1

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Tycho Brahe (1546-1601)

Supernova “Tycho” (SN1572)(1572-1574)

2

LE LEGGI DI KEPLERO

Sfruttando le osser-vazioni sul moto dei pianeti del sistema solare fatte dal suo maestro Tycho Brahe, Giovanni Keplero arrivò a formulare le sue 3 leggi empiriche

Giovanni Keplero(1571-1630)

Supernova “Keplero” (SN1604)

3

Ia LEGGE DI KEPLERO

I pianeti descrivono delle orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi

ellisse

Orbita ellittica

4

Quanto sono ellittiche le orbite?

ECCENTRICITA':

dp

da

perielio afelio

Per un' orbita circolare e=0Per l'orbita terrestre e=0.017Per Mercurio e=0.2Per Plutone (pianeta nano) e=0.25

5

Distanza dei pianeti dal sole

a

ba: semiasse maggiore

b: semiasse minore

Distanza media Terra-Sole:150 milioni di km = 1 Unità Astronomica (UA)

UA: 0,4 0,7 1 1,6 5,2 9,5 19,2 30,1 39,4

6

IIa LEGGE DI KEPLERO

Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali

“Velocità aereolare” costante:DA

1/Dt=DA

2/Dt

DA2

DA2

DA1

DA= r ·Ds

Ds

7

AFELIO E PERIELIO

Velocità aereolare: dA/dt=1/2*r*ds/dt=r*v/2

Se r è minore (perielio) v è maggioreSe r è la metà, v è il doppio

Quando siamo più vicini al sole?Perielio: tra il 2 al 5 GennaioQuando siamo più lontani dal sole?Afelio: tra il 2 e il 7 Luglio

circa 2 settimane dopo i rispettivi solstizi

8

IIIa LEGGE DI KEPLERO

I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggioridelle loro orbite

T2 = costante*a3

DA1

Per la terra T=1 anno ~ 365 giorni (terrestri)

Per Mercurio T ~ 88 giorni

Per Marte T~2 anni

Per Giove T~12 anni

Per Plutone T~250 anni!!

9

LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Isaac Newton(1643-1727)

“La forza che mi ha fattocadere questa mela sullatesta è la stessa che tienelegata la Luna alla Terra!”

Per la prima volta si pensa che le leggi fisiche verificate sulla terra valgono in tutto l'universo!

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LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Se m1=70 Kg

m2=55 Kg

r12

=0,5 mF= 10-6 N

E' molto piccola!

COSTANTE DI CAVENDISH:

r12

m1

m2

N.B.: Le m sono le masse gravitazionali:quelle di F

PESO=mg

11

LA FORZA DI GRAVITA' E' UNIVERSALEATTRAZIONE DI GRAVITA' SULLA MELA:

ATTRAZIONE DI GRAVITA' SULLA LUNA:

Supponendo un orbita circolare con

L'accelerazione centripeta deve essere:

12

LA FORZA DI GRAVITA' SULLA ISS

L' International Space Station (ISS)orbita a 400 Km sopra la superficie terrestre. Quanto vale l'accelerazione di gravità per gli astronauti a bordo?

13

MISURA DELLA COSTANTE DI CAVENDISH

PENDOLO A TORSIONE: M=-kDq (simile a F=-kx della molla)

All'equlibrio il momento delle forze esercitate sulle due sfere è compensato dal momento torcente provocato dalla torsione del filo

F12

: forza di gravità tra m1 e m

2

l: lunghezza della barra k: costante di torsione del filo q: posizione di equilibrio q

0: posizione di equilibrio

senza masse grandi

Cavendish riuscì a misurare G con un errore dell'1%Usando un laser per misurare Dq si arriva allo 0,01%

14

MASSA GRAVITAZIONALE E MASSA INERZIALE

La forza peso sentita da un corpo sulla terra è proporzionale alla massa gravitazionale m

g

La forza peso è F=mgg

FL'accelerazione subitada un corpo soggetto a una a forza F è inversamente proporzionale alla sua massa inerziale m

i :

F=mia

Per quanto siamo riusciti a provare fino ad oggim

g=m

i con una precisione di 10-14!

Gli attuali esperimenti su satellite mirano a 10-18!

L'uguaglianza tra massa gravitazionale e massa inerziale è richiesta dal principio di equivalenza debole della Relatività Generale di Einstein

Albert Einstein(1879-1955)

15

PRIME VERIFICHE SPERIMENTALI DI mg=m

i

Galileo Galilei dalla torre di Pisa:m

g g = m

i a

Se mg=m

i si semplifica

e l'accelerazione è la stessa per tutti i corpi

In realtà le verifiche più accurate Galileo le ottenne con il piano inclinato usando un ingegnoso orologio ad acqua per misurare i tempi Galileo Galilei

(1564-1642)

Ancora Newton dimostrò che, trascurando l'attrito dell'aria, il periodo di oscillazione del pendolo non dipende dalla massa

16

VERIFICHE SPERIMENTALI MODERNE DI mg=m

i

Lorand von Eotvos (1848-1919)

La forza peso èF

g=m

gg,

la forza centrifuga dovuta alla rotazione terrestre èF

c= -m

iw2

Un pendolo a torsione con due masse diverse e con il punto di sospensione posto in modo da compensare i momenti delle forze verticali (forza peso e componente verticale di F

c) ruoterebbe sul piano

orizzontale se non fosse mi=m

g

Specchio riflettente istallato dalla missione Apollo 11 nel 1969

Se la massa inerziale non fosse proporzionale a quella gravitazionale, l'attrazione del sole sulla luna e sulla terra produrrebbe una variazione periodica della distanza terra-luna che non è stata osservata

La distanza di ottiene misurando il tempo impiegato da un raggio laser a tornare indietro

17

LA Ia LEGGE DI KEPLERO VISTA DA NEWTON

I pianeti descrivono delle orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi

Newton trovò che perché le orbite fossero ellittiche occorreva che la forza di gravità del sole sui pianeti avesse un andamento inversamente proporzionale al quadrato della distanza

Trovò anche altre traiettorie possibili:Cerchi (e=0)Ellissi (0<e<1)Parabole (e=1)Iperboli (e>1) Le ultime 2 corrispondono a traiettorie apertee=eccentricità

18

LA IIa LEGGE DI KEPLERO VISTA DA NEWTON

Newton trovò che questa era una diretta conseguenza della conservazione del momento angolare L dovuta al fatto che il momento di una forza centrale, diretta cioè lungo il raggio, è nullo

Il raggio vettore che unisceil centro del Sole con il centro del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali

19

LA IIIa LEGGE DI KEPLERO VISTA DA NEWTON

Per dimostrare questa legge nel caso di orbite circolari, per il cui il semiasse maggiore è il raggio, basta uguagliare la forza di gravità alla forza centripeta necessaria a tenere il pianeta in orbita

I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sonodirettamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggioridelle loro orbite

®

®

E quindi:

Si può dimostrare anche per orbite non circolari

N.B.: Se so T, r e G posso trovare la massa del Sole!

20

ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE

Ricordiamo che il lavoro svolto da una forza conservativa si può scrivere come la variazione della sua energia potenziale cambiata di segno:

Nel nostro caso essendo F diretta lungo il raggio ma con verso opposto si ha

E quindi:

Si prende solitamente la costante c=0, che equivale a U(∞)=0, per cui:

ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE

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ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE VICINO ALLA TERRA

Se: con R=Raggio della Terra

R

h

con M=Massa della Terra

Se:

allora:

Definendo:

Si trova:

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VELOCITA' DI FUGA

Qual è la minima velocità che deve avere un razzo per riuscire a sfuggire al campo di gravità terrestre?

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ENERGIA MECCANICA E VELOCITA' DI FUGA

Per fuggire deve riuscire ad arrivare a distanza infinita (dove U=0) con un energia cinetica K≥0

Per poter fuggire un corpo deve avere

energia meccanica E≥0

Se E<0 il corpo rimane confinato entro rMAX

Se E=0 riesce a fuggire lungo una parabola

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VELOCITA' DI FUGA DALLA TERRA

Per la terra vFUGA

=11,2 Km/s~40000km/h

CONDIZIONE LIMITE PER LA FUGA

VELOCITA' DI FUGA

Per la luna vFUGA

=2,3 Km/s →Non riesce a trattenere un'atmosfera

25

CAMPO GRAVITAZIONALE TERRESTRE

Possiamo immaginare che la massa della Terra (o del Sole) perturbi lo spazio intorno a sé, generando un campo di forza g tale che ogni massa senta una forza di gravità proporzionale alla sua massa

m

CAMPOGRAVITAZIONALETERRESTRE

In realtà vicino alla superficie il campo terrestre non è così omogeneo ma risente delle variazioni di densità locali (quantità di rocce o di acqua)

26

CAMPO GRAVITAZIONALE DI DUE MASSE

Il campo totale è la somma dei singoli campi (PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE) e mantiene le proprietà di simmetria del sistema di masse che lo genera

Nel caso in figura è simmetrico sia rispetto all'asse x che rispetto all'asse y

Nel caso di una distribuzione continua di masse la somma si sostituisce con l'integrale:

Esempio sul libro: campo di una barra omogena

27

CAMPO GRAVITAZIONALE DI UN GUSCIO SFERICO

Il campo all'interno è nullo perché per ogni elemento di superficie A

1 ce n’è uno

opposto A2 che esercita

una forza uguale e opposta: siccome A

1 e A

2

sottendono un uguale angolo solido la loro area e quindi la loro massa è proporzionale a r2 per cui: m

1/r

12-m

2/r

22=0

Il campo all'esterno del guscio è dato da:

Ed è quindi equivalente a quello di una singola massa posta al centro del guscioQuesta proprietà (dimostrata nelle slide successive) vale per tutti i campi con andamento inversamente proporzionale al quadrato della distanza (come anche il campo elettrico) ed è servita a Newton per arrivare ad affermare che l'attrazione della terra sulla mela era la stessa di quella sulla luna

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ANGOLO PIANO E ANGOLO SOLIDO

l=rα

Ω=S

r2

ΩSe prendo tutta la sfera:

Ω=4p

Ω=S1

r12 =

S2

r22

Per cui aree che sottendono lo stesso angolo solido sono proporzionali a r2

Ω S1

S2

r1

r2

Se considero sfere di raggio diverso:

29

CAMPO GRAVITAZIONALE DI UNA SFERA PIENA

Immaginando la sfera come una serie di gusci concentrici si ha che:- per r>R il campo è come quello di una massa posta al centro - per r<R solo i gusci interni contribuiscono, il loro campo è pari a quello di una massa

posta al centro e quindi:

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COORDINATE POLARI SFERICHE

Il raggio r da la distanza dall’origine.

L’angolo zenithale q è quello rispetto all’asse z, detto anche asse polare.

Il punto Q è la proiezione del punto P sul piano xy, l’angolo azimuthale f da la sua direzione rispetto all’asse x nel piano xy.

Relazione con coordinate cartesiane: x=rsinq cosfy=rsinqsinfz=rcosq

31

ELEMENTO DI SUPERFICIE INFINITESIMO IN COORDINATE POLARI SFERICHE

rdq

rsinqdf

rsinqdf

rdq dS=r2sinqdfdq

rsinqdfrsinqdf

dS= rsinqdf x rdq

dΩ=dS/r2=sinqdfdq

ELEMENTO DI ANGOLO SOLIDO

ELEMENTO DI SUPERFICIE

32

CAMPO GRAVITAZIONALE ALL’ESTERNO DI UN GUSCIO SFERICO (I)

Prendiamo la direzione che congiunge il centro del guscio e il punto P come asse polare z

Il campo lungo x e y è nullo per motivi di simmetria: non può esserci una direzione privilegiata in x o y.Si può anche dire che per ogni elemento di supreficie ce n’è uno opposto in x o y che da contibuto in x o in y uguale e opposto: g

x=g

y=0

z

x

y

dgcosα z

d g

33

CAMPO GRAVITAZIONALE ALL’ESTERNO DI UN GUSCIO SFERICO (II)

z

x

y

Usando due volte il teorema del coseno:

dS

q α

s

r

R

Differenziando:

DENSITA’ SUPERFICIALE OMOGENEA

34

CAMPO GRAVITAZIONALE ALL’ESTERNO DI UN GUSCIO SFERICO (III)

z

x

ydS

q α

s

r

R

(Niente nell’integrando a destra dipende da f)

Come se la massa fosse concentrata tutta al centro!

35

PROBLEMA DEI DUE CORPI

M1

M2

r12

Per descrivere il moto dei pianeti intorno al Sole abbiamo supposto che il Sole fosse fisso e i pianeti girassero intorno a lui. Questa è una buona approssimazione perché la massa del Sole è molto maggiore di quella dei pianeti. L’approssimazione non è però più applicabile se i pianeti (o le stelle) hanno massa simile, come accade in un sistema binario.In questo caso entrambi gli oggetti ruotano intorno all’unico punto che rimane fermo: il centro di massa del sistema.

M1

M2

r1

r2

r1

r2

Gli oggetti girano con la stessa velocità angolare perché devono essere sempre opposti rispetto al centro di massa e impiegano lo stesso tempo (periodo) a fare un giro.

36

MOTO RELATVO DI DUE CORPI

M1

M2

r1

r2

Nel sistema del centro di massa la posizione relativa del corpo 2 rispetto al corpo 1 è data da:

r12=r2−r1

Dalla definizione della posizione del centro di massa e dal fatto che nel sistema del centro di massa essa deve essere nulla (il c.d.m è l’origine) si ricava:

rCM=M1 r1+M 2 r2

M 1+M 2

=0

r12=r2−r1=r2+M2

M1

r2=(1+M 2

M1

) r2

F12

r1=−M 2

M 1

r2

r2=M 1

M 1+M 2

r12

37

MOTO RELATVO DI DUE CORPI: MASSA RIDOTTA

M1

M2

r1

r2

Se F12

è la forza che il corpo 1 esercita sul corpo 2, si ha:

F12=M2¨r2=

M1 M2

M1+M 2

¨r12

F12

Definendo:

μ=M 1 M 2

M 1+M 2

MASSARIDOTTA

DEL SISTEMA

Abbiamo: F12=μ ¨r12

Il moto relativo è quindi equivalente a quello di una massa ridotta che orbita intorno a una fissa.Nel caso della forza di gravità:

F=−G M 1 M2

r122

^r12=−G (M 1+M 2)μ

r122

^r12

M1+M

2

μ

r12

E’ identico al caso in cui la massa ridotta μ gira intorno alla massa totale M

1+M

2

che resta fissa