laudatur 2 maa2 ratkaisut kertausharjoituksiin · 2016-06-13 · laudatur 2 maa2 ratkaisut...
TRANSCRIPT
Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin
206
it
mi 8
olmannen asteen termin kerroin 1,
1. Polynom 332. VakioterK 15 ⋅ 8 = 9,2
termi 0,Neljännen asteen n kerroin 80 ⋅ 9,2 = 7,36ysytty polynomi P(a) = 7,36a4 + 9,2a3 +xa2 + ya + 8, ,x y∈ K
Vastaus: Polynomi on P(a) = 7,36a4 + 9,2a3 +xa2 + ya + 8, ,x y∈ 333. a) 2 2 3 3 2 22 ( 1) ( 3 2) 2 2 2 2 6 4 6 2x x x x x x x x x x x x+ − − + ⋅ = + − + − = − b)
c)
2( 7) ( 7)x x− − + 2 2 2
2 2
14 49 ( 14 49)14 49 14 49
28
x x x xx x x x
x
= − + − + +
= − + − − −= −
2 2 2
3 2 3 2
2
( 3)( 3) ( 3) (3 ) ( 9) ( 6 9)(3 )9 3 18 6 27 9
3 27
x x x x x x x x x xx x x x x x x
x
− + + + − = − + + + −
= − + − + − + −
= − +
Vastaus: a) x c) 23 2x− + 26 2x− b) –28x 7
34.
) = 3 ⋅ (–0,1754) 2 = 1,4738
3 2 2 2
2 2
( ) ( 1) ( 1)( 1) 2 1 ( 1)2 1 1
3 2
P x x x x x x x x xx x x xx
= + − + − + = + + − − +
= + + − + += +
a) P(–0,1754 +
b) 179 179( ) 3 2 139 39
P = ⋅ + =10513
astaus:V a) 1,4738 b) 1013
335. astalukujen summa on nolla.
15
V2 2 2 2 2)( 2) 2 (2 ) ( 2) 4 4 2 4 4 4 8x x x x x x x x x x x x− + − − + − = − − + + − + = − ( 2
Nollakohdat
=
24 8 04 ( 2) 0
4 0 tai 2 00 tai 2
x xx x
x xx x
− =− =
= −= =
207
. vat vastalukuja, kun x = 0 tai x = 2
un 0 ja 2x x≠ ≠Eivät ole vastalukuja, kOVastaus: Eivät ole vastalukuja, kun 0 ja 2x x≠ ≠ . Ovat vastalukuja, kun x = 0 tai x = 2.
4
336. Polynomi ( )P x 2x ax= + + Ehto (5) 59P =
25 5 4 59a+ + =
5 30 : 5a = 6a =
omi 2( ) 6P x x x 4= + +Polyn
nomin arvo 2( 5 3) ( 5 3) 6 ( 5 3) 4 5 6 5 9 6 5 18 4 0P − = − + ⋅ − + = − + + − + = Poly Vastaus: a = 6, ( 5 3)P − = 0 337. a) (3 25) 3(2 5 4) 1 9 6 5 5 6 5 12 1 1− + − − = − + + − − = b)
2( 7 5) 2 (6 28) 6 7 18 7 10 7 25 12 2 4 7 6 7 18
2 10 7 4 7 6 7 2
− − ⋅ − + − = − + − + ⋅ + −
= − + + =
Vastaus: a) 1 b) 2 338
a
c d
ac ad
bc bdb
d
339. ( )( )a b c d ac ad bc b− − = − − +
a–b (a–b)(c–d)
b
c–d d
ad a
c
340. ( 13 s s s s sa b xa b ya b− − −+ )1 1 1 1 0 0 13 3 3 3 3 3s s s s s s s s sb xa ya b xa b ya b xa yb− + − − − + −= + = + = + Vastaus: 3xa + 3yb 2. Polynomien jako tekijöihin
a) 4x + 12 = 4(x + 3) ) y2 + 7y = y(y +7)
8)
341.
bc) 8 (R Rπ π π− = −
208
Vastaus: a) 7 4(x + 3) b) y(y + ) c )) ( 8Rπ −
( 1)x x − 1)
2
342. a) 2x x− =
b) 3 2( (x x x x x− = 1) ( 1)x x− = − +
c) x −5 4 2 2 2( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)x x x x x x x x x x= − = − + = − + + 4 3 2 2 2 26 9 ( 6 9) ( 3)x x x x x x x x− + = − + = − d)
Vastaus: a) ( 1x x )− b) ( 1)(x x x− +1) c) 2( 1)( 1)( 1)x x x x− + + d) 2 2( 3)− x x 343.
( )a) 2 2 ( )s t s t− = − s t+ 2)) 22 2 (s t st s st t s+ − = − + = −2 2 2 t
2)bc) 9s2 26 (3st t s+ + = t+ Vastaus: a) ( )( )s t s t− + 2 b) ( )s t− c) 2(3 )s t+ 344.
)y a) ( ) ( ) ( )(a b x a b y a b x+ − + = + −
b) ( ) [ ]( ) 1 (x a b x x a b x a b+ − = + − = + −1) c) ( ) ( ) ( )( ) [ ]3 7 ( ) ( ) ( 3 7)
( )( 3 7) ( )(4 7)a b x y b a x a b x y x
a b x y x a b x y− + + − − + = − + − − +
= − + + − = − + −
Vastaus: a) ( )(a b x+ − ) b) ( 1x a by )+ − c) ( )(4 7)a b x y− + − 345. 4x4 – 8x3 + 4x2 = =4x2(x2 – 2x + 1) = 4x2(x – 1)2 Vastaus: 4x2(x – 1)2 346.
a)24 8 4 42 2
x xx− +
=−
22( 2 1)
2x x− + 2
1
2( 1)( 1)
xx
−=
−
1
1x −1
2( 1) 2 2x x− = − =
b)26 9 ( 3)x x− + −
=1
3)1
33( 3)
xxx−
=++
2x 2 9x − (x −
) 3 4x x x−
=
12( 4)x −
1
( 2) ( 2))
x x− +=
1
2( 2)x + 1
22
xx−
=+
c 3 24 4x x x x 2( 4 4x x+ ++ +
209
Vastaus: a) 2x – 2 b) 33
−+
xx
c) 22
xx−+
347.
36
8x −
13
3 8x −1
3
( 8)64 xx −−=
( 8)x + 3 8x= +
Va
staus: 3 8x +
.
oritetaan ja
348
kolasku 3 23 2 6
3 1x x x
x+ + +
−k jakokulmassa. Su
2
3 2
3 2
2
33 1 3 2 6
3 63
773
3
x
x x x xx x
x xx x
x
k
+
− + +
±
+±
±
+
∓
∓
7x +
k +
3∓
7x k+
7
Jakojäännös on 7
73
k
k
+ =
=
7
43
2
Vastaus: 43
k = 2
210
349.
Suoritetaan jakolasku 3 2
2
31
x x xx
− − +−
a jakokulmassa.
2 3 2
3
2
31 3
3 3
3
xx x x x
x x
x
a
−− − − +
±
− +
±
− +
∓
∓
a
23x a
Polynomi on jaollinen binomilla, kun jakojäännös on nolla. –3 + a = 0
a = 3
s:
Vastau a = 3
3. Ensimmäisen asteen yhtälö 350.
2) 3)6)
1 ( 2)3 2
1 2 03 2
2 6 3 36
3 66
18
x xx
x xx
x x x
x
x
− − + =
− + + − =
− + −= −
= − ⋅
= −
Vastaus: x = –18
351. ) 5 − 2a = 1 + a
a 3
5 4 : (
45
a
a
− = − −
=
4)
5(−2a + 3) − 14 = −6 (a + 11) − 8 b)
10 15 14 6 66 8
4 75 : ( 4)754
a aa
a
− + − = − − −
− = − −
=
211
c) a a+ =4 5
6+
23)
1 62 6
3 62 6
3
a a
a aaa
− =
− =
=
=
: 2
⋅
Vastaus: 45
a) b) 754
c) 3
352.
a) 6− = ⋅ 1y y3 2 6
2 3 1y y− =
1 : (1
yy
− = −
= −
1)
b) 75 3 4y − = + 1
5 3 6 4y −
7 4153 6
0 12 identtisesti epätosi
y y
y
− = + −
= −
Yhtälöllä ei ole ratkaisua.
c) 1 28 6
y y+ −=
1
16 8 6 6
10 14 :10215
y yy
y
− = +
=
=
astaus:V a) –1 b) ei ratkaisua c) 215
353.
a) 1 x16 3 20 66 2 3
x x− +− = − ⋅
60 ( 16) 9 2( 2)x x x− − = − +60 16 9 2 4
8 80 : ( 8)10
x x xxx
− + = − −
− = − −
=
6 8 19 2 11, 211 3 2 3
x x x xx x
+ −= ≠
− − ≠b)
212
2 26 12 8 16 209 22 57 675 225 : 75
3
x x x x xxx
− + = − − +
=
=
x −
Vastaus: a) 10 b) 3
354.
2 22 1x x −
2 2
2 2 2 2
2 2
( 1) ( 2) ( 3) ( 4)( 4)2 1 2 6 9 ( 16)
2 6 9 166 24 : 6
4
x x x x x xx x x x x x x
x x x x xxx
+ − + = − − − +
+ + − − = − + − −
+ + − = − + − +
=
=
Vastaus: 4 355.
2 2
2 2 2
2 2 2
7 ) ( 3 7 )( 3 7 ) 7( 3 1) 14
3 2 3 7 7 (3 7 ) 7( 3 1) 14
3 2 3 7 7 3 7 3 1) 14
2 3 7 7( 3 1) : ( 2 3 7 )
x x x
x x x x
x x x x
x
− − − + = − +
− + − − = − +
− + − + = − +
− = − −
( 3 x
7(
7x =
1
( 3 1)
2 3 7
−
−1
3)3 1 3 1 3 3 3 3
6 62 3 2 3
3 36
x
x
− − − −= = =
−− −
−=
Vastaus: 3 3−
56.
6
3
2 2
2
2 2 1
( 2 )( 2 ) 1
2 1
11 01
x x x x x
x x x x
x x
xx xx
− ⋅ + = >
− + =
− =
=
0
= >
=
Vastaus: 1
213
357.
) 1 2 5 364 3 18
z z− −− = ⋅ a
1) 12( 2) 109 9 12 24 10
3 5 : ( 3)53
zz z
z
z
− =− − + =
− = − −
=
9(z − −
b) Juuri on z = 1 toteuttaa yhtälön 616 4
z k z k− − − ++ = .
1 1 616 4
1 71 16 4
2(1 ) 12 3( 7 )2 2 12 21 3
5 35 : ( 5)7
k k
k k
k kk k
kk
− − − ++ =
− − ++ = ⋅
− + = − +− + = − +
− = − −
=
2
c) Teen alkuperäinen hankintahinta a (€) Voittoprosentti 30 % Voitto 0,3a Myyntihinta a + 0,3a = 1,3a Hankintahinta nousi 13 % Uusi hankintahinta 1,13a
oitto euroina sama kuin ennen 3a usi myyntihin 1,13a + 0,3a a
Myyntihinnan nousu 1,43a – 1,3a = 0,13a
Hinnan nousu prosen
V kin 0, U ta = 1,43
tteina 0,13 0,1 10 %1,3
aa
= =
Vastaus: a) z = 53
b) k = 7 c) Hinta nousi 10 %.
uku x
Luvun kolm
358. L
asosa 3x
Luvun neljäsosa 4x
Yhtälö
1 3 13 4
4 3 12 3624
x x
x xx
− + = ⋅
− + ==
2
astaus:V Luku on 24.
4. Toisen asteen yhtälö 359.
2
2
1
2
65 7 05
6( 7) ( 7) 4 55
2 515115
x x
x
x
x
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅
=
=
Vastaus: 15
tai 1 15
360. a)
2
2
1
2
20 99 0
( 20) ( 20) 4 1 992 1
911
x x
x
xx
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅==
b) 2
2
1
2
3 2 1 0
( 2) ( 2) 4 3 ( 1)2 3
13
1
x x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅
= −
=
Vastaus: a) 9, 11 b) − , 1 13
) 361. a) 2 2(5 1) 3 (1x x x+ − = x−
2
2
1
2
4 7 2 0
7 7 4 4 (2 4
214
x x
x
x
x
+ − =
2)− ± − ⋅ ⋅=
⋅= −
=
−
)
b) (2 23) 8 19 2 (3 2x x x+ − = + − x
214
2
2
1
2
8 2 10 0
( 2) ( 2) 4 8 ( 10)2 8
1114
x x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅= −
=
Vastaus: a) –2, b) –1, 1 14
14
1 362. 104 2( 1)x x= −⋅ −
4
4
4
4 4
4
10 ( 1)( 1) ( 1) 0(10 ( 1) 1)( 1) 010 ( 1) 1 0 tai 110 1 10 1
1 1 0,999910
x x xx x
x xx x
x
⋅ + − − − =
⋅ + − − =
⋅ + − = − =
= − =
= − = −
0
Vastaus: tai 1 0,9999x = −x = 363. 2 2 2( 5 1) 4 ( 5 1)x x x+ + = − 5−
2
2
4 4 5 5 0
4 5 (4 5) 4 4 52 4
52
x
x
x
+ + =
− ± − ⋅ ⋅=
⋅
= −
Vastaus: 52
−
364. 23 2 3x x− 3 0− =
2
1
2
( 2 3) ( 2 3) 4 3 ( 32 3
2 3 486
2 3 4 36
33
3
x
x
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
±=
= −
=
)
215
Vastaus: 33
− tai 3
1 0= 365. 2x ax a− + −Yksi juuri, jos diskriminantti = 0
2
2
2
( ) 4( 1) 04 4 0
( 4) ( 4) 4 1 42 1
2
a aa a
a
a
− − − =
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅=
Ratkaistaan yhtälö 2
2
2
2 2 1 02 1 0
( 2) ( 2) 4 1 12 1
1
x xx x
x
x
− + − =
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅=
Vastaus: a = 2, x = 1 366. 2ax ax+ =
2
1x −) 1 0+ =( 1ax a x+ −
Yksi juuri, jos diskriminantti = 0 2
2
2
2
1
2
( 1) 4 02 1 4 0
6 1 0
( 6) ( 6) 4 1 12 1
6 4 22
6 4 2 3 2 22
6 4 2 3 2 22
a aa a a
a a
a
a
a
a
− − =
− + − =
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅±
=
−= = −
+= = +
Vastaus: 3 2 2±
216
367. x2 –3ax + 2a2 = 0 sijoitetaan x = −3 2 2
2
2
1
2
( 3) 3 ( 3) 2 02 9 9 0
9 9 4 22 2
332
a aa a
a
a
a
− − ⋅ − + =
+ + =
− ± − ⋅ ⋅=
⋅= −
= −
9
Vastaus: −3 tai 32
−
5. Toisen asteen yhtälön sovelluksia 368. luku x
2
2
2
1
2
1 3 543
1 3 54 03
1( 3) ( 3) 4 ( 54)3
123
918
x x
x x
x
xx
− =
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅
= −=
Vastaus: Luku on –9 tai 18. 369. Suorakulmainen kolmio toteuttaa Pythagoraan lauseen.
4x
15x − 2
2x −Ehdot 5x − 2 > 0 eli x ja 2x − 1 > 0 eli 12
x > 25
>
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
2
2
1
2
5 2 4 2 1
25 20 4 16 4 4 15 16 3 0
( 16) ( 16) 4 5 32 5
1 1 ei käy, 5 2
= 3
x x x
x x x x xx x
x
x x
x
− = + −
− + = + − +
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅
= >
Kateettien pituudet ja 2 14 4 3x = ⋅ =12 2 3 1 5x − = ⋅ − =
217
Ala 1 12 52⋅ ⋅ 30=
Vastaus: x = 3 m, ala 30 m2 370. luku x
2
2
2
77 0
1 1 4 1 (2 1
1 292
x xx x
x
x
+ =
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− ±
=
7)
Vastaus: 1 292
− ±
371. leveys x yksikkömuunnokset 10 cm = 1 dm, 5 000 cm3 = 5 dm3
x + 4,0
1,0
x
tilavuus
2
2
1
2
( 4,0) 1 54,0 5 0
4,0 4,0 4 1 ( 5)2 1
4,0 362
5 ei käy, 01
x xx x
x
x
x xx
+ ⋅ =
+ − =
− ± − ⋅ ⋅=
⋅− ±
=
= − >=
−
Leveys 1,0 dm ja pituus 1,0 dm + 4,0 dm = 5,0 dm Vastaus: Leveys 1,0 dm ja pituus 5,0 dm. 372. hinta alussa a
2
2
2
1
2
1 1 0,9039 :100 100
1 0,903910 000
0,0961 ( 10000)10 000
96131 ei käy
31
p p a a a
p
p
ppp
+ − =
− =
− = − ⋅ −
== −=
Vastaus: 31
218
373. säde r
219
lammen syvyys x ala
2 2 2
2
2 2
( 1)
102 1
102 1
1 10 1 12
x r x
x x
x
x
π
π
π
+ = +
+ + = +
= −
= −
,1
x
≈
2r
r
π
10
10π
=
=
Vastaus: 1 10 12 π 1,1− ≈
3 0=
jalkaa
374. Yhtälöllä on kaksoisjuuri, jos diskriminantin arvo on nolla.
( )2 23 3 9x t x t+ − − + + 2 2
2 2
2
2
( 3 3) 4 1 (9 3) 09 18 9 36 12 0
27 18 3 0
18 18 4 ( 27) ( 3)2 ( 27)
13
t tt t t
t t
t
t
− − − ⋅ ⋅ + =
+ + − − =
− + − =
− ± − ⋅ − ⋅ −=
⋅ −
=
Yhtälö 2
2
2
2
1 13 3 9 33 3
4 4( 2)
2 0
x x
x xx
xx
+ − ⋅ − + ⋅ + =
− +
− =− =
=
0
00
2
=
Vastaus: 13
, 2x= =t
375. luku x 2
2
2
11 0
1 1 4 1 (2 1
1 52
x xx x
x
x
+ =
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− ±
=
1)
x ei ole kokonaisluku 6. Toisen asteen polynomin tekijöihin jako nollakohtien avulla 376. Nollakohdat
2
2
1
2
6 5 0
( 6) ( 6) 4 1 52 1
15
x x
x
xx
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅==
Joten ( )(2 6 5 1x x x x− + = − )5−
Vastaus: ( )( )1 5x− −
21x −
x 377. Jos juuret ovat 3 ja −7, ovat tekijät x − 3 ja x + 5
2( 3)( 7) 4x x x− + = + Vastaus: 2 4 2x x+ − 1 0= 378. a) nollakohdat
2
2
1
2
6 16 0
6 6 4 1 ( 12 1
82
x x
x
xx
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅= −=
2
6)
8)x +
6 16 ( 2)(x x x+ − = − b)
2
2
1
2
6 7 3 0
( 7) ( 7) 4 6 ( 3)2 6
13
32
x x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅
= −
=
220
2 1 36 7 3 6( )( ) (3 1)(2 33 2
x x x x x x− − = + − = + − )
c) 2
2
3 2 4 0
2 2 4 3 42 3
2 446
x x
x
x
+ + =
− ± − ⋅=
⋅− ± −
=
⋅
ei juuria, joten ei tekijöitä Vastaus: a) ( 2 b) )(x − 8)+ (3 1)(2 3)x xx + − c) Ei jakaudu ensimmäisen asteen tekijöihin. 379.
2
2
2 73 8
2228
x xx x+ −+ −
osoittajan tekijät 2
2
1
2
2 7 22 0
7 7 4 2 ( 22 2
112
2
x x
x
x
x
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅
= −
=
2)
2 112 7 22 2( )( 2) (2 11)( 2)2
x x x x x x+ − = + − = + −
nimittäjän tekijät 2
2
1
2
3 8 28 0
8 8 4 3 ( 22 3
143
2
x x
x
x
x
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅
= −
=
8)
2 143 8 28 3( )( 2) (3 14)( 2)3
x x x x x x+ − = + − = + −
supistetaan 2
2
2 7 22 (2 11)( 2) 2 11(3 14)( 2) 3 143 8 28
x x x x xx x xx x
+ − + − += =
+ − ++ −
Vastaus: 2 113 14
xx++
221
380.
2
2
48 16 3048 72x x
x x− −13
13− +
osoittajan tekijät 2
2
1
2
48 16 30 13 0
( 16 30) ( 16 30) 4 48 132 48
16 30 5 18496
16 30 72 2 30 996 12
16 30 72 2 30 996 12
x x
x
x
x
x
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅±
=
− −= =
+ += =
2 2 30 9 2 30 948 16 30 13 4812 12
x x x x − +
− + = − −
nimittäjän tekijät 2
2
1
2
48 72 13 0
( 72) ( 72) 4 48 ( 13)2 48
72 7 68096
72 16 3096
9 2 3012
9 2 3012
x x
x
x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
±=
−=
+=
2 9 2 30 9 2 3048 72 13 4812 12
x x x x − +
− − = − −
supistetaan
2
2
4848 16 30 13
48 72 13x x
x x− +
=− −
12
2 30 9 2 30 912 12
x x − +
− −
4812
9 2 30 9 2 3012 12
x x − +
− −
12 2 30 9 12 9 2 3012 9 2 30 12 9 2 30
x xx x− + + −
= =− + − +
Vastaus: 12 9 212 9 2
xx+ −− +
3030
222
381. Voidaan supistaa, jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteisiä tekijöitä.
223
)
03
mm
+ ==
Nimittäjän tekijät 2 9 ( 3)( 3x x x− = − +Jotta osoittajalla olisi samat tekijät, on sillä oltava nollakohtina x = 3 tai x = −3. Sijoitetaan nämä x:n arvot vuoron perään osoittajan lausekkeeseen. 1) x = 3
23 4 3− ⋅
Lasketaan osoittajan molemmat nollakohdat. 2
2
1
2
4 3 0
( 4) ( 4) 4 1 32 1
4 42
4 2 12
4 2 32
x x
x
x
x
x
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅±
=
−= =
+= =
osoittaja jakautuu tekijöihin . 2 4 3 ( 3)( 1)x x x x− + = − −Supistetaan ( 3)( 1)( 3)( 3)x xx x− −
=− +
13
xx−+
021
=
2) x = −3
2( 3) 4 ( 3) mm
− − ⋅ − += −
Lasketaan osoittajan molemmat nollakohdat. 2
2
1
2
4 21 0
( 4) ( 4) 4 1 ( 21)2 1
4 1002
4 10 32
4 10 72
x x
x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
−= = −
+= =
osoittaja jakautuu tekijöihin . 2 4 21 ( 3)( 7)x x x x− − = + −Supistetaan ( 3)( 7)( 3)( 3)x xx x+ −
=− +
73
xx−−
Vastaus: m = 3, jolloin supistettu muoto on 13
xx−+
ja m = −21, jolloin supistettu muoto
on . 73
xx−−
5 382. Jaetaan polynomi12 2 17x x− − tekijöihin.
2
2
1
2
12 17 5 0
( 17) ( 17) 4 12 ( 5)2 12
17 52924
17 23 124 4
17 23 524 3
x x
x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
−= = −
+= =
2 1 512 17 5 12( )( ) (4 1)(3 5)
4 3x x x x x x− − = + − = + −
Kun x = 24, saadaan 212 24 17 24 5 6 499 (4 24 1)(3 24 5) 97 67⋅ − ⋅ − = = ⋅ + ⋅ − = ⋅
Vastaus: 6 499 67 97= ⋅
3
383. Jotta polynomi 2x ax+ −
3 02a
− ==
olisi jaollinen binomilla x + 3, on sillä oltava nollakohta x = −3. Saadaan yhtälö
2( 3) ( 3)a− + ⋅ −
Vastaus: a = 2 384. Voidaan supistaa, jos osoittajalla ja nimittäjällä on yhteisiä tekijöitä. Nimittäjän tekijät
2
2
1
2
3 2 0
3 3 42 1
3 12
3 1 22
3 1 12
x x
x
x
x
x
+ + =
1 2− ± −=
⋅− ±
=
− −= = −
− += = −
⋅ ⋅
224
225
22Jotta osoittajalla olisi samat tekijät, on sillä oltava nollakohtina x = −2 tai x = −1. Sijoitetaan nämä x:n arvot vuoron perään osoittajan lausekkeeseen x x a+ + . 1) x = −2
22 ( 2) ( 2) aa
⋅ − + − + 06
== −
Lasketaan osoittajan molemmat nollakohdat. 2
2
1
2
2 6 0
1 1 4 2 (2 2
1 494
1 7 24
1 7 34 2
x x
x
x
x
x
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− ±
=
− −= = −
− += =
6)
osoittaja jakautuu tekijöihin 2 32 6 2( )( 2) (2 3)( 2)2
x x x x x x+ − = − + = − + .
Supistetaan (2 3)( 2) 2( 1)( 2)
x xx x− +
=+ +
31
xx−+
01
== −
2) x = −1
22 ( 1) ( 1) aa
⋅ − + − +
Lasketaan osoittajan molemmat nollakohdat. 2
2
1
2
2 1 0
1 1 4 2 (2 2
1 94
1 3 14
1 3 14 2
x x
x
x
x
x
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− ±
=
− −= = −
− += =
1)
osoittaja jakautuu tekijöihin 2 12( )( 1) (2 1)( 1)2
x x x x x x2 1+ − = − + = − + .
Supistetaan (2 1)( 1) 2( 1)( 2)
12
x x xx x− +
=+ + x
−+
Vastaus: a = –1, x−+
tai a = –6, 2 31
xx−+
2 12
x
7. Korkeamman asteen yhtälöt
226
4385. a) 3 23 4x x x=4 04) 0x ==
− 3 2
2
3 4(3 4x x
x x x− −
− −
x = 0 tai 2
2
1
2
3 4 4 0
( 4) ( 4) 4 3 ( 4)2 3
4 646
4 8 26 3
4 8 26
x x
x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
−= = −
+= =
3 2
b) 2 5 4x x+ =3 2
10x +10 0=
10
2 4 5x x x− + − Luku 2 toteuttaa yhtälön sillä 3 22 2 4 2 5 2 10 0⋅ − ⋅ + ⋅ − =Polynomin 3 22 4 5x x x− + − yksi tekijä on x − 2 Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa
2
3 2
3 2
2 2 4 52 4
5 15 1
xx x x x
x xxx
− − +
±
−−
∓
2 510
000
+−
2
2 5 02 5+ =
= −
Koska yhtälöllä 2x
x
ei ole ratkaisua, on yhtälön 2 53 24 10x x x+ = + ainoa ratkaisu x = 2.
Vastaus: a) , 0, 2 b) 2 23
−
386. a) ( )( ) 23 2 7x x x+ − ( )3+ = 0 x + 3 = 0 tai 2x − 7 = 0 tai x2 + 3 = 0
x = −3 tai 72
4 0x =
x = tai ei ratkaisua
b) 3 2x x− +
227
1) 0=2( 4x x x− + x = 0 tai
2
2
1
2
4 1 0
( 4) ( 4) 4 12 1
4 122
4 2 3 2 32
4 2 3 2 32
x x
x
x
x
x
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅±
=
−= = −
+= = +
1
6 5 0=
c) 4 2x x− +Tehdään sijoitus x2 = t
2
2
1
2
6 5 0
( 6) ( 6) 4 1 52 1
6 162
6 4 12
6 4 52
t t
t
t
t
t
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅±
=
−= =
+= =
Tehdään sijoitus x2 = t 2 1
1xx
== ±
ja 2 5
5
x
x
=
= ±
Vastaus: a) 73, , 32
− ± b) 0, c) 2 ± 3 1, 5± ±
387. 2 ( 1) 1 : ( 1) 0 eli 1x x x x x− = − − ≠ ≠ x2 = −1 ei ratkaisua Tarkistetaan toteutuuko yhtälö, kun x = 1. Yhtälön vasen puoli 12(1 − 1) = 0 Yhtälön oikea puoli 1 − 1 = 0 Toteutuu, joten x = 1 on yhtälön ainoa juuri. Vastaus: x = 1
228
1 0=388. 4 24 5x x− + Tehdään sijoitus x2 = t
2
2
1
2
4 5 1 0
( 5) ( 5) 4 42 4
5 98
5 3 18 4
5 3 18
t t
t
t
t
t
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅±
=
−= =
+= =
1
2 11
xx
== ±
Tehdään sijoitus x2 = t
ja 2 1
412
x
x
=
= ±
Vastaus: 11,2
± ±
4−
44
0
= −
−
=
389. ( ) otetaan yhteinen tekijä (x3 2 3 3( )( )x x x x x x− − − + = 3 − x)
3 3 3
3
4 2
( )[( ) ( )]( )[ 2 ]2 2 4
x x x x x xx x xx x
− − − +
− − =
− + +
Tehdään sijoitus x2 = t 2
2
1
2
2 2 4 0
2 2 4 ( 2)2 ( 2)
2 364
2 6 24
2 6 14
t t
t
t
t
t
− + + =
4− ± − ⋅ −=
⋅ −
− ±=
−− −
= =−
− += = −
−
⋅
Tehdään sijoitus x2 = t 2 2
2
=
= ±
x
x
229
2 1x = −ja
ei ratkaisua Vastaus: 2±
6 0=
13 6
390. 3 22 13x x x+ − +Luku 2 toteuttaa yhtälön sillä 3 22 2 2 13 2 6 0⋅ + − ⋅ + =Polynomin 3 22x x x+ − + yksi tekijä on x − 2 Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa
2
3 2
3 2
2
2
2 52 2 13 6
2 4
5 135 10
x xx x x x
x x
x xx x
xx
+ −− + − +
±
−
±
− +− +
∓
∓
3
3 63 6
0
Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä
2
2
2 3
2 5 3 0
5 5 4 2 ( 3)2 2
5 494
5 7 5 7 13 tai 4 4
x x
x
x
x x
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− ±
=
− − − += = − = =
2
Vastaus: –3, , 2 12
2 0= 392. 3 22 3 17 1x x x− − −Luku −1 toteuttaa yhtälön sillä 3 22 ( 1) 3 ( 1) 17 ( 1) 12 0⋅ − − ⋅ − − ⋅ − − = Polynomin 3 22 3 17x x x 12− − − yksi tekijä on x + 1 Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa
2
3 2
3 2
2
2
2 51 2 3 17 12
2 2
` 5 175 5
1212
x xx x x x
x x
x xx x
xx
− −+ − − −
− −
± ±− −− −
∓ ∓
12
1212
0
Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä
2
2
2 3
2 5 12 0
( 5) ( 5) 4 2 ( 12)2 2
5 1214
5 11 3 5 11 tai 44 2 4
x x
x
x
x x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
− += = − = =
Vastaus: 32
; 1;4− −
392. Koska juuret ovat 1, 5 ja 16
− , jakautuu yhtälön toinen puoli tekijöihin
( )( )1 5x x− − 16
x +
Kerrotaan polynomi kuudella, jotta saadaan kokonaislukukertoimet.
( )( ) ( )( )( )2
3 2
16 1 5 1 5 6 16
( 5 5)(6 1)6 35 24 5
x x x x x x
x x x xx x x
− − + = − − +
= − − + +
= − + +
Vastaus: Eräs ehdot täyttävä yhtälö on 6 33 25 24 5 0x x x− + + = . 393. Koska kaksi juurta ovat 4 ja 3, ovat polynomin tekijöinä binomit x − 4 ja x − 3. Muut juuret saadaan jakolaskulla. Jaetaan binomien tulolla 2( 4)( 3) 7 12x x x x− − = − + .
230
2
2 4 3 2
4 3 2
3 2
3 2
2
2
6 77 12 6 35 18 119 60
6 42 72
` 7 54 1197̀ 49 84
5 35 65 35 60
0
x xx x x x x x
x x x
x x xx x x
x xx x
5
0
+ −− + − + + −
±
− +
±
− + −
− + −
∓ ∓
∓ ∓
Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä 2
2
2 3
6 7 5 0
7 7 4 6 ( 5)2 6
7 16912
7 13 5 7 13 1 tai 12 3 12 2
x x
x
x
x x
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− ±
=
− − − += = − = =
Vastaus: 213
− ja 12
5 6 0=
394. Ratkaistaan nollakohdat
4 2x x− − Tehdään sijoitus x2 = t
2
2
1
2
5 6 0
( 5) ( 5) 4 1 ( 6)2 1
5 492
5 7 12
5 7 62
t t
t
t
t
t
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
−= = −
+= =
Tehdään sijoitus x2 = t ei ratkaisua, joten binomi x2 + 1 ei jakaudu ensimmäisen asteen tekijöihin. 2 1x = −
ja 2 6
6
=
= ±
x
x
Jaetaan tekijöihin 4 2 25 6 ( 1)( 6)(x x x x x− − = + + − 6)
Vastaus: 4 2 25 6 ( 1)( 6)( 6)x x x x x− − = + + −
231
395. Jotta polynomi olisi jaollinen binomilla x − 2, on sillä oltava nollakohta x = 2.
3 2( ) 6 13P x x x a= − +
Saadaan yhtälö
232
04
aa
+ ==
2 4+
3 26 2 13 2⋅ − ⋅
Polynomin yksi tekijä on x − 2 3( ) 6 13P x x x= −Muut tekijät löydetään jakolaskulla. Jaetaan jakokulmassa
2
3 2
3 2
2
2
6 22 6 13 4
6 12
`2
x xx x x
x x
xx x
xx
− −− − +
±
−
±
− +− +
∓
∓2 42 4
0
Kaksi muuta juurta saadaan yhtälöstä
2
2
2 3
6 2 0
( 1) ( 1) 4 6 ( 2)2 6
1 4912
1 7 1 1 7 2 tai 12 2 12 3
x x
x
x
x x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
− += = − = =
Polynomi tekijät 3 2 1 2( ) 6 13 4) 6( 2)( )( ) ( 2)(2 1)(3 2)2 3
P x x x x x x x x x= − + = − + − = − + −
Vastaus: a = 4, ( 2)(2 1)(3 2x x x− + )−
21 03x
==
0 07=
8. Polynomifunktio 396. x-akselin leikkauspisteessä y = 0 7 3 0x + ⋅ −
Leikkauspiste (3,0) y-akselin leikkauspisteessä x = 0 7 0 3 21y
y⋅ + − =
=
Leikkauspiste (0,7) Vastaus: (3, 0) ja (0, 7) 397.
x
y
2–2
2
1 3–1–5
1
3
4
4 5–4 –3–1
–2
–3
–4
x ≈ −1
y =
2x +
3
x + 2y = 1
Vastaus: 1x < − 398. Suora on x-akselin suuntainen, kun kulmakerroin 0.
2
2
2
2
2
1 11 1
( 1) : ( ) 0
1
1
c x x cycy c x xcy c x c
cy xc
cy xc
− − + =
− = − + − +
− = − + − ≠
− +=
−−
=
Ratkaistaan yhtälö 2
2
1
1 01
c cc
cc
−= ⋅
− == ±
0 0≠
Vastaus: 1c = ±
a =
399. Paraabeli sivuaa x-akselia, jos ja vain jos paraabelilla ja x-akselilla on tasan yksi yhteinen piste eli funktiolla on yksi nollakohta. 2 1y ax ax= + +Yksi nollakohta, jos diskriminantti D = 0
2 4 0( 4) 0
0 tai 4 0 eli 4
a aa a
a a
− =− =
= − =
Jos a = 0 kuvaaja ei ole paraabeli, joten vain a = 4 käy. Vastaus: a = 4
233
400. ks.teht. 226
234
2 1x= + 401. ( )P x
2 2
2 2
2
2
(2 1) ( 1) 3(2 1) 1 ( 1) 1 3
4 4 1 1 2 1 13 6 3 0
6 6 4 32 3
6 06
1
P x P xx x
x x x xx x
x
x
3
3
x
+ = − −
+ + = − + −
+ + + = − + + −
+ + =
− ± − ⋅ ⋅=
⋅− ±
=
= −
Vastaus: x = −1
402. ( ) ( )2 0,84 4,033 000
h x x= +V x −
10(m)20(cm)
puun korkeus h (m) rungon läpimitta 1,3 m korkeudella x (cm) a) hx==
( )210(20) 20 0,84 20 4,0 0,1333 000
V = + ⋅ − ≈
b) ( ) ( )2 0,84 4,033 000
hV x x x= + − 334(cm), V=0,91(m )x =
( )20,91 34 0,84 34 4,033 000
h= + ⋅ −
0,91 1180,5633 000
h= ⋅ 33 000⋅
33 000 0,91 1180,5h 6⋅ = ⋅ :1 180,56
33 000 0,91180,56
h ⋅=
1
25
h ≈
c) ( ) ( )2 0,84 4,033 000
h x x= + −V x 317 (m), 0,42 (m )h V= =
( 2170,42 0,84 4,033 000
x x= + − ) 17000
:33
233 000 0, 42 0,84 4,017
x x⋅= + −
2 13 8600,84 4,017
x x+ − − 0=
2 139280,8417
x x+ − 0=
2 139280,84 0,84 4 117
2 1x
− ± − ⋅ ⋅ − =
⋅
0,84 57,2527...2
x − ±=
1
2
0,84 57, 2527 ... 282
0,84 57,2527 ... 29, ei 02
x
x x
− += ≈
− −= ≈ − >
Vastaus: a) Puun tilavuus on 0,13 ,b) puun korkeus on 25 m c) rungon läpimitta on 28 cm 3m 403.
3x
x
−x23
−x + 2523
Valitaan muuttujaksi talon pituus x (m), x > 0
Talon leveys 23
x
Tontin pituus 3x
Tontin leveys +25 23
x
Pihan ala = tontin ala − talon ala
235
2 2
2
3 25
2 75
2 23 3
23
4 753
A x x x
x x x
x x
= ⋅ + − ⋅
= + −
= +
x
Vastaus: 243
75A x= x+ , lauseke on mielekäs muuttujan positiivisilla arvoilla.
9. FUNKTION MERKKI
404. Kun kuvaaja kulkee x-akselin alapuolella funktio negatiivinen, ja vastaavasti positiivinen, kun kuvaaja kulkee x-akselin yläpuolelle. Niissä kohdissa, joissa kuvaaja leikkaa x-akselin funktio saa arvon nolla.
Funktion nollakohdat ovat −1,3; −-0,3; 0,3; ja 1,3.
Merkkikaavio
405.
a) Funktio ( ) 8f x x= + 72
Nollakohdat
8 7( ) 0
2 09
f xx
x
=+ =
= −
236
Merkkikaavio
b) Funktio ( ) 12g x x= − −144
Nollakohdat
( ) 0
12 144 012
g xx
x
=− − =
= −
Merkkikaavio
c) Funktio ( )h x 17=
Funktio h x aina ( ) 1= 7 0>
Merkkikaavio
406.
a) Funktio 2( ) 6f x x x= − 8+
Nollakohdat
2
2
1
2
( ) 06 8 0
( 6) ( 6) 4 1 82 1
6 42
6 2 42
6 2 22
f xx x
x
x
x
x
=
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅±
=
+= =
−= =
Merkkikaavio
237
238
5b) Funktio 2( ) 2g x x= − − x +
Nollakohdat
2
2
1
2
( ) 02 5 0
( 1) ( 1) 4 ( 2) 52 ( 2)
1 414
1 41 1,850...4
1 41 1,350...4
g xx x
x
x
x
x
=
− − + =
− − ± − − ⋅ − ⋅=
⋅ −
±=
−+
= = −−−
= =−
Merkkikaavio
c) Funktio 2( ) 6h x x x 9= − +
Nollakohdat
2
2
( ) 06 9 0 muistikaava
( 3) 0
3 03
h xx x
x
xx
=
− + =
− =
− ==
Merkkikaavio
407.
239
2 2)a) Funktio ( ) ( 1) (2 1f x x x= − − +
Nollakohdat
2 2
2 2
2
( ) 0( 1) (2 1) 0
2 1 4 4 1 03 6 0
3 ( 2) 03 0 tai 2 0
0 2
f xx x
x x x xx x
x xx xx x
=
− − + =
− + − − − =
− − =− + =
− = + == = −
Merkkikaavio 2 2 2( ) ( 1) (2 1) 3 6f x x x x x= − − + = − −
b) Funktio
22 2 2 22 1 3 2 2 1 1 3 1 2( ) ( 1)
3 6 2 3 3 6 2 2 6 3xg x x x x x+
= + + − = + + − − = −
Nollakohdat
2
2
2
( ) 01 2 06 3
1 2 1:6 3 6
42
g x
x
x
xx
=
− =
=
=
= ±
Merkkikaavio
c) Funktio 2( ) ( 2 1) 6 3 2 ( 6 1) 3h x x x x x x= − + − = + − −
Nollakohdat
2
2
2
2
2 )
1
2
( ) 0
2 ( 6 1) 3 0
( 6 1) ( 6 1) 4 2 ( 3)2 2
6 1 ( 6) 2 6 12 2
6 1 ( 6 1)2 2
6 1 6 1 1 222 2 2
6 1 6 1 6 6 322 2 2
h x
x x
x
x
x
x
x
=
+ − − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅
− + ± + +=
− + ± +=
− + + += = =
− + − −= = − = − = −
Merkkikaavio
10. ENSIMMÄISEN ASTEEN EPÄYHTÄLÖ
408.
Piirretään kuvaan funktion ( )g x 3= kuvaaja. Ratkaisuna ovat ne muuttujan x arvot, joilla funktion kuvaaja kulkee funktion ( )f x ( )g x kuvaajan alapuolella.
Yhtälön ratkaisu on 0 2x< < ( ) 3f x <
Vastaus: 0 2x< <
240
409.
a)
3 8 03 8 : 3
83
223
xx
x
x
− >
> >
>
>
0
b)
3 4
7 :( 1)7
xxx
0− − <
− < − <
> −
c)
5 3 22 7 :( 2)
72
132
x xx
x
x
+ ≤ −
− ≤ − − <
≥
≥
0
Vastaus: a) 23
x > −2x > 7 b) c) 132
x ≥
410.
2) 3)6) 2 84
3 2 624 4 3 8 6 06 6 6 624 4 3 8
8 32 : ( 8) 04
x x x
x x x
x x xxx
−− > +
−− > + ⋅ >
− > + −
− > − − <
<
Vastaus: 4x <
241
411.
a)
1 ( 3) 0
33
x
x
− > ⋅ − <
< −
b)
6 2 6 03 2
2( 6) 3( 2)2 12 3 6
18 : ( 1) 018
x x
x xx x
xx
− +< ⋅ >
− < +− < +
− < −
> −
<
c)
2 2
2 2
(2 5) (2 5) 04 20 25 4 20 25 0
40 0 : 40 00
x xx x x x
xx
+ − − >
+ + − + − >
> >
>
Vastaus: a) b) c) 3 x > −x < − 18 0x >
412.
a)
3) 4) 2)12)1 1 1
4 3 63 4 2 12 12 012 12 12 12
3 4 2 129 6 :( 9) 0
6923
x x
x x
x xx
x
x
− < +
− < + ⋅ >
− < +
− < − <
> −
> −
242
b)
1 3)
3 1 3
(1 3) 1 3 : (1 3) 0
(1 3)1 3
1 2 3 31 3
2 3
x x
x
x
x
x
+
+ > − +
− > − − − <
− +<
−
+ +< −
−< +
Vastaus: a) 23
x > − b) 2 3x < +
413.
Toisen asteen yhtälöllä on reaalisia ratkaisuja, kun diskriminantti ei ole negatiivinen.
Yhtälö
2
2
5 15 1
ax xax x 0
+ =
+ − =
Diskriminantti 25 4 ( 1) 4 2D a a= − ⋅ ⋅ − = + 5
4 25 04 25 : 4
254164
aa
a
a
+ ≥
≥ − >
≥ −
≥ −
0
Vastaus: a 164
≥ −
414.
2 34 2
34 2
x x x>
+= + , kun , kun x > 0
2x
22 2
12
x x<
x−= − , kun , kun x > 0
2x
243
4,5 0, 45 0,510 2
x xx =x−= <
−, kun , kun x > 0
2x
0,51 0,5x > x = , kun , kun x > 0 2x
2x
0
3 1 0,8 0,2 0,5 0,3 0, 2 0,55 2
x xx x x x>
+= + = + + > = , kun , kun x > 0
2x
Vastaus: Suurempia ovat 2 3 3 1, 0,51 ja 4 5
x xx+ + , pienempiä ovat 2 4,5 ja 2 10
x x− −−
415.
Toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja, jos diskriminantti D < 0.
Yhtälö 2x x− + −3 0k =
kDiskriminantti 23 4 ( 1) ( ) 4 9D k= − ⋅ − ⋅ − = − +
0 44 9 0
4 9 : ( 4) 0124
D D kk
k
k
9< = − +
− + <
− < − − <
>
Vastaus: k 124
>
416.
Jaetaan ratkaisu kolmeen osaan: 1° b < 0, 2° b = 0, 3° b > 0
1° b < 0
1 :1
bx b
xb
0< <
>
244
2° b = 0
1 0
0 1 identtisesti tosibx b< =
<
Koska epäyhtälö on identtisesti tosi, ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa x:n arvo, . x∈R
3° b > 0
1 :1
bx b
xb
0< >
<
Vastaus: 1 1, kun 0; , kun 0; , kun 0x b x b x bb b
> < ∈ = < >R
11. TOISEN ASTEEN EPÄYHTÄLÖ
417.
a) Epäyhtälö 2 4 5x x 0+ − <
Nollakohdat
2
2
1
2
4 5 0
4 4 4 1 ( 5)2 1
4 362
4 6 12
4 6 52
x x
x
x
x
x
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− ±
=
− += =
− −= = −
Merkkikaavio
Epäyhtälön 2 4 5x x 0+ − < ratkaisu on 5 1x− < <
245
b) Epäyhtälö
246
0
2
3 ( 1) 03 3x xx x
− >
− >
Nollakohdat
3 ( 1) 0
3 0 :3 tai 1 00 1
x xx xx x
− =
= − =
= =
Merkkikaavio
Epäyhtälön 23 3x x 0− > ratkaisu on 0 tai 1x x< >
c) Epäyhtälö
2
(2 3)( 4 5) 08 22 15 0x x
x x− − + ≥
− + − ≥
Nollakohdat (2 3)( 4 5) 0
2 3 0 tai 4 5 02 3 : 2 4 5 : ( 4)
1 11 12 4
x xx x
x x
x x
− − + =− = − + =
= − = −
= =
−
Merkkikaavio
Epäyhtälön ratkaisu on 28 22 15x x− + − 0≥1 14 2
x≤ ≤1 1
Vastaus: a) b) c) 5 1x <− < 0 tai 1x x< >1 14 2
x≤ ≤1 1
418.
247
4 0≥a) Epäyhtälö 23 8x x− + −
Nollakohdat
2
2
1
2
3 8 4 0
8 8 4 ( 3) ( 4)2 ( 3)
8 166
8 4 26 3
8 4 26
x x
x
x
x
x
− + − =
− ± − ⋅ − ⋅ −=
⋅ −
− ±=
−− +
= =−
− −= =
−
Merkkikaavio
Epäyhtälön ratkaisu on 23 8x x− + − 4 0≥2 23
x≤ ≤
b) Epäyhtälö
2
( 2)(2 3) 392 45
x xx x− + <
0− − <
Nollakohdat
2
2
1
2
2 45 0
( 1) ( 1) 4 2 ( 45)2 2
1 3614
1 19 54
1 19 144 2
x x
x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
+= =
−= = −
Merkkikaavio
Epäyhtälön 22x x 45 0− − < ratkaisu on 14 52
x− < <
Vastaus: a) 23
2x≤ ≤ b) 14 52
x− < <
419. Toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalijuuria, jos diskriminantti on negatiivinen.
Yhtälö 2x kx+ − 0k =
Diskriminantti 2 24 1 ( ) 4D k k k k= − ⋅ ⋅ − = +
2
04 0D
k k<
+ <
Nollakohdat
2 4 0( 4) 0
0 tai 4 0
k kk k
k k
+ =+ =
= + =
4 k = −
Diskriminantin merkkikaavio
��
Epäyhtälön 2k 4 0k+ < ratkaisu on 4 0k− < <
Yhtälöllä ei ole reaalijuuria, kun 2x kx+ − 0k = 4 0k− < <
Vastaus: 4 0k <− <
420.
Yhtälö
2
2
2 3 2 1 0(2 3) 2 1 0
kx kx x kkx k x k
+ + + − =
+ + + − =
Jos termin kerroin k = 0, kyseessä on ensimmäisen asteen yhtälö. Jos termin 2x kerroin , kyseessä on toisen asteen yhtälö. Jaetaan tarkastelu kahteen osaan:
2x0k ≠
= 0k ≠
0=
1° 0k ja 2° .
1° k
Yhtälö
248
2 (2 3) 2 1 0 03 1 0
3 1 : 313
kx k x k kx
x
x
+ + + − = =
− =
=
=
2° k 0≠
0=
Toisen asteen yhtälön juuret ovat reaaliset, jos diskriminantti ei ole negatiivinen.
Yhtälö 2 (2 3) 2 1kx k x k+ + + −
Diskriminantti 2 2(2 3) 4 (2 1) 4 16 9D k k k k k= + − ⋅ ⋅ − = − + +
2
04 16 9 0
Dk k
≥
− + + ≥
Nollakohdat
2
2
1
2
4 16 9 0
16 16 4 ( 4) 92 ( 4)
16 4008
16 20 18 2
16 20 148 2
k k
k
k
k
k
− + + =
− ± − ⋅ − ⋅=
⋅ −
− ±=
−− +
= = −−
− −= =
−
Diskriminantin merkkikaavio
Epäyhtälön ratkaisu on 24 16k k− + + 9 0≥1 142 2
k− ≤ ≤ kja 0≠
Kohtien 1° ja 2° perusteella yhtälöllä 2 2 3 2 1 0kx kx x k+ + + − = on reaalisia juuria,
kun 1 142 2
≤k− ≤ .
Vastaus: 1 142 2
≤k− ≤
249
421.
250
0Epäyhtälö 23 2x x− + >
Nollakohdat
2
2
3 2 0
( 1) ( 1) 4 3 22 3
1 236
x x
x
x
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅± −
=
Koska diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä 323D = − 2 2 0x x− + = ei ole nollakohtia.
Merkkikaavio
Epäyhtälön 23x x 2 0− + > ratkaisu on x∈R
Vastaus: x∈R
2 0=
422.
Toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalijuuria, jos diskriminantti on negatiivinen.
Yhtälö 2x kx+ −
Diskriminantti 2 24 1 ( 2) 8 0, aina kun D k k x= − ⋅ ⋅ − = + > ∈R
Vastaus: Ei millään vakion k arvolla.
423.
Yhtälö 21 104
kx kx k− − + 0=
2
Jos termin x kerroin k = 0 eli k = 0, kyseessä on ensimmäisen asteen yhtälö. Jos termin
2x kerroin 14
0k ≠ eli , kyseessä on toisen asteen yhtälö. Jaetaan tarkastelu kahteen
osaan: 1° ja 2° .
0≠
0≠
k
k0k =
14
251
0=1° k
Yhtälö
21 10 0 0
410 0 identtisesti epätosi
kx kx k k− − + = =
=
Yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
2° k 0≠
Toisen asteen yhtälön juuret on kaksi eri suurta reaalijuurta, jos diskriminantti on positiivinen.
Yhtälö 21 104
kx kx k− − + 0=
Diskriminantti 2 21( ) 4 ( 10) 2 104
D k k k k k= − − ⋅ ⋅ − + = −
2
02 10 0
Dk k
>
− >
Nollakohdat
22 10 02 ( 5) 0
2 0 : 2 tai 5 00 5
k kk k
k kk k
− =− =
= − =
= =
Diskriminantin merkkikaavio
Epäyhtälön 22 10k 0k− > ratkaisu on k k0 tai 5< <
Kohtien 1° ja 2° perusteella yhtälöllä 22 10 0k k− > on kaksi eri suurta reaalijuurta, kun . 0 tai k k 5< <
Vastaus: 0 tai k k 5< <
424.
252
x a+Suora kulkee paraabelin ( )y g x= = 2( ) 3 3y f x x x= = + + alapuolella, kun ( ) ( )g x f x< .
2
2
( ) ( )3 3
2 3 0
g x f xx a x x
x x a
<
+ < + +
+ + − >
Funktion h x 2( ) 2 3x x a= + + −2
kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Funktion arvot ovat positiivisia, kun sillä ei ole nollakohtia, eli kun yhtälöllä 2 3 0x x a+ + − = ei ole reaalijuuria. Toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalijuuria, jos diskriminantti on negatiivinen.
Yhtälö 2 2 3x x+ + − 0a =
aDiskriminantti 22 4 1 (3 ) 4 8D a= − ⋅ ⋅ − = −
04 8 0
4 8 : 4 02
Da
aa
<− <
< >
<
Vastaus: Suora on kokonaan paraabelin y x a= + 2 3 3y x x= + + alapuolella, kun a < 2.
12. KORKEAMMAN ASTEEN EPÄYHTÄLÖ
425. Piirretään kuvaan suora . Ratkaisuna ovat muuttuja x arvot joille . 4 ( )f x <y = 4
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � � � � � �
Kuvion perusteella , kun ( )f x 4< 2 tai 1 2,9x x< − − < <
Vastaus: 2 tai 1 2,x x< − − < < 9
426.
253
0>Epäyhtälö 3 2x x−
Nollakohdat
3 2
2
2
0( 1) 0
0 tai 1 00 1
x xx x
x xx x
− =
− =
= − =
= =
Merkkikaavio
(0 0f <
3 2
3 2
( )( 1) ( 1) ( 1) 2 0
,5)(2) 0
f x x xf
f
= −
− = − − − = − <
> Epäyhtälön 3 2x x 0− > ratkaisu on 1x > Vastaus: 1x >
9 0≤
427. Epäyhtälö 3x x−
Nollakohdat
3
2
2
9 0( 9) 0
0 tai 9 0
x xx x
x x
− =
− =
= − =
2x
x=
= ±
93
Merkkikaavio
( 1f
3
3 2
( ) 9( 4) ( 4) 9 ( 4) 28 0
) 0(1) 0(4) 0
f x x xf
ff
= −
− = − − ⋅ − = − <− ><>
Epäyhtälön 3x x9 0− ≤ ratkaisu on 3 tai 0 3x x≤ − ≤ ≤ Vastaus: 3 tai 0x x≤ − ≤ 3≤
428.
254
0xa) Epäyhtälö 3 22 8x x− − <
Nollakohdat
3 2
2
2
2 8 0( 2 8) 0
0 tai 2 8 0
x x xx x x
x x x
− − =
− − =
= − − =
2
1
2
( 2) ( 2) 4 1 (2 1
2 362
2 6 42
2 6 22
x
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
+= =
−= = −
8)
Merkkikaavio
( 1f
3 2
3 2
( ) 2 8( 3) ( 3) 2 ( 3) 8 ( 3) 21 0
) 0(1) 0(5) 0
f x x x xf
ff
= − −
− = − − ⋅ − − ⋅ − = − <− ><>
Epäyhtälön 3 22 8x x 0x− − < ratkaisu on 2 tai 0 4x x< − < < Vastaus: 2 tai 0x x< − < 4< 429. Epäyhtälö
3 2
3 2
2 3 62 3 6 0
x x xx x x
− ≤ −
− − + ≤
Nollakohdat 3 22 3 6 0x x x− − + = Rationaalinen nollakohta on vakiotermin 6 tekijä. Mahdollisia rationaalisia nollakohtia ovat
. Yhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön. 1, 2, 3 j± ± ± a 6±
00=
Kokeillaan arvoa x = 2.
3 2
3 2
2 3 62 : 2 2 2 3 2 6
x x xx
− − + =
= − ⋅ − ⋅ +
Koska x = 2 toteuttaa yhtälön, niin x = 2 on yhtälön 3 22 3 6 0x x x− − + = ratkaisu. Näin ollen yhtälön vasen puoli on jaollinen lausekkeella 2x − . Jakolasku 3 2( 2 3 6) : (x x x x 2)− − + −
2
3 2
3 2
32 2 3
23 65 6
0
6x x
x x x x
x xxx
−− − − +
±
− +±
∓
∓
Yhtälö
3 2
2
2
2 3 6 0( 2)( 3 ) 0
2 0 tai 3 02 ( 3) 0
x x xx x x
x x xx x x
− − + =
− − =
− = − == − =
0 tai x x= −3 0=
3x =
Merkkikaavio
255
(1 8) 0f <
3 2
3 2
( ) 2 3 6( 2) ( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) 6 4 0(0) 0
,(3) 0
f x x x xff
f
= − − +
− = − − ⋅ − − ⋅ − + = − <>
> Epäyhtälön ratkaisu , kun 3 22 3 6x x x− − + ≤ 0 3 tai 3 2x x≤ − ≤ ≤ Vastaus: 3 tai 3x x≤ − ≤ ≤ 2
0>
0
430. Epäyhtälö 4 26 8x x− + Nollakohdat 4 26 8x x− + =Kyseessä on bikvadraattinen yhtälö. Tehdään sijoitus 2 , 0x a a= ≥
4 2 2
2
2
1
2
6 8 0
6 8 0
( 6) ( 6) 4 1 82 1
6 42
6 2 42
6 2 22
x x x a
a a
a
a
a
a
− + = =
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅±
=
+= =
−= =
Ratkaistaan x
2 2
2 2
2 tai 4
2 4
2 2
a a x a a x
x x
x x
= = = =
= =
= ± = ±
Merkkikaavio
256
(0 0f >
4 2
4 2
( ) 6 8( 3) ( 3) 6 ( 3) 8 35 0( 1,5) 0
)(1,5) 0(3) 0
f x x xff
ff
= − +
− = − − ⋅ − + = >− <
<>
Epäyhtälön ratkaisu , kun 4 26 8x x− + 0> 2 tai 2 2 tai 2x x x< − − < < > Vastaus: 2 tai 2 2 tai 2x x< − − < < >x
2 0k
431. Epäyhtälö 2 2 2 1 2k kx x x+ +− + ≤ Nollakohdat
2 2 2 1 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 02 0 yhteinen tekijä
( 2 1) 00 tai 2 1 0 muistikaava, tai ratkaisukaava
0 ( 1) 00 1
k k k
k k k k
k
k
x x xx x x x x x
x x xx x x
x xx x
+ +− + =
− + =
− + =
= − + =
= − == =
Merkkikaavio
257
(f
2 2 2 1 2
2 2 2 1 2
2 2 2 1 2
2 2
2
( ) 2( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)
1 2 1 00,5) 0,5 2 0,5 0,5
0,5 (0,5 2 0,5 1)0,5 0, 25 0
(2) 0
k k k
k k k
k k k
k
k
f x x x xf
f
+ +
+ +
+ +
= − +
− = − − − + −= + + >
= − ⋅ +
= − ⋅ +
= ⋅ >>
Epäyhtälön ratkaisu , kun 2 2 2 1 22 0k k kx x x+ +− + ≤ 0 tai 1x x= = Vastaus: 0 tai x x 1= =
0
Harjoituskoe 1 1. a) 24 1x − =
2
2
4 114
12
x
x
x
=
=
= ±
2
: 4
4 0
=
4 1x− =
b) x x− =
( 4) 0
0 tai 4 0x x
x x− =
= − x = 4 c) 2x
2
2
4 1 0
( 4) ( 4) 4 1 ( 1)2 1
4 20 20 4 5 2 52
4 2 52
2 5
x x
x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
= = ⋅ =
±=
= ±
Vastaus: a) x = b) x = 0 tai x = 4 c) x = 2 5 ±12
±
2.
a) 1 7 2 62 3
xx − < − ⋅ > 0
6 3 14 12
8 9 : ( 8)98
x xx
x
− < −
− < − − <
>
0
24 024 0
=
b) 4x x− <4Nollakohdat x x− =
2 2
2 2
2
( 4) 00 tai 4 00 4
x xx xx x
− =
= −
= == ± 2x
Merkkikaavio
( 3f
4 2( ) 4) 45 0
( 1) 3 0(1) 3 0(3) 45 0
f x x x
fff
= −− = >− = − <
= − <= >
Epäyhtälön ratkaisu 4 2x x− <4 0 –2 < x < 2, 0x ≠
Vastaus: a) b) –2 < x < 2, 0x ≠ 98
x >
3.
a) ( ) ( )2
1 15 6 5 6 3 (5 6) 3 2 13 33
− ⋅ + ⋅ − = − ⋅ − + = −
1
b) Vastalukujen summa on nolla. ( )2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( )( ) 2 2 2 ( ) 2 2
2 2 20
a b a b a b b ab a ab b a b b ab
a ab b a b b ab
− − − + − + = − + − − − +
= − + − + − +=
Luvut ovat vastalukuja.
Vastaus: a) b) Ovat vastalukuja. 113
−
258
4. Sievennetään yhtälöä.
259
)2 2
2 2
2 2
2
( 33
4 0( 1) 4 0
x cx c c x xx cx c cx cxcx x cx cc x cx c
+ + = − +
+ + = − −
+ + + =
+ + + =
Toisen asteen yhtälöllä on yksi ratkaisu, kun diskriminantti D = 0.
2 2
2
2 2
2
0
4 0 ( 1) 4 0
(4 ) 4( 1) 016 4 4 0
12 4 04 (3 1) 0
4 0 tai 3 1 00 3 1 : 3
D
b ac c x cx c
c c cc c c
c cc c
c cc c
=
− = + + + =
− + ⋅ =
− − =
− =− =
= − =
= =
13
c =
Vastaus: Yhtälöllä on yksi ratkaisu, kun c = 0 tai 13
c = .
5.
Jos polynomilla 3 22x x x− + a+ on tekijänä binomi 1x − , niin jakolasku 3 2
1x x ax
− + +−
menee tasan.
2x
2
3 2
3 2
2
2
1 2x x
x x x xx x
a
x x ax x
a
−− − +
±
− + +
±
∓
∓
+
2 0≤
Polynomi on jaollinen binomilla, kun jakojäännös on nolla, joten a = 0. Epäyhtälö 3 2x x x− +
Nollakohdat
3 2
2
2
2 0( 2 1) 0
0 tai 2 1 0
x x xx x x
x x x
− + =
− + =
= − + =
2( 2) ( 2) 4 1 12 1
221
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅
=
=
Merkkikaavio
3 2( ) 2( 1) 4 0
(0,5) 0,125 0(2) 2 0
f x x x xf
ff
= − +− = − <
= >= >
Epäyhtälön ratkaisu 3 22 0x x x− + ≤ tai x = 1 0x ≥Vastaus: a = 0, tai x = 1 0x ≥ 6. Luku x Luvun neliö x2 Luvun kuutio x3 Epäyhtälö 3 2x x x>
0>0=
−3 2
x x x− −
3 2Nollakohdat x x x− −
2
2
( 1) 00 tai 1 0
x x xx x x
− − =
= − − =
2
1
2
( 1) ( 1) 4 1 ( 1)2 1
1 52
1 5 0,622
1 5 1,622
x
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
−= ≈ −
+= ≈
Merkkikaavio 3 2( )
( 1) 1 0( 0,5) 0,125 0
(1) 1 0(2) 2 0
f x x x xf
fff
= − −− = − <
− = >= − <= >
Epäyhtälön ratkaisu 3 2x x x− − 0>
1 5 1 50 tai 2 2
x x− +< < >
260
Vastaus: 1 5 10 tai 2 2
x x− +< < >
5
0
7. Kokonaisluku x Yhtälö ( 2)( 1) 40x x x− + =
2
3 2 2
3 2
( 2 )( 1) 42 2 40 0
2 40 0
x x xx x x x
x x x
− + =
+ − − − =
− − − =
Kokeillaan juuriksi luvun 40 tekijöitä 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40± ± ± ± ± ± ± ± Kokeillaan lukua x = 4 Yhtälön vasen puoli 3 24 4 2 4 40− − ⋅ − = 0Luku x = 4 on yhtälön juuri, joten x – 4 on polynomin 3 2 2 40x x x− − − tekijä.
Suoritetaan jakolasku3 2 2 4
4x x x
x− − −
−0 .
2
3 2
3 2
2
2
3 104 2
4
3 23 12
10 4010 40
0
x xx x x x
x x
x xx x
xx
+ +− − − −
±
−
±
−±
∓
∓
∓
40
Yhtälö saadaan muotoon
3 2
2
2
2
2 40 0( 4)( 3 10) 0
4 0 tai 3 10 0
3 3 4 1 104 2 1
x x xx x x
x x x
x x
− − − =
− + + =
− = + + =
− ± − ⋅ ⋅= =
⋅
3 312
x − ± −=
Ei ratkaisua Vastaus: a) Kyseessä on luku 4.
261
8.
Suoritetaan jakolasku34 32 1
x xx+ +−
k .
2
3 2
3 2
2
2
2 22 1 4 0 3
4 2
2 32
42 2
2
x xx x x x
x x
x xx x
k
x kxk
+ +− + +
±
+
±
+±
+
∓
∓
∓
+
Jako menee tasan, kun jakojäännös k + 2 on nolla k + 2 = 0 k = –2 Vastaus: k = –2 Harjoituskoe 2 1. a) ( )9 2 49 18 4
5 22245
x xx x
x
x
− = +
− = +
=
=
44
: 5
b) 2 1 195 6
3 2 62( 2) 3( 1) 30 19
2 3 4 3 30 190 18
x x x
x x xx x x
+ − −− + =
+ − − + = −− + = − − − +
= −
⋅
identtisesti epätosi, ei ratkaisua
Vastaus: a) b) ei ratkaisua 245
262
2. a) 1 7 25
5
254
x x
x
x
+ > +
− > −
<
4 4: ( )5 5
−
1 0+ − ≥
b) 22 3x x
Nollakohdat 2
2
1
2
2 3 1 0
3 3 4 2 (2 2
3 174
3 174
x x
x
x
x
+ − =
1)− ± − ⋅ ⋅=
⋅− −
=
− +=
−
Merkkikaavio
22 3x x 1+ − ≥ 0 , kun 34
x − −≤
17 tai 3 174
x − +≥
Vastaus: a) 254
x < b) 34
x − −≤
17 tai 3 174
x − +≥
3. a)
2
2
1
2
5 6 0
( 5) ( 5) 4 12 1
5 1 22
5 1 32
x x
x
x
x
− + =
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅−
= =
+= =
6
263
b)
264
0=
4
3
2
2
16 0( 16) 0
0 tai 16
x xx x
x x
− =
− =
= −
2 16xx== ±
Vastaus: a) 2 tai 3 b) −4 tai 0 tai 4 4. Nollakohdat
2
2
1
2
18 168 330 0
( 168) ( 168) 4 ( 18) 3302 ( 18)
168 51 98436
168 228 536 3
168 228 1136
x x
x
x
x
x
− − + =
− − ± − − ⋅ − ⋅=
⋅ −
±=
−−
= =−+
= = −−
Tekijät 218 168x− − 330x + = 518( )( 11) ( 18 30)( 11)
3x x x x− − + = − + +
Vastaus: ( )(11 18 3x x+ − )0+ 5. Osoittajan nollakohdat
2
2
1
2
5 32 02 4
5 5( ) ( ) 4 22 2
2 25 12 4
45 1
12 24 2
5 132 2
4 4
x x
x
x
x
x
− + =
34
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅
±=
−= =
+= =
Osoittajan tekijät
22x 5 32 4
x +− = 1 3 32( )( ) (2 1)( )2 4 4
x x x x− − = − −
Sievennys 2 5 3 32 (2 1)( ) 1 12 4 4
34 3 24( )4
x x x xx
x x
− + − −
4= = −
− −
Vastaus: 1 12 4
x −
0=
0
6. ( )( )4 27 3 4 69 243x x x− − −
7x − 3 = 0 tai 4 24 69 243x x− − =
sijoitetaan x2 = t 37
x =
2
2
1
2
4 69 243 0
( 69) ( 69) 4 4 ( 243)2 4
69 8 6498
69 93 38
69 93 818 4
t t
t
t
t
t
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
−= = −
+= =
sijoitetaan x2 = t x2 = −3 ei ratkaisua
2 81492
x
x
=
= ±
Vastaus: 3 9,7 2±
0=
2
3 36 0>
7. ( ) 23 3k x kx k+ + + −Toisen asteen yhtälöllä on kaksi eri suurta juurta, kun diskriminantti D > 0.
2 2 24( 3)( 3) 4( 9) 3 36D k k k k k k= − + − = − − = − + 2k− +
Nollakohdat 2
2
3 36kk
k
− +
=
= ±
012
2 3
=
265
Merkkikaavio
Vastaus: 2 3 k− < 2 3< 8. Polynomin nollakohdat
2
2
1
2
7 2 9 0
( 2) ( 2) 4 7 ( 9)2 7
2 25614
2 16 114
2 16 914 7
x x
x
x
x
x
− − =
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅±
=
−= = −
+= =
Tekijät 2 97 2 9 7( )( 1) (7 9)( 1
7x x x x x x− − = − + = − + )
1
Sijoitetaan x = 40 11111 (7 40 9)(40 1) 271 4= ⋅ − + = ⋅ Vastaus: 11111 271 41= ⋅
266