Konwekcja magnetyczna cieczy paramagnetycznej w naczyniu zamkniętym

Elżbieta Fornalik-Wajs Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków

IPPT PAN Warszawa 2010

Trochę historii...

• Dawno dawno temu (<4000 p.n.e) – pierwsze ślady obiektów ferromagnetycznych

• I w. – w chińskich źródłach pojawia się informacja o pierwszym „directional tool” – pierwowzorze kompasu

• 1086 r. – pierwszy prawdziwy kompas

• 1600 r., Wiliam Gilbert stwierdza, że Ziemia jest wielkim magnesem i wyjaśnia zasadę działania kompasu

• 1820 r., Hans Christian Oersted zauważył, że przepływ prądu elektrycznego odchylił igłę kompasu

• W 1824 r., William Sturgeon skonstruował pierwszy elektromagnes

Trochę historii...

• 1831 r. – Michael Faraday odkrył, że poruszający sięmagnes generuje przepływ prądu elektrycznego, w 1845 r. stwierdził, że każda substancja posiada własności magnetyczne, a w 1847 r. zaobserwował, że w polu magnetycznym bańki mydlane wypełnione tlenem poruszają się w innym kierunku, niż bańki wypełnione azotem

• 1873 r., Maxwell napisał „A Treatise on Electricity and Magnetism”, w którym zawarł słynne równania

• 1895 r. – prawo Curie

• 1986 r. – nadprzewodniki wysokotemperaturowe

• •••

Koniec XX w. - magnes nadprzewodzący

do 15 T

Quantitative analysis of air convection caused by magnetic-fluid coupling

Bai B, Yabe A, Qi JW, Wakayama NIAIAA JOURNAL 37 (12): 1538-1543

Lewitująca żaba w polu magnetycznym o indukcji 16 T

Struga azotu (Wakayama jet)

Diamagnetic levitation: Flying frogs and floating magnets (invited)Simon MD, Geim AK

JOURNAL OF APPLIED PHYSICS 87 (9): 6200-6204

AirAir

N2

gas

Koniec XX w. - nowe zjawiska

ma zastosowanie w

• generacji sił (działających na płyny oraz ciała stałe), np. siła Lorentz’a

• zmianie lub tworzeniu mikrostruktury podczas krzepnięcia

• rozwoju perspektyw na procesy „bezstykowe”

• separacji magnetycznej

• tłumieniu konwekcji

• ...

Silne pole magnetyczne

Koniec XX w. - …

konwekcja naturalna

różnica temperatury

konwekcja termo-magnetyczna

pole grawitacyjne

pole magnetyczne

Cel

Analiza wpływu pola magnetycznego na zjawisko konwekcji cieczy paramagnetycznej, ze szczególnym uwzględnieniem wymiany ciepła w wybranych geometriach (sześcian, termosyfon).

Przeprowadzone zostały:

- badania eksperymentalne

- symulacje numeryczne

- analiza wielkościowa

Zbadana została możliwość kontroli konwekcji cieczy eksperymentalnej w silnym polu magnetycznym.

Zakres analizy

• Konwekcja naturalna

H. Bénard (1901), L. Rayleigh (1916) i in.

• Konwekcja naturalna w sześcianie

G.K. Batchelor (1954), G. de Vahl Davis (1968), H. Ozoe andS.W. Churchill (1973), J.C. Patterson and J. Imberger(1980), prace IPPT PAN i in.

• Konwekcja naturalna w termosyfonieD. Japikse et al. (1971), G.D. Mallinson et al. (1981), G.S.H.

Lock and J.D. Kirchner (1992), I. Ishihara et al. (2002) i in.

• Struktura przepływu H. Bénard (1901), G.D. Mallinson et al. (1981), B. Hof et al.

(1999), R. Touihri et al. (1999), K. Boronska and L.S. Tuckerman (2004) i in.

Van Dyke, M., 1982: An Album of Fluid Motion

Ishihara I. et al. (2002), Int’l. Journal of Heat and Fluid Flow 23

HOT

COLD

Fg

Fg

COLD

HOT

Fg

Fg

stabilny –grzany od góry

niestabilny –grzany od dołu

g

( )00 TTgFg −−= βρ

g – przyspieszenie ziemskie, ρ0 – gęstość w temperaturze odniesienia T0, β – współczynnik rozszerzalności termicznej, T - temperatura

Siła wyporu

Własności magnetyczne

• Paramagnetyki : χg > 0,

• Diamagnetyki : χg < 0,

• Ferromagnetyki : χg >> 1,

Prawo CuriePrawo Curie : : χχgg= = CC // θθ

temperatura bezwzględna

stała Curie

Paramagnetyki : χg > 0

aluminium, tlen, wolfram

miedź, złoto, woda

żelazo, kobalt, nikiel

Prawo Curie

Podatność magnetyczna χg [m3/kg] jest to wielkość fizyczna charakteryzująca zdolność substancji do zmian jej polaryzacji magnetycznej J pod wpływem pola magnetycznego o natężeniu H

J = χg H

Siły działające na układ w polu magnetycznym

τfV ⋅∇=

∂∂∂∂

∂∂∂∂−−−−−−−−−−−−====

T

Hp

ρ

µρµ

2

2

0τ

µρ

µρ ∇∇∇∇−−−−

∂∂∂∂

∂∂∂∂∇∇∇∇++++−∇−∇−∇−∇====

22

1 22

0

HHp

T

Vf

magnetostrykcjaczłon związany z gradientem przenikalności magnetycznej

τ – tensor naprężeń, p0 – ciśnienie w temperaturze odniesienia T0, H – natężenie pola magnetycznego, µ – przenikalność magnetyczna, η – lepkość dynamiczna, ρ – gęstość

Siła magnetyczna

µρ

µρ ∇−

∂

∂∇+

22

1 22 H

HT ( )

ρ

χχ

ρχµ

µ

µµ

ρχµµ

=

=−

=

+=

g

gr

r

g

1

1

0

0

2

02

1Hg ∇= ρχµmF

H – natężenie pola magnetycznego, µ – przenikalność magnetyczna, χg – masowa podatność magnetyczna, χ – objętościowa podatność magnetyczna, µ0 – przenikalnośćmagnetyczna próżni, µr – względna przenikalność magnetyczna, ρ – gęstość

Siła magnetyczna c.d.

Zakładając liniową zależność gęstości od temperatury oraz korzystając z prawa Curie otrzymuje się wzór

określający siłę magnetyczną działającą na ciecz paramagnetyczną.

( ) 2

0

0

0

00

2

11

BTTT

F

g

m ∇−

+−

=µ

ββρχ

χg0 – masowa podatność magnetyczna w temp. odniesienia T0, ρ0 – gęstość w temp. odniesienia T0, β – współczynnik rozszerzalności termicznej, T – temperatura, B –indukcja pola magnetycznego, µ0 – przenikalność magnetyczna próżni

Badania eksperymentalne

a = 0.032 m

80% masowy wodny roztwór gliceryny

+0.8 mol/kg

sześciowodny azotan gadolinu

χχχχg = +23.094 ××××10-8 [m3/kg]

Sześcian

d = 0.04 [m]

h = 0.06 [m]

50% objętościowy roztwór wodny

gliceryny

+

0.5 mol/kgsześciowodny azotan gadolinu

χχχχg = +13.926 ××××10-8 [m3/kg]

PLEXI PLEXI PLEXI PLEXI GGGGÓÓÓÓRARARARA

T. C.T. C.T. C.T. C.

PLEXI PLEXI PLEXI PLEXI DDDDÓÓÓÓŁŁŁŁ

APARATAPARATAPARATAPARAT

T. C.T. C.T. C.T. C.T. C.T. C.T. C.T. C.

LEDLEDLEDLEDDIODDIODDIODDIODYYYY

LED LED LED LED DIODDIODDIODDIODYYYY

Z

R

Termosyfon

Układ eksperymentalny

A

V

LAUDA

Grzejnik

elektryczny

Zasilacz DC

+

-

Keyence

NR1000

System akwizycji danych

Termopary

Pomiar temperatury otoczenia

PC USB

System kontroli zasilania Naczynie eksperymentalne

Chłodnica

Łaźnia

stałotemperaturowa

• Pomiary temperatury (termopary)

określenie intensywności wymiany ciepła – liczba Nusselt’a

• Wizualizacja pola temperatury

termoczułe ciekłe kryształy

białe światło padające

fotografia cyfrowa

zakres temperatury 292.5 K ~ 295 K

Metody eksperymentalne

Liczba Nusselt’a

condnet

convnet

Q

Q

_

_=Nu

Qnet_cond = Qcond - Qloss

Qnet_conv = Qconv - Qloss

Qnet_conv – strumień ciepła oddawany na drodze konwekcji netto,

Qconv – strumień ciepła dostarczany do układu, Qloss – tracony

strumień ciepła, Qnet_cond – strumień ciepła oddawany na drodze

przewodzenia netto, Qcond – przewodzony strumień ciepła

Określenie liczby Nusselt’a

Pomiar strat ciepła (Qloss)

Założenie: straty ciepła (Qloss) = constant

Wyznaczenie przewodzonego strumienia ciepła netto Qnet_cond = Qcond - Qloss

Pomiar strumienia ciepła oddawanego na drodze konwekcji Qconv

Pomiar strumienia ciepła oddawanego na drodze przewodzenia Qcond

Wyznaczenie strumienia oddawanego na drodze konwekcji netto Qnet_conv = Qconv - Qloss

condnet

convnet

Q

Q

_

_=Nu

Liczba Rayleigh’a

( )αν

β 3

RalTTg coldhot −

=

ν – współczynnik lepkości kinematycznej, α – dyfuzyjność

termiczna, g – przyspieszenie ziemskie, Thot – temperatura ścianki

grzanej, Tcold – temperatura ścianki chłodzonej, l – wymiar

charakterystyczny

Wiadomo, że Nu = f(Ra)

Termo-magnetyczna liczba Rayleigh’a

Szukany związek: Nu = f(Ram)

g – przyspieszenie ziemskie, β – współczynnik rozszerzalności termicznej, B –indukcja magnetyczna, χg0 – masowa podatnośćmagnetyczna, µ0 – przenikalność magnetyczna próżni, T0 - temperatura

( )

∇

++= BB

g 00

0

m

111RaRa

T

g

βµ

χ

0 [T]

4 [T]

5 [T]

6 [T]

8 [T]

10 [T]

Ra = 1.36·105

∆T = 4.87 K

Sześcian, odwrócenie przepływu

Wymiana ciepła

0 1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

12

14

Lic

zba N

usselt'a

[-]

Indukcja magnetyczna w środku solenoidu [T]

Sześcian, odwrócenie przepływu

Sześcian, zatrzymanie konwekcji

Ra = 8.82·104

∆T = 3.15 K

0 [T]

5 [T]

6 [T]

7 [T]

8 [T]

10 [T]

Wymiana ciepła

Sześcian, zatrzymanie konwekcji

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

Lic

zb

a N

usselt'a

[-]

Indukcja magnetyczna w środku solenoidu [T]

Ra = 0.23××××105 Ra = 1.69××××105 Ra = 3.36××××105

3 płłłł5 płłłł 7 płłłł

Kierunek

obserwacji

HOT

COLD

Płaszczyzna

światła

Fg

Fg

g

Wpływ liczby Rayleigh’a

Termosyfon, wzmocnienie konwekcji

0 [T]

5 płłłł

1 [T] 2 [T]

3 [T] 4 [T] 5 [T]

6 płłłł 9 płłłł

11 płłłł 13 płłłł 14 płłłł

Ra=1.69××××105

Wpływ pola magnetycznego

solenoid

COLD

HOT

Kierunek

obserwacji

Fg

Fg

Fm

Fm

Termosyfon, wzmocnienie konwekcji

0 1 2 3 4 5

10

15

20

Lic

zba N

usselt'a

[-]

Indukcja magnetyczna w środku solenoidu [T]

solenoid

COLD

HOT

Kierunek obserwacji

Fg

Fg

Fm

Fm

Termosyfon, wzmocnienie konwekcji

Wymiana ciepła

Termosyfon, histereza

0T 1T 2T 3T 4T 5T

0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Ra = 1.69 x 105

narastające pole magnetyczne

malejące pole magnetyczne

Lic

zba

pła

tków

Indukcja magnetyczna w środku solenoidu [T]

5 pł 6 pł 9 pł 11 pł 13 pł 14 pł

14 pł12 pł11 pł9 pł8 pł7 pł

Wpływ liczby Rayleigh’a

no spokes

Ra = 0.14××××105 Ra = 3.80××××105 Ra = 5.22××××105

Kierunek

obserwacji

HOT

COLD

Płaszczyzna

światłaFg

Fg

g

brak płatków

Termosyfon, indukcja konwekcji

0 [T]

Ra=3.80××××105

brak płatków

Wpływ pola magnetycznego

1 [T]

brak płatków

3 [T] 4 [T] 5 [T]

7 pł

10 pł 13 pł 14 pł

2 [T]

COLD

HOT

Kierunek

obserwacji

solenoid

Fg

Fg

Fm

Fm

Termosyfon, indukcja konwekcji

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

Lic

zba

Nusselt'a

[-]

Indukcja magnetyczna w środku solenoidu [T]

COLD

HOT

Kierunek obserwacji

solenoid

Fg

Fg

Fm

Fm

Termosyfon, indukcja konwekcji

Wymiana ciepła

Termosyfon, Nu = f(Ram)

-5 0 5 10 15 20 25 30

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Konfiguracja stabilna przypadek 3 przypadek 3-4

przypadek 4 przypadek 5

Konfiguracja niestabilna przypadek 3 przypadek 3 powrót przypadek 4

przypadek 5

L

iczb

a N

usse

lt'a

[-]

Termo-magnetyczna liczba Rayleigh'a x 10-5

Analiza numeryczna

Układ równań

0=⋅∇ v

Równanie ciągłości

( ) ( )gvv

0

2

0

0

0

0

2

00 2

11

1TTBTT

Tp

Dt

Dg

−−∇−

+−

+∇+′∇−= βµ

ββχ

ρ

µ

ρ

Równanie Navier’a-Stokes’a

( ) ( ) ( )B

Tc

KTT

Tcdt

dT∇⋅

++∇= v

0

2

1 χρρ

λ

Równanie zachowania energii

∫×

=solenoid p

l

r

dsi34

prB

π

µ

Równanie Biot’a-Savart’a

Układ równań – forma bezwymiarowa

Równanie ciągłości

Równanie Navier’a-Stokes’a

Równanie zachowania energii

0=⋅∇ nV

∇−+∇+−∇= 22

21RaPrPr n

n

nn

n

BC

TPD

Dγ

τn

n VV

0

2

0

gr

B

mρµ

χγ =

n

n

n TD

DT 2∇=τ

∫×

=solenoid

R34

1 RdSB nl

nπ

Równanie Biot’a-Savart’a

Analiza numeryczna - modele

sześcian termosyfon

R

0Z

Tn =∂

∂

COLD

HOT

h=3r0

r0

3.5r0

Z

(7/15)h

(7/15)h

0R

Tn =∂

∂

0Z

Tn =∂

∂

Metody numeryczne

• Finite Volume Method (Metoda Objętości Skończonych)

• Staggered grid (siatka przestawna: temperatura i ciśnienie w środku komórki, prędkość na granicach komórek)

sześcian: 40×40×40

termosyfon: 16×37×45

• HSMAC algorytm (człon ciśnieniowy), 3rd order UPWIND(człon konwekcyjny)

Wymiana ciepła

0 1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

12

14

wyniki eksperymentalne

wyniki numeryczne

Lic

zba N

usselt'a

[-]

Indukcja magnetyczna w środku solenoidu [T]

Sześcian, odwrócenie przepływu obliczenia numeryczn

Sześcian, odwrócenie przepływu obliczenia numeryczne

0[T]

5[T]

10[T]

Wypadkowa siła

Wymiana ciepła

Sześcian, zatrzymanie konwekcji obliczenia numeryczne

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

wyniki eksperymentalne

wyniki numeryczne

Lic

zb

a N

usselt'a

[-]

Indukcja magnetyczna w środku solenoidu [T]

Sześcian, zatrzymanie konwekcji obliczenia numeryczne

Wypadkowa siła

0[T]

5[T]

10[T]

COLD

HOT

g

COLD

HOT

Termosyfon, wzmocnienie konwekcji obliczenia numeryczne

Termosyfon, wzmocnienie konwekcji obliczenia numeryczne

0[T]

⊗ g

3[T]

⊗ g solenoid

COLD

HOT

Kierunek obserwacji

Fg

Fg

Fm

Fm

Termosyfon, indukcja konwekcji obliczenia numeryczne

0[T]

g

2[T]

g

COLD

HOT

Kierunek obserwacji

solenoid

Fg

Fg

Fm

Fm

Analiza wielkościowa

Kroki

Szukany związek: Nu = f(Ram)

• Rozwój warstwy przyściennej

•Podział równania zachowania pędu na człon: inercyjny, dyssypacyjny oraz wyporu

- równowaga między członem dyssypacyjnym i wyporu

•Podział równania zachowania energii na człon: inercyjny, konwekcyjny oraz przewodzenia

- równowaga między członem konwekcyjnym i przewodzenia

Analiza wielkościowa, zależności

41

2

0

0

0

0

2

11

1Ra

/

g

f,Tl

BTl

−

+

+≈µ

βχ

δg

( ) 41

mRaNu/

T

ll≈≈≈

δλ

α

Grubość warstwy przyściennej

Zależność między Nu a Ram

Analiza wielkościowa, sześcian –odwrócenie konwekcji

0 10 20 30 40 50 602

4

6

8

10

12

14

analiza wielkościowa

wyniki eksperymentu

Lic

zba N

usse

lt'a

[-]

Termo-magnetyczna liczba Rayleigh'a x10-5 [-]

( ) 41

mRa0.22Nu/

=

Analiza wielkościowa, termosyfon –wzmocnienie konwekcji

0 5 10 15 20 25 30 35

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

konfiguracja niestabilna

przypadek 3

przypadek 3 powrót

przypadek 4

przypadek 5

Lic

zba N

usselt'a

[-]

Termo-magnetyczna liczba Rayleigh'a x10-6 [-]

analiza wielkościowa

( ) 41

mRa0.25Nu/

=

solenoid

COLD

HOT

View direction

Fg

Fg

Fm

Fm

• Pokazano eksperymentalnie, że pole magnetyczne może

- wzmocnić konwekcję zachodzącą w układzie nieizotermicznym- zainicjować konwekcję w układzie

nieizotermicznym, ale stabilnym- zahamować konwekcję w układzie

nieizotermicznym, w którym zachodzi konwekcja

• Przedstawiono analizę numeryczną, której wyniki wykazują dobrą zgodność z badaniami eksperymentalnymi

• Zaprezentowano wyniki analizy wielkościowej zmierzającej do znalezienia Nu = f(Ram), które wskazująna potrzebę dokładniejszego prześledzenia pewnych przypadków szczególnych

Podsumowanie