leccion 4 espacios vectoriales

Ingenierıa Civil.Matematicas I. 2012-2013.

Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones linea-les.

4.1.- Espacios y subespacios vectoriales.

4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.

Espacio nulo y espacio columna de una matriz.Dependencia e independencia lineal.Ecuaciones parametricas y ecuaciones implıcitas de un subespacio.

4.3.- Bases de un subespacio.

Coordenadas. Dimension.Rango de una matriz. El teorema del rango.Cambios de base.

4.4.- Ejercicios.

Enunciados.Soluciones.

4.1.- Espacios y subespacios vectoriales.

De forma generica, un espacio vectorial es un conjunto donde hay definida una operacionsuma (la suma de dos elementos del conjunto es otro elemento del conjunto) y una opera-cion producto por escalares (el producto de un escalar, real o complejo, por un elemento delconjunto es otro elemento del conjunto) con las propiedades que conocemos de la suma y pro-ducto por escalares para vectores de coordenadas (conmutatividad, asociatividad, existenciade elemento nulo, elemento opuesto, distributivas, etc.). Se dice que el espacio vectorial esreal o es complejo en funcion de que se consideren escalares reales o complejos respectiva-mente. Ademas de los espacios de coordenadas, Rn y Cn, que manipulamos habitualmente,algunos ejemplos tıpicos de espacios vectoriales son, con las operaciones usuales de suma dematrices y funciones y de producto de una matriz o una funcion por un escalar:

El conjunto de todas las matrices de dimensiones determinadas, m× n.

El conjunto de todos los polinomios en una variable.

El conjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igual que uncierto n ∈ N.

93

94 Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

El conjunto de todas las funciones continuas (en un punto, en un intervalo).

El conjunto de todas las funciones derivables (en un punto, en un intervalo).

El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalo.

El conjunto de las funciones (continuas, derivables, integrables) que se anulan en unpunto prefijado.

Y algunos ejemplos tıpicos de conjuntos que, con las operaciones usuales, no son espaciosvectoriales:

El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n que tienen inversa.

El conjunto de los polinomios de un grado prefijado n ∈ N.

El conjunto de las funciones continuas f (en un punto, en un intervalo) tales quef(x0) = 1 siendo x0 un punto del intervalo dado.

El conjunto de los vectores de R2 cuya segunda coordenada es igual a uno.

El conjunto de los vectores de R2 cuyas coordenadas verifican una ecuacion de segundogrado.

El tipo de subconjuntos mas importantes dentro de un espacio vectorial son los llamadossubespacios vectoriales. En ellos se puede realizar las operaciones del espacio vectorial sinsalirnos de dicho subconjunto.

Definicion. Se dice que un subconjunto (no vacio) S de un espacio vectorial es un sub-espacio vectorial si, con las operaciones que hay definidas en el espacio vectorial, es unespacio vectorial. Es decir, si verifica que:

(a) ∀u ∈ S,∀α ∈ K =⇒ αu ∈ S.

(b) ∀u, v ∈ S =⇒ u+ v ∈ S.

De forma equivalente, S es un subespacio vectorial si

∀u, v ∈ S y ∀α, β ∈ K =⇒ αu+ βv ∈ S.

Notemos que si S es un subespacio vectorial, el vector nulo tiene que pertenecer a S.

La propiedad (a) nos dice que si tenemos un vector no-nulo de un subespacio vectorial,la recta determinada por dicho vector esta contenida en el subespacio. La propiedad (b)nos dice que si tenemos dos vectores (que no sean uno multiplo del otro) de un subespaciovectorial, el plano determinado por dichos vectores esta contenido en el subespacio.

Obviamente S ={0}y S = Kn son subespacios vectoriales (a veces llamados subespacios

triviales). En el espacio tridimensional, cualquier recta o plano que pase por el origen esun subespacio vectorial. En el plano, los vectores de posicion determinados por los puntosde una parabola NO forman un subespacio vectorial.

Matematicas I. Ingenierıa Civil

4.1.- Espacios y subespacios vectoriales. 95

Proposicion. El conjunto de todas las combinaciones lineales de unos vectores dados esun subespacio vectorial. Es decir, dados {v1, . . . , vn},

Gen {v1, . . . , vn} = {c1v1 + · · ·+ cnvn : c1, . . . , cn ∈ K}

es un subespacio vectorial (del espacio vectorial que se este considerando). Este subespaciovectorial se denomina subespacio generado por {v1, . . . , vn}.

Es facil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades.

Propiedades.

(1) Gen {v2, . . . , vn} ⊆ Gen {v1, v2, . . . , vn} .

(2) Gen {v1, v2, . . . , vn} = Gen {cv1, v2, . . . , vn} si c = 0.

(3) Gen {v1, v2, . . . , vn} = Gen {v1 + αv2, v2, . . . , vn}.

(4) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al anadir combinacioneslineales de dichos vectores o quitar vectores que sean combinacion lineal de los restantes.

Ejemplos. Algunos ejemplos de subconjuntos que son o no son subespacios vectoriales.

En el espacio vectorial de las matrices m× n,

• el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) nula es un subespaciovectorial.

• el subconjunto de las matrices que tienen una fila (prefijada) no nula no es unsubespacio vectorial.

En el espacio vectorial de las matrices cuadradas n× n,

• el subconjunto de las matrices simetricas es un subespacio vectorial.

• el subconjunto de las matrices A cuadradas n× n que verfican que A2 = 0 no esun subespacio vectorial.

• el subconjunto de las matrices cuadradas n × n con determinante cero no es unsubespacio vectorial.

En el espacio vectorial de todos los polinomios en una variable,

• el subconjunto de los polinomios de grado par no es un subespacio vectorial.

• el subconjunto de los polinomios de grado impar no es un subespacio vectorial.

• el subconjunto de todos los polinomios en una variable de grado menor o igualque un cierto n ∈ N.

Relacionados con los subespacios vectoriales estan las llamadas variedades lineales (oafines). No son otra cosa que trasladados de subespacios vectoriales. Es decir, una variedades un conjunto de vectores que se puede expresar de la forma p + S siendo p un vectordado y S un subespacio vectorial. Por ejemplo, en el plano o en el espacio, puesto queuna recta que pase por el origen de coordenadas es un subespacio vectorial, cualquier recta

Matematicas I. 2012-2013


sera una variedad puesto que puede obtenerse trasladando, segun un cierto vector, la rectaparalela que pasa por el origen de coordenadas. El estudio que haremos a continuacion de laestructura de espacio vectorial se centrara en los subespacios vectoriales. No consideraremosde forma explıcita el estudio de las variedades lineales aunque aparezcan: la solucion generalde un sistema lineal es una variedad lineal porque la solucon general del sistema homogeneoasociado es un subespacio vectorial.

A partir de la seccion siguientes no vamos a considerar espacios vectoriales genericos. Con-sideraremos, exclusivamente, los espacios vectoriales de coordenadas Rn y Cn. Los espaciosvectoriales de coordenadas Rn y Cn son los modelos para trabajar con espacios vectorialesde dimension finita (reales y complejos, respectivamente). Ası, Rn, n = 1, 2, . . . , es el modelopara el estudio de los espacios vectoriales reales de dimension finita n. Por ejemplo, en loque se refiere exclusivamente a las operaciones suma y produco por un escalar, trabajar conel espacio de las matrices reales de dimensiones 3× 2 o con el espacio vectorial de los polino-mios reales (en una variable) de grado menor o igual que 5 (6 coeficientes reales arbitrarios)es equivalente a trabajar con el espacio R6. Obviamente, todo lo que no se refiera exclusiva-mente a las operaciones suma y producto por un escalar en el espacio de las matrices o de lospolinomios, se pierde al representar dichos espacios como R6 (factorizacion de polinomios,producto de matrices,...).

4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas.

4.2.1.- Espacio nulo y espacio columna de una matriz.

Definicion. Sea A una matriz m× n con elementos en K. Se llama

espacio nulo de A a Nul (A) := {x ∈ Kn : Ax = 0} . Es decir, al conjunto solucion delsistema homogeneo Ax = 0.

espacio columna de A al subespacio (de Km) generado por las columnas de A,

Col (A) := {y ∈ Km : y es combinacion lineal de las columnas de A} .

Notemos que decir que un vector y ∈ Km es combinacion lineal de las columnas de A esequivalente a decir que el sistema Ax = y, con termino independiente y e incognita x, tienesolucion. Si llamamos v1, . . . , vn a las columnas de A y se tiene que y = α1v1 + · · · + αnvnentonces α = (α1, . . . , αn)

T es solucion de Ax = y puesto que y = Aα. Y viceversa, cadasolucion de Ax = y (si existe) nos da los coeficientes de una combinacion lineal de v1, . . . , vnque es igual a y. Es decir,

Col (A) = {y ∈ Km : Ax = y es un sistema compatible} .

No haremos especial referencia al espacio fila de A (subespacio vectorial generado por lasfilas de A). Cuando necesitemos referirnos a el lo haremos mediante Col (AT ).

Proposicion. Sea A una matriz m× n con elementos en K.

Nul (A) es un subespacio vectorial de Kn.

Col (A) es un subespacio vectorial de Km.


4.2.- Espacios vectoriales de coordenadas. 97

Puesto que Nul (A) es un subespacio vectorial, para cualquier vector p ∈ Kn, el conjuntop + Nul (A) es una variedad lineal. Para cualquier v ∈ p + Nul (A) tendremos un vectoru ∈ Nul (A) tal que v = p+ u y por tanto, Av = Ap+ Au = Ap. Es decir, v es solucion delsistema Ax = b siendo b = Ap. Reciprocamente, si tenemos un sistema Ax = b compatible yp es una solucion, cualquier otra solucion v puede expresarse mediante v = p + (v − p) quees un vector de p+Nul (A) (puesto que A(v − p) = Av − Ap = b− b = 0).Por tanto, asociado a una matriz A,m× n tenemos:

(1) Nul (A), el conjunto solucion del sistema homogeneo Ax = 0 (es un subespacio vectorialde Kn).

(2) Col (A), el conjunto de terminos independientes y para los que el sistema Ax = y escompatible (es un subespacio vectorial de Km)

(3) Para cada y ∈ Km, el conjunto solucion del sistema Ax = y, {x ∈ Kn : Ax = y}.Si y ∈ Col (A) (el sistema Ax = y es compatible) es una variedad lineal de Kn. Siy /∈ Col (A) (el sistema Ax = y es incompatible) no hay ningun vector en dichoconjunto.

Ejercicio.

(1) ¿Que relacion hay entre el espacio columna de una matriz y el de la matriz que seobtiene al hacer operaciones columna sobre la matriz?

(2) ¿Que relacion hay entre el espacio nulo de una matriz y el de la matriz que se obtieneal hacer operaciones fila sobre la matriz?

4.2.2.- Dependencia e independencia lineal.

Definicion. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1, . . . , vn}.

(a) Se dice que {v1, . . . , vn} es linealmente dependiente (L.D.) si existe alguna com-binacion lineal no trivial de dichos vectores igual al vector nulo. Es decir, si existencoeficientes α1, α2, . . . , αn ∈ K no todos nulos tales que

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0.

(b) Se dice que {v1, . . . , vn} es linealmente independiente (L.I.) si no es linealmentedependiente.

Si {v1, . . . , vn} son vectores linealmente dependientes y tenemos una combinacion linealde estos vectores igual al vector nulo

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0

y el coeficiente αk = 0, entonces de la igualdad anterior se puede despejar vk que quedara ex-presado como combinacion lineal de los restantes vectores. Reciprocamente si tenemos unvector que es combinacion lineal de otros, el conjunto formado por estos y el vector com-binacion lineal es un conjunto linealmente dependiente. Notemos ademas de que si unacombinacion lineal de vectores es igual al vector nulo, la combinacion lineal que resulta demultiplicar por cualquier coeficiente tambien es el vector nulo.

Propiedades. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1, . . . , vn}.



(1) La dependencia o independencia lineal de {v1, . . . , vn} no depende del orden en el queesten dados los vectores.

(2) Si uno de los vectores es nulo o hay vectores repetidos, entonces es L.D.

(3) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sustituir un vectorpor un multiplo no-nulo. Siendo c = 0 (c ∈ K),

{v1, . . . , vn} es L.D.⇔ {u1 = cv1, v2, . . . , vn} es L.D.

(4) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sumar a un vectorun multiplo de otro (distinto). Siendo α ∈ K

{v1, . . . , vn} es L.D.⇔ {v1, u2 = v2 + αv1, . . . , vn} es L.D.

(5) Al anadir vectores a un conjunto L.D. se obtiene un conjunto L.D.

Al suprimir vectores de un conjunto L.I. se obtiene un conjunto L.I.

Teorema. Consideremos vectores {v1, . . . , vn} en Km y sea A la matriz cuyas columnas sonlos vectores dados

A =

...

... · · · ...v1 v2 · · · vn...

... · · · ...

Son equivalentes:

(1) {v1, . . . , vn} es un conjunto linealmente dependiente.

(2) El sistema de ecuaciones Ax = 0 tiene infinitas soluciones.

(3) Al reducir A a forma escalonada se obtienen r pivotes, r < n.

(4) Alguno de los vectores vk es combinacion lineal de los restantes.

(5) Si el primer vector v1 es no-nulo, alguno de los vectores es combinacion lineal de losanteriores.

Observacion. Interpretacion de la reduccion por filas de una matriz A en relacion con ladependencia o independencia lineal de los vectores-columna de la matriz A.

Notemos que dar una cierta combinacion lineal de vectores es lo mismo que multipli-car la matriz cuyas columnas son dichos vectores por el vector columna formado por loscorrespondientes coeficientes

x1v1 +2 v2 + · · ·+ xnvn =

...

... · · · ...

v1 v2. . . vn

...... · · · ...

x1

x2...xn

.



Si al reducir A a forma escalonada obtenemos U

A =

...

... · · · ...

v1 v2. . . vn

...... · · · ...

operaciones

fila - U =

* ∗ ∗ · · · ∗ ∗0 * ∗ · · · ∗ ∗

0 0 ∗*

tenemos que:

Cada columna de U en la aparece un pivote es linealmente independiente con lasanteriores columnas de U . Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientescolumnas de A.

Cada columna de la matriz U en la que no hay pivote es combinacion lineal de lasanteriores columnas de U . Por tanto, esto mismo es cierto para las correspondientescolumnas de A.

Si tenemos una cierta fila nula en la matriz U esto quiere decir que una cierta combi-nacion lineal de las filas de la matriz A es igual a la fila nula.

Las filas pivote (de U y las correspondientes de A dependiendo de los intercambios defila que se hayan hecho) son linealmente independientes.

Es decir, en la situacion del esquema anterior, se verifica que

la columna 3 de U es combinacion lineal de las columnas 1 y 2 (y lo mismo es ciertopara las correspondientes columnas de A),

las columnas {columna1, columna2, columna4} de U son linealmente independientes (ylo mismo es cierto para las correspondientes columnas de A.

4.2.3.- Ecuaciones parametricas y ecuaciones implıcitas.

Asociados a una matriz A,m× n,

A =

...

... · · · ...v1 v2 · · · vn...

... · · · ...

=

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

hemos considerado;

El espacio nulo de la matriz A, esto es el conjunto de vectores x ∈ Kn caracterizadospor las ecuaciones implıcitas homogeneas

Ax = 0

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

.



El espacio columna de la matriz A (y el subespacio generado por unos ciertos vec-tores), esto es, el conjunto de vectores y

y = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn

caracterizado por las ecuaciones parametricas homogeneasy1 = α1a11 + α2a12 + · · ·+ αna1ny2 = α1a21 + α2a22 + · · ·+ αna2n...

......

ym = α1am1 + α2am2 + · · ·+ αnamn

, α1, α2, . . . , αn ∈ K.

Resolviendo el sistema homogeneo Ax = 0 podemos obtener los vectores del espacionulo de A como el conjunto de vectores que se pueden expresar como combinacion lineal(arbitraria) de determinados vectores, es decir, como el subespacio generado por ciertosvectores o como el espacio columna de la matriz que tiene a dichos vectores como vectorescolumna.

Por otra parte, puesto que el espacio columna de una matriz A esta formado por losvectores, y, tales que el sistema de ecuaciones Ax = y es compatible, obteniendo las condi-ciones de compatibilidad de este sistema (en funcion del termino independiente y), tendremosunas ecuaciones lineales homogeneas que permiten expresar el citado espacio columna comoespacio nulo de otra matriz.

Por tanto, hablar de espacio nulo o espacio columna de una matriz (o subespacio generadopor ciertos vectores) no es hablar de conjuntos de vectores con caracterısticas distintas, sinoque es hablar de un mismo tipo de conjunto de vectores, los subespacios vectoriales, peroexpresados en forma distinta:

(a) Cuando un subespacio vectorial viene dado como espacio nulo de una matriz tene-mos una descripcion implıcita (ecuaciones implıcitas) de dicho conjunto (un vectoresta en el conjunto considerado si, y solo si, sus coordenadas verifican el sistema ho-mogeneo asociado a la matriz).

(b) Cuando uno de dichos conjuntos de vectores viene dado como espacio columna de unamatriz tenemos una descripcion parametrica (ecuaciones parametricas) de dichoconjunto (un vector esta en el conjunto considerado si, y solo si, puede expresarsecomo combinacion lineal de determinados vectores).

Entre las descripciones implıcitas de un subespacio vectorial habra unas mejores queotras, en el sentido de que una puede tener ecuaciones redundantes y otra no. De unasecuaciones implıcitas dadas Ax = 0 se podran suprimir las que sean redundantes, es decirlas ecuaciones que sean combinacion lineal de las restantes. Dichas ecuaciones las podemoslocalizar sin mas que reducir a forma escalonada por filas la matriz A dada. Las filas (tantode la matriz original A como de la matriz escalonada final U) que contengan algun pivotenos daran unas ecuaciones implıcitas, no redundantes, de dicho subespacio. Si resolvemos elsistema tendremos una descripcion parametrica del conjunto solucion, es decir del subespaciodado, el espacio nulo de la matriz A original.

Si en la descripcion parametrica eliminamos los parametros, llegaremos a unas ecuacioneshomogeneas que daran una descripcion implıcita del subespacio considerado. De la misma



forma que en el caso de ecuaciones implıcitas, entre las descripciones parametricas de unsubespacio vectorial, unas seran mejores que otras en el sentido de que unas involucren menosvectores que otras. Es decir, si tenemos el espacio columna de una cierta matriz A,m × n,y los vectores columna de A son linealmente dependientes, suprimiendo vectores que seancombinacion lineal de los que quedan, tendremos que el espacio columna de la matriz originaltambien es el espacio columna de la matriz que resulta de la matriz anterior suprimiendoalgunas columnas. Si nos quedamos con un conjunto de vectores linealmente independiente,tendremos que dichos vectores generan el espacio columna de la matriz original y cada vectorde dicho espacio se puede expresar de forma unica como combinacion lineal de los vectoreslinealmente independientes obtenidos. Dichos vectores constituyen lo que se denomina unabase (es decir, un conjunto de vectores linealmente independiente que genera el subespacio)del subespacio vectorial considerado, el espacio columna de la matriz original.

De la misma forma que un subespacio vectorial, S, puede caracterizarse medianteecuaciones implıcitas o ecuaciones parametricas homogeneas, una variedad lineal, p + S,puede caracterizarse mediante ecuaciones implıcitas, en general no homogeneas, y medianteecuaciones parametricas, en general no homogeneas, puesto que el vector nulo puede nopertenecer a la variedad. Una vez que se tienen unas ecuaciones parametricas/implıcitas deun subespacio S, puesto que la variedad p + S esta formada por los vectores v tales queu = v−p esta en S, esto sera equivalente a decir que u = v−p verifica las citadas ecuacionesde S.

Ejemplo.- (Ecuaciones implıcitas −→ Ecuaciones implıcitas no redundantes, Ecuacionesparametricas y una base). Consideremos el espacio nulo de la matriz

A =

−1 2 0 33 0 1 −11 4 1 5

.

Es decir, estamos considerando el conjunto S de los vectores x ∈ R4 cuyas coordenadas(x1, x2, x3, x4) verifican las ecuaciones (implıcitas)

−x1 + 2x2 + 3x4 = 03x1 + x3 − x4 = 0x1 + 4x2 + x3 + 5x4 = 0

.

Haciendo operaciones fila sobre la matriz A (que se corresponden con operaciones sobre lasecuaciones del sistema) tenemos

A =

−1 2 0 33 0 1 −11 4 1 5

F2 + 3F1-

F3 + F1

−1 2 0 30 6 1 80 6 1 8

F3 − F2- U =

−1 2 0 30 6 1 80 0 0 0

.

De hecho, refiriendonos a la matriz original tenemos que F3(A) = F2(A)+2F1(A). Equivalen-temente, la tercera ecuacion del sistema original es combinacion lineal de las dos primeras conlo cual si un vector es solucion de las dos primeras tambien lo es de la tercera. Resumiendo,tenemos que

S = Nul (A) = Nul

[−1 2 0 33 0 1 −1

]= Nul (U) = Nul

[−1 2 0 30 6 1 8

]Matematicas I. 2012-2013


con lo cual nuestro conjunto S de vectores esta caracterizado por las ecuaciones (no redun-dantes)

−x1 + 2x2 + 3x4 = 06x2 + x3 + 8x4 = 0

} (o por

−x1 + 2x2 + 3x4 = 03x1 + x3 + x4 = 0

}).

Resolviendo el sistema Ux = 0 tenemos -1 2 0 3 0

0 6 1 8 00 0 0 0 0

=⇒

Variables libres

x3 y x4.Variables fijas

x1 y x2.

=⇒

⇒

x2 =

16(−x3 − 8x4)

x1 = 2x2 + 3x4 =26(−x3 − 8x4) + 3x4 = −1

3x3 +

13x4

⇒

x1

x2

x3

x4

= x3

−1

3

−16

10

+ x4

13

−86

01

.

Por tanto,

Nul (A) = Gen

v1 =

−1

3

−16

10

, v2 =

13

−86

01

= Gen

6v1 =

−2−160

, 3v2 =

1−403

= Col

−1

313

−16−8

6

1 00 1

= Col

−2 1−1 −46 00 3

.

Los vectores {v1, v2} forman una base de S = Nul (A). Los vectores de Nul (A) son los quepueden expresarse como combinacion lineal de v1 y v2 y, como consecuencia de la indepen-dencia lineal, cada vector de S solo puede expresarse de una forma como combinacion linealde v1 y v2. Los coeficientes que aparezcan en dicha combinacion lineal son las coordenadasdel vector de S respecto a la base {v1, v2} (de S). El vector v = [−8 5 18 − 6] esta en S ysus coordenadas respecto a {v1, v2} son la solucion de

v = λv1 + µv2 ≡

v

=

v1 v2

[λµ

]≡

−1

313−8

−16−8

65

1 0 180 1 −6

,

es decir, λ = 18, µ = −6 (v = 18v1 − 6v2).

Ejemplo.- (Ecuaciones parametricas −→ Ecuaciones parametricas y Ecuaciones implıcitasno redundantes y una base). Vamos a utilizar la misma matriz A del ejemplo anterior.El espacio columna de dicha matriz es, por definicion de espacio columna, el conjunto de



vectores y que se pueden expresar como combinacion lineal de las columnas de A, es decirlos vectores y (con 3 coordenadas!) que se pueden expresar mediante

y =

y1y2y3

= α

−131

+ β

204

+ γ

011

+ δ

3−15

para ciertos α, β, γ, δ ∈ R. Esto es lo mismo que decir que el espacio columna esta formadopor los vectores y ∈ R3 para los que el sistema de ecuaciones Ax = y tiene solucion. En dichocaso, cada solucion del sistema Ax = y nos darıa una forma de expresar y como combinacionlineal de las columnas de A. Obtengamos, para un vector generico y ∈ R3 las condiciones decompatibilidad del sistema Ax = y, reduciendo la matriz ampliada del sistema [A|y] a formaescalonada. Haciendo las mismas operaciones fila que hemos hecho cuando hemos obtenidoel espacio nulo tenemos

[A|y] =

−1 2 0 3 y13 0 1 −1 y21 4 1 5 y3

F2 + 3F1-

F3 + F1

−1 2 0 3 y10 6 1 8 y2 + 3y10 6 1 8 y3 + y1

F3 − F2

- U =

-1 2 0 3 y10 6 1 8 y2 + 3y10 0 0 0 y3 − y2 − 2y1

.

Por tanto, el sistema Ax = y es compatible (determinado o indeterminado) ⇐⇒ la terceraecuacion tiene solucion⇐⇒ y3−y2−2y1 = 0. Es decir, el espacio columna de A esta formadopor los vectores y ∈ R3 cuyas coordenadas verifican la ecuacion (lineal homogenea) y3−y2−2y1 = 0. Se trata, por tanto, de un plano (en R3) que pasa por el origen de coordenadas.Ademas, teniendo la forma escalonada U que hemos obtenido, tenemos que:

las columnas 1 y 2 de U son linealmente independientes y

las columnas 3 y 4 son combinacion lineal de las columnas 1 y 2.

Por tanto, lo mismo sucede con las columnas correspondientes de la matriz A. Es decir, elespacio columna de A (generado por las 4 columnas) coincide con el espacio generado porlas columnas 1 y 2 de A (no de U !). Los vectores dados por las columnas 1 y 2 de A formanuna base de Col (A) puesto que son linealmente independientes y generan dicho espacio. Sidenotamos por v1, v2, v3 y v4 a los vectores columna de A, cada vector y ∈ Col (A) se puedeexpresar de infinitas formas distintas como combinacion lineal de v1, v2, v3 y v4 puesto que elsistema de ecuaciones Ax = y es compatible (puesto que y ∈ Col (A)) indeterminado (puestoque hay 2 variables libres). Sin embargo, dicho vector y ∈ Col (A) solo puede exprearse deuna forma como combinacion lineal de v1 y v2 puesto que el sistema de ecuaciones v1 v2

[λµ

]=

y1y2y3

tiene solucion unica. Para discutir, y resolver, este sistema basta con suprimir las columnas3 y 4 de la reduccion que hemos hecho del sistema Ax = y con lo cual tenemos −1 2 y1

3 0 y21 4 y3

→ · · · → -1 2 y1

0 6 1y2 + 3y10 0 y3 − y2 − 2y1

.



La solucion unica (λ, µ) de este sistema (compatible cuando y ∈ Col (A)) nos dara loscoeficientes para los cuales se verifica

y = λv1 + µv2.

Estos coeficientes (λ, µ) (unicos para cada vector y ∈ Col (A)) se denominan coordenadas dey respecto de la base {v1, v2}. Por ejemplo, las coordenadas del vector

y =

113

(∈ Col (A) puesto que y3 − y2 − 2y1 = 3− 1− 2 = 0)

respecto a la base {v1, v2} de Col (A) vienen dadas por la solucion del sistema v1 v2

[λµ

]=

113

−→ -1 2 1

0 6 40 0 0

=⇒[λµ

]=

[1346

].

Ejemplo. Consideremos la matriz

A =

−1 0 1 2 1−2 2 2 5 01 −4 0 −3 3−1 2 1 3 −1

.

Con el mismo proceso de reduccion a forma escalonada vamos a obtener: S1 = Nul (A) ⊂ K5,unas ecuaciones parametricas de S1, S2 = Col (A) ⊂ K4, unas ecuaciones implıcitas de S2,...

Reducimos a forma escalonada un sistema de ecuaciones Ax = y siendo y un vectorgenerico de K4,

[A|y]

F2 − 2F1

F3 + F1

F4 − F1-

-1 0 1 2 1 y10 2 0 1 −2 y2 − 2y10 −4 1 −1 4 y3 + y10 2 0 1 0 y4 − y1

F3 + 2F2

F4 − F2-

-1 0 1 2 1 y10 2 0 1 −2 y2 − 2y10 0 1 1 0 −3y1 + 2y2 + y30 0 0 0 0 y1 − y2 + y4

Por tanto, tenemos:

(a) El espacio columna de A: El sistema Ax = y es compatible si, y solo si, el vector y ∈ K4

verifica y1−y2+y4 = 0. Es decir Col (A) = {y ∈ K4 : y1 − y2 + y4 = 0}. Por otra parte,teniendo en cuenta la reduccion que hemos hecho, los dos ultimos vectores columna deA son combinacion lineal de los tres primeros y estos tres primeros vectores columna sonlinealmente independientes. Si denotamos por {v1, v2, v3, v4, v5} los vectores columnade A, tenemos

Col (A) = Col

v1 v2 v3


4.3.- Bases de un subespacio. 105

y cada vector y ∈ Col (A) se puede expresar de infinitas formas distintas (cada una delas soluuciones del sistema Ax = y) como combinacion lineal de los vectores columnade A, pero de una unica forma como combinacion lineal de {v1, v2, v3}.

(b) El espacio nulo de A, las soluciones del sistema Ax = 0: Puesto que al reducir hemosobtenido 2 variables libres, la solucion general del sistema homogeneo se podra expresaren funcion de 2 parametros arbitrarios,

[A|0] →

-1 0 1 2 1 0

0 2 0 1 −2 0

0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0

F1−F3−→

-1 0 0 1 1 0

0 2 0 1 −2 0

0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0

⇔

x1 = x4 + x5

x2 = −12x4 + x5

x3 = −x4

=⇒

x1

x2

x3

x4

x5

=

α + β−1

2α + β

−ααβ

= α

1−1

2

−110

+ β

11001

.

Por tanto, el espacio nulo de A esta generado por los vectores, linealmente indepen-dientes, u1 =

1−1

2

−110

, u2 =

11001

.

Notemos por ultimo que, puesto que al hacer la reduccion del sistema Ax = 0 hemosobtenido una fila de ceros, dicha ecuacion es redundante en el sistema homogeneo ypor tanto tenemos que

Nul (A) = Nul

-1 0 1 2 1

0 2 0 1 −20 0 1 1 0

= Nul

−1 0 1 2 1−2 2 2 5 01 −4 0 −3 3

.

4.3.- Bases de un subespacio.

Ya hemos citado lo que es una base de un subespacio vectorial.

Definicion. Dado un subespacio S de Kn distinto del subespacio trivial nulo S = {0}, sedice que un conjunto de vectores

{v1, v2, . . . , vr}

de S es una base de S si:

(a) {v1, v2, . . . , vr} es Linealmente Independiente,

(b) {v1, v2, . . . , vr} genera S, S = Gen {v1, v2, . . . , vr}.



Las anteriores condiciones se pueden expresar de forma matricial: Si denotamos por A ala matriz cuyas columnas son los vectores dados

A =

...

... · · · ...

v1 v2. . . vr

...... · · · ...

las columnas de A forman una base de un subespacio vectorial S si:

(a) El sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion unica (condicion equivalente a que losvectores sean linealmente independientes) y

(b) S = Col (A), es decir S esta formado por los vectores y ∈ Km para los que el sistemade ecuaciones Ax = y es compatible.

Ejemplos.

(1) Los vectores canonicos de Kn,e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, . . . , en =

0...01

forman una base de Kn.

(2) Los vectores {e1, e1 + e2, · · · , e1 + e2 + · · ·+ en} tambien forman una base de Kn.

(3) Si tenemos una matriz A,m×n, y al reducir a forma escalonada obtenemos n pivotes,entonces los vectores columna de A forman una base del espacio columna de dichamatriz. En general, si al reducir a forma escalonada obtenemos r pivotes, las r columnaspivote de A (no de la forma escalonada U) forman una base de Col (A).

(4) Si una matriz cuadrada A, n × n, tiene inversa, sus n columnas formam una base delespacio total Kn.

4.3.1- Coordenadas. Dimension.

Teorema/Definicion. (Coordenadas respecto de una base) Sea S un subespacio vectorial(S = {0}) y sea {v1, v2, . . . , vr} una base de S.

(1) Teorema. cada vector v de S se puede expresar de forma unica como combinacion linealde los vectores de la base dada,

v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ crvr.

(2) Definicion. Los coeficientes que aparecen en dicha expresion (c1, . . . , cr) se denominancoordenadas de v respecto a la base dada B = {v1, v2, . . . , vr} y se suele denotar

[v]B =

c1...cr

.



Teorema/Definicion. Consideremos un subespacio vectorial S = {0} de Km.

(1) Teorema. Se verifica:

(a) S tiene base.

(b) Todas las bases de S tienen el mismo numero de elementos.

(2) Definicion. Al numero de elementos de una base de S se le denomina dimension deS. Por definicion, la dimension del subespacio nulo es cero.

Si, al igual que antes, denotamos por A a la matriz cuyas columnas son los vectores dados

A =

...

... · · · ...

v1 v2. . . vr

...... · · · ...

,

para cada vector v (vector columna) de S se verifica que v = Ac para algun vector decoeficientes c. De esta forma, todo subespacio se puede expresar como espacio columna de unamatriz cuyas columnas sean los vectores de una base. Por tanto, se puede expresar medianteecuaciones parametricas, y elminando los parametros se podran obtener unas ecuacionesimplıcitas que caractericen al subespacio dado.

Teorema (El Teorema de la Base). Consideremos un subespacio vectorial S de Km dedimension p y un conjunto de vectores {u1, . . . , uq} ⊂ S:

(a) Si {u1, . . . , uq} generan S, entonces q ≥ p. Ademas, q = p⇐⇒ {u1, . . . , uq} es una basede S.

(b) Si {u1, . . . , uq} es linealmente independiente, entonces q ≤ p. Ademas, q = p ⇐⇒{u1, . . . , uq} es una base de S.

En particular, si tenemos un conjunto de n vectores de Km:

Si n > m, los n vectores no pueden ser linealmente independientes,

Si n < m, los n vectores no pueden generar Km.

4.3.2.- Rango de una matriz. El teorema del rango.

Definicion. Dada una matriz A,m× n, se llama rango de A a la dimension de su espaciocolumna, es decir, a la dimension del subespacio vectorial (de Km)

Col (A) = {combinaciones lineales de las columnas de A}= {Ax : x ∈ Kn} = {y ∈ Km : Ax = y es un S.C.} .

Teniendo en cuenta la relacion entre la dimension del espacio columna de A y la reduccionde A a forma escalonada tenemos que rango(A) = numero de pivotes de A.

Para una matriz cuadrada A de orden n, teniendo en cuenta los resultados sobre laexistencia de la inversa obtenemos que: A tiene inversa ⇐⇒ rango(A) = n.

Teorema. Consideremos una matriz A, m× n. Se verifican:



(a) rango(A) = rango(AT ). Es decir, la dimension del subespacio vectorial (de Kn) generadopor las m filas de A coincide con la dimension del espacio columna de A (subespaciovectorial de Km generado por las n columnas de A):

dim (Col (A)) = dim(Col (AT )

).

Es decir, si por un lado reducimos la matriz A a forma escalonada por filas (medianteoperaciones fila) y por otro reducimos a forma escalonada por columnas (medianteoperaciones columna), el numero de pivotes que se tienen en ambas reducciones es elmismo.

(b) Teorema del rango: dim (Col (A)) + dim (Nul (A)) = n.

(c) En terminos de la reduccion por filas de A a forma escalonada, el Teorema del rango sepuede expresar mediante:

(numero de pivotes) + (numero de variables libres) = n.

La propiedad (a) anterior no es otra cosa que la expresion de que al reducir a formaescalonada el numero de filas-pivote coincide con el numero de columnas-pivote.

Si consideramos la transformacion lineal T : Kn −→ Km, asociada a una matriz A,m×n,el espacio imagen de la transformacion es el espacio columna de la matriz de la matriz A,

Imagen(T ) = T (Kn) = {T (x) ∈ Km : x ∈ Kn} == {y ∈ Km : y = T (x) para algun x ∈ Kn} = Col (A).

Se trata, por tanto, de un subespacio vectorial de Km cuya dimension es rango(A).

Dada una matriz Am × n, la imagen, mediante la transformacion lineal T (x) = Ax, decualquier subespacio vectorial S de Kn sera un subespacio vectorial T (S) de Km contenido enel espacio imagen (columna) y por tanto la dimension de dicho subespacio T (S) sera menor oigual que el rango (y menor o igual que la dimension del subespacio S original). Ademas, si elsubespacio S puede generarse con ciertos vectores {u1, . . . , up} (en particular si {u1, . . . , up}es una base de S) entonces T (S) puede generarse con {T (u1), . . . , T (up)},

S = Gen ({u1, . . . , up}) =⇒ T (S) = Gen ({T (u1), . . . , T (up)}) .

No obstante, el que {u1, . . . , up} sea una base de S no implica que {T (u1), . . . , T (up)} seauna base de T (S).

Por otra parte, si consideramos un subespacio vectorial H de Km, el conjunto de losvectores x ∈ Kn cuyos transformados T (x) = Ax pertenecen a H forman un subespaciovectorial de Kn.

Ejercicio. Sea A una matriz m× n y B una matriz n× p, prueba que

rango(AB) ≤ mın {rango(A), rango(B)} .



4.3.3.- Cambios de Base.

Todas las bases de Kn estan formadas por n vectores. Puesto que en ese caso tendremosn vectores linealmente independientes con n coordenadas cada uno, la matriz cuadradaformada por dichos vectores como vectores columna tiene inversa (y los vectores columna dedicha matriz inversa formaran otra base de Kn). Por otra parte, tambien los vectores fila decada una de las dos matrices citadas seran una base de Kn. Para comprobar si n vectoresforman una base de Kn bastara con reducir a forma escalonada la matriz formada por dichosvectores como vectores columna y comprobar si se obtienen n pivotes o menos. Notemosque, puesto que el orden de los vectores no influye en si estos forman base o no, en la matrizcitada podemos intercambiar las columnas. De hecho, podrıamos hacer operaciones columna.

Ejemplo. Sean e1, e2, . . . , en los vectores canonicos de Kn. Los vectores

e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3, . . . , e1 + e2 + · · ·+ en

forman una base de Kn. Para calcular las coordenadas de un vector generico x ∈ Kn respectode esta base basta con resolver el sistema (con termino independiente x)

1 1 · · · 10 1 · · · 1...

.... . .

...0 0 · · · 1

α1

α2...αn

=

x1

x2...xn

.

Resolvemos el sistema1 1 · · · 1 x1

0 1 · · · 1 x2...

.... . .

......

0 0 · · · 1 xn

−→

1 0 0 · · · 0 x1 − x2

0 1 0 · · · 0 x2 − x3...

.... . . . . .

......

0 0 · · · 1 0 xn−1 − xn

0 0 · · · 0 1 xn

.

Por tanto, las coordenadas de x respecto a la base dada sonα1

α2...

αn−1

αn

=

x1 − x2

x2 − x3...

xn−1 − xn

xn

.

Dada una base V = {v1, v2, . . . , vn} de Kn, las coordenadas de un vector x ∈ Kn respectoa dicha base son los coeficientes (unicos) α1, α2, . . . , αn para los cuales se verifica

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = x ≡

...

... · · · ...

v1 v2. . . vn

...... · · · ...

α1

α2...αn

= x =

x1

x2...xn



Solo vamos a considerar cambios de bases entre bases del espacio total Kn. No consideraremosel problema de cambio de base entre bases de un subespacio.

Dadas dos bases

U = {u1, u2, . . . , un} y V = {v1, v2, . . . , vn}

de Kn se trata de hallar la relacion entre las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto deambas bases. Las coordenadas de un vector x ∈ Kn respecto a U vienen dadas por un vector[x]U que verifica que

x =

x1

x2...xn

, [x]U =

α1

α2...αn

⇔ x = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun

⇔

x1

x2...xn

=

...

... · · · ...

u1 u2. . . un

...... · · · ...

α1

α2...αn

. (∗)

La matriz ...

... · · · ...

u1 u2. . . un

...... · · · ...

que relaciona las coordenadas de un mismo vector x respecto a la base canonica con lascoordenadas del mismo vector x respecto a la base U se denomina matriz del cambio debase U −→ C de U a la base canonica C = {e1, e2, . . . , en} y se denota por

PC ← U =

...

... · · · ...

u1 u2. . . un

...... · · · ...

, x = [x]C = PC ← U

[x]U

Puesto que la igualdad (∗) es equivalente aα1

α2...αn

=

...

... · · · ...

u1 u2. . . un

...... · · · ...

−1

x1

x2...xn

≡ [x]U =

(P

C ← U

)−1

[x]C

la matriz

(P

C ← U

)−1

es la matriz del cambio de base C → U con lo cual

PU ← C =

(P

C ← U

)−1

.



De forma analoga, si tenemos dos bases distintas de Kn,

B = {v1, v2, . . . , vn} y U = {u1, u2, . . . , un}

podrıamos obtener las matrices de cambio de base B −→ U y U −→ B de la misma formaque lo que acabamos de hacer si conocieramos las coordenadas de los vectores de una baserespecto a la otra. Si conocemos las coordenadas de los vectores de ambas bases respecto,por ejemplo, a la base canonica, podemos considerar un planteamiento similar.

Denotemos las coordenadas de un vector generico, x ∈ Kn, respecto de ambas bases B yU mediante

[x]B =

α1...αn

, [x]U =

β1...βn

.

Tenemos entonces que x = α1v1+· · ·+αnvn = β1u1+· · ·+βnun y expresando estas igualdadesen forma matricial tenemos que

x =

x1...x3

=

v1 v2 · · · vn

α1

...αn

=

u1 u2 · · · un

β1

...βn

es decir, siendo B la matriz cuyas columnas son los vectores de la base B y siendo U lamatriz cuyas columnas son los vectores de la base U se verifica que

x = B [x]B = U [x]U .

De estas expresiones podemos obtener las matrices de cambio de base,

[x]B = B−1U [x]U =⇒ PB ← U

= B−1U,

[x]U = U−1B [x]B =⇒ PU ← B

= U−1B.

Ejemplos.

(1) Vamos a calcular las matrices de cambio de base entre la base canonica de R3 y la base

B ={v1 = [−2 1 0]T , v2 = [1 − 2 3]T , v3 = [−1 0 − 1]T

}.

Siendo las coordenadas de un vector generico x ∈ R3 respecto a B y respecto a la basecanonica respectivamente,

[x]B =

α1

α2

α3

, x =

x1

x2

x3



se verifica que

x = α1v1 + α2v2 + α3v3 ≡

x1

x2

x3

=

v1 v2 v3

α1

α2

α3

.

Por tanto, la matriz

P =

v1 v2 v3

=

−2 1 −11 −2 00 3 −1

(cuyas columnas son las coordenadas de los vectores B respecto a la base C) es la matriz

PC ← B del cambio de base B −→ C, puesto que

x = [x]C = P [x]B , ∀x ∈ R3.

Puesto que la inversa P−1 verifica [x]B = P−1 [x]C , ∀x ∈ R3 dicha matriz es la delcambio de base C −→ B. Resumiendo,

PC ← B

= P =

−2 1 −11 −2 00 3 −1

, PB ← C

= P−1 = −1

6

2 −2 −21 2 −13 6 3

.

(2) Calculemos las matrices de cambio de base entre las bases

B =

v1 =

−210

, v2 =

1−23

, v3 =

−10−1

y

U =

u1 =

121

, u2 =

−1−22

, u3 =

−132

.

Denotemos las coordenadas de un vector generico x ∈ R3 respecto de ambas bases By U mediante

[x]B =

α1

α2

α3

, [x]U =

β1

β2

β3

.

Tenemos entonces que x = α1v1 +α2v2 +α3v3 = β1u1 + β2u2 + β3u3. Escribiendo estasigualdades en forma matricial x1

x2

x3

=

−2 1 −11 −2 00 3 −1

α1

α2

α3

=

1 −1 −12 −2 31 2 2

β1

β2

β3

obtenemos α1

α2

α3

=

−2 1 −11 −2 00 3 −1

−1 1 −1 −12 −2 31 2 2

β1

β2

β3

.



Por tanto,

PB ← U

=

−2 1 −11 −2 00 3 −1

−1 1 −1 −12 −2 31 2 2

= −16

2 −2 −21 2 −13 6 3

1 −1 −12 −2 31 2 2

= 16

4 2 12−4 7 −3−18 9 −21

.

Analogamente podrıamos obtener

PU ← B

=

PB ← U

−1

=1

15

−20 25 −15−5 22 −615 −12 6

.



4.4.- Ejercicios.

4.4.1.- Enunciados.

Ejercicio 1. Determina cuales de los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vec-toriales, cuales son variadades y cuales no son ni lo uno ni lo otro:

(a) El conjunto de los vectores (x1, x2) ∈ R2 cuyas coordenadas verifican, respectivamente,

(a1) x1x2 = a (a ∈ R),(a2) x1 + 2x2 = 0 o x1 − x2 = 0,

(a3) x21 + x2

2 = a (a ∈ R),(a4) x1 + 2x2 = a y x1 − x2 = b, (a, b ∈ R).

(b) El conjunto de los vectores (x1, x2, x3) ∈ R3 cuyas coordenadas verifican, respectiva-mente,

(b1) (x1 + x2)(x2 + x3) = 0,

(b2) x1 = 0 y (x2 = 0 o x3 = 0),

(b3) Se pueden expresar de la forma

x1 = α,x2 = α + α2,x3 = 0,

para algun α ∈ R.

(b4) x1 + x2 + x3 ≤ 0.

(c) El conjunto de los vectores (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn cuyas coordenadas verifican, respecti-vamente,

(c1) Cada una de las coordenadas a3, . . . , an es la media (aritmetica) de las coorde-nadas anteriores,

(c2) Cada una de las coordenadas a3, . . . , an es la media geometrica de las dos coor-denadas anteriores, a1 + a2t+ a3t

2 + · · ·+ antn−1 vale 3 para t = 1.

Ejercicio 2. Determina dos bases distintas de cada uno de los subespacios siguientes asıcomo ecuaciones implıcitas independientes para cada uno de ellos:

(a) Vectores de R3 que pueden expresarse como combinacion lineal de

v1 =

−102

y v2 =

111

y cuyas coordenadas verifican la ecuacion x1 − x2 + x3 = 0.

(b) Subespacio de R4 generado por los vectores

v1 =

−1020

, v2 =

20−40

v3 =

1111

y v4 =

3202

.


4.4.- Ejercicios. 115

(c) Subespacio de R4 definido por las ecuaciones implıcitasx1 − x2 + x3 − x4 = 0,−2x1 + x2 + x3 = 0,3x1 − 2x2 − x4 = 0.

Ejercicio 3. Sea V la variedad de R4 dada por las ecuaciones parametricasx1 = 1 + α− β + 2γ,x2 = −1 + 2α + β,x3 = 2 + 2α− 7γ,x4 = β + γ.

Determina una base (del subespacio director) y la dimension de V y halla unas ecuacionesimplıcitas.

Ejercicio 4.

(1) Determina el rango de las siguientes matrices:

A =

0 1 −1 2 00 2 1 2 −20 1 −1 2 00 0 −1 −2 3

, B =

−1 1 −1 23 2 3 22 1 2 20 1 0 −2

.

(2) Sea A una matriz 20× 15 cuyo rango es rango(A) = 12. Determina la dimension de lossiguientes subespacios vectoriales,

Col (A), Nul (A), Col (AT ) y Nul (AT ).

Ejercicio 5. Determina la matriz de una aplicacion lineal T : R4 → R4 sabiendo que

T

1001

=

1012

, T

1012

=

0110

, T

0110

=

0001

, T

0001

=

1000

.

Ejercicio 6. Sea T : R3 → R4 la transformacion lineal que verifica

T

120

=

1−1−12

, T

110

=

0−303

, T

101

=

1−4−15

.

(a) Calclula la matriz A de dicha transformacion.



(b) Encuentra un sistema generador linealmente independiente y unas ecuaciones implıcitasde Col (A).

(c) Obten un conjunto linealmente independiente de vectores que genere el subespacioNul (A).

Ejercicio 7. Determina la matriz A de una transformacion lineal T : R3 −→ R2 sabiendoque el espacio nulo de A viene dado por la ecuacion implıcita x1 − x2 − x3 = 0 y que

T

111

=

[2−1

].

Ejercicio 8. Se considera la transformacion lineal T cuya matriz asociada es

A =

[1 2 1 22 4 1 3

].

(a) Determina el espacio columna de A, Col (A).

(b) Calcular los vectores del nucleo de T que, a su vez, verifican el sistema de ecuaciones{x1 + 4x2 − 2x3 + x4 = 2,x1 + 6x2 − 4x3 + x4 = 4.

(c) Sea V el conjunto de los vectores encontrados en el apartado anterior. ¿Es V un subes-pacio vectorial de R4? Justifica la respuesta.

Ejercicio 9. Siendo e1, e2, e3 los vectores de la base canonica de R3 y sabiendo que losvectores {u1, u2, u3} e1 = 2u1 + 2u2 + u3, e2 = u1 − 2u2 + 2u3, e3 = −2u1 + u2 + 2u3, senalala relacion correcta:

(a) [e1 e2 e3] =

2 2 11 −2 2−2 1 2

[u1 u2 u3] .

(b) [u1 u2 u3] =

2 2 11 −2 2−2 1 2

−1

= 19

2 1 −22 −2 11 2 2

.

(c) [u1 u2 u3] =

2 1 −22 −2 11 2 2

−1

= 19

2 2 11 −2 2−2 1 2

.

Ejercicio 10. Consideremos los siguientes vectores de R5,

v1 =

21−132

, v2 =

11011

, v3 =

15421

y v4 =

26432

.



(a) ¿Son v1, v2, v3 y v4 linealmente independientes?

(b) ¿Es v4 combinacion lineal de v1, v2 y v3?

(c) ¿Es v1 combinacion lineal de v2, v3 y v4?

(d) ¿Es v4 combinacion lineal de v1 y v2?

(e) ¿Es v4 combinacion lineal de v2 y v3?

(f) ¿Son v1, v2 y v3 linealmente independientes?

Ejercicio 11. Sea f : R3 → R4 la aplicacion lineal dada por

f(x) =

1 2 −32 −1 43 a 1b 4 −b

x1

x2

x3

.

Determinar las condiciones a satisfacer por a y b para que el vector v = (−1, 3, 2, b − 4)verifique respectivamente:

(a) No pertenezca a la imagen de f .

(b) Sea la imagen de un unico vector de R3.

(c) Sea la imagen de infinitos vectores de R3.

Ejercicio 12. Sea T : R2 → R2 la transformacion que hace corresponder al punto P =(x1, x2) el punto Q = (−x1, x2). Senala la unica opcion que es correcta.

es una transformacion que no esta bien definida.

es una aplicacion lineal que se representa, respecto de las bases canonicas, por la matriz

A =

[−1 00 1

].

es una transformacion, pero no es lineal porque tiene por ecuacionesy1 = −x1 cos

π2+ x2sen

π2,

y2 = x1senπ2+ x2 cos

π2.

Ejercicio 13. (a) Demuestra que para una matriz cuadrada A se verifica que

Nul (A) ⊆ Nul (A2) ⊆ · · · y Col (A) ⊇ Col (A2) ⊇ · · ·



(b) Demuestra que para dos matrices A y B con las dimensiones adecuadas se verifica que

Nul (B) ⊆ Nul (AB) y Col (A) ⊇ Col (AB).

Ejercicio 14. Extender a una base de Rn el conjunto linealmente independiente que se da:

(a) {v1 = (1, 1, 1)} en R3.

(b) {v1 = (1, 3, 4), v2 = (1, 0, 2)} en R3.

(c) {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 3, 0)} en R3.

(d) {v1 = (1, 1, 0, 1), v2 = (2, 1, 0, 3)} en R4.

Ejercicio 15. Dadas las bases de R2

B1 = {u1 =

[−52

], u2 =

[21

]} y B2 = {v1 =

[−31

], v2 =

[−41

]},

se pide:

(a) Hallar las matrices de cambio de base entre B1 y B2.

(b) Obtener las coordenadas, en la base B2, del vector v cuyas coordenadas respecto de la

base B1 son [v]B1 =

[21

].

Ejercicio 16. Consideremos la base B = {(2, 1), (−3,−1)} de R2.

(a) Obtener, en dicha base, las ecuaciones implıcitas y las parametricas de los subespaciosque en la base canonica vienen definidos mediante:

E ≡ x1 + x2 = 0, F ≡ x1 − 2x2 = 0, G = Gen {(3, 1)}.

(b) Obtener, en la base canonica, las ecuaciones implıcitas y las parametricas de los subes-pacios que en la base B vienen definidos mediante:

E ≡ y1 + 5y2 = 0, F ≡ y2 = 0, G = Gen {(1, 0)B}.

Ejercicio 17. Halla las ecuaciones parametricas de Nul (A), siendo A la matriz

A =

1 −2 0 01 −3 3 00 1 −1 0−1 2 4 02 −3 −1 0

.



4.5.1.- Soluciones.

Ejercicio 1. (a) (a1) El conjunto considerado no es subespacio vectorial y es inmediatocomprobar que tampoco es una variedad.

(a2) x1 + 2x2 = 0 o x1 − x2 = 0.

El conjunto considerado no es un subespacio vectorial. Puede comprobarse quetampoco es una variedad (al desplazar dos rectas que pasan por el origen seobtienen otras dos rectas).

(a3) x21 + x2

2 = a (a ∈ R),

Para a = 0 el unico vector que verifica la ecuacion es el vector nulo y por tanto, setrata de un subespacio vectorial.

Para a < 0, no hay ningun vector (x1, x2) ∈ R2 que verifique la ecuacion. Por tanto,se trata del conjunto vacıo que no es ni un subespacio vectorial ni unavariedad.

Para a > 0, la ecuacion dada determina la circunferecia de centro el origen de coor-denadas y radio

√a. Por tanto, no es ni un subespacio vectorial ni una

variedad.

(a4)

Si a = b = 0, se trata de un subespacio vectorial puesto que el conjunto consideradoesta definido como el espacio nulo de una matriz, adems resolviendo el sistema quecaracteriza al conjunto tenemos que el unico vector que verifica las dos ecuacioneses el vector nulo.

Si a = 0 o b = 0, el conjunto de vectores considerado es una variedad (es un unicopunto) cuyo subespacio director viene dado por las ecuaciones implıcitas x1 +2x2 = 0 y x1 − x2 = 0, es decir el subespacio director es el subespacio nulo.

(b) (b1) Es el conjunto formado por dos planos (que no es lo mismo que la recta intersec-cion). Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad.

(b2) Dicho conjunto no es ni un subespacio ni una variedad.

(b3) Eliminando el parametro α, el conjunto citado es el de los vectores cuyas coor-denadas verifican {

x2 = x1 + x21,

x3 = 0.

Es decir, se trata de una parabola (en R3) que esta contenida en uno de losplanos coordenados. Obviamente dicho conjunto no es ni un subespacio ni unavariedad.

(b4) El vector (−1, 0, 0) verifica la inecuacion dada, sin embargo, −2(−1, 0, 0) =(2, 0, 0) no la verifica. Por tanto, no es un subespacio vectorial. De la mismaforma, tampoco se trata de una variedad.

(c) (c1) Las condiciones que caracterizan a los vectores del conjunto considerado vienen



dadas por las siguientes ecuaciones,

a3 = 12(a1 + a2) ,

a4 = 13(a1 + a2 + a3) ,

......

...an = 1

n−1(a1 + · · ·+ an−1) ,

≡

a1 + a2 − 2a3 = 0,

a1 + a2 + a3 − 4a4 = 0,...

......

a1 + · · ·+ an−1 − (n− 1)an = 0.

Es decir, el conjunto considerado puede caracterizarse como el espacio nulo deuna matriz. por tanto, es un subespacio vectorial.

(c2) La media geometrica de dos numeros (reales positivos) α y β es γ =√αβ.

Obviamente el conjunto considerado no es un subespacio vectorial puesto queun multiplo con coeficiente negativo de un elemento del conjunto no esta en elconjunto. Tampoco es una variedad.

Ejercicio 2. (a) Se trata del subespacio generado por el vector v1 = [−2,−1, 1]T (la rectaque pasa por el origen de coordenadas y tiene a dicho vector como vector direccion).

Una base, {v1}.Otra base, {−2v1}.Ecuaciones impıcitas: {

x1 + 2x3 = 0,x2 + x3 = 0.

Observacion.- El subespacio estaba originalmente definido como la interseccionde un plano que venıa dado en forma parametrica con un plano que venıa dado enforma implıcita. Lo unico que hemos hecho ha sido expresar la recta interseccionen forma parametrica y en forma implıcita.

(b) Ecuaciones implıcitas no redundantes

{2x1 − 3x2 + x3 = 0−x2 + x4 = 0

}.

Una base

v1 =

−1020

, v3 =

1111

.

Otra base {v1, v3 + v1}.

(c) El subespacio considerado puede caracterizarse mediante cualesquiera de las siguientesparejas de ecuaciones implıcitas no redundantes (y otras muchas),{

x1 − x2 + x3 − x4 = 0−x2 + 3x3 − 2x4 = 0

}, y

{x1 − 2x3 + x4 = 0,

−x2 + 3x3 − 2x4 = 0.

}.

Una base es v1 =

2310

, v2 =

−1−201

.



Otra base es {v1, v2 − 3v1}.

Ejercicio 3. La ecuacion implıcita de V viene dada por:

−12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 = −39.

Una base de S, el subespacio director de V , esv1 =

1220

, v2 =

−1101

, v3 =

20−71

.

Ecuacion implıcita de S : −12x1 + 13x2 − 7x3 − 25x4 = 0.

dim (V ) = dim (S) = 3.

Ejercicio 4.

(a) Reduciendo a forma escalonada se obtiene rango(A) = rango(B) = 3.

(b) dim (Col (A)) = 12.

dim (Nul (A)) = 15− 12 = 3.

dim(Col (AT )

)= rango(AT ) = rango(A) = 12.

dim(Nul (AT )

)= 20− 12 = 8.

Ejercicio 5. La matriz A es

A =

1012

0110

0001

1000

1 1 −1 00 −1 1 00 1 0 0−1 1 −1 1

=

0 2 −2 10 −1 1 01 0 0 02 3 −2 0

.

Ejercicio 6. (a) La matriz A asociada a la transformacion T es

A =

−1−514

12−1−1

21−21

.



(b) Un sistema generador linealmente independiente de Col (A) esv1 =

−1−514

, v2 =

12−1−1

Unas ecuaciones implıcitas vienen dadas por{x1 − 2x2 − x4 = 0,

x1 + x3 = 0.

.

(c) Un conjunto generador linealmente independiente de Nul (A) esu1 =

531

.

Ejercicio 7. A =

[−2 2 21 −1 −1

].

Ejercicio 8. (a) El espacio columna de A es Col (A) = R2.

(b) x1

x2

x3

x4

=

−2100

+ λ

1−1−11

, ∀λ ∈ R.

(c) Obviamente V no es un subespacio vectorial, el vector nulo no esta en V .

Ejercicio 9. Las relaciones dadas entre los vectores de la base canonica {e1, e2, e3} y losvectores de la base B = {u1, u2, u3} pueden expresarse en forma matricial e1 e2 e3

=

u1 u2 u3

2 1 −22 −2 11 2 2

=⇒ (c).

Ejercicio 10. (a) v1, v2, v3 y v4 no son linealmente independientes.

(b) v4 es combinacion lineal de v2 y v3,



(e) y, por tanto, de v1, v2 y v3.

(c) v1 no es combinacion lineal de v2, v3 y v4.

(d) v4 no es combinacion lineal de v1 y v2.

(f) los vectores {v1, v2, v3} son Linealmente Independientes.

Ejercicio 11. (Comparar con los resultados obtenidos en el Ejercicio 9 del Tema 3)

(a) Para un vector v ∈ R3,

v /∈ Im (f) ≡ f(R3)⇔ Ax = v es un sistema incompatible ⇔ (ver Ejercicio 9)

(b) Un vector v ∈ R3 es imagen de un unico vector de R3

⇔ Ax = v es un sistema compatible determinado ⇔ (ver Ejercicio 9)

(c) Un vector v ∈ R3 es imagen de infinitos vectores de R3

⇔ Ax = v es un sistema compatible indeterminado ⇔ (ver Ejercicio 9)

Ejercicio 12. X es una aplicacion lineal que se representa, respecto de las bases canoni-cas, por la matriz

A =

[−1 00 1

].

Ejercicio 13. (a) Comprobemos que Nul (A) ⊆ Nul (A2), las otras inclusiones se pue-den obtener de forma analoga,

Si x ∈ Nul (A) =⇒ Ax = 0 =⇒ AAx = 0 =⇒ x ∈ Nul (A2)

Comprobemos que Col (A2) ⊆ Col (A), las otras inclusiones se pueden obtener deforma analoga:

y ∈ Col (A2) =⇒ ∃x tal que A2x = y =⇒ A(Ax) = y =⇒ y ∈ Col (A).

(b) Si x ∈ Nul (B) =⇒ Bx = 0 =⇒ ABx = 0 =⇒ x ∈ Nul (AB).

y ∈ Col (AB) =⇒ ∃x tal que ABx = y =⇒ A(Bx) = y

=⇒ y ∈ Col (A)puesto que ∃z = Bx tal que Az = y.



Ejercicio 14. (a) Primero tomamos un vector que no este en la recta generada por v1, porejemplo v2 = e1. A continuacion tomamos un vector que no este en el plano generadopor v1 y v2, por ejemplo v3 = (0, 1, 2). Y ya esta.

(b) Basta tomar un vector que no este en el plano determinado por v1 y v2. Puesto que laecuacion del plano es 6x1 + 2x2 − 3x3 =, podemos tomar v3 = e1, por ejemplo.

(c) Basta tomar v3 = e3.

(d) Para obtener una base de R4 hacen falta dos vectores linealmente independientes quesean linealmente independientes con v1 y v2. Si obtenemos unas ecuaciones implıtasdel subespacio que generan v1 y v2 tendremos dos ecuaciones implıtas. Si tomamosun vector v3 que verifique una de dichas ecuaciones y no la otra y un vector v4 queverifique la otra pero no la primera, ya estara.

Ejercicio 15. (a)

AB1→B2 =

[3 −2−1 1

]AB2→B1 =

[1 21 3

]

(b) [v]B2 =

[4−1

].

Ejercicio 16. (a) Llamemos y1 e y2 las coordenadas en la base B, tenemos

para E ≡ x1 + x2 = 0, ecuaciones implıtas: 3y1 − 4y2 = 0 y las ecuacionesparametricas: {

y1 =43α

y2 = αα ∈ R.

para F ≡ x1 − 2x2 = 0, ecuaciones implıtas: y2 = 0 y ecuaciones parametricas:y1 = α, y2 = 0.

para G, ecuacions implıtas: y1 = 0 y ecuaciones parametricas: y1 = 0, y2 = α.

(b) Expresando, en cada caso, y1 e y2 en funcion de x1 y x2 tenemos

E ≡ −6x1 + 13x2 = 0,

F ≡ −x1 + 2x2 = 0.

G ≡ x1 − 2x2 = 0.

Ejercicio 17. Una base de Nul (A) es e4, por lo tanto Nul (A) = Gen {e4} .


leccion 4 espacios vectoriales

Documents