landau 09 statisztikus fizika ii

L. D. LANDAU — E. M. L IFSIC

ELMÉLETI FIZIKA IX

E.M. L IFSIC — L.P. PITA JEV SZK IJ

STATISZTIKUS FIZIKA

2. rész

TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST, 1981

E G Y E T E M I SE G É D K Ö N Y VK I A D Á S Á T A M Ű V E L Ő D É S I M I N I S Z T E R R E N D E . 1 . T E F. L

A M 0 E R E D E T I C í ME :

TEOPETM M E C K A il <t>M3HKA IX. C T A T H C T H 4 E C K A H <0H3MKA

*ÍACTB 2 K 3A A TE.TIB C TB O „H A Y K A ”

M O CK BA , 1978

F O R D Í T O T T A :

PA T K Ó S A N D R Á SE G Y E T E M I A D J U N K T U S ,

A F I Z I K A I T U D O M Á N Y O K K A N D I D Á T U S A

K O N T R O L L S Z E R K E S Z T Ő :

G E S Z T Y T A M Á ST U D O M Á N Y O S F Ő M U N K A T Á R S ,

A F I Z I K A I T U D O M Á N Y O K K A N D I D Á T U S A

S Z E R K E S Z T E T T E :

M O L D O V Á N Y I G Y U L A

ISBN 963 17 5259 3 összkiadás

ISBN 963 17 5858 3

© E. M. L I F S I C , L. P. P I T A J E V S Z K I I . M O S Z K V A , 1 9 7 8

© D R . P A T K Ó S A N D R Á S , B U D A P E S T , 1981 H U N G A R I A N T R A N S L A T I O N

L. D. LANDAU Nobel-díjas

(1908—1968)

ELŐSZŐ

Ha röviden kívánjuk jellemezni az Elméleti fizika sorozatnak az olvasó figyelmébe ajánlott IX. kötetét, akkor azt mondhatjuk, hogy az anyag kondenzált állapotának kvantumelméletét tartalmazza. A könyv a Bőse- és Fermi-típusú kvantumfolyadékok elméletének részletes tárgyalásával kezdődik. Ezt az elméletet, mely ma az elméleti fizika önálló fejezetét alkotja, L. D. Landau alkotta meg P. L. Kapica kísérleti felfedezései nyomán. Fontosságát nem annyira azok az érdekes jelenségek adják, amelyek a He folyékony izotópjaiban észlelhetők, hanem inkább az, hogy a makroszkopikus testek kvantumos leírásának alapját a kvantumfolyadékról és spektrumáról alkotott elképzelések alkotják.

A fémek tulajdonságainak elmélyült megértéséhez például az elektronokat Fermi- folyadéknak kell tekinteni. Az elektronfolyadék tulajdonságait azonban a kristály- rács jelenléte bonyolítja, így a homogén és izotrop folyadék egyszerű esetének előzetes tanulmányozása az elmélet felépítésének első lépése. Ugyanezt elmondhatjuk a fémek szupravezetésével kapcsolatban is. Ezt az elektronok szuperfolyékonyságaként értelmezhetjük, és világos megértéséhez elengedhetetlen a Bose-folyadék szuperfolyékonysága egyszerűbb elméletének ismerete.

A modern statisztikus fizika matematikai eszköztárának elválaszthatatlan része a Green-függvények módszere. Ez nemcsak azokkal a számítási előnyökkel magyarázható, amiket a Green-függvények grafikus számítási eljárása kínál. Elsődlegesen arról van szó, hogy a Green-függvények közvetlenül adják meg a test elemi gerjesztéseinek spektrumát, és így a legalkalmasabbak e gerjesztések tulajdonságainak leírására.

Ezért szentelünk a jelen kötetben megkülönböztetett figyelmet a módszertani kérdéseknek, nevezetesen a makroszkopikus testek Green-függvényeinek. Bár a módszer alapgondolata minden rendszerre azonos, a diagramtechnika konkrét megjelenése esetről esetre változó. Természetesnek tűnik, hogy e módszert az izotrop kvantumfolyadékok példáján mutassuk be, ahol lényege tisztán jelenik meg mindazon bonyodalmak nélkül, amelyeket a térbeli inhomogenitások, a különféle részecskék jelenléte stb. okoz.

8 ELŐSZÓ

A szupravezetés mikroszkopikus elméletét hasonló okok miatt mutatjuk be az izotrop, gyengén kölcsönható Fermi-gáz modellen, eltekintve mindazoktól a hálásoktól, amelyek a kristályrács jelenléte és Coulomb—kölcsönhatás miatt lépnek fel.

A kristályrácsban mozgó elektronról és a mágnességről szóló fejezetekkel kapcsolatban újfent hangsúlyozzuk, hogy a jelen könyv egy elméleli fizikai sorozat része, és semmiképp sem helyettesítheti a szilárdtestfizikai előadássorozatot. Ennek megfelelően csak azokat a kérdéseket vizsgáljuk, melyek általános jellegűek, és nem foglalkozunk sem a konkrét kísérleti adatokat igénylő kérdésekkel, sem olyan számítási eljárásokkal, melyeknek nincs megfelelő elméleti megalapozásuk. Arra is emlékeztetünk, hogy a szilárd testek kinetikus tulajdonságai nem e könyv tárgyát alkotják, azokat a sorozat következő, befejező kötetében vizsgáljuk majd részletesen.

Végül e könyvben mutatjuk be az anyagi közegekben fellépő elektromágneses fluktuációk és a hidrodinamikai fluktuációk elméletét is. Az előbbi korábban a Vili. kötet egy részét alkotta. Áthelyezését a jelen kötetbe az indokolja, hogy a Green- függvények felhasználásával nyílik mód az elmélet egyszerű és az alkalmazásokra legmegfelelőbb megfogalmazására. Emellett természetesebb az elektromágneses és a hidrodinamikai fluktuációkat egyetlen kötetben tárgyalni.

L. D. Landau nincs e kötet szerzői között. Ám az olvasónak azonnal feltűnik milyen gyakran szerepel neve a könyv szövegében. Az eredmények nagy része az ő személyes vagy tanítványaival közösen végzett munkájának gyümölcse, A hozzá fűződő sokéves kapcsolat ad számunkra reményt arra, hogy e kérdésekben hűen tük- röztetheljük álláspontját, természetesen figyelembe véve mindazokat az új eredményeket, melyek az alatt a 15 év alatt születtek, ami eltelt a munkásságát félbeszakító tragikus nap óta.

Megköszönjük A. F. Andrejev, i. E. Dzsalosinszkij és 1. M. Lifsic állandó közreműködését a könyvet alkotó kérdések állandó, folyamatos megvitatásában. Sokat okultunk A. A. Abrikoszov, L. P. Gorkov és I. E. Dzsjalosinszkij híres könyvéből, amely a statisztikus fizika új módszereinek szentelt könyvek közt az egyik legelső volt. Végül köszönettel tartozunk L. P. Gorkovnak és Ju. L. Klimontovicsnak a könyv kéziratának elolvasásáért és hasznos megjegyzéseik soráért.

1977. áprilisE. M. Lifsic, L P. Pitajevszkij

N ÉH Á N Y JELÖ LÉS

A vektorindexeket latin betűkkel jelöljük: i, k, . . . . A spinindexeket görög betűk jelölik: a, ( i , ___Minden kétszer ismétlődő indexre összegezés értendő.

A „négyesvektorokat” (I. a II. fejezet 18. lábjegyzetét) nagybetűkkel jelöljük: X ,P > -----

A térfogatelem dV vagy cf-'x.Jelölés valamely mennyiség alulról vagy felülről való nullához tartására: — ü, ill.

+ 0.Az operátorokat „kalapos” betűk jelölik.A Hamilton-operátor: / / , f f = H — fiN. A perturbáció operátora V.A operátorok jele a Schrödinger-reprezentációban: í}>, ip+; a Heisenberg-repre-

zentációban *P, ; végül Matsubara-reprezentációban 1PM.A Green-függvények: G és D. A hőmérsékleti Green-függvények jele és H).A termodinamikai mennyiségeket az V. kötettel összhangban használjuk: így pl. a

hőmérséklet T, a térfogat V, a nyomás P, és fi a kémiai potenciál.A mágneses tér erőssége és indukciója H és B; a külső mágneses téré íg.Az egyéb kötetek képleteire és szakaszaira való hivatkozásokat római számokkal

láttuk el: I. — Mechanika, 1973; II. — Klasszikus erőterek, 1973; III. — Kvantum- mechanika, J974; IV. — Relativisztikus kvantumelmélet, 1968; 1971; V. — Statisztikusfizika, l.rész, 1976; VI. — Hidrodinamika, 1954; VIII. — A folytonos közegek elektrodinamikája, 1959.*

* A VIII. kötetre való hivatkozások nem tekinthetők véglegesnek, mivel ennek legújabb kiadása csak ezután jelenik meg. Az egyes kötetek megjelenési éve a szovjet kiadásokra vonatkozik. (A lektor)

I. F E J E Z E T

A N O RM Á LIS FERM I-FO LY A D ÉK

1. §. Elemi gerjesztések a kvantumos Fermi-folyadékban

Ha a hőmérséklet annyira alacsony, hogy a folyadék atomjai hőmozgásinak megfelelő de Broglie-hullámhossz az atomok közötti távolsággal azonos nagyságrendűvé válik, akkor a folyadék makroszkopikus tulajdonságait kvantumos hatások határozzák meg. E kvantumfolyadékok elmélete nagy elvi jelentőségű, bár a természetben csak két olyan anyag létezik, amelyek a szó szoros értelmében folyadékoknak tekinthetők a fenti tartományban: ezek a hélium folyékony izotópjai (a 3He és a 4He) 1—2 K hőmérsékleten. Minden egyéb anyag jóval korábban megszilárdul, mintsem a kvantumhatások lényegessé válnának. Ezzel kapcsolatban emlékeztetünk arra a tényre hogy az abszolút zérus hőmérsékleten a klasszikus mechanika szerint minden anyagnak szilárdnak kell lennie (1. V. 64. §); a hélium az atomjai közti különösen gyenge kölcsönhatásnak köszönhetően marad folyékony egészen a kvantumos jelenségek előtérbe kerüléséig. E hatások figyelembevételével viszont a megszilárdulás többé már nem szükségszerűen következik be a hőmérséklet további csökkentésekor.

A makroszkopikus test termodinamikai jellemzőinek kiszámítása energiaszintjeinek ismeretét követeli meg. Magától értetődően az olyan erősen kölcsönható részecskék esetében, amilyen a kvantumfolyadék, a megfelelő kvantummechanikai stacionárius állapotok a folyadéknak mint egésznek az állapotát jellemzik, és nem az egyes atomokét külön-külön. Az állapotösszeg elegendően alacsony hőmérsékleten való kiszámításakor csak a gyengén gerjesztett nívókat kell figyelembe venni — azokat, amelyek nem túl magasan vannak az alapállapot felett.

A makroszkopikus test tetszőleges gyengén gerjesztett állapotát a kvantummechanikában elemi gerjesztések összességeként lehet tekinteni. Ez az egész elmélet szempontjából alapvető jelentőségű. Ezek az elemi gerjesztések valamiféle kvázirészecs- kékként viselkednek, melyek az adott térfogatban meghatározott e energiával és p impulzussal mozognak. A «{p) függvénykapcsolat (vagy amint mondják, az elemi gerjesztések diszperziós Összefüggése) a lest energiaszintjeinek fontos jellemzője. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy az elemi gerjesztések fogalma egy segédeszköz a test atomjai kollektív mozgásának kvantummechanikai leírásához, és a kvázirészecskék semmiképpen sem azonosíthatók egyes atomokkal vagy molekulákkal.

12 I. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

A kvantumfolyadékok lehetséges energiaspektrumai különböző típusokba sorolhatók. A típustól függően a kvantumfolyadékok makroszkopikus tulajdonságai egészen különbözőek lehetnek. Tanulmányozásukat a Fermi-típusú spektrummal rendelkező folyadékokkal kezdjük. Ennek elméletét L. D. Landau alkotta meg (1956— 1958); az 1 — 4. §-okban az ő eredményeit mutatjuk be.1

Amint az ismeretes, a Fermi-típusú kvantumfolyadékok energiaspektruma az ideális (1/2 spinű részecskékből álló) Fermi-gáz spektrumához hasonlóan építhető fel. Ez utóbbi alapállapotának a Fermi-gömbön belüli állapotok teljes betöltöttsége felel meg. Ez az impulzus térbeli gömb pF sugarú, és a gáz N /V sűrűségével (az egységnyi térfogatbeli részecskék számával) a következő kapcsolatban van:

N 4npl p%V ~ 3(2n h f 3n W K ’ 1

(1. V, 57. §). A gáz gerjesztett állapotai úgy jönnek létre, hogy egyes részecskék a gömb betöltött állapotaiból valamely p =*- pF impulzusú állapotba mennek át.

A folyadékban természetesen az egyes részecskék kvantumállapotairól nem lehet beszélni. Mégis, a Fermi-folyadékok spektruma felépítésének az a megállapítás a kiindulópontja, hogy az energianívók osztályozása az atomok közötti kölcsönhatás fokozatos „bekapcsolásakor”, azaz a gázról a folyadékra való áttérés során nem változik. Ebben az osztályozásban a gáz részecskéinek szerepét az elemi gerjesztések (kvázirészecskék) veszik át, melyek száma az atomok számával egyezik meg, és amelyek Fermi-statisztikát követnek.

Azonnal megjegyezzük, hogy ilyen spektruma csak feles spinű részecskékből álló rendszernek lehet — a bozonokból (egész spinű részecskékből) álló rendszer nem írható le Fermi-statisztikájú kvázirészecskékkel. Ugyanakkor azt is hangsúlyozzuk, hogy az ilyen típusú részecskék nem feltétlenül vezetnek a fenti típusú spektrumra. A spektrum típusa ugyanis függ az atomi kölcsönhatások konkrét jellegétől. Ez egyszerű megfontolással érthető meg: ha a kölcsönhatás olyan jellegű, hogy hatására a részecskék párokba állnak össze, akkor határesetben olyan molekuláris folyadékot kapunk, amely egész spinű részecskékből (molekulákból) áll, amelyre a fentebb vizsgált spektrum nyilvánvalóan lehetetlen.

A kvázirészecskéknek határozott p impulzusuk van (ezen állítás igazságtartalmához még visszatérünk). Legyen a kvázirészecskék impulzus szerinti eloszlása «(p), melyet az

, N tP pn dx = , d x —V ’ ' (2rr/í):i

1 Előreszaladva, a félreértések elkerülése érdekében pontosabban is megfogalmazzuk, hogy a nemszuperfolyékony (mint mondják, a normális) Fermi-folyadékokról van szó. Ilyen tulajdonságú a 3Heizotóp (azzal a fenntartással, amit az V. fejezet 63. lábjegyzetében fogalmazunk meg).

1.8. ELEMI GERJESZTÉSEK a KVANTUMOS FERMI-FOLYADÉKBAN 13

feltétel normál (e feltételt alább még pontosítjuk). Az osztályozás fent említett elve azt a feltevést foglalja magában, hogy «(p) megadása egyértelműen meghatározza a folyadék E energiáját, valamint, hogy az alapállapotot olyan eloszlásfüggvény írja le, amelyben a Fermi-gömb pFsugarán belül minden állapot be van töltve. A pF impulzus értéke a folyadék sűrűségével ugyanúgy az (1, 1) összefüggés révén van kapcsolatban, mint az ideális gáz esetében.

Fontos, hogy a folyadék teljes energiája egyáltalán nem egyezik meg a kvázirészecskék e energiáinak összegével. Más szavakkal, E az eloszlásfüggvénynek olyan funkcionálja, amely nem egyezik meg az J nedt integrállal (amint az igaz ideális gázra, ahol a kvázirészecskék egybeesnek a nem kölcsönható, valódi részecskékkel). Minthogy E az elsődleges mennyiség, felmerül a kvázirészecskék energiája meghatározásának kérdése, azok kölcsönhatásának figyelembevételével.

Ennek érdekében vizsgáljuk E megváltozását az eloszlásfüggvény infinitezimális megváltozásakor. Ezt nyilvánvalóan a ön variációban lineáris

kifejezés adja meg. Az e mennyiség tehát az E energiának az eloszlásfüggvény szerint funkcionálderiváltja. Ez megfelel a rendszer energiája megváltozásának egy p impul- zusú kvázirészecske hozzáadásakor. Ez a mennyiség értelemszerűen a kvázirészecske Hamilton-függvényének szerepét játssza a többi részecske terében, és szintén funkcionálja az eloszlásfüggvénynek, azaz e(p) az összes részecske folyadék beli eloszlásától függ.

Megjegyezzük még, hogy a spektrum vizsgált típusában egy elemi gerjesztést jól ismert módon úgy is tárgyalhatunk, mint egy atomot a többi atom önkonzisztens terében. Az önkonzisztenciát azonban nem szabad szokásos kvantummechanikai értelmezésében használni. Itt mélyebb jelentése van: az atom Hamilton-operátorában a környező atomok hatását nemcsak a potenciális energia tükrözi, de változik a kinetikus energia operátorának impulzusfüggése is.

Mindeddig eltekintettünk a kvázirészecskék spinjétől. Minthogy a spin kvantummechanikai mennyiség, melyet klasszikusan nem lehet figyelembe venni, az eloszlás- függvényt a spinváltozóban sűrűségmátrixnak kell tekintenünk. Az elemi gerjesztés £ energiája általában nemcsak az impulzus függvénye, hanem operátor is a spinváltozók terében, amelyet a kvázirészecske s spinoperátorával lehet kifejezni. Homogén és izotróp folyadék esetén (amelyre nem hat mágneses tér és ami nem ferromágneses) az s operátor az e skalár mennyiség kifejezésében csak a szintén skalár s2 és (sp)2 mennyiségek formájában jelenhet meg. A lineáris sp kifejezés nem megengedett, mivel az s vektor axiális volta miatt az pszeudoskalár mennyiség. Az s2 = í ( j+ I) mennyiség az s = 1/2 helyettesítéssel s-től független állandóvá válik, és hasonló a


helyzet az (sp)2 = p2/4 kifejezéssel is. Tehát esetünkben a kvázirészecske energiája egyáltalán nem függ a spintől, az összes energiaszint kétszeresen elfajult,

A kvázirészecske spinjének létezését lényegében az fejezi ki, hogy a spektrum a mondott módon elfajult. Ezért azt mondhatjuk, hogy a vizsgált spektrumtípusra a kvázirészecskék spinje mindig 1/2, függetlenül a folyadék valódi részecskéinek spinértékétől. Valóban, bármely egyéb spinértékre az (sp)2 típusú tagok jelenléte az energia kifejezésében a (2s-f l)-szeresen degenerált szintek (2s+ l)/2 kétszeresen elfajult nívóra való felhasadására vezetett volna. Más szavakkal, az e(p) függvény (2s+ l)/2 különböző ágra bomlott volna fel, melyek mindegyike „ í = 1/2 spinű kvázirészecske- ként” értelmezhető.

Mint már mondottuk, a spin figyelembevételével az eloszlásfüggvény « (p ) mátrixszá, vagyis a spinváltozókra ható operátorrá válik. Explicit alakban ezt az operátort n jfo ) hermitikus sűrűségmátrixnak írjuk; « és fi spinindexek, melyek a ± 1/2 értékeket vehetik fel. A diagonális elemek az adott spinállású kvázirészecskék számát adják. Ezért a normálási feltételt most

alakban írjuk (az Sp szimbólum a mátrix spinindexei szerinti nyomképzést jelenti).2A spinváltozókban az é energia is általában operátor. Definícióját a következő

képpen pontosíthatjuk:

Ha az eloszlásfüggvény és az energia spinfüggetlen, azaz és egyaránt az egységmátrixszal arányosak:

akkor az (1,2)—(1,3) összefüggésekben a nyomképzés egyszerűen 2-vel való szorzást jelent:

Egyszerűen belátható, hogy statisztikus egyensúly esetén a kvázirészecskék eloszlása Fermi-eloszlást követ, amelyben az energia szerepét az (1,3) összefüggésből meg-

(»,2)

(1,4)

1 Itt és a továbbiakban mindenütt, a kétszer ismétlődő indexekre, szokás szerint, összegezünk.

I .§. ELEMI GERJESZTÉSEK A KVANTUMOS FERMI-FOLYADÉKBAN 15

határozott é játssza. Ugyanis a folyadék és az ideális Fermi-gáz energiaszintjei osztályozásának egybeesése azt eredményezi, hogy a folyadék S entrópiáját ugyanaz a kombinatorikai összefüggés határozza meg, mint a gázét (1. V. 55. §):

-p- = —Sp j*{/}In >3—(1 —/})ln (I — ft)}dr. ( 1,6)

E kifejezést variálva a részecskeszám és a teljes energia állandóságát kifejező

~ = Sp J öfl dx - 0, = Sp j* ébh dx — 0

mellékfeltételekkel, megkapjuk a keresett eloszlást:

* = [ ^ - “>'r+ i ] - 1, (1,7)

ahol ft a folyadék kémiai potenciálja.Ha a kvázirészecskék energiája spinfüggetlen, ugyanilyen alakú összefüggés érvé

nyes az (l,4)-ben definiált n és e mennyiségek között:

„ = i j - i . (1,8)

T = 0 hőmérsékleten a kémiai potenciál megegyezik a Fermi-felületet kijelölő határenergiával:

/*lr = o = sr = s(Pf)- 0>9)

Hangsúlyozzuk, hogy a szokásos Fermi-eloszlással mutatott formális analógia ellenére az (1,8) kifejezés nem azonos azzal: minthogy e maga is n funkcionálja, az (1,8) kifejezés szigorúan véve n bonyolult, implicit meghatározását nyújtja.

Térjünk vissza ahhoz a feltevéshez, hogy a kvázirészecskéhez meghatározott impulzus rendelhető. E feltétel teljesülése megköveteli, hogy az impulzus határozatlansága (amely a kvázirészecske szabad úthosszának végességével kapcsolatos) ne csak az impulzus abszolút értékéhez képest, hanem az eloszlás Ap „elkentségéhez” képest is kicsi legyen abban a tartományban, ahol az lényegesen eltér az alábbi „lépcsős függvénytől” :*

e(P).S(rt = í ' ' p" pr- d.io)10, ha p >/?F.

* A továbbiak szempontjából hasznos megjegyezni, hogy

0’(p) = - ő ( p - p f ).

Ugyanis ezen egyenlőség mindkét oldala ugyanazt az eredményt adja (az egységet), ha integráljuk tetszőleges, a p ~ p f pontot tartalmazó tartományra.

Könnyű belátni, hogy ez a feltétel teljesül, ha az «(p) eloszlás csak a Fej mi-felülethez közeli kis tartományban tér el (l,10)-től. Ugyanis a Pauli-elv értelmében a kvázirészecskék csak az eloszlás elkentségének tartományában szóródhatnak egymáson, miközben a szórási folyamat eredményeként átmennek ugyané tartomány be nem töl-

kvázirészecske impulzusának határozatlansága is. Ebből világos, hogy elég kis /íp-re az impulzus határozatlansága nemcsak pF-hez, de Ap-hez képest is kicsiny.

Végeredményben a bemutatásra kerülő módszer csak a folyadék olyan gerjesztett állapotaira alkalmazható, amelyekben az eloszlásfüggvény eltérése a lépcsős függvénytől csak a Fermi-felület keskeny szomszédságában számottevő'. Speciálisan a termodinamikailag stabil eloszlásokra csak az elegendően alacsony hőmérsékletek megengedettek. Az egyensúlyi eloszlás elkentséai tartományának energia beli szélessége T nagyságrendű. A kvázirészecskék energiájának kvantumos eredetű határozatlansága, amely az ütközésekből származik, hjr nagyságrendű, ahol x a részecskék átlagos szabad futási ideje. így az elmélet alkalmazhatósági feltétele:

így (1,11) nyilván teljesül, ha T — 0. Folyadékban, ahol a részecskék közötti kölcsönhatás nem gyenge, minden energiaparaméter nagyságrendileg £f-fel megegyező; ennek alapján az (1,11) feltétel ekvivalens az | eF| T feltétellel.4

A ( T = 0 hőmérsékleten) lépcsős eloszláshoz közeli eloszlások esetén első közelítésben az e funkcionált helyettesíthetjük az «(p) = 6(p) eloszlással kiszámított értékével. Ekkor e az impulzus egyértelműen meghatározott függvényévé válik, és az (1,7) képlet átmegy a szokásos Fermi-eloszlásba.

E közelítésben a Fermi-gömb felülete közelében, ahol az e(p) függvénynek közvetlen fizikai jelentése van, azt p —pF hatványai szerinti sorba fejthetjük. Érvényes az

tött állapotaiba. Ezért az ütközés valószínűsége arányos e tartomány szélességének négyzetével. így arányos (A p f-tel az energia határozatlansága is, majd ennek révén a

h i t « T. (1, 11)

e - e F % vF( p - p F) (U2)Összefüggés, ahol

de(1,13)

4 Folyékony 3He-ra az elmélet számszerű alkalmazhatóságának tartománya a kísérletek bizony- ■sága szerint a T < 0,1 K hőmérsékletekre korlátozódik (eközben | er [ 2,5 K).

l.§ . ELEMI GERJESZTÉSEK A KVANTUMOS FERMl-FOLYADÉKBAN 17

a kvázirészecskék „sebessége” a Fermi-felületen, Ideális Fermi-gázban a kvázirészecskék megegyeznek a valódiakkal, és e = p2/2m, amiből vF = pFjm. Ezzel analóg módon a Fermi-folyadékra is bevezethető az

tömegdimenziójű mennyiség, amelyet a kvázirészecske ejfektív tömegének nevezünk; ez a mennyiség pozitív (1. a 2. § végét).

A most bevezetett mennyiségekkel az elmélet alkalmazhatósági feltételét T<k vFpF alakban írhatjuk, miközben nem felejtjük el, hogy reális jelentése csak olyan p im- pulzusú kvázi részecskéknek van, melyekre \p —pF\ <sr pF. F.z utóbbit még egyszer hangsúlyozzuk, és megjegyezzük, hogy e körülmény különösen nem magától értetődővé teszi a pF és a folyadék sűrűsége közötti ( 1, 1) összefüggést, mivel annak szemléletes levezetése (Fermi-gázra) nemcsak annak felületéhez közeli állapotokat, hanem az egész Fermi-gömböt betöltő részecskék feltételezésén alapul.5

Az eíTektív tömeg, többek között, meghatározza az S' entrópia és a C fajhő viselkedését alacsony hőmérsékleten. Ezeket az ideális gázra levezetett képletek adják meg (V. 5Í?.§), amelyben a részecske m tömegét az efFektív m* tömeggel helyettesítettük:

(minthogy F-től lineárisan függenek, S' és C megegyezik). Ugyanis az entrópia (1,6) alakú függése az n(p) eloszlásfüggvénytől azonos a folyadékra és a gázra. Az ott szereplő integrál kiszámításában csak a p ^ pF tartomány lényeges, ahol a folyadék kvázirészecskéinek és a gáz részecskéinek eloszlását ugyanaz az ( 1,8) kifejezés adja.®

Az elmélet kifejtésének folytatása előtt még a következő észrevételt tesszük. Bár a Fermi-folyadék kvázi részecskéit bevezető módszer, amely a valódi részecskékkel való teljes analógián alapszik, a legalkalmasabb az elmélet rendszerezett kiépítésére, van azonban egy hátránya. Nevezetesen az, hogy szerepel benne a teljesen betöltött és megfigyelhető Fermi-gömb fogalma. Ezt a hiányosságot megszüntethetjük, ha olyan megfogalmazást használunk, amelyben az elemi gerjesztések csak nemzérus hőmérsékleten jelennek meg. E képben az elemi gerjesztéseknek a Fermi-gömbön kívüli kvázirészecskék és az azon belüli „lyukak” felelnek meg. Az elsőhöz [az (1,12) képletnek megfelelő közelítésben] e = vF(p —pF), az utóbbihoz s = vF(pF—p) energia tartozik. Mindkét típusú objektum statisztikus eloszlását a Fermi-eloszlás képlete

* (1,1) bizonyítási bonyolultabb m itenutikai eljárást igényel, amit a 20.§-ban mutatunk, be.6 Folyékony 3He-ra (zérus nyomáson): pF/h — 0,8-10* c m -1; m* = 3,1 m (’He); pF-et a folyadék

sűrűségéből, m*-ot a fajhőből határozhatjuk meg.

m* = Pflvp, (1,14)

(1,15)

2 S ta tisz tikus fizika 2. rfcsz

18 I. FEJEZET. A NORMÁLIS FÉRMI-FOLYADÉK

adja meg, melyben a kémiai potenciál értéke zérus. Ez annak felel meg, hogy az elemi gerjesztések száma nem állandó, hanem azt is a hőmérséklet határozza meg:7

n = [<*/*'+ I]” 1. (1,16)

E képben az elemi gerjesztések párosával keletkeznek, vagy tűnnek el, így a p > p f , illetve a p < p F impulzusú gerjesztések száma mindig azonos.

Megjegyezzük még, hogy az elemi gerjesztéseknek ez utóbbi definíciója esetén energiájuk mindig pozitív: ugyanis ez éppen az az energiatöbblet, amellyel a gerjesztett állapot az alapállapothoz képest rendelkezik. A kvázirészecskéknek az (1,3) képlettel meghatározott energiája pozitív és negatív egyaránt lehet.

Mi több, zérus hőmérsékleten és nyomáson a folyadék eP = [i kémiai potenciálja kétségkívül negatív, így negatívok az gf -hez közeli « energiaértékek is. Ez abból következik, hogy T = 0 é s P = 0 esetén a — p mennyiség az egy részecskére vonatkoztatott párolgáshővel egyezik meg, ami pozitív mennyiség.

2. §. A kvázirészecskék kölcsönhatása

A kvázirészecskék energiája megváltozik eloszlásfüggvényük változásakor, mivel ez az energia ennek a függvénynek a funkcionálja. Az (1,10) lépcsős függvénytől való kis Ön eltérés esetén az energia megváltozása

ófio Kp) = J f«y, /»a(p, p') öns,,(p') dz' (2,1)

alakú, amit szimbolikusabb jelöléssel a

óé(p) = Sp' J / ( p , p') ón(p') dx'

formában is írhatunk, ahol Sp' a p' impulzushoz tartozó spinindexek szerinti nyom képzését jelenti. Az/függvényt a kvázirészecskék kö lcsönha tási fü g g vé n yé n e k is hívhatjuk (Fermi-gázban / = 0). Ez — definíciójának megfelelően — a folyadék energiájának a részecskeelcszlás szerinti második funkcionálderiváltja, és így a p és p'

7 Emlékeztetünk (V. 63. §), hogy ilyen feltételek mellett a kvázirészecskék Nlc S2ámát a termodinamikai egyensúly feltételéből határozhatjuk meg — az F szabad energiát mint függvényét minimalizálva adott hőmérsékleten és térfogaton: (dF/dNk,)Ti v = 0. Ez a derivált éppen a „kvázirészecskék kémiai potenciáljának” definíciója (amit nem szabad összetéveszteni a folyadék fi kémiai potenciáljával; ez utóbbit a szabad energiának a valódi részecskék száma szerinti deriváltja definiálja).

változókban, valamint a megfelelő spinindexpárokban szimmetrikus:

U y. P') = /y*. P)- (2,2)

A (2,1) megváltozás figyelembevételével a Fermi-gömb felületéhez közeli kvázirészecskék energiájának megváltozását a következő összeg adja:

í(p ) - eF =; vf ( p - p F)+ Sp' J / ( p, p') ÖA(V') dz'. (2,3)

A (2,3) képlet második tagja termodinamikai egyensúlyi eloszlásokra megadja a kvázirészecske energiájának hőmérsékletfüggését. A étY eltérés csak a Fermi-gömb felületéhez közeli p' értékek alkotta vékony rétegben észrevehető, és ugyanebben a rétegben helyezkednek el a reális kvázirészecskék p impulzusai is. A (2,1), (2,3) képletekben ezért helyettesíthető az /(p , p') függvény a felületen felvett értékével, azaz p — p‘ — pF írható, ami azt jelenti, hogy/csak p és p' irányától függ.

Az/függvény spinfüggését egyrészt relativiszlikus hatások (spin—spin és spin - pálya kölcsönhatások), másrészt a kicserélési kölcsönhatás okozzák. Közülük az utóbbi a lényegesebb. Figyelembevételével a kvázirészecskék kölcsönhatási függvénye (a Fermi- felületen)

§ J / ( p, p') = m + < m (2,4)

2. §. A KVÁZIRÉSZECSKÉK KÖLCSÖNHATÁSA 19

alakba írható, ahol a és o' a (p-nek, ill. p'-nek) megfelelő spinindexekre ható Pauli- mátrixokat jelöli, F ésG pedig a p és p' közti & szög függvénye.8 A kölcsönhatási függvény fenti alakja a kicserélési kölcsönhatás jellemző tulajdonsága: független a rendszer teljes impulzusmomentumának térbeli helyzetétől, így a két spin operátora csak skalárszoizatként jelenhet meg benne. A (2,4)-ben definiált F és G függvények di- menziótlanok. Az ennek érdekében (2,4) bal oldalán bevezetett tényező az egységnyi energiatartományba eső kvázirészecskék számát adja meg a Fermi-felületen:

r(eF) ~2 dxde

2-4ntfpT 'h W m

vagy

Vfpptn\ji-fi*

(2,5)

* Explicit mátrix írásmódban:

(2,4a)

20 I. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADF.K

Minthogy a Pauli-mátrixok nyoma zérus, így az Sp' művelet képzése után (2,4) második tagja eltűnik, tehát S p '/ már nem függ o-tól. Hasonló spinfüggetlenség mutatható ki a spin—spin és spin—pálya csatolásnak a kölcsönhatási függvénybe adott járulékáról. Ugyanis az Sp/skalárfüggvény a spint csak s(pXp') alakban tartalmazhatná, amely két axiális vektor: s és pX p' skalárszorzata (az s-ben kvadratikus tagokat nem kell külön tekinteni, ugyanis 1 /2 spin esetén azok a lineáris taggal kifejez- hetó'k). Ez a szorzat azonban nem invariáns az időtükrözéssel szemben, így az S p '/ invariánsban nem fordulhat elő'.

A továbbiak szempontjából alkalmas jelölést vezetünk be:

(2,4)-bőI

/*•/, frÍP, p') = W ( p , p'), f - J Sp Sp’/ (2,6)

^ - - m = 2 m (2,7)

adódik.A kvázirészecskék kölcsönhatási függvénye a Galilei-relativilási elvből következő

integrálösszcfüggcsnck tesz eleget. Az elv azonnali következménye, hogy a folyadék térfogategységének impulzusa megegyezik a tömegáram sűrűségével. A kvázirészecskék sebessége 3f/9p, tehát a kvázirészecskék áramát a következő integrál adja:

Sp J „Sp | n ~ dx.1 öp

Minthogy a folyadék kvázirészeeskéinek száma megegyezik a valódi részecskékével, világos, hogy a kvázirészecskék teljes tömegtranszportját úgy kapjuk meg, hogy a kvázirészecskék áramát megszorozzuk a valódi részecskék m tömegével. így a következő egyenlőséget kapjuk:

) J p ndx = Sp j* iSp | pndx = Sp | m ^ « dr. (2,8)

Ebbe behelyettesítve az nxf> = nöap és az i;xji = eÖxjí kifejezéseket, képezzük (2,8) mindkét oldalának első variációját. Felhasználva (2,1 )-et és a (2,6)-ban bevezetett /jelö lést, azt kapjuk, hogy

2. §. A KVÁZIRÉSZECSKÉK KÖLCSÖNHATÁSA 21

ahol «' = n(p') (a második integrálban megváltoztattuk a változók jelölését és parciálisán integráltunk), ön tetszó'legessége miatt a várt integrál-összefüggés:

<2'»Az

« (p ') = ö(p ')

eloszlásra a on'jdp1 derivált delta-függvény lesz:

^ £ L = (2, 10)

e(p)-t ( l ,12)-ből (2,9)-be helyettesítve, majd a p = pn vektort a Fermi-felületen mindenütt = />fn-nel helyettesítve, végül az egyenlőség mindkét oldalát pF-fel szorozva, a valódi részecskék m tömege és a kvázirészecskék m cffektív tömege között kapunk összefüggést

L = W + ( á ? j m c“ 9 da'- « " >

ahol dQ' a p' vektor körüli iérszögelem. H a /(0 ) (2,7) szerinti alakját helyettesítjük ebbe az összefüggésbe, akkor az egyenlőség az

- — = 1 + /-(0)"cos 0 (2, 12)in

alakot ölti, ahol a felülvonás az irányok szerinti átlagolás műveletét jelöli (integrálás d íljA n — sin ■& d$j2 szerint).

Számítsuk még ki a Fermi-fclyadék kompresszibilitását (abszolút nulla hőmérsékleten), azaz az w2 — dPjdq mennyiséget.9 A folyadék sűrűsége g — m N j\, így

V2 dP U ~ mN ~dV *

A derivált kiszámításához célszerű azt a kémiai potenciál deriváltjával kifejezni. Figyelembe véve, hogy a derivált JV-től és F-től csak az N /V kombináción keresztül

9 T = 0 esetén S = 0 is fennáll, ezcrt nem teszünk különbséget az izotermikus és az adiabatikus kompresszibilitás között. Az u mennyiséget a folyadékbeli hangsebesség ismertnek feltételezett kifejezésével adtuk meg. Azonban figyelembe kell venni, hogy T — 0 hőmérsékleten a szokványos értelemben hang nem terjedhet a Fermi-folyadékban (1. 4. §).

függhet, valamint azt, hogy T = const — 0 esetén dp, = VdPjN, azt kapjuk, hogy

dp _ V dp _ _ V"- SP 8N ~ N dV ~ ÍV3 dV ’

tehát

- f e - (2,13)m dN

Mivel (i — eF, ha T - 0, így a dfi megváltozás kapcsolata a részecskeszám ÓN megváltozásával a következő:


- PÖfi = | / (Pf, p') ón' dr' + öpF. (2,14)

A kifejezés első tagja azt a változást adja meg, amelyet az eloszlásfüggvény okoz. A második tag annak következtében jelenik meg, hogy a teljes részecskeszám változása megváltoztatja a pp határimpulzus értékét is: (1,1) értelmében fennáll a ÖN = = VpldppjrW összefüggés. Mivel brí csak p' m p F körül tér el nullától észrevehetően, ezért az integrálban / argumentumába a Fermi-impulzust beírva,

| fő n ' ér' % - j f d & j ön' 2~ - = ~ 4 r t f őN4nV *

Ezt a kifejezést a (2,14) képletbe helyettesítve és a deFjdpF — pFlm* összefüggés alapján bevezetve w*-ot, azt kapjuk, hogy

8u f nVí*T N = W + p7ini V ' (2,15)

Végül l/m *-ol (2,1 l)-ből kifejezve és újból felhasználva (!,l)-et, a végeredmény a következő:

\ f m ' c° s t ) d a - (2' l6)

A z /(#) függvényt (2,7)-ből véve, (2,12) felhasználásával az előző kifejezés

"2 = l £ & ~ V + W ) ) (2>1?)

alakra hozható.

3. §. A FERMI-FOLYADÉK MÁGNESES SZUSZCEPT1BILITÁSA 23

Az / függvény kielégít bizonyos feltételeket, melyek az alapállapot stabilitásának követelményéből származnak. Eszerint a Fér mi-gömb belsejében a kvázirészecskék összes állapotának betöltöttnek kell lennie, és az alapállapot energiája a gömb tetszőlegesen kicsiny deformációjával szemben minimális kell, hogy legyen. A számítások részletezése nélkül, csak a végeredményt mutatjuk be,10 Ezt célszerű oly módon megfogalmazni, hogy a (2,4)-beli F($) és G(ö) függvényeket Legendre-polinomok szerint sorba fejtjük, azaz

F(-Ö) = £ ( 2 / + 1) m i cos 0), <?0?) = £ ( 2 /+ 0 GiPt(cos 0) (2,18)

módon írjak fel őket (az F, és G, együtthatók e definíció esetén éppen az t ’Plt illetve GPt mennyiségek átlagértékét adják). Ezek után a stabilitási feltételeket az

alakban fogalmazhatjuk meg. A (2,19) egyenlőtlenséget 1 = 1 esetén összehasonlítva az e/Tektív tömeg (2,12) kifejezésével, meggyőződhetünk annak pozitív voltáról. Ha / = 0, akkor (2,19) a (2,17) kifejezés pozitivitását biztosítja.11

A nemzérus spinű kvázirészecskének mágneses momentuma is van. Feles spinre ennek operátora /?<? alakú (a mágneses momentum z-vetületénck lehetséges értékei ±/S). A 2fijh állandó, amely a kvázirészecskék mágneses momentumának és hj2 impulzusmomentumának hányadosa, megegyezik a valódi részecskék ilyen jellemzőjének értékével: nyilvánvaló ugyanis, hogy ez a viszony nem változhat, akárhogyan rendezzük is át a valódi részek spinjeit a kvázirészecskék spinjeivé.

A kvázirészecskék mágneses momentuma okozza a folyadék paramágneses tulajdonságait. Számítsuk ki az ennek megfelelő mágneses szuszceptibilitást.

10 L. /. Ja, Pomerancsuk, ZSETF 35, 524 (1958).11 / = 1 esetén érvényes az f i > G, egyenlőtlenség is. Bizonyítását 1. A. J. Legget, Ann. o f Phys.

<N. Y.) 46, 76 (.1968).

Fi+ 1 0,

Gt-\-1 >■ 0(2.19)

(2.20)

3. §. A Fermi-folyadék mágneses szuszceptibilitása

„Szabad” kvázirészecske többletenergiája H külső mágneses térben —/foH lenne. Fermi-folyadék esetében fontos annak figyelembevétele, hogy a kvázirészecskék energiája, kölcsönhatásuk miatt, attól is változik, hogy mágneses térben megváltozik a részecskék eloszlásfüggvénye. Ezért a kvázirészecske energiája megváltozásának operátorát a szuszceptibilitás kiszámításához

óé = — /?aH+Sp' j / ö n dz1 (3,1)

alakba írhatjuk. Az eloszlásfüggvény megváltozását kifejezhetjük az energia megváltozásával a ön = (Gn/8e) ól összefüggés alapján;12 így ől-ra a

Ó!(p) = ~/?oH +Sp' J / ( p , p ' ) ~ óé(p') dz' (3,2)

egyenletet kapjuk.Az alábbiakban számunkra elegendő ennek az egyenletnek a megoldása a Feimi-

gömb felületén. Keressük ezt

óé = —~ g a tí (3,3)


alakban, ahol g állandó mennyiség. Ha «(p') = 6(p') (lépcsős függ\ény), akkor

ami miatt a dp' = ds'jvF integrál egyszeiűcn az integrancusnak a Fetmi-felülcíen felvett értékével egyezik meg. A z/függvényt (2,4)-t.e helyettesítve, majd észie\é\e a Pauli-mátrixokra vonatkozó

Sp o = 0, Sp'(ao') o ' = - j o Sp' o 'o ' = 2c

11A á/í megváltozás külső tértől való függésének számításakor a kémiai potenciál megváltozását figyelmen kivül lehet hagyni. A fi makroszkopikus mennyiség megváltozása izotrop folyadékban a H tért 61 csak négyzetesen függhet (H a szuszceptibilitás számításában kicsiny mennyiség), ugyanakkor6 i a külső térben elsőrendű kicsinységíi. Megjegyezzük még, hogy a folyadék mágneses szuszceptibilitás ának kicsinysége miatt itt nem szükséges különbséget tennünk a térerősség és a mágneses indukció vektora között.

egyenlőségeket, adódik, hogy g = 2—gG(fi), amiből

Í = (3'4)

itt a vonás csakúgy, mint (2, 12)-ben, az irányokra vonatkozó átlagolásnak felei meg.A % szuszceptibilitást a folyadék egységnyi térfogatára vonatkoztatott mágneses

momentum k ifejezéséből határozzuk meg:

•/H = Sp j* o öü dx = fi Sp J a ős dx,

ami a lépcsős függvény alakú «(p)-vel való integrálás után a

alakot ölti. Ebbe a (3,3) és (3,4) képleteket behelyettesítve és felhasználva az Sp(oH)o= = 2H összefüggést, azt kapjuk, hogy

3#>1 n W (l+ G ) ~ ?t2( l+ Ö ) ’ K ' }

ahol y a lineáris hővezetés (1,15) kifejezésében előforduló együttható. % — 3yfi2/n2 a fi mágneses momentumú részecskékből álló elfajult Fermi-gáz szuszceptibilitása [1. V.(59,5)]. Az ( l+ G )-1 tényező fejezi ki a Fermi-folyadék és a Fermi-gáz közötti eltérést.13

Megjegyezzük, hogy l — Q esetén a (2,20) stabilitási feltétel % pozitivitásának feltételét adja.

4. §. A ZÉRUSHANG 25

4. §. A zérushang

A Fermi-folyadék nemegyensúlyi állapotait az jellemzi, hogy a kvázirészecskék eloszlásfüggvénye nemcsak az impulzusoktól, hanem a koordinátáktól és az időtől is függ. Az jí(p, r, t) függvények

- J = S t A (4,1)

I,8He-ra: G x > - 2/3.


alakú kinetikus egyenletet elégítenek ki, ahol St n az úgynevezett ütközési integrál,* amely megadja, hogy egy kiszemelt fázistérfogat-elemben a részecskék egymás közti ütközése folytán mennyivel változik meg azok száma.11

A (4,l)-ben szereplő teljes derivált tartalmazza az fi operátor explicit í-függését csakúgy, mint a koordinátáknak, impulzusoknak, spinváltozóknak a mozgásegyenletek szerinti megváltozásával létrejövő implicit időfüggést. A Fermi-folyadék sajátossága abban áll, hogy a kvázirészecske energiájának az eloszlásfüggvénytől való funkcionális függése eredményeként inhomogén folyadékban nemcsak fi, hanem vele é is függ a koordinátáktól.

Az h0 egyensúlyi eloszlástól csak enyhén eltérő h eloszlásokra írható, hogy

A kvázirészecske energiája e = s„+ ő i, ahol t 0 az egyensúlyi eloszláshoz tartozó energia, ől-t pedig a (2,1) kifejezés adja meg. így

Ha külső mágneses tér nem hat, akkor e0 és n0 spinfüggetlen mennyiségek. fi explicit időfüggését áriját-ben a

dd _ döfj dl ~ dt

tag veszi figyelembe. A koordináta- és impulzusfüggés a következő tagokat adja:

A kvázirészecske Hamilton-függvényének szerepét í energiája játssza. A Ha miit on- egyenletek tehát

* Megjegyzés. A jelölés a német stofien szóból ered.11 Ennek a szakasznak a tartalma feltételezi a kinetikus egyenlet fogalmának ismeretét, és mint

ilyen, kívül esik e kötet témakörén. Azonban a kinetikus egyenlet (és annak a jelen és a következő szakaszokbeli alkalmazásainak) elhagyásával a Fermi-folyadékok elméletét csak hiányosan lehetne megfogalmazni. Számunkra elegendő az egyenlet ütközési tag nélküli alakja; az ütközési integrál konkrét alakjával kapcsolatos kérdéseket egy másik, a fizikai kinetikával foglalkozó kötetben kívánjuk tárgyalni

/i(p, r. t) ~ ».j(pH á/i(p, r, t). (4,2)

dfi t 5/3 í

alakúak. így az előző járulékot, a á/}-ben lineáris tagokra korlátozódva,

dón deo dm dÖé dr dp dp dr

alakban írhatjuk fel. Végül az n függvénynek mint a spinváltozókra ható operátornak az időfüggését a kvantummechanika általános szabályai szerint az

j {é, »} (4,4)

kommutátor adja. Ha e0 és n0 spinfüggetlenek, akkor e mennyiségben ön-ben lineáris tagok nincsenek.

A fent leírt tagokat összegyűjtve, végül a következő egyenletre ju tunk:

dőft de<> döfi dóé dn0 _ , ,.-5r + -sr's - ' - e r " e r = Stíi- (4,5)

Mielőtt a transzportegyenletet bármire is használnánk, célszerű megállapítani alkalmazhatóságának korlátait. Mivel (a helyvektorban és impulzusban) klasszikus egyenleteket használtunk, ezzel feltételeztük, hogy a kvázirészecskék mozgása kvázi- klasszikus. Ez a feltevés lényegében már benne van a folyadéknak olyan eloszlásfüggvénnyel való leírásában, amely egyszerre függvénye a helynek és az impulzusnak. A kváziklasszikusság feltétele az, hogy a kvázirészecskék hjpP de Broglie-hullám- hossza jóval kisebb legyen annál a jellemző L hosszúságnál, amelyen az n függvény lényegesen megváltozik. L helyett az inhomogenitás k ~ 1/L „hullámvektorát” bevezetve, ezt a feltételt

fik <k pF (4,6)

alakban írjuk fel.15 Az eloszlásfüggvény megváltozásának adott k mellett létrejövő frekvenciája co ~ vFk nagyságrendű, és automatikusan kielégiti a

fto) <sc t F (4,7)

feltételt. ha> és a T hőmérséklet viszonya tetszőleges lehet. Ha Ho> T, akkor az eloszlásfüggvény elkentségi tartományának szélessége ftco nagyságú; ekkor (4,7) az egész elmélet alkalmazhatósága szempontjából lényeges feltétellé válik, amely bizto

15 Az (1,1) dsfimció szerint, A/pf nagyságrendje az atornközi távolságokéval egyezik, így a (4,6) feltétel igen gyenge.

sítja, hogy a kvázirészecske energiájának (az ütközésekből származó) kvantumbizonytalansága jóval kisebb fo-nál.

Alkalmazzuk mindezen megjegyzések után a transzportegyenletet a Fermi-folyadék rezgőmozgásainak vizsgálatára.

Alacsony, de zérustól különböző hőmérsékleten a Fermi-folyadék ban a kvázirészecskék kölcsönösen ütköznek, és ennek során szabad futási idejük r ~ T ~2 szerint változik. A folyadékban terjedő hullámok jellege lényegesen függ az coz mennyiség értékétől.

Ha ű ) t « l (ami lényegében ekvivalens azzal, hogy a kvázirészecske / szabad út- hossza kicsiny a A hullámhosszhoz képest), akkor az ütközések révén a folyadék bármely A-hoz képest kis méretű térfogatában visszaáll a termikus egyensúly. Ez azt jelenti, hogy a szokásos hidrodinamikai hanghullámok jönnek létre, melyek terjedési sebességei = j/öP/9g. A z on <k 1 esetben a hanghullámok kevéssé abszorbeálódnak, de (üt növekedésével az elnyelődés mértéke nő, és coz ~ 1 körül olyan erőssé válik, hogy a hanghullámok nem képesek tovaterjedni.10

Tovább növelve cor-1, az wr » 1 tartományban újra lehetővé válik a hullám terjedése, de ennek a korábbitól lényegesen eltérő tulajdonságai vannak. E rezgések szempontjából az ütközések lényegtelenek, a kis térfcgatelemekben nem alakul ki a termikus egyensúly. A folyamatot úgy tekinthetjük, mintha az abszolút zérus hőmérsékletű pontban következne be. Ezeket a hullámokat hívják zérushangnak.

A fentieknek megfelelően, a>z 1 esetén a transzportegyenletben az ütközési integrál elhanyagolható, ekkor

döfi 6őü dn0 dóé8 T + ’ - e r - ' s r " 5 r = 0, <4-8)

ahol v = de/dp a kvázirészecskéknek az e perturbálatlan energia segítségével számított sebessége ( y = vFn, ahol n a p irányba mutató egységvektor); e mellől a 0 indexet itt és később is elhagyjuk.

T = 0-ra az n0 eloszlás lépcsős függvényt alkot [0(p% a függvény levágása a p = pF pontban következik be. Differenciálhányadosa

- - ^ - = ~ n b { p - p F) = ~ v ö (s -e F).

18 cor « 1 esetén a hangelnyelés együtthatója y ~ a>5í?/gtt3, ahol rj a folyadék viszkozitása. Nagyságrendi becslés céljára írhatjuk, hogy u ~ rj/o ~ vr l ~ v\x, ahol v y a kvázirészecske (hőmérséklettől független) sebessége. így t) <x> 7'” * (/. Ja. Pomerancsuk, 1950). Ezzel yujio ~ íot oijT2 adódik.

4.§. A ZÉRUSHANG 29

Feltéve, hogy 5/} teljes idő- és helyfüggését egy tényező adja, a transzportegyenlet megoldását

alakban keressük. Ekkor a (4,8) egyenlet a következőképpen alakítható át (öáe/őr-et(4,3)-ból véve):

ahol n és n' a p és p' vektorok irányába mutató egységvektorok, az integrálás n' lehetséges irányaira történik.

Vizsgáljuk azokat a rezgéseket (a zérushangot), amelyek nem érintik a folyadék spinnel kapcsolatos tulajdonságait. Ez azt jelenti, hogy nemcsak az egyensúlyi eloszlásfüggvény spinfüggetlen, hanem annak ön „perturbációja” is. E hullámban a rezgések során jelentkező eloszlásfüggvény-változás a Fermi-felület határrétegének deformációjává egyszerűsödik (itt a perturbálatlan állapotok alkotják a gömböt). Az elváltozás során a betöltött és betöltetlen nívók éles határfelülete továbbra is a Fermi- felület marad. A i’(n) függvény azon eltolódás mértékét adja (energiaegységekben), amellyel ez a felület adott n irányban elmozdul.

Mivel v(n') nemfüggaspinváltozóktól, így(4,10)-benazSp' műveletet egyedül /-re kell alkalmazni. Ez utóbbit (2,4) alakjában írjuk fel, és belőle S p '/= (2nW /pFm*)F('&). így a o operátor végleg kiesik az egyenletből, amelynek alakja

Válasszuk a k irányt a gömbi polártengelynek, és az n irányt jellemezzék a 0 és jk sebességét, és az s = u JvF jelölést, a kapott egyenlet a következő:

Ez az integrálegyenlet elvben meghatározza a hullámok terjedésének sebességét és a (4,12)-ben szereplő r(n') kifejezést. Azonnal meg is jegyezzük, hogy csillapítatlan rezgésekre (és valójában ezek érdekelnek bennünket) az s mennyiség egynél nagyobb, tehát fennáll az

Öfi = Ő(e—eF) í(n)

(m - vF nk) í(n) = nk Sp' í / ( n , n') í(n') d íi\ (4,10)

(4,13)

30 1. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

egyenlőtlenség. Ennek az egyenlőtlenségnek úgy érthetjük meg az eredetét, ha (4,12)-t átalakítjuk:

ahol v helyett egy másik, v — (s — cos d) v függvényt vezetünk be. H as = u>jkvF < 1, akkor az integrandusnak a cos 0’ — s pontban pólusa van. Az integrálnak úgy adunk határozott értéket, ha a komplex cos Ő' változó síkjában a pólust meghatározott módon kerüljük meg. A megkerülés során elhagyjuk a valós tengelyt, és így az integrálnak a képzetes része alakul ki. Ennek következtében (adott valós /c-ra) az co frekvenciának is képzetes része lesz, ami csillapodó hullámokra utal. A ccs 0 = u0/vr egyenlőség (ami a pólusnak felel meg) annak feltétele, hogy a kvázirészecskék a zérushangot Cserenkov-sugárzásként bocsássák ki.17

Példaként tekintsük azt az esetet, amikor F(&) = F0 állandó. (4,12) jobb oldalán az integrál ekkor független 9-től és <p-től. így a keresett v függvény-

alakú. A Fermi-felület forgásfelületté válik, amely a hullám terjedésének irányában megnyújtott, az ellenkező irányban összenyomott. Ez az anizotrópia a folyadék nemegyensúlyi állapotát tükrözi minden térfogatelemben. Egyensúlyban egy folyadék összes tulajdonsága izotrop, így a Fermi-felület is gömb alakú. Az összehasonlítás kedvéért megjegyezzük, hogy a szokásos hanghullámnak oszcilláló sugarú Fermi- gömb felel meg (a pF határimpulzus a sűrűséggel együtt rezeg). Ez a Fermi-gömb egészében van eltolva a folyadék hullámbeli mozgásának sebességével összefüggő mértékben. Az ehhez tartozó v függvény v — öpF+ const -cos 0 alakú.

A zérushang w0 terjedési sebességének megállapításához (4,14)-et (4,l2)-be helyettesítjük, és azt kapjuk, hogy

Az integrálást elvégezve, %-ra implicit egyenletet kapunk adott Fft parii méterrel:

17 A csillapodásnak ezt a mechanizmusát Landau-csillapitásnak hívják; a plazmarezgésekkel kapcsolatban a X. kötetben részletesen megvizsgáljuk. Az integrál értelmezéséhez szükséges megkerülési szabályt az oj -^-tn + iO helyettesítéssel kapjuk (azaz j — í+í'O). Ez az előírás biztosítja, hogy a perturbáció minden korábbi időpillanatban (többek között /-* — <» esetén is) véges legyen.

o

A bal oldali függvény .r-nek 1-től ~-ig való változtatásakor -»-től nullára csökken, de mindig pozitív. Ebből következik, hogy a vizsgált hullámok csak F0 >• O-ra létezhetnek. Hangsúlyozzuk, hogy emiatt a zémshang terjedhetősége a kvázirészecskék Fermi- folyadékbeli kölcsönhatásának tulajdonságaitól függ.

F0 - 0 esetén (4,15)-ből azt kapjuk, hogy s a következő törvény szerint tart 1-hez:

s— 1 » 2e~'i,F« (4,16)

Ennek az érvényessége általánosabb a (4,15) képletnél (az ugyanis feltételezi, hogy F(ti) — const = F0): ez írja le tetszőleges F(ti) mellett a majdnem ideális Fermi-gáz- beli zérushangot. Valóban, majdnem ideális Fcrnii-gázról akkor van szó, ha F(ti) abszolút értéke kicsi. (4,12)-ből látszik, hogy ekkor s közel lesz az egységhez, a v függvény viszont csak zérushoz közeli szögekre különbözik nullától. Ezen az alapon csak kis szögekre korlátozódva, a (4,12) bal oldalán levő integrálban F{ti)-1 a ti = O-ra felvett értékével helyettesíthetjük (0 = 0 és Q' = 0 esetén ti is nulla). Ezzel a közelítéssel újra a (4,14) és (4,16) képletekre juíunk, F0-t F(0)-ra cserélve.18 Megjegyezzük, hogy majdnem ideális gázban a zérushang sebessége j/3-szorosa a normális hangnak, ugyanis az előbbire u0 v F, az utóbbira pedig a (2,17) képlet h o l (F -t elhanyagolva., és w*-ot m-mel helyettesítve) u2 p2Fj3m*2 = w^/3 adódik.

Tetszőleges F(ti) esetén a (4,12) egyenlet megoldása nem egyértelmű. Ez elvben különböző típusú zérushangok létezését engedi meg. Ezek a v(d, <p) amplitúdó szögeloszlásában különböznek egymástól, valamint eltérő sebességgel terjednek. Többek között a tcngelyszimmelrikus v(0) megoldások mellett aszimmetrikusak is vannak, melyek e±lmip szorzótényezőt tartalmaznak, ahol m egész szám (1. a feladatot). Megjegyezzük, hogy az összes ilyen megoldásra az J vdQ integrál értéke zérus, azaz a Fermi felület belsejének térfogata időben nem változik; ez azt jelenti, hogy a megfelelő rezgések során a folyadék sűrűsége változatlan.

Az a tény, hogy a zérushang nulla hőmérsékleten is terjedhet a Fej mi-folyadékban, azt jelenti, hogy spektruma olyan ágat is tartalmazhat, amely p = hk impulzusú és e = hm = u0p energiájú elemi gerjesztésekből áll. Ezek a „zérushang kvantumai” . Az, hogy a zerushang (tetszőleges adott k-ra) tetszőleges (gyenge) intenzitású lehet, az elemi gerjesztések nyelvére lefordítva azt jelenti, hogy az utóbbiak tetszőleges számban tölthetik be kvantumállapotaikat. Más szavakkal Bose-részecskék, tehát a Fermi- folyadék spektrumának ún. Bose-ágát alkotják. Hangsúlyozzuk azonban, hogy a Landau-elméiet keretei között helytelen lenne kiszámítani az ezen ágból származó korrekciókat a Fermi-folyadék termodinamikai mennyiségeihez, mivel azok a hő-

14 A gyengén nemideális Fermi-gáz zérushattgnak megfelelő rezgéseit először Ja. L. Klimontovics és V. P. Szilin vizsgálta 1952-ben.

32 I. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK.

mérséklet magasabb hatványait tartalmazzák (F3 a fajhőre), mint a bemutatott közelítő elmélet első korrekciói.

A zérushang elnyelésének kérdése a kvázirészecskék ütközésének vizsgálatát igényli, és így nem tartozik e kötet anyagába.

Feladat

Számítsuk ki az aszimmetrikus zérushang terjedési sebességet F = F0 4- F, cos fí esetén.Megoldás. Ha

F - F0-r F,(cos 0 cos O'-hsin 0 sin 0' cos (<p-<p'),

akkor a megoldások lehetséges ?>-függésére j> ~ adódik. Ugyanis v — f ( 0 ) e l'r’-t helyettesítve (4,!2)-be, és elvégezve a dqs’ szerinti integrálást

71( j - c o s G )f — cos 0 sin 0 j sin2 0‘f {()') <W

oadódik, amiből

sin 0 cos 0v = const------------- ;— trv,,v -c o s 0

Ezt a kifejezést visszatéve az integrálegyenlctbe,

71r sin’ 0 cos 0 ... 4J - 7 ^ 5 T i T < w - 7'-Y ’0

ami meghatározza a sebesség Fr függését. Az összefüggés bal oldalán s monoton csökkenő függvénye áll. Ezért maximális értékét í = t eseten veszi fel. Ezzel az értékkel kiszámolva az integrált, azt kapjuk, hogy az aszimmetrikus hullám terjedése F, >• 6 esetén lehetséges.10

5. §. Spinhullámok a Fermi-folyadékban

Az előző szakaszban megvizsgált, spinfüggellen megoldások mellett a (4,10) egyenletnek

v = 0 [A(n) (5,1)

alakú megoldása is van, amelyben a kvázirészecskék eloszlásának megváltozása spin- függést is mutat. Ezeket sp in h u l/ám oknak nevezhetjük.

18 Folyékony :iHe-ra F0 cs Ft az ismsrt m* és u- értékekből számítható ki a (2,12) és (2,17) képletekkel: F0 = 10,K, F, = 6,3 (zérus nyomáson).

(5,l>et (4,10)~be helyettesítve, majd az/függvényt a (2,4) alakban választva, végül kihasználva, hogy Sp' a '(a o ') = 2a, azt kapjuk, hogy

( í-c o s 6) {1(6, q>) = cos 6 1 G(0) (ff) ~ (5,2)

(o-val egyszerűsítettünk). Eszerint a fx vektor minden komponensére (4,12) típusú egyenlet érvényes, ami attól csak abban különbözik, hogy F-et G-vel helyettesítettük, így a 4. §-ban alkalmazott további számítások felhasználhatók a spinhullámok esetére vonatokzóan is.M

Egy más típusú spinhullám mágneses tér alkalmazásakor terjedhet Fermi-folyadék- ban (V- P■ Szilin, 1958). Itt csak a k — 0 rezgésekkel foglalkozunk, melyekben öt3 nem függ a helytől.

H mágneses tér jelenlétében a kvázirészecskéknek a rezgésektől még nem „pertur- bált” energiája és eloszlásfüggvénye is függ a spintől. A két mennyiség spinfüggése összekapcsolható, és a következő képletekkel adható meg (1. 3. §):

to = «a(p)-/5ioH, & = 0/(1+G), (5,3)

Ao = = > 0(p) + Ö{e~ eF) fto H , (5,4)

ahol £u(p) a mágneses tér mentes rendszer energiája; a 0 index újra azt hangsúlyozza, hogy ezek a mennyiségek a folyadék egyensúlyi állapotára vonatkoznak.

Az eloszlásfüggvény kicsiny, időben változó részét újra a

öh = ö(e—sp) o (ji(b ) e~l,“

alakban keressük. A kvázirészecske energiájának ehhez tartozó megváltozása:

be = a j [*(&') G ( # ) ^

A kinetikus egyenletben most figyelembe kell venni a (4,4)-belí, az {I, fi} kommutátort tartalmazó tagot; helyfüggetlen eloszlásra az egyenlet

- ^ r + J<«.rf} = 0 (5,5)

alakot ölt.

5. §. SPINHULLÁMOK A FERMI-FOLYADÉKBAN 33

w Folyékony *He esetén G0 = G{&) c 0(1. a 14. lábjegyzetet). így ilyen hullámok terjedése e folyadékban nyilvánvalóan lehetetlen.

3 SUttallicua fUika 2. rfcz

ö/J-ben lineáris pontossággal a kommutátorra

(é, rf} = - /? i{o H , őrt}+/?i<5(e-f*){<5£, oH}

írható. Az itt szerepló' kommutátorok a

{oa, ab} = 2i‘o(aXb)

összefüggéssel értékelhetők ki, ahol a és b tetszőleges vektorok [1. III. (55,10)]; végeredményben a kinetikus egyenlet az

/co(i.(n) = [H X p(n)] (5,6)

alakba írható át, ahol bevezettük a

p(n) = |J .(n )+ | (i(n') G($) — - (5,7)

jelölést.Általános esetben az (5,6) egyenlet megoldását az Ylm(d, <p) gömbharmonikusok

szerinti sorba fejtjük ki (a polártengelyt H irányában választva). A kifejtés minden tagja meghatározott típusú, colm frekvenciájú rezgést képvisel.

Közülük az első, Wqo a ji = const tulajdonságú rezgéseknek felel meg. Ekkor p = = jjl(1 + ö ) és az (5,6) egyenlet az

<ynfeoooJJ- = y [HX |J-]

alakra egyszerűsödik. Látszik, hogy a rezgések a térre merőlegesek ({A 1 H). Az egyenletet komponensenként felírva (a H-ra merőleges sík ban) és képezve az így adódó egyenletrendszer determinánsát, megkapjuk a rezgési frekvenciát:

cooo = 2 0H/H. (5,8)

Emlékeztetünk arra, hogy /? a folyadék valódi részecskéinek mágneses momentuma, így az to0o frekvencia egyáltalán nem függ a folyadék sajátos tulajdonságaitól. Az összes többi a>lm fiekvenciát befolyásolja a G{d) függvény konkrét alakja.

34 I FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

6. §. Elfajult, majdnem ideális Fermi-gáz a részecskék közt ható taszítással

A majdnem ideális elfajult gáz termodinamikai tulajdonságainak nincs közvetlen fizikai értelme, minthogy a valóságosan létező gázok az abszolút zérus hőmérséklet közelében kondenzálódnak. Ettől függetlenül, a kérdés módszertani érdekessége miatt ésszerű egy gáz képzeletbeli modelljeként vizsgálni, amelynek részecskéi között olyan a kölcsönhatás, amely a kondenzációt megakadályozza.

A gyenge eltérés az ideális viselkedéstől azzal a feltétellel áll fenn, hogy a molekuláris erők r0 hatássugara a részecskék közti átlagos / ~ (V/N )113 távolságnál sokkal kisebb. Az r0 <k / feltétel magával vonja a

pro/fí «k 1 (6,1)

egyenlőtlenség fennállását is a részecske p impulzusára vonatkozóan. Valóban, elfajult Fermi-gáz pF hatái impulzusát az (1,1) képlettel becsüljük meg, amiből pFjft ~ ~ {N lV f* <*c l/r0.

Itt csak a részecskék párkölcsönhatását vesszük tekintetbe, és az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az U(r) kölcsönhatás spinfüggetlen. Az a célunk, hogy kiszámítsuk a termodinamikai mennyiségek r0/l hatványai szerinti sorának első néhány tagját a kvantummechanikai perturbációszámítás segítségével. Nehézséget okoz, hogy a részecskék közötti kölcsönhatási energia gyors növekedése távolságuk csökkenésével, a perturbációszámítás (az ún. Born-kÖzelités) alkalmazhatatlanságához vezet. Ezt a nehézséget azonban megkerülhetjük a következő módon.

A „lassú” ütközések határesetében [ilyen jellegűek a (6,1) feltételt kielégítők], az m tömegű részecskék kölcsönös szórási amplitúdója állandó —a határértékhez tart. Bom-közelítésben ennek kifejezését a

- « = - ÜO, Uo = J U(r) d*x (6,2)

képlet adja. Ez a határeset a részecskepár í állapotának felel meg, az a állandót szóráshossznak hívjuk.21 Mivel ez a mennyiség teljesen meghatározza az ütközés jellem*

6. §. ELFAJULT FERMI-GÁZ A RÉSZECSKÉK KÖZT HATÓ TASZÍTÁSSAL 35

“ A (6,2) kifejezés a részecskék kvantummechanikai azonosságát még nem veszi figyelembe. Azonos, 1/2 spinű részecskék lassú ütközésének határesetében a szórás csak antiparalel spinállásban mehet végbe. A tömegközépponti rendszerben mért térszögre vonatkozó differenciális hatáskeresztmetszet da = 4ű* d ü \ a teljes hatáskeresztmetszetet a félgömbre való do szerinti integrálással kapjuk: o = &iű* (1. IH. 37. §).

3*

zoit, így alkalmas kell, hogy legyen a gáz termodinamikai tulajdonságainak meghatározására is.

Ezekből következik a most leírandó eljárás (melyet renormáJásnak hívnak). Formálisan az U(r) valódi energiát egy másik függvénnyel helyettesítjük, amely ugyanazt az értéket adja, de amelyre a perturbációszámítás alkalmazható. Mindaddig (a közelítésig), amíg a számítások végeredménye U-t csak a szórásamplitúdóban tartalmazza, a kapott eredmény megegyezik azzal, amit az eredeti potenciállal számíthattunk volna ki.

A valódi kölcsönhatás hatósugara nagyságrendileg az a szóráshosszal egyezik meg. A fiktív U(r) térre, melyet kisegítő fogalomként vezettünk be, a Born-közelítés alkalmazhatóságának feltétele: a <« r0. Az elmélet tulajdonképpeni kifejtési kis paramétere természetesen az appjh mennyiség.

Az alábbiakban az E/„ és a közötti összefüggésre nemcsak az első [1.(6,2)], hanem a második Born-közelítésben is szükségünk lesz. Ennek felírásához emlékeztetünk arra, hogy ha a rendszer valamely átmenetének valószínűségét állandó P perturbáció hatására a perturbációszámítás első közelítésében a Voo mátrixelem adja meg, akkor VM't a második közelítésben a

tjy , r-i/ VonVtiO ^ ö n

kifejezéssel helyettesítjük, ahol az összegezést a perturbálatk.. ,endszer (n & 0) állapotaira végezzük el (I. III. 43. §). Esetünkben két ütköző részecske alkotta rendszerről van szó, a perturbáció szerepét kölcsönhatási U(r) potenciáljuk játssza. A részecskék impulzusának pl5 p2 — p[, pl változásával járó átmenet mátrixeleme

(p[xi.pzx2\U\ p tz lt páoc2);= y j U{r) e - t»m <Px, (6,3)

ahol px+ p 2 = p í+ pí, és p — pá—P2 = — (Px—Pi)- Minthogy a kölcsönhatás független a spinektől (melyeket az **, a.2 indexek képviselnek), azok a kölcsönhatásban nem változnak. VM szerepét a zérus impulzusértékekhez tartozó U0jV mátrixelem játssza. így a másodrendű közelítéshez a fenti analógia alapján U0~t a

kifejezéssel helyettesítjük (az összegezést adott p^ p2 esetén pí i t p1( pa szerint végezzük el). Minthogy a részecskék impulzusai esetünkben a feltevés szerint kicsik, az összes lényeges esetben az összegben előforduló mátrixelemeket p = 0-nál felvett ér-

tékükkel képviselhetjük. Ezután a szórási hosszra a következő kifejezést kapjuk :n

a “ [u°+ -ir I ] * <6’4>

Ebből a fenti pontossággal U0 is kiszámítható:

A7th2a . \ . AntPá V-, 2m(6,5)

A (6,4) kifejezés divergenciája (nagy Pj és p'2 értékekre) abból ered, hogy az összes mátrixelemet állandóval helyettesítettük. Ez a divergencia valójában lényegtelen, mivel e kifejezés további felhasználása során, mikor a rendszer energiáját számítjuk ki, úgyis konvergens kifejezést kapunk, melyben a nagy impulzusok nem játszanak szerepet, a a lassú részecskék energiafüggetlen szóráshosszát jelenti. A (6,4) képlet első ránézésre a px és p2 impulzusoktól is függ. Valójában ez a függés csak a szórási amplitúdó képzetes részében jelenik meg [amelyet az összegezés elvégzési módjának előírása definiál; vö. III. (130,9)], amit nem kell figyelembe vennünk, minthogy eleve tadjuk, hogy a végeredmény valós; e kérdésre még a 21. §-ban visszatérünk.

Ebben a szakaszban a Fermi-gáz modellt a részecskék közötti taszító kölcsönhatás feltevésével vizsgáljuk; ilyen jellegű kölcsönhatásra a >• 0. Éppen ekkor lesz a gáz energiaspektruma az 1. és 2. §-okban leírt Fermi típusú.

Az (1/2 spinű) részecskerendszer Hamilton-operátora (a másodkvantálás módszerét használva párkölcsönhatás esetén)

& ~ Z + -y X ( p í ’a pá«21 C/| P ia j , át „ á p (6 ,6)pg talakú (1. III. 64.§). E képletben őpa, és <§pa a pimpulzusú,a spinvetületű (« = ±1/2) részecske keltő és eltüntető operátorai. (6,6) első tagja a részecskék mozgási, a második potenciális energiáját adja meg; az utóbbiban az összegezést az impulzusok és a spinvetületek összes értékére el kell végezni, figyelembe véve az impulzus megmaradási törvényét.

A részecskék impulzusainak feltételezett kicsinységét kihasználva, (6,6)-ban is helyettesítsük a mátrixelemeket a zérus impulzusnál felvett értékükkel: {0a l5 0a, | t / 1 0al5 0a2) = U0jV. Vegyük továbbá észre, hogy a Fermi-statisztikájú

** Minden közbenső képletben véges V térfogatba zárt részecskék diszkrét impulzusaira vonatkozó összeget Írunk; a végső képlet kiszámításakor az összeget az általános szabály szerint V<Pp/(2nRf szerinti integrállal helyettesítjük.

operátorok antikommutativitása miatt az szorzat az indexek felcseréléséreantiszimmetrikus. Ugyanez érvényes az szorzatra is. Ennek következtében a(6,6) képlet második tagjában az azonos a l5 a2 indexpárt tartalmazó tagok kölcsönösen kiejtik egymást (ez fizikailag azt a már említett körülményt jelenti, hogy lassú részecskék ütközése esetén csak az ellentétes spinvetületű részecskék szóródnak).

Végül a rendszer Hamilton-operátora a következő:

f i = Z + y - Z (6»7)P* ^ V p ,p ,p ;

ahol át+ = áPi+, á[+ = ápj+ stb. A + és - indexek itt és a továbbiakban is a +1 /2-et és — I/2-et jelölik röviden,

A fenti operátor sajátértékeit a perturbációszámítás megszokott módszerével számíthatjuk ki. Ennek során (6,6) második tagját az első tag kis korrekciójának tekintjük . Az első tag eleve diagonális, sajátértékei

*•> = ! -£ * .

alakúak, ahol npx a p« jellemzésül állapot betöltési száma.23Az elsőrendű korrekciókat a kölcsönhatási energia diagonális mátrixelemei adják

meg:

£ ly = - 7 r E « i + i,2 - (6*9)V P lP2

ahol «1+ — nPi+ stb.A másodrendű korrekciók kiszámítására a perturbációszámítás jól ismert

C-(2) _ V ' 1 V"”’ I2n 2-t p _pm *-*n *-ím

képletét használjuk, ahol a és m a perturbálatlan rendszer állapotait indexeli. Az ápa és operátorok ismert mátrixelemeível egyszerű számítás vezet az

38 1. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADEK

Ul ^ n1+n ,_ ( l-n i+ ) ( l-» i_ )

p , p , p ;

n Feltételezve, hogy a részecskék spinvetületének értéke határozott, azt is automatikusan feltételezzük, hogy az n ^ p ) statisztikus mátrix is diagonális; az «,(p) függvények (a = + 1/2) adják meg a diagonális elemeket.

eredményre. E kifejezés szerkezete teljesen érthető: a pl5 p2 -*■ pí, pó átmenet mátrixelemének négyzete arányos a pl5 p2 állapotok betöltési számaival és a p , p2 állapotok- beli szabad helyek számával.

A (6,9) és (6,10) mennyiségekben előforduló U0 integrált egyetlen valós fizikai meny- nyiséggel, az a szórási amplitúdóval kell kifejezni. A másodrendű tagokban ezt a (6,2) képlettel végezhetjük el, az elsőrendű tagok viszont a pontosabb (6,5) képlet használa tá t igénylik. A behelyettesítéseket elvégezve, az ű-ban elsőrendű korrekcióra

^ = 1 7 I (6,11)Y P lP í

a másodrendűre

m - 2mg2 V /?i+w2- [ ( 1- « l+ ) ( 1- « 2- ) - 1)V 2 P£ p ; p \ + p l - p ? - p ?

adódik (a rövidség kedvéért a közbenső képletekben a gázrészecskék g „csatolási állandóját” használjuk, g = 4nf^ajm).2* A számlálóbeli kifejezést tagonként vizsgálva észrevehetjük, hogy az összeg négy «-et tartalmazó tagjai kölcsönösen kiesnek, mivel ezek számlálói szimmetrikusak, nevezői pedig antiszimmetrikusak a p„ p2 *- pí, p cserére. A változókra való összegezés is szimmetrikus. így a képlet végső alakja:


2m f ^ «1+/i2_(«l+ + n 2_)£ P| P; A + Á - w - t f • (6’12)

Ez az összeg (melyben «pa -► 0, ha p -*■ már konvergens.A kapott képletek először is alkalmasak arra, hogy kiszámítsuk az alapállapot ener

giáját. Ehhez «p£I-t a Fermi-gömb belsejében [p < pp = í(3vPN/V)1*3] egységnyinek, azon kívül pedig nullának kell választani. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy bár a kündulási Hamilton-operátorban az operátorszorzatok maguknak a gáz- részecskéknek a betöltési számait adják, de a Hamilton-operátor perturbatív diago- nalizálása után már a kvázirészecskék eloszlásfüggvényét kapjuk (melyet, mint a korábbi szakaszokban, n^-val jelölünk).

Vegyük észre, hogy 2 «p+ = 27mp_ = N/2, és ennek révén (6,ll)-bő! az elsőrendű korrekcióra az

£<d _ gN'tf4V

21 A szórási amplitúdó renormálása után ez a mennyiség már egyáltalán nem egyezik a (6,2)-ben szerepló U0 állandóval!

összefüggést kapjuk. A (6,12) képletben a három impulzusra való összegezést, amely a P1 + P2 - P1+P2 megmaradási tételt figyelembe veszi, a

- f tj tfif + P2~ PÍ “ PŐ ^P Í

szerinti integrálással váltjuk fel. így

^-wl **■az integrálást a p lt p ^ p[ s pF tartományra kell elvégezni. Az in teg rá lásién 25 az alapállapot energiájára a következő' végeredményt kapjuk:

- " p l [,+^ ;T +iüw ^ ( - r ) !]ahol a zárójel előtt álló mennyiség az ideális Fermi-gáz energiája (K ’. Huarg, C .N . Yang, 1957).

A gáz abszolút nulla hőmérsékleten számított kémiai potenciálja a n — {6E0/6N fp összefüggés szerint a pF határimpulzus függvényeként kifejezve:

A Landau-elmélet alapföltevéseivel összhangban az elemi gerjesztések e(p) spektrumát és a kvázirészecskék f ^ ( p , p') kölcsönhatási függvényét a teljes energiának a kvázirészecskék eloszlásfüggvénye26 szerinti első és második variációja határozza meg. Ha E-1 p és a szerinti diszkrét összegként írjuk fel, akkor definíció szerint

^ = ^ ( p) & W + 4 t' I /« '(P . P') ánpv (6,15)p* *Y p«, pV

(az energia deriválása után n^-t a Fermi-gömb belsejében eggyel, azon kívül nullával kell helyettesíteni). A kvázirészecskék m efíektív tömegének ily módon való kiszámítására nincs szükség, mivel egyszerűbben is megkapható (1. alább).

4 0 I. FEJEZET. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK

“ A számításokat ténylegesen egyszerűbb elvégezni fordított sorrendben, az / függvény kiszámításával kezdve (1. alább).

" Az/m 'ÍP, mátrix ebben a szakaszban az f t,Yi pdp, p') mátrixnak az <xfi és y& indexpárokban diagonális elemei halmazát jelöli.

Az/„.{p, p')függvény (Fermi-felületen felvett értékeinek) kiszámításához a (6,11)— (6,12) kifejezések összegét kétszer differenciáljuk, majd a p — p' = pP helyen vesszük a kapott kifejezést. Ezen egyszerű számítás után, az összegezésről integrálásra áttérve azt kapjuk, hogy

6. §. ELFAJULT FERMI-GÁZ^ A RÉSZECSKÉK/KÖZT HATÓ TASZÍTÁSSAL 41

/+ - ( P. P') = g -4mg2

7 Wr í ^ (p + p '-p rJ ( 2 f F- p \ -

- P 1- P 2) pi

+^ P + P i - p ' - ^ + ^ p ' + P t-p -p a )

2(p í-p I)■ <Ppi dPp2,

/++ = (P,P') = / ~ ( p ,p ') =

= 2mg1 J % + p I- p ' - p 2)+ő(p, + p1- p - p a){2n h f P \~ Á

<Ppi cPpz-

1 képletekben az integrálások elvégzése az integrálási változók kisebb száma miatt viszonylag egyszerűbb.

A végeredményt a (2,4) alakban írjuk fel, amely független a spinkvantálás tengelyének megválasztásától:

./ay, fis2nah2

m 1 + 2apFuh

„ 1+ sin^r . cos v , 22 + --------- in. v . &

2 sm ^- 1 — sin-i- 2 2

Őtföyt —

2app l , 1 . 0 , ' + S , n 2 _ i _ _ s l n _ l „ _ _ _

- S i n y(6,16)

ahol & a pf és p . vektorok közötti szög (A. A. Abrikoszov, 1. M. Halatnyikov, 1957).27Ebből a (2,12) képletnek megfelelő integrálás után kapjuk a kvázirészecske effektív

tömését :

m’ Sm 15ji2

(7 In 2 — 1) | QPpV * ; *

(6,17)

57 A (6,16) függvény & — t z - t c végtelen értéket vesz fel a közelítések miatt. Pontosabb vizsgálatok azt mutatják, hogy bár a 0 = ji pont a függvény szinguláris pontja, a függvényérték ott nem végtelen, hanem zérus (1. az V. fejezet 62. lábjegyzetét). A (6,16) képlet & — n körüli használhatatlansága a további alkalmazásokban lényegtelen, mert azokban ezen a helyen konvergens in teg rá lo k jelennek meg.


A (2,17) képlettel a hang gázbeli sebességét is megkapjuk:

tc ft 15jí22 app ^ 8(11—2 In 2) /a p F \*mi

Az uhnjN mennyiséget dN szerint integrálva (pF helyett az N jV változót használjuk),(2,13) alapján megkapjuk a gáz kémiai potenciálját, majd dN szerinti újabb integrálással megkapjuk az alapállapot (6,13)-ban megadott energiáját.

A (6,13) képlet az rj = PfCtjh ~ a(N/V)vz „gázparaméter” hatványai szerinti sor első tagjait tartalmazza. Hasonló, de jóval nehézkesebb számításokkal a sor néhány további tagját is megkaphatnánk. A helyzet ugyanis az, hogy Fermi-gázban a hármas ütközések járuléka az energiához csak viszonylag magas rendben jelenik meg. A három ütköző részecske közül legalább kettőnek azonos a spinvetülete; ezért a rendszer hullámfüggvényének koordinátafüggő része e két részecskére antiszimmetrikus. Ez azt jelenti, hogy a két részecske relatív mozgásából származó pálya—impulzusmomentum értéke legalább 1 (p-állapot). Az ehhez tartozó hullámfüggvény (az í-állapothoz képest) egy többlet pjh hatványt tartalmaz (1. III. 33. §), így egy ennek a helyzetnek megfelelő ütközésben egy többlet p2 tényező jelenik meg. Ez viszont azt jelenti, hogy a Pauli-elvet nem követő részecskék hasonló ütközésének valószínűségéhez képest a Fermi-részecskék esetében (p a lh f ~ jj2-;szeres gyengülés tapasztalható. Ennek következtében a hármas ütközések járuléka az energiához csak a térfogatot V~2V~2li alakban tartalmazó kifejezésekben jelenhet meg. Más szavakkal, a páros ütközések jellemzőinek ismeretében az energia sorfejtését az

rendű tagokig bezárólag meg lehet adni [tehát a (6,13)-ban leírtak mellett még három tagra]. A páros ütközések jellemzésébe azonban most nemcsak a lassú részecskék jf-állapotbeli szórási amplitúdójának ismerete tartozik bele [mint (6,13)-ban], hanem annak az energia szerinti deriváltjai, valamint a p-állapotbeli szórási amplitúdó is.

II. F E J E Z E T

FER M I-R EN D SZER EK G R EEN -FÜ G G V ÉN Y EI

T = 0 H Ő M ÉR SÉK LET EN

7. §. A makroszkopikus rendszerek Green-függvénye

Az előző szakaszban alkalmazott módszer nehézkes, és gyakorlatilag használhatatlanná válik a perturbációszámítás magasabb rendjeiben. Ez a hiányosság azért is lényeges, mert a reális fizikai rendszerekben a részecskék közötti kölcsönhatás egyáltalán nem gyenge, így a makroszkopikus rendszerek bizonyos tulajdonságainak megértéséhez a perturbációs sorfejtés tagjainak végtelen halmazára van szükség. E nehézségek elkerülésére a kvantumtérelmélethez hasonló matematikai eljárást dolgoztak ki.

E módszer konkrét megjelenése jelentősen függ azon makroszkopikus rendszer sajátosságaitól, amelyre alkalmazni kívánjuk. E fejezet következő szakaszaiban a zérus hőmérsékletű Fermi-folyadékra fejlesztjük ki ezt a matematikai apparátust.1 A tárgyalás célja nemcsak a módszer alkalmazása a konkrét rendszerre, hanem annak illusztrálása is, hogy hogyan építhető ki általában a szükséges „fegyvertár” .

A kiindulási objektumok a másodkvantált ^-operátorok, melyek tulajdonságait még a kvantummechanikából ismerjük (1. III. 64. és 65.§). Most célszerű Heisen- berg-reprezentációban használni őket, amelyben időfüggésük expliciten adott. Ezért kezdetként a ^-operátorok néhány tulajdonságát vizsgáljuk e reprezentációban.

Feles spinű részecskékből álló rendszert tekintünk. Ennek megfelelően a ^-operátoroknak van egy, a spinvetület értékét megadó indexe, amely a ± 1/2 értéket veheti fel. A spinindexeket — a korábbiakkal összhangban — görög betűkkel jelöljük, és az ismétlődő indexekre összegezés értendő.

Egy fizikai meanyiség/(í)Heisenberg-reprezentáeióbeli operátora az általános szabály szerint (III. 13. §) az időfüggetlen (schrödingeri)/ operátorral a következőképpen

1 Az eljárást V. M. Galickijcs A. B. Migdal dolgozta ki (1958).

44 II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

fejezhető ki:®/ ( / ) = e<»'fe~‘K

ahol í i a rendszer Hamilton-operátora.Most azonban célszerű ezt a definíciót kissé módosítani. A helyzet az, hogy a kvun-

tumstatisztikai feladatokban a rendszer állapotait egyszerűbb a fi kémiai potenciál állandó értéke mellett tekinteni az állandó N részecskeszám helyett. Ekkor a rendszer alapállapotát T — 0 hőmérsékleten a

(7,1)

operátor legkisebb sajátértéke határozza meg (nem pedig flf-é, mint állandó részecskeszám esetén). Valóban, annak valószínűsége, hogy a rendszer (adott fx-té) E„ energiájú állapotban legyen, és N„ számú részecskét tartalmazzon, a következő:

- , , / E„-pN „ \ . f( E'n\ w - 'exp| ------- —----- j = exp ^ - — J

[1. V. (35,1)]; ÉH a //'-operátor3 n-edik sajátértéke. Látjuk, hogy T =[0-ra ezj'a valószínűség csak a legkisebb E'„ értékhez tartozó állapotra különbözik nullától.

A fentieknek megfelelően a heisenbergi ^-téroperátorokat a

= (?2) $+({, r) = e‘ y>+(t) e~<^>

összefüggésekkel definiáljuk. A továbbiakban a Heisenberg-képbeli y-operátorokat XP, a schrödingerieket $ jelöli.

Schrödinger-reprezentációban a ^-operátorok közismert felcserélés! törvényeket követnek. Heisenberg-reprezentációban a különböző t és t' időpontokban vett operátorok kommutátorát nem lehet általánosan kiszámolni. Ám t = /'-re azok megegyeznek a Sehrödinger-reprezentációbeliekkel. Tehát a

Hr) ft+(r ')+ ? í(r ')i(r) = ^Ő (r-r')

* Az írásmód egyszerűsítése érdekében kiterjedten alkalmazzuk a h = I egységrendszert (amelyben az impulzus dimenziója cm-1, az energiáé s_I). Erről a rendszerről a megszokottra úgy térünk át, hogy a képletekben a p impulzust p/í-sal, az E energiát pedig E/h-$a\ helyettesítjük. A most leírt egységrendszert használjuk e fejezetben is.

* A f i ’ operátort csakúgy, mint í)-o\. Hamilton-operátomak nevezzük.

összefüggésből következik a

r) m u r') #.(/, r) =

= ^ ' ' ( i ( r ) v / ( f ' ) + # ' ) V\(0) = ; M ( r - r ' ) (7,3)

szabály. Hasonló’módon kapjuk, hogy

P.(f, r); Í^(í, r') + *A u r') ,(< , r) = 0,^ +(í, r) #?(!, r') + í?(?, r') #+(*, r) = 0.

A (7,2) deüaíciót idő szerint£deriválva, megkapjuk azt az egyenletet, amelyet a hei- senbergt t/>-operátor kielégít:

- i A <£,(/, r) = « '^« (í, r ) - .( / , r) H' (7,5)•í

[vö. III. (13,7)].Tetszőleges megmaradó mennyiség operátora azonos a Schrödinger- és a Heisen-

berg-reprezentációban (az ilyen mennyiségek operátorai felcserélhetŐk a Hamilton- operátorral). Ez speciálisan magára a Hamilton-operátorra is igaz, valamint a részecskeszám operátorára is, ami nyilván szintén megmarad. Ezen operátoroknak a Schrödinger- vagy a Heisenberg-féle ^operátorokkal való kifejezése megegyezik. Így a részecskeszám operátora a következő:

f t = J $£(*) fA r) d "x = J r) ^«(f, r) cPx. (7,6)

Kölcsönható részecskék rendszerének -Hamilton-operátorára fennáll,jjhogy

[ // ' =*.H'm + ?<»>+V <2M-...

= - ~ I ^ í ( f , r ) ; J ! ^ ( í , r ) % -

(7 7)= J «^+(/, r) £/W(r) ^ a(í, r) d®x,

J?(2) = I J (/, r) &+{t, r') £A*>(r-r') r') ^„(í, r) d®*'.

Itt a / / <0) a szabad részecskék rendszerének Hamilton-operátora; azoknak az i / ^ r ) külső térrel való kölcsönhatását írja le, í ^ 2) a részecskék párkölcsönhatásának operátora, U<'2\ r —t') pedig két részecske kölcsönhatási energiája. Az elhagyott tagok %Jbármas [és többszörös kölcsönhatások operátorai [vö. III. (64,25)]. Az egy

7. §. A MAKROSZKOPIKUS RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYE £45

szerűség kedvéért feltesszük, hogy a kölcsönhatások függetlenek a részecskék spinjétől.

A f i ' és IP. operátorok (7,5)-beli kommutátorát a (7,3)—(7,4) szabályokkal számíthatjuk ki; az ezekből származó ö-függvényeket integrálok kiszámítására használhatjuk. Végeredményben a r)-re vonatkozó „Schrödinger-egyenletet” a következő alakban írhatjuk:

/ ~ ^ ( / , r) = í — A ~ n + m X r ) y . ( t , r)+

+ J 'ÍV (/, r') r;<2> (r-r') % (t, r') cPx' • !?„(/, r)+ . . . . (7,8)

A bemutatásra kerülő módszerben központi helyet foglal el a makroszkopikus rendszer Green-fúggvényének fogalma. Ezt a következő kifejezés definiálja:4

G ^ X U X2) = - i{T4>XX,) %+{X2)). (7,9)

Itt és a továbbiakban X-szel jelöltük a rövidség kedvéért a t időpillanatot és az r helyvektort. A szögletes { . . . ) zárójelek a rendszer alapállapotában kiszámított átlagot jelölik (a bonyolultabb <0 | . . . | 0) jelölés helyett). A T szimbólum az időrendezett szorzat szimbóluma: a mögötte következő operátorok növekvő idejű sorrendben állnak. Fermionok esetében két ^-operátor felcserélésekor (amit a szorzat kezdeti leírásának sorrendjéhez viszonyítunk) a szorzat előjelet vált. Expliciten kiírva:

Foglalkozzunk most a Green-függvény alaptulajdonságaival. Ha a rendszer nem ferromágneses, és nem hat rá külső tér, akkor a Green-függvény spinfüggése az egységmátrixszal adható meg:

G ^ X u X 2) = ö 'f i iX u X 2) (7,11)

(minden más függvényalak egy kitüntetett irányt választana ki a térben — a spin kvantálásúnak „z-tengelyét”).5 Az időbeli eltolási invariancia (az idő homogenitása)

* Ez a definíció hasonlít a pontos Green-függvények (propagátorok) meghatározásához a kvantumelektrodinamikában (1. IV. 100. és 102. §).

4 Ezt az állítást meg kell világítanunk. A 'Pa spinkomponensek elsőrendű kontravariáns spinort alkotnak (ebben az összefüggésben helyesebb lenne azt a felső indexszel, í^-ként írni). A komponensek kovariáns spinort építenek fel. Ezért Gap másodrendű, kevert indexű spinor. A másodrendű,kevert indexű egységspjnon éppen adja meg.

7. §. A MAKROSZKOPIKUS RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYE 47

miatt a tt és ía időpontok a Green-függvényben csak a t = tx—12 különbség alakjában fordulnak elő. Ha ezen túlmenően a rendszer térben is mikroszkopikusan homogén, akkor a két pont koordinátája is csak az r — rx—r2 különbségként fordulhat elő. Más szavakkal, ez esetben

G'fi(X u X t) = Ö^G(X), X = X i~ X2 (7,12)

Hangsúlyozzuk, hogy a mikroszkopikus homogenitás feltevése szerint a test nemcsak átlagos (makroszkopikus) sűrűségében homogén, hanem részecskéinek térbeli valószínűségi eloszlása (mikroszkopikus helyzete) szeiint is. A folyadékok és gázok éppen ilyenek (de nem a szilárd kristályok). Izotropiájuk azt jelenti, hogy G(t, r) = G(t, — r). Ezzel kapcsolatban újfent aláhúzzuk, hogy a G(t, r) definíciója szerint mindebből nem következik a függvény /-beli párossága. E szempontból nézve, tx és í4 sorrendje a t = í j—12 különbségben lényeges.

A rendszer egy részecskéjének térbeli sűrűségmátrixát a következő átlagérték határozza meg:

r2> = ~ (% +(U r2) ^ ( í , r,)). (7,13)

E mátrix ismeretében tetszőleges olyan mennyiség várható értékét meghatározhatjuk, amely egyetlen részecskére vonatkozik. Legyen ugyanis „egyrészecskés”, vagyis

= (7,14)a

alakban írható operátor, ahol csak az ű-adik részecske koordinátáira és spinjére ható operátor. A rendszer összes részecskéjére összegezünk. A másodkvantálási eljárás segítségével az ilyen operátorok (Heisenberg-reprezentációban) az

U t ) = J $ t ( t , r ) / » xPy(t, r) cPx (7,15)

képlettel is felírhatók [1. III. (64,23)]. Ennek alapján világos, hogy F átlagértékét a sűrűségmátrixszal kifejezve az

<F> = N { f) = N J [ /^ ^ ( r i , r2)]r> - r, (7,16)

alakban írhatjuk, ahol az rj koordinátákra ható operátor (az r2 = rj behelyettesítést az operátor hatása után, de az integrálás előtt kell elvégezni).

(7,10) alapján a sűrűségmátrixot a Green-függvénnyel is kapcsolatba lehet hozni:

g«íi(ri>r2) = — -jy G*p{ti, f i ; í i+ 0 , r 2). (7,17)

48 II.rFEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEIm

Itt (csakúgy, mint alább mindenütt) a függvény változójának t1 + 0 alakú jelölése azt jelenti, hogy a változó felülről tart fx-hez. Ezt a határátmenetet alkalmazva biztosítjuk a ^operátorok helyes sorrendjét, ami a (7,13)-beli szorzat sorrendjével azonos.

Mikroszkopikusan homogén közegben a sűrűségmátrix mindig csak az r = r : —r2 különbségtől függ, ugyanakkor spinfüggetlen esetben q ahol

(?(r) = - - i r C ( r = - 0 >r). (7,18)

Itt G ^(X i, X2) helyett (7,12)-vel összhangban a G(XL—X^) = G{X) függvényt vezettük be. Ti — r2 esetén és a (7,13)-ban szereplő operátorszorzat spinváltozók szerinti nyomát képezve, az a alakot ölti, ami a rendszer részecskéinek számsűrűségétmérő operátor. így a test átlagos sűrűsége a következő:

£ = 2Ng(ö) = - 2iG{t = - 0, r; = 0) '(7,19)i

(/ alulról tart nullához). Ez az egyenlőség kapcsolja össze a p kémiai potenciál T = 0-ra felvett értékét (amitől G, akárcsak bármely más mennyiség, paraméteresen függ) az N jV részecskesűrűséggel.

A p(rlf r2) függvény a részecskék impulzus szerinti eloszlására a következőt állítja :8

^ (P )! - N j M r i> fa) e-Wr.-t,) d \ x i - x 2)'= - i r)'e-»’ (Px. (7,20)

AT(p) a térfogategységben található, adott spinvetülettí és [a (Ppj{2x f intervallum* ban található] impulzusú részecskék számát adja meg. Hangsúlyozzuk, hogy valódi részecskékről van szó és nem kvázirészecskékrŐl (ez utóbbiak a bemutatott tárgyalásban még nem fordultak elő). Az N(p) jelölést azért vezettük be, hogy megkülönböztessük a kvázirészecskék «(p) eloszlásától.

0 Emlékeztetünk arra, hogy (III. 14. §> az „egyrészecskéd” sűrűségmátrixot a

Pfrii *»>]=■ J ^*0,, q) VÍO, Q) dq

integrál adja míg, ahol V{r, q) a teljes rendszer hullámfüggvénye, r pedig egyetlen részecske helyvektorát jelöli, végül q az Összes többi részecske koordinátáinak halmazát adja, ez utóbbira integrálunk. A sűrűségmátrix Fourier-komponensei megegyeznek az

j [ J V r, q)'e'ft eflx] dq

kifejezéssel, amiből következik az integrál kapcsolata a részecskék impulzus szerinti eloszlásával.

A későbbiekben az impulzusreprezentációbeli Green-függvényekre lesz szükségünk, melyeket a G(t, r) függvény t és r szerinti Fourier-transzformációjával kapunk :

G(í, r ) > J G(w, p) ««*—*> , (7,21)

<?(ö>, p) = J G(í, r) e-itpí—x) rf/ (7,22)

A részecskék impulzuseloszlása ezzel a függvénnyel a következő kapcsolatban van:

8. §. AZ ENERGIASPEKTRUM MEGHATÁROZÁSA 49

N(p) = — / lim l-~ -0

G(a>, (7,23)2n ’

amit (7,21)-nek (7,20)-ba való helyettesítésével kapunk. Normálását a

- 2í-,ün; J c (" ’ ' ’) c ' “ w ' = t - (7'24>

követelmény rögzíti, ami a (7,19) feltétel impulzustérbeli alakja. Ily módon az N(p) eloszlás automatikusan helyesen normált:

2:í'Megjegyezzük, hogy a (7,23) és (7,24) integrálokban kijelölt határátmenetek ekvi

valensek az ai komplex síkbeli integrálási görbe meghatározott választásával. Az e~,a“ tényező t < 0 esetén lehetővé teszi a valós tengelyen futó integrálási görbének a felső félsíkbeli végtelen nagy sugarú körön való bezárását. így az integrál értékét a G(co, p) függvény ebben a félsíkban fekvő pólusainak reziduumai adják meg.

8. §. Az energiaspektrum meghatározása Green-függvények segítségével

Mikroszkopikusan homogén rendszerben a heisenbergi ^-operátorok meghatározott energiájú és impulzusú stacionárius állapotok között vett mátrixelemeinek idő- és koordinátafüggését könnyű meghatározni.

4 Siaiisztikuj fizika 1. rész

Az időfüggést a szokásos exponenciális tényező tartalmazza:

(n | *&(/, r) [ m) = <„ | fc(r) | « ) , (8,1)

amelyben w ^-et megadhatjuk, figyelembe véve hogy a Heisenberg-képbeli -operátort a h ’ Hamilton-operátorral határoztuk meg:

0)nm — En Em = ~~ N m).

A ^-operátorok általános tulajdonságai szerint 'P eggyel csökkenti( lP + eggyel növeli) a rendszer részecskéinek számát. Így a (8,1) mátrixelemben Nn — Nm— 1, azaz

= E „ ( N ) - E m( N + 1) + f i, ( 8 ,2 )

ahol az energiafüggvény változói a megfelelő állapotbeli részecskék számát jelölik.A koordinátafüggés meghatározásához megjegyezzük, hogy a rendszer homoge

nitása miatt a ^operátorok mátrixelemei nem változhatnak a rendszerhez képest tetszőleges r vektorral végzett eltolás során sem. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a mátrixelem egyáltalán nem függ a koordinátáktól. Arról van szó, hogy y„m(r)-nek VW(ö)*tól való eltérését két körülmény okozza: egyrészt magához a rendszerhez viszonyított, r-rel való eltolás, másrészt a megfigyelési pont áthelyezése a tér egy másik pontjába, ami szintén megváltoztatja a hullámfüggvény fázisát. Azért, hogy ezt az utóbbi változást kiküszöböljük, a rendszert —r vektorral eltoljuk, azaz a hullámfüggvényre alkalmazzuk a

T (~ r) = e-**

transzlációs operátort a rendszer teljes impulzusának operátora; 1. I I I . ( 15 , 13) ] .

Ennek hatására a megfigyelési pont visszakerül az eredeti helyre, de a rendszerhez képest r-rel eltolódott. A mátrixelemek változatlanságát e transzformáció során az

(n | f* (0 ) | m ) = (ti \ e lt* $*(r) e ~ 1'* j m ) (8 ,3 )

egyenlőség fejezi ki. Ha az n és m állapotokban a rendszer meghatározott P„ésP„, impulzusó, akkor

(« | u o ) i m) ~ «a w (« I I »*>,amiből

(n j lP*(t, r) | hí) - e ^ w - iw ) ( « | $»(0) | m),

<» I V t i t , r ) \ m ) = ( m \ r ) | «>*,

afcol K n =

50 II. FEJEZET. PERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

E képletekkel az impulzustérbeli Green-függvény fontos kifejtését kaphatjuk meg, amely megvilágítja annak fizikai jelentését.

A G(t, r) függvény „szakadáscs” definíciója miatt G(co,p) (7,22)-beli kiszámításakor a t szerinti integrált két részre kell bontani: — <»-től O-ig és 0-tól °°-ig. A másodikban (tehát a í = /*—f2 =- 0 esetben) a (7,10) definíciót a mátrixszorzás szabályai szerint kifejtve, azt kapjuk, hogy

G(t, r) = 4 = 'PA Xi) I m){m \ 'P+(X2) | 0)Z, Z ni

(az összegezést a rendszer összes kvantumszámára kell elvégezni). Ide behelyettesítve(8,4)-et és kihasználva, hogy az alapállapotban P 0 = 0, a

G(t, r) = — - - £ ! <ü | *>«(0) | m) P é*«w+ (8,5)

képletre jutunk, ahol — E0(N )—Em(N+ l) + /i.A (7,22)-beli térfogati integrál [ha G(t, r)-et (8,5)-ből vesszük] az összeg minden

tagjában a Ő(p—Pm) ó-függvényre vezet. A t szerinti integrál (t 0) konvergenciájának biztosítására co-hoz egy pozitív, infinitezimális képzetes részt adunk, tehát az a> -*■ a>+i0 helyettesítést7 alkalmazzuk. Ekkor


09

ÍJG(,, r) * = S f 11 <0 1M 0) I -> I* £ £ £ ;

Hasonlóan számítható ki a t szerinti integrál -< » csO közötti darabja is. Ekkor / < O-ra (8,5) helyett

G(t, r) = ~ X I (»' I HO) I 0> j2 (8,6)m

érvényes, ahol = Ea(N — \)—EÜ(N )+ p,. Kiszámítva a — « és 0 közti integrált majd a két járulékot összeadva, azt kapjuk, hogy

^ 2 U | uí+ f i - \ -E ii(N )—E m( N + l)-f-/0

;í,„ó(p+p„,)

(2n f v [ A md(p—P,„) _______+■ l)-f-íö

(8,7)a>+ii+Em( N - l)—E 0(N ) -iO }’

7 Ez az eljárás analóg a Greeti-függvények kvantumelektrodinamikái kiszámításával (1. IV. 76.§).

4*

ahol az

Am - I <01 $,(0) | m) i2, B,„ ~ i j $>„(0) | 0) |2 (8,8)

jelöléseket használjuk. Ez a keresett felbontás.8 Vezessük be az

4 +) = Em(N + l ) - E 0(N), 4") = E0{ N ) -E m( N - 1) (8,9)

jelöléseket a gerjesztési energiákra, melyeket a meghatározott számú részecskét tartalmazó gerjesztett állapot és a nála eggyel több vagy kevesebb részecskét tartalmazó alapállapot energiakülönbségeként definiálunk. A ( + ) és (—) indexek arra utalnak, hogy

Valóban, kihasználva, hogy£0(iV + l)—E0(N ) m dE0jdN ~ fj, a nulla hó'mérsékleten megadott kémiai potenciál, írhatjuk például, hogy

De a szögletes zárójelbeli különbség (ahol az energiák azonos részecskeszámú rendszerekre vonatkoznak) pozitív az alapállapot definíciója szerint, amiből az egyenlőtlenség azonnal következik. A (8,9) definíció élteiméről még később ejtünk szót.

Az összeg co-beli pólusainak eltolódása, melyet az ± i'O tag jelenít meg, ekvivalens a ő-függvényt tartalmazó képzetes részek megjelenésével:9

8 A kvanturmcrelmíletben a hasonló kifejtést Kállcn - Lehmann előállításnak nevezik (I. IV. 101., 108. §).

’ Vő. III. (43,10). A 'P jel azt jelenti, hogy az f(x )/(x± iO ) típusú kifejezés integrálásakor a főérteket kell képezni:

A második tag az x = — <0 (ill. x = i'O) helyen vett pólus felülről (alulról) való megkerüléséből adódik.

(8, 10)

4 +) = Em(N+ l ) - E 0(N + ])+ E 0(N+ l ) —E0(N ) *

% [Em(N + l)~Eo(N + í)]+{i.

(8, 11)

Alkalmazva ezt a szabályt (8,7>re, a Green-függvény valós részére azt kapjuk, hogy

a képzetes részre pedig (figyelembe véve, hogy <4+)- p O . é s i ' - ^ O ) :

Vizsgáljuk meg a G(w, p) függvény aszimptotikus viselkedését, h a w - < » . (8,7)-fcől

Az impulzusreprezentációbeli Green-függvény legfontosabb tulajdonsága az, hogy pólusai az a> = em— fi pontokban vannak, ahol a rendszer gerjesztett állapotainak a fent leírt módon megadott diszkrét energiaértéke. Ezekhez határozott P m impulzus tartozik, amit a Green-függvény minden egyes pólustagjában megjelenő Müggvény jelez.

Bennünket a makroszkopikus test Green-függvénye érdekel. Tehát azt a határesetet vizsgáljuk, amikor a V térfogat és az N részecskeszám végtelenül nő (az N /V hányadost állandó értéken tartva). Ekkor a rendszer energiaszintjeinek különbségei nullához tartanak, a G(co, p) függvény pólusai összeolvadnak, és csak annyit állíthatunk, hogy e függvénynek a gerjesztési energiák lehetséges folytonos értékeinek tartományába eső (a>+fi) esetén képzetes része van. Kivételt csak azok az esetek ké

A„,ő(p - P OT) ) B,„Ó(p+P„) -u — fiíí") (1)4- II—íír)< a + fi- 4 +)

(8, 12)

Innen látszik, hogy mindig teljesül a

sign lm G(a>, p) — — sign (o (8,14)

összefüggés.

G(co, p) ~ — * £ [ A ,J (p -P„,) + Bmö(p+ Pm)\m

adódik. 1/to együtthatója, mint arról könnyű meggyőződni, éppen az

mennyiség Fourier-transzformáltja/azaz 1.'Tehát

G(co, p) -*■ 1 /w, ha ] (o | -*■ oo. (8,15)

peznek, amikor a makroszkopikus rendszer teljes p impulzusa egyetlen kvázirészecs- kéhez rendelhető, melynek határozott f(p) diszperziós összefüggése van (emlékeztetőül : az alapállapotban p = 0); az ilyen energiaértékek a Green-függvény elkülönült pólusainak helyét adják meg.

Ha p néhány kvázirészecske impulzusából adódik össze, akkor a rendszer energiáját p már nem határozza meg egyértelműen: ugyanis az impulzus teljes értéke különböző módon jöhet létre a részértékekből, és eközben az energia folytonos értéksorozaton haladhat végig. Ezekre integrálva, a pólus eltűnik.

Tehát aG -H fi-i«,p) = 0 (8,16)

egyenlet a kvázirészecskék diszperziós törvényét határozza meg (V. L. Boncs-Bruje- vicSy 19S5).

Hangsúlyozzuk, hogy a gerjesztési energiák (8,9) szerinti meghatározása egyúttal megfelel a Landau-elméletbeli kvázirészecskék energiája megadásának. Ugyanis s +) a rendszer energiájának megváltozása, ha egy részecskét ahhoz hozzáteszünk. Ha ezt a változást egy kvázirészecskéhez rendeljük hozzá, akkor (1,3) szerint határozzuk meg e-t. Hasonlóan, s(,~) a rendszer energiaváltozása egy részecske eltávolításakor. Ezért természetesen é *'1 «c (i, mivel a Landau-elméletben csak a Fermi-gömb belsejéből lehet kvázirészecskét elvenni.10

Minthogy a (8,7) kifejtésben szereplő összes gerjesztett állapotot úgy kapjuk, hogy a rendszerhez egy (1/2 spinű) részecskét hozzáadunk, vagy abból elveszünk, így világos, hogy fermion rendszerekre a Green-függvény pólusai csak a Fermi-típusú spektrum elemi gerjesztéseit határozzák meg. A Bose-ág meghatározását később, a 18. íjban mutatjuk be.

A makroszkopikus rendszer spektrumának a meghatározott £(p) függvénykapcsolattal jellemzett kvázirészecskék fogalmát használó leírása csak közelítő lehet, melynek pontossága az | e— fi | különbséggel együtt csökken. A független kvázirészecské- ket tartalmazó képtől való eltérés a Green-függvény pólusainak komplexszé válásában mutatkozik meg: az e(p) energia komplexértékűvé válik. A kvantummechanika általános szabályai (1. III. 134. §) szerint a komplex energianívók véges x élettartamú gerjesztéseknek felelnek meg (r ~ 1/| lm 1 1). Az lm e mennyiség a kvázirészecske energiájának elkentségét (a vonalszélességet) jellemzi. Ennek a felfogásnak természetesen csak elegendően keskeny vonalra (| lm e | <k | e— p |) van értelme. Mint azt az 1. §- ban már kifejtettük, ez a feltétel a gyengén gerjesztett állapotokra valóban teljesül, ugyanis | lm e | ~ 1/r ~ (p —pp)2, viszont Re (e— ~ | p —pF |.

16 Figyeljünk arra a tényre, hogy a kvázirészecskék energiájának definíciójában a rendszer gerjeszteti energiaszintjének előjele negatív. Ez kapcsolatos azzal, hogy e kvázirészecskék impul

zusára p = — p w amit a (8,7) kifejtés megfelelő tagjaiban fellépő ó(p+ mutat.

Ims előjelének megfelelő voltát a Green-függvény képzetes részének meghatározott előjele biztosítja. Ez a rész ugyanis a függvény a pólusa közelében

<**-»> “ T í + i l ü i ) <8' 17>

alakú, ahol a Z együttható pozitív, amint ez a (8,7) kifejtésbeli A„ és B„, kifejtési együtthatók pozitivitásából következik. A Z mennyiséget (a kvantumelektrodinamikával képezve analógiát) gyakran hívják renormálási állandónak. A Green-függvény képzetes részére

Z lm e

9. §. AZ IDEÁLIS FERMI-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE 55

lm G | co-H /u— e |2

adódik. Figyelembe véve, hogy ez a kifejezés a> ^ e— p esetén érvényes, összehasonlíthatjuk előjelét a (8,14) előjelszabállyal, amiből

lm e < 0, ha Re e > u,(8,18)

lm í > 0, ha Re e és £^") (8,9)-ben] helyes negatív képzetes járulékot a gerjesztett állapot Em energiájához.

A Green-függvények analitikus tulajdonságaira még visszatérünk a 36. §-ban, ahol ezt a kérdést mindjárt a tetszőleges hőmérséklet általános esetére vizsgáljuk meg.

9. §. Az ideális Fermi-gáz Green-függvénye

Az előző szakaszban tárgyalt általános összefüggések illusztrációjaként kiszámítjuk az ideális gáz Green-függvényét.

A schrödingeri ^-operátorokat mindig kifejtheljük

V*(r ) = I! %.«(«■>a ) (9>0po

alakban, ahol fp jr , a) a p impulzusú energiájú), a spinvetületü szabad részecskék spinor hullámfüggvényeinek teljes rendszere (ne tévesszük Össze a a sajátértéket az a. spinorindexszell), tehát

~lnr (Q

spinoramplitúdó, melyet az u u*. = 1 feltétel noimál]. Az így választott függvényeknek semmi közük a részecskék valódi kölcsönhatásához.

Kölcsönhatásmentes részecskék rendszerében a heisenbergi ^’-operátor is expliciten felirható. Ez esetben a Schrödinger-operátorokról a Heisenberg-félékre való áttérés annak felel meg, hogy (9,1) minden tagját egy megfelelő időfüggő fázisfaktorral szorozzuk:

r) = £ áp«vw(r. <0 exp | - / - p j í] . (9,3)

Erről könnyen meggyőződhetünk, ha figyelembe vesszük, hogy a Heisenberg-operátor mátrixelemeinek tetszőleges i -*■ f átmenet esetén tartalmazniuk kell az exp [——Éf )(] szorzót, ahol Ej, £ / rendre a kezdeti és a végállapot energiái (esetünkben ezek a f í ' = f í — i+N Hamilton-operátor sajátértékei). Ha az átmenet során a pót állapot

igbeli részecskék száma 1-gyel csökken, akkor E',—Ef = --------[i, így a fenti követel-2m

mény teljesül.A (7,10) definícióból (9,3) segítségével való közvetlen számolás helyett azonban

kényelmesebb először (7,10)-et átalakítani egy vele ekvivalens differenciálegyenletté. E célból deriváljuk a G ^X y —X^) függvényt t1 szerint. Vegyük figyelembe, hogy /j = ín esetén ez a függvény szakadásos. Valóban, a (7,10)összefüggés miatt a függvény ugrása:

== G 1 1 D f l+ 0” GaP ! fj — t i — 0

= - /< * .( /„ o rJ+ 'P jtih , r2) * .( /» Tj),

azaz (7,3) figyelembevételével11

[Gafi] = ~ i - r 2). (9,4)

Az ugrás felhasználásával világos, hogy megjelenik egy [G ^Ö O ^ t2) típusú tag is. Ezért

8>P %+(X2) \ - iötf ö(t l - r2) ö(t l - Q. (9,5)

Szabad részecskébe a heisenbergi ^-operátor kielégíti az

/ = ___L_Sr 2m “ ^ “

56 II- FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

u Hangsúlyozzuk, hogy az ugrás független a részecskék kölcsönhatásától.

9.§. AZ IDEÁLIS FERMI-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE 57

egyenletet [vö. (7,8)]. Ezt behelyettesítve (9,5)-be és újra felhasználva a (7,10) definíciót, a Green-függvényre az

+-éi+li)G(0)(/> r) = m m {m

egyenletet kapjuk, ahol a G $ = ő^G(0) egyenlőséget már kihasználtuk, a (0) index viszont G-ben arra utal, hogy a részecskék nincsenek kölcsönhatásban egymással.

Fourier-transzformációval az egyenlet az

( ü ) - ^ + ^ ) g ü(w, p) = 1

alakot ölti. Ebben a Green-függvény meghatározására w-hoz kis képzetes részt kell adnunk úgy, hogy G képzetes részének [összhangban (8,14)-gyel] helyes legyen az előjele:

G°(a>, p) = jo> — ~ + fi+iO- sgn tój . (9,7)

E kifejezés pólusa az ío+ fi = e(p) = p2j2m pontban helyezkedik el, összhangban azzal a megállapítással, hogy az ideális gázban a valódi és a kvázirészecskék között nincs különbség. Az ideális Fermi-gáz kémiai potenciálja p, = pFf2m. Gyengén gerjesztett állapotok p impulzusa közel van perhez, így p 2/2m közelítőleg a /*+ vF(p—pF) összeggel helyettesíthető (ahol vF = pFjm). Az ilyen állapotok Green-függvényére

G<°>(co, p) = [a>— i 'f(p —pr)+ i0 «sgn tü]-J (9,8)

írható,A G(0) függvényt tartalmazó különféle integrálok kiszámításakor ennek infinitezi-

mális képzetes része csak a pólus közelében lényeges, ahol a> & vF(p—pF). Ekkor sgn ö>-t (9,7)-ben célszerűbb sgn ( p - p F)-fel helyettesíteni és G(0)-t a következő alakban írni:

GW (tu,p)= [&)—/?2/2m + jU-W'0-sgn (/>— (9,9)

Ez a helyettesítés abból a szempontból lényeges, hogy a (9,9) alakban Gm egyetlen, a teljes (» síkon analitikus függvény, és az integrálok kiszámításakor az analitikus függvényekre érvényes módszerek alkalmazhatók.

így a (7,23) integrál (a részecskék impulzus szerinti eloszlásának integrálja) kiszámításakor a zérustól különböző, negatív t értékekre az a> sík valós tengelyen húzódó integrálási utat a felső félsíkbeli végtelen nagy sugarú félkörrel zárjuk be (ezután

helyettesíthető í = 0). Az

do>(o -p ij2m+ /.t-H'O-sgn ( p -p r )

integrált az integrandus felső félsíkbeli pólusának reziduuma határozza meg. p > pF esetén ilyen pólus nincs, tehát N(p) = 0. Ha p *= pF, akkor iV(p) = 1, amint annak az ideális Fermi-gáz alapállapotára lennie is kell.

10. §. A Fermi-folyadék részecskéinek impulzus szerinti eloszlása

A Fermi-folyadék Green-függvénye általános alakban természetesen nem számítható ki úgy, mint azt az ideális gázra tettük. Az az állítás azonban, hogy a Fermi- folyadák spektruma az l.§-ban leírt típusú, azt jelenti, hogy Green-függvényének az

w = £(p)-/< % vF( p - p F), vF = pFjm* (10,1)

pontban pólusa van. Más szavakkal, G előállítható

G(íÜ, p) = -------- ---------r - ------------ hg(ct>, p) (10,2)oá— vF(p —pf) + í0-sgn co

alakban, ahol g(oj, p) a (10,1) pontban véges függvény. Mint azt (8,17)-tel kapcsolatban már megjegyeztük, a Z együttható (a G-függvény reziduuma a pólusban) pozitív.

A (10,2) kifejezésből érdekes következtetésre juthatunk a folyadék részecskéinek impulzus szerinti eloszlására vonatkozóan (nem a kvázirészecskékről van szó!). Számítsuk ki az N(p) eloszlás értékét (amely valójában csak p abszolút értékétől függ) a Fermi-gömb mindkét oldalán, vagyis az

N (P f ~ <j)~ N (P f + 4)

különbség határértékét q — + 0 esetén.Az AT(p) eloszlást a Green-függvény segítségével a (7,23) integrállal fejezhetjük ki.

A i»(ö), p) függvény végessége miatt eleve világos, hogy integráljainak különbsége q — 0 esetén nullához tart. Ezért elegendő vizsgálnunk a (10,2)-beli pólustagok integ-

ráljait. Minthogy az *0 tag a nevezőben csak a pólus közelében lényeges, ezért (mint azt a 9.§-ban már kimondtuk) sign co helyett sign ( p - p F) írható.

N(p}

10. §. A FERMI-FOLYADÉK RÉSZECSKÉINEK IMPULZUS SZERINTI ELOSZLÁSA 59

I. ábra

Ekkor az

f i Z Z 1 áoN(pF q) N (p F + q ) — i J | w + ^ _ / o (ú—VFq+jO | 2rr

— öö

egyenlőségre jutunk (az integrál konvergenciája miatt az exp(—icot) tényező értékét t =*—0 esetén 1-nek vehetjük). Ezután az integrálási utat végtelen nagysugarú körrel lezárva, azt találjuk, hogy az integrál értéke q-ió\ független, és éppen Z-vel egyenlő. Tehát

N (pF- 0 ) - N ( pf+ 0 )= Z (10,3)

(A. B. Migdal, 1957).Fentebb már rámutattunk, hogy Z =- 0. Minthogy N(p) 1, (10,3)-ból az követ

kezik, hogy

ü < Z s l (10,4)

(a Z = 1 egyenlőség az ideális gáz határesetében áll elő).ígya Fermi-folyadék impulzus szei inti eloszlásának — ugyanúgy, mint a gázban —,

T = 0 esetén ugrása van a Fermi-gömb két oldalán, ahol a csökkenés belülről kifelé történik. A gáztól eltérően, az ugrás nagysága egynél kisebb, és az N (p) függvény így nullától különböző leszp > pF-re is, amint ezt az 1. ábrán a folytonos görbe mutatja (a szaggatott vonal a gáznak felel meg).


11. §. A termodinamikai mennyiségek kiszámítása Green-függvény segítségével

A'Green-függvény ismerete elegendő a rendszer termodinamikai tulajdonságainak leírásához. T = 0-ra ezeket a tulajdonságokat a rendszer energiájának (ami megegyezik a rendszer alapállapotának E0 energiájával) sűrűségfüggése határozza meg.

Azután, hogy [a (8,16) egyenlet megoldásával] meghatároztuk a kvázirészecskék e(p) diszperziós összefüggését, a fenti függvénykapcsolatot megtalálhatjuk az

£(Pf) = > (11,1)

összefüggés felhasználásával. Minthogy /y-nek iV/K-függése ismert: az (1,1) egyenletből

pF = ( 3 a y l*(NIV)W (11,2)

a (11,1) összefüggés meghatározza a p(N/V) függvényt [bár csak implicit módon, ugyanis az e(p) diszperziós függvény /x-t paraméterként tartalmazza], T = 0 esetén (ekkor S = 0) a kémiai potenciába a /x = (8E0l8N )y termodinamikai összefüggés áll fenn; ezt az egyenlőséget integrálva kapjuk meg a keresett energiát:

'N

£’o = J ( ^ ) dN (11,3)o

(N — 0 esetén természetesen E0 — 0).A T = 0-beli termodinamikai tulajdonságok leírásának másik módja az Q termo

dinamikai potenciál kiszámítása. Az általános definíció szerint (1. V. 24. §) e potenciálra Q = E —T S— fiN = —PV, differenciáljára dQ = —S d T —Ndp. érvényes; T = 0- -ra S = 0, így ezek az összefüggések az

Q = E— fiN, (11,4)

dÜ = —N d(i (11,5)

alakra egyszerűsödnek. Arra is emlékeztetünk, hogy az í2poterciál állandó térfogaton írja le a rendszer tulajdonságait.

Az Q potenciál Green-függvényes kifejezésének megoldására a legegyszerűbb felhasználni N /V és G (7,24) kapcsolatát. (7,24)-ből A^et (ll,5)-be helyettesítve és azt

dfi szerint integrálva (V = const), azt kapjuk, hogy

Qitx) = 2ÍV | d f i - ' limo| G(co, p ) , (11,6)0

minthogy Q — 0, ha jtt = 0.

12. §. ÍP-OPERÁTOROK KÖLCSÖNHATÁSI REPREZENTÁCIÓBAN 61

12. §. T-operátorok kölcsönhatási reprezentációban

A kölcsönható részecskék Green-függvényét általános alakban természetesen nem lehet kiszámolni. Létezik azonban egy matematikai eljárás (mely hasonló a kvantum- térelmélet diagramtechnikájához), melynek segítségével a Green-függvényt a részecskék kölcsönhatási energiájának hatványai szerinti sor alakjában kiszámíthatjuk. A sor minden tagját a szabad részecskék rendszerének Green-függvényeivel és a kölcsönhatási operátorral fejezzük ki.

Vezessük be a heisenbergi kép mellett az operátorok egy másik reprezentációját is, amelyben azok időfüggését nem a rendszer

f í ’ - £ ’«»+ V = J}«» 9

tényleges Hamilton-operátora határozza meg (V a kölcsönhatás operátora), hanem a szabad részecskék operátora:

^„(/, r) = exp (/#'«» t) f(r) exp (-« ? '« » /). (12,1)

Ebben a képben (az ún. kölcsönhatási reprezentációban) az operátorokat és u hullám- függvényeket 0 indexszel látjuk el. A Green-függvényt a }P0 operátorokkal kifejezve (a Heisenberg-operátorok helyett), megtesszük az első lépést a fent kitűzött cél: a G Green-függvénynek <?(0)-val és J^-vel való kifejezésének elérésére.

E szakaszban jelöljük <5-veI (illetve 99-vel) a hullámfüggvényeket betöltési szám reprezentációban (annak érdekében, hogy azokat a koordinátatérbeli W, illetve y> hullámfüggvényektől megkülönböztessük); a másodkvantált operátorok ezekre hatnak. Legyen q> egy ilyen függvény Schrödinger-képben, ezért időfüggését az

(12,2)

hullámegyenlet határozza meg. A Heisenberg-reprezentációban a teljes időfiiggést átvisszük az operátorokra, a hullámfüggvény idó'független: 0 = const. A kölcsönhatási képben a 0 O hullámfüggvény időfüggő, de ezt csakis a részecskék közti kölcsönhatás okozza, vagyis az

i - ~ 0 o( O = U O 0 o ( t ) (12,3)

egyenlet határozza meg, ahol

J?oW = exp ( iá '<»>/) t exp ( - ÍH '«») f) (12,4)

ugyanebben a reprezentációban a kölcsönhatás operátora [a (7,6)—(7,7) tipusú operátorokban erre a reprezentációra egyszerűen aS7 -* ^ helyettesítéssel térünk át]. A (12,3) egyenletet könnyen megkaphatjuk, ha észrevesszük, hogy (12,1) szerint az operátorok transzformációja együttjár a hullámfüggvények

0o = exp {ifi ,(0> t) ip ( 12,5)

szerinti transzformációival (1. III. 12,§). Ezt az egyenletet (12.2) figyelembevételével differenciálva, (12,3)-at kapjuk.12

(12,3) értelmében 0 OU) értékét két, végtelenül közeli időpontban a következő egyenlőség köti össze:

0 o(t+Öt) = [l-iö t-V n(t)} 0 „(!) = exp {-/Ó i -

Eszerint 0 O tetszőleges t pillanatbeli értékét kifejezhetjük valamely korábbi, /0 kezdő- pillanatbeli (tn < t) értékével:

0 o(t)= § ( t ,to) 0 <(to), (12,6)

ahol

S(l, tn) = n exp (12,7)*i — h

Ebben a szorzatban a tényezők ti növekedésének sorrendjében jobbról balra rendezettek; a szorzatot a /„ és / közötti bt hosszúságú intervallumokkal nullához tartva értel

12 (12,3) megegyezik a IV. (73,5) egyenlettel, majd az alább következő megoldása megismétli u IV. 73.§-beli tárgyalást.

mezzük. Ha F0(/) egyszerű függvény lenne, határátmenettel az

exp j _ / J Vn(t)dt

kifejezésre jutnánk. De ez a következtetés, amely a (12,7) szorzatról a kitevőbeli összegezésre való áttérést használ, a különböző időpontokbeli tényezők felcserélhetőségén alapul. A J?o(0 operátorra ez nem érvényes, így nem jutunk a szokásos integrálra. Ehelyett (12,7)-et szimbolikus alakban írjuk:

S(t, to) = T exp í —/ J U O d t] , (12,8)l ío }.l )

ahol T a tényezők (12,7)-tel megegyező sorrendű időrendezésének szimbóluma; jobbról balra haladva a korábbi időpontbeli tényezőkre későbbiek következnek.

Az S operátor unitér (5_1 = § +), és nyilvánvalóak a következő tulajdonságai:

te) S(t2, ti) = S(ta, íj) . . . „S~*(t2, ti)S ~ l(t$, ti) = $~ l{ta, ti).

A további megfontolások egyszelűsí!ésére azt a formális feltevést tesszük (amely a végeredményekben nem tükröződik), hogy ) 0(í) adiabatikusan „kapcsolódik be” í = —o=-től valamely véges időpontra, és t = + «-hez tartva adiabatikusan ki is „kapcsolódik”, t — - °°-re a kölcsönhatás bekapcsolása előtt a<£0(?) hullámfüggvény megegyezik a 0 Heisenberg-függvénnyel. Ha (12,6)-ba a í0 = — értéket írjuk, akkor

0 o( /)= £(/, - ~ ) 0 (12,10)

adódik. Ily módon meghatároztuk a két reprezentációbeli hullámfüggvények kapcsolatát és egyidejűleg az operátorok, köztük a ^-operátorok transzformációs szabályait is:

& = S-Ku - ~) ¥(£(t, - -). (i2,ii)£ unitaritása miatt ugyané szabály szerint transzformálódnak a operátorok is.

Fejezzük most ki a Green-függvényt a kölcsönhatási reprezentációban számított ^-operátorokkal.13 Legyen tí > /2; ekkor

g jx u x2) = -K'Kih) 'Pft(h)) = = -i(S-\tu - =p) ^ ( í j ) §ih, - - ) S-Hh, - oo)x

X ^ / 2) ^ ( /2, ~ - ) ) .

** Ez a levezetés ismétlése IV. 100. §-nak.

12. §. ^-OPERÁTOROK KÖLCSÖNHATÁSI REPREZENTÁCIÓBAN 63-

64 II. FEJEZET. FERMI RENDSZEREK. GREEN-FÜGGVÉNYEI

(12,9) alapján tudjuk, hogy

§(tl, — “») S ~ \ Í 2, — 00 ) = i§(tu ío) — °°) S~ 1(Í2i — 00) = S(tl, ti),

— 00) = — °° )§ ~ 1{<x>, ti)S (°o , h) =

= /l).}

Ezt az előző kifejezésbe helyettesítve:

G J X u X2) =

= — i($ ~ \ =■=>, — " ) ■§(»» fi) § 0 u **) Vdeit2) S(ts, — « )) .

Az ,§ operátorokat az (12,7) szorzattal értelmezve, látjuk, hogy az átlagolt kifejezés minden tényezője a másodiktól kezdve kronologikus sorrendben van t — — <*>-től t ~ 4. oo-ig. Ezért írhatjuk, hogy

jelölést használjuk.tt < esetén a számítások a most bemutatottaktól csak jelölésben térnek el, és a

(12,12)—(12,13) képletekkel megadott végeredmény tetszőleges tl és t2 időpontokra igaz.

Az elvégzett átalakítás független attól, hogy az átlagolást a rendszer milyen állapotában végezzük. Ha azonban az alapállapotról van szó [mint (12,12)-ben], akkor az átalakításokat még továbbvihetjük. Ennek érdekében megjegyezzük, hogy a kölcsönhatás adiabatikus be- és kikapcsolása, akárcsak egy tetszőleges adiabatikus változás, nem eredményezhet a rendszer energiájának változásával járó átmenetet (1. Ili. 41.§). Ezért a nem elfajult állapotú rendszer (amilyen az alapállapotú is) ebben az állapotban marad. Más szavakkal, az § operátor hatása a <£ = &0(— °°) állapotfüggvényre kifejezhető egy (az állapot jellemzése szempontjából lényegtelen) fázisszorzóval, ami $ várható értéke az alapállapotban: £& = Ugyanígy isfennáll. Ezért végül a Green-függvényre a következő, a kölcsönhatási képbeli operátorokkal kifejezett alakot kapjuk:14

g j x 1, x 2) (12,12)ahol az

§ = i?(°o, — 0°) = T exp j-* J U <)* j (12,13)

(12,14)

14 Megjegyezzük, hogy a (12,14)-beli jelölések bizonyos fokig egyezményes jellegűek: bár a r kétszer fordul elő bennük (egyszer expliciten, egyszer pedig § definíciójában), valójában a kifejezés minden tényezőjét egyetlen egységes kronologikus sorrendű szorzattá kell rendezni.

13.§. DIAGRAMTECHNIKA FERMI-RENDSZEREKRE 65

Ezen előállítás lényege az, hogy (12,14)-ben az átlagolást szabad részecskék alapállapota szerint kell elvégezni. Valóban, a $0 operátorok tulajdonságai megegyeznek a V Heisenbergi-operátorok kölcsönhatásmentes esetben mutatott tulajdonságaival. A heisenbergi 0 hullámfüggvény pedig időfüggetlen, azaz megegyezik a t — — °°-beli, kölcsönhatásmentes kezdőértékével. így speciálisan fennáll, hogy

(T#oAXi) = iG $ \X u X 2) (12,15)

a kölcsönhatásmentes részecskék rendszerének Green-függvénye.

13. §. Diagramtechnika Fermi-rendszerekre

A (12,14) típusú szimbolikus kifejezések megalkotásának értelmét az adja, hogy segítségükkel a V hatványai szerinti sorfejtés egymásra következő tagjait egyszerűen felírhatjuk. így

(T P j X ) V & X ') §) =0 0 00

= J 0 -7 r - J *!■ • ■ j dt» <T *UX) U h ) . . . ?o('«)>. (i3 ,i)

(5 ; kifejezése csak hiányában különbözik a fentitől a T szimbólum mögöttálló kifejezésben. Mint már arra rámutattunk, a V0{t) operátor a kölcsönhatási képben (7,7)-bŐl az összes operátor $V ra való cserélésével kapható meg. A (13,1) sorfejtés tagjainak kiszámítása ily módon különböző számú szabad ^-operátor időrendezett szorzata alapállapotbeli várható értékének kiszámítására vezethető vissza.

Ezek a számítások nagymértékben automatizálhatók a diagramtechnika szabályait használva, amelyek ugyanakkor jelentősen függenek a vizsgált fizikai rendszer sajátosságaitól. A módszer, amit ebben a szakaszban mutatunk be, a nem szuperfolyékony Fermi-rendszerekre érvényes. Feltesszük, hogy a részecskék párkölcsönhatása spinfüggetlen, de egyéb kölcsönhatást nem tételezünk fel. A megfelelő kölcsönhatási operátorra

m = y {"PaA1* rí) P&{t, r2) U{r ! - r 2) # * (/, r2) >Pw(t, rx )d3xy cPx2 (13,2)*1

írható, ahol l/(rx—12) a két részecske kölcsönhatási energiája [a (2) felső indexet V és Ü jelölésében elhagytuk].

5 Statisztikus fizika 2. rész


A ^operátorok szorzatát Wick tétele segítségével számítjuk ki, amely a következőképpen hangzik.15 Tetszőleges (páros) számú í£íé s$ '+ operátor szorzatának várható értéke megegyezik az összes lehetséges operátorpáronkénti várható értékek (párosítások) szorzatainak összegével. Az egyes párokban az operátorok ugyanabban a sorrendben követik egymást, mint az eredeti szorzatban. Az összeg tagjainak előjelét a (— l)p tényező határozza meg, ahol P azoknak a permutációknak száma, amely ahhoz szükséges, hogy a párosítandó operátorok egymás mellé kerüljenek.

Csak azok a párosítások különböznek nullától, melyek egy és egy tényezőt is tartalmaznak: egy diagonális mátrixelemben az összes által eltüntetett részecskét ^ +-tel újra kell kelteni. Ezért világos, hogy több ^-operátor szorzatának várhaló értéke csak akkor különbözhet nullától, ha abban egyenlő számú }P és található.

A T-szorzat várható értéke — alkalmazva rá a Wick-tételt — kifejezhető a párok T-szorzatainak várható értékével, azaz a (12,5) összefüggés szerint a szabad részecskék Green-függvényeivel. Ezt most a kölcsönható részecskék Green-függvényének elsőrendű korrekciójánál mutatjuk be.

Előzetesen megjegyezzük, hogy a (12,14) képlet számlálójának kifejtésekor, amelyet, a Wick-tétellel végzünk el, a következő típusú tagok is megjelennek:

(T ÍU X i) xP&{X2))(S) = iGfiXXi, X2)(S). (13,3)

Ezekben az 5-hoz képest „külső” két ^-operátor egymással párosul; (§ ) kifejezése (kifejtésének minden tagjában) csak „belső” operátorok egymás közötti párosítását tartalmazza. Az (§) tényezőt (12,14) nevezője egyszerűsíti, így ezek a tagok mind a perturbálatlan /(?$ Green-függvényt adják.

(13, l)-ben az első két tagot meghagyva, (13,2)-t behelyettesítve és új változó jelöléseket alkalmazva, azt kapjuk, hogy

>GJ.XU X2) * K1&+ÍG&,ahol

^ ( * 2)X

x 1 dt I ^ /^ t' u ( > 3 _ ^ rs ■—oo

A képletek még zártabban írhatók az

U (X1- X * ) = U i n - ^ ó i h - t t ) (13,4)

u A tárgyalás folyamatossága kedvéért a tétel bizonyítását a szakasz végére hagyjuk.

jelölés segítségével. Ekkor10

= - J | Uu d*Xs d*Xif

ahol d*X — dt cPx.Wick tétele alapján úgy átlagolunk, hogy az operátorokat külön kiírjuk, és elvégez

zük az összes szükséges párosítást:

13. §. DIAGRAMTECHNIKA FERMI-RENDSZEREKRE 67

A fentebb moncottak szerint azokat a tagokat, melyek a párosítást tartalmazzák, elhagyjuk. A párosított operátorokat egymás szomszédságába kell áthelyeznünk, így például a fentiek közül az első tagnak a

szorzat felel meg, a/, utolsónak pedig

- <T V & t X T &+’ < ^ 3 > .

A különböző argumentumú operátorok párosított szorzatait a

^ = (T $ & } ) = iC?„ - ~iG% stb.

minták szerint alakítjuk vissza. Az azonos argumentumú i/K>perátorok párosításai az ideális gáz részecskéinek számsűrfíségét adják meg (amit «(ű)-val jelölünk, és a ft kémiai potenciál függvényének tekintünk):17

= = (13,5)

18 Itt és a következőkben az írásmód egyszerűsítésére egyezményesen elhagyjuk iPo indexét és az1, 2, . . . számindexekkel az X változók és a spinindexek halmazát jelöljük:

= iFtí(X l), P . s ^ } , . . . ;<?12 = * 2), t/ 12 e £ /(* ,- Jfj).

17 Ezek a párosítások mindig ugyanazon V kölcsönhatási operátor ^tényezőiből származnak. Ezért ezekben ?P+ mindig í'-tő l balra áll.

5*

68 II. FEJEZET FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

így azt kapjuk, hogy

iG = d*Xi . UM[-G\fG&'G%>-GWG&G&+M* G&G&+W* GffGff).

Ez a négy tag páronként azonos, csak az X3, ill. X4 integrálási változók használatában különböznek. így az 1/2 tényező eltűnik és a Green-függvény elsőrendű korrekciója csak két tagot tartalmaz:

iG® = J G M - ö W G S ? ! d*X3 d 'X t . (13,6)

E tagok szerkezetét a következő Feynman-diagramokkal fejezhetjük ki:

(13,7)

------- i r ~ ----- *----- C~ 2 X --------1 U 2 1 3 A 2

Ezeken a diagramokon a 4 *- 2 folytonos vonal a 'P fP f párosítást jelzi (vagyis az iGfi függvényt), a számok az Xt és Xz változók sorszámára utalnak, amelyek a párosított operátorok változói. A nyíl iránya a párosításban !^+-től XP felé mutat. Két ope

rátor párosítását, amelyben azok argumentuma azonos (tehát az n<0) sűrűséget),egy hurok, azaz „önmagában záruló” folytonos vonal jelképezi. A 3--------- 4 szaggatottvonal az C/34 tényezőt jelenti. Minden változóra, amely a diagramok belső pontjait jelöli (a vonalak metszéspontjai), integrálni kell. A diagramok „külső végeit” jelölő (A\ és X2) változók szabadok maradnak.

A (13,3) kifejezésből származó elsőrendű járulékokat két, külön részre széteső diagrammal ábrázolhatjuk: az iGfJ tényezőnek megfelelő egyenes vonallal és a zárt hurkokat alkotó folytonos vonallal; ilyen pl. az

ábra is. Átgondolva az operátorok párosításának módját, és a hozzá tartozó diagramok szerkezetét, megérthetjük a következő általános szabály eredetét: a perturbációszámítás minden rendjében az (S )-1 tényező (12,14)-beli jelenléte azt eredményezi, hogy csak az „összefüggő” két külső véggel rendelkező ábrákat kell figyelembe venni. Ezek „elkülönült”, külső vonal nélküli hurkokat nem tartalmaznak (a kvantumelektrodinamika analóg helyzetére vonatkozóan 1. IV. 100. §).

Az 1/2 tényező (13,6)-beH eltűnése egy általános szabály megnyilvánulása: az n-ed- rendű tagban nem kell figyelembe venni az l/«! tényezőt, amely a (13,1) kifejtésből származik, valamint a (13,2)-beli 1 /2 tényezőkből kialakuló 2~” tényezőt sem. Ugyanisaz n-edrendü diagramok n számú szaggatott vonalat tartalmaznak: í---------k. A z 1/n!tényezőt az i, k számpároknak az n vonal közötti lehetséges szétosztását figyelembe véve hagyhatjuk el. A 2~" tényezőt pedig egyetlen vonal két végét indexelő /, k pár tagjainak felcserélését figyelembe véve hagyhatjuk el.

A diagramtechnika szabályait most nem koordinátareprezentációbeli, hanem az impulzustérbeli Green-függvények kiszámítására fogalmazzuk meg, ami a fizikai alkalmazásokban a legfontosabb.

Im p u lzu srep rezen tác ió ra a (7,21)—(7,22) F o u rie r-fe lb o n tá s segítségével té rh e tü n k á t , am it „n ég y d im en z ió s” a la k b a n íTunk fe l:10

G(X) = j G(P) e-*™ , G(P) = j G{X) é™ d*X, (13,8)

ahol P = (a», p), a „négyesimpulzus” és PX = cat—pr. Hasonló módon bonthatjuk fel a kölcsönhatási potenciált is:

U(X) = 6(t) U(r) = | U(Q) (13,9)

ah o l Q = (<?„, q); U(Q) m egegyezik a h á ro m d im en z ió s k ife jtés F o u r ie r -k o m p o n en sé vel:

U(Q) = £/(q) = J U(r) e - ‘*' (Px. (13,10)

Az (J(r) függvény párossága miatt nyilvánvaló, hogy L/(—q) = C/(q).Végezzük el ezt a kifejtést a <?$ — X2) elsőrendű korrekción. Ennek érde

kében szorozzuk meg a (13,6) egyenletet exp A^J-vel, és ezután integráljukazt d*(X1—X2) szerint.

Az első tagban írhatjuk, hogy

e iP { X ^ X ,} _ e iP ( X ,- X 3) e lP (Xt - X t)^

és ezután az integrálási változókat megváltoztatva, azt kapjuk, hogy

inW j G ^ iX , - X3) d ' ^ - X J X

X j G $(X3- X2) d*(X3- X 2) $ U (X 3- *<) d \X 3- Xt).

18 A leírás gördülékenysége érdekében négydimenziós terminológiát használunk, de hangsúlyozzuk, hogy tárgyalásunknak semmi köze a relativisztikus invarianciához!

Az első két integrál szorzata G{ (P ) G $(P), a harmadiké pedig C/(0) = f U (r) rf*v, azaz C/(q>nak q = 0-nál felvett értéke.

Hasonló módon, a második tagban

gíPdt.-atj) _ gip<,xi~x,) eiP(xz-x ,) e iP[X, - x t)

írható, és áltérve az Xy- X &, Xs—Xit X4 — X2 szerinti integrálásra,

-G $ (P ) j G $(X ) U(X) etPX d 'X -G ,f(P )

kapható. A visszamaradó integrált a G $ és U függvények Főúriéi-transzfonnáltjaival fejezzük ki, a szorzat Fourier-transzformáltjaira vonatkozó

j ' f { X ) g( X) e>rx d*X = J / ( P i) g { P - /»,) (13,11)

képlet19 segítségével, így a Green-függvény elsőrendű korrekciójának impulzustérbeli végleges alakja:

iG $(P ) = j«W í/(0) G $(P ) G $ \P ) -

70 Dt. FEJEZET. PERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

- I G<$(P) G$>(P,) G tyiP ) U(p - Pl) . ( 13,12)

(13,12) két tagjának mindegyikét cgy-egy Feynman-diagramnak feleltelhetjük meg, így (13,12)-t grafikusan a következőképpen ábrázoljuk:

9í + p-p,*_____U_____ __________________________ (13,13)p p P ff p

a) b)

l*E képlet bizonyítására a bal oldalon a z / (X ) , ill. g(X) függvényeket Fourier-kifejtésként kell Imi:

j f ( X ) g ( X ) e “>* d * X = j / ( / \ ) •

A d*X szerinti integrálást azj e"* d*X = { 2 n fb ^ (P )

képlettel végezhetjük el. Itt a négydimenziós ő(1> delta-függvényt a P „négyesvektor” komponenseire vonatkozó delta-függvények szorzataiként definiáljuk. A <514’( P —Pt —P,) tényező a d4P* szerinti integrálással távolítható el. Ekkor kapjuk a (13,11) képlet jobb oldalát.

A vonalak metszéspontjait a diagram csúcsainak (vertexeinek) nevezzük. A perturbációszámítás n-edik rendjében minden diagramnak 2« csúcsa van. Minden csúcsban két folytonos és egy szaggatott vonal találkozik. Minden folytonos vonalhoz egy P „négyesimpulzust” rendelünk, melynek irányát nyíl jelzi (a nyíl irányítása a folytonos vonalak egymáshoz csatlakozó sorozatában nem változik). Minden szaggatott vonalhoz egy Q „négyesimpulzust” rendelünk (ezek irányítását egyezményesen választhatjuk).20 A diagram csúcsaiban teljesül a „négyesimpulzus megmaradásának törvénye” : a csúcsba befutó négyesimpulzusok összege megegyezik a kifutó vonalak négyesimpulzusainak összegével. A csúcshoz egyúttal határozott a spinindexet is hozzárendelünk. Minden diagramnak két külső vonala van (egy befutó és egy kifutó), melyek „négyesimpulzusa” a kereseu Green-függvény, Gaís(P) változója; a ki- és befutó vonalakhoz hozzárendeljük e függvény a és fi spinindexeit. A diagram többi vonalát belsőnek hívjuk.

Az egyes diagramoknak megfelelő analitikus kifejezéseket a következő szabályok alapján írjuk fel:

1. Az x és csúcsok közötti minden folytonos vonalhoz az iG{ (P ) kifejezés tartozik, a szaggatott vonalakhoz pedig — i(J(Q). A z egy csúcsot tartalmazó zárt huroknak az rt(0)(/i) szorzótcnyezőt feleltetjük meg.

2. Minden csúcsban fennáll a négyesimpulzus megmaradásának törvénye. A megmaradó, belső határozatlan négyesimpulzusok szerint a í/*Jd/(2ji)4 mértékkel integrálunk. Minden csúcsban összegezünk a „néma” spinindexpárokra, melyek az ott találkozó, szomszédos tényezőkhöz tartoznak.

3. Az iG^-b’d járulékot adó diagramot a (— 1)*" tényezővel szorozzuk, ahol L a diagramban található, egynél több csúcsot tartalmazó, folytonos vonalból kialakuló zárt hurkok száma.

Az utolsó szabály eredete a következő. A k >- 1 csúcsot tartalmazó hurkok a y- operátorok következő típusú párosításaiból származnak:

Ebben minden egyes párosítás iG$, • • az utolsó pedig —iG $ tényezőt ad. Ami az egyetlen csúcsot tartalmazó hurkokat illeti, azok helyes előjelét az 1. szabálynak megfelelően bevezetett tényező már biztosítja.

20 A Q = (<?<,, 4) négyesvektorok „idö” -komponensei általában zérustól különbözőek, de az U(Q)függvény a (13,10) definíció alapján <?a-tól független. A szaggatott vonal irányításának határozatlansága az V(Q) függvény párosságával [U(—Q) = V(Q)\ kapcsolatos.

Példaként megadjuk a Green-függvény másodrendű korrekcióinak megfelelő összes diagramot:

P « --------£i — — ^ ^ -------y* — — p ---------


a ) b jU/Q 7

c) d) e)

00 oo

[13.14)

ti — X.g) hl

0 0i) í j!

Végül visszatérünk a Wick-tételre, és megadjuk bizonyítását a V -*■ <» „makroszkopikus határesetben” (vagy ami rögzített sűrűség mellett ugyanaz, az N -*■ <» limeszben). Statisztikus alkalmazásokban ez nyilván elegendő.

Vizsgáljuk például négy y-operátor

I <áPÁ Á +A +,) exP (• - ■) (13,15)V Pl -Pl

típusú átlagértékét [a ^-operátorokat (9,3) alakban állítjuk elő, a kitevőket nem írjuk ki]. Ebben az összegben csak azok a tagok különböznek nullától, amelyekben azonos számú <5p és operátor található azonos impulzusindexszel. Köztük vannak olyanok is, amelyeknek impulzusai páronként megegyeznek, pl. pj = p4 és p2 = p3. Ezek a tagok a

XPC2 03 04

párosításnak felelnek meg, és az

1V*I* X e x p ( . . .)

P lP í

,

14. §. A SAJÁTENERGIÁS FÜGGVÉNY 73

összeggel adhatók meg. A V — «• határesetben a pj és p2 szerinti összeget V2 cPpx cPp2/(2n)* szerinti integrálással helyettesítjük, így a V tényezővel egyszerű- sithetünk, és akifejezés véges marad. A (13,15) összegbe járulékot adnak azok a tagok is, melyekre Pi = p2 = P3 = Pa, és amikből

^ £ < < V V W > exP (- - - )

alakú összeg adódik. A K -*«° limeszben egy l/V tényező megmarad a kifejezésben, és a járulék így elhagyható.

Világos, hogy a kapott eredmény általános érvényű: a V —• » limeszben a ^-operátorok szorzatainak átlagához csak a párosítások adnak nullától különböző járulékot.

Megjegyezzük, hogy a fenti bizonyításban nem használtuk ki, hogy az átlagolás a rendszer alapállapotában történik, így a tétel érvényben marad a rendszer tetszőleges kvantumállapotában való átlagolásakor is.21

14. §. A sajátenergiás függvény

Az előző szakaszban megfogalmazott diagramszabályok fontos tulajdonsága a következő: a diagramok közös együtthatója független azok rendjétől. E tulajdonság alapján a diagramot alkotó minden vonalnak önálló analitikus jelentése van, amely független a „környezetétől”, ezért előre kiszámítható. Mi több, előre kiszámítható bizonyos diagramok összege is, melyek meghatározott számú külső vonalat tartalmaznak. Ezt a „blokkot” azután bonyolultabb diagramokba helyettesíthetjük. Ez a lehetőség a diagramtechnika egyik legnagyobb előnye.

E „blokkok” egyikének lényeges önálló jelentése is van: ez az ún. sajátenergiás jügg- vényP E fogalomhoz úgyjuthatunk el, ha tekintjük a Green-függvénybe az összes olyan

21 Ha az átlagolás az alapállapotban történik, akkor Wick tétele nemcsak a makroszkopikus határesetben érvényes. A megfelelő statisztikus fizikabeli bizonyítás megegyezik a kvantumelektrodinamikai bizonyítással (IV. 78. §). Az egyetlen különbség a két eset között az alapállapotok eltérő voltában van: a vákuumban nincsenek részecskék, az ideális gázban viszont azok éppen kitöltik a p r sugarú Fermi-gömböt. A p pF impulzusú részecskéket keltő és eltüntető és (í, operátorok szempontjából ez a különbség lényegtelen, és a bizonyítás betű szerint átvehető. A p -< p r impulzusú részecskék keltő és eltüntető operátorait előzetesen át kell jelölni: ás = b£ módon, azaz a részecskékről a lyukakra kell áttérni, amelyek alapállapotban a Fermi-gömb belsejében való' ban hiányoznak.

12 Vö. a kvantumelektrodinamika analóg definíciójával, ahol ezt a függvényt kompakt sajátenergiás függvénynek hívják (IV. 100., 102. §).

járulékot, amelyek diagramját nem lehet egyetlen folytonos vonal elvágásával két részre bontani. Ilyen pl. a (13,13) elsőrendű diagramok mindegyike és a (13,14a—f ) másodrendű diagramok. E diagramok hasonló felépítésűek: a végekhez egy-egy iG^j tényező tartozik, a belső részeket pedig valamilyen (P-függő) függvény írja le, amelyet sajátenergiás függvénynek hívunk. Az összes ilyen járulék összegét nevezik pontos vagy teljes sajátenergiás függvénynek vagv tömegoperátomak. Jelölése:

Az összes sajátenergia-típusú diagram járuléka a Green-függvénybe

Í G ^ { P ) [ ~ l W í \ iG $ \P ) = <G«»(P) 2 (P ) G«»(P) (14,1)

alakú, ahol Gf£ = <5(0)óa/J, és felhasználtuk, hogy

Z -d P ) - W P ) . (14,2)

A teljes Green-függvény (melyet grafikusan vastag folytonos vonal jelöl) a következő végtelen összessel adható mee:

74 II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGG VÉNYEI

(14,3)

ahol a körök a (— pontos sajátenergiás függvényt jelölik. A harmadik tagtól kezdve minden tagot olyan ábra jelöl, amelyet két, három vagy több részre vághatunk egy-egy vonal elvágásával.

Ha a (14,3) sor minden tagjából a másodikkal kezdve egy köröcskét a jobbról hozzá csatlakozó vonallal együtt „kiemelünk”, a maradék újra az eredeti sorral egyezik meg, azaz

aAnalitikusan ez az egyenlőség

G - <?(<>>+ G£G«*> (14,5)

alakban írható, vagy <?(0>C?-vel osztva:

G(P) = GW(P) (J4’6)

Megjegyezzük, hogy S képzetes részének előjele ImG-ével azonos, és (8,4) szerint:

sgn Im 2’(ítf, p) = — sgn m. (14,7)

1

14. §. A SAJÁTENERGIÁS FÜGGVÉNY 75

Ez (14,6)-ból annak figyelembevételével következik, hogy ImG-1 előjele ellentettje ímG-ének, és (9,7) alapján tudjuk, hogy lm G(<,)-> = 0.

így G kiszámítása £ kiszámítására redukálódik, ami kisebb számú diagram figyelembevételét igényli. Ez a szám jelentősen tovább csökken, mivel bizonyos diagramokat azonnal összegezhetünk.

Például a .T-t meghatározó diagramok közül azonnal kiválaszthatjuk azokat, amelyek (párkölcsönhatások esetén) bizonyos „kinövéseket” tartalmaznak, amik csak egyetlen szaggatott vonallal csatlakoznak a diagram fő részéhez. Ezek összegét 27,,-val jelöljük. Az összes ilyen diagram egyetlen „ vázdiagrammal”2X képviselhető

0 (14,8)

A megmaradt járulékokat 2^-vel jelöljük. így az első- és másodrendű diagramok közül az első kategóriába tartoznak a következők:

(14,9)

a másodikba pedig:

o) bj ej

----- j- — -f-

a) b)

0 (14,10)

+ V +■* + (C3c) d) e)

“ Ugyanúgy, múlt a kvantumtérelméletben, vázdiagramnak hívjuk azokat a diagramokat, melyeket vastag vonalak is blokkok építenek fel. Minden egyes ilyen diagram ekvivalens végtelen sok szokásos diagram meghatározott halmazával, melyek különböző rendű járulékot tartalmaznak.

A (14,8) diagrambeli vastag huroknak a rendszer pontos n(p) sűrűsége felel meg, ahhoz hasonlóan, ahogyan a (13,13o) diagrambeli vékony huroknak az ideális gáz

sűrűsége felelt meg. így a (14,8) definícióból következik, hogy

- i ü = - / b(#í) W . (14,11)Tehát

27 = n(fi) U(0)+Zb, (14,12)

ami azt jelenti, hogy csak a 2 ^-hez tartozó diagramokat kell részletesen vizsgálni.A kvázirészecskék diszperzióját a (8,16) egyenlet adja meg. Ebben G-t 27-val (14,6)

szerint kifejezve, majd G ^-t (9,7)-ből véve, az egyenlet a következő alakot ölti:

— 1— = £ ( p ) - ^ - = £ ( f i - / í , p ) . (14,13)


G(°)(c— /*, p) 2m

A Fermi-gömb határán (p = pF) a kvázirészecske energiája p. Ebből világos, hogy

( i - S i oiP f ) = A . (14,14)

Végül a diszperziós törvényt (/?-nek pF-hez közeli értékeire) az

£(p )_<u = ^ - ( p - ^ ) + í ( « - ftP lr)-2?(0,p ,) (14,15)m

linearizált alakban kapjuk. Hangsúlyozzuk, hogy pF itt a kölcsönható részecskék határimpulzusának pontos értéke. Ezt a pontos sűrűséggel az n(pL) = /?^/3ji2 képlet köti össze, de nincs kapcsolatban n(0)(ju)-vel, amint arra (13,5)-ből naivan következtethetnénk.

15. §. A kétrészecskés Green-függvény

A diagramtechnika egy másik alapvető objektumához jutunk el, ha négy heisenbergi ^operátor T-szorzatát átlagoljuk az alapállapotban:24

^ i . ' C T Í . W í ) . (15 ,D

24 Újra egyszerűsített jelöléseket alkalmazunk, ahol az 1, 2, . . . indexek a négyeskoordináták és a spin együttesét jelölik: X la, XnJ , . . . (La 16. lábjegyzetet). Teljesen kiírva:

31.12 = A";).

15. §. A KÉTRÉSZECSKÉS GREEN-FÜGGVÉNY 77

Ezt a függvényt kétrészecskés Green-függvénynek hívják, megkülönböztetésül a (7,9) Green-függvény tői, melyet e vonatkozásban egyrészecskésnek nevezhetnénk.

A perturbációszámítás alkalmazásához és a diagramszabályok levezetéséhez át kell térnünk a kölcsönhatási reprezentációra. Csakúgy, mint a G-függvény esetében, ez az § tényező megjelenésére vezet a T szimbólum mögött:

*W.12 = (15,2)

Nulladik közelítésben (azaz ha § = 1) ez a kifejezés két párosítás szorzatára esik szét, melyeket a G(0)~függvényekkel fejezhetünk ki:

* $ ,2 - (15,3)

A fent definiált kétrészecskés Green-függvény tulajdonságainak további vizsgálatát az impulzusreprezentációban végezzük el.

Homogén rendszerben K3i 12 csak a változók három független különbségétől, pl. (A'j— A^-tőI, (A"4— X2)-löl és (A'1—X,)-től függ. Ezt a tulajdonságot impulzusreprezentációban úgy fejezzük ki, hogy az összes X lt . . X i változók szerint transzformáit Fourier-komponens egy négyes delta-függvényt tartalmaz:

J tf«.,*exp { / ( f / ^ P / r V r t t ) } # X x.. .# X t =

= (2rt)4 ö 'iP z + P i-P l- P J K-s . A P ^ Pt i Pi, P2)- (15,4)

Erről könnyen meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy

PsX i + P i X i - P lX l - P 2X t =

= P , ( X z - X 2) + P i i X i - X o ) - P l i X i - Xo)- X 2(P, + P , - P 3- Pt ),

és áttérünk az X%- X2, X4- X2, X x— X 2 és X2 változók szerinti integrálásra. Megjegyezzük még, hogy az inverz Fourier-transzformációt a

^31, 12 = ^ Kyj'ZpiPz, P \\ Pl, Pz + Pi — J°l)X

X exp { - 1 [P3(X 3- X 2) + P l(X i ~ X 2) - P i { X i - X 2)]} diPl£ ^ * ÍPi- (15,5)

alakban írhatjuk

A Kyi ^ (P 3, Pt , Px, Ps) függvény a kétrészecskés Green-függvény, impulzusrepre- zentácíóban. Változói között fennáll a

P 1+ P 2 = Pa+Pi

összefüggés.Nulladik közelítésben [(15,3)-mal összhangban]

K ^ M , P ^ P ^ P 2) ^

= (2*)«[#«(/>! Ps)G<?XPi)G%(P2) W P i- P J G f f lP J & M P J U (15,6)

azaz K egyrészecskés Green-függvények szorzatainak összegévé redukálódik.A perturbációszámítás következő közelítéseiben megjelennek ezen egyrészecskés

függvények korrekciói. Mellettük azonban olyan tagokat is kapunk, amelyek nem írhatók G-függvények szorzataiként. A kétrészecskés Green-függvénynek éppen ez a része érdekes számunkra. Leválasztása érdekében K-X a

Pil Pl, P2) = (271)* [# % Pi-P J G^,(Pi) G h J P J - - WKPt-Pt) G * M ) GKiX,(Pi)] +

+G«3fiz(P3) Ga,pt(Pi) iffirf,, fi,fc(P3, Pi\ P\, P-i) Gpm (Pi) G p^iPi) (15,7)

alakban írjuk. A (15,7)-íel definiált P-t csúcsfüggvénynek (vertexfüggvénynek) hívjuk.A (15,1) definíció szerint a kétrészecskés Green-függvény téridő reprezentációban

antiszimmetrikus az 1 és 2 vagy a 3 és 4 változópár felcserélésére nézve (beleértve a spinindexek cseréjét is). Ebből hasonló szimmetriatulajdonság következik impulzus- reprezentációban a Green-függvényre és a csúcsfüggvényre is:

Pyö, <t@(P3, Pi-, Pl, P2) = - r&~A 4&Pt, ps; Pl, P2) = ~ r yS, *(/>„, Pl- P2, Px). (15,8)

A négy G-szorzó F definíciójából való leválasztásának értelme [(15,7) utolsó tagja] világossá válik, ha megvizsgáljuk a (15,2) definíció perturbatív értelmezésekor megjelenő diagramok szerkezetét. Az alább következő megfontolások újra párkölcsönhatásokat tételeznek fel a részecskék között.

Nulladik rendben a K függvény a

78 II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEi

15. §. A KÉTRÉSZECSKÉS GREEN-FÜGGVÉNY 79

diagramokkal írható le, amelyek (15,6) egyes tagjainak felelnek meg. A perturbációszámítás első rendjében a következő típusú diagramok jelennek meg:25

melyek (15,6) egyes tényezőinek korrekcióit jelentik. Rajtuk kívül azonban megjelennek olyanok is, melyek nem esnek szét két részre:

v —\ — r*—

t ó i R+---- ^----~h (15,9)

P2

A Plt . . ., Pt nyilaknak négy G tényező felel meg a (15,7) képlet utolsó tagjában, a „belső rész” (első rendben) meghatározza a csúcsfüggvényt, amelyet (15,9) bal oldalán a kör jelképez. Ezt az egyenlőséget analitikusan felírva, azt kapjuk, hogy

r $ .A P 3, Pt ; Pi, pi) = - K W P x - p j + d * öpyUiP, - p j .

A magasabb rendekben létrejövő diagramok három típusú korrekciót tartalmaznak: 1. további módosítások az össze nem kötött folytonos vonalakhoz, 2. sajátenergiás korrekciók a diagramok külső vonalaihoz, 3. azok az ábrák, amelyek a (15,9) diagramok szaggatott vonalait módosítják. Ez utóbbiak összes lehetséges típusának összege adja az /T függvényt. Grafikus jelölésben a kétrészecskés Green-függvényt a vázdiagramok következő összegével képviselhetjük:

+ (15,10)

ahol a vastag vonalak a pontos (/-függvényeket jelölik, a kör pedig egyezményesen a csúcsfüggvényt szimbolizálja.

“ Csakúgy, mint az egyrészecskés Green-függvény esetében, az (S )"1 szorzó eltünteti azokat a diagramokat, amelyek elkülönült, önmagukban zárt folytonos vonalat tartalmazó hurkokból állanak (vákuumfluktuációk).


A csúcsfüggvényt a perturbációszámítás különböző rendjeiben a diagramtechnikának a 13. §-ban ismertetett szabályai alapján számíthatjuk ki. Ennek során a „négyágú” diagramokat kell figyelembe venni (nem pedig a kétvégűeket, mint azt G esetében tettük). A 3. szabályt, amely a diagram járulékának előjelét rögzíti, ki kell egészíteni a következőkkel: ha az 1 és a 4, valamint a 2 és a 3 végeket (és nem az 1 és a 3, valamint a 2 és a 4 végeket) köti össze folytonos vonal, akkor a diagram előjelét ellenkezőjére kell változtatni.

Példaként megadjuk a csúcsfüggvényhez a perturbációszámítás második rendjében járulékot adó összes diagramot:

A sajátenergiás függvény és a csúcsfüggvény (27 és F) nem függetlenek; integrálegyenlet kapcsolja őket össze, melyet Dyson-egyenletnek hívnak.2®

Levezetésére a (9,5) egyenletet használjuk fel, amely (mint azt ott megjegyeztük) érvényes kölcsönható részecskékre is. A 9. §-beli levezetéshez képest annyi a különbség, hogy most a ^-operátor kielégíti a (7,8) egyenletet. Ez utóbbiból a külső teres tag elhagyásával kiszámított d'Pjdii differenciálhányadost (9,5)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

2

+

3, (15,11)3 . 1 3

+

4 2c) d)

- i f (T'P&iXs) U(Xi - X3) 'PY(X3)J*X3. i t o ) f y - W )

( 15, 12)

** Ez az egyenlet analóg a kvantumelektrodinamika Dyson-egyenletével (I. IV. 104. §).

Ez az egyenlet elvben megoldja a kérdést, ugyanis K (15,7) szerint kifejezhető /*- val. Még át kell térnünk impulzusreprezentációra. Ezért (15,12)-t megszorozzuk exp [ i p ^ — A^J-vel, és di(X1—X2) szerint integráljuk. Ennek során Kn 32-t (15,5), í/13-at (13,9) alakban használjuk. A négyes koordináták szerinti integrál ekkor ő-függ- vényeket ad, amelyek a megfelelő négyesimpulzusok szerinti integrálással eltávo- líthatók. Végeredményül

[GW -KP)G (P)- I] K =

= - í j KnyJLP* Pi', Pj+P*—P, P) U{P-P<) (15,13)

adódik, ahol G ^ ^ H (9,7)-ből vesszük.Most már csak K-t kell JWal kifejeznünk. (15,7)-et (15,13)-ba helyettesítve, meg

kapjuk a Dyson-egyenlet végleges alakját:

= t>«í>Z(P) =

- u (0) «(/x) Ke+iKt, | ! ! (p ~ P l) G( P,) +

+ j / W P 3, P ^ P t+ P i - P , P) G(P3) G(P4) GiPt+Pi P) U (P -P Á) •

(15,14)

Itt n(p,) a rendszer pontos sűrűsége a kémiai potenciál függvényében; ez a tényező a G-függvény (7,24) szerinti integrálásakor jön létre (ennek során azt vesszük figyelembe, hogy a G-függvény olyan párosítás eredménye, melyben *P+ balra állt tf'-től). Megjegyezzük, hogy (15,14) jobb oldalán az első tag éppen S a [1. (14,11)].

16. §. A VERTEXFÜGGVÉNY ÉS A KVÁZIRÉSZECSKÉK SZÓRÁSI AMPLITÚDÓJA 81

16. §. A vertexfüggvény kapcsolata a kvázirészecskék szórási amplitúdójával

Az előző szakaszokban kifejlesztett matematikai eszköztár lehetővé teszi, hogy mélyebben megalapozzuk a Fermi-folyadckok Landau-elméletcnek alapvető összefüggéseit, melyeket az I. fejezetben többé-kevésbé intuitívan vezettünk be. E feladatnak szenteljük a 16—20. §-okat.27

27 A 16 —18.§-ok tartalmát L. D. Landau (1958); a 19-20. §-ok anyagát pedig L. D. Landau és L. P. Pitajevszkij (1959) közösen dolgozták ki.

6 Statisztikus fizika 2. rés^

A csúcsfüggvény és a kvázirészecskék kölcsönös szórási amplitúdója közölt szoros kapcsolat áll fenn. Ennek jobb megvilágítása érdekében először vizsgáljuk két részecske vákuumbeli ütközésének tisztán kvantummechanikai feladatát.

A kvantummechanikában a „négyágú” (négy külső vonalat tartalmazó) diagramok két részecske ütközését írják le; a diagram analitikus kifejezésében a külső vonalakhoz a szabad részecskék hullámfüggvényeinek (síkhullámok) amplitúdóit rendeljük hozzá (vö. IV. 103. §). Kövessük végig, hogyan adják a különböző rendű diagramok a szórásamplitúdó Born-féle sorfejtésének egymásra következő tagjait.

Először is valódi vákuum esetén a diagramok jelentős része zérus járulékot ad. Ezt legegyszerűbben koordinátareprezentációban érthetjük meg, észrevéve, hogy vákuumban a QP+XP) típusú párosítások mindegyike zérus, amennyiben az eltüntető operátor jobbra áll, és elsőként hat a vákuumállapotra. így csak a (*P'P+) típusú párosítások maradnak meg. Tehát nulla lesz minden, zárt folytonos vonalat tartalmazó diagram értéke, mivel mindig tartalmaznak (4/+}P ) típusú párosítást. Ugyanebből az okból nulla a Green-függvényhez adódó minden korrekció, azaz a diagramok minden belső folytonos vonalának korrekciója.28 Végül zérus járulékúak azok a diagramok is, amelyeken szaggatott vonalak keresztezik egymást, mint pl. a

7 2-r+ -

diagramé (itt az 1 és 2 számok a tt és t2 változókra utalnak); ugyanis t2 > ?1-re a felső vonalnak a ('P^P-i) = 0 párosítás, t2 < ír re az alsó vonalnak a ('P*^P^) = 0 párosítás felel meg.

Ily módon a vákuumbeli két részecskére a következő ábrák maradnak meg, melyek „létrasort” alkotnak;

11 r r r + - + P — 4 (16,d

Bennük a belső folytonos vonalaknak a vákuumbeli Green-függvények felelnek meg:

G<v“ )(w, p) = jco - ~ + / ü j (16,2)

“ A vákuumbeli Green-függvény minden korrekciójának eltűnése azt az egyszerű tényt fejezi ki, hogy egy részecske önmagában nem tud mivel kölcsönhatni. Ezzel kapcsolatban emlékeztetünk arra, hogy a relativisztikus elméletben a Green-függvény vákuumkorrekcióinak léte azzal kapcsolatos, hogy a közbenső állapotban virtuális elektronpárok és fotonok jelenhetnek meg.

[ez a (9,7) képlet fi — O esetén]. Figyeljünk arra, hogy (a nevezőben (i hiánya miatt) e függvény pólusa a komplex a> egy meghatározott (alsó) félsíkjában található. Matematikai szempontból a fent felsorolt diagramok járulékainak eltűnése éppen azért következett be, mert az integrandusok összes pólusai ugyanabba a félsíkba esnek; így azokban az esetekben, amikor az integrációs út a másik félsíkban zárható be, nyilvánvalóan zérus az integrál értéke.

A (16,1) „létragráfokat” összegezni lehet egy alkalmas integrálegyenlet segítségével [1. alább egy hasonló sor összegezését (17,3)-ban]. Ha kezdetben elhagyjuk a 3 és 4 felcserélésével keletkező diagramokat, akkor ez az egyenlet ekvivalens azzal az impulzus- reprezentációbeli Schrödinger-egyenlettel, amelyben a kölcsönható részecskék azonosságát nem vettük figyelembe Ilii. (130,9)]. Ennek megfelelően a csúcsfüggvényt a két részecske szórásamplitúdójával a

4jr/ " W P a , Pú Ph P2) = V -----/ (16,3)m

képlet köti össze. A 3 és 4 felcserélésével adódó diagramok figyelembevétele az amplitúdó antiszimmetrizálását jelenti, ami fermionok esetén nyilvánvalóan szükséges is. A perturbációszámítás első közelítésében csak (16,1) első diagramja és a megfelelő keresztezett végű ábra marad meg, amelyekben G(vac> egyáltalán nem fordul elő. Aszó- rásamplitúdóra ekkor az első Born-közelítés szokásos képletét kapjuk. A többi diagram, miután a közbenső frekvenciák szerinti integrálást elvégeztük, a további Born- közelítéseknek az amplitúdóhoz adott jól ismert járulékait adja.

Fermi-folyadék esetében az ütköző részecskék kölcsönhatása a közeg részecskéivel lényegében a kvázirészecskékre való áttéréssel vehető figyelembe. A fenti kölcsönhatással kapcsolatos összes, a diagram belső vonalaira vonatkozó korrekciót a JTfüggvény definíciójával vehetjük figyelembe. A külső vonalak korrekciói viszont kiegészítő vizsgálatot igényelnek. A kvantumtérelméletben kimutatják, hogy már csak a szórásmátrix unitaritásának követelményét figyelembe véve is, ezek a korrekciók a szórásamplitúdó minden külső vonalán egy ^ Z szorzótényező megjelenését eredményezik, ahol Z a Green-függvény renormálási állandója (1. IV. 107. §). Ez a „négyágú” diagramokra a Z 2 tényező megjelenését jelenti. Bár az ott elmondott levezetés érvényes a Fermi-folyadék esetében is, most egyszerűbb (bár nem szigorú) megfontolásokkal világítjuk meg e tényező eredetét.

A helyzet az, hogyafolyadék Green-függvénye pólusának közelében [a (10,2) kifejezés első tagja] csak egy állandó Z szorzóban különbözhet az ideális gázGreen-függvé- nyétől. H a $ e s *P+ helyett a *Pkv = ^P jfZ é& V ^ - ^ - /^ o p e rá to ro k a t vezetjük be, akkor az ezekből felépített Gkv = G /Z Green-függvény a pólus közelében éppen olyan, mint az ideális gázé. Ebben az értelemben ezeket az operátorokat a kvázirészecskék ideális gázának operátoraként tekinthetjük. A segítségükkel definiált kétrészecskés

16. §. A VERTEXFÜGGVÉNY ÉS A KVÁZIRÉSZECSKÉK SZÓRÁSI AMPLITÚDÓJA 83

6*

84 II. FEJEZET. FERMI-RENDSZt-REK GREEN-FÜGGVÉNVEI

Green-függvény = K jZ2, és így [a (15,7) definíció érleimében] a csúcsfüggvényre jTkv = P Z 2 érvényes, amint azt el is vártuk.

A kvázirészecskékkel kapcsolatban nem annyira a hatáskeresztmetszet lényeges, mint a térfogategységben időegységenként lezajló ütközések száma. Adott impulzus- átadásnál és a részecskék adott spinvetülete esetén (Pik, — p3y, p,ó) ezt a számot a

<IIV = 2n ! T f T y t ^ P ^ Pii Pu P-i)\2 ö(e3+E{ - ei- e a)X

íi VI \ iPpilPp-iíPp-s X«p,Hp . .( l - / ip 3) ( l - » p , ) (16,4)

képlet adja meg, ahol Pl + P2 — p^-hp4, és «p a kvázirészecskék eloszlásfüggvénye. Az nti és wPí tényezők egyszerűen azt fejezik ki, hogy az adott kezdeti ímpuizusú (és spinvetületű) kvázirészecskék ütközéseinek száma arányos az ilyen tulajdonságú részecskék lérfoaategységenkénti számával. Az (1 — nPi) és ( I —wPj) tényezők azzal kapcsolatosak, hogy a Pauli-elv szerint csak akkor mehet végbe ütközés, ha a végállapotok betöltetlenek.

17. §. A vertexfüggvény kis impulzus átadásakor

A Fermi-folyadékok elméletében fontos szerepet játszik a vertexfüggvény (csúcs- függvény) a Pj, P3 és P2,P4 változópárok közeli értékeire (látni fogjuk, hogy ez szoros kapcsolatban van a kvázirészecskék kölcsönhatási függvényével). Figyelembe véve a

P t + P t = Ps + Pi

Összefüggést, a P;! -- P ,-f K. P, P.>—K párámétrizálást választjuk, és bevezetjük a

r , ^ P , + Kt P>—K; P u P>) = P ,, P ,) (17,1)

egyszerűsített jelölést, majd kis K értékekre vizsgáljuk a függvényt. A kvázirészecskék szórására vonatkozóan ez a közelítés a kicsiny négyestmpulzus-átadás esetének felel meg, közel az „előreszóráshoz” .

A K = 0 helyen a f függvénynek, mint látni fogjuk, szingularitása van; bennünket a függvénynek éppen ez a szinguláris része érdekel. E rész etedelét könnyen megérthetjük a következő vázdiagram alapján:

17. §. A VERTEXFOGGVÉNY KIS IMPULZUS ÁTADÁSAKOR 85

(17,2)

Ez tartalmazza mindazoknak a kétrészecskés Green-függvénybe járulékot adó diagramoknak az összességét, amelyek a Pu Pa és P2, PA végpárok között két olyan részre vághatok, amiket két folytonos vonal köt össze.29 A két összekötő vastag vonalhoz a pontos G(Q) és G (0+ K ) propagátorokat rendeljük, és a Q négyesimpulzus szerint integrálunk. K ■* ü esetén e két függvény változói közelednek egymáshoz, és ezzel pólusaik is egymáshoz tartanak. A közeledő pólusok közé „szorulhat” az integrációs út (I. alább), aminek következtében a T függvény szingulárissá válik.

A pontos P függvény kiszámolásához összegezni kell a teljes peiturbációs sort. Mivel célunk a K = 0 helyen szinguláris rész kiszámítása, először is az összes járulékból le kell választanunk azt a részt, amely nem bontható fel két részre két olyan folytonos vonal átvágásával, amelynek négyesimpulzusa közeli (K különbségű). A nak ezt a részét, melynek K = Ónál nincs szingulárissá, P-val jelöljük; ebben a változót a K — 0 értékkel helyettesíthetjük, azaz P csak P1-tŐl és P2-tő! függ: P yil Il7( i>1, /*,). Ami a „veszélyes” diagramokat illeti, azokat a bennük található közeli impulzusú vonalpárok száma szerint osztályozhatjuk. így a teljes / ’ csúcsfüggvényt a

P,*K P2-K

végtelen létrasorral (1. IV. 122. §) fejezhetjük ki. Itt a világos kör fejezi ki u keresett i r függvényt, a sávozott körök pedig iP-1. A külső vonalak nem tartoznak jT definíciójához, csak a bemenő és a kimenő négyesimpulzusok számát és éitékeit jelölik.

A (17,3) diagramokon az összes belső vonal vastag, azaz a pontos G -függvényeket jelentik. Ezzel kapcsolatban hangsúlyozzuk, hogy P ilyen vázdiagramok alakjában való előállításának lehetősége (és az ebből következő eredmények) nem tételezik fel a kölcsönhatás párjellegét,hiszen ezekben a szaggatott vonalak expliciten nem fordul

28 így a (párkölcsönhatásban) másodrendű járulék (17,2>be a (15,tla , b, c) diagramokból, valamint a (15,1 le) diagramból megcserélt 3 és 4 részecskékkel adódik.


nak elő. A kölcsönhatás természetétől valójában csak a sávozott körökkel ábrázolt blokkok (bennünket most nem érdeklő) belső szerkezete függ.30

A (17,3) sor összegezését egy integrálegyenlet megoldására vezethetjük vissza. Ezt az egyenletet úgy kapjuk, hogy az egész sort „megszorozzuk” még egy A m a l:

Ezt a kiindulási (17,3) sorral összehasonlítva, a

(17,4)

egyenletet kapjuk. Ez a diagramegyenlőség ekvivalens a következő integrálegyenlettel:

r ^ K l P u P t ) = A í ,« * ( ^ ő ) G{Q + K)G{Q)X

xTxi.teiK; Q, P2)d*Q

(2a)* •(17,5)

A korábbiak alapján A ban a K = 0 helyettesítést alkalmaztuk, és a már bevezetett P és r rövidített jelöléseket használtuk. Felhasználtuk továbbá, hogy

Az egyenlet vizsgálatakor először tekintsük a magjában szereplő G(Q+K)G(Q) szorzatot. Mint már megjegyeztük, kis K esetén a két tényező pólusai közel vannak egymáshoz. A pólusok közelében a G-függvényeket a (10,2) pólustagokkal adhatjuk meg. Ha a Q és K négyesvektorok komponenseit

K = (oj, k) és Q = (q0, q) (17,6)

jelöli, akkor ebben a tartományban

G(0 G (Ö + * )~

^ Z2[ío -t?o(^-/,í ') + ^ i ] - 1[9o + íí)-« f ( |q + k | - p F) + / Í2]-1, (17,7)

“ Csak olyan általános tulajdonságot tételezünk fel, mint a részecskeszám megmaradása. Ez utóbbi a jobbra és balra menó részecskék száma különbségének állandóságával fejezhető ki a diagram tetszőleges metszetében (a (17,3) típusú diagramokon ez a különbség nulla].

17.§. A VERTEXFÜGGVÉNY KIS IMPULZUS ÁTADÁSAKOR 87

ahol <5j és ö2 infinitezimális mennyiségek, melyeknek előjelét a pólusok közelében a

sg n á t = sgn ( q - p F),sgn öi = sgn ( |q + k [-/>/•) ’

képletek adják meg.őj és ö2 előjele meghatározza, hogy a pólusok a q0 komplex változó alsó vagy felső

félsikjában helyezkednek el. Az integrálegyenlet magja (és vele a megoldás) akkor szinguláris, ha a dq0 szerinti integrál (a valós tengelyen) a pólusok közé szorul, azaz a pólusok a valós tengely két különböző oldalán helyezkednek el.

Tegyük fel először, hogy qk ==- 0, azaz cos 6 =*■ 0, ahol Ö a q és k vektorok által bezárt szög. Ekkor [ q + k | =*■ q, és <5X, ő2 előjele különböző (Ö1 < 0, ő2 > 0), ha q ^ pF, |q + k | > pF. Ez, figyelembe véve k kicsinységét, ekvivalens a

pp— k cos 0 < q < pf (17,9)

feltételekkel. A q0 szerinti további integráláskor a (17,5)-beli integrálási utat bezárhatjuk a végtelen távoli félkörön valamelyik félsíkban (mindegy, hogy fent vagy lent). Az integrált ekkor a pólusbeli reziduum adja meg. Ekkor a (17,9) intervallum keskeny- sége miatt (kis A>ra) az integrandusbeli F és P tényezőkben k = 0, és ennek megfelelően a pólusok helyzetére (kicsiny k és o> esetén) q0 % 0 helyettesíthető.

Más szavakkal, a (17,5)-beli integrálegyenlet magjában játszott szerepe alapján a(17,7) pólustényezők szorzata a

Aö(q„) ö (q -p f)

delta-függvényekkel ekvivalens, ahol az A együtthatót az

Z2 dq« dq[q*-vF(q -pF )+ fői] [ío+co- í)/r(| q + k | - p F)+ tö2]

integrál határozza meg. Ha q a (17,9) intervallumon kívül helyezkedik el, mindkét pólusa komplex q0 sík azonos félsíkjában van. Ekkor az integrációs utat a másikfélsík- ban bezárva, a q0 szerinti integrál értéke 0. Ha viszont q a (17,9) intervallumban van, akkor az integrációs utat valamelyik félsíkban bezárva és az integrál értékét a rezi- duumtétellel megadva azt kapjuk, hogy

2niZ? dqi^ ( |q + k l—4)+/0

[itt figyelembe vettük, hogy (17,9) fennállásakor < 0, Ó2 > 0]. Minthogy (17,9) szerint q % p F» k, így | q + k |—q % k cos 0, ezért [a (17,9)-beli határok figyelembevételével]

_ IniZrk cos 0 aj— kv f cos 0

Könnyen megmutatható ugyanezzel a módszerrel az is, hogy A-ra ugyanez a kifejezés adódik cos 6 < 0 esetén is (egyedül i0 előjele változik meg). Ekkor az integrálást a ? > pF, |q + k | -c pf tartományon kell elvégezni. így a (17,5) egyenlet magjában írhatjuk, hogy

G(Q)G(Q + K ) = 2m Z~i k ^ ) j ( g z £ f ) +(p(Q), (17,10)7 w -tv Ik + jO -sign tó

ahol k cos 6 helyett az Ik szorzatot írtuk (1 = qjq), a <p függvény pedig (kis AT-ra) nem tartalmaz delta-függvényszerű részt, így abban K = 0 helyettesítés végezhető.

(17,10)-et behelyettesítve (17,5)-be, a kiindulási integrálegyenlet a

r vt. rfi(Ki Pu P2) = l\ö . *fi(Pu P i)~

- i J r yC. j p u q ) <p(Q) r xl. cp(k - o , p 2) - 0 ^-+

+ ^ J A * *x(Pu Q, ) r,», &(K; Qr, P2) (17,11)

alakot ölti. Az utolsó tagban a <PQ = q-clqdQ,Jq0 helyett esi test alkalmaztuk (ahol dŰt az 1 irányú térszögelemet jelöli), és a dqdq0 szerinti integrálást a delta-függvények segítségével végeztük el. Ebben a tagban a F és P függvények Q változóját a Fermi- felületen vettük: QF = (0, pFl).

Vegyük észre a (17,11) egyenlet magjában az lk/(w—r f Ik) tényező sajátos tulajdonságait: a k — 0, o) — 0 esetén felvett határértéke függ attól, hogy wjk értéke e limeszben mely értékhez, tart. Ez természetesen a megoldásra is igaz lesz: a F(K; Pv P2) függvény K — 0 esetén o> és k zérushoz tartásának módjától függő határfüggvényhez tart.

Definiáljuk a Fm(Pu P2) határfüggvényt a következő módon:

P%, 4>(Pi, P2) = lim Fvi' Plt P2), ha k/co - 0 (17,12) 0

(a 18. §-ban látni fogjuk, hogy a kvázirészecskék kölcsönhatási függvény e éppen ezzel a mennyiséggel kapcsolatos). A határátmenetet ennek megfelelően elvégezve, belát-

17. §. A VERTEXFÜGGVÉNY KIS IMPULZUS ÁTADÁSA

hatjuk, hogy (17,11) utolsó integráltagjának magfüggvénye zérus, így P* a

egyenletnek tesz elegei. Megjegyezzük, hogy (15,8) alapján

y's, afii-Plf P>) — 1 Áy, pA-P2> Pl)-

A (17,11) és (17,13) egyenletekből P kiküszöbölhető, ami a

Pyi. A . A ) = Py«,APi> pz)+

(17,14>

egyenletre vezet. Ugyanis, ha (17,13)-at formálisan a V = L l alakban írjuk, akkor (17,11) az

alakot ölti. Ide behelyettesítve a P = LP" függvényt, és mindkét oldalra az L~l operátort alkalmazva, (17,15)-re jutunk.

Vezessük most be a Pk függvényt a

definícióval. Éppen ez a függvény (ZMel szorozva) adja az előreszórási amplitúdót (azaz a Px, P2 -* Pit Pz átmenetet), ami egy, a kvázirészecskék között a Fermi-felüle- ten végbemenő reális fizikai folyamatnak felel meg: azok az ütközések, amelyek a kvázirészecskéket meghagyják ezen a felületen, energiaváltozás nélküli impulzusátadással történnek, így a zérus impulzusátadásnak megfelelő (k — 0) határátmenetet szigorúan zérus energiaátadás (o> = 0) mellett kell elvégezni. A fentebb bevezetett P függvény egy nemfizikai „szórási” folyamatnak felel meg, amelyben kis energiaátadás következik be szigorúan zérus impulzusátadás mellett (k = 0).

(17,15)-be az o> = 0 értéket írva, elvégezve a k - 0 határátmenetei, végül az egyenlet mindkét oldalát Z^tel szorozva, a

P ^ piPi, P2) = lim Pyt, P\, Pi), ha <»/k — 0 (17,16)A' — 0

| Z2/ ^ , U Pu Of) - Z H \ 0 (Qf , p2) dQ, (17,17)

90 II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYET

egyenletre jutunk. így az előreszórási határeset két különböző határfüggvényét összekötő egyenletet vezettünk le.

A r függvény (15,8) antiszimmetria-tulajdonságaiból i"*-nak és / 1“-nak Px — P2 határesetbeli viselkedésére bizonyos információkat nyerhetünk. Ebben az egyenlőségben Pi = P2 és a = fi helyettesítést végezve azt kapjuk, hogy

r yS, d P i+ K , P i - K ; Pu P ú = 0 (17,18)

(ez esetben a-ra nem összegezünk!).31 A / ’“-ra, illetve a J*-ra való átmenet során óvatosan kell eljárni, minthogy a f " és a f * függvénybe először a K = 0 értéket írjuk, viszont (17,18)-ban előbb P r et P2've választjuk egyenlőnek.

Legyen tehát K és P x—P2 = S = ( j 0, s) egyszerre kicsiny. Ekkor a (17,2) diagram mellett „veszélyessé” válnak a

típusú diagramok is. K, S —0 határátmenetben a Pyt, m függvények így két, „önálló” változótól függnek:

Cü 50 + COX ~ T ' y = ^ + k \ -

így (17,18) akkor jelenti e függvény zérus értékét, ha x — y. Tekintsük P-nak a Fermi-felületen felvett értékeit, ahol w = í 0 = 0, azaz y = 0. így (17,18) csak akkor áll fent, ha * = 0. Más szavakkal, a Fermi-felületen (17,18) r k-ra teljesül:

/$ .» ( P i ,P i ) = o (i7,i9)

(N. D. Mermin, 1967).

31 Ha a kvázirészecskék spinjei között csak a kicserélési kölcsönhatást vesszük figyelembe, akkor mennyiségek közül egyedül r , , , ^ különbözik nullától. Ez a következtetés a spinvetület vál

tozatlanságát jelenti az ütközésben. Ezt közvetlenül a (2,4) összefüggésből is beláthatjuk.

18.§. VERTEXFÜGGVÉNY, KVÁZIRÉSZECSKÉK KÖLCSÖNHATÁSI FÜGGVÉNYE 91

18. §. Kapcsolat a vertexfüggvény és a kvázirészecskék kölcsönhatási függvénye között

Ahogyan az egyrészecskés Green-függvényt meghatározó (7,9) mátrixelem meghatározásában az N ± 1 részecskét tartalmazó közbenső állapotok adnak járulékot, úgy adnak járulékot a kétrészecskés Green-függvény képzésekor [(15,1) mátrixelem] az N, N ± 1, N ± 2 részecskét tartalmazó közbenső állapotok.32

Az (N ± l)-részecskés közbenső állapotok miatt a kétrészecskés Green-függvény- nek a G-függvény pólusaival (a kvázirészecskék energiájával) megegyező pólusai vannak. A megfelelő együtthatókat azonban (15,7) expliciten leválasztja. Ezért az ott definiált Z1 csúcsfüggvénybe csak az N- és (N ± 2)-részecskés közbenső állapotok adnak járulékot. Ezen állapotok impulzusmomentuma az alapállapotétól 0 vagy 1 egységgel különbözik, vagyis a pólusaiknak megfelelő elemi gerjesztések spinje 0 vagy 1, azaz Bose-statisztikájú részecskék. Más szavakkal, a csúcsfüggvény pólusai a Fermi-folyadék spektrumának Bose-ágát határozzák meg.

A részecskeszám változása nélküli közbenső állapotokból létrejövő pólusok a zérushang kvantumait adó elemi gerjesztéseknek felelnek meg. A diagramtechnika nyelvén a közbenső állapotoknak az ábrák különböző metszetei felelnek meg a bemenő és kimenő végek között. Az adott esetben a részecskeszám változása nélküli közbenső állapotoknak a (17,3) diagramok egy, a szomszédos F blokkokat összekapcsoló folytonos vonalpárját átvágó metszete felel meg. A részecskeszám változatlanságát ezekben az állapotokban az fejezi ki, hogy a metszeten a két ellentétes irányban ugyanannyi vonal halad át. A négyesimpulzus-átadás egy ilyen metszeten (Q + K )-Q = K; ennek megfelelően a részecskeszámot változatlanul hagyó elemi gerjesztések pólusai a F(K; Px, P2) csúcsfüggvény K változójában jelentkeznek.

Korábban [(17,10) levezetésekor] láttuk, hogy a q és q + k impulzusok közül (melyek Q és Q +K komponensei) egyik nagyobb, a másik kisebb jv-nél. Másrészt az alapállapot gerjesztésekor a Fermi-felületen kívül csak „részecskék”, azon belül csak „lyukak” keletkezhetnek. E szempontból a zérus spinű gerjesztéseket a Fermi- folyadékban részecske—lyuk kötött állapotnak tekinthetjük.33

Az (N ± 2)-részecskés közbenső állapotoknak megfelelő elemi gerjesztéseket [melyeknek a F(K; Px, P2) vertexfüggvény Px+P2 vállozóbeli pólusai felelnek meg] két

31 Az N-részecskés állapot például az operátorok következő sorrendje esetén ad járulékot a T-szor-zatban: ÍVÍV'. Az(yV+2)-részecskés állapotok pl. a 'f’í sorrend esetén jönnek létre.

33 Ebben a megfogalmazásban a feladat sokban közös az elektron —pozitron kötött állapotok energiaszintjeinek meghatározásával a kvantumelektrodinamikában (1. IV. 122. §). Speciálisan a (17,4)—(17,5) egyenletek a IV. (122,10)—(122,11) Bethe-Salpeter-egyenletekkel állnak teljes analógiában.

92 II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-KÜOGVÉNYbl

részecske vagy két lyuk kötött állapotának tekinthetjük, ilyen állapotok azonban (mint azt az V. fejezetben látjuk majd) a Fermi-folyadék szuperfolyékonysácához vezetnek, ami a diagramtcchnika matematikai eszközeinek lényeges megváltoztatását igényli.

így a nem szuperfolyékony Fermi-folyadék energiaspeku urnának Bose-ágát a Í'(K; A , P2) csúcsfüggvény K = (to, k) változóbeli pólusainak meghatározásával adhatjuk meg. k minden értékéhez meghatározott o> = ío(k) energia tartozik, ami e gerjesztések diszperziós összefüggését adja. A gyengén gerjesztett állapotokban o> és k kicsiny, így felhasználható a F{K\ P2) függvényre a kis K tartományban levezetett egyenlet.

A F függvény pólusa közelében (17,15)-ben a bal oldal és a jobb oldali imegrál tetszőlegesen nagy lehet; a JT"(i>1, P2) tag véges marad, így el is hagyható. Továbbá megjegyezzük, hogy a P2 változót, valamint a yS és 6 indexeket, a (17,15-ben) a F függvényen elvégzett műveletek nem érintik, tehát ezek lényegtelen paraméterek. Végül pedig a F függvényt a Fermi-gömb felületén vizsgáljuk, azaz Pl = (0, pFn), ahol n egy változó irányú egységvektor. Mindezt figyelembe véve, a Fei mi-folyadék hanggerjesztéseinek meghatározása a következő integrálegyenlet sajátértékfeladatára vezet:

. ,_x_ &PF fr* ,kZ'/*(n) (2ríy* I * 5'x ’ X*c() | | | i ( 18,1)

ahol Zya(D) egy segédfüggvény.Alakítsuk át ezt az egyenletet, ■/_ helyett az új

iikni ( ls ,2) (o— Vf nK

függvényt bevezetve. Ekkor (18,1) átmegy az

(w - vF nk) !’>,*(n) = kn j 1 ’.;c, „(n, n') v^n ') d ü ’ (18,3)

egyenletbe (1-et itt n'-vel jelöltük).Alakját tekintve, ez az egyenlet pontosan megegyezik a Fermi-folyadék rezgéseire

vonatkozó (4,10) kinetikus egyenlettel. A két egyenlet összehasonlítása a következő megfeleltetésre vezet a kvázirészecskék kölcsönhatási függvénye és T 1" között:

fyt, xfiiPr n, pF n') = Z2 F \ rf(n, n'). ( 18,4)

,

18.8. A VERTEXFÜGGVÉNY, KVÁZIRÉSZECSKÉK KÖLCSÖNHATÁSI FÜGGVÉNYE 93

Ezzel megadtuk a kapcsolatot / és a kvázirészecskék szórási tulajdonságai között is.34

A (18,4) egyenlet /-el egy nemfizikai szórási amplitúdóval köti össze. Most (17,17) felhasználásával explicit kapcsolatot ta lá lunk /és a „fizikai” eloreszórási amplitúdó közölt (a kvázirészecskék a Fermi-felületen helyezkednek el a szórás kezdeti cs végállapotában'!. E21 az amplitúdót az

Ays, „pín,, n>) = Z H \ (n,, n,) (18,5)

kifejezéssel jelöljük, amivel (17,17) a Fermi-felületen a következő alakot ölti:

2Jyti.idn-,. no) = fyS.«{íni, n2)~ • fyC.U^u n') AK», í/}(n', n2) (18,6)

Az A és j függvények spinfüggését a a Pauli-mátrixokkal fejezhetjük ki. Ez a függés általában az nlf n2, a L, o2 vektorok tetszőleges skalárszorzatát tartalmazhatja. Ha a részecskék közötti kölcsönhatás kicserélési típusú, akkor csak az ntn., és 0 ^ 0 tagok megengedettek. Ekkor az A és / függvényeket [mint e2t (2,4)-ben /-re már megteltük] a

•>-fy». «/s(ni> n2) = /•(«) ő,r 6fid + (7(0) ayi adp,

71 v: (is,?)— Ayé, a/t(ni, na) = B(í>) öa., Ö/3s + C{{>) oyj Gap

71“ Vf

alakban állíthatjuk elő, ahol az t \ G, B, C együtthatók csak az nx cs n3 közti # szögtől függenek. E függvényeket Legendre-polinomok szerinti sorba fejtjük:

B(&) = £ (21+ 1) B,P,(cos D)........ (18,8)1 =0

(18,7)-et és (18,8)-at (18,6)-ba helyettesítve és az integrálást (a Legendre-polinomok összeadási léteié! kihasználva) elvégezve, azt kapjuk, hogy

B, = F ,(]~ B ,l Ci = G ,( \-C ,) . (18,9)

Hzek mutatják az /és A kifejtési együtthatói közötti egyszerű algebrai kapcsolatot.

** A bemutatóit általános levezetési L. D. Londau alkotta meg 1958-ban. Gyengén nemideális l-ermi-gázra A. B. Migdalés V. M . Gallckijmár korábban (1958) levezették a (17,3) típusú diagramok közvetlen összegezésével adódó kinetikus egyenletet. Megjegyezzük, hogy gáz esetében a C-függvényeknek csak pólustagjuk van (nulladik közelítésben), így a nem pólusjellegű tagok eltávolításának kérdése nem merül fel.

A (2,19) és (2,20) stabilitási feltételek a B, és C, együtthatókra is hasonló egyenlőtlenségek teljesülését írják elő:

B, c l , C ,< 1 . (18,10)

Ezenkívül ezek az együtthatók (17,19) következtében egy további összefüggésnek is eleget tesznek: Z?(0)+C(0) = 0, avagy

£ (2 /+ I)(£ ,+ C ,) = 0. (18,11)

Ha a (18,9) és a (18,11) egyenlőségeket (18,10>zel kombináljuk, bebizonyítható a következő érdekes állítás: minden stabil Feimi-folyadékban legalább egy (szokásos vagy spin jellegű) tengelyszimmetrikus zérushang ága van a spektrumnak.35


19. §. A Green-függvény deriváltjaira vonatkozó azonosságok

A Green-függvények alkalmazásának matematikai eszköztárában lényegesek efüggvények deriváltjai és a kvázirészecskék szórási amplitúdói között fennálló bizonyos azonosságok. Ezek levezetése azonos gondolatmenetet követ: kiszámítjuk a Green- függvény megváltozását valamely fiktív „külső tér” hatására, amit fizikailag már eleve ismerünk.

Ezért mindenekelőtt kiszámítjuk a Green-függvcny megváltozását a legáltalánosabb alakú „külső tér” hatására. E térnek a Hamilton-operátorban a

öfV) = j *£+(?, r) óO'Pjit, r) cPx (19,1)

tag felel meg, ahol öÜ egy, az r függvényeire ható operátor (ami /-tői is függhet).Külső tér esetén a Green-függvény egyaránt függ a Px és a Pz négyesimpulzustól.

Ezt a teret a diagramtechnika keretei között egy új elemmel, a külső szaggatott vonallal képviseljük:

1J

34 L. N. D. Mermiii, Phys. Rév. 159, 161 (1967).

19.§. A GREEN-FÜGGVÉNY DERIVÁLTJAIRA VONATKOZÓ AZONOSSÁGOK 95

és e v o n a lh o z a

tényezőt Tendeljük hozzá.A külső tél ben első rendben a pontos Green-függvényhez adott korrekciót a követ

kező két vázdiagram összege adja meg:

ahol az összes folytonos vonal vastag (a pontos G-függvényi képviselik), a kör pedig a pontos vertexfüggvényt (iP). Analitikusan a fenti egyenlőséget a következőképpen írhatjuk:

ahol teljesül, hogy Ő2+ A = P2+Q i- A bennünket érdeklő első két azonosság a rendszer részecskéi számának meg

maradásával kapcsolatos. A rendszer Hamilton-operátorában ezt a tulajdonságot az fejezi ki, hogy a ^-operátorok párosával fordulnak benne elő: egy-egy 1P +(X)és xP (X )y minden egyes X változóhoz.

Végezzünk el a y-operátorokon egy mértéktranszformációt:

a (7,8) „Schrödinger-egyenletet”, akkor lP ’ ugyanezt az egyenletet elégíti ki a

- iÓU(Pi, Pi) = - / J eiP*x 6Ű e~iP’x d*X (19,2>

ŐG„*(P2, P,) = Gp-XPi) b U (P i , P i) Grx(P i )—

— iGfiy(P2) Gn (P 1) Pyi.i^P i, Q ü P\, Qí)X

(19,4)

38 Ez a lépés analóg a kvantumelektrodinamikái mértéktranszformációval [vő. III. (111,8) — (111,9)1.

helyettesítésekkel. Végtelen kicsiny % ~ bx esetén a fenti változtatás ekvivalens azzal, hogy a Hamilton-operátorhoz hozzáadjuk a

6 Ű = - + 2“ (A Ó* + 2(V óz) V )

.„külső teret” . Speciálisan a

h ( X ) = Re (x„ tf-'™), K = (o>, k)

választást téve (a további műveletek lineamása miatt a Re jel elhagyható), azt kapjuk, hogy

■96 II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

,6)ŐU(P.>, Px) = /(2.-t)4 y u b ^ P . - P i - K ) {„ - 2 ^ k (p ,+ p .)(. (19

Másrészt az új

'P: = * .< i+ % ) , - ^ +( i - % )

-^operátorokkal felépített Green-függvény az eredeti 'P, *P+ operátorokra építettől a

ó G ^X u Xo) = / ^ ( . Y t - ^ f ő ^ ) - ^ ^ ) ]

'kifejezéssel különbözik, amit — a Fourier-komponenseket használva —

bG^P-,, Px) = J &G^(Xi, Xz) d 'X id 'X * =

= i[G,l>(P 1) - G lfl(Po))öyXP.i - P 1) (19,7)

■alakban adhatunk meg, ahol

W ) = J W ) ciPX d lX = (2jt:)4 x„ b<%P- K).

W ugyanazt a ÖG^ megváltozást két alakban írtuk fel: (19,7)-ként és (19,4)-kéni, amelyekbe ÖU-t (19,6)-ból kell behelyettesíteni. A két kifejezést egyenlővé téve '{G,^ = GÖafl kihasználásával és a változók bizonyos átjelölésével), azt kapjuk, hogy

k(2p+k)“~Ú) +

+ i J P0 { K \ />, O) G(Q) G (Q -K ) |w

2 m

k(2q-k)2m

d'Q 1(2*r í •

f U k - ^ (19,8)

[ahol P = (pc, p)]. Ezt a határátmenetet a kjo> — 0 feltétel mellet elvégezve, kapjuk az első azonosságot:

= ~ {G2(P))"' \ ö**~' J A P ' Q){GHQ)]- ( £ 7 ] • ^19’9)

Itt bevezettük a

{G2(/>)},„ = Hm G(P) G (P+K), ha kjco - 0 (19,10<0, k 0

jelölést.Hasonló módon a határátmenetet o>jk — 0 feltétel mellett elvégezve, egy másik

azonosságot kapunk:

19. §. A GREEN-FÜGGVÉNY DERIVÁLTJAIRA VONATKOZÓ AZONOSSÁGOK 97

A kerese tt azo n o sság o t az a), k — 0 h a tá re se tb e n k a p ju k m eg, a m ik o r

*»(P,Q)-?rmQ)h dlQ , (19,11)

ahol az előzővel analóg {G2(P)}ft jelölést használjuk. A továbbiakban

ÖÚ = ÖU(r) = Uo eil<r (19,12)

állandó tér alkalmazásakor vizsgáljuk a Green-függvény megváltozását, k -*■ 0 esetén ez a tér r-ben lassan változik, így hatása a rendszerre makroszkopikusnak tekinthető. A külső térbeli termodinamikai egyensúly feltételének megfelelően f i+ Ö U — const (1. V. 25. §); k — 0 esetén ez azt jelenti, hogy a kémiai potenciál a kis - U0 mennyiséggel változik meg. A Green-függvény megfelelő megváltozása:

Ö G ^X u A'a) = - U(Aí> d° iXQ ~ X- .

aminek Fourier-transzformáltja [melyet (19,7) definiál]:

tO 'A P ,, Pi) = - (271)* Ö^(P >-Pi) Uo 8G ~

7 Statisztikus fiz ik a 2. rísz

Másrészt a Green-függvénynek ugyanezt a megváltozását a (19,4) képletből is kiszámíthatjuk, amelybe ez alkalommal a

ŐU(P2, P i) = (2tzY U0 Ö ^ iP s -P i-K ) , K = (0, k)

kifejezést helyettesítjük.A k 0 határátmenet ez esetben (állandó tér, o> = 0) az a jk -+ 0 esetnek felel

meg. Végeredményben a


*'J r k JL P, Q){OKQ)h (19,13)

azonosságot kapjuk.Az utolsó azonosság a rendszer Galilei-invarianciája következményeként adódik.

Levezetéséhez vizsgáljuk a folyadékot olyan koordináta-rendszerben, amely időben lassan változó <5w(r) = yt0e~‘mt sebességgel mozog. Az ilyen rendszerre való áttérés egyenértékű a

d 0 = — áw*p = i őw* v . (19,14)

operátori külső tér alkalmazásával,37 ami impulzusreprezentációban

ÖU(P2, P i ) = - PiW0(2jt)4 Ő«\P2- P t~ K ), K = {c d , 0)

alakú. Ezt kell (I9,4)-be helyettesíteni, majd elvégezni az o> — 0 határátmenetet.Másrészt w — 0 esetén két inerciarendszer közötti Galilei-transzfoi mációhoz tar

tunk, melyek állandó sebességeinek különbsége őw. Ha a folyadékban e(p) energiájú elemi gerjesztés van jelen, akkor a folyadékhoz képest őw sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerben annak energiája e— p őw.38 így az új vonatkoztatási rendszerben a p0 frekvencia a G(P) függvényben a p0+ p őw alakban jelenik meg (azaz a függvény pólusa — pőw-vel eltolódik). így

. 8G 6G = p iw -g— , vp o

*7 A szabad részecske L = mv1/ 2 Lagrange-függvényében a mozgó vonatkoztatási rendszerre való áttérést a » -» ? +<5w cserével valósítjuk meg, cs az a (kis <5w eseten) kicsiny ÓL = m \dw járulék megjelenéséhez vezet. Ez tulajdonkeppen [1. I. (40,7)] a Hamilton-függvény módosulása, öH = — pów szerint. Ennek a kvantummechanikában a (19,14) operátor felel meg.

*8 L. a 23. §-beli jóval részletesebb elemzéseinket.

és a

= - { W ) } » { ^ P - íJ -O i . r f ( /* .Ő ) q { G 2( Ő ) } . - ^ r } (19,15)

azonosságra jutunk.Az alábbiakban a kapott azonosságokat a szabad P — (p0, p) változót a PF = (0,

pF) Fermi-felületen választva használjuk. A G2(P) szorzótényezőt az egyenlőségek jobb oldaláról a bal oldalra visszük át, ily módon G(P) deriváltjait G~l(P) deriváltjaival helyettesítjük; a K -*■ 0 határátmenet elvégzési módja ennek során G(P)G(P+K)- ban lényegtelen.

Ugyanakkor a Fermi-felület közelében az egyrészecskés Green-függvényt pólustagjával írhatjuk le:

G - \P ) = L [p()- v F{P- p t ) l

Ebből magán a felületen

8G~l _ 1 dG-1 _ vf dpp dPo Z ’ 8jU Z d(i

Ezeket felhasználva pl. a (19,9) és (19,13) azonosságok a Fermi-felületen a következő alakúak lesznek:

= ( i — g - ) * * (19.16)

20. §. A HATÁRIMPULZUS ÉS A SŰRŰSÉG KAPCSOLATÁNAK LEVEZETÉSE 99

20. §. A határimpulzus és a sűrűség kapcsolatának levezetése

Az előző szakaszokban kapott összefüggésekkel bebizonyíthatjuk a Feimi-folyadékok Landau-elméletének alapfeltevését, azt az állítást, hogy a pF határimpulzus és a folyadék N jV sűrűsége közti kapcsolatot ugyanaz az (1,1) képlet adja, mint az ideális gáz esetében.

7*

A bizonyítás alapgondolata az, hogy egymástól függetlenül kiszámítjuk az N és a pF mennyiségek megváltozásait a kémiai potenciál infinitezimális megváltozásakor, majd a két eredményt összehasonlítjuk.

(7,24) szerint (az adott V térfogatban) a részecskék teljes száma a kémiai potenciál függvényében

jV = — 2iV lim {G (P )e -‘»o> ^ />--=(/;„, p). (20,1)i »-oJ (2íí)

100 fi. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

Ebből a deriváltra

I f i —

H apo nagy, ez az integrál konvergens (dGjöfi ~ 1 jp%, ha | p01 “ 00 ezért ííz € tényezőre az integrandusban már nincs szükség. 8Gjdfi-t a (19,13) azonosságba helyettesítve (melyet « = fi szerint összegezünk), azt kapjuk, hogy

r f j - 2,j í*3*™*-m ^ .

ahol a rövidség kedvéért a P ~ P^y> ay jelölést alkalmaztuk. A további számolások célja az, hogy ennek az azonosságnak a jobb oldalát kizárólag a Fermi-felületre vonatkozó integrál segítségével írjuk fel.

Először is a második integrálban P k helyett a (17,17)-ből adódó kifejezést írjuk (ahol a QF jelölést S F-re változtatjuk):

1 dN - v íV a /o ^ dip f r / . í /m i d*P<PQ2« j*{<?*(/>)}* + j {G \P)}k P"(P,Q){G*(Q)}k

J {G*(P)}k P k 'A P , S F) n , ' iy(SF, Q){G2(Q))k . (20,3)

Először az utolsó tagot alakítjuk át. Ebben az integrandusnak csak a két utolsó tényezője függ g-tól; ezek integrálját [a Fermi-felületen: 5 = S'f ] a (19,17) képlet adja meg, így e tag

vf (2 n f, ' (C V )K r - ( p , s , ) ( . - £ £ )

alakban írható. Továbbá emlékeztetünk arra, hogy a d*P szerinti integrálás során G(P)G(P+K) határértékeit (17,10) értelmében kell használni,azaz {G2(P)}OT = <p(P),

20. §. A HATÁRIMPULZUS ÉS A SŰRŰSÉG KAPCSOLATÁNAK LEVEZETÉSE 101

viszont

m n h = { G ' ( P ) h - M p o ) b (p -p F). (2ü,4)vFE helyettesítés után az

*> r~tp fZ.,2 '72í- Vf(2ny (’- f f ) {fw m h r w w - ^ }

kifejezésre jutunk, ahol ( 18,4) alapján bevezettük a kvázirészecskék kölcsönhatási függvényét, v a l a m i n t ^ kifejezését (2,6) és (2,7) alapján az F(fi) függvény segítségével adtuk meg. Az F feletti vonás a dQj4n szerinti integrálásra utal. A d*P szerinti integrál értékét (19,16) adja meg, amely a dQ, szerinti integrálás elvégzése után még a 4n tényezővel szerződik. Vcgii! (20,3) harmadik tagja:

0 ( í t - ' ) K 4 ««>Hasonló a (20,3) második tagjának átalakítása is: a {G'i(P)}k és {G-(Q)\k mennyisége

ket {G2(jP)}w-val és {G ^ő^-val fejezzük ki (20,4)-nek megfelelően, majd felhasználjuk a (19,9) és (19,16) azonosságokat. Végeredményben e tag a

- 2íJ f i <S. - 2,j +H H b ' M <2°-6>

kifejezéssé írható. Az első integrál a /;0 szerinti integráláskor zérust ad, minthogy -*• ± esetén G — 0.

Végül (20,3) első tagja, ha abba (20,4)-et behelyettesítjük, a

2 / J W ) > . + - ' g (20-7)

alakban írható. A (20,5)-(20,7) járulékokat összeadva:

I dN = A . f i z 1, _ * , , , f )j . (20,8)V (ifi tt- (Ifi vr-i- y du

Másrészt a (2,14) képlet segítségével, amelyben

írandó, ezt kapjuk:

+F).(<Pf

(20,9)

Hangsúlyozzuk, hogy (2,14) levezetésekor még nem használtuk pF konkrét N/V-függésének alakját. így felhasználhattuk ezt az összefüggést a fenti függvénykapcsolat meghatározására [természetesen a (20,9) összefüggést azokból a csúcsfüggvényre vonatkozó egyenletekből is megkaphatjuk, amelyeket (20,8) levezetésekor használtunk].39

Ezt az egyenlőséget figyelembe véve, látjuk, hogy (20,8) kapcsos íárójelében levő kifejezés zérus, ily módon

N /V ~ 0 esetén gázt vizsgálunk, így ebben a határesetben pF-nek jV/F-függése meg kell, hogy egyezzék a gázéval. Ezzel a feltétellel állapítható meg (20,10) integrációs állandója, így végül a kereseti ( 1, 1) összefüggést kapjuk:

A diagramtechnika alkalmazásának bemutatására most abban a modellben, amelyet a 6.§-ban a szokásos perturbációszámítás keretei között vizsgáltunk, kiszámítjuk a majdnem ideális gáz Green-függvényét (V. M. Galickij, 1958). Emlékeztetünk arra, hogy a gáz részecskéi között taszítás van, és a 6. §-beli megközelítés e kölcsönhatásra addig teszi lehetővé a perlurbációszámítás alkalmazását, amíg a számolás csak a szórási amplitúdóra vonatkozik.

Amint azt a 14. §-ban megmutattuk, a Green-függvény meghatározása a £^(P ) sajátenergiás függvény kiszámítására vezethető vissza. A perturbációszámltás első

(20, 10)

N _ 8np%V 3(2n f '

21. §. A majdnem ideális Fermi-gáz Green-függvénye

11 Azeffektív tömegre vonatkozó (2,11) képletet (17,17), továbbá a (19,11) és (19,15) azonosságok segítségével le is vezethetjük.

és második rendjében ezt a (14,9) és (14,10) diagramok adják meg, melyeket itt a következő módon ábrázolunk:

21. §. A MAJDNEM IDEÁLIS FERM I-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE 103

r -ü

Cl d)

A (21,1a— b) diagramok a (14,10a) és (14,9a) elsőrendű diagramokat foglalják magukba a (14,106-c) és (14,96—c) másodrendűekkel együtt; ez utóbbiak az előzőktől csak a belső folytonos vonal korrekciójában térnek el. Ezeket a vonalakat a (21,1a—ft) ábrákon vastagon húztuk ki, és azoknak nem az ideális gáz G(0) Green-függvényét, hanem az elsőrendben korrigált G függvényeket kell megfeleltetni. Végül a (21,1 c—d) ábrák a (14,10í/-e) másodrendű diagramokkal egyeznek meg. Az összes diagramot úgy deformáltuk, hogy szerkezetük világosan felismerhető legyen. Ezek olyan nagyságú diagramok létrasorának első tagjai, amelyekben egy külső vonalpár két különböző módon „rövidre van zárva” .

Kezdjük a (21,1a) diagram kiszámításával. Ennek analitikus kifejezése a következő:

[->T(P)]a = j u { Q ) G ( P - Q ) - ^ , Q = (<?o, q), / » = ( « , P) (21,2)

(a közös Ö„p szorzótényezőt elhagytuk). Először dq0 szerint integrálunk. Minthogy az U(Q) = [/(q) tényező #0-tól független és G ~ ljq0, ha | q0 | -*•», ezért előzetesen pontosítanunk kell az integrálási elŐirást. Ehhez visszatérünk a (21,1a) diagram származtatásához; vegyük észre, hogy a belső folytonos vonal ugyanabban a P operátorban előforduló ^operátorok párosításának felel meg. Azaz 1 és xP*-et ugyanabban a z időpillanatban vesszük és *P+ a párosítás során í'-tő l balra helyezkedik el. Más szavakkal, koordinátareprezentációban az előző Green-függvényt a t = 12 -*■—0 pillanatban kell tekinteni. Impulzusreprezentációban ez (21,2) integrandusának kiegészítését igényli az e_í,°' tényezővel, amelyben később a t -* — 0 határátmenetet vé

gezzük el. Ekkor felhasználjuk a (7,23) képletet, és azt kapjuk, hogy

(21 ,3 )

ahol N (p) a részecskeeloszlási függvény.Az £/(q) függvény Fourier-komponense csak í\ q > l/r„ tartományban függ erősen

q-tól, ahol r0 az U(r) tér hatósugara. Értékei jólismerten nagyok (ritka gázra) pF-hez képest. Ha csak a \p —pF\<£ í(r0 értékekre korlátozódunk, akkor q mondott értékeire iV(p—q) 0. Ezért (21,3)-ban t/(q)-t í/(0)-va1 helyettesíthetjük, és kiemelhetjük az integrálás elé.40 A fennmaradó integrál a fele (vö- a spínvetület adott értéke!) a gáz «(jtí) sűrűségének, azaz [£ ]a = — n(fi) U (0)/2.

A zárt, folytonos vonalat tartalmazó (21,16) diagram analitikus alakja [£]b = = n(/i)U(0). Ebben a közelítésben a 27-hoz adott teljes járulék

ahol a a (6,2)-ben definiált szórási hossz.A (21,4) kifejezésben a teljes elsőrendű hatás benne van. E közelítésben n(ft)-1 az

ideális gáz nw (p) sűrűségfüggvényeként kell értelmezni, azaz

[£ k b = y»(AO£/(0) = ~ » ( f ) « , (21,4)

= [27]<»b = (21,5)

A további számításokhoz átmeneti jelölésként bevezetjük a következő létradiagramokkal definiált F függvényt:

(21,6)

(mint mindig, P1+P2 = P3+ Pt). Analitikus alakban

ahol!Frö.afi(P3, Pú Pu P2) = >K öfiő(F W + l^)),

/fW = — í í / ( i>3 — Pt),

iFV) = j G<0)(P’) U fP i-P ') GlfíH P,+P>-P’) V (P '~ P 3) - ~ y . (21,9)

(21,8)

(21,7)

M Az fey elkövetett hiba, amint ezt könnyű Játni, ~ ( pr relatív nagyságrendű, és így még a Pj^o'ban következő rendG tagokban nem tükröződik.

A (21,1c—d) diagramokat felírva és F(2)-vel azokat kifejezve, azt kapjuk, hogy

[ - iE {P % .d = - 1GW(Q) m .P ,Q ',Q , P) +

+ 2 J GO>(Q) FW(P,Q; P, Q )-— ^ (21,10>

[ugyanilyen integrálok adják (21,5)-öt is, ha IA2) helyett F (1)-et írunk]. A két integrál eltérő előjelét a (21,1 rf) diagrambeli hurok jelenléte magyarázza. A Kronecker- szimbóluniokra az első diagramban a 6v..6.it = a második diagramban a A v — = 2bat! egyenlőség érvényes.

Térjünk át F ^ kiszámítására. Minthogy U(Q) független ?0-tól, így a í//?Ó szerinti integrál a7.

■yo

J GW(P') G<°>(Pi + Pi-P') ~ ,

integrálra vezethető vissza. Ide G(0)-t (9,9)-ből behelyettesítve (és felismerve, hogy az integrál \p'0 \ — «> esetén konvergens), az integrálási utat végtelen nagy sugarú körön,, a p0 komplex változó valamelyik félsíkjában bezárjuk. Az integrál csak akkor nem' zérus, ha a két G(0) függvény pólusai különböző félsíkokban találhatók, azaz

sgn (P '-P f) = sgn (| pi + p-j-p ' !-/>f)- (21, U>

Végeredményben

F«(/»,, P4; Pu P2) =

i / ( p i-p ') C/(p'-p») sign (p '-p r ) tPp' , ov----- j ... . (2a]s ’ ' ’

w i +0)2-1-2/ i - -■ [p '2 + (p i + P 2 - p ') 2] + /0 -s ig n Í P ' - P f )«-

ahol oiy ~ p í0, o>2 = p20. Eközben azért, hogy a (21, 11) követelménnyel automatikusan összhangban maradhassunk, az integrandus számlálójában a

sgn (P '-P f) I-Ö (p ')-Ö (p i+ P a-P ')

helyettesítést kell végrehajtani, ahol 0(p) az (1,10) lépcsős függvény.A 16. §-ban láttuk, hogy a (vákuumbeli) létrasor két részecske kölcsönös szórását

írja le. Ezért a (21,12) kifejezés a szórásamplitúdó elsőrendű tagjaihoz ad korrekciót.

21. §. A MAJDNEM IDEÁLIS FERMI-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE 105

1 0 6 II. FEJEZET. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI

Ezt a korrekciót úgy vehetjük figyelembe, hogy (21,8>ban Fm kifejezésében elvégezzük az

U(Pa - P l) - - — Re / (p3, Pl)

cserét (itt / a vákuumbeli, másodrendben korrigált szórásamplitúdó),41 és egyidejűleg f (2) (21,12) kifejezéséből vákuumbeli értékének valós részét levonjuk. A „vákuum” szó itt a pF = 0 és /x = 0 feltételeket jelenti, és ail = p\j2m, co2 = p\!2m pedig két valós ütköző részecske energiáit adja meg (ezek a diagramok „fizikai” külső vonalai). Ezek után a Re / részt a zérus energián felvett értékével, vagyis az a szórási hosszal42 helyettesíthetjük. így kiszámítható, hogy

Fl%Pa, Pi l P\, Pi) =l - 0 ( p ' ) — 0 (p i+ p 2— p')

( 0 1 + 0 * 2 + 2 ^ [ p '2+ ( P i + P 2 - p ') 23 + '0 - s g n ( p ' - P f )

/>!+ p \- p '2- (p i+ p2- p')2(2ref ‘

A második tagban az integrál főértékét jelenti. Ez az integrál valós részének a (8, II) szabállyal való leválasztásából származik.

Minthogy a (21,13) kifejezés a Px és P2 változóban szimmetrikus, (21,10) két integrálja megegyezik, és azt kapjuk, hogy

[ - iZ(P))c.d = | G«»(e) f v (p , ő; P- Q) í>iQ(2jr)4

(21,13) első tagját ide behelyettesítve, látjuk, hogy a q0 szerinti integrál értéke akkor különbözik nullától, ha

sgn (p '- p F) - — sgn (<q - p f ), (21,14)

41 E szakasz olvasása során ne tévesszük össze/-et a kvázirészecskék kölcsönhatási függvényével!42 Ezt a helyettesítést (21,I2)-ben nem szabad elvégezni, mivel p' nagy értékeire az integrál diver

genssé válik. Itt megtehetjük, mert a levonások után (ha p’ ~ p F) az integrál már ezzel a cserével is konvergens. Azért vizsgáltuk az integrál valös részének levonását (aminek az U •* Re/helyettesítés felel meg), hogy elkerüljük a szórásamplitúdó képzetes részével kapcsolatos nehézségeket. A helyzet az, hogy kis impulzusokra Re/-et az impulzus páros, lm /-et pedig páratlan hatványai szerint fejtjük ki (1. III. 132.§). Ezért / impulzusfüggésének figyelembevétele (p r a)T relatív nagyságrendű járulékot eredményezne, amely elhanyagolható. Az U /m csere/ képzetes részének figyelembevételét kívánná meg, amelynek eredményeként pFa relatív nagyságrendű korrekciókat kapnánk.

21. §. A MAJDNEM IDEÁLIS FERMI-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE 107

azaz amikor az integrandus két pólusa a komplex q0 sík különböző félsíkjaira esik. Ide a (21,13) második tagját beírva, ^-függést csak a Gm(Q) tényezőben találunk, így a q0 szerinti integrálást a (7,23) képlettel végezhetjük el. Az eredmény: N°(q), tehát az ideális gázbeli részecskeeloszlást kapjuk, vagyis a 0(q) lépcsős függvényt.A (21,1a—d) ábrák járulékait összegyűjtve;

ahol

Z(w, p) = — «(f) p),ni (21,15)

p) =

_ [l-Q (p')-e(p+q-p>)][g(q)^Q (p/) 1 ______

<» + {i + [?2- / 2- ( p + q - p ') 2] + íO-sign ( p '- p r )

2mö(q)fr+ q l~p'*+( p + q - p ') 2

iPq cPp' (21,16)

[az első tag számlálójában a 0(q)— Ő(p') tényező a (21,14) feltétel teljesülése esetén a— sgn {p—pF) kifejezést helyettesíti.

Először is vegyük észre, hogy 27-nak képzetes része is van. Ezt (2l,16)-ból a (8,11) szabály segítségével választhatjuk le:

lm £(©, p) = - ^ ^ J { e ( q ) [ l - 0 ( p ' ) ] ( l - Ö ( p + q - p ' ) ] +

-!-[! — Ö(q)] 0(p') % + q -p ')}X

xa <’>+[1+ ~ ( r - / / - - ( p + q - p ' ) 2) d^ <PP' (21,17)(l7 tf

[a kapcsos zárójelbeli kifejezést a Ö^p) = ö(p) összefüggés figyelembevételével kissé átalakítottuk].

A kvázirészecskék spektrumát (14,13) szerint

£(p) = - ^ - + ~ n ( fi)a + £ < 2' p) (21»18)

adja meg (27<2)-ben a kívánt pontosságnak megfelelően elvégezhető az e ^ p*/2m helyettesítés). 27 komplex volta a gerjesztések csillapítását jelenti (lm s 0).

108 II. FEJEZET. FERM1-RENDSZERBK GREEN-FÜGGVÉNYHI

A csillapítás megjelenése a kvázirészecskék instabilitását jelzi, aminek oka elbontásuk lehetősége. A kvázirészecske energiájának egy részét leadhatja, és abból egy részecskepár (részecske és lyuk) keletkezhet. Tekintsük például a (21,17) kifejezés integrandusa kapcsos zárójelben álló tényezőjének első tagját. A lépcsősfüggvény tulajdonságai alapján ez akkor különbözik nullától, ha

P' > Pf, q + P - P' i > Pf, q Pf-

Ezek az egyenlőtlenségek olyan folyamatnak felelnek meg, amelyben a p(p ;=- pF) impulzusú kvázirészecske a p' (p > p' > pr ) állapotba megy át, miközben a p—p' impulzust a Fcrmi-gömb belsejében levő (q pF impulzusú) részecske \es21 át. Ez a q + p —p' impulzussal a Fermi-gömbön kívülre keiül, ami két új elemi gerjesztést jelent: az egyik a — q impulzusú lyuk, a másik a q + p —p' impulzusú részecske. Az energia megmaradását e folyamat során a (21,17) kifejezésbeli ő-fügüvény biztosítja, amelyben o>+ /i a kvázirészecske e(p) kezdeti energiájának felel meg:

K p ) = e (p ' ) + [ K q + p - p ' ) - c ( q ) ]

[itt elegendő első közelítésben az c(p) = p-jhn egyenlőséget feltenni], A fent elmondott értelmezés alapján e(p) itt valóban a Fermi-gömbön kívüli részecske energiáját adja meg (s >■ /»)•

Hasonló módon (21,17) kifejezésének második tagja olyan folyamatokból származik, amelyben egy lyuk kelt két részecskét. Ebből származik az e -c ,u energiájú elemi gerjesztések csillapodása. A diagramtechnika nyelvén a kvázirészecskével történő párkeltés lehetőségét az fejezi ki, ha a G-függvény diagramját kettévághatjuk három folytonos vonalat vágva át, melyek közül kettő az egyik irányba, a harmadik a másikba halad. A (2 \,\c—d) diagramokon ilyen átvágásokat a két pontozott \onaI között lehet végezni.

Az enyhén nemideális gáz esete annyiban sajátos (a tetszőleges Fermi-folyadék általános esetéhez képest), hogy a kvázirészecskék spektrumának nemcsak a Fermi-felület közelében, hanem a teljes impulzustartományban jelentése van: az ím e csillapítás viszonylag kicsiny az apF „gázparaméter” kicsinysége miatt. Itt csak a két határesetre adjuk meg a számítások eredményét.

A Fermi-felülethez közel ( \p —pF\ « pF)

Re e = ,u + (p -p F) Pr/m *

adódik, ahol (6,14)-bol, m*-ot (6,17)-ből vehetjük. A kvázirészecskék csillapodására

lm e— — * {pFo f ( p - p Ff sign ( p - p F) (21,19)

21. §. A MAJDNEM IDEÁLIS FERMI-OÁZ GREEN-FÜGGVÉNYE 109

adódik. E mennyiség arányossága tel tisztán értelmezhető: az egyik p —pFtényező az impulzustér azon tartományának (vékony gömbréteg) szélessége, amelyikbe a keltő kvázirészecske impulzusa esik a párkeltés után. A másik tényező annak a rétegnek a szélessége, amelyben a pár keletkezik. Megjegyezzük, hogy e megfontolások a Fermi-felülei közelében tetszőleges Fermi-folyadékra érvényesek, minthogy ott mindig lm e ~ (p —pF)2.i!i

Nagy impulzusokra (p : » pF, de még mindig pa<sz 1 esetén)

e = ( ö r + J £ H _ i ^ (' ’, ‘')S' (2U0)

Az lm ej Re e hányados mindkét esetben kicsiny. Ennek az aránynak maximális értékét p ~ pr esetén éri el a rendszer, de itt is (pFa)2 <k 1 nagyságrendű.

Végül megadjuk a Green-függvény renormálási állandójának értékét majdnem ideális gázra. Ezt az

_L= 1 p)Z do>

összefüggésből lehet kiszámítani; az eredmény

Z = \ ~ - ^ - ( p Fa f . (21,21)7t

\tu = 0, p = pF

43Zérustól különböző hőmérsékleten e mennyiséget a hőmérsékleti eloszlásfüggvény szerint átlagolva, a csillapodás 7^-tel arányos viselkedésére jutunk, amit már az !.§-ban említettünk.

I I I . F E J E Z E T

A S Z U P E R F O L Y É K O N Y S Á G

22. §. Elemi gerjesztések a kvantumos Bose-folyadékban

Most azokat a kvantumfolyadékokat vizsgáljuk, amelyeknek Bose-típusú energiaspektrumuk van.1

A spektrumot az jellemzi, hogy az elemi gerjesztések (melyek a folyadék alapállapotában nincsenek jelen) egyesével jelenhetnek meg és tűnhetnek el. A teljes rendszer (ez esetben a folyadék) impulzusmomentuma azonban csak egész értékkel változhat, így az egyesével megjelenő elemi gerjesztések egész spinűek, azaz a Bose-statisztiká- nak tesznek eleget. Többek között ilyen jellegű spektruma van minden olyan kvantum-rendszernek, amely egész spinű részecskékből áll (ilyen a folyékony 4He izotóp).

Összehasonlításul emlékeztetünk arra, hogy a Fei mi-folyadékban az (annak alapállapotából hiányzó) elemi gerjesztések csak párosával keletkezhetnek vagy tűnhetnek el (lásd az 1. § végét). Éppen ezzel kapcsolatos az a lehetőség, hogy az elemi gerjesztések spinje félegész értékű is lehet.

A kvantumos Bose-folyadék kis p impulzusú elemi gerjesztései (amelyek hullámhossza nagy az atomi távolságokhoz képest) a szokásos hidrodinamikai hanghullámoknak felelnek meg, azaz a fononokat reprezentálják. Eszerint a kvázi-részecskék energiája impulzusuk lineáris függvénye:

£ = up, (22,1)

ahol u a hangsebesség a folyadékban. Ez utóbbit a szokásos u2 = dP/dg képlet adja meg, és nem szükséges annak rögzítése, vajon állandó T hőmérséklet mellett vagy állandó 5 entrópiára képezzük a deriváltat, ugyanis T -* 0 esetén S is zérushoz tart.2

1 E kvantumfolyadékok elméletét L. D. Landau alkotta meg 1940-41-ben, miután P. L. Kapica felfedezte a hélium szuperfolyékonyságát. Ezek a felismerések jelentik a kvantumfolyadékok modem elméletének kezdeteit.

1A fonon fogalmát az V. 71 - 72. §-okban vezettük be a szilárd testek elemi gerjesztéseinek leírására. Hangsúlyozzuk, hogy mikroszkopikusan homogén közegben — a folyadékban — a gerjesztésekimpulzusa valódi impulzus, nem pedig kváziimpulzus, mint volt a szilárd test kristályszerkezeténekperiodikus terében.

22. §. ELEMI GERJESZTÉSEK A KVANTUMOS BOSE-FOLYADÉKBAN 111

A Bose-folyadék elemi gerjesztéseinek száma T -*• 0 esetén zérushoz tart. Alacsony hőmérsékleten, mikor sűrűségük már kicsi, a kvázirészecskéket kölcsönhatásmentesnek képzelhetjük, mintha ideális Bose-gázt alkotnának. így a Bose-folyadék elemi gerjesztéseinek egyensúlyi statisztikus eloszlását a Bose-képlet adja meg (zérus kémiai potenciállal lásd az I. fejezet 7. lábjegyzetét):

„(p) ^ [e<iPVT- ]]~i. (22,2)

Ezen eloszlás segítségével, ismerve az s(jp) energia /^-függését kis p-re, a folyadék termodinamikai jellemzői kiszámíthatók olyan, az abszolút nullához közeli hőmérsékletekre, amelyekre a folyadékban található összes elemi gerjesztések gyakorlatilag kis energiájúak, azaz fononok. A megfelelő képletek azonnal felhhatók, ha felhasználjuk a szilárd testek termodinamikai mennyiségeinek alacsony hőmérsékleti kifejezéseit (1. V. 64.§). Az egyetlen különbség abból fakad, hogy a hanghullámok szilárd testben lehetséges három (egy longitudinális és két transzverzális) polarizációiránya helyett a folyadékban csak a longitudinális létezik; ezért az összes termodinamikai mennyiséget hárommal osztani kell. így a folyadék szabad energiájára

f = <22-3>

adódik, ahol Fq az abszolút zérus hőmérséklethez tartozó szabad energia. A folyadék energiájának kifejezése a következő:

£ = & + ^ w - (22-4>

a fajhő pedig

(22,5)15(fo/)s ’

a hőmérséklet köbével arányos.A fononoknak megfelelő (22,1) diszperziós összefüggés csak addig érvényes, amíg

a kvázirészecske hjp hullámhossza nagy az atomi távolságokhoz képest. Az impulzus növekedtével az e = e(p) görbe eltér a lineáiis viselkedéstől. További menete a folyadék molekulái közötti kölcsönhatás konkrét alakjától függ, és ezért nem határozható meg általánosan.

A folyékony héliumban az elemi gerjesztések spektruma a 2. ábrán látható menetet követi: a kezdeti lineáris növekedés után az e(p) függvénynek lokális maximuma van,

.112 III. FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

majd csökken egy meghatározott p0 impulzusértéknél felveit minimumig.” Termikus egyensúlyban a folyadék elemi gerjesztéseinek többsége az e(p) függvény minimumai körüli tartományban helyezkedik el, vagyis az e = 0 és s (p 0) körüli tartományokban. Tehát ezek a lényeges szakaszok. A p 0 pont körül az e(p) függvény p —p0 hatványai szerint sorba fejthető. A lineáris tag hiányzik, tehát kvadratikus pontossággal

. = A + t e g p - (22,6)

írható, ahol á — e(p0) és m* állandó mennyiségek. Az ilyen típusú kvázirészecskéket rotonoknak hívjuk. Hangsúlyozzuk, hogy mindkét típusú kvázirészecske, a fononok és a rotonok, egyetlen görbe két különböző szakaszának felel meg, s köztük folytonos az átmenet.

A folyékony hélium energiaspektrumának empirikus paraméterei (amelyeket q =— 0,145 g/cm3 sűrűségen T = 0 hőmérsékletre extrapoláltunk) a következők:1

u ~ 2 ,4 -101 cm/s, A = 8,7 K,(22,7)

pojh = l,9-108cm l, m* = 0,16 m (He4).

3 Ezt az alakot elsőként L. D. Landau javasolta (1947) a folyékony hélium termodinamikai meny- nyiségeire vonatkozó kísérleti adatok analízise alapján; a későbbiekben a neutronszórási kísérletek megerősítették ezt a hipotézist.

E spektrum kvalitatív elméleti származtatását R. P. Feynman javasolta 1954-ben (t. a IX. fejezet 4. lábjegyzetét).

* Megadjuk a folyékony hélium kémiai potenciáljának értékét is a T - 0 hőmérsékletre: /i.= -7 ,1 6 K.

22. §. ELEMI GERJESZTÉSEK A KVANTUMOS BOSE-FOLYADÉKBAN 113

Minthogy a rolón energiája mindig tartalmazza a T-hez képest nagy A mennyiséget (azokon a hőmérsékleteken, amelyeken „rotongázról” egyáltalán beszélhetünk), Így e2t a Bose-eloszlás helyett Boltzmann-eloszlással írhatjuk le. Ennek megfelelően a folyékony hélium termodinamikai jellemzőinek rotonrészét a Boltzmann-gáz szabad energiájának képletéből kiindulva számítjuk ki:

(1. V. 41. §). Itt N a folyadékbeli rotonok számát jelöli, de ezt a számot a termodinamikai egyensúly feltétele, azaz a szabad energia minimalizálása meghatározza. dF/dN-ex nullával téve egyenlővé, kapjuk a rotonok számát:

NT - y j e-'*T eh (22,8)

(ami természetesen a zérus kémiai potenciálú Boltzmann-gáz jellemzője). A szabad energia megfelelő értéke

/•'r = ~ VT j e~e/T dx.

E képletekben (22,6)-ot kell felhasználni. Minthogy pl » m*T, azért a dp szerinti integráláskor a p2 szorzót kiemelhetjük, elegendő azt />Ő'tel helyettesíteni. Az exponenciális tényező integrálásakor az integrálási tartományt (— °°, <=°)-re tágíthatjuk. Ekkor

2(m- 7 y y 0r ( t o f v p e ’

adódik eredményül. Ebből a fotonoknak az entrópiába és a fajhőbe adott járuléka a következő:

S r =/ Vr ( | + y ) , C, = ATr (-J + y + ^ ) (22,10)

Látjuk, hogy a termodinamikai mennyiségek rotonrészének hőmérsékletfüggése alapjában exponenciális. így elegendően alacsony hőmérsékleten (folyékony héliumra ez, 0,8 K-nél alacsonyabb értékeket jelent) a rotonrész kisebb a fononok járulékánál, magasabb hőmérsékleten a helyzet változik: a rotonjárulék felülmúlja a fononokét.

K Statisztikus, fizika 2. rísz

114 III. FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

23. §. A szuperfolyékonyság

Az előbb leírt spektrumú kvantumfolyadék nevezetes tulajdonsága a szuperfolyékonyság. Az ilyen folyadék szűk kapilláris csövön vagy réseken viszkozitás (súrlódás) nélkül folyik át. A vizsgálatot az abszolút zérus hőmérsékletű folyadékkal kezdjük, mikor az normális, gerjesztésmentes állapotában van.

Vizsgáljuk a kapilláris csőben v sebességgel haladó folyadékot. A viszkozitás jelenléte úgy nyilvánulna meg, hogy a cső falán fellépő, valamint a folyadék belsejében ható súrlódás következtében a folyadék mozgási energiája disszipálódna, és az áramlás lassulna.

Célszerű a folyadékkal együttmozgó rendszerből leírni annak mozgását. A hélium ebben a vonatkoztatási rendszerben nyugszik, a kapilláris cső falai — v sebességgel haladnak. Súrlódás esetén az eredetileg nyugvó hélium is mozgásba jönne. Fizikailag világos, hogy a falnál fellépő súrlódás nem hozhatja az egész folyadékot egyszerre mozgásba. A mozgás kialakulása a belső mozgások fokozatos gerjesztésével, tehát az elemi gerjesztések folyadékbeli megjelenésével jár.

Feltételezzük, hogy a folyadékban megjelenik egy s(p) energiájú, p impulzusú elemi gerjesztés. Ekkor a folyadék Ea energiája (abban a koordináta-rendszerben, amelyben eredetileg nyugalomban volt) megegyezik a gerjesztés e energiájával, a teljes P0 impulzus pedig a gerjesztés p jellemzőjével. Most visszatérünk abba a vonatkoztatási rendszerbe, amelyben a kapilláris nyugszik. Az energia és az impulzus ismert transzformációs törvényeiből c rendszerben az energia E és az impulzus P értékére

Az Mv2/2 tag a mozgó folyadék kezdeti mozgási energiáját adja; az £+pv kifejezés viszont a gerjesztéssel megváltozó energiát mutatja. Ez a változás negatív, mivel a mozgásba jövő folyadék energiájának csökkennie kell:

E = £ 'o+Pov+—2“ , P = Po-r Mv (23,1)

érvényes, ahol M a folyadék tömege. E0 és P0 helyére e-t és p-t írva,

(23,2)

p adott értékére az egyenlőtlenség bal oldalának legkisebb értéke a p és v vektorok antiparalel állásában jön létre; ezért e—pv < 0 mindenképpen fenn kell, hogy álljon,

23. §. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG 115

azazs

V 5 - —P ‘

(23,3)

Ez az egyenlőtlenség az elemi gerjesztés p impulzusának legalább néhány értékére kielégíthető. Ezért a szűk kapilláris csövön vagy résen átfolyó folyadékbeli gerjesztések megjelenésének feltételét s/p minimuma adja. Az sjp hányados geometriai értelmezése szerint azon egyenes iránytangense, amelyet az origóból (a p, e síkban) az e = e(p) görbe (2. ábra) valamely pontjába húzunk. Az s/p hányados a minimumát abban a pontban veszi fel, amelyben az origóból húzott egyenes a görbe érintője. Ha ez az érték zérustól különböző, akkor a folyás nem túl nagy sebességénél nem jelenhetnek meg gerjesztések a folyadékban. Ez azt jelenti, hogy a mozgás nem lassul, azaz a folyadékban fellép a szuper folyékonyság jelensége.

A szuperfolyékonyságra kapott feltétel lényegében azt jelenti, hogy az e = e(p) görbe nem érintheti az origóban az abszcisszatengelyt (eltekintve attól az igen valószínűtlen lehetőségtől, hogy további menete során érintse ezt a tengelyt). Ezért minden spektrum, amelyben az elég kicsiny gerjesztések fononok, lényegében szuperfolyékonyságra vezet.

Vizsgáljuk most ugyanezt a folyadékot nemzérus hőmérsékleten (bár ahhoz közel). Ebben az esetben a rendszer elhagyja alapállapotát, gerjesztések találhatók benne. A fenti megfontolások továbbra is érvényesek, ugyanis közvetlenül nem használtunk ki olyan feltevést, mely szerint a rendszer alapállapotban volna. A folyadéknak a cső falaihoz viszonyított mozgása a fenti feltétel teljesülése esetén újfent nem vezethet elemi gerjesztések létrejöttére. Meg kell azonban világítanunk, miképpen nyilvánul meg a már meglevő gerjesztések jelenléte.

Képzeljük el, hogy a „kvázirészecskék gáza” mint egész, v sebességgel mozog a folyadékhoz képest. A nyugvó gáz «(fi) részecskeeloszlásából a mozgó gázét az s részecskeenergiát (e— pv)-vel helyettesítve kapjuk, ahol p a részecske impulzusa. Szokványos gázra ez a Galilei-féle relativitási elv következménye, amelyet az egyik koordináta-rendszerről a másikra való áttérés transzformációs képletei írnak elő. Ebben az esetben ezek a megfontolások nem alkalmazhatók, mivel a kvázirészecskék nem vákuumban, hanem a „folyadékban” mozognak. Az állítás az alábbiak szerint mégis igaz.

A gerjesztések gáza mozogjon v sebességgel a folyadékhoz képest. Tekintsük azt a koordináta-rendszert, amelyben a gáz mint egész nyugszik, és így a folyadék mozog—t sebességgel (K rendszer). A (23,1) transzformációs képlet szerint a folyadék E energiája a K rendszerben és E0 energiája a nyugalmi Kfí rendszerben az

8*

116 III. FEJEZET. A SZUPER FOLYÉKONYSÁG

képiénél köthető össze. Jelenjen meg a folyadékban egy s(p) energiájú elemi gerjesztés (a K0 rendszerben). Ekkor a folyadék energiájához a K rendszerben e-pv adódik, ami a fenti állítási bizonyítja.5

így a kvázirészecskék (egységnyi térfogatra vonatkozó) teljes impulzusa

Tegyük fel, hogy a v sebesség kicsi, és fejtsük ki az integranűust pv hatványai szerint. A nulladrendű tag eltűnik (a p irányára való integrálás során), és megmarad a

képletet kapjuk.Először is azt látjuk, hogy a kvázirészecskék gázának mozgása bizonyos mennyi

ségű tömeg transzportjával is jár: az egységnyi térfogatú gáz effektív tömegét a P impulzus (23,4) képletében v szorzója adja meg. Másrészt, mikor a folyadék a kapilláris csőben folyik, semmi nem akadályozza, hogy a kvázirészecskék a cső falával ütközve annak impulzust adjanak át. Ennek következtében a gerjesztések gáza megáll, miként az bármilyen valódi gázra is bekövetkezne a kapillárisban.

így alapvető eredményre jutunk. Nemnulla hőmérsékleten a folyadék tömegének egy része normális viszkózus folyadékként viselkedik, amely mozgása során „hozzátapad” az edény falához; másik része viszont belső súrlódás nélküli szuperfolyadék- ként. E szétválasztásban igen lényeges, hogy a kél, „egymáson át” is mozgó rész között nincs súrlódás, azaz egyik sem ad át impulzust a másiknak. Valóban azt a megállapítást is, hogy egyáltalán létezik a tömeg egy részének a folyadék másik részéhez viszonyított mozgása, az egyenletesen mozgó gerjesztési gáz statisztikai egyensúlyának feltevésével kaptuk. Habármilyen relatív mozgás termikus egyensúlyban létrejön, azt semmiféle súrlódási jelenség nem kísérheti.

Hangsúlyozzuk, hogy az a mód, ahogy a folyadékot egy normális állapotú és egy szuperfolyékony rész „keverékeként” leírjuk, nem több egy alkalmas kifejezési formánál, amellyel egyszerűen írhatjuk le a kvantumfolyadékban bekövetkező jelensége

5 Bose-folyadékban a (22,2) eloszlás adja a kvázirészecskék «(«) eloszlását. Figyeljünk arra, hogy a szuperfolyékonyság n -< e/p feltétele megegyezik az n(t — pv) képlet pozitivitását cs végességét minden energiaértékre biztosító feltétellel.

P = j p«(e-pv) (h.

kifejezés, amelyben p irányára átlagolva, a

(23,4)


két; mindé/; azonban egyáltalán nem jelenti, hogy a folyadék két részre osztható. Mint a kvantumos jelenségek bármely klasszikus fogalmakat alkalmazó leírása, ez sem teljesen megfelelő. Helyesebb azt mondani, hogy a kvantumos Bose-folyadékban egyidejűleg két mozgás létezhet, és mindegyiknek megvan a saját efleklív tömege (melyek összege a folyadék tényleges tömeget adja). E mozgások egyike a „normális”, azaz a szokásos viszkózus folyadék mozgási tulajdonságaival azonos jellegzetességeket mutat, a másik a „szuperfolyékony” mozgás. F két mozgás közölt nincs impulzus- átadás.

Hidrodinamikai szemszögből így a Bose-rolyadék süiűségct o = nn+ ns alakban írhatjuk fel, a normális és a szuperfolyékony sűrűség összegeként és mindegyikükhöz hozzárendelhető saját hidrodinamikai sebessége, v„ és vs. A szuperfolyékony mozgás fontos tulajdonsága, hogy örvénymentes potenciáláramlás:

rőt v., — 0. (23,5)

Ez a tulajdonság annak a 'lénynek makroszkopikus kifejezése, hogy a lK's.-.zuhullámú (azaz kis impulzusú) elemi gerjesztések hangkvantumok, fononok. így a szuperfolyékony mozgat; makroszkopikus hidrodinamikájában nem léphetnek fel a hangié égésektől különböző rezgések.15 Ezt a (23,5) tulajdonság biztosítja (a 26. §-ban még visszatérünk megalapozására).7

T = 0 hőmérsékleten nincs női malis állapotú rész: qh = 0; a folyadék kizárólag szuperfolyékony mozgást végez. Nemzérus hőmérsékleten (23,4) képlet ígyadja meg:

- dr. (23,6)/ íin \ ■> r ^ r

A fononok járulékát P,-be úgy számítjuk ki, hogy (23,6)-ban az £■■ - up helyette- sítést alkalmazzuk:

, _ I f dn „ An p- dp(frjfenon ■■= 3(í j dp P - (2j7/j):r .

0amiből parciális integrálással

4 f 4np- dp 4fonón - 3i- np (2^ ):V -- 3|/S r dx

e Itt feltételezzük, hogy a folyadék végtelen kiterjedésű. Szabad felület jelenlétében ún. felületi kapilláris hullámok is létrejöhetnek (ami a felületi feszültség meghatározott hőmérsékletfüggésére vezet; I. az 1. feladatot).

7 A szuperfolyékony mozgás hidrodinamikáját e sorozat másik kötetében fejtettük ki részletesen (1. VI.).


adódik. A megmaradt integrál nem más, mint a fonongáz egységnyi térfogatának energiája, amit (22,4)-ből vehetünk. Ezt felhasználva, a végeredmény a következő':

/ \ _ 4£f°t»°n _ 2jrs7'1 , 0.j ^\§n /fO don ~ 3 u 2 y ~ 45^ 3^5 * '>

A normális sűrűséghez a rotonok járulékát azzal az észrevétellel számi! hatjuk ki, hogy a rotonok Boltzmann-eloszlást követvén, érvényes a dn/de — —njT összefüggés, azaz (23,6}-ból

, 1 f 2 f Nt y r \ p n á r = 3 T “f *

Elegendő pontossággal j?2 = /?o ‘iható, és iV,-et (22,9)-ből vehetjük. Ezekkel

(p ) - _ __2(m __ _/i/r (23 g\3 j y 3(2?í)3'2r i''2í ;i • 1 ;

Igen alacsony hőmérsékleten a fononok járuléka (?„-hez nagy a rolonjárulékhuz képest. Körülbelül összemérhető nagyságúak 0,6 K-en, ennél nagyobb hőmérsékleten azonban a rotonjárulék válik uralkodóvá.

A hőmérséklet növekedésével a folyadék tömegének egyre nagyobb része válik normálissá. Abban a pontban, ahol létrejön a q„ — g egyenlőség eltűnik a szuperfolyékonyság. Ez a folyadék ún. k-pontja, amely másodfajú fázisátalakulást jelöl.8 Ami a kvalitatív (23,7)—(23,8) képleteket illeti, azok természetesen nem alkalmazhatók a 2-pont környezetében, ahol a kvázirészecskék koncentrációja nagy, ezért a valóságban a fogalom már el is veszti értelmét.

Még megvizsgáljuk a folyékony héliumban oldott idegen anyagok atomjainak viselkedését. Az adalékok koncentrációját annyira kicsinynek tekintjük, hogy az atomok közti kölcsönhatást elhanyagoljuk (L. D. Landau, I. Ja. Pomerancsuk, 1948).

Az idegen adalék atomok jelenléie a folyadék energiaspektruma új ágának megjelenésére vezet. Ez az atomnak a folyadékhoz képest végzett mozgásához tartozik, ami az atom és a folyadék részecskéinek erős kölcsönhatása miatt valójában kollektív effektus, amelyben a folyadék atomjai is részt vesznek. Ezt a mozgást egy eiedő p impulzussal lehet jellemezni. így új típusú kváziiészecskék jelennek meg (melyeknek száma az idegen atomokéval egyezik), energiájuk, exá{p), az impulzus jól meghatározott függvénye. Termikus egyensúlyban a részecskék energiája az sail(p) függvény leg

*E hőmérséklet alatt a folyékony héliumot He Il-nek hívjuk. A A-pontok a (p, T) fázisdiagramon folytonos vonalat alkotnak. Ez a vonal a folyadék és gőze közti egyensúlyi görbét 2,19 K-nél

kisebb minimuma köré koncentrálódik. Gyakorlatilag a 3He izotóp szennyező atomjairól van szó, és az empirikus adatok azt mutatják, hogy ez a minimum p = O-nál helyezkedik el. Ennek közelében a kvázirészecskék energiája

= 2^7 <2 3 -9 >

alakú, ahol az eflfektív tömeg a 3He-atom tömegének 2,8-szerese.A szennyezési kvázirészecskék kölcsönhatnak a fononokkal és rotonokkal, azokon

szóródnak és így folyadék normális részéhez tartoznak. Miután e kvázirészecskék ritkák, Boltzmann-eloszlást köveinek. Járulékukat p„-be (23,6) adja meg, amiből

(e .U = ^ Y - { f = ^ - « C . P 3-10)

ahol NaJ V a szennyező atomok sűrűsége.

Feladatok

1. Határozzuk meg a folyékony hélium <2 felületi feszültségének hőmérséklet függését az abszolút nulla fok közelében (K. R. Atkins, 1953).

Megoldás. Az a együttható a folyadék egységnyi felületének szabad energiája fi. V. (54,6)]. Ezt a mennyiséget az V. (64.1) képlettel számíthatjuk ki, amelyben az to, frekvenciák most a felületi rezgésekhez tartoznak. A kétdimenziós esetben az összegezésről az integrálásra térünk át (amely a rezgések hullámvektorai szerint végzendő el) a cPk/ibi)1, avagy a 2nk dk/(2n)* tényező bevezetésével. Parciális integrálással

~ f, / . k d k ti C k~ deaa. — a0+ T J In ( l —e - " ) = «0- % - j

adódik (a0 a felületi feszültség értéke T = 0-n). Elég alacsony hőmérsékleten csak a kisfrekvenciájú rezgések lényegesek, tehát azok, amelyeknek hullámhossza nagy. Ilyenek a hidrodinamikai kapilláris hullámok, melyekre w2 = a.k3/g = a 0/ca/e ({? a folyadék sűrűsége). Ezért

h t o \ m r o)l!3 do>a = “ 0 _ 4 Í W J I t o i r L T

o

(az integrál gyors konvergenciája teszi lehetővé, hogy az integrálás felső határát oo-ig tágítsuk). Az integrált kiszámítva (1. V. 5«.§)

7^ js 03n / 7 \ / 7 \ t V3o*3“ = a°- 4 f I t ) f u J = a°-0’13


Ez az eredmény annyira alacsony hőmérsékleten érvényes, hogy a folyadék teljes tömegét szuperfolyékonynak tekinthetjük.9

2. Határozzuk meg az diszperziós törvényt mozgó szuperfoiyékony folyadékban található szennyező atomokra, ha álló folyadékra 4d’(P) ismert {J. Bardeen, G. Baym, D. Pines, 1967).

Megoldás. Miután az álló folyadékhoz ( T — 0) m tömegű szennyező atomot adtunk, melynek impulzusa po, azt találjuk, hogy abban a vonatkoztatási rendszerben, melyben a folyadék eredetileg mozgott, a részecske energiája és impulzusa E„ = e'f.K/’o). Po = Po- Abban a rendszerben, ahol a folyadék sebessége v, (23,1) szerint

£ *-'§'(Pn) - - Pav v ‘, P •= p„ - - { m + M ) V.

Ebből látszik, hogy a folyadék energiájának és impulzusának értéke (mikor egy szennyező atomot adunk hozzá) a következő:

mr:ina = 4®’(/>o) "Pov-i- - y , p -= p« :-»iv.

Ha p-vel fejezzük ki -ot, az) kapjuk, hogy

•-: (P) ^ ’(P-WIVJ-PV--^- .

v kis értékeire, elsőrendű tagokig, (23,9) alakú spektrum esetén

adódik.

24. §. Fononok a folyadékban

A hanghullámok klasszikus fogalmáról a fononok kvantummechanikai fogalmára való áttéréskor a hidrodinamikai mennyiségeket (sűrűség, sebesség Slb.) a ck, eltüntető és keltő operátorokkal kifejezhető operátorokkal helyettesítik. Vezessük le ezeket az összefüggéseket!

Emlékeztetünk arra, hogy a hanghullám klasszikus értelmezésében a folyadék sűrűsége kis rezgéseket végez, melyeknek frekvenciája és hullámvekiora közti összefüggés: (0 = uk. A folyadék v sebessége ugyanolyan nagyságrendű, min! a sűrűség változó része q' = q— p0(on a sűrűség egyensúlyi értéke). A folyadék mozgása potenciáláramlás, tehát egy (p skalár sehesscgpotenciállal írható le, amely a sebességet a

v = Vip (24,1)

9 Femu-folyadékban (pl. folyékony aHe) a vizsgált típusú hullámok (csakúgy mint a szokásos hang térfogati hullámai) nem léteznek, minthogy T -» 0 esetén a viszkozitás minden határon túl nő.

24. §. FONONOK A FOLYADÉKBAN 121

összefüggés szerint határozza meg. A sebességet és a sűrűséget a kontinuitási egyenlet kapcsolja össze, dq'jdt = — div (f?v) ^ — n0 div v, avagy

do'k - (24,2)

A hanghullámban részt vevő folyadék energiáját az

kifejezés adja meg. Az integrandus első tagja a mozgási, a második a folyadék belső energiájának sűrűsége, mindkettő négyzetesen függ a kicsiny v cs q mennyiségektől.

A kvantálás további eljárását teljesen hasonló módon végezhetnénk a szilárd testekben a fononokra követett eljárással (I. V. 72. §). Most azonban más utat választunk, amelynek van néhány tanulságos módszet tani sajátsága. Elsőként vizsgáljuk a folyadék sűrűségének és sebességének operátorát mint a részecskék helyvektoraiból (mikroszkopikus mennyiségekből) felépííetl mennyiségeket.

A klasszikus elméletben az alábbi összegek adják meg a \> síii űseget és a folyadék j tömegáramát:

?(>•) = L mtt6(ra- r), j(r) - £ p„ 6(ra- r),a a

ahol az összegezés az összes részecskére vonatkozik (r(I és pa a részecskék helyvektorai és impulzusai). E függvények integráljai valamely térfogati a megadják az abban található teljes tömeget és impulzust. A kvantumelméletre úgy téiünk át, hogy e függvényeket operátorokkal helyettesítjük. A sűrűség operátorának alakja változatlan:

o(r) = £ ni,, ó( r„ - r), (24,4)ft

az áram operátorára viszont a szimmetrizált

j(r) = ~ <5(ru— r) + ó(r„- r) p„} (24,5)a

kifejezés írható, ahol pfl = — ifi v „ a részecske impulzusának operátora.10

10 Az egyszerűség kedvéért a rendszer álljon egyetlen részecskéből. A y(r) = «if5(rj — r) operátort a y(ri) hullámfüggvénnyel átlagolva az j l/'*(ri)SSíJ(ri) <Px i = m I v(r) la kifejezésre jutunk, amint azt vártuk. Hasonlóan átlagolva a / ( r) operátort, az áram helyes kvantummechanikai sűrűségét kapjuk:

(h!2í) {v<*(r) >7yi(r)—VJ(r) Vy*(r)}.

Számítsuk ki p(r') és j(r) kommutátorát két különböző r ésr ' pontban. A rövidség kedvéért a (24,4)-(24,5) összegekben egy-egy tagra korlátozódunk, minthogy a különböző részecskékhez tartozó operátorok felesei élhetők. A számolás során a ^(r j — r' ) alakú operátorokat átalakítjuk:

Ó (ri-r) Vi<5(ri—r ') = ő(rx- r ) ( v ó ( r - r ') ) + Ő(ri-r) Ó (ri-r') V i,

ahol az első tagban V <5(r-r') egyszerűen a ő-függvény gradiense. Az ebben a tagban előforduló másik á(rx—r) tényező miatt V j ó ^ —r') helyett v í ( r - r ' ) írható. Végeredményben

j(r) ő(r') - ó(r') j(r) = - ihg{ v <5(r - r')). (24,6)

A j operátor helyett most vezessük be a sebesség operátorát a

J = y (é v + v é )

definíció szerint. A g és v operátorck felcserélési szabályát az a követelmény rögzíti, hogy q és j kommutátorára (24,6)-ot kapjuk. Könnyen ellenőrizhető, hogy ehhez a

v(r) é(r') - é(r') v(r) = - ih{ V <5(r - r'))

•egyenlőségnek kell teljesülnie (ki keli használni a ő(r) és p(r') operátorok nyilvánvaló felcser élhet őségéi). Végül v(r) = vp(r) beírásával megkapjuk a sűrűség és a sebességpotenciál operátorának kommutátoiát:

<PÜ0 é ' ( 0 - é ' ( 0 ? 0 ) = - f 'M (r-r') (24,7)

(q helyett nyilván írható a ó' = o —g0 operátor is, ami a sűrűség változó részét írja le). A (24,7) felcserclcsi szabály analóg a koordináta és az impulzus között fennállóval; ebben az értelemben q’ és <p az adott esetben a kanonikusai! konjugált „koordináta” és „impulzus” szerepét töl.ik be.

Miután (24,7) levezetéséhez felhasználtuk a (24,4) —(24,5) képleteket, a <p és §' operátorokat másodkvantált alakra hozzuk (azaz el.üntető és kehő operátorokkal fejezzük ki). Ennek során továbbra is megköveteljük, hogy „tudják” a (24,7) felcseré- Jési szabályt. Ehhez írható, hogy

122 ni. FEJEZET. A SZUPERFOLYÉK.ONYSÁG

ahol az Ak együtthatók egyelőre határozatlanok. Az összegezést a hullámvektor mindazon értékeire kiterjesztjük, amelyek egy nagy, de véges V térfogatú folyadékban előfordulhatnak.11 A ck és operátorok felcserélési szabálya:

4 c í - c í 4 = 4k- (24,8)

A későbbi visszahivatkozás kedvéért megemlítjük, hogy ezen operátorok nullától különböző mátrixelemei a következők:

<% -114 1 *k> = («k I4+ |« k -l) = (24,9)

ahol a fononáilapot betöltési száma.A továbbiakban a <p(r) Schrödinger-operátornál alkalmasabb Számunkra a f( t , r)

Heisenberg-mennyiség. Ezt ^(r)-ből egyszerűen az exp(±ícoí) tényező bevezetésével kapjuk, ahol <o — u k :

<p(t, r) = -L - X (V k ^ (kr_í:"'>+\V k

(vö. a 9.§ elején a ^-operátorokra mondottakkal). A g'(t, r) sűrűségoperátort a (24,2) összefüggés köti össze <p(t,r)-rel, ezért g'-t is az előbbi összeg adja, csak most iAkgakju szerepel benne Ak helyett. Mindezek után az Ak tényezőket úgy kell meghatározni, hogy teljesüljön a (24,7) szabály. Végeredményben a következő kifejezéseket kapjuk:

( fill \ ^(4ei(kr_B<:0+éit e - i'kt- uk‘>),

(24,10)

ÖV, r) = S * ( -2Km')12 (4^<ltI“"/c0—

Valóban, e kifejezéseket a (24,7) szabály bal oldalába helyettesítve, (24,8) figyelembevételével megkapjuk a kívánt ő-függvényt:

- / ^ I ( 4 4 +-4 +4 )^ k(r- r') = v k

“ - % I - - Y J -V(2nf = Ő(,-r')-

24. §. FONONOK A FOLYADÉKBAN 123

11 A részecskék ^-operátoraitól eltérően a !p valós mennyiség operátora hermitikus, és egyidejűlegtartalmazza a fononokat keltő és eltüntető operátorokat. Ez a tulajdonság (csakúgy, mint a kvantumelektrodinamika! terek hasonló tulajdonságai) a fonontérbeli „részecskék” számának meg nem maradásával kapcsolatos.

124 Ili. FEJEZET. A SZUPER FOLYÉKONYSÁG

Könnyű arról meggyőződni, hogy a (24,3) integrálton a v = /<p és o használatával adódó Hamilton-operátor, amint azt várjuk is.

alakú; és sajátértekei: l'tihk(nk-r V),összhangban az e = n/tk energiájú tbno^-'k fogalmává].

A hanghullámban mozgó folyadék (24,3) energiája a pontos

kifejezés sorfejtésének a (nulladrendíi utáni) első tagjait tartalmazza ( j ho l e{o) a folyadék egységnyi tömegű részének belső energiája]. A pontos Hamilton-operátort ez az integrál adja, ha benne v-t és q-t a v = y<p és ó = on+ o operátorokk J. helyettesítjük, ahol (p és <Y értelmezése a (24,10) szerinti:

(a mozgási energia opeiátorát a szimmetiizált v<3v/2 alakba inuk, hogy hermitikus legyen). Lényeges, hogy éppen q cs q> a folyadék kanonikusán konjugált „általánosított koordinátái és impulzusai”, melyekkel a Hamilton-operátor kifejezendő. Ez abból látszik, hogy a (24,7) felcserélési reláció — amit a (24,10) operátorok kielégítenek - egzakt: levezetésében a rezgések kicsinységét sehol nem használjuk ki.

A Hamilton-operátor kifejtésének magasabb (harmad- stb. fokú) tagjai fejezik ki a hangrezgések anharmonikusságát, a fononképben pedig a fonor.ek közti kölcsönhatást írják le. E tagok mátrixelemei egyidejűleg több betöltési szám me; áh ozásával járó átmeneteket írnak le, és azon perturbációk szerepét jálsszák, melyek a fononok bomlásáról, szóródásáról képesek számol adni. A ck és c£ operátorok mátrixelemei továbbra is (24,9) alakúak, minthogy (amint a perturbáció számításban mindig ez. a helyzet) azt a reprezentációi használjuk, amelyben a perturbálallan Hamilton-operátor diagonális. Itt megadjuk a harmad- és negyedfokú tagok kifejezését:

25.§. A MAJDNEM IDEÁLIS ELFAJULT BOSE-GÁZ 125

25. §. A majdnem ideális elfajult Bose-gáz

A Bose-tipusú energiaspektrum alapvető tulajdonságait világosan bemutathatjuk az enyhén nemideális Bose-gázon, zérushoz közeli hőmérsékletekre. Ezt a modellt vizsgáljuk meg ebben a szakaszban, ahhoz hasonló módon, ahogy a 6. §-ban a Fermi- gázzal foglalkoztunk.12 Mindaz, amit a 6.§-ban elmondtunk az elfajult, majdnem ideális gáz általános jellemzésére, a jelen esetre is vonatkozik. Többek között a gyenge eltérést az ideális esettől (ha a gázparaméter a(N/V)va« 1; a a szórási hossz] a korábbiak szerint a icszecskék impulzusát korlátozó (6,1) feltétellel lehet jellemezni: pajh « 1,13

A párkölcsönhalású (zérus spinűnek feltételezett) bozonok Hamilton-operátora csak a ^pí.nindexek hiányában különbözik (6,6)-tól:

A = I áf' á° + T £ <PÍPÍ i 1711Pl P'2 (25>1 >

(az indexekben előforduló minden impulzusra összegezünk).A részecskék eltüntető és keltő operátoraira az alábbi felcserélés! szabály érvényes:

ápá+ - űp+ űp = 1.

Ugyanúgy, mint a 6.§-ban, a (25,i)-bcn előforduló összes mátrixelemei — az impulzusok kicsinysége miati — p = O-ra felvett értékével helyettesíthetjük, ekkor

V á p + -2 T I (25,2)

A penurbációszámitás alkalmazásához a következő megjegyzésből indulunk ki. Az ideális Bose-gáz alapállapotában az összes részecske a kondenzátum zérus energiájú állapotában helyezkedik el, azaz a betöltési számokra JVp = 0 = N0 — N, Np = 0 (p ^ 0) érvényes (!. V. 62. §). A majdnem ideális gázban az alapállapotra és a gyengén ger-

12 Az alábbi módszert ;V. /V. Rogoljubov alkalmazta (1947). A Bose-gázra alkalmazás volt az első példa egy „kvantumfolyadék" energiaspektrumának a mikroszkopikus tulajdonságokból való következetes levezetésére.

13 Alább Járni fogjuk, hogy elfajult Bose-gázban a („kondenzátumon” kívüli) részecskék nagyrészének p — h\aN/V nagyságrendű impulzusa van, melyekre az említett egyenlőtlenség valóbanteljesül.

jesztett állapotokra Np zérustól különböző, de az utóbbiak nagyon kicsik a makroszkopikusan is nagy iV0-hoz képest. Az a tény, hogy az á j á0 — N0 ~-N nagyon nagy az egységhez képest, azt jelenti, hogy az

áüá j - á j á0 = 1

kifejezés kicsiny magukhoz az a0 és á j tényezőkhöz képest. Ezért az utóbbiakat (j/jVq nagyságú) számoknak tekinthetjük, nem felcserélhető jellegüket elhanyagolhatjuk.

A perturbációszámítás most a (25,2)-beli negyedfokú összeg formális kifejtését jelenti az őp, á j kis mennyiségek hatványai szerint (p 0). A nulladrendü tag:

á j á j á ^ - 4- (25,3)

A lineáris tag nem jelenhet meg, mert nincs mód az impulzus megmaradásának biz- tosítására. A kvadratikus tagok a következők:

4 £ (áp0_p+ á já ± p+ 4á jáp). (25,4)D *0

Ha kvadratikus pontosságot írunk elő, akkor = N0 (25,4)-ben a teljes N részecske- számmal helyettesíthető. A (25,3) képletben a pontosabb

öo+ £ áfa? = N

összefüggést kell használni. Végeredményben (25,3) és (25,4) összege a következő:

N 2+ N Y. (ává_p+ á já tp+ 2 á j őp),p * o

majd (25,2)-be ezt behelyettesítve, a Hamilton-operátorra a következő kifejezést kapjuk:

126 MI- FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

A/2 „2 \fh = ~2P u 0 + 1 A + 2F Ua£ 0 ( W ^ + á J á ± p+2áJáJ, (25,5)

E kifejezés első tagja határozza meg első közelítésben a gáz alapállapotának E0 energiáját. N szerinti deriváltja ennek megfelelően a ji kémiai potenciál értékét adjar = 0-n:

A (25,5) képlet további tagjai E0 korrekcióját jelentik, és a gáz gyengén gerjesztett állapotainak spektrumát szolgáltatják.

A (25,5)-ben megjelenő U0 integrált egy mérhető fizikai mennyiséggel, az a szórási hossza! fejezhetjük ki. A másodfokú tagokban ezt közvetlenül a (6,2) képlet szerint adhatjuk meg: U0 — 4nfPajm. Az első tagban azonban pontosabb összefüggésre van szükség, ami figyelembe veszi a szórási amplitúdó második Born-közelítését is. Ezt adja (6,5), amelyben a kondenzátum két részecskéjének ütközését leíró mátrixelemet kell képezni, tehát pj = p2 = 0, p* = —p'2 — p írandó. így

u ,= ^ a- U z - üm \ V pVo p - )

adódik. Ezt (25,5)-be téve, a Hamilton-operátorra a

- _ InfPa N 2 / 4nfPct v 1 \~~ m V \ V p^o p z J +

+ W £ ( V - p + ^ ± p + 2 ^ P+áp) + I ^ ő+ő„ (25,7>

25. §. A MAJDNEM IDEÁLIS ELFAJULT BOSE-GÁZ 12?

képletet kapjuk.Az energiaszimek meghatározására a Hamilton-operátort diagonalizálni kell, amit

az áp, operátorok megfelelő lineáris kombinációinak bevezetésével érhetünk elvezessük be az új b9, 2>* opeiátorokat az

cip —* uphp+ v ph t 9,

képletek szerint, 6s követeljük meg, hogy ugyanolyan felcserélési törvényeknek tegyenek eleget, mint korábban áv és á * :

5p£p— bv-b0 - 0, hpb £ - hp-bp = bw„

Könnyű belátni, hogy ehhez «£— v* = 1 szükséges. Ennek teljesítésére a lineáris kombinációt

_ hp+Lph±v + byJ -L fb -v C25.8>’ ” í t = l %

alakúnak választjuk. Az L p mennyiséget úgy határozzuk meg, hogy a Hamilton- operátorból kiessenek a bvh_p, í t v tagok, melyek nemdiagonálisak. Egyszerű számítással

128 Hí. FEJEZET. A SZUPtRFOLYHKONYSÁG

adódik, ahol bevezettük azl 2T i/'2

(25’ ,o )

~ ( - w **»jelöléseket. A Hamilton-operátor ezzel a

/ / = /:„+ X e(p)h+b9 (25,12)p fi o

alakot ölti, ahol

& = ~ m f + j ”£ £ } • (25-13)

A (25,12) alakból és a bf operátorok Bose-típusú kommutátoraiból levonhatjuk a következtetést, hogy a és hp operátorok s(p) energiájú kvázirészecskék keltő és eltüntető operátorai, melyek Bose-statisztikát követnek. A b* bv operátorok np sajátértékei a p impulzusú kvázirészecskék számát adják meg, a (25,10) képlet pedig megadja energiájuk impulzusfüggését (a kvázirészecskék betöltési számát »p-vel jelöltük, hogy megkülönböztessük a valódi részecskék Np betöltési számától). Ezzel a vizsgált gáz gyengén gerjesztett állapotainak energiaspektrumát teljesen meghatároztuk.

Az E0 energia a gáz alapállapotának energiája. A diszkrét p értékekre való összegezést a VcPpj(2nhf szerinti integrálással helyettesítve és a számítást elvégezve, a következő kifejezést kapjuk:

_ 2 n&aN* ~mV ( 2 5 ' , 4 )

{T. D. Lee, C. N. Yang, 1957). A kémiai potenciál kifejezésére ennek megfelelően

d£o_ _ 4,-r/r2íiiV ~ dN "" niV

(25.15)

adódik. Ezek a képletek a megfelelő mennyiségek (aW /K)12 szerinti kifejtésének első két tagját adják. A rájuk következő tagot azonban már nem lehet kiszámítani a bemutatott módszerrel. Az a térfogatot V~- alakban tartalmazza, és ezt a nagyságrendet már nemcsak a kettős, hanem a hármas ütközések is befolyásolják.

Az impulzus nagy értékeire (p ss> mu) a kvázirészecskék (25,10) energiája p-jlm-he? tart, azaz a gáz önálló részecskéjének mozgási energiájához.

25. §. A MAJDNEM IDEÁLIS ELFAJULT BOSE-GÁZ 129

Kis impulzusokra (p <szmu) e % up. Könnyen látható, hogy az u együttható megadja a gázbeli hangsebességet, tehát a 22. § általános állításainak megfelelően, ez a kifejezés fononokat ír le. T — O-ra a szabad energia jE -val egyezik meg, amelynek kifejtésében a vezető tagra korlátozódva, a nyomásra a

(ahol q = mN/V a gáz sűrűsége), ami (25,1 l)-et adja.Megjegyezzük, hogy a Bose-gáz. vizsgált modelljében az a szórási hossz mindig

pozitív (a részecskék közt taszító hatás alakul ki). Ez formálisan abból is látható, hogy az energiára kapott képletben a < 0 esetén képzetes tagok is megjelennek. Az a > 0 feltétel termodinamikai tartalmát az adja, hogy elengedhetetlen a (dP/dV)T < 0 egyenlőtlenség teljesüléséhez a Bose-gáz adott modelljében.

A kvázirészecskék statisztikus eloszlását zérustól különböző hőmérsékleten (az átlagos betöltési szám wp) egyszerűen a (22,2) Bose-eloszlás adja. A valódi részecskék ,Vp impulzus szerinti eloszlását uzá*áp operátor átlagolásával számíthatjuk ki. (25,8)-at felhasználva és figyelembe véve, hogy a h_pbJ>é sh p h tp szorzatoknak nincs diagonális mátrixeleme, azt kapjuk, hogy

Ez a kifejezés nyilván csak a p # ü esetben érvényes. A zérus impulzusú részecskék száma

Speciálisan, ha T = 0, akkor az összes np értéke zérus, és (25,9) segítségével (25,16)- ból a következő alakú eloszlást kapjuk:11

(T — 0 esetén iYp sajátértékei a pontos értékekkel egyeznek meg, ezért az átlagolás jelét, a felső vonást, elhagytuk). A Bose-gáz nemideális jellege arra vezet, hogy abszolút zérus fokon is jelen vannak nemzérus impulzusú részecskék; (25,17)-ben a

11 Megjegyezzük, hogy az adott ( ~ írN p) összimpulzusú részecskék maximális száma a p/h ~ ~ y~aNjVértéknél adódik, ah o l bekövetkezik az átmenet e(p) egyik határviselkedéséről a másikra. Ezt a körülményt már megemlítettük a 13. lábjegyzetben is.

5E 2%h2aN 2 dV ~ ' m V 2

kifejezés adódik. A hangsebesség értékére az u = joP /d g képletet alkalmazhatjuk

(25,16)

(25,17)

O Jm-u4 (25,18)2e(p){e(p)+ p2/2m+ mit2}

9 Stalisflikus fiziks 2. rész

130 KI. FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

(25,18) képletből vett 7Vp függvénnyel integrálva,

No — N 83

(25,19)

adódik.Végül a kapott energiaspektrumra vonatkozóan a következő megjegyzést tesszük.

Kis p impulzusra a cPe/dp2 derivált pozitív, vagyis az e(p) görbe felfelé görbül a kezdeti e = up érintőhöz képest. Ez esetben (1. alább a 34.§-t) a spektrum instabillá válik a kvázirészecskék (fononok) spontán bomlásának lehetősége miatt. A szintek ennek megfelelő szélessége azonban kicsi (kis p -re p5-nel arányos), és nem befolyásolja a vizsgált közelítésben kapott kifejezéseket.

Mint a 23. §-ban már említettük, a szuperfolyékonyság megjelenése és eltűnése a folyékony héliumban másodfajú fázisátalakulás lezajlásával következik be. Az ilyen átmenetet mindig a test valamely kvalitatív tulajdonságának megváltozása kíséri. A folyékony hélium A-pontja esetében ezt a változást makroszkopikusan mint a folyadék szupeTfolyékony komponensének eltűnését, illetve megjelenését jellemezhetjük. Mélyebb, mikroszkopikus szempontból a (valódi) részecskék impulzus szerinti eloszlásának meghatározott tulajdonságairól van szó. Nevezetesen, a szupeifolyadékban, a normálistól eltérően, a részecskék véges hányada (azaz makroszkopikusan nagy számú részecske) szigorúan nulla impulzusú. Ezek alkotják a Bőse—Einslein-konden- zátumot (vagy egyszerűen a kondenzátumot) az impulzustérben. Emlékeztetünk arra, hogy ideális Bose-gázban T — 0 hőmérsékleten az összes részecske a kondenzátum- hoz tartozik (1. V. 62. §), a majdnem ideális esetben viszont csaknem az összes ilyen tulajdonságú. Általában, ha a Bose-folyadék részecskéi között erős kölcsönhatás van, a T = 0 hőmérsékleten a kondenzátumban található részecskék aránya egyáltalán nincs közel az egységhez.

Megmutatjuk, hogyan fogalmazható meg a Bőse— Einstein-kondenzáció a y-operá- torok nyelvén.

Ideális Bose-gázra, ami nem kölcsönható bozonok rendszere, a heisenbergi y-operá- tor explicit alakja:15

‘‘ Vő. (9,3). A gáz részecskéit spinteleneknek gondoljuk, ezért hiányzik a spinindex. (26,l)-ben azt is figyelembe vettük, hogy T = O-ra az ideális Bose-gáz kémiai potenciálja z4cvis. és ezért az exponensben nem lép fel a - f i t jh tag.

26. §. A kondenzátum hullámfüggvénye

(26,1)

26. §. A KONDENZÁTUM HULLÁMFÜGGVÉNYE 131

Mint a 25,§-ban már megmagyaráztuk, á0ésá^ nemfelcserélhetősége elhanyagolható, nyár ezeket klasszikus mennyiségekként tekinthetjük. Más szavakkal, a (26,l)-beli y-operátor egy, ezentúl üT-vel jelölt része:

A áo- (26,2)

f v

közönséges szám.A ^-operátorok fenti tulajdonságának tetszőleges Bose-folyadékra vonatkozó meg

fogalmazásához megjegyezzük, hogy a kondenzátumban mindig makroszkopikusan nagyszámú részecske található, így e szám 1-gyel való megváltozása a rendszer állapotát lényegében nem változtatja. Azt mondhatjuk, hogy a kondenzátumhoz. I részecskét hozzáadva (vagy belőle 1-et elvéve) az N részecskés rendszer valamely állapotából az (N ± 1) részecskés rendszer „ugyanazon” állapota jön létre.16 Speciálisan az alapállapot is változatlan marad.

£~ve1 vagy £ +-tel a -operátornak azt a részét jelölve, amely a kondenzátum részecskéinek számát változtatja 1-gyel, így, definíció szerint fennáll, hogy

É | m, N + 1) = 3 j m, N ), 3 + | m, N ) — 3* [ m, JV+1),

ahol az j m, N ) és | m, N + 1) jelek két „azonos” állapotot jelölnek, melyeknek csak a részecskeszáma eltérő, és 3 komplex szám. Ezek az állítások szigorúan véve az N -*• oo esetben érvényesek. Ezért a 3 mennyiséget a

lim (m, N \.§| m, N + 1) = 3 ,N —*-oo

(26,3)lim (m, N + 1 13 + \ m, N ) = 3*

N —►©Q

összefüggésekkel definiáljuk, ahol a határértéket állandó N /V folyadéksűrűség mellett számítjuk ki.

Ha a ^-operátorokat

# = É + P ', &+ = 1+ + $ "+ (26,4)

’• A részecske hozzátételét vagy elvételét kvázisztatikus folyamatként képzeljük el. Ezzel kizárjuk annak lehetőségét, hogy a változó tér gerjessze a folyadékot.

9*

alakban állítjuk elő, akkor a maradék (a kondenzátum „feletti”) részük az | wt, N ) állapotot egy rá merőleges állapotba viszi át, azaz fennáll, hogy17

lim (m. N j !?" j m, N+ 1> = 0. lim (m, N+ 1 | 'P '+ | m, /V) = 0. (26,5)yv ' íV

Az iV — esetben az | «t, N ) és | m, iV +1) állapotok közti különbség teljesen eltűnik, és íg y - a operátor ezen állapotbeli várható értékévé válik. Kiemeljük, hogy a kondenzált rendszerre éppen ennek a halálértéknek a végessége jellemző.

A (26,3) egyenlőségekkel kimerítettük a J: és J:+ mennyiségek „operátori” sajátosságait, és ezeka mennyiségek felcserélhetőknek tekinthetők i/^-vel és y/,+-tel. Ekkor a ü és operátorokat 5-vel és 5*-gal helyettesítjük (azaz az operátorok klasszikus mennyiségként viselkednek) az alapállapotra történő bármiféle átlagolás során. Újra hangsúlyozzuk, hogy ez a közelítés (a kondenzátum makroszkopikus számú részecskéje miatt) az 1 jN nagyságrendű mennyiségek elhanyagolása esetén alkalmazható.18

Ha a hullámfüggvények időfüggését a f i ' = f i — fiN Hamilton-operátorral határozzuk meg, akkor a — mennyiség időfüggetlen. Valóban, az On, N | E | m, N + 1) mátrixelein arányos az

exp J - [K(N+ \)—E (N )—(N + 1) fi+Nf.1]

mennyiséggel. Azonban (% \jN pontossággal) E(N+ Í)—E(JN) = /j , és az exponens nullává válik.

Homogén, álló folyadékban S a koordinátáktól sem függő állandó, amely (e komplex mennyiség fázisának alkalmas megválasztásával) a kondenzátum részecskesűrűségével kapcsolatos:

3 = [/«„, (26,6)

ahol ily a kondenzátumhoz tartozó részecskék száma a térfogategységben. Valóban, É +S a kondenzátumbeli részecskék számának operátora, amelynek átlagértéke n„.

A Bose-folyadék részecskéinek sűrűségmátrixa a kondenzátum létezése miatt minőségileg különbözik a szokásos folyadék sűrűségmátrixától. A homogén Bose- folyadék tetszőleges állapotában a sűrűségmátrixot az

JVo(r,, r«) - (m, N \ P +(t, r,) P (t, r ,.) ] m, N) (26,7)

132 111 FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

M A félreértések elkerülésére még egyszer emlékeztetünk arra, hogy ezek az egyenlőségek csak „egyforma” állapotok közti átmenetekre állnak fenn.

14 Ezzel a pontossággal azonosnak kell vonnia ^ 'operátoroknak azokat a mátrixelemeit, amelyekegyenlő (kis) számban különböző részecskeszámhoz tartozó állapotok közti átmenetet írnak le.

kifejezéssel definiáljuk, amely csak az r = i^—r2 különbség függvénye [vő. (7,13)]. Ebbe a (26,4) alakban beírva a ^-operátorokat és kihasználva a (26,3) és (26,5) tulajdonságokat, az eredmény

Nq(Xu ra) = no+Nn'iru r i). (26,8)

A „kondenzátum feletti” q' sűrűségmátrix | r t —r 2 | — ~ eseten nullához tart, a teljes q sűrűségmátrix pedig az n0[N határértékhez közelít. Ez fejezi ki a „hosszútávú rendet” képviselő szuperfolyadék jelenlétét, amely hiányzik normális folyadékokban (ott q — 0, ha | r ,—r2 | — °°). Ez az a szimmetriatulajdonság, amely megkülönbözteti a szuperfolyékony fázist a normálistól (V. L . Ginzburg, L. D. Landau, 1950).

A sűrűségmátrix Fourier-komponense megadja a folyadék részecskéinek impulzus szerinti eloszlását a következő képlet szerint:

'V(p) = Ar J o(r) c~m (!''x (26,9)

[vö. (7,20)]. Ebbe a (26,8) alakú p függvényt behelyettesítve,

zV(p) = (271? ih,ő(p)-‘-N ) <)'(r) e~ípr <Px (26,10)

adódik. A á-függvényt tartalmazó tag azt jelenti, hogy egy részecske impulzusa véges valószínűséggel zérus.

Ha a folyadékban szuperfolyékony mozgás jön létre, vagy inhomogén és nemsta- cionárius körülmények közé kerül (a változások jellemző hossza azonban sokkal nagyobb az atomok közötti távolságoknál), a Bőse—Einstein-kondenzáció újra létrejön, de nem állítható, hogy a p = 0 állapotban következik be. 5 , amelynek nagyságát újra (26,3) határozza meg, most a koordináták és az idő függvénye, jelentése szerint a kondenzátum állapotának hullámfüggvénye. A j £ |2 = n0 feltétel normálja, és ezért

S (t, r) = )/«7(7, r) < • * « ' ■ ( 2Ó, 11)

alakban írható fel.Minthogy a konden/átumban makroszkopikusan sok részecske helyezkedik el, a

hullámfüggvény klasszikus makroszkopikus mennyiséggé válik.18 így a szuperfolyadékban a termodinamikailag egyensúlyi makroszkopikus állapotok új, jellegzetes példája jelenik meg.

26. §. A KONDENZÁTUM HULLÁMFÜGGVÉNYE 133

18 A helyzet ahhoz hasonló, ahogyan az elektromágneses hullámok terének erőssége a fotonok nagy betöltési száma esetén bármely állapotban klasszikussá válik (vö. IV. 5. §).

A (26,11) hullámfüggvénnyel kiszámítható a

áramsűrűség, ahol m a folyadékrészecskék tömege. Értelmezése szerint j kon(i a kondenzátum részecskéinek makroszkopikus áramsűrűsége, amit n0\ s alakban is írhatunk (Vj. e mozgás makroszkopikus sebessége). A két kifejezés összehasonlításából

Mivel ez a mozgás termodinamikai egyensúlyban is létrejöhet (ezt az állapotot a S mennyiség jellemzi), így a mozgás során disszipáció nem lép fel, tehát (26,12) a szuper- folyékony mozgás sebessége. így újra arra a már a 23. §-ban említett tulajdonságra jutunk, hogy a szuperfolyékony mozgás potenciáláramlás. A <p sebességpotenciál (állandó szorzótényezó' erejéig) a kondenzátum hullámfüggvényének fázisával egyezik meg:

A félreértések elkerülése végett hangsúlyozzuk, hogy bár a kondenzátum sebessége a folyadék szuper folyékony komponensének sebességével egyezik meg (és a A-pontban egyszerre jelenik meg a kondenzátum és a szuperfolyékonyság tulajdonsága), a kondenzátum mn0 sűrűsége mégsem egyezik meg a szuperfolyékony komponens qs sűrűségével. Nem beszélve arról, hogy e két mennyiség azonosítása semmiképpen sem alapozható meg, helytelensége abból is látható, hogy abszolút zérus hőmérsékleten a folyadék teljes tömege szuperfolyékony, de egyáltalán nem az összes részecske található a kondenzátumban.20

A kondenzátumhoz tartozó részecskék számsűrűsége T — 0 hőmérsékleten maximális, majd a hőmérséklet növelésével csökken. E változás határviselkedése T -*■ 0

80 Tényszerűen tudjuk, hogy a folyékony héliumban a kondenzátum sűrűsége csak egy kis része a folyadék teljes sűrűségének.

(26,12)

(26,13)

27. §. A kondenzátum sűrűségének hőmérsékletfüggése

27. §. A KONDENZÁTUM SŰRŰSÉGÉNEK HŐMÉRSÉKLETFÜGGÉSE 135

esetén egy makroszkopikus mennyiség, a kondenzátum 3 hullámfüggvénye fluktuációinak vizsgálatával felderíthető (R. A. Ferrell, Menyhárd Nóra, H. Schmidt, F. Schwabl, Szépfalusy Péter, 1968).

Először is felidézzük, hogy 3 olyan klasszikus mennyiség, amelynek a kvantummechanikai mennyiségek közül a & operátor felel meg. Ezért fluktuációinak kiszámítására elvben ezt az operátort kellene használnunk. Másrészt világos, hogy az abszolút zérus hőmérséklet közelében a makroszkopikus mennyiségek fluktuációinak spektrumában a hosszúhullámú rezgéseké az alapvető szerep. A folyadéknak e rezgései hanghullámok, melyeket a hidrodinamika makroszkopikus egyenletei írnak le. Ily módon lehetőség nyílik arra, hogy közvetlenül felépítsük a S-nek megfelelő operátort 3 független kvantálása útján.

A £ — exP (f ) mennyiség fázisa fluktuál a legerősebben a hosszúhullámú határesetben, és ez közvetlenül kapcsolódik a szuperfolyékony mozgás sebességpotenciáljához a (26,13) képlet réven. Emlékeztetünk, hogy a <p és mennyiségek egyike sem egyértelmű, tetszőleges állandó hozzájuk adható. A ]/n0 egyértékű meny- nyiséget ezért csak 0 deriváltjai segítségével fejezhetjük ki, így fluktuációinak Fourier-komponensei a többlet k hullámvektor hatványait tartalmazzák, tehát kis k értékekre elhanyagolhatók.

A 0 fázis és a sebességpotenciál kapcsolata lehetőséget nyújt ahhoz, hogy azt közvetlenül a fononeloszlást jellemző mennyiségekkel hozzuk kapcsolatba. E célból gs-t és veleÖM is másodkvantált operátornak tekintjük, amit (24,10) alapján a fononok keltő és eltüntető operátoraival fejezhetünk k i:

é = {£p e>Ptl" + ^ (27’I}

(a folyadék perturbálatlan tömeget g — nm alakban írjuk, ahol n u részecskék számsűrűsége, amiben a 0 indexet elhagytuk). A fent mondottak szerint ez azt jelenti, hogy a 3 makroszkopikus mennyiség operátora, azaz a *P operátor hosszúhullámú része

XP — |/»o exp (i<£>) (27,2)

alakban állítható elő, ahol n0 a kondenzátum részecskéinek számsűrűsége.Először is arra használjuk ezt a képletet, hogy kiszámítsuk a Bose-folyadék „kon

denzátum feletti” részecskéinek impulzuseloszlását (kis impulzusértékekre). Á g id ra ) egyrészecskés sűrűségmátrixban | —r2 [ — esetén a ^-operátor (27,2)-beli hosszúhullámú kifejezését használjuk:

Nq(ti, r») = (*^+ ( r 2) l^ ( r i ) ) rs h0<í?~m> + (' í) (27,3)

136 III. FEJEZET. A SZUPERFÜLYÉKONYSÁG

ahol az átlagot állandó hőmérsékleten képezzük a folyadék állapotaira. A fluktuációk kicsik, ezért <f> hatványai szerint sorba fejtjük a kifejezést, és csak az első el nem tűnő (négyzetes) tagokat tartjuk meg. Figyelembe véve, hogy $ + = #>, azt kapjuk, hogy

No(ru r>) = Un—Un (tf>'2(r)) + nn $ (r i» . (27,4)

A harmadik tag | —r2 | — oo esetén nullához tart, cs ez adja a „kondenzátum feletti” rész keresett sűrűségmátrixát (a második tag homogén folyadékra egyáltalán nem függ r-től és a kondenzátum sűrűségéhez ad korrekciót, melyet alább kissé eltérő módon számítunk majd ki). (27,1) felhasználásával a kondenzátum feletti részt az

Nq'(fi, rz) = e - ^ - ^ + ( c pc + ) =

r.

alakra hozzuk, ahol% = [e*u<T- I ]"1.

Az összegezésről integrálásra áttérve:

(27,5)

Ez a kifejezés nyilván csak a kis p értékek járulékára érvényes (mikor hjp nagy az atomok közli távolságokhoz képest). A (27,5) képlet integrandusa közvetlenül megadja a részecskék impulzus szerinti eloszlását:

W( p (27, 6)

T = O-ra a képlet átmegy az

NV> = (27.7)

egyenlőségbe (J. Gavoret. Ph. Noziéres, 1964), míg T ^ 0. jjp « T esetén az

* (P) = l í j ? (27’8)

alakot ölti (P. C. Hohenberg, P. C. Martin, 1965).

27. §. A KONDENZÁTUM SŰRŰSÉGÉNEK HŐMÉRSÉKLETFÜGGÉSE 137

Ezután megállapítható a kondenzátum sűrűségének hőmérsékletfüggése. Definíció’ szerint érvényes az

J aw -jH - <27»

összefüggés. Ha közvetlenül (27,6)-ot helyettesítjük ide, az integrál a zérusponti rezgések miatt divergens. Ez abból ered, hogy a nagy p értékekre (27,6) alkalmazhatatlan, de mindez csak annyit jelent, hogy a T = 0 hőmérsékleten a kondenzátum sűrűsége e módszerrel nem számítható ki. A keresett hőmérsékletfüggés meghatározásához, azonban levonhatjuk H0(r)-bő! annak T = 0-beli értékét, s ezután az integrál már- konvergens. Végeredményben

UtiO) alii«n(0)

tPpp (2nfif'p

m T* f - _ mTl . (27 io>2x?nntP J < * - l \2nutr ’ { *

A .számítás során a teljes folyadék sűrűségének hőmérséklet függéséi elhanyagoltuk; ez indokolt, minthogy a folyadék hőtágulása (amely a fononok gerjesztésének következménye) a hőmérséklet magasabb halványával arányos (vö. V. 67. §).‘a

Végül néhány, módszertanilag érdekes megjegyzést teszünk a kétdimenziós Bőse- gázra vonatkozóan. Ez esetben a (27,9) integrál hőmérsékletfüggő része kis p-re logaritmikusan divergens, pedig itt az jV(p) képlet érvényes kellene, hogy legyen. Ez azt jelenti, hogy a kétdimenziós esetben az alapfeltevés helytelen; nem létezik kondenzátum zérustól különböző hőmérsékleten, csak T = 0-ra.'-2 A helyzet hasonló a kétdimenziós kristályokéhoz (1. V. 137. §). Amint ez utóbbiakban az atomok helyzetének fluktuációja „szétmossa” a rácsot, a fázis fluktuációi is megakadályozzák a kondenzálunk kialakulását. A formális analógia úgy jelentkezik, hogy az energia kifejezésében mindkét ese.ben a jellemző mennyiségek deriváltjai fordulnak elő. Ezek az első esetben az atomok eholásvektorai, amelyek önmagukban nem jelenhetnek meg az energia kifejezésében, minthogy ez a kifejezés invariáns az egész rendszer eltolásával szemben. A második esetben a kondenzátum hullámfüggvényének fázisa nem egyértelmű mennyiség, ezért az energia kifejezésében szintén nem léphet fel önmagában.

21 A kapóit képletek tetszőleges Bose-folyailékra érvényesek, és így természetesen összhangbanvannak a 25. §-ban az enyhén nemideális Bose-gázra kapott eredményekkel. Az összehasonlításkorvegyük figyelembe, hogy ilyen gázra n0 rs n. Viszont p kicsinységének feltétele: p « mii ~ h-ian)'11

-- Ez az állítás kétdimenziós ideális Bose-gázra is érvényes.

Az a tény, hogy az energia e mennyiségek gradiensétől függhet csak, végső soron a fluktuációk divergenciájára vezet.

Az V. 138. §-ban láttuk, hogy a fluktuációk gyenge (logaritmikus) divergenciája a rendszer korrelációs függvényének lassú (hatványfüggvény szerinti) csökkenését okozza a kétdimenziós kristályban. Hasonló módon, kétdimenziós Bose-rendszerben a (27,3) sűrűségmátrix az | r , —r2| — esetben nullára csökken (nem tart zérustól különböző állandóhoz, mint kondenzátum jelenlétében), ám a csökkenés csak hatványfüggvény szerinti.23 Megjegyezzük, hogy az ilyen folyadék különbözik a normálistól, így kétdimenziós esetben is lehetséges másodrendű fázisátalakulás az exponenciális csökkenésű, gfo, r2)-vel jellemezhető normális, és a hatványszerű csökkenést mutató fázis között.

28. §. A szuperfolyadék viselkedése a A-pont körül

A 23. §-ban már említettük, hogy a hőmérséklet növelésével a szuperfolyékony sűrűség qJ q részaránya a Bose-folyadékban csökken, és a másodfajú fázisátalakulás pontjában, az ún. A-pontban eltűnik. A pontot jellemző Tx hőmérséklet a P nyomás függvénye; a T = TX(P) egyenlet a (P, T) síkbeli fázisdiagramon a A-pcntok vonalát határozza meg.

A másodfajú fázisátalakulások általános elméletében a test állapotának megváltozását a szimmetriatulajdonságait jellemző rendparaméter viselkedésével írjuk le. A Bose-folyadék A-átmenetében e paraméter szerepét a kondenzátum S hullámfüggvénye írja le, ami a 26. §-ban mondottak szerint a folyadékbeli „hosszútávú rendet” jellemzi, a komplex jellege szerint a rendparaméternek két komponense van, és a rendszer effektív Hamilton-függvénye (1. V. 147. §) csak | £ | 2-től függ, ezért invariáns aS —• transzformációkra, bármely valós a mellett.

A A-átmenetre vonatkozó empirikus adatok folyékony héliumra arról tanúskodnak, hogy a fázisátalakulások Landau-elmélete nem alkalmazható: az V. (146,15) kritérium a A-pont környezetében (azaz a | T — Tx | <s T x tartományban) sehol sem teljesül. Ezért az átalakulás leírására a másodfajú fázisátalakulások fluktuációs elméletét kell alkalmazni, amely lehetőséget ad a különböző mennyiségek hőmérsékletfüggése közötti összefüggés megállapítására.

13 Részletesebben 1. J. W. Kané és L. Kadanoff, Phys. Rev. 155, 80. (1967).

A rendparaméter (és ezzel a kondenzátum «0 sűrűsége) hó'mérsékletfüggését T — Tx- raajS kritikus index jellemzi (1. V. 148. §):

I E \ = - fiH ~ 1 X iL -T f. (28,1)

Érdekesebb ennél a szuperfolyékony sűrűség, os viselkedésének kérdése. Ennek kiszámítására tekintsünk olyan folyadékot, amelyben a kondenzátum hullámfüggvényének 0 fázisa lassan változik a térben. Ez azt jelenti, hogy a folyadékban makroszkopikus szuperfolyékony áramlás zajlik a (26,12)-ből kiolvasható sebességgel. Az ennek megfelelő mozgási energia (a folyadék egységnyi tömegére vonatkoztatva):

^ Y ' = & - & ( v 0 r - (28’2)

Ezt a kifejezése a rendparaméter hosszúhullámú ingadozásaira is alkalmazhatjuk. A skálainvariancia hipotézise szerint az átalakulási pont körül a fluktuációkat jellemző egyetlen hosszúság a fluktuációk korrelációhossza, re. Ez határozza tehát meg azon távolság nagyságrendjét is, amelyen 0 egységnyit változik. így az átlagos fluktuációs sebességnégyzet értéke a hőmérséklettől a

t i ~ r,r2 - (28,3)

törvény szerint függ, ahol v a korrelációs hossz kritikus indexe. Másrészt a termodinamikai mennyiségek szingulariíása a kritikus pontban éppen a hosszúhullámú fluktuációk következménye, ezért természetes annak feltételezése, hogy e pont környezetében a fluktuációk (28,2) mozgási energiája a hőmérséklettől ugyanúgy függ, mint a folyadék termodinamikai potenciáljának szinguláris része, azaz (ahol a a Cp fajhő kritikus indexe). Így azt kapjuk, hogy

e X ~ e Á T , - r r ~ ( T , - T f - %

ahonnan qs ~ Végül a 3r = 2 -v . összefüggést figyelembe véve (amelya skálainvariancia hipotézisének következménye, 1. V. 149. §), a

e* ~ ( T y - r y - - ^ (28,4)viselkedésre jutunk.

Ezzel kapcsolatot találtunk a qs sűrűség és a fajhő A-pont körüli hőmérsékletfüggése között (B. D. Josephson, 1966).24

28. §. A SZUPERFOLYADÉK VISELKEDÉSE A A-PONT KÖRÜL 139

24 Az a és t) indexek folyékony héliumban igen kicsik, ezért jó közelítéssel fi 1/3, tehát g, ~~ ~ (7* — T)^3. [Ezt az t) indexet az V. kötet XIV. fejezetében C jelölte. (A lektor)]


29. §. Kvantált örvényfonalak

A közönséges folyadék, tengelye körül forgó hengeres edénybe zárva, az edény falán súrlódva mozgásba lendül, és együtt forog az edénnyel. A szuperfolyadéknak csak a normális komponense mozog, szuperfolyékony része mozdulatlan marad — annak megfelelően, hogy ez a komponens mint egész, egyáltalán nem foroghat, mivel ez ellentmond a szupeifolyékony áramlás potenciális jellegének.25

Elegendően nagy forgási sebesség esetén azonban ez az állapot termodinamikailag instabillá válik. A termodinamikai egyensúly feltételét az

Efncs = E — M íl (29,1)

mennyiség minimuma adja, amely a forgó koordináta-rendszerhez képest mért energia kifejezése; Eés M az álló koordináta-rendszerbeli energia, illetve impulzusmomentum nagysága (1. V. 26. §). A — MÍ2 tag megjelenése egy olyan állapotot, amelyben MSI > 0 (elég nagy £l-ra), termodinamikailag előnyösebbé tesz az M = 0 állapotnál.

így az edény forgási sebességét növelve, végül ki kell, hogy alakuljon valamiféle szupei folyékony mozgás. Ezen állítás cs a szuperfolyékony mozgás potenciális jellege közti látszólagos ellemmondás feloldható, ha feltételezzük, hogy a potenciáláramlás csak a folyadékban haladó szinguláris vonalakon, azv.x\. örvény fonalakon szűnik meg.26 E vonalak körül a folyadék olyan mozgási végez, amelyet potenciálns forgásnak hívhatunk, mivel a fonálon kívül rőt \ s = 0.

Az örvényfonalak az atomi méretekkel összemérhető vastagságúak, és igy makroszkopikus szempontból végtelen vékonynak tekinthetők.27 Létezésük nem mond ellent a (26,12) alakú sebességképletnek, minthogy az y, térbeli változását elegendően lassúnak tételezi fel, ugyanakkor az örvényfonal közelében ys tetszőleges gyorsan változhat [1. alább a (29,3) képletei]. A 23. §-ban a szuperfolyekony áramlás potenciálos jellegének megalapozására elmondott érveknek sem mond ellent, amelyek a Bose- folyadék energiaspektrumának egyes tulajdonságait használták ki. Ugjanis az ö) vényfonal létéhez meghatározott makroszkopikus energia kapcsolódik [1. alább (29,8)-at ], és így az örvényt tartalmazó állapot nem tekinthető gyengén gerjesztettnek.

Először vizsgáljuk ?z örvényfonalakat mint a folyadék potenciáláramlásának szinguláris vonalát, tisztán kinematikai szempontból. Minden örvény fonalat a? az; körül

35 A folyadéknak egészként való forgásakor v - = £2 x r , ahol Sl a szögsebesseg. az r helyvektort pedig a tengely valamely pontjától mérjük. így rot v = 2S2 ^ 0.

28 Ezt a feltevést L. Onsager fogalmazta meg 1949-ben, és R. P. Feynman dolgozta ki 1955-ben.27 Ez az állítás nem vonatkozik azonban a 4-pont környezetére, ahol az örvcnyfonal transzverzális

méretét a fluktuációk korrelációs hossza határozza meg.

29. §. KVANTÁLT ÖRVÉNYFONALAK 141

vevő kontúrra \ett cirkuláció meghatározott értéke jellemez (jelöljük ezt 2nx-val):

Ennek értéke független az integrációs út választásától. Ugyanis, ha Cx cs C2 két, az örvényfonalat egyaránt tartalmazó görbe, akkor a sebesség cirkulációjának különbsége Stokes tétele szerim a rőt vs vektornak a C í és C2 közé eső felületen áthaladó fluxusával egyenlő. Miután ez a felület sehol sem találkozik a fonállal, az integrál zérus. Ebből következik, hogy az örvényfonal nem szakadhat meg: vagy zárt, vagy a folyadék felületén végződik (végtelen folyadékban mindkét vége kiszalad a végtelenbe). Ugyanis, ha az örvényfonalnak lenne szabad vége, akkor a C kontúrra olyan felületet illeszthetnénk, amely íchol sem metszené az örvényt, és így (29,2) bal oldalán az integrál nullát adna.

A (29,2) feltétel lehetővé teszi, hogy meghatározzuk az örvényfonal körüli áramlás sebességeloszlását. Az egyenes fonal legegyszerűbb esetében végtelen kiterjedésű folyadékban az áramvonalak körök, melyeknek síkja merőleges a fonálra, középpontjuk pedig egybeesik azzal. E kör mentén a cirkuláció értéke 2jirvs, azaz

ahol r a fonáltól mért távolság. Megjegyezzük, hogy potenciálos forgás esetén a sebesség a forgástengelytől távolodva csökken. Ez ellentétes a folyadék egészként való forgásával, ahol a sebesség r-re 1 arányosan nő.

Tetszőleges alakú örvényfonal esetén a sebességeloszlást a

képlet adja, ahol a fonal teljes hosszára integrálunk; R a dl ívelemtől a sebesség megfigyelési pontjába húzott vektor.28 A fonal görbületi sugarához képest kis távolságokon a (29,4) képlet közelítőleg (29,3>ba megy át.

Mint már megjegyeztük, a (29,2)—(29,4) képletek kizárólag a folyadék mozgásának potenciálos jellegéből következnek. A szuperfolyadékbeli örvényfonalak kvan-

2S Ezt a képletet az ismert Biot—Savart-képlet analógiájára írhatjuk fel, amely lineáris áramok mágneses terét határozza meg. A két feladat formális azonossága nyilvánvaló, ha a sebesség cirkulációjának (29,2) kifejezését összehasonlítjuk a H mágneses térnek a J áram körüli cirkulációjával:

<j> H dl — J. Az egyik feladatot a másikból a H -*■ v, és Jfc — x/2 jelölésváltoztatással kapjuk.

<f> vs dl = 2tzx. (29,2)

y.(29,3)

(29,4)


tumos természete abban nyilvánul meg, hogy a x állandó csak diszkrét értékeket vehet fel. Valóban, a vf sebesség (26,12>vel megadott kifejezése, amely a kondenzátum hullámfüggvényének fázisával kapcsolja össze, (29,2)-ben a következő eredményre vezet:

j>vs dl = ~A4> , (29,5)

ahol A 0 a fázis megváltozása az integrációs út megkerülése során. A hullámfüggvény egyértelműsége miatt a kiindulási pontba visszatérve a fázis csak 2n egészszámú többszörösével változhatott meg. Ebből

következik, ahol n egcsz szám. Alább látni fogjuk, hogy termodinamikailag valójában csak a legkisebb nemzérus cirkulációjú (n = 1) örvények stabilak. így a továbbiakban feltételezzük, hogy

Határozzuk meg az edény forgásának azt a kritikus sebességét, amelyre megjelennek az örvényfonalak. Egy örvény megjelenésekor a folyadék energiája

A E = 2 dV — - y i j* • 2nr dr = L gja t2 j* ~

nagyságú változást szenved (L az edény magassága). Az r szerint kell integrálni az edény R sugara és valamely r ~ a nagyságrendű alsó határ között {a az atomi távolságok nagyságrendjébe esik, ahol a makroszkopikus vizsgálat érvényét veszti). Az integrál logaritmikus divergenciája miatt, értéke nem túl érzékeny a pontos nagyságára. Tehát

AE — LnQs In — (29,8)n r a

(e kifejezés, mint mondani szokás, logaritmikus pontosságú, vagyis az R/a hányadoson kívül annak logaritmusát is nagynak tekintjük).2® A forgó folyadék impulzus-

29 Az örvényfonál körüli mozgást általában a folyadék sűrűségének bizonyos megváltozása is kíséri. A bemutatott számításban ennek elhanyagolását az indokolja, hogy az energiába a fő járulékot (az integrál logaritmikus divergenciája miatt) a nagy /■-ek tartománya adja, ahol a sűrűség megváltozása kicsi. Ugyanez okból hanyagolható el a folyadék belső energiája megváltozásának járuléka ■dE-ben.

29. §. KVANTÁLT ÖRVÉNYFONALAK

momentumára

(29,9)

adódik. Az örvényfonal megjelenése termodinamikailag akkor előnyös, ha AEfotg — = AE—MQ < 0, azaz ha

A fenti megfontolások annak megértését is lehetővé teszik, hogy termodinamikailag miért instabilak az n > 1 jellemzésül fonalak. Ugyanis az n = 1 esetről az n »• 1 esetre áttérve, a AE mennyiség «2-szeresére nő, az impulzusmomentum viszont csak M-szeresére, így AEforg megnő.

A hengeres edény forgási sebességét tovább növelve [túl a (29,10) kritikus értéken],, újabb örvényfonalak jelennek meg, és ha Ü » Qc, a fonalak száma igen nagy lesz. A fonalak az edény keresztmetszetében egyenletesen oszlanak el, és határesetben együttesen imitálják a szuper folyékony komponens mint egész forgását.30 Ü adott (elég nagy) értékére az örvények számát könnyű meghatározni. Ehhez megköveteljük, hogy igen nagyszámú örvényfonalat átfogó kontúr mentén a cirkuláció akkora legyen, ami a folyadék egésze forgásának felel meg. Ha a (forgástengelyre merőleges) kontúr egységnyi felületet feszít ki, akkor

ahol v az örvényfonalak eloszlást sűrűsége. Másrészt ha a folyadék mint egyetlen egység forog, akkor rőt vs — 2ül, és ugyancsak 20. a cirkuláció értéke is. E két értéket egyenlővé téve:

v = mQjnfi. (29,11)

Az örvények megjelenése ismert módon lerontja a szuperfolyékonyságot. Azok az elemi gerjesztések, amelyek a folyadék normális komponensét alkotják, szóródnak az örvényfonalakon, s impulzusuk egy részét azoknak adják át (és ezzel a szupei folyékony komponensnek). Ez más szavakkal a két komponens közötti kölcsönös súrlódás megjelenésével jár.

20 Erről könnyen meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy a fonalak száma fi-val arányosan nő [1. alább (29,1 l)-et], tehát AElorg = A E —M Q második tagja / i 2-ként növekszik. Az első tag .O-val arányos, Így Q » Qt esetén ezt elhagyhatjuk. Ekkor AEl<IIf minimalizálása M maximalizálásával egyenértékű, ami a folyadék egészként való forgásával érhető ei.

j ) Vs rfl = v ■ 2nx — 2nv — , m

144 111. FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

Az örvényfonalak helyüket változtatják a térben, a folyadék áramlását követve. T — 0-ra, amikor az egész folyadék szuperfolyékony, a fonál minden dl eleme ugyanazzal a vs sebességgel mozog. Nemzérus hőmérsékleten a vizsgált örvényfonálra gyakorolt súrlódási erő hatására a fonál nullától különböző relatív sebességgel mozog a .szuperfolyékony komponenshez képest.

A forgás során megjelenő fonalak egyenesek. A folyadék kapillárison, réseken stb. való átáramlását zárt örvényfonalak: örvénygyűrűk képződése kisérheti. Ezek meg

jelenése bizonyos kritikus sebesség felett a szuperfolyékonyság eltűnésére vezet. E kritikus sebességek számértéke az áramlás konkrét körülményeitől függ, ez az ér ték jóval kisebb annál, amelyen túl a (23,3) feltétel érvényessége megszűnik.

Az egyenes örvényfonalakkal szemben, melyek állhatnak a (tőlük nagy távolságban) nyugvó folyadékhoz képest, az örvénygyűrűk szükségszerűen mozognak. A fonál valamely hosszúságeleménck vs sebessége éppen akkora lesz, amekkorát az összes többi elem [a (29,4) képlet alapján] abban a pontban létrehozna; görbevonalú fonalakra ez az érték általában zérustól különböző. Ennek következtében az örvénygyű- rüknek nemcsak meghatározott energiájuk, hanem impulzusuk is van. E tulajdonságok révén ;i7. elemi gerjesztések egv különleges típusát képviselik.

Feladatok

1. Adjuk meg a kör alakú örvénygyűrű mozgásának sebességét és impulzusál.

Megoldás. A gyűrű minden eleme az adott pontbeli v, sebességgel mozog; ez a sebesség a gyűrű szimmetriája miatt, annak minden pontjában azonos. Ezért elegendő a gyűrű egy tetszőleges M pontjában meghatározni az összes többi ívelem által létrehozott v, sebességet. A dl ívelemek és a rfl-ből a P ponthoz húzott R vektorok a gyűrű síkjában helyezkednek el, ezért a (29,4) képlettel megadott sebesség merőleges erre a síkra (ennek következtében a gyűrű változatlan alakkal és mérettel mozog).

P

i

Jellemezzük a dl belem P-hez viszonyított helyzetét a & szöggel (3. ábra). Ekkor

dl = R0dO, f l = 2 * 0 s i n - | , | r f lx R | = R s i n y dl

(ahol R„ a gyűrű sugara). A (29,4) képletből a gyűrű sebességére

71d&

29. §. KVANTÁLT ÖRVÉNYFONALAK 143

V 8*o 2 / sin (0/2)o

adódik. Ez az integrál azonban az alsó határon logaritmikusan divergens és ezért a K a/R* helyen levágjuk, ami annak a helyzetnek felel meg, amikor a dl Ívelem atomi távolságokra van a P ponttól. Logaritmikus pontossággal az integrált az a/Rt ■*: 0 •« n tartományba eső értékek határozzák meg, és értékére

r ' i f „ 21„ aJ V a

adódik, tehát

* , , /?0 v = In — „ In — . (1)2R0 a 2mRa a

Ugyanilyen logaritmikus pontossággal az örvénygyűrű energiájára

e - 2nI/?0o, —y In — (2)n r a

írható [ez a (29,8) képlet, R — RaésL — ZiR t helyettesítéssel). Az e energiát a v sebességgel a de/dp - = v összefüggés kapcsolja össze, ahol p a gyűrű impulzusa. Ebből

dp -= — 4.-i,e, ~ R0 dRn v m

(logaritmikus pontossággal, ahol differenciáláskor a nagy logaritmust állandónak kell tekinteni), ami aztán a

P - 2 n -o , ~ /í* (3 )

összefüggésre vezet. A (2) és (3 ) képletek, paraméteres alakban ( /^ a paraméter) meghatározzák az e(p) függvény alakját örvénygyűrflkrc.

Megjegyezzük, hogy az integrálás logaritmikus pontossága miatt jutunk az (1) képletre. Ez a képlet (a jelöléseket bizonyos fokig megváltoztatva) érvényes marad a tetszőleges alakú fonál bármely görbe- vonalú elemének v transzlációs sebességére :

v = b In — . (4)2Rt a

Itt b a felület normálisa, amely merőleges a fonál adott érintő síkjára (binomiális vektor), Rt a fonál görbületi sugara ugyanebben a pontban, A az a jellemző távolság, amelyen a fonál görbülete változik.

10 Statisztikus fizika 2. rés/

146 111. FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

2. Határozzuk meg egy egyenes örvényfonál kis rezgéseinek spektrumát (W. Thomson, 1880).

Megoldás. Válasszuk az örvényfonalat z tengelynek, és legyen r = (a -, y) a fonal pontjainak kitérése a rezgés során; a kitérés exp{/(/tr—cot)] alakban függ /-tői és z-től. A fonál pontjainak sebességét (4) adja, ahol A esetünkben a rezgés hullámhosszát jelöli (A ~ l/k):

dr x . I by -■ —/wr •— In —p — .

d t 2 ak

A binomiális vektor b — tx o , ahol t és n a görbe érintő- és főnormális vektora. A differenciálgeometria ismert képlete szerint dhjdl1 = n//?„ ahol / a görbe mentén mért hosszúság. Kis rezgések esetén a fonál csak gyengén görbült, így l ^ z írható, és t = n2 (a z tengely menti egységvektor); ekkor

b dh— r; - -H n = x r ) .Ra dz-

így az örvényfonálra vonatkozó egyenlet:xfc 2 J

- / to r = - ^ - (n,X r) In — .2 ak

Részletesen kiírva, ez két homogén lineáris egyenlet .c-re és /-ra . Ennek az egyenletrendszernek a determinánsát zérussal téve egyenlővé, megkapjuk e> és k kapcsolatát:

y.k* , 1f 0= - r l n - .

30. §. Örvényfonal majdnem ideális Bose-gázban

Mint már említettük, az Örvényfonal vastagságai a folyadékban az atomi távolságok nagyságrendjébe sorolhatjuk. A majdnem ideális Bose-gáz e tekintetben kivételes. Itt az örvényfonal „magja”, ahol a közeg tulajdonságai lényegesen változnak, makroszkopikus méretű (amint alább meglátjuk). Szerkezetét makroszkopikusan írhatjuk le (V. L. Ginzburg, L. P. Pitajevszkij, 1958; L. P. Pitajevszkij 1961; E. P. Gross, 1961).

Vizsgáljuk az enyhén nemideális gázt zérus hőmérsékleten. Az ilyen gázban majdnem minden részecske a kondenzátumban van. A ^-operátorok nyelvén ez .ízt jelenti, hogy a „kondenzátum feletti” rész (4*') kicsi a teljes operátor átlagértékéhez képest, azaz a kondenzátum E hullámfüggvényéhez viszonyítva. Ha ezt a kis részt teljesen elhanyagoljuk, akkor a 3 függvény ugyanazt a (7,8) „Schrödinger-egyenletet” elégíti ki, ami a teljes ^-operátorra fennállt. Ha csak a párkölcsönhatást vesszük figyelembe (spintclen részekre), akkor

í í - | s ( , . r ) = - ( ^ r A + S(l.r) +

+ S (t, r) f 15{t, r ') |2 U{r-r ') iPx‘. (30,1)

30. §- ÖRVENYFONAL MAJDNEM IDEÁLIS BOSE-GÁZBAN 147

A S(U f ) függvényt atomi távolságokon lassan változónak tekintve, azt kiemelhetjük az integrálás alól [£■(/, r)-re változtatva]. Az integrál értékéi jelölje ekkor J U(r)(Px= = Ua. A, fi = nU0 értéket behelyettesítve [1. (25,6)], n-re a gáz részecskéinek per- turbálatlan sűrűségét írva azt kapjuk, hogy

ifid £d t' 2m A-2 + í/0{.= | (30,2)

Stacionárius állapotban E időfüggetlen.31 Az egyenes öl vényfonalal a következő alakú megöldás írja le:

E r-.y n e i v f l — V /•„ = , J L — , (30,3)\ro / \2mUnit

ahol r és <p az örvényfonál körüli hengerkoordináták. E függvény fázisa megadja a(29,7) cirkulációt, j 3 \ z értéke a kondenzátum részecskéinek számsűrűségét jelenti; az itt alkalmazott közelítésben ez megegyezik a gáz teljes sűrűségével. Ez utóbbi r -+<x> esetén az adott >i értékhez tart, és ennek megfelelően az/függvény határértéke !.

Bevezetve a | = r/r0 dimenzióban változót, az/függvényre az

1 í u (if \ f £ < i(y ( t i} (30,4)

egyenletet kapjuk. A 4. ábrán látható a (30,4) egyenlet numerikus integrálásával adódó megoldás. Az /függvény | -*■ 0-ra 4-vel arányosan tűnik el, ha pedig £ —=*>, akkor f — 1 — (l/2£2) szerint tart 1-hez.

m

4. ábra

Az r0 paraméter meghatározza az örvényfonal „magjának” szélességét. U0 helyett bevezetjük a szórási hosszt az £/0 = 4nh2alm összefüggés szerint (6,2), és azt kapjuk, hogy

r0 ~ «-w* »■ n-1 3,

ahol r\ = art1/3 a gázparaméter. Ez a sugár tehát valóban nagy az atomi távolságokhoz képest, ha a gázparaméter elég kicsi.

81 Emlékezzünk, hogy a (30,1) egyenlet mór a W' - H —Nfi• Hamilton-operátomak felel meg!

Feladat

A4juk meg a majdnem ideális Bose-gáz elemi gerjesztésének energiaspektrumát a kondenzátum hullámfüggvénye kis rezgési diszperziós törvényének vizsgálatával.

Megoldás. Tekintsük S kis rezgéseit a f i i átlagérték körül:

S ~ fn + A é^-^ '+ B *

ahol A, B* kis komplex amplitúdó. Ezt a kifejezést a (30,2) egyenletbe helyettesítve, azt linearizálva és szétválasztva a különböző exponenciális függésű tagokat, kél egyenletből álló rendszer kapunk:

h(±>A = lm

— hwB = ■ B+nU„(A + B) lm

( p s; fik). Ebből, a determinánst zérussá téve, azt kapjuk, hogyn ? \ 2


<*»>•=(£)♦£-*.ami egyezik (25,10)-zel.

31. §. A Bose-folyadék Green-függvényei32

A Bose-folyadék Green-függvényeinek matematikai eszköztárát sok tekintetben hasonlóan építhetjük ki, mint a Fermi-rendszerek esetében. Az összes megfontolás megismétlése nélkül, most elsó'ként az alapdefiníciókat és -összefüggéseket soroljuk fel, kihangsúlyozva az eltérő statisztikából és a kondenzátum jelenlétéből fakadó különbségeket.33 Mint e fejezet korábbi szakaszaiban is, a részecskéket spinteleneknek tételezzük fel.

A Bose-folyadék Green-függvényének definíciójakor leválasztjuk a Heisenberg- képbeli ^-operátorokból a kondenzátumhoz tartozó részt; a (26,4) képletet használjuk. A kondenzátum feletti rész operátorainak Green-függvénye a következő:

G (X u X ',) = - / ( T í " ( * i ) +(AT,)>. (31.1)

ahol ( . . . ) a rendszer alapállapotára való átlagolást jelenti, T pedig az időrendezelt szorzat szimbóluma. A fermionoktól eltérően, az operátorok helyes sorrendjének ki

“ A 31 —33. és 35.§-okban olyan egysegeket használunk, melyekben fi = 1.“ A Green-függvények módszerét Sz. T. Beljajev alkalmazta Bose-rendszerekre kondenzátum

jelenlétében (1958).

alakításához szükséges felcserélések során most nem kell a szorzat előjelét megcserélni, azaz [(7,10)-től eltérően]:

Ha (31,1) helyett a teljes ^-operátorokkal végeznénk el ugyanazt az átlagolást, akkor a

- t(T }P (X i) ^ +(Z2» = - m 0+ G (X u X*) (31,3)

összefüggésre jutnánk, ahol »0 a kondenzátum részecskéi számának sűrűsége.34 Homogén folyadékban a G-függvény természetesen csak az X — Xt — X2 különbségtől függ.

A kondenzátum feletti g' sűrűségmátrixot, a Green-függvénnyel az

Nq’(tu t 2) = iG{ti, n ; /i+ 0 , r2) = iG(t - - 0, r) (31,4)

összefüggés fejezi ki [vegyük észre, hogy (7,18)-cal szemben előjeleltérés van]. Ennek alapján az rt = r2 speciális esetben a kondenzátum feletti részecskék számának sűrűsége:

— -« o = iG(t = - 0 , r = 0) (31,5)

[vö. (7,19)].Az impulzusreprezentációra változatlanul a (7,21)—(7,22) képletekkel térünk át.

A G(o), p) függvény normáját az

v = (31’6)

feltétel rögzíti [vö. (7,24)].A Bose-rendszer Green-függvényére levezethetünk impulzusreprezentációban egy

ahhoz hasonló előállítást, amelyet a 8. §-ban Fermi-rendszerekre kaptunk. Teljesen analóg számítások először a

ő ( o , , p ) = ( 2 ^ s { - ^ ö(P - Pm)

31. §. A BOSE-FOLYADÉK GREEN-FÜGG VÉNYEI 149

a)+Eo(,N)—E„t(N + l)-f- fí+/0

M p + Pm)<o-Eo(N)+Em( N - í)+ fi - » }

(31,7)

34 Ugyanúgy, mint Fermi-rendszerck esetén, a Bose-rendszerek állapotát is adott fi kémiai potenciálra (és nem adott N részecskeszám mellett) vizsgáljuk. Ennek megfelelően a rendszer Hamilton- operátorának szerepét a H' — ti- f if t különbség ((7,1) képiét) játssza. Ekkor a v>-operátorok kon- denzátumot leíró része időfiiggetlen.

képletre vezetnek, ahol

Am = <01 no) i /»> |% Bm = I (m 1 n 0) I 0) |*

[Y>'(r) a kondenzátum feletti rész Schrödinger-operátora].35 A kifejtés végső alakját annak figyelembevételével írhatjuk fel, hogy Bose-rendszerben az em(N) gerjesztési energiákat a rendszer gerjesztett és alapállapotai közötti (mindig pozitív) energia- különbség adja meg a részeeskeszám változatlanul hagyása mellett. Felhasználva az E()(N)+ n «= E0(N + 1) összefüggést, ezért azt kapjuk, hogy

E,„{N+ l ) - E n(N )- ,u % E:n(N + 1)~Eo{N+ 1) = e„,(N+1) > 0,

E U N - l ) - E 0(N )+ n « E U N - I ) - £ 0(/V- I) = 1) ^ 0.

Ugyanakkor egyetlen részecske hozzáadása vagy elvétele a rendszer tulajdonságait csak 1/ÍV relatív nagyságrendű tagokban változtatja meg. Makroszkopikus testree tagok elhanyagolhatók, ezért az sm(N ± 1) gerjesztési energiákat azonosnak vehetjük fi^/Afj-nel. így végeredményben

<?K p) - (2a:)31 ( 1- (31,8)m | (')—£,„ -f- >0 (Ú+em— íu |

A (8,14) levezetésekor alkalmazott módszerrel könnyen megmutatható, hogy Bose- rendszerekre a Green-függvény képzetes része mindig negatív:

lm G(<», p) 0. (31,9)

A Green-függvény aszimptotikus alakja (o — «- -re ugyanolyan, mint Fermi-rendszerekre:

0(o>, p ) -► l/io, ha | o> j -*■ oo (31,10)

[vö. (8.15)]. Levezetésekor figyelembe kell venni a

'P{t. r,) XP+(U r-.)-*i>+(r, r2) # 0 , r,) = Ő (r,-r2)

felcserélcsi szabályt, amelyben most */' és */>+ kommutátora áll antikommutátor helyett.3®


“ A (31,7) képlet (íS,7)-nek feleltethető meg. Az 1/2 szorzótényező a részecskék spintelensége m iatt hiányzik. Figyeljünk arra, hogy (31,7) második tagjának ellentétes előjele van (8,7) megfelelő tagjához képest.

39 Az, hogy a ^ -o p e rá to ro k b ó l a Oreen-függvény definíciója során leválasztottuk a kondenzá- tumba tartozó részt, itt nem lényeges: a (31,3)-beli — /»„ tagnak impulzusreprezentációban a (<a) fi(p) tag felel meg, amelynek (31,10)-re nincs hatása.

31. §. A BOSE-FOLYADÉK GREEN-FÜGGVÉNYEI 151

Továbbra is ugyanolyan megfontolások, mint amilyeneket a 8. §-ban követtünk,arra az alapvető eredményre vezetnek, hogy a Green-függvény

p) = 0 (31,11)

pólusai határozzák meg az elemi gerjesztések spektrumát, ahol a fenti egyenletnek csak a pozitív g>ökeit kell tekintetbe venni; (8,ló)-tól eltérően itt nem kell fi-t levonni e-ból.

A Green-függvény alakja pólusa közelében a következő:

G(o>, P) ~ . Z + > 0 , Z_ < 0, (31,12)

ahol a pólus reziduumának előjele megegyezik előjelével, amint ez a (3í,8)-beli Am és Bm együttható pozitivitásából következik [a reziduum nagyságát nem korlátozza semmiféle megkötés, mint amilyen például (10,4) volt Fermi-rendszerekre]. Felhasználva(31,I2)*t, könnyen meggyőződhetünk arról (hasonlóan a 8. §-ban követett úthoz), hogy a (31,9) egyenlőtlenség teljesülése automatikusan biztosítja a kvázirészecskék csillapodási együtthatójának pozitivitását. Ez éppen a megkövetelt előjel: - ím e > 0 , ha e értéke elmozdul a komplex tartományba.

Lehetőség van arra, hogy a kondenzátum feletti részecskék a kondenzátumba lépjenek és viszont, ami oda vezet, hogy a (31,1) függvény mellett automatikusan megjelennek (mint azt alább a 33. §-ban meglátjuk) az

i t \X u X2) = ( N - 2! T Í" (* i) V 'iX s) | N), (31,13)

iF+(Xi, X.) = (jV ]T Í"+(A'i) tf"+ (*a)|iV -2> =

= (N ± 2 \ T '? " + ( X i ) xP ’ + ( X 2)\ N ) (31,14)

függvények is, ahol az átmenet során a rendszer teljes részecskeszáma megváltozik A j N ) szimbólum a rendszer /V-részecskés alapállapotát jelöli [a (31,14)-beli második egyenlőség ~ 1/iV-edrendíí korrekciók erejéig igaz; vö. a 18. lábjegyzettel]. Az így definiált F és F+ függvényeket anomális Green-fóggvényeknek. nevezzük. Megmutatjuk, hogy F és F+ homogén, nyugalomban levő folyadékban megegyezik.

Először is homogén közegre Fés F+ csak az X = Xx— X2 különbségtől függ, ugyanúgy, mini G.S7 Mivel az Xx és X2 változók felcserélése csak megcseréli az operátorok

27 A z /7 függ vény azért nem függ (/j +/j)-iől, mert a H ‘ = tf-^tjYHamilton-operátorban megjelenik a —ftN tag. Ugyanez okból a különböző részecskeszámú rendszerek energia-sajátértékemek külön- bözöségéből kiesik

E (N -r2 )-E (N ) « 2 dEldN 2ft,

és ennek megfelelően a >Pt' operátor mátrixelemei nem tartalmazzák az exp[—//»(/,+/j)] tényezőt sem.

szorzatbeli sorrendjét, melyet az időrendezés szab meg, így fennáll az

F(X) = F ( - X ) (31,15)

párossági tulajdonság. Ebből következik természetesen az impulzusreprezentációbeli párosság is:

F ( P ) = F ( - F ) . (31,16)

Az F és F+ közti összefüggés az álló folyadék heisenbeigi ^operátorának következő tulajdonsága révén jelenik meg:38

^ +( ' , r ) = £ ( —/ , - r ) . (31,17)

Legyen t2 > tű ezzel

iF+(Xu X 2) = (N+2 | 'P'+iX'd # ' +(* i) [ N) =

= ( N | $ " +(X{) 'P'+(Xz) \N + 2 ) =

= (N | $ " ( _ X i ) t f " ( ~ X $ \ N + 2 ) = iF(— - X &

avagy F+(X) «= F(—X). (31,15) figyelembevételével ebből kapjuk a keresett

F+( X ) = F( X) (31,18)egyenlőséget.

Az F(X) függvényt a ^operátorok mátrixelemeivel kifejezve, az F(u), p) függvény(31,8)-nak megfelelő kifejtését kapjuk. Ezzel megvilágítható a pólusok természete is, amit itt nem részletezünk. Csak arra utalunk, hogy az F(co, p) függvény pólusai megegyeznek G(o>, p) pólusaival.

152 III. f e j e z e t , a s z u p e r f o l y é k o n y s á g

••Ezt a következőképpen láthatjuk be. Az áv és áj operátorok összes nemzérus mátrixelemét valósnak definiálhatjuk [I. III. (64,7)-(64,8)]. Ebben az értelemben ezek az operátorok valósak, azaz

= á* = Ezért am =

*

schrödingeri y> operátorra érvényes a $ +(r) = í ' ( - r ) tulajdonság. Ebből már következik a

*P(f, r) - exp (JHí) f( r ) exp ( - iHt)

Heisenberg-operátorra vonatkozó (31,17) összefüggés, amiről könnyű meggyőződni, figyelembe véve, hogy a (spinkölcsönhatások nélküli) f i Hamilton-operátor valós (azaz H+ — H), és tükrözésre invariáns. Hangsúlyozzuk, hogy a Hamilton-operátor csak akkor valós, ha a folyadékban nincs jelen makroszkopikus szuperfolyékony mozgás. Kondenzátumos Bose-rendszerben a Hamilton-operátor a kondenzátum S hullámfüggvényétől, egy makroszkopikus paramétertől függ. Áramlás esetén ez a paraméter komplex és vele (az egyébként hermitikus) Hamilton-operátor is az.

31. §. A BOSE-FOLYADÉK GREEN-FÜGGVÉNYE1 153

E szakasz befejezéseként kiszámítjuk az ideális Bose-gáz <?(0) Green-függvényét. Először is vegyük észre, hogy a kondenzátum feletti részecskéket eltüntető *P' operátor az alapállapot hullámfüggvényét nullába transzformálja, miután ebben az állapotban az összes részecske a kondenzátumban helyezkedik el. Ezért <?(0)(r, t) csak t — íx— >■ 0 esetén különbözik nullától [mikor (31,2) szerint elsőként a *P!+ operátor hat].

Bár ideális gázra n = 0, ezt most nem használjuk ki, hanem (i-1 egy nem eleve adott paraméternek tekintjük. Ez a G(0> függvény további alkalmazásaiban a tetszőleges folyadékra vonatkozó diagramtechnika használatához szükséges, ahol p pontosan ilyen természetű paraméterként jelentkezik. Ennek megfelelően a r) operátort

alakban írjuk [amely (26,l)-től csak az exponensbeli ifit tagban különbözik]. Ezt a kifejezést G(0) (31,2) szerinti definíciójába helyettesítve, azt vesszük észre, hogy átlagoláskor (azaz a diagonális mátrixelem képzése során) nemzérus eredményt csak az á+ és áp szorzatok adhatnak. Figyelembe véve, hogy az alapállapotban minden p?í 0 impulzusú állapot betöltési száma nulla,

Ezután az összegezésről a szokott módon a p szerinti integrálásra térünk át, és azt kapjuk, hogy

« « . ') = (31.19)

( W = o, <ápáp'> = í.

G<°\í, r) =t+ i/jt+ i pr

(2ti/ ’ ha 1 ° ’ (31,20)0, ha t 0.

Ebből kapjuk a Green-függvényt impulzusreprezentációban:

GW(ü>,p) = —/ J « p (o

Az integrálást az

(31,21)

képlet segítségével végezzük el (az integrandusba bevezetjük az e~x‘ szorzót (A>0), majd az integrálás után elvégezzük a K -*■ 0 határátmenetet). Végeredményben

(?<°>(<o, p) = |w - -£-+/i+ iö j . (31,22)

Ami az F függvényt illeti, ideális gázra Fí0)(X) — 0; ez nyilvánvaló a (31,13) definícióból, melyben mindkét operátor eltünteti a kondenzátum feletti részecskéket. Tehát impulzusreprezentációban is

F^){«), p) = 0. (31,23)

Ez az egyenlőség azt fejezi ki, hogy a kondenzátum felett (T = 0-ra) csak kölcsönhatás eredményeként jelenhetnek meg részecskék.

154 111 FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

F e la d a t

Számítsuk ki a fonontér Green-függvényét, melyet a

DiX,, X t) = IX X t - X . ) = - « W W £'<**» ( 0

-definícióval vezetünk be, ahol a csúcsos zárójelek a tér alapállapotára való átlagolást jelölik; g' a (24,10)-beli sűrűségoperátor, az időrendezést pedig (31,2) definiálja.

Megoldás. Behelyettesítve (24,I0)-et (l)*be, megjegyezhetjük, hogy csak <íkckf ) = 1 különbözik nullától, mivel alapállapotban az összes fononállapot betöltési száma zérus. Ezután az Összegezésről -a k szerinti integrálásra áttérve, azt kapjuk, hogy

Oíí.r) -- fJ 2’.u (2ar)»

-ahol a — és 4- jelek a kitevőben rendre a / > 0, ill. a / -e 0 esetre érvényesek (az integrálási változóban t < 0 esetén a k -*•—k helyettesítésre került sor). Az integrandus (az e,u tényező leválasztása után) a D(t, r) függvény koordináták szerinti Fourier-együtthatóját adja. Ugyanezt elvégezve az időváltozó szerint is, az impulzusreprezentációban érvényes Green-függvényre az alábbi kifejezést kapjuk:

0(6n, k) - j j elu" M ,dt-r j* e<,w 1 “1)' d i\ .(o )

A z integrálást a (31,21) képlettel végezzük el:

ű(„ ,k) = | L [ ----- *2ii l 01 - itk -J- uíQ

1 1 ok-o>- u k -iQ J wr—ifk '+ M

í

32. §. DIAGRAMTECHNIKA BOSE-FOLYADÉKOKRA 155

32. §. Diagramtechnika Bose-folyadékokra

A Bose-rendszer Green-függvényének kiszámítását célul kitűző diagramtechnika felépítése hasonló ahhoz, ahogy ezt Fermi-rendszerekkel csináltuk a 12. — 13.§-okban. Mint ott, most is a részecskék közti párkölcsönhatás esetére fogalmazzuk meg a szabályokat, ahol a kölcsönhatás operátora:

? (0 = j | P +0, r,) 'P+(t, r 2) t / ( n - r2) '/ '(/, r 2) # ( / , r.) «/**, í / :!„v 2. (32,1)

Azoknak u Bose-folyadékoknak, melyekben kondenzáció következett be, elsősorban az a sajátossága, hogy a Heisenberg képbeli-operátorokat = P '+ E alakban kell felírni, ahol XP ’ a kondenzátum feletti rész, 5 pedig a kondenzálódott rész hullámfüggvénye. Ez utóbbi (álló folyadékra) a valós j/nő mennyiség.38 Ezen előállítás behelyettesítése után a (32,1) operátor több tagra esik szét, melyekben a operátorok száma nullától négyig megy (a hiányzó tényezőket f n 0 szorzók egészítik ki).

A kölcsönhatási képre való áttérésről a 12. §-ban mondottak továbbra is érvényben maradnak, az így adódó kifejezések további részletes felírását a Wick-tétel segítségével végezzük el (annyi csak a különbség, hogy a ^-operátorok felcserélése az átlagolandó kifejezésben most nem jár előjelcserével). A tagok sokasága, amelyre (32,1) most felbomlik, azzal jár, hogy új típusú elemek lépnek fel a Feynman-diagramokban. Ezeket az elemeket rögtön impulzusreprezentációban írjuk le.

Minden egyes csúcspontban három vonal találkozik, akárcsak korábban: a szaggatott vonal [amelyhez a —iU(Q) tényezőt rendeljük hozzá Q - (q0, q) négyesimpulzussal] és két, részecskét leíró vonal, az egyik be-, a másik kifutó. Meg kell azonban különböztetni a részecskéket a kondenzátumban és a felett. A folytonos vonalakat a kondenzátum felettiekhez rendeljük hozzá, és az ilyen vonalhoz a korábbiakkal egyezően (P = (co, p) négyesimpulzus esetén] az ;G(0>(F) propagátor tartozik. A konden- záíum részecskéithullámos vonallal jelképezzük, e vonalakon P = 0, és analitikusan a

tényezőt kell hozzájuk rendelni.10 Végeredményben négy típusú csúcs lép fel:

V VV Vi ! ! ! 02.2)] I I tI l i ia! bj cl aj

39 Hangsúlyozzuk, hogy «« a kondenzátum részecskéinek pontos sűrűsége (T - O-ra), raive! a pontos (heisenbergi) y-operátor felosztásából jön létre.

40 Pontosabban, a csúcspontba befutó hullámos vonalhoz 2-t, a kifutóhoz 5*-ot rendelőnk hozzá, azonban 2 valós volta miatt ezek megegyeznek.


[az egy vagy két hullámvonalas csúcsokat nemteljeseknek hívják]. Minden csúcspontban teljesül a „négyesimpulzus megmaradásának törvénye” . Ezért a szaggatott vonal négyesimpulzusa a b ) és c) csúcspontokban azonos a folytonoséval, a d) csúcsban pedig nulla. A hullámvonalak mindig külső vonalakként jelentkeznek, azaz csak egyik végükkel kapcsolódnak a diagramhoz, a másik végük szabad.

A Green-függvényt meghatározó minden diagramnak két külső (kifutó, illetve befutó) folytonos vonala van P négyesimpulzussal, emellett bizonyos (páros) számú külső hullámvonal lehet jelen. A befutó és kifutó külső végek száma minden diagramra azonos (ami a rendszer teljes részecskeszámának állandóságát fejezi ki). Ugyanolyan okoknál fogva, mint Fermi-rendszerre (1. 13. §), csak azok a diagramok megengedettek, amelyek nem esnek szét két (vagy több) össze nem függő rcszre. Azonban a Fermi-rendszertől eltérő a diagramok iG~be adott járulékának előjelszabálya: minden gráf előjele azonos (tehát a 13. §-ban említett 3. szabály elhagyható).

Minden szaggatott vonal mindkét vége csúcshoz (teljeshez vagy nemteljeshez) kapcsolódik. Azonban a két csúcs nem lehet egyidejűleg (32,2í/) típusú, mivel az nem kapcsolható hozzá a Green-függvény diagramjaihoz, minthogy nincs egyetlen folytonos vonala sem. Nem lehetséges a (32,2d) és (32,2c), illetve a (32,2d) és (32,2b) párosítás sem: ha három hullámvonalunk van, a négyesimpulzus megmaradása a negyedik vonal impulzusának eltűnését okozná, tehát megint négy kondenzátumbeli vonalra jutnánk.

A perturbációszámítás szabályai szerint adott rendben felépített diagramok jelentős részének zérus a járuléka. Ennek oka az, hogy ideális Bose-gázban nincs kondenzátum feletti részecske. Ez különösen világos, ha a diagramok koordinátatérbeli eredetét kutatjuk fel: minden (í^ /+ XP ') típusú párosítás zérust ad, ahol a kondenzátum feletti részecskét eltüntető operátor jobbra áll a keltőtől, és így elsőként hat az alapállapotra. Csak a ( í ' ' # r' +) alakú párosítások maradnak meg.41

így nullát adnak az „önmagában záruló” folytonos vonalat tartalmazó diagramok: az ilyen vonal ugyanis r) V '(t, r)) alakú párosításból jön létre, amely a kondenzátum feletti részecskék sűrűségét adja. Továbbá zérus azon diagramok járuléka is, amely olyan folytonos vonalat tartalmaz, amelyet szaggatott vonal zár be :

Az ilyen vonal a ( í " +(í, r2) *P'(t, r^)) párosítás eredménye, ahol a két y-operátor ugyanabból a P(t) kölcsönhatási operátorból származik, és ahol $ " + a í^'-től balra helyezkedik el.

11 Hasonló ok miatt tűntek el bizonyos diagramok azok közül, amelyek két részecske vákuumbeli ütközését írták le (I. 16. §).

32. § DIAGRAMTECHNIKA BOSE-FOLYADÉKOKRA 157

Végül mindazok a gráfok is nullát adnak, amelyekben fellép folytonos és szaggatott vonalakból álló olyan zárt kontúr, amelyben az összes folytonos vonal azonos irányítású. Az ilyen típusú kontúrt a végpontokhoz tartozó időpontok feltüntetésével rajzoljuk fel:

és a szaggatott vonalak végein azonos időpontok jelennek meg.4* A folytonos vonalaknak megfelelő G^-függvények változói rendre t3—tlt t4—ta, t i— r«. Tetszőleges, zárt görbére ezek Összege zérus, ezért közülük legalább egy negatív, amelyhez tartozó G(0) értéke zérus.

A leírt szabályok azokra a diagramokra is érvényesek, amelyek az anomális Green- függvényeket határozzák meg azzal a különbséggel, hogy ott mindkét folytonos külső vonal kifutó (az F függvényre), ill. mindkettő befutó (az F+ függvényre). Ennek megfelelően nem egyenlő e diagramokra a befutó és kifutó hullámvonalak száma sem; ahhoz ugyanis, hogy a kifutó és befutó vonalak száma azonos legyen, nyilván erre van szükség. A külső folytonos vonalak egyikéhez P, egy másikához — P négyesimpulzust rendelünk [ahol P a keresett F(P) és F+(P) Green-függvények változója].43 E vonalak négyesimpulzusainak összege a teljes diagramra vonatkozó „négyesimpulzus megmaradásának törvénye*’ alapján zérus kell, hogy legyen.

A diagramtechnikával kiszámított Green-függvények két paramétert tartalmaznak: a fi kémiai potenciált és a kondenzátum «o sűrűségét; ezeket a paramétereket még kapcsolatba kell hozni a folyadék n = N jV sűrűségével. Egy kapcsolatot ad a (31,6) képlet a fenti három mennyiség között, ami közvetlenül a Green-függvény definíciójából következik. Második összefüggésként az alább levezetendő (33,11) egyenletet vehetjük, amely /i-t expliciten, a diagramtechnika fogalmait használva fejezi ki.

| “ Emlékeztetünk arra, hogy'a diagramok téridő reprezentációjában az 1 és 2 pontok közti szaggatott vonalhoz az iU(Xt —X d tényezőt rendeljük, amely a tt ) tényezőt tartalmazza.

M Mivel F páros függvény, (gy P előjelének megadása nem lényeges, j


33. §. Sajátenergiás függvények

A Green-függvényeket meghatározó diagramok szerkezetét részletesebben tanulmányozhatjuk, ha bevezetjük a sajátenergiás függvény fogalmát ahhoz hasonlóan, ahogy a 14.§-ban ezt Fermi-rendszerekre tettük: azokat a (két külső' folytonos vonallal rendelkező) diagramokat tekintjük, amelyeket nem lehet egyetlen folytonos vonal elvágásával két részre bontani. A 14. § tárgyalásától eltérően, most több tehetőséget kell vizsgálnunk aszerint, hogyan irányulnak a diagramok külső vonalai: az egy kifutó és egy befutó vonalat tartalmazó gráfok mellett két befutó, illetve két kifutó vonalat tartalmazó diagramok is fellépnek. Ennek megfelelően háromféle sajátenergiás betétrészt definiálunk:

- ~&x -'Set(33,1)X>

(e jelölésben, Z első indexe a befutó, a második a kifutó vonalak számát adja meg). A folytonos külső vonalak mellett a sajátenergiás diagramokhoz hullámos (kondenzátum-) vonalak is csatlakoznak. E külső vonalakat beleértjük az itt körökkel jelzett sajátenergiás betétrészekbe. Alább látni fogjuk, hogy £ 02(P )ésS20(P) \alójában megegyezik egymással:

= r 2(l( n (33,2)

Itt azt is megjegyezzük, hogy e függvények — mivel definíciójukban P és - P szitumén ikusan jelenik meg — párosak e változójukban

W ) = 2’t t í - n (33,3)

A2TU és £ ot diagramok összes, zérustól különböző járulékát felsoroljuk illusztr ációként a perturbációszámítás legalacsonyabb rendjében:

- T T + X O r + X L

- irxr(33,4)

(33,5)

Felállítjuk azokat az egyenleteket, amelyek a pontos G és F függvényeket sajátenergiás részeikkel fejezik ki.

33. §. SAJÁTENERGIÁS FÜGGVÉNYEK

A perturbációszámítás fogalmaival a G(P)—Gm (P) különbséget a

159*

o ....o -b^ o . o J o -

típusú diagramláncok végtelen sorozatával fejezhetjük ki. E sorozat egyes tagjai különböző számú kört tartalmaznak, melyeket az összes lehetséges irányítású folytonos vonallal kötünk össze. Hasonló módon a pontos F függvényt (JF(0) = 0) olyan láncok összege adja meg, melynek két végén a nyilak ellentétes irányításúak:

* - 0 1 * 0 ..........o -

.....................O t ~

Ha e láncokról a legszélső „szemet” levágjuk (együtt a kört a szélső nyíllal), amit a függőleges szaggatott vonal jelez, akkor a megmaradt diagramok közül azok, amelyekben a két szélső nyíl egy irányba mutat, újra G-vé összegeződnek, a másik csoport pedig, amelybe az ellentétes nyilazású ábrák tartoznak, F-et állítja elő.

Vezessünk be e pontos függvényekre vastag egy- és kétnyilazású folytonos vonalakkal való jelölést:

iOtPi iFfPf >F*lPt {33 ,6)

A fenti megállapításokat grafikusan a következő vázdiagramokkal kifejezett egyenlőségek tartalmazzák:

-P P - r - 0 r £ + * 5 0 r

4.(33,7)

[vö. a hasonló (14,4) egyenletekkel]. Analitikusan ezek a következő egyenleteket ad* ják :44

G(P) = [ l+ Z n ( P )G ( P ) + Z*>(P)F(P)} <?«»(/>),

F( P ) = G(o)(-P)[Zn ( - P ) F(P) + S M(P) G(P)}.

Ezt a rendszert G-re és F-re oldjuk meg, majd a megoldásba behelyettesítjük a G(0)- függvényt (3I,22)-ből, amivel megkapjuk a keresett pontos propagátorokat:

ahol

D = [ r oa(F)]2- j - r 11( i > ) - « - « 0 + - ^ — ^ 1i ( - P ) +£ú- / 0 + ^ — .(3 3 , 10)

Hangsúlyozzuk, hogy ezek az összefüggések a sajátenergiás diagramok belső szerkezetétől függetlenek, így a párkölcsönhatás feltételezése sem befolyásolja alakjukat, tehát (33,9)—(33,10) tetszőleges Bose-folyadékra érvényes.

Az elemi gerjesztések energiájának p-függését a G és F függvények ío-beli pólusai határozzák meg. Kis p-re e gerjesztések fononok, energiájuk p-vel tart nullához. Ezért a (33,10) függvény is eltűnik, ha p = 0, ca = 0. Ebből a

í^ n (O )-^ ]2 = 2^(0)

egyenlőségre jutunk. Ez /t-re másodfokú egyenlet, melynek gyökei közül a

f* = i : u <0)-i:02(0) (33,11)

gyököt kell választani. Ugyanis a hosszúhullámú határesetben a y-operátort a (27,2) kifejezés adja meg, amelynek kondenzátum feletti része = V — % i így í f,+ = amivel F r s—G. Ez utóbbi egyenlőség teljesülésének éppen (33,11) a feltétele, amikor a (33,9)-beli számlálók (P — 0 esetén) csak előjelben különböznek. A (33,11) egyenlet az a második összefüggés, amely a (31,6) egyenlettel együtt lehetővé teszi (t és n0 kifejezését a folyadék n sűrűségével (1. a 32. § végét).

A (33,10) kifejezés w és p hatványai szerinti sorba fejtése a Green-függvényeket változóik kis értékére adja meg. Ekkor azt tarthatjuk szem előtt, hogy £ n és £ ot mint skalár függvények csak p2-től függnek, és a minden változójában páros ■02 -nek to

“ G-re és F ¥- it is lehetne hasonló egyenletrendszert felírni, ez (33,8)-tól S n és cseréjében különbözne. Mivel F F h,ebből következik a (33,2) egyenlőség

33. § SAJÁTENERGIÁS FÜGGVÉNYEK 161

szerinti sora is csak páros hatványokat tartalmaz. (33,10)-et

d = j C0- ^ [ £ , t( p ) - r 11( - p ) ] J 2-

- { “ -~ i« + y [^ u ( i,) + ^ n ( - / ,)1}2 + W )

alakban Írva, rögtön arra a következtetésre jutunk, hogy a kifejtés első nem eltűnő tagjai D = const (ö>*-mV s+i'0) alakúak, ahol u a hangsebességet jelentő állandó mennyiség. Észrevéve azt is, hogy (33,11) miatt (33,9) számlálói <w, p — 0 esetén csak előjelben térnek el, arra jutunk, hogy

[a pólus megkerülésének módja (31,8>cal való összehasonlításból határozható megj.A számlálóban fellépő állandót úgy kaphatjuk meg, hogy ezt a Green-függvényt

használva számítjuk ki a részecskék N(p) impulzus szerinti eloszlását (kis p-re), és az eredményt a már ismert (27,7) eloszlással összehasonlítjuk. Az

integrált [vö. (7,23)] úgy számítjuk ki, hogy az integrációs utat a végtelen távoli félkörön a felső félsíkban bezárjuk (vö. a 7.§ 6. lábjegyzetével), és felhasználjuk az <a = = — up+iO pólusbeli reziduumot. Az eredmény N(p) — const/2w/>, amit (27,7)-tel összehasonlítva, a const = «0mw2/« érték adódik. így a Green-függvény kis w-ra és kis p-re

Megjegyezzük, hogy ez a függvény (normálási együttható erejéig) megegyezik a fonontér Green-függvényével (1. a 31. § feladatát). Ez az eredmény teljesen természetes, mivel a kis <o, p tartományban a Bose-folyadék összes elemi gerjesztése fonon.

A kapott képleteket befejezésül a 25. §-ban vizsgált majdnem ideális Bose-gáz modelljére alkalmazzuk, ha a részecskék között párkölcsönhatás van. Első közelítésben I ^ -e t (33,4) első két diagramja határozza meg, 2Tosrt pedig (33,5) első diagramjával adjuk meg. Ezeket analitikusan is kifejezve, azt kapjuk, hogy

consta>8— u?pz+iO

(33,12)

alakú.

= m[Ur>+ U(p)], Zo2 = notf(p).

1 1 S ta i is i t ik u s fiz ik a 2 . rész

Az itt használt pontossággal a kondenzátum «„ sűrűségét e képletekben a gáz n sűrűségével helyettesíthetjük. Mint a 25. §-ban rámutattunk, e modellben a gáz részecskéinek impulzusairól feltehető', hogy kicsinyek, így az U(p) Fourier-komponens p = = O-ra (70-va1 helyettesíthető. Ekkor

i ’n = 2nUo, = »Uo. (33,13)

E kifejezéseket (33,ll)-behelyettesítve f i = n U 0, ami egyezik (25,6)-tal. (33,9)- (33,10)- ben is felhasználva őket, a Green-függvényekre a következő képleteket kapjuk:

162 Hl- FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

o)+p-/2m+nUaG(ft>, p) =

F(u), p) =

ft)2— £*(/>)+fO

— ii Un(33,14)

o)2—e1(p)+iO ahol

1/2

A függvények nevezőjének alakjából világos, hogy e(p) az elemi gerjesztések energiája, ami összhangban van a korábban (25,10)—(25,1 l)-ben más módon kapott eredményekkel.

34. §. A kvázirészecskék bomlása

A kvantumfolyadékok kvázi részecskéinek véges élettartama (csillapodása) más kvázirészecskékkel való ütközésüknek és saját két (vagy több) új kvázirészecskére való elbomlásuknak egyaránt lehet eredménye. T -* D-ra a csillapítás első forrása megszűnik (mivel az ütközés valószínűsége nullához tart a kvázirészecskék sűrűségének eltűnésével), és így a csillapodás a kvázirészecskék bomlásának köveikeztében jelentkezik.

Vizsgáljuk a (p impulzusú) kvázirészecske „keltéhasadását” . Ha q az új kvázirészecskék egyikének impulzusa, akkor a másiké p— q. Az energia megmaradása az

e(/>) = e (? )+ í( ip -q |) (34,1)

megkötésre vezet. Előfordulhat, hogy p értékeinek bizonyos tartományában ez az egyenlőség egyetlen q-ra sem teljesíthető. E tartománybeli kvázirészecskék egyáltalán

nem csillapodnak (természetesen, hacsak több részecskére való bomlásuk nem megengedett). Változtatva p-1, a csillapodás azon a p = p0 értéken kezdődik (a bomlás küszöbe), amelyre először van gyöke a (34,1) egyenletnek.

Először is vegyük észre, hogy a p ~ pc pontban (34,1) jobb oldalának q függvényében szélsőértéke van. Adott p-re legyen e(q)+ e(| p - q |) szélsőértéke E(p) (a határozottság kedvéért ezt az értéket minimumnak gondoljuk). Ekkor az

e(p )-E (p ) = «(?)+ s(| P— q I)—£"(/>)

egyenlet jobb oldala nemnegatív. Tehát azokra a p értékekre, melyekre e(p)-E (p) < 0, a z egyenletnek nyilván nincs gyöke. A gyök csak a b b a n ap = pc pontban jelenik meg, ahol e{pc) = E(pe).

A (34,1) egyenletet a .szimmetrikus

s(p) = e(qi)+e(q2), qi + q- = p

alakban írva, azt találjuk, hogy jobb oldala szélsőéi tekének létezési feltétele ds/Sq x = = 0e/5q» vagy

v, = v, (34,2)

alakban írható, azaz a küszöbpontban a két keletkező kvázirészecske sebessége megegyezik. Ezzel kapcsolatban több eset különböztethető meg (L. P. Pitajevszkij, 1959).

a) Bose-folyadékban a kvázirészecskék sebessége nulla a 2. ábra rotonminimuraá- nak megfelelő p — pa impulzusra. Ezért vL = va = 0, ami azt jelenti, hogy a küszöbpontban két p0 impulzusú, A energiájú roton keletkezik. Az elbomló kvázirészecske energiája ennek megfelelően e(pc) = 2A ,p c impulzusát viszont />0-val a p £ = Poi+Poí összefüggés kapcsolja össze, azaz pc = 2p0 cos 0, ahol 20 a két roton mozgási iránya által bezárt szög. Ebből következik, hogy fennáll a

pc < 2pr> (34,3)egyenlőtlenség.

b) Ha Vi — v8 v* 0, és a hozzájuk tartozó q,, q., impulzusok végesek, akkor a küszöbön a kvázirészecske két kollineáris (párhuzamos vagy ellentétes) impulzusú kvázi- részecskére bomlik.45

c) Ha vx és v2 nem nulla, de az impulzusok egyike (mondjuk q:) a küszöb közelében nullához tart, akkor az annak megfelelő kvázirészecske fonon, amelynek sebességére

34. §. A KVÁZIRÉSZECSKÉK BOMLÁSA 163

45 A folyadék izotropiája miatt a kvázirészecske p impulzusa és v = 0e/3p sebessége kollineárisak, de azonos vagy ellenkező irányba egyaránt mutathatnak.

11*


= u írható. Ekkor olyan küszöbbel van dolgunk, amelyen túl a kvázirészecske fonont kelthet. A fonon energiája pontosan a küszöbön zérus, miközben a kvázirészecske sebessége éppen eléri a hangsebességet (megegyezik a vx = v2 — w értékkel).

d) Végül különleges esetet jelent egy fonon elbomlása kettőre: ekkor a spektrum p = 0 kezdőpontja a küszöb. Ilyen bomlásra azonban csak akkor van mód, ha a spektrum kezdeti (fonon-) szakaszának görbülete határozottan pozitív: d2e(p)jdp'2 > 0 vagyis az s(p) görbe felfelé hajlik el az e = up érintőtől. Erről könnyen meggyőződhetünk, ha a spektrum e szakaszát az

e(p) ^ up+tqr' (34,4)

alakkal közelítjük, ahol a kis impulzusú kifejtés lineáris utáni tagját is figyelembe vettük.48 Az energiamegmaradás (34,1) egyenletéből ekkor

« ( /> -? - 1 p - q I) = -aO?3- ? 3-1 p - q la)

következik. A küszöb közelében a fonon a kvázirészecske kezdeti p impulzusának irányához képest kis szög alatt lép ki; így az egyenlet bal oldalán

p - q - 1p —q| ^ - ~ ~ { \ - c o s O ) (34,5)

írható, a jobb oldalon viszont elegendő a | p —q | % p —q közelítést használni. Ekkor

1 —cos 0 — 3«(/>—q y (34,6)

adódik. Ebből világos, hogy oc > 0.Alább (a 35.§-ban) belátjuk, hogy az a) ésb) esetben az e(p) függvény egyáltalán

nem folytatható a küszöbön túl, amely így a spektrum végpontja. A c) és d) esetekben a hosszúhullámú fonon kibocsátásával történő bomlás a kvázirészecske gyenge csillapodására vezet, amit a perturbációszámítás segítségével számíthatunk ki.47

*' A hanghullámok diszperziós egyenlete a frekvencia négyzetét (w1) adja meg a hullámvektor függvényében. Ennek megfelelően a fonon e*(p) energianégyzetét fejthetjük regulárisán p hatványai szerinti sorba. A kifejtés ~ ps taggal kezdődik, és a folyadék izotropiája miatt valójában p5 halványait tartalmazza. Ennek következtében e(p) sorfejtése p páratlan hatványait tartalmazza.

47 Az, hogy a felsoroltak közül melyik eset valósul meg kísérletileg, az e(p) spektrum görbéjének konkrét menetétől függ. A folyékony héliumra (*He) vonatkozó empirikus adatok arról tanúskodnak, hogy a fonon spektrumának van egy olyan kis kezdeti szakasza (15 bar-nál kisebb nyomáson), ahol d) típusú instabilitás lép fel. A spektrum lezárulása folyékony héliumban a) típusú pontban következik be.

34. §. A KVÁZIRÉSZECSKÉK BOMLÁSA 165

Számítsuk ki a fonon csillapodását két másik fononra való elbomlása következtében (d) eset). E folyamat mátrixelemei a Hamilton-operátor harmadfokú tagjaiból származnak, melyeket (24,12) ad meg. A kezdeti (i) állapotból, mely egyetlen p impulzusú fonont tartalmaz, a ^ és q2 impulzusú fononok ( / ) végállapotába való átmenet mátrixeleme:

„ _ .V . { 2 n h f t u \ 1/2Í, , e2 d w»lA ÍP qi qz 2( 2 V f 2 \ Q Pqiq2) | 3u2 dq q ] ’ ^

(a perturbálatlan q0 sűrűség 0 indexét elhagytuk). Figyeljünk a (pq^q^12 tényező megjelenésére; ennek kicsinysége (miután hosszúhulJámú fononra való bomlást vizsgálunk) is biztosítja a perturbációszámítás alkalmazhatóságát.48

A bomlás (1 s-ra jutó) differenciális valószínűségét a

, 2n V2 d3qi d3q2d»=-ir\vt ?M-Z> -(&w-

képlet adja [1. 111. (43,1)]. Ebbe behelyettesítve (34,7)-et, a ő-függveny négyzete jelenik meg, amit a

[ő íp -q i-q a )]2 = ő (p -q j:-q 2) (34,8)

képlettel értelmezünk.49 A megmaradó 6-függvény segítségével végezzük el a cPq2 szerinti integrálást; majd E, = up és Ef = u(qA+ qz) beírása után

1 f , , g2 d u * Y 9n f . . d3qi= 2 ( ' + T j W J pq' ^ q,) 6(p~ q ' - 1 p“ ‘1' l} c w

adódik (ha iPqx és d3q2 szerint függetlenül integrálunk, az eredmény felét kell venni a két fonon azonosságának figyelembevételére). Végül a ő-függvény argumentumát a(34,5) képlettel fejezzük ki, és elvégezzük a dzqx = 2nq^ dqid cos 0 szerinti integrálást

** A (34,7) mátrixelem kiszámításakor azt kell figyelembe venni,hogy a c„ és c * fononoperátorok mindegyike a három q' vagy V tényező bármelyikéből vehető; ebből jön a 3! tényező. A (34,7)-beli 3-fiiggvény az exp[/(p—flj — Q2)r/fi] tényező integrálásából származik. Végül kihasználtuk, hogy Pi Qi, és <j, iránya majdnem egybeesik.

** Ugyanis a 5(k) függvény az J e?* d3r/(2ji)3 integrálból származik. Ha egy ilyen integrált k = O-ra számítunk ki [mivel egy <5(k) már jelen van], akkor a V véges térfogatra végzett integrálásból K/(2»)* adódik, ami éppen a (34,8>beli tényező.

(a q i s= p tartományon), amivel megkapjuk a bomlás teljes valószínűségét:

3ps í , g2 d «2 ) 2 n\iV ~ ' 320ngh* { 3u2 dg e j '

A fonon csillapodni együtthatója y = — lm e = fiwfl. Speciálisan, majdnem ideális gázra (25,11) szerint az u2fg ^ AitfPajtrP mennyiség nem függ a sűrűségtől. Ekkor

' = « <34-!0)(Sz. T. Beijajev, 1958).

A c) típusú küszöb közelében u kvázirészecske hosszúhullámú fonon kibocsátásának Hamilton-operátorát úgy szerkesztjük meg, hogy megvizsgáljuk, hogyan változik meg a kvázirészecske energiája egy hanghullámban. A változás két részből áll:

M p) = -|^-e'+vp.

Az első tag a folyadék sűrűségének megváltozásából származik, amitől mint paramétertől függ a kvázirészecske energiája. A második tag (amelyben v a folyadék hang- hullámbeli sebességét adja) a kvázirészecske energiájának a folyadék makroszkopikus mozgása következtében fellépő megváltozása. Mivel (a küszöb körül) a kibocsátott fonon hullámhossza nagy a kvázirészecskééhez képest, úgy vehető, hogy ez utóbbi homogén folyadékáramban helyezkedik el. Ekkor az energia megváltozását a 23. § elején mondottak alapján állapíthatjuk meg. á«-ból a perturbáció operátorát úgy kapjuk meg, hogy v = v<p-t és g'-t a (24,10) másodkvantált operátorokkal helyettesítjük, p helyére pedig a kvázirészecske impulzusoperátora: p = —f/ív kerül:

p (34’n )

(a második tag hermitikusságát szimmeirizálással biztosítottuk). A fonon kibocsátásának valószínűségét a továbbiakban már teljesen hasonló módon számíthatjuk ki, mint ahogy a fonon bomlási valószínűségét kiszámoltuk (1. a feladatot).

FeladatSzámítsuk ki a p impulzusú kvázirészecske fononemissziójának valószínűségét a p, küszöbérték

hez közel (ennél az értéknél éri el a kvázirészecske a hang sebességét).

Megoldói. A (34,11) operátor mátrixelemét egy (q impulzusú) fonon keltésére és a kvázirészecske állapotában egyidejűleg bekövetkező p -» p' átmenetre számítjuk ki (a kvázirészecske mindkét álla

potát síkhullám írja le). A küszöb közelében a fonon impulzusára q « p , érvényes, és q iránya majdnem megegyezik p irányával.4® Ennek figyelembevételével

Vft = (-g-)’' \ahol

, 9 !A =/>,■!-— -v— iU O O \p _ j>.

Ebből a fonon kibocsátásának differenciális valószínűségére

da> = ^5á[e > -e 1 i>-«d -(jj-p

vezethető le (az impulzusmegmaradást biztosító á-függvényt a űPp' szerinti integrálás elvégzésére használtuk fel). A ó-függvény argumentumát a közelitő — u q ( l - cos ff) alakba írva, a (Pq szerinti integrálás is elvégezhető, amiből végül a

U \ p - p ?3 nofi*

teljes valószínűséget kapjuk.

35. §. A SPEKTRUM TULAJDONSÁGAI LEZÁRULÁSl PONTJA KÖRÜL 167

35. §. A spektrum tulajdonságai lezárulási pontja körül

Ebben a szakaszban a Bose-folyadék spektrumát a két kvázirészecskére való bomlás küszöbe körül vizsgáljuk, a végállapoti részecskék egyike sem lehet fonon (1. a 34. § a ) és b ) eseteit).51 A fononkeltéssel járó bomlással ellentétben, a perturbációszámítás ezekre az esetekre nem alkalmazható. Ezért a Green-függvények küszöbpontokban mutatott szingularitásait kell vizsgálnunk. Másrészt miután minket kizárólag ezek a szingularitások érdekelnek, a számítás lényegesen leegyszerűsíthető. Speciálisan, nem kell a G é s F függvények között különbséget tenni (mivel analitikus tulajdonságaik egyformák), és úgy járhatunk el, mintha csak egyetlen Green-függvény létezne. A G és F közti különbség figyelembevétele néhány egymáshoz (analitikus

60 A határozottság kedvéért azt az esetet tekintjük, amikor a kvázirészecske a fonom p-vel azonos (és nem ellentétes) irányba sugározza ki. Ehhez e(p) küszöb körüli alakja a következő:

e ( p ) *( p« )+ ( /> - /> > + < * ( /> - Pc)'1

(a lineáris tag együtthatója pozitív). Az energiamegmaradás törvénye alapján könnyen meggyőződhetünk arról, hogy p =- p, esetén fonont csak a > 0 esetén lehet kibocsátani; a kisugárzott fonon impulzusa aO S q á 2( p —p,) intervallumban változik.

61 E szakasz anyaga L. P. Pitajevszkij eredményeit mutatja be (1959).

tulajdonságai szempontjából) nagyon hasonló tag megjelenésével járna, ami azonban egyáltalán nem tükröződne az eredményben.

A diagramtechnika nyelvén a bennünket érdeklő szingularitás, ami a kétrészecskés bomlással kapcsolatos, a következő diagramból származik:

(35,1)

P -Q

Ezt két folytonos vonal elvágásával két részre bonthatjuk, tehát ezek a diagramok kéi- részecskés közbenső állapotot tartalmaznak. A közbenső Q = (g0, q) négyesimpulzusra integrálunk, aminek során a szingularitás megjelenése szempontjából a Q és P —Q impulzusoknak az a tartománya lényeges, amelyben a végső kvázirészecskék a küszöbhöz közel keletkeznek. Az alábbi elmélet szempontjából alapvető az az állítás, hogy ez a négyesimpulzus-tartomány nem szinguláris G(Q) szempontjából: itt G(Q) alakja a szokásos pólusfüggést mutatja:

G(Q) = G(qQ, q) ~ f e o - ^ + Z O ] " 1, (35,2)

ahol e(q) a bomlási kvázirészecskék energiája, aminek a vizsgált tartományban nincs szingularitása. Fizikailag ez a tartomány csak azért kitüntetett, mert itt a kvázirészecske „összeolvadhatna” a másikkal, ami zérus hőmérsékleten a reális gerjesztések hiánya miatt nem lehetséges. A Green-függvénynek csak azokon a P értékeken van szingularitása [P a (35,1) diagram külső impulzusa], amelyek a kiinduló kvázirészecske küszöbéhez közeliek.

A (35,1) diagramon a két kört összekötő két vonalhoz a G(Q)G(P— Q) kifejezés tartozik, és Q szerint integrálunk. Miután a szingularitás szempontjából csak Q kis tartománya lényeges, a diagram többi tényezőjét állandónak vehetjük, és a Q — Qc pontban felvett értékükkel helyettesíthetjük.52 így a diagram járulékában fellép a

n (P ) = ■ rí [« •-(2 n)* [ío -* te)+ f'0 ][ft> -9o~ e(|p -q |)+ /0 ]

“ Ezt az állítást pontosabban is megfogalmazzuk. Az a helyzet, hogy a G (Q )G (P-Q ) tényezők függetlenek a (p, q) sík helyzetét meghatározó <p szögtől. Ezért a <p szerinti integrálás az integrandus maradék részének <p szerinti átlagolását jelenti, ami után d*Q-\ 2nq2 dqa dq d cos Ő-ként értelmezhetjük. E változókban d*Q szerint integrálva adódik kicsinynek a lényeges tartomány. Ez az észrevétel az

alább i levezetés hasonló mozzanataira is érvényes.

35. §. A SPEKTRUM TULAJDONSÁGAI LEZÁRULÁSI PONTJA KÖRÜL 169

szorzó, ahol P — (&>, p). A qü szerinti integrálást az integrációs útnak valamelyik komplex félsíkban egy végtelen távoli körön való bezárásával végezzük el. Eredménye

Ennek az integrálnak a vizsgálatára alább visszatérünk, de most segítségével kifejezzük G(P)-t, összegezve az összes (35,1) alakú diagram járulékát.

A G(P) függvényre felírható Dyson-egyenlet grafikus alakja a következő

Itt a vastag vonalak a pontos iG függvényt jelentik, a vékonyak pedig e függvény „nemszinguláris” részét, melyet „két vonallá nem lehet szétbontani” . A második tag(35,4) jobb oldalán a (35,1) alakú diagramok halmazának járulékát jelzi. A vékony üres kör a pontos háromágú vertexfüggvényt képviseli [jelöljük r{Q , P —Q, P)-vel], a bevonalkázott kör pedig annak nemszinguláris részét, amelyből kizártuk azokat a járulékokat, melyeket két folytonos vonal elvágásával két részre bonthatunk.53 Mint fentebb elmagyaráztuk, a d*Q szerinti integrálás egy TI(P) szorzó megjelenését okozza, a többi tényezőt pedig a Q = Qc helyen felvett értékével helyettesítjük. Ekkor a (35,4) egyenlőség analitikusan azt jelenti, hogy

ahol r c(P) = F{QC, P—Qc, P), az a(P) és b(P) mennyiségek pedig valamilyen (a P = Pc küszöb közelében) reguláris függvények.

(35,5)-ben két szinguláris függvény fordul elő: <5 és Fc, és ezek i7-vel való kifejezésére még egy egyenlet szükséges. Ezt megkapjuk, ha észrevesszük, hogy a T pontos függvényalakját „létrasor” adja meg:

Q

(35,4)

P-Ű

G{P) = a(P)+b(P) G(P) rc(P) n(P) , (35,5)

+ -

M A helyzet hasonló a kvantumelektrodinamika Dyson-egyenJetéhez (1. IV. 104. §). Ugyanúgy, mint ott, a szükséges diagramok teljes sokaságát megkapjuk a vertexfüggvények egyikére vonatkozó korrekciók bevezetésével.

amely igen hasonló a négyágú vertexfüggvény (17,3) sorához. Az összegezéssel a

17 0 Hl. FEJEZET. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG

egyenletet kapjuk [vö. (17,4)], amelyet Q ~ ő c-re analitikusan is felírunk:

i \ {P) = n { p ) r c(p),

ahol c(P) és d(P) reguláris függvény. A kapott két egyenletből FCA kiküszöbölve, megkapjuk a Green-függvény kifejezését //-ve i:

c - ' ^ - i r m T m + c ( n <35’6)

ahol A, B, C újra (P = Pc-hez közel) reguláris függvények.A további számítások már eltérnek aszerint, hogy a kvázirészecskék bomlásának

mely típusa következik be.

a) A két rotonra való bomlás küszöbe

Ebben az esetben a bomlási részecskék n(q) energiáját a küszöb közelében a (22,6) képlet adja, amivel a (35,3) integrál a

/7(ío, q) = J ja>- 2/1~ 2“ *- f ( ? - ^ ) 2+ (| p~ q | --/*,)*] j (35,7)

alakot ölti. Az integráláshoz vezessük be a q„ qQ változókat, a

9x = 0 >osin d+q'„)coscp, q> = (p» sin d + q'e) sin <p, q2 = p<> cos Ü+q’,

összefüggésekkel, ahol a z tengelyt p irányában vesszük fel, és a 0 szögei a 2p0cos 6 = p összefüggés definiálja. A küszöb közelében q2, q'g kicsi, és a szükséges pontossággal írható, hogy

q » Pfi + q’e sin 0 + 0, cos 0, jp -q | ^ Po+q'o sin 0—<j£cos 0, cPq % pn sin 9 dq'p dqz d(p.


A (35,7) képlet kapcsos zárójelét

képletre jutunk.Ez az integrál nagy £ értékekre divergens, de csak a korábbi elhanyagolások miatt,

így ez a körülmény lényegtelen. Az integrált valamely g2 » 1 2A—a> | értéknél levágva, csak I I reguláris részébe kapunk járulékot. A minket érdeklő szinguláris részt az integrálás alsó határához közeli tartomány járuléka eredményezi, amire

Ha 2A— kicsi, akkor a logaritmusa nagy; (35,8)-at behelyettesítve (35,6)-ba, és azt a logaritmus inverzének hatványai szerint kifejtve, a

összefüggésre jutunk, ahol a, b, c az co és p újabb reguláris függvényei. A küszöb- pontban (p = pc) az elbomló kvázirészecske energiája 2A, Minthogy a kvázirészecskék energiáját G-1 zérushelyei adják meg, arra jutunk, hogy G ~\2A, p^) = 0, amihez b(2A, pc) — 0 szükséges. A reguláris b(a>,p) függvény p - p e és a>—2A egész hatványai szerint fejthető ki. Az a(co, p) és c(co, p) függvényeket a küszöbpontban felvett értékeikkel helyettesítve, a következő kifejezést kapjuk a Green-függvényre a küszöbhöz közeli tartományban:

alakúra hozhatjuk, majd újabb

q'e sin 6 = Ym" q cos xp, q, cos 0 = f r i f q sin ip

változócsere után y szerint integrálva, a

(35,8)

G ~ \(ú ,p )= ö + c l a - i .—Z /l — Cü

(35,9)

ahol a, x, /? állandók.

Ezt a kifejezést zérussal egyenlővé téve, megkapjuk az e(p) spektrumot a küszöb közelében. Ha a bomlás a p < pc és s < 2/1 tartományban nem lehetséges, akkor a és a pozitív. Ekkor a fenti tartományban a G_1 = 0 egyenletnek

£ = 2/1 — aexp ^ — (35,10)

nemlecsengő megoldása van. Látjuk, hogy a spektrum görbéje végtelen rendben vízszintes érintővel halad a küszöbponthoz. A p > p c tartományban G_1 = 0-nak nincs sem valós, sem komplex megoldása, amire e ^ 2<d, ha p »» /?e. Ebben az értelemben a spektrum nem folytatódik a küszöbponton túl.54

b) A két párhuzamos impulzusú részecskére való bomlás küszöbe

Mivel a küszöbpontban, p = pc-re az e(?)+ e(|p—q |) kifejezésnek q függvényében minimuma van, így a küszöbhöz közel

« (? )+ € (|p -q |) = £c+vc( p - p t)+!x(q-qo)2+^((q -qo)'P c)2, (35,l i)

ahol a, /9 állandók, vc a küszöbpontban keletkező részecskék sebessége, q0 pedig egyikük impulzusa. (35,11 )-et (35,3)-ba helyettesítjük, és bevezetjük az új

P = q^-qo, ppf = QPc cos y>

integrálási változókat, amikkel

n ( . _ 1__ f _____ Q2 dg d cos y>U}' (2n)2 J e - s c- vc{ p - Pc) - u.q2~ cos2 tp '

Ennek az integrálnak gyökös szingularitása van a küszöbnél:

n ~ [vc(p ~ p c)~ (£- £ c)]1/2- (35,12)

Ezt a kifejezést behelyettesítjük (35,6)-ba, és ezzel adódik a küszöbhöz közeli tartományban érvényes Green-függvény:

G-1(w, p) = A(co, p)+B(w, p) [vc(p -pc) - (*>- ív)]1'2.

M Mint arra már a 47. lábjegyzetben rámutattunk, a folyékony hélium spektruma éppen ilyen típusú ponttal végződik (a 2. ábra görbéje vízszintes érintővel közeledik az e = 2A egyeneshez).

Minthogy C?_1(eí, pc) = 0 és A, B reguláris függvények, így az utóbbiakat p - p c és o) — er hatványai szerint sorba fejtjük, majd végeredményben azt kapjuk, hogy

G"1 ~ [ve( p - p c) - ( a ) - £c)]1/2 + [ a ( p - p c ) + ~ £«)]. (35,13)

ahol a és b állandók.A spektrum alakját a G_1(e, p) = 0 egyenlet határozza meg. Megoldását e— ec =

= vc(p—pc) + const (p —p cY alakban keressük. Ahhoz, hogy ez létezzék p • 0 legyen, ezért

e = cc t vc(p ~ p c) - ( a + b v cf ( p - p cf . (35,14)

Ugyanilyen feltétel mellett a p > pe tartományban a G-1 = 0 egyenletnek nincs megoldása az b xz ee és p m p c feltételek mellett. így a spektrum ez esetben is megszakad a küszöbpontban.

I V. F E J E Z E T

G R EEN -FÜ G G V ÉN Y EK VÉGES HŐ M ÉRSÉKLETEN

36. §. Green-függvények véges hőmérsékleten1

A makroszkopikus rendszerek Green-függvényeinek definíciója véges hőmérsékleten csak abban különbözik T = 0-n érvényes definíciójuktól, hogy a zárt rendszer alapállapotára való átlagolást a Gibbs-eloszlásra való átlagolás váltja fel: a ( . . . ) jelölés most a

<•■■) = X !•••[«>, w« = exp ^— ~ n- j (36,1)

értelemben használandó, ahol az összegezést a rendszer összes állapotára végezzük (melyek az E„ energiában és N„ részecskeszámban egyaránt különbözhetnek egymástól), E ‘n = E„— (iN„, ( n | . . . l « ) az /i-edik kvantumállapotban számított diagonális mátrixelem. Az így definiált várható érték a T, fi, V termodinamikai változók függvénye.

A Green-függvények analitikus tulajdonságainak tanulmányozására véges hőmérsékleten (L .D . Landau, 1958) célszerű az úgynevezett retardált és avanzsált Green-függvényeket használni, melyeknek analitikus tulajdonságai egyszerűbbek.2 Hogy konkrét esettel foglalkozzunk, először Fermi-rendszereket vizsgálunk.

A retardált Green-fúgg\'ényt az

* > . ». > l 0, ha h

képlettel definiáljuk. Mikroszkopikusan homogén, nem ferromágneses rendszerre külső tér nélkül ezek a függvények (csakúgy, mint a szokásos Gafl) egyetlen skálái

1 A 36—38. §-ban a fi — 1 egységrendszert használjuk.- Ezeket a függvényeket Ft és A indexekkel szokás megkülönböztetni.

függvénnyel fejezhetők ki, amely csak az X = X y -X ^ különbségtől függ:

G U * u X2) = öJ j r(X). GR = I G « . (36,3)

36. §. GREEN-FÜGGVÉNYEK VÉGES HŐMÉRSÉKLETEN 175

Az impulzusreprezentációra a szokott módon lérünk át. Minthogy 1 < O-ra <5*0, r) = 0, így a

G*(«, p) = | J G*(í, r) dt dxx (36,4>o

definícióban a t szerinti integrálást valójában a (0, °°) tartományban végezzük. Ax co változót a felső félsíkba eltolva, az integrál konvergenciája tovább javul. Ezért a(36,4) integrál a felső félsíkban analitikus függvényt határoz meg, melynek ©-ban nincs szingularitása.3 Az alsó félsíkban, ahol Gfi-et analitikus folytatás definiálja,, annak pólusai vannak (1. alább).

Vezessünk le GR-re olyan kifejtést, amely hasonló a 8. §-ban a T — O-ra érvényes(8,7)-beli Green-függvényekre levezetetthez.

A ^-operátorok szorzatára vonatkozó ( n | . . . i n) mátrixelemet a mátrixszorzás; szabályai szerint kifejetve, és a mátrixelemeket (8,4) alakban írva, azt kapjuk, hogy

iGR(t, r) = £ w„{e~l<aw - W ) („ | f^(0) | m)(m | f +(0) | n)+n, m

4-e>'(«w-iw) (n | $+(0)| m ){m j xpjfi) | «)},ahol

km,t ,

A kapcsos zárójel két tagjára vonatkozó, n és m szerinti összegezések tartalma kissé eltér: az első tagban az n és m állapotok beli részecskék számát az Nm — Nn+ 1 összefüggés köti össze, a másodikban viszont N,„ = Nn— 1. E különbség megszüntetésére a második összegben felcseréljük az n és m indexjelöléseket. Észrevéve, hogy

<« I %(0) I m) (»»I f í (0) | n) = i (ff | y,(0) | m) |2 = Am„,

a teljes kifejezést az

iG*(t, r) = A- £ w„ r ' i w - W ) A,„„(I + í - “- ' 7'), t - 0 (36,5>— rt, W

alakra hozhatjuk.

3 Vö. az a(ű>) függvényre vonatkozó hasonló megállapításokkal (V. 123. §). A Gk és a függvényekanalitikus tulajdonságainak hasonlósága nem véletlen: V. (126,8) szerint az utóbbit analóg módonfejezhetjük ki egy meghatározott operátorkommutátorral.

176 IV. FEJEZET. GREEN-FÜGGVÉNYEK VÉGES HŐMÉRSÉKLETEN

Végül a (36,4) integrál kiszámításához eo — co+iO cserét hajtunk végre (mint azt a 8. §-ban is tettük), amivel végül

G*(a>,9) = V f - I + r ^ ) . (36,6)2. m, n (a— a

Figyeljük meg, hogy e kifejezés összes pólusa (a fentebb mondottakkal összhangban) a valós tengely alatt, a komplex u> sík alsó félsíkjában található.

A z utóbbi tulajdonság elegendő arra, hogy a függvény valós és képzetes része között határozott kapcsolatot találjunk, az ún. Kramers—Kronig-Összefúggést vagy más néven diszperziós relációt:

Re G*(oj, p) = - t y f du (36,7)n \ u—m

[I, az a(w)-ra vonatkozó azonos összefüggés levezetését az V. 123. §-ban]. Közvetlenül is meggyőződhetünk helyességéről, ha (36,6) képzetes és valós részét a (8,11) képlet alapján szétválasztjuk. Megjegyezzük, hogy ugyanennek az összefüggésnek a segítségével (36,7)-et

G*(co, p) = - f - g(t/> % - du (36,8)ti I u —(a—tO

--ISO

alakra hozhatjuk, ahol

q(u, p) = —4jt* £ w,,Am„6(u-tamn) d ( p - k nm)(l +e~a,’ T).m, n

Valós co-ra g = lm GR.A (36,8) előállítás mélyebb értelmet nyer, ha áttérünk a V -* ^ (N /V rögzített)

termodinamikai határesetre. Ebben a határesetben az «>m„ pólusok „összefolynak”, és a g(w) függvény minden u-ra nullától különböző értékű (nem pedig diszkrét pontokbeli d-függvények egyszerű összege). Ekkor (36,8) közvetlenül meghatározza GR(a>)-t a felső ío félsíkban és a valós tengelyen. G*(co)-nak az alsó félsíkban való meghatározásához az integrált analitikusan kell folytatni, amihez úgy kell deformálni az integrálási útvonalat, hogy az mindig alulról kerülje meg az u = co pontot. G*(co)-nak lehetnek szingularitásai az alsó félsíkban (a valós tengelytől véges távolságra), mikor az integrációs görbét a számláló szingularitása és az u = co pólus között „húzzuk át” .

Az avanzsált Green-fúggvényt hasonló módon vezetjük le az

,GaÁXu = { - C t o ) ^ +(* 2) + ha /, -e t.t (36,9)

definíció szerint. A GA(co, p) függvény analitikus függvénye az to változónak, melynek az alsó félsíkban nincsenek szingularitásai. Kifejtése abban különbözik (36,6)-tól, hogy a nevezőben iO előjele megváltozik. Eszerint a valós tengelyen Ga(oj) — Gs *(<a), a teljes «o síkban viszont a

GA(a>*) = (36,10)egyenlőség áll fent.

A z to -*■ oo límeszben a Gs és GA függvények a szokásos G Green-függvénnyel azonos módon tartanak nullához:

GR,G A -+l/a>, ha ! o | - o , . (36,11)

Felidézzük [1. (8,15) levezetését], hogy ennek az aszimptotikus kifejezésnek az (egységnyi) együtthatóját a függvény = ?2-be!i szakadása határozza meg, amely független a hőmérséklettől, és azonos mindhárom: GR, GA, G függvényre. Ez definícióikból nyilvánvaló tulajdonságuk.

A most bevezetett GR, GA és a szokásos

iG ^iXu X 2) = (T ^ A 'O % +(X2)) (36,12)

Green-függvény közötti kapcsolat felállítására vezessünk le az utóbbira is egy (36,5)- tel analóg kifejtést. A fentiekhez teljesen hasonló számítások a következő eredményre vezetnek :4

G(co, p) = - (^ ):* £ w„Amll ő(p—k,„B)Xm, n

X í ----- ------ ( l + f " wmJT)+ mö((o — comn) (1 — . (36,13)[ U>mn— J

(36,13) és (36,6) összehasonlításából a

PH = Re G(o>, p) ± i cth lm G(w, p) (36,14)GA(w, p)J 11

összefüggésekre jutunk. Eközben, mint (36,13)-ból szintén látható,

sgn lm G(ft>, p) — — sgn <o. (36,15)

Felhívjuk a figyelmet, hogy G, ellentétben G^-relés G^-val, nem analitikus függvénye oj-nak.

36. §. GREEN-FÜGGVÉNYEK VÉGES HŐMÉRSÉKLETEN 17?

4 Az impulzusreprezentációra való áttérés során a t szerinti integrál két részre, a ( —«», 0) és (0, °°)közötti integrálokra bomlik fel és egyikükben az m és n összegezési indexeket felcseréljük.

12 S tatisztikus fizikn 2, rész

T — O-ra cth (WZT) - sgn co, és ekkor (36,i4)-ből az következik, hogy

ha co > 0,


(36,16)ha o) < 0.

így G(co) a T — 0 hőmérsékletre a két valós féltengelyen két különböző analitikus függvény | lm (o 1 —■ 0 esetén adódó határfüggvényével egyezik meg: GR(w) a jobb oldali, GA(a>) a bal oldali félegyenesen.

Ideális Fermi-gázra könnyű felírni GR és GA kifejezéséi. Elég azt észrevenni, hogy azok ugyancsak a (9,6) egyenletnek tesznek eleget, amelynek levezetésekor egyedül a tt = /2 esetben fellépő ugrás nagyságát tekintettük ismertnek. A pólus megkerülésének módját onnét tudjuk, hogy a pólusnak G(0)/f-re a valós tengely alatt, GmA-r<\ a felett kell lennie. Ebből következik a

ni “ 1(36,17)

kifejezés, amely egyaránt jó zérus és zérustól különböző hőmérsékleten. A G(0) függvényre (36,14) szerint

<*"■*>=v> 'bw 6("-fe +") (36’18)

adódik. T — 0 -ra visszakapjuk a (9,7) képletet, amely (36,17)-től csak az /0-sgn w -*■ ±i'0 helyettesítésében különbözik.

Megadjuk az analóg képleteket Bose-rendszerre is. A retardált és avanzsált Green- függvények definíciója a következő:

*?*(*!, X 2)I u, na 11 < ío.

(36,19)i n t- t »

iGA{Xu X t)

Ha konkrétan a /.-pont hőmérséklete felett vagyunk, akkor ezekben a definíciókban a teljes y-operátorok jelennek meg; a A-pont alatt a definíció csak a kondenzátum feletti operátorokra vonatkozik. (36,6) helyett most

G*(«, p) = (2i t f £ w„ ( j _ T) (36,20)n ^ V'mn ~T

V+ í x *)- # + (x 2) W 0 ) , ha ti > h,0, ha ti < ?2-

0, ha ti >(<P(X1) ^ ( X 2)~ 'P+W2)^ (^ i)X ha fi < t».

36. §. GREEN-FÜGGVÉNYEK VÉGES HŐMÉRSÉKLETEN 179

írhaló; ennek kapcsolatát G-vel a

G*(co, p) = Re G(a>, p )+ / th ~ : • lm G(o>, p) (36,21)

összefüggés adja, miközben a valós tengelyen

lm G(a>, p) -< 0 (36,22)

(a G-függvényt (31,1) szerint a Gibbs-sokaságra való átlagolással kapjuk, az alapállapotra való összegezés helyett]. Ideális Bose-gázra G,R-et ugyanaz a (36,17) képlet adja, mint korábban, de a G-függvényre

A Green-függvények fizikai tartalma véges hőmérsékleten lényegében ugyanaz, mint a T = 0 értéken. Természetesen érvényben maradnak azok a képletek is, melyek a Green-függvényt a részecskék impulzuseloszlásával kötik össze: (7,23), valamint(7,18) és (31,4) is, amelyik a sűrűségmátrixszal teremt kapcsolatot.

Igazak maradnak azok az alapvető állítások, amelyek szerint a Green-függvény pólusai megadják az elemi gerjesztések lehetséges energiáit (minthogy G nem analitikus függvény, helyesebb G*-nek az alsó félsíkbeli vagy G^-nak a felső félsíkbeli pólusairól beszélni). Ez az állítás itt (36,6) következménye (ugyanúgy, mint a 8. §-ban). Bár a kifejtés egyes tagjaiban most a tetszőleges állapotok közötti átmeneti a>m„ frekvenciák szerepelnek, de (a termodinamikai limeszben) a korábbiaknak megfelelően csak azok a pólusok maradnak meg, amelyek az alapállapotból egyetlen elemi gerjesztéssel elérhető állapotokba való átmeneteknek felelnek meg. A gerjesztett állapotok közötti átmenetek ugyanazon oknál fogva nem okoznak pólusszingularitásokat az egy- részecskés Greer.-függvényben a termodinamikai limeszben, amiért nem jelennek meg azok az átmenelek sem, amelyek az alapállapotból egynél több kvázirészecske gerjesztésével érhetők el (1. 8.§): ezen állapotok energiakülönbségét impulzusaik különbsége nem határozza meg egyértelműen.

Hangsúlyozzuk, hogy véges hőmérsékleten a kvázirészecskék élettartamát nem pusztán önnön stabilitásuk befolyásolja, hanem egymás közti ütközéseik is. Az e két forrásból származó csillapításnak egyformán gyengének kell lennie ahhoz, hogy a kvázirészecskék fogalma értelmes legyen.

p) = rp1 (36,23)ró—p2j2m+ jx

érvényes.

12*

37. §. A hőmérsékleti Green-függvények

A véges hőmérsékletű Green-függvények perturbativ kiszámítására való diagram- technikát a heisenbergi ^.'-operátorokról a kölcsönhatási reprezentációra áttérve vezethetnénk le, ahogy azt a 12. §-ban tettük. Az eljárás során olyan kifejezésre jutnánk, amely (12,12)-től csak annyiban különbözik, hogy az átlagolást nem az alapállapotban végezzük. Ez azonban igen lényeges eltérés: az S " 1 operátor átlagolása már nem választható el a többi tényező átlagolásától azzal ellentétben, ami a (12,12)-ről (12,14)- hez vezető lépések során történt. A helyzet az, hogy az alapállapottól különböző állapotok hatására nem önmagukba mennek át, hanem az azonos energiájú gerjesztett állapotok valamely szuperpozíciójába (a lehetőségek magukba foglalják a kvázirészecskék minden lehetséges szórási folyamatának végállapotait is). Ez a körülmény a diagramtechnika lényeges bonyolódásához vezet, olyan párosítások is fellépnek, melyekben az ^ -1-ben szereplő ^-operátorok is részt vesznek.

A Green-függvények definíciója azonban oly módon változtatható meg, hogy e bonyodalmak ne forduljanak elő. Az e módosított definícióra épülő matematikai eljárás, amelyet T. Matsiibara dolgozott ki (1955), különösen alkalmas makroszkopikus rendszerek termodinamikai mennyiségeinek kiszámítására.

Vezessük le az ún. Matsukara-reprezentációbeli ^-operátorokat a következő definíció szerint :s

r) = erlí' %{r)

^ ( r , r) -= er**' y>+(r)

ahol x valós segédváltozó. Ezek az operátorok formálisan abban különböznek a Heisenberg-operátoroktól, hogy a t valós időparaméter helyett az imaginárius —h ~t alkalmazzuk.0 Hasonló helyettesítéssel — *PM, — i//M, id/dt — — d/dr) a (7,8) összefüggésből olyan egyenleteket kapunk, melyeket a (37,1) operátorok kielégítenek. Ezekkel az operátorokkal az új ^Green-függvényt úgy definiáljuk, ahogyan <?-t a heisenbergi ^-operátorokkal előállítottuk:

rí; T->, r 2) = tx) ^ ( r - . , r»)>, (37,2)

8 Ebben a szakaszban a Fermi- és Bose-rendszerekre egyidejűleg írjuk fel a képleteket (Bose- rendszerre a A-pont felett). Ha előjeleltérés lép fel, az alsó előjel vonatkozik a Bose-rendszerre, a felső a Fermi-rendszerre. Ezenkívül Bose-rendszerekre a spinindexek természetesen elhagyandók.

* Hangsúlyozzuk, hogy ezen eltérés miatt a operátorok nem egyeznek meg ' -tel.

ahol a Tr szimbólum „r-rendezést” jelöl, azaz az operátorokat növekvő z argumentumuk szerint kell rendezni jobbról balra (az operátorok felcserélése Fei mi-rendszerekre előjelváltásokat eredményez); a < . . . ) jel Gibbs-sokaság szerinti átlagolást jelent. Ez utóbbit expliciten úgy fejezzük ki, hogy (37,2)-í a

<£»/> = - Sp {tí' Tt^ f ( T l5 n ) r2)}, vv = exp j (37,3)

alakban írjuk fel; itt Sp az összes diagonális mátrixelem összegét jelenti. Az így definiált Green-függvényt hőmérsékleti Green-függvénynek hívjuk a „közönséges” <?-tŐl való megkülönböztetésül, melyet e környezetben szokás időbeli Green-függvénynek nevezni.

Csakúgy, mint a G ^ függvény 0 . ^ is skalárra redukálódik nem ferromágneses rendszerben, külső tér hiányában: Térben homogén rendszerre r* és r2függése csak a különbségen keresztül jelenhet meg: r = r j—r2.

Könnyű azt látni, hogy már a (37,3) definíció szerint sem függhet mástól, mint a x = r1—t 2 különbségtől. Legyen például «= r 2, ekkor7

Sp

avagy a Sp jele alatt ciklikus permutálást végezve,

# = ± - i /r Sp {^-(Vr+I)# y K+(r2) er# ív{r])}, t < o, (37,4)

amiből a fenti állítás nyilvánvaló.A r változó valójában csak véges tartományban változhat,

- 1 / T S i S l / T . (37,5)

Ekkor ^ ( t ) értékei t 0 és r > 0 esetén egyszerű kapcsolatban állnak egymással.* = r2 > 0-ra (37,4) levezetéséhez hasonlóan kapjuk, hogy

^ e°/r Sp {e-<Vr- 0 «' ^ ( r i) y +(rs)} =

= - ~ y eO/J- Sp {é-1*' v+(r») í - o / r - . ) * ^ (f,)} , t > 0,

37. §. A HŐMÉRSÉKLETI GREEN-FÜGGVÉNYEK 181

7 A zárójelbe tett (2) nevező Fermi-rendszerekre vonatkozik, Bose-rendszerek esetén egységgel helyettesítendő.

amit (37,4)-gyel összehasonlítva,

■@(r) = T & ( r + Y ) ’ z ^ ° <37>6>

[(37,5) miatt a jobb oldali függvény argumentuma t •< O-ra pozitív].Fejtsük most a # (x , r) függvényt a koordináták és a x paraméter szerint egyaránt

Fourier-sorba [a (37,5) intervallumban]:8

# ( r , r) - T J 0 X U P) (~ r • (37,7)

ahol Fermi-rendszerekie

Cs = (2s+I)ji7 ', (37,8a)

Bose-rendszerekre:Cs = 2 snT (37,8b)

( í = 0, ± I, ± 2 , . . . ) ; c választással a (37,6) feltétel automatikusan teljesül. A (37,7) képlet inverze

1/T0(CS, p) = j J í’" í(pr~f‘t) $ ( r , r) dAx (k (37,9)

o

alakú [a — 1 jT S t = 1 /r intervallumbeli integrált (37,6) cs (37,8) figyelembevételével a (0, 1 jT) intervallumra vonatkozó integrállá alakítottuk].

A 36,§-ban elvégzett számításokhoz hasonló módon 0{CS, p) kifejezhető' Schrödin- ger-képbeli f-operátorok mátrixelcmeivel. A következő eredményt kapjuk:


P) = ~ ~ I m-„ - - # £77k^ (1 ± e - ^ ) . (37,10)

Ebből először is látjuk, hogy

£ ( - í„ p ) ~ - 0 * ( í„ p ) . (37,11)

Továbbá (37,I0)-et (36,6) és (36,20) kifejtéseivel összehasonlítva, az adódik, hogy

£ (£ * p) = GR(iU P), C, > 0. (37,12)

’ Ezt az eljárást ,4. /í. Abrikoszov, L. P. Gorkov, I. E. Dzjahsinszkij, illetve E. Sz. Fradkin vezették be 1959-ben.

A >■ 0 megkötés azért lép fel, mert a (36,6) és (36,20) kifejezések közvetlenül csak az «> komplex sík felső félsíkjában érvényesek, ahogy ezt a 36. §-ban kifejtettük. így Fourier-komponensekben fogalmazva, a hőmérsékleti Green-függvény megegyezik az a> sík képzetes tengelyének diszkrét pontjaiban vett retardált Green-függvénnyel.® Ez speciálisan lehetővé teszi, hogy azonnal felírjuk az ideális gáz hőmérsékleti Green- függvényét: co — /£, helyettesítéssel (36,17)-ből azt kapjuk, hogy

A 0{CS, p) függvény kiszámolásakor használt diagramszabályokat a következő szakaszban mutatjuk be. A GR(a>, p) függvény (és ezzel a rendszer energiaspektrumának) meghatározásához azt a függvényt kell megadni, amely azci) = i£s pontokban megegyezik -^(Ci, p)-vel, és aminek a felső félsíkban nincs szingularitása. Ezaz eljárás egyértelművé tehető, ha kiegészítőleg megköveteljük, hogy GR(w, p) — 0, ha [w|[1. (36,11)]. Az analitikus folytatás végrehajtása azonban konkrét esetekben meghatározott nehézségekbe ütközhet. Explicit elvégzésére viszont a termodinamikai mennyiségek kiszámításakor nincs is szükség.

így például az Ü termodinamikai potenciál kiszámítására kiindulhatunk a Gibbs- sokaságra átlagolt sűrűségmátrixból:

[ez az összefüggés nyilvánvaló a (37,2) definícióból, vö. (7,17)]. Az a. = /? indexekre összegezve és feltéve, hogy r2 = r1? a rendszer sűiűségére

adódik. Ez megadja N-et mint /x, T, V függvényét, amiből Q(ji, T, V) az N = — dűjdfi egyenlőség integrálásával meghatározható.

(37,13)

iV M ru *i) rí; r i+ 0 , r2) (37,14)

(37,15)

* Analóg módon

m . . P) = Q- 4(£ .. P), f . < 0. (37,12a)

38. §. Diagramtechnika a hőmérsékleti Green-függvények kiszámítására

A hőmérsékleti Green-függvények kiszámítására vonatkozó gráfszabályokat ugyanúgy építhetjük ki, mint tettük a G időbeli függvény esetében a 12. és 13. §-ban. Az a tény, hogy a (37,l)-ben szereplő Matsubara-reprezentációbeli ^-operátorok a heisenbergiektől csak a formális it — r helyettesítésben térnek el, lehetővé teszi, hogy nagymértékben támaszkodjunk a közvetlen megfeleltetésre.

Először is írjuk fel a Matsubara-operátorokat a „kölcsönhatási reprezentációban”, ami (37,l)-től abban különbözik, hogy a pontos f i ' Hamilton-operátort a szabad részecskék Ha operátorára cseréljük:

?yo"(r, r) = exp (rf i ’0) %(r) exp ( - x f i ‘0). (38,1)

A és operátorok közti kapcsolatot a Matsubara-féle S-mátrix segítségével fejezhetjük ki, melyet ( 12,8)-cal összhangban a

cr(r-2, t i ) = Tt exp | — J ^o(t) </r| (38,2)

összefüggés ad meg, ahol

^o(t) = exp (r/?ó) P exp ( - r H'0) (38,3)

a kölcsönhatás operátora ebben a reprezentációban. A 12. §-ban azonban a XP és közötti kapcsolatot azzal a kezdeti feltétellel rögzítettük, hogy a kölcsönhatást a t = —co pillanatban kapcsoljuk be. A jelen esetben a „kezdeti” feltétel szeiepét az a követelmény játssza, mely szerint XP M és egybe kell, hogy essenek, ha x ~ 0. Ennek megfelelően (12,11) helyett írhatjuk, hogy

= ö ~ \x , 0) xPg(r) ó(r, 0). (38,4)

Helyettesítsük be ezt a kifejezést a Green-függvény (37,3) definíciójába, és a határozottság kedvéért legyen =- x2. Ekkor

^ ( * i> *2) = - Sp {iw -l(t! ,0) ^ ( r j ) <7(Tj, 0) á ~ \x 2, 0) í% (r s) á(x2, 0)}

(ahol az r1( r2 változókat a rövidség kedvéért nem írtuk ki). Észrevéve, hogy a T i > r 2 > t 3 esetben fennállnak a

6(ri, t 3) = ó(tu r 2) á(xo, xs),&{r2, T i ) o~l(x3, t i ) = á{x2, t 3)

összefüggések, a fenti alak átírható a

*2) = - Sp jvítf- 1 , o j |ff , T i j ő(rh r>) # ^ ( r 2) ó(r2, 0 ) j J

képletbe. A szögletes zárójelbeli tényezők jobbról balra ( t szerint) növekvő sorrendben helyezkednek el. Ezért írhatjuk, hogy

&i>{t 1, r 2) = - Sp {w -H T r^ ( f i ) % r 2) 0]}, (38,5)ahol

Könnyen igazolható, hogy a kifejezésnek ez az alakja t x < r 2-re is igaz.(12,12)-vel ellentétben (38,5)-ben egy többlet (Gibbs-) tényező is jelen van, emellett

a kölcsönható részecskerendszer állapotaira átlagolunk. Megmutatjuk, hogy ezek az eltérések „megeszik” egymást, melynek következtében a (12,14) eredménnyel teljes az analógia. Ehhez felhasználjuk az

e~r*i' = £ - r«o á(r, ü) (38,6)

képletet, amelyet (38,l)-nek (38,4)-be való helyettesítésével kapunk, ha a kapott kifejezést összehasonlítjuk (37,1) definíciójával. Segítségével (38,5)-ben felhasznál- ható, hogy

e- f r / r a - i Q . f oJ = r A r .

Az ea/T tényezőt az Sp jel elé visszük, a számlálóból a nevezőbe léve és az

e~°/T = Sp e~tí’>T = Sp e -X r * ( y • o)

előállításban felírva. Végül a számlálót és nevezőt egyaránt megszorozzuk exp (QJT)- vel (ahol Ü0 az ideális gáz termodinamikai potenciálja, azonos (x, V, T mellett). Ekkor a

# * ( t i , **) = - t J t ( T ^ ( n ) n ' ^ 2) 5)0 (38,7)Wo

kifejezést nyerjük, ahol az átlagolást a nem kölcsönható részecskék rendszerén végezzük:

{ .. .)o = Sp {tv0- • •}•

Ez az eredmény nyilvánvalóan analóg (12,4)-gyel.

38. §. DIAGRAMTECHNIKA A HŐMÉRSÉKLETI GREEN-FÜGGVÉNYEKRE 185

186 ÍV. FEJEZET. GREEN-FÜGGVÉNYEK VÉGES HŐMÉRSÉKLETEN

A perturbációszámítás diagramjaira ugyanúgy térünk át, mint a 13.§-ban: kifejtjük a (38,7) kifejezést P0(t) hatványai szerint. Olyan rendszerre, amelyben csak párkölcsönhatás van, ez az operátor csak abban különbözik (13,2)-től,hogy a * 0, í f f Heisen-

rok szorzatának várható értékét újra a Wick-tctel alapján bontjuk fel (azaz elvégezzük az operátorok összes lehetséges párosítását). E tétel érvényessége a termodinamikai limeszben azonos megfontolásokkal látható be, mini a 13. §-ban.

Az így levezetett gráfszabályok hasonlók a 13.§-ban T = 0 hőmérsékletre levezetet- tekhez. Grafikus ábrázolásuk azonos marad. A diagramok és az analitikus kifejezések közti megfeleltetés kissé megváltozik.

Koordinátaieprezentációban minden, a 2 ponttól az 1 pont felé haladó folytonos vonalnak a — rx; r 8, r8) tényezőt feleltetjük meg (negatív előjel!). Minden, az1 és 2 pontot összekötő szaggatott vonalhoz a —U(T1—ti)ő (rl—r2) tényezőt rendel

jük hozzá. A belső pontokat jellemző összes x, r változóra integrálunk, cPx szerint a teljes térre, dx szerint 0 és l/T között.

Az impulzusreprezentációra való áttéréshez minden ^ <0,-függvényt (37,7) alakban kell kifejteni. Az összes belső r változóra való integrálás után a diagram minden csúcspontjában megjelenik egy, az impulzus megmaradását biztosító Ó-függvény (JEp = 0). Ezenkívül a csúcsok mindegyikében fellép egy

alakú integrál is. Ez az integrál, figyelembe véve (37,8)-at, csak akkor különbözik nullától, ha £CS = 0; ekkor érléke 1. Tehát minden vertexben érvényesül a diszkrét frekvenciák megmaradása. Minden folytonos vonalhoz m osta — p) tényezőtrendeljük hozzá [az önmagában záruló folytonos vonalnak most is h(0)(/í, T), az ideális gáz adott ji, T értékekhez tartozó sűrűsége felel meg]. Minden szaggatott vonallal— C/(q) tényezőt társítunk. Minden impulzusra és frekvenciára, amely az összes csúcsbeli megmaradási tétel után is határozatlan marad, integrálunk, és összegezünk a következő mérték szerint:

Valamely diagram í^ - b a adott járulékának együtthatója Fermi-rendszerre (— !)*•, ahol L a zárt folytonos vonalak, a hurkok száma a diagramban. Bose-rendszerekre mindig pozitív az előjel.

Nyilván ebben a technikában is lehetőség nyílik (csakúgy, mint a r = 0 hőmérsékleten) bizonyos részleges összegezések elvégzésére és ezek révén „blokkok” bevezeté

bergi-operátorokat a XV M Matsubara-operátorokkal helyettesítjük. A ?/>-operáto-

i/rT J exp { - ix{Cs,+ + í„)} dt

0

38. §. DIAGRAMTECHNIKA A HŐMÉRSÉKLETI GREEN-FÜGGVÉNYEKRE 187

sére. Például meghatározható az a csúcsrész, amelyet a kétrészecskés Green-függvény- nyel kifejezhetünk. Ezt a csúcsrészt a -^-függvénnyel a (15,14)-gyel analóg Dyson- egyenlet köti össze. E képleteket nem írjuk fel, minthogy levezetésük teljesen követi a T = O-ra érvényes eljárást.

T = O-ra való áttéréskor a Matsubara-diagramok s összegei £-ra vett integrálokká változnak, és a Matsubara-technika a II. fejezetben bemutatotthoz nagyon hasonló eljárássá alakul. Eltérés van azonban abban, hogy valós £-ra a Matsubara-függvények Gr ~nek és GÁ-nak a megfelelő képzetes féltengelyen felvett értékeit adják [1. (37,11)—(37,12)]. A szokásos zérus hőmérsékleti technikához úgy jutunk el, hogy az integrálási görbét addig forgatjuk, míg az a valós m tengellyel egybe nem esik.

V . F E J E Z E T

A S Z U P R A V E Z E T É S

39. §. A szuperfolyékony Fermi-gáz.Az energiaspektrum

Az I. fejezetben bemutatott egész Landau-elmélet a Fermi-folyadékoknak csak egyik típusát írja le, azokat, amelyeknek energiaspektruma nem vezet a szupei folyékonyság jelenségére. Ez a kvantumos Feimi-folyadékoknak azonban nem az egyetlen lehetséges típusa, és most egy másfajta spektrumú Fei mi-rendszer tanulmányozására térünk át. Az energiaspektrumok e típusának eredete és alapvető tulajdonságai a legszemléletesebben egy tisztán elméleti tárgyalást megengedő, egyszerű modellen mutathatók be, az elfajult, majdnem ideális Feimi-gázon, melynek részecskéi között vonzóerő hat.1

Az enyhén nemideális Fermi-gázt taszító kölcsönhatással a 6. §-ban tárgyaltuk. Első ránézésre az olt elvégzett számítások ugyanúgy érvényesek a vonzás és taszítás, azaz a negatív, illetve pozitív a szórási hossz esetére. Valójában vonzás esetén (a ■< 0) az ott tárgyalt módon megtalálható alapállapot instabilnak bizonyul egy bizonyos átrendeződéssel szemben, amely az alapállapot jellegét megváltoztatja, energiáját csökkenti.

Az instabilitás fizikai természetét az jellemzi, hogy a részecskék „párosodásra hajlamosak” : kötött részecskepárok keletkeznek, melyek tagjai (a p-téiben) a Fermi- felület közelében találhatók, és azonos nagyságú, de ellentétes irányú impulzusuk, valamint ellentétes spinjük van; ez az ún. Cooper-effektus (L. N. Cooper, 1957). Figyelemre mélió, hogy ez a hatás már a részecskék közötti tetszőlegesen gyenge vonzó kölcsönhatás esetén is fellép.

Éppen e jelenség miatt a taszító kölcsönhatású Fermi-gáz leírásában használt operátorrendszer, mely a gáz különálló részeinek szabad állapotait tudja le-

1 Ez a szupravezetés alapfeladata, melyet J. Bardeen, L. N. Cooper és J. R. Schrieffer dolgozott ki 1957-ben. Az itt bemutatásra kerülő megoldást N. N. Bogotjubov adta (1958).

írni, nem alkalmas a perturbációszámítás kiinduló közelítésének jellemzésére.2 Ezek helyett új operátorokat vezetünk be, az előbbiek lineáris kombinációjaként:

= upáp_-\-vpá+ +, p (39,1)4- p.í. ” —p, —,

amelyek az ellenkező spinű és impulzusú részecskék operátorait kötik össze (a -f és- alsó indexek a spinvetület két értékére utalnak). A gáz izotropiája miatt az up, vp együtthatók csak a p impulzus abszolút értékétől függhetnek. Ahhoz, hogy a7. új operátorok kvázirészecskéket keltsenek és tüntessenek el, ugyanazt a Fermi-féle felesei élési szabályt kell kielégíteniük, mint a regi operátoroknak:

= 1, (3 9 ,2 )

az összes többi párosítás viszont antikommutál (az a index a spinvetület két irányát sorszámozza). Ennek teljesüléséhez a transzformációs együtthatók az

4+ 4= -- 1 (39,3)

feltételt elégítik ki (up és vp valóssá lehető a fázisszorzó megfelelő választásával). Ekkor a (39,1) transzformáció inverzének alakja a következő:

á P + = U p K + + V p b ± P(

H-*

Hasonló okokból (mivel az ellentétes impulzusú és spinvetületű részecskék közti kölcsönhatás az alapvető) a (6,7) Hamilton-operátor második összegében csak azokat a tagokat hagyjuk meg, amelyekre Pi = — p2 = p, pí = — pá s p':

H = 2 & + «ÍP,-á -p ,-áp+, (39,5)pa ' pp'

ahol újra bevezettük a g = 4jz62 j a \jm „csatolási állandót” (a szórási hossz a -= 0) A további számításokban itt is célszerű megszabadulni a rendszer részecskeszáma

állandóságának megkötésétől: új Hamilton-operátorként a i? ' = 6 — operátort vezetjük be, ahol

N = Z ^ P5

39. §. A SZUPERFOLYÉKONY FERMI-GÁZ. AZ ENERGIASPEKTRUM 189

s A perturbációszámítás (a 6. §-ban használt formájának) alkalmazhatatlanságára utal a ±1 /2 spinvetületú, p2 =» - p j impulzusú részecskepárok esetében az, hogy ha ű = ír, akkor a kvázirészecskék (6,16) kölcsönhatási függvénye szinguláris. Ez a szingularitás csak antiparalel spinekre jelentkezik, araikor a a ,o 2 operátor sajátértéke - 3 .

a részecskeszám operátora; a n kémiai potenciált elvben utólag, az N átlagérték megadásával határozzák meg.

Bevezetjük az

^ = (39,6)

jelölést. Minthogy ji pFj2m, így a Fermi-felület közelében

Vp - V fip -pF ), (39,7)

ahol vF = Pfjm. (39,5)-böl levonva jui^-et, a kiindulási Hamilton-operáiort a

Ü ' = £ V p V ' p , - áp'+á±p',-á^p-áv+ (39,8)P * ' PB'

alakban írhatjuk fel.Végezzük el ezen az operátoron a (39,4) transzformációt. Felhasználva u (39,2)—

(39,3) képleteket és az összegezés! indexet p-ről — p-rc átjelölve,

H' = 2XÍ?X+ 'LVpírf-vfiiK±K+ + h+-hp-) +P P

+ 2 1 w A ++£±»,- + £ Z (39,9)p r pp'ahol

Bp = ujh_t,_bp+-vlb++htp,_ + upvp(h_„k_ b tpi_ - b ^ +hp+).

Az up, vp együtthatókat a rendszer £ energiáját adott entrópia mellett minimalizálva választjuk. Az entrópiát a következő kombinatorikus kifejezés adja meg:

s ~ - £ K * , n « p * + ( 1 - f , i « ) , n ( 1 “ ' v ) l -p*

Ezért a mondott feltétellel az energiát valójában rögzített »tx betöltési szám mellett minimalizáljuk.

A (39,9) Hamilton-operátor diauonális mátrixelemei csak a

pa p* 1 pa

szorzatokat tartalmazzák. Kzért

E = 2 E %vt + £ Vp(>4~ »>)(«p !• + "p-) - -p- [E «P1>(! - "p + - »p-)]2- (39,10)

190 V. FEJEZET. A SZUPRAVEZETÉS

Ezt a kifejezést az up paraméterekben variálva [a (39,3) megkötés figyelembevételével], minimumfeltételeként


ŐE 2öu„ ~ t> p+ "p- = 0

adódik, amiből a2 W f = /í(«? ~ $ (39,11 >

egyenletet kapjuk, ahol

= - f I V ’í>( 1 - »p+ - »p-)- (39,12)K P

(39,1 l)-ből cs (39,3)-ból up-1 és ?yt rjp és A segítségével kifejezzük:

1K( x±-mé- W3)E kifejezéseket (39,12)-be helyettesítve, a A~\ meghatározó egyenletre jutunk:

S y I Mp+ !,p— _|

2V p YA2+ifp

Egyensúlyban a kvázirészecskék betöltési számait a spin iránya nem befolyásolja, azokat a (zérus kémiai potenciálú) Fermi-eloszlás határozza meg (1. az I. fejezet 7. lábjegyzetét) :

«p+ = »p_ = »P - [e'/r4 -1]"1. (39,14)

A p-térben az összegezésről integrálásra áttérve, a (39,14) egyenletet

f r <pp _ j (39>, 5)2 J f i" Hg (2Í>’

alakra hozhatjuk.Most rátérünk a kapott összefüggések elemzésére. Látni fogjuk, hogy A alapvető

szerepet kap a szupravezető típusú spektrumok elméletében. Először T = 0 esetére számítsuk ki értékét (melyet /l0-val jelölünk).

Ha T = 0, akkor a kvázirészecskék hiányoznak az alapállapotból, azaz np = 0, és a (39,15) egyenlet a

4nplJP = l (39,16)F Í2(2 n h f J U l+ ^ p

egyenlőségbe megy át. Elsőként azt jegyezzük meg, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása /l0-ra, ha g < 0, azaz taszítás esetében (az egyenlet két oldalának előjele triviálisan különbözne).

A (39,16) integrálba a fő járulékot az az impulzustartomány adja, melyre 4 > « <sc vF | pF—p ] « vFpF ~ p, és az integrál logaritmikus viselkedésű (4 > kicsinységét /i-höz képest az ennek feltevésével adódó végeredmény igazolja). A logaritmikus integrált valamely rj = e. ~ fi értéknél levágva,3 azt kapjuk, hogy

f P2<1P________ Pf f _____ <h_J W + vUpf- p)2}112 % J ( 4 5 + t f )»'* vF A,

Ezért

2n°-P /.10

amiből

In 4 = 1 , (39,17)

A„ = e exp ( - ) = é exp ( - ) (39,18)\ g m p F ) \ 2p t | a | J

következik. Ezt a kifejezést a

A0 = I exp ( - 2/gvp) (39,19)

alakban is írhatjuk, ahol vF = mpp/nV^ a részecskék energiakvantumszám szerinti állapotsűrűsége a Fermi-felületen (vele a de intervallumba eső állapotok száma).

A legérdekesebb számunkra a rendszer energiaspektrumának alakja: az elemi gerjesztések fp+ = ep_ = e(p) energiája. Ezt úgy számítjuk ki, hogy megnézzük a teljes rendszer energiaváltozását a kvázirészecskék betöltési számának változásakor. Ehhez a (39,10) szerint számított E-1 npx szerint variáljuk. Minthogy up és vp értékét az E energia e paraméterek szerinti minimalizálásával már rögzítettük, így hP5! szerinti variálását állandó up, vp esetére kell elvégezni. Ekkor

bE

- ( £ L -3P » í f - re tf9 ~ p", és a (39,16) integrál a fenti alakjában /) szerint (lineárisan) divergens.

Ez a divergencia azonban látszólagos; a g csatolási állandó (az a szórási hossz) és a kölcsönhatási potenciál közötti kapcsolat renormálásával ugyanúgy szüntethető meg, mint azt a 6. és 25. §-okban tettük. Ennek az elég bonyolult eljárásnak következetes megvalósításával az é levágási paraméter és a fi kémiai potenciál közötti arányossági tényező is megadható: s = (2/e)^s /t = 0,49// [I. L. P. Gorkov, T. K. Melik-Barhuctarov, ZSETF 40 (1961) 1452],

A deriválást (39,11)— (39,13) felhasználásával végezzük el, és egyszerű eredményt kapunk:

4 p ) = f/P + tg . (39,20)

Látjuk, hogy a kvázirészecske energiája nem lehet kisebb -d-nál, melyet p ~ pF esetén ér el. Más szavakkal, a gerjesztett állapotokat energiarés választja el az alapállapottól. Minthogy feles spinűek, a kvázirészecskék párosával fordulnak elő. Ezért mondható, hogy az energiarés nagysága 2/1. Figyeljünk fel e mennyiség exponenciális kicsinységére: minthogy pF \a\jfi<g. 1, ezért A0 exponenciálisan kicsiny /u-höz képest. Azt is megjegyezzük, hogy (39,18) nem fejthető ki a g kis mennyiség szerint; ez ugyanis az exponens nevezőjében van, így a g = 0 pont a Z)0(g) függvény lényeges szingularitási pontja.

A (39,20) spektrum kielégíti a szupeifolyékonyságra a 23. §-ban adott kritériumokat: ejp minimális értéke nem nulla. így a vonzó kölcsönhatású Fermi-gáznak szuper- folyékonyságot kell mutatnia.

r

Az 5. ábrán összehasonlítjuk a kvázirészecskék diszperzióját szuperfolyékony (felső görbe) és normális Fermi-rendszerekben. Az utóbbiban (az 1. § végén adott elemzésnek megfelelően) ezt az összefüggést e = vF\ p —pF\ két félegyenese ábrázolja.

A A rés értéke függ a hőmérséklettől, azaz a spektrum alakja függ a kvázirészecskék statisztikus eloszlásától; ez a helyzet hasonló a normál típusú Fermi-folyadéknál tapasztalthoz. Minthogy a hőmérséklet növekedtével a kvázirészecskék betöltési szá

* Jegyezzük meg azonban, hogy a Landau-feltétel jelentése eltérő a Bőse- és a Fermi-rendszerek esetében, Bose-spektrum esetén a feltétel megsértése a gerjesztések korlátlan növekedéséhez vezetne és nem lenne lehetséges a normál résznek a szuperfolyékony részhez viszonyított egyensúlyi mozgása. (Ezt mutatja az a tény, hogy a Bose-eloszlásfüggvény ekkor negatív; lásd a 23. § első lábjegyzetét.) Ezzel szemben a Fermi-gerjesztések korlátlan növekedését meggátolja a Pauli-elv. Egy, a Landau- feltételt megsértő Fermi-ág jelenléte nem feltétlenül vonja maga után a szuperfolyékonyság megszüntetését, csak azt, hogy T = 0-n is lesz normál rész. {A fordító.)

13 Statisztikus űzi ka 2, rész


mai is nőnek ( 1-hez tartanak), így már a (39,15) egyenletből világos, hogy A ilyenkor csökken, és valamely véges Tc hőmérsékleten zérussá válik: a rendszer ezzel szuperfolyékony állapotból normális állapotba megy át. Ez a pont másodfajú fázisátalakulást jelöl (a szuperfolyékony Fermi-folyadék /.-átalakulásához hasonló átalakulás következik be).

Az elfajult Fermi-gáz spektrumában megjelenő energiarés a már említett „pároso- dás” jelenségének kifejeződése. A 2A mennyiség a Cooper-pár kötési energiájának tekinthető, melyet a pár felszakítására kell fordítani.

A (39,5) Hamilton operátor (mint azt már a 6. §-ban megjegyeztük) csak azon részecskepárok közötti kölcsönhatást veszi figyelembe, melyek szingulett j-állapotban vannak: a relatív mozgás pályamomentuma zérus, spinjeik antiparalel állnak. Minthogy teljes spinjük zérus, a párok Bose-objektumokként viselkednek és véges számban helyezkedhetnek el (a pár mint egész mozgása szempontjából) a legalacsonyabb energiájú szinten, amelynek teljes impulzusa nulla. Ebben a szemléletes tárgyalásban ezt a jelenséget teljesen hasonlónak vehetjük ahhoz, ahogy a Bose-gázban a részecskék a zérus energiájú állapotban halmozódnak fel (Bőse—Einstein kondenzáció); a jelen esetben a kondenzátumot a párosított részecskék sokasága alkotja.

A kötött párokra vonatkozó elképzelést, természetesen nem kell szó szerint venni. Pontosabb korreláltságról beszélni a részecskepárok állapotai között a p-térben, amely arra vezet, hogy a zérus eredő impulzusú párok jelenlétének valószínűsége véges. Az impulzusok szórása a korreláció tartományában A nagyságrendű energiának felel meg, tehát öp ~ AjvF. Az ennek megfelelő £ hjöp ~ hvFjA hosszúság határozza meg a korrelált impulzusu részecskék közötti távolságot. Ha T — 0, ez a hossz (melyet koherenciahossznak hívnak)

Minthogy az elfajult Fermi-gázban fí/pF nagyságrendileg az atomi távolsággal egyezik meg, így világos, hogy ahhoz képest | 0 igen nagy. Ez a körülmény különösen szemléletesen mutat rá, hogy kötött párokról kissé túlzás beszélni.

A Cooper-eífektus eredete szorosan kapcsolódik a Fermi-felülei létéhez, amely (a p-térben) határt szab a (T = 0-nál) betöltött állapotoknak. Itt az a fontos, hogy az energiaváltozóbeli állapotsűrűség ezen a felületen nem zérus. Ez a kapcsolat jelenik meg a (39,19) képletben, amely Zl„-ra olyan kifejezést ad, ami vF -*■ 0 esetén zérussá válik.

40.§. TERMODINAMIKAI TULAJDONSÁGOK 195

40. §. A szuperfolyékony Fermi-gáz. Termodinamikai tulajdonságok

A szuperfolyékony Fermi-gáz termodinamikai tulajdonságainak tanulmányozását kezdjük az energiarés hőmérsékletfüggésével. (39,15)-öt a

_ i + £ f ^ _ .^ 2 J e(2nhf h J e(2nfif

alakba írva észrevehetjük, hogy a bal oldalon az integrál a T — 0 helyen érvényes alaktól csak annyiban tér el, hogy A fordul elő benne A0 helyett. Ezérí (39,17) figyelembevételével azt kapjuk, hogy a bal oldal ((gp].m)/(2ítW)) In A J A. A jobb oldalon(39,14)-ből behelyettesítjük «p-t, és áttérünk a dp = drjlvF szcrinli integrálásra:

,n "A ~ { 7 ( V > + 1 ) ~ 21 ( T ) ’ (4<),I)— oo

ahol

„) = fJ }'x2 + »2 (exp + «a -t 1)

(az integrál gyors konvergenciája miatt az integrálási határok ± w-ig kiicijeszthetők).Az alacsony hőmérsékletek tartományában (T«sc d0) a (40,l)-beli integrál kiszá

mítása egyszerű.4 Végeredményként

4 = A0 J l - (40,2)

adódik.Az átalakulási pont körüli tartományban -I kicsi, és az l(AjT) integrál kifejtésének

első latijai az,1,, tiT . 7C(3) ,P r4f)3.

v"Vi T r (40,3)

1 Nagy ii eceten az /(u) függvény J/« szerinti kifejtésének első tagja:

m * j 1; [-« '(> + 2 ) ] =

13*

egyenletei adják.5 Ebből először is az látszik, hogy A a

Tc = yAojn = 0,51 A» (40,4)

hőmérsékleten eltűnik; ez a hőmérséklet alacsony az elfajulási Tn ~ ft hőinérséklet- hez képest. Ezután (Tc- T)-ben első rendben


I = Tc

Most kiszámítjuk a gáz termodinamikai jellemzőit. Először vizsgáljuk az alacsony hőméisékletek határesetéi.

4 Az /(«) integrál kifejtése céljából az u — 0 határesetben hozzáadjuk és le is vonjuk belőle az

' - f i A - - ' - * 1 ) *2 J ( 1^*7^ v 2 }0

integrált. F:kkor / /, -i-/*, ahol

. . ' . f2 J \.v 2 K.v* + «J 2 /

/, integrandusának első tagja elemien integrálható, a másodikat pedig parciálisán integrálva, azt kapjuk, hogy

-i / > 11 1 f 1,1 -* <2 + 2 J eh* (x/2) '

Az itt megjelenő integrál ériéke 2 In(?r/2y) (ahol Íny - C = 0,577 az Euler-állandó), így 21, = In (n/yu).

Az integrál értéke w 0 esetén zérus. Az u- szerinti kifejtés első tagja:

'= --ÍJ *(>*)•0Ebbe behelyettesítve a

1,1 V 4 v S [ ■'s(2» -- I)'-!-*4] - 1

sort (levezetéséhez I. a 13. lábjegyzetet), azt kapjuk, hogy

dx u- . .. 7Í(3)*■ T s x m + w - 5 l . a .......

i

40.§. TERMODINAMIKAI TULAJDONSÁGOK 197

A fajhő kiszámítására ebben a tartományban célszerű a

öE = £ b(&íp+ + <5«p_) = 2 £ eön„P P

képletből kiindulni, ami a teljes energia megváltozását adja a kvázirészecskék számának megváltozásakor. Ezt őr-vel osztva és az összegezésről integrálásra áttérve, kapjuk a fajhőt:

C - y mpr rfh3

dnE ~dr

Ha T « A, a kvázirészecskék eloszlására n ^ e tiT, energiájukra pedig e 104- rf/2AQ érvényes; az integrálást elvégezve:

C = V e- *tiT (40 6 >^ y 7J3 l2 fp ’f » I S •

így T -» 0 esetén a fajhő exponenciálisan csökken, ami az energiarés közvetlen következménye.

A további számításokhoz célszerű az. ü termodinamikai potenciálból kiindulni, minthogy vizsgálatainkat a rendszer adott kémiai potenciálján (és nem adott részecskeszámon) végeztük.0 Használjuk fel a

( d Q \ _ / d ű \ .U A 7 r. ^ - \ 0 V ’ }

összefüggést, ahol A valamely, a rendszert jellemző paraméter [vö. V. (11,4), (15,^11)] Itt a g csatolási állandót választjuk e paraméternek; ez a (39,8) Hamilton-oper tor második tagjában jelenik meg. E tag várható értékét a (39,10) képlet utolsó tagja adja, amely (39,12) szerint — VA2/g ~ g. Ezért

_ VA* dg ~ g2

Ha g -* 0, a A energiarés is nullához tart. Ezért ezt az egyenletet g szerint integrálva 0-tól g-ig, a szuperfolyékony állapot és az ugyanazon a hőmérsékleten létező normál

* Ne tévesszük össze a gáz kémiai potenciálját a kvázirészecskék gázának kémiai potenciáljával (amely zérus)!


állapot (zJ = 0) termodinamikai potenciáljainak különbségét kapjuk:7

r a*Q ,-Q m = - V - p - dg. (40,8)

o

A kis módosításokra vonatkozó általános létei éneimében [1. V. (24,16)] a (40,8) korrekció — bár azt meghatározott változókban számítottuk — az összes termodinamikai potenciálra azonos.

Abszolút zérus hőmérsékleten A — /10, és (39,18) szerint

(40,8)-ban a g szerinti integrálásról a Aü szerintire áttérve, a szuperfolyékony és a normális rendszer alapállapotának különbségére a következő kifejezést kapjuk:

Ezen különbség negatív volta arra a — szakasz elején már említett — alapvető tulajdonságra emlékeztet, hogy a „normális” állapot instabil, ha a részecskék között vonzóerő hat. Az egy részecskére vonatkoztatott energiakülönbség ~ A2jfi.

Foglalkozzunk most az ellenkező határesettel, mikor T — Tc. A (40,3) egyenlőséget g szerint deriválva,

Az innen kifejezett dgjg2 hányadost helyettesítsük (40,8)-ba, amelyet most a szabad energiák különbségeként értelmezünk:

7 Itt utalnunk kell a tárgyalás kezdetén tett elhanyagolásokra. Ha g = 0, a (39,8) Hamilton- operátorban a részecskék között megszűnik a kölcsönhatás, ezért azt gondolhatnánk, hogy ideális Fermi-gázt kapunk, nem pedig „normális” nemideális gázt. Valójában a (39,8) Hamilton-operátorban már eleve olyan elhanyagolásokat tettünk, amely után nincs mód az energia abszolút nagyságának kiszámítására. Olyan kölcsönhatási tagokat hagytunk el (melyek a spektrum alakjának és az Q ,- Q„ különbség kiszámításának szempontjából lényegtelenek), amelyek az energiába nagy járulékot adnak a (40,8) exponenciálisan kicsiny mennyiséghez képest {ez éppen az a járulék, amely Ng-vci arányos és (6,13)-mal adható meg expliciten].

dAn _ 2?fifPAa (lg mpFg2

(40,9)

4jr27’2 ' An mpF g27C(3) _ dA0 __ 2n W dg

0

majd vcgül (40,5) felhasználásával

F--F- — y^ r ( '- £ ) ’• w«>

Ebből az entrópiák különbsége:

5 _ c -- r **pf Tc { T \* " 7f(3)A» \ TV/

A fajhó'k különbsége T -+■ Tc esetén véges:

C ,- C H = V , (40,11)

azaz ugrása van az átalakulási pontban (C, =- C J. A normálállapot fajhőjét (első közelítésben) az ideális gáz képlete adja meg [1. V. (58,6)]; ennekpF-fcl kifejezett alakja C„ = VmppTj'SfP. Ezért a fajhők hányadosa az átalakulási pontban:

^ÁTc) _12__ — 2 43 (40 12)Cn(Tc) 7f(3) + ( ,12)

Szuperfolyékonysága következtében a gázt úgy jellemezhetjük, hogy sűrűségét normális és szuperfolyékony részre osztjuk. A (23,6) képlet szerint a sűrűség normális része:

40. §. TERMODINAMIKAI TULAJDONSÁGOK 199

8tíOtt = -

f . d n p*F C dnj r J ^ * > - 1*7 J -%*>■3(2 n h f

A gáz teljes sűrűségét /7 -fel a

mN Ü7tjPFmn = V 3(2n h f

összefüggés köti össze. Ezért

= — 2 j* dr), (40,13)

0

Ezt az integrált nem kell külön kiszámolni, mivel visszavezethető a mái- ismert d(T) függvényre. A (40,1) egyenletet T szerint differenciálva és az így adódó integrált össze


hasonlítva (40,13)-mal, meggyőződhetünk arról, hogy

J(40,14)

Ebbe helyettesítve a (40,2) és (40,5) képleteket, azt kapjuk, hogy

r - 0 :— =o(40,15)

T - n : — = 20(40,16)

Végül a kapott képletek hőmérsékletfüggő érvényességi körére teszünk két megjegyzést.

A Tc átalakulási hőmérséklethez közelítve, fontossá válnak a kvázirészecskék kölcsönhatásával járó hatások (melyeket a bemutatott elmélet rögzít). Éppen ezek felelő

alakulások átmeneti pontját jellemzik. Elegendő közel e ponthoz a fent kapott képletek érvényüket vesztik. A kis paraméter (a g csatolási állandó) jelenléte miatt azonban ez csak Tc—T egészen kis értékeire következik be. E kérdés részletesebb tárgyalására a 45. §-ban kerül sor.

Amint a szuperfolyékony öose-folyadékban, a must vizsgált Fermi-gázban is (szöges ellentétben a 4. szakasz taszító Fér mi-gázával) terjedhet hítng (u ~ p rjm sebességgel, amit a szokásos módon a közeg összenyomhatósága határoz meg). Ez azt jelenti, hogy az itt vizsgált Fermi típusú gerjesztési spektrum mellett Bőse típusú fonongerjesztés is van jelen. A fononok okozta fajhő T^-nel arányos, együtthatója kicsiny. T — 0-ra végül ennek dominálnia kell a (40,6)-beli exponenciálisan csökkenő fajhővel szemben.

Rátérünk a Green-függvények matematikai módszerének kiépítésére a szuperfolyékony Fermi-rendszerekre való alkalmazásukban.8

sek a termodinamikai mennyiségek szingularitásaiért, melyek a másodfajú fázisát-

41. §. A szuperfolyékony Fermi-gáz Green-függvényei

8 Az ebben a szakaszban alkalmazott technikát L. P. Gorkov dolgozta ki 1958-ban.

A 26.§-ban láttuk, hogy a Bőse-Einstein kondenzáció a ^-operátorok nyelvén azt jelenti, hogy a részecskeszámban egységnyi különbségű állapotok között tp mátrixelemének határértéke N — » esetén nem zérus. E tulajdonság fizikai tartalma azy hogy egy részecske hozzáadása vagy elvétele nem változtatja meg a makroszkopikus rendszer állapotát.

Szupei folyékony Fermi-i endszer esetén ugyanez éivényes a Cooper-párokbólálló kondenzátumra: a rendszer állapota nem változhat attól, hogy a párok száma 1-gyel megváltozik. Matematikailag ez azt jelenti, hogy a xPp(X2) XP<S,X1) szorzat mátrixelemének határértéke (N -*• <=■=) véges. A szóban forgó operátor két részecskét tüntet el, hermitikus adjungáltja, P i( X x)P ^{X 2) egy részecskepárt kelt, és nyilván hasonló tulajdonságú az eredeti szorzattal. Ezek a máuixelemek a rendszer „azonos” állapotait kötik össze, melyek csak egyetlen részecskepár eltávolításában vagy hozzáadásában különböznek:

lim (m, N | W JX,) j m, N+2) =,v

= lim <»«, N+ 2 | lP+(Xi) % +(X2) | m, N y * ü. (41,1)A'

A továbbiakban a limész jelölését elhagyjuk, a rövidség kedvéé) t a diagonális m mátrix indexet is elhagyjuk, ez utóbbi a rendszer különböző részecskeszámú, de egyébként „azonos” állapotait számozza.

Csakúgy, mint a Bose-rendszereket (31 - §), a szuperfolyékony Fermi-rendszereket is több különböző függvénnyel jellemezhetjük a Green-függvények matematikai apparátusában. A megszokott

iG ^ X u X2) = (N | V P x(XO Pff(X-2) | N) (41,2)

Green-függvénnyel együtt szükség van még az ún. „anomális” függvényekre is, melyeket az

ÍF ^ X i, X2) = (N | T l t a i ) % {X2) | N+2), 3)

iF&X,, X2) = (N+ 2 | T P i iX,) 'P?(X2) | N)

egyenlőségek definiálnak. Minthogy F ^ és F ^ két egyforma operátorból ép t • , ezért

F A X i. x 2) = ~ FU X * *i)> ^ X*) = - *£<*» <4 1 ’4>

Emlékeztetünk arra, hogy a statisztika alapelvei szej int az átlagolás eredménye nem függ attól, hogy a zárt rendszer stacionárius állapotával vagy a Gibbs-eloszlással képezzük-e az átlagot. A különbség csak annyi, hogy az előbbi esetben az átlagolás eredményét az E energiával és az N részecskeszámmal fejezzük ki, az utóbbiban pedig

41.§. A SZUPERFOLYÉKONY FERMI-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYEI 20Í


J-vel és /t-vel. A téma további tárgyalásában alkalmasabb az első módszer használata.

A 39. §-ban tárgyalt Fej mi-gáz modell kötöU párjai szingulett állapotúak. E pár keltő vagy eltüntető operátorának mátrixelemeire a spinfüggést egyszerűen az antiszimmetrikus egységtenzor adja:

** = (_? i) (41’5>írjuk ezért a (41,3) függvényt az

F,f> = g,eF(Xu X2\ F $ = g*F+{X%, X2) (41,6)

alakban,9 ahol az F és F+ függvények (41,4) miatt A^-ben és A^-ben szimmetrikusak. A G"P Green-függvény spinfüggésct nemferromágneses esetben G ^ = alakban írhatjuk. Homogén, makroszkopikusan nyugvó rendszerben a G, Fés F+ Green-függ- vények csak a pontok koordinátáinak és az időpontoknak a különbségétől függenek (1. a III. fejezet 37. lábjegyzetét).

Ahhoz hasonlóan, ahogy a 26. §-ban bevezetett £ (X ) függvény a részecskék kon- denzátumbeli hullámfüggvényeként volt értelmezhető, úgy az iF(t, rx; t, r2) függvényt a Cooper-párok kondenzátumában elhelyezkedő részecskék hullámfüggvényének tekinthetjük. Ekkor a

S (X ) = iF{X, X ) (41,7)

függvény e pároknak mint egésznek mozgását leíró hullámfüggvény. A (41,3), (41,5) definíciókból könnyű belátni, hogy F+(X, A") = ia*(X). A stacionárius, makroszkopikusan nyugvó rendszerben —(A') állandó; a y-operálorok fázisának megfelelő megválasztásával ez az állandó valóssá tehető.

Számítsuk ki a Fermi-gáz modell így definiált Green-függvényeit, ha a részecskék között gyenge vonzóerő hat.

A Heisenberg-képbeli ^-operátor kielégíti a (7,8) egyenletet. A részecskék között ható erők kis hatássugaia miatt a vizsgált esetben az egyenlet integrált tartalmazó tagjában a ^P{t, r') tényező az r = r ' pontban kiszámolható, és így az kiemelhető az integráljel mögül. Ekkor az egyenlet alakja a következő:10

' - f f W - (41,8)

* L. a II. fejezet 5. lábjegyzetét. Míg Gap a spinszerkezete alapján vegyes kétindexes spinor, addigaz Fa0 és Fjp függvények rendre kontra- és kovariáns spinorok.

10 Mint már a 39. §-ban is, #-vel jelöljük a — U0 = — J u (Px állandóval egybeeső csatolási állandót. A Laplace-operátort a v ! szimbólummal jelöljük, hogy az energiarés A jelével ne téveszthessük ■össze. Ebben és a következő szakaszban h - 1.

Az egyenlet hermitikus adjungálásával P + egyenletére jutunk:

f i | í . = + 'P++g'P+'P+Py. (41,9)

A (41,8) kifejezést dG^jdt (9,5)-beli alakjába helyettesítve, a Green-függvényre

- ig ( N I T'P+{X) % {X ) P x(X) ' P n n IN ) - M <4)( ^ * ') (41,10)

adódik, [vö. (15,12)]. Az ebben megjelenő négy ^operátor szorzatának diagonális mátrixeleme a mátrixszorzás szabályai szerint szétírható két operátorpár mátrix- elemeinek szorzatösszegévé. Az összes ilyen szorzatokból csak azokat tartjuk meg, amelyek az N — N -f 2 részecskeszám-változással járó átmeneteket írják le, a többit elhagyjuk:

( N !T ^ + V y / W ' I N> -* <JV IT | N + 2)(N + 2 \ T 'P + 'P f ' | N ) == - F r,(X, X ) F&X, X ') = -Ő^F(O) F+(X—X ') (41,11)

[az utolsó átalakításban felhasználtuk a (41,6) kifejezéseket]. Fizikailag ez a tag a részecskék párosodását írja le, nagyságrendje a kondenzátum sűrűségével azonos.

Ki kell emelnünk azt az elvi eltérést, ami a fentiekben tett elhanyagolások és az enyhén nemideális Bose-gáz esetében felhasználtak között van. Bose-gázban T = 0-ra majdnem minden részecske kondenzált állapotban van, a kondenzátum „feletti” részecskék jelenléte csak a részecskék közötti kölcsönhatásnak köszönhető, és így számuk viszonylag kicsiny. Ezzel ellenkezőleg, a jelen esetben a kondenzátum megjelenése a részecskék közti gyenge kölcsönhatás eredménye, és így csak a részecske- szám kis hányadát tartalmazza. Más szavakkal, a (41,11) megváltoztatáskor az elhagyott tagok nem kicsik, hanem éppen nagyok a meghagyottakhoz képest. Az utóbbiak azonban minőségileg új hatást eredményeznek: megváltoztatják a spektrumot, az előbbiek viszont csak a bennünket itt nem érdeklő alapállapot-korrekciók kiszámításához érdekesek (vö. ezzel kapcsolatban a 7. lábjegyzettel).

A (41,11) változtatás után (41,10)

(í -qj + ^ + f * ) G {X)+ gSFH X) = bW(X) (41,12)

alakú [az X —X ' változót AT-szel jelöljük, az iF(0) állandó a (41,7) definícióval összhangban a 2 jelölést kapta]. Két ismeretlen függvény jelenik meg: G(X) és F +(Ar), ezért még egy egyenletre van szükségünk.

41. §. A SZUPERFOLYÉKONY FER.M1-GÁZ GREEN-FÜGGVÉNYEI 203

204 V. FEJEZET. A SZU PR A VEZETÉS

E zl Í17.

derivált kiszámításával kapjuk meg. Ebben ó-függvénnyel arányos tag [amely (9,5) második tagjához hasonlítana] nem jelenik meg, mivel az F ^ (X -X ') függvény [ G ^ X — A")-vel ellentétben] t = /' esetén folytonos.11 Ebbe behelyettesítve (41,9)-et és újra leválasztva a kondenzátummal kapcsolatos részt, (41,ll)-et követve, a következő' egyenletet kapjuk:

Ebben ugyanúgy, mint (41,12)-ben, G és F+ fordul elő, ezcrt e kct egyenletből ezek a függvények kiszámíthatók (F kiszámításához még egy, teljesen hasonló módon levezethető egyenletre van szükség).

Térjünk ál az előző egyenletekben impulzusreprezentációra, amit a G(P) és F+(P) Fourier-komponensek bevezetésével teszünk meg:

ahol P = (eo, p) és jjp = fi. Vegyük észre, hogy F+(X) párossága miatt Foui ier-komponensei is azok: F+(P) = F+( —P).

F+-1 kiküszöbölve, G-re a következő egyenletet kapjuk:

(41,13)

(co-riP)G (P )+ g~F + (P )= 1,

(o j + V p ) F+(P)+gZ*G(P) = 0,(41,14)

(w2- ^ - / J 2 ) G(P) = 0>+Vp, (41,15)

ahol bevezettük a

(41,16)

jelölést.A (41,15) egyenlet formális megoldása:

(41,17)

11 Erről könnyen meggyőződhetünk, ha kiszámítjuk az F*p függvény ugrását. A számolás hasonló eljárással végezhető, mint azt G ^-ra tettük a 9. §-ban. Még vegyük azt is figyelembe, hogy V'ÍO, r) és r-) antikommutál.

41. §. A SZUPERFOl.YÉKONY FERMF-OÁZ GREEN-FÜGGVÉNYEI 205

ahol t:(p) — ]Mj+ í fp, és az ulp és vlp mennyiségeket a (39,13) képletek adják meg.Már ebből is látszik, hogy az elemi gerjesztések spektrumát, amelyet a Green-függvény pozitív pólusa határoz meg, az e(p) függvény határozza meg, ezzel újra (39,20)-ra jutunk. Azt is látjuk, hogy a A energiarés és a kondenzátumbeli párok mint egységek mozgását leíró hullámfüggvény abszolút értéke, arányos mennyiségek.

A G(P) függvény (41,17) kifejezése nem teljes: a pólusok megkerülésének módját még nem rögzítettük. Más szavakkal, a G-függvény képzetes részét határozatlanul hagytuk. Ez tartalmazza a ő(w ± e) ő-függvényt, és ezért a (41,15) egyenletből (tó2— e2)- tel való szorzás után kiesik.

T = 0-ra a pólusok megkerülésének módját a (41,17) kifejezést a (8,7) kifejtéssel közvetlenül összehasonlítva lehel kiolvasni: a pozitív és negatív pólusokban az oj változót rendre az o>+ r'0, ill. az o>— Í0 értékkel kell helyettesíteni, így (41,17) a következő alakot ölii:

Helyeuesiisük ide be (41,19)-ci; az a> szerinti integrálási úgy végezzük el, hogy az integrációs uíat ;t felső félsíkban egy végtelenül távoli félkörön bezárjuk, és ezután az integrál az co = « pólusbeli reziduummal fejezhető ki. Végeredményben i:*-gal egyszerűsítve, megkapjuk a zl0-t meghatározó (39,16) egyenlőséget.

Ha T 0, a Grcen-függvcnyek képzetes részének meghatározása jóval bonyolultabb. A G(o>, p) függvény felépítéséhez a helyes analitikus tulajdonságok figyelembevételével először írjuk fel a GR(a>, p) retardáll függvényt. Ez analitikus kell, hogy legyen a felső félsíkban, és ezért (4f,17)-bő! co — co+iO cserével adódik. A kapott függvény képzel es része:

Ebből a kei eseti G-függvény képzetes részéi a (36,14) képlet segítségével kapjuk meg, amely .szerint

lm G(co. p) = th ™ lm GR(o), p) = - (1 - 2np)7t[ujd(o->- e) - i$<5(co+e)J,

G((o, p) - -

Ekkor h ' -t is kiszámoljuk (41,14) második egyenletéből:

(41,19)

Másrészt deliriíció szerint

(41,20)

lm GR = — — e)+Vp6(a)+ g)].

;ihol «p a (39,14) Fermi-eloszlási függvény (ezt a képletet felhasználva, egyúttal áttérünk a stacionárius állapotra átlagolásról a Gibbs-eloszlásra való átlagolásra). A G-függvényt ezzel a képzetes résszel a

G(a>, p) = -----^ .n + 2ninp[t$>( o>-e)~ ? jd( co -f e)) (41,21)<w— e+iO w + e— í0

alakban írhatjuk fel. Ezután az F+(a>, p) függvényre azt találjuk, hogy

p) = /••+(„,, P)\T _ o - '-V [ó(«„- £>+ Ó(<»+ ")]. (41,22)fi

ahol az első tag a (41,19) függvény, amely a í = 0 esetet íija le. Ezt a kifejezést(41,20)-ba helyettesítve és elvégezve az integrálást, visszajutunk a (39.15) egyenletre, amely meghatározza d(T)-t.

A (41,14) egyenletek a szuperfolyékony Bosc-rendszei t leíró (33,7) egyenletek értelmezéséhez hasonlóan, diagrammal is ábrázolhatók. Ennek során a G, F, F* függvényeket a (33,6) elemeivel, az egy-, illetve kétirányú nyilazoil szakaszokkal jelképezzük. A (41,14) képlet két egyenletéi a következő alakban írhatjuk:

P P -P P

A vékony nyílnak az iG(ü\P ) tényező felel meg, ahol Gí0\F ) az ideális Fermi-gáz Green-függvénye. A csúcsrészekbe bejövő, illetve az abból kimenő hullámos vonalakhoz igS, illetve ~igS* tényezőket rendelünk hozzá. (4I,23)-at (33,7)-tel összehasonlítva, azt látjuk, hogy ez utóbbi tényezők az i£0i, illetve sajátenergiás függvényekkel azonosíthatók, azaz e mennyiségek értékeit adják az első közelítésben. Megjegyezzük, hogy a szuperfolyékony Fér mi-rendszerek diagramtechnikájának sajátosságait kimeríti 2 új elem: a kétnyilú és a hullámos vonal. A Bose-rendszerektŐI eltérően „hármas” csúcsrészek itt nem jelennek meg. Ezcit a gráftechnika jóval egyszerűbb, a „szokásoshoz’’ közelibb, mint a szuperfolyékony Bose-rendszerekre.

42. §. A szuperfolyékony Fermi-gáz hőmérsékleti Green-függvényei

A 41. §-ban meghatároztuk a szuperfoiyékony Fermi-gáz energiaspektrumát a szokásos, „időbeli” Green-függvények felhasználásával. Azonban a bonyolultabb feladatok megoldására (elsősorban a külső térbeli tulajdonságok vizsgálatához) jobban alkalmazható a hőmérsékleti Green-függvények technikája. (A. A. Abrikoszov, L. P . Gorkov, 1958).

A 0 .^ hőmérsékleti függvényt ugyanaz a (37,3) képlet adja meg, mint normális Fermi-gázra. A2 é s h ő m é r s é k le t i függvényeket (melyek FaP és F+p megfelelői) a következő képletekkel definiáljuk:

(JaffaI, *1 ; r 2, r2) - £ (m, N \ tv I J P ^ P ^ Í \ m, N + 2 ) ,

(42,1>' 7 ^ u rí i *2, h) = £ {m, N + 2\w T*P *[ | m, N).

m

Efüggvények spinfügeését [(41,5)-höz hasonlóan]^tényezők alakjában leválaszthatjuk :12

— K*ff7, ‘/'oc $ = —g«p7- (42,2}

A ( f és függvények egyaránt csak a x — r x— t 2 különbségtől függenek, és- eleget tesznek a (37,6) összefüggéseknek (a felső előjellel):

■7(t) = - ( J ( r + J , J-(x) = - f ? (r + . (42,3>

A x szerinti Fourier-sorok ily módon csak a (37,8a) páratlan „frekvenciáktól” [Cs — (2í + 1)otT] függenek.

A Matsubara-operátorok r = Ö-ra megegyeznek a Heisenberg-operátorok t ~ 0- ban felvett értékével:

'P*>(x = (), r) = 'P(t = 0 , r).

Az -7 és Cf függvények definícióját / -ével és /-'+-éva1 összehasonlítva ezéri igaz, hogy

7(0, r; 0, r) = ~(r), 7 (0 , r; 0, r) = ^ ( r ) , (42,4)

12 Cf és <7 definíciójában (4I,6)-tel ellentétben ellenkező előjelek vannak. Ez azért célszerű, mert a (41,3)-ban előforduló i tényezőket a (42,1) definíciókban elhagytuk.


ahol 3 a kondenzátum Gibbs-sokasággal átlagolt hullámfüggvényét jelenti (amelyet a rendszer hőmérsékletével fejezünk ki).

Meghatározzuk a rendszer energiaspektrumát a hőmérsékleti Green-függvények segítségével is, zérustól különböző hőmérsékleteken.

A (41,12) és (41,13) egyenletek analógiájára egyenletek vezethetők le a -éM Tv/függvényekre is, amelyekben a t helyett r szerint differenciálunk, valamint a (41,8)—(41,9) egyenletekből az it -* t cserével kapható egyenleteket használjuk. Ugyanúgy, mint (41,ll)-ben, négy Matsubara y-operátor szorzatának átlagából azokat a tagokat választjuk ki, amelyekben a részecskeszámot 2-vel változtató átmenetek mátrixelemei szerepelnek. Végeredményül azt kapjuk, hogy

meghatározott, és elleniéiben a G és F+ függvények esetével, nem tartalmaz ő-függ- vényeket).

A spektrumbeli enereiarést meghatározó feltételt a

(42,5)

Az egyenletek alakja Fourier-transzlbrmáció után a következő:

(% ,-V p) p)+ g3Q :(Cs, p) = 1,

■-(/k+jfeV7(f„ p) - » P) = 0.(42,6)

A z egyenletek megoldásai:

(42,8)

(42,7)

ahol újra bevezettük az g2 = A2+->]2, A = g S jelöléseket (a megoldás egyértelműen

s . - , 7 , r = o . , - o ) . r

-egyenlőségből kapjuk, amit (42,8) behelyetiesítésével a

43. §. A FÉM EK SZUPRAVEZETÉSE 209

alakba írhatunk át. Az s-re való összegezést a

(42,10)

képlettel végezzük el,u és a

i f l u . '2 I e 2T (2n fí (42,11)

egyenlőségre jmunk, ami megegyezik (39,15)-tel.

43. §. A fémek szupravezetése

A fémek szupravezetését az elektronjaikból kialakuló Fermi-folyadék szuperfolyékonysága okozza, amely hasonló az előző szakaszban vizsgált elfajult Fermi-gáz szuperfolyékonyságához. Természetesen sok, igen fontos vonatkozásban az elektron- folyadék és a Fermi-gáz lényegesen különböző fizikai rendszerek. Ugyanakkor az energiaspektrum tulajdonságaival kapcsolatos leglényegesebb mozzanatok mindkét esetben azonosak. Elemezzük kvalitatíven, melyek a fent vizsgált modellnek azok a vonásai, amelyek átvihetők a fémek elektronjaira, és milyen mértékben érvényes az azonosítás.

A fémeknek fontos sajátsága, hogy elektronikus energiaspektrumuk anizotrop, ellentétben a Fermi-gáz izotrop spektrumával. Ez a körülmény azonban nem akadályozza a Cooper-jelenség kialakulását, aminek szempontjából csak az a lényeges, hogy éles (tetszőleges alakú) Fermi-felület létezzék, és az állapotsűrűség e felületen véges legyen. Az is elengedhetetlen, hogy az ellenkező spinű és impulzusú elektronok energiája azonos legyen, azaz mindkettő a Fermi-felületen helyezkedjék el. Ez a követelmény az időtükrözéssel szembeni szimmetria révén automatikusan kielégíthető. Azt is mondhatjuk, hogy azok az elektronállapotok párosodnak, amelyek egymásból időtükrözéssel kaphatók.

13 Ezt a képlelet a következő azonosság segítségével kaphatjuk meg:

oamelynek alkalmazása után az integrandusban egy geometriai sort kell összegezni.

14 Statisztikus fizika 2. rést

Meg kell vizsgálni az elektronok fémbeli kölcsönhatásának előjelét. Igen leegyszerűsítve, ez a Coulomb-taszításból és a rács által közvetííett kölcsönhatásból tevődik össze. A Coulomb-kölcsönhatás atomi távolságokon már árnyékolódik, az utóbbi pedig virtuális fononok cseréjével írható le, amely vonzó hatást eredményez (64. §). Abban az esetben, ha a vonzás „meghaladja” a taszítást, a fém elegendően alacsony hőmérsékleten szupravezetővé válik.

Lényeges, hogy a fononcserés kölcsönhatásban csak azok az elektronok vesznek részt, amelyek a Fermi-felület közelében elegendően vékony p-rétegben helyezkednek el. A réteg vastagsága ~ feoD, ami kicsiny az elektronok fi kémiai potenciáljához képest ((oD a kristály Debye-frekvenciája). Ezért, ha a szupravezetés leírására az enyhén nemideális Fermi-gáz modelljét használjuk, akkor a (39,19)-beli e levágási paramétert /í<wfl-nek kell választani:14

f ~ Hot D- (43,1)

p he lye tt).Ami a kölcsönhatás gyengeségére vonatkozó feltevést illeti, lényegében minden

szupravezetőre empirikusan fennáll a

Tc « h(aD <'< fi (43,2)

egyenlőtlenség. A 39. §-ban tett feltevés azonban ennél többet jeleni: a g csatolási állandó kicsinységét, ami a (39,19) képlet dimenziótlan exponensére nagy értéket eredményez. Esetünkben ezt a követelményt a

In (ho>DlTc) » 1 (43,3)

egyenlőtlenség fejezi ki: nem elég, hogy ha>DjTc nagy, de logaritmusa is az legyen. Ez a megkötés kísérletileg sokkal kevésbé teljesül.15

Az elektronfolyadék fémbeli viselkedésének és az enyhén nemideális Fermi-gáznak minden eltérését figyelembe véve, a szupravezetés elmélete igen bonyolulttá válik. Kiderül azonban, hogy a fenti modellre épített egyszerű elmélet már sok szempontból nemcsak minőségileg, de mennyiségileg is jól írja le a szupravezetők tulajdonságait. Mint már említettük, ezt az elméletet Bardeen, Cooper és Schrieffer dolgozták ki, ezért a gyengén vonzó részecskékből álló Fermi-gáz modelljét BCS modellnek szokás hívni.

M Ezzel egyébként a (39,16) integrál nagy impulzusokra való divergenciájának problémája megszűnik (I. a 3. lábjegyzetet).

u ho)D!Te értéke 10 (Pb) és 300 (Al, Cd) között változik.

44. §. A SZUPRAVEZETŐ ÁRAM 211

44. §. A szupravezető áram

Az elektromosan semleges szuperfolyékony folyadék (folyékony hélium) kétféle mozgásának a szupravezető fcm esetében az elektromos áram két típusa felel meg, melyek a fémben egyidejűleg folyhatnak. A szupravezető áram nem transzportéi hőt, nem kíséri energia disszipációja, és termodinamikai egyensúlyban levő rendszerben is jelen lehet; a normális áram Joule-hőt fejleszt. A szupravezető, illetve a normális áramot js, illetve j„ jelöli, így a teljes áram j = j,.+j„.

Minden speciális modellre való hivatkozás nélkül fontos megállapítások sora tehető a szupravezető áram tulajdonságaira. Ehhez egy új makroszkopikus mennyiség, a kondenzátum S(t, r) hullámfüggvényének megjelenése adja a kiindulást.

Mint a 26. §-b;m, bevezetjük efüggvény 0 fázisát:

5 (f, r) = 151 e'*. (44,1)

Ahogy a <t> fázis gradiense a folyékony héliumra (26,12) alapján meghatározza a szuperfolyékony mozgás vs sebességét, úgy szupravezetőben is a fázis gradiense egy megfigyelhető mennyiséget határoz meg: a szupravezető áram sűrűségét. A fém anizotropiája miatt js iránya általában nem egyezik meg irányával, és e vektorok komponenseit egy kélindexes tenzor kapcsolja össze. A nem elvi jelentőségű bonyodalmak elkerülésére azonban itt csak köbös szimmetriájú fémráccsal foglalkozunk.

Ekkor a kctindexes tenzor skahurá redukálódik, a j 5-el v0-vcl összekötő függvénykapcsolat pedig egyszciű arányossággá. írjuk ezt

h - <h V 0 (44,2)2 m

alakban, ahol definíció szerint e = — \e\ az elektron iöltése, in pedig (az igazi) tömege. A/. így definiált ns mennyiséget (amely hőmérsékletfüggő) a szupravezető elektronok számsűrűségének hívják. Ez a mennyiség hasonló szerepet játszik, mint a folyékony hélium szuper folyékony komponensének sűrűsége. Aláhúzzuk, hogy ns egyáltalán nem egyezik meg a Cooper-párok kondenzátumának sűrűségével, ahhoz hasonlóan, ahogy folyékony héliumra os nem azonos a kondenzált atomok sűrűségével.10

10 (44,2) együtthatóját úgy írtuk, hogy szabad szuperfolyékony Fermi-gázban (BCS modell)mnt megegyezzék a 40. §-ban kiszámított q, mennyiséggel. Ez utóbbit úgy definiáljuk, hogy j,-et aj, = en,y, alakban kell felírni, ahol v, a szuperfolyékony mozgás sebessége. Másrészt v,-et a fázisgradiensével a = (h/lm) Vt> egyenlőség köti össze; (26,I2)-höz képest azért szerepel itt a 2m kétszeres tömeg, mert a kondenzátum részecskepárokból áll.

14*

A (44,2) képlet [csakúgy, mint (26,12) a folyékony héliumra) feltételezi, hogy a fázis térbeli változása elegendően lassú. Míg azonban Bose-rendszerekre 0 változási kor- Iátai csak néhány atomközi távolságra voltak érvényesek, itt a követelmények jóval erősebbek. Szuperfolyékony Fermi-rendszerekre a karakterisztikus méretet a !0 ~ fiVpjAo koherenciahossz adja, és 0 fázisa ilyen nagyságrendű távolságokon kell, hogy keveset változzék (ez a méret az atomközi távolságokhoz képest nagy).17

j , és íP kapcsolata bonyolultabb, ha a szupravezető külső mágneses térben helyezkedik el (itt időben állandó térre korlátozódunk). Az elmélet mértékinvarianciájából kiindulva világítjuk meg azokat a szükséges változásokat, amelyeket a (44,2) képletben kell végrehajtani.

Ez a követelmény azt jelenti, hogy a megfigyelhető fizikai mennyiségek változatlanok. ha a mágneses tér vektorpotenciálján elvégezzük az

A — A-j- v%(r) (44,3)

mértéktranszformációt, ahol %(r) a koordináták tetszőleges függvénye. Eközben a yt-operátorok a hullámfüggvények transzformációs szabályait követik:

lP - XP exp / j , tfy+ - i//+ exp | - ~ jí| , (44,4)

ahol e a y-operátorral leírt részecske töltése [1. III. (111,9)].18 A G(X, X'), F(X, X ') Green-függvények, lévén a XP ’P '+ és 'P ty ' szorzatok mátrixelemei, a

G(X, X ') - exp j ~ [Z(r)— *(r')]J G(X, X'),

F(X, X ') - exp | i l [X(t)+ X(t')} J F(X, X ')(44,5)

szabály szerint alakulnak. Speciálisan

< 2 ie \ „3 = iF(X, X ) - exp S ,

17 Hangsúlyozzuk, hogy itt a (hőmérséklettől független) állandó í 0 hosszúságparaméter szerepel; a szóban forgó kritériumot a későbbiekben szigorúan is megalapozzuk (1. az 51. § végét).

18 A (7,7) másodkvantált Hamilton-operátorban a y - o p e rá to ro k 'P(X) és <P+(A>ből álló párokban jelennek meg, ezért a (44,3)—(44,4) csere során a Hamilton-operátor ugyanúgy transzformálódik, mint a szokásos H operátor a megszokott (nem operátori) hullámfüggvények megfelelő transzformációi során. A (44,3) - (44,4) alakú transzformációt valójában már a 19. §-ban kihasználtuk.

44. §. A SZUPRAVEZETŐ ÁRAM

azaz a kondenzátum hullámfüggvényének fázisára a

(44,6)

213

transzformációs szabály érvényesül.A (44,2) összefüggés nem invariáns a fenti fázistranszformációra. Ahhoz, hogy az

invariancia követelményét kielégíthessük, (44,2)-t ki kell egészítenünk egy, a vektor- potenciált tartalmazó taggal:

= (44,7)

A töltés megkétszereződése (a zárójeles tényező második tagjában) a szupravezetőbeli párosodási tükrözi.

Ez a kifejezés elegendő a szupravezetők alapvető makroszkopikus tulajdonságának, a mágneses tér kiszorulásának (Meissner-effektus}-megmagyarázására.1*

Tekintsünk egy gyenge külső térben elhelyezkedő homogén szupravezetőt. A teret gyengének gondoljuk ahhoz a Hc térerősséghez képest, amely megszünteti a szupravezető állapotot. E feltevéssel elérjük, hogy a mágneses tér nem befolyásolja ns értékét. Legyen a test termodinamikailag egyensúlyi állapotban, tehát a normális áram értéke nulla, azaz j s = j .20 Képezzük a (44,7) egyenlet mindkét oldalának rotációját, észrevéve, hogy rot A = B (a test mágneses indukciójának vektora) megkapjuk a Lon- don-egyenletet (F. London, H. London, 1935) :21

rot | = — —— B. (44,8)mc

Ez az egyenlet sajátosan a szupravezetőkre vonatkozik. Ha a Maxwell-egyenleteket is felhasználjuk:

(44,9)

(44,10)

19 A szupravezetők fenomenologikus elektrodinamikáját e sorozat VIII. kötetében mutatjuk be.20 Ezt az alábbiakban a fejezet során mindenütt feltesszük, ezért j mindig a szupravezetőáram

sűrűségét jelöli.11 (44.8) most bemutatott levezetését L. D. Landau adta (1941).

n 4.1 .rot B = — 1,c

div B = 0,

és a (44,9)-ből kifejezeti j-t (44,8)-ba helyettesítve, megkapjuk a szupravezetőbeli mágneses térre vonatkozó egyenletet:

1 B = Ó - 2B, (44,11)

ahol felhasznál: uk, hogy (44,10) miau rot rot B = —JB , és bevezettük a

= mc2/4ace2>is (44,12)jelölést.

Adjuk meg ebből az egyenletből kiindulva a mágneses tér eloszlását a szupravezetőben, annak felülete közelében; a felületet síknak tekintjük, és yz síknak választjuk, az x tengelyt a testbe irányítjuk. E konvenciókkal nyilvánvaló, hogy az eloszlás egyedül x függvénye. (44,10)-ből d B jd x — 0, így (44,ll)-bŐl automatikusan következik, hogy Bx = 0. A (44,11) egyenlet ekkor a cf-B/dx2 = B/í>2 alakot ölii, ahonnan

B(a-) = % e- <>\ (44,13)

a § v ek to r p á rh u za m o s a felület s ík jáva l.Látjuk, hogy ;i mágneses tér exponenciálisan csökken a szupravezető belseje felé

haladva, a behatolási mélység ~ő . Ez a hossz makroszkopikus, de kicsiny a minták szokásos méretéhez, képest (ö ~ 10~6— 10" s cm), így a tér valójában csak egy igen vékony felületi rétegbe hatol be. A Ö hosszt a London-féle behatolási mélységnek hív ják. Hangsúlyozzuk, hogy ez közvetlenül mérhető mennyiség, melynek értelme jól definiált, ns teljesen egyezményes jelentésétől eltérően.

A bemulatott levezetésnek azonban lényegi hiányossága van. A (44,7) kiindulási képlet csak térben elegendően lassan változó mennyiségekre igaz: csak ha azok a karakterisztikus hosszak, amelyeken lényegesen megváltoznak, jóval nagyobbak a í 0 koherenciahossznál.22 Ez most azt a feltételt rója ki, hogy

<!>»£„. (44,14)

Ez a korlátozás azonban nem \et árnyékot arra, hogy sikerült bizonyítani a mágneses tér kiszorulását a szupravezetőből: a kiszorulás hiánya logikai ellentmondásra vezetne, mivel ekkor a tér változási sebessége nyilván kicsi lenne, és a (44,11) egyenlet alkalmazható lenne. De megjegyzendő, hogy maga a (44,11) egyenlet és a tér csillapodására belőle következő (44,13) tör vény szerűség alakja csak a (44,14) feltétel teljesülése esetén igaz.

22 Emlékeztetünk arra, hogy a B indukció a mikroszkopikusan mérhető igazi térerősség, amelyet fizikailag végtelen kicsiny térfogatokra átlagoltunk. E térfogatok csak az elemi cellához képest nagyok.

44. §. A SZUPRAVEZETŐ ÁRAM 215

Azi a helyzetei, amikor a szupravezetőben teljesül egyenlőtlenség,London-típusúnak hívjuk. Az ellenkező határhelyzetben, mikor b <k £0, Pippard-Üpusú szupravezetőről beszélnek (az ekkor érvényes csillapodási törvényt az 52. §-ban tárgyaljuk). Ha T -*■ T# a szupravezető elektronok sűrűsége ns -*• 0, azaz <5 -* « , Ezért az átalakulási hőmérséklet közelében mindig a London-típusú esettel állunk szemben. Ha T — 0, b és viszonya a fém konkrét tulajdonságaitól függ.23

Végül vizsgáljuk meg a (44,7) kifejezés még egy következményét, amely független b és !0 viszonyától.

Mint a szupravezelők makroszkopikus elektrodinamikájából ismeretes, ha egy szupravezető gyűrűn mágneses fluxus halad át, akkor ez a fluxus változatlan marad a test tetszőleges állapotváltozása során (amely persze nem szünteti meg a szupravezető tulajdonságot). Ennek során feltesszük, hogy a gyűrű átmérője és vastagsága nagy a tér behatolási mélységéhez és a koherenciahosszhoz képest. Megmutatjuk, hogy a gyűrűbe „befagyott” mágneses fluxus nagysága csak valami „elemi fluxuskvantum” egcsz számú többszöröse lehet (F. London, 1954).

A test vastagságában (a behatolási tartományon kívül) az áramsűrűség j = 0; a v ektorpotenciái viszont különbözik nullától, csak rotációja zérus (a B mágneses indukció). Vegyünk fel valamilyen C zárt görbét, amely körülfogja a gyűrű nyílását, és végig a test belsejében, annak felületétől távol halad. Ezzel biztosítottuk a (44,7) képlet teljesülésének feltételeit, a 0 fázis és az A vektorpotenciál elegendően lassú változásai. Az A vektor cirkulációja C mentén egybeesik a zárt eöbe által kifeszített felületen áthaladó mágneses fluxus <p érlékével:

(j) A dl = J rőt A • df = J B dt = <p.

Másrészt (44,7)-ei nullával téve egyenlővé, és azt is integrálva, a görbe mentén

j , A , n = ^ j , V P : i l = ^ S 0

adódik, ahol ö& a hullámfüggvény fázisának megváltozása, miközben körbehaladunk a görbén. E függvény egyértékűségéből következik, hogy a fázis megváltozása csak 2n többszöröse lehet. így jutunk a

wfí = = 2 ■ H)-7 eauss -cm2 = 2 ■ 10~13 Wb (44,15)ki

eredményre, ;ibol i; egész szám. A <p() mennyiség a mágneses fluxus kvantuma.

23 A London-típusú helyzet érvényes pl. a periódusos rendszer átmeneti csoportjainak tiszta féméiben és néhány intermetallikus vegyületbena teljes hőmérsékleti tartományban. A Pippard-eset lép fel (Tj-től távol) a nemátmeneti tiszta fémekre.

A mágneses fluxus kvantáltságának más vonatkozása is van: ezzel a szupravezető gyűrűben (külső mágneses tér alkalmazása nélkül) folyó J áram értéke is csak diszkrét értékeket vehet fel. Ugyanis J mágneses fluxust hoz létre a gyűrűn át, melynek értéke LJjc , ahol L az önindukciós tényező. Ezt az n<p0 lehetséges értékekkel egyenlővé téve, azt kapjuk az áram lehetséges értékeire, hogy

Cfo TtllC2 ...J = ~ r n ^ !H Z "- (44’,6)

A mágneses fluxuskvantummal ellentétben a „teljes áram kvantuma” függ a gyűrű alakjától, méretétó'I (az L önindukció alakfüggése l évén).

Feladat

Határozzuk meg az R <k Ö sugarú szupravezető gömböcske mágneses momentumát, ha az London- tfpusú, és külső mágneses térben helyezkedik el.

Megoldás. Ha R <x <5, a gömb belsejében a mágneses tér állandónak tekinthető és egyezőnek a külső # mágneses térerősséggel. A vektorpotenciáit A = alakban felvéve, az áramsűrűségreegyszerűen

j = - (n^-lmc) A

írható [azaz (44,7)-ben O ~ 0-t írunk]. Az áram normális komponense a határfelületen ekkor automatikusan eltűnik (nj = 0). A mágneses momentumot az

M - i / c - x l X f t '

integrál adja meg, ahol a gömb térfogatára integrálunk, és ebből az következik, hogy

45, §. A Ginzburg—Landau-egyenletek

A szupravezető külső térbeli viselkedését leíró teljes elmélet igen bonyolult. A helyzet azonban jelentősen egyszerűsödik az átalakulási pont közelében. Itt viszonylag egyszerű egyenletrendszer építhető fel, amely nemcsak gyenge, hanem erős terekben is alkalmazható.24

“ A bemutatandó elméletet V. L. Ginzburg és L. D. Landau dolgozta ki 1950-ben. Figyelemre méltó, bogy fenomenológiai megalapozást adtak az egyenleteknek, megelőzve a szupravezetés mikroszkopikus elméletének megalkotását.

45. §. A GINZBURG - LANDAU-EGYENLETEK 217

A másodfajú fázisátalakulások általános Landau-elméletében a „szimmetrikus’"' és a „nem szimmetrikus” fázist a rendparaméter különbözteti meg egymástól, amely az átalakulási pontban nullává válik (1. V. 142. §). A szupravezető fázisban a rendparaméter természetes módon azonosítható a kondenzátum £ 'hullámfüggvényével. A túlzott (és nem elvi jellegű) bonyodalmak elkerülésére a fémkristályt köbös szimmetriájúnak tekintjük. Mint a 44. §-ban megmutattuk, ekkor a szupravezető állapotot az n5 skalár mennyiség jellemzi, ami a szupravezető elektronok sűrűsége. Alkalmasabb ''álasztásnak tűnik ez esetben egy S-vel arányos (y-vel jelölendő) mennyiség választása, meiycí. a | ip|J -- nJ2 feltétel normál. A y> mennyiség fázisa megegyezik S fázisával:

A .szupravezető áram (44,2)sűrűségét y-vel a következő alakban fejezzük ki:

Az elmélet kiindulási pontja a szabad energia kifejezése a t/;(r) függvény funkcio- náljaként. A Landau-elmélet általános poszlulátumaival összhangban ezt a funkcionált úgy kapjuk meg, hogy a szabad energia sűrűségét az (átmeneti pont közelében) kicsiny y> rendparaméter és koordináták szerinti deriváltjainak hatványai szerint kifejtjük. Először vizsgáljuk a külső tér nélküli esetet.

Minthogy S (X ) az F(X, X ) = ~ iS (X ) összefüggés szerint arányos egy Green- függvénnyel, így a y rendparaméter nem egyértelmű. Ugyanis mivel F(X, X ) két tényező szorzatának várható értéke, ezen operátorok fázisának tetszőleges megváltozása -* F fázisát a-val változtatja meg. Ettől az önkénytől a fizikai mennyiségek természetesen nem függhetnek, tehát invariánsaknak kell lenniük a y> rendparaméter y> — ye‘a fázistranszformációjára is. E követelmény kizárja a szabad energia sorfejtéséből y> páratlan hatványait.

A sorfejtés konkrét alakját ugyanazon megfontolások alapján kapjuk meg, mint a másodfajú fázisátalakulások általános elméletében (1. V. 146. §). Ezeket nem ismételjük meg, hanem közvetlenül leírjuk a teljes szabad energia következő sorfejtését a szupravezető testTe:25

(45,1>

js = l ü 1f I" V<í> = ~ 2m (W* V 'P~ 'P V y>,)' (45,2}

F = F„+ (45,3)

25 Ismerjük fel, hogy a gradienst tartalmazó tag fenti alakja a kristály köbös szimmetriájával kapcsolatos. Alacsonyabb szimmetriájú esetben a dy>/dx, deriváltak valamely általános kvadratikus alakja állna helyette.

21 8 V. FEJEZET. A SZUPRAVEZETÉS

Itt F„ a normális állapot (y = 0) szabad energiája; b csak az anyag sűrűségétől (a hőmérséklettől nem) függő pozitív mennyiség; a a hőmérséklettől az

a = ( T ~ T c)a (45,4)

képlet szerint függ, azaz a kritikus pontban értéke zérus; a > 0 annak megfelelően, hogy T < Tc a szupravezető tartomány. (45,3)-ban | V f \ 2 együtthatóját úgy választottuk meg, hogy az áramra a (45,2) képletet kapjuk (1. alább).21* A (45,3) egyenletben azért szerepelnek csak y> első deriváltjai, mivel y térbeli változását elegendően lassúnak tételezzük fel.

Homogén szupravezetőre, külső tcr nélkül, a ip paraméter helyfüggetlen, fckkor a(45,3) kifejezés az

/•■ = /•'„ + aV\y>\~+ - y j f |4 (45,5)

.alakra egyszerűsödik. |y>l2 egyensúlyi értékét (T ■< Tc) e kifejezés minimuma határozza meg:

= f ( T c - n , (45,6)

•a szupravezető elektronok sűrűsége az átmeneti pontban lineárisan tűnik el.A (45,6) kifejezést (45,5}-be helyettesítve, megkapjuk a szupravezető és a normális

állapot szabad energiáinak különbségét:

F s- F,;= - V -**- (Tc~ T f . (45,7)

Ebből hőmérséklet szerinti deriválással kapjuk meg az entrópiakülönbségei, majd a fajhő ugrását a kritikus pontban:27

Cs-C „ = V ~ . (45.8)

18 Ennek a választásnak (ami többek között w-et az elektron valódi tömegével azonosítja) nincs ■mélyebb értelme, és ugyanúgy egyezményesnek tekinthető, mint n, (44,2)-beli definíciója.

171V Is = Qj2m-r$ és a fajhougrásra vonatkozó (45,6) cs (45,8) képleteket a BCS modellből adódó ■<40,16) és (40,11) képletekkel összehasonlítva, megkaphatjuk az a és b paraméterek értékét ebben a modellben (£. P. Gorkov, 1959):

v. -- 6,y-7’e/7í(3) /> 7,04- TJti, b • •• <xTJn;

itt az n = o/m részecskeszám-sűrűségre és a « kémiai potenciálra az ideális gáz esetén (T = 0) ■érvényes kifejezést használtuk:

ii =-■ />},/'} n ~ li\ f i ■■■ p%/2iti

45.§. A GIN ZBU RG-LANDAU-EGYENLETEK 219

Az átalakulási pont közelében a (45,7) különbség a szabad energia kis korrekciójátadja. A kis járulékokra vonatkozó tétel (V. 15. §) értelmében ugyanez a kifejezés (melyet a hőmérséklet és a nyomás függvényeként adunk meg a hőmérséklet- és a térfogatfüggés helyeit) adja meg a termodinamikai potenciálok <£s—0 n különbségét is. Másrészt, a szupravezetők termodinamikájának általános képlete szerint [1. VIII.(43,7)], ez a különbség megegyezik a — Vfíll&n mennyiséggel, ahol Hc a szupravezetést letörő kritikus térerősség. így e mennyiségre az átalakulási pont közelében a következő hőmérséklet függést vezethetjük le:28

Mágneses tér jelenlétében a sz/ibad energia (45,3) kifejezését két vonatkozásban kell módosítanunk. Először, az integrondushoz a mágneses energia B'2/8jí sűrűségét hozzá kell adni (ahol B = roi A a testbe*' mágneses indukció). Másodszor, úgy kell megváltoztatni a gradienst tartalmazó ngot, hogy a mértékinvariancia követelménye teljesüljön. Az előző szakaszban megn utattuk: ez a feltétel arra vezet, hogy a kon- denzátum hullámfüggvénye fázisának gradiensét a V 0 —2^A//íc kifejezéssel kell helyettesíteni. Ez most azt jelenti, hogy a

(l'M a normális állapotú test szabad energiája külső tér nélkül). Hangsúlyozzuk a2 iejhc együttható fel tétel mentes jellegét (ellentétben a h2jAm együttható már említett egyezményes jellegével). Az elektron töltése a Cooper-hatás következtében duplázódik meg (L . P. Gorkov, 1959); ezt az együtthatót természetesen nem lehet fenomeno- logikusan levezetni.

58 A BCS modellben

2,44(mpr/h3)'!- (Tc — T), ha T — Te.

T = 0 esetén e modellben

(45,9)

helyettesítés! végezzük el. így a következő alapösszefüggésre jutunk:

H ' = 0,99 T'im ppHW -

(ezt a — 17/*/&r érieket (40,9)-cel egyenlővé téve kaptuk].

A y> hullámfüggvényt és a mágneses tér szupravezetőbeli eloszlását meghatározó differenciálegyenleteket a szabad energiának a ip, tp*, A független függvények funk- cionáljaként való minimalizálásával határozhatjuk meg.

Mivel a komplex mennyiséget két valós függvény jellemzi, így yK ésip*-ot függetlennek tekintjük a variálás során. Az integrált y>* szerint variálva és a (Vip—HeA/fic) V Öy* tagot parciálisán integrálva, azt kapjuk, hogy

ó F = j | — | V — a | y>+ay+b \ ip'f dtp” dV —

+ $ ( v y>~ Jic~Aví) dy>*df' (45,11)

ahol a második integrált a test felületére vesszük. Ha ÖF = 0, és megkö\eteljük, hogy a térfogati integrál is tetszőleges <3?/>*-ra nulla legyen, akkor

A — l —ih v — aV y+atp+b |y p f = 0 (45,12)

(a y> szerinti variálás a komplex konjugált egyenletre vezet, azaz semmi újai nem ad). Az integrált A szerint hasonlóan variálva, a Maxwell-egyenletet kapjuk:

rot B = — j, (45,13)

amelyben az áramsfírűséget a

wh 2ezj - ~ - x ~ (»/>* y>- v v f ) ------- i !2 A (45,14)2m mc

kifejezés adja meg, ami megegyezik (44,7)-tel (azért írunk j-t js helyeit, mert termikus egyensúlyban a normális áram zérus). Megjegyezzük, hogy (45,13)-ból következik a div j = 0 kontinuitási egyenlet, ezt (45,14) közvetlen deriválásával kapjuk, figyelembe véve (45,12)-t.

A (45,12)—(45,14) egyenletek adják a teljes Ginzburg—Landau-egyenletrendszert.Az egyenletekhez tartozó határfeltételeket a 6F variációkbeli felületi integrálok

eltűnésének feltétele adja meg. így (45,ll)-böl

45. §- A GINZBURG-LANDAU-EGYENLETEK 221

adódik, ahol n a felület normálisa. Megjegyezzük, hogy e feltétel teljesülésekor a (45,14) szupravezető áram normális komponense is eltűnik, mint az várható: nj = 0.2®

A térerősségre vonatkozó határfeltételekre a (45,13) egyenletből, figyelembe véve j végességét a teljes térben (a test felületéig bezárólag), következik a B indukcióvektor tangenciális komponensének (B() folytonossága. A

egyenletből a Bn normális komponens folytonossága is következik. Más szavakkal, a határfeltételek a teljes B vektor folytonosságát követelik meg.

Gyenge mágneses térben annak hatása elhanyagolható | y |2-rc, ós így \y>\2 — melynek értékét (45,6) adja meg — az egész testben állandónak tekinthető. Ekkor (45,14)-et(45,13)-ba helyettesítve, (majd képezve az egyenlet mindkét oldalának rotációját) a(44,11) London-egyenletet kapjuk, melyben a

behatolási mélység szerepel.E méret melleit a Ginzburg—Landau egyenletek még egy karakterisztikus hosszt

tartalmaznak: a y rendparaméter fluktuációinak korrelációs hosszát (térmentes esetre); jelölje ezt £(T). A fluktuációelmélet (1. V. 146. §) általános képletei szerint a szabad energia (45,3)-beli kifejezésének együtthatóival ez a hosszúság a

alakban fejezhető ki.

58 A (45,15) halárfeltétel szerint y> nem válik nullává, amint azt mint hullámfüggvényre, a test felületén esetleg elvárhatnánk. Ez azzal kapcsolatos, hogy y csak a felülettől ~ í # nagyságrendű, távolságra válik zérussá; az ilyen távolságokat a Ginzburg—Landau elmélet keretében végtelen kicsinek tekintjük.

A (45,15) feltételt itt lényegében a szupravezető és vákuum határára vezettük le. Ez dielektrikummal való érintkezésre is érvényes marad, de különböző fémek közti határra (melyek egyike szupravezető, másikuk normális állapotú) nem alkalmazható, mivel nem veszi figyelembe a szupravezető elektronok részleges behatolását a másik fémbe. Ebben az esetben (45,15)-öt egy általánosabb feltétel váltja fel, amely összefér az nj = 0 feltétellel:

div B = 0

í ( r ) 2(m | a \)l!- 2(ma)1/2 (Tc- T )v2(45,17)

(45,15a)

ahol A valós (hosszúság dimenziójú) állandó; ennek az állandónak a megbecsülése részletesebb mik* roszkopikus vizsgálatot igényel.

A (45,16)—(45,17) karakterisztikus hosszak meghatározzák azon távolságok nagyságrendjét, amelyeken a rendparaméter és a mágneses tér lényegesen változik. A ő méret általában a mágneses térre, a £(T) hosszúság pedig a y rendparaméterre jellemző. Mindkét hosszúságnak jóval meg kell haladnia a £0 „párméretet”, hogy teljesüljön az összes mennyiség lassú térbeli változásának feltétele. Minthogy a kritikus ponthoz közeledve mindkét hossz növekszik [(7’c—T )_1;'2 szerint], így annak közelében ez a feltétel általánosságban teljesül (1. alább).

Nagy jelentőségű a bemutatott elméletben a Ginzburg—Landau paraméter, amely a fenli két hosszúság állandó (hőmérséklet fül1 cetlen) hányadosaként van definiálva:

_ ö(F) _ mcb^~ . . . . . .1(7) {2n)W \e\it *

Nagyság! endileg x ~ ö j£ t, ahol £„ a (39,21) koherenciahossz, ó0 pedig a London-féle behatolási mélység az abszolút zérus hőmérsékleten. Megemlítjük a

x = 2 Í2 f í c(T) ÖHT) (45J 9)

képletet is, amely (45,9) és (45,16) felhasználásával vezethető le, és y.-i megfigyelhető mennyiségekkel fejezi ki.

Vizsgáljuk meg az egyenletek alkalmazhatóságának korlátúit.Az alacsony hőmérsékletek tartományában a Tc—T<szTc korlát mindenképpen

fennáll, amely megengedi, hogy a rendparamétert kicsinynek tekintsük és egyúttal alapot nyújt a szabad energia hatványsorba fejtésére. Ez a feltétel biztosítja a £(T) egyenlőtlenség teljesülését is, de a Ö(T) » | 0 egyenlőtlenséghez erősebb feltétel teljesülése szükséges olyan szupravezetőkre, melyekre x kicsi.30 Ekkor ugyanis ha d £0, akkor ebből a

Te- T « & r e (45,20)feltétel következik.

Amikor T — Tc, az egyenletek alkalmazhatóságát csak a fázisátalakulások Landau- elméletének érvényessége korlátozza — ezt a rendparameter fluktuációinak növekedése okozza. Esetünkben ez a korlát azonban nagyon gyengének bizonyul. Ugyanis a (45,3) kifejtés együtthatóival a következő egyenlőtlenségre vezet:

T - T b ' T ‘>>_x

M Példaként megadjuk x értékét néhány tiszta lémre:

Al: 0,01; Sn: 0,13; H -: 0,16; Pb: 0,23.

45.§. A GINZBURG -EANDAU-EGYENLETEK 223

[1. V. (146,15)]. A jobb oldali kifejezést pl. a BCS modellből adódó b és « értékekkel becsülve, azt kapjuk, hogy

{Tc- T ) /T c » ( T cfri)*. (45,21)

Mivel Tc/(i ~ l(T3- 1 0 -4, feltételezhető, hogy ez a követelmény lényegében egészen a kritikus pontig teljesül. A szupravezető és normális állapot közötti másodfajú átalakulás során a fluktuációs tartomány a két fázis között gyakorlatilag hiányzik.

Feladat

Határozzuk meg így (d «; f) 6 vastagságú leroezkére a szupravezetést megszüntető kritikus mágneses térerősséget (melynek iránya párhuzamos a lemez síkjával) ( V. L. Ginzburg, L. D. Landaur 1950).21

Megoldás. Válasszuk a lemez középsíkját xz síknak, az x tengely mutasson a tér irányába. Az >'-tól függően a lemezre merőlegesen változó B = B Jy) térre vonatkozó (45,13) egyenletben y> = const feltételezhető. Ekkor az áram (45,14) kifejezésében az első tag nulla, és a rőt műveletet (45,13>ra alkalmazva, a B" = (PB/i1 egyenletrejutunk, ahol B = y/Vo. V’o ~ ! a \jb. Az >>-ban szimmetrikus megoldás:

i>/ . f eh (yO/6) f y- — {d/2)- ]... 1

(y a külső tér). Ez a tér ac ... (0%

j ~ j -— T v b

árameloszlásnak felel meg.A (45,12) egyenletben a y rendparaméter y-függését nem lehet teljesen elhanyagolni: a kicsiny

őV/Sv2 derivált szorzója fpjm | a | ~f*, és így (a d « í feltétel értelmében) a (!/</)* szorzótényező nagy. Ugyanakkor ebben az egyenletben a potenciál, A = A t(y) elhanyagolható, mivel djf-ben magasabb- rendű tagokra vezet. Azért, hogy y>-nek -függését figyelmen kívül hagyhassuk, átlagoljuk (45,12>t a lemez vastagságára. Ennek sorén az y szerinti derivállak kiesnek a dtfi/dy = 0 határfeltétel miatt (ami a lemez felületén érvényes).Észrevéve azt is, hogy

- d% * (___!ül___dz- \ | e | fi |yj |- /

ami a y-függvény fázisának z-függéséből következik (valamint használjuk W '^ sa z áram kapcsolatát is), v-vel egyszerűsítve,

. jj— I a I •• /) I V' i' — 0adódik, ahol

<(/21 f .„ , c-d-O1# 1r = -d J r d y - 3(- rő4 .

- i /2

31 A kis gömbre vonatkozó hasonló feladatot a 47.§-ban tárgyaljuk.

Felhasználva a (45,9) és (45,16) kifejezéseket, az

I / !bd \ 2 _ lv-12 ~24 \ H e6} ~ ip*

egyenletre jutunk, amelyből meghatározható [ yi ] értéke külső mágneses térben. A mágneses térerősség értéke a lemezben akkor kritikus ( — ha \ y | zérussá válik. A kiterjedt szupravezető a kritikus térerősségével a

/ / 'kmel> - fÜ H'őld

kapcsolatban van.A vizsgált körülmények között a szupravezetés megszűnése a külső tér hatására másodfajú fázis-

átalakulásként megy végbe: y> folytonosan válik zérussá § növelésével. Ez teljesen természetes, minthogy d <k á-ra a tér lényegében áthatja a lemezt, és így nincs indok elsőfajú átmenetre, melynek során a mágneses tér hirtelen jelenne meg a normál állapotúvá alakult mintában,

46. §. Felületi feszültség a szupravezető és a normális fázis határán

A Ginzburg—Landau egyenletekből többek közölt kiszámítható a szupravezető (j) és normális («) fázis határfelületén fellépő feszültség (egyazon mintában). Ezt a mennyiséget az anyag térfogati jellemzőivel ki lehet fejezni (V. L. Ginzburg, L. D. Lan- ciau, 1950). Ilyen fázishatárok például olyan fémmintákban alakulnak ki, amelyek mágneses térben az ún. közbenső állapotba kerültek. Minthogy a két fázis minden különbözősége abban foglalható össze, hogy egyikükben y> ^ 0, a másikban y> = 0, így köztük az átmenet (térben) folytonos, egy véges vastagságú rétegben következik be, és a Ginzburg—Landau egyenletekkel leírható, ha azokban a felülettől távol a megfelelő határfeltételeket írjuk elő.

Vizsgáljuk az n és s fázisok között a sík elválasztó felület esetét. Ezt választva yz síknak, az x tengelyt az s fázis belsejébe irányítjuk. A térmennyiségek eloszlása mindkét fázisban csak jc-tŐl függ. A tér vektorpotenciálját, amelynek megválasztása nem egyértelmű, célszerű a div A = 0 mértékfeltétellel meghatározni. Esetünkben ez a feltétel dA Jdx = 0 alakú, amiből világos, hogy Ax = 0 megengedett. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy A mindenütt ugyanabban a síkban fekszik. Legyen ez az xy sík, azaz Ay = A, ekkor az indukció vektora az xz síkban van:

<a vessző x szerinti differenciálást jelent).

B = B t = A’ (46,1)

Továbbá írjuk át (45,13)-at a makroszkopikus elektrodinamikában megszokott rot H = 0 alakjára, ahol bevezetjük a H térerősséget a

H = B—4reM. c rot M = j

összefüggésekkel.32 Ebből az egyenletből az következik, hogy a jelen esetben H = const. Az elválasztó felülettől távol a normális fázis belsejében, az indukció és a feszültség megegyezik egymással, és nagyságuk éppen a kritikus B = H = H c (a normális fázis mágneses szuszceptibilitását elhanyagoljuk). Ezért az egész térben igaz, hogy H = Hz — Hc.

Az anyag sürőségváltozását elhanyagoljuk a szupravezető fázisátalakulás során, ezért a sűrűséget az egész testben állandónak vesszük (csakúgy, mint a hőmérsékletet).33 A térfogategység szabad energiáját /-fel jelöljük (az egész test F szabad energiájától való megkülönböztetésül). Állandó sűrűségen és hőmérsékleten (elhanyagolva a felületi effektusokat) érvényes a

B (46,2)

összefüggés (1. VIII. 30.§). Ebből látszik, hogy B-t állandónak feltételezve, az

/ - / - “ • « « >

mennyiség is állandó lenne. Ezért az F — j fd V integrálnak változó részéből jövő minden járuléka kizárólag az elválasztási felület jelenléte miatt nem zérus. Ezt a járulekot a határfelület egységére vonatkoztatva, kiszámíthatjuk a felületi feszültség együtthatóját. Ez a mennyiség az

« „ = f ( / - / „ ) dx (46,4)— <50

integrál, amelyben/, az/értéke távol az elválasztó felülettől, pl. a normális fázisban.

4«.§. FELÜLETI FESZÜLTSÉG SZUPRAVEZETŐ ÉS NORMÁLIS FÁZIS HATÁRÁN 225

32 A félreértések elkerülése céljából felidézzük, hogy az a megjegyzés, amelyet a VIII. 41. §-ban a H mennyiség bevezetésének célszerütlenségéről mondtunk, azoknak a szupravezetőknek az elektrodinamikájára vonatkozott, amelyekre a mágneses tér behatolási tartományát végtelen vékonynak tételeztük fel. A G inzburg-Landau egyenletek viszont éppen e tartomány struktúrájára vonatkoznak.

33 Szigorúan véve, fázisegyensúlyban az egész rendszer kémiai potenciálja (és nem a sűrűsége) állandó. A sűrűségváltozás figyelembevételével ezért nem a szabad energia, hanem az Q termodinamikai potenciál lenne a lényeges mennyiség.

1 5 S ia tis z tík u s f iz ik a 2 . rész

A normális fázisra a szabadenergia sűrűsége f„ — f^+B^lÜn = f M+ H 2clíin, így

, _ , m _ _ m _ fh ' ~ U 4Ír — i0 2b

[az utolsó átalakításban (45,9)-et használtuk félj. Az/ mennyiség értékét egy tetszőleges pontban kifejezhetjük a szabad energia sűrűségével az

összefüggés szerint. (45,10) felhasználásával a felületi feszültségre a következő képletet kapjuk:

-'OO

2b}

+

+ «lv, l2+-^-lv>!4— + dx. (46,5)

Amint vártuk, az integrandus eltűnik mind a normális fázis belsejében (x — — =»), ahol f — 0, B = Hc, mind a szupravezető fázisban (x -►«=), ahol [y l2 = — ü/b, 5 = 0 .

Figyeljünk fel arra, hogy a (46,5) integrandusban nem lép fel az /A v >p tag, mivel Ax = 0. Ugyanez a tag kiesik (45,12)-ből is. így ebben az egyenletben csak valós együtthatójú tagok vannak; ezért valósnak választható az egyenlet megoldása, amit az alábbiakban fel is teszünk. Ekkor az áramsűrűség (45,14) kifejezéséből eltűnik az első tag, és

j = ~ — • f A (46,6)mcmarad meg.

Ezenkívül bevezetjük az „v változó és az A{x), v’(A) függvények helyeit a dimenziót- lan

b _ A g _ dÁ _ B . . .[aj ’ ~Htb ' ~ dx ~ fi, ( ’ }

mennyiségeket. Az alábbiakban csak ezeket a mennyiségeket használjuk, de a betűk fölötti vonásokat a rövidség kedvéért elhagyjuk. A (45,12) egyenlet alakja e változókban

v" = 1 ( 4 - 1) • <46,8)

A" = Ayr (46,9)alakra hozzuk.

Ezekhez az egyenletekhez tartozó határfeltételek (melyek az n, illetve s fázisokat írják le, ha x — - ~>, illetve ha .v — «>) a következők:

>p = ü, B = A' = I, ha .v = — «>,

A' = 0, ha .v— . (46’,0>

Könnyű ellenőrizni, hogy a (46,8)— (46,9) egyenleteknek van egy első integrálja, amely a következő alakú:

2y~3 j / 3+ (2— + A'~ = const = I; (46,11)

az állandó criékét a határfeltételekből határoztuk meg.-14

Végül a (46,5) egyenlet az

= [ fii y/2+A~~ >p~+ y>i + (A>" 1 )2 cíx ~— Ot»

ooj <lx

46,§. FELÜLETI FESZÜLTSÉG SZUPRAVEZETŐ ÉS NORMÁLIS FÁZIS HATÁRÁN 227

A (45,13) egyenletet, j-t (46,6)-ból véve,

ÖH'Í4 n

alakot ölti [a második egyenlőséghez y'’-t (46,ll)-ből fejeztük ki].Térjünk rá az egyenletek vizsgálatára. Először tekintsük a 1 esetet (amely

általában a szupravezető tiszta fémekre igaz). Ez azt jelenti, hogy á (T )« £(T), azaz (x) függvény változásának karakterisztikus hosszához képest.

A 6. ábrán sematikusan ábrázoltuk a térerősség cs y> eloszlását erre az esette. Abban a tartományban, ahol a tér nagy, y> 0, azután a tér meredeken leesik, míg a ip(x) függvény lassan (x ~ 1 jy. nagyságrendű távolságokon) a tér hiányának hatására változni kezd. A (46,11) egyenletbe A = 0-t helyettesítve, a

- - ^ - d - r )

u A (46,10) feltétéiből x -*±«> esetén automatikusan következik y>' 0, viszont ugyanazon feltételekből és a (46^) egyenletből az következik, hogy x —<» esetén A " == 0 és A — 0 [A(°°) határozott értéke a valós y> választásának következménye].

15*

•------------------- »Vx

6. ábra

egyenletet kapjuk, amelyet a ij> = 0, ha x = 0 feltétellel kell megoldani, ahol az A‘ = 0 pontot valahol a mágneses tér csökkenési tartományában kell megválasztani. Ilyen megoldás ;s

t/J = th (46,13)

függvény, amellyel, (46,l2)-t integrálva (A = 0), azt kapjuk, hogy

H ‘b "2 tA.1y.HS= -----■•=-------------. (46,14)3 1/2 rr y. 8;r x

Ennek az értéknek a hibája azon integrációs tartomány járulékának elhanyagolásából származik, amelyben a tér lecseng. E tartomány Ó, szélességét úgy becsüljük meg,35 hogy felismerjük a (46,9) egyenlet alapján ő f2 ~ yr érvényét. Másrészt a (46,13) képletnek nagyságrendileg a tartomány * ~ határán is érvényesnek kell maradnia, ahonnan y> ~ y.őt következik. E két összefüggésből <5, ~ x_1/2 adódik. E tartományból a felületi feszültségbe adódó járulék ~ / / 2őx~1/2 nagyságrendű, azaz ~?í1/2 arányban kicsi a (46,14) járulékhoz képest [tehát (46,14) nem túlságosan pontos],

A x paramétert növelve, a felületi feszültség nulla lesz, majd negatívvá válik. Ez abból is látszik, hogy < 0 mindig teljesül elegendően nagy x-ra. Valóban, a y(x) függvény változásának jellemző hossza e feladatban nem lehet kisebb A(x) hasonló adatánál, ugyanis A változása y>-t is változtatja. Ezért a y1'2/*:2 tagot nagy v.-ru (46,12) integrand urában elhanyagolhatjuk. Minthogy 0 -- 1 (azaz 0 ~ 1, viszont a normális fázisból való behatolás során a mágneses tér esése kis yr-vel jellemezhető tartományban következik be.

46.§. FELÜLETI FESZÜLTSÉG SZUPRAVEZETŐ ÉS NORMÁLIS FÁZIS HATÁRÁN 229

e red e ti eg y ség ek b en ),ezé ri az In tegra n d u s n eg atív . M e g m u ta tju k , h o g y zéru sh e ly e a

értéknél van. Ehhez «ni-et az

alakban írjuk fel [ezt (46,12) első integráljából a y/ 2 tag parciális integrálásával, majd

(a fordíloll előjel most nem léphei fel, mivel a B = A' tér x növekedésével lecseng). y>-t (46,17)-ből és (46,9)-bŐl kiküszöbölve, az

egyenletet kapjuk, amelynek megoldása (az A' — 1, ha x — ©j és A — 0, ha x — határfeltételek mellett) meghatározza a téreloszlást; (46,17) alapján ekkor a y-re érvényes (46,10) határfeltételek automatikusan teljesülnek. Anélkül, hogy (46,18)-at ténylegesen megoldanánk, elég arról meggyőződni, hogy *2 = 1/2-re a még ki nem használt (46,8) egyenlet is, avagy, ami ezzel egyenértékű, annak első integrálja, (46,11) automatikusan teljesül. (46,17)-et (46,9)-be helyettesítve, y>' = — Ay/2 adódik; y'-nek ezt az értéket A'-nek (46,17)-beli értékével együtt használva, valóban azonosan teljesül a (46.11) cevi’nlw, ha v? = 1/2.

Keressük meg x « 1 paraméterű szupravezetőre a behatolási mélység ter szerinti eiső korrekcióját gyenge terek esetén.

Megoldás. Válasszuk a szupravezető felszínét az y z siknak, a z tengely mutasson £) irányába, x pedig a test belsejébe. A mágneses tér és y> eloszlását a szupraveretőben a (46,8) - (46,9) egyenletek határozzák meg, melyeket a

(46,16)

A" = A ( \ - Á ) (46,18)

Feladat

V' = 0 , H -- A' - ft, ha a- 0 ,

i// — I, A 0, ha .v — oo

határfeltételekkel kell megoldani [közülük az első a (45,15) feltétel]. Keressük a megoldást a

V - 1+ViW . A ~ -§ e ~ * - \-A v(x)

alakban, ahol yi,, A t kis korrekciók a x - 0 melletti megoldáshoz, amely a (44,13) l.ondon-féle csillapodást mutatja. A y>, korrekciókra a

„ , . I ..y>í = 2y.-tpl

egyenlet adódik, ahonnan a határfeltételek figyelembevételével azt kapjuk, hogy

y>, • — xs&se~u ----- sí.V)* (1)8 4 ^ 2

Most A i -re a/A'( ■

egyenletre jutunk, amelyben yj, helyére csak (1) második tagját kell behelyettesíteni, amely *-ban csak elsőfokú. A határfeltételt (AÍ = 0, ha x — 0) figyelembe véve, és ahol lehet, elhanyagolva a x-ban magasabb fokú tagokat az együtthatókban,

A, = - y íb3 [(l-l-x f i ) e ' * - c-fc+ 'W •<] (2)

adódik megoldásként. Ezzel megkaptuk a mágneses tér csillapodásnak korrekcióját is a szupravezető belseje felé haladva. Az efiektív behatolási mélységet, <\„-et a

Oo

K i< - J W i t ' - A ( 0) £ -.4 ,(0 )o

definícióval adjuk meg. A szokásos egységekre visszatérve, (2)-ből a

összefüggést kapjuk.

47. §. A szupravezetők két fajtája

Az <7.,w felületi feszültség lényeges befolyással van a szupravezetők tulajdonságaira. Ennek alapján azokat két csoportba oszthatjuk, az elsőfajú szupravezetőkre: v.m > 0, és a másodfajú szupravezetőkre: am < 0. Minthogy v.„s előjelét a Ginzburg— Landau paraméter szabályozza, így az első típusnak (Tc közelében) x •< l/j/2, a másodiknak pedig h >- l/j/2 felel meg.36

** A tiszta fémes elemek az elsőfajú szupravezetőkhöz tartoznak , A szupravezető ötvözetek másodfajúak. Azt a sejtést, hogy az ötvözetekben x =>• 1/^2, elsőként L, D Landau mondta ki.

47. §. A SZUPRAVEZETŐK KÉT FAJTÁJA 231

Tekintsünk egy kiterjedt hengeres szupravezetőt külső longitudinális § mágneses térben. Ha a szupravezető elsőfajú, akkor a tér növelésekor elsőfajú fázisátalakulás következik be a Hc kritikus térerősségnél. A felületi feszültség szerepe ekkor csak annyi (mint általában bármely elsőfajú átalakulás során), hogy megnehezíti az új fázis első magjainak létrejöttét, és ezzel lehetőség nyílik az s fázis metastabil fennmaradására olyan terek esetében is, melyek valamelyest meghaladják Hc-1.

Ha a szupravezető másodfajú, akkor még Hc elérése előtt termodinamikailag előnyössé válhat az n fázis „beépülése” . A térfogati energia megnövekedését a mag felületi feszültségének negatív járuléka kompenzálhatja. A tér értékének azt az alsó határát, amelyre ez teljesül, alsó kritikus térerősségnek nevezik és H egyei jelölik. Hasonló módon, ha normális állapotú fémből indulunk ki erős külső térben, egy másik Hc2 =- Hc énéket kapunk (a felső kritikus térerősséget), amely alatt az s fázis beépülése termodinamikailag kedvező a negatív felületi energia járuléka révén. így egy meghatározott Hel < Jg < Hcl intervallumban a szupravezető az ún. kevert fázisban található.37 Ebben az állapotban tulajdonságai folyamatosan változnak a tisztán szupravezető állapottól, / / a -gyel kezdve, a tisztán normális állapotig, Ha -ig. Ezzel együtt a mágneses tér folyamatosan hatol be a mintába. Az n és í fázisok térfogati energiáival definiált Hc értéknek ez esetben nincs jelentősége.

Mindkét kritikus térerősség hőmérsékletfüggő, és értékük T = Tc esetén zérussá válik. Ez a 7. ábrán látható fázisdiagramra vezet másodfajú szupravezetők esetében (a diagramban szereplő szaggatott vonalról 1. alább).

s

A felső kritikus teret (a Ginzburg—Landau elméletben) még a vegyes fázis szerkezetének felkutatása előtt kiszámíthatjuk. Elegendő azt észrevenni, hogy Ha -nél

a? Ne tévesszük össze az elsőfajú szupravezetők közbenső állapotával, amely a minta és a külső mágneses tér meghatározott elrendezésében lép fel!


kissé kisebb terekre az s fázis magjaiban a y rendparaméter értéke csak kicsi lehet (nyilván rp -* 0, ha § -*■ Ha ). Ezért a magok állapotát a G inzburg- Landau egyenletek y-ben linearizált alakjával határozhatjuk meg. A (45,12) egyenlet nemlineáris tagját elhagyva, az

egyenletre jutunk, ahol A a y> = 0 állapotú anyagban a homogén terei leíró vektor- potenciál (normálállapotú anyag, teljesen behatoló mágneses térj el).

(47,1) alakilag egy Schrödinger-egyenlettel egyezik meg, amely 2m tömegű, 2e töltésű részecske mozgását írja le mágneses térben, ahol | a \ játssza az energiaszint szerepét. A határfeltételek a szokásos kvantummechanikaiakká! azonosak; ip = 0 a végtelenben. Mint ismeretes (1. III. 112. §), a homogén mágneses térben mozgó részecske minimális energiája EQ = hu>Hj2, ahol coa — 2 | e | Jp/2 mc (ezzel az értékkel a megengedett energiaszintek folytonos sokasága kezdődik). A két feladat analógiájából ezért az következik, hogy az s fázis magjai csak akkor létezhetnek, ha

tehát a kritikus térerősség: Hc2 = 2mc \ a \j \e \h . A (45,9), (45,17), (45,18) kifejezések segítségével ezt a képletet a

alakban írhatjuk (A. A. Abrikoszov, 1952).A (47,1) egyenlet y) = 0 végtelenbeli határfeltételekkel való megoldása unnak a

helyzetnek felel meg, mikor az s fázis magja a minta belsejében, távol a felülettől, keletkezik. Megmutatjuk, hogy a felület jelenléte segíti a magok keletkezését, azaz a vékony felületi rétegben már íg > Mc2 esetén megjelennek (Z>. Sainf— James, P.G. De Gennes, 1963).

A (47,1) egyenlet azon megoldásának, amely a felülethez közeli s fázisú magot ír le (a felületet síknak tekintjük), a szóban forgó felületen a dip/dx = 0 határfeltételt kell kielégítenie, ahol x a felület normálisa irányában számított koordináta [ez a (45,15) feltétel Ax — O-ra]. Az alkalmas kvantummechanikai analógia megtalálásához emlékeztetünk arra, hogy a fent megoldott feladat a részecskék homogén külső mágneses térbeli mozgásáról, ekvivalens az egydimenziós parabolikus gödörben való mozgás feladatával:

(47,1)

Ha = \'2 x líc (47,2)

U = - J - a f a x - x o f ,

47. §. A SZUPRAVEZETŐK KÉT FAJTÁJA 233

ahol x0 a „pálya centrumának” megfelelő állandó (1. III. 112.§). Tekintsünk most egy kettős potenciálgödröt, melyet két egyforma parabolikus gödörből teszünk össze. E gödrök az x = 0 síkhoz viszonyítva szimmetrikusan helyezkednek el (8. ábra). Ilyen térben a részecske alapállapotát olyan y>(x) függvény adja meg, amelynek nincs nullahelye, és páros x-ben. Erre a függvényre triviálisan teljesül, hogy y>' — 0, ha x — 0. Ugyanakkor a dupla gödörben az alapnivó alacsonyabban fekszik, mint egyetlen gödör esetében.38 Áttérve a magok feladatára, ezzel bebizonyítottuk a fenti állítást arról, hogy a felület közelében a magok keletkezése könnyebb, mint az anyagdarab belsejében.

Ulx)

8. ábra

A kettős gödöi beli cnergiaszinteket numerikusán kiszámítva, az (xa függvényében) minimális energiaérték 0,59 E0. A (47,2) képletre a vezetőkkel azonos megfontolások alapján azt kapjuk, hogy a felületi s fázisú magok megjelenésének felső határt szabó mágneses térerősség Ifc3 = / / f2/0,59, azaz

= l ,7 / / (2 - 2,4y.Hc. (47,3)

így a Hc.> és 11 c3 térerősségek közti tartományban fellép a felületi szupravezetés jelensége; ennek a tartománynak a határát a 7. ábrán a szaggatott vonal mutatja. A normális fázis felületénél létrejövő szupravezető réteg vastagsága £(T) nagyságrendjébe esik. Ezt a fent használt kvantummechanikai analógiával kaphatjuk meg: a potenciálgödörben bázisszinten) elhelyezkedőrészecske hullámfüggvénye az* ~ hj~finE^ tartományban összpontosul. A mag ennek megfelelő méretét i%-nak ja |-ra változtatásával kapjuk, az eredmény [(45,17) szerint] |(F)-vel egyezik.

Mindaz, amit most elmondtunk, másodfajú szupravezetőkre vonatkozik. Az így bevezetett Hc2 és Hc3 kritikus térerősségeknek azonban határozott fizikai jelentése lehet elsőfajú szupravezetőkre is.

Ha x az l/y'2 = 0,71 > x >• 0,59//2 - 0,42 tartományban van, akkor Hc2 < de Ha > Hc. Bár a kevert fázis ebben az esetben nem jön létre, a Hc és Ha közötti tartományban mégis jelen van a felületi szupravezetés.

38 Ez a m i kapcsolatos, hogy a potenciális energia az .v < 0 féltérben csökkent az egyetlen gödör esetéhez képest (a 8. ábra szaggatott görbéje). L. pl. III. 50. § 3. feladat.

Végül a levezetésből következik, hogy Hc2 (47,2>beli értéke (tetszőleges x-ra) megadja azon térerősségek felső határát, amelyekre bármely kicsiny y>vel, s fázisú mag létrejöhet. Ezért elsőfajú szupravezetőben (ahol Hc2 < Hc) a § -< Hc2 külső terekre a termodinamikailag kedvezőtlen normális fázis abszolút instabil. A < § < Hc intervallumban a normális fázis méta stabilként létezhet: ebben a tartományban az « fázisból az s fázisba átvezető elsőfajú fázisátalakulás csak véges i/>-jű magok megjelenésével következhet be, ezt pedig megnehezíti a pozitív felületi feszültség (V. L. Ginzburg, 1956).

Feladat

Határozzuk meg egy R « 6 sugarú szupravezető gömbre a kritikus tér értékét ( V. L. Ginzburg, 1958).

Megoldás. Ebben az esetben (ugyanúgy, mint a vékony lemezre; I. a 45. § feladatát) a szupravezetés másodfajú átalakulással szűnik meg. A kritikus térerősséget az az érték adja, amelyre a normális fázis stabilitása megszűnik az s magok képződésével szemben. Mint e szakaszban láttuk, ezt a (47,1) Schrödinger-Upusú egyenlet legkisebb sajátértéke alapján lehet megkapni. Ha R <x Ő, ezt a külső teret perturbációnak tekintve kereshetjük; a perturbálatlan hullámfüggvény egyszerűen állandó, tp — const (a mag a gömb teljes térfogatát elfoglalja). A sajátértéket a (2eA/c)*/4m operátor várható értéke adja [az (/eí/rttcXAv) operátor várható értéke a y> = const állapotban zérus]. A homogén tér vektorpotenciálját A = (§ X r)/2 alakban kell felvenni, éppen ebben a mértékben elégíti ki a y> = const hullámfüggvény a (45,15) határfetételt, ami nA = 0 alakban irható. Az átlagolást elvégezve,

0 4mc- 3 'y 10mc- '

A kritikus teret (ugyanúgy, mint fent) az £ 0 = | a | feltétel határozza meg, ami a

H utö^u) Y 2 Ö H c8 I R

eredményt adja.A perturbációszámítás alkalmazhatóságát utólag megerősíti, hogy a (y = esetén) kapott

£o érték, R « á-ra valóban kicsiny a következő sajátértékhez képest, amely a gömb belsejében változó hullámfüggvényhez tartozik, és melynek nagyságrendje fPjmKr.

48. §. A kevert fázis szerkezete

Újra (csakúgy, mint az előző szakaszban) hengeres másodfajú szupravezető mintát tekintünk hosszirányú .£> mágneses térben. A kevert fázis szerkezetét vizsgáljuk, amikor a testre a Hcl alsó kritikus térerőt alig meghaladó külső mágneses tér hat.39

39 E szakasz (és a hozzá tartozó feladatok) eredményeit A. A. Abrikoszov éne el (1957).

48.§. A KEVERT FÁZIS SZERKEZETE 235

Ebben az esetben szupravezető alapfázisba zárt normális állapotú magokkal van dolgunk. A legelőnyösebb termodinamikai helyzet elérésére a magok felületének a lehető legnagyobbnak kell lennie (negatív felületi feszültség esetén!). Természetes ezért az olyan szerkezet, amikor az n fázisú magok a tér irányával párhuzamos szálakat alkotnak. E fonalak (melyeket örvényfonalaknak hívnak) közelében koncentrálódik a testbe behatoló mágneses tér, és a fonalakat szupravezető köráramok veszik körül.

Minél közelebb van a külső tér erőssége Hcl-hez, annál kevesebb ilyen fonál van a testben, egymástól való távolságuk annál nagyobb. Mikor ez utóbbi elegendően nagy, akkor az örvényekre alkalmazhatókká lesznek a 44. § végén leírt megfontolások, amelyek szerint az örvényben összpontosuló teljes fluxus a <pn — nftcj\ e j elemi fluxuskvantum egész számú többszöröse kell, hogy legyen. Az alábbiakban belátjuk, hogy termodinamikailag a legkisebb erősségű, <p0 fluxusú örvények a legstabilabbak. Éppen <p0 végessége akadályozza meg a normális fázisú magok további darabolódását.

Mikor a tér kicsiny értékekről indulva eléri a Hcl értéket, a hengerben egyetlen örvényfonal alakul ki. írjuk fel azt a termodinamikai feltételt, amely ezt az értéket meghatározza. Ehhez nem kell az örvény szerkezetét közelebbről tekinteni, elegendő azt szem előtt tartani, hogy ez az objektum véges (pozitív!) energiájú; e pozitív energiának hosszegységre jutó mennyiségét e-nal jelöljük (és az alábbiakban ezt kiszámítjuk).

Nyilvánvaló, hogy hengeres testben külső, hosszirányú tér esetén B szintén a henger tengelye mentén mutat. Ugyanez vonatkozik a H = B—4jtM makroszkopikus térerősségre, melyet a 46. §-ban vezettünk be. A rot H = 0 egyenletből ekkor az következik, hogy H a keresztmetszetben állandó (így természetesen a henger teljes térfogatában is az). A határfeltétel megköveteli H tangenciális komponensének folytonosságát, így H = $ . l ’ehát a test termodinamikai egyensúlyát adott térfogaton, hőmérsékleten és H térerősség mellett kell meghatároznunk. Az egyensúly feltételét az P termodinamikai potenciál minimuma adja, a mondott változók függvényében (1. Vili. 30. §). Legyen P, a teljesen szupravezető henger potenciálja (minthogy a szupravezető fázisban B = 0, az Ps potenciál az Fs szabad energiával egyezik meg). Ekkor az egy örvény fonalas henger P potenciálját

P = f , + L e - j ^ - d V = F , + L s . - ^ ^ B d V

adja. Az L t 'ag a fonál szabad energiája (L a fonál hossza, amely a henger hosszával egyezik meg), és az utolsó tag különbözteti meg az /'potenciált az F szabad energiától. Minthogy a B indukció a testben a fonál közelében összpontosul, így fB dV = Lffo, ahol (p0 a fonál keresztmetszetén áthaladó indukció fluxusa. Tehát

f ü t .4n(48,1)

Az örvényfonál akkor válik termodinamikailag stabillá, amikor az J^-hez adódó korrekció negatívvá válik. Tegyük zérussal egyenlővé, amiből a kritikus térerősségre

Hc\ = (48,2)

Vizsgáljuk most egy különálló örvényfonal szerkezetét. A fontos

x » 1 (48,3)

eset vizsgálatára korlátozódunk (tehát Ö » 5 ) . A 4' hosszúság meghatározza a fonal magjának méretét, amelyben | ip\2 nulláról (normális állapot) az s fázisnak megfelelő véges értékig növekszik. A fonál tengelyétől nagy r távolságra | y> I2 értéke már változatlan.40 A B(r) indukció jóval lassabban változik, csak r ~ ó » £ távolságokon kezd lecsengeni. Más szavakkal, a mágneses fluxus nagyrészt a magon kívül halad, ahol | y |2 állandó (9. ábra).

í

8(r)

<f 9. ábra

A z utóbbi körülmény lehetővé teszi, hogy a tér eloszlását a Londo»*egj enlelből határozzuk meg (ezen egyenlet érvényességét nem korlátozza a Tc-hez való közelség). A számunkra szükséges alakot úgy kapjuk meg, hogy (44,7)-ei, amely a szupravezető

“ Ebben a szakaszban r a hengerkoordinátát, a tengelytől mért távolságot jelöli.

48. §. A KEVERT FÁZIS SZERKEZETE 237

áramo; a hullámfüggvény fázisával összekapcsolja, az

A-f- b- rot B = ~ (48,4)

alakba írjuk, bevezetve a Ö behatolási mélységet és j-t a j = c rol B/4ji összefüggéssel kifejezve. A London-közelítést a ő = const feltevés definiálja. Integráljuk a (48,4) egyenletet olyan C zárt görbére, amely körülveszi a fonalat, és r :» £ távolságra halad annak tengelyétől. A integrálját Stokes tétele szerint felületi integrállá alakítjuk, ahol a felülete: a C görbe feszíti ki. Ezzel

J B cff+d2 <j> rot B dl = <p(1, (48,5)

majd a második integrált is hasonlóan átalakítva, az

j (B+ ó'z rot rot B) dt = 9?,, (48,6)

egyenlőségre jutunk. A jobb oldalon a lehető legkisebb (nemzcrus) érték áll, amely a fázis változásának felel meg, egyszeri körbeforduláskor. Ha 11 görbe r » ő távolságra halad az örvényfonaltól, ahol sem tér, sem áram nincs már jelen, (48,5}-ből a második integrál elhagyható, és azt látjuk, hogy (p0 az elkülönített Örvényfonal körül összpontosuló teljes indukciófluxussal egyezik meg. Maga a fonal tengelye szinguláris vonal, melynek megkerülése megváltoztatja a hullámfüggvény fázisát.

Minthogy a (48,6) egyenlőség tetszőleges C görbére igaz (ha az a fenti követelményeket teljesíti). így abból a

B-í-ő2 rot rot B = B - ó 2 dB = <pQ Ö(r) (48,7)

egyenlet következik, ahol r az örvényfonalra merőleges metszet síkjabelivektor. Az egyenlet jobb oldalát azért vettük ő-függvénnyel arányosnak, mert a £ nagyságrendű tartományokat most nulla méretűeknek tekintjük. Az r = 0 vonalat kivéve, (48,7) megegyezik a London-egyenlettel (44,11), de az örvényfonal leírása csak r — 0-ban szinguláris megoldással lehetséges.

A tepoelvtől r távolságra a téreloszlás ó » r » | esetén közvetlenül (48,5)-ből határozható meg. Válasszuk C görbének egy ebben a tartományban haladó kört. Az indukció fluxusa ezen a görbén keresztül [(48,5) bal oldalának első tagja] a mágneses fluxusnak csak kis részéi teszi ki, részaránya ~ (r/ő )2 nagyságrendű, ezért elhanyagoljuk. A második tagban dl a kör vonaleleme. Ezért, minthogy B a z tengely irányába mutat (hengerkoordinátákban a fonál tengelye mentén), és csak r-től függ,

1( V XB) (lx V) B = - = - lf r

(1 a kör érintője menti egységvektort jelöli). így jutunk az

egyenletre, amiből

clB WnIro t B = —- ^ 2 " ^ (48,8)

B(r) = In j , * « r « ö. (48,9)

A z eredmény logaritmikus függését tekintve, v.z integrálás felső határául (ahol már megköveteljük B % 0 -t) az r távolságok vizsgált tartományának felső határát választhattuk.

Ahhoz, hogy a téreloszlás vizsgálatát kiterjeszthessük az r Z b tartományba, felhasználjuk a (48,7) egyenletet, amely bármely r >> £ pontban használható. A Laplace- operátort hengerkoordinátákkal felírva [figyelembe véve, hogy B = B,(r)], az egyenletre (r jí 0 -ra) a

B"+ l- B' + Ö -'B = 0 r

alakot kapjuk. Ennek az egyenletnek im —► OW esetén lecsengő megoldása

B(r) = const ‘Kn(r/d).

ahol K0 a Macdonald-függvény (képzetes változójú Hankel-függvény). Az állandó együtthatót úgy határozzuk meg, hogy ezt „összevarrjuk” a (48,9) megoldással: felhasználva K0(z) ismert határesetét, K0(z) ^ In (2/zy), ha 2 « 1 (y = <?c — 1,78). Végül a

f i ( r ) = 2Í k ^ ( y ) - r > > ' ( 4 8 J 0 )

eredményi kapjuk. K0(z) ismert aszimptotikus (z — <«) viselkedése: K0(z) ~ (n/2z)lí2e~: révén ebből megkapjuk a mágneses tér leesökkenésének törvényét az örvényfonal tengelyétől távol:

*r> = ' ( 8 <«•">

Figyeljünk fel arra a nyilvánvaló analógiára, amely a szupravezetőben, illetve a folyékony héliumban (29. §) fellépő örvényfonalak tulajdonságai között megfigyelhető. Mindkét esetben szinguláris vonalakkal van dolgunk, melyeket körbejárva, a kondenzátum hullámfüggvényének fázisa megváltozik. A folyékony héliumbeli Örvényfonalak tengelye körüli körpályákon végzett szuperfolyékony mozgásnak a

48. §. A KEVERT FÁZIS SZERKEZETE 239-

szupravezetőben szupraköráramok felelnek meg. Az előbbi esetben a szuperfolyékony mozgás vs sebessége csökken 1 jr szerint, a másodikban ugyanilyen módon csökken a szupravezető áram sűrűsége:

J = S - (48,,2)

Ez az egybeesés teljesen természetes, minthogy e törvényszerűségek mindkét esetben pusztán a szinguláris vonal létezéséből következnek. A folyékony héliumban azonban v j/) ilyen alakú függése tetszőleges r távolságon is megfigyelhető, a szupravezetőben viszont f(r) csökkenése r =*> d-ra exponenciálissá válik. Ez a különbség azzal kapcsolatos, hogy az elektronfolyadék töltött: a töltött részecskék mozgása mágneses teret hoz létre, amely leárnyékolja az eredeti teret (ha e ■* 0 . a behatolási mélység végtelenhez tart: d —«>).

Most kiszámítjuk az örvényfonal szabad energiáját. A magon kívülről (r í) jövő járulékot az arra a tartományra képezett, következő integrál adja:

/•örvény = ~ j B 2 dV+ j (fO t B ) 2 dV. (4 8 ,1 3 >

Valóban, ezt a kifejezést B szerint variálva (adott hőmérsékletre, azaz adott ö-ra), azonnal a (48,7) London-egyenletet kapjuk (r jí O-ra) . 41 A (48,13) képletbeli második integrál tartomány mindkét határán logaritmikusan divergens, így nagyaz elsőhöz képest. E kifejezésbe | rot B |-t (48,8)-ból behelyettesítve, megkapjuk a fonál hosszegvscgre jutó energiáját:

«= ( & ) ’ ■» f . <4«,14>

Ez a kifejezés logaritmikus pontosságú, tehát nemcsak ó/£ l érvényességét tételezzük fel, de -ízi is , hogy In (ő /f) a> 1. Csak e feltevés mellett hanyagolható el az örvény magjának járuléka e-ban.

■" (48,13) második tagja kifejezhető a j árammal cs a következő alakot ölti:

2nc-V j j- d V -- j dV \

a második kifejezéshez felhasználtuk a í53 = wc1/4?tíjhj összefüggést, és bevezettük a szuperfolyékony komponens sebességét és sűrűségét a j eoT/Jm definíció alapján (I. a 16. lábjegyzetet). Világos, hogy ez a tag a szupravezető elektronok mozgási energiájának is tekinthető.

A (48,14) eredmény megalapozza többek között azt a korábbi kijelentést, hogy termodinamikailag a legkisebb mágneses fluxusú Örvények megjelenése előnyös. Valóban, a szabad energia a fluxus négyzetével arányos, így az nq>0 fluxusú fonál energiájában megjelenik egy « 2 tényező; ezért e fonál clbomlása n egységnyi fluxusú örvényre w-szeres energianyereséget eredményez.

(48,14)-ei (48,2)-be helyettesítve, az alsó kritikus térerősségre

w'> “ 4& " ’ ! < « • '»

adódik. T -* Tc esetén ezt a kifejezést (45,19) figyelembevételével a

Wf, Hc~ - (48,16)i l y .

alakra írhatjuk át .42

A külső tér növelésének mértékében nő az örvényfonalak száma is, és így a mágneses tér egyre jobban áthatja a szupravezetőt. Ha az örvényfonalak közti kölcsönhatást is figyelembe vesszük, a termodinamikai egyensúlyi állapotban az örvények meghatározott geometriai alakzatba rendeződnek, ami kétdimenziós rács megjelenésével jár a henger keresztmetszetében.43 Tetszőleges fonálsürűség esetén az egyes örvények tengelyéi továbbra is az jellemzi, hogy azokat körüljárva, a y> hullámfüggvény fázisa 2jr-vel változik. A henger keresztmetszetére átlagolt mágneses indukció értéke

B = v<pn, (48,17)

ahol v az egységnyi területen áthaladó örvényfonalak száma. Ha ugyanis a (48,4) kifejezést integráljuk a minta teljes metszetét magábafoglaló görbén, akkor (48,5)-öt kapjuk jobb oldalán £vp>0-val (S a metszet területe); a bal oldalán az első integrál az indukció teljes SB fluxusa, a második az elsőhöz képest ~ ö/R arányban kicsiny felületi effektust vesz figyelembe (R a keresztmetszet jellemző lineáris mérete). E becslésben lényeges, hogy a tér a fonalak tengelyétől ~<5 távolságra lecseng.

Amíg a fonalak közti d távolság nagy a I korrelációs hosszhoz képest, úgy tekinthetjük, hogy az egyes örvények mágneses terei egyszerűen szuperponálódnak. Valóban, a £ esetben mindig lehetséges olyan görbét választani, amely úgy fog át vala

42Minthogy ezt a képlelet az In* » 1 félteiéi mellett vezettük le,ezért x ~ I-re nem érvényes! Speciálisan, x = l //2 -re Hcí (és H#) szükségszerűen megegyezik ff,-vel.

43 A legelőnyösebb nyilvánvalóan az egyenlőoldalú háromszögekből kialakuló rács, melynek •csúcspontjaiban helyezkednek el az örvények.

48. §. A KEVERT FÁZIS SZERKEZETE 241

hány örvényfonalat, hogy azok magjától messze (»-£ nagyságú távolságra) halad el. Az ilyen görbe minden pontjában érvényes a London-közelítés (Ö állandó), és ezért olyan egyenletre jutunk, amely csak annyiban különbözik (48,7)-től, hogy jobb oldalán a Ó-függvény helyett ó-függvények összege szerepel, melyek argumentumában a fonalak helyvektorai vannak. Ennek az egyenletnek a linearitásából következik a fenti állítás.

Mikor a külső tér értéke megközelíti H ^-1, az örvények közötti távolság Összemérhető lesz |-vel. Ez már a kritikus tér (47,2) kifejezéséből is világos, ha azt [(45,9) és (45,16)-(45,18) segítségével] a

//c2 = ro/ZK? (48,18)

alakban írjuk fel, ami szerint ~ £ 2nagyságrendű felületen áthaladó <p0 fluxusnak felel meg.

A szupravezetés = Ha -nél másodfajú fázisátalakulás során szűnik meg. Ezen átmenetek általános elméletének szellemében állítható, hogy a rendparaméter mint a külső tér függvénye, a [y | 2 ~ Ha —§ szabályszerűséget követve tűnik el. Másrészt az anyag mágnesezettsége M = (B— H)jAn (mint a >p fázisának megválasztásától független mennyiség) e tartományban maga is |y |2-tel arányos. Figyelembe véve, hogy § = Ha -re B = Ha , azt kapjuk, hogy a B indukció az átalakulási pont közelében, a szupravezető fázisban lineárisan függ a külső tértől:

B— Hci ~ £>— Hcz- (48,19)

Feladatok

1. Számítsuk ki két örvényfonál kölcsönhatási energiáját, ha d » £ távolságra vannak egymástól.

Megoldás. A két örvényfonál szabad energiáját megadó (48,13) kifejezést alakítsuk át úgy, hogy az integrálást csak az egyes örvények közelében legyen szükséges elvégezni. Ennek érdekében a (48,7) egyenlet kihasználásával írjuk, hogy

Bl +<5*(rot B)2 = ő2{ - B rot rot B f (rot B)*} = b1 div (B x rot B).

A térfogati integrá't átalakítjuk az

Faviuyck ' J (BXrot B) d f (1)/■+/.

képlet szerint, amelyet az / i és f s hengerfelíileteken integrálunk (ezek r0 sugara kicsiny; { r0 -*c S) melyek körülfogják az örvények magját. A fonalak terei d ;*> f esetén összeadódnak, vagyis B = Bi + B,. A fonalak kölcsönhatási energiáját az (I) integrálnak az a része adja meg, amely egyidejűleg függ B,-től és B.-től is:

Le.j; = 1 j" (B. x rot B,) d t , + J (B, x rot Ba) tff2j

1 6 S tatisztikus fizika 2. rész

[a zJ íB jX ro t típusú integrálok nullához tartanak, ha r„ - 0 ] , (48,8) és (48,10) segítségévelebből azt találjuk, hogy

e>! = 2 i r 2w* B(d) = K° (t ) •Speciálisan a d » 8 távolságra:


'í‘* =‘ 27i‘x.s'*

2. Határozzuk meg a hengeres minta keresztmetszetére átlagolt B mágneses indukcióvektor függését a § külső tértől kevert fázisban, amikor az örvények távolsága egymáshoz képest d » <5, és a minta keresztmetszetében szabályos háromszögrácsot alkotnak.

Megoldás. Az egyenlőoldalú háromszög területe /3rf*/4 (itt d a háromszög oldalhossza), az örvények száma fele a háromszögekének (N háromszögnek 3N csúcsa van, de a rácsban ezek mindegyike hat háromszöghöz tartozik), ezért v

Az egységnyi térfogatú rés/. / termodinamikai potenciálja a kevert fázisban:

ahol a második tag a (48,1) képletnek felel meg [H<i-et (48,2)-ből vesszük); a harmadik tagban «15 két fonál kölcsönhatási energiája, az összegezést az egységnyi felületen áthaladó összes örvényfonálra végezzük. Mivel eIt exponenciálisan csökken d s» <5-ra, az összegben elegendő a szomszédos fonalak kölcsönhatását figyelembe venni. A háromszögű rácsban mindegyiknek 6 szomszédja van, ezért

" y £ e'< " iven^>-

fi,j-t az előző feladat (2) képletéből véve, azt kapjuk, hogy

f f , vo r , 3»o e " i * 2 [ a* 2 fa n # aP* J ’

ahol a - d/ó. a-nak .^-függését /(a ) minimalizálásával határozzuk meg, ami a

(3)4 Í2 rtb*

összefüggést adja (az 1 [a « 1-ben magasabbrendű tagot elhagytuk). Ez az egyenlet a Ü - összefüggéssel, amit

a ---■ ( 2 f J i f i Ó-Sy1-

alakban írunk most fel, megadja a keresett S(§) összefüggést. Megjegyezzük, hogy y — ff,,-re dB fd§ végtelenhez ta r t:

d B 1 | n - < 1

,

49. §. A DIAMÁGNESES SZUSZCEPTJMLITÁS A KRITIKUS PONT FELETT 243

49. §. A diamágneses szuszceptibilitás a kritikus pont felett

A 45. § végén megjegyeztük, hogy a r e-hez közeli tartomány, amelyben a y> paraméter fluktuációi nagyok, igen szűk. E tartományon kívül a termodinamikai mennyiségek fluktuációs korrekciói általában kicsik. Azonban a fémnek az átmeneti pont feletti mágneses szuszceptibilitásában hatásuk lényeges lehet: a fluktuációk következtében fellépő kisszámú szupravezető elektron járuléka a mágneses szuszceptibili- lásba felülmúlhatja a kritikus ponttól távoli normális fémek általában igen kis szusz- ceptibilítását.44

Vizsgáljuk a fémet gyenge (íp <*c Hc) külső mágneses térben Tc felett, de ahhoz közel. A rendparaméter egyensúlyi értéke itt y = 0, fluktuációi kiszámítására a Ginzburg— Landau elméletből ven szabad energiát használjuk. Ekkor a (45,10) kifejezésben a fluktuációk kicsinysége miatt elegendő a y-ben kvadratikus tagokat megtartani, elhagyva a | yj | 4 tagot, és A-t a Jj) homogén tér vektorpotenciáljának tekintjük. A B indukció fluktuációi, amelyeket y fluktuációi okoznak, y>-bcn kvadiatikusak (mivel a j áramsűrűség négyzetes y-ben). Ezért a B2/8 ti tagban B-t az indukció átlagos (termodinamikai) értékével szerepeltetjük, elhanyagolva fluktuációit. így a fém teljes szabad energiájának fluktuáló megváltozását a következő kifejezés adja meg, amely ip funkcionálja :45

lí [v’1 = J { L | ("■íh* ~ T A)vf'f 1a 1 v’ *2}dv- (49’1}

A AF fluktuációs korrekció kiszámítására a (49,1) funkcionált „eflektiv Hamilton- függvénynek” kell tekintenünk, amely IF-el

exp ( - | exp j Dy> (49,2)

szerint határozza meg, ahol a funkcionál integrál kiszámításakor az összes y(r) változóra kell integrálni (I. V. 147. §). Az integrálást, y>-t sajátfüggvények valamilyen teljes rendszere szerint sorba fejíve, majd az együtthatók végtelen rendszerére inleg-

4‘ Ezt az effektust V. V. Smidt fedezte fel 1966-ban.45 A félreértések elkerülése végett hangsúlyozzuk, hogy a mágneses lér a szupravezető szempontjá

ból nem tekinthető „külső térnek” abban az értelemben, ahogy az V. 14.§-ban bevezettük. Ez utóbbinak a szabad energiában — Hv’+v>*) alakban kellene előfordulnia, ami itt nyilván lehetetlen, mivel ez a tag nem invariáns y> fázisának megválasztására.

16*

244 V. FEJEZET A SZUPRAVEZETÉS

rálva végezzük el. Olyan rendszerre, amely (külső tér nélkül) homogén, a kifejtést egyszerűen síkhullámok szerint végezzük el (1, pl. az V. 147. § feladatát).

A jelen esetben az alábbi „Schrödinger-egyenlel” sajátfüggvényei szerint kell a kifejtést végrehajtani:

~ ifi V - A j ip = Etp, (49,3)

amely a (49,1) Hamilton-függvénynek felel meg. Már a 47.§-ban megjegyeztük, hogy ez az egyenlet formálisan egy (2m tömegű, 2e töltésű) részecske homogén mágneses térbeli mozgását írja le. Sajátfüggvényeit egy diszkrét (w)és két folytonos (px> p2) kvantumszám indexeli, a sajátértékek pedig csak n-től és p2-töl függenek (z a irányába mutató tengely), és alakjuk a következő:

(49-4»

az adott n és (dp2 intervallumbeli) p z, továbbá tetszőleges px értékekhez tartozó saját- függvények száma

„ 2 \e \§(2 n h f c pz

(I. III. 112. §).A rövidség kedvéért az n, p,, px számhármast egyetlen q jellel foglaljuk Össze, és a

f(r) függvénytV = 2 > ,v ’?(r) (49>5)

<?

alakba írjuk, ahol cq = c'q+ lcq tetszőleges komplex együttható; a sajátfüggvényeket egységnyi normájúaknak tételezzük fel: J \ ip\2 dV — 1 (az integrálást a fém térfogatára végezzük).

A (49,5) kifejtést (49,l)-be helyettesítve, lehetővé válik, hogy a térfogati integrálról q szerinti összegezésre térjünk át. Ugyanis az első tagot parciálisán integrálva, (49,1) a

■1 l:M = | jv* (- tö V - v»*ay>J dv

alakot ölti. Ebbe behelyettesítve (49,5)-öt és figyelembe véve, hogy yg kielégíti (49,3)-at az E = Eq „energiával”, valamint azt, hogy a különböző fl-khoz tartozó sajátfüggvények kölcsönösen ortogonálisak,

az eredmény.

■4F[ip] = Y, I c* !2 (E„ + a) (49,6)

49. §. A DIAMÁGNESES SZUSZCEPTIBILITÁS A KRITIKUS PONT FELETT 245

A (49,2) funkcionálintegrált az összes dc’qdc'q -re való integrálással számítjuk ki.(49,6)-ot felhasználva, az integrálások szeparálódnak, és

alakot ölti.Az összeg nagy E-re divergens, de ez a szingularitás valójában látszólagos, és azért

lép fel, mert a (49,1) képlet csak lassan változó r) függvényekre alkalmazható: ip csak kicsit változhat ~ | 0 nagyságrendű távolságon. Az Eq sajátéj lékekre ez azt jelenti, hogy csak az Eq <k fpjm tl értékek megengedettek. Az «-re való összegezést valamely nagy JV-re levágva, amely kielégíti ezt a feltételt, felhasználjuk Poisson képletét:

[1. V. (59,10)]. Ha (49,8)-ra alkalmazzuk, az első tag, mint azt könnyű belátni, £>-tól független járulékot ad a szabad energiába; erre nincs szükség a mágneses szuszceptibilitás kiszámításához, ezért elhagyjuk. A második tagban N vehető (így a válaszból kiesik a levágási paraméter):4*

avagy

(49,7)

adódik. Az líé s pz kvantumszámokkal explicilen ez a kifejezés a

(49,8)

0

i f _ k _ 2 S $ L f á h - ,48 iP hm c- a + p ljA m

Végül az integrálás elvégzése után

(49,9)

Az együtthatót a T « Tc helyen vettük. 7"c-hez közeli 7"-re az integrálban a p, ~ ~ ~ /i/s(70 « fi/?o értékek a lényegesek, amelyek tehát kielégítik a felállított követelményt.

Ebből a mágneses szuszceptibilitás:

_ _ _L - __________ ?~Ts._________(49 IQ)Á ~ V dSf \27ihcH.mx)l,-(T— Tc)xn 1 ’ ’

(H. Schmidt, 1968; A. Schmid, 1969). Látjuk, hogy az átalakulási pont közelében a szuszceptibiliiás ( T - T c)~l>2 szerint nő. E tartományban (49,10) adja a normális állapotú fém mágneses szuszceptibilitásába a legfontosabb járulékot.

F ela d a t

1. Határozzuk meg egy vékony [cJ« S(T) vastagságú] lemez mágneses momentumát a T ^ T c esetben (T - Tt « Tr), rá merőleges, gyenge mágneses térben.

Megoldás. A lemez véges vastagsága a pt kvantumszám diszkrétségét eredményezi (49,4)-ben, és vékony lemezre (49,7)-ben elegendő a p. = 0 értékre korlátozódni (m ár az első nemzérus p, érték ~6 /í/, Így £ ~ &/md*» W/mg1 ~ a). A z adott n-hez és p,-hez tartozó sajátfüggvények száma (az összes lehetséges p„-szel) 2|<>J &S/2siiíc, ahol S a lemez területe; ezért a (49,7)-beli összegezést {§S/ntíc)Y ,-ként kell érteni. Az összegre Poisson képletét alkalmazva, végül

IF 24 rriltc-a

adódik. A lemez mágneses momentuma:

dáF e‘Tc\)M d$> 12.7m < M T -T e) '

Figyeljünk fel arra, hogy T -*• Tc-xt ex a kifejezés gyorsabban nő, mint végtelen kiterjedésű fémre.

2. Az előbbi feladat, R <s Í(T) sugarú gömbre (V. V. Smldt, 1966).

Megoldás. Ebben az esetben a (49,3) egyenlet összes sajátértékei közül egyetlen, a legkisebb a lényeges, amely <t> — const sajátfüggvénynek felel meg, és értéke = e^R^/lO m c* (l. mindazt, amit erről a 47. §-ban mondtunk). A (49,7) összeg most egyetlen tag járulékára korlátozódik, amiből a mágneses momentumra az

M T, dEu __ e°-T.R*%a PSó 5nlc-a{T—Tr)

képletet kapjuk.

50. §. A JOSEPHSON-EFFEKTUS 247

50. §. A Josephson-effektus

Vizsgáljunk két szupravezetőt, amelyeket vékony dielektrikumréteg választ el. Az elektronok ezt a réteget potenciálgátként „érzékelik” ; ha a réteg elég vékony, akkor véges valószínűséggel áthatolhatnak rajta a kvantummechanikai alagúthatás révén. Még abban az esetben is, ha az áthaladás valószínűsége kicsi, annak nemzérus volta elvi jelentőségű, ugyanis a két szupravezető egységes rendszerré válik, melyet egyetlen kondenzátum hullámfüggvény ír le. Ez a körülmény vezet a B. D. Josephson által megjósolt effektusokhoz (1962).

A rendszer egységes kondenzátum hullámfüggvénye azt jelenti, hogy a szupravezetők kontaktusán keresztül külső potenciálkülönbség hiányában is folyhat szupravezető áram. Ahhoz hasonlóan, ahogy az áram sűrűsége a szupravezető belsejében a hullámfüggvény fázisának, <í>-nek gradiensével arányos, úgy az elválasztó rétegen átfolyó szupravezető áram j sűrűsége kapcsolatos a kontaktus két oldalán mérhetŐ0 2 és

fázisok különbségével.47 Minthogy a &i —&1 különbségek 2n egész számú többszöröseiben különböző értékei fizikailag azonosak, világos, hogy a

függvény 2n szerint periodikus. Az időtükrözés művelete j előjelét megváltoztatja, és egyidejűleg a 0 21 fázis is előjelet vált (minthogy a hullámfüggvényeket komplex kon- jugáltjaik váltják fel). Ez azt jelenti, hogy az (50,1) függvény páratlan, íg y # ai = O-ra értéke zérus. Minthogy nyilván korlátos, így y'(#>2i) 'nek maximumai és minimumai vannak, melyek között a fáziskülönbség változásakor a függvény változik. A függvény páratlansága miatt a maximumok és minimumok abszolút értékei egyenlőek; jelölje

Meg kell jegyezni: (50,1) felírásakor feltételeztük, hogy az áramra saját mágneses tere a kontaktuson belül elhanyagolható mértékben hal. Ellenkező esetben a 0 2i különbség helyett a mértékinvariáns

47 Ahhoz, hogy a kontaktuson keresztül folyó szupraáram észrevehető nagyságú legyen, a dielektrikum vastagságát igen kicsinynek kell választani: ~ 10~7 cm. E távolság a szupravezetőbeli legkisebbjellemző hoiszúsághoz, a <?o koherenciahosszhoz képest is kicsi. Ebben az értelemben az elválasztó réteget végtelen vékonynak kell tekinteni, a fázis viselkedése ebben a rétegben sehol sem jelenik meg az elmélet kidolgozása során.

j = j ( & 2l), ^2 1 = (5 0 ,1 )

e z t ±Jm-

1

kifejezéssel kellene dolgozni. A dielektromos réteg igen kis vastagsága miatt a folytonos Ax(x) függvény integrálját messzemenően elhanyagolhatjuk (az Ax potenciál értékét pedig mindkét oldalon egyenlőnek lehet tekinteni).

Aji& n) függvény alakját a teljes hőmérséklet-tartományban csak a mikroszkopikus elméletből lehet megadni. Itt megelégszünk a Ginzburg— Landau-féle fenomenologikus elmélet érvényességi körét nem meghaladó tárgyalással.

Ha a kontaktus teljesen áthatolhatatlan lenne az elektronok számára, akkor a szupravezetők mindegyikének hullámfüggvénye a kontaktus megfelelő szélén a(45,15) határfeltételt elégítené ki:

d f i 2 iew - f c - A m - o ,

dy>2 2iedx ftc Axy>2 — 0.

A gát véges áteresztése és y értékének végessége a kontaktus halárain arra vezet, hogy ezen egyenlő'ségek jobb oldalain zérustól különböző tagok jelennek meg, amelyek yhnek a kontaktus másik oldalán felvett értékétől függenek. Mivel y> kicsiny (a Tc kritikus pont közelében), lineáris közelítést lehet alkalmazni, azaz írható, hogy

d f i 2ie y>z 8f-> 2 ie yn . „- s r - T r ^ - x - <50,2)

ahol az 1/A tényező a gáton való áthaladás amplitúdójával arányos. Az (50,2) egyenletek invariánsok kell, hogy legyenek időtükrözésre, azaz a \p y>*, A — - A transz- formációra. Ebből következik, hogy A valós [ekkor az előző transzformációra (50,2) egyenletei komplex konjugáltjukba mennek át].

A kontaktuson átfolyó szupraáram nagysága és y> fáziskülönbsége közti kapcsolatot úgy határozzuk meg, hogy (45,14)-et alkalmazzuk a kontaktus valamelyik (mondjuk az 1 sorszámú) oldalára:

ieh / » dy>i dw$ \ 2ez1 * ...... i.

Ebbe a d f j d x hányadost az (50,2) határfeltételből behelyettesítve,

50. §. A JOSEPHSON-EFFEKTUS 249*

adódik. Azonos fémek kontaktusának két oldalán és y 2 csak fázisukban különböznek, ezért az áramsűrűségre

j = jm Sin 0 2 1 , jm = | WI3 (50,3)

irható. A kritikus ponthoz közeledve \ ip |2 -*■ 0, (Tc-T )-x e 1 arányosan, és így ugyanilyen szabályszerűség szerint tart nullához a kontaktuson átfolyó maximális áram- sűrűség is.48

Alkalmazzunk most az alagútkontaktusia valamilyen külső feszültséget, azaz a kontaktusban E elektromos térerősség van jelen. Ezt a teret K-vel jelölt skalárpoten- ciállal írjuk le: E = — vV . Ennek a szupravezető áramokra gyakorolt hatását a mértékinvariancia követelményének kihasználásával világíthatjuk meg.

Tér nélkül (V = 0) a hullámfüggvény fázisa időfüggetlen: d&/dt = 0. 48 Ahhoz,, hogy ezt az egyenlőséget az elektromos tér jelenlétére általánosíthassuk, megjegyezzük, hogy az általánosított összefüggésnek mértékinvariánsnak kell lennie a skalár potenciál

y - * v ~ 7 n $ r (50>4>

mértéktranszformációjára, amely a vektorpotenciált érintetlenül hagyja (ez utóbbit időfüggetlennek tekintjük). Ugyanúgy, ahogy ezt a (44,3), (44,6) transzformációknál levezettük, azt találjuk, hogy F-vel együtt a hullámfüggvény fázisa is transzformálódik :

- + ZU). (50,5>

Ebből látszik, hogy a mértékinvariáns egyenlet

dö r + ^ r v = ° (50’6>dl fi

lesz, amely V = 0 esetén a d 0 /6 t — 0 alakba megy át.

48 A BCS modellen alapuló mikroszkopikus elmélet szerint J é s(í>2i között ugyanez az (50,3) összefüggés érvényes minden hőmérsékleten. Ez az eiiuéW lehetővé teszi, hogy/„-et kapcsolatba hozzuk a két normálállapotú fém közötti kontaktus elektromos ellenállásával. Ennek az elméletnek kifejtését /. O. Kulik és /. K. Janszon: Josephson-effektus szupravezető alagútszerkezetekben (Nauka,i970, oroszul) című könyvében találhatja meg az olvasó.

4* Emlékeztetünk arra (1. a III. fejezet 37. lábjegyzetét), hogy az exp ( - 2 ifit/K) időtényezőt kizártuk a hullámfüggvényből azzal, hogy a rendszer H Hamilton-operátorát f f ' = f í —ft#-nel helyettesítjük.

Ha az elektromos tér időfüggetlen, az (50,6) egyenlet integrálása a

0 = V tfi

-összefüggésre vezet, ahol0(O) időfüggetlen. Ezért ha a kontaktusra V2l állandó feszült- ségkülönbséget alkalmazunk, akkor a fáziskülönbségre

adódik. Ezt a kifejezést (50,3)-bu helyettesítve, a kontaktuson átfolyó szupravezető .aramra a következő függvényt kapjuk:

Arra a figyelemreméltó eredményre jutunk, hogy az alagútkontaktusra állandó potenciálkülönbséget alkalmazva,

frekvenciájú szupravezető áram jön létre.A kontaktusban felhasznált teljesítményt a jV n szorzat adja. Ennek (időbeli) átlag

értéke zérus, azaz a külső forrás rendszeres energiabefektetésre nincs szükség, ami el is várható szupravezetőre, amelynek szupravezető áramához nem tartozik az energia disszipációja. Hangsúlyozzuk azonban, hogy külső elektromotoros erő jelenlétében a kontaktuson normális áram is folyik át (amely gyenge -re maga is kicsiny erősségű), amit disszipáció kísér.

Az a következtetés, hogy a szupravezető áram periodikus az (50,8) frekvenciával, már abból is következik, hogy a j áramsűrűség 0 21-től periodikusan függ, és 21 lineárisan függ /-tői. Ez a következtetés nem kapcsolódik a potenciálkülönbség nagyságára vonatkozó bármely feltevéshez. A konkrét (50,7) képlet csak akkor igaz, ha az ■o>j frekvencia kicsiny a szupravezető jellemző z\jh frekvenciájához képest:

(50,7)

(50,8)

ho>} = 2 \eV\<r< A(T). (50,9)

51. §. AZ ÁR.AM ÉS A MÁGNESES TÉR KAPCSOLATA SZUPRAVEZETŐBEN 251

Feladat

írjuk fel sorosan egymáshoz kapcsolt R ellenállás cs szupravezető darabon átfolyó áram egyenletét, ha azok alagútkontaktuson keresztül kapcsolódnak; az áramkörben V„ elektromotoros erő hat.

Megoldást. A láncbeli teljes feszültségesésre Vn — R J + igaz, ahol J a teljes áram és Vtl a kontaktusban fellépő potenciálkülönbség.60 Ebbe a J = sin értéket és ^ ,-e t (50,6)-ból behelyettesítve, a

egyenletet kapjuk. Megjegyezzük, hogy az ezzel az egyenlettel leírt váltakozó áram nem sinusos idő-változású.

51. §. Az áram és a mágneses tér kapcsolata szupravezetőben

A 44. §-bun az áram cs a mágneses tér kapcsolatát meghatározó összefüggést a London-határesetben adtuk meg, amikor az összes mennyiség lassan változik a test térfogatában; emellett a teret is kritikus értékéhez képest kicsinek tételeztük fel. Most ezt a kérdést teljes általánosságban, a térben tetszőlegesen változó sztatikus mágneses erőtérre vizsgáljuk meg, melynek intenzitását az előzőekhez hasonlóan gyengének tételezzük fel. A „tetszőlegesen változó” jelző itt azt jelenti, hogy a tér lényegesen változhat ~ | 0 nagyságrendű távolságon [de továbbra is lassan változik rácsállandó nagyságrendű távolságon, ezért a közeg (a fém) inhomogenitása atomi távolságokon lényegtelen].

Általános esetben az áram és a mágneses tér közti kapcsolatot térben végtelen kiterjedésű közegre a

j;(r) J Q,k(r - r') A (r ')cPx' (51,1)

inlegrálösszefü^gés adja meg, ahol Qtk csak a közeg tulajdonságaitól függ. 51 Az (51,1) kifejezés linearitása a tér gyengeségéről tett feltevés következménye.

Mint ismeretes, az áramsűrűséget a rendszer energiájának variációs deriváltjaként tekinthetjük a vektorpotenciái szerint: a rendszer Hamilton-függvényének megvál-

50 A kis normális áramot (kicsiny V«-rai a szupravezetőben elhanyagoljuk.61 A végtelen kiterjedésű közegbeli feladat a jelen helyzetben formális jellegű. Valódi jelentőségét

az adja meg, hogy eredményét véges közegre is alkalmazzuk (I. a következő szakaszt).

tozása A variációjára

ÓH = — J jő A dAx

[L III. (115,1)]. Ezért az (51,l)-beli Qtk mag a második variációs derivált. Felhasználva a kétszeres deriválás sorrendjének tetszőlegességét, azt kapjuk, hogy

Q ik(r-r') = Q kiir'-r). (51,2)

A(r)-et és j(r)-et Fourier-integrálba kifejtve, az (51,1) kapcsolatot a Fouríer-komponensekre írjuk fel:

A m , (5i,3)

ahol (51,2) miatt Őífc(k) = Qki(— k).őifc(k) néhány fontos tulajdonsága már a mért ék invariancia követelményéből meg

kapható. A j áram nem változhat az A(r) — A (r)+v^(r) transzformációra, avagy a Fourier-transzformáltakra az

A(k) - A(k)+ik*(k)

transzformáció során. Ez azt jelenti, hogy a ő (A(k) tenzor ortogonális a hullámvektorra :

Q/*(k) kk = 0. (51,4)

Köbös szimmetriájú kristályban (speciálisan) Qik tenzori függése 6ik és k tkk alakú lehet, így (5l,4)-böl azt kapjuk, hogy

Q,k = ö(k), (51,5)

ahol Ö(k) skálái függvény.Ezután azt a mértéket választjuk, amelyben div A(r) = 0. Ekkor a Fourier-kompo-

nensekre kA(k) = 0. így az áram és a potenciál közti (51,3) összefüggést

j(k) = — Q(k) A(k) (51,6)

alakban írhatjuk fel, azaz a <2 (k) skalárfüggvény jellemzi.A London-esctet a O(k), k — 0 határeset írja le. Ezt könnyű megtalálni, ha vesszük

a (44,8) egyenlet,e-ihrot j —---------rőt Amc

51. §. AZ ÁRAM ÉS A MÁGNESES TÉR KAPCSOLATA SZUPRAVEZETŐBEN 253

mindkét oldalának rotációját, és figyelembe vesszük, hogy div A = 0 . Kihasználva, hogy a kontinuitási egyenletből div j = 0 , azt kapjuk, hogy

/ I j = = _ í ^ A .mc

Ebből végtelen közegben, a mindenütt véges j(r) és A(r) függvényekre

j(r) = - - ^ - A ( r) (51,7)

következik, azaz az áramot minden pontban a potenciál ugyanazon pontbeli értéke határozza meg. Ugyanilyen összefüggés igaz a j(k) és A(k) Fourier-komponensekre is, amelyeket (5L6)-tal összehasonlítva, Q(k) határértékére k-tól független mennyiség adódik :52

= 4k ' h a k ~ a (5 ,’8)

A továbbiakban ö(k)-i kiszámítjuk a BCS modellben, amely, mint már mondtuk, izotrop elfajult Fermi-gáz, a részecskék (elektronok) között gyenge vonzóerővel. Egyidejűleg feltesszük, hogy a részecskék e töltésük révén hatnak kölcsön a mágneses térrel.

A 42. §-ban a Fermi-gáz hőmérsékleti Green-függvényeire vonatkozó (42,5) egyenleteket külső tér nélkül már felírtak. A mágneses teret a V -*v — ieA/c helyettesítéssel vezetjük be a (7,7) # (0) Hamilton-operátorba. 53 Emiatt ugyanilyen változtatás szükséges a y> operátorra vonatkozó (7,8) egyenletben, illetve a V —V + ieA/c helyettesítés

A*p+ egyenletében. Ugyanez az általánosítás módja WM és egyenleteire. A spin tag ( ~ <jH), amely az elektron mágneses momentumának közvetlen kölcsönhatását írja le a külső térrel, kicsi és elhanyagolható a Hamilton-operátorban és az egyenletekben egyaránt. A V operátorral a 0-{r, r; r ', r') és r, r; x \ r ') függvényekre hatva,

r), ill. í™ (t, r) térmennyiségeket kell deriválni. Ezért a (42,5) egyenletekbe ugyanazzal a V—V ^ ieA jc helyettesítéssel vezetjük be a mágneses teret, mint fent.

A külső tér jelenléte megszünteti a icndszer térbeli homogenitását, aminek következtében a Green-függvények az r és r' változókból már nem egyszerűen r—r' alakban, a x és r ' változóktól viszont továbbra is a x —x' formában függenek. Az egyenleteket

62 Ebben és a kővetkező szakaszokban a London-féle behatolási mélységet d£>lel jelöljük.53 E szakasz további tárgyalásában [az (51,9)-(51,19) egyenletekben] A = 1.

rögtön ii (t— T')-beli Fourier-komponensekre írjuk fel:


{& + V - ~ A(r)j + r, r')+gS </-(&; r, r') = ö(r),

^ + ~ -A(*-)] +/*j (7(C,; r, r')-gS*$(t,; r, r') = 0.(51,9)

Gyenge tér eseten, amire itteni vizsgálatunk korlátozódik, ezek az egyenletek line- arízálhatók a

# = 0 » + 0 . m ,_ _ _ (51,10)

i j = C jm + C fm

jelöléssel, ahol az első tagok a függvények térmentes értékét adják, a másodikok pedig az A-ban elsőrendű kicsinységű korrekciókat.

Azt is figyelembe kell vennünk, hogy a tér jelenléte megváltoztatja a kondenzátum S hullámfüggvényét, amely így nem tekinthető állandónak. Ez a bonyodalom azonban nem lép fel a vektorpotenciái választott mértéke,

div A = 0 (51,11)

esetén. Ugyanis, a skalár £ (r) függvényben az elsőrendű korrekció (a 5 {f>) állandó értékhez) szükségszei üen div A-val arányos, tehát (51,11) révén zérus. Ezért a lineari- zált egyenletekben a kívánt pontossággal = g S m = A írható, ahol 4 az energiaspektrumbeli rés a térmentes esetben (valós mennyiség).

Végeredményben az (51,9) lineari/ált egyenletek

# ul(fs;r, t’)+A(JO){Cs; i , t’) - A(r) V ^°)(C S; r - r ') , y zm f mc(5M2)

<7{1KU r, r,r') = - ~ A(r)V<?‘"»(^:r--r')

alakúak. Ezek az egyenletek lineárisak A-ban, ezért elegendő megoldani azokat egyetlen Fourier-komponensre, vagyis az

A(r) = A(k) eikr, kA(k) = 0 (51,13)választással élhetünk.

Ilyen A(r) esetén a ^ |1J é s ^ fl> függvények függését (r+ r')-iő l azonnal leválaszthatjuk a következő módon:

■#<*)(£,; r, r') = g(C,; r - r ' ) eJk(r+r'>/*,

r, r') = /(£ ,; r - r ' ) <?,k<r+r'>/2.(51,14)

így (51,l2)-ben az első egyenlet átírható az

[«,+ ■2^7 ( v + y k)V /t] g(Cs; r - r ,)+A/at; r-r') =

= - A(k) e ^ '- 'V 2 v r - r') mc

egyenletté, és hasonló átalakítás hajtható végié a második egyenletben is. Alkalmazzuk a Fourier-transzformációt g- re és /-re az r —r' változók szerint; végül két algebrai egyenletből álló rendszert kapunk:

2 ^ ( p + j j + m | g(U P) + P) =

(5I,I5>

Ks - -2“ - ( p + j ) + ,«j /(C ,, p ) - / !* ( ? „ P) =

€m c

r p A ( k > r ? w ^ „ p - ~ J

Egyszerű átalakításokkal és ^ (ÜJ, valamint < (42,7), ill. (42,8) kifejezéseinek fel- használásával, az egyenletek megoldása

ír \ e A/t \ (%*+V+)(%*+V-)+ 12 •?(C í,P)_ mc P ( ) ({!+«*+)(ö+ ai) ’ ( > )

ahol e± = e(p± k/2), »/± = í j( p ± k /2 ) [az p) függvényre a továbbiakban nem lesz szükségünk].

Térjünk át az áram kiszámítására. Ehhez az áramsűrűség operátorának ismert másodkvantált kifejezéséből indulunk ki:54

3 =

64 L. III. 115.§. Itt a részecskék spinjárulékát az áramba elhagytuk. Nem ferromágneses rendszerre (mikor a Green-függvény re fennáll <■Jup = ez a tag átlagoláskor nullát ad.

A Maisubara-reprezentációra úgy térünk át, hogy a Heisenberg-képbeli 'P, 41' opera-A

torokat a Matsubara-féle *PMés !í/M operátorokkal helyettesítjük. A Green-függvények(37,2) definícióját visszaidézve, azt kapjuk, hogy az áramsűrűség (amely a Gibbs- sokasággal átlagolt j operátor diagonális mátrixeleme) a következő alakban írható fel:

j(r) = 2 ^ - [ ( v ' - v ) # ( T , r - ,T ' , r % mt ~ ~ A ( r ) n , (51,17)t' - r+ 0

ahol /i a részecskeszám sűrűsége (a 2 szorzótényező a = 2& egyenlőség következménye).

(5 l,17)-be behelyettesítve a Q — ^ (0, + ^ (1)függvényt, minden ^ <0>-t tartalmazó tag kiesik: homogén, izotrop közegre ^ (0)( r—r') páros, deriváltja r —r' = 0 esetén zérus. t — t ' szerinti Fourier-komponensekre áttérve, azt kapjuk, hogy

j ( r ) = 4 r I [ ( 7 '—7 ) « ; r , O V - t - ~ A(r).itt »ÍC

Ebbe behelyettesítjük A(r) és -$ (1> kifejezését (51,13)-ból és (51,14)-böl, és így

. 2eT ^ f , fP/í ne2 3( ) ~ ffi (2 JI) 3 mc (

Amikor (51,16)-ból e kifejezésbe beírjuk g(íj; p)-t, célszerű azonnal kihasználni j(k) és A(k) transzverzális jellegét és átlagolni a p± vektorra k irányára merőleges síkban. Az átlagolást a

P l • , / .


= _2"SÍn2 0 (Ő/fc—w )képlet szerint végezzük, ahol d a k és p közti szög. Végeredményben Q(k)-ra, ami meghatározza j(k) és A(k) kapcsolatát, a következő kifejezést kapjuk:

Q(k) = _ÍL y Q sing Q S&+y+)(&±y-)+*_ _igp_+«fLmtc s k „ ) p ( ^ + 4 )(Cf+£2- ) (2rtf + mc ’

Az itt felírt integrálok és az összeg formálisan divergens. Valójában e divergenciák látszólagosak, de a számításban elővigyázatosnak kell lenni, mivel a divergenciák eltávolításáig az eredmény attól is függhet, milyen sorrendben végezzük el az integrálást és az összegezést.

Ezt a nehézséget kikerülhetjük, ha figyelembe vesszük a nyilvánvaló tényt, hogy A — 0 esetén Q = 0, ugyanis normális állapotú fémben nem folyik szupravezető áram. Ezért a válasz nem változik, ha (51,18)-ból levonjuk a A — 0 esetén adódó kifejezést:


( % ,+ v + )( .& + V - H & _

(51,19)1 1 d 3p

( K s - v + M s - * ) - ) } (2n y •

Ez a kifejezés már jól konvergál, az integrálás és Összegezés elvégzésének sorrendje tetszőleges.

Először is vegyük észre, hogy a számunkra fontos k értékekre k < k pp. Ez az egyenlőtlenség azt az egyszerű tényt fejezi ki, hogy az a jellemző távolság, amelyen a szupravezetőben megváltozik az áram és a mágneses tér, nagy részecskék közötti távolságokhoz (azaz ~ i /^ h e z ) képest.

Integráljunk (51,9)-ben először p szerint. Ennek az integrálnak a fő járuléka a Fermi- felülethez közeli \p —pF\ szűk impulzustartományból jön. E tartományban

V/?/c cos B m ve(p—/>jf)±-^ Vpk cos 6,

az integrandusban a p 1 tényezőt ^£-tel helyettesíthetjük, a dip mérték helyett pedig 2itmpF dy d cos 0 írható. Ezután (51,19)-ben a kapcsos zárójelben álló második tag rj szerinti integrálja nulla: az integrálási utat a komplex r) síkban egy végtelen távoli félkörön bezárhatjuk, és az integrál azért nulla, mert az integrandus pólusai (C, előjelétől függően) ugyanabban (az alsó vagy felső) félsíkban helyezkednek el. (51,19) első tagjának rj szerinti integrálását elemien végezhetjük el, és csak az x = cos Q szerinti integrálás feladata marad ezután vissza. A p%= Zvthí összefüggéssel bevezetve az n sűrűséget, a végeredményt (a szokásos egységekben) az alábbi képlet adja meg:

3nTne- ^ f A % l-x 2)d x~ 4mc . J [C2+A*+(tívPkx!2ym + /J2)W2 » 1 ’ '

- \

ahol f, = (2s+ ])tzT (J . Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schriejfer, 1957).55

“ Az itt bemutatott módon a hómérsékleti Green-függvényekkel ezt az eredményt A. A . Abriko- szov és L. P. Gorkov kapta meg (1958).

17 S talísztikvs fizika 2. rész

A kis k-k határesetében (&í0 1, ahol | 0 ~ ftvF(Aa ~ fivF/Tc a koherenciahossz) megmutatható, hogy az (51,20) kifejezés a /c-tól független (51,8) London-féle eredményre vezet, ezzel itt részleteiben nem foglalkozunk.

Ellenkező határesetben (/c| 0 » 1) az (51,20) integrálban az x <, TJhkvF<$z 1 tartomány járuléka a lényeges. Ezért az integrandus számlálójában x 2 az egységhez képest elhanyagolható, és ezután (a gyors konvergencia miatt) az integrálási tartomány kiterjeszthető (— <», <»)-re. Végeredményben

n<h\ - 3n2ne2T V zj22 mchvfk Í?-M 2 '

Az összegezés (42,10) segítségével elvégezhető, és a képlet a következő alakot ö lti:*6

6 (k) = -7 -í7T’ /? = -■■ 2 - j T - ^ l h ^ - , / r lo S 'l . (51,21) mc2 27

Ha T<szTc, akkor % n, A = d0 és így ~ 1/Ő^0. Tc—T « r c esetén a zJ energiarés kicsiny, tehát th(/f/2 r ) % A/2TC; a (40,4), (40,5) és (40,16) képletek figyelembevételével újra /9 ~ l/á^fo adódik. Tehát a 0 és Tc közti teljes hőmérsékleti tartományban fennáll, hogy

(1 ~ 1/áÍío- (51,22)

így a Ö(k) függvény lényegében állandó a k <, l / £ 0 tartományban (k = 0 esetén regulárisán kifejthető fc2 hatványai szerint; e tartományon kívül a g(k) függvény csökken, és ha k 1 / | 0, akkor az 1 jk viselkedést mutatja. Q(k) ilyen viselkedésének olyan Q(r) függvény felel meg, amely lassan ( 1/r2 szerint) csökken az r <, £0 tartományban és exponenciálisan e tartományon kívül. Tehát az áram és a külső tér ~ | 0

tartományon belül korrelált. Aláhúzzuk, hogy ez a következtetés a teljes (0, Tc) hőmérsékleti tartományban érvényes. Ezzel megalapoztuk azt a 44. §-ban már használt feltevést, hogy £„ játssza az univerzális hosszúságparaméter szerepét a szupravezetőben.

** Ezt a képletet A . B. Pippard még a szupravezetés mikroszkopikus elméletének megalkotása előtt, 1953-ban javasolta kvalitatív megfontolások alapján.

52. §. A MÁGNESES TÉR BEHATOLÁSI MÉLYSÉGE SZUPRAVEZETŐBE 259

52. §. A mágneses tér behatolási mélysége szupravezetőbe

Az előző szakasz eredményeit a külső mágneses térnek a szupravezetőbe való behatolására alkalmazzuk (London-közelítésben ezt a feladatot a 44. §-ban oldottuk meg).

Legyen a szupravezető határfelülete sík, és a minta töltse ki az x =- 0 félteret. A külső $ tér (és vele együtt B a szupravezető belsejében) legyen a felülettel párhuzamos, z irányú. Ekkor az összes mennyiség csak jc-től függ, viszont j és az A vektor- potenciál (a div A = 0 mértéket választva) y irányú. A rot B = — aA = 4jrj/c Maxwell-egyenlet

AjrA " ( x ) = - — j{x), x > 0 (52,1)

alakú, ahol ' az x szerinti differenciálás jele.Az egyenlethez tartozó határfeltételek a fémre érkező elektronokkal szemben tanú

sított fizikai viselkedéstől függenek. Legegyszerűbb az az eset, mikor az elektronok tükrözésszerűen verődnek vissza a felületről. Nyilvánvaló, hogy ekkor a féltéire vonatkozó feladat ekvivalens a teljes térre kiterjedővel, amelyben az A(x) az x = 0 sík két oldalán szimmetrikusan oszlik el [A(x) = A (—x)]. Az A'(x) függvénynek, amely x-nek páratlan függvénye, az x = 0 pontban szakadása van, minthogy e ponton áthaladva előjelet vált. Más szavakkal, a féltér határán érvényes B = A ' = )q határ- feltételt a végtelen kiterjedésű szupravezetőre vonatkozó feladatban az

/4 '(+ 0 ) - /T ( -0 ) = 2$ (52,2)

határfeltétel helyettesíti.Szorozzuk meg (52,l)-et az e~ikx tényezővel, és x szerint integráljuk (— «>, °°)

között. Az egyenlet bal oldalán

ck> 0 o© oo

J A" e~iíx dx = j (A' e~ikx)' dx+ J (A' e~ikx)‘ d x+ ik J A' e~ikx dx*—oo —oc 0 — oo

írható. A két első tag járuléka — 2$, az utolsóban pedig egyszerűen parciálisán integrálhatunk, mivel az A(x) függvény az x = 0 pontban folytonos. Végeredményben a

4 TCz<p+k*A(k) = ~ m

egyenlőségre jutunk, ahol A(k) és j(k) az A(x) és j(x ) függvények Fourier-komponensei az egész térre kiterjesztve. Kapcsolatukat a j(k ) = — Q(k) A(k) összefüggés adja meg,


ahol Q(k)-t az előző szakaszban számítoltuk ki. így a tér Fourier-együttliatójára az

m - v A r ( 5 2 J )képletet vezettük le.

A b behatolási mélység definíciója :5'

oo

-ií (52,4)

= 0)-t az A(k) Fourier-komponensekkel fejezzük ki, azok (52,3)-beli függvényalakját használva:

= l j * T m * w - i5 V >— oo — oo

Ebben az integrálban azok a k értékek a legfontosabbak, amelyekje k.2 ~ 4?rQ/c, A London-esetben (mikor öL f0) ezek az értékek kicsik fcf0« 1 értelmében). Ekkor Qik)-t a k-tói független (51,8) kifejezés adja meg, és az integrálás eredménye természetesen ö = öL.

Az ellenkező Pippard-féle határesetben (mikor bL « £0) a k :» 1 / £ 0 értékek a lényegesek. Itt Q(k)-t (51,21) adja meg, amivel az (52,5) integrál a

ő = Öp = 4/33/2JSl/:: (52,6)

eredményre vezet. (51,22) figyelembevételével a Pippard-féle behatolási mélységre a

Öp ~ (Ülő)1* (52,7)eredményt kapjuk.

A bemutatott számítások az elektronok tükröződésszerű visszaverődésére vonatkoztak a fém felületéről. A London-esetben azonban a behatolási mélység független a visszaverődési törvénytől, ami ő^-nek 44. §-beli levezetéséből nyilvánvaló, ugyanis Ő | 0 esetén a felület szerkezetének részletei lényegtelenek.

A Pippard-féle határesetben is lényegtelennek adódik a behatolási mélység függése a visszaverődés módjától. így például a tükröződéssel ellentétes diffúz visszaverődéskor (mikor tetszőleges beesésre a visszavert elektronok iiányeloszlása izotrop) ÖP értéke csak 9/8-szor nagyobb, mint tükrös visszaverődés esetében.

45 Ha a tér exponenciálisan cseng le, ez a képlet azonos a (44,13) definícióval.

53. §. A SZUPRAVEZETŐ ÖTVÖZETEK 261

53. §. A szupravezető ötvözetek

A szennyeződések jelenléte sokkal jobban befolyásolja a szupravezetők tulajdonságait, mint a normális állapotú fémekét. A normális állapotú fémek termodinamikai mennyiségeinek korrekciói mindaddig kicsik maradnak, míg az adalék anyag atomjainak x koncentrációja kicsi. Nagyságuk csak x ~ 1 esetén válik lényegessé, mikor a szennyező atomok közötti átlagtávolság összemérhetővé válik a a rácsállandóval. Hangsúlyozzuk, hogy itt csak az elektronok járulékáról beszélünk, még pontosabban azokról, amelyeket a vezetési elektronok kvantumállapotainak átlagos sűrűsége határoz meg az impulzustérben (ilyenek például a fajhő, a gyenge terekbeli mágneses szusz- ceptibilitás stb.).

Más a helyzet a szupravezető fémekben. Ez annak a jellemző hossznak, £0-nak a létével kapcsolatos, amely nagy a rácsállandóhoz képest. Minthogy az elektronok szóródása a szennyeződéseken lerontja korreláltságukat, a szupravezető tulajdonságai lényegesen változhatnak már akkor is, ha a szabad úthossz £„ nagyságrendjébe esik. Az x koncentráció ekkor még igen kicsinynek tekinthető. Az alábbiakban azokat az alapvető eredményeket mutatjuk be kvalitalívan, amelyek elengedhetetlenek az ilyen kis koncentrációjú ötvözetek tulajdonságainak értelmezéséhez.58

Feltételezzük, hogy a szennyező atomoknak nincs mechanikai impulzusmomentumuk és így mágneses momentumuk sincs (nem paramágneses szennyezések). Ez esetben mágneses tér nélkül csak gyengén hatnak a szupravezető termodinamikai jellemzőire. Emögött az a tény áll, hogy e szennyezők nem törik le az anyag időtükrözési invarianciáját. Ugyanis az adott eloszlású szennyező atomok kölcsönhatását az elektronokkal valamilyen U(r) potenciál megadásával újuk le. Kramers tétele szerint ilyen térben az elektronok energiaszintjei kétszeresen elfajultak, és az egyes nívókhoz tartozó állapotok egymás jdőtükrözöttjei, tehát ezek az elektronok Cooper-párokat alkothatnak. Ez újra csak a Fér mi-felület éles környezetében következik be, azzal a különbséggel, hogy ez a felület most nem az impulzustérben határolja a betöltött nívókat, hanem az f/(r) potenciálbeli állapotok kvantumszámainak terében. A szennyezők kis koncentrációja esetén a Fermi-felület közelében a kvantumállapotok sűrűsége alig változik.

Ezért világos, hogy a szennyező atomok helyzetére való átlagolás után az eredeti (szennyező nélküli) elmélet képleteit csak az x-szel azonos nagyságrendű kifejezések módosítják. Ezeket elhanyagolva, a Tc kritikus hőmérséklet és a fajhő itt mérhető

as A szupravezető ötvözetek teljes elméletét, melyet A . A . Abrikoszov és L. P. Gorkov dolgozott ki, bonyolultsága miatt e könyv keretei között nem tudjuk bemutatni. L. az eredeti cikkeket: ZSETF 35 (1958) 1558,36(1959) 319.

ugrása nem változik (P. W. Anderson, 1959). Ezért a G inzburg-Landau egyenletekben szereplő paraméterek a2/b hányadosa sem változik [1. (45,8)]. Az egyenlet alakja is teljesen független attól, hogy vannak-e szennyezők az anyagban vagy sem: egyaránt érvényes tiszta szupravezetőkre és szupravezető ötvözetekre.

Másrészt a szupravezető mágneses tulajdonságai (speciálisan a mágneses tér behatolási mélysége) már / ~ £ 0 esetén lényegesen megváltoznak. Alább megbecsüljük a behatolási mélységet abban az esetben, mikor már / bár még a koncentráció x <k I. (A. B. Pippard, 1953).

Az elektronok és a szennyező atomok ütközései teljesen megszüntetik az elektronok mozgása közötti korrelációt az r 2 ; / távolságokra. Ez azt jelenti, hogy az áram és a tér szupravezetőbeli kapcsolatában szereplő Q(r) magfüggvény már r ~ l <k £ 0 esetén exponenciálisan lecseng. Ennek megfelelően az impulzusreprezentációban Q(k) állandó lesz a k <, l/I tartományban. Ennek az állandónak az értékét úgy határozzuk meg, hogy ki ~ 1-re „összevarrjuk” az állandót az (51,21) képlettel (amely igaz marad a k »■ l / l » l /f 0 tartományban). így azt kapjuk, hogy

ha * ' * ' • <53''>

A 3 behatolási mélységet a k 2 ~ Q(k)jc (ha k ~ l/ö) összefüggésből határozzuk meg (1. 52.§). (53,l)-et felhasználva,

á ~ b ^ \ T = 0 ) [ , ^ (Aj2T ) \ 1/2 ~ ó<l-iwta>(r ) ( t ) 1/2 (53’2)

adódik, amelynek érvényességéhez fenn kell állnia a ő » / egyenlőtlenségnek, amely feltétele (53,1) alkalmazásának. A „tiszta” index a behatolási mélység értékét a szeny- nyezők nélküli, tiszta anyagra jelöli, ugyanerre vonatkozik a | 0 mennyiség is. (53,2)-t a London-képlet alakjában is felírhatjuk, ha abban a szupravezető elektronok számán az

ns ~ n ^ $ 0/l (53,3)

mennyiséget értjük. Az a és b Ginzburg—Landau együtthatókkal (53,2) azt jelenti [I. (45,16)], hogy

b_ ^ / b \ jo_a ^ \ a / tiszta 1

Azt a korábbi megjegyzést figyelembe véve, hogy az a2/b hányados értéke független a szennyezők jelenlététől,

3 ~ - y - , b ~ £>tiszta (-j \ (53,4)

53. g. A SZUPRAVEZETŐ ÖTVÖZETEK 263

adódik. (45,17) szerint ebbó'I a korrelációs sugárra a

{ l \ ,/2Í(T) - Í(T)h« u (53,5)

képletet kapjuk, a x paraméterre (45,18)-ban a

fo(53,6)X ^ tis z ta ~ j ~ ^ ^ t is z ta

összefüggés áll fenn. Elegendően kis szabad úthossz esetén x > l/j/2 jön létre, tehát az eléggé „piszkos” szupravezetők másodfajúak.

A Ginzburg—Landau elmélet alkalmazhatóságát „piszkos” szupravezetőkre alulról csak a Te— T ^ T C feltétel korlátozza. A Ö(T) : » l kötelező egyenlőtlenség ebben az esetben a gyengébb

egyenlőtlenséggel egyenértékű.Végül, néhány szót szólunk a paramágneses szennyezésű szupravezetők tulajdon

ságairól. Az ilyen szennyezések letörik a rendszer időtükrözési szimmetriáját, és ezzel megszűnik az elektronok „párosodásának” jelensége is (ha mágneses momentumok vannak, az időtükrözés azok előjelét is megváltoztatja, azaz lényegében egy fizikai rendszert egy másikkal helye'testiünk). E szennyezőknek a szupravezető tulajdonságaira gyakorolt hatásának kvantitatív mértéke a spin irányának megváltozásával járó szórással szembeni szabad úlhossz fs nagysága (ezt a jelenséget a szennyező atomokkal való kicserélődési kölcsönhatás okozza). A szupravezetés olyan x szennyező koncentrációnál szűnik meg, amikor ls ~ f0.

A valóságban azonban két azonos nagyságrendű kritikus koncentráció van. Közülük a kisebbikre (jíj) az energiaspektrumbeli A rés válik zérussá, a 3 kondenzátum hullámfüggvénye viszont csak valamely x2 > koncentrációra lesz nulla. Az x± és x* értékek közötti tartományban jön létre a rés nélküli szupravezetés. Minthogy a Lon- don-egyenlet levezetésekor, a 44. §-ban csak a kondenzátum hullámfüggvényének létét és néhány, a mértékinvariancüval kapcsolatos tényt használtunk ki, világos, hogy az alapvető szupravezető \onások (szupraáram, Meissner-effektus) e tartományban is fennmaradnak. Az energiarés hiánya (egyensúlyi állapotú szupravezetőben) a fajhő nemexponenciális hőmórsékleifüsgésében jelentkezik. Megjegyezzük, hogy a szuperfolyékonyság Landau-kri;éiiumával (23. §) nem kerülünk ellentmondásba, mivel rendezetlen rendszerekre (mint amilyenek a vizsgált ötvözetek is) e krilétium általában nem alkalmazható, mert az elemi geijesztések határozott impulzusúak.6*

40 A résmentes szupravezetés elméletének kifejtésére 1. az eredeti cikket: A. A . Abrikoszov, L . J". Gorkov, ZSETF 39(1960) 1781.


54. §. Cooper-effektus nemzérus pályamomentumú elektronpárra

Már nemegyszer említettük, hogy a szuperfolyékonyság létrejöttét Fermi-rendszerekben alapvetően a Cooper-effektus, azaz a Fermi-felületen elhelyezkedő, egymást vonzó részecskék kötött állapotainak létrejötte (párosodása) okozza. Fermi-gázra a vonzás feltételét az a = J ucPx szórási hossz negatív előjele jelenti, azaz a zérus pályamomentumú (/ = 0 ) állapotban ütköző részecskék szórási amplitúdója pozitív (éppen ez az állapot a lényeges a kisenergiájú szórásban).

Ennél azonban jóval erősebb állítás is igaz: a párosodás (és ennek következtében a szuperfolyékonyság) létrejön, ha a kölcsönhatás akárcsak egyetlen / értékre vonzó jellegű (L . D. Landau, 1959). Hangsúlyozzuk, hogy izotrop rendszerről (folyadékról vagy gázról) van szó, amelyre az állapotokat az l kvantumszámmal lehet osztályozni.

Bizonyítsuk be állításunkat egy olyan módszert használva, amely elvben a szuperfolyékony állapotba való átmenet Tc hőmérsékletének meghatározására is alkalmas, és csak a 7 ’ > T c hőmérsékleten mutatott (normális Fermi-gáz) tulajdonságokat használja fel.

A 18. §-ban említettük, hogy a normális Fermi-folyadékok Green-függvényeinek matematikai jellemzése során a részecskepárok kötött állapotai a r vertexfüggvény pólusaiként jelentkeznek. Ugyanez igaz (T =4 0-ra) a hőmérsékleti Green-füugvé- nyekre, ahol a vertexfüggvényt ''(y-vel jelöljük. Ha ilyen pólust találunk, akkor az egész Green-függvényes technika elvben ugyan alkalmazhatatlanná válik, azonban abban a legelső „pillanatban”, amikor a T — Tc hőmérsékletet elérve először jelenik meg a pólus, de a pár kötési energiája még zérus, még alkalmazható; ekkor ugyanis a normális és a szuperfolyékony állapot egybeesik. A

3 1

í 2

vázdiagramon a köröcske - rö-\ jelöli. A Tc kritikus pontot a fentiek szerint határozzuk meg, azaz e hőmérsékleten 'C-nek pólusa van, miközben

Í í i — C j 2 — 0 , P 1+ P 2 — 0 . ( 5 4 ,1 )

Az első egyenlet azt fejezi ki, hogy a párosodó részecskék a Fermi-felületen helyezkednek el, a pár energiája éppen zérus; a második S'zei int a párosodó részecskék eredő impulzusa zérus.

A párosodás már tetszőlegesen kicsiny vonzó kölcsönhatás esetén fellép. Világos, hogy a pólus megjelenéséhez az szükséges, hogy a vertexfüggvény perturbációs sorában olyan tagok forduljanak elő, amelyek az (54,1) feltétel teljesülése esetén még Tc -* 0 -ia is divergens integrálokat tartalmaznak (gyenge vonzás esetén Tc kicsi). Ellenkező esetben az elsőrendű véges közelitő kifejezés összes korrekciói nyilván kicsinyek lennének minden hőmérsékleten, és így nem léphetne fel pólus.

Ezt a követelményt a következő létrasor kielégíti:

54. §. COOPER-EFFEKTUS NEMZÉRUS PÁLYAMOMENTUMÚ ELEKTRONPÁRRA 265

(54,2)

(a másodikkal kezdve) a szaggatott vonalak jelképezte kölcsönhatás gyengeségét ellensúlyozza az integrálok minden határon túl való növekedése. 00

A (17,3) egyenletről a (17,4)-re vezető eljárást alkalmazzuk e sorra is, és azt találjuk, hogy az (54,2) egyenlőség ekvivalens a

(54,3)

egyenlettel. A szabad végeknek és a belső vonalaknak az (54,3)-ban feltüntetett impulzusokat feleltetjük meg az (54,1) feltétel figyelembevételével:

Pl = (0, Pl), P 3 = (0, p 3), Q = ( £ , q).

A Green-függvények spinfüggését ideális gázra adja meg, a vertexfüggvény spinfüggését pedig (antiszimmetrkalás nélkül!) a

'Tjyg, {Pa, Pi\Pi- Pí) = ő«y '~0{P3, P i; Pu Pi)

alakban választhatjuk le. Az (54,3) gráfokat a 38. §-ban bevezetett szabályokkal analitikus alakban felírva, és a spinfüggést leíró tényezőkkel egyszerűsítve, megkapjuk a

“ Az (54,2) gráfokhoz hozzá kellene adni ugyanezt a sorozatot felcserélve a 3 és 4 kifutó vonalakat, ami a vertexfüggvényt antiszirrunetrizálná spin- és pályaváltozóiban. Azonban az itt kitűzött feladathoz, Tc meghatározásához en-e nincs szükség, minthogy a vertexfüggvény e két részében egyidejűleg jelenik meg a pólus.


•'Z5 függvény integrálegyenletét:

"Ö(P3, - Pa; p i, - P i ) + 7- f f U{p3- q ) W C ,, q) & ° K ~ - q)X

Az összegben és az integrálokban a í s diszkrét változó kis értékei a lényegesek, valamint a q impulzusnak a Fermi-felülethez közeli értékei (1. alább). Ezért az U és 'V tényezőkben az integrandusban = 0 és q = helyettesíthető. A Pt és P3 vektorok is a Fermi-felületen helyezkednek el. így az (54,4) egyenletben szereplő D és, U függvények mindegyike valójában csak egyetlen független változótól függ: a p„ pg, q Fermi-felületen elhelyezkedő vektorok közül bármelyik kettő által bezárt szögtől.

így az (54,4) egyenletet megoldhatjuk, ha U-t é s 'ü - t Legendre-polinomok szerint fejtjük ki:

ahol # az említett szögek valamelyike. E kifejtéseket használjuk (54,4)-ben, és a gömbfüggvények összegezést képlete segítségével elvégezzük az integrálásokat, amivel a

eredményre jutunk, ahol

n - 1^ 6 . o r - g f r . ^ t _ J - ^ ; (54,7)

a függvényt (37,13)-ból vettük, rjq = (q2j2m)— p *5 vF(q—pF). A (42,10) összegezés!' képletet használva,

A d q = dr)jvF szerinti integrál divergenciája a felső határon csak látszólagos (1. a 3. lábjegyzete^, és az integrált le kell vágni valamely t) ^ s, értéknél. 61 Ha azonban

61 Az (54,7)-ben szereplő s-összeg gyors konvergenciája miatt csak a kis í , értékek lényegesek, míg a q szerinti integrál logaritmikus viselkedése igazolja azt a feltevést, hogy q közel van p P-hez.

£/(#) = I (2 /+ l)a ,P ,(co s# ), “ 0

(54,5)

(54,6)

(54,8)

54.5. COOPER-EFFEKTUS NEMZÉRUS PÁLYAMOMENTUMÚ ELEKTRONPÁRRA 267

T — 0, az integrál az alsó határon is logaritmikusan divergens, tehát In (1 /7>ként viselkedik.

(54,6)-ból világos, hogy rö l végtelenné válik (azaz "75-nek pólusa van) az

feltétel mellett. Ennek az egyenletnek az alakja megegyezik a párosodási átmeneti pontot / = 0 esetén meghatározóéval, pusztán a g „csatolási állandót” kell (—aty re változtatni [vö. (42,11)]. Ha ezt az egyenletet Tc meghatározására használjuk, akkor A = 0 helyettesítendő, és ekkor e(p) megegyezik 7jp-vel. Ennek következtében világos, hogy a vertexfüggvénynck pólusa van, hacsak egyetlen a, mennyiség negatív. Az átmeneti hőmérsékletre ekkor

adódik [vö. (40,9) és (39,19)]. Ha a, < 0 több / értékr e is teljesül, akkor az átmenet a maximális ] at | ér tékhez tartozó hőmérsékleten következik be. 82

Megmutatható, hogy bármely Fermi-gázra (vagy folyadékra) amely elektromosan semleges atomokból áll, at értéke elegendően nagy /-re negatív (L. P. Pitajevszkij, 1959). Ennek az az oka, hogy a semleges atomok kölcsönhatásában minddie van egy olyan távolságtartomány (a nagy távolságoké), amelyben a kölcsönhatás vonzó jellegű; az ún. van dér Waals-vonzás tartománya.

Egy létező folyadékra, a 3He folyékony izotópjára, a szuperfolyékonyság minden jel szerint az / = 1 állapotban történő párosodás következménye. 03 Nem foglalkozunk a szuperfolyékony fázis szerkezetével, és csak röviden tárgyaljuk az ezt a fázist a normálistól megkülönböztető rendparaméter kiválasztásának kérdését is. Az átmeneti pont felett zérus, az alatt zérustól különböző értékű mennyiség az F J t , r ,; U r2) =

anomális Green-függvény. Mint már a 41. §-ban rámutattunk, ez a kötött részecskepár hullámfüggvényének tekinthető. Fourier-komponensének, F^íp)- nek a Fermi-felületen (azaz p = 2pFn értéknél) számított értéke az n irány függvénye (azaz nem állandó, mint volt az / = 0 esetben történő párosodásnál). A y-opeiátorok antikommutativitása miatt az F0#i(n) függvény aniiszimmetrikus a részecskék felcseré-

62 Megjegyezzük, hogy ha minden o, pozitív lenne, akkor nem következne be átmenet, és 'C, (54,6) képlete egészen T — 0-ig érvényes lenne. Ennek során T — 0 esetén minden nullához tartana Ti, ~ l/l In 7"| szerint. Ez a6.§-ban már említett tény következménye, mely szerint T = 0-n, ellenkező impulzusú részecskékrea O függvény (és vele a kvázirészecskék/kölcsönhatási függvénye is) eltűnik.

03 Az átmenet ~IO - 3 K-en következik be. Megjegyezzük, hogy Tc kicsinysége biztosítja, hogy a folyékony 3He-ra a normális Fermi-folyadék elméletének alkalmazhatósági tartománya létezik.

(54,9)

(54,10)


Ha a párosodás az / = 1 állapotban történik (vagy bármely páratlan impulzusmomentum értéknél), páratlan függvénye n-nek, tehát F ^ szimmetrikus spinor. Ez azt jelenti, hogy a pár spinje egységnyi, amint az kötelező is azonos fermionokból álló, páratlan / értékű párra. A kétindexes szimmetrikus spinor egy vektorral ekvivalens, amelyet d-vel jelölünk. / = 1 esetén d-nek n-függését a P^cos 0) Legendre- polinom adja meg, azaz lineáris: dt = ipikitk. A i\pik kétindexes komplex tenzor (amely nem feltétlenül szimmetrikus!) írja le a szuperfolyékony fázist. A valóságban a folyékony 3He-nak két szuperfolyékony fázisa létezik, melyek a y ik tenzor alakjában különböznek.

V I. F E J E Z E T

E L E K T R O N O K A K R I S T Á L Y R Á C S B A N

55. §. Elektron periodikus erőtérben

Az alomok elektronfelhői kristályos anyagban erősen kölcsönhatnak, aminek következtében nem beszélhetünk a különálló atomok energiaszintjeiről, hanem csak a test egészében található Összes elektron közös energiaszintjeiről. A különféle szilárd testek elektronspektrumainak eltérő a jellege. E spektrumok tanulmányozását megelőző szükséges lépés egyetlen elektron viselkedésének tanulmányozása térbeli periodicitást mutató külső erőtérben, amelyet a kristályrács modelljeként tekintünk. E kérdéskörrel foglalkozik az 55—60. §.

A tér periodikussága azt jelenti, hogy nem változik egy tetszőleges, a = ^ 1^1 + +tr2a2+naaa alakú vektorral való eltolás esetén (ahol a l5 a2, a3 a rácsállandó vektorok; nv n2, ns egész számokat jelöl):

C /(r+a)= t/(r). (55,1)

Ezért az elektron mozgását ilyen térben leíró Schrödinger-egyenlet is invariáns bármilyen r — r-f-a eltolással szemben. Ebből következik, hogy ha y(r) valamely stacionárius állapot hullámfüggvénye, akkor y(r+a) is megoldása a Schrödinger-egyenletnek, mégpedig ugyanazt az állapotot írja le. Eszerint állandó szorzó erejéig a két függvény egyezik :^ (r-f a) = const *^(r). Nyilvánvaló, hogy abszolút értékét tekintve, az állandónak egységnyinek kel! lennie, ellenkező esetben végtelen sokszor ismételve az eltolást a-val [vagy (—a)-val] a hullámfüggvény végtelenhez tartana. Az ilyen tulajdonságú függvények általános alakja:

¥>sk(r) = eil,,Wjk(f)» (55>2)

ahol k tetszőleges (valós) állandó vektor, »jk pedig periodikus függvény:

/íA(r + a) = «A(r). (55,3)

270 VI. FEJEZET. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN

Ezt az eredményt elsőként F. Bloch kapta meg 1929-ben; az (55,2) jellegű hullámfüggvényeket Bloch-függvényeknek hívják, ezért a periodikus erőtérben mozgó elektront szokás Bloch-elektrónnak is nevezni.

Adott k-ra a Schrödinger-egyenletnek általában végtelen sok megoldása van, amelyek e(k) diszkrét energiaértékek végtelen sorozatának felelnek meg. A ylk függvény s indexe ezeket a megoldásokat sorszámozza. Ugyanezt az s indexet (az energiasáv sorszámát) kell az energiafüggvény különböző ágaihoz, a periodikus erőtérben mozgó elektron e = e,(k) diszperziós törvényéhez hozzárendelni. Az energia értéke minden sávban valamely véges tartományban változik.

A különböző sávokat „energiarések” választják el egymástól, vagy részlegesen átfedhetnek. Az utóbbi esetben az átfedés tartományában az energia minden értékéhez (minden sávban) különböző k értékek tartoznak. Ennek geometriai jelentése az, hogy az izoenergetikus felületek a két átfedő (s és s') sávban a k-tér különböző tartományaiban helyezkednek el. Formálisan az átfedés elfajulást jelent, hiszen a különböző állapotok azonos energiájúak, minthogy azonban ezeket az állapotokat k különböző értékei jellemzik, ennek nincs szinguláris következménye a spektrumban. Az átfedés általános esetétől eltér az a sáválfedés, amikor e/k) és ey(k) ugyanazokban a k pontokban megegyező értékűek (az izoenergetikus felületek metszik egymást). Általában csak ezt az esetet tekintik elfajulásnak; a metszés meghatározott tulajdonságú szingularitásokat okoz a spektrumban.

Az egyes függvények, amelyekre s és k különböző, egymásra kölcsönösen ortogonálisak. Speciálisan, a különböző j-ű és azonos k-jú függvények ortogonalitása miatt nyilvánvaló az wík függvények ortogonalitása is. Periodikussága miatt célszerű egyetlen elemi cella v térfogatára integrálni; a megfelelő normálási feltétellel

A k vektor jelentése az, hogy meghatározza a hullámfüggvény transzlációs viselkedését: a z r -» r+a transzformáció azt e,k*-val szorozza, azaz

Ebből azonnal következik, hogy a k mennyiség definíciója nem egyértelmű: azok az értékek, amelyek egy adottól valamely b reciprok rácsbeli vektorral térnek el, ugyanolyan viselkedésű hullámfüggvényt eredményeznek fexp{/(k+b)a} = eJ.p(jka).] Más szavakkal, k-nak ezek az értékei fizikailag egyenrangúak; az elektronnak ugyanahhoz az állapotához, azaz ugyanahhoz a hullámfüggvényhez tartoznak. Azt mondhatjuk, hogy a függvények periodikusak (a reciprok rácsban) a k indexben:

J w*k Ha d v = <5m.. (55,4)

r* (* + a) = eík‘ y>(r). (55,5)

¥>j,k+b(r) = v'ik(r)- (55,6)

55. §. ELEKTRON PERIODIKUS ERŐTÉRBEN 271

Az energia is periodikus:£í(k+b) = £,(k). (55,7>

Az (55,2) függvények meghatározott hasonlóságot mutatnak a szabad elektron hullámfüggvényeivel: a y> = const•exp(/pr/í) síkhullámokkal. A jelen esetben Ak játssza a megmaradó impulzus szerepét. Ezzel újra eljutottunk az elektron kvázi- impulzusának a fogalmához (ugyanúgy, ahogy V. 7].§-ban a fononra tettük). Hangsúlyozzuk, hogy a periodikus erőtér esetében nincs igazi megmaradó impulzus, mivel külső erőtérben az impulzusmegmaradás nem érvényes. Figyelemre méltó azonban, hogy ennek ellenére lehetőség nyilik periodikus térben az elektron jellemzésére egy állandó vektorral.

Adott Ak kváziimpulzusú stacionárius állapotban a valódi impulzus (különböző valószínűséggel) végtelen sok í(k + b ) értéket vehet fel. Ez abból következik, hogy egy térben periodikus függvény Fourier-sora elbr alakú tagokat tartalmaz:

«3u(r) = IX fc+b e'br,

és ezért az (55,2) hullámfüggvényt a síkhullámok alábbi szuperpozíciója állítja elő:

<MO = l X k +beí(k+b)r. (55,8)b

Az a tény, hogy a kifejtési együtthatók csak (k+b)-től függnek, a reciprok rácsbeli periodikusságot fejezi ki [1. (55,6)]. Hangsúlyozzuk, hogy ez a tény, akárcsak az (55,6 > tulajdonság, nem újabb megkötés a hullámfüggvényre, hanem az U(i) tér periodicitásának természetes következménye.

k összes fizikailag különböző értéke a reciprok rács egyetlen cellájában helyezkedik el. A cella „térfogata” (2 jifjv , ahol v a térbeli rács elemi cellájának térfogata. Másrészt a k/2jr tér térfogata adja meg a neki megfelelő (egységnyi térfogatra jutó) kvantumállapotok számát. így minden egyes sávban 1 jv számú állapot van, azaz a kristály egységnyi térfogatában található elemi cellák számával megegyező számú.

Az e,(k) függvény k-periodicitása mellett azokra a forgatásokra és tükrözésekre nézve is szimmetrikus, amelyek a rács irányszimmeíriáinak (kristályosztályainak)felelnek meg. Ugyanakkor az adott kristályosztály szimmetriacentrumának létezésétől függetlenül mindig fennáll az

^ ( - k ) = e,(k) (55,9)

összefüggés. Ez a tulajdonság az időtükrözési invariancia következménye. E szimmetria következtében ugyanis, ha y>A az elektronállapot stacionárius hullámfüggvénye,, akkor a komplex konjugált függvény egy azonos energiájú állapotot ír le. A


függvényt azonban eltoláskor az e ík* tényező szorozza, tehát — k kváziinipul- zusú .1

Vizsgáljunk most a periodikus térben két elektront. Ezeket egyetlen y(rx, r2) hul- lámfüggvényű rendszerként tekintve, azt találjuk, hogy párhuzamos eltoláskor ez a függvény az é tényezővel szorzódik, ahol k-t a rendszer kváziimpulzusának tekinthetjük. Másrészt, ha az elektronok közötti távolság nagy, y(r l5 r2) a két elektron önálló hullámfüggvényeinek szorzatára redukálódik, amely eltoláskor az tényezőkkel szorzandó. A szorzó kétféle írásmódjának megegyezéséből adódik a

k = k i+ k 2 + b (55,10)

egyenlőség. Speciálisan ebből következik, hogy periodikus erőtérben mozgó két elektron ütközésekor a kváziimpulzusok összege a reciprok rács egy vektorának hozzáadása erejéig megmarad:

kjL+k2 = k i+ ká+ b . (55,11)

A kváziimpulzus és a v a ló d i impulzus közötti további analógia megvilágítására határozzuk meg az elektron átlagos sebességét. Ennek kiszámításához meg kell adni a sebesség v = I operátorát k-reprezentációban. E reprezentációban az operátorok egy tetszőleges hullámfüggvénynek a y>sk sajátfüggvények szerinti cjk kifejtési együtthatóira hatnak:

V = I f c * V*d*k. (55,12)S

Adjuk meg elsőként az r operátort. Használjuk az

r? = £ | r?M d 'k = £ | c* - i ^ ~ - + ie'to j d*k

azonosságot. Az első tagot parciálisán integráljuk, a másodikban az (usk periodikus- sága miatt) periodikus dusJ d k függvényt az i/ík ortogonális függvényrendszer szerint fejtjük k i:

~ ~ = - i X (ík | í í | /k ) urk, (55,13)

1 Ha a sávok kozott átfedés van, akkor e megfontolásokból szigorúan véve csak e,( - k) = s,,( k) következik, ahol s és s' két különböző sáv indexe. Az (55,9) egyenlőséget azonban mindig elérhetjük, ha az E(k) függvény ágait alkalmasan sorszámozzuk.

ahol az (sk | Sl | .v'k)-k állandó együtthatók. A következő kifejezést kapjuk:

rf = £ J ‘fsk ^ + z j I Sl I /k> f /k dAk -

~ ? 11* 'w' + £ k I Isk) Cl,k| V* d3k-

Másrészt az r operátor definíciója szerint

= E í (fesk) Vsk d 3k.S *

Ezt a fenti eredménnyel összehasonlítva,

(55,14)

adódik, ahol az (hermitikus) Í2 operátort (s'k | £ 2 1 sk) mátrixelemei definiálják. Lényeges, hogy ez a mátrix k-ban diagonális, és ezért Sl felcserélhető a k ~ k operátorral.

A sebesség operátorát az általános szabályok szerint, az r operátort az elektron Hamilton-operátorával kommutálva kapjuk. A k-reprezentációban a Hamilton- operátor diagonális a k vektorokban és az s sávindexekben; mátrixelemei az s,(k) mennyiségek. 2 A d/dk operátor, amely csak a k változóra hat, 5-ben diagonális. Ezért a

kifejezésben az első tag egy diagonális mátrixot ad, melynek mátrixelemei:

ffj mátrixelemeit Sl mátrixelemeivel az

(sk | S21 s'k) = j [e5( k ) - e,(k)]<* [ Sl | s’k)


2 Pontosabb kj-reprezentációról beszélni Emlékeztetünk arra, hogy ebben a reprezentációban a c,k hullámfüggvények nem teljesen tetszőlegesek, k-ban kötelezően periodikusak.

összefüggés kapcsolja össze, amely s = s ' esetén zérus, tehát Si-nak a sávindexben nincs diagonális eleme. így végeredményben az elektron sebességének mátrixelemére kapjuk, hogy

<ík | v | / k > = ( s k [ Ú I s 'k ) {s * s ') . (55,15)


E mátrix diagonális elemei megadják a megfelelő állapotokban a sebesség várható értékét. Ezeket az értékeket tehát a kváziimpulzus függvényeként a

* ,= Í f - (55,16)

mennyiségek adják, ami a klasszikus összefüggéshez teljesen hasonló.Eddig a tárgyalás során eltekintettünk az elektronok spinjétől. Elhanyagolva a

relativisztikus hatásokat (a spin-pálya kölcsönhatást), a spin figyelembevétele egyszerűen minden adott k-jú állapot kétszeres elfajulására vezet a spinvetület lehetséges értékei szerint. A spin-pálya kölcsönhatást is tekintetbe véve, a helyzet aszerint más és más, hogy a kristályrácsnak van-e inverziós centruma, vagy nincs.

A periodikus térben mozgó elektron spin-pálya kölcsönhatása a

fij2^ = (55,17)

operátorral irható le, ahol a a Pauli-mátrix (1. IV. 33. §). A hullámfüggvények, amelyekre ez az operátor hat, a yjka elsőrendű spinorok, ahol k a spinoiindex. Kramers tétele szerint, amely tetszőleges (többek közt periodikus) elektromos térre érvényes, a y>skx és komplex konjugált spinorok mindig két azonos energiájú, de különböző állapotot írnak le. Ugyanakkor a — k kváziimpulzusnak felel meg, így újra (de most már a spin-pálya kölcsönhatás figyelembevételével is) ugyanarra az

£«,(—k ) = eM'(k ) (55,18)

összefüggésre jutunk, mint (55,9)-ben, ahol a a és a a' index a két eltérő (időtükrözött) spinállapotot jelöli.3

1 A spin-pálya kölcsönhatással kiegészített Hamilton-operátorral a spinvetület operátora már nem felcserélhető. Ezért ez a vetület nem marad meg, és segítségével a spinállapotokat — szigorúan véve — nem jellemezhetjük.

Az (55,18) egyenlőség nem jelenti természetesen a fent említett értelemben vett elfajulást, mivel a két oldalon álló energiák különböző k-jú állapotokhoz tartoznak. Ha azonban a rácsnak van inverziós centruma, akkor a k és — k állapotok energiája megegyezik. Ekkor az eJ0(k) = ^ ( k ) egyenlőséget kapjuk, ami újfent az adott kvázi- impulzusú állapotok kétszeres elfajulását jelenti.

Az időtükrözéssel kapcsolatos elfajulás mellett periodikus erőtérben az elektron állapotai között a rács térbeli szimmetriájából származó elfajulás is felléphet. E kérdésekkel foglalkozik majd a 6 8 . §.

Feladat

1. Adjuk meg az elektronnak a 10. ábrán látható periodikus térbeli egydimenziós mozgására vonatkozó diszperziós törvényt {R. Kronig, W. G. Penney, 1930).

Ulx)

ír- i m

- b 0 a a+b10. ábra

Megoldás. A hullámfüggvény az I gödör tartományában (0 < x ~< a)

\p = c , <?-'*■*, x , = flm elh . (1)

alakú, a II potenciálgátban ( —b < x ■< 0) pedig

tfi = c3e'*í*+ct e -l*’x, = )Í2tn(e—U0)/fí. (2)

A következő gátban (III) a hullámfüggvény csak az fázisszorzóban tér el (2)-t<51 (ö+ 6 az erőtér periódusa):

y, = eiHo+M(Cs j) + c 4 (3 )

A y> és y>' függvények x — 0 és x = a pontokbeli folytonossága négy egyenletet ad a cu . . . , c, együtthatókra. Ezek összeférhetőségének feltétele adja a diszperziós egyenletet:

cos k(a+ b) = cos *,ű- cos x^b - -i- ) sin x xa- sin y.J), (4)rtU___ 2 \ *1 /

amely implicit formában irrghatározza a keresett e(k) függvényt, e l/0*ra a x t mennyiség képzetes, és az egyenletet

\ / \ yt \ X \ ccos k(a+b) = cos «,o-ch | x tb | + -r- {-—------- .—- r ) sin »,o- sh | x%b I (5)2. \ Xi I x2 I /

alakban kell felírni.

276 VI. FEJEZET. ELEKTRONOK A KR1STÁLYRACSBAN

Ha (5>ben az t/0 —«>, b — 0 határesetet vesszük az U<fi = const = Pa feltétel mellett, akkor a

Pmaí s in y.xa ... cos ka = cos Xjű H— Tj--------------- (6)fl Kjfl

diszperziós összefüggésre jutunk, ami a <S-függvényszerú csúcsok ismétlődéséből létrejövő

U(x) - aP £B » -ö o

periodikus potenciálban adja meg a fenti feladat megoldását. A l l . ábrán a (6) egyenlet grafikus megoldását illusztráljuk. Az egyenlet jobb oldalát függvényében ábrázoljuk; amikor a függvényérték ± 1 között halad, az egyenlet gyökei az abszcisszán vastag szakaszokkal ábrázolt tartományokat futják be.

2. Adjuk meg az egydimenziós mozgás diszperziós törvényét gyenge, periodikus U(x) erőtérben.

Megoldás. A teret kis perturbációnak tekintve, a részecske szabad mozgásából mint nulladik közelítésből indulunk ki:

V>'0>W = {Na)-'l- ea*

(a normálás szerint 1 részecske helyezkedik el az Na szakaszon, ahol a a rácsállandó); a részecske energiája e<0) = k W /lm . Fejtsük az U(x) periodikus függvényt Fourier-sorba:

U(x) = Y UnH--00

E tér síkhullámokkal vett mátrixelemei csak akkor különböznek zérustól, ha azok k és k ' = k+2nn(a hullámvektorú állapotok közötti átmenetnek felelnek meg. A mátrixelemek értéke ekkor Vk.k= Um.

A perturbációszániitás első közelítésében az energia korrekcióját az e'1’ = Uu = Ua mátrixelem adja, azaz egy fc-tól független állandó, aminek egyetlen hatása az energia alappontjának eltolása. A k = 7in/a énékekhez közeli hullámszámok (n = ± 1 , ± 2 , . . . ) azonban kivételt képeznek. E pontokban k csak előjelben különbözik a k ' = k —Innia értékektől, tehát é ° \k ) és e<0>CAr') azonos. A pontok közelében a közeli energiájú állapotok közötti átmenetek mátrixelemei zérustól különbözőek, és ezért a korrekciók meghatározásához a közeli sajátértékekre megfogalmazott perturbáció-

elméletet kel! alkalmazni (1. III. 79. §). A választ III. (79,4) adja meg, am i szerint esetünkben] ( 1 lV!

«.(*) = j - ^ 0>W +s(0,(*--XK)]± |-jt« <»>(fc)-e«>( * - ^ ] 2 + | Í / J ' j ,

ahol K„ = 2nn/a, az additív £/„ állandót pedig elhagytuk. A gyökjel előtti előjelet az a követelmény határozza meg, hogy a & = ± K J2 értékektől távol az s(k) függvény át menjen e(0)(£)-ba: a + és — előjelek rendre a | k \ =» j K J2 |, ill. | k | -c | K J 2 1 tartományokban érvényesek. Magukban a k = = ± K J 2 pontokban «(fc>nak ugrása van, melynek erőssége 2 1 UH |. A 12ö ábrán az e(k) energiát k függvényében ábrázoljuk, amely a ( —<», <») tartományban változik. Ha redukáljuk k {a kvázi- impulzus) értékét a ± n/a szakaszra, akkor a 12b ábrát kapjuk, ahol az első két energiasávot rajzoltuk le.

f f

a) b!

12. ábra

Figyeljük meg, hogy a 12. ábrán (ugyanúgy, mint a II.--en) a sávok nincsenek átfedésben. Ez az egydimenziós, periodikus erőterekben végzett mozgás általános tulajdonsága. Minden energiaszint kétszeresen elfajult (k előjele szerint), és ennél nagyobb mértékű elfajulás az egydimenziós esetben nem is lehetséges. Azt is megjegyezzük, hogy egydimenziós esetben minden sáv határa (az energia minimális és maximális értékei) a k = 0 és k = n/a értékhez tartozik. A helyzet az, hogy a tiltott intervallumbeli energiaértékekhez tartozó hullámfüggvények o-vel történő eltoláskor valós tényezővel szorzódnak (ezért a végtelenhez tartva, korlátlanul nőnek). A megengedett sávban elhelyezkedő hullámfüggvények szorzója ugyanilyen eltoláskor e,k". A megengedett és tiltott tartományok határán a szorzótényezőnek egyszerre kell valósnak és egységnyi abszolút értékűnek lennie, amiből következik, hogy ka értéke nulla vagy n lehet.

3. Határozzuk meg a részecske diszperziós törvényét egydimenziós periodikus erőtérben, amely olyan egymás után következő szimmetrikus p>tenciálgödrökből áll, amelyek kielégítik a kvázüdasz- szikusság feltételét (minek következtében a gödrök közti falakon a részecske áthatolási valószínűsége kicsiny).

Megoldás. Az eljárás hasonló a kettős gödörbeli nívók felhasadásának vizsgálatánál követetthez (III. 50. §, 3. feladat). Legyen %(•*) az egyik g jdörbeli mozgást leíró normált hullámfüggvény (energiája 80; 1 .13. ábra), amely tehát exponenciálisan csülapodik e gödör mindkét falától kifelé távolodva. Ez a függvény valós, és az x változónak egya' ánt lehet páros vagy páratlan függvénye. A periodikus potenciálbeli mozgás helyes hullámfüggvénye nulladrendben az alábbi összeg:

ooy>k(x) - C £ e ^ V o (x -a n ) ,* -• -oo (I)

DM

v a *o J

13. ábra

ahol C normálási állandó (az x — x + a eltolás során ez a függvény - mint vártuk - <?ft*-val szerződik). Felírjuk az érvényes Schrödinger-egyenleteket:

V>1' + [«(*) - U(x)\ >/>, - 0, v'i' + -Tar l'o - */(*)] n = 0,

és megszorozzuk az elsőt ¥>o-val, a másodikat %-val. Kivonva az utóbbiból az előzőt, x szerint a ( -ű /2 , o/2) tartományban integráljuk az eredményt (13. ábra). Észrevesszük, hogy a ii>0(x)y>0(x —ait) szorzatok n ?t 0 esetén mindenütt elhanyagolhatóan kicsik, ezért

«/*f VÁ*) V'o( v) ~ C-

- 0/2

Ezzel az integrálás utánfr

« (* )-« « tV'ÍV’í - V ’oV'il-Sis-

Az x = aj2 helyen az (I) összegben csak az n = 0 és n = 1 tagok jelennek meg. Felhasználva, hogy Vo(-tf/2) —±y>b{al2) attól függően, hogy y'o(*) páros vagy páratlan, azt kapjuk, hogy

VÁű/2) - C ^ 0(o/2)(1 + e'*°), y>í(o/2) = Cv»í(o/2 )(lTe'*“);

hasonló módon az .v = - aj2 helyen csak az n — 0 és n =■= — 1 tagok maradnak meg. Végeredményben

e(k) - y>„ ( y ) Vo ( y ) cos ka.

Ide kell behelyettesíteni a«/2

«ÍÍU l 1

T-r7W2)“J

p(a/2)

exp -■j- [ I />(.*)| dx

kváziklasszikus kifejezéseket, ahol o> a részecske gödörbeli klasszikus rezgéseinek frekvenciája, x 0 a fordulópont az ^energ iá jú mozgásra. Az explicit végeredmény a következő:

« (k )-e 0ho> r - . -----)>■ 1) cos ka, Ü exp

0/2

7; J ''p^ ' [dx

így minden, az elszigetelt gödörbeli mozgáshoz tartozó «<> energiájú nívó 2haiDxn!n szélességű sávvá húzódik szét, amelyet a gödröket elválasztó gát D áthatolási együtthatója határoz meg.

56. §. A KÜLSŐ TÉR HATÁSA A PERIODIKUS RÁCSBAN MOZGÓ ELEKTRONRA 279

56. §. A külső tér hatása a periodikus rácsban mozgó elektronra

Vizsgáljuk az elektron mozgását a rácsra ható állandó H mágneses térben. Ha a Hamilton-operátor koordinátaieprezentációbeli alakját vesszük periodikus térben:

(ahol ji = - ik v az impulzus operátora), akkor a mágneses teret a szokásos módon vezethetjük be:

ahol A(r) a mágneses tér vektorpotenciálja. A feladat azonban nagymértékben leegyszerűsödik eléggé gyenge tér esetében, ha kváziimpulzus-reprezentációra térünk át.

Mivel a rácsban mozgó elektron energiaspektrumának sávszerkezete igen sokféle lehet, ezért a külső tér gyengeségének általános feltétele csak eléggé durván fogalmazható meg. Tartózkodjék az elektron a tér bekapcsolása előtt valamelyik meghatározott (az í-edik) sávban. e0-val jelöljük a sávot jellemző energiajellegű mennyiségek legkisebbikét, ami lehet a sáv szélessége vagy a szomszéd sávtól való „távolság” {vagyis az e ,(k )- ^ (k ) különbség, adott k-ra]. Ahhoz, hogy a mágneses tér gyengének tűnjék, mindenképpen elő kell írni, hogy

legyen, ahol a>R ~ \e[ H[m*c a „Larmor-frekvencia” , m ' ~ fikjv pedig az elektron effektív tömege.*

Külső tér nélkül az elektron Hamilton-operátora a k-reprezentációban, mint már elmondtuk, diagonális, és mátrixelemei az «s(k) mennyiségek. Külső tér bekapcsolásakor a Hamilton-operátor az A(r) vektorpotenciáit és annak koordináták szerinti deriváltját, a H térerősséget is tartalmazza (sőt inhomogén térben magasabb deriváltak is megjelennek). A k-reprezentációban az A(r) függvényt az A = A(í) operátorral helyettesitjük, ahol az f operátort (55,14) adja meg.

1 A frekvencia pontosabb definícióját alább az (57,7) képlett;! adjuk meg. A fém vezetési elektronjaira (!. alább a 61. §-t) a jellemző hullámszámértékek k ~ \ja (a a rácsállandó); az energiára e„ ~ yi2/m*o*-et írva, azt kapjuk, hogy az (56,3) feltétel az ra » a egyenlőtlenséggel ekvivalens, ahol a , .pályasugár” r„ ~ v/aia ,

(56,1)

eo (56,3)


Az A(r) vektorpotenciái a koordináták növekvő függvénye (homogén térre a függés lineáris). Ezért a potenciál még gyenge térre sem tekinthető perturbációnak a végtelen kiterjedésű rendszer (a rácsban mozgó elektron) Hamilton-operátorában. Éppen ezért már gyenge mágneses tér is lényegesen megváltoztatja a kiterjedt rendszer tulajdonságait, diszkrétté változtatja a folytonos spektrumot (kvantálja a szinteket; I. 58. §). A gyenge térerősség viszont (a potenciáltól eltérően) csak gyenge korrekciókat eredményez.

Most megmutatjuk, hogy e korrekciókat elhanyagolva, a Hamilton-operátor függését a potenciáltól általános alakban is felírhatjuk, pusztán a mértékinvariancia követelményeiből kiindulva. Minthogy állandó terekkel foglalkozunk, elegendő az egyenleteknek a potenciál és a hullámfüggvény időfüggetlen transzformációival szembeni invarianciáját kihasználni:

a h o l/(r) tetszőleges koordinátafüggvény [I. III. (111,8)—(111,9)}.Gyenge térben az A(r) potenciál a koordináták lassan változó függvénye. Nem fe

lejtve el, hogy e lassúság mibenlétét még tisztáznunk kell, foglalkozzunk először az állandó potenciál határesetével: A(r) = const = A0 (természetesen az állandó potenciál fizikailag jelentés nélküli, mivel ekkor nincs létező térerősség, azaz formális transz- formációról van szó). Az A = 0-ról A = A^-ra való áttérés ekvivalens (56,4)-ben az f — A0r választással, ezért a kiinduló (A = 0)

Ebből látszik, hogy a kváziimpulzus korábbi értelmének megőrzéséhez (ami a hullám- függvény fázisának megváltozását transzláció során meghatározza) a k 4- e k jh c = K mennyiséget kell bevezetni; az így definiált K mennyiséget általánosított kváziimpul- zusnak hívjuk. Ekkor az új sajátfüggvényeket

alakban írhatjuk, a megfelelő sajátenergiákat pedig e /k ) = es(K— eAJhc) alakba. Most kijelenthetjük, hogy nem állandó, de térben lassan változó A(r) potenciálra a hullámfüggvénynek a térerősségben „nulladrendű” alakja a következő:

(56,4)

sajátfüggvények helyett az új Hamilton-operátor sajátfüggvényei:

(56,5)

f s K — U s .K -e A ^ h e ( 0 e iKr

V'sK - Us , K - e A V A c ^ (56,6)

í

56. §. A KÜLSŐ TÉR HATÁSA A PERIODIKUS RÁCSBAN MOZGÓ ELEKTRONRA 281

(ahol az u függvény A helyfüggése miatt már nem szigorúan periodikus) . 5

Az £j(K—eAjhc) energiát most operátornak kell tekintenünk, amely K-reprezentáció- ban a Hamilton-operátort állítja elő. Ugyanebben a közelítésben az f operátort í — /5/<?K-ként értelmezzük, elhagyva a második tagot (Í2) az (55,14) definícióból. Ugyanis id/6K-val a hullámfüggvényre hatva, azt nagyságrendileg egy rH „pályaméret” nagyságrendű mennyiség szorozza, ez pedig a tér csökkenésével nő; 42 hatásának eredménye pedig nem tartalmaz ilyen növekvő tényezőt. Az Si operátort ebben az értelemben gyenge térben kicsinynek tekinthetjük /ö/dK-hoz képest. Mivel másrészt a d/dK operátor a sávindexben diagonális, ezzel diagonális a Hamilton-operátor is.

Végeredményben arra az eredményre jutunk, hogy az elektron mozgását gyenge mágneses térben (K-reprezentációban) a

í = ' a| < w >

Hamilton-operátor szabályozza (R. Peierls, 1933). E közelítésben tehát teljes az analógia a szabad részecske impulzusreprezentációbeli Hamilton-operátorában bekövetkező módosítással, mágneses tér alkalmazásakor.

Az (56,7) kifejezés még nem teljesen meghatározott, mivel a fel nem cserélhető operátorok hatásának sorrendjét nem rögzítettük; a k = K—eAjhc vektor komponensei ugyanis nem kommutálnak. Úgy kell meghatároznunk ezt, hogy a Hamilton- operátor hermitikus legyen. Ezt elvben mindig elérhetjük, ha az e/k) függvényt, amely a reciprok térben periodikus, Fourier-sorba fejtjük:

e.t(k) = Z A™ eik’ (56’8>a

(a térbeli rács minden a vektorára összegezünk). A k — k helyettesítés után a sor minden tagjának kitevőjében csak egyetlen operátor áll (az Á vektor vetülete a-ra), azaz nem merül fel a sorrend kérdése. Az „hermitizálás” e módszere természetesen nem egyedülálló. Lényeges azonban, hogy a különböző módszerek közötti eltérés a vizsgált közelítésben nem jelentkezik, mivel a ícx, ky, k operátorok kommutátorai

6 Ha (56,6)-ot y>lk függvények szerint fejtjük ki, akkor a kifejtéiben általában különböző J-ft függvények vesznek részt. Azonban hangsúlyozzuk, ez egyáltalán r.em jelenti aí.t, hogy reális átmenet következik be a másik sávba; csak azt fejezi ki, hogyan változik meg a hullámfüggvény az állandó tér hatására. Ennek kapcsán emlékeztetünk arra, hogy az állandó tér reális energiaváltozással járó átmeneteket nem hozhat létre. A helyzet megvilágításához azf vegyük észre, hogy bár a tér gyenge, az általa az állapotok osztályozásában okozott változások (többek között a kváziimpulzus és az. energia közti összefüggésé is) lényegesek.


•e közelítésben kis mennyiségek. így homogén térre:

2 7 2

ahol közvetlen számolással belátható, hogy a

k X k y ~ k y k X ~ Í ~ H Z , . . . (56, 10)

mennyiségek arányosak a kis H térerősséggel.Az f = id/dK és a K = K operátorok a koordináták és az általánosított impulzusok

„szabad” (nem rácsbeli) részekre érvényes felcserélési szabályainak tesznek eleget. Ezért természetes, hogy ezeknek az operátoroknak a Hamilton-operátorral számolt kommutátorai a

= i = — (56,11)dr HdK

egyenletekre vezetnek, melyek a szokásos Hamilton-egyenletek képét mutatják [kiszámításukra 1. III. (16,4)—(16,5)].

Megismételjük, hogy az (56,7) Hamilton-operátor közelítő jellegű, mivel az összes olyan tagot elhagytuk, amely a H térerősségtől függ, és nincs nagy (rH nagyságrendű) együtthatója. A következő közelítések eredményeit egy /^ (K — eA/tíc, H) alakú Hamilton-operátorral foglalhatjuk össze, amely a sávindexben diagonális, de már nem fejezhető ki önmagában az e /k) függvénnyel.®

Elhanyagolva a spin-pálya kölcsönhatást, az elektron spinjének figyelembevétele a Hamilton-operátorban a szokásos —/JaH tag megjelenésére vezet, ami a mágneses momentum kölcsönhatását írja le külső térrel, ahol c a Pauli-mátrix = | e | ftjmc pedig a Bohr-magneton. Ha a kristálynak inverziós centruma van, a spin-pálya kölcsönhatás egyszerűen csak megváltoztatja az elektron mágneses momentumát, tehát a spinnek a külső mágneses térrel való kölcsönhatása

- fa H k & k i k) (56,12)

alakúvá lesz. Ugyanis ebben az esetben a Hamilton-operátor invariáns az egyidejű tér- és időtükrözésre. Ennek során a H — H, o — — o helyettesítést kell változatlan

8 A korrekciós tag kiszámításának egyszerű példáját mutatjuk be az 59.§-ban. A Hamilton-operátor reguláris, H hatványai szerinti kifejtésének módszerére és a sor első tagjainak általános alakjára vonatkozó képleteket E. I. Blomt, Phys. Rév. 126 (1962) 1636; Solid State Physics 13 (1963) 306 közli. Megjegyezzük, hogy amennyiben a kristálynak inverziós centruma van, a sor H1 nagyságrendű taggal kezdődik (1. 59. §).

57. §. A KVÁZIKLASSZIKUS PÁLYÁK 283

k-val végrehajtani; (56,12) az az általános kifejezés, ami a jelzett követelményt kielégíti. A £/k(k) tenzor általános alakját azonban nyilván nem lehet kiszámítani.

Végül foglalkozzunk röviden az elektron viselkedésével, ha a rácsra gyenge E elektromos tér hat. A gyengeség feltétele azt jelenti, hogy az elektronnak a térből nyert energiája ~ a nagyságrendű távolságon kicsi az e0 karakterisztikus energiához képest: \ e \ E a « s 0.

Ugyanúgy, mint a mágneses tér esetében, azok a tagok játszanak főszerepet, melyek a <p(r) skalárpotenciál növekvő koordinátafüggvényét tartalmazzák. A Hamilton-operátor (/-/-függését a fent alkalmazott megfontolásokhoz hasonló módon lehet általános alakban felírni. Tehát egy fiktív állandó <f> = <p0 potenciált kapcsolunk be, ami ekvivalens a Schrödinger-egyenletbeli energia etp0 állandóval való megváltoztatásával; ezt a tagot az összes eJ(k) mennyiséghez hozzá kell adni. A nem állandó, de lassan változó tp(r) tér esetében, k-reprezentációban az effektív Hamilton-operátorhoz egyező alakú operátor adódik hozzá:

Hs = es(k)+e<p(r). (56,13)

57. §. A kváziklasszikus pályák

Alkalmazzuk az előző szakasz eredményeit arra a fontos esetre, amikor az elektron mágneses térbeli mozgása kváziklasszikus. A kváziklasszikusság feltétele, mint isméit, a de Broelie-hullámliossz megváltozásának kicsinysége önmagával azonos nagyságrendű távolságon. Esetünkben ez a feltétel az

rH » A (5 7 ,1 )

feltétellel ekvivalens, azaz a pálya görbülete nagy a X ~ \jk hullámhosszhoz képest. 7

Kváziklasszikus esetben beszélhetünk a részecske pályájáról. Ez az (56,ll)-ből kapható mozgásegycnle.ek megoldásaként adódik, ahol az operátorokat a megfelelő

7 Ez a feltétel általában erősebb (56,3)-nál. Ha azonban k ~ l / a ' ami a fém vezetési elektronjaira teljesül), akkor a ké: feltétel egyezik, és gyakorlatilag mindig teljesü’ is:

rB ~ c ftk l\e \H ~ c h /a \ e \ / f

esetén az r n » a egyenlőtlenség a

H « eh/J e [ cr ~ 10lu 10" A/m

feltételre vezet.

klasszikus mennyiségekkel helyettesítjük:

t v u Iv e ki . \ \Ör ’ V “ h 5K ’ ( /re W )

(az s indexel a rövidség kedvéért hagytuk el). írjuk ezt az egyenletrendszert explicit alakba, bevezetve a „kinetikus kváziimpulzust” a K általánosított kváziimpulzus helyett:

Érvényes a

k = K - - ^ A ( r ) .

h dk e rfA(r) _ dH e ^ dAjdt c dt de c dr

egyenlet. Felhasználva, hogy dA/dt = (v v ) A, és észrevéve, hogy

(«/V) y 4 i-(vv ) A = (vXrol A) = vXH,

a mozgásegyenlet:

<57'2>

Ez az egyenlet a szokásos klasszikus Lorentz-egyenletlől csak e(k) eltérő impulzusfüggése miatt különbözik: egyszerű négyzetes függés helyett, bonyolult periodikus függvénnyel van dolgunk, aminek megfelelően a v(k) függvény is bonyolult periodicitást mutat. Ez a körülmény természetesen lényegesen megváltoztatja az elektron mozgásának jellegét.

Vizsgáljuk az elektron mozgását homogén mágneses térben. (57,2)-t v-vel szorozva, az ismert módon dkjdt = dejdt = 0 adódik. (57,2)-t ezután H-val szorozva, d(Hk)/dt - 0 az eredmény. így az elektron rácsbeli mozgása során, ugyanúgy, mint a szabad elektron mágneses térbeli mozgásakor,

« = const, kx = const (57,3)

(a z tengely H irányába mutat). A (57,3) egyenlőségek meghatározzák az elektron pályáját a k-térben. Geometriailag ez az a görbe, amely az s(k) = const izoenergetikus felület és a H mágneses térre merőleges sík metszéséből adódik.

Az izoenergetikus felületek alakja sokféle lehet. Tartalmazhatnak (minden egyes reciprok rácsbeli cellában) több, nem összefüggő levelet. Ezek a levelek lehetnek egyszeresen vagy többszörösen összefüggők, zártak vagy nyitottak. Az utolsó meg*

57. §. A KVÁZIKLASSZIKUS PÁLYÁK 285

különböztetés megvilágítására célszerű olyan izoenergetikus felületet tekinteni, amely a teljes recipiok rácsban periodikusán folytatódó felületet alkot. Minden cellában azonos zárt részeket találunk, a nyitottak viszont az egész reciprok rácsban folytatódnak, kifutva a végtelenbe. 8

Az izoenergetikus felületekkel való metszés görbék végtelen halmazának adódik. Ebben megtaláljuk az izoenergetikus felület egy cellán belül elhelyezkedő különböző leveleit és azokat is, melyek a különböző reciprok rácsbeli cellákban periodikusan ismétlődnek. Ha a levél zárt, akkor összes metszete zárt görbének adódik. Ha a levél nyitott, akkor metszetei egyaránt lehetnek zártak és nyitottak (azaz az egész reciprok rácsban folytonosan folytatódóak).

A mozgás kvázi klassz ikussága feltételezi, hogy kicsiny a valószínűsége a m ágneses átütésnek, vagyis az elektron kváziimpulzusa ugrásszerű megváltozásának, miközben egyik görbéről a másikra lép át (ennek feltételére a szakasz végén visszatérünk). Elhanyagolva e valószínűséget, következik, hogy az elektron mozgása az izoenergetikus felület egyetlen metszésvonalán zajlik le.

Vizsgáljuk részletesebben a kváziimpulzus-térben zárt görbén haladó mozgást. Ez a mozgás nyilván időben periodikus; határozzuk meg periódusidejét.

Az (57,2) egyenletet a térre merőleges síkba vetítve kapjuk, hogy

integrál adja, ahol a teljes zárt görbére integrálunk. Szeml ;letesebb alakot adhatunk e kifejezésnek a következő módon.

Vezessük be az e = const izoenergetikus felület és a kz = const sík metszésvonalának 5(e, kz) felületét. E síkban az c = const és az e-f de = const görbék közötti

ahol dlk = ^dk"x-\-dk2y a k-pálya íveleme. Ebből

eh _ f dlK\e \H J vj.

Ha a görbe zárt, akkor a periódusidőt a

(57,4)

8 A félreértések elkerülésére megjegyezzük: megtörténhet, hog r lehetetlen egyetlen reciprok rácsbeli cellában elhelyezni az összes lényegesen különböző (azaz nem periodikus ismétléssel adódó) zárt felületet anélkül, hogy az oldalak „szétvágnák” azokat.

gyűrű vastagságát a görbe minden egyes pontjában

de _ de | <?e/ök j. 1 ~~ fivL

adja meg, e gyűrű területe tehát

'* = ‘4 -ár-

Ebből látszik, hogy az (57,4) integrál nem más, mint dS/de. Tehát a mozgás periódusidejére írható, hogy

T = dS{£' kz) (57,5)j e I H de


(IV. Shockley, 1950). Természetesnek tűnik az

h2 dS2 , 8e (5?’6 >

rácsbeli ciklotrontömeg bevezetése. Ekkor az elektron pálya menti keringésének frekvenciájára az

0 > h = M Hfwtc (57,7)

összefüggés írható, ami a valódi tömeg m*-gal való helyettesítésében különbözik a szabad elektronokra érvényes Larmor-frekvenciától. 9

Hangsúlyozzuk, hogy rácsbeli elektronokra a ciklotrontömeg nem állandó, hanem « és kz függvénye, azaz változik különböző elektronokra. Megjegyezzük, hogy ez a mennyiség pozitív és negatív egyaránt lehet. Az előbbi eseiben az elektron negatív töltésű részecskeként mozog pályáján, az utóbbi effektív töltése pozitív, lyukról beszélünk. Ennek megfelelően elektron- és lyukpályákról beszélünk.

Eddig az elektron k-térbeli útját vizsgáltuk. Könnyű azonban belátni, hogy a kvázi- impulzusbeli és a valódi térbeli pályák között szoros a kapcsolat. Az (57,2) mozgásegyenlet a

h d k = _ M ( * x H )c

•Szabad elektronra az izoenergetjkusfelület az s ~ trk z}2m egyenletű gömb. Metszeteinek, amik körök 5 = niZmeh*—Aj) a területe, tehát a dSjdz derivált értéke Tjinijfi1 és m* = /n.

i

57. §• A KVÁZIKLASSZIKUS PÁLYÁK 287

alakra, integrálás után (ha az r koordináta és a k kváziimpulzus kezdőpontjátmeg- felelően választjuk) a

6 k = - M ( r x H ) (57,8)

egyenlőségre vezet. Ebből látszik, hogy a pálya xy síkba eső vetüiete a koordinátatérben lényegében megismétli a k-pályát, attól csak irányban és léptékben különbözik: az előbbit az utóbbiból a

k l í ü L v *hc y ' * ' hc

cserével kapjuk meg. Ezenkívül a koordinátatérben a részecske vz = dejh 8kz sebességgel mozog a z tengely mentén. Ha a pálya zárt a k-térben, akkor a koordinátatérben a tér iránya körül csavarodó spirálist alkot. Ha nyitott a pálya, akkor a valódi mozgás vetüiete az xy síkra szintén nyitott, tehát végtelen mozgás jön létre e síkban.

Néhány szóban foglalkozunk még azzal a mozgással, ami akkor jön létre, ha a rácsra gyenge homogén elektromos E teret alkalmazunk. A kváziklasszikus hV. = éE egyenletből

k = ko+-^jr-1 (57,9)

adódik. Az energia megmaradásából azt kapjuk, hogy

c(k)-dE r = const. (57,10)

A mozgás e(k) energiája azonban véges Ae szélességű intervallumban helyezkedhet el (a sáv szélessége). Ezért (57,10)-ből az következik, hogy homogén elektromos térben az elektron mozgása a tér irányában véges: az elektron ebben az irányban Ae/\ e | E amplitúdójú rezgéseket végez. Ha a tér valamely b reciprok rácsvektorral párhuzamos, akkor a mozgás frekvenciája w = 2n j e | Ejb.b\ b ~ íja esetén fennáll a h(oE ~ \e \E a nagyságrendi egyenlőség. Tetszőleges téj irány esetén a mozgás kvázipeiicdikus.

Végül azt a feltételt tárgyaljuk, amely lehetővé teszi a fent említett mágneses átütés elhanyagolását. A (k-térbeli) egyik pályáról a másikra való átlépés valószínűsége természetesen nagy, ha e pályák valahol anomálisan közel kei ülnek egymáshoz. Ez a helyzet akkor, ha a pálya egy önáimetsző pályához van közel, vagy a trajektória két izoenergetikus levél metszése közelében halad (tehát egy elfajulás! ponthoz vagyunk közel). A pályák tipikus alakját mutatja erre az esetre a 14. ábra. A pályák közti ők ugrás kicsi a pályák egészét jellemző karakterisztikus méreihez képest, ugyanakkor a pályák legközelebbi pontjaihoz tartozó Rk görbületi sugár általában


nagyságrendileg egyezik ó/fc-val. Az egyik pályáról a másikra alagúteffektussal juthat át az elektron. E folyamat valószínűsége (exponenciálisan) kicsi, ha bk nagy ahhoz a Akx távolsághoz képest, amelyen a trajektóriák közti klasszikusan nem elérhető tartományban az elektron hullámfüggvénye lecseng.

Akx-re, becslést kaphatunk, ha kihasználjuk az elektron mágneses térbeli mozgása -és valamely U(x) egydimenziós mozgás közti analógiát. Ez azon alapul, hogy (56,10) szerint a q = kxhcj\e \ H és p = hky operátorok felcserélési szabálya megegyezik a koordináta és a hozzá konjugált impulzus felcserélési szabályával. A maximális megközelítés pontja körül a pályák parabolikusak, ezekkel analóg az egydimenziós homogén térbeli (U = — Fx) mozgás fázistérbeli (x ,p) parabolikus trajektóriája, melynek egyenlete p 2/2m = Fx (ha az x koordinátát a mozgás határpontjától méljük). Az utóbbi esetben a hullámfüggvény a fordulópont mögött Ax ~ (h2lmF)l/Z távolságra cseng le (1. III. 24. §). Bevezetve a fázisgörbe R ~ (cPx/dp2) - 1 ~ mF görbületi sugarát, írhatjuk, hogy á x ~ (h2/R )in . A bemutatott analógia szerint a keresett Akx-et a Ax — hc Akx/\ e \H , R — Rkh j e\ Hjc helyettesítéssel kapjuk meg:

Akx ~ ( |e | H /h c f3 (Ók)~1/3,

amivel a Akx « bk feltétel az

alakot ölti.

\e \H /hc« (bk )2 (57,11)

58.§. A KVÁZIKLASSZIKUS ENERGIASZINTEK 289

58. §. A kváziklasszikus energiaszintek

Láttuk, hogy a rácsbeli elektron mágneses térben végzett klasszikus mozgása a koordinátatérben véges mozgás a H-ra merőleges síkon, amennyiben a k-térben a részecske zárt pályán mozog. Áttérve a kvantummechanikára, a longitudinális kvázi- impulzus minden kz értékéhez diszkrét állapotseregre jutunk. E szinteket a kváziklasszikus kvantálás általános szabályai szerint határozzuk meg.

A (z tengellyel párhuzamos) homogén mágneses tér vektorpotenciálját Ax ~ — Hy, Ay — Az = 0 alakban választjuk meg. Ekkor az általánosított kváziimpulzuskompo- nensei a következők:

Kx = k x+ ~ ± Hy. Ky = ky, K, = k2. (58,1)

Az x koordináta ciklikus változó, ezért az általánosított kváziimpulzus

I IA\ — AVH----T-H y = constdl

komponense megmaradó mennyiség.A Bohr — Sommerfeld kvantumfeltétel szerint (1. III. 48. §) írjuk fel az

(58,2)

1

2 n § K’dy - n (58,3)

feltételt, ahol az integrálást a mozgás egy periódusára kell kiterjeszteni, n pedig egy nagynak feltételezett pozitív egész szám. 10 Ebből (58,1)—(58,2) alapján a Ky = ky és a dy — (ch j\e \H )d kx helyettesítéssel azt kapjuk, hogy

cfi2 n \e \H iky dkx \ ~ n, (58,4)

ahol most a k-térbeli zárt pályára kell integrálni. Ez az integrál éppen a pályával határolt rész területe, vagyis az előző szakaszban bevezetett S(e, k,} függvény, ami az izo- enereetikus felület és a k = const sík metszetének területe.

,ü Homogén mágneses térbeli mozgásnál a vektorpotenciái megválasztásától független, adiabatikus

invariáns az ~ K, c/r integrál, ahol K, az általánosított kváziimpulzus vetüiete a térre merőlegesr rsíkra (vö. II. 21 .§). A vektorpotenciái A függvényének mostani megválasztásával <j> Kxd.r = K x ® dx =

= 0, így az adiabatikus invariánst az (58,3) integrál állítja elő.

19 Statisztikus fizika 2« rész

így végeredményben az

S(e ,kT) = 2 ; t - ^ i~ n (58,5)

/. M. Lifsic, 1951 ,L . Onsager, 1952) összefüggésre jutunk. Ez a fellétei implicit alakban meghatározza az e„(kz) energiaszinteket. így az energiasáv (amelynek s indexét a rövidség kedvéért nem írtuk ki) diszkrét Latidau-alsávokra esik szét, melyek mindegyike a folytonos k2 változó értékeiben eltérő energiájú állapotokból épül fel.

Mint ismert, a kváziklasszikus kvantálási feltétel pontosabbá tehető, ha a nagy n kvantumszámhoz egy egységnyi nagyságrendű számot adunk. E korrekció meghatározásához a mozgást a „fordulópont” közelében kell vizsgálni, amely az (58,3)-beli integrálási tartományt határolja.

Ky — ky függését y-tól az elektron pályája mentén az

e(k) = e //ST*— y> ~ const (58,6)

egyenlet határozza meg adott kM és Kx — const mellett. Az y = j !0 fordulópontot a vy = dejh dky sebesség eltűnése adja meg. E pont közelében az (58,6) egyenletet y — hatványai szerint kifejtve, azt kapjuk, hogy

\e\ H ( de \ 1 / d~e \eh

ahol ky<j — ky(y0). Ebhői látszik, hogy a fordulóponthoz az elektron a gyökös

ky—kyo = ± A \ 'y —yn

törvény szerint közeledik (a határozottság kedvéért úgy vesszük, hogy a klasszikusan nem elérhető terület az y < » , tartományban fekszik). De ez ugyanaz a törvény, amelyre a kváziklasszikus kvantálás szokásos korrekcióját már levezettük (1. III. 47— 48.§). Ezért az (58,5)-nél pontosabb kvantálási törvény

S(e, k z) = 2n - M " ^ + I ) (58,7)

alakú.Mint az ((58,6) függvény kifejtésére alapozott) levezetésből világos, a pontosított

kvantálási szabály érvényességéhez az szükséges, hogy a pálya elegendő távol haladjon az e(k) függvény szinguláris pontjaitól (többek között annak komplex elágazási pontjaitól). Az is fontos, hogy a pálya közelében a kváziklasszikusság feltétele min

58. §. A KVÁZIKLASSZIKUS ENERGIASZ1NTEK 291

denütt teljesüljön (speciálisan a de/dk sebesség xy síkbeli vetüiete ne vegyen fel zérus értéket) . 11 Végül nem szabad elfelejteni, hogy a levezetések kiindulásául szolgáló(56.7) Hamilton-operátor közelítő jellegű. Ha a rácsnak van inverziós centruma, akkor a Hamilton-operátor legalacsonyabb rendű korrekciói négyzetesek a külső térben, és nem jelentkeznek az (58,7) feltételben. Ha azonban nincs inverziós centrum, akkor a korrekciók a Hamilton-operátorhoz H-ban lineárisak; ekkor az (58,7)-beli 1/2 tag értelmetlenné válik, mivel a Hamilton-operátor közelítő volta ugyanilyen nagyságrendű hibához vezet.12

Két, egymás utáni szint közötti Ae intervallum az n kvantumszám, azaz egy nagy szám egységnyi megváltozásának felel meg. Ezt tehát a

eS A 2 n \e \ H= — Ü T - <58'8)

egyenlőség határozza meg. Bevezetve a periodikus mozgás klasszikus «>H frekvenciáját,(57.7) szerint a

Ae = ho>H (58,9)

képletet kapjuk, Hangsúlyozzuk, hogy az a>H frekvencia is e (és kz) függvénye. Ezért (adott kz-re) az egymásra következő en energiaszintek nem szigorúan egyenlőközűek, amint az szabad elektronokra volt, ahol coB állandó mennyiség.

Az energiaszintek függetlensége a megmaradó Kx mennyiségtől azt jelenti, hogy e szintek elfajultak (ugyanúgy, mint a mágneses térbeli szabad elektronokra; 1. III. 112. §). Ha a rácsot nagy, de véges V térfogatúnak képzeljük, akkor ez az. elfajulás véges rendű. A dkz intervallumban az adott « kvantumszámú állapotok számát aV A S-dkJ(2 jif kifejezés adja meg, ahol AS a kz — const síkban az nés «+1 főkvan- tumszámú trajektóriák közé zárt felület területe. Ennek értékét (58,8) adja, amivel az állapotok számának kevesett kifejezése

m • (58-10)

vagyis ugyanaz, mint szabad elektronokra.

11 Két pálya anomálisan közeli elhaladása esetín ez a feltétel azonos a mágneses átütés kis való* színöségének feltételével.

Szabad elektronokra (1. a 9. lábjegyzetet) az (58,7) feltétel

t = hu>B +trk%/2/», ”>s = | f | IJ/inc

alakú spektrumra vezet ami Landau ismert képletével egyezik meg szabad elektron külső mágneses térbeli mozgására (III. 112. §).


Az energiaszintek mágneses térbeli elfajulásának szemléletes okát az adja, hogy az energia független az elektron „Laimor-pályája középpontjának” térbeli helyzetétől. Szabad elektronra ez az elfajulás egzakt. Rácsbeli elektronra azonban lehet, hogy csak közelítő, ugyanis a rács elemi celláiban a „pályacentrum” különböző helyzetei az inhomogén (periodikus) elektromos tér jelenléte miatt már nem ekvivalensek. Ez a körülény a Landau-szintek bizonyos felhasadására vezet.

Az elektron spinjének figyelembevétele minden szint kettéhasadását eredményezi; ha elhanyagoljuk a spin-pálya csatolást; e komponenseket (ugyanúgy, mint szabad elektronra) a 2(ifi állandó köz választja el, ahol p a Bohr-magneton:

Ez marad a helyzet a spin —pálya kölcsönhatás figyelembevételével is, ha a kristálynak inverziós centruma van. Ebben az esetben a térmentes elektronállapotok a spin szerint elfajultak, amit a mágneses tér megszüntet. Végeredményben ugyanazt az(58,11) képletet kapjuk, de a fi tényezőt fl£n(k^-re kell változtatni benne, ahol £„(A'T) az elektron mágneses momentumának megváltozását jellemzi.

Vizsgáljuk a k-térben azt a k = k*, pontot, amelyben az elektron ef(k)energiájának szélsőcnéke van; ilyenek például u sáv felső és alsó határát megadó pontok. Ha ez a pont nem elfajult (eltekintve az esetleges Kramers típusú spinelfajulástól; 1. az 55. § végét), akkor az es(k) függvényt ennek környezetében regulárisán kifejthetjük a q = k— k0 különbség hatványai s/erint. E kifejtés első tagjai

Az (59,l)-beli m^kl együttható tenzor m(k inverzét effekűv tömegtenzoniak hívják. Megmutatjuk, hogyan fejezhető ki ez a tenzor a k0-beli Bloch-függvényekkel képezett V5k0 mátrixelemekkel.

A spin—pálya kölcsönhatást elhanyagolva, az elektron Hamilton-operátora (56,1)

e«o(*í) = e„(k;)+ofiH, a = ± 1. (58,11)

59. §. Az elektron effektív tömegtenzora a kristályrácsban

*.t(k) : s.v(k(,)+-2-mjÉl íf0*. (59,1)

59. §. AZ ELEKTRON EFFEKTÍV TÖMEGTENZORA A KRISTÁLYRÁCSBAN 293

alakban keressük. Ekkor az egyenlet

j “ lm A + í/(r)+ ['m # + 4 ^ ] } ^ = e'(k> V* (59,3)

alakú, ahol fk = — iii v a valódi impulzus operátora.A k = kfl ponthoz közel q kis mennyiség, ezért (59,3)-ban a szögletes zárójelbeli

kifejezést kis perturbációként tekinthetjük. Nulladik közelítésben q = 0 , és a q>A függvények %kll-val egyeznek. Ezért a perturbációszámítás szokásos elméletével számíthatjuk ki az energia korrekcióit, ha a függvénnyel képezzük a megfelelő mátrixelemeket.

Minthogy ko szélsőértékhely, így a q-ban lineáris korrekció zérus. Ez azt jelenti, hogy a diagonális mátrixelemekre

<.vk0 i p | í k n ) = 0. (59 ,4)

A q-ban négyzetes korrekciók meghatározására a Hamilton-operátor qz-es tagját a perturbációszámhás első, a q-ban lineáris tagot pedig második rendjében kell figyelembe venni. Végeredményben ^(kj-ra az (59,1) képletet kapjuk, ahol

, J T ' (p d s s ' (P k)s 's + (p k )s s ' (P i) sJ> . c\

m mr T *v(ko)— fj(kn)

az összegezést az összes s' s értékre végezzük el.13 Az írásmód egyszerűsítésére a mátrixelemekben itt és az alábbiakban elhagytuk a kn diagonális indexet: p / s = <ík0 1 p | í 'k 0). Megjegyezzük, hogy közel elhelyezkedő sávokra (azaz ey— e, kicsiny különbségére) (59,5) második tagja nagy lehet az elsőhöz képest, aminek következtében az effektív tömeg kicsi m-hez képest.

Legyen most a kristály külső H homogén mágneses térbe helyezve. Ekkor (56,7) szerint a Q általánosított kváziimpulzus függvényeire haló Hamilton-operátort (59,l)-ből úgy kapjuk, hogy a q mennyiséget a

ehc-A, á = ' - ( h x . ' 4 ) (® .‘ >

operátorra cseréljük. Az így adódó

H f ' - ^(kn) + y m~kx qi qk (59,7)

13 A k ' szerinti összegezés azért nem szerepel, mert (55,15) szerint a p = »iv impulzusnak nincs k-ban nemciiagonális eleme, így minden közbenső állapot ugyanakkora k0 kváziimpulzushoz tartóink.

HamiUon-operátor csuk abban a tartományban alkalmazható, mint (59,1). Ez azt jelenti, hogy [a tér gyengeségének (56,3) feltétele mellett] feltesszük, hogy a vizsgált Landau-szintek nem túl magasan találhatók. Ebben az értelemben a q és Q mennyiségeket kicsinynek tekinthetjük (az A függvény növekvő jellege abban nyilvánul meg, hogy A még gyenge térben sem tekinthető kicsinynek Q-hoz képest).

A Hamilton-operátorban (59,7) után következő tagok H-t „tisztán” (azaz a 8/dQ operátorok kísérete nélkül) tartalmazzák. Az ilyen tagokat már nem lehet pusztán a mértékinvariancia követelményéből megszerkeszteni. Határozzuk meg közülük az elsőt, amely lineáris H-ban. A korrekció viszonylagos kicsinysége miatt kiszámításakor Q = 0 vehető.

Először a spin —pálya kölcsönhatás nélkül vizsgáljuk a kilüzüLi feladatot. A bennünket érdeklő, H-val arányos tag csak az elektron (56,2) kiindulási Hamilton-operá- toránnk A-ban lineáris tagjából származhat, azaz ha a ^jko állapotokkal átlagoljuk a

- 2 + = <59’8>

operátori (az egyenlőség ;i válaszúm div A = 0 mérték miatt érvényes). Ez az (59,7) Hamilton-operátornak a

= -M H (59,9)

taggal való kiegészítésére vezet, ahol

M = é w ^ kf) I(rX p) 1 ík °) (59’ 1 0 )

egyszerűen az elektron mágneses momentumának az iko állapotbeli átlaga. Hangsúlyozzuk, hogy az (59,9) korrekciót anélkül adhatjuk az (59,7) Hamilton-operátorhoz, hogy e hatás részleges figyelembevételétől kellene tartanunk az (59,6) csere révén. Valóban, (59,7) H-ban lineáris tagjai Q = 0-ra eltűnnek.

írjuk fel az (59,10) kifejezést a mátrixszorzás szabályai szerint, figyelembe véve, hogy (59,4) következtében p diagonális mátrixelemei nullák:

m , = m )s A p ,) s 's -m * A P y i 's ]

(és ugyanígy Aíy-ia és Mz-re). Az (59,7) Hamilton-operátor korrekcióját az Sl operátor mátrixelemei fejezik ki, amint azt vártuk is. Az

o , = EííK e s -s s)

59. §. AZ ELEKTRON EFFEKTÍV TÖMEOTENZORA A KRISTÁLYRÁCSBAN 295

összefüggés segítségével M-et átírhatjuk az

JW — le V ' (p y )s s — (Py)ss> ( pz)s's / c n i 1 \A 2 mc £ ^(k«)-fi,(ko)

kifejezéssé. Megjegyezzük, hogy M és vele a teljes (59,9) korrekciós lag zérus, ha a kristálynak inverziós centruma van. Ugyanis, egyidejű idő- és tértükrözéskor az elektron állapota (spinjét figyelmen kívül hagyva) nem változik, és így (59,11) jobb oldala is változatlan; ugyanakkor e transzformáció során a mágneses momentum előjelet vált.

Most vegyük szemügyre a spin —pálya kölcsönhatást, adjuk az (56,1) Hamilton- operátorhoz az (55,17)-ben megadott É s, spin—pálya tagot. Ez a q-ban lineáris tagot változtatja meg (59,3)-ban: e tagban a f> operátort a

f t = * + - 4 ^ r ( « x Vt O (59,12)

alakkal kell helyettesíteni. A tc operátornak egyszerű fizikai jelentése van: r-et közvetlenül kommutálva a Hamilton-operátorral (melybe /?,,-et is beleértjük), mágneses tér nélkül az

i = n/m (59,13)összefüggést kapjuk.

Hasonlóan, mágneses tér jelenlétében a szokásos p -*■ p—eA/c cserét elvégezve a kiindulási Hamilton-operátorban (benne Hs(-cn is), azt találjuk, hogy az A-ban lineáris tag is — ehAfmc alakot ölt, ami (59,8)-tól ugyancsak a £ — n cserében különbözik. Az (59,11) mágneses momentumot ki kell egészítenünk a szabad elektron spinjéből származó járulékkal, így

M , = fi (sk0 1 ax | sko) + I ' . (59,14)line y € /— es

A spin—pálya csatolás figyelembevételével a kifejezés második tagja már inverziós centrumú kristályra sem zérus. Ugyanis az idő- cs térkoordináták egyidejű előjel- váltásakor létrejövő állapot spinje ellenkező irányú, ezért ahhoz, hogy a teljes (59,14) kifejezés előjelet váltson, annak jobb oldala a í /x.(k) operátort kell, hogy kiadja [vö. (56,12)].

Számítsuk ki a tenzort abban az esetben, mikor a sp in-pálya kölcsönhatást perturbációnak tekinthetjük. 14 írjuk fel (55,17)-et a

6 a = ° X , X — -4 ^ , - ( V f / X V ) (59,15)

11Ü,, (55,17j-ben adott kifejezése a reiativisztikus (v/c)1 hányados szerinti kifejtés első tagja, és így bizonyos jól definiált szempontból mindig kicsi. Ennek azonban semmi köze a perturbációszámítás alkalmazhatóságához az adott esetben. Ezért ÍÍ,t feladatunkban nem mindig kezelhető kis perturbációként.

alakban. (59,9)-et és (59,15)-öt perturbációnak tekintve, a perturbációszámítás második rendjében kapunk korrekciót az energiához, ha az általános képlet számlálójában megtartjuk (59,9) és (59,15) kereszttagjait. Ez a korrekció (amely a spinindexekben továbbra is operátor jellegű, azaz mátrix) (56,12) alakú, a tenzor

t = dik + -'-57 (Lk^’s+ (L* V / i 'k i . . (59, i6>2 y — es

értéke mellett, ahol fiL = rXp.A mondottak a (spinen kívül) nem elfajult állapotra vonatkoznak. Ha a k = kj

esetben elfajulás lep fel, akkor az energia meghatározására fel kell írni a perturbációt [az (59,3) egyenlet szögletes zárójelét] négyzetes tagig figyelembe vevő szekuláris egyenletet [ami a III. (39,4) egyenletét követi]. Az így kapható szekuláiis egyenlet tulajdonságai a k , pontbeli szimmetriától függnek. E kérdéshez a 6 8 . §-ban visszatérünk.

Feladat

Adjuk meg egy tetszőleges irányú mágneses térben mozgó részecske kváziklasszikus energiaszintjeit, ha annak diszperziós összefüggése (59,1) alakú.

Megoldás. Diagonalizáijuk az mit tenzort, és válasszuk az energia és az impulzus alappontjául a szélsőértéket (amit a meghatározottság kedvéért minimumnak gondolunk). Ekkor

hz"2 nu nts 1

ahol mu nig, m3 az tenzor főértékei (melyek mindegyike pozitív), n-nel jelölve a H mágneses tér irányába mutató egységvektort,

kz - nk - <>!&, + k z (2)

(ahol nt, «j, a mágneses térnek az mit tenzor főtengelyeihez viszonyított irányeosinusat). A (2) sik azon tartományának S területét keressük, amely az (l) ellipszoidba esik. Ezt az

S J’ <5(nk - A.,) d*k (3)

integrállal írhatjuk fel, melyben az (1) ellipszoid térfogatára kell integrálni.15 A fik, = (lem,)1'1 q; változócserével az integrál alakja a következőképpen módosul:

5 -= f <Xvq-/U<íV/,

w Legyen/(x, y, z) = const olyan felületek sokasága, melyek kitöltenek egy adott térfogatot. Két infinitezimálisan közeli felület közti dl távolságra dl = d fj\ v / [ érvényes, e közbenső tartomány térfogatára pedig d V = S ( f ) d l [S( f ) az adott /-fe l jellemzett felület felszíne]. Az S ( f ) d f = \ v f \ d V egyenlőséget a 6( f ) függvénnyel szorozva és integrálva előbb a térfogat, majd d f szerint, azf ( x , y, z) = = 0 felület területét kapjuk S(0) - f | 7 / | 6 ( f ) (Px alakban. Esetünkben | v / | - 1 , amivel a (3) kifejezésre jutunk.

ahol a v vektor komponensei a q-térben = (2em,)l/s n,jhy az integrálást a q- = I gömb térfogatára kell kiterjeszteni. Hengerkoordinátákat használva a v tengely körül, az integrálás könnyen elvégezhető, és eredménye:

60. §. A RÁCS ELEKTRONÁLLAPOTAINAK SZIMMETRIÁJA MÁGNESES TÉRBEN 297

60. §. A rács elektronállapotainak szimmetriája mágneses térben

Ebben a szakaszban a Bloch-elekironok hullámfüggvényeinek egzakt általános transzlációs szimmetriatulajdonságait vizsgáljuk, melyek függetlenek mindenféle közelítéstől (amilyen a tér gyengeségének vagy a mozgás kvóziklasszikusságának feltétele).

A homogén mágneses tér alkalmazása nem \áltoztatja meg a rendszer fizikai eltolási szimmetriáját: az továbbra is térbeli periodicitást mutat. A helyzet sajátosságát az adja, hogy ugyanakkor az elektron (56,2) Hamilton-operátorának eltűnik ez a szimmetriája. Ez azzal kapcsolatos, hogy abban nem az állandó H vektor szerepel, hanem a koordinátafüggő A(r) vektorpotenciái, amely nem periodikus.

A Hamilton-operátor aperiodikussága tei mészetesen bonyolítja a hullámfüggvény transzformációs szabályát eltolás során. A homogén tér vektorpotenciáljául válasz- szuk az

mértéket, és legyen y>(r) a H (r) Hamilton-operátor valamelyik sajátfüggvénye. Az r — r-f a eltoláskor (a a rács valamely rácsvektora) a hullámfüggvény t/j(r+a)-ba megy át, de ez már egy olyan i? (r+ a ) operátor sajátfüggvénye, ami nem egyezik meg. 7?(r)-rel, mivel a vektorpotenciáiban bekövetkezett az

(5>

adódik.

(60,1)

A(r) — A(r-f-a) - A (r)+ j- (H x a )

.298 VI. FEJEZET. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN

csere. A keresett transzformációs szabály megtalálására a kiindulási Hamilton' függvényhez kell visszatérni, amit az

-mértéktranszformációval érünk el. Ennek során a hullámfüggvény (56,4) szerint transzformálódik:

transzformációs szabályt kapjuk, ahol h = | e ] H jftc, a f ”, operátort pedig a mágneses transzláció operátorának nevezzük. Ha y(r) a H(r)y> = síp Schrödinger-egyenlet megoldása, akkor (60,2) ugyanezen egyenletnek ugyanahhoz az s energiához tartozó sajátfüggvénye (R. Peierls, 1933).

A (60,2) definícióból egyszerűen következik, hogy

Az a és a' vektorok felcserélésekor az «(a, a') lényezőbeli exponens előjelei vált. Ezért Ta és általában nem felcserélhető:

Tehát két, és Ta., eltolásoperátor szorzata a operátortól általában egyfázistényezőben különbözik. Ez matematikai szóhasználattal azt jelenti, hogy a f í operátorok az eltolási csoportnak nem a szokásos, hanem a sugárábrázolását (projektív ábrázolását) adják. Ezen ábrázolás bázisát a mágneses térbeli Bloch-elektronok stacionárius hullámfüggvényei elkotják.,fl Az energiaszintek osztályozását tehát az

" A csoport sugárábrázolásának (projektív ábrázolásának) fogalmával már az V. 134. §-ban találkoztunk. Emlékezzünk, hogy G csoport sugárábrázolásainak általában az olyan ő operátorokkal megvalósított ábrázolást hívjuk, amelyek közti kapcsolat a megfelelő C-beli csoportelemek közötti kapcsolattal csak fázisszorzó erejéig egyezik meg: ha GXG2 = G3, akkor az operátorokra G,őa = ahol w„-nek csak abszolút értéke egységnyi.

A — A + v /, / = — (H X a) r

\p —■ y> exp (iefjhc).

Jelölje e műveletek eredményét T ^ r ) ; ezzel a

TJ'a.' — r a+a'a)(a, a ),

ío(a, a ') = exp - - - h(a X a ') .(60 ,3)

f a 7V = 7V h exp [ - /h(aXa')]. (60,4)

eltolási csoport irreducibilis sugárábrázolásai szerint kell elvégezni, ahhoz hasonlóan, ahogy külső tér nélkül azt a szokásos irreducibilis ábrázolásokkal megtesszük.

Ezzel kapcsolatban felidézzük, hogy a transzlációk Abel-csoportot alkotnak (minden eleme felcserélhető), és ezért minden szokásos irreducibilis ábrázolásuk egydimenziós. Az ilyen ábrázolás bázisának minden ip hullámfüggvénye az eltolás során egy fázistényezővel szorzódik, két egymást követő eltolás után megjelenő szorzó pedig az egyes eltolásokban fellépő tényezők szorzata. Eszerint

T t y = e ikay>,

ahol k állandó vektor. Ez a vektor (az elektron kváziimpulzusa) az a paraméter, amely szerint az irreducibilis ábrázolások osztályba sorolhatók.

Az eltoláscsoport irreducibilis sugárábrázolásainak teljes osztályozása ismert (E . Brown, 1964; J. Zak, 1964) abban az esetben, amikor a mágneses tér kielégíti a

h = 4 n ? - — (60,5)q v

feltételt, aholp és q tetszőleges relatív prímszám, a3 a rács három tetszőlegesen választott független rácsvek torának (al5 aa, a3) egyike; v = (a1Xa2)a 3 az elemi cella térfogata. Más szavakkal, a mágneses tér az egyik rácstengellyel párhuzamos, és hvjAnOs racionális szám. A (60,5) egyenletet (a1Xa2)-vel szorozva, ezt a feltételt

h(aiX a2) = Anp/q (60,6)

alakban is írhatjuk.Az eltoláscsoport irreducibilis sugárábrázolásainak osztályozásához lényeges az a

körülmény, hogy abból leválasztható egy részcsoport (amit mágnesesnek nevezhetünk), melyre nézve az ábrázolás nem projektív jellegű, hanem a szokásos. A (60,6) feltétel figyelembevételével ilyen részcsoportot alkot az

a,„ = Hla t 'r « 2í a 2+ /i3aa (60,7)

eltolások halmaza, ahol nít iu, n3 egész értékű együtthatók. Ugyanis, mikor a h vektor a3 irányú, és a (60,6) feltételt teljesíti, minden jelzett típusú eltolásra a (60,3)-beli kitevő zérus vagy 2n többszöröse, így minden szorzótényezőre w(a, a') = 1 érvényes.17 A (60,7) eltolások halmaza alt q&2, a3 periódusú rácsot alkot (hívjuk ezt mágneses

60. §. A RÁCS ELEKTRONÁLLAPOTAINAK SZIMMETRIÁJA MÁGNESES TÉRBEN 299

17 A mágneses részcsoport kiválasztása általában nem egyértelmű: (60,7) helyett tetszőleges a„ — n,?,a1 +n2q^i2+ «3a3 alakú vektor is választható lenne, ahol qt és <?2 egész számok, melyekre fennáll, hogy q,qz — q.

rácsnak). A mágneses reciprok rács periódusai ennek megfelelően b,, bJq , b3, ahol bi, b2, bs az eredeti reciprok rács alapvektorai.

A mágneses részcsoport szokásos irreducibilis ábrázolásai csakúgy, mint a teljes eltoláscsoporté> egydimenziósak. Ezeket a K hullámvektorok (kváziimpulzusok) jellemzik, melyek összes nemekvivalens értékei a mágneses reciprok rács egyetlen cellájában megtalálhatók.

Legyen ezen ábrázolások egyikének k<1) = K kváziimpulzusú bázisfüggvénye. Erre

i/)<>)(r) = eik<1,i'"y)(1>(r) (60,8)

érvényes. Ha a2 periódussal toljuk el a rendszert (ami nem eleme a mágneses részcsoportnak), akkor i/^-ből egy más kváziimpulzusú yf2) függvényt kapunk. Ennek meghatározásához (60,4) és (60,8) felhasználásával írhatjuk, hogy

= K t ^ K r) = exp [-A(a,»Xa2) ] f .Jf , M»/.(i)(r) =

= exp {-ía„,(a2Xli)+(a„rk(1>}vagy végül

ahol

= k(l>—(a2Xh) = K—2 - b i

[az utóbbi egyenlőségbe behelyettesítettük (60,5)-öt, és bevezettük u reciprok i ács- vektorokat a 2n(a2Xa3)/» = bt összefüggéssel]. A továbbiakban meg kell különböztetnünk q páros, illetve páratlan értékeinek esetét.18

Legyen q páratlan. Az % eltolást még (q — 2)-szer megismételve, q számú különböző kváziimpulzusú függvényt kapunk a

k = K—2 —b ....... . kW = K - 2 b, (60,9)<7 <7

kváziimpulzusokkal. A bt vektor megfelelő egcsz számú többszörösét levonva, ezek az értékek (ebben vagy más sorrendben) a

k = K, K + —bz, K + -2 b,, . . . , K + b t (60,10)<1 q ?

18 q = 1-re a mágneses részcsoport megegyezik a teljes transzlációcsoporttal. így, ha h a 4sa3/v mennyiség egész számú többszöröse, akkor az eltoláscsoport irreducibilis sugárábrázolásai a szokásokkal egyeznek meg, és az elektronállapotokat ugyanúgy osztályozzuk, mint a térmentes esetben.

61. §. A NORMÁLIS FÉMEK ELEKTRONSPEKTRUMA 301

kváziimpulzusokra vezetnek. Ez q számú függvény, amelyek az eltoláscsoport q dimenziós, irreducibilis sugárábrázolását feszítik ki. Az összes inekvivalens ábrázolást megkapjuk, amikor K befutja a by/q, b jq , bj oldalú celláját (miközben maguk a k(1>, k(a), . . . kváziimpulzusok a b1( b.Jq, b, oldalú cellabeli értékeken futnak végig).

Legyen ezután q páros. Ekkor a (60,9) sorozatban m ára ((q/2)+ l)-edik,K—/>b, értékű elem is K-tól csak a b t rácsvektor egész számú többszörösében különbözik. Más szavakkal, csupán qj2 inekvivalens k érték van; ezeket megkapjuk, ha (60,I0)-be q helyett qj2-t írunk. Ekkor tehát az irreducibilis ábrázolások qj2 dimenziósak, K pedig a 2by/q, b2/q, b3 oldalú cellában helyezkedik el.

Ezek az eredmények az alábbi következtetésekre vezetnek a rácsbeli elektronok energiaspektrumának megváltozását illetően, ha arra külső mágneses teret alkalmazunk [amely kielégíti a (60,5) feltételt], A térmentes esetben a spektrum diszkrét sávokból áll, melyek mindegyikében az e(k) energia a reciprok rács egy elemi cellájában változó kváziimpulzus függvénye. A tér bekapcsolásakor a sáv q számú alsávra hasad fel, melyek mindegyikének összes szintje elfajult; multiplicitásuk páratlan q esetén q, páros q-Ta qj2. Az alsáv energiáját megadó e(K) függvény K változója az eredeti reciprok rácsbeli elemi cella Ijq2 (páratlan q-ra), illetve 2/q- (páros #-ra) részét futhatja be.

Bizonyos szempontból a most megalkotott kép igen érzékeny a mágneses tér nagyságára és irányára. Ugyanis a (60,5) felLételt valamely p-vei és q-\al kielégítő H értékhez tetszőlegesen közel találhatók jóval nagyobb g-jú, a feltételt szintén kielégítő H-k, így az alsávok számát a térerősség igen kicsiny megváltoztatásával már tetszőlegesen naggyá növelhetjük. Hangsúlyozzuk azonban, hogy ez a körülmény egyáltalán nem jelent ugyanilyen instabilitást a megfigyelhető fizikai tulajdonságokban. Ez utóbbiakat nem annyira a sávszerkezet határozza meg, mint az állapot szám eloszlása kicsiny, de véges energiaintervallumokban; ez az eloszlás viszont alig változik a tér kis változásakor. Az a helyzet, hogy nem az állapotok energiája változik nagyot, hanem besorolásuk, mivel a kváziimpulzus értelmezési tartománya is erősen változik.

61. §. A normális fémek elektronspektruma

A fémek normális állapotú (nem szupravezető), reális kristályaiban az elektronok az 1. fejezetben leírt típusú kvantumos Fermi-folyadékot alkotnak. Azonban egy sor eltérés is fellép, ami azzal kapcsolatos, hogy itt nem „szabad”, izotrop folyadékkal, hanem a rács anizotrop, periodikus terében elhelyezkedő folyadékkal van dolgunk.

Ahhoz hasonlóan, ahogy a szabad Fermi-folyadék spektrumát az ideális Fermi-gáz spektrumának analógiájára építettük fel, most a fémbeli elektronok Fermi-folyadéká-


nak spektrumát a „rácsban elhelyezkedő ideális gáz” példájára szei kasztjuk meg. A kváziimpulzus mint megmaradó mennyiség megjelenése csak a rács térbeli periodi- kusságának következménye (ahogy a valódi impulzusmegmaradás a tér teljes homogenitásának eredménye). Ezért természetes, hogy az 55.§-ban felsorolt tulajdonságok a fémbeli elektronok energiaszintjeinek osztályozására is átvihetők, miközben a részecskék (elektronok) szerepét a kvázirészecskék veszik át.

Abszolút zérus hőmérsékleten az ideális Fermi-gáz részecskéi periodikus térben az összes alacsony e energiájú szinteket elfoglalják valamely eF határoló értékig (amely a T = 0 értéken a kémiai potenciál fi értékével egyezik meg). Ezt az értéket az a feltétel határozza meg, hogy az e s eF energiájú állapotok száma megegyezzék az elektronok teljes számával. így azok az energiasávok, melyekre ^(k) «= er minden k-ra, teljesen betöltötték, amelyekre viszont et(k) >■ eF, azok üresek. A sávok, amelyekben az

e.(k) = f f (61,1)

egyenletnek megoldása van, részleges betöltöitségíiek. A (61,1) egyenlet határozza meg a k-térben azt a határoló Fermi-felületet, amely (minden sávra) elválasztja a betöltött állapotokat az üresektől.

Hasonló módon a valós fémben is létezik a k-térben egy felülei, amely (T — 0-n) elválasztja a kvázirészecskék betöltött és betöltetlen állapotait; e lelület két oldalán a kvázirészecskék energiája s eF, illetve e «= eF. Idézzük fel azonban (1. l.§), hogy Fermi-folyadékbar. a kvázirészecske fogalmának csak a Fermi-felület közelében van tartalma, ahol viszonylag kicsi a kvázirészek csillapodása. Ezért a betöltött energiasávoknak (az ideális gáz tárgyalásakor kialakuló) képe a valódi fémbeli elektronfolyadékban elveszti szó szerinti értelmét.

A Fermi-felület közelében elhelyezkedő kvázirészecskéket vezetési elektronoknak hívják. Energiájuk általában a kváziimpulzus lineáris függvénye, ugyanis (l,l2)-vel analógiában írhatjuk, hogy

í:(k) - f f sí h(k - kf ) vFt (61,2)

ahol kf a Fermi-felület egy pontja, viszont

, 6 U )

a vezetési elektronok sebessége e pontban.19

** A (2,11) jellegű képletek, melyeket a 2. §-ban a Galilei -invarianciára alapuló megfontolásokból a „szabad” Fermi-folyadék elektronjainak effektív tömegére vezettünk le, természetesen nem érvényesek a kristályrács elektranfolyadékára.

61.§. A NORMÁLIS FÉMEK ELEKTRONSPEKTRUMA 303

A Fermi-felület közelében a vezetési elektronok eloszlásának „elkentségi tartománya” alakul ki, zérustól különböző hőmérsékleten. Ebből következik a Fermi- folyadékok elméletének alkalmazhatósági korlátja: T f i k FvF, ahol k F és vF a Fermi-felület jellemző mérete, illetve a sebességnek azon mérhető jellemző értéke. Általában a kF méret nagyságrendileg megegyezik a reciprok rács cellaméretével, tehát kF ~ \ja (kivételt képeznek az ún. félfémek; 1. alább). A sebességre a vF ~ ~ hkrjm becslési elfogadva, a 7 '« 104— 105 K egyenlőtlenségre jutunk, ami gyakorlatilag mindig teljesül.

Tapasztalati tény, hogy az összes fém kristályrácsának inverziós centi urna van. Az 55. § végén mondottak szerint az (adott k-jú) vezetési elektronok összes energiaszintjei kétszeresen elfajultak a spin értéke szerint (a nem ferro- vagy antiferromágne- ses fémekről van szó).

A Fermi-felület alakja és helyzete minden konkrét fém fontos jellegzetessége. A különböző fémekre e felületek a legkülönfélébb és általában igen bonyolult alakúak. Állhat a Fermi-felület több, egymással nem összefüggő levélből, melyek egyenként egyszeresen vagy többszörösen összefüggŐek, zártak vagy nyitottak lehetnek (vö. az 55.§ végén az izoenergetikus felületekről általában mondottakkal).

A Fermi-felület záit leveleit két osztályba sorolhatjuk, attól függően, hogy a (T — 0 hőmérsékleten) betöltött vagy a szabad állapotokat határolják (az első esetben a felület belsejében e eF a másodikban e eF). Azonban mindkét eset hasonlóan írható le, ha a másodikat úgy vesszük, mintha az „üres” belső részt „kvázilyukak” ' töltenék be. Ebben az esetben a rendszer ál menete gerjesztett állapotba úgy tekinthető, mint egy kvázilyuk átlépése a felület belsejéből a külső tartományba. Ekkor magát a Fermi-felületet lyukszerűnek hívják, megkülönböztetésül az első esetbeli elektronszerű felülettől.20 A két kvázirészecske-típus fizikai eltérése világosan megnyilvánul külső térbeli mozgásuk során. így a lyukszerti (illetve elektronszerü) Fermi-felület összes metszete, amely a külső mágneses térben való mozgások kváziklasszikus pályáit adja meg, az 57. §-ban leírt értelemben felel meg lyukak (illetve elektronok) mozgásának.

Az izotrop, „szabad” Fel mi-folyadék ban, amit az l.§-ban tárgyaltunk, a Fermi- felület gömb volt, amelynek sugarát a Landau-tételt kifejező (1,1) képlet adta meg a folyadék sűrűségének ismeretében. Hasonló kapcsolat létezik a fémbeli elektronfolyadékra is, de a rács periodikusságához kötődő néhány tulajdonság e kapcsolat formájának bizonyos megváltozását okozza.

A fém elektronjainak számát a rács egy elemi cellájára célszerű vonatkoztatni-

20 A félreértések elkerülésére azonban hangsúlyozzuk, hogy a „lyuk” fogalom értelme nem azonos azzal, amit az 1. § végén a Fermi-folyadék spektrumának alternatív leírásához kialakítottunk (ott lyuknak csak azokat az üres helyeket hívtuk, amelyek a gerjesztett rendszerben az eredetileg betöltött tartományban keletkeztek).

Legyen n az egyetlen cella atomjai összes elektronjainak száma. Jelöljük z^-fel a reciprok rács egy cellájának azt az eredő térfogatrészét, amely a Fermi-felület betöltött oldalán fekszik {azaz ahol e < eF). A z „eredő” szó itt azt jelenti, hogy ha a Fermi- feiület különböző levelein kialakuló betöltött tartományok részben átfedik egymást, akkor is függetlenül kell azokat számításba venni az összegezéskor. A t F térfogatot egyezményesen mérjük, a reciprok rács elemi celláját használva egységül. Az átfedésre vonatkozó megjegyzés szerint t F értéke ebben az egységben kifejezve meghaladhatja l-et.

A keresett állítás (Luttinger tétele), amely a Landau-tételt helyettesíti femekre, az

nc s 2xf = n— 2/ (61,4)

egyenlőségként írható fel, ahol / valamilyen egész szám (I m 0). A rácsban mozgó ideális gáz modelljére a szám jelentése egyszerű: a reciprok rács cellájában mindegyik sáv teljes betöltésének két elektron elhelyezkedése felel meg (a megkétszereződés oka a spin figyelembevétele). Így az / alsó sávot 21 elektron tölti be, az n—2l különbség viszont a részlegesen betöltött sávokban tartózkodó elektronok számát adja meg. A (61,4) képlet azt az egyáltalán nem magától értetődő tényt fejezi ki, hogy az elektronok közti kölcsönhatás „bekapcsolása” után is hasonló helyzet marad fenn .21 A fém definíciójának megfelelően az nc szám nem zérus.

Tegyük fel, hogy a fémben a Fermi-felülemek csak zárt levelei fordulnak elő, elektronszerőek és lyukszerűek egyaránt. Jelöljük és szimbólumokkal az egyes elektronszerű, ill. lyukszerű üregek önálló járulékát r F-be:

t f = y , * - + T A >4 S

{ahol az összegezés minden elekironszeiű és lyukszerű levélre vonatkozik). A r ’f mennyiség az elektronszerű üreg térfogatával egyezik a lyukszerű üreg térfogtaa viszont 1 — Vezessük be az elektron és lyuk kvázirészecskék számát:

2 J V * , , + = 2 £ ( I - t < ? ) .S 5

Páros «-re (ami egyúttal páros «c-t is jeleni) megtörténhet, hogy nc éppen a lyukszerű üregek számának kétszerese. Ekkor (61,4), mint azt könnyű belátni, egyenértékű az

>1~ = >tj. (61,5)

11 A tétel szigorú bizonyítására I. J. M. Luttinger, Phys. Rév. 119 (I960) 1153.

61. §. A NORMÁLIS FÉMEK ELEKTRONSPEKTRUMA 305

egyenlőséggel. Az olyan fémeket, melyekben a kvázirészecskék cs a kvázilyukak száma egyenlő, kompenzáltaknak hívják.

Vegyük észre, hogy a (61,5) egyenlőség pontos teljesülésekor maguk az n_ és n+ számok még tetszőlegesek, többek közt igen kicsik is lehetnek. Ilyen esetekben, mikor a Fermi-felületek üregeinek össztérfogata nagyon kicsi (a reciprok rács cellája térfogatához képest), beszélünk félfémekről.22 A vezetési elektronok számát azonban alsó korlát szabályozza, amely alatt a fémes jellegű spektrum instabillá válik (1. alább a 6 6 . § vég.'í).

A fém termodinamikai mennyiségei a rács- és elektronjárulékokból tevődnek össze. Az utóbbiak hőmérsékletfüggését a Fermi-felület közelében elhelyezkedő kvázirészecskék határozzák meg [diszperziós összefüggésüket (61,2) adja meg]. E függés jellege természetesen ugyanolyan, mint ideális Fermi-gázra vagy izotrop Fermi- lolyadékra (vö. I. §). A képletekben csak azért lép fel eltérés, mert a Fermi-felületen, amely most nem gömb alakú, a kvázirészecske-állapotok száma más.

Jelöljük a de intervallumba eső állapotok számát (melyet egységnyi térfogató fémre vonatkoztatunk) vífe-nal. Két végtelenül közeli izoenergetikus felület között, amelyek energiái eF és eF+ds, a k-tér térfogateleme: d fde/ftvF, ahol d f a Fermi-felület területeleme. VF pedig a rá merőleges vr = de/h dk vektor hossza. Ezért

" - I s p - J - C - <ú ,-6>

ahol az integrálást a Fermi-felület mindazon levelére el kell végezni, melyek a reciprok rács egy cellájában helyezkednek el (nyílt Fermi-felülelre a cella oldalát természetesen nem kell az integrálási tartományba érteni).

A (61,6) kifejezés veszi át a termodinamikai mennyiségekben a szabad részecskék gázára (gömb alakú Fermi-felületre) vonatkozó

2 ATipp mpf (2 Ttftf pf jm riW

alakú kifejezés szerepét. így a fémek Q termodinamikai potenciálja elektronrészére (vö. 58. §)

Qe = Q * - K - v FV T (61,7)b

adódik, ahol Q ^ a potenciál értéke T = Óra. (61,7) második tagját kis korrekciójaként tekintjük, és így a kis járulékokra vonatkozó tételnek megfelelően ugyanez

a Pl. a bizmutra w_ =• n r « 10_\

a képlet írható fel a 0 termodinamikai potenciálra is:

= 'f V T \ (61 ,8)

a h o l^ -e t és V-t P függvényének tekintjük (mégpedig a „nulladik” közelítésben, azaz T = 0 esetén).

A (61,8) képletből kiszámítva az entrópiát, abból a fajhőre

C r = ~ v FV T (61,9)

adódik. A fajhő rácsjáruléka T^-nel arányos (a 0 Debye-hőmérséklethez képest kicsiny hőmérsékleteken). Ezért az elektronjárulék elegendően alacsony hőmérsékleten túlsúlyba kerül.23

Ugyanennél az oknál fogva válik dominánssá az elektronjárulék a fém hőtágulásába is ebben a hőmérséklet-tartományban. (61,8)-ból a térfogatot a V = d&ffíP képlettel meghatározva, ebből az a liőtágulási együtthatóra

1 / 8 V \ d(VvF)r \ - w ) , = - T w ~ s p ~ ,6 IJ0 )

adódik. Megjegyezzük, hogy itt (csakúgy, mint n T » & tartományban; I. V. 67. §) az

_ _ 8 In (VvF)C ~ dP

hányados hőmérséklet-függeilen.

306 VI. FEJEZET. ELEKTRONOK. A KRISTÁLYRÁCSBAN

62. §. Az elektron Green-függvénye fémben

Az 56—58. §-okban egyetlen elektron mozgását vizsgáltuk olyan iácsban, melyre külső mágneses tér hat. Most megmutatjuk, hogy az így kapott eredmények lényegében érvényesek maradnak a valódi fém kvázirészecskéire (a vezetési elektronokra) is,

23 A (61,9) sorfejtés kis paramétere a T /e , hányados, a rács fajhőjárulékában viszont T/Q játssza ezt a szerepet. Ezért a két fajhőjárulék T* ~ 0 a/£ f hőmérsékleten válik azonos nagyságrendűvé.

62. §. AZ ELEKTRON GREEN-FÜGGVÉNYE FÉMBEN 307

pusztán nébány mennyiség definícióját kell megváltoztatni {Ja. A. Bicskov, L. P. Gorkov, 196J; J. M. Luttinger, 1961). Az elektronfolyadék vizsgálatának alkalmas matematikai eszköze a Green-függvényes technika.

A II. fejezetben ezt a módszert „szabad” Fermi-folyadékra dolgoztuk ki. Most megvilágítjuk azokat a pontjait, amelyek rácsbeli folyadékja változtatást igényelnek.

Az elektronfolyadék Green-függvényét (ha 7 = 0 ) az elektronok heisenbergi ^-operátoraival ugyanaz a (7,9) függvény határozza meg, mint korábban, de az átlagolást a fém alapállapotára kell elvégezni. Az idő homogenitása miatt ez a függvény /j-től és /2-től csak a / = h ~ h különbségen keresztül függ. A térbeli homogenitást viszont most sérti a folyadékra nézve külső' rácstér jelenléte. Ezért a Green-függvény nemcsak az rx — r2 különbségtől függ. Csak annyit állíthatunk, hogy a függvény invariáns rx és r2 azonos (tetszőleges )rácsperiódussal való egyidejű eltolásával szemben. Az alábbiakban a Green-függvényt (co, r)-reprezentációban vizsgáljuk, azaz bevezetjük a G ^o í; rx, r2) Foui ier-komponenst a / változó szerint. Éppen ezzel a függvénnyel határozható meg elvben a fémbeli elektronfolyadék spektmma. Megismételjük (az összes számítás elvégzése nélkül) a 8 .§ megfontolásait az adott esette.

A 8 . §-ban megmutattuk, hogy a rendszer homogenitása miatt a ^-operátorok mátrixelemeinek koordináta függése meghatározható, és ezzel a Green-függvény téridő-reprezentációbeli általános alakját is felírhatjuk a (8 ,5 )-(8 .6 ) alakban. Ebből a (8,7) kifejezés formájában térhettünk át impulzusreprezentációra.

A mátrixelemek (8,3)-maI kifejezett invarianciája csak akkor érvényes rácsbeli elektron folyadékra, ha rácsvcktorral toljuk el a rendszert, azaz r — a. Ekkor a koordinátafüggés alakja természetesen kevésbé meghatározott: (8,4) helvett csak annyit állíthatunk, hogy

<01 'í 'J j, r) i mk) = jr,<&>(!■) exp ( - fw ^ k ) t),. (62,1 j

<mk | #,(/, r) 10> = xlm! -u (r) exp (m^k) r),ahol

Xm I (r) = «ikr «*mt< («•)> (O 2 ,2 ) yJmi(r) = tf^mkír),

és k az állapot kváziimpulzusa, m a többi jellemző kvantumszám összessége, u és v pedig valamely, a rács szerint periodikus függvény (csak az alapállapotból, a 0 -álla- potból kiinduló átmenetek mátrixelemeit írtuk fel). A ~/+) és %(-) függvények tulajdonságai a periodikus térben mozgó elektron Bloch-féle hullámfüggvényeihez hasonlatosak. A Green-függvényt e mátrixelemekkel kifejezve, majd (a 8 .§-hoz hasonlóan) áttérve az idŐváltozó szerinti Fonrier-reprezentációra, azt kapjuk, hogy a (8,7) képlet helyett a

r , - , - r , i - V I Z ÍtfO 'iílítt í 'f r i) .G ^ . n . r , ) - £ k j ,<, + „ _ , a > + í r + } (62-3>

kifejtés érvényes, ahol az e(+) és £(-> szimbólumok jelentése a régi, és a második tagban elvégeztük a k — - k cserét.

A Fermi-felület közelében fellépő nemcsillapodó egyrészecskés elemi gerjesztések úgy nyilvánulnak meg, hogy /i-hoz közel az állapotok e energiája csak k-tól függ. Ezekre az állapotokra a G^(<o; rx, r2) függvénynek a> = e(k)—ft esetén pólusa van. A pólus közelében a függvény alakja a következő:

G^(cu; r„ r 2) = - ------ . (62,4)^ cű + jtí— c(k)+/0 *sign M

A spinek szerinti elfajulás esetén a két spinállapotra is összegezni kell.Az energiaspektrumnak a Green-függvények alapján való meghatározása elvben

egy lineáris integro-differenciál operátor sajátértékeinek meghatározását jelenti.A feladatra vonatkozó koordinátatérbeli gráfszabályok lényegében a szokásos

Fermi-folyadék esetével egyezőek. Speciálisan, bevezetjük a £ ^ (t, r x, ra) sajátenergiás függvényt (a 14. §-ban megadott diagramok járulékának összegeként), és ezzel a

r i> r 2) Green-függvényt felírhatjuk a (14,3) sorral, amely a (14,4) grafikus egyenletté összegezhető. A vékony folytonos vonal e diagramokban a szabad elektronok G ^(/, rj, — r2) Green-függvényét jelenti, amelyek sem egymással, sem a ráccsal nincsenek kölcsönhatásban. (9,6) szerint ez a függvény kielégíti az

+ r t- r 2) = ö.jÖ(i)ő(r t—r 2)

egyenletei. A fenti egyenlet bal oldalán a zárójelben álló operátort balról a (14,4) egyenletre alkalmazva és áttérve az időváltozó szerint Fourier-komponensekre, megkapjuk a keresett egyenletet:

ft.+ ~ - j G,4id; rí, r 2) - J l \ v(o>, ru r') Gvp(w, r'. r 2) d3x' = Kp ó(r, - r2). (62,5)

A G-függvény (co változóbeli) pólusa közelében az egyenlet jobb oldala elhanyagol- hatóvá válik és egy homogén integro-diíferenciálegyenletre jutunk, melynek sajátértékei határozzák meg az energiaspektrumot. Ekkor a jS indexre és az r2 változóra nem hat semmilyen operátor, azaz lényegtelen paraméterek szerepét játsszák az egyenletben. Ezért a spektrum meghatározásához az egyenletet

|«u + fi+ -— -j X «(r)-j £*?(«>; r, r') /,,(r') <Px' = ( o j - L ) y(r) = 0 (62,6)

62. §. AZ ELEKTRON GREEN-FÜGGVÉNYE FÉMBEN 309

alakban írhatjuk.24 Fémbeli elektronok Fermi-folyudéka esetén ez az egyenlet váltja fel a szokásos Schiödinger-egyenletet. Sajátértékei, mint már mondtuk, az co = = e {k )— (i képlet szerint határozzák meg a spektrumot. A (62,4>beli ^ ( r ) függvények a megfelelő sajátfüggvények [ami nyilvánvaló, ha (62,4)-et (62,5)-be helyettesítjük]. Mivel a Fermi-felület közelében gerjesztések csillapodása gyenge, az L operátor kis co-ra hermitikus (co rendű pontossággal).

A gyenge külső' mágneses térre úgy térünk át, hogy észrevesszük: a ^-operátorok mértéktranszformáció során ugyanúgy változnak, mint a hullámfüggvény [vö. (44,3)—(44,4)], ezért a G^<a; rx, r2) függvény két y> függvény f (fj) y*(r2) szorzataként transzformálódik. Ez azt jelenti, hogy a (62,6)-beli %(r) függvény transzformációja a megszokott függvényével azonos. Ha azonban újra követjük az 56.§-belí megfontolásokat, könnyen felismerjük, hogy azokban csak a kristály periodikusságát, a mértéktranszformációk általános tulajdonságait és azt a tényt használtuk ki, hogy az energiaspektrumot valamilyen Hamilton-operátor sajátértékei határozzák meg. Esetünkben ez utóbbi szerepét a (62,6)-beli L operátor játssza .25 Ezért világos, hogy a térmentes eset spektrumáról a gyenge tér „bekapcsolásakor” adódóba való átmenet szabálya ugyanaz, mint korábban: az új spektrumot az

Hamilton-operátor sajátértékei határozzák meg, ahol «(k) a térmentes spektrum. Az «(k) függvény tartalma természetesen eltér (56,7)-beli értelmétől, most a rendszer elektronjainak kollektív kölcsönhatását is tartalmazza.

Minthogy továbbá az 57—58. §-okban a kváziklasszikus eset vizsgálatát teljesen a (62,7) alakú Hamilton-operátor létére alapoztuk, így az ottani eredmények is közvetlenül átfogalmazhatók elektronfolyadékra. Ezzel kapcsolatban felmerül a kérdés, mit kell a vezetési elektronokra ható térerősség (és vele együtt az A vektorpotenciái) fogalmán érteni. Szigorúan véve ez a mennyiség a térerősség pontos, mikroszkopikus értéke, amelyet az adott r pontban az összes elektron (és a külső tér) együttesen hoz létre. Ám kváziklasszikus közelítésben a mozgás tartományának jellemző rH mérete

41 Mikroszkopikusan homogén Fermi-folyadékban ez az egyenlet impulzusreprezentációban a (14,13) egyenletté redukálódik:

25 E tekintetben lényeges eltérésnek tűnhet, hogy (62,6)-ban az £ operátor maga is függ co-tól. Valójában ez csak a Hamilton-operátor implicit írásmódját jelenti. Kis ui-ra (a Fermi-felület közelében) az írásmód explicitté tehető, ha alkalmazzuk az L Ln +coL, felbontást, majd az L„x - <«(t — )% egyenletet balról megszorozzuk az (1 —£,)-* operátorral.

r d8K (62,7)

lu 'r/i. p).


(a „Larmor-féle pályasugár”) nagy az elektronok közötti távolsághoz képest (amely az a rácsállandóval egyező nagyságrendű). Ez a körülmény automatikusan a mikroszkopikus tér átlagolódásához vezet. Az átlag megjelenésének eredetét a következő érvekkel világítjuk meg.

Állítsuk elő a mikroszkopikus térerősséget mint egy átlagérték (amit a makroszkopikus elektrodinamikai terminológiával a B mágneses indukciónak hívnak) és egy gyorsan változó H tag összegét. A homogén B térhez tartozó vektorpotenciái a pálya teljes tartományán nő, és a ~ Bru jellemző nagyságrendet éri el. Az ~ a távolságokon oszcilláló H tér potenciálja nem nő szisztematikusan, és értéke csak ~ Ba nagyság- rendű, ezt Brn -hoz képest elhanyagolhatjuk. Másrészt, mint az 56. §-han már elmagyaráztuk, éppen a potenciál kvantálja az elektronok mozgását. így arra a következtetésre jutunk, hogy elegendő a homogén B = rőt A indukció A vektorpotenciáljának figyelembevétele, amely végső soron egyedül játssza az elektronra ható tér szerepét (D. Schoenberg. 1962). Alább látni fogjuk (63.§), hogy ez a tény a fémek mágnesezése- kor új jelenségekre vezethet.

Az (58,7) kváziklasszikus kvantálási szabály a fém elekironfolyadékára lehat így

ahol most S(e, k2) a fém (Fei mi-felülethez közeli) vezetési elektronjai valódi izoenergetikus felületei metszetének területe.

Ugyanúgy, mini az inverziós centrumú rácsban20 mozgó egyetlen elektron feladatában, a vezetési elektronok spinjeinek figyelembevétele oda vezet, hogy mágneses térben az energia szintek kettéhasadnak:

A |(&2) mennyiség valamely |(k ) függvénynek a kváziklasszikus pályára számított átlagértéke. Elegendő pontossággal igaz, hogy minden pályát a Fermi-felületen elhelyezkedőnek vehetünk, így az átlagolás eredménye csak &2-:ől függ. Hangsúlyozzuk, hogy az elektronos Fermi-folyadék ra a £(/c.) mennyiség eltérése (a szabad elektronokra érvényes) egységnyi értéktől nemcsak a spin—pálya kölcsönhatás eredménye, hanem az elektronok kö?ti kicserélődési kölcsönhatásé is.

írható:

(62,9)

19 Kísérleti tény, hogy az összes fém rácsszerke/.cte ebbe a típusba tartozik.

63. §. A DE H A A S-V A N ALPHEN-EFFEKTUS 311

63. §. A de Haas—van Alphen-effektus

A fémek gyenge külső mágneses térbeli mágneses szuszceptibilitását (fiB T, fi a Bohr-magneton, B a mágneses indukció) általánosságban nem lehet kiszámítani. Arról van szó, hogy a Fermi-folyadék elméletének keretei közön csak a szuszcepti- bilitás paramágneses (spinből származó) része kezelhető: ezt a Fei mi-felülethez közeli vezetési elektronok határozzák meg, mivel az eloszlás mélyén elhelyezkedő elektronok spinjei kölcsönösen kompenzálják egymást. A szuszceptibililás diamágneses (pólya- mozgásból származó) részébe az összes elektron járulékot ad, így azok (az eloszlás mélyén elhelyezkedők) is, amelyekre a Fermi-folyadékok elméletében bevezetett kvázirészecske fogalom már értelmét veszti. A szuszceptibilitás két része általában azonos nagyságrendű, valódi fizikai jelentése csak összegüknek van.

Térjünk át az ..erős” terek esetére, mikor

amikor tehát a Landau-szintek közötti intervallumok a hőmérséklettel összemérhetők,

a para- és a diamágneses szuszceptibilitás járulékát egyáltalán nem lehet elkülöníteni, de a helyzet annyiban változik, hogy a fém mágnesezettségében a külső tértől való oszcilláló függés jelenik meg (de Haas— van Alphen effektus).21 A mágnesezettség monoton változó része itt is az összes elektrontól függ, és nem számítható ki a Fermi- folyadék elméletében. Az oszcilláló rész azonban, mint majd belátjuk, csak a Fermi- felülethez közeli vezetési elektronok hatását mutatja, és általánosan is vizsgálható (/. M. Lifsic, A. M. Koszevics, 1955). Bennünket az alábbiakban éppen ez a rész érdekel.

A mágnesezettség oszcilláló térfüggése az elektronok pálya menti mozgása energiaszintjeinek kvantálása miatt következik be. Azonban csak azok az állapotok kvantá- lódnak, amelyekben (a k-térben) az elektronok pályája zárt. Ezért a termodinamikai mennyiségek oszcilláló részébe csak azok a vezetési elektronok adnak járulékot, amelyek az izoenergetikus felületeknek a tér irányára merőleges zárt metszetein mozognak. Úgy tekintjük, hogy e metszetekre a kváziklasszikusság feltételei teljesülnek, azaz a (62,8) egyenlőséggel definiált >i számok nagyok:

T <: fiB <K iti, (63,1)

de még mindig kicsinyek a kémiai potenciál értékéhez viszonyítva. Ebben az esetben

(63,2)

27 Vö. V. 60 §. ahol ezt a hatást ideális elektrongázra tanulmányoztuk.

A fémek tipikus Fermi-felületeije a metszetek lineáris méretei ~ l/a nagyságrendűek, így S ~ ö“2, és akkor a (63,2) feltétel nyilván teljesül (vö. a 7. lábjegyzettel).

A kváziklasszikus szinteket (a spin figyelembevételével) a (62,9) kifejezés adja meg, ahol £„(fc.) a (62,8) egyenlet megoldása; minden szinthez az (58,10) képlettel megadott számú állapot tartozik. így az Q termodinamikai potenciált meghatározó állapotösszeg a következő (fi, Tés a rendszer V térfogatának függvénye):

m { i + « p - e = a 8 A . j * . . (6 W )

Az s index az izoenergetikus felület leveleit sorszámozza; ezt az indexet és a rá vonatkozó összegezés jelét a rövidség kedvéért az alábbiakban elhagyjuk. A kz szerin! í integrálást olyan tartományon végezzük el, hogy az az izoenergetikus felületek minden levelének összes különböző' metszetét (a periodikus ismétléseket leszámítva) tartalmazza.

Mindenekelőtt £?-ból leválasztjuk a térrel együtt oszcilláló részt (amit í3-vul jelölünk); ezt úgy tehetjük meg, hogy a(63,3)ÖsszegctaPoisson-formuIa segítségével átalakítjuk :28

t 00 ? m + i^ n = t

o a

E képlet első tagja, ha azt (63,3)-ra alkalmazzuk, ÍJ nem oszcilláló részét adja meg. Ezt elhagyva, írhatjuk, hogy

Ü = - 2 Re £ £ /,„, (63,5)4 nzcft ! ^ í a ^ ±1

ahol Ih az alábbi integrál oszcilláló része:

se-

I ia - j" dn J In 11 + exp ,U° e2™'” dk2, (63,6)0

valamint bevezettük a f.ta = jelölést.

312 VJ. FEJEZET. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN

F(n) = j F(x) dx + 2 Re j l \ x ) dx. (63,4)

ML. V. 60. §. A (63,4) képletben lényegtelen, hogy az összeg F(0) tagjának 1/2 az együtthatója, mivel a (63,3) összegben n nagy értékei a lényegesek.

A további átalakításokhoz bevezetjük az

n{c k ■) _ c h s^ * .-) 1z) 2 n \e \B 2 (63,7>

függvényt [vö. (62,8)], és (63,6)-ban az «-re vonatkozó integrálásról e szerintire térünk át:

//. = | J I n { 1 + exp - - j 6 J ***"" fí;‘- dk: de; (63,8>o

az e szerinti integráláskor az alsó halál citéke (melyet feltételesen zérusnak választottunk) közömbös, mivel az integrálban az e = ^ érték körüli tartomány a lényeges.

Minthogy az n(e, k2) függvény értéke nagy, ezért a (63,8)-be!i exponenciális tényező fcy-nek gyorsait oszcilláló függvénye. Ezek az oszcillációk lerontják a dkz integrált, azaz a lényeges járulék A^-nek abból a tartományából jön, ahol n(e, kz) lassan változik kt-\e 1 (hogy az oszcillációk a lehető leglassúbbak legyenek). Más szavakkal, az iutegiálba a/, alapvető járulékot az n függvény &z-bcli szélsőértékei körüli tartományok adják (minden adott e-ra). Legyen kz cx(e) egy ilyen pont; közelében az integrált a nyeregpont-módszerrel számoljuk ki: az exponensben

n(e, kz) sz nn(e)+ y | ~ - j (k:~ kz „x)'-, ncx(e) = n(e, k2 ex(e))

közelítést íi unk, a nem exponenciális tényezőket pedig a k. — k2 cx pontban felvett értékeikkel helyettesítjük. Végeredményben azt találjuk, hogy az integrálba mindent egyes széfsőértckhely

co

f t í. 1 dncx 1 62n _l'- í i 7t 1 .In i l+ e x p ...... I ---------- - i ----- exp \2sttlnex ± — Jí/eJ 1 T f dr f i i M l „ 1 4 ]o

járulékot ad, ahol 6n(e, k,)jde mennyiség <//!ex/í/e-nal való helyettesítése megengedett, minthogy a szélsőérték pontjában dnjok, — 0. A 4 -, illetve a — előjel a kitevőben rendre azoknak az eseteknek felel meg, mikor kz ex minimuma, illetve maximuma az n(r., k,) függvénynek.29 Ezt az integrált parciális integrálással alakítjuk át, felhasz-

63. §. A DE HAAS - VAN ALPHEN-EFFEKTUS 313

88 Az jV"1* dz típusú nyeregponti integrált a z - tie" 1 *, illetve z = ne"'*1* helyettesítéssel számítjuk ki, ha a 0, illetve a •< 0, ahol az u szerinti integrálást a teljes ( - » , « ) intervallumra kiterjesztjük.

nálva a

exp (2xiln„) de = d exp ( 2 nihuA?))

•egyenletet és figyelembe véve, hogy a lassan változó | d2njdk2 |ex mennyiséget nem kell deriválni. A kiintearált rész nem ad oszcilláló térfüggést, így elhagyható. Ekkor írhatjuk, hogy

r _ v

h h ' l n i f p i 2exp (2 nihtM) d e ________ ^ ^

l ^ l + e x p p ^ - j ] \d2n/dk2|W

ahol az összegezést az összes szélsőértékpontra végezzük (ezek jelentését az alábbiakban még elemezzük).

Az exp (2m/«ex) tényező az integrandus számlálójában e gyorsan oszcilláló függvénye. Ezek az e— /xa ~ T tartományon kívül mindenütt elhanyagolhatóvá teszik az integrált. Ebben a tartományban ugyanis a nevező is gyorsan változik. Maga az ■f>cx(e) függvény ebben a tartományban simán változik, ezért az

«„(e) w /?„(/<„)+> 4(,0(£-- Vo)

alakban közelíthető; a | d2fí/dkz i~1‘'1 tényezőt viszont az e = /t^-beli értékével helyettesíthetjük. Ezután az e változóról az. x = (e—(ia)/T integrálási változóra térünk át, •és a — n J T alsó határ helyére (— °-)-t írunk (mert (ijT s>> 1), amivel

r _ _ y exp [2 n iln M ± Í7 t/4 \ , - , p 2/r > ( )}1,0 ~ 2P '2 \d 2n ld k 2 \ ^ a 1 % ( í o ) í

adódik .30

Ezt a kifejezést a a = ± 1 értékekre összegezve (az exponenciális kifejezést leszámítva) jtí-vel helyettesíthetjük, mivel a (63,1) feltétel szerint f$B « /(. Az exponen-

Itt felhasználtuk, hogy

, f «*" , irl 1 = I —;-- 7- dl ~ — —----- .J e*-fl sh.Traa

Ezt a képletet az integrált a komplex z síkban zárt görbére kiterjesztve kaphatjuk. Az integrációs út a valós tengelyből, az lm z — 2tc egyenesből és két végtelen távoli „oldalegyenesből” áll (a konvergencia biztosítására ez utóbbi szakaszon az a paramétert (a-/0)-val helyettesítjük). Erre a kontúrra vett integrált a z — irt pólusbeli reziduum határozza meg, amiből 1 = — 2nie~n*.

63. §. A DE H A A S-V A N ALPHEN-EFFEKTUS 315

cíális fazistényezőben ezt már nem tehetjük, mivel az «ex(e) függvény nagy értéke miatt a változónak viszonylag kis megváltozása is a fázis lényeges változását eredményezi. Itt elegendő' azonban az ntx((x±fiB) függvényt 0B hatványai szerint sorbafej- teni, a lineáris taggal bezárólag. Ennek eredményeként

írható, ahol | e!i = £(k: ex). Még hátravan a kifejezésben megjelenő mennyiségek jelentésének mesvilágítása, majd (63,10) behelyettesítése (63,5)-be.

A (63,7) definíció szerint «ex(e) az S(sx, kz) izoenergetikus felületek metszetterületeinek kz szerinti Sex(e) szclsőértékeivel van kapcsolatban, az e — fi pontban felvett értéke pedig a Fermi-felület extremális metszetének területe. Illusztrációként a 15. ábrán egy súlyzószerű Fermi-felület extremális metszeteit rajzoltuk le (egy minimális és két maximális metszet). Ezek a tér nyíllal jelölt irányára merőlegesek. A (63,10) képletben a £ összegezés a Fermi-felület összes levelének extremális metszeteire vonat

kozik. Bevezetjük a képletek írásmódjának egyszerűsítésére az extremális zárt pályán mozgó vezetési elektronok ciklotron tömegét. Az (57,6) definíció szerint e tömeg értéke

ahol 5 CS(«) = S(e, kz cx(e)); az utóbbi egyenlőség megint azért igaz, mivel a szélső- érték pontjában 8S(s, k ^ fd k , = 0.

A termodinamikai potenciál oszcilláló részére a következő végképletei nyerjük:

Xsh l[2nVTiiUp)] cos [2.-r/^5|ex;4(/í>] (63,10)

15. ábra

o _ 2Y("iPB)il2 j &S(fi,kz) i-w ' n’lypnfpH I dk] ;ex

/ . = linjiB

(ahol m az elektron valódi tömege, a + és — előjelek a cosinus függvény \áltozójában rendre a minimális, illetve a maximális ér tékekhez tartoznak .) 31

Az M mágnesezettséget (az egységnyi térfogat mágneses momentumát) az

m = - t w ( 6 3 J 2 )

deriválttal számítjuk ki.3-A deriválást (63,1 l)-nek csak leggyorsabban változó tagjaira alkalmazzuk, amik a cosinus függvények. A Fermi-felület anizotropiája miatt (w* és S tx függ a tér irányától) M iránya általában nem párhuzamos B ii ányáu-!. A longitudinális (a tér irányába eső) mágnesezettség oszcilláló részeié

M, . l - 2 % a . r i - cos (» ,d?n m r '-n dk- ,ex sh /. \ m )

(63,13)

adódik.A (63,11) és (63,13) kifejezések a mágneses tér honyoínlt oszcilláló függvényei,

melyek különböző periódusú tagokat tartalmaznak: az egyes extremális metszetekből származó tagoknak önálló l/5-beli periódusuk van, amelynek értéke

| ± = . 4 ^ . . = ( 6 3 ,4 )B chS„ ’ ’

Megjegyezzük, hogy e periódusok hőmérsékletfüggetlenek.

31A szabad elektronok Fermi-fclülete a k r = ^2mfi/h sugarú gömb -- nk~y felületével egyezik meg. A (63,11) képlet átmegy az V. 60. § <60,5) képletébe.

31 A za tény, hogy B szerint deriválunk, indoklásra szorul. A (63,12) képlethez a következőképpen juthatunk. A rendszer Hamilton-operátorának a vektorpotenciái végtelen kicsiny megváltozásakor mutatott megváltozása:

f>H =--- J j<ÜA dV,

ahol j az árarasürüség operátora [1. III. (115,1)]. A z ü termodinamikaipotenciálmeg változását htf- nak adott /x, T, V értékek mellett vett átlagolásával kapjuk. A tény azonban, hogy (mint a 62. §-ban azt megmutattuk) a rendszer kvantálását nem a pontos mikroszkopikus H tér, hanem annak B makroszkopikus átlagértéke befolyásolja, azt jelenti, hogy az A vektorpotenciái <5/f-ban is a B átlagtérhez tartozik, A (5A variációt ennek következtében az átlagolás jele alól kiemelhetjük, és ekkor

&Ü (ÓH) = - ~ | <j> őA dV.

Bevezetve a mágneses momentum sűrűségét a <j) — c rot M definíció szerint, majd parciálisán integ- rálva, azt kapjuk, hogy

öü -<!>B \ M dV.

63. §. A DE H A A S- VAN ALPHEN-EFFEKTUS 317

Az oszcillációk hőmérsékletfüggését a X/shX tényező határozza meg. Ha A » 1, az amplitúdók exponenciálisan csökkennek, és az oszcillációk lényegében megszűnnek. A g 1 esetén A/sh ?. ~ 1, viszont az amplitúdó nagyságrendjét az jQ -beli és M f beli egyéb mennyiségek határozzák meg. Ez utóbbi esetre vonatkoznak a további becslések is.

Durva becslésként válasszuk az

megfeleltetést, ahol k F ~ l/a a Fermi-felület lineáris mérete. Ekkor az

becslésre jutunk, ahol n ~ /ej- az elektronok számsürüsége. Ami a mágnesezettségnek a tértől monoton függő részét illeti (ezt ÍF-mel jelöljük), azt a következő kifejezéssel becsülhetjük meg:

M ~ yB ^ {P B ~ nfí , (63,16)Tr jx

ahol % a mágneses szuszceptibilitás „monoton” része, amelyet például az elektrongáz gyenge térbeli s2 uszceptibilitásának képletével (1. V. 59. §) közelíthetünk. A termodinamikai potenciál ennek megfelelő monoton része ü ~ VMB ~ VnuifiB/f-if. A felírt összefüggéseket összevetve, azt látjuk, hogy a termodinamikai potenciál oszcilláló része kicsi annak monoton változó mágneses részéhez képest:

ü /Q ~ (p B /n y t* « í,

még inkább a térmentes Q0 ~ Vnfx értékhez képest: Ü/Q0 ~ { fiB /n f12. Ugyanakkor a mágnesezettség oszcilláló része nagy a monoton részéhez képest:

lÜjM ~ ( v / f iB f2 » 1.

A mágnesezettség oszcillációinak itt bemutatott egész elméletével kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy az ideális kristálybeli elektronfolyadékra érvényes, ami nem veszi figyelembe a vezetési elektronoknak a fononokon vagy rácshibákon (pl. szeny- nyező atomokon) való szórásának hatását. E folyamatok szétkenik az elektronok energiáját: Ae ~ h jt ~ ftvp/l (ahol t az ütközések közötti idő, / a szabad úthossz, vF az elektronok sebessége). Az éles energiaszintek elmosódása viszont a mágnesezettség oszcillációinak kisimulásához vezet. A szórási folyamatok elhanyagolásának

feltétele az, hogy Ae kicsiny legyen a szintek energiakülönbségeihez képes!, u/az

ho)B ^ h v F jl. (63,17)

T -* 0-ra [a (63,1) feltétel révén] akármilyen kis B ériékek is megcngedhetők [amiket pontosabban csak a (63,17) feltétel korlátoz]. Az M mágnesezettség ilyenkor elvben a B indukcióval összemérhetővé is válhat [minthogy JÜ/B ~ x (fi/fiB)112], de még korábban megnő a mágneses szuszceptibilitás % = dMjdH (abszolút) értéke.33

Ugyanis újból észrevéve, hogy csak az oszcilláló tényezőket kell dei iválni, azt kapjuk, hogy

!z ! ~ x M P B y * (63,18)

Ilyen helyzetben a mágnesezettség oszcillációi miatt a H = B —4nAf(B) makroszkopikus térerősség 5-fiiggésének görbéjén egymás utáni elgörbülések láthatók, amit a 16. ábra mutat be vázlatosan (A. B. Pippard, 1963). A termodinamikai stabilitás követelménye előírja, hogy34


legyen. Ezért a lefelé görbülő szakaszoknak megfelelő állapotok (pl. be) nem valósulhatnak meg. A kialakuló helyzet teljesen hasonló ahhoz, ami fázisátalakulást okoz, mikor az anyag nyomásának térfogatfüggésében lefelé görbülő szakaszok jelennek meg [vö. V. 84. § és 152. §]. A valóságban a H(B) egyensúlyi görbét az ad vízszintes

A felesleges bonyodalmak, elkerülésére az alábbi kvalitatív vizsgálatban az anizotrópia Itatásától eltekintünk.

34 Vö. VIII. 18. §, ahol az analóg feltételt elektromos esetre mondjuk ki.

64. §. AZ ELEK TR O N -FO N O N KÖLCSÖNHATÁS 319-

szakasz reprezentálja, amit úgy húzzunk be, hogy a rajzon bevonalkázott két tartomány területe megegyezzék. Az ab és cd szakaszokhoz tartozó állapotok metastabilak.

Legyen a fémminta henger alakú, melynek tengelye a külső tér irányával párhuzamos. Ekkor a hengeren belüli H térerősség <jj-val egyezik, ezért ez utóbbi növelésekor a test egymás utáni fázisátalakulásokon megy át, melyekben az indukció ugrásszerűen változik: egy-egy a típusú pont elérésekor minden alkalommal Ba-ról Bd -re ugrik.35 Ha a minta a mágneses térre merőlegesen elhelyezkedő sík lemez, akkor a test váltakozó rétegekre bomlik (diamágneses domének), melyekben az indukció eltérő. Ez a jelenség teljesen hasonló a szupravezető anyag normál és szupravezető rétegekre bomlásához a közbenső állapotban (J. H. Condon, 1966). Ez esetben a ,?> külső tér a mágneses indukció átlagértékével egyezik meg, melyet az összes rétegre átlagolva kapunk. így a Ba -= § «= Bd intervallumban a lemezke Ba és Bd indukciójú létegekre esik szét, majd !p értékét növelve, az utóbbiak térfogata az előbbiek rovására nő.

64. §. Az elektron—fonon kölcsönhatás

Eddig a vezetési elektronokat a rácsrezgésekkel, azaz a fononokkal való kölcsönhatásaiktól elvonatkoztatva vizsgáltuk a kristályban. Ez a kölcsönhatás azt fejezi ki,, hogy a rács deformációja megváltoztatja azt az erőteret, amelyben az elektron mozog; a tér e megváltozását deformációs potenciálnak hívják.

Az elektron—fonon kölcsönhatás meghatározó a félvezetőkben és fémekben tapasztalt kinetikus jelenségekben, de most csak az elektronspektrumra gyakorolt minőségi hatása iránt érdeklődünk. Tanulmányozásához célszerű eltekinteni azoktól a bonyodalmaktól, amelyek a rács anizotrópiájával és mikroszkopikus inhomogenitásávaí kapcsolatosak. Más szavakkal, a közeget mikroszkopikusan homogén, izotrop folyadéknak tekintjük, ami szerint abban csak longitudinális hanghullámok léphetnek fel.

A deformáció szerinti első közelítésben az ilyen egyszerűsített modellben a következő alakú poterciál ha t:

CW(r) = ~ j* W (r - r') o'(r') d:ix \ (64,1)

ahol q' a közeg sűrűségének változó része (o az állandó egyensúlyi érték). A fV(r —r') függvény az atomok közötti a nagyságrendű távolságon lecseng. A (64,1) kifejezést

36 Feltesszük, liogy a fázisokat elhatároló felületek energiája pozitiv.

még tovább egyszerűsítjük annak észrevételével, hogy a k <s l/a hullámszámú fononokkal való kölcsönhatás szempontjából zérusnak tekinthetjük e távolságokat, azaz W = w ő ( r - r ' ) írható, ahol w állandó mennyiség. Ekkor Udcf = w q '(t)/o . A kvantum- elméletben, másodkvantált formalizmust használva, ezt a potenciált az elektron— fonon kölcsönhatás Hamilton-operátoraként írhatjuk fel:

Ü'f = ~ J r) tí’iu r) 'Pa{t, r) ci\x, (64,2)

ahol a XP, *PT operátorok az elektronokat írják le, g‘ pedig a sűrűség Heisenberg- operátora, amely a fononteret írja le. Szabad (az elektronokkal nem kölcsönható) fononokra ezt a (24,10) képlet adja meg.

Ha az elektron —fonon rendszerre alkalmazzuk a Green-függvényes technikát, akkor az elektronok Green-függvénye mellett a fononoké is fellép, amely utóbbit a

D(XU X2) = D(X i — y 2) = - /<T p'(A'i) Q’(X,% (64,3)

képlet definiálja [az idörendezett szorzatot a (31,2) értelmezés bozonokra vonatkozó esete szerint definiáljuk]. Szabad fononok Green-függvénye impulzusreprezentációban a következő:

ö(u>(eo, k ) = | - ' í ü _ m A ;+ í0 - '(a + u k - fo } = "(o--l2k'2+iQ (64,4)

(1. a 31. § feladatát; a közbenső képletekben h = 1).Az elektron — fonon kölcsönhatást kis perturbációnak tekintve, a (64,2) operátorra

egy gráftechnika építhető ki, ahhoz hasonlóan, ahogy ezt a 13. §-ban a fermionok párkölcsönhatásának esetében már elvégeztük. Anélkül, hogy az összes megfontolást megismételnénk, megadjuk a diagramok értelmezésének szabályait (impulzustérben) . 80

A diagramok alapelemei az elektron- (folytonos) és a fonon- (szaggatott) vonalak, melyeknek mindegyikéhez „négyesimpulzust” rendelünk hozzá. A P négyesimpulzusú elektronvonalnak az /Gj$ = iÖ^Glü)( P) Green-függvényt feleltetjük meg, ami a szabad elektronok Green-függvénye. A K négyesimpulzusú fononvonalhoz a szabad fononok Green-függvényéi társítjuk. Minden csúcspontban két folytonos ésegy szaggatott vonal találkozik; minden ilyen pontnak megfeleltetjük a —íw/ q tényezőt

“ A (64,2) kifejezés szerkezete analóg a kvantumelektrodinamika elektron—foton kölcsönhatásának szerkezetével. Ennek következtében a két esetben a gráfszabályok is hasonlóak.

64. §. AZ ELEK TR O N -FO N O N KÖLCSÖNHATÁS 321

így az elektron Green-függvényének első korrekcióját a

K

P V .-----pP - K

(64,5)

diagram adja meg, 37 amihez a következő' analitikus kifejezés tartozik:

w2 í* tfiKiöG(P) = - ~ - [Gl°KP)f G « 'H P - K ) m ( K ) - j ~ . (64,6)

A fonon Green-fiiggvényének első korrekcióját leíró diagram a következő:

P

«*------- f -------- (64,7)K V ------- r /f

P -Kvagy analitikusan:

Z>(£) = 2 ^ - [/*">(K) ] 2 í<?(W G < ° > (P -K) (64,8)

(a 2 együttható a spintényezők egybeejtéséből származik: b ^b ^ = 2 ; ugyancsak figyelembe vettük a zárt fermionhurok jelenlétéből származó — 1 tényezőt is; vö. 13.§).

Megmutatjuk, hogy a fémbeli elektron — fonon kölcsönhatás a Fermi-felület közelében az elektronok között „effektív vonzást” eredményez. Ezt szemléletesen ú gy írhatjuk le, hogy az egyik elektron által kibocsátott virtuális fonont a másik elnyeli (J. Bardeen, 1950; H. Fröhlich, 1950).

Tekintsük a

f j . P . K P,

VK (64,9)

P2 -P2 -K P}

37 A zárt elektronvonalat tartalmazó ábra [ami hasonlít (13,l3a)-hoz) azért nem jelenik meg, mert Dm(fl) = 0. Itt a k -» 0 határesetre előbb kell áttérni, mint az aj -* O-ra. Ez azt a körülményt tükrözi, hogy a koordinátatérben a cPx szerinti integrálás (ami esetünkben éppen a k -* 0 határátmenetet jelenti) már a (64,2) Hamilton-operátor definíciójában is előfordul, és ezért az idő szerinti integrálás előtt már elvégzendő, mivel ez csak a perturbációszámitást e Hamilton-operátorra alkalmazva lép fel.

2 J Statisztikus fizika 2. rész

diagramot, amely két elektronnak virtuális fononok cseréjével létrejön szórási folyamatát ábrázolja. A négyesimpulzusok: P — (e— f t , p), K — (cd, k), ahol f i az elektronok T = 0 értéken mérhető kémiai potenciálja, ami az eF határoló energiával egyezik meg. E diagramot a

vagy a

r =---, (64,10)o(oj2—

vertexfüggvény írja le, ahol fuo = t>\ - ey, hk = pj p^Nagyságrendileg a Fermi-felülethez közeli elektronok impulzusaira p ~ p F ~ ti ja.

Az ~ 1 nagyságrendű szögekre való szóródásnak fik ~ ft/a fononimpulzus és fiuk ~ fiúja ~ ftoiD fononenergia felel meg, ahol o>D a Debye-frekvencia (fémekre fu»D <k sF). Másrészt az elektron (e—ef )-nél nagyobb energiát nem adhat át. Ezért ha mindkét elektronra | e— er | <k wn, akkor nyilvánvaló, hogy

V % w2!ou- =- 0. (64,11)

A t szórásamplitúdónak tekintve (16.§), azt látjuk, hogy előjele a részecskék közötti vonzásnak felel meg. Hangsúlyozzuk, hogy ez az eredmény csak az impulzustér egy viszonylag vékony ( ~ hcoD energiaszélességű), a Fci mi-felülethez közeli rétegében elhelyezkedő elektronokra vonatkozik. Ezt a tulajdonságot a 43.§-ban a fémek szupravezetésének elméletében a levágási paraméter értékének megválasztásakor már kihasználtuk.38

65. §. Az elektron—fonon kölcsönhatás befolyása a fémek elektronspektrumára

Vizsgáljuk, hogyan befolyásolja a fémek elektronjainak energiaspektrumát az elektron — fonon kölcsönhatás.38

" Ami a w állandót illeti, annak fémekre vonatkozó durva becsléséhez azt vegyük cszre, hogy az elektron energiájának megváltozása (q' ~ q)-ra ~ nagyságrendű kell, hogy legyen. Ebből w ~ er.

**E szakasz eredményeit elsőként A. S. Migdal kapta meg 1958-ban.

A 14. §-ban megmutattuk, hogy a Fermi típusú spektrumban az e(p) diszperziós összefüggéshez adódó korrekciót (a szabad fermionok spektrumához képest) a

áe(p) = £ ( e - fi, p ) -£ (0 , p) (65,1)

különbség határozza meg, ahol £ = Glfi)~1—G~1 a sajátenergiás függvény. Esetünkben a fononokkal való kölcsönhatás okozza a korrekciót, míg a „perturbálatlan” spektrum az elektronok „direkt” kölcsönhatásait veszi figyelembe. (64,6) szerint fennáll a

l '(P ) = - ÖG~' = ÓG/G™* = i J | G<°\P K) D«'>(K) ~ (65,2)

összefüggés, 40 de G'<0,-kém most az elektronok kölcsönhatását magába foglaló Green- függvényt kell érteni. E függvény a pólusa közelében

G(0)(e~ n, p) = Z [ s - jj,~ v($(p~-pF) / 0 • süii (s -/x)]~l (65,3)

alakú [1. (1 0 ,2 )3 ; íl (0 ) index vF felett azt jelenti, hogy e mennyiségben az elektron — fonon kölcsönhatást még nem vettük figyelembe.

Célunk, hogy becslési adjunk (65,l)-re, ami nem más, mim

65. §. AZ ELEKTRON - FONON KÖLCSÖNHATÁS BEFOLYÁSA 323

Ö£ = ~ r j í G<0,( fi- f * - P - k ) - p-k )} k) . (65,4)

Mint az alább következő számolásokból világossá válik, ebbe az integrálba az a tartomány adja a fő járulékot, amiben a p - k impulzus és az e-o> energia (csakúgy, mint maga p és e) a Fermi-felület közelében található, azaz k « pF, o> *«: ff. Ezen ok miatt G(0) függvényként (65,3) használható.

Gömbi koordinátákat vezetünk be a k-térben, melynek z tengelyét p irányában vesszük fel. Ekkor diK = 2sik2 dk dco d cos 6, ahol 0 a k és p vektorok állal bezárt szög. cos 0 helyett a /?, — j p— k | új változói használjuk. Észrevéve, hogy p{ — = pz+ k2-2 p k cos 0 , azt kapjuk, hogy

d lK = In k - dk dmpi dpjlpk ••-• 2~rk dk do dp\

(a Pí p s: pF közelítéssel éltünk.).

4I> A közbenső képletekben h —

21*

A (65,4) kifejezés integrandusában csak a kapcsos zárójelbeli tényező függ, aminek értéke

{ ...} = —( e - ,u)Z[e— ’> ^(pi~ p F) -f- iO• sgn (e— /t—fi>)]-1X

X [—ft) — t Í P i —Pf) — iO - sgn co]-1.

A cI(Pi ~P f) szerinti integrál gyors konvergenciája miatt az integrálási tartomány (— o=)-re szélesíthető ki. Ha bevezetjük az t? = v f ’iPi—Pf) változót, akkor

f , x f ______________________ É l _____________.I v<f] J jtí—w)—/0*sgn(c—/<—ro)][ij-f w+/0«sgn <u]

— öo

Ha az imegrandus mindkét pólusa ugyanabba a félsíkba esik, akkor az integrálási uiat a másik félsíkban bezárva, adódik, hogy értéke zérus. Ezért az integrál csak akkor nem zérus, ha e— /< »- o> > 0 vagy e—/t < to < 0 ; az első esetben értéke— 2jziZjvp, a másodikban iTziZjvp. A D(0)(m, k ) függvény cu-beli párosságát is figyelembe vé\e tehát a


btI c-l

z * r f 1 1

(o—itk+ iQ <»+uk— iOk~ (hó dk (65,5)

összefüggést kapjuk.Ezen integrál valós cs képzetes része rendre megadja a kvázirészecskék (a vezetési

elektronok) spektrumában és a csillapodásukban fellépő megváltozást. Elsőként a csillapodással foglalkozunk.

(65,5) képzetes részét a (8 ,! 1) szabály szerint választjuk le. és azt kapjuk, hogy

k- d k . (65,6)

A k szerinti integrálási a (ü, | e— p\/u) tartományban végezzük, ahol (65,5) integran- dusának co = uk pólusa a (0 , [ e— « |) intervallumban található. így (szokásos egységekben)

- lm be. = • <65>7)24;tfi-'QuWp 7

A mennyiségek durván megbecsülhetők azzal az észrevétellel, hogy a é p és w paraméterek eleklronszármazásúak, és nagyságrendileg az elektron m tömegével és az atomok közti a átlagtávolsággal fejezhetők k i: é p ~ pFjm ~ ft jam, »' ~ eF ~ fp/ma2

65. §. AZ ELEK TR O N -FO N O N KÖLCSÖNHATÁS BEFOLYÁSA 325

(1. a 38. lábjegyzetei). A q sűrűség és az u hangsebesség ezenkívül még függ az ionok M tömegétől: g ~ My u ~ így gw* ~ 1 jM. Ezért a csillapodás becsült nagyságrendje :

— Jm Ős ~ \e— u P (65,8)

ahol o)D ~ u/a ~ A/ " 1/2 a Debye-frekvencia.Szigorúan véve a (65,8) becslés f e— | <sc tm D esetén érvényes. Ilyen értékekre a

(65,6) integrálást a k -= | e — fi\/uh <sz o íd / u tartományra végezzük el, ahol a fononokra valóban érvényes az általunk alkalmazott «> = ku szabály. A nagyságrendek durva becslésére (65,8)-at a tartomány | s — fi\ ~ fío)D határán is alkalmazhatjuk, ahol az eredmény:

— lm &e ~ ficoD ~ í e— « |. (65,9)

Végül |e —/í| » fiü )D esetén a (65,6)-beIi integrálási tartomány függcilen (e—fi)- től, mivel az a> = uk < raD pólus mindig a (0 , e— fi) intervallumban helyezkedik el. Ebben az esetben |’ k-dk ~ (u>D/u'f, és a csillapodásra azt kapjuk, hogy

— lm Öe ~ fiMD « | s — ,«.i. (65,10)

A (65,8)—(65,10) kifejezések az elektronok fononemissziójával kapcsolatos specifikuscsillapodást határozzák meg.41 Látjuk, hogy a Fermi-felület közvetlen közelében(65,8) szerint, ha [ e — f i | « hu>D, a csillapítás kicsi ( | lm (e — f i) | <k | « — |) , azaz a kvázirészecskék — a vezetési elektronok — fogalma jól meghatározott tartalmú. Az | g— ~ ficoD tartományban válik a kvázirészecske csillapodása összemérhetővé annak energiájával, a spektrum ekkor szétkenődik, és jelentős mértékben elveszti értelmét. Azonban még távolabb a Feimi-felülettol, mikor [ e— /u | » f iw D (de természetesen ugyanúgy, mint korábban J e— f i | <k ju), (65,10) szerint a csillapodás abszolút értéke változatlan marad, de újra viszonylag kicsi | e— fi |-höz képest, azaz a kvázirészecske fogalmának újra van értelme. Természetesen vezetési elektronok fononos csillapodásával együtt mindig jelen van az elektron—elektron kölcsönhatásból származó csillapodás is. Ez minden normális állapotú Fermi-folyadékra is jellemző ( 1 . §), nagysága ( e - jif-tel arányos, nagyságrendje ~ ( e - f i f / f i , vagyis az elmélet alkalmazhatósági tartományában mindig kicsi.

Most s valós részének korrekcióját, azaz magának a spektiumnak a módosulását becsüljük meg.

11A kvázirészecskével történő kisfrekvenciájú fononkeltés során az energia megmaradását a ( d e / Sk) ö k ~ \ & k = uSk egyenlőség fejezi ki; ez csak v =» u esetén teljesülhet. Fémben e feltétel mindig teljesül, mivel vr » u.


A (65,5) képlet co szerinti integráljának valós részét egy főérték adja meg:

co+uk1 J da> =

2u n j e—fi+uk

Ezért Re de-ra (a szokásos egységekben) a

QlC In '

(65,11)

kifejezés nyerhető.H a \ e - ( t \ 5a> hoiD, akkor az integrandus logaritmusára a ~ ftukj\ e —(x | nagyság-

rendi becslés érvényes, és az egész integrál értékére a fiukigaJ \ e — p | ~ f e / a 3 \ e — p | becslés adódik. Azt is észrevéve, hogy a q tényező (65,11) nevezőjében ezt az egész kifejezést ~ 1 /M-mel arányossá teszi, a

becslést kapjuk. így a korrekció nagysága ebben az esetben viszonylag kicsiny a spektrum eredeti alakjához képest. így a spektrumot az

kifejezés adja, amelyben a sebesség Fermi-felületen felvett „perturbálatlan” értéke szerepel.

Az j s -jtil ho>D tartományban a (65,ll)-beli logaritmus ~ \e —p\jfiuk, és az integrált az | e—jx\ k ^ J i tu ~ \E -p \jh u d 1 kifejezés képviselheti. Az egész (65,11) kifejezés végeredményben arányosnak bizonyul (e—/i)-vel, és e tag együtthatója az ion M tömegétől független (minthogy a gw2 szorzat M-től független). Ez azt jelenti, hogy e tartományban a spektrum ismét ugyanolyan típusú:

de vF akkora, hogy í^'-tól saját nagyságrendjébe eső mennyiséggel különbözik.42

** Természetes, hogy e körülmények között a perturbádószámítás első közelítésének használatát szigorúan véve inkorrektnek kell tekinteni. A soron következő közelítések azonban nem változtatják meg a kapott válasz jellegét: mikor az első kiegészítés egységnyi nagyságrendűvé válik, akkor az egyéb korrekciók nagyságrendje is azonos.

R e Öe ~ (Am d T / I e—p | e— f i

e—/ i ^ v $ (p -P f), ha |e — jti| » fi(ü D (65,12)

jtt ^ Vf(P—Pf), ha | e~ (i | ftcoo, (65,13)

65. §. AZ ELEK TR O N -FO N O N KÖLCSÖNHATÁS BEFOLYÁSA 327

így a fém elektronjainak Fermi-típusú spektrumát két különböző sebességérték jellemzi: vF és az egyik közvetlenül a Fermi-felület közelében (| e—/*] *szJícaD), a másik | a— /* | » fio>D esetén. Alacsony hőmérsékleten (T <sc h(oD) a fém termodinamikai tulajdonságaiban a (65,13)-beli vF paraméter jelenik meg. Ezzel szemben az olyan jelenségeket, mint a fém optikai tulajdonságai o>» cdd frekvencián, a tfö sebesség határozza meg.

Feladat

Határozzak meg a hosszúhullámú (k •«: p r ) fononok csillapodását a fémbeli elektronokon való elnyelődésük következményeként.

Megoldás. A fononok Green-függvényének korrekcióját (64,8) szerint az

ÍÖD-'(K) =■■ - J Gm (P) Gm ( P - K ) , P ■--( p«, p), K = (*>, k)

integrál adja meg. A G-függvényekben azonban még az elektronok és a rövidhullámú fononok kölcsönhatásából származó korrekciókat is figyelembe kell venni. A mondottak szerint ez egyszerűen G(0> olyan 6-vel való helyettesítését követeli meg, amely (65,3>tól csak v^-nek *>-fel való helyettesítésében, valamint a Z renormálási állandó valamilyen más, Z '-re való kicserélésében különbözik. Kis X-ra a <?0,(/>) G ^ P - K ) szorzatot a (17,10) képlet szerint helyettesítjük. A dpadp integrálással a ^-függvényeket távolítjuk el, ami után a cos 0 szerinti integrálás marad vissza (0 a p és k közötti szög):

Z 'W p ^ k [ cos Od cos 0 ÖD~\uí, k) - — 1271*0* J o> — vr k cos 0+ iO

-í

(legyen a> >■ 0). A cos 0 - m jkv f pontbeli pólus az integrálási tartományban van (mivel vr > «), így az integrál képzetes részére

(m = "2nQ*i?rk "

írható. A fononok diszperziós törvényét a + 5D~l — 0 egyenlet gyöke adja, amiből (a szokásos egységekben)

Z'W p%to -- uk( I —/«),

adódik (az w valós részéhez adódó korrekcióval nem törődünk). A qu szorzat arányos [M -ta ti, ezért durva becslés szerint a ~ \fm/M, tehát a csillapodás mindig gyenge.


66. §. A szilárd dielektrikumok elektronspektruma

A nemmágneses kristályos dielektrikumok elektron-energiaspektrumának az a jellemző sajátossága, hogy már az első gerjesztett sáv is véges távolságban van az alapszinttől. Más szavakkal, az alapállapot és a spektrum gerjesztett szintjei között energiarés van (ennek nagyságrendje a megszokott dielektrikumokra néhány elektron- volt).

A díelektromos kristály elemi gerjesztését szemléletesen úgy írhatjuk le, mint atomi gerjesztést, amit azonban nem társíthatunk egy meghatározott atommal; a rendszer transzlációs szimmetriája ugyanis „kollektivizálja” a gerjesztést, amely úgy terjed a kristályban, mintha egyik atomról a másikra ugrálna. Mint más esetekben is, e gerjesztéseket kvázirészecskeként lehet tekinteni (esetünkben exciton a nevük), melyeknek határozott energiájuk és kváziimpulzusuk van. Hasonlóan bármely kvázirészecs- kéhez, amely egyesével is megjelenhet, az excitonok egész értékű impulzusmomentu- múak, és Bose-stalisztikának tesznek eleget.43

Adott k kváziimpulzusra az exciton energiája különböző energiaértékek e/k) diszkrét sorozatát futhatja be. Mikor a kváziimpulzus felveszi k-nak az egy reciprok rácsbeli cellában megengedett összes értékét, akkor az es(k) függvények mindegyike egy-egy sávot jár be. Az egyes sávok részlegesen átfedhetik egymást. Az s/k ) függvények bármelyikének minimális értéke különbözik nullától.

A dielektrikumban az excitonokkal egyidejűleg egyéb fajta elektronikus gerjesztések is létezhetnek. Ezeket az egyes atomok ionizációja eredményének képzelhetjük. Minden egyes ionizáció két elemi gerjesztés egyidejű létrejöttét eredményezi: egy vezetési elektronét és egy „lyukét” . Ez utóbbi egy elektron hiányát jelzi az atomban, és ezért pozitív töltésű részecskeként viselkedik. Az elektron és a lyuk mozgásáról beszélve, valójában itt is a dielektrikum elektronjainak valamilyen kollektív gerjesztésére gondolunk, amelyet (az exciton gerjesztésekkel szemben) negatív, illetve pozitív elemi töltés transzportja kísér.

Az elektronok és lyukak feles spinű és Diiac-statisztikát követő részecskék. Azonban hangsúlyozzuk, hogy a dielektrikum elektron —lyuk gerjesztési spektruma egyáltalán nem hasonlatos a fémek elektronjainak Fermi-típusú spektrumához. Az utóbbit a k-térben a határoló Fermi-felület létezése jellemzi, aminek közelében helyezkednek el a vezetési elektronok kváziimpulzusai. Ez esetben semmiféle hasonló felület nem vezethető be, az egyidejűleg megjelenő elektron —lyuk pár kváziimpulzusai pedig tetszőlegesek.

" Az exciton fogalmát elsőként Ja. I. Frenkel vezette be 1931-ben.

66. §. A SZILÁRD DIELEKTRIKUMOK ELEKTRONSPEKTRUMA 329-

A kétféle spektrum közli mélyebb eltérést az elemi gerjesztések csillapodásának vizsgálata világítja meg. A Fermi-folyadék ban bármely, a Fermi-felületen kívül elhelyezkedő' kvázirészecske új kvázírészecskéket (részecskét és lyukat) kelthet, és így véges élettartamú, amelynek nagysága a Fermi-feliilettől távolodva gyorsan csökken (a fémbeli elektron emellett fononokat is emittálhat; 1.65. §). A dielektrikumban tökéletes rácsban mozgó elektron (vagy lyuk) a T = 0 esetben szigorúan csillapítatlan az energiaértékeknek a minimális nívó feletti véges tartományában .44 Valóban, az elektron — lyuk pár keltése minden esetben véges energiabefektetést igényel (a A energiarés jelenléte miatt — 1. alább). Akusztikus fonon kibocsátása pedig csak akkor le- hetséges, ha a kvázirészecske v sebessége eléri az u hangsebességet (1. a 41. lábjegyzetet).

A vezetési elektronok és a lyukak lehetséges £(0>(k), illetve £(A,(k) energiaértékei szintén sávokba rendeződnek. A dielektrikum energiaréseként szokás a A =-t- e^\a mennyiséget definiálni, ami az elektron —lyuk pár lehető legkisebb energia- értéke. Minthogy az elektron és a lyuk egyszerre jetenik meg és tűnik el, így éppen ennek az összegnek van fizikai tartalma, nem pedig külön-külön az £mín és mennyiségeknek. Megegyezés szerint az = 0 értéket szokás választani. A minimális energiaértéket az elektron és a lyuk azonos vagy különböző k = k0 kváziimpul- zusokra érheti el. Az előbbi esetben direkt, az utóbbiban iiulirekt résről beszélünk. Ha a sáv szintjei nem elfajultak (vagy csak az időtükrözés következtében fellépő spin szerinti kétszeres elfajulás van jelen), akkor a minimum közelében az e(k) függvény

f«0 (k) „ , \ + } _ ,„<<>—1 gt gk_ £</.)(k) = y qtqk (6 6 , 1)

alakú, ahol q = k — k#, és mjp pedig az elektron, illetve a lyuk eííektív tömeg- lenzora.

Az irodalomban az elektronok sávját gyakran vezetési sávnak hívják, a lyukak sávja helyett pedig valenciasávról beszélnek, amely az alapállapotban teljesen telített elektronokkal. A kvázirészecske-pár (elektron+ lyuk) megjelenését egy elektron át- ugrásaként értelmezhetjük a valencia sávból a vezetésibe, miközben az elhagyott helyen egy lyuk marad vissza.

Az (atomi méretekhez képest) nagy távolságokon az elektron és a lyuk között Coulomb-vonzás hat. Ezért kötött állapotuk is létrejöhet. A kötött elektron—lyuk párok együttesen elektromosan semleges kvázirészecskét, azaz excitont alkotnak. Adott kváziimpulzusra a kötött állapotokat az elektron+ lyuk rendszer diszkrét energiaértékei jellemzik. Minden szint az exeitonsávok egyikébe tartozik. így az

M Véges hőmérsékleten az egyéb kvázirészecskékkei való ütközések miatt természetesen mindig van csillapodás.


•excitonok energiája az elektron—lyuk gerjesztések energiái alatt helyezkedik el (emiatt a szakasz elején definiált értelemben az energiarés nem a A értékkel egyezik, hanem annál kisebb, az exciton maximális kötési energiájával megegyező mértékben) . 45

Az excitonszintekét könnyű kiszámítani a gyengén kötött állapotok határesetében, mikor az elektron és a lyuk közötti átlagos távolság nagy az a rácsállandóhoz képest. Az ilyen exciton a Wannier—Mott exciton nevet viseli. Az ellenkező határesetben, mikor a lyuk és az elektron távolsága az atomi nagyságrendbe esik, Frenkel-exciton- ról beszélünk. Nyilvánvaló, hogy a Frenkel-excitont csak formálisan lehet elektron — 1yuk kötött állapotnak tekinteni.

Tekintsünk egy köbös szimmetriájú, dielektromos kristályt. A Wannier—Mou exciton alkotórészeire feltehető, hogy Coulomb-vonzást gyakorolnak egymásra, a többi atom szerepe viszont a rácsban egy homogén dielektromos háttér kialakítására korlátozódik. Ez a kölcsönhatást e-od részére gyengíti, ahol e a kristály dielektromos állandója (amelyet olyan frekvencián veszünk, ami megfelel az exciton kötési ■energiája nagyságrendjének). Más szavakkal, az elektron és a lyuk kölcsönhatási energiáját U = —e2jer alakban írjuk fel. Legyen a spektrum energiarése direkt, és az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az energia minimuma éppen az elektron és a lyuk kváziimpulzusának k = 0 értékéhez tartozik. Köbös kristályban az effektív tömegtenzorok skalárrá (me és mh) egyszerűsödnek, azaz

= « « W - | £ . (6 6 .2 )

Az 56.§ végén rámutattunk, hogy a részecske mozgását a kristályban külső elektromos erőtér alkalmazásakor olyan Schrödinger-egyenleitel írjuk le, amelyben a Hamil- ton-operátor szerepét az e(k) függvény játssza. Minthogy esetünkben az s(e\ k ) —A -és e ^ k ) függvények alakja formálisan a szabad részecskék mozgási energiájával egyezik meg, így a Schrödinger-egyenlet most két, közönséges részecskét ír le, melyek közt Coulomb-erő hat, azaz a H-atom egyenletével azonos. Ezért azonnal felírhatjuk a rendszer energiaszintjeit, vagyis az exciton energiáját:

^ ^ “ ^ 5 Í S 5 - - 3 W B i (6« >

(G. H. Wormier, 1937). E kifejezés első tagja az exciton „mint egész” mozgásának energiája, ha az eredő kváziimpulzus k. A második tag adja az elektron és a lyuk

u Az excitonállapotok azonban véges élettartamúak, mivel az elektron és a lyuk, pl. fonon vagy foton kibocsátásával rekombinálódhat.

67. §. ELEKTRONOK ÉS LYUKAK FÉLVEZETŐKBEN 331

kötési energiáját az excitonban [m = metnj(nte+m\) a redukált tömeg]. Adott k-ra a diszkrét energiaszintek a folytonos spektrum határa felé haladva sűrűsödnek. A (66,3) képlet alkalmazásának az a feltétele, hogy a „pályasugár” nagy legyen: rcx ~ hm-jme- Ez a feltétel nagy n-re nyilván teljesül, de elegendően nagy di- eleklromos állandójú kristályokban az egyenlőtlenség n ~ 1 esetén is teljesülhet.48

E szakasz befejezéseként visszatérünk arra a 61.§-ban említett állításra, hogy félfémekben a vezetési elektronok számsűrűségének van alsó korlátja.

Dielektrikumban, ahol az elektronok és a lyukak T = 0 esetén eltűnnek, a kötött állapotok alkotásának lehetősége csak azt jelenti, hogy az energiaspektrumnak újabb ágai léteznek. Kompenzált fémben ez a lehetőség ugyanakkor azt jelentené, hogy a szabad elektronokat és lyukakat tartalmazó állapot nem a legalacsonyabb, azaz a fém típusú spektrum instabil lenne. A kötött állapotok kialakulásának lehetőségét a Coulomb-vonzás árnyékolódása küszöböli ki, amelyet az elektron és a lyuk „között” elhelyezkedő kvázirészecskék okoznak. Más szavakkal, a kvázirészecskék közti átlagos távolság kisebb vagy azonos nagyságrendű kell, hogy legyen az exciton rex (alapállapotbeli) méretével. Jegyezzük meg, hogy az így megalkotott alsó korlát, ami az elektronok és lyukak fémekben megengedett sűrűségére vonatkozik, csökken azok cffcktív tömegének csökkenésével.

67. §. Elektronok és lyukak félvezetőkben

A tiszta (vagy, mint mondani szokás, saját) félvezető kristályok energiaspektruma a dielektrikumok spektrumától csak mennyiségi szempontból tér el; kisebb ugyanis az energiarés A értéke, aminek következtében a szokásos hőmérsékleteken a félvezetőben (a dielektrikumhoz képest) jelentős számú töltéshordozó van jelen. Világos, hogy ez a különbség csak egyezményes, és valójában a bennünket érdeklő hőmérsékleti tartománytól függ. 45 A szennyezett (vagy adalékos) félvezetőkben az elektronok és lyukak kiegészítő forrásai a szennyező atomok, amelyekre az energiarés az elektronnak a rácsba való beadására (donor típusú szennyező) vagy a rácsból elektron befogására (akceptor szennyezés) kisebb, mint az alapspektrumbeli rés.

Vizsgáljuk részletesebben a rés A nagysága és a vezetési elektronok és lyukak félvezetőbeli (vagy dielektrikumbeli) sűrűsége közötti összefüggés kérdését.

16 Érdemes megjegyezni, hogy a sáv felső határán (maximumánál), ahol az effektiv tömegek negatívak, két elektron (illetve két lyuk) is alkothat kötött állapotot. Ezen állapotok energiája a tiltott sávban, az elektronok együttes energiája felett fekszik.

11 Megadjuk néhány félvezető energiarésének A nagyságát: Si; 1,17 eV, Ge: 0,74 eV, InSb: 0,24 eV, G aA s: 1,52 eV, PbS: 0,29 eV. Egy tipikus dielektrikumra, a gyémántra A — 5,4 eV.

Az elektron (e) és a lyuk (h) páronkénti megjelenése és eltűnése termodinamikai szempontból az e+h — 0 „kémiai reakcióval” azonosítható (a „vákuum” szerepet a kristály alapállapota játssza). Az általános szabályok (1. V. 101. §) szerint e reakció termikus egyensúlyának feltétele:

ttc+Ph= 0, (67,1)

ahol (ie és fi,, az elektronok, illetve a lyukak kémiai potenciáljai. Mivel a félvezetőben viszonylag nem nagyszámú elektron (sűrűsége ne) és lyuk («,,) van jelen (ha T « /J), ezek Fermi-eloszlása nagy pontossággal Boltzmann-eloszlással helyettesíthető, azaz az elektronok és lyukak klasszikus gázt alkotnak .48 Így a (67,1) feltételből a megszokott módon (1. V. 101. §) következik a tömeghatás törvénye, amely .szerint az egyensúlyi sűrűségekre fennáll, hogy

nenh = K(T), (67,2)

ahol a jobb oldal a hőmérséklet függvénye, ami csak annak az alapiácsnak a tulajdonságaitól függ, amelynek atomjain történik az elektron —lyuk párkeltés. Ezt a függvényt a szennyezők jelenléte nem befolyásolja. Számítsuk ki a K (T )függvényt, a határozottság kedvéért feltételezve, hogy az elektronok és lyukak energiái a kváziimpul- zusok (6 6 , 1) kvadratikus függvényei.

Az elektronok (egységnyi térfogatbeli) kváziimpulzus szerinti eloszlását a Boltz- mann-eloszlás írja le:

/ / y - q k n <Pk P \ T j ( 2 n f

(a 2 tényezőt a spinirányok figyelembevételére írtuk a kifejezésbe). Az energia szerinti eloszlásra a

cPk fin?/*2 { 2n f ^ AdEe

helyettesítéssel térhetünk át, ahol me = és mt, m2, m3 az mf^ effektivtömegtenzor főértékei. Az elektronok térfogategységbeli teljes számát tehát

ne = 31 - f f ij ' y ee — /i e~e’r‘ (If.

48 Az elektronok és lyukak sűrűsége a szokásos hőmérsékleten a félvezetőkben 101J - 10” cm-3, fémekben viszont ez az érték 10” —1013 cm- 3 körül van.

adja meg (az integrálás felső határát a gyors konvergencia miatt lehet végtelennek választani). Az integrált kiszámítva

67. §. ELEKTRONOK ÉS LYUKAK FÉLVEZETŐKBEN 333

(67,3)

Hasonló módon kapjuk a lyukakra, hogy

” 2( w f V/7- <67>4)Végül a két kifejezést összeszorozva és figyelembe véve a (67,1) egyenletet, kapjuk a keresett eredményt:

(67,5)

A sajáí félvezetőben, ahol minden elektron és lyuk párosával fordul elő,

;/, = n„ = -pH 2 <?- 4/ar (67,6)\f2n3l2h3

A (67,6) és (67.3) kifejezéseket egyenlővé téve, megkapjuk az elektronok kémiai potenciáljai :4S>

/I 3 r >«/,+ (67,7)

Ami az elektronok és lyukak járulékát illeti a félvezető termodinamikai jellemzőihez, T <sc /1-ra ezek exponenciálisan kicsik. Figyelembe véve, hogy egy elektron—lyuk pár keltéséhez / 1-hoz közeli energia szükséges, a párok járulékára a rendszer belső energiájába Eeh « F/7C/1 adódik, ahol nc-{ (67,6)-ból kell beírni. Ezt a mennyiséget általában elhanyagolhatjuk a rácsnak a kristály energiájába adott járuléka mellett.

49 Ezt a kifejezést az irodalomban gyakran emlegetik Permi-szintként. Hangsúlyozzuk azonban, hogy az elektronok kémiai potenciáljának félvezetőkben egyáltalán nincs az a határoló energia jellegű jelentése, ami a fémekben megvolt.


68. §. Az elektronspektrum az elfajulási pont közelében

Ebben a szakaszban egyszerű példákon mutatjuk meg, hogyan lehet a szimmetriával kapcsolatos megfontolásokból kiindulva megtalálni a félvezető(vagy dielektrikum) elektron- vagy lyukspektrumának alakját a k-tér (a reciprok rács) bizonyos pontjai közelében, melyeket szimmetriájuk tüntet ki. 50

Tekintsünk egy, az Oh köbös kristályosztályba tartozó rácsot, amelynek energia- spektrumát a k = 0 pont körzetében vizsgáljuk. Ez a reciprok rács egyik rácspontja, amely az Ok teljes pontcsoport sajátszimmetriájával rendelkezik.

Első példaként az elektron spinjét figyelmen kívül hagyva vizsgáljuk a spektrumot. A sáv energiaszintje a k = 0 pontban legyen kétszeresen elfajult és tartozzék az Oh csoport Eg irreducibilis reprezentációjához.51 A k = 0 pontot elhagyva, az elfajulás megszűnik. A feladat az, hogy találjuk meg az s(k) diszperziós összefüggés minden ágát e pont közelében.

Az 59. §-ban elmagyaráztuk, hogyan lehet valamely k = ko ponttól való eltérést a k-térben perturbációként kezelni. Most a perturbáció operátorának konkrét alakja érdektelen. Elegendő azon kifejezések szerkezetének ismerete, amelyek a q = k — k0

kis mennyiség hatványai szerinti minden rendben megadják az energia módosulását (ez esetben k = 0, így q = k). Első rendben a korrekciókat egy ky alakú operátor mátrixelemeiből (a konkrét eset kedvéért, egyazon elfajult nívóhoz tartozó állapotok közötti átmenetek amplitúdóiból) kialakított szekuláris egyenlet adja meg, ahol y valamilyen vektoroperátor. Esetünkben a szimmetriacentrum létezése miatt a y operátor minden mátrixeleme eleve zérus, így k-ban elsőrendű effektus nem lép fel (vö. V. 136. §). k szerint másodrendben egy

V = M , k k (6 8 , 1)

alakú operátor mátrixelemeiből összeállított szekuláris egyenlet határozza meg az energia korrekcióját, ahol yik valamely (az i, k indexekben szimmetrikus) hermitikus tenzoroperátor. Ebben megjelennek a Hamilton-operátor k-ban lineáris tagjainak a perturbációszámítás második rendjében adott járulékai, valamint a k-ban négyzetes tagtól eredő korrekciók az első közelítésben. A (68.1) operátor mátrixelemei között nyilván vannak zérustól különbözőek, de ezekre a szimmetriakövetelmények határozott megkötéseket rónak ki.

40 Az elektron spinjének figyelmen kívül hagyásával ez a kérdés formálisan azonos a kristály fononspektrumára vonatkozó hasonló kérdéssel (1. V. 136. §).

51 A pontcsoportok reprezentációinak jelölésére 1. III. 95. § és 99. §.

Az Eg reprezentáció bázisát alkotó hullámfüggvényeket a szimmetriaműveletekhatására mutatott transzformációs tulajdonságaik alapján a

f i ~ x2+ coy2 + w ¥ , i/>2 ~ .v2 + ory2+ caz2

alakban választhatjuk meg, ahol

(,y = e2”113, to1 = í/>*, 1 + tw + w 2 = 0,

míg a ~ jeleli ill az „úgy transzformálódik, mint” értelemben használjuk. A kocka átlója körüli C3 forgatás az x, y, z koordinátákat rendre a z , x, y koordinátákba viszi á t; ennek során a és y>.2 függvények megváltozása:

C i'.tpi — lOf 1, f i — ur-y 2.

A kocka élei körüli C \ forgatás (x, y, z -► x, —z, y) hatására a hullámfüggvények transzformációja:

Ci:y> i ~v>3,

stb. Tükrözéskor x, y, z előjelet vált, a y>2 függvények változatlanok maradnak..Ebből könnyen levonható az a következtetés, hogy yik diagonálison kívüli kom

ponensének minden mátrixeleme zérus, a diagonális tenzorkomponcnsek mátrix- elemeit pedig két független állandóval fejezhetjük ki:

<1 !y*.*l 1>“ <2íyxx12) = <1 \y„\ A,(l | yxx 12> = <21 yxx | 1> e B, <1 | y „ \ 2> = <»B, <1 | y„ | 2) = o?B.

Ezzel a (68,1) operátor mátrixelemeire

<1 | K | 1> = <2 |K | 2 > =

(1 | V [ 2> = <2 | V 11>* = B(kl+o>k;+«?k*)

érvényes. A szekuláris egyenleíet a fenti mánixelemekkel felírva a spektrumnak két ágát kapjuk, melyekre az

t- , .# ) - e ( 0 ) = Ak*±B[ki - 3(kik$+kik'~+kfk*y]íl2 (68,2)

diszperziós összefüggés érvényes. A degeneráció a k = 0 pontot — a kocka átlóját (kx = ky — k.) kivéve — bármely irányban elhagyva, megszűnik.52

68. §. AZ ELEKTRONSPEKTRUM AZ ELFAIULÁSI PONT KÖZELÉBEN 3 3 5

52 Ugyanezt a (68,2) eredményt kapjuk az £„ reprezentációra is (a k - 0 pontban). Általában, egy adott pont közelében a diszperziós törvény azonos azokra a reprezentációkra, amelyek egymástól csak a csoport valamely egydimenziós ábrázolásával való szorzásban különböznek (esetünkben £„ = EsX A lu). Nyilvánvaló, hogy ilyen esetekben a bázis különböző függvényei közötti átmenetek mátrixelemeire ugyanolyan összefüggések érvényesek.


Másik példaként az elektron spinjének figyelembevételével vizsgáljuk a spektrumot. Ekkor az energiaszinteknek a szimmetriacsoport kétértékű (spinor-) reprezentáció felelnek meg. Legyen a k = 0 pontban az energiaszint négyszeresen elfajult, aminek megfelelő hullámfüggvények az Oh csoport D'u (vagy £)') irreducibilis reprezentációját feszítik ki. 53

A reprezentáció bázisfüggvényeit úgy választhatjuk meg, hogy azok a j ~ 3/2 impulzusmomentum v’í, (»» = — j> • • •» J) sajátfüggvényeiként transzformálódjanak .51

Ez a körülmény lehetővé teszi a következő módszer alkalmazását, amely a feladat megoldását jelentősen leegyszerűsíti (J . M. Luttinger, 1956).

A (68,1) operátor négydimenziós ábrázolása (4x4)-es, 16 elemet tartalmazó mátrix. Minden ilyen mátrix felírható 16 lineárisan független (4X4)-es mátrix lineáris kombinációjaként. Közülük 15 m á t r i x o t az

Jx, j l , {Jx, Jy}+, /* , {Jx. Jy-Jz} +

sorozat elemei alkotnak az x, y, z indexek ciklikus felcserélésével adódó elemekkel együtt; ehhez tizenhatodikként a {jx, {/y, yz}+} mátrixot tesszük (a { . . . }+ szimbólum antikommutátort jelent). Itt a , mátrixok a j = 3/2 impulzusmomentum derékszögű komponenseinek mátrixai, melyeket a négy függvény bázisában írunk fel. Másrészt a bázisfüggvények ilyen választásakor maguk a Jx,Jr j 2 operátorok is mint axiális vektorok transzformálódnak a koordináták forgatásai és tükrözései során. E körülmény alapján a V operátori, amely kx, ky, k z komponensekben négyzetes, •olyan kifejezésekből alkotjuk meg, amelyek az Oh csoport minden elemének hatása ■alatt invariánsak:

9 - Ak2+ 4 P M J I + k m + k m ) +

^3(k*ky{jx, ])■} + kykz{jy, _/2} + 4" Jx) + )i (68,3)

ahol fflt ji2, /J3 valós állandók.A (68,3) operátor mátrixelemei a

Wx ~ V* ~ V'3 ~ 'A ~ y ^ i/ i

függvényekkel könnyen képezhetők az impulzusmomentum ismert mátrixelemei segítségével [ezeket a III. (29,7)—(29,10) képletek adják meg]. A számítás a következő

13 Ilyen helyzet alakul ki a gyémánt, a szilícium cs a germánium lyuksávjában, amelyek azonos rácstipusúak.

M A III. 99. § feladatában megmutattuk, hogy a teljes forgáscsoport irreducibilis ábrázolása irreducibilis marad az O csoportra nézve is, amelynek D’ ábrázolásával egyezik meg.

kifejezésekre vezei:

Vu = = ( A + 3 A ) ( « + * © + ( A + 9 i W « . V* = Vm = ( A + 7 A ) ( * * + * * ) + ( A + f t > * 5 ,

1/ 5f1 2 = -

* (68,4)

Fia = = 2 y 3 A ( ^ - * * ) + j | . A * A .

Fh = Víz = 0 .

A szekuláris egyenlet felírása egyszerűsödik, ha észrevesszük, hogy a szintek felhasadása nyilván nem lehet teljes, kétszeres elfajulás (Kramers tétele alapján) mindenképp visszamarad. Ez azt jelenti, hogy a szekuláris egyenlet minden A = e(k)— e(0) gyöke (ami a V mátrix sajátértéke) kétszeres gyök. Más szavakkal, A minden sajátértékéhez két, lineárisan független <pn mennyiségcsoport (« = 1, 2, 3, 4) tartozik, amelyek a

Vnm <fm — kp,-. (68,5)m

egyenlet megoldásai. E két halmazt kombinálva, a q>„ mennyiségekre még egy kiegészítő feltételezést tehetünk, például az egyik elem eltűnését is megkövetelhetjük; legyen <p4 = 0. Ekkor a (68,5) egyenlet n — 4 esetén a

V 41 <?!+ V t 2 fp ’i + V43<p3 = 0

alakot Ölti. Ebből behelyettesítve g?3-at az n — 1,2 egyenletekbe, két homogén egyenletet kapunk a megmaradt két ismeretlenre, 9^ -re és <p2' re :

( V u - V aV itlV * 2 - Vi2V13/V í3\ /.pA = A /^ i \W n -V u V u lV * K a - W F J W W

(az n — 3 indexű egyenlet nem lineárisan független). így a (4X 4>es mátrix sajátérték- feladatát egy (2X2)-es mátrixéra vezettük vissza. Erre felírva a szekuláris egyenletet és azt [a (68,4)-bó'l vett V„m mennyiségekkelj megoldva, azt kapjuk, hogy

68. §. AZ ELEKTRONSPEKTRUM AZ ELFAJULÁSI PONT KÖZELÉBEN 337

A = y ( F 11+ F iű) ±

amiből diszperziós'összefüggés végleges alakja a következő:

% 2( k ) - e(0) = Ak*±[Bk*+c{kl k*+ ki + k i fc?)]1'2, (6 8 ,6 )

ahol

A = & + 5 ft, B = 16j8f, C = 3 ^ - $ - l 6 $ j

(<?. Dresselftaus, /í. F. C/i. Kittel, 1955). Az energianívó a k = 0 pont elhagyásakor minden irányban felhasad.55

Röviden gondoljuk meg a részecskék viselkedését a sáv elfajult alján, külső mágneses térben leíró egyenletek alakját. A határozottság kedvéért az e szakaszban vizsgált második esettel foglalkozunk, amit a (6 8 ,6 ) spektrum ad meg.

A (6 8 ,6 )-ból az általános (56,7) szabály szerint összeállított Hamilton-operátor közvetlen felhasználása nehézségekbe ütközne, amit a k = 0 pont közelében a spektrum nemanalitikus jellege okoz. E nehézségek elkerülhetők, ha a k — £ = K —ekjhc cserét nem a (6 8 ,6 ) képletben, hanem a (68,3) mátrix Hamilton-operátorban hajtjuk végre (a hermitikusság megőrzésére k komponenseiben szimmeti izálni kell a kifejezést). Ezután a Hamilton-operátor minden mátrixeleme lineáris differenciáloperátorrá alakul, amely nemcsak a spipindexekre, hanem a qo„(K) függvények változóira is hat a (68,5) egyenletekben, amik így négy differenciálegyenletből álló rendszerré válnak.

A spinnel kapcsolatos hatások tanulmányozására mágneses térben a Hamilion- operátorhoz hozzá kell adni néhány, a H-tól közvetlenül függő tagot, amelyeket a mértékinvariancia követelménye nem határoz meg. Mivel a tér gyenge, a hozzáadott (agok H-ban lineárisak; egyúttal k feltételezett kicsinysége miatt k-tól függetlenek tvö. 59. §). Az adott ese.ben e tagok általános alakja, a kristály összes szimmetria- ranszformációival szembeni invariancia megkövetelésével, a következő:

fiAH}+(}s(HxJ l+ H yf y+ H J l) . (68,7)

E szakasz befejezéseként említést teszünk arról az érdekes helyzetről, jmi akkor alakul ki, ha a ko elfajulási pontban érintkező sávok egyike vezetési, a másik pedig valenciasáv. Az ilyen típusú anyagban az energiarés értéke nulla; a ko-hoz közeli impulzusú elektronok és lyukak keltéséhez szükséges energia tetszőlegesen kicsiny lehet. Ezek a kristályok bizonyos szempontból félúton vannak a dielektrikumok és fémek között. Az energiarés hiányzik, de az elektron- és lyukszerű állapotok csak a k-tér egyetlen pontjában nem válnak szét. Mondhatjuk, hogy ez olyan fém, melynek Fermi-felülete egyetlen ko pontba „húzódott össze” , T = 0-ra az ilyen résmentes

*• Emlékeztetünk arra, hogy a perturbációszámítás egyetlen elfajult szintre való alkalmazása feltételezi az e (k )- e(0) különbség kicsinységét a szomszédos sávok különbségéhez képest. F. sávok közé számítjuk a spin-pálya kölcsönhatás miatt elkülönülteket is.

félvezetőben68 nincsenek jelen töltéshordozók; számuk alacsony hőmérsékleten hatványfüggvény szerint növekszik, nem pedig exponenciálisan. A spektrum alakját a ko pont közelében nem lehet egyszerű szimmetriamegfontolásokból megállapítani; az elektronok és lyukak közti Coulomb-kölcsönhatás eredményeként e pontban a perturbációs mátrixelemek szingulárisakká válnak .87

68. §. AZ ELEKTRONSPEKTRUM AZ ELFAJULÁSI PONT KÖZELÉBEN 339

Ennek egy példája az ólom egyik módosulata: a szürke ólom.17 E kérdés részletes tárgyalására I. A. A. Abrlkoszov, Sz. D. Benyeszlavszkij, ZSETF 59 (1970)

1280.

V I I . F E J E Z E T

A M Á G N E S S É G

69. §. A mágneses momentum mozgásegyenlete ferromágneses anyagban

Mágneses szerkezet kialakulása a kristályokban energiaspektrumuk sajátos ágainak megjelenésére vezet. Ezen ágak tanulmányozására áttérve, először is emlékeztetünk a mágneses testekben működő kölcsönhatások néhány sajátos vonására.

A ferromágnesekben az atomok kicserélődési kölcsönhatása az alapvető kölcsönhatási típus, amely a spontán mágnesezettséget is okozza. E kölcsönhatás jellemzője, hogy független a mógnesezettségnek a rácshoz viszonyított irányától. A kicserélődési kölcsönhatás ugyanis az elektronok elektrosztatikus kölcsönhatásából származik, figyelembe véve a rendszer hullámfüggvényének szimmetriatulajdonságait, és független az eredő spin nagyságától és irányától. 1

A legegyszerűbb ferromágneses rendszer az a dielektrikum, amelynek kristályrácsában mágneses momentummal rendelkező atomok vannak, és a kicserélődési kölcsönhatás előjele olyan („ferromágneses”), hogy energetikailag előnyös a momentumok párhuzamos elhelyezkedése. Ekkor a rendszer alapállapotában az összes spin párhuzamos. Pontosabban fogalmazva, ebben az állapotban az eredő spin vetülete valamely irányra vonatkozóan megegyezik a maximális £ í a értékkel, ahol sa egyetlen

aatom spinje. Valóban, a kicserélődési kölcsönhatás i?kics Hamilton-operátora felcserélhető a teljes spin S operátorával, így annak S z komponensével is (ez abból következik, hogy / í kics nem függ az egyes spinek irányától, és az S operátor egyúttal a spintérbeli forgatások operátora is). így az alapállapotban S z értéke meghatározott, a minimális energiához pedig S z maximuma tartozik. Vegyük észre, hogy ekkor maximális sz értékét veszi fel minden egyes atom spinjének sa vetülete is. Ezért az alapálla- potbeli mágneses momentum megegyezik „névleges” értékével, ahol (ta az egyes atomok mágneses momentumait jelöli. Ezt a tulajdonságot azonban megsértik a még gyengébb, relativisztikus kölcsönhatások.

1A g giromágneses tényező kísérleti értéke, amely ferromágnesre igen közel van a 2 értékhez, arra utal, hogy a ferromágneses jelenségek a spinnel kapcsolatosak.

69. §. A MÁGNESES MOMENTUM MOZGÁSEGYENLETE 341

Bonyolultabb esetekben a test mágnesezettsége nem éri el névleges értékét. Speciálisan, ha nem minden atomi kölcsönhatás ferromágneses jellegű, akkor létrejöhetnek két, ellentétesen mágnesezett alrácsból álló szerkezetek, amelyekben az eltérő mértékű alráes-mágnesezettségek nem kompenzálják egymást teljesen. Az ilyen jellegű anyagokat fentieknek hívjuk (a teljes kompenzáció esete felel meg az antiferromágnes- ségnek).

Végül ferromágneses fémben az egyes atomok spinje nem vizsgálható függetlenül a vezetési elektronoktól, melyek mindenesetre (a Fermi-elfajulás miatt) nem lesznek teljesen mágnesezettek még T = 0 esetén sem. A mágneses kölcsönhatások sajátságai a ferromágneses alapállapotban még bonyolultabb struktúrákra is vezethetnek, amikor a mágneses momentumé atomok nem kollineárisan helyezkednek el; ezek az ún. helikoidátis struktúrák.

Mint minden makroszkopikus rendszerben, így a fenő mágnesben is a gyengén gerjesztett állapotokat elemi gerjesztések halmazaként, vagyis kvázirészecskék gázaként tekinthetjük. Az atomi mágneses momentumok rendezett eloszlásában fellépő elemi gerjesztéseket magnonoknak hívják. Minthogy eltolásszimmetrikus kristály- szerkezet kvázirészccskéiről van szó, a magnonoknak nem valódi, hanem kváziim- pulzusuk jól definiált értékei a reciprok rács egységnyi cellájában helyezkednek el. A klasszikus képben a magnonoknak spinhullániok felelnek meg, amelyek a rács mentén terjedő mágneses momentum rezgései. A magnonok Bose-statisztikát követnek, és a klasszikus határesetbeli spinhullámoknak a magnonok nagy betöltési számú állapotai felelnek meg.

Ha a spinhullám hossza nagy az a iácsállandóhoz képest (azaz a hullámvektorra k <k 1 ja), akkor a hullám makroszkopikusnak tekinthető; így az w(k) diszperziós törvény azokkal a fenomenologikus paraméterekkel (anyagi állandókkal) fejezhető ki, amelyek a mágneses momentum makroszkopikus mozgásegyenleteiben fordulnak elő. Ugyanúgy fejezhető ki az e = Aco(k) magnonspektrum is e paraméterekkel. A magnonok meghatározásának ez a módja teljesen hasonló a hosszúhullámú fononok spektrumának meghatározásához azokkal a makroszkopikus adatokkal (rugalmas állandók), amelyek a hanghullámok rezgésegyenleteiben előfordulnak. E program végrehajtásához előzetesen le kell vezetni az említett mozgásegyenleteket. 2

Ennek során először csak a kicserélési kölcsönhatásokat vesszük figyelembe.Minthogy a ferromágnes gyengén gerjesztett állapotai iránt érdeklődünk (csak

ilyeneknek a tulajdonságai számíthatók ki általános alakban), így csak a mágneses momentumok „lassú”, kisfrekvenciás mozgásait tekintjük. Ilyen az az eset, amikor

2 A szakasz további eredményeit L. D. Landau és E. M . Lifsic (1935) érte el. Megjegyezzük, hogy az állítások „kicserélési” ferromágnesekre érvényesek. A gyenge ferromágnességgel itt nem foglalkozunk. Ez utóbbi esetben a ferromágneses momentum csak a relativisztikus kölcsönhatások eredményeként jelenik meg.

342 VII. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

az állandó nagyságú momentum iránya lassan változik a térben. Valóban, a mágnesezettség egyensúlyi értékét rögzíti a kicserélődési kölcsönhatás, ezért megváltoztatása tetszőleges hullámhosszon véges energiabefektetési igényel (feltesszük, hogy a test elegendően távol van Curie-pontjától, ahol a mágnesezettség eltűnik). Másrészt a test energiája a testnek mint egésznek az elforgatásakor nem változik: ezért a mág- nesezettségnek egy, a test mentén inhomogén elforgatása annál kisebb energiát igényel, minél nagyobb a hullámhossza (más szóval, a hosszúhullámú rezgések egyúttal kis frekvenciájúak is). A mágneses momentum M sűrűségének (a mágnesezettségnek) keresett mozgásegyenlete ezért kötelezően olyan alakú, hogy |M |-e t változatlanul hagyja:

f - = Ö X M , (69,1)

ahol £2 a momentum precessziójának szögsebessége, amit most fogunk definiálni. A mozgásegyenletet az idő szerinti elsőrendű differenciálegyenletként íijuk fel, miután kis frekvenciákon a magasabbrendű deriváltak elhanyagolhatók.

£ 2 definíciójakor tekintetbe vesszük, hogy nagy hullámhosszakon és alacsony hőmérsékleten a mágnesezettség változásakor az energia disszipációja kicsi, így az el is hanyagolható (e feltevés megalapozására a 70. §-ban visszatérünk). Annak megvilágításához, hogy mi a disszipáció hiányának feltétele, a mágneses (est mágneses momentumát független paraméterként tekintjük, melynek egyensúlyi értékét a szabad energia minimalizálásával határozzuk meg. A minimalizálást állandó hőmérsékleten, térfogaton és H térerősségen végezzük el. Az e változókhoz tartozó termodinamikai potenciál az P szabad energia.* Az M végtelen kicsiny megváltoztatásának hatására bekövetkező bP variációt ;i

bP ^ - [ H ^ b M d V (69,2)

alakban írhatjuk, ahol a mágneses momentum külső térbeli energiájának analógiájára bevezettük a „effektiv térerősséget” . Egyensúlyban = 0.

A mágnesezeüség időbeli megváltozásakor felszabaduló hőt a

ctf _ dRm\„ _ dP~ dt ~ dt ~ W

‘ L. VIII. 36. § (a testhez mint egészhez tartozó termodinamikai mennyiségeket ott írott betűkkel jelöltük). Inhomogén eloszlás esetén helyesebb a test szabad energiájáról beszélni (adott térfogat mellett), mint a # termodinamikai potenciálról. Itt nem törődünk a strikciós hatásokkal, azaz a mágnesezettség megváltozásának hatására a kristályban bekövetkező feszültségekkel és deformációkkal.

69. §. A MÁGNESES MOMENTUM MOZGÁSEGYENLETE 343

képlettel számítjuk ki, ahol S a test entrópiája, pedig az a minimális munka, amely a testnek az adott nemegyensúlyi állapotba való átviteléhez szüjséges. (69,1) segítségével írhatjuk, hogy

ö = J Heff dV = J H cff( í 2 X M) dV. (69,3)

Ebből világos, hogy disszipáció hiányában az £2 vektor szükségszerűen párhuzamos a H,* vektorral, azaz í i = const *He(r. Ennek alapján (69,1) az

M - const '(H efrX M) (69,4)

alakot ölti, amelyben az állandó értelmét és értékét az alábbiakban tisztázzuk.A (69,2) definíció szerint az effektív teret a test szabad energiájának variálásával

találjuk meg. Ez utóbbit az

P = J j/o (M )+ Uiah- dV (69,5)

integrál adja meg (1. VIII. 36. §). Ebben a homogénan mágnesezett test H = 0- nál kapható szabadenergia-sűrűsége, amely csak a kicserélési kölcsönhatást veszi figyelembe, és ezért független M irányától. az a kiegészítő kicserélődési energiasűrűség, amely az M vektornak az inhomogén módon mágnesezett testbeli lassú irány- változásából származik.

Ezt az energiát az M momentum koordináták szerinti deriváltjainak hatványai szerint kifejtve, az első tagok

yj 1 0M SM tAag^ü i B h “ 2 *t t a í r a í r ( , )

alakúak; ez a (deriváltakban) kvadratikus alak pozitív definit. A (69,6) kifejezést úgy választottuk meg, hogy (a kicserélődési kölcsönhatás tulajdonságainak megfelelően) független legyen M irányától. Egytengelyű kristályokban a kétindexes szimmetrikus ctg. tenzor komponenseire fennáll, hogy v.xx = ayy = a l5 a „ = a2 (z a kristály szimmetriatengelye); köbös kristályokra a.ik — aölk.

A z tx.fr mennyiségek nagyságrendjét annak észrevételével becsülhetjük meg, hogy a kristályrács egy elemi cellájának az inhomogenitásból származó energiája elérné a kicserélődési kölcsönhatás energiájának jellemző atomi értékeit, ha a momentum irányváltozása a rácsállandó a nagyságrendjével egyező távolságokon lényeges lenne. A jellemző kicseréló'dési energia nagyságrendileg a Tc Curie-hőmérséklettel (a mág-

344 Vir. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

nesezettség eltűnési energiájával) egyezik meg. Ekkor a TJa* ~ cr.M'/á2 feltételből az

« ~ TcjaM 2 (69,7)

összefüggésre jutunk.A (69,5) integrált (a test minden pontjában adott H mellett) variálva és a második

tagot parciálisán integrálva,

A (69,2) definíció szerint a kapcsos zárójelbeli kifejezés adja (— Heff)-et. Ennek első tagja M irányába mutat, amely a (69,4) mozgásegyenletbe helyettesítve kiesik, tehát elhagyható. 4 így azt kapjuk, hogy

d2Mí69’8>

Ha pusztán a mágneses momentum irányától független kicserélődési kölcsönhatásokat tekintjük, akkor homogénan mágnesezett testre a (69,4) egyenlet a szabadon processzáló momentum egyenletébe megy á t :

ahol e = — | e | és m rendre az elektron töltése és tömege, g pedig a ferromágneses anyag giromágneses tényezője (vö. II. 45.§). Másrészt homogén mágnesezettség esetén

amiből következik, hogy (69,4)-ben az állandó együttható értéke g \ e |/2mc, tehát a mozgásegyenletre végül az írható, hogy

(W-9)

ahol H ^-et a (69,8) egyenletből vesszük.A teljes mozgásegyenlet-rendszer felírása céljából (69,9)-hez még hozzátesszük

az M mágnesezettséget a H térerősséggel összekötő Maxwell-egyenleteket. A következő szakaszban vizsgálandó spinhullámokat alacsony frekvenciájúaknak tekinthetjük abban az értelemben, hogy co <sc ck, E feltételek mellett a tér kvázistacionárius, és

‘ Ezután viszont nem követethetjük meg H»j, eltűnését egyensúlyban.

69. §. A MÁGNESES MOMENTUM MOZGÁSEGYENLETE 345:

a Maxwell-egyenletek — amelyekben így az időderiváltak elhagyhatók — a következőalakot öltik:

rot H = 0, div B = div (H-h4jrM) = 0. (69,10)>

Ezzel kapcsolatban felmerülhet, hogy jogos-e állandó H mellett variálni M-et (69,5)- ben, függetlenül attól, hogy (69,10) második egyenlete szerint kapcsolatban vannak egymással. A válasz az, hogy alkalmazva a H = — v<? helyettesítést (az első egyenlet alapján), majd <p szerint variálva az integrált, zérust kapunk a második egyenlet következtében, azaz a H szerinti variáció nem ad járulékot őF-be.

Ha a testre nem hat külső mágneses tér, akkor a belsejében fellépő térerősség teljesen a mágnesezettség eloszlásából származik, és így általában M-mel azonos nagyság- rendű. Ebben az értelemben a (69,S) effektív lérben a H tag relativisztikus hatásnak számít (emlékezzünk, hogy az atomi mágneses momentumok és velük az M spontán mágnesezettség is a /S = \e\H/2mc Bohr-magneton segítségével adható meg, amelynek nevezőjében fellép c). Ezért a vizsgált, tisztán kicserélődési közelítésben (69,8) második tagját el kell hagynunk, és így végül a

0M g \e I / ő2MÜ T 3 ^ * ' * ( 8 ^ x M ) <69- " )'

mozgásegyenletet kapjuk. Vegyük észre, hogy ez az egyenlet nemlineáris.(69,ll)-et a mágneses monentumra vonatkozó kontinuitási egyenletként is felír

hatjukdM, dilit _ n W + 'dxi

alakban, ahol a momentum áramának tenzora:

rr - g \e \ / m v 0 M \" ~ '2mc * * ( M x dxk ) ;

Ezt már eleve várhattuk, minthogy a kicserélődési közelítésben a test teljes mágneses, momentuma megmarad.

Vegyük most figyelembe, hogy a ferromágnesben a kicserélődési hatásokkal együtt,, azoknál jóval gyengébb relativisztikus kölcsönhatások is fellépnek az elektronok momentumai között: a spin—spin és spin —pálya kölcsönhatások. A makroszkopikus elméletben ezeket a mágneses anizotropia-energiával írjuk le, amelynek £/an energiasűrűsége a mágneses momentum és a kristályrács relatív irányának függvénye. E kölcsönhatások állítják be a spontán mágnesezettség egyensúlyi irányát a feiromág- nesben. A relativisztikus hatások közé tartozik, mint már említettük, M és H kölcsönhatása is.

Az egytengelyű kristályokban az anizotrópia-energiát

Uan = - ~ M I (69,12)

.alakú kifejezés adja meg. Ha Áf > ü, akkor az egyensúlyi mágnesezettség a z szimmetriatengely irányába mutat („könnyű tengely” típusú ferromágneses anyag); ha K -< 0, akkor a spontán mágnesezettség az xy síkban fekszik („könnyű sík” típusú ferromágneses anyag). Köbös kristályban az anizotrópia -energiát

alakban írhatjuk, ahol az x, y, z tengelyeket a három, negyedrendű szimmetriatengely mentén (a köbös cella élei) vettük fel. Ha K' =» 0, akkor az egyensúlyi M a köbös cella valamelyik élének irányába mutat, ha K' < 0, akkor a cella valamelyik testátlójának irányába .5

A határozottság kedvéért egytengelyű fei romágnessel foglalkozunk. (69,5>ben az integrandushoz hozzáadva t/^-nak a (69,12) alakját, variálásután a — KM zv ŐM kiegészítő tagot kapjuk, ahol v a kristály szimmetriatengelye irányába mulató egység- vektor. így az effektiv térerősség

Könnyű belátni, hogy az effektiv lér e megváltozásával kimerítettük azokat a lehetséges változásokat, amelyeket a relativisztikus hatások figyelembevétele eredményezhet a (69,9) mozgásegyenletben. Valóban, a disszipáció elhanyagolása a korábbiaknak megfelelően azt jelenti, hogy a mozgásegyenlet jobb oldala Hcff-ie merőleges, azaz

alakú, ahol az M ' vektor M-től csak relativisztikus korrekciókban tér el, melyek mindig kicsinyek M nagy értékéhez viszonyítva, ezért lényegtelenek. A relativisztikus tagok Heff-ben olyan mennyiséghez adódnak hozzá, amely M lassú testbeli változása miatt kicsiny; e tagok csak elég nagy hullámhosszakra válhatnak lényegessé.

s A K, K ' dimenziótlan mennyiségek a különböző ferromágneses anyagokra néhány tizedtől néhányszor 10 értékig terjedő széles tartományban helyezkedhetnek el. A relativisztikus hatásoknak a kicserélődésiekhez képest vett hányadosát nagyságrendileg az <^U,JTC mennyiséggel jellemezhetjük, am inek értéke általában 10~4- 10~s.

(69,13)

ő2MHcff= a ik “s— ~---- f- KMzv+ H .dxidxk(69,14)

70.§. MAGNONOK FERROMÁGNESEKBEN. A SPEKTRUM 34?

70. §. Magnonok ferromágnesckben. A spektrum

Alkalmazzuk az előző szakaszban levezetett mozgásegyenleteket azon hullámok terjedésének leírására, amelyekben a mágneses momentum sűrűsége kis rezgéseket végez az Mo egyensúlyi érték körül preeesszálva. Egydoménos mintát veszünk, melynek teljes térfogatában Mo állandó, és olyan hullámhosszakra korlátozódunk, amelyek a minta méreténél jóval kisebbek. Ekkor a közeg végtelennek tekinthető.

Először csak a kicserélődési kölcsönhatást vesszük figyelembe, azaz a (69,11) egyenletből indulunk ki. Legyen M = M0 +m , ahol m kis mennyiség, amelyben az egyenlet az m-ben magasabb fokú tagok elhagyásával linearizálható. Minthogy az abszolút értékre M = A/fl, így c közelítésben m _l M0. Ezzel

| e | / 0 % m = - mc

adódik (itt és a továbbiakban is a giromágneses arány, g = 2). Ha m tér- és időfüggését exp[/(kr-a»í)j alakban vesszük fel, akkor kapjuk, hogy

kom = — - a fc -(n a X Mo), (70,2)mc

ahol a = a(n) = n a k irányú egységveklor. Ezt az egyenletet írjuk ki komponensekben:

1^1

mc

/mm. = —— - a.Mk-mx mc

(a z tengelyt Mo irányában vettük fel). Ezekből a spinhullámok diszperziós összefüggése a következő :f*

(U = J l L ^ a(n) R (70,3)mc

0 A spinhullámok kvadratikus diszperziós összefüggését elsőként F. Bloch tárta fel (1930) mikroszkopikus elméleti megfontolások segítségével. E spektrumot makroszkopikus paraméterekkel L. D. Landau és E. M . Lifsic írta fel (1945).

Látjuk, hogy az előző szakasz elején mondottakkal összhangban, a kicserélődési közelítésben a frekvencia k -* 0 esetén nullához tart. Az m vektor a spinhullámban állandó T szögsebességgel forog az xp síkban, miközben abszolút értéke állandó.

A (70,3) képlet a kvantumos leírásban meghatározza a macnonok lehetséges e = hca energiaspektrumát: 7

e(k) = 2j5A/ct(n) k2. (70,4)

A második kvantálás formalizmusában a ferromágnest leiró makroszkopikus mennyiségek a magnonok keltő és eltüntető operátoraiból felépülő operátorokkal helyettesítendők. Megmutatjuk ennek menetét a (70,4) spektrumú magnonokia.

Feleltessük meg az M klasszikus mennyiségnek az líl vektoroperátoit, melynek komponensei meghatározott felcserélési relációknak tesznek elegei. Legyen S(r) ÖV az atomok eredő spinjének operátora a fizikailag végtelen kicsiny ÖV térfogatban az r pont körül. Az S(ri) ÖVi és S(r2) ÖV2 különböző térfogatelemekhez tartozó operátorok felcserélhetŐk. Ugyanazon S(r) ŐV operátor komponensei az impulzusmomentum felcserélési relációit követik:

S X ŐV-Sy Ö V - S y ÖV-$x ÖV = ÍÉ2 ÖV,avagy §x§y—§y$x = iS jö V (és hasonlóan a többi lehetséges komponens-prenuitá- ciókra). A ÖV — 0 határesetben tetszőleges ri-re és r>-re egységesen

Sx(ri)Sy(r2) - S y( t2) § x(ri) = ó(rL~ r2).

Most ezt az egyenlőséget 4/J2-tel megszorozva és figyelembe véve, hogy PPl = — 2/?S, azt kapjuk, hogy

Áfv(ri) My{r 2) - My(r2) M x(rO = - 2# M ,(rt) ö(rj - r4). (70,5)

Ezt spinhullámokra alkalmazva, ahol M kis rezgéseket végez a z tengely körül, a kicsiny mx, my mennyiségek szerinti első közelítésben (70,5) jobb oldalán M t— t az M t as M számmal helyettesíthetjük, és akkor

/M r i)"V(ra)~ l*Ár -’) ”J.v(r i) = — 2 ijiM ö(ri— r2) (70,6)

adódik. Ebből látszik, hogy az my és mx mennyiségek (állandó szorzó tényező eiejéig) a kanonikusán konjugált „általánosított koordináták és impulzusok” szerepet játsszák, ahhoz hasonlóan, ahogy ipés q a hanghullámok folyadék beli kvantálásakor


7 E fejezetben fi mindenütt a fi = | e \ fi/2mc Bohr-magnetont jelöli.

70. §. MAGNONOK FERROMÁGNESEKBEN. A SPEKTRUM 349

szerepeltek (24.§.). Hangsúlyozzuk azonban a két eset lényeges különbözőségét. A (24,7) fononoperátorok közötti felcserélés! összefüggés egzakt, nem tételezi fel a rezgési amplitúdók kicsinységét (azaz nem korlátozza a fononok betöltési számait kicsinyre). A (70,6) szabály azonban közelítő jellegű, amely a kis m mennyiségekben első közelítésben igaz.

A (70,6) felcserélési szabályból és az mx, my mennyiségeknek a (70,1) lineáris egyenleteknek megfelelő összefüggéséből kiindulva, ezeket az operátorokat kifejezhetjük a magnonok keltő és eltüntető operátoraival, ahhoz hasonlóan, ahogyan ezt a 24. §-ban a fononokja tettük (1. a 71. § 4. feladatát).

Térjünk vissza a magnonspektrum tanulmányozásához, és kezdjünk hozzá a spektrumra gyakorolt relativisztikus hatások vizsgálatához. Ekkor már azt a H mágneses teret is figyelembe kell venni, amelyet M rezgései hoznak létre. Ez ugyanolyan nagyságrendű kicsiny mennyiség, mint m; jelöljük az alábbiakban h-val.

A (69,10) Maxwell-egyenleíékből

k x h = 0, kh — — 4nkm

következik. Ebből látszik, hogy a h tér a hullámvektor irányába mutat, és értéke

h = — 4^(nm) n. (70,7)

(70,7)-et a (69,5) integrandusának utolsó két tagjába helyettesítve, azt kapjuk, hogy

-m h - - í* - = 27r(nm)2 (70,8)

(in az Moh tagot elhagytuk, minthogy h potenciálból származtatható, s így ez a tag a teljes térfogatra való integráláskor felületi integrállá alakítható át, és végül zérust ad). Az anizotropia-energia (70,8)-ból eredő részét a spinhullám esetében néha mag- netosztatikusnak nevezik.

Legyen a ferromágnes egytengelyű, és tartozzék a „könnyű tengely” típusba, tehát Mo mutasson a kristály szimmetriatengelyének irányába (a z tengely mentén): Mo = vM. A későbbi alkalmazásokat tartva szem előtt, megengedhetjük § külső tér jelenlétét is szintén a v tengely mentén; a mintát a v tengely körüli hengernek gondoljuk. Ekkor a test belsejében H = í j j + h a térerősség. A linearizált mozgásegyenletek (amelyeket már í-sal szorzott formában írunk fel):

- ian = 2/5 j [«.ki +K+ (vX m)- (vXh) j . (70,9)

Egytengelyű kristályra a. = a i sin2 0 + a 2 cos2 6, ahol ő a k és v által bezárt szög.

Ide h-t (70,7)-bŐl behelyettesítve, komponensenként írjuk fel az egyenletet (az x tengelyt célszerű a v és n irányokkal kifcszltett síkban fölvenni). Az mx-re és my-ra adódó két egyenlet összeférhetó'ségének feltételéből kapjuk a diszperziós összefüggést:

s(k) = 2/SM + 4 * s in 2 ö j j '" . (70,10)

Megjegyezzük, hogy a sin2 6 - k2x(k2 tagnak köszönhetően £(k)-nak k hatványai szerinti kifejtése nem egyszerűen hatvány jellegű; ez a körülmény a mágneses kölcsönhatás hosszú halótávú viselkedésével kapcsolatos.

A (70,10) alakú kifejezés, amelyet itt az egytengelyű („könnyű tengely” típusú) fenomágnesre vezettünk le, érvényes köbös kristályokra is. Ez abból következik, hogy az anizotropia-energia megváltozása az M vektornak egyensúlyi helyzetétől való kis eltérése során mindkél esetben azonos alakú. így köbös kristályra K' > 0 eseten a őUia megváltozás, ha M eltér Mo-nak a kocka éle menti irányától, csak a & elhajlási szög függvénye; értéke: 6Uan -- K 'M 2 1. Ezt a hasonló öU^ — KMfflfijl kifejezéssel összehasonlítva, amely egytengelyű kristályra érvényes, látjuk, hogy :i köbös kristályra való át tél és so ián (ha K ' > 0) elegendőelvégezni (70,10)-ben aÁ' - 2 K ' helyettesítést. Hasonló módon győződhetünk meg arról, hogy a K ' ■= 0 tulajdonságú köbös kristályra való áttéréshez (mikor Mo a kocka testátlójának irányába mulat), a K — 4 1K ' j/3 helyettesítést kell elvégezni. Megjegyzendő, hogy köbös kristályban a(n) állandó. A „könnyű sik” típusú fenomágnesre (K < 0) más a helyzet: áf/on megváltozása, ha M eltér Mo-tól, egyaránt függ a polárszögtől és M-nek Mo-hoz viszonyított azimutszögétó'l. Ezért ez az eset külön elemzési igényel; 1. a feladatot.

Emlékezzünk arra, hogy (70,10) csak a spektrum kezdeti részére éivényes, ahol a kváziimpulzusokra fennáll a £ « 1 ja feltétel, és a makroszkopikus szemlélet megengedett. A nagy, de e feltételi kielégítő k értékekre (xk2 ~>> 4jt, K ) (70.10) az

e(k) = 20M* (n)fc-+2fi$) (70,11)

kifejezésbe megy át. Az első tag megegyezik a tisztán kicserélődési jellegű (70,4) képlettel. A külső tér egyszerűen hozzáad a magnón energiájához 2$p-t. E közelítésben tehát a magnón momentumának vetüiete Mo-ra —2/5. Ha a testben egy magnóm keltünk, ezzel a test teljes mágneses momentumát 2/5-val csökkentjük.

Ellenkező esetben, mikor k -* 0 , a (70,10) kifejezés egy nullától különböző mennyiséghez tart, ami (£> = 0 esetén)

70.§. MAGNONOK FERROMÁGNESEKBEN. A SPEKTRUM 351

alakú. így a mágneses anizotropja figyelembevétele a magnonspektrumban energiarés megjelenésére vezet. 8 Ez természetes is, mivel anizotrópia esetén már a test mágneses momentumának mint egésznek (azaz ha k = 0 ) az elforgatása véges energiát igények Látjuk, hogy kis k-ra a relativisztikus hatások, kicsinységüktől függetlenül, a spektrumot viszonylag jelentősen korrigálják.

A magnonoknak mint elemi gerjesztéseknek a fogalma a test gyengén gerjesztett állapotaival, és ily módon az alacsony hőmérséklettel kapcsolatos. így a magnonokra vonatkozó összes képletben az anyagi állandókat (köztük az M mágnesezett séget is) T = 0-n kell figyelembe venni.

Térjünk vissza a disszipáció gyengeségéről a 69. §-ban tett feltevésünkhöz. A kvantumos értelmezésben a disszipáció a magnonok véges élettartamát jelenti, amelynek hosszát azok egymás közötti és más kvázirészecskékkel való kölcsönhatásai szabják meg.

Ha először a magnonok egymás közötti kölcsönhatását elemezzük, akkor mindenekelőtt azt kell észrevenni, hogy a kicserélődési közelítésben a magnonok száma nem változik (minden magnón A/.-be —2/3 járulekot ad, és a kicserélődési kölcsönhatás során M , megmarad). Ezért e közelítésben csak szórási folyamatok lehetségesek. Valószínűségük azonban a hőmérséklettel együtt csökken — pusztán a szórócentrumok számának csökkenése miatt is —, így a kicserélődési csillapítás T = 0-ra lecseng, és nullához tart. Alább (72. §) látni fogjuk, hogy kicserélődési közelítésben az egymagnonos állapot a rendszer szigorúan stacionárius állapota . 8

T = 0-ra a magnonok csillapodását egyedül bomlási folyamataik szabályozzák - Ilyen folyamatok csak a relativisztikus kölcsönhatásokban valósulhatnak meg, és valószínűségük már ezért is kicsi. Ezenkívül kis k-ra a bomlás valószínűségét tovább csökkenti, hogy a folyamat végállapotainak kicsi a statisztikus súlya (kis térfogatú a fázistere).

A magnonok csillapítása a fononokkal való kölcsönhatásukból is kap járulékot (a perturbáció operátorát a kicserélődési kölcsönhatásnak a kristály deformációitól függő része szolgáltatja). T — 0-ra lehet fonont kelteni magnonnal; ehhez azonban a magnón kváziimpulzusának elegendően nagynak kell lennie, ugyanis a magnón de/fi 0k sebességének nagyobbnak kell lennie a hang sebességénél (1. a VI. fejezet 41. lábjegyzetét). A folyamat valószínűsége azért is kicsi, mert a végállapot fázistér- fogata is az.

8 A megfelelő &K0) = «(0)/A frekvenciát a ferromágneses rezonancia frekvenciájának nevezik.9 Azt is megjegyezzük, hogy két magnón egymáson való szórásának hatáskeresztmetszete a kicse

rélési közelítésben zérushoz tart, ha az ütközés energiájával nullához tartunk (1. 73. §). Ez a körülmény tovább csökkenti a magnonok kicserélődési csillapítását alacsony hőmérsékleten. Elegendően alacsony hőmérsékleten a relativisztikus hatások a szórási folyamatokban is lényegesek.

.352 VII. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

Végül ferromágneses fémben mindig gerjeszthető (a vezetési elektronok kicserélő- ■dési kölcsönhatásai miatt) magnonnal elektron a Fermi-felület alól. Kis k-ra a folyamat valószínűsége itt is kicsiny, a végállapotok statisztikus súlyának kicsinysége miatt.

Feladat

Adjuk meg a magnonspektrumot egy egytengelyű, „könnyű sík” típusú (K ■< 0) ferromágnesre. Megoldás. Az M j egyensúlyi mágnesezettség a kristály szimmetriatengelyére (z tengely) merőleges

•síkban helyezkedik el. Válasszuk M„ irányát x tengelynek. A linearizált mozgásegyenletek ez esetben a következő alakúak:

-/'em - 2/3 1 AT) m)n11- ( n J Xh)),

ahol és n, a koordinátatengelyek mentén felvett egységvektorok, az n» vektor pedig az yz síkban fekszik, ami Mo-ra merőleges. Ide h-t (70,7)-ből behelyettesítve, az egyenletet komponensekre szétbontva és az így adódó egyenletrendszer determinánsát nullával téve egyenlővé, megkapjuk a magnonok spektrumát:

e(k) — 2fiM [a k \a k2 + \ K \) + Atc sin2 0(ak2 + 1 K | sin2 p)],p ,

ahol 0 és q> a k és M„ irányok közti poláris és azimutszögek (az azimutot itt az x z síktól számoljuk). Ha a k2» 1, újra a (70,4) kvadratikus spektrumra jutunk, k -* 0-ra a magnón energiája pedig az

e(0) = 4(it | K \)r,t | sin 0 sin q> \

mennyiséghez tart, amely zérus, ha a k vektor az xz síkban fekszik. Ezt a síkot a kristály szimmetriatengelye és spontán mágnesezettsége feszíti ki. Persze ez a zérushely csak közelítő jellegű: ha az anizotropia-energiában figyelembe vesszük a magasabb rendű tagokat, akkor az xy síkban is fellép anizotrópia, és ezzel véges energiarés jön létre k minden irányára.10

71. §. Magnonok ferromágnesekben. Termodinamikai mennyiségek

A ferromágneses anyagban gerjesztett magnonok természetesen járulékot adnak annak termodinamikai jellemzőihez is. Az előző szakasz eredményei alapján kiszámíthatjuk e járulékokat f « í c értelemben alacsony hőmérsékleten. Valóban, hőmér-

w Emlékezzünk, hogy (1. VIII. 37. §) az anizotropia-energiának M hatványai szerinti kifejtése valójában a relativisztikus v/c hányados szerinti kifejtés (és nincs köze M kicsinységéhez, azaz a rend- .-szemek a Curie-ponthoz való közelségéhez).

sékleti egyensúlyban, T hőmérsékleten a magnonok nagy részének e ~ T energiája van. Ez a kvadratikus

®(k) = (n) k? (71,1)

spektrumra azt jelenti, hogy T « Tc hőmérsékleten a k «k (TJfiM x)1® kváziimpulzusú magnonok gerjesztődnek. A (69,7) becslést felhasználva a-ra és a mágnesezettség abszolút értékére az M ~ /3/a3 közelítést véve (egy elemi cellában néhány /?-nyi lehet az eredő mágneses momentum), az ak 1 feltételre jutunk, ami a 70. § eredményeinek alkalmazhatósági feltétele.

A ferromágnes termodinamikai mennyiségeinek „magnón” részét zérus kémia potenciálú, ideális Bose-gáz termodinamikai jellemzőiként számíthatjuk ki. így az Q termodinamikai potenciál magnonrészére

£ mag = r j l n ( l - ^ ) - ^ (71,2)

írható [1. V. (54,4)}. Ebből a belső energia magnonjárulékára

71. §, TERMODINAMIKAI MENNYISÉGEK 353

F — ü T _ f e VcPk£mg _ WmaE 1 ~&r “ “ J (ftr-i l2Öf (71,3)

adódik . 11

A spontán mágnesezettségbe a magnonok hőmérsékletfüggést hoznak be. Ezt a következő derivált adja meg:

M mít = M (T)~ M(0) = - 1 8 ü magV Síp

[vö. Vili. (31,4)}. (71,2)-t deriválva, az

' I '_ I i 1 d 3 l i i n t a \

mas _ # J M ' ( 3

kifejezésre jutunk. A - (őe/ő§) derivált a magnón saját mágneses momentumát adja.Számítsuk ki a (71,3)—(71,4) integrálokat T TstfiM hőmérsékleten; 14 ekkor

a magnonspek.rumra a (71,1) határösszefüggés alkalmazható. Az integrálok gyors

11 fi ~ 0 kémiai potenciál esetén (amikor 0 = Nfi = 0) E = 0 + T S - P V = T S+ P , viszont az entrópia S — — SÜ/8T. A (71,3) kifejezést természetesen közvetlenül Is felírhatnánk a (71,2) képlet felhasználása nélkül.

’* Ez a feltétel a tipikus M = 2-10* gauss értékekre T » 1 K-nek felel meg.

23 S tatisztikus fizika 2. rész

konvergenciája miatt az integrálási tartományt a teljes k-térre kiterjeszthetjük (a reciprok rács elemi cellája helyett). Az a mennyiséget állandónak tekintve (köbös kristályokra) és cPk-1 4nk2dk-va\ helyettesítve, nyilvánvaló helyettesítések után az

V T 512 F x r ^ r d ) C ( l )m a e _ 4n2A3'2 J ex—í " 4 jfiA*!*

o

eredményt kapjuk, ahol a rövidség kedvéért bevezettük az A = 2(1 My. jelölést (e = = Ak2).13 A Cmag = d E ^ J d T fajhőjárulékra innen

Cma‘ = v5rSffiadódik. Ez csak a magnonok járuléka, emellett a kristály fajhője még tartalmazza a szokásos fononjárulékot.

Áttérve a (71,4) integrálra, oda helyettesítsük be (70,11) szerint a magnón — 2/3 mágneses momentumát. T » 2nfiM esetén végeredményként azt kapjuk, hogy

_ p r* 2 f x ^ d xM maií - 2n2A M2 j "e, _ , . (7 I'6)

oahonnan

M (T) = A/(0)~ - A/(0) - 0,11 m T (A f: - (71,7)

következik (a magnonjárulék természetesen kimeríti a mágnesezettség minden lehetséges változását, mivel a fononoknak nincs mágneses momentumuk). így a spontán mágnesezettség a 2n fiM « r « r c tartományban 7'3/2-del arányos (F. Bloch, 1930).

A (70,10) energiarés jelenléte a magnonspektrumban Cmag és Mmss exponenciális hőmérsékletfüggésére vezet a még alacsonyabb 7*-k tartományában. Ha T << fiKM , akkor

M,nug~ e x p ( - 2 fiKM(T). (71,8)

Az exponens számlálójában álló mennyiség az energiarés lehelő legkisebb értéke, amelyet 0 = 0 és 0 = n esetén vesz fel (1. még az 1 . feladatot is).

Ha a ferromágnes mágnesezettsége az alapállapotban a lehető legnagyobb (amint mondják, a névleges) értékkel egyenlő, akkor ez az érték, ami a test összes momentumai párhuzamosságának felel meg, már nem változik, ha (ugyanabban az irányban)


18 Az ilyen típusú integrálok kiszámítási módjára vonatkozóan 1. V. 58. §.

71. §. TERMODINAMIKAI MENNYISÉGEK 355

külső mágneses teret alkalmazunk a testre, tehát ebben az irányban a % szuszceptibili- tás nulla.

Ha T = 0, a relativisztikus hatások csökkentik a spontán mágnesezettség értékét annak „kicserélődési” értékéhez képest, és zérustól különböző szuszceptibilitást okoznak (T. Holstein, H. Primakoff, 1940). Bár a hatás kicsiny, a számítás elvi érdekességű.

A termodinamikai mennyiségek mágneses részének előbbi kiszámításában elhagytuk a „mágneses oszcillátorok” zcrusponti energiáját, minthogy ennek járulékai a hőmérséklettől függetlenek. A zéruspomi energia 1/2 betöltési számú magnonállapotnak felel meg:

_ f 1 . . . Vd*k £ ( 0 ) mas j -2 f(k) .

így a „nullapomi” mágnesedetíségrc

(7 1 ,9 )

adódik. Ez az integrál nagy k -ra divergens, azaz a fő járulékot a rövidhullámú magnonok adják (ka ~ 1), melyeket nem jogos makroszkopikusnak tekinteni. A relativisztikus hatásra bekövetkező mágnesezettségváltozást azonban, mint mindjárt látni fogjuk, a magnonspektrum hosszúhullámú része határozza meg, és ezért a 70. §-ban kapott képletekkel kiszámítható.

Az egyszerűség kedvéért köbös kristályt vizsgálunk, cs elhanyagoljuk az ez esetben kicsiny anizotropiaállandót, azaz a magnonspektrumot (70,10)-ben a következő összefüggéssel közelítjük:

e(k) = 2/3[(M-+ $ ) (hk-4- £ + AtvM sin2 Ö)]1'2, (71,10)

ahol b = aM. Ebben a kifejezésben a relativisztikus effektusokat a AnM sin2 6 tag képviseli, amely a magnetosztaükus energia figyelembevételéből származik. A mág- nesezettségnek a relativisztikus hatásra adódó ÓM megváltozását úgy kapjuk meg, hogy (7J,9)-ből egy vele azonos alakú integrált vonunk le, amelyben «{k) helyett skicS(k) = Ifibk2+ szerepel:

( 7 W , )

Ez az integrál már konvergens nagy k értékekre. 14

11A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy az alapállapot energiájának korrekcióját nem lehet hasonlóan kiszámítani: a § szerinti differenciálás nélkül e—ekl„ integrálja divergens, ha a magnonspektrumra a hosszúhullámú tartományban érvényes képletet használjuk.

23*

356 Vll. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

Kiszámítására célszerű először M szerint deriválni állandó b mellett fezéri is vezettük be (71,10>ben a b jelölést]. Egyszerű átalakítások után azt kapjuk, hogy

dbM 4ti2 fiM j* j* sin 4 0-2nk2 dk-sin ddŐ— - r j J ■ ~ ~5M ~ {2n f J J {bk2+ § )1/2 (bk2+ § + AaM sin2 9f>2 '

o o

A k szerinti integrált az eredeti kifejezés konvergenciája miau lehel °=>-ig kiterjeszteni.§ = 0 esetén az integrál könnyen kiszámítható, majd M szerint integrálva, azt

kapjuk, hogy

= ( 7 1 .1 2 )

Ez igen kicsiny mennyiség: ÖM/M ~ I0_l!.Ha a külső tér erős ($ s> 4nM), akkor az integrandus nevezőjében a 4nM .sin2 0

tag elhanyagolható. Ezután a számítás eredménye a következő:

2 ítfiMl!*6 M | 5a3 /2 ^ i/2 • (71,13)

§ - oo esetén őM , mint elvárható, nullához tart.Befejezésül megjegyezzük, hogy ha ugyanezzel a módszerrel (melyei a szakasz

során a háromdimenziós esetre alkalmaztunk) megpróbáltuk volna a kétdimenziós ferromágnes mágnesezeltségének hőmérsékletfüggését vizsgálni, akkor (tisztán kicserélődési közelítésben) (71,6) helyett logaritmikusán divergens integrált kaptunk volna. Ez ü2t jelenti, hogy kétdimenziós rendszerben minden T ^ 0 hőmérsékleten zérus a spontán mágnesezettség. Ez a helyzet analóg a 27.§-ban, Bose-folyadékra megfigyelt jelenséggel (valamint az V. 137. §-ban kétdimenziós kristályra is hasonlót tapasztaltunk). A rendszer energiájának függetlensége a mágneses momentum irányától arra vezet, hogy kifejezésében az M vektornak csak deriváltjai fordulnak elő. Ez vezet végső soron (a kétdimenziós esetben) a fluktuációk divergenciájára, amely eltörli a mágnesezett séget. A relativisztikus hatások, melyek M irányától függenek, stabilizálják a fluktuációkat, és lehetővé teszik a kétdimenziós ferromágneses viselkedést.

Feladat

1. Számítsuk ki a termodinamikai mennyiségek magnón részét T « s(0) hőmérsékleten. Megoldás. Azok a kis k kváziimpulzusú magnonok a lényegesek, amelyek abba az irányba ter

jednek, melyre az energiarés minimális, azaz 0 = 0 és 0 = . t közelében; mindkét tartomány azonos járulékot ad. Pl. kis 0-ra a kívánt pontossággal

*(k) - 2 ft KM

71.§. TERMODINAMIKAI MENNYISÉGEK 357

ahol A — 2fiMa. köbös kristályokra vagy A = „könnyű tengely” típusú egytengelyű kristályokra. A vizsgált hőmérsékleteken a magnonok eloszlását Boltzmann-eloszlásúnak lehet venni (tehát az integrandus nevezőjében az egységet elhanyagolhatjuk). Az exponenciális előtti tényezőben «(k)-t «(0>val helyettesíthetjük. A k és 0 szerinti integrálást kiterjesztve a «=*ig, végeredményben az

„ A T5'2 _ _ / Ifi K M \ . .( T / ’ Y K M

összefüggésekre jutunk. A fajhő számításakor csak az exponenciális tényezőt kell deriválni:

= 2 0K M T-* Emae.

2. Határozzuk meg a mágnesezettség függését a külső tértől, ha § » A xM és fify.Megoldás. Az adott feltételek mellett a relativisztikus tagokat elhanyagolhatjuk, és e(k)-t a (70,11)

alakban írhatjuk. (71,4)-et deriválva,dM _ 4 fi*- j' eLlT d*k0.Ö T J (eí , r - 1 ) ; (2x):> ’

Az integrálban a kis k-k tartománya a lényeges. Ezért

dM _ . . . r _I dJk_ _ T _ | ~ ___k-d k9$) ~ J e! (2?!)“ I n 1 J (ttk* M n+Sg)-

o(itt a állandó, Mo pedig M értéke y = 0 eseten). Az integrálás elvégzése a

dM TdSö Xrt(<xM0f lz §><*'

eredményre vezet, ami szerint a feladat feltételei mellett M —M a ~3. Határozzuk meg gyenge külső terekben a mágnesezettség függését a külső mágneses tértől, ha

T = 0.Megoldás. A (71,11) integrált, melyben f(k)-t (71,10)-böl vesszük, szerint deriválva azt kapjuk,

hogydM _ r _ An1 fiM sin* 0___________ d-‘k

J í(«M o A*-'-'4aA/0 sins í r ® ) ( « M 0 * s -Í&)]3'2 (2n):* ‘

Ha Jp -► 0, a A szerinti integrál logaritmikusan divergens a kis A: tartományban. Ezért logaritmikus pontosságra korlátozódva, a nevező első tényezőjében k = 0, § = 0 helyettesíthető, a másodikban pedig § = 0, ugyanakkor az integrált alulról k 1 ~ .§/aM0-nál, felülről pedig k° ~4^/«-nát levágjuk. Végeredményben

3 M _______________ fi ______ 4 .teA/oŐ£> “ 32~^A Í0a 3« ö

adódik. Emlékeztetünk arra, hogy (7l,10)-ben AT-t elhanyagoltuk, .'p <k KM esetén a logaritmikus tényezőben Jp-t KMt -ra kell cserélni.

4. Határozzuk meg a mágnesezettség fluktuációinak térbeli korrelációs függvényét r » a-ra, kicserélődési közelítésben.

Megoldás. Az m.t és mv operátorok, melyek eleget tesznek a (70,6) felcserélési szabálynak, a magnonok keltő és eltüntető operátoraival kifejezve (Schrödinger-reprezentációban), a következő alakúak :

m jt ) ... (fiM/V)'>° Y ( 4 eikr - á te~ íkr), k

m /r) --- H p M / v y ^ Y . i d t e ^ - á i e - * ' ) . k

A korrelációs függvényt ezekkel az operátorokkal fejezzük ki. Eredeti definíciója

7\*(r) = y <»j((r,) /?i*(r2) -f mK(r.) m;(r,)>, r = r , - r2

(az i és k indexek az x, y énékeket vehetik fel). Figyelembe véve, hogy csak az (<% ák > = nk és <4<£> = /»*+1 diagonális mátrixelemek különböznek nullától (ahol »k a magnonállapotok betöltési számait jelöli), azt kapjuk, hogy

ViÁr) ---■ J IfiM («k+y) '

Az integrandus közvetlenül megadja a korrelációs függvény Fourier-transzformáltját. Az állandót elhagyhatjuk, mivel annak -függvény felel meg pö(r)-ben, viszont megállapításunk csak az r » a távolságokra vonatkozik. így

<pit(k) - 2/?AÍ«ká„ - I]-1 <5a.

Az t « T klasszikus határesetben azt kapjuk, hogy

9>,t(k) - T/Zxk*-.

Köbös ferromágnesre a — const, ezért

V n (r) “ <5,t T /8 xa r , r » ( ( (M a /T ) '1-.


72. §. A spinek Hamilton-operátor a

Ahhoz, hogy a magnonok diszperziós törvényéi kváziimpulzusuk leljes változási tartományában (és nemcsak a hosszúhullámú határesetben) megkaphassuk, nyilván jóval részletesebben kell ismernünk a ferromágnes mikroszkopikus szerkezetét.

Viszgáljunk zérus pályamomentumú atomokból felépülő dielektrikumot, de legyen az atomok spinjének nagysága S -■£ 0. Ha nem érdeklődünk az atomi elektronhéjak gerjesztésével kapcsolatos magas nívók iránt, akkor az alapállapotú atomi elektronok pályaváltozóira átlagolhatjuk a rendszer Hamilton-operátorát (miközben a magok a rögzített rácspontokban helyezkednek el). Ennek eredményeként a rendszer spinjeinek Hamilton-operátorát kapjuk, amely csak az atomok spinoperátorait tartalmazza.15

Ha csak a kicserélődési kölcsönhatást vesszük figyelembe, amely kizárólag az egyes spinek viszonylagos irányának függvénye, akkor az atomi spinvektorok operátorai csak skalár kombinációkban fordulhatnak elő a Hamilton-operátorban. Alapvető

“ Ez az eljárás hasonló ahhoz, ahogy a különálló atomok nívóinak finomszerkezetét leíró Hamil- ton-operátort felépítik (vö. III. 72.§).

72. §. A SPINEK HAMILTON-OPERÁTORA 359

módszertani érdekességű a legegyszerűbb ilyen Hamilton-operátorral leírt rendszer vizsgálata:

^kics ~ Juta ~ J(fn—*Vn)> (72,1)^ m 76. n

ahol az összegezést az összes atomra végezzük el; az egész szám komponensfl m és a „vektorindexek” a rácspontokat indexelik; rn azok helyvektora. A számokat kicserélődési integráloknak hívják (I. 111. 62. § feladatai).16 m és n szerint függetlenül összegezve, a (72,1) összeg minden atompárt kétszer tartalmaz, minthogy nyilván Jam *mn*

(72,l)-ben az összes atomot azonosnak tételezzük fel (minden elemi cellában egy helyezkedik el). A Hamilton-operátor érvényességének alapvető feltétele az atomok közti elegendően nagy távolság. A kicserélődési integrált két atom hullámfüggvényének „átfedése” határozza meg, ami (exponenciálisan) csökken távolságuk növeked- tével. Ezért a kölcsönösen távoli atomokból álló rendszerben a kölcsönhatást párjelle- gőnek tekinthetjük, emiatt hiányoznak (72,l)-ben a kettőnél több atom spinoperátorának szorzatát tartalmazó tagok. Ugyanilyen pontossággal mondhatjuk, hogy két atom kicserélődési kölcsönhatását mindig egyetlen pár elektron adja: atomonként egy-egy elektron. Ekkor a kölcsönhatási Hamilton-operátor bilineárís az elektronspinekben, majd az atomi állapotokra való átlagolás után, bilineáris az atomi spinekben (C. Herring, , 1966).1J

A (72,1) Hamihon-operátorral leírt rendszer ferromágneses, ha Jnm > 0. Határozzuk meg az ilyen rendszer alapállapotbeli energiáját. Ennek során megengedjük, hogy § külső mágneses tér is jelen legyen. Ezért (72,l)-hez hozzáadjuk a

P = - 2 (72, 2)m

operátort (a z tengely a tér irányába esik). A operátor, ami a teljes spin z tengelyre vett vetülete, egyaránt felcserélhető / / kiC!l-vel és í^-vel. Így a rendszer állapotait osztályozhatjuk e mennyiség sajátértékei szerint.

Ferromágneses esetben az eredő spin vetülete az alapállapotban a legnagyobb: S z = NS, ahol N a rendszer atomjainak száma (ez nyilván független a külső tér jelenlététől, minthogy az csak kiválasztja a tengely irányát). Legyen jjo az alapállapot normált spin-hullámfüggvénye.

16 A kicserélődési kölcsönhatást spin Hamilton-operátorral először/1. A. M. Dirac írta le (1929). A (72,1) operátort J. H, van Vleck vezette be 1931-ben; ezt általában Heisenberg-féle Hamilton- operátomak nevezik, mivel a ferromágnesség Heisenberg által tanulmányozott modelljét faja le.

17 Ilyen feltételek mellett (72,l>ben természetesen csak a szomszédos atompárokra kell összegezni. Ezzel azonban a következő képletek írásmódja egyáltalán nem egyszerűsödik, ezért ezt a lehetőséget nem kívánjuk hangsúlyozni.

A teljes spin maximális N S vetületértékét a rendszer csak akkor érheti el, ha minden egyes atom spinvetületének maximális S értékét veszi fel. Ezért yo egyúttal az egyes

operátorok sajátfüggvénye is:

SmZo = Sx«. (72,3)

Vezessük be a továbbiakra nézve nélkülözhetetlen § + = Sx ázi£y operátorokat, amelyek kielégítik az

§ + £_ - S _ S + - 2&, S r S ± - § ± § z = ± S± (72,4)

felcserélés! összefüggéseket [1. III. (26,12)]. Mátrixelemeik a következők :

<5,1S+ 15 ,-1 > = (5 ,- 1 | S_ | = Y (S + S ,)(S -S ,+ l) (72,5)

[1. III. (27,12)]; az S + operátor növeli, az $_ csökkenti az S z spinvetület sajátértékét. írhatjuk továbbá, hogy

= §mz &nz 4" (> in+ &n— 4" ‘§n+)>

amivel

# = S /»■(£»*&, + & ,- £ .+ ) - 2 0 $ (72,6)2* in n m

Most kihasználtuk a J n[I = szimmetriát és a különböző' atomokhoz tartozó operátorok felcserélhetőségét.

Minthogy az Éa+ operátoroknak csak az S z szám megnövekedésével járó folyamatok esetén vannak nemzérus mátrixelemeik, ezért a legnagyobb ilyen számokra igaz, hogy

S.+ Zo = 0 (72,7)

[ami a mátrixelemek explicit kiírásából, (72,5)-bŐl is látható]. így a (72,6) Hamilton operátorral hatva a #>-1 tartalmazó állapotra, azt kapjuk, hogy

| ^ ra n J

A zárójelben álló mennyiség az alapállapot E0 energiája. Az m és n szerinti összegezést m és q = n— m szerintire változtatva, Eo kifejezését a végleges

Eo = - ~ NS* £ 2j3SN§ (72,8)

alakban írhatjuk. A rendszer teljes mágneses momentuma ebben az állapotban 2/? SN.

360 VU. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

A spinvetület csökkenésének sorrendjében, a ferromágnes következő állapotában a vetület értéke iVS"— 1, amely egy —2/3 vetületű magnón keltésének felel meg. Ilyen teljes spinvetületű állapotot ír le a

(2S)-i/2^n_Zo (72,9)

hullámfüggvény, amelyben az S n_ operátor hatására az atomok egyikének spinvetü- letét 1-gyel csökkentettük.18 Ez a függvény azonban a Hamilton-operátornak nem sajátfüggvénye, mivel a rács transzlációs invai ianciáját nem veszi tekintetbe. A Hamilton-operátor sajátfüggvényét mint az összes n-nel felírt (72,9) függvények lineáris kombinációját kell képezni. Ugyanazok a megfontolások, amelyek az 5S.§-ban elvezettek a periodikus térben mozgó elektron Bloch-hullámfüggvényeihez, most megmutatják, hogy a transzlációs szimmetria helyes figyelembevételére a jó hullámfüggvényt a

Zk = (72,10)D

kifejezés adja meg, ahol az N ~ íl2 tényezőt a normáltság miatt kell bevezetni. A k állandó vektor a magnón kváziimpulzusa.

A magnón e(k) energiáját a rendszer gerjesztett és alapállapotának Ek—E0 energia- különbsége adja. Ezért

( H - E 0)Zk = e(k)Zk-

A (72,10) kifejezést a bal oldalba helyettesítve és £oXo-t /í^ -kén t írva, azt kapjuk, hogy

S(k )xu = {2NS) - íl2£ <*,kr" (Ö Sn- - í„ _ H ) to. (72,11)n

Az itt megjelenő kommutátor könnyen kiszámítható, ha H-\. a (72,6) alakban írjuk, és felhasználjuk a (72,4) felcserélés! szabályokat. Újból kihasználva a Jmn együtthatók szimmetriáját,

]jÉa- - S„_ H = Y: JmÁ&nz £ - - $„£„_) + (72,12>m

adódik. Végül ezt (72,ll)-be helyettesítve, felidézve (72,3>at és áttérve a q = n —m. szerinti összegezésre, azt kapjuk, hogy

t(k) *k = {S A d - e* '* )+ 2 fó } Zk.

72. §. A SPINEK HAMILTON-OPERÁTORA 36í

18 A (72,9) függvény normáját egyszerűen ellenőrizhetjük az(50-Zo)* (í.-jr.) = x S S i^ - n = <s ! s.+s,- | s ><s | s.+1 s - 1><s-11 | s> = 2S

összefüggéssel.

A kapcsos zárójelbeli kifejezés a magnón kereseti energiája. Mivel az összegezés alatti kifejezés képzetes része r, páratlan függvénye, így az összegezéssel zérust ad, majd végül

c(k) = 5 £ AC “ cos kr<) + 2P$ (?2,13)<t*o

3 6 2 VII. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

az eredmény (F. Bloch, 1930).Ez a képlet a magnonok pontos diszperziós törvényét adja a (72,1) Hamilton-

operátorral definiált rendszerben. A kis k-k határesetében ez természetesen átmegy a kvadratikus alakba:

£ (k )= 4 -S M * I J%X4X4t+20%. (72,14)í q* 0

A vizsgált rendszer Curie-pontjára Tc ~ J érvényes, így T » J esetén a rendszer már nyilván paramágneses. Ilyen hőmérsékleteken első közelítésben az atomok kölcsönhatását teljesen elhanyagolhatjuk. Ekkor a rendszer szuszceptibilitása az S' spiníí atomok ideális gázával egyezik, melynek kifejezése

Z _ * 4 Ö * ± ! > (72,15,

(1. V. 52. §), ahol a szuszceptibilitást egységnyi térfogatra vonatkoztatjuk. Ez a kifejezés a %{T) függvény l/T szerinti kifejtésének első tagja. A további tagok már kölcsönhatásfüggők; közülük az elsőt határozzuk meg.

A (zérus térbeli) szuszceptibilitást a % — SM/8ÍQ derivált definiálja ig — 0 esetén, az M mágnesezettséget pedig a szabad energia deriváltjaként értelmezzük: VM —— — SF/9§. A kitűzött feladat megoldására F-et ~ l/T 2 pontossággal kell kiszámítani.

Induljunk ki az F — — T In Z képletből, ahol Z az állapot összeg:

2 17 3 \z = y e - ^ T % W i - — + — \

* T \ T 2T 2 6 T 3} ’

ahol a rendszer összes energiaszintjére kell összegezni.1® Az adott rendszer spektrumában a nívók száma véges és megegyezik az atomi spinek rácshoz viszonyított irányításai összes lehetséges kombinálásának számával. Mivel minden spin 2S+ 1 különböző irányba mutathat, így a fenti szám (25+1)^. Az egyszerű számtani átlag

A szabad energia itt következő kiszámítása az V. 73. § számításainak felel meg, azokat egy renddel továbbfolytatva.

képzést felső vonással jelölve,

72. §. A SPINEK HAMILTON-OPERÁTORA 363

alakba írhatjuk át az állapotösszeget.Itt az Em átlagértéket Sp É mj(2s+ l)‘v definiálja. Az operátor nyomára vonatkozó

ismert tulajdonság szerint, azt a hullámfüggvények tetszőleges teljes rendszerét használva számíthatjuk ki. Alkossák most ezt a rendszert éppen az egyes atomi spinek összes lehetséges irányításának megfelelő függvények. Ez most minden egyes spinnek a többitől független iránya szerinti átlagolásra vezeti vissza az átlagképzést; ekkor E = O.Z logaritmusát véve és újra 1/7 hat ványai szerint kifejtve,

F = -T N \n (7 S + i)— ^ r P + - ~ P (72,16)

adódik.E kifejezésből bennünket a § 2-et tartalmazó tagok érdekelnek, mivel ezek adnak

járulékot a szuszceptibilitásba. Az összes többi tagot elhagyva és észrevéve, hogy átlagoláskor az energia páratlan kitevőjű hatványai nullát adnak, azt kapjuk, hogy

/-- = - ® I S L - 2 2J J Ö M

Az átlagértékekre fennáll, hogy

S n2S ox = Sn? Sw = 0, 5L = 5 (5 + l)/3,

tehát

F = - ^ F { P t f N S ( S + \ ) - ? - íP<q‘í N S 2( S + ! ) 2 I / „ 31 7 f l j íO

amiből a szuszceptibilitás:

_ 4fi2S(S+ l)N r S ( S + J l 1 m i )X ~ 3TV [ + 3T q*o flJ

Figyeljünk arra, hogy a szögletes zárójelben az l/F-ben magasabb korrekciót adó tag előjele a kicserélődési integrál előjelétől függ.

364 VIJ. FEJEZET. A MÁGNESSÉG

Feladat

1. Adjuk meg a (72,1) Hamilton-operátorral leirt rendszer fajhőiét, ha T » J.

Megoldás. A fajhő 1/rszerinti sorfejtésében az első tag a (72,16) szabad energia - E lj2 T tagjából származik. A (72,1) Hamilton-operátor négyzetét a fenti módszerrel átlagolva, azt kapjuk, hogy

"F* 1 -i T9. ■? r r- t- S*(S + 1)" N ^ f o^ i 2 2,1 -^ní S u t ~ 3 q ’ 2* 41

^ I* 5* R “ ~ q 5 1 0

[minthogy S, S l = S (S + l)ö J3 ] . Végeredményben a fajhő kifejezésére

JWSV+1)* v* «6 r j q£ o ’

adódik, V. (73,4)-gye! összhangban.

2. A spinek közötti kölcsönhatást elhanyagolva, számítsuk ki a paramágneses anyag mágnesezett- ségét pfo és T tetszőleges viszonyára.

Megoldás. Az állapotösszeg (egyetlen spinre, külső térben)

7 - V ex„ í M c L 3 h [2 ^ (5 i-iVTl

A szabad energia kifejezését § szerint differenciálva, megkapjuk a mágnesezettseget:

(L. Brillouin, 1927)./J,v> « T esetén ez a képlet átmegy (72,15)-be. Az ellenkező határesetben, ha fi!$ » T a mágnesezettség a következő módon tart névleges értékéhez:

2fiNS l 2P§)

73. §. A magnonok kölcsönhatása

Fontos módszertani érdekessége van a ferromágnes termodinamikai jellemzői azon járulékának, amely a magnonok kölcsönhatásából származik. A 71. § számításait kölcsönhatásban nem levő magnonok ideális gázával végeztük.Most vizsgáljuk a

(72,1) Hamilton-operátorral adott rendszert e szempontból.Miután a kicsiny T/Tc hányadosban legalacsonyabb rendű járulékot kívánjuk kiszá

molni, elegendő a magnonok párkölcsönhatását számba venni. Azaz, a rendszer két- magnonos állapotait tekintjük, melyekre a teljes spinvetület N S— 2 értékű.

73. §. A MAGNONOK KÖLCSÖNHATÁSA 365

E v e tü le ln e k a

Z™ = [45(25'— l)j-i/2 xo,

Zmn — (25) — ^b—Zo, in jé n (73,1)

hullámfüggvények felelnek meg; minthogy a különböző spinek operátorai felcseréln iü k , Zna = Xaa -° A (73,1) függvényeket a z*n z™ = 1 feltétellel normálluk, amiről könnyű meggyőződni, ha ugyanúgy írjuk fel a normálási feltételt, mint azt (72,9) normálásának ellenőrzésekor tettük. Hasonlóképpen láthatjuk be a függvények kölcsönös ortogonalitását is.

A (73,1) függvények persze önmagukban még nem sajátfüggvényei a Hamilton- operátornak. A kétmagnonos stacionárius állapotok hullámfüggvényeit, melyek a a Zmn függvények meghatározott lineáris kombinációi, a

Z = I "7=- y ’ma /.ma + ^ V’nn '/.na (73,2)m f* n ^2 11

alakban írjuk fel (minthogy / mn és zQm azonos függvények, ezért — y>Bm írandó). A Traa együtthatók összessége megadja a hullámfüggvényt abban a reprezentációban, amelyben az atomok rácsbeli sorszámai a független változók. A (73,2)-beli első összegI / /2 tényezőjét azért vezetjük be, hogy a | % |2 mennyiség £ | ip^ |2-tel legyen egyenlő úgy, hogy ez utóbbi összegben minden ^ csak egyszer forduljon elő.

Ugyanúgy, ahogy a (72,11) egyenletet az egymagnonos állapotok hullámfüggvényére levezettük, azt találjuk, hogy a (73,2) függvények a hasonló

-Z - + (73,3)

egyenletei elégitik ki, ahol most <5 = E —Eo a két, egymással kölcsönható magnón energiája (a { ...} zárójelek a kommutátorokat jelölik).

Számítsuk ki ;i (73,3) jobb oldalán álló kommutátorokat. Ehhez vegyük észre, hogy

{/?, £ ,_ } s {H , S m_} S B- + £ — {É , & = } ,

majd alkalmazzuk {/}, ■?„_} (72,12)-beli kifejezését. Ezután a (72,4) felcserélési szabályokat felhasználva, vigyük át az §. operátorokat a kifejezés jobb oldali szélére,

” Ha S - 1/2, akkor ugyanazon operátort kétszer alkalmazva az alapállapot Xa sajátfüggvényére, az nullává válik. Ez esetben tehát az összes „diagonális” függvényre xDn = 0.

ahol azok a %o függvényekre halva, azt S-sel szorozzák. Végeredményben


1

+ Jnl§n- &1- %n — Jmn Sm- Sa- Xo + 4/?§.£nl_ /_n (73,4)

adódik, ahol az írásmód egyszerűsítésére nem írtuk ki azokat a korlátozásokat, amelyek az összegezés során betartandók; a korlátozás szerint minden 1-re összegezünk, de a „diagonális” J,, együtthatókat zérusnak tekintjük.

A további eljárás során (73,4)-et (73,3)-ba helyettesítve és felhasználva (73,l)-et és(73,2)-t, egyenlővé tesszük a két oldalon azonos (m, n)-hez tartozó Jí^-et szorzó tényezőket. A számítás elemi, bár nehézkes. Végeredményben a y>mn mennyiségekre a következő egyenletrendszert kapjuk:

és a £ J ai összegre bevezettük a J jelölést, ugyanis ez a mennyiség valójában független

Térjünk ál ebben az egyenletben a koordinátaveprezemációiól (ahol az atomok rn, rm koordinátái a független változók) az impulzusreprezentációra, azaz használjuk a következő kifejtést:

A K vektor a két magnón eredő kváziimpulzusa, k pedig relatív mozgásuké; az összegezést k-nak azon N számú diszkrét értékére kell elvégezni, amelyek egy Nv tej fogatú

(2 JS ó) ^mn — ^ (* ]m ?/'ln + Jn \']nj) ~í~ ^mn V’oin

ahol

(73,6)

*' Ez az egyenlet S - 1/2 esetén is igaz, ahol yiM tetszőleges. 1-Így éljünk arra, hogy S — 1/2 esetén a Vnt, diagonális mennyiségek kiesnek a i m ^ n egyenletekből. Az m = n egyenleteket ekkor nem kell figyelembe venni.

rácsban fellépnek {N az atomok száma a rácsban, v az elemi cella térfogata). ip mellett a kicserélődési integrálokat is Fourier-sorba kell fejteni:

Am = ^ gík(rm - r») J (k), J(k) = £ J0n (73,7)

[ mn - J nm ™ alt fennáll, hogy J(k) = J(-k )J.Elhagyva a közbenső alakokat, rögtön a (73,5) egyenlet átalakításának végered

ményét közöljük:

[« ( - y + k) + e ( - * - k j - <S] f ( K k) + 1 U( K, k, k') f (K, k ') = 0, (73,8>

ahol

OT/(K,k,k') = As + kj + J

+ j ( ~ - k ') ] - 1 [y (k -k 0 + 7 (k + k ') l (73,9>

«(k) pedig egyetlen magnonnak a (72,13) képlettel megadott energiája; a k'-re való- összegezést a reciprok rács egy cellájára való integrálással helyettesítettük.

így a [(72,1) Hamilton-operátor szintjén] pontos kétmagnonos állapot energiájának és hullámfüggvényének meghatározása a kétrészecskés Schrödinger-feladat impulzus- reprezentációbeli alakjához teljesen hasonló egyenletre vezet [vö. III. (130,4)]. e(k) a részecskék mozgási energiájának szerepét játssza, az integrálegyenlet U(K, k, k')- magja pedig a kl5 k2 állapot és a ki, k állapot közötti átmeneti (szórási) mátrixeleme a részecskék kölcsönhatási energiájának, ahol fennállnak a

K , , K , K , , K , ,ki = y + k, k2 = ^ - k , k i = y + k % k2 = y - k '

összefüggések, Ebben az értelemben célszeiű az U(K, k, k') mennyiséget az

M /(kí, ká, ki, kj) = A [ / ( k , ) + i ( k a)-|-y(kí)+y(k2)]-

^ [ y ( k i - k í ) + / ( k i - k í ) J (73,10)1

alakban írni.Általánosan a (73,8)—(73,9) egyenlet igen bonyolult. Mi megelégszünk a termo

dinamikai mennyiségek korrekcióinak az S » 1 határesetbeli kiszámításával. Ez az eset azért egyszerű, mert a magnón «(k) energiája S-sel arányos, az U kölcsönhatási;

( y - k ) + y ( - | + k ') +


energiája pedig S-től független [S »- 1 esetén (73,9) szorzója As ~ 1/4]. Ezért ekkor U kis perturbációnak tekinthető'. Az Q termodinamikai potenciálnak (a magnonok kölcsönhatásából származó) Ökölc3 korrekcióját egyszerűen U várható értéke adja. A „diagonális mátrixelem”

képzése egyúttal az adott kváziimpulzusú magnonállapotokra való átlagolást is magában foglalja. Ezután átlagolunk a magnonok egyensúlyi eloszlására, kiszámítva a következő integrálokat:

ahol «(k) = [exp(s (kVr)— l]-1 a Bose-eloszlásfüggvény.Az integrál alacsony hőmérsékleten főként kx és k2 kis értékeitől függ, ennek meg

felelően e(k)-t és J(k)-i k hatványai szerinti sorba fejtjük. Ekkor s(k)-t a (72,14) négyzetes kifejezéssel adjuk meg. Minthogy 7(k) páros függvénye k-nak, J(k) sora is a ■másodfokú taggal kezdődik:

Ha ezt a — k r ben és k2-ben egyaránt páratlan - kifejezést (73,12)-be tesszük, az a k x és k2 irányai szerinti átlagoláskor nullát ad.

Ezért J(k) sorfejtésében a negyedfokú tagot is meg kell tartani, aminek következtében a (73,12) integrálban az E/(klt k2; k1; k2) függvény is negyedfokú polinom lesz. Azok a tagok adnak nullától különböző járulékot, melyek kr hen és k2-ben egyaránt négyzetesek. Az integrálási tartományt a gyors konvergencia miatt kiterjeszthetjük a teljes k-térre. A k = k / T váhozócserével beláthatjuk, hogy í3kö]n T- és .^-függésének alakja:

■és /(0 ) , / '( 0 ) véges mennyiségek. Ebből következik a mágnesség korrekciójára, hogy

t/(k!,k2;ki,k2) = [ • /(M + ./(k íW (k 1- k a)-./(0)] (73,11)

í köii «(ki) «(k2) t/(ki, k2; ki, k2)V*cP k 1(/3k2

(2 nf (73,12)

EkkorJ(k) s; J(0)+aikk ,k k.

(J(ki, k2; k,, k2) = j j a i k k i. k2k.

ö kSICS = v t * f d ó m (73,13)

= const •T’4. (73,14)

Ugyanilyen törvényszerűséget követ a fajhő korrekciója is.22

22 Ezeket az eredményeket tetszőleges spinre elsőként F. Dyson crte el 1956-ban. A (73,5) egyenlet bem utatott levezetése R. J. Boyd és J. Callaway eljárását követi (1965).

Látjuk, hogy a magnonok kölcsönhatása csak ÜT/J -ben magasabb rendben ad korrekciót a termodinamikai mennyiségekhez. Emlékeztetünk, hogy a mágnesezettség és a fajhó' mágneses járulékának vezető tagjai szerint változnak a hőmérséklettel. Ezek és az jQköIcs okozta korrekciók között helyezkednek még el a magnonok e(k) energiája k2 szerinti sorfejtésének magasabb rendű tagjaiból származó járulékok is, melyek 7’6/2, illetve 7T,/a viselkedést mutatnak.

A kapott egyenletekkel megvizsgálható a kétmagnonos kötött állapotok létezése is. Ezek (adott K-ra) a (73,8) egyenlet diszkrét sajátértékeiként jelentkeznek. K függvényében az <3(K) sajátértékek a rendszer elemi gerjesztéseinek új ágát adják. A vizsgálatok szerint azonban e gerjesztések csak K elég nagy értékeire létezhetnek, ezért alacsony hőmérsékleten nem befolyásolják a rendszer termodinamikai tulajdonságait.23

F e la d a t

S 5 t-1 feltevéssel keressük meg a magnonok kölcsönhatási járulékát a mágnesezd tséghez és a fajhőhöz olyan köbös rácsra, amelyben a kicserélődési integrálok csak (a rácsélek mentén) szomszédos atomokra különböznek nullától.

Megoldás. Minden atomnak hat első szomszédja van. A (73,7) definíció szerint

J(k) = 2/o (cos kx a + cos k ,a + cos kÁ a),

ahol J0 a szomszédos atomok közti kicserélődési integrál értéke, a pedig a köbös rács élhossza. Kis k-ra

J(k) » / 0 [2 -« * +**+&*)].

Ebből

t/(k „ ki ; k „ k ,) (*■, * 5 ,+ k \ , k } , + k i k i )

(a k,-ben és ka-ben páratlan tagokat elhagytuk). A magnón energiája (72,14) szerint:

e(k) = S f 0 a -k 2+ 2 fó .

A (73,12) integrál kiszámításával az

* 1 * . 3wC(#)C(!W T \* ^ _ 1 5 ^ ( f ) N ( T \«M 2S~ \ 4,-zSJo! ' M1“ ~ S \ 4nSJ,, /

válaszra jutunk (£ a dzéta-függvény).

** L. M . Wortis, Phys. Rév. 132 (1963) 85. Háromdimenziós rács esetében igaz az állítás. Két- és egydimenziós esetben a magnonok kötött állapotai minden k-ra léteznek.

2 4 Statisztikus fizika 1 rész


74. §. Magnonok antiferromágneses anyagban

Az antiferromágneseket az jellemzi, hogy a kristályrács minden elemi celláján belüli elektronok mágneses momentumai kölcsönösen kiegyenlítik egymást (külső mágneses tér nélküli egyensúlyi állapotban). Szigorúan szólva, a mágneses momentum sűrűsége az egész cellában van szétosztva. De az antiferromágneses dielektromos kristályokban jó közelítéssel feltehető, hogy ez a sűrűség lényegében az egyes atomoknál lokalizálód ig amelyek mindegyikéhez ily módon határozott mágneses momentum rendelhető. Ezek a momentumok az összes cellában periodikusan ismétlődve alkotják az anti- ferromágnes mágneses alrácsait.

A különböző antiferromágnesek szerkezetük szerint igen különfélék. Mágneses energiaspektrumukat a cellánként két mágneses atomot tartalmazó rács tipikus példájának vizsgálatával illusztráljuk. Az egyes atomok a cellák ekvivalens pontjaiban helyezkednek el (azaz e pontokat a kristály valamely szimmetriaműveletével egymásba vihetjük át). Az egyes alrácsok atomjai által alkotott átlagos mágneses mo- mentumsűrűséeel Megyei és M2-vel jelöljük, és bevezetjük az

vektorokat.Az antifen omágnes alapállapotában M = 0, L 0, ferromágneses anyagra viszont

M 0, L ?í 0 lenne a helyzet. Hangsúlyozzuk c két eset alapállapotainak lényeges eltérését. Kicserélődési közelítésben, a fenomágnes alapállapotában az összes mágneses atom spinjeinek határozott (a lehető legnagyobb) Sz = S spinvetületük van, ami éppen az M mágnesezettség névleges értékével egyenlő. Aj . antiferromágnes alapállapotában az alrácsok mágnesezettsége nem veheti fel annak névleges értékét, minthogy az egyes alrácsok eredő spinvetületei nem (még kicserélődési közelítésben sem) megmaradó mennyiségek, és ezért (stacionárius állapotban) értékük nem meghatározott. Az egyes atomok spinjeinek még kevésbé lehet meghatározott ériéke.

Az L és M vektorok makroszkopikus „mozgásegyenleteit” ahhoz hasonló módon származtatjuk, ahogyan azt ferromágnesre a 69. §-ban tettük. A diszcipációmentesség feltétele arra vezet, hogy a mozgásegyenletek révén teljesül a

M - M i + M t , L = M ,- M 2 (74,1)

egyenlőség, ahol a Ht és „effektív tél erősségeke!” a

őF = ~ J(H£ ÓL + Hm ÓM) ÓV (74,3)

74. §. MAGNONOK ANTIFERROMÁGNESES ANYAGBAN 371

variáció, a szabad energiának L, illetve M variálásakor történő megváltozása definiálja. Egyensúlyi állapotban HA = Hw = 0.

Kicserélődési közelítésben a keresett mozgásegyenletek nem változhatnak, ha az összes spinen egyidejű forgatási végzünk a rácshoz képest. Ebből a két cellabeli atom krisztallográfiai egyenértékűsége mellett az is következik, hogy a rendszer invariáns M! és M2 felcserélésére, vagyis az L - - L, M — M transzformációra. A szabad energia is változatlan e művelet során, azaz a fenti transzformáció az „effektív térerősségekre” Hl — — Hl , Hm — Hw leképezési eredményez.

A mágneses momentumok kis rezgéseinek vizsgálata céljából írjuk, hogy L = Lg-fi, M s m, ahol 1 és m kis mennyiségek. A kirótt feltételeket lineáris közelítésben kielégítő mozgásegyenletek a következő alakúak:

Í5I . c?mg - = 7<Hm X V), - g j - = y (H L X V), (74 ,4)

ahol v az Lq vektor egyensúlyi irányába mutató egységvektor; az L — — L transzformáció egyben v — — v transzformációt is jelent. Itt figyelembe vettük, hogy egyensúlyban H; és Hm érteke zérus, azaz maguk is lineárisak I-bcn és m-ben, és v az egyetlen rendelkezésünkre álló állandó vektor. A 69. §-beli tárgyalás analógiájára y-ra Y — (&\e \/2mc)LQ írható, a ferromágneses esettől eltérően azonban g 2, még ha a relativisztikus hatásokat el is hanyagoljuk. Monokromatikus rezgésekre dljdt =— — /col, . . . , és ekkor a (74,4)-gyel meghatározható 1 és m vektorok merőlegesek v-re. Az adott közelítésben ez azt jelenti, hogy az L vektor állandó L = Ln hosszúságú, és precesszál v körül.

A H l és Híf effektív terek meghatározására ki kell számítani a rács szabad energiáját. Ennek során a kis 1 és m mennyiségekben kvadratikus tagokra korlátozódunk, illetve e mennyiségek térderiváltjaiban a legfeljebb másodrendűekre. Ez a hullámvektorban legfeljebb négyzetes tagokat enged meg, így a rezgések hullámhosszát (mint a 70.§-ban) a rácsállandóhoz képest nagynak gondoljuk. Kicserélődési közelítésben a szabad energia egyaránt invariáns az összes spin egyidejűforgatására és L előjel- váltására. Az összes említett megkötésnek eleget tevő kifejezés a következő:

f í a m2 h i 01 <5m \ 1 Pl 31 1 ,,, nA c\= J j - 2 + 2 ( " s - ' - a r j + í ” '* 8S W )

ahol a z tengelyt v-vel egybeesőnek vehetjük (így v előjelváltása z előjelének megváltozásával is jár); az a > 0 együttható előjelét az m = 0 egyensúlyi feltétel határozza meg. l2-es tag nincsen, mivel jelenléte azt eredményezné, hogy az energia függene az L = L0+ l vektornak a kristályhoz viszonyított irányától; kicserélődési közelítésben nem lehet ilyen függés. A? m d\jdz+ \ dm/dz összegei tartalmazó tag teljes deriváltra

24*

vezet, amely a térfogati integráláskor eltűnne. Végül a Om/Sxr ben négyzetes tagot nem kell figyelembe venni, mivel nyilván kicsiny m2-hez képest. A (74.5) integrált variálva (és abban parciálisán integrálva), azt kapjuk, hogy

, dm 8H „ , 81 . , = Hm = -< ■ » -* -£ - . W ,

Monokromatikus spin .síkhullámra a (74,4) egyenletek most a következő alakot öltik:

- io) 1 - — ya(imX v)—ikz yb(íXv), (74 7)- ico m = ikz yb(mX v)— 7a(n) /c^lXv),

ahol újra (mim a 70.§-ban)x(n) = itt n k irányú egységvektor. Az első egyenletet vektoriálisan v-vel szorozva,

ya m = — í'cü(IX v)— ikz yb 1 (74,8)

adódik, amit a második egyenletbe helyettesítve a spinhullámok diszperziós összefüggésére jutunk:

e> - yk[av. (n) - & (vn)2]1'2 (74,9)

Tehát a spinhullámok frekvenciája és ezzel a magnonok e = hw energiája is antiferro- mágnesre kicserélődési közelítésben k-xiű és nem A:2-te! arányos, mint volt a ferro- mágneses esetben.24

A (74,7) egyenletek egyértelmű kapcsolatot állítanak fel 1 és m között, de 1 mindkét komponense (a v-re merőleges síkban) tetszőleges marad. Ez azt jelenti, hogy a vizsgált antiferromágnesben a spinhullámoknak két független polarizációs iránya lehetséges.

A mágneses anizotrópia figyelembevétele végett a kristály szimmetriájára vonatkozóan részletesebb feltevéseket kell tenni. Legyen a kristály egytengelyű, és essék L egyensúlyi iránya egybe a szimmetriatengellyel.25

(74,8)-ból látható, hogy az m vektor kicsiny 1-hez képest a spinhullámban, mert eggyel nagyobb hatványát tartalmazza a kicsiny k vektornak. Ebben az értelemben


** Ezt az antiferromágneses diszperziós összefüggést L. Hulthén kapta meg 1936-ban. Az alrácsok mágnesezettségének makroszkopikus vizsgálatát felhasználva, M. /. Kaganov és V. M. Cukernik vezette le (1958).

u Ilyen típusú a FeCOj antiferromágnes, amelynek rácsa romboéderes (D^ kristályosztály), és két Fe-ion található az elemi cellában. Ezeknek az ionoknak a mágneses momentuma a harmadfokú szimmetriatengely (a i tengely) mentén ellenkező irányba mutat.

a effektiv tér sokkal nagyobb H^-nél. Emiatt elegendő az I vektorhoz kapcsolódó anizotropiát figyelembe venni. A fenti feltevések esetén a hozzá tartozó energiasűrűség U = KP/2, és K > 0. Ez a járulék egy újabb - £ 1 alakú tag megjelenésére vezet a HL cffeklív térben, ami így síkhullámra

H í = ik2 bm~ [a(n)**+AT] 1 (74,10)

alakú. Ebből látszik, hogy az anizotropja figyelembevételével a spinhullám diszperziós törvényét (74,9)-ből úgy kapjuk, hogy v.k--ct (afe2+/í)-val helyettesítjük. Ennek következtében k -*■ 0-ra a magnonenergia nem nuHához, hanem a véges

e(0) = iiy VaK (74,11)

mennyiséghez tart20 (Ch. Kittel, 1951). Figyeljünk fel arra, hogy ;>z energiarés a spektrumban az anizotropiaállandó négyzetgyökével arányos fés nem az első halványával, mint (70,12)-ben). Minthogy a relativisztikus hatások kicsinységét az anizotropiaállandó viszonylagos kicsinysége fejezi ki, így antiferromágnesre ezek a hatások aránylag lényegesebbek, mint ferromágnesre.

Az antiferromágnes belső energiájába a magnonjái ulékot (71,3) alapján lehet kiszámítani. Az é(0) <k T<szTn (itt Tn az antiferromágnesség eltűnési pontja, a Néel-pont) hőmérsékleti tartományban a (74,9) spektrum használható. Egytengelyű kristályra

co = (k%+k.y)+v.2 y '< ~ h'~(a.

A (71,3) integrál kiszámításával a fajhő magnóm észérc a következő eredményt kapjuk:

4-t2 r;iCmag = V 15^* d y/2(cda f ) 1'2fí‘ • (74 , ,2 )

T « i(0) hőmérsékletek esetén a termodinamikai mennyiségekbe adott magnon- járlilék exponenciálisan kicsiny.

74. §. MAGNONOK ANT1FERROMÁGNESES ANYAGBAN 373

26 Az «j(0) — • (0)//i frekvenciát az anttferroniágneses rezonancia frekvenciájának hívják.

VI I I . F E J E Z E T

A Z E L E K T R O M Á G N E S E S F L U K T U Á C I Ó K

75. §. A foton Green-függvénye közegben

Az elektromágneses tér anyagi közegekben mutatott statisztikus tulajdonságainak tanulmányozásához először is idézzük fel azon átlagolások fizikai tartalmát, amelyeket az elektromágneses mennyiségeken kell elvégezni a makroszkopikus elektrodinamikára áttérve.

Ha a szemléletesség kedvéért klasszikus nézőpontból indulunk ki, akkor először egy infinitezimálisan kicsiny térfogatra átlagolhatunk a benne elhelyezkedő töltések rögzített helyzete mellett, majd a kapott mennyiségeket átlagolhatjuk a részecskék mozgására. A makroszkopikus elektrodinamika Maxwell-egyenleteiben a teljesen átlagolt mennyiségek jelennek meg. A tér ingadozásainak vizsgálatakor csak a fizikailag végtelen kicsiny térfogatra átlagolt mennyiségek időbeli rezgéseiről lesz szó.

Kvantummechanikai szemszögből csak a fizikai mennyiség operátorának téifogati átlagáról beszélhetünk, az operátor átlagértékének a kvantummechanikai valószínűségek segítségével való meghatározása jelenti a második lépést. E fejezetben az operátorokat csak az első értelemben átlagoknak tekintjük.

Az elektromágneses sugárzás statisztikus tulajdonságait anyagi közegben a foton közegbeli Green-függvénye határozza meg. A ^-operátorok szerepét az elektromágneses potenciálok operátorai játsszák. Ezek az operátorok ugyanúgy határozzák meg a foton Green-függvényeit, amint a részecskékét a ^operátorok.

Az elektromágneses potenciálok négyesvektort alkotnak: A " — (A", A), ahol A0 = (p a skalár-, A pedig a vektorpotenciái. E potenciálok megválasztása a klasszikus elektrodinamikában nem egyértelmű: elvégezhető egy ún. mértéktranszformáció, melynek hatása nem jelenik meg a megfigyelhető mennyiségeken (1. II. 18. §). Ennek megfelelően a kvantumelektrodinamikában ugyanez a határozatlanság jelen van az. operátorok megválasztásában és ezzel együtt a foton Green-függvénycben is. Mi azt a mértéket használjuk, amelyben a skalárpotenciál eltűnik:

= 7- = 0 , (75,1)

75. §. A FOTON GREEN-FÜGGVÉNYE KÖZEGBEN 375

azaz a teret a vektorpotenciál kizárólagosan meghatározza. Ez a mértékválasztás általában olyan feladatokban célszerű, amelyekben az elektromágneses tér nemrelativisztikus részecskékkel hat kölcsön, - ami a szokásos anyagi közegekre teljesül.

E mértékben a Green-függvény egy háromdimenziós kétindexes tenzor:

Dik(Xu X2) = - / < TÁAXi) Ák(X2) (75,2)

(/', k = x , j , 2 a háromdimenziós vektorindexek); itt a csúcsos zárójelek [csakúgy, mint a (36,1) képletben] a közegből és a vele egyensúlyban levő' sugárzásból álló rendszer Gibbs-eloszlására való átlagolást jelölik. Mivel a fotonok bozonok, az A, és Ák operátorok felcserélése az időrendezéskor nem jár a szorzat előjelváltásával. Arra is emlékeztetünk, hogy az Á, operátorok önadjungáltak (ami a foton belső semlegességének kifejeződése); ezért (75,2)-ben nem teszünk különbséget Á, és A f között.1

Bármiféle fotonos Green-függvény kiszámításakor azonban elsődleges fogalomként a retardált Green-függvényt használjuk (75,2) helyett, amit az

n - \ { U X i ) A * X i > - M X $ A m ) , /, > /*,U lk \X l> A 2) " í n , _(U, t\ /•>

definíció ad mejj [a csúcsos zárójelbeli kél tag közötti negatív előjel a (36,19) definíciónak felel meg Bose-statisztika esetén].

Zárt rendszerre a Green-függvény csak a t = /j—12 időkülönbségtől függ. Ami az rx, r2 koordinátákat illeti, általános inhomogén közegre egymástól függetlenül jelennek meg: £>£(/; rt, r2). Ennek megfelelően ezt a függvényt csak időváltozójában fejtjük Fourier-sorbn: a Fourier-komponenst a

r-i) = J OfUt; rt, r2) dt (75,4)u

művelettel határozzuk meg.Amikor a fizikailag infinitezimáÜs térfogatokra átlagolt mennyiségek vizsgálatára

szorítkozunk, akkor a sugárzás hosszúhullámú részét tekintjük csak, amelyhez tartozó fotonok hullámvektoraira fennáll a

ko<-< 1 (75,5)

’ A potenciálok tetszőleges mcrtékválasztása esetén a foton Green-függvénye négyestenzor, />„„ [a (75,1) mértékre £>00 = 0, Dm = 0}. A statisztikus fizikában a foton Green-filggvényének általános tenzoriális és mértéktulajdonságai megegyeznek a vákuumbeli kvantumelektrodinamikáéval. Megjegyezzük, hogy (75,2) előjele eltér a IV. kötetben elfogadottól. Itt a többi bozon Green-függvé- nyének előjelével összhangban választoltunk előjelet (1. pl. a fononokat).

376 VIII. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

egyenlőtlenség (a az atomok közötti távolság). Ebben a frekvenciatartományban a foton Green-függvényét a közeg egyéb makroszkopikus adataival, e(a») dielektiomos állandójával és /*(«) mágneses permeabilitásával is kifejezhetjük.

Ennek bemutatására induljunk ki az elektromágneses tér és a közeg kölcsönhatásának operátorából:

| ? = — (75, 6)

ahol a J operátor az elektromos áram sűrűségét írja le a közegben.2 Ha a közegben j(t, r) „külső” klasszikus árameloszlás is jelen van, akkor annak kölcsönhatását a

V = - Jjs j* j </, r)Á d '' X (75,7)

operátor írja le. Ez a kifejezés a kiindulópontja a makroszkopikus rendszer külső hatásra adott válaszai elméletének.

Emlékeztetünk arra, hogy ebben az elméletben (V. !25.§) b izo n y o sb a = 1,2, . . . ) diszkrét mennyiségek is előfordulnak, melyek adott külső hatások esetén jellemzik a rendszer viselkedését. E hatásokat az f a(t) „perlurbáló erők” jellemzik, amelyek révén a kölcsönhatási energia operátora a

P = fu x ua

alakot ölti, ahol xa az xa mennyiség operátora. A perturbációk hatására kialakuló xa(t) átlagértékek azf a{t) erők lineáris funkcionáljál. A mennyiségek Fourier-transzfor- máltjaira ez a kapcsolat az

XfiW — y'.stgrffrQ főd

alakban írható (feltesszük, hogy perturbáció hiányában x0 — ü). Az y.ab együtthatókat általánosított szuszceptibiUtásoknak hívjuk. Ha az xa és xb mennyiségek egyformán viselkednek időtükrözés során, valamint a test nem magnetoaktív (nincs mágneses

* AIV. kötetben (I. IV. 53. §) az áramot ej-vel jelöltük, tehát az elemi töltést kiemeltük j definíciójából. A (75,6) operátorhoz az áram operátora relativisztikus alakjának felhasználásával juthatunk, Nemrelativisztikus alkalmazásokban a y>-ope rátörök (melyekből J-t felépítjük) negatív frekvenciájú részeit, azaz az antirészecskéket elhagyhatjuk. Ez többek között azt is jelenti, hogy a foton vákuumbeli Green-függvényét korrigáló vákuumpolarizációs (virtuális elektron—pozitron keltésével járó) folyamatokat elhanyagoljuk. A A » fi/mc tartományban, ami a (75,5) feltétel teljesülésekor érvényesül, ezek a hatások elhanyagolhatóan kicsik.

szerkezete, és nem tartózkodik mágneses térben), akkor a z a ^ mennyiségek indexeikben szimmetrikusak.

E szakaszban olyan f a és xa mennyiségekkel dolgozunk, melyek eloszlás jellegűek,, azaz a lest egyes pontjai r koordinátáinak függvényei. Ez esetben a V operátort

P = - £ IfÁU r) .?„(/, r)d*x (75,8>a

alakban kell felírni. Hasonlóan írható ál az xa és f a mennyiségek közötti kapcsolat r

x„, (r) = X J r- r') ./L(r') .v'. (75,9)'C

Az általánosítoit szuszceptibilitások a test két pontja koordinátáinak függvényei,, melyek szimmetriáját az

; r, r ') = v-Uoj; r' r) (75,10)

egyenlőség fejezi ki.Kubo képlete [I. V. (126,9)] alapján a szuszceptibilitások at az xa(t, r) Heisenberg-

operátorok kommutátorával fejezhetjük ki:

eM ( x a(t, r)x 6(0,r')-Xfc(0, T')xa(t, r ) )dt. (75,11>

Most a j áram komponenseit azonosítjuk az f a „erőkkel”. Ekkor (75,7) és (75,8) összehasonlításából látszik, hogy az xa-nak megfelelő mennyiségek az Ajc vektor- potenciál komponensei. A (75,11) képletet a (75,3)—(75,4) definíciókkal összehasonlítva, azt látjuk, hogy az 0^ ( 00; r, r') általánosított szuszceptibilitás a

-D ?k(oyy r, i')/fír

tenzor komponenseivel esik egybe.(75,10) alapján ebből (nem magnefoaktív anyagokra) azonnal következik, hogy

D*((o; r, r') - Dj?,(o>; r ', r). (75,12)

A (75,9) összefüggés a következő alakba megy át:

A j t ) = ~ -j- J ; r ,r ') j U r') *'• (75’»3>

75. §. A FOTON GREEN-FÜGGVÉNYE KÖZEGBEN 377

«„*(«; r, r') =' . 4

378 VJH. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

A a teljesen átlagolt elektromágneses tér (1. a fejezet elejét) vektoipotenciálja a makroszkopikus közegben. Az alábbiakban A-ra (és a többi makroszkopikus meny- nyiség jelére) nem teszünk vonást. Vegyük most számításba, hogy a klasszikus j irameloszlással keltett makroszkopikus tér kielégíti a Maxwell-egyenleteket:

„ 4 n . m _rot H,., = —-j,,---D„c c

.ahol D az elektromos eltolás vektora. Az általános anizotrop közegben D^-l az E,u térerősséggel a D,a — %(<*>) Eku összefüggés köti össze. Ha a közeg inhomogén, akkor a dielektromos állandó tenzora színién koordinátafüggvény: %(<», r).

Az általunk választott (75,1) mértékben

B,„ = rol A... E„, = / — Aon (75,14)c

ahol B a mágneses indukció vektora, amely a H térerősséggel a Bim = (<ikHkoi kapcsolatban van.3 így a potenciálra a következő egyenlet4 írható fel:

rotim ( ) rot„*)“ -- 2- eik Akm = - -~ jka.

Ebbe A^-t a (75,13) alakban behelyettesítve, Z>* egyenletére a következőt kapjuk:

( ,« ,- ' rot^)- ~ % j D ,Í(m ; r, r ' ) = - Anhb ik ő ( r - r ' ) . (75,15)

Ez az egyenlet egy (minden térfogatelemében) izotrop közegben nagymértékben egyszerűsödik, ekkor az eik és fiik mennyiségek egyetlen skalárral is kifejezhetők. A mágneses permeabilitás általában 1-hez közeli értékű, és e szakaszban a továbbiak során 1-nek fogjuk tekinteni. Behelyettesítve az elk — eöik és fiik = öjk kifejezéseket, a

[ 1-^,7 r(o>; r)j D?k(o>- r , r ' ) = -4 írM ,* a (r - r ') (75,16)

-egyenletet kapjuk.

3 Emlékeztetünk arra, hogy a makroszkopikus elektrodinamikában a mikroszkopikus elektromos térerősség átlagát E-vel jelölik, a mágneses térerősséget pedig B-vel, és mágneses indukciónak hívják.

* Itt és alább a rottt = eltlS/dxt jelölést használjuk, amelyben em az antiszimmetrikus egyseg- ienzor. Ennek során (rőt A); = rotf, A,.

75.J. A FOTON GREEN-FÜGGVÉNYE KÖZEGBEN 379

Így inhomogén közegben a retardált Green-függvény kiszámítását egy meghatározott differenciálegyenlet megoldására vezettük vissza (/. E. Dzjalosinszkij, L. P. Pitajevszkij, I959).5

A különböző közegek határán a Dfk tenzor komponensei határfeltételeket elégítenek ki. A (75,16) egyenletben a k második index és az r ' második változó nem vesz részt a differenciálási és algebrai műveletekben, melyeket a D?k tenzoron végeztünk, csak paraméterként szerepelnek. Ezért a Dfk(a>\ r, r') függvényre, amelyet az / indexben vektornak tekintünk, csak az r koordináta szerint róható ki határfeltétel. E feltételek a makroszkopikus elektrodinamikából ismert határfeltételeket: E és H tangenciális komponenseinek folytonosságát jelentik.6 Minthogy E = — kje , így az E vektor szó epet a

derivál! játsssza. avagy Fourier-komponenseket használva,

i ^ D fá m ; r ,r ') . (75,17)

Hasonló módon a H vektor szerepet (amely ju = 1 esetén megegyezik B-vel) a

rőt/,- Dik(o); r, r ') (75,18)mennyiség já issza.

Térben homogén, végtelen közegben a Dfk függvény csak az. r—r' különbségtől függ. E különbségek szerinti Fourier-kifejtés komponenseire a (75,16) differenciálegyenlet algebrai egyenletrendszerré alakul:

Anh k lki- d iik'1+di, ~^ s(m) D H (cü, k ) = b,k . (75,19)

Ezen egyenletrendszer megoldása:

Dh(o>, k ) = _ [ ó , , - 4 ¥ \ ■ ( 75-2° )v 7 o r e ( a ) ) j c ~ ~ k 2 [ o) e(a>)

s Megjegyezzük, hogy a ö® függvény a matematikai fizikából ismert módon a MaxweU-egyenletek Green-függvénye: a pontszerű forrású egyenlet megoldása, amely kielégíti a retardálás feltételét (az avanzsált Dfk függvény ugyanezt az egyenletet oldaná meg az e* ** e cserével).

* A B és D mennyiségek normális komponenseire vonatkozó határfeltételek semmi újat nem adnak, annak megfelelően, hogy az időtől e~<m‘ módon függő tér esetén a div D = 0, div B = 0 egyenletekkövetkezményei a rot E io>B/c, rot H = — iciO/c egyenlőségeknek.


(36,21) S2erint a D,k Green-függvényt a retaidált D* függvénnyel a

Dik(c», k) = Re D?k{o), k )+ / cth ~ - lm Dfk(co, k) (75,21)

képlettel fejezhetjük ki végtelen közegben. A T — 0 határesetben ebből

Dik(o), k)= Re Dfk(o), k )+ i sgn w • lm D?k(u>, k) (75,22)

következik. A Dfk függvényt a (75,20) kifejezés adja meg; ha figyelembe vesszük, hogy Re e(ü>) páros, lm «(co) pedig párat lan függvénye w-nak, akkor T — 0-ra

i>*(to,k)= Z?S(|wi,k) (75,23)

adódik.Vákuumban e(co) — 1. Minthogy báimely anyagi közegben lm s ( o j ) > 0. ha « > 0,

igy a vákuumhoz az e — 1 + /0 határátmenettel kell tartani. Ekkor a

n(0>/ i.» _ 4nfi if, Ct k f kk \Dik(o>, k) w2^2_ fc2+ /ü ....0}i ]

kifejezésre jutunk, amely a kvantumelektrodinamika ismeri eredményével egyezik (1. IV. 77.§).

76. §. Az elektromágneses tér fluktuációi

Amint az előző szakasz elején rámutattunk, az elektromágneses tér fluktuációinak vizsgálata során a fizikailag végtelen kicsiny térfogatra átlagolt mennyiségek időbeli rezgéseit tekintjük (a térfogatbeli részecskék mozgására nem átlagolunk). Az egyes mennyiségek kvantummechanikai operátorait ilyen értelemben kell használni a továbbiakban.

Az elektromágneses fluktuációk alapvető képletcit közvetlenül felírhatjuk a fluktuáció-disszipáció tétel (1. V. 125. §) általános alakjából kiindulva. Emlékezzünk, hogy az xa fluktuáló mennyiségek diszkrét halmaza ingadozásainak spekhális eloszlását az o.ab{ui) általánosított szuszceptibilitásokkal az

76. §. AZ ELEKTROMÁGNESES TÉR FLUKTUÁCIÓI 381

összefüggés fejezi ki, ahol az (x x*)™ mennyiség a

<P»b(t) — 2 < x„(l) Xb(0)+Xb(0) xa(t))

időkorrelációs függvény Fourier-együtthaióit adja meg. Ez utóbbiban xa(t) az xa mennyiség Heisenberg-operátora. Térváltozók esetén, amikor x jr ) a test pontjainak függvénye, ezt a képletet az

alakban írhatjuk, ahol az (1) és (2) indexek arra utalnak, hogy a megfelelő mennyiségeket az rx és r2 pontokban kell venni,

Az előző szakaszban megmutattuk, hogy ha az xa mennyiségek az A(r)jc vektor- potenciál komponenseivel azonosíthatók, akkor a megfelelő általánosított szuszceptibilitások a rx, t2)fhc2 tenzor komponensei. így azonnal az

állításra jutunk.A térerősségek fluktuációinak spektrális függvényét (76,2)-ből egyszerűen megkap

hatjuk. Legyen r t ; <a, r2) a vektorpotenciái önkorrelációs függvénye. Ekkor a(76,2) kifejezés e függvény t = tL— (2 szerinti Fouríer-sorának együtthatóit adja meg. Minthogy az elektromos térerősséget az

x f X = -y cth — [«L(w; r2, t ^ - y ^ io r , rx, rs)J (76,1)

c

kifejezésből kapjuk, így az E komponenseinek önkorrelációs függvényére

ffk —

írható, azaz a Fourier-együtthatókra az

(76,3)


egyenlőség érvényes. Hasonlóan kapjuk a B = rőt A összefüggés figyelembevételével, hogy

(BT B fX , = w C r o iZ W A 'Z X , (76,4)

(.E?' B t% = ~ rotfiíiO1’ ASU. (76,5)

Az elektromágneses fluktuációk korrelációs függvényeit a retardált Green-függvé- nyekkel kifejezve, a (76,2)-(76,5) képletek kiszámításának feladatát a (75,15) vagy a (75,16) egyenletek megfelelő határfeltételek melletti megoldására vezethetjük vissza (a halárfeltételeket a testek felületén kell kiróni).7

Az alábbiakban feltételezzük, hogy a közeg nem magnetoaktív. Ekkor a D* függvényre igaz a (75,12) szimmetriatulajdonság, amit felhasználva, (76,2) az

( 4 ” A fX , = - cth ~ lm Dfoon r t, r2) (76,6)

alakot ölti.Figyeljük meg, hogy (76,6) valós. így valósak a (76,3)—(76,4) kifejezések is, (76,5)

viszont tisztán képzetes. Eszerint E és B komponenseinek önmagukkal vett korrelációs függvénye a / = /x—r2 időkülönbség páros függvénye (amint az az olyan mennyiségekre, amelyek egyformán párosak vagy páratlanok az időtükrözcsie, eleve szükséges is). Az E és B komponenseinek vegyes korrelációs függvénye ugyanakkor páratlan, mivel időtükrözéskor E páros, B pedig páratlan. Ebből következik, hogy E és B értékei azonos időpillanatban korrelálatlanok (egy páratlan függvény az origóban zérus). Ugyanígy zérus minden egyidejű, E-ben és B-ben bilineáris kifejezés várható értéke, pl. a Poynting-vektoré is. Ez utóbbi körülmény egyébként eleve nyilvánvaló: egy termodinamikai egyensúlyban levő testben, amely időtükrözésie invariáns, nem lehet jelen belső makroszkopikus energiaáram.

77. §. Elektromágneses ingadozások végtelen közegben

Homogén, végtelen közegben a Dik(w; ru r2) függvények csak az r = r2- f j különbségtől függenek, annak páros függvényei [a (75,15) egyenlet csak koordináták sze

7 Az elektromágneses fluktuációk elméletét más alakban fejlesztette ki Sz. M, Ritov (1953), majd a (76,2)—(76,5) eredményekkel ekvivalens tárgyalást adott M . L. Levin és Sz. M. Ritov 1967-ben.

rinti második déri váll a kai tanalmaz, így Dlk(m\ r) és Dik{w\ — r) ugyanazt az egyenletet elégítik ki]. A (76,2) egyenlőség mindkét oldalának r szerinti Fourier-transzfor- máltját vcve, az

M íl> A ? )* = ~ cth {DS(w, k ) - [iDS(o>, k)]*} (77,1>

összefüggésre jutunk. Mágnesesen nem aktív közegben (75,12)-t figyelembe véve, a képlet

(A?' A f U = - c th ^ lm Djfat, k) (77,2>

alakban is felírható.ízotrop, nem mágneses közegben (fi = 1) a D* (cu, k) függvényt a (75,20) képlettet

adhatjuk meg. Tehát a térbeli korrelációs függvény meghatározása a

f í/:ifc r) = D*(o>, k) (- ~ (77,3>

integrál kiszámítását követeli meg. Az integrálást az

f e,kr d sk _J fc2 + x2(2^)1 4nr

77. §. ELEKTROMÁGNESES INGADOZÁSOK VÉGTELEN KÖZEGBEN 38?

cs

A:/ eikr d Ak S'1f ki kk J *«+&2+ x 2 (2^ * /j.ViSxií 4w

képletek segítségével végezzük el, melyek közül az elsőt az ismert

(77,4)

( 'I - **) t Z - = _ 4nó (r) (77,5>

egyenlőség Fourier-transzfoimálásával kapjuk, a másodikat pedig az első alkalmas deriválásaival. A végeredmény a következő:

D?k(o>; r) — — h * 4 c*" d x ,d x k

exp ( - ~ Í~—er j (77,6)

ahol r — | Tjl—r2|, a y - e gyökvonást olyan előjellel kell venni, hogy Re / —e 0 teljesüljön; vákuumban e = 1 és [ / - ? = —/ (1. alább).

Ebből (76,6) és (76,3) szerint azonnal adódik, hogy

(£)■■ & % = * Ch % lm {j K + | exp ( - } (77,7)

‘(Sz. M. fí/íov, 1953). Az /' és A; indexek összeejtésével [felhasználva (77,5)-öl]

(E » £<«)* = 2* cth lm J l e x p (- -^ - ^ j + 2xő (r)] } (77,8)

adódik. A (76,4) képletből kiindulva hasonló módon elvégezve a számításokat, megkapjuk a mágneses térerősség korrelációs függvényét, ami (77,7)—(77,8)-tól csak abban különbözik, hogy nincs l/e tényező a szögletes zárójel előtt; így a á-függvényt tartalmazó tag valóssá válik és (77,8)-ban a kapcsos zárójelben álló kifejezésből elhagyható. A (77,7)—(77,8) kifejezések kapcsolata e képzetes részével aláhúzza az elektromágneses fluktuációk kapcsolatát a közeg abszorpciójával. Ha azonban az lm e — 0 határesetet vizsgáljuk a (77,7)-(77,8) képletekben, véges, zérustól különböző eredményt kapunk. Ez a körülmény két határátmenet elvégzésének meghatározott sorrendjével kapcsolatos: az egyik a rendszer méretének végtelenné válása, a másik az lm e -*■ 0 határátmenet. Minthogy végtelen közegben már tetszőlegesen kicsiny lm e abszorpcióra vezet, így a határátmenetek általunk használt elvégzési módja olyan fizikailag átlátszó közeget ír le, amelyben, mint minden reális esetben, valamelyes nagyságú abszorpció jelen van.

Végezzük el a határátmenetet például (77,8)-ban. Ehhez vegyük észre, hogy kis pozitív lm e esetén (o> >■ 0)

v” ^ _ , Y R r ; ( i + , ^ )

(megkövetelve, hogy Re / - e > 0 legyen). így az lm e — 0 határesetben

(Ed) E<2>)„, = Jy (HW H<«)w = s in — a h — (77,9)

adódik, ahol n = |/e a valós törésmutató. Minthogy a ő-függvényes tag nem jelenik meg, ez a kifejezés r, és r2 egybeesésekor is véges marad:

(E2)«> - ^ (H*X, = cth ~ . (77,10)

Az átlátszó közegre való áttérést már a számolás korábbi szakaszában a Green- függvényre is elvégezhetjük. Figyelembe véve, hogy lm e (<w) előjele co előjelével egye

38 4 VIII. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

zik, azt kapjuk, hogy ebben a határesetben a (75,20) képlet átmegy a

D?k(co, k) = w2n2/c2 _ fc2+ /0 .sgnw -'J rfT ] (77,11)

kifejezésbe. Ennek a függvénynek a képzetes részét az a> = ± ckjn pólusok megkerülési módja határozza meg. Ezt a (8,11) összefüggés segítségével leválasztva és (77,2)-be helyettesítve,

adódik. A jobb oldali kifejezés ő-függvényei argumentumainak egyszerű jelentése van: azt mutatják, hogy a k hullámvektorú ingadozások c/n sebességgel terjednek, amely egybeesik az elektromágneses hullámok közegbeli terjedési sebességével. A (77,12) kifejezés inverz Fourier-transzformáltját véve, természetesen újra (77,7)-rejutunk.

A fi• = I átlátszó közegbeli fluktuációk energiasűrűsége a dco frekvenciasávban az

kifejezéssel adható meg (1. VIII. 61.§).8 Ebbe helyettesítve (77,10)-et, egyszerű átalakítással kapjuk, hogy

fiat ha> ] cu2/!2 d(mo) , , ,—---1---T I --ö—7T~-- J— do>, (77,13)2 ghui/T— 1 J ?r c3 dw

Az első tag a tér zérusponti rezgéseivel kapcsolatos. A második a termikus egyensúlyban levő elektromágneses sugárzás spektrális sűrűségét adja átlátszó közegben. Ez a fekete test sugárzásának energiája. Ez utóbbi járulékot a fluktuációk vizsgálata nélkül is megkaphatjuk a fekete test vákuumba történő sugárzására vonatkozó Planck-kép- let megfelelő általánosításával. Ez utóbbi szerint a fekete test sugárzásának energia- sűrűsége a cPk hullámvektor tartományban a

ho 2d3k (2n f

77. § . ELEKTROMÁGNESES INGADOZÁSOK VÉGTELEN KÖZEGBEN 385

8 A teljes energiát a dco szerinti 0 és oo közötti integrálással kapjuk meg. A szögletes zárójelben megjelenő 2 szorzó:ényezö azzal kapcsolatos, hogy az általunk használt definíciók szerint az ingadozások {x*) várható értékét (or^-nak d(a)2n szerinti integrálásával kapjuk a ( —° o , o o ) tartományon CL V. (122,6)].


képlettel adható meg (a 2 tényezó' a kétféle lehetséges polarizációt veszi figyelembe). A spektrális energiasűrűség megadására cPk-t 4nk2dk-vdl helyettesítjük, és felhasználjuk, hogy k = 0)jc. A vákuumról az átlátszó közegre a k = ncu/c, azaz a

helyettesítéssel térünk át, ami a fenti eredményt adja.

1. Adjuk meg az elektromágneses sugárzás fluktuációit távol egy ritka közegbe helyezett testtől, amely a környezetével termikus egyensúlyban van. A sugárzás hullámhossza és a megfigyelési pontnak a testtől mért távolsága nagy a test méreteihez képest. A test a H(o>) elektromos polarizálhatósága anizotrop.

Megoldás. A ritka, átlátszó közeget vákuumnak tekintjük. A keresett fluktuációkat azok a (nagy távolságokon) kicsiny változások okozzák, amelyeket a Grccn-függvényben a test jelenléte okoz. Ennek kiszámításához abból az analógiából indulunk ki, amely szerint a ; r, r') vákuumbeli Green-függvényt (adott k indexre) formálisan az r'-ben elhelyezkedő valamely forrás által az r pontban létrehozott Et(r, r') elektromos térerősséggel lehet azonosítani. Ez a migállapitás azon alapszik, hogy az E((r, r ') tér (és a hozzá tartozó A,(r, r') potenciálJ r ^ r' esetén ugyanazt a (75,16) egyenletet elégíti ki, mint ű ("(n>; r, r'), ha e = 1. Legyen a test az r = 0 pontban. Az

tér [ahol ű£(cu; r) a vákuumbeli Green-függvény, ha e = 1, a test nélkül, amit (77,6) ad meg) polarizálja a testet, ami az r = 0 pontban

dt = a((Dg(w; 0, r')

dipólusmomentumot hoz létre. A dipólus által létrehozott tér adja a keresett <5/>£(co; r, r') módosítást Az elektrodinamikából ismeretes (I. II. 72. §), hogy az r = 0 pontban elhelyezkedő d momentumú dipólus tere (időfüggését az e~ ,al tényező Írja le) az r pontban a következő:

ahol az r távolság nagy a test méreteihez, de nem feltétlenül nagy a hullámhosszhoz képest. A kifejezést átírhatjuk az

Feladatok

£|(0, r') = í>S(cu; 0, r') = £>£(«, r')

alakra [emlékeztetünk, hogy a £>*(<u; r) függvény páros r-ben]. A dipólusmomentum fenti kifejezését felhasználva, azt kapjuk, hogy

77. §. ELEKTROMÁGNESES INGADOZÁSOK VÉGTELEN KÖZEGBEN 387

A keresett fluktuáció korrelációs függvényeit ezután a (76,3)— (76,6) általános képleteket használva kapjuk meg, azokba &Dfk-1 Írva Dfk helyére:

'X-4íl) iZ))a, = | y + rl) <.nöS*(w; T,)). (1)

Emlékeztetünk arra, hogy a test az r = 0 pontban található, r x és r2 viszont két, attól távoli pont. Megjegyezzük, hogy a korrelációs függvénybe nemcsak a polarizáció képzetes, hanem annak valós része is ad járulékot; ez utóbbit úgy tekinthetjük, mint a teret kitöltő fekete sugárzás testen való szóródásának eredményét.

2. Ugyanaz, a tt(co) mágneses polarizálhatóságú testre.6

Megoldás. Ez esetben r, r > t úgy tekintjük, mint azt a H,(r. r') mágneses teret, amitaz r ' pontbeli forrás r-ben hoz létre (nem maga ff„ hanem a potenciálja, A, lesz eleget ugyanolyan alakú egyenletnek, mint Z>(*). Ez a tér mágnesezi a testet, ily módon az r = 0 pontban

m< = —au rőt ;„£& .(«; 0, r')

mágneses dipólusmomentumot hozva létre (az r szerinti deriválást annak felhasználásával, hogy csak az r —r ' különbségtől függ, r' szerinti differenciálással helyettesítettük), A Green-függvény keresett megváltozása az ezen mágneses momentum által az r pontban létrehozott mágneses tér vektor- potenciáljával egyezik meg:

/«, = rot«[i-«,«*■*]

(I. U. 72. §, 1. feladat). Tehát

(giairfc \

rot,i — — 1 a,wroC„ D£(oi; 0, r').

Végül Z>£ kifejezését (77,6)-ból behelyettesitve, azt kapjuk, hogy

( giutrtc \ giíorfcrot„ —— I tt,m rotái ~ , (2)

ahol felhasználtuk, hogy rot^,, V„ - emkm V„ = 0.

3. Határozzuk meg az elektromágneses tcr fluktuációinak nagyságát az 1. feladat feltételei mellett, azzal a módosítással, hogy a közeg hőmérséklete sokkal kisebb a testénél.

Megoldás. Az 1. feladat eredménye az (1) kifejezés kapcsos zárójelének két tagja szerint természetes módon osztható szét zérusponti és hőmérsékleti fekete sugárzásra. Ez utóbbi újra csak két részből áll: magának a testnek a sugárzása és a fekete sugárzásnak a testen való szóródásából származó sugárzás. Ha a közeg hőmérséklete alacsony, a második tag lényegében nincs jelen. A feladat megoldását tehát ez utóbbi mennyiség önálló kiszámítása és az (1) kifejezésből való levonása jelenti. Vegyük fel a vektorpotenciáit A(r) = A<o)-fAW alakban, ahol A(0) a test nélküli fluktuációk tere,

9 A mágneses polarizálhatóság jelenléte nem feltétlenül jelenti azt, hogy a test mágneses anyagból épül fel. Például szó lehet a mágneses tér testből való kiszorulásáról is a skin-hatás eredményeként.

25*

Aw pedig a test által szórt sugárzásé. Nagy távolságokon A ^ kicsiny, így ö(Aa Aht)a kiszámítása során az Aw -ben négyzetes tagok elhanyagolhatók. így a szórás járulékára

* '\A a An )„ * {AtfAÍ<?)„+AWAtf)01 = (AtfAít^HAtiAW )*

írható. A szórt teret újfent a II. 72. § eredménye adja, de most dipóiusmomentumként egyszerűen a fekete sugárzás által indukált momentumot kell választani: d( = <xlkA ^\0 ). Újra bevezetve a test nélküli vákuum Green-függvényét:

^ ‘>(r,) = ~ W ri>azt kapjuk, hogy

WÍP4B% - D?^K rv)aia{A™ (Oj "(r,))*.

Az (A^i A ^ )m korrelációs függvényt (76,2)-ből vesszük. Ennek során, minthogy bennünket csak a hőmérsékleti sugárzás érdekel, e képletből elhagyjuk a zérusponti rezgéseket, vagyis az

1 iá i I 1 1~2 2T gí'u/rl-'i ~~ 1

helyettesítést végezzük eh Végeredményben a szórt fekete sugárzásnak a korrelációs függvénybe adott járulékára

ów(An A„)a, =■• T i ) l m r t ) + Df,*(a>; r .)«,*. lm r t)] (3)

adódik. Végül a hideg közegbeli fluktuációs tér megtalálásához (3)-at levonjuk (O-ből. Egyszerű átalakítások után, a Dtt és a„ tenzorok szimmetriáját felhasználva, azt kapjuk, hogy

ö<TXA,i Atl)01 -- — ^ r,)[Im a,J<u)] D*t(t»; r.) (4)

(ahol T a test hőmérséklete). Itt csak a hőmérsékleti részt irtuk ki, a zérusponti rezgések járuléka (l)-hez változatlan. Figyeljük meg, hogy a (4) kifejezés, amely a test hőmérsékleti sugárzását határozza meg, csak a polarizálhatóság képzetes részétől függ. A (4) kifejezéssel kiszámított energiaáram már nem nulla, hanem a melegített testnek a környező hideg közegbe átadott sugárzási intenzitását adja meg.


78. §. Áramfluktuációk lineáris áramkörökben

A fluktuáció—disszipáció telel egy másik érdekes alkalmazása a lineáris áramkörök áramfluktuációinak vizsgálata (H . Nyquist, 1928).

Az áram fluktuációi a vezetőben szabad (külső elektromos feszültség alkalmazása nélkül fellépő) elektromos rezgéseket jelenlenek. Zárt lineáris vezetőben természetesen azok az ingadozások a legérdekesebbek, amelyek során a vezetőben nemzérus J teljes áram folyik. Az alábbiakban feltételezzük a kvázistacionaritás feltételének

78. §. ÁRAMFLUKTUÁCIÓK LINEÁRIS ÁRAMKÖRÖKBEN 389

teljesülését, vagyis hogy az áramkör méretei kicsik a A cj(o hullámhosszhoz képest. Ekkor a folyó J áram adott pillanatban a kör minden pontján azonos, csak az idő függvényében változik.

Válasszuk a J áramot a fluktuáció—disszipáció tétel V. 124. §-beli általános megfogalmazásában szereplő x(t) mennyiségnek. Ahhoz, hogy tisztázzuk a megfelelő « szuszceptibilitás természetét, tegyük fel, hogy a körre & külső elektromotoros erő hat. Ekkor a körbeli energiadisszipáció teljesítménye Q — Jő. Ezt a Q = —x f összefüggéssel összehasonlítva, amely [V. (123,J0)-ben] az / „ e r ő ” definíciója, látjuk, hogy / = —<5, illetve a Fourier-komponenseket véve: ő m = m fm. Másrészt az áram és a feszültség közti összefüggés a lineáris körökben ő m = Z(co) Ja, ahol Z(o>) a komplex impedancia. Ezért

= ő J Z = ioifJZ,

amit az (Jc) = v.(co) f a összefüggéssel összehasonlítva, amely az általánosított szusz- ceptibilitást definiálja, azt kapjuk, hogy «(co) = ico/Z(a>). Ennek imaginárius része:

ICO ÍO I m a = l m — - =

ahol R = Re Z.A fluktuáció—disszipáció tétel szerint

( x \ = fi cth *(<o)

amiből az áramingadozások spektrális függvényére

« - = i w % ) c t h í <7M)

adódik. Ezt a képletet más alakban is írhatjuk, ha az áramingadozásokat az ő a —— Z Jm véletlenszeiű elektromos feszültség hatásának gondoljuk:

W = fia>*(©) cth ^ . (78,2)

A klasszikus esetben (&u«k T) a következő eredményt kapjuk:

(ő % = 2TR(üj). (78,3)

Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy e képletek teljesen függetlenek az o ly a n jelenségek természetétől, amelyek a rendszer ellenállásának diszperzióját okozzák.

390 VIH. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

79. §. A foton hőmérsékleti Green-függvénye közegben

A foton közegbeli hőmérsékleti Green-függvényét az elektromágneses lér potenciáljainak Matsubara-operátoraiból ugyanúgy építjük fel, ahogy a (75,2) időfüggő Green-függvényt a Heisenberg-operátorokból megalkottuk:

® ik = - C U F fa , i t f i í t t t* r2)>. [(79,1)

Itt figyelembe vettük, hogy a Schrödinger-operátorok hermitikussága miatt az és AM [(37,I)-ben definiált] Matsubara-operátorok egybeesnek. Ezek az operáto

rok azonban (a heisenbergiektől eltérően) nem hermitikusak; a r paraméter valóssága miatt

[ÁM(r, r)]+ = [eT&,/*Á(r)e_T*r'/A]+ = Á(r>?TÍ,'/B,vagy

[ÁAÍ(r,r)]+ = r).

Minthogy a (79,1) függvény csak a r = r 1—r2 különbségtől függ (I. 37. §), ezért (r > 0 esetén) írhatjuk, hogy

O ik(-t; r lt r2) = - r,) 0, r2)>,

ÍZ>»(-T*A, rz) = -{& ?{*, r* ) ^ (0 , rt)).;

Az összehasonlításból világos, hogy

1; rí, r2) = r2, rj). (79,2)

A <Z)(i függvény a r változó szerinti Fourier-sorba fejthető:

'Z>i*(t;ri,r2) = r g fDik(Ci', rí, r2) (79,3)S — — oo

ahol a Cj „frekvenciák” (a fotonok által kielégített Bose-staíiszíikának megfelelően) a hC, = 2jtiT értékeket vehetik fel [vö. (37,8)]. A Főútiéi-együtt hatókra (79,2)-ből hasonló összefüggés következik:

(Dik^s; fi, r 2) = O k A - C,; r 2, rí). (79,4)

Az általános (37,12) képlet szerint ezeket az együtthatókat a retardált Green-függ-vénnyel a következő összefüggés köti össze:

79. §. A FOTON HŐMÉRSÉKLETI GREEN-FÜGGVÉNYE KÖZEGBEN 391

pozitív íj-re. A 75. §-ban megmutattuk, hogy a D*(cu; r l5 függvény az ott elemzett értelmezés szerint a rendszer külső hatásra adott válaszainak elméletében fellépő általánosított sziiszceptibilitásként értelmezhető. Ebből következett a függvényeknek (amennyiben a közeg nem magnetoaklív) a (75,12) képlettel kifejezett szimmetriája, amely D?k és n),k kapcsolata miatt ez utóbbiakra is érvényes;

Ezt az egyenlőséget (79,4)-gyel együtt vizsgálva, következik, hogy a 0 lk(^s\ függvény páros a diszkrét C, változóban, azaz minden (pozitív és negatív) értékére

Továbbá a D* (&>;rlt r2) függvény, mint minden általánosított szuszceptibilitás, valós a képzetes pozitív féltengelyen (1. V. 123. §), ezért (79,6>ból következik, hogy

rl5 r2) a fs minden értékére valós. Végül e tulajdonságokból következik, hogy a kiindulási ^ ( r ; rx, r2) függvény valós és páros r-ban:

A hőmérsékleti Green-függvény és a retardált Green-függvény (79,6) kapcsolata lehetővé teszi a H)ik függvény által inhomogén közegben kielégített differenciálegyenlet azonnali felírását. Ehhez elegendő, ha a (75,15) vagy a (75,16) képletekben elvégezzük az u> — í'ICjI helyettesítést. így izotrop, nem mágnesezett közegben (ft = 1) a következő egyenletre jutunk:

Homogén végtelen közegben a |,25íA;(Íi ; r, r') függvény az r —r' különbség szerinti Fourier-transzfoimáltakból épül fel. E kifejtés komponensei algebrai egyenletrendszert elégítenek k i:

'Z>/*(£,; 1*1> r2) = Dfk(£*; r* fj)

Oik(L\ rí, r2) = <Vki(L\ r2, rj). (79,5)

>tk(Cs; fi, r2) = D ia ICJ; ra, r2). (79,6)

rí, r 2) = <2>*(-r; n , r 2). (79,7)

amelynek megoldása10

v ik{U k) = - M C s |)/C2+fc2 [ő‘k + cfiöTCT) ] • (79,10)

Minthogy a Dlk(ís> k) függvényt (a hosszúhuliámú tartományban ka <k 1) e(cö)-val fejezzük ki, így a kiszámítására használt diagramtechnika a közeg dielektromos állandójának kiszámítására is alkalmazható. Ez utóbbinak határozott jelentése van a diagramok nyelvén is, amit most megvilágítunk.

A pontos O függvényt vastag, a vákuumbeli O (0) függvényt pedig vékony szaggatott vonallal jelöljük a következő hozzárendelés szerint :M

----------------------------------------(79,11)

A *2? függvényt megadó diagramok teljes halmazát egy [a G-függvényie vonatkozó(14,3) sorral teljesen analóg] sor adja meg:

— ~ — + — Q y - + — O ’ O " " + " (79,12>

ahol a kör azon blokkok összességét jelenti, amelyek egyetlen szaggatott vonal elvágásával nem esnek szét két részre; ezt a halmazt —<pikjAn jelöli. A <pik függvényt (amely analóg a részecskék Green-függvényének sajátenergiás részével) polarizációs operátornak hívják.

A (79,12) diagramegyenlőség a következő egyenlettel ekvivalens:

--------— ------ ------ i-----------O ------- (79,13)

[vö. a (14,3)-ról (14,4)-re történő átmenettel). Analitikusan

0 ik = (79,14)

392 V in . FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

10 Realisztikus alkalmazásokban (1. 80. §) a 7)a függvény mindig íj-tel szorozva fordul elő, így = 0-nál mulatott szingularitása valójában nem érvényesül.11A ©-függvények jelölésére használt szaggatott vonal nem vezethet félreértésre, mivel ebben és a

következő szakaszban nem szerepel explicit módon a közeg részecskéinek párkölcsönhatási energiája tanait e korábban ezt a jelölést használtuk).

alakban írható (ahol az összes tényező' ugyanazon í , és k változók függvénye). Szorozzuk meg ezt az egyenlőséget a ® -1 inverz tenzorral jobbról és O ^ -^ g y e l balról;plflfnr a

'A*1 = 'Z>8!-1-'ZW 4rc (79,15)

alakban írható. Végül O ^ -e t (79,9) alapján kifejezve és fi = 1 esetén 'Z>$’)“1-et ugyanígy meghatározva, kapjuk a

<PaSU *) = [* ' 1^1)- U «/* (79,16)

összefüggést, amellyel megadtuk az e(íu)— 1 mennyiség diagramatikus jelentését az <o komplex felső félsík képzetes tengelyének diszkrét pontjaiban. Az e ( / |C,|) mennyiség analitikus kiterjesztése az egész Im z > 0 felső félsíkra elvben elvégezhető, figyelembe véve, hogy s(w)-nak itt nem lehet szingularitása, és e(<o) — 1, ha | « | — «> ,12

Inhomogén közegben a polarizációs tenzor (csakúgy, mint (Dlk) két pont koordinátáinak függvénye. Az egész levezetést koordinátatérben megismételve, (79,14) helyett a

<ö/*(ri, r2) = (Z>^(ri,r2) + - ^ | r3) <£>/m(r3, r.,) <Dmk(ru r2) d*xz d ixi

egyenletre jutunk (a Cs változót a rövidség kedvéért nem írtuk ki). Erre az egyenletre balról a

52 t 2á - V -----Ön.Ay + ő * ,axi„ dxi i c-

operátorral hatva, és figyelembe véve, hogy Z><01 eleget tesz a (79,8) egyenletnek e = l helyettesítéssel, azt kapjuk, hogy

J* PniTi, r') <V,k(x\ r2) d3x ‘ = fe (r i) -1] ~ r2),

amiből

V u íU r h r 2) - dik ő(r i- r 2) [e(t | C. I, f r ) - 1]. (79,17)

79. §. A FOTON HŐMÉRSÉKLETI GREEN-FÜGGVÉNYE KÖZEGBEN 393

12 Anizotrop közegben

<P*(C„ k) = (C.W) [eu(i I c. I) - a*]

érvényes. Megjegyezzük, hogy ebben az alakjában a kifejezés igaz térbeli d is z p e rz ió jelenlétében is, mikor ea nemcsak a frekvenciától, de a hullámvektortól is függ.

A kondenzált közeg szerkezetét és vele annak dielektromos tulajdonságait az atomi méretek nagyságrendjébe eső távolságú részecskék közötti erők határozzák meg. Ilyen távolságokra (a részecskék nemrelativisztikus mozgását feltételezve) elfelejtkezhetünk a kölcsönhatások retardáltságáról, amely csak a tér hosszúhullámú (ka <k 1) komponenseire válik lényegessé. Más szóval, a polarizációs operátor kiszámításakor a tér hosszúhullámú részét elhagyhatjuk. Magának a <Dik Green-függvénynek diagramatikus kifejezésében a hosszúhullámú tér csak (79,12) jobb oldalának vékony szaggatott vonalaiban jelenik meg.

Az ebben a szakaszban tekintett háromdimenziós <P% tenzor a polarizációs négyestenzornak térszerű része. Hangsúlyozzuk, a félreértések elkerülése végett, hogy az időszerű 'Poo és a vegyes komponensek egyáltalán nem zérusok. Ezen túl, csakúgy, mint a kvantumelektrodinamikában, e négyestenzor nem függ a potenciálokra választott mértéktől. A nemrelaűviszükus elméletben ez a mértckinvariancia már abból is eleve világos, hogy a polarizációs operátort tisztán a nemretardált erőkből is kiszámíthatjuk, függetlenül a hosszúhullámú tér mértékétől.15

A 0oo és komponenseket a négyestenzor transzverzalitásának = 0 feltételéből kaphatjuk meg, ahol k*1 — (ií4, k ) a négyes hullámvektor:

ka0oo = - ^ [ e ( í | C s | ) - l ] ,

^ = (79,18)

80. §. A van dér Waals-erők feszültségi tenzora

Bár a kondenzált anyagok szerkezetét alapjában (mint ezt már az előző szakasz végén megjegyeztük) az atomi távolságra levő részecskék kölcsönhatásai határozzák meg, de a termodinamikai mennyiségekbe (pl. a szabad energiába) meghatározott járulékot adnak az úgynevezett van dér Waals-erők, amelyek a tipikus a atomi távolsághoz képest nagy távolságra hatnak. Emlékeztetünk, hogy szabad atomokra ez a kölcsönhatás a távolsággal r~® szerint csökken (I. III. 89.§), avagy, ha a retardálási hatásokat is figyelembe vesszük, akkor ez a csökkenés r~ 7-nel arányos (1. IV. 83. §). Kondenzált közegben a van dér Waals-erők természetesen nem vezethetők vissza két,

U L, IV. 100. §.

80. §. A VAN DÉR WAALS-ERŐK FESZÜLTSÉGITENZORA 395

különálló részecske kölcsönhatására. Ugyanakkor az a tény, hogy a van dér Waals- erők hatósugara nagy az atomok közötti távolságokhoz képest, lehetővé teszi, hogy makroszkopikus szempontból közeledjünk a lest termodinamikai tulajdonságaira gyakorolt hatásuk vizsgálatához.

A makroszkopikus elméletben úgy tekintjük, hogy az anyagi közegbeli van dér Waals-kölcsönhalást hosszúhullámú elektromágneses tér valósítja meg (E. M. Lifsic, 1954). Ez a fogalom nemcsak a hőmérsékleti fluktuációkat, hanem a zérusponti rezgéseket is magába foglalja. E kölcsönhatásnak a szabad energiába adott járuléka abból a szempontból sajátos, hogy nemadditív: nem egyszerűen arányos a test térfogatával, hanem annak alakját, részeinek kölcsönös helyzetét jellemző paraméterektől is függ. Éppen ez a nemadditiv jelleg, amely a hosszú hatótávolsággal kapcsolatos, az a tulajdonság, amelynek révén a van dér Waals-erő járuléka elkülönül a nála jóval nagyobb additív résztől. A makroszkopikus elméletben e tulajdonság eredete arra vezethető vissza, hogy a közeg elektromos tulajdonságainak egy bizonyos tartományban bekövetkező bármely változása a Maxwell-egyenletek révén azon kívül is változásokat hoz létre a fluktuáló térben. A nemadditivitás hatásai csak elegendően kicsiny karakterisztikus méretű objektumokra észlelhetők (melyek persze jóval nagyobbak az atomi méreteknél), mint pl. vékony hártyák, vékony réssel elválasztott testek stb.

Az elektromágneses ingadozások szabad energiába adott járulékának kiszámításában mindig a közeg inhomogenitásainak jellemző méretével azonos nagyságrendű hullámhosszak a fontosak (a hártya vastagsága, a rés szélessége stb). Éppen ez a tulajdonság okozza a makroszkopikus elméletben a van dér Waals-erők hatványviselkedését; ha valamely határozott ^ hullámhosszú fluktuációk volnának a lényegesek, akkor ez az erő exponenciális csökkenéséhez vezetne % r / ^ kitevővel. Minthogy továbbá a karakterisztikus hosszak és velük a jellemző hullámhosszak is jóval nagyobbak az atomi méreteknél, így a fluktuációk minden tulajdonsága és a szabad energiába adott járuléka is kifejezhető a komplex dielektromos állandóval.

Célunk az inhomogén közegben ható makroszkopikus erők kiszámítása lesz.14 A levezetés előkészítéseként meghatározzuk a közeg szabad energiájának megváltozását dielektromos állandójának kis változásakor (az anyag mágneses tulajdonságait elhanyagoljuk, azaz (i = 1). Úgy tekintjük, hogy e megváltozását a rendszer Hamil- ton-operátorának kis dft-viü való megváltozása okozta. Ekkor a szabad energia megváltozására fennáll, hogy

ŐF = (bfí), (80,1)

ahol az átlagolást a perturbálatlan f t operátorral képzett Gibbs-sokaságra végeztük (a rendszer adott hőmérséklete és térfogata mellett). Ez utóbbit a

f t = f t n+ fh , = - JjA íF x (80,2)

14 Az alábbi elmélet I. E. Dzjalosinszkij és L. P. Pitajevszkij munkája (1959)

felbontásban állítjuk elő,15 ahol Pk a részecskéknek a hosszúhulláim elektromágneses térrel való kölcsönhatását írja le, viszont -ban foglaltuk össze a többi kölcsönhatást, a szabad i észecskéknek és a fotonoknak megfelelő tagokkal együtt [szigorúan szólva a (80,2) integrálban levágást kell bevezetni valamely k0 <k l/a hullámvektornál, azonban ez a paraméter az eredményekben nem jelenik meg]. Az Á operátor a hosszúhullámú tér vektorpotenciáljának operátora, amellyel kapcsolatban lényeges, hogy a &É operátor nem tartalmazza Á-t, minthogy a dielektromos állandót az atomi távolságokon fellépő kölcsönhatások meghatározzák.

Térjünk át (80,l)-ben a Matsubara-operátorokra egy olyan reprezentációban, amelyet „hosszúhullámú kölcsönhatási reprezentációnak” hívhatunk: az operátorok T-tól való függését e reprezentációban a Hamilton-operátor í^-n kívüli tagjai határozzák meg. A (38,7) levezetésekor használt módszerrel azt kapjuk, hogy

1 1,T , öF = y ír - <rT o, a = Tt exp f f jKÍA M d3xdr, (80,3)

W o J0 J

ahol -c . . . > 0 a JÍ0 Hamilton-operátorhoz tartozó Gibbs-sokasággal képzett átlagolást jelenti. A választott reprezentáció értelmezése szerint a Matsubara-operátorokat

Ám(t, r ) = exp(rj?o)Á(r)exp(—rHo) (80,4)

összefüggés definiálja. Hasonló definíciót használunk 6É M és azon ^-operátorok számára, amelyek a részecskék j M áramának operátorában megjelennek.18 Minthogy i ? o - b a n a hosszúhullámú fotonok nem szerepelnek, így ÁM a (Matsubara-értelemben) szabad fotontér operátorával egyezik meg. Ez persze a ^-operátorokra már nem igaz, mivel a részecskék közötti kölcsönhatás már szerepel / / 0-ban.

A diagramtechnika általános elvei szerint a (80,3) kifejezés exponensét Vh hatványai szerint fej'jük ki.17 Ennek során a szabad Á M tér szorzatait a kifejtés minden tagjában a Wick-tétel szerinti párosításokkal számítjuk ki. A kifejtés ÁM-et nem tartalmazó nulladrendű tagja a szabad energiának a hosszúhullámú fluktuációk figyelembevétele nélküli ÖF0 változását adja meg. Az ÁM-ben lineáiis következő tag az átlagolás során zérust ad. A térváltozóban kvadratikus tag az (A^Áj?) párosítás

1S Ebben a szakaszban fi — 1 ,c = I egységeket használunk.18 A 0 indexeket, amellyel e reprezentációban az összes operátort el kellene látni, a jelölések túl-

bonyolitasának elkerülése végett elhagyjuk.17 Elegendő ÖF kifejezésében a számláló kifejtését vizsgálni. A nevezőbeli ($)0 tényező szerepe,

mim általában, most is a nem összefüggő diagramok járulékának eltávolítása.

révén 1, a szabad fotonok Green-függvényével arányos. Ezt a tagot a

80. §. A VAN DÉR WAALS-ERŐK FESZÜLTSÉGI TENZORA 397

ó ^ l > C W ' \ (80,5)V ' V '

diagrammal írhatjuk le (az exponens sorbafejtésekor megjelenő 1/2 tényezőt kiemeltük). A szaggatott vonal a ® (0> függvényt jelöli, a bevonalkázott kör pedig az egyéb tényezők átlagolásából származik. Ez utóbbi mennyiség explicit alakját nem írjuk ki; csak az a fontos, hogy az nem más, mint ¥J)ikjAir, ahol &J)ik a rendszer Hamilton-ope- rátorának öjR megváltozása során létrejövő módosulás a polarizációs operátorban.

Erről könnyen meggyőződhetünk, ha ugyanezzel a módszerrel vizsgáljuk a <Q függvény megváltozását. Az operátorok azonos reprezentációjában e függvényt a

rDik(?i, n r2) = - 7-\-- rj) J f ( r 2, r 2)á)oW o

kifejezés adja, ahol mostVT

á = T x exp J (— ^ ~ Ö J t íM)drf o

a kölcsönhatásba nemcsak J^-t, hanem öH-t is bevettük. A keresett órf)ik megváltozást e kifejezésnek d£tM hatványai szerinti kifejtéséből a lineáris tag adja:

Ö-Í)ik = {T, | öH dx - i f (rl5 rt) i f (r2, r2) exp j JMÁM dzxdx)0. (80,6)

A fennmaradó exponenciális tényezőt Vh hatványai szerint kifejtve, a nulladrendű tagot el kel! hagyni: annak ugyanis nem összefüggő diagram felel meg (az párosítás elkülönül a többi, rx-et és r2-t nem tartalmazó tényezőtől). A z elsőrendű tag páratlan számú ,4-operátort tartalmaz, ami nullát ad az átlagolás során. Végül a másodrendű tag ad jái ulékot á^Z^-ba, amelyet a

(80,7)

diagram ábrázol ugyanolyan jelentésű körrel, mint (80,5)-ben (az 1/2 tényező ez esetben a „belső" /4-operátoiok két lehetséges párosítási módjának megfelelően marad el). Másrészt a polarizációs operátor definíciója szerint a vizsgált közelítésben a Green-fücgvcnvt a

összeg adja meg, ahol a vékony kör a <P,kH n polarizációs operátort jelöli. E függvény variációja következésképpen a (80,7) diagrammal írható fel, amelyben a bevonalkázott kör analitikus jelentése öípyJAn.

A (80,3) kifejezés kifejtésének további tagjai a (80,5) diagramon ábrázolt szaggatott vonalhoz és körhöz adnak különböző rendű korrekciókat. E korrekciókkal a szaggatott vonal a pontos függvénybe megy át. A hoz adott hosszúhullámú korrekciók kicsik, így fr£>ifc-t rögtön a pontos polarizációs operátor variációjaként értelmezhetjük.

Ez az eredmény (a t vákozó szerinti Fourier-kifejtésre való áttérés után) analitikusan a következőképpen írható:18

ÖF = 6 F o - j s Í T J r í , r 2) ^ r 2, r , )cPxj d'x->. (80,8)

(79,17)-tel összhangban (izotrop közegre) a polarizációs operátor megváltozását a dielektromos állandó megváltozásával lehet kifejezni:

öfPki(tí’> r2) = Cs őki Ö ití- r2) Öe(i | £, I, r j),

amelyben a ó-függvény lehetővé teszi a (80,8)-beli integrálások egyikének elvégzését. Figyelembe véve a <T))k függvény f^-beli párosságát is, (80,8) a

ÓF = ÖF, - ~ £ ' J ; r, r) Őe(i |C , |,r )d 'x (80,9)

alakban is felírható, ahol az összegezést csak s pozitív értékeire vesszük; a vessző a szumma jelen arra hívja fel a figyelmet, hogy a nulla indexű tagot 1 /2 szorzóval kell venni (ez a tag véges, mivel a C2S tényező megszünteti ^ ;/-nek a £s — 0-ra fellépő szingularitását).

A további képletek felírásához célszerű <T)ik mellett két másik függvényt is bevezetni:

r> r') = - g 'D ik iL ; t, r'),^ ( C ; r, r ') = roti,To\'km<7),m(Zs', r, r'), (80,10)


18 A (80,5) típusú (szabad végek nélküli) diagramok előjelének meghatározására nem adunk általános szabályt. Ez esetben az előjelet könnyű kitalálni, ha kiírjuk a (80,3) és (80,6) kifejtéseinek megfelelő tagjait. Elegendő egyébként annak észrevétele, hogy ez a tag (80,3)-ban az .4-operátorok egyetlen párosítását tartalmazza, (80,6)-ban pedig kettőt. Minthogy egy párosítás - 7>,k-t ad, így a (80,5) és (80,7) diagramok előjele elentétes, aminek eredménye a (80,8)-beli negatív előjel.

80. §. A VAN DÉR WAALS-ERŐK FESZÜLTSÉGI TENZORA 399

amelyeket a (76,3)—(76,4) kifejezések analógiájára írtunk fel. Ekkor öF végleges alakjaa következő:

A (80,11) képletet most az inhomogén közegben ható erők kiszámítására használjuk fel. A közeg izotropiáját már korábban feltettük, most még hozzátesszük azt is, hogy (adott hőmérsékleten) valamely pontban az állapot megváltozása egyértelműen a g sűrűség megváltozásával kapcsolatos, azaz a közeg folyadékként viselkedik.

Képzeljük el, hogy a közeget izotermikusan kissé deformáljuk, az u (r) elmozdulás- vektorral jellemezhetően. A szabad energia megfelelő megváltozását

adja, ahol f a közegre ható térfogati erősűrűség. Másrészt ugyanezt a megváltozást (80,1 l)-ből is megkaphatjuk, ha a öFn és de variációkat az u elmozdulás rektorral fejezzük ki. Legyen P0(q, T ) a nyomás adott p-ra és T-re, a van dér Waals-korrekciók figyelembevétele nélkül; az ehhez tartozó térfogati erősűrűség f0 = —v P 0, azaz

Továbbá, a sűrűség megváltozása és az elmozdulásvektor között a Öq = — div(gu) folytonossági egyenlet is kapcsolatot teremt. Ezért a dielektromos állandó megváltozására

írható. Ezt (80,ll)-be téve és a teljes térfogatra parciálisán integrálva, majd az így adódó kifejezést (80,I2)-vel összehasonlítva, azt találjuk, hogy

á F = - J f u í / 3A- (80,12)

öFn = J uv Pq ci3x.

Se = - ^ í e = - 9 7 div<?u)

(80,13)

Ez a képlet módot ad a test kémiai potenciálja korrekcióinak kiszámítására. Ehhez felírjuk a mechanikai egyensúly egyenletét: f = 0. Figyelembe vesszük, hogy állandó hőmérsékleten

ahol /%((?, T) a perturbálatlan kémiai potenciál (m a részecske tömege). Ekkor ezt a feltételt eV fi — 0 alakban írjuk, ahol

mT 00 F)pA* = M e, T ) + ^ X ; r , r ) | J . (80,14)

Másrészt bármely inhomogén testre a mechanikai egyensúly feltétele a kémiai potenciál állandósága a testben, így világos, hogy éppen a (80,14) kifejezés határozza meg/ i r t .

A közegben ható erők legteljesebb leírását a közegben haló aik feszültség! tenzor kiszámítása jelenti, amelyet az f vektor komponenseivel az

4 0 0 V in . FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

<8o’i5>összefüggés kapcsol össze.

(80,13) átalakításához ezt először az

f ‘ = - i £ + í z i {(,(r)- e r)} - í 2 '« « m - , 0

alakra írjuk át (a rövidség kedvéért a Cs változókat a közbenső képletekben nem írjuk ki). Az első két tag már a kívánt alakban jelenik meg. A harmadikat

alakban írjuk fel, amelyben szétválasztottuk a ^ ( r , r) függvény első és második argumentuma szerinti deriválást; az r és r ' változókat a számítás végén azonosítjuk. A számításokat a következő egyenleteket használva folytatjuk [1. (79,8)]:

Ái/Dik(r, r') = - 4nbik <5(r-r'),

A'u <Z)*/(r, r') = - 4nötk <5(r-r'),ahol

02A a = C?e(r) 0,,+rol,,,, rőt,,,/ = £?e(r) ön + -5—■=------ ön A.OXiOXi

A következő egyenlőségre jutunk (r = r' után):

80. §. A VAN D ÉR WAALS-ERŐK FESZÜLTSEGI TENZORA 401

amivel a feszültségi tenzorra a következő végső kifejezést kapjuk:

A kapott képleteknek nincs közvetlen fizikai értelmük. A helyzet az, hogy a (Dlk(r,r') függvény r ' -*• r esetén divergens, l /jr - r 'l-k é n t viselkedik [amiről a(79,8) egyenlet segítségével lehet meggyőződni]. Ez a divergencia a nagy hullámvektorok tartományából származik (k « 1 /jr - r'|), és a (79,8) egyenlet a k £ a tartománybeli alkalmazhatatlanságával kapcsolatos. Ezt a nehézséget elkerülhetjük anélkül, hogy explicit módon levágást kellene bevezetni nagy fc-ra. Ehhez vegyük észre, hogy a rövidhullámú fluktuációk nem hatnak a bennünket érdeklő effektusokra, amelyek a közeg inhomogenitásából származnak. Ezért járulékuk a termodinamikai mennyiségekhez - a test minden egyes pontjában — ugyanaz homogén és inhomogén közegre, ha e(r) értéke az adott pontban egyezik. így megfelelő levonásokat elvégezve, a képleteknek a levágás módjától függetlenül egyértelmű jelentést adhatunk, a (2?(*(£í ; t , r) Green-függvényen tehát a következő határértéket kell érteni:

ahol ~Ölk a segédfogalomként használt végtelen homogén közeg Green-függvénye (a két közeg az adott r pontban azonos dielektromos állandójú); a határátmenet eredménye már véges. A képletek írásmódjának elbonyolítását úgy kerüljük el, hogy azokat továbbra is az eredeti alakban hagyjuk, de ,7)ik‘n a (80,17) különbséget értjük. Po(e, T) a végtelen homogén közeg nyomása adott g-ra és T-re.

A (80,16) képletben és a <T)ik Green-függvényt meghatározó (79,8) egyenletben a közeg tulajdonságai csak «(/£)-n, a képzetes frekvenciához tartozó dielektromos állandón keresztül jelennek meg. Ezzel kapcsolatban arra emlékeztetünk, hogy e függvény egyszerű összefüggésben van a valós frekvenciától függő dielektromos állandó képzetes részével:

(I. VIII. 62. §). Ezért azt mondhatjuk, hogy a van dér Waals-erőket anyagi közegben végső soron egyedül a dielektromos állandó képzetes része határozza meg.

lim { V lk(is\ r, (C*; r, r')}, (80,17)

o

(80,18)


A (80,16) képlet alakilag pontosan megegyezik a makroszkopikus elektrodinamikában jól ismert Maxwell-féle feszültségi tenzor kifejezésével, állandó elektromágneses térben, ahol az E és H térerősségek komponenseinek négyzetes kifejezéseit —/T>fk és— megfelelő függvényeivel helyettesítjük. Ezen analógiának azonban nem kell túlságosan mély értelmet tulajdonítani: egyáltalán nem utal arra, hogy a változó elektromágneses térre az elnyelő közegben valamiféle általános feszültségi tenzor lenne levezethető, amelyben a közeg jellemzésére kizárólag dielektromos állandóját kellene használni. Az adott esetben nem tetszőleges elektromágneses térről van szó, hanem a közeggel termodinamikai egyensúlyban levő saját fluktuációs térről.

Alkalmazzuk az előző szakaszban kapott általános képleteket az olyan szilárd testek között ható erők kiszámítására, amelyeknek felületeit igen kis távolságra közelítjük egymáshoz. A közelítés egyetlen feltétele, hogy ez a távolság a testekbeli atomi távolságokhoz képest nagy legyen. Éppen ez a feltétel teremti meg annak lehetőségét, hogy a kérdést makroszkopikus szemszögből közelítsük meg, amelyben a testeket folytonos közegként kezelhetjük, kölcsönhatásukat viszont fluktuáló elektromágneses tér közvetítésével írhatjuk le. Ennek során azok a fluktuációk lényegesek, amelyek hullámhossza a feladat karakterisztikus méreteinek nagyságrendjébe esik; ez esetben konkrétan a testek közötti rés méretéről van szó.19

Az 1 és 2 indexszel jelöljük a két szilárd testre vonatkozó adatokat, a 3 index a köztük levő résben definiált mennyiségekre vonatkozik (17. ábra). A rés falait pár-

81. §. Molekuláris kölcsönhatási erők szilárd testek között.

Általános

17. ábra

*’A 81. ü és 82. § eredményeit E. M . L ifsic érte el (1954).

huzamos síkoknak tekintjük; az x tengelyt a síkokra merőlegesnek választjuk (x ~ 0 és x — l felel meg az 1 és 2 testek felületének, / a rés szélessége). Az F erőt ami, mondjuk, a 2 test egységnyi felületére hat, abból az impulzusáramból határozzuk meg, amely e felületen keresztül folyik a testbe. Az elektromágneses feszültség! tenzor axx komponense adja meg ezt az áramot a résen belül, az x — l helyen kiszámítva a kifejezés értékét. A vákuumban e = 1, így (80,16>ból axx kifejezése a következőképpen egyszerűsödik :20

f = a ji l) = I, / ) + « „ ; / , Q -tB U Z n il , /)+71 17 “ o

/, / ) + ^ ( C „ ; /, /, /)} (81,1)

(az ősszegezési indexet e szakaszban «-nel jelöljük).A feladat homogenitása következtében az y és z irányokban a fDlk(£m\ r, r ') függ

vények csak az y —y ' és z —z különbségektől függenek [amelyeket (80,l)-ben nem írtunk ki]. q; x, x ') az e változók szerinti Fouiier-transzformáltakat jelöli.Ekkor

r, r) = J <Dik(L , q; x , x) . (81,2)

A <'2?<k(ín, q; x, x ') függvényre a (79,8) egyenletek a következő alakúak (ha az y tengelyt q irányában vesszük fel):

(>v2 - <V„(x, x ) - - 4 n b ( x - x r),

(w2~ ^Dty(x, x ') -f iq ~ O xy{x, x ') = - 4nS(x~ x'),

vM )Xy(x, x ')+ iq ~ <Dyy{x, * ') = 0,

w2<7)xx(x, x ')+ iq ‘jx ® yx(x, x ) = - 4nb(x x'),

ahol h> = (e£*+q2)1/2, e = e(iC„), x ‘ viszont paraméterként szerepel (O *, = 0 yz = 0, minthogy egyenleteik homogének). A fenti egyenletrendszer megoldása

^w2 - ~ 2j <V„{x, x ') = - 4 n ö ( x - x ’), (81,3)

(w2 - V yy(x , ~ ö (x -x % (81,4)

81. §. MOLEKULÁRIS KÖLCSÖNHATÁSI ERŐK. ÁLTALÁNOS KÉPLET 403

“ A közbenső számolásban a h = 1, c = 1 választással élünk.

26*

egyenletek megoldására vezethető vissza és ezek segítségével O xy és <DXX kifejezhető:

y(x, X') = — (Dyyix, X ),

O xx(x ,x ') = x,) - - ^ r Ö (x -x ’). (81,5)

A számolás során figyelembe kell venni, hogy Q yx(r, r') = xy(_r ', r), és ezért ® yM i *, x ') = <T)xy(-<\:, x \ x).

Az elektromos és mágneses térerősségek tangenciális komponenseinek folytonosságát kifejező határfeltételek a <DEyk, <7)fk, 0 yk, >7J”k mennyiségek folytonosságát eredményezik, vagy ami ugyanaz, a

<1\k , <T)zkr o t ^ f D ;k, TO\z{D \k

mennyiségekét. A (81,5) egyenlőségek közül az elsőt használva, azt kapjuk, hogy az elválasztó felületeken

( 8 l ,6 )folytonos.

Minthogy a feszültségi tenzort csak a résben kívánjuk kiszámítani, rögtön feltehetjük, hogy 0 < f /) tartományokban e mennyiségek „ugyanazokat” az egyenleteket elégítik ki zérus jobb oldallal (minthogy itt x ^ x ') és a megfelelő elt >v1, ill. 62, w2 paraméterekkel.

A (80,17) képlettel kifejezett levonás oda vezet, hogy a rés tartományában az összes függvényből azok s1 = e2 = l esetén vett értékét le kell vonni. Ennek következté

ben a (81,5) egyenlőségek közül a másodikban a jobb oldali második tagot azonnal elhagyhatjuk, úgyhogy ebben a tartományban a következő egyenletek érvényesek:

Mielőtt az egyenletek megoldásához fognánk, még egy megjegyzést teszünk. A (81,3)—(81,4) egyenletek általános megoldása f ~ ( x — x ' ) + / +(x + x ') alakú. A (81,3)—(81,4), (81,7) egyenleteket, valamint 0)fk és definícióit használva megmutatható, hogy a Green-függvények (x-|- x')-től függő részei az erő (81,1) kifejezésébe semmilyen járulékot nem adnak. Ezt most nem részletezzük, minthogy fizikai megfontolásokból ez az eredmény eleve világos: az x = x' választás esetén a z / +(x+ x ')

megoldásrészből származó impulzusáram a résben függene a helytó'l, ellentétben az impulzusmegmaradás törvényével. Ezért a továbbiakban csak a *7)^ Green-függvény (x+ x 'y tő l független részeit szerepeltetjük az eredményben.

Térjünk rá a függvény meghatározására. Ez a függvény kielégíti a

81. §. MOLEKULÁRIS KÖLCSÖNHATÁSI ERŐK. ÁLTALÁNOS KÉPLET 405

(m |- -jj-p j D u (x , x') = 0, ha

( ^ - ft tÁ x , x ’) = - A nS(x- x'), ha

egyenleteket. Ebből

rDZI = Aew,x, ha j í < 0 , rDLZ = Be~WlX, ha x /,2jh

<VIt = + C 3<?-'*’**-------e~w*! I, ha 0 < x < /Vt<3

adódik megoldásul. Az utóbbi kifejezésben kihasználtuk, hogy (81,8) harmadik egyenlete szerint d^Dzljdx az x — x ' helyen szakadásosan viselkedik; az ugrás értéke An. A z A , 5 , Clt C2 együtthatókat (melyek x függvényei) a és d^D^jdx mennyiségek folytonosságának feltételéből határozzuk meg:

Ajr 'J.TTeh *v3(x— x ')------- e~w* I !, ha 0 < x < /,

W3/I M’3

aholA = l ^ (wx+ws)(wz+wz) .

(wi —M>3)(h»2—Ws)

A íD~! értékét wl — w.i = *v3 (1 /A = 0) esetén levonva, végül a

kifejezésre jutunk. Hasonló módon oldjuk mega <£•yy-ra vonatkozó egyenletet, melyből (levonás után)

®7y = eh w3( x - x ’),

4 = | (£ lW 3+W l)(£2>V3+W 2)

1 (s íW 3- H’i) ( e 2M'3- Wi)

kapható. (81,7) felhasználásával végül

406 VUI. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

4 7ZIQ

= ' £ £ = “ 7 T T sh "’* (* - y )’Si» 1

adódik.Ezek után a <!)% és függvényeket számítjuk ki, majd átalakítjuk a (81,2) ösz-

szefüggésnek megfelelően, végül behelyettesítjük (81,l)-be:

Új integrálási változót vehetünk be a q — C„ } P1— 1 összefüggéssel, és egyúttal visszatérünk az eredeti egységekre is. Az / szélességű réssel elválasztott két test mindegyikének egységnyi felületére ható F erő kifejezésére a következő végképletet kapjuk:

1

r fa+^,)(«.+w) /2K. A_,1-‘U , (8|,„[ ( * i- /* i) fo - /» * ) \ c ; J j

aholSi = |^6i- 1+/J2, sz = ^e2- l + p \ C« = InnTjh,

és e2 a képzetes co = frekvencia függvényei. Ezzel kapcsolatban emlékeztetünk arra, hogy «(/Q pozitív valós mennyiség, amely monoton csökken elektrosztatikus (£ — 0) értékéről, /%-ról a C = “ helyen felvett 1 értékre.21 F pozitív értékei a testek vonzását jelentik. (81,9) integrandusának minden tagja pozitív, és monoton csökken adott p-re és f„-re / növekedésével.22 Ebből következik, hogy F > 0, dFjdl < 0, azaz

“ A (81,9) képletet mindkét test izotropiájának feltételezésével vezettük le. így alkalmazhatósága kristályokra attól függ, elhanyagolható-e azok dielektromos állandójának anizotropiája. Bár ez az esetek többségében teljesen megengedett, figyelembe kell venni, hogy általában a testek anizotropiája még egy sajátos hatáshoz vezet: egy olyan forgatónyomaték megjelenéséhez, amely a testeket egymáshoz képest el akarja fordítani.

** Erről könnyű meggyőződni, észrevéve, hogy ha s = (f — 1 (p S 1), akkor e I eseténteljesülnek az ep >■ s =- p egyenlőtlenségek.

a vákuumréssel elválasztott testek a távolság növelésével monoton csökkenő erővel vonzzák egymást.

A (81,9) általános képlet nagyon bonyolult. Azonban lényegesen egyszerűsíthető, figyelembe véve, hogy a kölcsönhatási erő hőmérsékletfüggése általában elhanyagolható.23 Az a helyzet, hogy a (81,9) integrandusában levő exponenciális tényezők miatt az összeghez a fő járulékot azok a tagok adják, amelyekre £„ ~ c//, avagy n ~ ch}tT. Ha iTjcfi « 1, akkor n nagy értékei a lényegesek, és (81,9)-ben az összegezésről integrálásra térhetünk át a dn = hdtj2nT változó szerint. Ennek során a hőmérséklet eltűnik a képletből, és a következő eredményt kapjuk:

to - -Jkj j (¥'H~‘+A mondottak szerint ez a képlet / <sc chjT távolságokon érvényes; ez már szobahőmérsékleten körülbelül 10~4 cm-nyi távolságot ad. A (81,10) képlet két határesetben jelentősen tovább egyszerűsíthető.

82. §. MOLEKULÁRIS KÖLCSÖNHATÁSI ERŐK. HATÁRESETEK 407

82. §. Molekuláris kölcsönhatási erők szilárd testek között.

Határesetek

Vizsgáljuk először a „kis” távolságok határesetét, amin a hullámhosszhoz képest kicsiny távolságokat értünk ( ^ a vizsgált testek elnyelési spektrumának jellemző adata). A kondenzált testek esetében előforduló hőmérsékletek mindig kicsik az itt előforduló hu>0 energiákhoz képest (pl. a látható fény tartományában), ezért a Tljhc^e: 1 egyenlőtlenség nyilván teljesül.

Az integrandusban szereplő exponenciális kifejezés miatt a dp integrálásban az a tartomány a lényeges, amelyre pU/c ~ 1. Ekkor p ;s»1, és így az integrálba a fő járulékot adó tag meghatározásához ^ s2 ^ p írható. E közelítésben (81,10) kapcsos

13 A hőmérsékleti hatásról beszélve eltekintünk a dielektromos állandó hőmérsékletfüggéséből közvetlenül származó effektusoktól.

zárójelben álló tényezőjének első tagja zérus. Az x = 2ptl/c integrálási változót bevezetve, a második tag az

w f f * [ £ - { ) ( £ ! ) ' - - ' I ' * * ( « . ')0 0

kifejezésre vezet (az x szerinti integrál alsó határát e közelítésben zérusnak vesszük).24Az erő ebben az esetben a távolság köbével fordítottan arányos, amit egyébként a

két atom közötti szokásos van dér Waals-erők alapján várni lehetett (1. az alábbi, 25. lábjegyzetet). Az 1 függvény monoton csökken C növelésével, végül zérushoz tart. Ezért valamilyen C ~ ío-tól kezdve az egyes tagok járuléka már lényegtelen lesz; / kicsinysége az / « c/C0 feltétel kikötését jelenti.

Megmutatjuk, hogyan térhetünk át a (82,1) makroszkopikus képletről az egyes atomok vákuum beli kölcsönhatásának tárgyalására. Ehhez tételezzük fel, hogy mindkét test elegendően kis sűrűségű. Makroszkopikus szempontból ez azt jelenti, hogy dielektromos állandóik majdnem egységnyiek, azaz az ex— 1 és e2— i különbségek kicsik. (82,l)-ből ekkor kellő pontossággal az

oo

j* x¥~*(ei— l)(e2— 1) dxcl£ = o

M O - !][« * (« )-1]<*ö

64.T2/3 J o

= — — I32 re2/3

“ Az

oo

a [ x*dxT J a < - - l

o

alakú integrál a-l <» és I között változtatva alig változik: értéke 1 -ről 1,2-re nő. Ezért a (82,1) képletet a gyakorlati célokra elég pontosan a

p - ,, f [eiQ'0 -i][*i(*'C)-i] 4rWP ' ’ J [e,(/0+l][erf/C)+l]0

közelítéssel adhatjuk meg. Az <o menyiség a két test elnyelési spektrumait együttesen jellemző frekvencia.

képletre jutunk. eO'0-t lm e(ct>)-val kifejezve (ct> valós), (80,18) szerint fennáll, hogy

oo

r_ h r r r a>i<»2 lm í:i(a>i)Im s2(ft>2) ,^ J J J -------(Ü+C*)(a>1 + 0 -------=

0

h f f lm ei(ft)j) lm £2(^ 2) , ,- i w J J — V + » , A ,‘ rf" !' (82'2>

0

Ez az erő a következő atomok közti kölcsönhatásnak felel meg:

rrr a 3fí f f lm ei(o>j) lm e8(w8)m ~ J J — — * * '* ” • (82>3)

ahol /* az atomok közötti távolság; nY és n2 a két lest atomjainak számsűrűsége.25 Ez a képlet egyezik London híres kvantummechanikai összefüggésével, amelyet úgy kapunk, hogy a szokványos kvantummechanikát alkalmazzuk két atom dipóluskölcsönhatásának tárgyalására (1. III. 89. §, feladat). Az összehasonlításhoz megjegyezzük, hogy e((o) képzetes részéi az/ (a>) „oszcillátorerősség” spektrális sűrűségével a következő összefüggés kapcsolja össze:

2 wV«> lm e(co) = iif(m)

(e, m az elektron töltése és tömege; 1. VIII. 62. §). Az oszcillátorerősségeket ismert módon az egyes atomok dipólusmomentuma mátrixelemeinek négyzetei határozzák meg [1. III. (149,10)].

Térjünk át az ellenkező végletre, a „nagy” távolságok határesetének tárgyalására. Ennek során azonban továbbra is feltesszük, hogy az ITjhc <k 1 tartományban: vagyunk.

A (81,10) képletbe újra vezessünk be új integrálási változót az x = 2pKjc összefüggéssel, de a második változónak nem £-t, hanem p-1 tartjuk meg. Ekkor ex és ea az iC = ixcjlp l argumentum függvényeinek bizonyulnak. Az integrandus nevezőjében jelenlevő e* miatt a dx szerinti integrálban csak az x ~ 1 értékek játszanak szerepet,.

“ Ha az 1 és 2 atom kölcsönhatási energiája U(r) = — ar~6, akkor két, egymástól / szélességű, réssel elválasztott féltérben levő összes atom párkölcsönhatásainak teljes energiája:

| (J„ = — antikul Í2P.A ható erő F = d ü fjd l = a n n ^ fó P . Ez adja meg a (82,2) és (82,3) képletekkel a kapcsolatot.

4 1 0 Vffl. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

és mivel p S 1, így e argumentuma nagy / értékekre nullához tart a változó teljes tartományában. Ezzel összhangban «x-t és a £ = 0 helyen felvett értékeikkel, vagyis az e10, elektrosztatikus dielektromos állandókkal helyettesíthetjük. így végül azt kapjuk, hogy

__hc32 kV*

(82,4)

f f Xs | r (Jl0+ p )fe 0+p) I - 1J J f l [ ( ^ o -p ) (^ o - /» ) l \o 1

, [ (íio+^eioX^o+Pfiao) y

+ ‘ j \ d p ‘,x '

5io = K « io - l + P 2, *20 ~ Y e a o - l + P 2.

A z erő (/”4 szerinti) csökkenési törvénye ez esetben megfelel a letardálás figyelembevételének a két atom közötti erő számítása során (1. alább).

A (82,4) képlet igen egyszerű alakot ölt abban az esetben, mikor mindkét test fém. Ezekre e(/t) amikor £ -»• 0; így % = <=■= választható. Behelyettesítve az e10 =— %> = 00 értékeket,

oo oo

hc f f - * 3 dp dx ril hc (öz,5)lón;2/-*' | J p \e * - 1) “ 240 /4o I

(H. B. G. Casimir, 1948). Ez az erő független a fém fajtájától [ez kis távolságon nem igaz, mivel akkor a kölcsönhatási erő «(/£) összes, nemcsak a í = O-ra felvett értékétől függ]-

A 18. ábrán a <pdi(£0) mennyiséget ábrázoltuk, amely két azonos dielektrikum ■(eio = ®2o = ®o) vonzó kölcsönhatási erejét határozza meg, miután a (82,4) képletet az

< * « >

alakban írtuk fel. Ugyanezen az ábrán található a 9?df(«o) görbe is, amely egy dielektri* kum és egy fém kölcsönhatási erejét határozza meg (e10 = e0, eVJ — <») az

2

definíció alapján.20

n2 hc e0- l F~ (82>?)

ts “*■ * <Pu és <pd/ a 0,35, ill. 0,46 értékekhez tart, amelyek megfelelnek a (82,8) határtör- •vénynek és a jelen szakasz feladata (I) képletének. e0 -*•<» esetén mindkét függvény 1-hez tart, ami a (82,5) képletnek felel meg.


Végezzük el (82,4)-ben az egyes atomok közti kölcsönhatásra való áttérést ahhoz hasonlóan, amint azt a (82,1) képlettel tettük. Kis Sp— 1 különbségre

■*» - P 2 p *

adódik és a (82,4) integrál közelítőleg az

hc

St)— p e () a s (eo

F =32 riW

mennyiségbe megy át, amiből

(«io- l)(e2D - 1) J* a-3 e~x dx J - -■2p2+2pi

8 p*dp

következik. Ez az erő két atom

r u 23hc y (r)= = - ^ ^ a ia2 ’

(82,8)

(82,9)

energiájú kölcsönhatásából jöhet létre, ahol a t és a2 az atomok sztatikus polarizál* hatóságai ( ^ = 1+4am ). A (82,9) képlet megegyezik két, elég távoli atom kölcsön

412 Vin. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

hatási energiája kvantumelektrodinamika! kiszámításának eredményével, amikor a retardálási hatások már lényegesek (1. IV. 85. §).

Végül vizsgáljuk azon távolságok esetét, amikor teljesül az ITjtic » 1 egyenlőtlen- ség, amely éppen a fordítottja annak, amelynek teljesülése a hőmérséklet hatásának elhanyagolásához szükséges. Ekkor (81,9) tagjai közül csak az elsőt kell megtartani. De mégsem helyettesíthetünk n = 0-t közvetlenül az összefüggésbe, mivel ez határozatlan kifejezésre vezet (a £* tényező zérussá válik, de a p szerinti integrál divergens). Ezt a nehézséget elkerülhetjük, ha előbb p helyett új integrálási változót vezetünk be: x = 2pCJIc (ennek során a í* szorzó eltűnik). Ezután t„-et zérussá téve,

( 8 2 ’ 1 0 )0

adódik. így nagy távolságokon a vonzóerő csökkenése lassul, és újra \~3 szerint változik. Együtthatója hőmérsékletfüggő [(81,9) további tagjai exponenciálisan csökkennek /-lel]. Az ITjhc s> 1 feltétel lényegileg a klasszikusság feltétele (hco 7\ ahol co ~ //c). így természetes, hogy (82,10) nem tartalmazza h-\P

Feladat

Adjuk meg egy atom és egy fémfal kölcsönhatási energiáját „nagy” távolságokon.

Megoldás. Különálló atom kölcsönhatását egy kondenzált testtel úgy kaphatjuk meg, ha csak az egyik testet (pl. a 2 indexszel jelöltet) tekintjük ritka közegnek. l)-et kicsinek véve, e10 = oo behelyettesítéssel (82,4)-ből az

CO oo

fe (£ ;o - l) f a . , f d p 3 / k ^ n - l )32tt2/4 J J 2p'- ~ 32JiV U;

0 1

képletre jutunk. Ha a kölcsönhatási energia a fal és az atom között U = - a i -4 alakú (L az atom távolsága a faltól), akkor a faltól / szélességű réssel elválasztott féltérben levő atomok kölcsönhatási energiája UItI = —an/313, az erő viszont F = dUu)jdl — an/l4 nagyságú. Ezekhez az F értékekhez az izolált atom és a fal közötti vonzás

U(L) = - y x 2hcl%7iLi (2)

energiája tartozik (ff. B. G. Casimir, D. Polder, 1948).

27 A 81. § és 82.§-okban kapott képleteket általánosíthatjuk oly módon hogy a szilárd testek közötti résbe töltött folyadék vagy a szilárd felületre rétegezett vékony folyadékhártya esetét is tartalmazza; lásd I. B. Dzjalosinszkij, E. M . Lifsic, L. P. Pitajevszkij, UFN 78 (1961) 381; Advances in Phys. 10 (1961) 165.

Atom és dielektrikum fal kölcsönhatása esetében hasonló módon az

rr/r%_ 3*C0t, «10“ » _ ,( } 8a L« e10 + 1

képlet adódik, aho! o t a 18. ábrán mutattuk be. e10 -»■ 1 esetén értéke a 23/30 = 0,77 értékhez tart, am i a (82,8) képletnek felel meg.

83. §. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK ASZIMPTOTIKUS VISELKEDÉSE 413

83. §. A korrelációs függvények aszimptotikus viselkedése folyadék esetén

A hosszúhullámú elektromágneses ingadozások a homogén folyadék sűrűségingadozásainak korrelációs függvényében is sajátos tulajdonságokhoz vezetnek.

Emlékeztetünk (1. V. 116.§), hogy a vir) korrelációs függvényt a tér két különböző pontjában mérhető n részecskeszám-sűt űségek szorzatának átlagértéke definiálja a

<án(n) <5«(r2)> = n <5(r)+ nv(r), r = r i - r 2 (83,1)

képlet szerint. A korrelációs függvényt a részecskék közötti kölcsönhatás szabályozza, és nagy távolságokon mutatott aszimptotikus viselkedését a kölcsönhatás hosszú hatótávú van dér Waals-része határozza meg. Ezért v(r), csakúgy, mint a van dér Waals-erők, hatványfüggvényként csökken a távolsággal (J . Enderby, T. Gaskell, N. H. March, 1965).

Ez természetesen tükröződik a korrelációs függvény v(k) = »,(&) Fourier-transz- formáltjának viselkedésében is. Ha a folyadék részecskéi között csak az atomi távolságok a nagyságrendjébe eső hatótávolságú erők hatnának, akkor v (r) a távolsággal exponenciálisan csökkenne, és a kitevő ~ rja jellegű volna.28 A Fourier-komponensek nyelvén ez azt jelenti, hogy v(k) a ka reguláris függvénye lenne, melyet ka <k 1 esetén annak páros hatványai szerint sorba fej-heiünk. A hosszú hatótávú erők miatt v(k}- ban olyan tag jelenik meg (jelöljük ezt ^(fcj-val), amely már a k ~ 1 A> tartományon belül is lényegesen változik, ahol \ a folyadék spektrumának karakterisztikus hullámhossza (ío » a). A ka <k 1 tartományban a paraméter tetszőleges nagyság- rendű lehet; v^k) e tartományban szinguláiisan viselkedik.

A korrelációs függvény kiszámíiására felhasználjuk kapcsolatát a test szabad energiájának a sűiűség szerint vett második funkcionáldetiváltjával. Ez a derivált definí-

*8 T ~ 0 hőmérsékletű folyadékról van szó (ahol & ~ hu/a a folyadék „Debye-hőmérséklete” ), távol a kritikus ponttól. A kritikus pont közelében a korrelációs hossz végtelenül megnő (L V. 152. és 153. §). Alacsony hőmérsékleten is növekszik, T « O-ra fiu/T nagyságrendű (1. alább a 87. §-t).

d ó szerint azzal a <p(r) függvénnyel azonos, amely a


<5F - y I 99(1 r í - r 21) Ő/j(rt) Ön(r2)d 3Xid*x2 (83,2)

kifejezésben jelenik meg a szabad energiának a sűrűség ingadozásaival kapcsolatos megváltozása során (rögzített hó'mérsékleten). E függvény ? > ( k ) = <p(k) Fonrier-kom- ponensét a keresett v(/c) mennyiséggel a

• w - s á s T 1 ( 8 3 - 3 )

összefüggés köti össze [1. V. (116,14)]. Hangsúlyozzuk, hogy ez a képlet a fluktuációk klasszikus természetén alapul, amihez ftü)<szT a szükséges feltétel, ahol coak hullám- vektorű rezgések frekvenciája. Feltéve, hogy <0 ~ ku(u a folyadékbeli hangsebesség), a

hku « T (83,4)

feltételt kapjuk, ami az r » hujT távolságokra korlátozza az eredmény érvényességét.

A <p(k) függvény „reguláris” része, amely rövid hatótávú erőkkel kapcsolatos, k szerint hatványsorba fejthető; korlátozódva (ka <k 1 esetén) a sorfejtés első tagjára, amit 6-vel jelölünk, írhatjuk, hogy

<p(k) k b+ cpW , (83,5)

ahol fi(k ) a bennünket érdeklő „szinguláris” rész.29 Mivel a van dcr Waals-erők viszonylag gyengék, ezért feltehető, hogy <Pi(k) <k b, így (83,5)-öí (83,3)-ba helyettesítve, az eredmény

( 8 W )

alakban írható. Minthogy v(k) és <pi(k) lineáris kapcsolatban vannak, így v(r) viselkedése nagy távolságokon a

K r ) = - ~ < p l(r) (83,7)

” A b állandót a folyadék termodinamikai jellemzőivel a

összefüggés köti össze (1. V. 152. §).

képlettel adható meg. A fc-tól független első tagnak (83,6) szerint const *6(r) alakú koordinátafüggés felel meg, amely a rövid hatótávú erőkkel kapcsolatos (és elhanyagolja azok hatósugarát).

<Pi(r) meghatározására a (80,11) képletből indulunk ki. Abban a

83. §. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK ASZIMPTOTIKUS VISELKEDÉSE 415

összefüggést kihasználva, látjuk, hogy a szabad energiának a sűrűség szerinti első funkcionálderiváltját a

mennyiség adja. A második derivált meghatározásához e kifejezést kell variálni,^ azaz meg kell találni a

A (83,11) egyenlet megoldását azonnal felírhatjuk, ha észrevesszük, hogy (83,10) értelmében a „perturbálatlan” <7)lk függvény éppen ezen egyenlet Green-függvénye; tehát

{itt azt is felhasználtuk, hogy 0 , ^ r, r") = (Dn(r", r)J. Végül ide behelyettesítve (83,8>at, majd a kapott kifejezést (83,9)-be téve, megkapjuk a második funkcionái- deriváltat:

80 Csak a 'D„ mennyiséget variáljuk, e variálása const • 5(r) jellegű tagot eredményez q>(rybcn, am i nincs kapcsolatban a hosszúhatótávú erőkkel.

(83,8)

(83,9)

mennyiséget.A O-fiiggvény kielégíti a

egyenletet, amit variálva, d(D-re a következő egyenlet adódik

W /f c ík ; r , r ') = 4?

(r = | n —r21)- Ez a képlet (83,7)-tel a v(r) korrelációs függvény keresett kifejezését adja, ha r »»hujT (M. Kemoklidze, L. P. Pitajevszkij, 1970).

A hullámvektorokra korábban feltételezett (83,4) egyenlőtlenség a távolságokra az r » hujT feltétellel ekvivalens. Ha ezzel egyidejűleg az r értékek tartományát felülről is korlátozzuk a

ficjT » r » hu/T (83,13)

egyenlőtlenséggel, akkor az összegben azok a tagok lényegesek, melyeknek az s indexe nagy; így a Cs = 2nTsjh diszkrét „frekvenciákra” való összegezést a ds = = hd£j2nT változó szerinti integrállal helyettesíthetjük:

416 Vili. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

Kr) = nbVíc*

eo

í0 1 de(K)4n dn (83,14)

A <1) függvényt az o — it, helyettesítéssel kapjuk (77,6)-bóI. Deriválva és négyzetre emelve, a

+ A + J l + J J j ,r2 \ w w J (83,15)

w = r í ]/e(iC)!c

kifejezésre jutunk. (83,15)-öt a (83,14) egyenletbe helyettesítve elég bonyolult kifejezést kapunk, amelyet két határesetben jelentősen egyszerűsíthetünk.

„Kis” távolság esetén (r «: vö. 81. §) az integrálban a C ~ c/Aq tartomány adja a lényeges járulékot, miközben r£/c <k 1, úgyhogy (83,15)-ben az exponenciális tényező helyére 1 írható, a zárójelben pedig elég az utolsó tagot megtartani. Ekkor azt kapjuk, hogy

^ A 3hT f r0£(fO] 2 dtr« * l ó j t W ' J dh J e2(iC) ’ r<< °‘

0

E függvény Fourier-transzformáltja :31

v(k) = ~ Ak3, k h » 1. (83,17)

** A k-térben gömbi koordinátákat alkalmazva megmutatható, hogy

1, = lim f *» - _ A v + 2)8in(wp/2) í l + J É k (2«)» “ 2aV+*

A (83,17) képlet ellenőrzéséhez / 3 kiszámítására van szükség. A (83,19)-ben előforduló integrál d l,/d v-\e \ egyenlő, ha v = 4.

Az ellenkező határesetben, „nagy” (r : » távolságra, az integrálban a C dr< * <k c/Xq ~ w0 tartomány a fontos. Ezért e(iQ-t elektrosztatikus értékével (%) helyette

síthetjük, valamint -et (83,14>ben kiemelhetjük az integrálásból. Ezután az

84. §. A DIELEKTROMOS ÁLLANDÓ OPERÁTORKIFEJEZÉSE 417

elemi integrálokat kiszámítva [(83,15) összes tagja azonos nagyságrendű járulékot ad], kapjuk a végeredményt:

•'('■) = 77-» B - 64«»4»íí6* ( w ) ’ r » * o . (83,18)

E függvény Fourier-transzformáltja a következő:

v(k) - - Bk* In kXn« 1. (83,19)

84. §. A dielektromos állandó operátorkifejezése

Ebben a szakaszban a dielektromos állandó egy hasznos alakját vezetjük le, felhasználva a tölléssűiűségek operátorainak kommutátorát (Ph. Noziéres, D. Pines, 1958). Ez a képlet Kubo képletével analóg, de figyelembe veszi az elektromágneses tér sajátságait is.

Homogén közeget vizsgálunk, amelyre a dielektromos állandó nemcsak időbeli, hanem térbeli diszperziót mutat. Ez azt jelenti, hogy a D(í, r) eltolásvektor nemcsak a korábbi időpillanatokbeli E(/, r) térerősségtől függ, hanem a tér más pontjában felvett értékektől is. E függésnek legáltalánosabb alakja:

A(/, r) = £,(/, r)+ J J /•*(*, r')Ek( t - r, r - r ') rfV d t. (84,1)0

Monokromatikus térre, amikor E, Dcoexp [/(kr—tót)], ez a kapcsolat a

D, = sik(co, k)E/t (84,2)

alakot ölti, ahol

e,k(co, k) = 6ik + J J f ik( t , r') e1 k d \x ’ d t. (84,3)0

27 Statisztikus fizika 2. rósz

418 V ili. FEJEZET. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK

Arra az esetre szorítkozunk, amikor a közeg nemcsak homogén, de izotrop is, valamint nincs természetes optikai aktivitása. Ekkor a dielektromos állandó tenzorát egyedül a k vektormennyiségből építhetjük fel. így általános alakja:

Az et és e, skalár függvényeket rendre longitudinális és transzverzális permeabilitásnak hívjuk. Ha az E teret potenciálból származtathatjuk, E — — V(p, akkor a síkhullámban E párhuzamos a hullám vektorral (E = — iky) és így D = E. Ha a tér szolenoidálís (div E = íkE = 0), akkor E merőleges a hullámvektorra, és D = s,E.

Felidézzük [vö. VIII. 83. §], hogy a közeg ilyen leírásakor értelmetlen a gv mikroszkopikus árameloszlás várható értékének (q a töltéssűrűség) két, 6P /dt és cro l M részre osztása, ahol P az elektromos polarizáció, M a közeg mágnesezettsége. Más szavakkal, a Maxwell-egyenletek a

alakban írandók anélkül, hogy bevezetnénk (a B indukcióvektor mellett, ami a mikroszkopikus mágneses térerősség várható értéke) a H vektort. A mikroszkopikus áramok átlagolásakor fellépő összes tagot a D = E+4jtP , qv — dP/dt definíciótar- talmazza.

Az alkalmazásokban a longitudinális permeabilitásnak van a legnagyobb szerepe, mi erre vezetjük le az operátorkifejezést. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a rendszer válaszát tekintjük külső (a rendszerhez képest külső forrásokból adódó) potenciálból származó E* — — V<pk elektromos térre.

A fenti térrel való kölcsönhatás operátorát

alakban írjuk, ahol §(t, r) a rendszer tökéssűrűségének operátora. Ezt a kifejezést a (75,8) általános képlettel összevetve és <pk-t f „általános erőként” értelmezve,(75,9)—(75,11) szerint az átlagos töltéssűrűség idő szerinti Fourier-transzformáltjára felírhatjuk, hogy

(84,5)

Elvégezve a térbeli Fourier-transzformációt is és figyelembe véve, hogy a rendszerhomogenitása miatt a kommutátor várható értéke csak az r —r' különbségtől függ, azt kapjuk, hogy

omh = a(o>, k)9><&, (84,6)

ahol

«(cü, k) = - ~ f f <“" - k)r><<5(/, r) {1(0,0 ) - é(o, 0) ó(t, r)) d3.x dt. (84,7)

84. §. A DIELEKTROMOS ÁLLANDÓ OPERÁTORKIFEJEZÉSE 419

A z átlagos lölléssűrűséget kifejezhetjük a közeg polarizációs vektorával: g = = —divP (1. VÍFÍ. 6. §), így Fouríer-komponensére következik, hogy

1- /kP(ok — /

Másrészről d<pk = — 4ng^, ahol gk a külső teret létrehozó források eloszlása; ennek kapcsolata a D indukcióval: divD = 4jrgk. E kettőből azt kapjuk, hogy

effi = -p - kE»k •

Végül ezeket az összefüggéseket behelyettesítjük (84,6)-ba, és megkapjuk a longitudinális permeabilitás keresett kifejezését:

1 T = l+ 4 ?* (« > ,k ). (84,8)ei(o), k ) k 2

A (84,7) képletben g(t, r)-en, szigorúan szólva, a rendszer összes részecskéiből, azaz mind az elektronokból, mind az atommagokból származó töltéssűrűséget kell érleni. Gyakorlatilag azonban, a lényeges co és k tartományban a permeabilitásba a fő járulékot az elektronok adják. Ezért a g operátoron az e(A—ü) opeiátort értjük, ahol fi az elektronsűrűség operátora, g pedig annak átlagértéke.

A (84,7)— (84,8) képleteket tovább alakíthatjuk, azokat a g operátorok Fourier- komponenseinek segítségével kifejezve. Ehhez előzetesen (84,7)-et átírjuk az

27*

;.(<», k) - - —L. J (ők{t) á„k(0)~ é-k(0) ék(0) dto

(84,9)

alakra (V a rendszer térfogata). A &(/) Heisenberg-operátor mátrixelemeit a Schrö- dínger-operátoréval a következőképpen fejezzük ki:

(éc(0)«.» = ef<w(e * V

Az operátorok szorzatát a mátrixszorzás szabályai szerint felíiva és az integrálásokat (31,21) segítségével elvégezve, a következő' végeredményt kapjuk:

e,(öj7k) = 1 + 1 W ? * { co-(oM+iO ~ to+ohv+iÖ } ’ ( 84’' 0)

ahol a 0 index arra az állapotra vonatkozik, amelyre a permeabilitást keressük.


85, §. Az elfajult plazma

Tekintsünk egy teljesen ionizált plazmát, amelynek ionjai klasszikus (Boltzmann-) gázt alkotnak, elektronkomponense pedig már elfajult. Ez a helyzet, ha a hőmérséklet eleget tesz a

<, f(,e,

azaz a

fP r& jm , « r á h2n2ls/me (85,1)

egyenlőtlenségeknek (fit és fie a plazma ionjainak és elektronjainak kémiai potenciáljai, m, és me azok tömegei, n pedig a részecskeszám-sűrűség; a becslések során nem teszünk különbséget ne és n, között). Ugyanakkor feltesszük, hogy a plazma csak kissé tér el az ideálistól. Ehhez a kétrészecskés Coulomb-kölcsönhatás / ~ n~1!S nagyságrendű távolságokon a részecskék e átlagos mozgási energiájához képest kicsiny kell, hogy legyen. Ionokra e ~ T, elektronokra pedig fi ~ fie ~ n2l3h2jme. Ebből következik az

m ^ j í i2« r0& « Tje2 (85,2)

feltétel.Az V. 80. §-ban megmutattuk, hogy e feltételek mellett a plazma termodinamikai

mennyiségeinek fő korrekcióját (azok ideális gázbeli értékéhez képest) az elektronok kicserélési kölcsönhatása adja. A plazma egységnyi térfogatára vonatkoztatva e kölcsönhatás energiája ~ é n m alakú. A korrelációs korrekció (amely klasszikus plaz

85. §. AZ ELFAJULT PLAZMA 421

mára a domináns járulék) az elfajult esetben kicsi a kicserélődésihez képest, arányuk íj1/2, ahol rj = 1. Ennek ellenére, kiszámítása elfajult plazmára módszertanilag érdekes, és a diagramtechnika használatának tanulságos példáját nyújtja.

A plazma részecskéi közötti Coulomb-kölcsönhatás operátora

ahol a és b a különböző' részecskefajtákat jellemzik; zae a részecskék töltése (elektronokra z e = — 1). Matsubara-reprezentációban használjuk a ^-operátorokat, és ezzel a kölcsönhatási operátor is ebbe a reprezentációba kerül. A (Gibbs-sokaság szerinti) átlagok kiszámítására kidolgozott diagramtechnikát a szokásos módon, a Matsubara- operátorok kölcsönhatási reprezentációjára áttérve építjük ki. Az ennek eredményeként megjelenő perturbációs sor megadja (9 ) sorfejtését e2 hatványai szerint.

A (85,3) kifejezés nem tai talmaz „szabad” (azaz integrálási változóként nem szereplő) változókat. A diagramtechnikában ezt a körülményt az fejezi ki, hogy a ( J ^ r e vonatkozó perturbációs sorban csak szabad véget nem tartalmazó diagramok fordulnak elő. E diagramok szaggatott vonalainak [Q — (tJ5 q) négyesimpulzussal] megegyezés szerint32 a

tényezők felelnek meg (amelyek függetlenek £*401), vagyis az egységnyi töltéshez tartozó <p(r) potenciál Fourier-komponensei ellenkező előjellel. A folytonos vonalakhoz most [a P = (ís, p) négyesimpulzus mellett] még egy a indexet is rendelünk, amely a részecske fajtájára utal. Minden ilyen vonalat analitikusan a — ^ ( i ° ) tényező képvisel, ami a szabad a részecske Green-függvénye, negatív előjellel. A diagram folytonos vonalai zárt hurkokat alkotnak, melyek mindegyike azonos a indexekkel épített „láncszemeket” tartalmaz. Minden egyes vertexhez, amely két folytonos és egy szaggatott vonal találkozásából jön létre, a zae tényezőt rendeljük hozzá, ha a folytonos vonal a típusú részecskéi ír le. Minden fei mionvonalhoz egy {— 1) tényező is tartozik. E szabályok szerint felépítve a diagramokat, a

(85,3)

- « * » — f (85,4)

- y < r > (85,5)

32 E szakasz további tárgyalásában h = I, c = 1 egységrendszert használunk, az elemi töltést pedig e jelöli (e > 0).


mennyiség kifejtésének tagjait kapjuk. A V tényező a nevezőben a rendszer térfogata,

különbségeitől függ, s így az egyik koordináta szerinti integrálás eredménye egyszerűen V. A (85,5)-beli negatív előjel a szaggatott vonalak (85,4) definíciójából származik, azaz a 9(0) előtti negatív előjelből. A 2 tényező annak következménye, hogy a (85,3}-beli 1/2 tényezőt átvittük a bal oldalra.

A perturbációszámítás első rendjében kétféle gráf rajzolható fel:

(az összes lehetséges a, b indexet le kell írni). A (85,6ű) típusú gráfok azon ^operátorok párosításából származnak, amelyek azonos pontban vannak értelmezve. Ezek az egyenletes térbeli eloszlású a és b részecskék közvetlen Coulomb-kölcsönhatásának felelnek meg. Járulékaik kölcsönösen kiejtik egymást (az a-ra és fc-re való összegezés során) a plazma semlegessége miatt. A (85,6í>) típusú gráfok különböző pontokbeli ^-operátorok párosításából származnak, ami adott a típusú részecskék kicserélési kölcsönhatását írja le. E diagramok járulékának kiszámítása vezet az V. 80. § eredményeire.Alább a következő rendben fellépő diagramokat adjuk meg:

ami azért jelenik meg, mert a sor minden tagjában az integrandus csak a koordináták

(85,6)

a) b )

c

b) c) d)

A (85,7 a, b) diagramok a (85,6a) diagramok korrekciói, és ugyanolyan okok miatt együttesen nullát adnak az ű-ra, b-re, c-re való összegezés után. A (85,7c, d) gráfok a kicserélési kölcsönhatás kis korrekciói, amivel itt nem törődünk.

A (85,7e) diagram járuléka „anomálisan nagy”, mivel a benne szereplő integrál divergens. A divergencia oka az, hogy a két szaggatott vonalon futó q impulzusok abszolút értéke azonos (amint az a vertexekbeli impulzusmegmaradásból azonnal következik). Így a gráf egy J cPqjq* jellegű integrált tartalmaz, amely kis q-ra 1 \q szerint divergál.

A további közelítésekben (a korrekciós jellegű gráfok mellett) a „gyűrű” típusúak is megjelennek, melyek még erősebb szingularitást mutatnak. Pl. a harmadrendű

gráf, amely a szaggatott vonalakon három, azonos értékű q impulzust tartalmaz, az J q~t (Pq integrálra vezet, ami q~3szerint divergál. Általában az K-edrendű gyűrűdiagram, melyet n darab szaggatott vonallal összekötött hurok alkot, <7~(2',-3) szerint divergál.

A gyűrűdiagramok végtelen sorozatának összegezése, mint azt belátjuk, az e nagyságrendű kicsiny q értékeknél levágást eredményez, a divergencia megszűnik. Ezért ezek a diagramok együtt (P)-be (e2)"/^2”" 3 = nagyságiendű járulékot adnak. Grafikusan ezt a járulékot az összes részecskefajtára összegezett vázdiagram adja meg:

a

a

(85,8)

b

ahol a vastag szaggatott vonal a különböző számú hurkot tartalmazó lineáris diagramok végtelen összegének felel meg:

o b(85,9)

2 — - 0 — 0 —Ojb a b

Minthogy a vékony szaggatott vonal egy elkülönített töltés Coulomb-terének <p potenciálját jelképezi, a vastag szaggatottat a környező plazma polarizálódása állal

eltorzított térként értelmezzük; ezt a teret 0-vel jelöljük. A teljes (85,8) járulék tehát a plazmabeli átlagos kölcsönhatási energia korrelációs részét adja.

Vezessük be a — (C*, q)/4jr jelölést az egyszerű folytonos hurkok járulékának részecskefajtákra összegezett értékére, amit vékony köröcskével jelö!ünk ezután:

* - r á - o (85,10)

Megjegyezzük, hogy a függvény változója csak „páros” értékeket futhat be: = 2svT, függetlenül az a részecskére érvényes statisztikától. Valóban, minthogy

a csúcsban a frekvenciák összege zérus, £s értéke a két folytonos vonal fiekvenciáinak különbsége, ami „páros”, akár „páros”, akár „páratlan” a különbség két tagja.

A (85,10) jelöléssel a (85,8) összeg egyetlen vázdiagrammal fejezhető ki:

. . . , Q2<y)k«r = j (85,11)

A vastag szaggatott vonal a következő diagramegyenletnek tesz eleget:

-------------------------+ _ Q _

[teljesen hasonló módon a (14,4) és a (79,13) képletekhez]. Analitikusan ez az egyenlet

-0(U q) = -?(q)—7 > ( q q)

alakban írható, amiből

(85,12)

4 7t0iCs' q ) = tf- W Ü q ) ' (85,13)

E képletekre célszerű kissé másképpen is ránézni, hogy a 79. §-beii diagramokkal megtaláljuk kapcsolatukat.

Arról van szó, hogy töltések Coulomb-kölcsönhatását virtuális fotonok kicserélésének következményeként tekinthetjük. Ennek során azonban célszeiűbb a (75,1)

mérték helyett az ún. Coulomb-mértéket használni (1. IV. 77. §), amelyben —I>o» éppen a Coulomb-potenciál Fourier-komponensével egyezik. A D(k térszeiű rész e mértékben a retardált és a mágneses kölcsönhatást írja le, amit nemrelativisztikus plazmára elhanyagolhatunk. Ezért úgy vehetjük, hogy a (85,11) diagram szaggatott vonalainak a Matsubara-reprezentációbeli értéke felel meg, a <£> függvény pedig éppen a polarizációs operátor komponense. (79,18) szerint ezért q) = = — 92[«/0’|£J» q)— 1] írható [könnyű belátni, hogy térbeli diszperzió esetén (79,18)- ban éppen az et longitudinális permeabilitás jelenik meg]. Ezt a kifejezést (85,13)-ba téve, azt kapjuk, hogy

Ajr* ( C í , q ) = - ^ ( 7lu ir ( 8 5 , I4 )

azaz, amint azt vártuk, az egységnyi töltés potenciáljának Fourier-komponense adódik a szóban forgó közegben.

A Matsubara-technika általános szabályai szerint felírva a (85,11) diagram járulékát,

/r>\ V T r f , i v CÍ3<1\ )körr 2 í j <f(<Ú U «) (27 i f ~

V T y C q) d*q~ 2 (2 n f '

Az alábbiakban meglátjuk, hogy az összegben az s = 0 tag a legjelentősebb, a megfelelő integrált pedig a kis q-k tartománya határozza meg. Ezért (85,15) kiszámítására elegendő (0 , q) értékét q 0-ra tudni. Ezt a mennyiséget egyszerű fizikai megfontolásokkal határozhatjuk meg, amihez még a (85,10) diagramok kiszámítására sincs szükség.

Cj = 0-ra a <5(0, q) függvény a 0(r) potenciál Fourier-transzformálija, ahol 0(r) a plazmába helyezett egységnyi töltés elektrosztatikus terét adja meg. A <p(r) pertur- bálatlan potenciál olyan Poisson-egyenletet elégít ki, amelynek jobb oldala egy á-függvénnyel arányos: Atp = —4nó(r). A plazma polarizációja által torzított® teret úgy kapjuk, hogy ennek az egyenletnek a jobb oldalához hozzáadjuk a töltéssűrűség- nek maga a tér által okozott óp megváltozását:

A® = - 4?t[ő(r)+őe]. (85,16)

Másrészt q -*• 0 esetén a plazma téjfogatában lassan változó térrel van dolgunk. Ebben az egyensúly termodinamikai feltétele

fia+eza<P = const = /40) (85,17)

teljesül, ahol (ia az a típusú részecskék kémiai potenciálja, /40) pedig annak értéke térmentes esetben. E feltételből az na részecskeszám-sűrűség bjia megváltozására azt kapjuk, hogy


őn0 ~ - e z 0&,v

■amiből a töltéssűrűség megváltozása:

dna

Ezt a kifejezést (85,16)-bíi téve,

A $ - x * 0 = — 4tc Ő(r). (85,18)

ahol bevezettük a

(8 5 ,1 9 )

kifejezést. (85,18)-ból látható, hogy 1/x a tér plazmabeli árnyékolásának Debye- sugara (vö. V. 78. §). Végül a (85,18) egyenlet mindkét oldalának Fourier-transzfor- máltját véve, azt kapjuk, hogy

4n q2+x*

•és ezt (85,13)-mal összehasonlítva látjuk, hogy

0 ( O , q ) \ ^ o = ~ ^ . (85,20)

Ezután (85,15) integrálását ^ -nek ezzel az értékével elvégezve, azt kapjuk, hogy

/?S - V T * f tn t fd q V T #(V )kotr - 2(2ny j • (85’21)

Mindenekelőtt vegyük észre, hogy az integrál az alsó határon konvergens, és a fő járulékot a q ~ x értékek adják. A nemelfajult ionkomponensre dnjdfij — n,/T, az elektronokra pedig dnjd(xe ~ nj(xe. Könnyű belátni, hogy a (85,2) feltétel miatt x § nm és ezért q <k nUi is teljesül, azaz 1 jq nagy a részecskék közötti távolságokhoz képest. Ezzel igazolható a (85,17) egyensúlyi feltétel felhasználása. Annak igazolására, hogy miért lehet az s = 0 tag kivételével a (85,15) összeg minden tagját elhanyagolni, .megjegyezzük, hogy (85,14) szerint a plazma polarizációját nemzérus frekvencián az

q) permeabilitás írja le. Az ismert nagyfrekvenciás aszimptotika szerint e/fi)) t* sa 1 — 47tne í?2//nto>2, ezért

4jrrt,e2


*/(* I Cs I) — 1 + - |

(1. V ili. 59. §). A (85,1)—(85,2) feltételek révén minden, nullától különböző f, frekvenciára Cs — 2 s n T ^ (n eé^jme)m , így ezekre í ( / | t j ) = 1, tehát a plazma polarizálat- Jan marad, és %) kicsi.

A (85,21) képlet termodinamikai változói T, V és (ia. Ezért a plazma termodinamikai potenciálját megadhatjuk a

í ^ f ) (8M2)\ d e * )

egyenlőség közvetlen integrálásával [1. V. (80,4)]. Ennek eredményeként korrelációs részére a következő kifejezést kapjuk (a szokásos egységekben):

VTfc3 2 inVTí? ['v' í dna \ ] s,íJ korr — ^ 12k

(A, A. Vegyenov, 1959). A kis megváltozásokra vonatkozó általános tétel révén ugyanez a képlet más termodinamikai változókkal kifejezve, más termodinamikai potenciálok korrekcióját adja.

Nemelfajult plazmára az összes deriváltra dnJ8fia — nJT, és ekkor (85,23) átmegyaz

Fkon = - ( y & X 12 (85,24)3 y r

képletbe, amelyaszabad energia korrekciójára V.(78,12)-vel megegyezőeredményt ad.Erősen elfajult plazmabeli elektronok esetén (T fic) a deriváltra dnjd(ie ~

~ nJn e<í:nJT igaz. Az a szerinti összegezés során (85,23)-ban ekkor az elektronokat elhanyagolhatjuk, aminek révén újra a (85,24) képletre jutunk, azzal a csekély különbséggel, hogy abban az összegezést csak a plazma ionjaira kell elvégezni. így erős elfajulás esetén az elektronok egyáltalán nem befolyásolják az árnyékolási sugarat és a plazma termodinamikai mennyiségeinek korrelációs részét.

IX . F E J E Z E T

A H ID R O D IN A M IK A I IN G A D O ZÁ SO K

86. §. A folyadék dinamikai alaktényezője

A sűrűségfluktuációk közti korrelációs függvény, amit az V. 116. §-ban vizsgáltunk, egy általánosabb függvény speciális esete, amely nemcsak a tér különböző pontjaiban, de a különböző időpillanatokbeli sűiűségingadozások közti kapcsolatot is leírja. A klasszikus elméletben ezt a függvényt az

na(t\ r l5 r 2) = (<5«(fi, r , ) dn(t2, r 2)) (86, 1)

átlagérték definiálja, ahol t = t^—/2; a definíciójából kiemeltük a részecskék fi = N /V átlagos sűrűségét. Homogén és izoírop közegre (folyadék és gáz) a (86,1) függvény rj-től és r2-től csak az r = ] r1- r 21 távolság révén függ, amit alább fel is teszünk.

A kvantumelméletben a (86,l)-gyel analóg függvényt olyan szimmeti izált szorzat segítségével definiáljuk, amely a sűiűség időfüggő (heisenbergi) operátorából épül fel:

nö(t, r) = y (őn(tu rx) r2)+á«(r2, r2) rj)) (86,2)

[az V. (118,4) általános definícióval összhangban]. Viszont az

na(t, r) = (ön(tu ri) Ón(t2, r 2)) (86,3)

nemszimmetrikus meghatározásnak ez esetben bizonyos előnyei vannak, ezért megtartjuk a o(t,r) jelölést.1 ö (f, r)-rel ellentétben a(t,r) nem páros a t változóban; nyilvánvaló, hogy

ö(t, r) = y K i , r )+ a ( - í , r)]. (86,4)

1 Éppen ez a függvény észlelhető közvetlenül, pl. rugalmatlan neutronszórási kísérletekben, folyadékon I. a feladatot.

A cr(í, r) függvény időbeli és koordináták szerinti

OO

a(oj, k) = cr(w, k) = J J e,(“' -kr) a(í, r) dt d3x (86,5)

Fourier-transzformáltját a közeg dinamikai alaktényezőjének hívják. A a(t, r) függvény az izotropia miatt csak a hullámvektor abszolút értékétől függ. (86,4>ből következően a a(t, r) függvény Fourier-komponensére fennáll, hogy

5(w, k) = y [a(oj, k )+ o { -«), fc)]. (86,6)

A tisztán térbeli sűrííségflukiuáció-korrelációt folyadékra úgy kapjuk meg, hogy(86,l)-et a i = 0 helyen tekintjük:

ff(r) = a(t = 0, r) — ő{t = 0, r).

Ez a függvény az V. I l 6.§-ban bevezetett (és a 83.§-ban használt) v(r) függvénnyel a a(r) = v(r)+ ő(r) kapcsolatban van, azaz Fourier-komponenseikre <t(k) = y(£)+l. A a(k) vagy v(k) függvényeket a folyadék sztatikus alaktényezőinek nevezzük. A o{(a,k) cs a(k) függvények közti kapcsolatot a következő integrálosszefüggés adja:

oo oo

<t(/c) = | a(o), k ) ~ = j* a(co, k) ~ . (86,7)— oo — PO

Az (időfüggetlen) schrödingeri sűrűségoperátort az

>Kr) = Z ő(r ~ r«) (86>8)a

összeg adja meg. Az összegezést a folyadék összes részecskéjére kell venni, és itt az r0 részecskekoordináták paraméterek [vö. (24,4)]. Az alábbiakban számunkra célszerű, ha ennek az operátornak a koordináták szerinti

fiú — J « (r)e-ikr <r/ax = ^ e ~ ;kr“ (86,9)a

Fourier-komponenseit használjuk. Az időfüggő (Heisenberg-) operátorra az általános szabály szerint térünk á t :

86. §. A FOLYADÉK DINAMIKAI ALAKTÉNYEZŐJE 429

/}(/, r) — exp (ifltjh)Á3(r)exp(-iHtjh), (86,10)

ahol J3 a rendszer Hamilton-operátora. Ezt az operátort a (86,8) és (86,9) kifejezésekkel adhatjuk meg, ha azokban az r„ paramétert rfl(/)-vel, a részecske helyzetének Heisenberg-operátoraival helyettesítjük.

A statisztika általános elvei szerint az { . . . ) átlagolást különféleképpen kell értenünk attól függó'en, hogy milyen termodinamikai változókkal kívánjuk az eredményt kifejezni. Ha a-1 adott teljes energia és a rendszer részecskéinek rögzített száma mellett határozzuk meg, akkor az áilagot az adott (m-edik) stacionárius állapotban képezzük, azaz a megfelelő diagonális mátrixelemet tekintjük. Homogén rendszerre (folyadékra) a bü(t, r) operátor mátrixelemének tér- és időfüggését

(m | <5/í(r, r) | /) = (m | 6ft(Ö) | /) exp [/(«„,/?-kmír)] (86,11)

adja meg a (8,4) képlettel teljes analógiában [(86,11) jobb oldalán az r = 0 pontban vett á/J(r) Schrödingei-operátor mátrixeleme áll]. E képlet figyelembevételével:

no(t, r )= '£ J(m \ rj) | / ) ( / 1 r2) | ni) = i

= £ | (m | ő/3(0) 11> |2 exp [í(wm//-k„,,r)].i

A képlet Fourier-transzformáltja:

na(co,k) = (2« ) ^ K m |Ő^(0)|/> |2á(«w-cü/m) á ( k - k ,m). (86,12)i

E képletekben a rendszer összes olyan állapotára összegezni kell, amelyekben a részecskeszám (Nm) rögzített (minthogy Óh ezt a számot nem változtatja meg).

Ha az alaktényezőt a folyadék hőmérsékletével és kémiai potenciáljával akarjuk kifejezni, akkor a (86,12) kifejezést még Gibbs-sokaságra kell átlagolni:

m (a>, k) = (2 exp ) |<M71 M(0) | />j2Ó(w -W,w)Ő (k -k /m)

(86,13)

(ahol az összeg minden tagjában Nt = Nm). Ugyanilyen képletet írva a a(— co, —k) = = a(—a), k ) mennyiségre, majd abban felcserélve az / és m összegezést' indexeket, valamint az exponenciális tényezőben bevezetve az E, — Em+h(olm — Em+ hiú helyettesítést (az utolsó egyenlőség a á-függvénybŐl következik), kapjuk, hogy

c(-ö>, k) = a(o), k) e~h,alT, (86,14)

430 IX. FEJEZET. A HIDRODINAMIKAI INGADOZÁSOK

amiből (86,6) szerint

3(d), k) — y (1 + e -M r) a(o), k). (86,15)

Megjegyezzük, hogy (86,13)-ból [vagy (86,12)-bőlJ következik a a(w, Jt) £ 0 összefüggés a változók minden értékére. A (86,14) egyenlőségből zérus hőmérsékletre következik, hogy

cr(o>, k )= 0, ha w < 0, T = 0. (86,16)

A termodinamikai határesetben (N , adott N /V sűrűség mellett) a ó-függvények folytonos függvénnyé „kenődnek” szét, de a(a>, fc)-nak azok a ő-függvényszerű csúcsai, amelyek az o> — eo(k) csillapítatlan elemi gerjesztési frekvenciáknak felelnek meg, megmaradnak (ez a 8. §-ban bemutaíotthoz hasonló érveléssel látható be). E csúcsok azonban csak a részecskeszámot nem változtató gerjesztésekre jelennek meg.2

Mutassuk be, milyen kapcsolatban van az alaktényező a fluktuáció—disszipáció tétel általános megfogalmazásában előforduló mennyiségekkel (D. Pines, Ph. Noziéresy 1958).

Hasson a folyadék minden részecskéjére külső tér az U(t, r) potenciálfüggvény alakjában. Ekkor a folyadék egészére ható perturbáció operátora:

í>(0 = J fi{ t,r )U (j,r )d \x . (86,17)

Az ebben megjelenő összes mennyiséget az időfüggés szerinti Fourier-sorba fejtve, a rendszer válaszát (azaz a perturbációval előidézett sűrűségváltozás értékét)

6n(a), rí) = - J «(«, | r t — r 21) U(w, r2) (86,18)

adja, ahol az a(co, r) függvény az általánosított szuszceptibilitás szerepét játssza. A korrelációs függvény, ö(t, r) idő szerinti Fourier-transzformáltját a fluktuáció- disszipáció tétel jelölései szerint írjuk:

nö(c», r) = (Ő«(rj) ön(t2))m, r = rí - r2.

E tétel szerint ezt a függvényt az általánosított szuszceptibilitással az

nö(u>, r) = h cth lm a(o>, r) (86,19)

képlet köti össze. Hasonló képlettel fejezhető ki ennek ö(oj, k) koordináta szerinti Fourier-komponense«(t», k) révén, és ezek után (86,15) segítségével a dinamikus alak

86. §. A FOLYADÉK DINAMIKAI ALAKTÉNYEZŐJE 431

1 Így Fermi-folyadékban a a(o^\ A:) függvény co = kti^ esetén á-fflggvényszerű szingularitást mutat («o a zénishang sebessége) de a spektrum Fermi-ágának megfelelő hasonló szingularitás nem jelenik meg; I. a 91. §-t.

tényezőre azt kapjuk, hogy

fio(a), k ) = 1_g—huiií ím *(“ » *)• (86,20)

E képletek jelentőségét mindenekelőtt az adja, hogy bennük fejeződik ki a dinamikai alaktényező az (co változóban) ismert analitikus tulajdonságú «(<u, k ) függvénnyel (1. V. 123. §). Egyúttal lehetőséget ad arra, hogy az alaktényezőt az általános (75,11) képlet alapján számíthassuk ki, azaz

<x>

« ( « , k ) = J* | r )/3(0 , 0)—n(0, 0)«(í, r)<fc í/3*. (86,21)

A sűrűség operátorait a ^-operátorokkal kifejezve (ft = lP +}P), ezt a függvényt a kétrészecskés Green-függvényekkel is kifejezhetjük, melyek kiszámítására a diagramtechnikát alkalmazhatjuk.

Feladat

Fejezzük ki a dinamikai alaktényezővel a lassú neutronok folyadckbeli rugalmatlan szóródásának hatáskeresztmetszetét, ha a folyadék azonos atomokból áll (G. Placzek, 1952).

Megoldás. A pszeudopotenciál módszere alapján (I. III. 151. §) a lassú neutronok szóródását úgy Írhatjuk le, mintha azok az

U(r) = a,Hr) (1)

potenciállal hatnának kölcsön, ahol rt(r) a (86,8) sűrűségoperátor; M az atom és a neutron redukált tömege, a a lassú neutron szórási hossza különálló atomon (ez éppen a szórási amplitúdó határértékével egyezik ellentétes előjellel). Vala mely i kezdeti állapotból a neut ron hatására a folyadék neutron rendszer a dvs intervallumbeli / végállapotba

dw„ = dv} (2)

valószínűséggel megy át [I. III. (40,5)]. Az Uft nemdiagonális mátrixelemekre (I)-ben h helyére ön írható. A neutron kezdeti hullámfüggvényét (p impulzussal és e energiával) „egy részecske a V térfogatban” elv szerint normáljuk. A végállapot hullámfüggvényét (p' impulzussal, «' energiával) p/2?r-től függő (5-függvényre normáljuk. Ekkor dvf = tPp'/(2xftf, és a perturbáció mátrixeleme:

Un(t) - | 6n„(t, r) d xx,

87. §. ÖSSZEGSZABÁLYOK AZ ALAKTÉNYEZŐKRE 433

ahol fik = p - p ', ho = e - e ' , és <5«/((r, r) a folyadék hullámfüggvényeivel képzett mátrixelem. Ezt behelyettesítve dwfl-be, összegezzük azt a folyadék összes lehetséges végállapotaira. Ennek során az integrál abszolút értéke négyzetét kettős integrálként írjuk (dtdt'díxdsx ' szerint), és felhasználjuk,hogy

£ r) r')» = £ r ') r) = < /1 ófi(t', r ') 6A(t, r) | /) = r ' - r )

(ahol a-t a folyadék i állapotbeli teljes energiájának függvényeként adjuk meg). A d ( t ' - t ) d \ x '—x) szerinti integrálás eredménye o(a>, k), majd a dtcPx szerinti újabb integrálás már csak a V*t tényezőre vezet, ahol t a teljes időtartomány. A t szorzót elhagyva, a szóródás egységnyi időre vonatkoztatott valószínűségét kapjuk:

4 ^ * d*p'" = <3>

Ez a kifejezés a Gibbs-sokaságra való átlagolás után is érvényben marad, mikor az alaktényezőt a hőmérséklet függvényének tekintjük.

Megjegyezzük, hogy az alaktényező (86,16) tulajdonsága a neutronok szórására alkalmazva azt fejezi ki, hogy a folyadék T = 0-n csak felvehet, de nem adhat le energiát. A (86,14) összefüggés a részletes egyensúly elvét fejezi ki, minthogy az (co, k) és (-&>, —k) impulzus- és energiaátadással járó folyamatok egymás inverzei.

87. §. összegszabályok az alaktényezőre

A dinamikai alaktényező az a> frekvencia szerinti integrálokat tartalmazó összefüggéseknek : összegszabályoknak tesz eleget.

Egyikük levezetése az ük(t) és í k(f) operátorok felcserélési összefüggésein alapszik. Az azonos időpontban vett Heisenberg-operátorok kommutátora a schrödingeri nk és «k operátorok felcserélési összefüggéseivel egyezik meg. A (86,9) képlettel definiált keresett kommutátorát az

(87,1)

összefüggés adja meg, ahol m a folyadék részecskéinek tömege.3Induljunk ki a(t, r) csak a koordináták szerint vett Fourier-együtthatóinak kife

jezéséből :

m{t, k) - j e - lk^ ~ r:)(6n(h, rí) ön(t2, r 2» á 3(*i— * 2).

3 E kommutátor meghatározása analóg a III. 149. §-beli (149,5) összegszabály levezetésével, csak az elektronok Z száma helyett most a folyadék részecskéinek N száma jelenik meg.

Figyelembe véve, hogy az integrandus csak (rx—r2)-től függ, a d*(x1- x 2) szerinti integrálást (Pxt dix2/V-\el helyettesítjük, amit az átlagolás előtt elvégezve,

a(t, k) = ~ (M ú td M -k(Í2» (87,2)

eredményt kapjuk.Számítsuk ki a 8a(t, k)jdt derivált értékét, ha t = 0. Mivel a(t, k) csak a t — t i~ t2

időkülönbségtől függ, így

8<r(t, k) dt 1

és ebbe beírva (87,2)-t,

da{t,k) _ 1 <á^ (/i) M k(Í2)_ fa _ k(h))

434 IX. FEJEZET A HIDRODINAMIKAI INGADOZÁSOK

/ da da \~dh)

dt 2N

adódik. Az egyenlőség jobb oldalának mindkét tagja csak a k vektor abszolút értékétől függ, ezért a második tagban a k vektort (—k)-ra változtatjuk. Ezután h — *2> és A_k = „felfedezésével” látjuk, hogy a csúcsos zárójelekben megjelenő különbség megegyezik a (87,1) kommutátorral. Ezért

da(t, k) - - — A2 , - o 2mdt

Másrészt a(t, k)-l a frekvencia szerinti Fourier-komponensként írva,

da(t, k)dt

A derivált két kifejezését összehasonlítva, a keresett

CM

í .. dia fik2 0}a{<a’ k ) 2 ^ = 2 ^ <87’3>

összefüggésre jutunk (ff. Placzek, 1952). Hangsúlyozzuk, hogy minden k -ra igaz kapcsolatra jutottunk. A klasszikus határesetre áttérve (fi — 0), a bal oldali integrált

alakra hozzuk, amit aztán (86,14) szerint

a((o, k )—o(—a>, k) m ~ - cf(co, k )

alakban közelíthetünk. Ezután a ti tényezőkkel az egyenlőség két oldalán egyszerűsítünk, és marad

oo

íAlkalmazzuk a (87,3) képletet Bose-folyadékra, ha T = 0, és tekintsük a kis k ér

tékek tartományát, k — 0 esetén az integrál fő járulékát a o(to, k) alaktényező ő-függ- vényszerű csúcsaira vett integrál adja. Ez (86,13)-ban az egy fonon keltésével járó folyamatoknak felel meg (minthogy a felyadék alapállapotában nincsenek fononok, így T = 0 esetén fonon eltűnésével járó folyamatok nem mennek végbe). E tag Ab(u)—uk) alakú, ahol fiuk a fonon energiája (u a hangsebesség). Ha ezt a kifejezést helyettesítjük be a(vj, &)-kénl (87,3)-ba, akkor megkapjuk A-t, és végül a

7íhfca(oj, k) = ----- ő(ca-uk) (87,4)mu

képletre jutunk.Ezt a kifejezést a (86,7) képlet szerint integrálva, kapjuk a sztatikus alaktényezőt:

w - i L (87'5)

(R. P. Feynman, J954).4 Minthogy ez a képlet kis k értékekre érvényes, ezért Fourier- transzfoi malija a korrelációs függvény nagy r értékekre mutatott aszimptotikáját határozza meg:

S H F ( 8 W )

• A (87,5) képlet a a(k) = fPk'llmtik) alakban írva [e(fc) a kvázirészecske energiája], csak k -*• 0-ra igaz szigorúan, k növekedésekor egyre nagyobb szerepei játszanak a több kvázirészecske keltésével járó átmenetek járulékai <7(A}-hoz. Ha ezt a járulékot mégis elhanyagoljuk, akkor úgy vehetjük, hogy ez a képlet teremt kapcsolatot az alaktényező és a Bose-folyadékbeli k v á z iré s z e c sk e energiája között. Az a maximum, amelyet a felvesz * ~ l/a esetén (a a folyadékbeli atomi távolság nagyságrendje), az «(*) görbe „roton” minimumának felel meg.

28*

(ennek ellenőrzésére a VIII. fejezet 31. lábjegyzetében közölt integrált kell használni). T = O-ra a (87,6) képlet tetszőlegesen nagy távolságokra igaz. Alacsony, de véges hőmérsékleten r ~ hujT távolságig érvényes, ahol a fluktuációk tisztán kvantumos jellege megszűnik. Még nagyobb távolságokon a (87,6) törvényt exponenciális csökkenés váltja fel (ha eltekintünk a van dér Waals-eró'k járulékától; 1. 83. §).5

Még egy összegszabály kapható az alaktényezőnek a 86. §-ban levezetett kapcsolatából az a(co, k) általánosított szuszceptibilitással. Ezt a kapcsolatot (86,20) adja meg, amit T = 0 esetén (to =- 0) az

na(co, k) = 2# lm a(<w, k) (87,7)

alakra egyszerűsítünk.A Kramers—Kronig diszperziós képletek szerint [V. (123,15)]:

•e„ x 1 f lm «(««’, k) , ,Re a(ö), k) = —<J) 1 ---------------day.n J co — a>

■ un

I de cd = 0-t téve, és figyelembe véve, hogy a(0, k) valós/ írhatjuk, hogy

oo

a(0, k) = — í — lm «(«, k) . (87,8)7Z | CO L7t

A k -*■ 0 határesetre fennáll az

■ a * - * - ( 8 7 ' 9 )

egyenlőség. Ez abból következik, hogy a sztatikus, lassan változó gyenge U térben érvényes egyensúlyi feltétel: fi+ U = const, azaz a külső tér bekapcsolása ekvivalens a kémiai potenciál (— £/)-val történő megváltoztatásával. Ezért (86,18)-ból a k -*■ 0

* A (87,6) korrelációs függvény negatív (ami a részecskék közötti taszításnak felel meg), ellentétben az ideális Bose-gáz pozitív korrelációs függvényével (I. V. 117 .§). Ezzel kapcsolatban megemlítjük (25. §), hogy gyengén nemideális Bose-gázban az energiaspektrum csak k <k mu/fi esetén fonon alakú (miközben h/mu >> a). A megfelelő távolságokra r ~ i fk » fi/mu, így az ideális gázhoz tartva (u -*■ 0) a (87,6) képlet alkalmazhatósági határa a végtelenig terjed ki.

1 Aza(m = 0, r) mennyiség az általánosított szuszceptibilitás általános tulajdonságai miatt valós. Az a(, r) páros függvénye r-nek.

határesetre azt kapjuk, hogy

0 ” rdn = - ~ U ^ - U \ o c ( 0 , r i- r 2) cP(xi - x 2) = - í/a(0, * = 0),

amiből azután (87,9) már következik.Alkalmazva a (87,7)—(87,9) képleteket, megkapjuk a folyadék alaktényezőjére

a T = 0 esetben érvényes következő összegszabályt:

= (87,10)

0

(D. Pines, Ph. Noziéres, 1958).


Feladat

Adjuk meg a Bose-folyadék v(r) korrelációs függvényét T « hőmérsékleten r ,> hu(T távolságokon.

Megoldás. A keresett korrelációs függvényt az alaktényező k ~ l / r T/hu « . \ ja értékeken mutatott viselkedése határozza meg, amelyre a folyadék energiaspektruma fonon típusú. T * 0-ta a(co, £)-ban megjelenik egy 8(<o+ku)-i tartalmazó tag is, amely fonon elnyelésének felel meg, emellett a fononemissziót leíró <5(«—h i) tag is jelen van. Az egyes tagok együtthatóit (86,14) és (87,3) segítségével lehet megállapítani:

-rrfrlc0 (0), k) = ~ [1 -e-W -íTJ-t [ Ő (o ,-k u )- i-e -< ő (o \-k u )) . (1)

E képletet integrálva,

adódik, majd a

”w = J p,kc °w w = - m t í * * k' cth i r dk— oo

összefüggésre jutunk. A dk szerinti integrálás útját a komplex k sík felső félsíkjában egy végtelen távoli körön bezárva, az integrált a (képzetes tengelyen) elhelyezkedő pólusok reziduumainak kiszámítására redukáljuk. Ha r » fiu/T, az integrálba a fő járulékot a f\kuj2T — in pontbeli pólus reziduuma ad ja :

InT* i 2nT \”(,) = - ^ r exp( - ^ r r)- (3)


Az aT/ku •« 1 feltétel mellett a v(r) függvény csillapodásának karakterisztikus hosszúsága jóval nagyobb az atomok közötti távolságnál, ami az atomok közötti közvetlen kölcsönhatással kapcsolatos effektusok lecsengését jellemzi Ugyanakkor a (3) képletben lényegesen jelentkezik fi, vagyis az általa leírt korreláció kvantumos jellegű. Megjegyezzük, hogy a levezetés során elhanyagoltuk a van dér Waals-erők járulékát. Mint az a 83. § eredményeiből következik, ez a járulék hatványviselkedésű, és igy elegendően nagy távolságokon dominálóvá válik. Az a távolság, ahol (3)-ról (83,l6)-ra térünk át, az együtthatók konkrét viszonyától függ, de a (3) képlet elegendően alacsony hőmérsékleten valamilyen véges tartományban mindig alkalmazható, mivel az alkalmazhatósági határon r ~ fiu/T esetén (3) szerint v ~ T 4, (83,16) szerint viszont i> ~ T 7.

88. §. A hidrodinamikai ingadozások

Az előző szakaszokban tetszőleges u> frekvenciájú és k hullámvektorú sűrűség- ingadozásokat vizsgáltunk a folyadékban. Természetesen ilyen általánosságban a korrelációs függvény konkrét alakját nem lehet megtalálni. De a hidrodinamikai határesetben, amikor a fluktuációk hullámhossza nagy a jellemző mikroszkopikus méretekhez (a folyadék atomjai közti távolsághoz, a gáz szabad úthosszához) képest, erre megvan a lehetőség.

A sűrűség, a hőmérséklet, a sebesség stb. ingadozásainak egyidejű korrelációs függvényeit az álló folyadékban különösebb speciális megfontolások nélkül is kiszámíthatjuk: e fluktuációkat (a klasszikus, azaz nemkvantumos határesetben) a szokásos termodinamikai képletek írják le, amelyek tetszőleges, termikus egyensúlyban levő közegre érvényesek, A tér különböző pontjaiban egyidejűleg fellépő ingadozások korrelációi az atomi távolságok nagyságrendjébe eső méretekre terjednek ki (a gyenge hosszúhatótávú van dér Waals-erőket elhanyagoljuk). A hidrodinamikában azonban ezek a távolságok infinitezimálisan kicsinynek számítanak, tehát a hidrodinamikai határesetben az egyidejű ingadozások korrelálatlanok. Ez a következtetés formálisan egy termodinamikai mennyiség: speciálisan a fluktuáció létrejöttéhez szükséges üjnin minimális munka additivitásából is következik. Minthogy a fluktuáció valószínűsége arányos az exp ( — R ^^IT) tényezővel, így az munkát az egyes, fizikailag végtelen kicsiny térfogatokban elvégezendő munkák összegeként előállítva, azt találjuk, hogy az egyes térfogatbeli valószínűségek egymástól függetlenek.

E függetlenségből kiindulva azonnal felírhatjuk a termodinamikai mennyiségek átlagos szórásnégyzetére vonatkozó ismert képleteket (V. 112. §) a korrelációs függvényekre vonatkozó állításokként. Tehát pl. a V térfogatbeli hőmérsékletingadozásokra vonatkozó

képlet szerint (g a sűrűség, cv a közeg egységnyi tömegre vonatkoztatott fajhője) mindenekelőtt a

(&T(ta) d n r b) ) = - ^ - d ab

képlet írható, ahol a fluktuációk két kicsiny térfogatban, Va-ban és f^-ben lépnek fel. A térfogatokkal zérushoz tartva,7 azt kapjuk, hogy

<ŐF(rx) 6T(iz)) = IL á (n - r2). (88,1)QC D

Hasonló módon kapjuk meg az egyéb termodinamikai jellemzők fluktuációit is:

(ŐQ(t l ) de(r,)) = qT ^ ^ ő ( ri- r 2), (88,2)

( 6 P ( t s) Ö P(rz)) = q T | j á ( r , - r 2) = eTu* á ( n ~ r 2), (88,3)

<áí(n) fc(r2)> - ő(rx- ra) (88,4)

(P a nyomás, s a közeg tömegegységre jutó entrópiája); a g, T és a P, s mennyiségpárok fluktuációi függetlenek. Leíijuk a folyadék v makroszkopikus sebességének korrelációját megadó képletet is ((?) = 0 egyensúlyban):

<M(ri) Ővk(r2)) = ~ ő,*ő(ri-r2). (88,5)

A hidrodinamika sajátos kérdésfelvetései közé tartozik az ingadozások időbeli korrelációinak, valamint a mozgó folyadékban fellépő fluktuációk kérdése. Ezekre a folyadékban fellépő disszipatív folyamatok, a viszkozitás és hővezetés jelenségének figyelembevételével adhatunk választ.

88. §. A HIDRODINAMIKAI INGADOZÁSOK 439

7 Ezek és az egyidejű ingadozásokra vonatkozó alábbi képletek gázok esetében olyan hullámhosszú ingadozásokra érvényesek, amelyek bár a molekulák közötti távolságokhoz képest nagyok, de nem feltétlenül azok a szabad úthosszhoz képest. Ez utóbbi feltétel teljesülése azonban szükséges a különböző időpontokbeli ingadozások korrelációs függvényeinek megadásakor a hidrodinamikai közelítés alkalmazhatóságához (minthogy a gázokban a perturbációk terjedésének mikroszkopikus mechanizmusát éppen a szabad úthossz jellemzi).

Az ingadozási jelenségek általános elméletének felépítése a hidrodinamikai közelítésben a fluktuáló mennyiségekre vonatkozó „mozgásegyenletek” levezetésével egyenértékű. Ezt megfelelő kiegészítő tagoknak a hidrodinamikai alapegyenletekbe való beírásával tehetjük meg (L. D. Landau, E. M. Lifsic, 1957).

A hidrodinamikai egyenletek:

-|y-+diV (<?v)= 0, (88,6)

? r ( § +VVJ) = T ’ i ( - £ + í r H v ’ <88'8)

a atk feszültségtenzor és a q hőáram megadása nélkül egyszerűen a tömeg, az impulzus és az energia megmaradását kifejező egyenlőségek. Ezért fenti alakjukban tetszőleges mozgásra, így többek között a folyadék — ingadozásokból létrejövő - állapot- változásaira is érvényesek. Ekkor q, P, y, . . . mennyiségeken az alapmozgásbeli í?o* -Po> vo> • ■ • mennyiségek és a <5q, őP, <5v, . . . fluktuációs járulékok összegét kell éiteni (az utóbbiak szeriüt az egyenleteket természetesen mindig linearizálhatjuk).

A feszültségtenzorra és a hőáram vektorára vonatkozó megszokott képletek azokat a sebesség gradiensével, illetve a hőmérséklet gradiensével köti össze. Az ingadozási jelenségek során a folyadékban olyan helyi spontán feszültségek és hőáramok jelennek meg, amelyek nem kapcsolódnak az említett gradiensekhez. Jelöljük ezeket %-val és g-vel, és nevezzük „véletlen” mennyiségeknek. így

/Ü Ü + dvk 2\ dxk dxj 3v'ik = n (-5-^ + "5— - t öik div vj + C6ík div v+ sik, (88,9)

q = - ) (V T + g (88,10)

(r} és £ a belső súrlódási együtthatók, x a hővezetési együttható).A feladat most s# és g tulajdonságainak tanulmányozása: korrelációs függvényeik

meghatározása. Az egyszerűség kedvéért az összes megfontolást a hidrodinamikában megszokott nemkvantumos fluktuációkra végezzük el. Ez azt jelenti, hogy az ingadozási rezgések frekvenciájára feltesszük a fico<stT feltétel teljesülését. A számolásokban a belső súrlódási együtthatót és a hővezető képességet nem tekintjük diszperzívnek, vagyis ezek függetlenek a rezgések frekvenciájától.

A fluktuációk általános elméletében (V. 119—122.§) az ingadozó mennyiségek diszkrét halmazát tekintjük: xl5 x2, . . . , itt viszont folytonos halmazzal van dolgunk,

88. §. A HIDRODINAMIKAI INGADOZÁSOK 441

(mivel g, P, . . . minden pontbeli értéke külön-külön valószínűségi változó). Ez a lényegtelen nehézség kikerülhető, ha a testet kicsiny, de véges AV térfogatú darabokra osztjuk, és az ezekre vonatkozó átlagmennyiségeket tekintjük változókként. Az infinitezimálisan kicsiny térfogatelemekre való áttérést a végképletekben végezzük el.

A (88,9)— (88, !0) egyenleteket a kvázistacionárius fluktuációk általános elméletében szereplő

X a — Yab y b (88,11)b

egyenletekkel azonosítjuk (1. V. 122. §), így xa-oknak a dik tenzor és a q vektor komponenseit választjuk az egyes AV térfogatokban. Ekkor az ya mennyiségek nyilván %-val és g-vel azonosíthatók:

X a QIk , »(88,12)

ya -* s,k,gi.

Az Xa termodinamikailag konjugált mennyiségek értelmét a folyadék S teljes entrópia változási sebességére vonatkozó képlet felidézésével világíthatjuk meg. A megszokott módon (vö. VI. 49. §) a (88,8)—(88,10) egyenletek segítségével azt kapjuk, hogy

(8 M 3 >

Az integrált a AV térfogatelemekre való összegezéssel közelítve, majd azt az

a

képlettel összehasonlítva, azt kapjuk, hogy

Ezután a yab együtthatókat könnyű megtalálni, és ezek közvetlenül meghatározzák a keresett korrelációkat, ahogy az a következő képletből kitűnik:

( } ’a ( t i ) y b ( t 2) ) - ( y a b + Y b a ) S ( h - h ) (88,15)

[I. V. (122,21a)].

Mindenekelőtt vegyük észre, hogy a (88 ,9 )-(88,10) képletekben nincs olyan tag, amely olk-1 a hőmérséklet-gradienssel vagy q-t a sebesség térbeli változásával kapcsolná össze. Ez azt jelenti, hogy a megfelelő együtthatók zérusok, és (88,15) értelmében fennáll az

ri)gi(h, r 2)> = 0 (88,16)

egyenlőség, azaz sm és g értékei egyáltalán nem korreláltak.

( Á V \ 0J1- j z ) ' vel összekötő együtthatók zérusok, ha e

mennyiségeket különböző ÓV elemekben tekintjük, és Viu = xT2d,JAV, ha ugyanabban a tartományban találhatók, y^-nek ezzel a értékeivel (88,15)-öt felhasználva, a AV -* 0 határátmenet után

(giiti, n )gk(h , r2)> = 2xT2 bik # n - r2) ő(/t - h) (88,17)

adódik.A véletlen feszültségtenzor korrelációs függvényére hasonló módon vezethetők le

képletek:

1, fi) r2)) =

= 2T [ i j íM ^ + a ,*«*»)+ ( f —y - ) (88,18)

A (88,16)—(88,18) képletek elvben választ adnak a hidrodinamikai ingadozásokra vonatkozó minden kérdésre bármely konkrét esetben. A feladatok megoldásának menete a számítások során a következő. £/fc-t és g-t adott koordináta- és időfüggvényeknek tekintve, formálisan megoldjuk a linearizált (88,6) —(88,8) egyenleteket a őq, ö v , . . . mennyiségekre, figyelembe véve az ekkor szükséges hidrodinamikai határ- feltételeket. Eredményül e mennyiségeket % , g lineáris funkcionáljaiként állítjuk elő. Hasonlóan, tetszőleges, őg-ban, őv-ben stb. kvadratikus mennyiség slk és g kvadratikus funkcionáljával fejezhető ki. Ezek átlagértékét a (88,16)—(88,18) képletekkel kiszámítva, a közbenső slk, g segédfüggvények kiesnek a képletekből.

írjuk fel (88,16)—(88,18)-at a frekvenciák szerinti Fourier-transzformáltakra is, de rögtön általánosan, a kvantumingadozásokra is érvényes képletet írjunk. A fluktuáció—disszipáció tétel általános szabályai szerint a (ho)j2T)cih(hco/2T) tényező bevezetésével jutunk a kívánt általánosításra (ez hco<szT esetén a klasszikus közelítés érvényességi tartományában egységnyi). Ha a belső súrlódásnak és a hővezető képességnek van diszperziója, az t), £, x mennyiségek a frekvencia komplex függvényei. A fluktuációs képletekben r\, £, x a megfelelő függvények valós részeivel helyettesít-

(4 1} A = 0, (88,19)

= Őifcő ( r i - r 2) hcoTcűx ~ . Re x(a>), (88,20)

88. §. A HIDRODINAM IKAI INGADOZÁSOK 443

UfcM*)* = ^w á(ri~ r2) c t h ^ - X

X T b,mbkf - y j Re ?}(**)+ Re C(<t>)l . (88,21)

Feladat

Határozzuk meg egy szuperfolyékony Bose-rendszerben a kondenzátum-hullámfüggvény fluktuációinak korrelációs függvényét nagy távolságok határesetében (P. C. Hohenberg és P. C. Mariin, 1965).

Megoldás. A hosszúhullámú határesetben a legerősebb fluktuációk a <P hullámfüggvény fluktuációi, mivel ezekhez csak a makroszkopikus szuperfolyékony mozgás viszonylag kicsiny energiája tartozik. Az ennek megfelelő járulék a folyadék Q teljes termodinamikai potenciáljához ( V térfogatban, adott T é s ft mellett) a következő:

Öü J 1 e.v« dV - ^ J ( V)-dv.

60-1 Fourier-sor alakjában kifejezve:

M> £ ' <50_k = Ö0{k

a következőt kapjuk:

6 0 ^ e‘VZ k*ló0k[:'

ahonnan a fluktuációk négyzetének átlagértéke

(| 60k Is) = Tm-(Vtre,k-. (1)

A számolás teljesen hasonló az V. 146. §-ában végzetthez. Ezen fluktuációk járuléka a

GO) = (<5S(0)<5.S(r)>

egyidejű korrelációs függvényhez

Cir) % «„ (6<1>(0) Ö0(r)) = Tntfn'1l4ixll(>tr. (2)

G{r) tellát nagy távolságokra hatványfüggvény szerint csökken. Ugyanott a kondenzátum «o sűrűségének fluktuációitól eredő járulék exponenciálisan cseng le. A két járulék r ~ r, esetén lesz összemér-

h e tő jb a r •*: r„ akkor (a A-ponthoz közeli hőmérsékleten) együttesen követik a

G(/0 ~ r - ‘1+í) (3)

törvényt,"ahol f a megfelelő kritikus exponens. Az re korrelációs sugár úgy definiálható, mint az a távolság,^ ahol a (2) aszimptotikus alak átmegy (3)-ba:

ri ~Felhasználva a £ és v kritikus exponenseket, amelyek (28,1) és (28,3) szerint leírják «0 és r, hőmérsék« letfüggését, azt kapjuk, hogy

Q,

Az a,/?, v ,í kritikus exponensek közöttiismert összefüggések (V. I48.cs I49.§)felhasználásával könnyen beláthatjuk, hogy ez az eredmény megegyezik a (28,4) összefüggéssel.


89. §. Hidrodinamikai ingadozások végtelen közegben

E szakaszban megvizsgáljuk a nyugvó, végtelen kiterjedésű folyadék hidrodinamikai fluktuációinak kérdését. Ezt a feladatot természetesen az előző szakaszban bemutatott módszerrel is megoldhatjuk. Itt azonban más utat követünk, amivel illusztráljuk a hidrodinamikai ingadozások feladatának egy másik megoldási lehetőségét is.

Ez a módszer a kvázistacionárius fluktuációk általános elméletét egy, a véglegest megelőző állapotában használja, a véletlen erők bevezetése előtt. Felidézzük az idetartozó általános képleteket (I. V. 122. §).

Legyen= - ^ Xabxh (89,1)

az xa(í) jellemzők halmazának makroszkopikus „mozgásegyenlet-rendszere” . xa(t) a rendszer egyensúlytól eltérő állapotát írja le (egyensúlyban = 0). Ezek az egyenletek akkor érvényesek, ha az xa mennyiségek értéke ingadozásaiknak négyzetes átlagánál jóval nagyobb (de ugyanakkor elegendően kicsi ahhoz, hogy a mozgásegyenleteket linearizálni lehessen). Ekkor nyugodtan állíthatjuk, hogy (t > 0-ra) a korrelációs függvény ugyanezeket az egyenleteket elégíti ki:

~ (xa{t) xc(0)) = - £ Lö(xb(t) xc(0)), / - 0. (89,2)

Ezen egyenletek kezdeti feltételeit

< * o ( 0 M 0 ) > If — + 0 = ( X a X c ) (89,3)

adja meg, ahol (jycc) az ismertnek feltételezett egyidejű korrelációs függvény. A t < 0 tartományba a korrelációs függvényeket analitikusan folytatjuk az

<*„(/) xc(0)> = ± (xa( - 0 xc(0)> (89,4)

szabály szerint, ahol a felső előjel arra az esetre vonatkozik, mikor xa és xc paritása az időtükrözésse! szemben megegyezik, az alsó előjel pedig akkor érvényes, ha a két mennyiség időparitása ellentétes. A (89,2) egyenlet a (89,3) feltétel mellett „féloldalas” Fourier-transzformációval oldható meg: az egyenletet e^'-vel megszorozzuk, és a (0, oo) tartományban t szerint integráljuk (a bal oldali integrálást parciálisán végezzük el). Ekkor a következő egyenletrendszerre jutunk:

- /ío(XaXe)l+> = - z ó(*í>A',)L+ ’ + (xaxc\ (89,5)

ahol

(xaxt,)^ = J eh’'(xa(t)xb(Q))dt. (89,6)0

A (89,6) kifejezésekkel a szokásos Fourier-komponensek is kifejezhetők:

oo

(xaxb%, = J eim‘(xa(t) xb(0)) dt =— oo

= ( X r f > ± K ^ )£ + > r = (xaxb) i^ + ( XbXa)<+> (89,7)

ahol a ± jelek a (89,4)-beli előjeleknek felelnek meg.A nyugvó folyadékbeli ingadozások kitűzött feladatára való áttéréshez először is

linearizáljuk a (88,6)—(88,8) hidrodinamikai egyenleteket, ahol <%-t és q-t a (88,9)—(88. 10) képletekből vesszük (az utolsó tagok elhagyásával), o ~ q0+ őq, v = őv,. . . behelyettesítéssel, a lineáris tagokat tartva csak meg, azt kapjuk, hogy

+ q div v = 0, (89,8)

= ~ VŐP-f -qAY+^t + y J Vdivv, (89,9)

w = w * dT (8 9 M

(az állandó g0, . . . mennyiségek 0 indexét a Hnearizálás után elhagytuk). A (89,8)—(89.10) egyenletekben célszerű azonnal felosztani a sebességet potenciális („longi-

89. §. HIDRODINAMIKAI INGADOZÁSOK VÉGTELEN KÖZEGBEN 445

tudinális”) t® és rotációs („transzverzális”) vw sebességre a

v = vt'í+vW,

div vW = 0, rőt v(,> = 0

definíció szerint. (89,8)-ban csak a longitudinális sebesség jelenik meg:

dÖQ~~dT

(89,9)-ből viszont két egyenletet kapunk

(89,11)

+ e divv<'> = 0, (89,12)

^ = (89,13)Öt Qés

= - V ŐP+ V div V<»- (89,14)

A transzverzális sebességre vonatkozó egyenlet független az összes többitől. így fluktuációinak korrelációs függvényére egyetlen egyenletet kapunk:

~ r) v ffto , 0 ) ) - r) v? \0 , 0)) = 0 (89,15)

(ahol v = t)/q a kinematikai viszkozitás). Még egy „féloldalas” Fourier-transzformá- ciót hajtva végre, azt kapjuk, hogy

-ia>(ví'\r ) » m ) L +)- = < # ( r ) > (0)>

(ahol a jobb oldalon az egyidejű korrelációs függvény áll), avagy a koordináták szerinti Főúriéi-transzformáltakra áttérve:

(»/% <% , = (v/,)w*(,))hv/c2— /co

A sebességingadozások egyidejű korrelációs függvényét a (88,5) képlet adja meg; benne Fouiiei-komponensekre áttérve és leválasztva a transzverzális részi,

(89,16)

adódik. Ezt az előző képletbe helyettesítve, a következő végeredményre jutunk:8

« % '% , - 2 Re W%«>)íí> = " ( » « - ^ - ) (89,17)

A többi változóra a (89,10), (89,12), (89,14) csatolt egyenletrendszert kell tanulmányozni, A kis és nagy frekvenciák határesetében azonban ez a rendszer egyszeiűsö- dik. Az a helyzet, hogy a longitudinális sebesség és a nyomás pertui bációi a folyadékban u hangsebességgel terjednek, az entrópiáé viszont a hővezetési egyenlet szerint. Ez utóbbi mechanizmus szerint ~ l /%&2 idő szükséges a perturbáció ~ I jk távolságra való eljutásához [% = x/gcp a közeg hőmérséklet-vezetési (hődiffúziós) együtthatója]. Ezért (a hullámvektor adott értékére) a

yjí2 <k co ~ ku (89,18)

feltételt kielégítő frekvenciákra feltehető, hogy csak és P ingadozik állandó entrópia mellett. Az ellenkező

a> <ir. kit (89,19)

feltétel teljesülésekor az entrópia izobár ingadozásai lépnek fel.9Először vizsgáljuk az első, nagyfiekvenciás esetet (89,18), és határozzuk meg pél

dául a nyomás ingadozásait.A (89,14) egyenletet a korrelációs függvényre átírva,

- | r <v<«(í, r) ÖP(0,0)> = - grad (ÖP(t, r) 6P(0,0)>+

+ ( í + - y - j grad div <t«(í, r) ÖP(0,0))

adódik, amelyhez tartozó kezdeti feltételül v® és óP egyidejű korrelálatlansága szolgál. „Féloldalas” Fourier-transzformációt végezve időben, és teljeset télben, azt kapjuk, hogy

- /<»e(v<'> ŐPtiV = - í k { m ) - ( í + -y - ) k(kv<» ÖP)ít\ (89,20)

“ Könnyű belátni, hogy a (89,17) kifejezést dv>j2jt szerint integrálva, visszajutunk az egyidejű korrelációs függvényre, amint az szükséges is.

* A xk l ku egyenlőtlenség a hidrodinamikai tartományban mindig teljesül. így pl. gázokban u ~ vT és x ~ ahol t>r a részecskék átlagsebessége, I a szabad úthosszuk. Ezért egyenlőtlenség egyenértékű a kötelezően előirt A/ I feltétellel.

Továbbá a (89,12) egyenletben írható, hogy

(H )/í'+ ( f ) p& ’2. dősjdt deriváltat pedig a (89,10) egyenlettel fejezzük ki, amit

dós x 1 d T \ .

alakban írunk fel (a Abs tagot a jobb oldalon elhanyagoljuk a 8ös/6i hányadoshoz képest a f k "1« <o feltétel értelmében). Ezzel az

•egyenletre jutunk. A korrelációs függvényekre vonatkozó egyenletet újra úgy kapjuk, hogy ÖP-1 és v^-et rendre (öP(t, r) ÖP(0,0))-val és (vlí)(í, r) öP(0, 0))-val helyettesítjük. Az így adódó egyenlet kezdeti feltételét (88,3) szolgáltatja. Fourier-transzfor- máció után az

ico khtq / dT \ 2 ~ ~ t^ + ~ T ~ \ d p ) s

Q F y g + U & W ÖP)W = qT (89,21)

■egyenletet kapjuk.A (89,20)—(89,21) egyenletekből néhány átalakítás után azt kapjuk, hogy

ahol

( f n , = 2 R « « ' = 2 R (89>22)

a hangelnyelés együtthatója a közegben (1. VI. 77.§), yT ennek az a része, amely a hővezetéssel kapcsolatos. A végeredményt arra a tartományra is felírjuk, melyre co »

± k u , ahol a fluktuációk különösen nagyok:

^ <89l24)

Ez a képlet | co :pku | < try esetén érvényes.10

10 A hangelnyelés hidrodinamikai együtthatója gázokban mindig kicsi (1. VI. 77. §; a y « k egyenlőtlenség önként adódik a ki oc 1 feltételből), valamint olyan folyadékokban is, amelyekben a hang■diszperziója elhanyagolható.

Az alacsonyfrekvenciás (89,19) tartományban elegendő az entrópia fluktuációját vizsgálni. Mint azt már korábban megmutattuk, itt a nyomás fluktuációi elhanyagolhatók. Eszerint (89,10)-ben


írható (a cp fajhő egységnyi tömegre vonatkozik). így a keresett korrelációs függvényre vonatkozó egyenlet azonos tipusú (89,15)-tel, a hozzá tartozó kezdeti feltételt(88,4) adja meg. Megoldásaként

adódik.

Feladatok

I . Adjuk meg a híg oldatban oldott részecskék száma fluktuációjának korrelációs függvényét.

Megoldás. A részecskék számának n sűrűsége kielégíti a

diffúzióegyenletet (D a diffúziós állandó). Híg oldatban a tér különböző pontjaiban egyidejűleg mérhető sűrűségek korrelálatlanok (ahhoz hasonlóan, ahogy a sűrűség egyidejű korrelációs együtthatói az ideális gázban is zérusok). Ezért az egyidejű korrelációs függvényre írhatjuk, hogy

(8n(r,)ön(r})) = n Ó (r ,- rs).

A (89,25) képlethez hasonló módon kapjuk, hogy

E megoldási eljárásban a termodiffúzió jelenségét elhanyagoltuk, így a Ön fluktuációt a hőmérséklet-ingadozásoktól függetlennek tekinthettük.

2. Adjuk meg egy nagy diszperziójú £(cu) második viszkozitású folyadékban a nyomásingadozások korrelációs függvényét (a nagy diszperziójú második viszkozitás megjelenése valamely paraméter lassú relaxációjával kapcsolatos).

Megoldás. A lassú relaxációs folyamatok

(89,25)

2 9 Statisztikus fizika 2. rész

alakú második viszkozitásra vezetnek, ahol r a relaxációidő, i/0 az egyensúlyi hangsebesség, pedig a relaxáló paraméter állandó értékéhez tartozó hangsebesség (I. VI. 78. §). A (89,20) - (89,21) és velük a (89,22) egyenlet diszperzió jelenlétében is igaz. í = £(&>) behelyettesítésével, elhanyagolva az ij-ból és *-ból származó tagokat, a számítások elvégzése után a következő eredményre ju tunk :

___________ITTQU&Úg-U l)________(ul-<o‘/ky+0>*THú*.-0>*/k°-)- '

90. §. A kinetikus együtthatók operátoros kifejezése

A 88. §-ban kapott (88,20)—(88,21) képleteket új megvilágításban vehetjük szem- ügyre, ha „jobbról balra” olvassuk, azaz a hővezető képességre és a viszkozitásra vonatkozó kifejezésekként értelmezzük Őket. Ekkor a bal oldali korrelációs függvényeket, definíciójuk alapján, bizonyos mennyiségek operátoraival fejezhetjük ki, melyeknek mikroszkopikus jelentésük van. Eredményül a kinetikus együtthatók operátoros kifejezését kapjuk.

Először is azt jegyezzük meg, hogy a „véletlen” energia- és impulzusáramok különböző helyeken fellépő ingadozásai közötti korreláció hiánya [a 0(rx—r2) függvény megjelenése a (88,20)—(88,21) képletekben] a hidrodinamikai közelítés következménye, ami pedig csak kis abszolút értékű hullámvektorokra igaz. E feltétel explicit alakjának levezetéséhez a fenti képleteket koordinátaváltozóik szerint Fourier-transz- formáljuk [ami a á ( r i - r 2) tényezőnek az egységgel való felcserélésére vezet], majd vesszük a k -*■ 0 határesetet. így az /, k indexpárban összeejtett (88,20) képletet:

(g<l¥ 2>)u = 3á(rj—r2) ho>T cth ^ • Re x(«>)

a

R e = 3W oSfth I f klim 0 ( g2^ k (9 0 ,1 ^

alakban írjuk.Könnyű belátni, hogy ilyen írásmód esetén a képletben szereplő g „véletlen” hő

áramot a Q teljes energiaárammal lehet helyettesíteni. Ez utóbbi, mint az a hidrodinamikából ismeretes, a konvektív energiatranszportból és a q hőáramból áll:

Q = [~2 + ev+ q % o w v-x v r + g (90,2)

90. §. A KINETIKUS EGYÜTTHATÓK OPERÁTOROS KIFEJEZÉSE 451

(w a folyadék egységnyi tömegű részének entalpiája; az utolsó kifejezésben a v ingadozási sebességben magasabb fokú tagot elhagytuk). Kis k-ra azonban a valós fizikai mennyiségek (v, T, q stb.) fluktuációja a véletlen áramok fluktuációihoz képest magasabb k hatványt tartalmaz, így a k -*• 0 határesetben g ingadozásai megegyeznek a Q-éval. Ez már abból is rögtön világos, hogy a hidrodinamikai fluktuációk (88,6)—— (88,8) mozgásegyenleteiben a g és slk áramok csak a térbeli deriváltakban jelennek meg, az említett fizikai mennyiségeknek viszont az időderiváltjai is szerepelnek. A Fourier-komponensekre való áttérés után az utóbbiak k/co rendűek az előbbiekhez képest.

g-től eltérően, a teljes Q áram olyan mennyiség, melynek közvetlen mechanikai jelentése van, így ennek jól definiált kvantummechanikai operátor, Q(/, r) felel meg, melyet kifejezhetünk a közeg dinamikai változóival. A megfelelő korrelációs függvények Heisenberg-operátorokkal felírt definícióit felidézve a

összefüggésre jutunk (M. S. Green, 1954).A x(o>) függvény célszerűbb reprezentációjára jutunk, ha a korrelációs függvényt

a megfelelő operátorok kommutátorával kifejező összefüggést használjuk.Ha xa{t), xb(t) kél fluktuáló mennyiség (melyek értéke egyensúlyi állapotban zérus,

és amelyek egyformán viselkednek időtükrözés során), akkor (76,1) és (75,11) szerint korrelációs függvényük a következő alakra hozható:

ahol a {___} zárójelek a kommutátort jelölik. Az r = i —ra változó szerinti Fourier-komponensekre áttérve, az

képiéi adódik. Ezi a (Q2)„,k korrelációs függvényre alkalmazva és a (90,1) összefüggésbe helyettesítve, azt kapjuk, hogy

| j w <Q(/, r) Q(0,0) + Q(0,0) Q (í, r)> dt tPx

(90,3)

(xlaúx ^ X , - C th -— Re eiM({xa(t, r), x*(0, r2))>í//,0

Re x(o>) = — — lim ReM l k 0k 0

0

29*

Az egyenlőség mindkét oldalán a Re jel mögött co olyan függvényei állnak, amelyek to — oo esetén nullához tartanak, és a komplex co sík felső félsíkjában nincs szingula- ritásuk. E függvények megegyeznek, ha valós részeik a valós to tengelyen azonosak. Ily módon a

oo

*(co) = — - Um# J J e* * -") <{Q(/, r) Q(0, 0)}> dt d*x (90,5)0

végeredményt kapjuk. A sztatikus hővezetési együttható kiszámításához még el kell végezni az co — 0 határátmenetet is.

Hasonló módon alakíthatjuk át a (88,21) képletet is, és kaphatunk operátoros előállítást a viszkozitásra.

Ha bevezetjük a j'ik teljes impulzusáramot [alk-1 (88,9)-ből vesszük],akkor a k -* 0 határátmenetben slk kivételével az összes tag fluktuációja nullává változik, ezért ( V h U - t K tf /n,W val helyettesíthetjük. Végül

q( co) + ó im ö k l ~ - j + £ (c o ) Ő/kÖ/m =

= — lim f f ({&ik(f, r)^/m(0,0)}) dt d3x, (90,6)co k - o j J

0

ahol őlk(t, r) az impulzus áramsürűségének operátora (H. Móri, 1958). Az egyenletben az /, k és /, m, ill. az i, I és k y m indexpárosítást végezve, megkapjuk külön 9 t és J0f?4-3£ kifejezését.

91. §. A Fermi-folyadék dinamikai alaktényezője

Fermi-folvadékok esetén a (87,4)—(87,6) képletek nem alkalmazhatók az alak- tényező T — 0 viselkedésére, minthogy azok levezetése feltételezi, hogy uz elemi gerjesztések spektrumának csak fononrésze van (kis co-ra és k-ra). A 88- 89. §-ban kidolgozott hidrodinamikai fluktuációelmélet szintén nem alkalmazható: ugyanis megköveteli a. k i t : ] feltétel teljesülését (/ a kvázirészecskék szabad úthossza), Fermi- folyadékokra pedig ez utóbbi közismerten sérül / ~ T~3 miatt, amely így végtelenhez

91. §. A FERMI-FOLYADÉK DINAMIKAI ALAKTÉNYEZŐJE 453

tart T -*■ O-ra. Ezért a Fermi-folyadék alaktényezőjének kiszámítása céljából vissza kell térnünk a kinetikus egyenlethez.

E körülmények között célszerű (86,17)-(86,20)-ból kiindulni, e képletek ugyanis kapcsolatot adnak meg az alaktényező és a folyadékra ható valamely U(t, r) térhez tartozó általánosított szuszceptibilitás között. A (86,18) definíció a következőképpen alakul, ha a koordináták szerint is elvégezzük a Fourier-transzformációt:

A T = 0 esetre korlátozódunk. Ekkor a dinamikai alaktényezőt «(<o, k)-val az

képlet szerint fejezhetjük ki.A k) sűrűségperturbációt a kinetikus egyenletből számítjuk ki, amelyben

(T — O-ra) az ütközési integrált elhanyagoljuk. Ezek a számítások a 4. §-ban a zérushangra elvégzettektől csak abban különböznek, hogy a kvázirészecske energiájához hozzáadjuk az

tagot is. Ennek megfelelően a (4,3)-beli dejdt deriválthoz hozzá kell adni a SU/ör = = ikU tagot, a (4,8) kinetikus egyenlet bal oldalán viszont

Ön(o>, k) = — a(oj, k) Umk. (91,1)

ha co > 0, ha 0) < 0 (91,2)

- i k U - ^ - = ikvUŐ(e-eF)

jelenik meg. A kinetikus egyenlet megoldását a

ón( p) = órt«*(p) e'O"-""),

^»«^(p) = - d (e — h f ) Z(n), lm p f P

(91,3)

alakban keressük. Ez a kvázirészecskék impulzuseloszlásának perturbációja Fourier- transzformáció után. A kvázirészecskék együttes számának keresett megváltozását (amely a valódi részecskék sürűscgváltozását is megadja) a

integrállal állíthatjuk elő. A j;(n) függvény (91,3)-ban adott definíciója a normálásban tér el v(n) (4,9>beli meghatározásától, ugyanis normáját itt úgy választjuk meg, hogy(91,2) az

naico, k) = lm f x(n) ♦ f« =» 0 (91,4)

alakot öltse.A %(n) függvényre az

(w -t'fk n ) z(n) - tvkn J F(é) x(a') = - kn (91,5)

egyenlet vezethető le, amely (4,ll)-től nemzérus jobb oldalában tér el.A (91,5) egyenlet explicite nem tartalmaz képzetes mennyiségeket. A %(n) megoldás

képzetes részeinek megjelenése csak az integrálok kiszámítása során fellépő pólusmegkerülések eredménye. A megkerülés módját az rögzíti, hogy a rendszerre ható U ~ e~lal tér adiabatikusan kapcsolódik be t = — <*=-ből indulva. Ennek megfelelően a tér frekvenciáját a> — co+iO módon kell megváltoztatni.

A megoldás konkrét alakja a kvázirészecskék F{f>) kölcsönhatási függvényétől függ. Szemléltessük a megoldás menetét és tulajdonságait a legegyszerűbb példán, az F — const = F0 eseten.

Ekkor (91,5) megoldása

X(n) = C — Vf— (91,6)t'/-kn—w—fO

alakú, ahol C állandó. Ez utóbbit (91,6)-nak (91,5)-be való behelyettesítésével határozhatjuk meg, ami a

C (I+ 0 = n S S jr- <5,l' 7>

egyenlőséget adja, ahol

kn'iy dí í

' - J kn'Vjr— co—/0 4~r

Az integrandus csak az d' és k közli szögtől függ, ezért nyilvánvaló átalakítások után az

2 J x - s - m 2 j s - l I ha .v - 1

összefüggésre jutunk, ahol j = (ojkcF [az integrál képzetes részéi a (8,11) képlet szerint határoztuk meg]:

A (91,6-(9i,8) által meghatározott jr(n) függvényt (9l,4)-be helyettesítve, megkapjuk a dinamikai alaktényezőt:

^ ,m7+Sw <9I'9>(A. A. Abríkoszov, /. M. Halatnyikov, 1958). Ez (91,8) szerint s -= 1 (azaz minden o) < kvF) esetén különbözik nullától.

Ha F0 =» 0, akkor a Fermi-folyadék ban zérushang terjedhet, melynek «0 sebességét az

I + F0/(sn) = tí, -Vo = uo/vF

egyenletből határozhatjuk meg. Az %-hoz közeli s értékekre a (91,9) kifejezés

1const • lm -------s - s 0

alakú, ahol a fentebb mondottak szerint s — a>jkvf -et ( í+ /0)-ként kell értelmezni. Ez azt jelenti, hogy o(u>, &)-ban egy const -á(s— s0) jellegű tag is megjelenik, vagy

ot(íü, k) = const •k&(a>—kuo)• (93, 10)

Ez a tag a Fermi-folyadék energiaspektruma zérushang-ágának járulékát jelenti az alaktényezőbe, és teljesen hasonló a Bose-folyadék (87,4) fononjárulékához.

E tag megjelenése nem egyedül az F — const kölcsönhatási függvény esetén várható, hanem általános tulajdonsága a Fermi-folyadéknak, amelyben lehetséges a zérushang terjedése. A kölcsönhatási törvénytől csak (91,10) állandó együtthatójának értéke függ. A jobb oldalt elhagyva, a (91,5) egyenlet a zérushang egyenletével egyezik meg, ezért az inhomogén egyenlet megoldásának pólusa van az co/k = u0 pontban.

(91,5) alakjából világos, hogy megoldása az co és k paraméterektől csak co/k formában függhet. E hányadostól függ tehát a dinamikai alaktényező is. A

91. §. A PERMI-FOLYADÉK DINAMIKAI ALAKTÉNYEZŐJE 455

oo

o( k ) = |

szlatikus alakfakior eszerintcr(k) = const >k (91,11)

alakú. Ez azt jelenti, hogy a sűrűségingadozások egyidejű, térbeli korrelációs függvénye T = 0 esetén a v(r) ~ r~l törvényt követi Fermi-folyadékra (csakúgy, mint Bose-folyadékra).

Megjegyezzük, hogy az ideális Fermi-gáz dinamikai alaktényezőjét (91,9)-böl F0 0 határátmenettel kaphatjuk meg:

ni1wa(a>y k) = —=5=7- , 0 < o) < k v f - xfi2nk

Ekkor a sztatikus alakfaktor kifejezése a következő:

kvro(k )= f a(co, k) dl° -


2n «»>

(ami összhangban áll az V. 117. § 1. feladatának eredményével).

TÁ R G Y M U TA TÓ

adalékos félvezetők 331 akceptor típusú szennyezés 331 aiaktényező, dinamikai 429 —, sztatikus 429, 437 alsó kritikus térerősség 231 általánosított kváziimpulzus 280

szuszceptibilitás 376, 380, 381, 389, 391, 431,436

anizotropia-energia magnetosztatikus része 349

anomális Green-függvények 151,201 antiferromágneses rezonancia 373- - frekvenciája 373 antiferromágnesség eltűnési pontja 373 antikommutativitás, Fermi-statisztikájú operá

toroké 37áram és mágneses tér kapcsolata szupraveze

tőben 251áramöuktuációk lineáris áramkörökben 388- spektrális függvénye 389 aszimmetrikus zérushang terjedési sebessége 32 átlagolás Gibbs-sokaságra 179, 181 átlagtávolság szennyező atomok között 261 atomok kölcsönhatása fém felületével 412 avanzsált Green-függvény 176 azonosságok G reen-függvény deriváltjai között

94

őCS-modell 210, 211, 218, 219, 249, 253 behatolási mélység 214, 222, 259, 260- - , London-féle 214, 222- - szupravezetőbe, mágneses téré 259, 260 B ethe- Salpeter-egyenletek 91

Biot—Savart-képiet 141 Bloch-féle hullámfüggvények, periodikus tér

ben mozgó elektroné 307, 361 Bloch-elektronok 279- - hullámfüggvényei 297 Bloch-függvények 270Bohr Sommerfeld kvantumfeltétel 289 Bom-közelítcs 33 ----- , első 34- - , második 34Bose-ág, Fermi-folyadék spektrumáé 31, 92 Bose-folyadék energiája 111- - fajhője 111- — korrelációs függvénye 437- - Green-függvényei 148- - szabad energiája 111 Bose-gá^, ideális 153- —, kétdimenziós 137 Bose-képlet 111Bose-rendszer Green-függvényének kiszámí

tása 155 Bose-statisztikájú részecskék 91 Bose-típusú kvantumfolyadékok elmélete 7 Bőse—Einstein-kondenzáció 130, 133, 194,

201- — kondenzátum 130

ciklotrontömeg 286 Cooper-effektus 188, 219, 264- — eredete 194- - kialakulása 209- — nemzérus pályamomentumú elektron

párra 264

458 TÁRGYMUTATÓ

Cooper-pár kötési energiája 194 Cooper-párok 261— - kondenzátumának sűrűsége 211 Curie-pont 342, 352

Cserenkov-sugárzás 30csillapodás, elektronok fononemissziójával

kapcsolatos 325 —, kvázirészecskéké 108 csúcsfüggvény 78, 80 csúcsok, nemteljesek 156

Debye-frekvencia 323— kristályé 310 Debye-hőrméséklet 413Debye-sugár, tér plazmabeli árnyékolásáé

426deformációs potenciál 319 de H a as - van Alphen-effektus 311 diagram belső vonalai 71 - , csúcsai 71diagramok, elsőrendűek 74— , másodrendüek 74 - , négyágúak 82— téridő reprezentációja 157 diagramtechnika Bose-folyadékokra 155— Fermi-rendszerekre 65— hőmérsékleti Green-függvények kiszámí

tására 184— sajátosságai, Fermi-rendszereké 206— szabályai 65 diamágneses domének 319— szuszceptibilitás a kritikus pont felett 243 dielektrikum elektron- lyuk gerjesztési spekt

ruma 328dielektromos állandó operátorkifejezése 417 differenciális valószínűség, fonon kibocsátásáé

167dinamikai alaktényező 429— - , Fermi-folyadéké 452— - , folyadéké 428— — , ideális Fermi-gázé 456 direkt rés 329diszperzió, kvázirészecskéké 193 —, térbeli 417diszperziós összefüggés, Kramers— Kronig féle

436

- — , elemi gerjesztéseké 11- reláció 176- törvény, egydimenziós esetben 276, 277- - , elektroné periodikus térbeli egydimen

ziós mozgásra 275- - , fononoké 327- - mozgó szuperfolyékony folyadék szeny-

nyező atomjaira 120disszipációmentesség feltétele 370 domének, diamágnesesek 319 donor típusú szennyező 331 Dyson-egyenlet 80, 81, 169, 187- - grafikus alakja 169 dzeta-függvény 369

effektiv tömeg, kvázirészecskéé !7,21,41- — , valódi részecskéé 21- tömegtenzor 292egy fonon elbomlása kettőre 164- hullámvonalas csúcsok 156 egydimenziós mozgás diszperziós törvénye

gyöngén periodikus erőtérben 276 egyenes örvény fonál kis rezgéseinek spektruma

146egyenletesen mozgó gerjesztési gáz statisztikai

egyensúlya 116 egyensúlyi eloszlás elkentségi tartományának

cnergiabeli szélessége 16 egymagnonos állapotok hullámfüggvénye 365 egyrészecskés Green-függvény 77, 78, 79, 99 egységnyi töltés potenciáljának Fourier-kom-

ponense 425 elektromágneses fluktuációk 8, 374- tér fluktuációi 380- ingadozások végtelen közegben 382 elektron effektiv tömegtenzora kristályrácsban

292- Green-függvénye fémben 306- Green-függvenycnek első korrekciója 321 elektron- fonon kölcsönhatás 319- - - Hamilton-operátora 320- kváziimpulzusa 271- Larmor-pályája 292elektron- lyuk gerjesztések energiái 330- - gerjesztési spektrum, dielektrikumé 328 elektromos periodikus erőtérben 269 elektronfolyadék Green-függvénye 307

TÁRGYMUTATÓ 459

elektronok Green-függvénye 320- és lyukak dielektrikumban 328, 329- — - járuléka 333- fononemissziójáva) kapcsolatos specifikus

csillapodás 325- kristályrácsban 269- párosodásának jelensége 263 - , vezetésiek 302 elektronos Fermi-folyadék 310 elektronpályák 286elektron- pozitron kötött állapotok energia

szintjei 91elektronspektrum elfajulási pont közelében 334- , normális állapotú fémeké 301- , szilárd dielektrikumoké 328 elektronszerű Fermi-felület 303- üreg térfogata 304elemi gerjesztések diszperziós összefüggése 11- - , Fermi-tipusú spektrumé 54------kvantumos Fermi-folyadékban 1!, 110- — lehetséges energiái 179- — összege 1!elfajult Bose-gáz, majdnem ideális 125- Fermi-gáz spektruma 194- — - , majdnem ideális 33- plazma 420elkentségi tartomány szélessége 16 előreszórási amplitúdó 89 első Born-közelítés 34-- korrekció, elektron Green-függvényéé 321- —, fonon Green-függvényéé 321 elsőfajú szupravezetők 230 elsőrendű diagramok 74- korrekció 38- - , Green-függvényé 68- - impulzustérbeli alakja, Green-függvényé

70- - , kölcsönható részecskék Green-függvé

nyéé 66eltolási csoport irreducibilis sugárábrázolásai

299eltűnési pont, antiferromágnességé 373 eltüntető operátorok 120 empirikus paraméterek, folyékony hélium

energiaspektrumáé 112 energia, ideális Fermi-gázé 40- , Landau-elméletbeli kvázirészecskéké 54 energiadisszipáció teljesítménye 389

energia sávok sorszáma 270— egydimenziós esetben 276, 277 energiaspektrum, kvantumfolyadéké 125- , majdnem ideális Bose-gáz elemi gerjesz-

téséé 148- meghatározása Green-függvényekkel 49- , saját félvezető kristályoké 331 - , tiszta félvezető kristályoké 331 energiasűrűség, fluktuációké 385 - , spektrális 386energiaszintek, elektron- pozitron kötött álla

potoké 91— , kváziklasszikusak 289 entrópia izobár ingadozásai 447 enyhén nemideális Fermi-gáz 188 exciton 328, 330—, Frenkel-féle 330 excitonszintek 330

fajhő ugrása a kritikus pontban 218 fázisátalakulás Landau-elmélete 138 - , másodfajú 130fekete test sugárzásának energiája 385 felcserélési szabály 125 feles spinű részecskékből álló rendszer 43 félfémek 305féloldalas Fourier-transzformáeió 445felső kritikus térerősség 231felületi feszültség normális fázis határán 224- - szupravezető határán 224 fémek szupravezetése 209 Fermi-elfajulás 341Fermi-eloszlás, zérus kémiai potenciálú 191 Fermi-felület 16, 21, 26!, 303, 305, 310- - , elektronszerű 303- - extremális metszetének területe 315- ~ , gömb alakú 305- - közelében fellépő elemi gerjesztések 308- - , lyukszerű 303 , nyílt 305Fermi-felületet kijelölő határenergia 15 Ferroi-folyadék 21- — dinamikai alaktényezője 452- - , elektronos 310- — elmélete 311------energiaspektruma 455- - Green-függvénye 58

460 TÁRGYMUTATÓ

Fermi-folyadék hanggerjesztése 52— — kompresszibilitása 21 Permi-folyadékok Landau-elmélete 81— — Landau-elméletének alapfeltevése 99— - , mikroszkopikusan homogének 309— — részecskéinek impulzus szerinti eloszlása

58_ — spektruma 12— _ spektrumának Bose-ága 31— — szuperfolyékonysága 52— — termodinamikai mennyiségei 31— —, zérus hőmérsékletűek 43 Fermi-gáz 18— - , enyhén nemideális 188— — hőmérsékleti Green-függvényei 253— — modell 37— - spektruma 12 Fermi-gömb 19Fermi-gömbön belüli állapotok 12 Fermi-rendszerek diagramtechnikájának sajá

tosságai 206------Green-függvényei 43Fermi-statisztika 37Fermi-statisztikájú operátorok antikommuta-

tivitása 37Fermi-típusú kvantumfolyadékok elmélete 12— - spektrum 12— — — elemi gerjesztései 54 ferritek 341ferromágneses rezonancia frekvenciája 351— termodinamikai mennyiségek magnón ré

sze 353, 356feszültségi tenzor. van dér Waals-erőké 394,

401Feynman-diagramok 68fluktuáció- disszipáció tétel 380, 388, 389, 431fluktuációk, elektromágneses téré 380— energiasűrűsége 385— korrelációhossza 139 fluxusfonál rezgései 146folyadék dinamikai alaktényezője 428— kémiai potenciálja 18— lambda-pontja 118folyékony hélium energiaspektrumának para

méterei 112— — felületi feszültségének hómérsékletfüg-

gése 119— - kémiai potenciálja zérus hőfokon 112

folyékony hélium lambda-pontja 130— — termodinamikai jellemzőinek rotonrésze

113fonon Green-függvénye 154, 320— kibocsátásának differenciális valószínűsége

167— - valószínűsége 166— - - , kvázirészecskéé 166 fononok 110— diszperziós törvénye 327— folyadékban 120— Green-függvcnyc 154, 161, 320— Green-függvényének korrekciója 327 forgó folyadék impulzusmomentuma 143 foton Green-függvénye 375, 376— — - közegben 374— hőmérsékleti Green-függvénye közegben

390Fourier-komponensek, egységnyi töltés poten

ciáljáé 425— — , sűrűségmátrixé 48 Fourier-transzformáció, féloldalas 445— - .té r b e l i 419Fourier-transzformált, idő szerinti töltéssűrű

ségé 418 Frenkel-exciton 330frekvencia, ferromágneses rezonanciáé 351

Galilei féle relativitási elv 20, 115 Galilei-invariancia 98 gázparaméter 42, 147Gibbs-sokaság szerinti átlagolás 129, 181 Ginzburg—Landau egyenletek 216, 221, 224,

225, 232, 262- - egyenletrendszer, teljes 220- - együtthatók 262 elmélet 221, 231, 243- - - alkalmazhatósága 263- - féle fenomenologikus elmélet 248- - paraméter 222, 230 gömb alakú Fermi-felület 305- kritikus tere 234- mágneses momentuma 246 gráfok, gyűrű típusúak 423- , korrekciós jellegűek 423 Green-függvény, avanzsált 176- — deriváltjaira vonatkozó azonosságok 94

TÁRGYMUTATÓ 461

Green-függvény, egyrészecsJcés 77, 78, 79, 99- - , elektroné fémben 306- - , elektronfolyadéké 307- - elsőrendű korrekciója 68- - - korrekciójának impulzustérbeli alakja

70- - , Fermi-folyadéké 58 , fonontéré 154, 161, 316- - , fotoné közegben 374 •- - , ideális Bose-gázé 153- - , ideális Fermi-gázé 55, 206- - , impulzustérbeli 51- — képzetes része 55- - , kétrészecskés 76, 77. 78, 79- - kifejezése J7-vel 170- - , kondenzátum feletti rész operátoraié

148- - , kölcsönhatásmentes részecskék rend

szeréé 65- - , kölcsönható részecskék rendszeréé 61,

66- küszöbhöz közeli tartományban 171

- - , majdnem ideális Fermi-gázé 102- - , makroszkopikus rendszereké 43- - —, testé 53

- — pólusai fermion rendszerekre 54- - renormálási állandója majdnem ideális

gázra 109- - , retardált 174, 178, 375, 379, 391- - , szabad részecskék rendszeréé 61, 66- - , vákuumbeli 82, 386- - , végtelen homogén közegé 401- — , zárt rendszerre 375 Green-függvények, Bose-folyadéké 148- - definíciója 180- —, Fermi-rendszereké 43- - fizikai tartalma véges hőmérsékleten 179- - grafikus számítási eljárása 7 , hőmérsékletiek 181, 264- - , időbeliek 181- —, impulzusreprezentációbeliek 49- - képzetes része 205- • kiszámítása, impulzustérbclické 69- - kvantumelektrodinamika! kiszámítása

51- — , normális Fermi-folyadéké 264- - segítségével termodinamikai mennyisé

gek kiszámítása 60

Green-függvények spinfüggése ideális gázra 265

- - , szuperfolyékony Fermi-gázé 200- - véges hőmérsékleten 174 Green-függvényeket meghatározó diagramok

szerkezete 158 Green-függvényes technika 307

gyengén gerjesztett állapotok impulzusa 57- - - spektruma 127 gyűrű típusú gráfok 423 gyűrűdiagramok 423

Hamilton-operátor 126, 127, 128- - függése a potenciáltól 280- - , Heisenberg-féle 359- —, kiindulási 190- - kondenzátumos Bose-rendszerben 152- - , kölcsönható részecskék rendszeréé 45- — , párkölcsönhatású bozortoké 125- - , spineké 358Hamilton-operátorral leírt rendszer fajhője 364 hangelnyelés fémekben 327- hidrodinamikai együtthatója gázokban 448 hanggerjesztés, Fermi-folyadéké 92 hanghullámban mozgó folyadék energiája 174 Hankel-függvény, képzetes változójú 238 harmadik kritikus tér 233határenergia, Fermi-felületet kijelölő 15 határfeltétel féltér határán 258 határimpulzus és sűrűség kapcsolata 99 helikoidális struktúrák 341 Heisenberg-féle Hamilton-operátor 359 Heisenberg-operátorok 451 hengeres szupravezető mágneses térben 231 hidrodinamikai egyenletek 440- együttható, hangelnyelésé 448- hanghullámok 110- ingadozások 8, 438- - végtelen közegben 444 hosszúhullámú fononok csillapodása 327- kölcsönhatási reprezentáció 396

hőmérsckletfüggés, kondenzátum sűrűségéé134

hőmérsékleti Green-függvény, Fermi-gázé 180, 181, 253, 264

- - - kiszámítása diagramtechnikával 184

462 TÁRGYMUTATÓ

hómérsékleti Green-függvény, közegben, fotoné 390

— Green-függvények 180, 181, 264------— szuperfolyékony Fermi-gázé 207hullámfüggvény, egyraagnonos állapotoké 365 - , kondenzátumé 130

ideális Bose-gáz 153— — - Green-függvénye 153— — — kémiai potenciálja 130- Fermi-gáz dinamikai alaktényezöje 456— — - energiája 40- - - Green-függvénye 55, 206- - - kémiai potenciálja 57— gáz részecskéinek számsűrűscge 67 időbeli Green-függvények 181 idótükrözési invariancia 271impulzus, gyengén gerjesztett állapotoké 57- szerinti eloszlás, Fermi-folyadék részecs

kéié 58impulzusmomentum, forgó folyadéké 143 impulzusreprezentációbeli Green-függvény

legfontosabb tulajdonsága 53— párosság 152impulzustérbeli Green-függvények 51- — — kiszámítása 69 indirekt rés 329ingadozások, hidrodinamikaiak 428, 438 instabilitás, kvázirészecskéké 108 invariancia, időtükrözési 271 izobár ingadozások, entrópiáé 447 izoenergetikus felületek alakja 284

Josephson-effektus 247

Kálién—Lehmann előállítás 52 keltó operátorok 120 kémiai potenciál, folyadéké 18— - , ideális Bose-gázé 130- - , ideális Fermi-gázé 57- - , ideális gázra 218— — , kvázirészecskéké 18- - , perturbálatlan 400képzetes változójú Hankel-függvény 238 két hullámvonalas csúcsok 156— örvényfonál kölcsönhatást energiája 241- komponens közötti kölcsönös súrlódás 143

két párhuzamos impulzusú részecskére való bomlás küszöbe 172 rotonra való bomlás küszöbe 170

kétdimenziós Bose-gáz 137 kétrészecskés Green-függvény 76, 78- — - , impulzusreprezentációban 78 kétvégű diagramok 80 kettéhasadás, kvázirészecskéé 162 kevert fázis 231- - szerkezete 234 kicserélődési integrálok 359- kölcsönhatás 19kiindulási Hamilton-operátor 190 kinetikus együtthatók operátoros kifejezése

450klasszikus Lorentz-egyenlet 284 koherenciahossz 194, 258 kompenzált fémek 305 kompresszibilitás, Fermi-folyadéké 21 kondenzáció, B őse- Einstein féle 194 kondenzátum 125, 150- állapotának hullámfüggvénye 133

, Cooper-párokból álló 201- feletti részecskék operátorainak Green-

függvénye 148, 150- •- impulzuseloszlása 135

- - - számának sűrűsége 149- hullámfüggvénye 130

- hullám függvényének fázisa 137- részecskéinek mikroszkopikus áramsürú- sége 134

- - pontos sűrűsége 155- sűrűsége, Cooper-pároké 211- sűrűségének hő mérséklet függése 134- zérus energiájú állapota 125

kondenzátum-hullámfüggvény fluktuációi 443 kondenzátumbeli részecskék számának operá

tora 132kondenzál umos Bőse-rend szer ben Hamilton-

operátor 152 korrekció, kváziklasszikus kvantálásé 290 korrekciók, első rendűek 38

, másodrendiiek 38 korrelációhossz, fluktuációké 139 korrelációs függvény, Bose-folyadéké 437- -.kondenzátum -hullám függvény fluktuá

cióié 443függvények aszimptotikvis viselkedése 413.

TÁRGYMUTATÓ 463

korrelációs hossz 240- jellegű gráfok 423— korrekció plazmában 427 kölcsönhatás, kvázirészecskéké 18 kölcsönhatási energia, két áramfonálé 241

függvény, kvázirészccskékc 18, 19, 88 járulék, magnonoké 269

- reprezentáció 61köksönhatásmentes részecskék rendszerének

Grecn-függvcnye 65 kölcsönható részecskék Green-függvénye 61,

66— — Green-függvényetnek elsőrendű korrek

ciója 66-- - rendszerének Hamilton-operátora 45 kölcsönös súrlódási erő két komponens között

143kör alakú örvényfonál mozgásának energiája

143•- - örvénygyűrű mozgásának impulzusa 145— — — — impulzusa 144 - - - - - sebessége 144 kötési energia, Cooper-páré 194 Kramers tétele 337Kramers típusú spinelfajulás 292 K ram ers- Kronig diszperziós képlet 436- — összefüggés 176 kristály Debye-frekvcnciája 210 kritikus lemezek tere 123

mágneses térerősség, szupravezetést megszüntető 223

- sebességek 144 tér 219, 222

- - , harmadik 233 térerősség, alsó 231 - . f e l s ő 23!

- - , szupravezető gömbre 234 Kubo képlete 417külső tér Itatása periodikus rácsban mozgó

elektronra 279 kvadratikus diszperziós összefüggés, spin

hullámoké 347 kvantumelektrodinamikai mértéktranszformá-

ció 93kvantumfolyadek energiaspektruma 125 kvantumos Bose-folyadék kis impulzusú elemi

gerjesztései 110 Fcrmi-folyadékok I f>.8

kváziimpulzus, általánosított 280 - , elektroné 271kváziimpujzus-térben zári görbén haladó moz

gás 285kváziklasszikus energiaszintek 289- - , mágneses térben mozgó részecskéé

296- kvantálás korrekciója 290- görbék 283kvázirészecske effektív tömege 17- fononemissziójának valószínűsége 166- kettéhasadása 162

kvázirészecskék bomlása 162- csillapodása 108• diszperziója 193

- energiája 171- gáza 115

instabilitása 108 kémiai potenciálja IN

- kölcsönhatása IS- kölcsönhatási függvénye 18, 19, xx- Fermi-felületen 19- teljes impulzusa egységnyi térfogatra 116

lambda-pont, folyékony héliumé 130 Landíiu-alsávok 290 Landau-csillapitás 30Landau-elmélet alapfeltevése, Fermi-folya-

dékra 99- általános posztulátumai 217

- - , fázisátalakulásoké 138- — Permi folyadékokra 188

Landau-elméletbeli kvázirészecskék energiája54

Landau-feltétel jelentése 193 Landau-határeset 251Landau-kritérium, szuperfolyékonyságé 263 Landau-szintek közötti intervallumok 311 Landau-tétel 303, 304 Larmor-féle pályasugár 310 Larmor-frekvencia 279, 286 Larmor-pálya, elektroné 292 lassú neutronok rugalmatlan szórásának ha

táskeresztmetszete 432 Legendre-polinomok összeadási tétele 93 lehetséges energiák, elemi gerjesztéseké 179 létragráfok összegezése 83

464 t á r g y m u t a t ó

létrasor 82London-egyenlet 213, 221, 239. 262 London-eset 260London-féle behatolási mélység 214, 222- - csillapodás 230 London-közelítés 241, 258London kvantummechanikai összefüggése 409- típusú szupravezető 215 longitudinális permeabilitás 418 Lorentz-egyenlet, klasszikus 284 Luttinger tétele 304

lyukpályák 286 lyukszerű Fermi-l'elület 303 lyukszerű üreg térfogata 304

Macdonald-függvény 238 mágneses átütés 285- fluxus kvantuma 215- kölcsönhatás 424- momentum mozgásegyenlete ferromágne

ses anyagban 340- rács 299- reciprok rács periódusai 300- szuszceptibilitás, fémeké gyenge külső tér

ben 311- tér behatolási mélysége szupravezetőbe 259- térben mozgó részecske kváziklasszikus

energiaszintjei 296- tulajdonságok, szupravezetőé 262 mágnesezettség fluktuációinak térbeli korrelá

ciós függvénye 357- , paramágneses anyagé 364 - , spontán 356 mágnesség 340 magnetoaktív testek 376 magnetosztatikus energia 349- rész, anizotropia-energiáé 349 magnón energiája 361- rész, ferromágneses termodinamikai meny-

nyiségeké 353, 356magnonok 341- antiferromágneses anyagban 370- energiája antiferromágnesre 372- - ferromágnesekben 347, 352- kölcsönhatása 364- kölcsönhatási járuléka 369

magnonspektrum egytengelyű ferromágnesre 352

majdnem ideális elfajult Bose-gáz 125- — Fermi-gáz 31- - - - Green-függvénye 102 makroszkopikus áramsűrűség, kondenzátum

részecskéié 134 test Green-függvénye 53

- - gyengén gerjesztett állapota 11 másodfajú fázisátalakulás 118, 130- szupravezetők 230 második Born-közelités 34 másodrendű diagramok 74- korrekciók 38 Matsubara-diagramok 187 Matsubara-operátorok 184, 186, 207, 390, 396 Matsubara-reprezentáció 180, 421 Matsubara-technika 187, 425 megmaradási tétel, négyesimpulzusé 71 mértékinvariancia 98, 212 mértéktranszformáció, kvantumelektrodinami

kái 93makroszkopikusan homogén Fermi-folyadék

309molekuláris kölcsönhatási erők általános kép

lete 402- - határesetei 407

- - - szilárd testek között 402, 407

Nécl-pont 373 négyágú diagramok 80, 82 négyes delta-függvény 77 négyesimpulzus megmaradásának tétele 71 nem magnetoaktív test 376 nemteljes csúcsok 156 neutronszórás, rugalmatlan 428 neutronszóródás folyadékban 432 normális állapotú fémek elektronspektruma

301- áram 211- Fermi-folyadék II, 12- - - elméletének alkalmazhatósági tartománya 267- - — Green-függvényei 264 normális Fermi-rendszer 193 normális rész, folyadéké 119

TÁRGYMUTATÓ 465

nyílt Fermi-felület 305nyomásingadozások korrelációs függvénye 449

oldott részecskék száma fluktuációjának korrelációs függvénye 449

operátoros kifejezés, kinetikus együtthatóké 450

oszcillátorerősségek 409

örvényfonal 140- majdnem ideális Bose-gázban 146- légzései 146- szabad energiája 239- szupravezetőkben J35- transzverzális mérete 140 örvénygyűrük 144 Összegszabályok alaktényezőre 433

pályasugár, Lamor-félc 310 paramágneses anyag mágnesezettsége 364- szennyezésű szupravezetők 263- szuszceptibilitás 362, 363 párkölcsönhatású bozonok Hamilton-operáto

ra 125párosság, impulzusreprezentációbeli 152 Pauli-mátrix 274periodikus térben mozgó elektron sp in - pálya

kölcsönhatása 274- — — — Bloch-hullámfüggvényei 307 361

pcrmeabilitás, longitudinális 418- , transzverzális 418 perturbálatlan kémiai potenciál 400 Pippard-eset 215Pippard-féle behatolási mélység 260- — határeset 260 Pippard-tipusú szupravezető 215 Planck-képlet 385plazmabeli árnyékolás Debyc-sugara 426 polarizációs operái or 392, 419 pontos Hamilton-operátor 124

kétmagnonos állapot energiája 367- - hullámfüggvénye 367

- sűrűség, kondenzátum részecskéié 155 potenciál, deformációs 319 potenciálos forgás 140V'-operátorok kölcsönhatási reprezentációban

61

rács elektronállapotainak szimmetriája mágneses térben 297

rácsbeli elektrontömeg 286 rendparaméter hosszúhuUámú ingadozása 139 renormálás 36 renormálási állandó 55- — majdnem ideális gázra, Green-függvé

nyé 109rés, direkt 329 résmentes szupravezetés 263- félvezető 338részecske- lyuk kötött állapota 91 részecskék impulzus szerinti eloszlása 136- számának sűrűsége, kondenzátum felettie

kének 149rcszecskeszám operátora 45 részecskeszám-sürűscg 218 retardált Green-függvény 174. 178. 375, 379,

391- kölcsönhatás 424rotonrész, folyékony hélium termodinamikai

jellemzőié 113- hőmérsékletfüggése, termodinamikaimeny- nyiségeké 113

roton minimuma 435 rotonjárulék 118 rotonok 113, 119 rugalmatlan neutronszórás 429 rugalmatlan szóródási hatáskeresztmetszet,

lassú neutronoké 432

saját félvezető kristályok energiaspektruma 331 sajátenergiás függvény 73, 90,158 Schrödinger-operátorok 390 sebességeloszlás tetszőleges alakú örvényfo

nál esetén 141 skin-hatás 387spektrális energiasűrüség 386- függvény, áramingadozásoké 389- sűrűség, elektromágneses sugárzásé 385 spektrum 347- , Fermi-folyadékoké 12 - , Fermi-gázé 12

, Fcrmi típusú 12tulajdonságai tezárulási pontja körül 167

sp in - pálya kölcsönhatás, periodikus térben mozgó elektroné 274

3 0 Statisztikus fizika 2. rész

466 TÁRGYMUTATÓ

spinek HamUton-operátora 358 spinfüggés, Green-függvényeké ideális gázra

265- , vertexfüggvényé 265 spinhullámok 32, 341- Fermi-folyadékban 32- kvadratikus diszperziós összfüggése 347 spinvetület váttozatlansága 90spontán mágnesezettség 356 statisztikai egyensúly, egyenletesen mozgó

gerjesztési gázé 116 sürűségfluktuáció-korreláció, térbeli 429 sűrűségmátrix 47, 48- Fourier-komponensei 48

szabad energia, örvényfonalé 239- - részecskék rendszerének Green-fügvénye

61,66számsűrűség, ideális gáz részecskéié 67----- , szupravezető elektronoké 211szennyezett félvezetők 331 szennyező atomok közötti átlagtávolság 261 szennyezők szuperfolyékony héliumban 118,

119szilárd dieleklrikumok elektronspektruma 328 szórásamplitúdó Bohr-féle sorfejtése 82 szórási hossz 33, 37, 127, 189, 192 sztatikus alaktényező 429, 443 szuperfolyadék viselkedése a lambda-pont

körül 138szuperfolyékony Fermi-gáz energiaspektruma

188- — — Green-függvényei 200- — — hőmérsékleti Green-függvényei 207- - - termodinamikai tulajdonságai 195- Fermi-rendszerek 193, 201- mozgás 117 szuperfolyékonyság 110, 114 - , Fermi-folyadéké 92- Landau-kritériuma 263 szupraáram 263 szupraköráramok 239 szupravezetés 188—, fémeké 209szupravezetést letörő kritikus mágneses tér

erősség 223 szupravezető áram 211- - sűrűsége 217, 239

szupravezető áram tulajdonságai 211- elektronok száma 262- - számsürűsége 211szupraverető gömböcske mágneses momen

tuma mágneses térben 216 ----- London-típusú 215- - mágneses tulajdonságai 262- ötvözetek 261- Pippard-típusú 215 szupravezetők, elsőfajúak 230- két fajtája 230- , másod faj úak 230szuszceptibilitás, általánosított 376, 380, 381,

389, 391,431,436- , paramágneses 362, 363

teljes Green-függvény 74- G inzburg- Landau-egyenictrendszer 220

- sajátenergiás függvény 74 térbeli diszperzió 417- Fourier-transzformáuó 419 termodinamikai ingadozások 428 -- mennyiségek 252- -- kiszámítása Green-függvényekkel 60

- rotonrészének hőmérsékletfüggésc 113- potenciál kiszámítása 60- tulajdonságok, szuperfolyékony Fermi-gázé

195tiszta félvezető kristályok energiaspektruma

331töltéssürűseg idő szerinti Fourier-transzfor-

máltja 418 tömegoperátor 74 tömegtenzor, effektiv 292 transzlációs operátor 50 iranszverzális pcrmeabilitás 418

vákuumbeli Grcen-függvény 82- — - korrekciója 82 vákuumpolarizációs folyamatok 376 valenciasáv 329valódi kölcsönhatás hatósugara 34 van dér Waals-erők 394, 413, 414

- feszültségi tenzora 294, 401 hatósugara 395

van dér Waals-vonzás tartománya 267 vázdiagram 75, 84

TÁRGYMUTATÓ 467

véges hőmérsékletű Green-függvények 180 vékony lemez mágneses momentuma 246 végtelen létrasor 85- homogén közeg Green-függvénye 401 vertexfüggvény 78- kapcsolata a kvázirészecskék szórási amp

litúdójával 81-- kis impulzus átadásakor 84- és kvázirészecskék kölcsönhatási függvénye

közötti kapcsolat 91- spinfüggése 265vezetési elektronok és lyukak 302- sáv 329

Wannier— Mott exciton 330 Wick-tétel 66, 67, 72, 73, 155, 186— - szerinti párosítások 396

zárt fermionhurok 321zérus energiájú állapot, kondenzátumé 125— hőmérsékletű Fermi-folyadék 43— kémiai potenciálú Fermi-eloszlás 191 zérushang 30zérushang-ág járuléka, Fermi-folyadék ener

giaspektrumáé 455 zérushang, majdnem ideális Fermi-gázbeli 31 zérusponti rezgések 385

30*

NÉVM UTATÓ

Abrikoszov, A. A. 8, 41, 1X2, 232, 234 , 257.261, 263, 379, 455

Andersen, P. W. 262 Andrejev, A. F. 8 Atkins, K. R. 119

Bardeen. J, 120,188, 210, 257, 321 Baym, G. 120 Beljajev, Sz. T. 148 Benyeszlavszkij, Sz. D. 339 Bicskov, Ja. A. 307 Bloch, F. 270, 347, 354 Blount, F. 282 Bogoljubov, N. N. 125, 188 Boncs-Brujevics, V. L. 54 Boyd, R. J. 368 Brillouin, L. 364 Brown, E. 299

Callaway, J. 368 Casimir, H. B. G. 410, 412 Condon, J. H. 319 Cooper, L. N. 188, 210. 257

De Gennes, P. G. 232 Dirac, P. A. M. 359 Dresselhauss, G. 338 Dyson, F. 368Dzjalosinszkij, I. E. 8. 182, 379, 395, 412

Enderby, J. 413

Farrell, R. A. 135

Feynman, R. P. 112, 140, 435 Fradkin, E. Sz. 182 Frenkel, Ja. 1. 328 Fröblich, H. 321

Galickij, V. M. 43, 93. 102 Gaskell, T. 413 Gavoret, J. 136Ginzburg, V. L. 133, 146, 216, 223, 234 Gorkov, L. P. 8, 182. 192, 200, 218. 219, 257,

261,263, 307 Green, M. S. 451 Gross, F.. P. 146

Halatnyikov, 1. M. 41, 455 Heisenberg, W. 359 Herring, C. 359 Hotienberg, P. C. 136. 443 Holstein, T. 355 Huang, K. 40

Janszon, 1. K. 249 Josephson, B. D. 139, 247

Kadanoff, L, !38 Kane, J. W. 138 Kapica, P. L. 7, 110 Kemoklidze. M. P. 416 Kip, A. F. 338 Kittel, Cli. 338, 373 Klimontovics, Ja. L. 8. 31 Koszevics. A. M. 311

NÉVMUTATÓ 469

Krómig, R. 275 Kulik, I. O. 249

Landau, L. D. 7, 8, 12, 8!, 93, 110, 112, 11H, 133, 174, 213, 216, 223, 230, 264, 341, 347, 440

Lee, T. D. 128 Legget, A. J. 23 Levin, M, L, 382Lifsic, E. M. 8, 341, 347, 395, 402, 412, 440Lifsic, I. M. 8, 290, 311London, F. 213, 215London, H. 213Luuinger, J. M. 304, 307, 336

March, N. H, 413 Martin, P. C. 136, 443 Matsubara, T. 180 Melik-Barhudarov, T. K. 192 Menyhárd, Nóra 135 Mermin, N. D. 90, 94 Migdal, A. B. 43, 59, 93, 322 Mori, H. 452

Noziéres, Ph. 136, 417, 431, 437 Nyquist, H. 388

Onsager, L. 140, 290

Peierls, R. 281, 298 Penney, W. G. 275 Pines, D. 120, 417, 431, 437 Pippard, A. B. 25X, 262, 318

Pitajevszkij, L. P. 8, 81, 146, 163 167, 267, 379, 395, 412, 416

Placzek, G. 432, 434 Polder, D. 412Pomerancsuk, I, Ja. 23, 28, 118 Primakoff, H. 355

Ritov, Sz. M. 382, 3X4

Saint-Jamcs. D. 232 Schmid, A 246 Schmiedt, H. 135, 246 Schoenberg, D. 310 Schriefíer, J. R. 188. 210, 257 Schwabl, F. 135 Shockley, W. 286 Smidt, V. V. 243, 246 Szepfalusi, Péter 135 Szilin, V. P. 31, 33

Thomson, W. 146

Van Vlcck, J. H. 359 Vegyenov, A, A. 427

Wannier, G. H. 330 Wortis, M. 369

Yang, C, N. 40, 128

/.ak, J. 299

TA RTA LO M JEG Y ZÉK

Előszó ....................................................................................................................................................... 7Néhány Jelölés ............................................................................................................................................ 9

I. A NORMÁLIS FERMI-FOLYADÉK .................................................................................. 111. §. Elemi gerjesztések a kvantumos Fermi-folyadékban ................................................... 112. §. A kvázirészecskék kölcsönhatása .................................................................................. 183. §. A Fermi-folyadék mágneses szuszceptibiiitása .............................................................. 234. §. A zérushang ................................. .................................................................................... 255. §. SpinhuHámok a Fermi-folyadékban ................................................. .............................. 326.§. Elfajult, majdnem ideális Fermi-gáz a részecskék közt ható taszítással ................. 35

II. FERMI-RENDSZEREK GREEN-FÜGGVÉNYEI T = 0 HŐMÉRSÉKLETEN ......... 437..§. A makroszkopikus rendszerek Green-függvénye ...................................................... 438. §. Az energiaspektrum meghatározása Green-függvények segítségével.................. 499.§. Az ideális Fermí-gáz Green-függvénye .......................................................................... 55

10..§. A Fermi-folyadék részecskéinek impulzus szerinti eloszlása ..................................... 5811. §. A termodinamikai mennyiségek kiszámítása Green-függvény segítségével ............ 6012. §. íP-operitorok kölcsönhatási reprezentációban ............................................................ 6113. §. Diagramtechnika Ferm i-rendszerekre............................................................................. 6514. §. A sajátenergiás függvény ............................................................. .................................. 7315. §. A kétrészecskés Green-függvény ...................................................................................... 7616. §. A vertexfüggvény kapcsolata a kvázirészecskék szórási amplitúdójával ................. 8117. §. A vertexfüggvény kis impulzus á tad ásak o r.................................................................... 8418. §. Kapcsolat a vertexfüggvény és a kvázirészecskék kölcsönhatási függvénye között 9119. §. A Green-függvény deriváltjaira vonatkozó azonosságok............................................. 9420. §. A határimpulzus és a sűrűség kapcsolatának levezetése ............................................. 9921. §. A majdnem ideális Fermi-gáz Green-függvénye ......................................................... 102

III. A SZUPERFOLYÉKONYSÁG ................................................................................................ 11022. §. Elemi gerjesztések a kvantumos Bose-folyadékban ..................................................... 11023. §. A szuperfolyékonyság.......................................................................................................... H424. §. Fononok a folyadékban ...................................................................................... 12025. §. A majdnem ideális elfajult Bose-gáz ...... ....................................................................... 125

472 T A R TA LO M JEG Y ZÉK

26. j . A kondenzátum hullámfüggvénye ................................................................................. ..13027. g, A kondenzátum sűrűségének hőmérsékletfüggése ..........................................................13428.6. A szuperfolyadék viselkedése a A-poni körül ............................................................. ..1382 9 . §. Kvantált örvényfonalak ...... ............................................................................................. ..^30. §. Örvényfonal majdnem ideális Bose-gázban................ .................................................... ..14631. §. A Bose-folyadék Green-függvényei ............................................................................... ..14832. §. Diagramtechnika Bose-folyadékokra .......................................................* ......................15533. St, Sajátenergiás függvények .................................................................................................... I5S34. §. A kvázirészecskék bomlása ..............................................................................................*6235J , A spektrum tulajdonságai lezárulást pontja körül ....................................................... ..167

IV. GREEN-FÜGGVÉNYEK VÉGES HŐ M ÉRSÉKLETEN................................................... ..17436. §. Green-függvények véges hőmérsékleten........................................................................... ..17437.§. A hőmérsékleti Green-függvények ............................................................................... ..ISO38..§. Diagram technika a hőmérsékleti Green-fiiggvények kiszámítására ...................... ...184

V. A SZUPRAVEZETÉS.................................................................................................................... 'SS39.5. A szupsrfolyékony Fermi-gáz, Az energiaspektrum ..................................................... ..18840. §, A szuperfolyékony Fermi-gáz. Termodinamikai tulajdonságok .................................19541.®. A szuperfolyékony Fermi-gáz Green-függvényei .........................................................20042.5. A szuperfolyékony Fermi-gáz hőmérsékleti Gr een-fii eg vényei ...................................20743. §. A fémek szupravezetése ....................................................................................................20944.5. A szupravezető á r a m ................................................... ........................................................21'4 5 J . A Ginzburg Landau-egyenletek ......................................................................................28646. §. Felületi feszültség a szupravezető és a normális fázis határán ........................ ............22447. §, A szupravezetők két fajtája ............................................................................................. ..23048. §. A kevert fázis szerkezete......................................................................................................23449. §. A diamágneses szuszceptibilitás a kritikus pont felett....................................................24350. §. A Josephson-effektus.......................................................................................................... ..24751. §. Az áram és a mágneses tér kapcsolata szupravezetőben............................ ....................35152. §. A mágneses sér behatolási mélysége szupravezetőbe ................................................... ..25953.§. A szupravezető ötvözetek ............................................................................................... ..26154..§. Cooper-etfektus nemzérus pályamomentumú elektronpárra .................................... .264

VI. ELEKTRONOK A KRISTÁLYRÁCSBAN........................................................................... .26955. §. Elektron periodikus erőtérben ........................................................................................26956. §. A kiilső tér hatása a periodikus rácsban mozgó elektronra ........................................27957. §. A kváziklasszikus pályák ...................................................................................................28358. §. A kváziklasszikus energiaszintek .....................................................................................28959. §. Az elektron effektív tömegtenzora a kristályrácsban......................................................29260. §. A rács elektronállapotainak szimmetriája mágneses térben .............. .........................2976L§. A normális fémek elektronspektrum a...... .......................................................................Wj62. §, Az elektron Green-függvénye fém ben ............................................................................. .306ö3, g, A de H aas-v an Alphen-eűektus ................................................................................... .31164.§. Az e lektron-fonon kölcsönhatás ................................................................................. .31965.§- Az elektron — fonon kölcsönhatás befolyása a temek elektronspektrumára .......... .32266.§. A szilárd dielektrikumok elektronspektruma ..............................................................328

TARTALOMJEGYZÉK 473

67. §, Elektronok és lyukak félvezetőkben................................................................................. 33168. §. Az elek Iron spektrum az elfajulási pont közelében.................. , .................................... 334

VII. A MÁGNESSÉG ........................................................................................................................ 34069. §. A mágneses momentum mozgásegyenlete ferromágneses anyagban .................... .... 34070. §. Magnonok ferromágnesekben. A spek trum .................................................................. 34771. g. Magnonok ferromágnesekben. Termodinamikai mennyiségek ................................. 35272. §. A spinek Hamilton-operátora ......................................................................................... 35873. §. A magnonok kölcsönhatása .......................................................................................... 3fi474. §. Magnonok antiferromágneses anyagban ...................................................................... 370

Vili. AZ ELEKTROMÁGNESES FLUKTUÁCIÓK ................................................................. 37475. §, A foton Gresn-függvénye közegben ............................................................................... 37476. g. Az elektromágneses tér fluktuációi................................................................................... 38077. §. Elektromágneses ingadozások végtelen közegben............................ : ......................... 38278. §. Áramfiuktuációk lineáris áramkörökben........................................................................ 38879. §. A foton hőmérsékleti Green-függvénye közegben ..................................................... 39080. g, A van dér Waals-erÖk feszültségi tenzora ..................................................................... 39481. i . Molekuláris kölcsönhatási erők szilárd testek között. Általános képlet..................... 40282. §. Molekuláris kölcsönhatási erők szilárd testek között. Határesetek ......................... 40783. §. A korrelációs függvények aszimptotikus viselkedése folyadék esetén ...................... 41384. §. A dielektromos állandó operátorkifejezése ................................................................... 41785. §, Az elfajult plazma ............................................................................................................ 420

IX. A HIDRODINAMIKAI INGADOZÁSOK ........................................................................... 42886. §. A folyadék dinamikai alaktényezője ............................................................................. 42887. §. Összegszabályok az alaktényezűrc...... ............................................................................ 43388. §, A hidrodinamikai ingadozások ................................................................................... 43889. §. Hidrodinamikai ingadozások végtelen közegben ................................................... .. 44490. §. A kinetikus együtthatók operátoros kifejezése .......... ................................................. 450

91. S. A Fermi-folyadék dinamikai alaktényezője ........................................ ........................ 452

Tárgymutató .............................................................................................................................................. 457Névmutató ................................................................................................................................................. 468

J

landau 09 statisztikus fizika ii

Documents