Košī problēmaTeorijas pamatjautājumi

1. Atrisinājuma eksistence.

2. Atrisinājuma vienīgums

3. Eksistences intervāls

4. Atrisināšanas metodes.

5.Tuvinātās atrisināšanas metodes.

6.Atrisinājuma kvalitatīvā pētīšana.

Peano teorēma:

Ja funkcija f ir nepārtraukta plaknes apgabalā G un

Košī problēmai

eksistē vismaz viens atrisinājums.

Gxt ),( 00

0 0

( , )

( )

dxf t x

dtx t x

Pretpiemērs:

Košī problēmai

eksistē atrisinājums x=0, kaut arī vienādojuma labā puse ir pārtraukta.

0)(

sgn

0

tx

xdt

dx

Vienādojuma labās puses nepārtrauktība negarantē Košī problēmas atrisinājuma vienīgumu.

Piemērs.

Problēmai

0)( 0

3

1

tx

xdt

dx

eksistē atrisinājums x=0 un vēl bezgalīgi daudzi citi atrisinājumi katram t0.

02

3

C , ,))(3

2(

,0

)(tCtCt

Ct

tx

Teorēma par atrisinājuma eksistenci un unitāti

Ja funkcija f ir nepārtraukti diferencējama plaknes apgabalā G, tad katram apgabala G iekšējam punktam

0 0( , )t x G

ir tāda apkārtne, kurā Košī problēmai

0 0

( , )

( )

dxf t x

dtx t x

ir tieši viens atrisinājums.

Piezīme: ģeometriski – caur katru apgabala punktu iet tieši viena integrāllīnija.

Piemērs: vienādojumiem

' , 0< <1x x

labā puse punktā x=0 nav nepārtraukti diferencējama. Teorēma punktos (t0;0) negarantē atrisinājuma vienīgumu. Atrisinot var pārliecināties, ka tiešām caur šiem punktiem iet integrāllīnija x=0 un vēl bezgala daudzas citas. Skat. piemērā iepriekš 1

3

Piezīme

Vienādojuma labās puses diferencējamība nav nepieciešamais nosacījums Košī problēmas atrisinājuma unitātei.

Visbiežāk teorijā lieto sekojošu pietiekamo nosacījumu.

Definīcija.

Teiksim, ka funkcija f apgabalā G apmierina Lipšica nosacījumu pēc x, ja eksistē tāda konstante

0,L

ka 1 2( ; ), ( , )t x t x G

ir spēkā nosacījums

1 2 1 2( , ) ( , )f t x f t x L x x

Piezīme

1.Lipšica nosacījums izpildās, ja x ass virzienā funkcijas augšanas ātrums nav lielāks par lineārās funkcijas augšanas ātrumu.

2. Ja funkcijai f eksistē ierobežots atvasinājums pēc x, tad f pēc x apmierina Lipšica nosacījumu.

Teorēma (Pikāra)

Ja funkcija f ir nepārtraukta plaknes apgabalā G un pēc mainīgā x apmierina Lipšica nosacījumu vismaz katrā slēgtā, ierobežotā apgabala G apakškopā, tad katram apgabala G iekšējam punktam

0 0( , )t x G

ir tāda apkārtne, kurā Košī problēmai

0 0

( , )

( )

dxf t x

dtx t x

ir tieši viens atrisinājums.

Pierādījuma metode – pakāpenisko tuvinājumu metode

00

0 0

( , ) ( ) ( , ( ))

( )

t

t

dxf t x x t x f s x s ds

dtx t x

00( ) : ( , ( ))

t

tF x x f s x s ds

Košī problēmu pieraksta formā

( )x F x

un risina ar pakāpenisko tuvinājumu metodi:

0

0

0

1 0 1 0 0

2 1 2 0 1

1 0 1

: ( ) ( ) ( , )

: ( ) ( ) ( , ( ))

...

: ( ) ( ) ( , ( ))

...

t

t

t

t

t

k k k kt

x F x x t x f s x ds

x F x x t x f s x s ds

x F x x t x f s x s ds

Pakāpenisko tuvinājumu virknes robežfunkcija (tās eksistence un vienīgums jāpierāda!) ir Košī problēmas atrisinājums.

Piezīme. Šo metodi var izmantot arī kā Košī problēmas tuvinātās atrisināšanas metodi, taču tās izpildījums reducējas uz atkārtotu integrāļu atrašanu.

Pikāra iterācijas problēmai x’=x, x(0)=1

Zīmējumā parādīti 5 pirmo iterāciju grafiki.

Piemērs

Gan Peano, gan Pikāra teorēmas apgalvo, ka atrisinājums eksistē lokāli – uzdotā sākuma punkta apkārtnē.

Atrisinājuma turpināmības princips.

Ja apgabalā G izpildās Pikāra teorēmas nosacījumi, katras Košī

problēmas

0 0

( , )

( )

dxf t x

dtx t x

atrisinājumu var turpināt pa t gan augšanas, gan dilšanas virzienā tik ilgi, kamēr atbilstošā integrāllīnija paliek apgabalā G .

Definīcija

Saka, ka intervāls I ir atrisinājuma x maksimālais eksistences intervāls, ja atrisinājumu x nevar turpināt ne pa labi, ne pa kreisi.

Par atrisinājuma x turpinājumu pa labi sauc citu tā paša vienādojuma atrisinājumu y, kurš eksistē pa labi plašākā intervālā, bet abu atrisinājumu eksistences intervālu kopīgajā daļā, kas nav tukša, abu atrisinājumu vērtības sakrīt.

Teorēma (neturpināmības nosacījumi)Pieņemsim, ka apgabalā G izpildās Pikāra teorēmas nosacījumi un funkcija ir Košī problēmas

0 0

( , )

( )

dxf t x

dtx t x

atrisinājums, kurš eksistē intervālā ] ; [

Atrisinājumu

nevar turpināt pa labi tad un tikai tad, ja izpildās vismaz viens no sekojošiem trim nosacījumiem:

1. ;

2. 0, ( ) ;

3. 0, ( )

t t

t t

tiecas uz apgabala G robežu.

Piemēri.

1. '

(0) 1 ]) ; [( tx e

x

t t

x

x

2. 2'

(0) 1 ] ;1[ 1

( )1

x t

x

xt

x

t

3. 1'

2

(0) 1 ( ) 1 ;1[ ]x t t t

xx

x

3.piemērā vienīgajā apgabalam G ir robeža – taisne x=0

2

0 0( )

dyx y

dxy x y

Piemērs.

y0>=0 katram x0>0 atrisinājums eksistē vismaz intervālā [x0;+[.

Salīdzināšanas teorēma (Čapligina)

Pieņemsim, ka funkcijas f un g apmierina Pikāra teorēmas nosacījumus un doti divi vienādojumi

( , )

( , )

dxf t x

dtdx

g t xdt

0 0( )x t x

Pirmās problēmas atrisinājums ir funkcija

Abiem vienādojumiem dots kopīgs sākuma nosacījums

Otrās problēmas atrisinājums ir funkcija

Ja apgabala G daļā, kur

0t t

abas funkcijas apmierina nosacījumu

( , ) ( , )f t x g t x

tādas pašas zīmes nevienādību apmierina arī abu problēmu atrisinājumi:

0 ( ) ( )t t t t

Piezīme

( , ) ( , ) ( ) ( ).f t x g t x t t

Piemērs.

Izmantojot salīdzināšanas teorēmu, nosakām pa labi maksimālo Košī problēmas x’=t^2+x^2, x(0)=1 atrisinājuma eksistences intervālu.

Zaļā ir problēmas x’=x^2, x(0)=1 integrāllīnija t<1

Sarkanā ir problēmas x’=x^2+1, x(0)=1 integrāllīnija t<Pi/4

Dzeltenā ir dotās problēmas integrāllīnija

[0; [

14

t T

T

2 2 2

2

2

(3 3 2) ( 1) 0

xy y e

t x t x

x y dx x y dy

Pagājušā gada kontroldarba variants:

Atrisināt vienādojumus un vienam no tiem uzzīmēt integrāllīniju izvietojuma skici

Vēl viens uzdevums:

Apzīmējam ar 0 virzienu pa kreisi, ar 1 virzienu pa labi. Pieņemot, ka vienādojuma stacionārie punkti ir -1, 0, 1, uzzīmēt integrāllīnijas vienādojumam, kura fāzu portrets ir attēlojams ar binārā pierakstā dotu skaitli 13. Uzrakstīt šāda vienādojuma piemēru!