Wiskundige Methoden voor Biomedische Wetenschappen 2011-2012 Wiskundige basistechnieken BEGRIJPEN EN GEBRUIKEN GetallenALGEBRAFuncties, Afgeleiden, Integralen CALCULUS n-tallen (Vectoren), Matrices ALGEBRA , CALCULUS Gebruikt in andere wetenschappen (o.a. FYSICA) BIOMEDISCHE bij kwantitatieve (met getallen)beschrijvingen en analyses data beschrijving (grote hoeveelheden getallen, functies ) en verwerking omgaan met WISKUNDIGE MODELLEN Statistiek, Bio-Informatica. WISKUNDIGE MODELLEN IN BIOLOGISCHE SYSTEMEN Modellen in biologie : differentie- of differentiaalvergelijkingen Biologische systemen :verandering en aanpassing - DYNAMISCHE Systemen Populatiedynamica Moleculaire evolutie (Evolutie van DNA-ketens) Erfelijkheid van bepaalde kenmerken Verspreiding van epidemie INZICHT IN COMPLEXE DYNAMISCHE SYSTEMEN door gebruik te maken van WISKUNDIGE MODELLEN DYNAMISCHE systemen Beschrijft systeem dat VERANDERT in de tijd DISCREET : verandering per TIJDSSTAP DISCRETE beschrijving van de groei van een populatie : we gebruiken een eindige tijdsstap en een RIJ om de populatie op het ogenblik t en HET VOLGENDE ogenblik t+1 aan te geven. 0 1 2 is populatie aantal op ogenblik getallen, , ,......... beschrijft de evolutie van de populaRieijttN tN N NDYNAMISCHE systemen Weergeven met formule : hoe bereken je de volgende term uit de huidige toestand DIFFERENTIEVERGELIJKING 11.4t tN N+ =1BEVERTON-H OLT11enzijn PARAMETER StttRRKR KNNN+ =+ Malthus model r=1.4 11.4*t tN N+ = Malthus model r=0.8 10.8*t tN N+ = Beverton-Holt R=1.4 en K=20 met beginwaarden 5,15,30 1BEVERTON-H OLT11enzijn PARAMETER StttRRKR KNNN+ =+Beverton-Holt Model R=1.7,K=10 2.3.1 1"recruites"S="stock" seizoensgebonden en niet overlappende generaties.1.7 1.71.7 11 0.071101.7 *10(1 0.07101.710 100 7) *1.7 17 17tttRP SR PSSSPRS S+== =+++ +== =DYNAMISCHE systemen CONTINU : verandering van systeem beschrijven op elk ogenblik via een rele functie Continue model : gebruikt ogenblikkelijke veranderingsgraad (afgeleide van de functie in eenpunt) RELE FUNCTIESDIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN : DYNAMISCHE systemen CONTINU gebruikt RELE GETALLEN Klassieke GRIEKSE wiskunde = continue via MEETKUNDE (rechten, vlakken..) AFGELEIDE = OGENBLIKKELIJKE VERANDERINGSGRAAD = LIMIET, ONEINDIG CALCULUS ontwikkeld door Newton en Leibniz (17de eeuw)Differentiaalvergelijkingen hoofdstuk 8Von Bertalanffy modelp. 396-397 1001( )( ) 1 1 en ln( )( )C ktktkttkddtdL dLkdt kdtA LA L kt CA L e eA L CeLLLL t A eAk AA L eA L == = = + = (| |= |= (\=. Differentiaalvergelijkingen hoofdstuk 8Von Bertalanffy modelp. 396-397 Von Bertalanffy- model(beperktegroei)00.55500..3, 0.3, 0.5( ) 3 1 (1 0.1)( ) 3(1 0.9( 3 2)) .7tttA L kL t eL t eL t e= = = ( = = = Differentie- versus differentiaalvergelijkingen Differentie voor EINDIGE, DISCRETE tijdsstappen./ voor situaties waar er een natuurlijke tijdseenheid is. Differentiaal voor ONEINDIG KLEINE (Infinitesimale) tijdsstap bij continu veranderende processen. Differentievergelijkingen zijn conceptueel EENVOUDIGER, maar ANALYTISCH moeilijker te behandelen SIMULATIES met COMPUTERS Computers werken steeds DISCREET. VAN 1 POPULATIE NAAR 2 (1000) INTERAGERENDE POPULATIES Complexere systemen van meerdere INTERAGERENDE Populaties Beschrijven met SYSTEEM (STELSEL) van meerdere DIFFERENTIEVERGELIJKINGEN of DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Beschrijven met 2 (1000) rijen en met 2 (1000) gekoppelde vergelijkingen Beschrijven met functies van TWEE (1000) variabelen Werken met VECTOREN (tweetallen/1000-tallen) en MATRICES Nicholson-Bailey model(572-573) 11 is getal tussen 0 en 1 i AANTAL "HOSTS"AANTALs de FRACTIE van aant ( zoekende vrouwelijke) "PARASITal gastheren dat NIET geparasiteer1d isO DEN "(IttttttttaPaPaaPPttecee aeNPN NNbP++=== ( = is de groeifactor voor de gastheren is de FRACTIE van0) is het aantal aantal gastheren dat WEL geparasiteerd parasieten per geparasiteerde "hosBekijk P=0en dan ist"N=01ttaPPceb>Nicholson-Bailey model(572-573) 0.0230.0230.11102311 AANTAL "HOSTS"VOORBAANTAL ( zoekende vEELD1.5rouwelijke) "PARASITOIDEN"( , )( , )(1 )1.5 , ( 1ttttttttt t taPtaPtPt t tytPtN eN eNNPNPN FN PP GN PFxyeN eebx Fc++++====== ( = ( = =0.023* ( 1)*0.0230.023 ( 1)20,10) 23.836( , ) G(20,10) 4.11GRM( ) ( 1) 1( ) ( 1)1 .51yvnvnGxy xun unvneu e ne (== == ( = WISKUNDIGE MODELLEN IN BIOLOGISCHE SYSTEMEN Analyse van het wiskundig model : leert ons de consequenties kennen van een bepaalde vergelijking, brengt ons op het spoor van kritische waarden en van verschillende parameters. Dat kunnen we daarna checken door observaties. Werken met PARAMETERS en ALGEBRA,CALCULUS laat toe om algemener te analyseren, gerichter te onderzoekenen eventueel optimaal in te grijpen. De modellen zijn dikwijls heel sterke vereenvoudigingen. Eenvoud heeft voordelen Aanpassingen kunnen gebeuren Doel is NIET een volledig beeld van de realiteit maar wel bijkomend INZICHT in fenomenen en ONDERSTEUNING bij INGREPEN. Mathematics in Medicine and the Life Sciences F.C. Hoppensteadt, C.S.Peskin ... The reader should be aware that such models are always based on simplifying assumptions. Simplification in mathematical modeling is both a blessing and a curse. The curse is the partial loss of predictive power that comes from whatever lack of correspondence there may be between the model and the real world. The blessing is the insight that comes from the process of pruning away unneccessary detail and leaving behind only what is essential.Mathematics in Medicine and the Life Sciences F.C. Hoppensteadt, C.S.Peskin ... So the reader should be warned not to regard the statements or equations of this book as being literal or exact descriptions of biological reality. The models presented here are in the nature of methaphors, and these methaphors will have served their purpose if they have helped the reader to see through the bewildering complexity of living systems to the underlying simplicity of certain biological processes and functions. WISKUNDIGE MODELLEN Modellen in Fysica : differentiaalvergelijkingen Modellen voor Fysiologische systemen Hart en Bloedsomloop Luchtuitwisseling in de longen Electrische eigenschappen van cel membranen Tegenstroom mechanisme in de nieren Spier mechanica Biologische klokken en neurale controle WISKUNDIGE METHODEN in biomedische wetenschappen WISKUNDE is BETROUWBAAR Op rigoureuze wiskundige manier de gebruikte begrippen invoeren en toepassen voor STANDAARDSITUATIES TonenHOE CALCULUS GEBRUIKT wordt om natuurfenomenen te analyseren en zo goed mogelijk te controleren. Nadruk op uitgewerkte VOORBEELDEN niet op algemeenheid, niet op volledige theoretische opbouw WISKUNDE Cursus BEGRIJPEN en CORRECT formuleren van (beperkt aantal) DEFINITIES, EIGENSCHAPPEN, BEWIJZENin kader van de voorbeelden en toepassingen uit biomedische wetenschappen. WISKUNDIGE technieken die veel ruimer toepasbaar zijn begrijpen en die CORRECT uitvoeren.Cursus : college + werkzittingen College : kennismaking + afbakening leerstof. Documentatie : TOLEDO WERKZITTINGEN : essentieel onderdeel Documentatie : TOLEDO DIDACTISCH TEAM : MedewerkersSimon Allewaert, Hans Baumers, Klaas Deschout, Gert-Jan Dugardein, Annelies Fabri, Bart Jacobs, Berdien Peeters, Christophe Smet MONITORAAT : Christophe Smet christophe.smet@wet.kuleuven.be HANDBOEK Calculus for Biology and Medicine 3 th Edition Claudia Neuhauser Pearson Education International, 2010 HANDBOEK Bevat veel meer dan eigenlijke leerstof. Uitvoerige achtergrondinformatie en voorbeelden en illustraties voor gebruik van wiskundige technieken (Calculus,Lineaire Algebra) ook in andere vakken (biofysica). Oefeningen (geselecteerde in werkzittingen) + oplossingen van oneven nummers achteraan in het boek. Na elk hoofdstuk : lijst met Key-terms Achteraan in het boek een basisformularium. Index en uitvoerig inhoudsoverzicht. Vooraan Learning Objectives EXAMEN 2 delen : Theorie / Oefeningen Deel 1 zonder hulpmiddelen Voor deel 2 mag je gebruik maken van de eigen portfolio, eigen rekentoestel (ook grafisch of symbolisch toegelaten) PORTFOLIO Doel : EIGEN PERSOONLIJKE SYNTHESE maken van wat in cursus (en WERKZITTINGEN) werd gegeven + opbouwen van een PERSOONLIJKE en voor jou bruikbare DOCUMENTATIE. Hulpmiddel bij ZEFSTANDIG studeren EN werkzittingen EN examen Duidelijk structureren per topic. Maak goede selectie op basis van cursusnotas (niet ALLES overschrijven). Verwijzingen naar betreffende delen in het handboek. Neem een voorbeeld op waar nodig of een schets die een begrip of procedure SNEL verduidelijken, neem uitgewerkte oefeningen uit de werkzittingen op. Meer dan alleen een formularium of definitielijst.Minder dan gewoon alle verzamelde notas. Maak duidelijke INHOUDSTAFEL per hoofdstuk. Regelmatig bijwerken. Vragen mogelijk in werkzittingen en college. GEBRUIK de voorziene STUDIETIJD voor 5 studiepunten.Hulpmiddelen Wetenschappelijke Rekenmachine MINIMAAL VEREIST GRAFISCH REKENTOESTEL (zoals TI 84+) eventueel met SYMBOLISCH Computeralgebra systeem (Handheld : TI89, Voyage 200, TI NSpire) is een nuttig hulpmiddel . CAS ook via internet Professioneel gebruik in SOFTWARE als MATLAB, MAPLE BASISELEMENTEN Hoofdstuk 1 : Preview and Review 1.1 1.1.1,1.1.2, 1.1.3, 1.1. 4, 1.1.5 Rele GETALLEN getallenas 0,1, interval, absolute waarde Cordinaten in het VLAK. Cartesisch cordinatensysteem VERGELIJKING VAN EEN RECHTE VERGELIJKING VAN EEN CIRKEL GONIOMETRISCHE GETALLEN EXPONENTEN EN LOGARITMEN 1.1.6 Complexe getallen : later nodig. RELE GETALLEN (1.1.1) Rele GETALLEN getallenas 0,1. -2 -1 01 52.52 = 10.333...3 =2 1.41421.... =3.14159...2.71828... e ==Cordinaten in het VLAK Cartesisch Assenstelsel (Descartes) VERGELIJKING VAN EEN RECHTE (1.1.2) Helling ofrichtingscofficint (slope) van een rechte Rechte door twee punten 1 1( )3 2( 0) 22 32 3 0y y mx xy x xy xx y = = == + + =2 12 13 1 3 320 ( 1) 3 0y yhelling mx x == ===VERGELIJKING VAN EEN CIRKEL (1.1.3) AFSTAND TUSSEN TWEE PUNTEN BEREKENEN VERGELIJKING CIRKEL ( ) ( )1 1 2 22 22 1 2 1( , ) en( , )Afstand = Lengte( , )(Stelling van Pythagoras)px y qx ypq d pq x x y y = = + 02 20200straal (middelpunt( ,) ( )n RR e )xpyx yx y + =GONIOMETRISCHE CIRKEL(1.1.4) BASISELEMENTEN Hoofdstuk 1 : Preview and Review 1.2 ELEMENTAIRE FUNCTIES1.2.1 Rele functie, notaties, grafiek van een functie. 1.2.2, 1.2.3, 1.2.4 Veeltermfuncties (polynomial functions) Rationale functies (rational functions) Machtsfuncties (power functions) 1.2.5, 1.2.6, 1.2.7EXPONENTILE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES 1.2.8 Goniometrische functies (trigonometric functions) Rele Functies RELE FUNCTIES (1.2.1) ( ) 2: ; 2 3 2 3 3y x xfxxfx + = =++ ( )522ff| | = |\ .=GRAFIEK = RECHTE TABEL van functiewaarden RELE FUNCTIES (1.2.1) ( ): ; ( )ff AyBx xxf= RELE FUNCTIES (1.2.1) ( ): ; ( )ff AyBx xxf= ( ): ; ( )ff ANB t ttf= RELE FUNCTIES(1.2.1) Voorbeeld : absolute waarde (handboek 1.2.1) ( ): ; ( )y f xf A Bx f x= als0 als0x x xxxx xy= = Exponentile functies(1.2.5) 122xxyy|=|=|\ .( )12 212xxxy | | = = |\ .=Exponenten : Rekenregels ( )..x y x yxx yyyx xya a aaaaa a+===Exponentile functie met grondtal e( 1)exp( )2.718... getal van Eulerxyy exe exy e xe = == ==Exponentile functies :spiegelen door Y-as1(0.3678)xxx xy eey e| |= = = |\ .=Exponentile functie en Machtsfunctie 22xyy x==0.522 1.41 1.42...... 2 222 < 2 < ....... 2=Exponentile functie en machtsfunctie 22xyy x==Logaritme met grondtal(1.1.5) l glogoxaxay a xay = ==231/ 2log 8log 2log 8x x== ==aLogaritme : rekenregels (1.1.5) 1.38629....log (log ( ) log () ln( )ln( )de) log ( )log ( ) lo exponent bijg ( ) log ( )log ( ) log2, 71825..om te bekomenln(4) 1.38629... want4( )a a aa a ara aex xxx y x yxx yyx rxexe+ ====== ==Logaritme Zoek getal x zodat 22 13ln( 1) 55 2xx xex=+ ==INVERSE FUNCTIE 1.2.6 111 2 1 21( ) ( )dan is de functie een of een en dan bestaat de inverse functie( , ) op de grafiek van-n functiebijectien dan ligt( , ) op de grafiek van ( , ) ( ) ( ka)nf x f x x xff x y ffpa b f q aby xb fq a= == =1 1 men CONSTRUEREN door( , ) te SPIEGELEN door de rec( ( ))exp(ln( )) l(hte(n(exp))) ( )f f x x f f xpa bxxyx x =====Exponentile functie en logaritmische functie : INVERSE FUNCTIES (1.2.7) 2log2( )2log ( )2voor0log (22 )xxxx xyy xx== >==Exp(x) en ln(x)INVERSE FUNCTIES (1.2.7) ln( )xy ey xy x===Logaritme- ln (1.2.7) 4ln( ) ln( ).ln( )log betekentln(16)logln( )log16 2ln(4lln( )n ))(yayay a xyxxa xxya xa====== ==Exponentile functies met Exp (1.2.7) ( )| |( )lnexp ln exp lnx xx axa a x aa e (= = =Toepassing exponentile (dalende) functie :Radioactief verval (1.2.5) 14C00 01(( ) , 0ln 25730ln 2)212 ln 22hh hThTtThhhWt W e tTWT W W ejaarTe e T = == ==== = = Wet radioactief verval W(t) is hoeveelheidop tijdstip t HALFWAARDETIJD = tijd waarop nog de helft aanwezig is14CToepassing exponentile (dalende) functie :Radioactief verval (1.2.5) ln(2)57303xy e=Toepassing exponentile (dalende) functie :Radioactief verval (1.2.5) 14CStel dat er in een bos gevonden in archeologische opgraving nog 23% aanwezig is (t..o.v.). Hoe oud is dit bos ? 12C14C( )0.23(0)1ln0.235730 1ln ......ln 2 0.23tWteWtjaart jaar= === =Radioactief verval:halveringstijd 4 jaar ln(2)43xy e=Zelf experimenteren met grafieken Denk na over het gepaste venster (window-instelling), en bekijk steeds naast de grafiek ook de assen met eenheden.