law and economics 2 (7) bargaining game and nash bargaining solution

法と経済学２ 1

Law and Economics 2 (7)Bargaining Game and Nash

Bargaining Solution

今日の講義の目的(1) 協力ゲーム (Cooperative Game) という考え方を理解する

(2) ナッシュ交渉解 (Nash Bargaining Solution) という概念を理解する

(3) 交渉力と割引率の関係を理解する


非協力ゲームの例 ( 囚人のジレンマ )

C D

C (3,3) (0,4)

D (4,0) (1,1)

問題 : ナッシュ均衡は？


囚人のジレンマと協調

現実には囚人のジレンマの状況でも協調行動がしばしば見られる。なぜか？

(1) 人間は合理的でない (2) Player の利得が第３者に分かる金銭的な ( 経済的な ) 利益のみに依存していない。→囚人のジレンマの状況になっていない。

(3) 短期的な利益を犠牲にしても長期的な利益のために協調する→繰り返しゲーム


(2) の発想 : 囚人のジレンマ修正版

CC DD

CC (3,3)(3,3) (0,2)(0,2)

DD (2,0)(2,0) (1,1)(1,1)



(3) の発想 : 繰り返しゲーム

同じゲームが将来にわたって長期的に繰り返される。→将来の利益のために短期的な利益を犠牲にする可能性がある

( 有限繰返ゲーム ) 繰り返しの回数が有限( 無限繰返ゲーム ) 繰り返しの回数が無限


有限繰り返しゲーム

同じゲームをＮ回繰り返す。各回ごとに利得が発生。各 Player は、そのＮ回分の合計を最大化するように行動する。

これ以降囚人のジレンマゲームが繰り返される状況のみを考える。


後方帰納法第Ｎ期→将来はないから当然双方Ｄを取る第Ｎ - １期→１期だけ将来はあるが、今期の行動

と次期の行動は無関係。従って今期の利得のみを最大化する⇒当然双方Ｄを取る

第Ｎ - ２期→２期将来はあるが、今期の行動と次期の行動、次 - 期の行動は無関係。従って今期の利得のみを最大化する⇒当然双方Ｄを取る

・・・第１期⇒同じ理由で双方Ｄを取る～Ｎがどんなに大きくても協調できない


どんな場合に協調できるか？

(1) 不完備情報ゲ - ム→合理的でない振りをする誘因

(2) ステージゲームでナッシュ均衡が複数ある。→ より劣る均衡を punishment として使う(3) 無限繰り返しゲ - ム


どんな場合に協調できるか？


AA BB CC

AA (5,5)(5,5) (0,0)(0,0) (0,6)(0,6)

BB (0,0)(0,0) (4,4)(4,4) (0,0)(0,0)

CC (6,0)(6,0) (0,0)(0,0) (1,1)(1,1)


２期繰り返したら？

以下の状況は部分ゲーム完全均衡として実現できる

第１期は (A,A), 第２期は、第１期に (A,A) が実現したら (B,B), それ以外なら (C,C)

AA BB CC

AA (5,5)(5,5) (0,0)(0,0) (0,6)(0,6)

BB (0,0)(0,0) (4,4)(4,4) (0,0)(0,0)

CC (6,0)(6,0) (0,0)(0,0) (1,1)(1,1)


無限繰り返しゲーム

同じゲームを無限回繰り返す。各回ごとに利得が発生。その割引現在価値を最大化する今期の利得 +δ( 次期の利得 )+δ2( 次 - 期の利得 )+δ3

( 次 -- 期の利得 )+...

δ (0,1):∈ 割引因子


割引因子の意味

(1) 利子率を反映　 δ=1/(1+r) 　 r: 利子率(2) 主観的割引率を反映 : 将来をどれぐらい軽視するかの指標、その主体がどれぐらい忍耐強いかを表す指標 ( 忍耐強いほど δ は大きい )

(3) ゲ - ムが次の期まで続く確率 δ

⇒実際には無限にゲ - ムが続く確率はほぼゼロでもかまわない～見かけほど非現実的な状況ではない


部分ゲーム完全均衡

以下の戦略は δ 1/2≧ である限り、部分ゲ - ム完全均衡となる。

各 player はそれ以前に２人とも一度も D を取っていないとき C を取り、これ以外の場合には D を取る。


部分ゲーム完全均衡であることの確認

今まで２人とも一度もＤを取っていないとする。ライバルの戦略を所与として、自分が ( 前のシートの ) 戦略に従うと利得は 3/( １－ δ) 。

戦略を変えてＤを取ると 4+δ/(1 － δ) 。３ /(1 － δ) 4+δ/(≧ １－ δ)⇔ δ 1/3≧～将来がそれなりに重要であれば協調行動を取る誘因がある。


繰り返しゲームのロジックが使われる例

・国際協調、国際法・継続的取引、効率賃金仮説・定期市・ソフトロー、慣習・カルテル、談合


これ以外の部分ゲーム完全均衡

以下の戦略は δ によらず、部分ゲーム完全均衡となる。

各 player は常にＤを取り続ける。⇒長期的な関係にあれば常に協調が実現するわけではない。



C D

C (3,3) (-1,4)

D (4,-1) (0,0)

問題 : 無限繰り返しゲ - ムを考えよ。

両者が永遠に C をとる状況が均衡になる条件を求めよ



C D

C (3,3) (-1,6)

D (6,-1) (0,0)

問題 : 無限繰り返しゲームを考えよ。

両者が永遠に C をとる状況が均衡になる条件を求めよ

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どんなときに協調が難しいか？

(1) 情報のギャップ(2) Player 間の非対称性、格差（単なる異質性ではない）

(3) 衰退産業(4) 将来の新規参入の可能性(5) 需要規模の変動

法と経済学２


非協力ゲーム (noncooperative game)

各人が自分の利得を最大化するように行動→協力できるのは、 ( ライバルの戦略を所与として ) 協力行動が自己の利得を最大化するときのみ

⇒非協力ゲ - ムは常に協力できない状況を記述するゲームではなく、誘因もないのに協力できることを前提としないゲ - ムのこと


協力ゲーム (cooperative game)

協力を前提としたゲーム⇒協力を前提としてしまったら後は何を分析するのか？

⇒協力の結果得られた果実がどのように分配されるかという問題が残っている


問題の例

登場人物 A と B 。2 人が協調しなければ A は 5 の利得、 B は 10 の利得を得る。

2 人が協調すれば 2 人あわせて 25 の利得を得る。⇒協調の結果 25 の利得を、 2 人でどう分けることになるか？


ナッシュ交渉解

登場人物 A と B 。2 人が協調しなければＡは Va の利得、 B は Vb の利得を得る。 (Va,Vb) を威嚇点 (threat point) という。

2 人が協調すれば 2 人あわせて Y の利得を得る。⇒協調の結果 A の利得 Ua 、 B の利得 Ub はどうなるか？

ナッシュ交渉解 (Nash Bargaining Solution)

Ua=0.5(Ｙ -Va-Vb)+Va

Uｂ =0.5(Ｙ -Va-Vb)+Vb

⇒二人が協調して得られる利益を折半する。


ナッシュ交渉解

問題　 B は 10 のコストで部品を作り、 A は 10 のコストで組み立てて 30 で売ることが出来る。 B は Aに売れないと利益ゼロ。 A は部品を内製化することもできる。このとき総費用は 25 。

ナッシュ交渉解での A と B の利得は？


一般化ナッシュ交渉解

登場人物 A と B 。２人が協調しなければ A は Va の利得、 B は Vb の

利得を得る。２人が協調すれば２人あわせてＹの利得を得る。

⇒ 協調の結果 A の利得 Ua 、 B の利得 Ub はどうなるか？

一般化ナッシュ交渉解 (Generalized Nash Bargaining Solution)

Ua=α （Ｙ -Va-Vb ） +Va

U ｂ =(1- α) （Ｙ -Va-Vb ） +Vb

α:A の交渉力 (bargaining power) を表す。これが大きいほどＡの交渉力が強い（ B の交渉力が弱い）。


交渉力に関する２つのストーリー

組み立てメーカー A と部品メーカー B 。ストーリー１・ B は 10 のコストで部品を作り、 Aは 10 のコストで組み立てて 40 で売ることが出来る

A の交渉力 α→1 　　⇒ A の利益→ 20

ストーリー２・ B は 10 のコストで部品を作り、 Aは 10 のコストで組み立てて 30 で売ることが出来る。 A は部品を内製化することもできる。このとき総費用は 20+ε

A の交渉力 α=0.5 、 ε→０　　⇒ A の利益→ 20

２つのストーリーは本質的に同じ。


交渉力に関する仮定

経済学の論文では当事者の交渉力が等しいと仮定することが多い

　大国と小国の交渉、元請けと下請けの交渉、雇用者と労働者の交渉、貸し主と借り主の交渉

両者の交渉力が等しいなんて仮定は非現実的でナンセンス←これはたいていは誤解ストーリー２のように交渉力が対等でも威嚇点における利得の関係によっては一方は弱い立場に立たされる状況を記述できる


交渉力に関する仮定

逆に経済学の論文では一方の交渉力がゼロと仮定することも時々あるストーリー２のように威嚇点における利得の関係によっては一方は弱い立場に立たされる状況を、いちいち威嚇点の状況を記述しないで簡単に A が100％の交渉力を持つと記述しているだけのことが多い


非協力ゲームに基づく交渉のモデル化

登場人物、 A と B 。全体で１の利益をわける。交渉がまとまらなければともにゼロの利得

⇒ ナッシュ交渉解ならともに 0.5 の利得。A が先に A の取分を B に提案し、 B が受け入れた

らゲーム終了。 B が受け入れなければ今度は Bが A の取分を提案。 A が受け入れたらゲーム終了。 A が受け入れなければ今度は A が B の取分を提案。

player i の割引因子（ discount factor)

δi∈ （ 0,1 ） (i=A,B)


割引因子の意味

(1) 利子率を反映δ=1/(1+r) 　 r: 利子率(2) 主観的割引率を反映 : 将来をどれぐらい軽視するかの指標、あるいはその主体がどれぐらい忍耐強いかを表す指標 ( 忍耐強いほど δ は大きい )

(3) 状況が変わって１の利益が得られなくなってしまう確率

⇒基本的には繰り返しゲームで学んだ δ の解釈と同じ


均衡解 (3 期モデル )

A が提案し、 B が提案し、 A が提案してまとまらなければゲ - ム終了とする。

後方帰納法で解く。第３期　 Ya=1.

第２期　 A は拒否すると次の期 1 の利得。今期 δ の利得がなければ拒否⇒Ｂの提案は Ya=δ

第１期　 B は拒否すると次の期 1-δ の利得。今期 δ(1-δ) の利得がなければ拒否⇒ A の提案は Ya=1-δ(1-δ)=1-δ+δ ２


非協調ゲ - ムの解 (５期モデル )

A が提案し、Ｂが提案し、 A が提案、Ｂが提案し、 A が提案してまとまらなければゲ - ム終了とする。後方帰納法で解く。

第５期　 Ya=1.

第４期　 A は拒否すると次の期 1 の利得。今期 δの利得がなければ拒否⇒Ｂの提案は Ya= δ

第３期　Ｂは拒否すると次の期 1-δ の利得。今期δ(1-δ) の利得がなければ拒否⇒ A の提案は Ya=1-δ( 1-δ)= １ -δ+δ ２


非協調ゲ - ムの解 (５期モデル )

第２期　 A は拒否すると次の期１－ δ(1 － δ) の利得。今期 δ( １－ δ(1 － δ)) の利得がなければ拒否⇒Ｂの提案は Ya= δ(1 － δ( １－ δ))

第１期　Ｂは拒否すると次の期１－ δ( １－ δ( １－δ)) の利得。今期 δ( １－ δ( １－ δ( １－ δ))) の利得がなければ拒否⇒ A の提案は Ya= １－ δ( １－δ( １－ δ ( 1 － δ)))= １－ δ+δ ２－ δ ３ +δ ４


非協調ゲ - ムの解 (n 期モデル )

A が提案し、Ｂが提案し、 A が提案、。。。、Ｂが提案し、 A が提案してまとまらなければゲ - ム終了とする（合計 n 期。 n奇数）。後方帰納法で解く。

第ｎ期　 Ya=1.

第 n-1 期　Ｂの提案は Ya=δ

第 n-2 期　 A の提案は Ya= 1-δ+δ ２第 n-3 期　Ｂの提案は Ya=δ(1-δ(1-δ))

第 n-4 期　 A の提案は Ya= １ -δ+δ ２　 - δ ３ +δ ４


非協力ゲ - ムの解 (n 期モデル )

A が提案し、 B が提案し、 A が提案、。。。、 Bが提案し、 A が提案してまとまらなければゲ - ム終了とする ( 合計 n 期。 n奇数 ) 。後方帰納法で解く。

第 1 期　 A の提案は Ya=1-δ+δ2-δ3+δ4 -δ5+δ6-...+δn-1

n→∞ 　 Ya→1/( １ + δ)

δ→1 　 Ya→1/2 ～ナッシュ交渉解と同じ⇒ナッシュ交渉解の非協力ゲ - ムによる基礎付け


均衡解（無限期間バ - ジョン）

今期は A が提案。まとまらなければ来期は B が提案。均衡において A が Ya=x の提案で交渉がまとまるとする。 Off path で B は Ya=y の提案をし、交渉がまとまるとする。このとき

　　 x=1 － y かつ 1-x=δ(1 － y) となるはず。この連立方程式を解くと x=1/(1+δ) となる。


非協力ゲームの解の特徴

・ n が小さく δ が 1 に近い⇒最後に提案できる者がかなり有利・もし A と B の割引因子が違っていたら？⇒割引因子の小さい方 ( より忍耐強くない方 ) の取り分が小さくなる

～交渉が長引くと B に不利になる状況では B は実質的に交渉力を失ってしまう


割引因子と交渉力の例 :バックホ -事件

・即時取得～動産は原則として占有した時点で所有権が発生

・盗品の場合には例外規定が


登場人物

丙甲乙

公の市場から購入

元の所有者今の占有者


関連する法律の整理丙が平穏かつ公然に占有をはじめ、善意無過失なら、丙

は即時にこの動産の所有権を取得し、その結果甲は所有権を失う (民法 192 条 :即時取得 ) 。

甲は乙に対して債務不履行あるいは不法行為に基づいて損害賠償請求をする権利 (民法 415 条あるいは 709条 ) または不当利得の返還を請求する権利 (民法 704条 ) を有する。

盗難ないし遺失の日から２年間は、甲は丙に対してこの動産の引き渡しを請求できる (民法 193 条 ) 。

丙が一定の要件を満たす時、甲はその取得に対して丙の取得価格を補償しなければならない (民法 194 条 ) 。


バックホー事件

(1) 甲がバックホー (農業機械 ) を盗まれる。(2) 甲が盗まれたバックホ - を丙が使っているのを発見。丙は乙から購入。乙は行方不明。

(3) 甲が丙を訴える。１審 :甲は取得価格を丙に払え。丙は訴えが提起されてから現在までの使用料を甲に支払え。

２審 :1審と同じ。使用料の単価は減額。丙は返さないと今後も使用料⇒たまらず甲に返却。最高裁 : 使用料の支払不要。甲は丙の取得価格を支払え。


バックホー事件での最高裁の判断

(1) 下級審の判例変更～使用料不要(2) 大審院の判例変更( 従来の判例 ) 丙が任意に甲に盗品を引き渡したら丙は甲に対して取得価格の補償を請求できない

もしこの最高裁判決がなかったら丙は返却しないと時間がたつにつれどんどん損害が増える。

⇒実質的に丙の交渉力を著しく損ねる。⇒194 条による盗品取得者の保護を有名無実化する。


交渉力のコントロ - ル

裁判所が決めるル - ル⇒当事者の交渉力に影響（例）バックホー事件当事者間の交渉で同じ事ができないか？（例）遅延損害金の設定。これを十分に大きく設定

すれば遅延損害金の発生する当事者の交渉力を弱められる

⇒ 第９講、特定履行の回に議論する


Shapley value bargaining solution

当事者が３人以上いたら交渉解はどうなるのか？ナッシュ交渉解をそのまま使うUa=1/3(Y-Va-Vb -Vc)+Va

問題点３人集まらないと協調できないならこれでいいかもしれない。しかし２人集まればある程度の利得があげられるときには、その程度に依存して交渉の結果得られる利得も変わるはず

⇒シャプレバリュー交渉解


シャプレバリュー交渉解

Ua=1/6{2( Ｙ -Vbc)+(Vab-Vb)+(Vac-Vc)+2Va}

Vij: i と j のペアで得られる利得

３人をランダムに並べる。新たに加わった人が追加的な利益を全て取る。その利益の期待値がシャプレバリュー。

Ub=1/6{2( Ｙ -Vac)+(Vab-Va)+(Vbc-Vc)+2Vb}

Uc=1/6{2( Ｙ -Vab)+(Vac-Va)+(Vbc-Vb)+2Vc}


シャプレバリュー交渉解の使用例

・組立メーカーは複数の部品メーカーを使い分ける・政府と複数の民間企業が交渉・企業が立地に関して複数の自治体を天秤にかける・３党体制 ( あるいはそれ以上の政党数 ) での連立交

渉・多国間交渉、多国間協定・売手市場、買手市場の労働市場


問題

A,B,C と Player は３人。３人組むと 12 の利益。 A １人なら３の利益。 B,C 単独ではゼロの利益。２人が組んでも利益を増やすことは出来ない。

問題 : シャプレバリュー交渉解を計算しなさい。 A,B,C の利得は？


問題

A,B,C と Player は３人。３人組むと 15 の利益。 A,Cとも１人なら 3 の利益。 B １人なら 0 の利益。 Aと C が組んでも 6 の利益。 A,B あるいは B,C の２人が組むと 12 の利益。

問題 : シャプレバリュー交渉解を計算しなさい。 A,B,C の利得は？

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