koli čina kretanja · 2019-11-18 · 18/11/2019 1 1 tehni čka mehanika 2 2019/20 dinamika sistema...
TRANSCRIPT
18/11/2019
1
1
Tehnička mehanika 2 2019/20Dinamika sistema
• Osnovne dinamičke veličine
Kinetička energija
Količina kretanja
Momenat količine kretanja
• Opšti zakoni dinamike
• Diferencijalne jednačine kretanja krutog tela
• Primena Dalemberovog principa kod krutog tela
2
Količina kretanja
Materijalna tačka
vmK��
=
18/11/2019
2
3
Količina kretanja sistema materijalnih tačaka
k
N
kkk
Sm
mr
r
∑== 1
�
�
∑=
=N
kkk vmK
1
��
1
0N
k k
k
mr=
=∑�
k S kr r r= +� � �
Središte mase
sistema tačaka
4
∑∑∑===
=ρ+===N
k
KSk
N
k
kk
N
k
kk rdt
dmr
dt
dmvmK
111
)(�����
K
N
k
k
N
k
kS mdt
dmv ρ+= ∑∑
==
��
11
Stot
N
k
kS vmmvK���
== ∑=1
0
Važi za proizvoljan sistema tačaka, dakle i za kruto telo
18/11/2019
3
5
Količina kretanja krutog tela
∫=m
dmvK��
Sv v w r= + � � ��
( )S
m
S
m m
K v dm
v dm dm
w r
w r
= + × =
= + ×
∫
∫ ∫
� ��
� ��
StotvmK��
=
Direktno izvođenje izraza za količinu kretanjaza kruto telo sa raspodeljenom masom
=0
6
Momenat količine kretanja
vmrDo ���
×=)(
Materijalna tačka
18/11/2019
4
7
Sistem materijalnih tačaka
∑=
×=N
kkkk
ovmrD
1
)( ���
(0)
1 1
( ) ( ) ( ) ( )N N
k S k S k k S k S k
k k
dD m r r m r v
dtr r r r
= =
= + × + = + × +∑ ∑� � � � � � � � �ɺ
(0)
1 1 1 1
( )N N N N
S S k S k k k k S k k k
k k k k
dD r v m r m m v m
dtr r r r
= = = =
= × + × + × + ×∑ ∑ ∑ ∑� � � � � � � � �ɺ
k S kr r r= +� � �
Momenat količine kretanj u odnosu na nepokretnu tačku u prostoru
0
8
)()0( SS DKrD
����+×=
( )
1
( )N
S
k k k
k
D m r r=
= ×∑� � �ɺ
Momenat količine kretanja u
odnosu na centar mase
k k k
d
dtr r w r= = ×� � � �ɺ
Kruto telo kao
sistem tačaka
18/11/2019
5
9
Momenat količine kretanja krutog tela u odnosu na S
( )
1
( )N
S
k k k
k
D m r r=
= ×∑� � �
ɺ
k k k
d
dtr r w r= = ×� � � �ɺ
( )
1
( )N
S
k k
k
D m r w r=
= × ×∑� � � �
( ) ( )S
m
D dmr w r= × ×∫� � � �
Kruto telo formirano od diskretnih tačaka
Kruto telo sa kontinualno raspodeljenom masom k m
⇒∑ ∫
10
ν+µ+λ= ζηξ
����)()()()( SSSS
DDDD
x h z
r xl hm zn
w w l w m w n
= + +
= + +
� �� �
�� � �
( ) ( )S
m
D dmr w r= × ×∫� � � �
Momenat količine kretanja u odnosu na centar mase S
18/11/2019
6
11
2 2 2 2( )
x h z
r x h z
w r xw hw zw
= + +
⋅ = + +
�
� �
( ) 2
2 2 2
(( ) ( ) )
( )( )
( )( ))
S
m
m
D dm
dm
x h z
x h z
r w w r r
x h z w l w m w n
xw hw zw xl hm zn
= − ⋅ =
= + + + + −
− + + + +
∫
∫
� � � � � �
� � �
� ��
( ) 2
2
( ) (( ) ( ) )
jer je : ( ) ( ) ( )
S
m m
D dm dmr w r r w w r r
r w r r w w r r
= × × = − ⋅
× × = − ⋅
∫ ∫� � � � � � � � �
� � � � � � � �
12
( ) ( )
( )
( )
SD J J J
J J J
J J J
x x xh h xz z
xh x h h hz z
zx x zh h z z
w w w l
w w w m
w w w n
= + + +
+ + + +
+ + +
� �
�
�
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
m
m
m
J dm
J dm
J dm
x
h
z
h z
x z
x h
= +
= +
= +
∫
∫
∫
m
m
m
J dm
J dm
J dm
x h
x z
hz
x h
x z
h z
= −
= −
= −
∫
∫
∫
ν+µ+λ= ζηξ
����)()()()( SSSS
DDDD
Gde su momenti inercije mase
18/11/2019
7
13
( ) ( )( )
( )
( )
S SS
S
S
D J J J
D J J J
D J J J
x x x h x z x
h h x h hz h
z z x z h z z
w
w
w
=
( ) ( )
( )
( )
SD J J J
J J J
J J J
x x xh h xz z
xh x h h hz z
zx x zh h z z
w w w l
w w w m
w w w n
= + + +
+ + + +
+ + +
� �
�
�
14
Ako telo ima nepokretnu tačku A
( ) ( ) ( ) ( )( )A A A A
m
D dm D D Dx h zr w r l m n= × × = + +∫�� �� � � �
x h z
r xl hm zn
w w l w m w n
= + +
= + +
� �� �
�� � �
18/11/2019
8
15
ν+µ+λ= ζηξ
����)()()()( AAAA DDDD
( )( )
( )
( )
AA
A
A
D J J J
D J J J
D J J J
x x x h x z x
h hx h hz h
z z x z h z z
w
w
w
=
{ } [ ] { }
[ ] [ ] [ ]
( ) ( )
( )
A A
A
sop pol
D J
J J J
w=
= +
16
Primena glavnih osa inercije
(...)
3
2
1
(...)
3
2
1
(...)3
(...)2
(...)1
00
00
00
ω
ω
ω
=
J
J
J
D
D
D
ν+µ+λ=����
(..)3
(..)2
(..)1
(..)DDDD
(..) (..) (..)
1 1 1
(..) (..) (..)
2 2 2
(..) (..) (..)
3 3 3
D J
D J
D J
w
w
w
=
=
=
18/11/2019
9
17
Zakon o promeni količine kretanja
RFdt
Kd ��
= RFFR
���+=
Materijalna tačka
RR FamFdt
Kd ����
=⇔=
18
∑=
=N
kkk vmK
1
��
∑=
=N
kkk am
dt
Kd
1
�
�
UVk
SVkkkk RRFam
����++=
∑∑∑∑====
++=N
k
UVk
N
k
SVk
N
kk
N
kkk RRFam
1111
����
Sistem materijalnih tačaka
Ta svaku tačku važi:
Rezultanta reakcija spoljašnjih veza
Rezultanta reakcija
unutrašnjih veza
Sumiranjem dobijamo:
18/11/2019
10
19
∑∑∑∑====
++=N
k
UVk
N
k
SVk
N
kk
N
kkk RRFam
1111
����
∑∑∑===
+=N
k
SVk
N
k
k
N
k
kk RFvmdt
d
111
���
∑∑==
+=N
k
SVk
N
k
k RFdt
Kd
11
���
k
N
k
kvmK��
∑=
=1
0
20
01̀
=∑=
N
k
UVkR�
18/11/2019
11
21
RStotR Fvmdt
dF
dt
Kd ����
== )(
∑∑==
+=N
k
SVk
N
kkR RFF
11
���
Stotk
N
k
k vmvmK���
==∑=1
RStot Fam��
=
Zakon o kretanju centra mase
∫∫∑ ρ==== Vm
tot
N
k
ktot dVdmmmm1
Sistem materijalnih tačaka Kruto telo
22
Zakon o promeni momenta količine kretanja
Materijalna tačka
(O)(O) (O) ( )R R
dDM M r F R
dt= = × +
�� �� � �
18/11/2019
12
23
(O)
1
N
k k k
k
D r m v=
= ×∑� � �
(O)
1 1
N N
k k k k k k
k k
dDv m v r m a
dt = =
= × + ×∑ ∑�
� � � �
(O)
1 1 1
N N NSV UV
k k k k k k
k k k
dDr F r R r R
dt = = =
= × + × + ×∑ ∑ ∑�
� � �� � �
(O)( )O
R
dDM
dt=
��
Sistem materijalnih tačaka
0
0
24
RSS
RO
R FrMM����
×+= )()(
(O) ( )S
SD r K D= × +� � ��
)()(
SR
S
Mdt
Dd ��
=
(O)( )O
R
dDM
dt=
��
O = nepokretna tačka u prostoru
S=centar mase
18/11/2019
13
25
KRUTO TELO sistem tačaka između kojih je rastojanje
nepromenjivo
)()(
SR
S
Mdt
Dd ��
=
∞
( )
1 1
J IS SV
R j j i i
j i
M F Rr r= =
= × + ×∑ ∑� � �� �
U odnosu na centar mase
)()(
AR
A
Mdt
Dd ��
=
Ako telo ima nepokretnu tačku takodje važi:
k m
⇒∑ ∫
26
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE KRETANJA KRUTOG TELA
RFdt
Kd ��
= RS Fam��
=
RzS
RyS
RxS
Fzm
Fym
Fxm
=
=
=
ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
Translatorno kretanje je određeno sa zakonom o kretanju centra mase:
⇒⇒⇒⇒ xS(t) yS(t) zS(t)
18/11/2019
14
27
Obrtanje tela oko S
)()(
SR
S
Mdt
Dd ��
=
( )
1 1 2 2 3 3
SD J J Jw l w m w n= + +� � ��
*)()(
)(SS
S
DDdt
Dd ����
×ω+=
( )
1 1 2 2 3 3
*SD J J Jw l w m w n= + +� � ��
ɺ ɺ ɺ
Izvod vektora u pokretnom sistemu koordinata
d d d
dt dt dt
l m nw l w m w n= × = × = ×
� ��� �� � � �
28
1 1 2 3 2 3 1
2 2 3 1 3 1 2
3 3 1 2 1 2 3
( )
( )
( )
R
R
R
J J J M
J J J M
J J J M
w w w
w w w
w w w
− − =
− − =
− − =
ɺ
ɺ
ɺ
)()(
SR
S
Mdt
Dd ��
=
Ojlerove jednačine
⇒ ωωωω1(t) ωωωω2 (t) ωωωω3(t)
18/11/2019
15
29
1 1 2 3 2 3 1
2 2 3 1 3 1 2
3 3 1 2 1 2 3
( )
( )
( )
R
R
R
J J J M
J J J M
J J J M
w w w
w w w
w w w
− − =
− − =
− − =
ɺ
ɺ
ɺ
⇒ ψψψψ((((t) ) ) ) θθθθ((((t) ) ) ) ϕϕϕϕ((((t))))
⇒ ωωωω1(t) ωωωω2 (t) ωωωω3(t)
Diferencijalne jednačine obrtanja krutog telaŠest diferencijalnih jednačina prvog reda
1
2
3
sin sin cos
cos sin sin
cos
w y j J q j
w y j J q j
w j y q
= +
= −
= +
ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
30
Diferencijalne jednačine kretanja slobodnog krutog tela
RzS
RyS
RxS
Fzm
Fym
Fxm
=
=
=
ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
1 1 2 3 2 3 1
2 2 3 1 3 1 2
3 3 1 2 1 2 3
( )
( )
( )
R
R
R
J J J M
J J J M
J J J M
w w w
w w w
w w w
− − =
− − =
− − =
ɺ
ɺ
ɺ
A. Translatorno kretanje
B. Obrtanje oko centra mase
⇒ xS(t) yS(t) zS(t)
⇒ ω1(t) ω2 (t) ω3(t)
⇒ ψ(t) θ(t) ϕ(t)
B1
B21
2
3
sin sin cos
cos sin sin
cos
w y j J q j
w y j J q j
w j y q
= +
= −
= +
ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
18/11/2019
16
31
Diferencijalne jednačine kretanja krutog tela
koje ima nepokretnu tačku A
1 1 2 3 2 3 1
2 2 3 1 3 1 2
3 3 1 2 1 2 3
( )
( )
( )
R
R
R
J J J M
J J J M
J J J M
w w w
w w w
w w w
− − =
− − =
− − =
ɺ
ɺ
ɺ
Obrtanje oko nepokretne tačke
1
2
3
sin sin cos
cos sin sin
cos
w y j J q j
w y j J q j
w j y q
= +
= −
= +
ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
32
Ravno kretanje
Translatorno kretanje
RyS
RxS
Fym
Fxm
=
=
ɺɺ
ɺɺ
18/11/2019
17
33
( ) ( )
3 3
3 1 20 0
S S
RJ Mw
w j w w
=
= = =
ɺ
ɺ
( ) ( )S S
RJ Mj =ɺɺ
⇒⇒⇒⇒ xS(t) yS(t) ϕϕϕϕ(t)
Obrtanje oko S
Ojlerova jednačina
34
( ) ( )
0
0
inR R
S S inR R
F F
M M
+ =
+ =
� �
� �
Dalamberov princip za kruto telo
inR S
dKF ma
dt= − = −
�� �
( )( )
SS in
R
dDM
dt= −
��
( )( )
inS R
SS
R
ma F
dDM
dt
=⇒
=
��
��
Glavni vektor inercijalnih sila
Glavni momenat inercijalnih sila u odnosu na S
18/11/2019
18
35
inmdf adm a dVr= − = −
� � �
( )Sa a e r w w r= + × + × ×� � � � � � �
in inR S
m
F df ma= = −∫�� �
elementarna inercijalna sila
( )S in inR
m m
M df a dmr r= × = − ×∫ ∫�� � � �
Redukcijom elementarnih inercijalnih sila na S
?
Drugi pristup:
masa po jednici zapreminem =r
36
( )S in inR
m m
M df a dmr r= × = − ×∫ ∫�� � � �
( )Sa a e r w w r= + × + × ×� � � � � � �
d dte w=� � d
dt= � �
�
w rr
( ) ( )S
mD dmr w r= × ×∫� � � �
Koristeći:
Dobija se:
( )( )
SS in in
R
m m
dDM df a dm
dt= × = − × = −∫ ∫
��� � � �
r r
18/11/2019
19
37
( ) ( )indf a dm a s s ds= − = −� � �
m
( ) ( ) ( )in
in dfp s a s s
dsm= = −
�
� �
Jednodimenzionalno telo - štap
Inercijalno opterećenje po jedinici dužine
( ) masa po jedinici dužines =m
38
Prav štap
18/11/2019
20
39
Obrtanje tela oko nepokretne ose
Spoljašnje sile Reakcije veza
40
2
2 2( ) ( )
S
S S S S S
а АS АS d АS
а
e w
e h w x l e x w h m
= × − =| |
= − + + −
� �
�� �
��� ��� ���
2
2
(1)
(2)
(3) 0
S S
S S
m m B C F
m m B C F
B F
− − = + +
− = + +
= +
∑∑
∑
x x x
h h h
z z
e h w x
e x w h
inS Rma F=��
Zakon o kretanju centra mase
Ubrzanje središta mase
18/11/2019
21
41
( )( )
AA
R
dDM
dt=
��
( )
0
0
A
D J J J
D J J J
J J JD
x x x h x z
h hx h hz
z x z h zzw
=
( )AD J J Jx z hz zwl wm wn= + +�� ��
( )( ) ( )
*AA AdD
D Ddt
w= + ×
�� �� *
D J J Jxz hz ze l e m e n= + +�� ��
( ) 2 2AD J Jhz x zw w l w m× = − +
��� �
( )2 2( ) ( )
AdD
J J J J Jdt
xz hz hz xz ze w l e w m e n= − + + +
�� ��
Momenat količine kretanja
Izvod momenta količine kretanja po vremenu
Zakon o promeni momenta količine kretanja
lokalni izvod
prenosna komponenta
Uzeto je u obzir: .......d
dt= ×
���l
w l
Definitivno se dobija
42
2
2
(4)
(5)
(6)
F B C
F B C
F
J J M B h C h
J J M B h C h
J M
− = + −
+ = − +
=
∑∑
∑
x h h
h x x
z z
hzx z
hz x z
e w
e w
e
( )( )
AA
R
dDM
dt=
��
1(6) ( ) ( ) ( ) ( )
(1).....(5) reakcije veza (kinetički pritisci)
Ft M t t tJ
⇒ = ⇒ ⇒
⇒
∑ zz
e w j
Zakon u komponentalnom obliku:
Rešavanjem sistema jednačina dobija se:
18/11/2019
22
43
Kada S leži na osi obrtanja:
(1) 0
(2) 0
(3) 0
(4) 0
(5) 0
(6)
F B C
F B C
F
B C F
B C F
B F
M B h C h
M B h C h
J M
= + +
= + +
= +
= + −
= − +
=
∑∑
∑∑∑∑
x x x
h h h
z z
x h h
h x x
z ze
……..uravnoteženo obrtanje: