

) i pravac normale N (normalno ubrzanje aN

). Normalno ubrzanje jednako je količniku kvadrata brzine i

poluprečnika kružne putanje, a pada u pravcu poluprečnika sa smerom ka centru obrtanja:

aN

=v2/R=R.ω2 (jer je v=R.ω)Normalno ubrzanje jednolikog kružnog kretanja

je ujedno celo ubrzanje jer je tangencijalno ubrzanje ovde jednako nuli jer je obimna brzina konstanta.

Tangencijalno ubrzanje je jednako proizvodu poluprečnika putanje i ugaonog ubrzanja i pada u pravcu tangente na putanju:

aT

=R.αUkupno ubrzanje: a=(aT

2+aN2)1/2=R(α2+ω4)1/2

15

Na osnovu tangencijalnog i normalnog ubrzanja može se zaključiti o kakvom kretanju se radi:

•

aT

=0

jednoliko •

aT

=const.

jednakopromenljivo•

aT ≠

const.

nejednakopromenljivo•

aN

= 0

pravolinijsko•

aN ≠

0

krivolinijsko

16

17

2.7. Harmonijsko oscilatorno kretanje tačkeOscilatorno kretanje tačke

M oko tačke O je kretanje pri kojem tačkaM prolazi kroz tačku O u jednom smeru, a u povratku u drugom smeru(ne napuštajući duž

AB) i zatim pona-vlja takvo kretanje (slika 1).Oscilacija tačke

M je kretanje tačkeizmeđu dva uzastopna prolaza kroztačku O u istom smeru, a vreme koje tada protekne naziva se vreme(period) oscilacije.Ako se tačka A kreće jednoliko kru-žno onda će se tačka P (projekcija ta-čke A na x osu) kretati harmonijskioscilatorno oko centra oscilacije O.Amplituda

je najveća udaljenost ta-čke P od centra oscilacije (u primeruje to R).

18

Period oscilacije

je vreme T

potrebno da tačka P pređe iz položaja A0

u A’

i vrati nazad u A0

tj. da izvrši punu oscilaciju: T=2π/ω.

Frekvencija ili učestanost (f)

je broj izvršenih oscilacija u sekundi: f=1/T=ω/2π.

Jedinica je Herc (Hz).

Put tačke P meri se od centra oscilacije O i obeležava se sa x:x=R.cosφ

–

zakon puta harmonijskog oscilatornog kretanja

Tačka

P vrši

nejednakopromenljivo kretanje

koje se naziva harmonijsko oscilatorno kretanje.

Harmonijsko oscilatorno kretanje vrši ona tačka koja se stalno kreće između dva krajnja položaja ubrzanjem proporcionalnom udaljenosti od centra oscilacije sa smerom uvek ka centru oscilacije.

Dijagrami (s,t) i (a,t) su kosinusoide, a (v,t) sinusoida

19

2.8. Složeno kretanje tačkeZa analizu složenog kretanja tačke neophodno je uvesti pojmove

apsolutnog,

relativnog i prenosnog kretanja.Apsolutno kretanje

tačke je kretanje koje se posmatra u odnosu na telo koje se smatra nepokretnim tj. kretanje se posmatra u odnosu na nepokretni koordinatni sistem referencije (u primeru je to kretanje tereta u odnosu na podlogu za koju smatramo da miruje).

Relativno kretanje

tačke je kretanje u odnosu na pokretno telo tj. kretanje u odnosu na pokretni koordinatni sistem referencije (kretanje tereta u odnosu na vozilo koje se takođe kreće).

Prenosno kretanje

je kretanje tačke, koja se u datom trenutku kretanja vezuje za pokretno telo, u odnosu na drugo telo koje se

smatra nepokretnim tj.to je kretanje pokretnog koordinatnog sistema referencije, za koji se vezuje tačka, u odnosu na nepokretni koordinatni sistem referencije (kretanje vozila u odnosu na podlogu).

Putanja složenog kretanja sastavljenog od prenosnog i relativnog kretanja zavisi od karaktera ovih kretanja (npr.ako su ova kretanja pravolinijska i jednolika takvo je i složeno kretanje-

u primeru na slici putanja kretanja tereta je kriva linija jer se teret kreće jednoliko, a vozilo jednakoubrzano)

20

21

2.8.1. Brzina složenog kretanja tačke

Brzina apsolutnog kretanja tačke jednaka je vektorskom zbiru brzina relativnog i prenosnog kretanja tačke.

va

=vp

+vrIntenzitet apsolutne brzine složenog kretanja

va

=(vp2+vr

2+2vp.vr

.cosα)1/2

gde je α

ugao koji zaklapaju pravci vektora brzina prenosnog i relativnog kretanja. U slučaju da je α=90o

onda je:

va

=(vp2+vr

2)1/2

Ako su pravci vektora prenosne i relativne brzine isti onda je:

va

=vp

±vr

(znak -

kada su brzine vp

i vr

suprotnog smera)

22

2.8.1. Ubrzanje složenog kretanja tačke

Ubrzanje apsolutnog kretanja tačke jednako je vektorskom zbiru ubrzanja relativnog i prenosnog kretanja tačke.

aa

=ap

+arNapomena: Ovaj obrazac važi samo kada se pokretni koordinatni sistem

kreće translatorno. U slučaju da ovaj uslov nije ispunjen pojavljuje se još

i tzv. Koriolisovo ubrzanje.

Intenzitet apsolutnog ubrzanja složenog kretanjaaa

=(ap2+ar

2+2ap.ar

.cosβ)1/2

gde je β

ugao koji zaklapaju pravci vektora ubrzanja prenosnog i relativnog kretanja.