@let@token 2 tema. euklido ,,pradmenys``: klasikines ...vilius/mat_ist/mat_ist_2_hand.pdf · 2...
TRANSCRIPT
2 tema. Euklido „Pradmenys“: klasikinesgraiku matematikos savadas
Vilius Stakenas
VU MIF
2014
Geometrijos raidaI Akmens amžiaus geometrines formos ir
ornamentai ( ...- 3 t. pr. Kr.)I Matavimu žinios ir igudžiai (3000-500 m.
pr. Kr.)I Teorinis graiku mokslas (500-300 pr. Kr.)I Beveik nieko naujo iki XV amžiausI Daug naujoviu, stoka griežtumoI XIX a. - galimos ir kitokios geometrijos!I Daug ivairiu geometriju!I XX-XXI a. taikymai: kompiuterine grafika,
video, virtuali interneto tikrove...
Neišsaugotos geometrijos žinios
Akmens amžiaus žmones: rašto nebuvo, betgeometrija išmane!Didieji statiniai
Egiptas ir Tarpupio civilizacijos
Matematiniai egiptieciu papirusai
Rhindo papirusas 534 cm × 33 cmMaskvos papirusas 544 cm × 33 cm
Keturkampio plotas: egiptieciu nuomone
S =a+ c
2· b+d
2
Kaip egiptieciai skaiciavo skritulio plota
d 89d
S =(8
9d)2
Nupjautine piramide!
Nejaugi ispejo?
S = (a2+ab+b2) · h3
Civilizacijos Tarpupyje
3000-2700 pr.Kr. Šumeru miestai valstybes,dantirašcio išradimas1600-625 hetitu, kasitu, asiru valdymas
Matematines babilonieciu lenteles
Pitagoro teorema 1000 m. prieš Pitagora
Uždavinys: i siena atremtas strypas. Pastumusjo pagrinda per 9 ilgio vienetus nuo sienos,strypas i siena atsiremia 3 vienetais žemiau.Koks strypo ilgis?
Skritulio plotas: babilonieciu nuomone
S =C2
12,
cia C – apskritimo ilgis.
Pitagoro skaiciu trejetai
x2+ y2 = z2
Graiku istorijos tarpsniai
I 3-2 tukst. pr. Kr. Mikenu ir Kretosvaldymas 1 tukst. pr. Kr. dorenu isiveržimas
I Apie 900 metus pereme finikieciu abecele.I 600-450 Jonijos periodas: Talis ir kiti
gamtos filosofaiI 490 - Maratono mušis, PitagorasI 450-300 - Atenu klestejimasI 387 - Platono akademija AtenuoseI 300-150 helenistinis periodas, Aleksandrija.
Euklidas, Archimedas, Apolonijus Pergietis
Talis Miletietis
Talis (640-546 pr. Kr.) pirmasis matematikas,kurio varda žinome
Talio teoremos
Penkios teoremos, kurias šaltiniai priskiriaTaliui
Irodymai, „tikrosios“ matematikos pradžia
Pitagoras
Pitagoras žinias igijo kelionese. 6 a. pr.Kr. viduryje isteige mokykla Italijos pietuose,Krotone. Individualaus inašo i matematikaneimanoma nustatyti.Aristotelis (4 a. pr. Kr.) jau mini terminapitagorieciai. Vertina matematinius tyrimus, betne filosofija.Pitagoras, šaltiniu teigimu, paverte geometrija„laisvuoju mokslu“, t.y. kuris studijuojamas nedel naudos ar taikymu.
Skaiciai ir figuros
Kvadratiniai ir trikampiai skaiciai
Pitagoro skaiciu trejetai
n2 +(2n+1) = (n+1)2
n = 4, 2n+1 = 9 = 32, 42 +32 = 52
n = 12, 2n+1 = 25 = 52,122 +52 = 132
x2 + y2 = z2
Kvadratai ir nelyginiai skaiciai
1+3+5+7 = 42
1+3+5+7+9 = 52
1+3+ · · ·+(2n−1) = n2
Bendrasis matas
Nebendramatiškumo atradimas
Pitagoro teorema
Pitagoro teorema: pjaustymo irodymai
Atenu klestejimas
Platono trikampiai
Platono akademija ikurta 387 m. Kr.
Trikampis ir kvadratas iš vienarušiu trikampiu
Platono trikampiai
Platono akademija ikurta 387 m. Kr.
Bet penkiakampiui sudeti dvieju rušiutrikampiu negana!
Aleksandrija
Euklido „Pradmenys“
Euklido „Pradmenys“
Euklido „Pradmenys“
Euklido „Pradmenys“I I knyga: aksiominis plokštumos geometrijos
destymas (jonieciu periodo ir pitagorieciurezultatai)
I II knyga: veiksmai su geometriniaisdydžiais (geometrine algebra)
I III knyga: teiginiai apie apskritima(pitagorieciu)
I IV knyga: ibrežtiniu ir apibrežtiniutaisyklinguju daugiakampiu braižymas
I V knyga: Santykiu (proporciju teorija,Eudoksas)
I VI knyga: Santykiu teorijos taikymasplokštumos geometrijoje
Euklido „Pradmenys“
I VII-IX knygos: teiginiai apie naturaliuosiusskaicius
I X knyga: dydžiu, kuriuos galimasukonstruoti skriestuvu ir liniuote teorija,klasifikacija (tikriausiai Theaiteto sukurta)
I XI knyga: Erdves geometrijos pagrindaiI XII knyga: Teiginiai apie turiusI XII knyga: Taisyklingu briaunainiu
konstravimas (briaunainiai ibrežiami isfera), irodymas kad tera tik penki tokiekunai.
Pradmenu struktura
I ApibrežimaiI PostulataiI AksiomosI Teoremos ir konstravimo uždaviniai
(formuluotes, algoritmai, irodymai)
Iš I knygos
23 apibrežimai
1 apibrežimas. Taškas yra tai, kas neturi daliu
2 apibrežimas. Linija yra ilgis be plocio
3 apibrežimas. Linijos galai yra taškai
4 apibrežimas. Tiese yra linija, kurios taškaiišsideste vienodai
Iš I knygos
5 apibrežimas. Paviršius yra tai, kas turi tik ilgiir ploti.
10 apibrežimas. Jei dvi tieses sudaro lygiusgretutinius kampus, tie kampai vadinamistaciaisiais
23 apibrežimas. Jei tieses yra vienojeplokštumoje ir pratesus jas i abi pusesnesusikerta, jos vadinamos lygiagreciomis.
Iš I knygosPostulatai
1. Du taškus galima sujungti tiese
2. Tiese galima pratesti i bet kuria puse
3. Iš bet kokio centro galima nubrežti apskritimasu bet kokiu spinduliu
4. Visi status kampai lygus tarpusavyje
5. Jei dvi tieses kerta trecioji ir vienoje pusejevidiniu kampu suma mažesne už du stacius, taišioje puseje pratesus pirmasias dvi tieses, jossusikirs.
5 postulatui ekvivalentus teiginys: per taškašalia duotos tieses galima išvesti tik viena tiese,lygiagrecia duotajai.
Iš I knygos
Aksiomos
1. Jei A = B ir B = D, tai A = D
2. Jei A = B, tai A+C = B+C
3. Jei A = B, tai A−C = B−C
4. Jei A ir B sutampa, tai A = B
5. Visuma didesne už dali
1.1 uždavinysDuota kraštine, nubraižyti lygiakrašti trikampi.
Lygiakraštis trikampis
1.2 uždavinys
Atideti duoto ilgio atkarpa nuo duotojo taško.
1.4 teorema. Trikampiu lygybes požymysJei vieno trikampio dvi kraštines ir kampas tarpju atitinkamai lygus kito trikampio dviemskraštinems ir kampui tarp ju, tai trikampiailygus.
Trikampiu lygybes požymis
1.5 teorema. Talio teorema apie lygiašonitrikampi
Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yralygus.
1.11, 1.12 uždaviniai. Statmenys duotai tiesei
Statmuo iš taško šalia tiesesStatmuo iš tieses taško
1.15 teorema. Talio teorema apie kryžminiuskampus
Dvieju besikertanciu tiesiu sudaryti kryžminiaikampai lygus.
1.22 teorema. Trikampio su duotomis kraštinemisbraižymas
Jei vieno trikampio dvi kraštines ir kampas tarp ju atitinkamailygus kito trikampio dviems kraštinems ir kampui tarp ju, taitrikampiai lygus.
1.26 Trikampiu lygybes požymys: du kampai irkraštine
1.27, 1.28 teiginiai apie priešinius kampus
Dvi tieses kerta trecioji, jei priešiniai kampailygus, tieses lygiagrecios. Jei dvi lygiagreciastieses kerta trecioji, tai priešiniai kampai lygus.
1.31 Lygiagrecios tieses braižymas
Lygiagretes braižymas
1.32 Trikampio kampu suma
1.42 Lygiagretainio lygiaplocio trikampiuibraižymas
Lygiagretainis lygiaplotis trikampiui
1.43 Lygiagretainio lygiaplocio trikampiuibraižymas
Lygiagretainis lygiaplotis trikampiui
1.44 Lygiagretainio lygiaplocio daugiakampiuibraižymas
Duotas lygiagretainio kampas ir kraštine
Lygiagretainio braižymas
1.47 Pitagoro teorema
Irodymai: 1 2 3
2.4 Algebrine tapatybe
(x+ y)2 = x2+2xy+ y2
2.4 Algebrine tapatybe
AC = CB, staciakampis su kraštinemis AD,DBir CD kvadratas lygus CB kvadratui
2.6 Kvadratines lygties (x−b)x = c2 sprendimas
AC = CB, staciakampis su kraštinemis AD,DBkartu su CB kvadratu lygus CD kvadratui
2.11 teorema. Atkarpos dalijimas
AB reikia padalyti i dvi dalis, kad butu
AB ·HB = HB2
2.11 teorema. Atkarpos dalijimas
AB reikia padalyti i dvi dalis, kad butu
AB ·HB = AH2 arbaABHB
=AHHB
AB = 1,HB = x,1x=
x1− x
= ϕ, ϕ ≈ 1,618...
Staciakampiai
Aukso pjuvio santykis architekturoje, mene irgamtoje
Aukso pjuvisFibonacio skaiciai ir aukso pjuvis
2.12 Kosinusu teorema
Buko kampo atvejis
BC kvadratas lygus AB ir AC kvadratu ir dviejustaciakampiu su kraštinemis AC ir AD sumai
2.14 Kvadratas lygiaplotis daugiakampiui
III knyga. Apskritimai ir tieses
3.10 teiginys. Du apskritimai negali turetidaugiau kaip 2 bendrus taškus.
3.13 teiginys. Du apskritimai negali liestisdaugiau kaip viename taške.
3.35 teiginys apie stygas
IV knyga. Daugiakampiai ir apskritimai
4.4 uždavinys. I trikampi ibrežti apskritima
4.5 uždavinys. Apibrežti apskritima apie trikampi
4.5 uždavinys. Apie trikampi apibrežti apskritima
4.10 uždavinys. Auksinio trikampio braižymas
4.11 uždavinys. Taisyklingojo penkiakampiobraižymas
Pentagrama
4.15 uždavinys. Taisyklingojo šešiakampiobraižymas
4.16 uždavinys. Taisyklingojo penkiolikakampiobraižymas
Kokius taisyklinguosius daugiakampius galimanubraižyti?
I jeigu galima n-kampi, tai ir 2,22 ·n,23 ·n, . . .galima;
I jeigu galima n-kampi ir m-kampi, ir n,m neturibendru dalikliu išskyrus 1 (pav., 3 ir 5) tai irn ·m galima.
Kokius taisyklinguosius daugiakampius supirminiu kraštiniu skaiciumi galima nubraižyti?
Po dvieju tukstanciu metu ...
1796 metais devyniolikmetis K. F. Gausasirode:Skriestuvu ir liniuote galima nubraižyti tiktokius taisyklinguosius daugiakampius supirminiu kraštiniu skaiciumi p, jei
p = 22m+1.
Tokie pirminiai skaiciai vadinami Fermatskaiciais. Nežinoma, kiek ju yra.
VI knyga. Proporcingumo ir panašumo teorija
Rasti X, kad butuAB=
CX
6.10 Atkarpos dalijimas duotu santykiu
6.13 Geometrinio vidurkio radimas
6.31 Pitagoro teoremos apibendrinimas
Erdves geometrijos knygos XI-XIII
Penki Platono kunai
13.18 Briaunainiu kraštines
Archimedo kunai
Ko neišdeste Euklidas?
Trys didieji Antikos uždaviniai
I Kubo padvigubinimas
I Kampo trisekcija
I Skritulio kvadratura
Kugio pjuvio kreives
Kugio pjuvio kreives
Neeuklidine geometrija XIX a.
Neeuklidine geometrija XIX a.Per taška šalia duotos tieses galima išvestidaugiau kaip viena tiese, nekertancia duotosios.