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LE CHOIX EN

CONTEXTE

D’INCERTITUDE

(suite...)

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Un individu qui a de l’aversion pour le risque

(risquophobe) préférera un revenu certain R à une situation risquée d’espérance E(R) = R.

Un individu qui est neutre face au risque sera indifférent entre un revenu certain R et une situation risquée d’espérance E(R) = R.

Un individu qui est risquophile (aime le risque) préférera une situation risquée d’espérance E(R) = R à un revenu certain R.

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U = f(R) pour un individuU = f(R) pour un individu «risquophobe» «risquophobe»

U

R0

U(1000)

30001000 5000

U(3000)

U(5000)Gain

Perte

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La prime de risque

La personne qui a de l’aversion pour le risque est prête à payer une prime de risque.

La prime de risque correspond à la différence entre l’espérance de revenu E(R) d’une situation risquée et l’équivalent certain R qui procure le même niveau d’utilité que la situation risquée.

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La prime de risqueLa prime de risque

U

R0

U(R1)

R1 R2

E(U(R))

E(R)

Prime de risque

U(R2 )

R

Equivalent certain

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Ex: Assurance-collision d’une voiture dont la valeur est de 4000$

Événement 1(accident)

2 (pasd’accident)

Probabilité (P) P1= 1/10 P2 = 9/10

Revenu (R)(valeur de lavoiture)

RA = 0 $ RB = 4000 $

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Supposons U = f(R) = R 1/3

(individu risquophobe)

Sans assurance:

Le revenu espéré est:

E(R) = P1 * R1 + P2 * R2

= 1/10 * (0) + 9/10 * (4000)

= 3 600$

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Sans assurance:

L’utilité espérée est:

E(U(R)) = P1 U(R1) + Pb U(Rb)

= 1/10 * (0)1/3 + 9/10* (4 000)1/3

= 0 + 14,29

= 14,29

9

Quel est l’équivalent certain (revenu certain) qui me procure le même niveau d’utilité ?

U = R 1/3 14,29 = R 1/3

(14,29)3 = R

2 918 = R

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La prime de risque correspond à:

E(R) sans assurance - R (revenu certain procurant le même niveau d’utilité que la situation sans assurance)

3 600 $ - 2 918 $ = 682 $

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Attention !!!

ICI:

Prime de risque prime d’assurance

La prime d’assurance maximale qu’il sera prêt à payer correspond à:

Prime de risque + coût de l’assurance

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Le coût de l’assurance est de 400 $ qui correspond à

la perte espérée de la police d’assurance

La valeur espérée de la police d’assurance est:

= 1/10 * (-4000) + 9/10 (0)

= - 400

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Au départ, si l’individu ne s’assure pas du tout,

il supporte tout de même une perte espérée de 400 $ puisque le risque d’avoir un accident est là.

Une assurance complète doit couvrir cette perte espérée puisque l’assurance sert justement à transférer la totalité du risque à l’assureur.

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Il est par conséquent prêt à payer jusqu’à:

682 $ + 400 $ = 1 082 $

pour son assurance.

Si un assureur lui offre de payer une prime < 1 082 $, l’individu choisira de s’assurer.

Si la prime > 1 082 $, l’individu choisit de ne pas s’assurer.

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La prime d’assurance maximale qu’un

individu est prêt à payer correspond au coût

de l’assurance (fonction du risque en tant

que tel) + la prime de risque que l’individu

est prêt à payer. (elle est directement fonction

de la préférence de l’individu face au risque)

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Même exemple, mais avec U = f(R) = R 1/ 2

Sans assurance:

Le revenu espéré est toujours de:E(R) = P1 * R1 + P2 * R2

= 1/10 * (0) + 9/10 * (4 000)

= 3 600$

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Sans assurance:

L’utilité espérée est:

E(U(R)) = P1 U(R1) + Pb U(Rb)

= 1/10 * (0)1/2 + 9/10* (4000)1/2

= 0 + 63,24

= 56,92

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Quel est l’équivalent certain (revenu certain) qui me procure le même niveau d’utilité ?

U = R 1/2 56,92 = R 1/2

(56,92)2 = R

3 240 = R

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La prime de risque correspond à:

E(R) sans assurance - R (revenu certain procurant le même niveau d’utilité que la situation sans assurance)

3 600 $ - 3 240 $ = 360 $

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Il est par conséquent prêt à payer jusqu’à:

360 $ + 400 $ = 760 $

pour son assurance.

(Le premier montant correspond à la prime de risque de l’individu et le deuxième correspond au coût de l’assurance).

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Même un individu qui est neutre face au risque sera prêt à payer un maximum de

400 $ pour une police lui permettant de couvrir un risque de 400 $ (perte espérée sans assurance).

Il serait indifférent entre la situation risquée sans assurance E(R) = 3 600 $ et la situation certaine (l’assurance dont la prime est de 400 $) puisque son revenu certain sera alors de 3 600 $.

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Ex: U = f(R) = R/100(individu neutre face au risque)

L’utilité espérée devient:

E(U(R)) = P1 U(R1) + P2 U(R2)

= 1/10 * (0) + 9/10 * (40)

= 36

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Quel est l’équivalent certain qui me procure le même niveau d’utilité ?

R/100 = 36 R = 3 600 $

La prime de risque de cet individu est:

3 600 $ - 3 600 $ = 0 $

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La prime de risque est nulle parce que, par définition,

l’individu neutre face au risque est indifférent entre une situation certaine de revenu R = 3 600 $ (avec assurance dont le coût est de 400 $) et une situation risquée de revenu espéré E(R) = 3 600 $ (situation sans assurance)

Par conséquent, il n’est prêt qu’à payer le coût de l’assurance, soit 400 $.

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Au contraire, l’individu qui a de l’aversion pour le risque n’est pas indifférent entre la situation certaine de revenu R= 3 600 $ et la situation risquée de revenu espéré E(R) =

3 600 $ (par définition, il préfère la situation certaine).

Il est prêt à payer une prime pour se retrouver dans la situation certaine. Cette prime (maximale) est ici de 682 $.

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On peut également dire qu’il faut compenser les individus qui ont de l’aversion pour le risque par une prime de risque adéquate pour qu’ils acceptent de prendre un risque.

Interprétation de la prime de risque

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Reprenons notre exemple de départ.

Si notre individu dispose d’un revenu certain de 2 918 $, il faut lui offrir un rendement espéré plus élevé d’au moins

682 $ pour qu’il choisisse la situation risquée de notre exemple.

Selon son aversion pour le risque, la compensation doit être d’au moins 682 $.

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Ou encore, il est vrai de dire que, face à la situation risquée de notre exemple, notre individu est prêt à renoncer (ou sacrifier) à 682 $ (la prime de risque) de revenu espéré pour se retrouver dans la situation certaine.

vous êtes indifférent entre la situation riquée d’espérance E(U) = 3 600 $ et le revenu certain de 2 918 $.

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Autre exemple:

Vous avez un emploi qui vous rapporte un salaire fixe de 20 000 $ par année.

On vous offre un emploi dont le salaire est variable. Il y a alors une chance sur deux d’obtenir un salaire de 15 000 $ et une chance sur 2 d’obtenir un salaire de 27 000$

Si votre fonction d’utilité est U=f(R)=R 1/2,

accepterez-vous cet emploi ?

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Le salaire espéré de ce nouvel emploi est:

E(R) = P1 * R1 + P2 * R2

= 1/2 * (15 000) +

1/2 * (27 000)

= 21 000 $

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L’utilité espérée de ce nouvel emploi est:

E(U(R)) = P1 U(R1) + P2 U(R2)

= 1/2 * (15 000)1/2 +

1/2 * (27 000)1/2

= 143,39

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L’utilité de votre emploi actuel est:

R1/2 = (20 000) 1/2 = 141,42

Puisque 143,39 > 141,42 vous accepterez cet emploi.

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On peut également dire qu’ il faut

compenser les individus qui ont de

l’aversion pour le risque si on veut qu’ils

prennent un risque en leur offrant un

revenu espéré plus élevé (on parle toujours

de prime de risque, i.e. d’une prime de

rendement pour le risque).

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Demande pour les actifs risqués

Il existe une demande pour des actifs risqués (dont les flux de revenu sont incertains) dans la mesure ou ceux-ci compensent adéquatement l’investisseur pour le risque, en leur offrant un rendement espéré plus élevé que le rendement sur les actifs plus sûrs.

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Exemple Un investisseur a 10 000 $ à investir.

Deux placements possibles:

Une obligation du gouvernement portant intérêt à 5 %.

VS

Acheter 1 000 actions de la compagnie ABC à 10 $.

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Supposons que la compagnie ABC développe un

nouveau logiciel d’application multimédia.

Si le produit atteint le stade de la commercialisation, le prix de l’action montera à 20 $ probabilité de 60 %.

Si le produit développé est un échec, le prix de l’action chute à 3 $ probabilité de

40 %.

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L’obligation offre un revenu certain de:

10 000 (1 + 0.05) = 10 500 $

L’action offre un revenu espéré de:

(1000 x 3 $) x 0.4 + (1000 x 20 $) x 0.6

= 13 200 $

Si l’investisseur a une fonction d’utilité

U = f(R) = R 1/ 2

Quel placement choisira-t-il ?

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L’utilité du revenu certain de l’obligation est de:

U = (10 5000) 1/2 = 102,47

L’utilité espérée des revenus incertains procurés par l’action d’ABC est de:

E(U) = 0.4 x (1000 x 3)1/2 +

0.6 x (1000 x 20)1/2

= 21.90 + 84.85

= 106.75

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Puisque

106.75 > 102.47

l’investisseur choisira d’investir dans les actions de la compagnie ABC.

Ici, la prime de rendement (rendement espéré) offerte par les actions d’ABC

13 200 $- 10 500 $ = 2 700 $

est suffisante pour compenser le risque que prend l’investisseur.

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À retenir:

- Dans un contexte d’incertitude, les individus fondent leurs décisions sur l’utilité espérée.

- La forme des courbes d’utilité selon qu’un individu est «risquophobe», neutre au risque ou «risquophile».

- Comment calculer la prime de risque