Kombinatorinės taisyklės, rinkiniai

Dr. S.Sėrikovienė

Kombinatorinė sudėties taisyklė

Jei kuriam nors elementui a pasirinkti yra n būdų, o elementui b pasirinkti yra m būdų, tai

pasirinkti arba a arba b yra n + m būdų.

Pavyzdys

Yra 5 saldainiai ir 3 bandelės. Jei Aistė nori pasirinkti saldainį arba bandelę, tai turi 5 + 3 = 8 pasirinkimo būdų.

Kombinatorinė daugybos taisyklė

Jei kuriam nors elementui a pasirinkti yra n būdų, o elementui b pasirinkti yra m būdų, tai

galimybių pasirinkti a ir b elementų porą skaičius lygus m * n.

Pavyzdys

Yra 5 saldainiai ir 3 bandelės. Aistė nori pasirinkti saldainį ir bandelę, taigi turi 5 * 3 = 15 pasirinkimo būdų.

Rytais gamindamas sumuštinius, Vytas renkasi juodą arba baltą duoną ir ant jos deda dešrą, kumpį arba sūrį.

Kiek skirtingų sumuštinių gali Vytas paruošti?

6

Automobilio numerį sudaro šeši ženklai: pirmieji trys abėcėlės raidės, kiti trys – skaitmenys. Tarkime, kad vartojamos 23 raidės.

Kiek galima sudaryti skirtingų numerių?

12167000 (-1)

Virga turi juodą bei pilką sijonus ir baltą, raudoną bei geltoną palaidines.

Kokius skirtingus aprangos variantus gali pasirinkti Virga?

O jei prie kiekvieno aprangos rinkinio priderinsime papuošalą: grandinėlę, segę

arba skarelę?6 ir 18

Onutė nusprendė įsigyti naminį gyvūnėlį. Ji su tėvais nuėjo į gyvūnėlių parduotuvę, kur buvo 3 žiurkėnai, 7 papūgos, 4 šuniukai ir 5 katės.

Keliais būdais ji gali išsirinkti:

a) Vieną gyvūnėlį;

b) Arba papūgą, arba katę;

c) Šuniuką ir žiurkėną?a) 19b) 12c) 12

Mokyklos šokių klubą lanko 14 vaikinų ir 16 merginų. Šokių vadovė turėjo išrinkti du šokėjus dalyvauti šokių konkurse.

1. Keliais skirtingais būdais šokių vadovė gali išrinkti du šokėjus, jeigu tai turi būti vaikinas

ir mergina?

2. Keliais skirtingais būdais šokių vadovė gali išrinkti dvi merginas į konkursą?

224240

Tai junginiai, kurie yra sudaryti iš tų pačių

elementų ir vienas nuo kito skiriasi tik

elementų išsidėstymo tvarka.

Pn = n!

Pavyzdys: Keleivinis traukinys turi 10 vagonų. Keliais būdais galima išdėstyti vagonus

paruošiant traukinį?

P10 =10!=10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 3628800 būdų

Ats: 3628800

Kėliniai iš n elementų

Gretiniai iš n elementų po m elementų

Gretiniai iš n elementų po m elementų yra tokie junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi arba

pačiais elementais, arba jų išsidėstymo tvarka.

Pavyzdys

Trims knygoms lentynoje yra skirtos tik dvi vietos. Keliais būdais jas galima sudėti?

)1(....)2)(1( knnnnAk

n

6232

3A

Deriniai iš n elementų po m elementų

Deriniais iš n elementų po m elementų vadinami junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik

pačiais elementais (tvarka nėra svarbi).

Pavyzdys

Stovi 10 žmonių. Iš jų atsitiktinai išrenkami 2. Keliais būdais tai galima padaryti?

!

)1(....)2)(1(

k

knnnnC k

n

45!2

9102

10C

UŽDAVINIAI (1 DALIS)

1. Dėžėje yra 7 skirtingi rutuliai. Keliais būdais galima ištraukti 3 rutulius? Eilės tvarka, kuria ištraukiami rutuliai, yra svarbi. Ištraukti rutuliai į dėžę negrąžinami.

2. Kiek skirtingų karolių galime pagaminti, verdami 7 skirtingų spalvų karoliukus ant siūlo?

3. Keliais būdais 8 žmonės gali atsistoti į eilę prie teatro kasos?

4. Klasėje yra 20 moksleivių. Iš jų reikia išrinkti du budėtojus. Keliais būdais galima tai padaryti?

5. Pažymėta 10 apskritimo taškų. Kiek skirtingų stygų galima nubrėžti sujungiant tuos taškus atkarpomis?

35

5040

40320

190

45

6. Andriaus tėtis parduotuvėje nori nusipirkti dažų sodo nameliui nudažyti. Parduotuvėje yra 4 rūšių mėlynų, 3 rūšių žalių ir 5 rūšių geltonų dažų. Keliais būdais tėtis gali nusipirkti vienos rūšies dažų?

7. Mama augina naminius paukščius: 8 žąsis, 5 kalakutus ir 10 vištų. Kiek galimybių turi mama, jei ji nori parduoti:

a) žąsį arba kalakutą;

b) kalakutą ir vištą;

c) žąsį ir kalakutą arba žąsį ir vištą.

8. Kiek skirtingų raidžių junginių galima sudaryti perstatant žodžio ”FUNKCIJA” raides?

9. Vienos klasės mokiniai mokosi 11 dalykų. Kiekvieną dieną yra po 6 skirtingas pamokas. Kiek skirtingų tvarkaraščių vienai savaitės dienai galima sudaryti?

12

a) 13b) 50c) 120

40320

332640

UŽDAVINIAI (2 DALIS)

Kiek skirtingų triženklių skaičių

galima sudaryti iš skaitmenų

1, 2, 3, 4 ir 5,

kad nė vienas skaitmuo nesikartotų?

Perklausoje dėl pagrindinio herojaus

vaidmens dalyvauja 5 aktoriai. Jų

pasirodymo tvarka nustatoma

burtais.

Kiek skirtingų variantų galima

sudaryti?

Komercinio banko valdyba iš 8

kandidatų renka 3 darbuotojus

vienodoms pareigoms užimti.

Kiek skirtingų grupių po 3

darbuotojus galima sudaryti iš 8

kandidatų?

Krepšinio komandoje yra 9

lygiaverčiai žaidėjai.

Keliais skirtingais būdais galima

sudaryti startinį penketuką?

Keliais skirtingais būdais galima

susodinti 6 asmenis prie pailgo

stalo?

Komercinio banko valdyba iš 10

kandidatų, turinčių vienodas

galimybes, renka 3 darbuotojus

į skirtingas pareigas.

Kiek skirtingų grupių po tris

darbuotojus galima sudaryti iš

dešimties kandidatų, jei vienas

darbuotojas gali užimti tik vienas

pareigas?

Septynių asmenų komisija turi

pasiskirstyti skirtingomis

pareigomis.

Keliais būdais tai galima padaryti?

Lygoje žaidžia 17 komandų. Keliais

būdais gali pasiskirstyti aukso,

sidabro ir bronzos medaliai?

Klasėje yra 24 mokiniai, iš jų reikia išrinkti

klasės seniūną, jo pavaduotoją ir už

renginių organizavimą atsakingą

mokinį.

Keliais būdais galima tai padaryti?

Šachmatų turnyre žaidžia 14 dalyvių.

Kiek bus sužaista partijų, jei visi dalyviai

tarpusavyje turi sužaisti po vieną

partiją?

Vadybininkas kasdien skaito 6

ekonominio turinio leidinius.

Kiek egzistuoja skirtingų skaitymo

tvarkos variantų, jei skaitymo tvarka

atsitiktinė?

Yra šešios dovanos.

Keliais būdais galima iš jų išrinkti tris?

Keliais skirtingais būdais galima sudaryti

6 skirtingų pamokų tvarkaraštį iš 11

disciplinų?

Kiek yra būdų iš septynių studentų

išsirinkti tris?