Le Journal N° 7, 2020

Rédacteur en chef : Mouad Moutaoukil

Rédacteurs de ce numéro :

- Amine Natik

- Anass Beqqali

- Meriem Bahda

- Mohamed Hibat Allah

- Mouad Moutaoukil

- Rachad El Moutaouaffiq

- Réda Nabil

- Yassir Lairgi

- Youssef Irhboula

Design : Abdelkader Benaissat

Math&Maroc est une revue mathématique publiée par l’association du même nom. Elle

vise la promotion des mathématiques, surtout olympiques, au Maroc.

Le Journal est ouvert à des propositions de nouveaux articles. Les articles doivent être

soigneusement rédigés et raisonnablement courts. Nous sommes également intéressés par de

nouveaux problèmes pour la rubrique « Défis ». Tout problème proposé devrait s'accompagner

d’une solution, ou au moins d'informations suffisantes pour indiquer qu’une solution est

possible. Veuillez inclure toute référence ou réflexion qui pourrait aider les rédacteurs et

rédactrices. Nous vous invitons particulièrement à envoyer des problèmes originaux. Toutefois,

tout problème intéressant quoique non original est le bienvenu pour autant qu’il soit

accompagné des références nécessaires. Dans ce cas-là, il faut obtenir la permission de l’auteur

avant de publier le problème.

Nous vous invitons à nous envoyer tous vos commentaires, remarques, problèmes,

solutions et suggestions en contactant notre VP publications à l’adresse suivante :

abdelkaderbenaissat@gmail.com

N’hésitez pas à contacter nos VP (liste ci-contre) pour toute autre proposition de projet

ou de partenariat.

Nom VP pôle Email Mohammed-Younes Gueddari Formation gueddari.mohammedyounes98@gmail.com

Reda Nabil Communication nabil.reda.99@gmail.com

Meriem Bahda Conférence meriembahda@gmail.com

Abdelkader Benaissat Publications abdelkaderbenaissat@gmail.com

Omar Bennouna Orientation omar.bennouna.x19@polytechnique.edu

Nouamane Tazi Informatique nouamane98@gmail.com

Younes Driouiche Informatique driouiche.younes@gmail.com

Youssef Irhboula Physique y.irhboula@gmail.com

Éditorial

ath&maroc a aujourd’hui 4 ans d’existence ! Il y a 4 ans, des jeunes étudiants

marocains, dont la plupart sont des ex-participants aux Olympiades

Internationales de Mathématiques, ont décidé d’agir en consacrant leur temps et

leur énergie dans le but d’offrir aux nouvelles générations une formation olympique de qualité

et ouvrir aux élèves qui excellent en mathématiques de nouveaux horizons. C’est ainsi que

Math&maroc a vu le jour. Depuis sa création, l’association n’a cessé de grandir et d’élargir ses

champs d’action. Nous sommes actuellement plus de 70 membres, dispersés à travers le monde,

mais partageant tous cette même motivation et volonté de faire rayonner les mathématiques

dans notre pays.

Le début de cette année a été marqué par la fin du mandat de l’équipe fondatrice de

Math&maroc, que nous remercions vivement pour tous leurs efforts. Un nouveau bureau a été

élu, présidé par Amine Natik, que vous pouvez découvrir dans la rubrique « Coin des anciens ».

La structure de l’association a été mise à jour, nos membres s’organisent désormais en 7 pôles :

Pôle formation, communication, publications, informatique, physique, conférence et

orientation.

Et finalement, le Journal revient ! Votre revue mathématique préférée s’est également

offerte une mise à jour. Ce numéro se promet d’être captivant, à travers différentes rubriques

que les passionnés des maths peuvent déguster l’une après l’autre. De la vie inspirante de

Ramanujan, à la découverte du nombre imaginaire i qui a bouleversé le monde de la science,

en passant par une modélisation mathématique de la pandémie que nous sommes en train de

vivre, cette édition est à lire et partager sans modération !

Mouad Moutaoukil

M

Sommaire

Actualités

Quoi de neuf à Math&Maroc ? - Réda Nabil

Actualités des mathématiques - Anass Beqqali

Autour des mathématiques

Beauté des mathématiques : La Révolution des Nombres Imaginaires - Mohamed Hibat Allah

Utilité des mathématiques : approche de la propagation du Covid-19 - Yassir Lairgi

Mathématiciens d’hier et d’aujourd’hui Le coin des anciens : Amine Natik (IMO 2014)

- Amine Natik et Meriem Bahda

Portrait d’un mathématicien : Srivinasa Ramanujan - Mouad Moutaoukil

IOI & IPhO

Olympiades internationales d’informatique : Généralités - Rachad El Moutaouaffiq

Olympiades internationales de physique : Généralités - Youssef Irhboula

Défis olympiques

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Actualités

www.mathemaroc.com

Numéro 7, 2020

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Numéro 7, 2020

Quoi de neuf à Math&Maroc ?

Réda Nabil

Cette année 2019/2020 a été une année très mouvementée. Durant le mois d’Octobredernier, le second mandat de l’association Math&Maroc a commencé. Ce renouvellementa été l’occasion d’agrandir nos rangs et d’accueillir de nouveaux membres brillants etmotivés. Il a fallu ainsi restructurer l’association pour répondre au mieux aux besoinscroissants des jeunes élèves et étudiants marocains. Toujours en concertation avec lesmembres les plus anciens de Maths&Maroc, la nouvelle équipe a pris ses marques et atout mis en œuvre pour que la transition se passe sans accrocs.

Mais que gère au fait Math&Maroc ?

Parmi les actions entreprises, on compte bien évidemment les stages de préparation auxIMOs (Olympiades Internationales de Mathématiques) qui coïncident généralement avecles vacances scolaires et qui nécessitent un grand investissement de la part des membresde l’association, surtout ceux faisant partie du pôle formation. Dans ce cadre, s’inscrit la

convention signée avec le Ministère de l’éducation, qui organise les stages olympiques etencadre le partenariat de Math&maroc avec le ministère, qui date plus de 3 ans. Aprèstout, cette volonté d’aider et de former les élèves sélectionnés pour représenter notre paysdans des compétitions olympiques très exigeantes, a été l’une des premières motivations àl’origine de la création de l’association il y a de cela quatre ans. Outre notre contributionà l’encadrement des jeunes matheux, Math&maroc s’est fixé plusieurs objectifs visantl’amélioration du niveau de notre pays en matière de sciences et d’olympiades.

Qu’a fait l’association face à la crise sanitaire ?

Le début de l’année 2020 a été marqué par une des crises les plus importantes de l’èrecontemporaine : la pandémie du Covid-19 qui a imposé l’arrêt des activités de plusieursinstitutions, notamment celles des écoles. Notre équipe a instantanément réagi en vued’apporter une solution viable à des milliers d’étudiants qui ont été privés du contact directavec leurs professeurs et se sont trouvés en face d’outils pédagogiques qu’ils n’avaient pasl’habitude d’utiliser. Il fallait trouver un moyen de toucher un maximum d’élèves afin deleur apporter le soutien scolaire dont ils ont extrêmement besoin en cette période. C’estainsi que nos membres ont travaillé diligemment pour mettre au point une plateformecapable de servir d’intermédiaire entre les élèves et des tuteurs bénévoles qui se sont portésvolontaires lors de cette initiative. Peu de temps après le lancement de la plateforme, 2258élèves intéressés se sont inscrits à travers le Maroc. Voici leur répartition :

Et c’est grâce au soutien de pas moins de 500 tuteurs motivés que nous avons puprendre en charge plus de 1800 élèves. Nous joignons notre reconnaissance à celle desélèves bénéficiaires, et espérons voir ces chiffres augmenter encore plus dans les jours àvenir afin de réduire le nombre d’étudiants toujours en liste d’attente.

Menez-vous d’autres projets actuellement ?

Malgré tout le travail qui a déjà été fait, nos membres ne s’arrêtent pas là. Le pôleorientation se penche actuellement sur le meilleur moyen d’accompagner les jeunes dansleur choix d’études scientifiques. On pense notamment à interviewer des étudiants dedifférentes filières afin d’avoir des témoignages qui seront mis à disposition des futursbacheliers par exemple. Nous avons également commencé à mettre à la disposition despréparationnaires des ressources de travail sur le site www.cpge-paradise.com.

Un autre projet qui nous tient à cœur est de renforcer la préparation des élèves maro-cains en physique. Il est clair que les étudiants marocains rayonnent à l’étranger par leursavoir-faire en mathématiques ; nous aimerions à présent les encourager à participer éga-lement aux compétitions de physique, notamment les IPhOs (Olympiades Internationalesde Physique) qui est l’équivalent en physique des IMOs. C’est la mission principale dupôle physique de Math&Maroc, qui est en train d’étudier les possibilités de partenariatavec des grandes écoles pour améliorer la préparation à ces compétitions.

Il existe plusieurs autres initiatives auxquelles nous réfléchissons, notamment l’or-ganisation d’événements et de conférences lorsque la période de confinement sera le-vée. Je vous invite à vous tenir informé en visitant régulièrement notre site internetwww.mathemaroc.com et en vous abonnant à nos pages sur les réseaux sociaux : Face-book, LinkedIn.

Quoi qu’il en soit, sachez que les membres motivés de Math&Maroc continuent sur leurlancée pour planifier au mieux les événements à venir et tenter d’anticiper les besoins desélèves et étudiants marocains. Nous essayons de nous adapter à la situation qui évoluesans cesse pour que la jeunesse prometteuse de notre pays trouve toujours un soutien àla hauteur de ses ambitions !

www.cpge-paradise.comwww.mathemaroc.comhttps://www.facebook.com/MathsMaroc2/https://www.facebook.com/MathsMaroc2/https://www.linkedin.com/company/mathemaroc/about/

Numéro 7, 2020

Actualités des mathématiques

Anass Beqqali

Le prix Abel 2020

Certes, le prix international Abel pour les mathématiques est considéré comme l’unedes plus prestigieuses distinctions dans cette science, et représente l’équivalent du prixNobel inexistant pour cette discipline. Le prix est décerné annuellement, depuis 2003,à des célèbres mathématiciens par l’Académie Norvégienne des Sciences et des Lettres,qui a été créée par le gouvernement norvégien en 2001. Plusieurs mathématiciens ont eul’honneur de remporter ce prix, commençant par Jean-Pierre Serre en 2003, jusqu’àKaren Uhlenbeck en 2019.

Contrairement à la toute aussi prestigieuse médaille Fields qui est réservée aux mathé-maticiens de moins de quarante ans, le prix Abel n’impose pas de limite d’âge, mais vise àhonorer toute la carrière mathématique des lauréats. Cette année, l’Académie norvégiennedes sciences et des lettres a décerné cette distinction à l’israélo-américain Hillel Furs-tenberg et au russo-américain Gregori Margulis pour l’ensemble de leurs travaux,

qui ont tissé des liens novateurs entre la théorie des probabilités et des systèmes dyna-miques tout en ayant recours à d’autres domaines des mathématiques fondamentales. Plusexplicitement, ces deux mathématiciens ont développé de nouvelles méthodes en théorieergodique – une branche des probabilités – et découvert des ponts entre ce domaine etd’autres champs des mathématiques, comme la géométrie, la combinatoire, la théorie desgroupes et la théorie des nombres. Leurs résultats et leurs idées, en plus d’inspirer denombreux mathématiciens, ont rapidement trouvé des applications en traitement du si-gnal et en électronique, contredisant encore une fois l’idée reçue d’un cloisonnement entremathématiques fondamentales et appliquées.

Hillel Furstenberg et Gregory Margulis

Séminaire N. Bourbaki

Par ailleurs, cette année a connu l’organisation du séminaire Nicolas Bourbaki :il s’agit d’une série de lectures publiques avec des notes distribuées directement. C’estl’une des plus grandes institutions contemporaines de mathématiques, et un baromètre del’avancée et de la réputation des mathématiques. La première édition de cette année a eulieu le 25 Janvier à l’institut Henri Poincaré, et la deuxième édition était prévue pourle 28 Mars 2020, elle a malheureusement été reportée à cause du Covid-19. La prochaineédition est prévue pour le 13 Juin 2020.

Historiquement parlant, Nicolas Bourbaki est un mathématicien imaginaire, sous lenom duquel un groupe de mathématiciens francophones, formé en 1935 à Besse, Auvergnesous l’impulsion d’André Weil, a commencé à écrire et éditer des textes mathématiquesà la fin des années 1930. L’objectif premier était la rédaction d’un traité d’analyse. Legroupe s’est constitué en association, l’Association des Collaborateurs de Nicolas Bour-baki, le 30 août 1952. Sa composition a évolué avec un renouvellement constant au fil desgénérations.

Sous le nom N. Bourbaki fut publiée une présentation co-hérente des mathématiques, appuyée sur la notion de structure,dans une série d’ouvrages sous le titre Éléments de mathéma-tique. Cette œuvre est à ce jour inachevée. Elle a eu une influencenotable sur l’enseignement des mathématiques et sur l’évolutiondes mathématiques du XXe siècle. Toutefois, elle connaît de nom-breuses critiques : incompatibilité entre le formalisme retenu etla théorie des catégories, style trop formel, rejet de la théoriedes probabilités, manque d’exemples, incompréhension des étu-diants, etc. À ces critiques, on peut opposer l’enthousiasme dugrand mathématicien Emil Artin :” Notre époque assiste à lacréation d’un ouvrage monumental : un exposé de la totalité desmathématiques d’aujourd’hui. De plus, cet exposé est fait de telle manière que les liensentre les diverses branches des mathématiques deviennent clairement visibles”. A cet égard,l’activité du groupe a cependant dépassé la seule rédaction d’ouvrages, par exemple avecl’organisation des séminaires Bourbaki.

Lors de cette édition, une multitude de problématiques ont été mises en lumière. Autout début, c’est la théorie de Hodge et o-minimalité Javier FRESAN qui a été expo-sée. Ensuite, le tour de Nicolas THOLOZAN est venu avec le thème des phénomènesde type Ratner dans les variétés hyperboliques de volume infini. Et pour terminer cettefameuse journée, Pierre-Antoine GUIHENEUF a introduit la théorie de forçage deshoméomorphismes de surfaces. Il a principalement parlé du théorème de translation pu-blié par Brower en 1912 qui implique, entre autres, qu’un homéomorphisme du planpréservant l’orientation et ayant un point périodique possède aussi un point fixe.

Plateforme de mathématiques au profit des élèves ma-rocains

La Start-up « Math scan » est une plateforme sur internet dédiée à l’excellence en

mathématiques par le biais de l’intelligence artificielle, a décidé de donner accès à sanouvelle plateforme de ressources didactiques à tous les élèves marocains.

L’évolution de la pandémie du Covid-19 a eu des répercussions négatives sur le rende-ment scolaire et mis le système éducationnel sous pression. C’est pourquoi la start-up adécidé donc de mettre à disposition de tous les élèves sa plateforme pour la médiation et lerenforcement des lacunes en mathématiques en utilisant l’intelligence artificielle. Elle offreaux élèves des vidéos de haute qualité conformes à l’architecture du programme marocain.

autour des mathématiques

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Numéro 7, 2020

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Numéro 7, 2020

Beauté des mathématiques :La Révolution des Nombres Imaginaires

Mohamed Hibat Allah

Ne t’es-tu jamais demandé comment les astrophysiciens arrivent à explorer des planètesqui sont loin de plusieurs années lumières de nous ? Et n’as-tu jamais essayé de comprendrecomment on est arrivé à construire des ordinateurs de plus en plus puissants ? Ne sois passurpris si je te dis que tout cela est basé sur l’invention d’un nombre imaginaire dontle carré est négatif ! En effet, les nombres imaginaires ont pu révolutionner plusieursdomaines scientifiques. Dans cet article, on va voir une motivation historique derrièrel’invention des nombres imaginaires et quelques exemples de révolutions scientifiques quiont eu lieu grâce à l’invention du nombre imaginaire ”i”.

1 Histoire des Nombres Imaginaires

Avant le seizième siècle, les mathématiciens croyaient que les seuls nombres qui ont unsens sont les nombres réels. On croyait aussi que l’équation x2 = −1 n’a pas de solutionsvu que le registre mathématique contemporain n’acceptait pas l’existence d’un nombredont le carré est négatif.

Gerolamo Cardano (1501-1576) était le premier mathématicien à admettre l’existenced’un nombre imaginaire i qui vérifie i2 = −1 sans pouvoir comprendre ses propriétés entotalité. Il a particulièrement beaucoup travaillé sur la résolution des équations algébriquesde la forme ax3 + bx + c = 0 où il a commencé à trouver des solutions qui utilisaient lenombre i. Au début, les mathématiciens croyaient que ces solutions n’avaient pas de sens.Heureusement, grâce aux contributions du mathématicien Raphael Bombelli (1526-1572),on a pu donner une définition mathématique aux nombres imaginaires. C’était la naissancedu nombre imaginaire ”i”.

Les nombres imaginaires (ou complexes) ont rencontré beaucoup de critiques des ma-thématiciens contemporains. En particulier, René Descartes (1596-1650) pensait que lesnombres imaginaires ne peuvent pas être visualisés dans la réalité étant donné qu’ilsn’existent pas sur la droite des nombres réelles (voir figure 1). A peu près un siècle plustard, Friedrich Gauss (1777-1855) a suggéré que le nombre imaginaire ”i” a bien un senset peut être visualisé comme on va le voir dans la section suivante.

2 C’est Quoi i ?

Pour donner un sens aux nombres imaginaires, Gauss a introduit une droite verticalequi contient des multiples du nombre imaginaire ”i” (voir figure 2). Avec cette nouvelleconvention, il a pu donner un sens au nombre imaginaire ”i” de la façon suivante :

— La multiplication d’un nombre réel par le nombre imaginaire ”i” lui fait tourner de90 degrés dans le sens trigonométrique. En particulier, si on multiplie le numéro +2par i, on obtient le nombre 2i par une rotation de 2 par 90 degrés dans le plan (voirfigure 3).

— Si on multiplie 2i par i, on fait de même une rotation de 90 degrés dans le sens trigo-nométrique pour obtenir un nombre égale à −2 (voir figure 4). Ceci veut dire qu’unemultiplication par un signe − peut être interprété comme une double multiplicationpar le nombre imaginaire i, d’où la propriété i2 = −1.

Figure 1 –

Figure 2 –

Figure 3 –

Figure 4 –

3 Première Révolution : Théorème Fondamental del’Algèbre

En utilisant juste des nombres réels, une solution à l’équation algébrique de la forme

anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 = 0, (1)

n’est pas nécessairement existante. En particulier, l’équation x2+1 = 0 n’a pas de solutionsréelles. Néanmoins, en introduisant le nombre imaginaire ”i”, cette équation admet deuxsolutions : x1 = i et x2 = −i. D’une manière analogue, les mathématiciens ont montré quel’équation (1) admet toujours des solutions dans le domaine des nombres complexes. C’estce qu’on appelle le théorème fondamental de l’algèbre qui est à la base de la résolutiondes équations algébriques et qui est très utile dans plusieurs branches de mathématiques.

4 Deuxième Révolution : Transformée de Fourier

La transformée de Fourier est un outil mathématique incontournable pour l’analyse dessons et des images, il permet de produire de la musique de haute qualité, de classifier lesimages médicales pour pouvoir les identifier, de traiter les images d’exoplanètes prises parles télescopes pour déterminer leur propriétés et si elles sont habitables ou pas, et aussid’analyser les images des observations de notre univers pour déduire ce qui s’est passédepuis les premiers moments de l’existence de notre cosmos. En conclusion, cet outil aouvert la porte à plusieurs applications intéressantes dans plusieurs domaines scientifiques.

Mathématiquement, cette transformée consiste à prendre un signal f(t), qui peut re-présenter une image ou un son et à faire la transformation suivante (que le lecteur n’estpas obligé de comprendre pour pouvoir suivre !) :

F(ω) =∫ +∞

−∞f(t) e−iωt dt,

pour obtenir un signal F(ω) qui contient des informations plus faciles à extraire ou à mani-puler. Au cœur de cette transformée, on trouve le nombre imaginaire ”i” soulignant le rôleimportant des nombres imaginaires dans cette transformation qui a plusieurs applicationsdans différents domaines scientifiques.

5 Troisième Révolution : Mécanique Quantique

La physique du 20ème siècle a connu un grand développement après la découvertede la mécanique quantique. C’est une théorie qui a permis d’expliquer pourquoi certainsmatériaux sont isolants ou conducteurs et aussi de mieux comprendre l’attraction ou larépulsion des aimants. Elle a aussi permis de développer des ordinateurs de plus en pluspuissants et de fabriquer les Lasers qui sont très utiles en médecine et en industrie.

La mécanique quantique a aussi changé notre vision du monde infinitésimal des mo-lécules et des atomes. Du point de vue de cette théorie, la position d’un atome n’a pasde sens, on a seulement droit de parler de la probabilité de trouver un atome dans unecertaine position, cette probabilité est encodée par une fonction qui prend des valeursimaginaires. Aussi étrange que cela puisse paraître, la mécanique quantique a connu ungrand succès après avoir été confirmée par l’expérience à plusieurs reprises.

Ce qui est intéressant à noter ici, c’est que cette théorie donne un sens plus concretaux nombres imaginaires, puisqu’elle suggère que le nombre imaginaire ”i” n’est pas sim-plement une astuce mathématique pour trouver des solutions aux équations algébriquesmais plutôt un objet qui existe bel et bien dans notre nature !

Conclusion

C’est intéressant de voir qu’un simple nombre imaginaire i a pu révolutionné la sciencedans plusieurs domaines comme la médecine et la physique. Cet exemple montre le pouvoirde l’imagination dans le but de faire avancer la science et met en exergue le fait que lesmathématiques sont incontournables pour la physique et pour expliquer comment notremonde marche.

Numéro 7, 2020

Utilité des mathématiques :Une approche mathématique de lapropagation du virus SARS-COV-2

Yassir LAIRGI

Abstract - Cet article est une approche mathématique simplifiée pour modéliser lapropagation du CoronaVirus à l’aide d’une suite géométrique. Nous discuterons par lasuite les mesures nécessaires afin d’arrêter sa propagation dans deux périodes, sans etavec guérison journalière.

1 Phase initiale sans guérison journalière

1.1 Modélisation

On commence notre modélisation par définir les variables suivantes, et on rappelle qu’onne considérera pas les cas qui guérissent dans cette première phase.

— Ni : Le nombre des cas le jour i.— M : Le nombre des individus, non contaminés, qui ont été en contact avec un cas

parmi Ni le jour i.— p : La probabilité pour que la maladie soit transmise d’un cas parmi Ni vers un

individu parmi M le jour i.— δNdisease : Les nouveaux cas qui émergent le jour i+1.

Pour des raisons de simplicité, on suppose que p et M sont identiques pour chaque casparmi Ni et sont constantes durant n jours, n ∈ N . On aura donc, le nombre des cas lejour i+1,

Ni+1 = Ni + δNdisease

Avec δNdisease = Ni × M × p. Alors, on trouve,

Ni+1 = Ni(1 + Mp) (2)

On peut voir clairement que le nombre des cas est une suite géométrique, de terme général,

Nn = N0kn, n ∈ N (3)Avec, k = 1 + Mp est la raison de la suite géométrique.

1.2 Le taux de propagation du Virus

On pose RV P n, le taux de propagation du Virus au jour n. Elle n’est que la pente de ladroite tangente de la courbe (nombre des cas en fonction du temps) au point d’abscissen.

RV Pn = Nn+1−Nnn+1−n = N0(kn+1 − kn) = N0kn(k − 1)

D’où,

RV Pn = N0Mp(1 + Mp)n (4)

1.3 Interprétation

— k > 1 : Ceci implique que la suite géométrique (2) diverge.— RV Pn = RV Pn(M, p) : le taux de propagation du Virus croît exponentiellement

lorsque M, le nombre des individus qui ont été en contact avec un cas contaminé,augmente (cf. figure 1) ou lorsque p, la probabilité de transmission de la maladie,augmente (cf. figures 2,3 et l’équation (3)).Nous pourrions ralentir le taux de propagation du Virus en minimisant M (op-tion 1) ou en minimisant p (option 2).

M → 0 (option 1) or p → 0 (option 2)

Pour (option 1), nous devons restreindre les mouvements des individus (infectésou non) d’une zone à autre. Pour (option 2), nous devons rappeler les gens deprendre les précautions nécessaires pour la désinfection : lavage des mains avec dusavon liquide, nettoyage des vêtements, de la chambre etc...On peut constater l’importance de l’éloignement sociale, option 1, comme il estillustré dans le graphique de Wuhan (cf. figure 4). Les barres grises représententles cas réels journaliers de coronavirus, lorsque les symptômes ont commencé à

apparaître. Les barres en orange représente les mêmes cas mais après avoir effectuéle test.Le nombre de cas a augmenté de façon exponentielle jusqu’à 23 janvier (date del’annonce du confinement). Le 26 janvier, le nombre des cas réels a atteint sonmaximum. Ensuite, il a diminué de façon significative.

— Les pays doivent agir rapidement afin de surmonter la propagation du Virus. Ilsauront M et p plus petits et donc, un taux de propagation plus faible(cf. équation (3)).Nous pourrions illustrer cette idée à partir de la pandémie grippale de 1918 (ougrippe espagnole). Nous remarquons dans la figure 5 que le taux de mortalité àPhiladelphie, qui a sous-estimé les précautions, est beaucoup plus élevé que celui deSt. Louis, qui a agi promptement.

Figure 5 – Le nombre de cas est en fonc-tion du temps, de p et de M. Nous main-tenons p constant (p=0.5 par exemple).Nous observons alors que le taux de propa-gation du Virus en un jour donné, qui estla pente de la droite tangente de la courbeà un jour donné, augmente de manière ex-ponentielle lorsque nous passons de M=3à M=10.

Figure 6 – Le nombre de cas est enfonction du temps, de p et de M. Danscette courbe, nous maintenons M constant(M=10 par exemple). Nous observons quele taux de propagation du Virus en un jourdonné, qui est la pente de tangente de lacourbe à un jour donné, augmente de fa-çon exponentielle lorsque nous passons dep=0,2 à p=0.8.

Figure 7 – Le nombre de cas est fonction du temps et de M. Nous constatons que le tauxde propagation du Virus augmente lorsque nous passons de p=0.2 (courbe à gauche) àp=0.5 (courbe à droite).

Figure 8 – Courbe épidémique des cas confirmés de Coronavirus 2019 (COVID-19).Source [1]

Figure 9 – Taux de mortalité de la pandémie grippale de 1918 à Philadelphie et à Saint-Louis où différentes mesures d’éloignement sociale ont été adoptées [2]. ”Les premiers casparmi les citoyens de Philadelphie ont été déclarés le 17 septembre 1918, mais les autoritésont sous-estimé leur ampleur et ont autorisé la tenue de grands rassemblements publics[...] En revanche, les premiers cas parmi les citoyens de St.Louis ont été déclarés le 5octobre, et les autorités ont rapidement mis en place une vaste série de mesures destinéesà promouvoir l’éloignement sociale, qu’elles ont appliquées le 17 octobre. [3]

2 Phase secondaire avec guérison journalière

2.1 Modélisation

Dans cette phase, on ajoute deux variables et on prend en considération les cas qui gué-rissent.

— δNrecovery : le nombre de cas qui guérissent le jour i+1.— q : la probabilité pour qu’un cas parmi Ni guérisse le jour i+1.

On trouve, δNrecovery = qNi. Donc, le nombre des cas le jour i+1 est,

Ni+1 = Ni(1 + Mp) − δNrecovery

D’où

Ni+1 = Ni(1 + Mp − q) (5)

Le terme général de la suite géométrique (Nn)n∈N est,

Nn = N0k′n, n ∈ N (6)

Avec k′ = 1 + Mp − q la raison de la suite (5).

2.2 Le taux de propagation du Virus

RV P n le taux de propagation du Virus le jour n,

RV Pn = N0k′n(k′ − 1)

Donc,

RV Pn = N0(Mp − q)(1 + Mp − q)n (7)

2.3 Interprétation

— ∃(M0, p0, q0), k′ < 1 : dans ce cas, (5) est une suite convergente. Elle indique que sinous pouvions fixer M et p à une certaine valeur ( éloignement social, confinementet le lavage des mains), nous pourrions arrêter le Virus tant que q > Mp.

— Dans la condition Mp < q, nous pouvons constater à partir de (6) que le taux depropagation du Virus diminue rapidement lorsque q, la probabilité qu’un individude Ni se rétablisse le jour i+1, augmente. (cf. figure 6)La probabilité q dépend du système immunitaire et de l’âge des cas.

Figure 10 – Dans cette courbe, nous gardons M et p constantes (M=3 et p=0,2 parexemple). On remarque que le taux de propagation du Virus en un jour donné, diminueexponentiellement lorsque l’on passe de q=0.7 à p=0.9

Références

[1] Z. Wu and J. M. McGoogan, “Characteristics of and important lessons from the co-ronavirus disease 2019 (covid-19) outbreak in china : summary of a report of 72 314cases from the chinese center for disease control and prevention,” Jama, 2020.

[2] R. J. Hatchett, C. E. Mecher, and M. Lipsitch, “Public health interventions and epi-demic intensity during the 1918 influenza pandemic,” Proceedings of the NationalAcademy of Sciences, vol. 104, no. 18, pp. 7582–7587, 2007.

[3] T. Pueyo, “Coronavirus : Why you must act now,” Medium, 2020.

Mathématiciens d’hier etd’aujourd’hui

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Numéro 7, 2020

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Le coin des anciens : Amine NatikPropos recueillis par Meriem Bahda

Qui est Amine Natik ?

Je suis, avant tout, un passionné de mathématiques, de la guitare, des échecs, de laphotographie et de la cuisine. Actuellement, âgé de 23 ans, je poursuis un doctorat à l’uni-versité de Montréal, où je fais de la recherche dans le domaine de l’intelligence artificielleet des neurosciences computationnelles. Auparavant, j’ai obtenu mon master à l’universitéd’Ottawa en 2019 et ma licence à la faculté des sciences de Rabat en 2017.

Quand est-ce que s’est révélée ta passion pour les mathéma-tiques ?

Mon récit est loin d’être celui d’un matheux ordinaire. Aussi loin que je me souvienne,j’avais toujours été le feignant de la classe, l’enfant complètement désintéressé par lesétudes. A voir mon parcours scolaire, on se dirait que je suis certainement une causeperdue, que je suis destiné à l’échec scolaire. Au brevet, mes notes étaient catastrophiques,surtout dans les matières scientifiques. Lors du conseil de classe, mes enseignants avaientjugé judicieux de m’orienter en filière littéraire. Heureusement, une enseignante de françaisavait plaidé en ma faveur et je fus accepté en filière scientifique. Mon grand frère m’avaittoujours encouragé à choisir la filière des sciences mathématiques. Cependant, mes notesne s’étaient nullement améliorées en tronc commun. Ainsi, avec mon 11/20 de moyenne aupremier semestre, j’étais allé voir la direction pour leur parler de mon souhait de choisir lafilière des sciences mathématiques. Vous l’avez peut-être deviné, on m’avait ri au nez, enme disant que c’était peine perdue. Au début de ma première année du baccalauréat, desplaces vacantes étaient disponibles en sciences mathématiques. Et c’est ainsi que j’ai faitmon entrée dans le monde des matheux. Ça n’avait pas du tout été facile pour moi. J’avaisénormément de lacunes en mathématiques, des lacunes qui dataient du collège. Après lepremier contrôle qu’on avait passé, qui bien inutile de vous le dire, fut désastreux, je prisla décision de devenir excellent en mathématiques. Depuis ce jour-là, j’avais commencé àtravailler sans relâche. Mes efforts se sont par la suite reflétés sur mes notes excellentes.A la surprise de tous, l’adolescent qui ne manifestait aucun intérêt pour les études étaitdevenu un intello passionné de mathématiques. Après cette transition que j’avais vécuedurant ma première année du baccalauréat, je cherchais toujours à résoudre les exercicesintitulés « défis » que je trouvais dans certains manuels. On organisait, mes amis de classe

et moi, des petites compétitions sur des jeux de réflexion et des problèmes mathématiques.Au fil du temps, ce loisir est devenu plus sérieux.

Parle-nous de tes expériences avec les compétitions de mathéma-tiques

Mon aventure avec les mathématiques a officiellement débuté lors de ma deuxièmeannée du baccalauréat. Mon enseignant de mathématiques avait choisi mon ami, RidaAit Manssour, et moi pour passer des tests préliminaires qui prenaient place dans notrelycée. J’ai pu résoudre six sur huit des problèmes. Et c’est ainsi que mon ami et moiavions été sélectionnés pour participer aux olympiades nationales, où on a rencontré les40 meilleurs matheux du Maroc de notre promotion. J’ai réussi les trois stages de sélectionavec succès, j’ai été choisi parmi les six premiers au Maroc pour représenter notre pays auxIMO (International Mathematical Olympiad) qui ont eu lieu en Afrique du Sud en 2014,le moment de l’annonce des résultats finaux a marqué ma vie d’une panoplie de momentsheureux, de moment forts et joyeux. Savoir que j’étais qualifié pour les IMOs demeure,un souvenir euphorique. Je ressens encore aujourd’hui cette sensation d’accomplissement,de fierté qui s’était emparée de moi. J’ai pu remporter une mention honorable dans lesolympiades internationales, et je suis retourné à mon pays, la tête haute, fier d’avoirobtenu de tels résultats. Une semaine plus tard, j’ai participé au concours général dessciences et techniques de l’Académie Hassan II, l’épreuve était très dure, j’ai été classé undes deux meilleurs candidats qui recevront une allocation d’excellence durant leurs études.En 2016, j’ai participé aux IMC (International Mathematics Competition) en Bulgarie aunom de la faculté des sciences de Rabat où j’ai décroché une médaille de Bronze « ThirdPrize ».

Ton expérience au sein de l’association Math&Maroc ?

Math&Maroc est une association à but non lucratif, fondée en 2016 par de jeunesmatheux marocains dont je fais partie. L’objectif de l’association est de promouvoir lesmathématiques au Maroc. Son action principale consiste à préparer de brillants élèvesmarocains pour représenter notre pays dans des compétitions internationales de mathé-matiques. Durant l’année scolaire 2016/2017, j’ai fait partie des encadrants de l’équipeolympique marocaine qui a représenté le Maroc aux olympiades internationales de ma-thématiques 2017 au Brésil et puis aux IMOs 2018 en Roumanie. J’ai donc suivi toutel’évolution de la formation en encadrant les élèves sélectionnés durant trois stages. Durantcette période, j’ai essayé de faire preuve de créativité, en inventant mes propres problèmesd’arithmétique. C’est ainsi que m’est venue l’idée de proposer un problème pour les short-lists de l’année 2017. En voici un défi ! A ma connaissance, aucun Marocain n’avait puréussir le challenge que je m’étais lancé. Il m’a fallu toute une semaine pour enfin créer LEproblème d’arithmétique adéquat. J’ai donc proposé mon problème aux shortlists 2017.Quatre mois plus tard, j’ai appris que mon problème a été choisi. Mon œuvre d’art, celleque j’ai réalisée avec délicatesse et amour a été choisie parmi tant d’autres. Quelle fiertépour le Maroc ! Quel honneur pour ma famille ! Je revois encore la joie de ma mère quandje lui avais annoncé la nouvelle. Elle m’avait dit qu’elle n’était pas tellement surprise...

Maman avait toujours cru en moi ! C’est pourquoi je tiens à encourager tous les matheuxmarocains à inventer et proposer leurs problèmes dans les shortlists. Rien n’est impossible !

Quel est le sujet de recherche de ton doctorat ?

Ma thèse de doctorat sera co-supervisée par Dr. Guy Wolf et Dr. Guillaume Lajoie.Nous prévoyons d’explorer les propriétés spatiales et spectrales de la connectivité desréseaux de neurones et leur impact sur les représentations acquises. Le but de notre pro-jet doctoral est de comprendre comment le cerveau humain arrive à résoudre des tâchescompliquées. Il est connu que tout ce que nous faisons, comme marcher, manger, commu-niquer et apprendre, est fonction du déclenchement de certains neurones selon certainsschémas, dans des lieux spécifiques dans notre cerveau. Les progrès récents dans l’ap-prentissage profond ont proposé plusieurs architectures de réseaux de neurones artificielspour résoudre des tâches d’apprentissage complexes, en s’inspirant simplement des cir-cuits neuronaux de notre cerveau. Les réseaux biologiques et artificiels s’appuient sur unétalonnage efficace des synapses pour correspondre aux comportements souhaités. Cetajustement est la façon dont un réseau ”apprend”, mais c’est une tâche compliquée quin’est pas bien comprise. Une propriété importante des réseaux après l’apprentissage estla représentation interne de faible dimension trouvée dans l’activité conjointe des po-pulations de neurones qui émergent lors de l’exécution d’une tâche apprise. Dans notrerecherche nous visons à explorer et à approfondir ces représentations internes et à aborderla question de l’impact des propriétés structurelles de la connectivité réseau sur la géomé-trie, la dimensionnalité et les mécanismes d’apprentissage codés par ses caractéristiquesinternes. Nous prévoyons de répondre à cette question en exploitant des outils d’explo-ration de données multidisciplinaires comme le traitement du signal, la réduction de ladimensionnalité, l’apprentissage par la représentation et les systèmes dynamiques. Nousespérons que ce projet nous permettra de mieux comprendre la façon dont les réseauxde neurones naturels et artificiels résolvent des tâches compliquées. Ce qui nous aideraégalement à trouver des moyens méthodiques pour améliorer les structures existantes etconstruire de nouveaux modèles, à partir d’une compréhension plus profonde plutôt qued’essais et d’erreurs.

Un mot de la fin ?

Je souhaite saisir cette occasion pour m’adresser à vous, cher lecteur. Je ne suis ni unsurdoué, ni un génie. Mon histoire n’est autre que celle d’un jeune homme ordinaire, quia choisi de prendre sa destinée en main. Il fut un temps où tout semblait flou. J’étaisdésorienté, désemparé, et surtout, malheureux.

Ma passion pour les mathématiques a donné un sens à mon existence. Mon bien-êtrepersonnel n’est que l’impact des mathématiques sur ma vie. Je suis aujourd’hui, un hommeheureux ! C’est pourquoi je vous invite, cher lecteur, à trouver votre passion, à trouver cedomaine ou cette activité qui vous fascine, qui vous donne un sentiment d’exaltation, quivous fait sentir plus vivant. Et quand la vie vous donnera mille et une raisons d’abandonnervos rêves, ne succombez point à la tentation. Parce qu’une vie sans ambitions et sans défisest une vie qui ne vaut pas la peine d’être vécue. Bon courage à vous tous !

Numéro 7, 2020

Portrait d’un mathématicien :Srivinasa Ramanujan : le génie mystique

Mouad Moutaoukil

“Une équation pour moi n’a aucune signification, à moins qu’elle ne représente unepensée de Dieu” –Ramanujan

Ramanujan est l’une des figures les plus touchantes et humaines de l’histoire desmathématiques modernes. Il est considéré un magicien des nombres, un artiste des équa-tions et un prodige de l’intuition. Riche en vécus, son histoire a marqué le monde et sestravaux mathématiques font l’objet de recherches jusqu’à nos jours.

Enfance et vie en IndeSrinivasa Ramanujan est né le 22 décembre 1887 à Erode au sud de l’Inde. Son

enfance se passe sans encombre à Kumbakonam où il se fait déjà remarquer pour sonexcellente scolarité.

Il est autodidacte, faisant toujours preuve d’une pensée indépendante et originale. Àl’âge de 16 ans, Ramanujan entre en possession du livre décisif de sa vie : A synopsis ofelementary results in pure and applied mathematics, de G. S. Carr. Dès ce moment, lesmathématiques deviennent son unique intérêt. Il inscrit ses recherches, portant notammentsur la théorie des nombres, sur les fractions continues et sur les séries divergentes, dansun carnet de notes qui le suivra dorénavant comme son ombre.Son intense activité mathématique commence dès lors, mais lui cause une série d’échecsà divers examens, ce qui lui ferme les portes de l’université.

Jugeant son entourage académique dépassé, il commence, vers 1911, à publier desarticles dans des journaux mathématiques indiens et tente d’intéresser les mathématicienseuropéens à son travail par des lettres qu’il leur envoie, suite aux conseils de certains deses amis mathématiciens.

Vie en Angleterre

Ramanujan rédige en janvier 1913 une lettre à l’attention de Godfrey H. Hardyde l’Université de Cambridge en Angleterre, un mathématicien de grande renommée in-ternationale. Ce dernier reconnaît vite le potentiel du jeune indien et lui arrange, nonsans difficulté, un séjour en Angleterre.

Son arrivée à Cambridge marque le début d’une extraordinaire collaboration avecHardy. Il y obtient son premier diplôme universitaire et publie 21 articles durant 5 ans,souvent avec la participation de Hardy. Ce dernier, qui aimait classer les mathématicienssur une échelle de 1 à 100, s’attribuera par la suite 25, donnera 30 à Littlewood, 80 àHilbert et 100 à Ramanujan.

Ramanujan sera finalement élu membre du Collège de la Trinité, sommet du prestige,membre de la Société royale de Londres. Cependant, sa santé a toujours été fragile et ilcontracte en 1917 une grave tuberculose. En avril 1919, il retourne à Madras en Inde ety poursuit ses recherches jusqu’à ce que sa maladie l’emporte, le 26 avril 1920, à l’âge de33 ans.

Postérité mathématiqueFaute de papier, Ramanujan a pris en Inde l’habitude d’effectuer ses calculs et ses

raisonnements de tête ou sur une ardoise, ne notant que les résultats définitifs ; il conservecette méthode de travail toute sa vie, remplissant ainsi en tout trois cahiers, contenantprès de quatre mille formules sur plus de sept cents pages, sans démonstrations pour lamajorité.

Les mathématiciens ont exploré plusieurs des résultats trouvés par Ramanujan aucours des années suivantes, et même actuellement, plusieurs études voient le jour grâceaux pistes ouvertes par les carnets du mathématicien indien.

Lors des Olympiades Internationales des Mathématiques en 2015, une confé-rence, à laquelle j’ai eu le plaisir d’assister, a été présentée par le mathématicien Ken Ono,travaillant sur certaines découvertes de Ramanujan, surtout en théorie des nombres.

À partir des années 1990, Ken Ono s’appuie sur certains de ces résultats pour obtenir,en 2014, un ensemble spectaculaire de nouvelles formules algébriques.

L’héritage impressionnant qu’a laissé Ramanujan explique les qualificatifs de «vision-naire» et «génie» souvent accolés à son nom. Certains propos du mathématicien lui-même(notamment la citation que nous avons mis en exergue au début de ce portrait) ont contri-bué à entretenir le mystère. Si Hardy a insisté pour qu’on ne voie rien de mystique dansles conjectures qu’il a énoncées, Ken Ono mentionne sa perplexité devant certaines deses prédictions, précises et détaillées, qui lui paraissent inaccessibles avec les outils dontil disposait.

Lors de cette même conférence, une bande annonce du film “The man who knew infi-nity” a été présentée au public. C’est un film biographique de Matt Brown, basé surle livre de Robert Kanigel, que nous conseillons à tous les lecteurs intéressés par plusde détails à propos la vie du mathématicien légendaire.

IOI & IPhO

www.mathemaroc.com

Numéro 7, 2020

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Numéro 7, 2020

Olympiades internationalesd’informatique

Rachad El Moutaouaffiq

Les Olympiades internationales d’informatique ou IOI (International Olympiad in In-formatics) est l’une des six olympiades internationales scientifiques. En effet, il s’agitd’une compétition annuelle en sciences informatiques (algorithmique) qui rassemble deslycéens et collégiens de tous les pays du Monde dans le but de stimuler les efforts desjeunes dans le cadre du développement de l’apprentissage de l’algorithmique et de l’infor-matique. De surcroît, l’un des buts principaux de cette initiative est de réunir les élèvesles plus brillants de tous les pays du monde pour un partage d’expérience enrichissante,des méthodes scientifiques...Chaque pays a le droit d’envoyer jusqu’à quatre candidats et deux accompagnateurs, unCoach et un Président de l’équipe. Lors des cinq dernières années, le nombre de partici-pants a environné les 300.

Epreuves :La compétition se déroule sous forme de deux épreuves de cinq heures, regroupant

trois problèmes de nature algorithmique chacune. Les programmes des candidats sontensuite soumis à une succession de tests qui permettent de déterminer le score final dechacun. L’examination se fait de façon individuelle.

logo officiel du IOI 2020

Récompenses :A la fin de la compétition, c’est la phase d’attribution des prix, la moitié des parti-

cipants reçoit des médailles, Or, Silver ou Bronze. Les médaillés, comme pour les autresolympiades internationales, ont des chances d’avoir des bourses d’excellence dans desuniversités prestigieuses (MIT aux USA/ Waterloo au Canada/ Harvard aux USA/ nusSingapore …)

IOI au Maroc :(MOI : Moroccan Olympiad in Informatics)

Mr. Anas abou kalam a déposé la candida-ture du Maroc en 2016 (Russie), la première par-ticipation du Maroc dans l’IOI était en 2017 àTéhéran. Cela a eu lieu après l’organisation de sapremière édition des olympiades nationales d’in-formatique. Lors de sa première participation enIran, le Maroc a accumulé un total de 65 points.En 2018 au Japan, le total était de 98 points, etpuis 518 points lors de l’édition de 2019 qui a eulieu en Azerbaïdjan.

En ce qui concerne l’inscription, il existe plu-sieurs étapes [CASTOR, Algorea ...] avant d’ar-river aux épreuves de code sur le fameux siteioi.ma. Il s’agit de deux épreuves préliminairesde code, sans oublier le concours de code sur CMS qui comporte trois phases élimina-toires avant d’atteindre le stade international et avoir la chance de participer aux IOI2020. En outre, pour la sélection, il y a deux parcours liste A pour ceux qui savent coder :C++/C/Java (python non autorisé). Et une liste B pour les débutants : ils commencentpar des questions de logique, Scratch ... . Puis un autre parcours récemment ajoute “MOI-JUNIOR” surtout dédié à la préparation des élèves qui participeront aux MOI l’annéed’après.

Numéro 7, 2020

International Physics Olympiads :Généralités

Youssef Irhboula

Les IPhO (International Physics Olympiads) sont, depuis 1967, une compétition inter-nationale annuelle de haut niveau, se disputant individuellement par des élèves venus dumonde entier, en fin de cycle secondaire, non scolarisés en université et âgés de moins de20 ans.

Au Maroc, la participation à ce concours pourrait donc être ouverte aux élèves de ter-minale mais aussi en première année de classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE).La compétition réunit actuellement une centaine de délégations, mais pas plus de 5 paysafricains. Le Maroc ne participe pas encore, envoyer une délégation est l’un des principauxobjectifs du pôle physique de Math&Maroc en partenariat avec le MEN. Pour leur 51èmeédition, les IPhO se dérouleront cette année du 18 au 26 juillet 2020 à Vilnius (Lituanie).

DélégationsChaque pays participant sélectionne une délégation nationale composée de 5 candi-

dats et d’adultes accompagnateurs.

ÉpreuvesLa compétition comporte une épreuve théorique (30 points) et une épreuve expé-

rimentale (20 points), de 5 heures chacune, abordant la physique classique (mécanique,électricité, thermodynamique ...) et des domaines plus récents (relativité restreinte, ini-tiation à la mécanique quantique ...), l’ensemble formant un tout ambitieux et motivant.Toutes les épreuves se disputent individuellement.L’esprit de ces épreuves est centré autour du sens physique, de la compréhension desphénomènes et met à l’honneur la prise d’initiative des élèves et leur curiosité. Le syllabusde la compétition reste toutefois très exigeant, même pour des élèves en MPSI ou PCSI.Les sujets, initialement en anglais, sont traduits par les leaders de chaque pays dans leurlangue. Ainsi chaque candidat dispose de sujets dans sa langue maternelle.La maîtrise de l’anglais reste cependant indispensable pour profiter des échanges avec lescandidats des autres pays.

RécompensesSur l’ensemble des candidats, 67% reçoivent un prix :

• Médaille d’or (8% des participants) ;• Médaille d’argent (17% des participants) ;• Médaille de bronze (25% des participants) ;• Mention honorable (17% des participants).

Des prix spéciaux sont également remis : meilleure candidate fille, meilleure épreuve pra-tique, meilleur résultat combiné ou encore prix de la solution la plus originale.

Médaille d’or IPhO 2019

La Physique olympique au MarocLe MEN organise au Maroc des olympiades nationales de physique de la même ma-

nière que les olympiades nationales de mathématiques (stages, formations, tests...). Cesolympiades de physique n’aboutissent malheureusement pas, contrairement à leur pendantmathématique, à la formation d’une équipe pour la compétition internationale.

Math&Maroc essaie, à travers son pôle Physique, de remédier à cette situation. Lesélèves marocains ne sont pas pour autant étrangers aux IPhO. Nombreux sont ceux quiont participé à la formation française que ce soit dans les lycées Descartes à Rabat etLyautey à Casablanca, ou dans des classes préparatoires françaises (Louis-le-Grand,Stanislas, Henri Poincaré...). Bilan plus qu’honorable (2 qualifiés au stage final àl’ENS Paris-Saclay et une dizaine de mentions honorables en 3 ans), il reste à mettreà profit ces expériences pour la mise en place d’un complément efficace aux olympiadesnationales de façon à aboutir, comme en mathématiques, à la formation d’une délégationpour les olympiades internationales.

Défis olympiques

www.mathemaroc.com

Numéro 7, 2020

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Numéro 7, 2020

N.B : Les solutions des problèmes proposés seront publiées dans le prochain numéro.Tous les lecteurs sont invités à nous faire parvenir leurs solutions, via l’adresse : abdelka-derbenaissat@gmail.com.Les élèves qui participent à la sélection des Olympiades sont vivement encouragés à nousenvoyer leurs résultats, même incomplets.Toute proposition doit nous parvenir au plus tard le 20 Juin 2020. Les problèmes et lessolutions seront publiés en français, mais vous pouvez soumettre vos solutions dans lalangue de votre choix.

abdelkaderbenaissat@gmail.comabdelkaderbenaissat@gmail.com

AlgèbreA.1

Monter l’inégalité suivante :∑i 1.

(Poland)

CombinatoireC.1

Un (n, k)−tournoi est un concours avec n joueurs organisés en k tours tels que :— Chaque joueur joue à chaque tour, et tous les deux joueurs se rencontrent au plus

une fois.— Si le joueur A rencontre le joueur B au tour i, le joueur C rencontre le joueur D au

tour i et le joueur A rencontre le joueur C au tour j, alors le joueur B rencontre lejoueur D au tour j.

Déterminez toutes les paires (n, k) pour lesquelles il existe un (n, k)−tournoi.

(Argentine)

C.2

Soit S un ensemble fini de points dans le plan tel qu’aucun d’eux ne soit sur unedroite. Pour chaque polygone convexe P dont les sommets sont en S, soit a(P ) le nombrede sommets de P , et soit b(P ) est le nombre de points de S qui sont en dehors de P .Prouvez que pour chaque nombre réel x∑

p

xa(P )(1 − x)b(P ) = 1

Où la somme est prise sur tous les polygones convexes avec des sommets en S. NB :Un segment de ligne, un point et l’ensemble vide sont considérés comme des polygonesconvexes de 2, 1 et 0 sommets, respectivement.

(Colombie)

GéométrieG.1

Soit ABC un triangle et I le centre de sa cercles inscrit et soit P un point du trianglequi vérifie :

P̂BA + P̂CA = P̂BC + P̂CB

Montrer que AP > AI et que l’égalité tient si et seulement si P coïncide avec I.

(Corée)

G.2

Soient les cercles ω1 et ω1 de centres O1 et O2. ω1 et ω1 sont respectivement tangentsextérieurement au point D et intérieurement à un cercle ω aux points E et F . La droite(∆) est la tangente commune de ω1 et ω1 en D. Soit [AB] le diamètre de ω perpendiculaireà (∆), de sorte que A, E et O1 soient sur le même côté de (∆). Démontrer que les lignes(AO1), (BO2), (EF ) et (∆) se rencontre dans un seul point.

(Brésil)

Théorie des nombresT.1

Montrer que pour tout entier positif n, il existe un entier m tel que le nombre 2m + m estdivisible par n.

(Estonie)

T.2

Trouver tous les entier x, y tel que :

x7 − 1x − 1

= y5 − 1

(Russie)

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